Ε.Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ

ΧΡΗΣΤΟΣ Δ. ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΝΑΠΛ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Ε.Μ.Π

1

ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Το βιβλίο αυτό περιέχει την ύλη του μαθήματος “Ηλεκτρομαγνητική

Πρόωση και ανάρτηση” , το οποίο είναι κατ’ επιλογή μάθημα της σχολής

“Ηλεκτρολόγων μηχανικών και μηχανικών υπολογιστών” του “Εθνικού

Μετσόβιου Πολυτεχνείου”.

Οι ευθύγραμμοι κινητήρες (Linear Motors) είναι ηλεκτρομηχανικές διατάξεις

στις οποίες το πρωτεύον και δευτερεύον, που αλληλεπιδρούν ηλεκτρομαγνητικά,

κινούνται ευθύγραμμα μεταξύ τους έτσι ώστε το διάκενο που τα διαχωρίζει να παραμένει

σταθερό.

Εάν οι ευθύγραμμοι κινητήρες σχεδιαστούν ώστε οι δυνάμεις μεταξύ τους να

είναι κατά την φορά της κίνησης είναι ευθύγραμμοι κινητήρες ώθησης. Μπορούν όμως

να σχεδιαστούν ώστε οι μεταξύ τους δυνάμεις να είναι κάθετες στην φορά της κίνησης,

οπότε είναι ευθύγραμμοι κινητήρες ανάρτησης. Πάντως σε κάθε ευθύγραμμο κινητήρα,

οι δυνάμεις ώθησης και ανάρτησης συνυπάρχουν.

Η πιο σημαντική εφαρμογή των ευθύγραμμων κινητήρων είναι στα τραίνα

μαγνητικής αιώρησης (Maglevs). Με την αγγλικές λέξεις linear motor και maglev μπορεί

κάποιος να βρεί στο Internet και στο wikipedia ένα συνεχώς αυξανόμενο πλήθος

πληροφοριών σχετικά με τις εφαρμογές των ευθύγραμμων κινητήρων.

Οι γνώσεις, σε πανεπιστημιακό επίπεδο, που απαιτούνται για την πλήρη

κατανόηση του περιεχομένου του βιβλίου είναι :

• Ηλεκτρομαγνητική θεωρία

• Μετασχηματισμός Fourier

• MATLAB

Έκανα προσπάθεια ώστε το πρώτο μέρος του βιβλίου τουλάχιστον, να μπορεί να

διαβαστεί και από μη ειδικούς στο θέμα, όπως επίσης και να συνδέσω την θεωρία των

ευθύγραμμων κινητήρων με τους περιστροφικούς κινητήρες.

Η βοήθεια του υποψήφιου διδάκτορα κ. Πέτρου Κατωπόδη, για την καλύτερη

παρουσίαση του βιβλίου ήταν εξαιρετικά σημαντική.

2

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ KAI ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤ1ΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ……………………………………………………………..................................8

1.2 ΕΙΔΗ ΚΑΙ ΜΟΡΦΕΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ……………….........................10

1.3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΟΥ ΚΑΙ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ……………….14

1.4 ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ……………….....................19

1.5 ΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ……………………....................21

1.6 ΚΥΡΙΑ ΥΛΙΚΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ…………………...............................24

1.7 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΝΑΡΤΗΣΗ ………………………………………………...25

1.8 ΟΙ ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΚΙΝΗΤΉΡΩΝ ΓΙΑ

ΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΚΙΝΗΣΗ…………………………………………………..........................29

1.9 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΚΙΝΗΣΗΣ ΜΕ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ

ΑΝΑΡΤΗΣΗ (MAGNETIC LEVITATION SYSTEMS ή MAGLEVS)……...................32

1.10 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΤΡΕΝΑ…………………………………………………….........................35

1.10.1 Υποδιαιρέσεις ηλεκτροκίνητων τρένων ………………….................................35

1.10.2 Βασικά υποσυστήματα σ' ένα ηλεκτρικό τρένο...…………………………36

1.10.3 Δυνάμεις και ισχύς κατά την Ηλεκτροκίνηση τρένων ……………………….38

1.11 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΤΩΝ ΤΡΑΙΝΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑ-

ΓΝΗΤΙΚΗΣ ΩΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ (MAGLEVS)…………………………….41

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ……………………………………………………………….....44

2.2 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ …………………………………………………………………..46

2.3 ΑΠΟΘΗΚΕΜΕΝΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ………............49

2.4 ΙΣΧΥΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ…………………………………………...50

3

2.5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΙΣΧΥΟΣ ΜΕ ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING ………………………..52

2.6 ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ POYNTING ΣΤΟΥΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥΣ

ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ……………………………………………………………………….....54

2.7 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ…………………………………...56

2.8 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΩΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΤΟΥ

ΤΑΝΥΣΤΗ MAXWELL……………………………………………………………............56

2.9 ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΗ ΤΟΥ MAXWELL ΣΤΟΥΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥΣ

ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ………………………………………………………………………………..58

2.10 ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΗ ΤΟΥ MAXWELL ΣΤΟΥΣ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΟΥΣ

ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ………………………………………………………………………............59

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΎΜΑΤΑ (ΧΑΜΗΛΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ) ΚΑΙ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ EΌURIER

3.1 ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΑΣΙΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ………………..…62

3.2 ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕΙΡΕΣ FOURIER ……………………………………............65

3.3 ΑΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER…………………………...........66

3.3.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Μ/ΜΩΝ FOURIER…………………………………………...67

3.4 ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER………………………………………...68

3.5 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

ΟΠΟΙΑΣΔΗΠΟΤΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α(x)…………………………………………………70

3.5 ΣΧΕΣΗ ΣΕΙΡΑΣ FOURIER ΜΕ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ FOURIER………………...72

3.6 ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ…………..73

3.7 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ FOURIER………………………………..74

3.8 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΙΣΧΥΟΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ FOURIER……………………………………..77

4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4

ΜΕΛΕΤΗ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ

4.1 ΓΕΝΙΚΑ …………………………………………………………………………………..…79

4.2 Η ΓΡΑΜΜΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ……………...82

4.3 ΕΠΙΠΕΔΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΑΝ ΓΡΑΜΜΕΣ

ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ……………………………...83

4.4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΗΣ ΓΡΑΜΜΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ………………………….............86

4.5 ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΣΥΝΗΘΗ ΥΛΙΚΑ ΤΩΝ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ…………………………………………………............89

4.6 ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ, ΦΥΛΛΑ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΣΤΟ

ΧΩΡΟ FOURIER …………………………………………………………………….......91

4.6 ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΤΥΛΙΓΜΑΤΩΝ……………………………........93

4.6.1 ΑΓΩΓΟΣ ΜΕ ΡΕΥΜΑ (Ι)……… ……………………………………................94

4.6.2 ΑΠΛΟ ΤΡΙΦΑΣΙΚΟ ΤΥΛΙΓΜΑ………………………………………………..95

4.6.3 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΠΛΟΥ ΔΙΠΟΛΙΚΟΥ

ΤΡΙΦΑΣΙΚΟΥ ΤΥΛΙΓΜΑΤΟΣ ………………………………………...............98

4.6.4 ΔΙΠΛΟ ΔΙΠΟΛΙΚΟ ΤΡΙΦΑΣΙΚΟ ΤΥΛΙΓΜΑ………………………...............99

4.6.5 ΔΙΠΛΟ ΔΙΠΟΛΙΚΟ ΤΡΙΦΑΣΙΚΟ ΤΥΛΙΓΜΑ ΜΕ P ΖΕΥΓΗ

ΠΟΛΩΝ………………………………………………………………….........101

4.8 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ

ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΝΤΑΣΗΣ ΣΤΟ

ΧΩΡΟ FOURIER …………………………………………………………………………102

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ

5.1 ΓΕΝΙΚΑ ……………………………………………………………………………………105

5.2 ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΥ

ΚΙΝΗΤΗΡΑ (ΕΕΚ) ………………………………………………………………………..105

5.3 ΤΟ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΚΥΚΛΩΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΥ

ΚΙΝΗΤΗΡΑ (ΕΕΚ)…...…………………………………………………………..……….110

5

5.4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΙΣΧΥΟΣ ΣΕ ΣΥΝΗΘΕΙΣ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΥΣ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ (ΕΕΚ)…………………….…...111

5.5 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ

ΕΠΑΓΩΓΗΣ (ΕΕΚ)……………………………………………………………………..…113

5.6 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ

ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ (ΕΕΚ) ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟ ΡΕΥΜΑ………………………..115

5.7 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ (ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΥΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ

ΡΕΥΜΑ)…………………………………………………………………………………...118

5.8 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΟΙ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΙ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ ΩΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΙ

ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΙ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ (ΕΕΚ ) …………………………………………………..120

5.9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ

ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΥΣΤΑΘΟΥΣ

ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ……………………………………………………………………............121

5.10 ΑΝΤΛΙΕΣ ΥΓΡΩΝ ΜΕΤΑΛΛΩΝ……………………………………………….............124

5.11 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΙ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΙ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ ΜΕ ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝ

ΧΩΡΙΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΣΙΔΗΡΟΥ……………………………………………….....126

5.12 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΜΕ

ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝ ΣΙΔΗΡΟ-ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΑΓΩΓΙΜΟ ΣΤΡΩΜΑ…………………132

5.13 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΜΕ ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝ

ΑΓΩΓΙΜΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΓΑΛΟΥ ΠΑΧΟΥΣ (ΘΑΛΑΣΣΙΝΟ ΝΕΡΟ)...................135

5.14 ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΕΚ……………………………………………………..137

5.15 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΩΝ ΣΤΟΥΣ ΕΕΚ…………………………………….............140

5.16 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗΣ ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗΣ ΤΥΛΙΓΜΑΤΟΣ……………..144

5.17 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΥΠΟ

ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΑΣΗ…………………………………………………………………...........148

5.18 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΟΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΥΠΟ ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΑΣΗ………154

5.19 ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗΣ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ………………............157

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6

ΣΥΓΧΡΟΝΟΙ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ (ΣΕΚ)

6.1 ΤΥΠΟΙ ΣΥΓΧΡΟΝΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ (ΣΕΚ)…………….............158

6.2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΕΓΕΡΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝΤΟΣ ……………………………..161

6.3 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΓΧΡΟΝΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ

6

ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ………………………………………………………………………............165

6.4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΩΝ – ΙΣΧΥΟΣ ΣΤΟΝ ΣΕΚ ΣΙΔΗΡΟΥ………….............169

6.5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΩΝ – ΙΣΧΥΟΣ ΣΤΟΝ ΣΥΓΧΡΟΝΟ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΑΕΡΟΣ………………………………………………....173

6.6 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΣΙΔΗΡΟΥ ΚΑΙ ΑΕΡΟΣ……………………………………..175

6.7 ΣΥΓΧΡΟΝΟΙ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ ΣΙΔΗΡΟΥ ΜΕ ΒΡΑΧΥ

ΠΡΩΤΕΥΟΝ………………………………………………………………………………..176

6.8 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΟΣ ΣΥΓΧΡΟΝΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ………………………………...........178

6.9 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΥΠΟ ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΑΣΗ…………...........180

6.11 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ

ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΥΠΟ ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ………………..185

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ (MAGLEVs)

7.1 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΕΛΚΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ…………………...187

7.3 ΗΛΕΚΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΩΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ

ΥΠΕΡΑΓΩΓΟΥΣ…………………………………………………………………………..191

7.4 ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΗΛΕΚΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ……………………………………………………………………………...200

7.5 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΗΛΕΚΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ………..206

7.6 ΗΛΕΚΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΕΣ………………………………………………………………….209

7.7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ L/D…………………………...215

7.8 ΗΛΕΚΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝ

ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΕΝΕΣ ΑΓΩΓΙΜΕΣ ΣΠΕΙΡΩΝ……………………………………..219

7.9 ΠΛΕΥΡΙΚΗ ΑΝΑΡΤΗΣΗ………………………………………………………………..226

7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8

ΕΙΔΙΚΕΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΚΥΛΥΝΔΡΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ

ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ

8.1 ΔΙΝΟΡΕΥΜΑΤΑ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΓΩΓΙΜΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ …………………………...228

8.2 ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΘΕΡΜΑΝΣΗ ……………………………………………………………..230

8.3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΕΣ ……………………………………232

8.4 ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ……………………………235

8.4 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΕΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ………………..236

8.6 ΜΑΓΝΗΤOΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΕΣ ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ…………….............242

8.7 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΞΟΝΙΚΕΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ………………………...243

8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ KAI ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤ1ΚΑ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Στο κεφάλαιο αυτό θα γίνει η παρουσίαση των βασικών αρχών λειτουργίας των

κινητήρων στους οποίους η κίνηση μεταξύ του δρομέα και στάτη ειναι ευθύγραμμη

καθώς και των σημαντικότερων απ' τις εφαρμογές τους. Στην ξένη βιβλιογραφία οι

κινητήρες αυτοί αναφέρονται σαν LINEAR MOTORS, όμως η μετάφραση σαν

"γραμμικοί κινητήρες" είναι πιστεύω αδόκιμη γιατί μπορεί να οδηγήσει σε σύγχυση όσον

αφορά τον τρόπο κίνησης με τη συμπεριφορά της διάταξης από ηλεκτρική άποψη. Η

ανακάλυψη των ευθύγραμμων κινητήρων είναι χρονικά πολύ παλιά και γίνεται σχεδόν

σύγχρονα με την ανακάλυψη των περιστροφικών ηλεκτρικών μηχανών. Εν τούτοις ενώ

οι περιστροφικές μηχανές βρίσκουν ένα τεράστιο πλήθος από εφαρμογές που αυξάνουν

με τη συνεχώς διευρινόμενη χρήση του ηλεκτρισμού, ο ευθύγραμμος κινητήρας ξεχνιέται

για αρκετές δεκαετίες και ξανάρχεται στο φως της επικαιρότητας τις τρεις τελευταίες

δεκαετίες. Ο κυριότερος λόγος που η περιστροφική ηλεκτρική μηχανή στη συνήθη

μορφή που τη γνωρίζουμε σήμερα, έχει χρησιμοποιηθεί σχεδόν αποκλειστικά σε σχέση

με την ευθύγραμμη ηλεκτρική μηχανή είναι:

(α) ότι η συνήθης ζητούμενη κίνηση είναι περιστροφική και

(β) ότι ο περιστροφικός κυλινδρικός κινητήρας έχει πολύ καλά λειτουργικά

χαρακτηριστικά .

Δηλαδή και ο βαθμός αποδόσεως του και ο συντελεστής ισχύος του είναι αρκετά

κοντά στην μονάδα. Εν τούτοις για ένα τουλάχιστον πεδίο εφαρμογής η χρήση του

ευθύγραμμου κινητήρα φάνηκε από πολύ νωρίς πολύ πιο πλεονεκτική.

Το πεδίο αυτό εφαρμογής είναι η μετάδοση κίνησης σε ορισμένα συστήματα

ηλεκτρικής κίνησης (υπερταχέα τρένα). Σ' αυτά τα συστήματα ηλεκτρικής πρόωσης

9

φαίνεται κατ' αρχήν πολύ πλεονεκτικότερη η χρήση κινητήρων ευθύγραμμης κίνησης,

που θα μεταφέρουν δυνάμεις μεταξύ δρομέα και στάτη στη φορά της κίνησης απ' ευθείας

χωρίς τη μεσολάβηση του τροχού.

Αυτό έχει πραγματικά αρκετά πλεονεκτήματα. Κατ' αρχήν η χρήση τροχών

περιορίζει τις δυνατότητες ανάπτυξης δύναμης κίνησης μεταξύ κινητού και ακίνητου

μέρους, που είναι ίση το πολύ με τη μέγιστη πρόσφυση του τροχού και του διαδρόμου

κινήσεως. Έτσι οι τροχοί είτε μπορούν να αντικατασταθούν από κάποιο άλλο σύστημα

ανάρτησης, είτε ακόμη αν υπάρχουν τροχοί να χρησιμοποιούνται για οδήγηση και όχι για

μεταφορά των δυνάμεων της κίνησης. Αυτή κυρίως η πιθανή εφαρμογή, κάνει λοιπόν

αναγκαία τη συστηματική μελέτη των κινητήρων ευθύγραμμης κίνησης, απ' τις αρχές της

δεκαετίας του 60.

Η πρώτη σκέψη που έγινε για να μελετηθούν και να κατανοηθούν ο ευθύγραμμοι

κινητήρες ήταν να θεωρηθούν σαν αναπτύγματα του ηλεκτρικού περιστροφικού

κινητήρα (βλ. σχ. 1).

Σχημα 1

Εν τούτοις όπως θα δούμε στη συνέχεια η διαδικασία της γεωμετρικής ανάπτυξης

δε συνεπάγεται και τη φυσική ομοιότητα των δύο μοντέλων δηλαδή του κυλινδρικού και

του επιπέδου. Υπάρχουν δηλαδή μεταξύ τους διαφορές στην χαρακτηριστική λειτουργίας

τους.

Εν τούτοις η επίπεδη μορφή δε συνεπάγεται μονοσήμαντα πάντα και ευθύγραμμη

κίνηση όπως και η κυλινδρική μορφή δε συνεπάγεται πάντοτε κίνηση περιστροφική.

Για την κατανόηση αυτού του συλλογισμού ας θεωρήσουμε προς στιγμή το δρομέα

(ή το στάτη) και τη φορά κινήσεώς του (ή του μαγνητικού του πεδίου) σα μια διαδοχή

βορείων και νοτίων μαγνητικών πόλων (σχ. 2).

10

ΣΧΗΜΑ 2

Τα 2α και 2δ σχετίζονται με περιστροφική κίνηση ενώ το 2β και 2γ με

ευθύγραμμη κίνηση. Οι μορφές 2β, 2γ, 2δ αναφέρονται σαν ευθυγραμμικές μηχανές, ενώ

η μορφή 2α είναι η μορφή ενός συμβατικού κυλινδρικού περιστροφικού κινητήρα. Ο

ευθύγραμμος κινητήρας 2β (και κατ' επέκταση ο 2δ) είναι ο συνήθης ευθύγραμμος

κινητήρας ενώ ο κινητήρας 2γ ονομάζεται ευθύγραμμος σωληνωτ6ς (TUBULAR)

κινητήρας. Όταν λοιπόν αναφέρουμε από εδώ και πέρα ευθύγραμμο κινητήρα θα

εννοούμε τον κινητήρα της μορφής 2β.

1.2 ΕΙΔΗ ΚΑΙ ΜΟΡΦΕΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

Οι ευθύγραμμοι κινητήρες κατ' αρχήν μπορούν να διαιρεθούν σε όσα είδη

διαιρούνται ο αντίστοιχοι περιστροφικοί κινητήρες, απ' τους οποίους μπορούν να

προέλθουν με γεωμετρική ανάπτυξη. Έτσι έχουμε ευθύγραμμους σύγχρονους κινητήρες,

ευθύγραμμους επαγωγικούς κινητήρες, ευθύγραμμους κινητήρες μαγνητικής

11

αντιστάσεως κλπ. Επιπλέον οι ευθύγραμμοι κινητήρες μπορεί να διαιρεθούν σε διάφορες

μορφές, τις κυριότερες απ' τις οποίες αναφέρουμε στην συνέχεια.

Η πρώτη διαίρεση γίνεται με βάση του αν ο στάτης ή ο δρομέας θα είναι βραχύς. Οι

συνήθεις ευθύγραμμοι κινητήρες έχουν βραχύ στάτη, σε αρκετές όμως εφαρμογές οι

κινητήρες με βραχύ δρομέα είναι πιο κατάλληλοι (σχ. 3). Για παράδειγμα ο ευθύγραμμος

κινητήρας επαγωγής (επέκταση του περιστροφικού επαγωγικού κινητήρα τύπου κλωβού)

πρέπει να έχει για πρωτεύον ένα, ευθύγραμμα αναπτυγμένο, τριφασικό τύλιγμα σε

αύλακες σιδήρου και μπορεί για δευτερεύον να έχει ένα απλό φύλλο από αγώγιμο υλικό

(συνήθως αλουμίνιο) πάχους μερικών χιλιοστών. Έτσι κατ' αρχήν ο ευθύγραμμος

επαγωγικός κινητήρας που έχει βραχύ το πρωτεύον είναι οικονομικότερος από τον

αντίστοιχο του με βραχύ δευτερεύον.

ΠΡΩΤΕΥΟΝ

ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝ

ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝ

ΠΡΩΤΕΥΟΝ

ΣΧΗΜΑ 3. Ευθύγραμμος κινητήρας με βραχύ πρωτεύον και βραχύ δευτερεύον.

Μια δεύτερη διαίρεση πρέπει να γίνει με βάση τον αριθμό των όψεων του

πρωτεύοντος (που είναι συνήθως το βραχύ τμήμα του κινητήρα όπως είπαμε). Έτσι

μπορούμε να έχουμε κινητήρες με απλή όψη των οποίων το δευτερεύον υποστηρίζεται

συνήθως από σίδηρο (4α) ή διπλής όψης (τύπου σάντουιτς) (4δ).

12

ΣΧΗΜΑ 4.

α. Ευθύγραμμος κινητήρας απλής όψεως σαν ανάπτυγμα του περιστροφικού.

β. Μεταφορά των αγωγών του δρομέα έξω από τις αύλακες του δρομέα.

γ. Σχηματίζεται ένα αγώγιμο φύλλα στη θέση των αγωγών.

δ. Προστίθεται ένα δεύτερα πρωτεύον και σχηματίζεται ένας κινητήρας διπλής

όψεως.

Στο σχήμα πού ακολουθεί (5α) φαίνονται οι γραμμές μαγνητικής ροής των

επαγωγικών κινητήρων απλής και διπλής όψης ενώ στο σχήμα 5β οι δυναμικές γραμμές

των ρευμάτων που κυκλοφορούν στο δευτερεύον ενός επαγωγικού κινητήρα (κάποια

χρονική στιγμή). Από το 5β είναι φανερό ότι το πλάτος του δευτερεύοντος πρέπει να

είναι μεγαλύτερο από το πλάτος του σιδήρου του πρωτεύοντος ώστε να υπάρχει

αγώγιμος δρόμος για την κυκλοφορία των επαγομένων ρευμάτων στο δρομέα.

13

ΣΧΗΜΑ 5

α. Γραμμές μαγνητικής ροής κινητήρων απλής όψεως.

β. Γραμμές των ρευμάτων που κυκλοφορούν στο δευτερεύον ενός επαγωγικού

κινητήρα (κάποια χρονική στιγμή t )

Μια άλλη ενδιαφέρουσα διαίρεση μπορεί να φανταστούμε αν θεωρήσουμε τον

τρόπο με τον οποίο αναπτύσσεται η μαγνητική ροή σ' ένα συνηθισμένο κινητήρα. Απ' το

σχήμα 5α φαίνεται ότι οι δυναμικές γραμμές της μαγνητικής ροής αναπτύσσονται κατά

τη φορά της κίνησης του κινητήρα. Ο κινητήρας λοιπόν αυτός είναι κινητήρας διαμήκους

αναπτύξεως της μαγνητικής ροής.

Σε μερικούς κινητήρες απαιτείται η ύπαρξη ενός μεγάλου πολικού βήματος (τ), π.χ.

για σύγχρονη ταχύτητα υ= 360km/h=100m/s στη συχνότητα f=50c/sec απαιτείται ένα

πολικό βήμα τ = υ/2f=1m. Σ' αυτή την περίπτωση το πάχος του σιδήρου που υποστηρίζει

το πρωτεύον και το δευτερεύον που πρέπει να είναι ανάλογο προς το τ είναι πολύ

μεγάλο, αν θέλουμε ν' αποφύγουμε τον κορεσμό και ο κινητήρας είναι καλά

υπολογισμένος. Αυτό αποτελεί ένα πρόβλημα που μπορεί να λυθεί μόνον με τη χρήση

του κινητήρα εγκάρσιας ανάπτυξης της μαγνητικής ροής.

14

ΣΧΗΜΑ 6

α. Τομή ευθύγραμμου κινητήρα εγκάρσιας μαγνητικής ροής απλής όψης.

β. Ομοίως αλλά με υποστήριξη σιδήρου.

Στον κινητήρα εγκάρσιας ανάπτυξης της μαγνητικής ροής το πάχος του σιδήρου

υποστήριξης του πρωτεύοντος ή δευτερεύοντος μπορεί να γίνει ανάλογο µε το μισό του

πλάτους του κινητήρα, που μπορεί να το πάρουμε οσοδήποτε μικρό απαιτείται, δηλαδή

πολύ μικρότερο από 1m, για το προηγούμενο παράδειγμα. Στο σχήμα 6 φαίνονται

διάφορες μορφές ενός κινητήρα εγκάρσιας ανάπτυξης της ροής, με η χωρίς υποστήριξη

σιδήρου στο δευτερεύον.

1.3 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΟΥ ΚΑΙ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ

Ας θεωρήσουμε ένα περιστροφικό κινητήρα και το ιδεατό ανάπτυγμά του με το

οποίο δημιουργείται ο αντίστοιχος ευθύγραμμος κινητήρας, όπως δείχνεται στο σχήμα

(1) που προηγήθηκε, και ας επιχειρήσουμε μια κατ' αρχή σύγκριση των δύο κινητήρων.

Δηλαδή ας συγκρίνουμε τον περιστροφικό και τον αντίστοιχο ευθύγραμμο κινητήρα, με

τις ίδιες γεωμετρικές διαστάσεις (διάκενο, πολικό βήμα, τύλιγμα, κ.λ.π.).

Υπάρχει κατ' αρχή μια διαφορά όσον αφορά τις καμπυλότητες. Δηλαδή στον

περιστροφικό κινητήρα οι καμπυλότητες πρωτεύοντος και δευτερεύοντος είναι

διαφορετικές πράγμα που από αναλυτική μαθηματική άποψη συνεπάγεται ότι

οδηγούμαστε σε λύση όρων της σειράς Bessel, ενώ στην περίπτωση του γραμμικού

15

κινητήρα η καμπυλότητα είναι μηδενική πράγμα που σημαίνει ότι οδηγούμαστε σε λύση

σειράς Fourier. Όμως η διαφορά που προκύπτει αν στον περιστροφικό κινητήρα

εφαρμόζουμε σειρές Fourier αντί Bessel είναι χωρίς μεγάλες συνέπειες γιατί το διάκενο

είναι συνήθως πολύ μικρό σε σχέση προς τη μέση διάμετρο (δρομέα και στάτη).

Έτσι, η σημαντικότερη διαφορά προέρχεται απ' τα άκρα. Πραγματικά ο

περιστροφικός κινητήρας δεν έχει άκρα, ενώ ο αναπτυγμένος ευθύγραμμος κινητήρας

έχει άκρα και από την άποψη αυτή οι δυο διατάξεις δεν είναι ισοδύναμες. Αμελώντας τα

φαινόμενα των διαφορετικών καμπυλοτήτων που αναφέρθηκαν προηγουμένως ένας

περιστροφικός κινητήρας είναι ισοδύναμος με ένα ευθύγραμμο κινητήρα απείρου μήκους

στο στάτη και στο δρομέα που επαναλαμβάνεται περιοδικά με μήκος κύματος το μήκος

της μέσης περιφέρειας στάτη και δρομέα.

Έτσι στη συνήθη περίπτωση κινητήρα με βραχύ πρωτεύον και σχετική κίνηση

μεταξύ δρομέα και στάτη, το βραχύ πρωτεύον, καθώς κινείται αφήνει πίσω του

Μαγνητική ροή, η οποία συγκεντρώνεται στο πίσω μέρος της μηχανής. Έτσι η μέση

(ενεργός) πυκνότητα μαγνητικής ροής κατανέμεται άνισα όπως φαίνεται στο σχήμα 7.

ΣΧΗΜΑ 7

Ενεργός μαγνητική ροή στο διάκενο ευθύγραμμου κινητήρα επαγωγής με βραχύ

πρωτεύον

16

Αυτό βέβαια δεν συμβαίνει στον περιστροφικό κινητήρα όπου η μέση (ενεργός)

πυκνότητα μαγνητικής ροής σε κάθε περίπτωση είναι σταθερή σ' όλο το μήκος της

περιφερείας του. Αυτή λοιπόν η άνιση κατανομή της ροής δημιουργεί τελικά τις

διαφορές στη λειτουργία των περιστροφικών με τους ευθύγραμμους κινητήρες. Τα

φαινόμενα αυτά που σχετίζονται με τα άκρα του ευθύγραμμου κινητήρα (ΕΝD

EFFECTS) και οι επιδράσεις τους στη λειτουργία του είναι ο κύριος λόγος που ο

ευθύγραμμος κινητήρας έχει τελικά πολύ χειρότερη ηλεκτρομηχανική συμπεριφορά απ'

ότι ο αντίστοιχος του περιστροφικός κινητήρας.

Στο σχ. 8 φαίνονται οι χαρακτηριστικές δύο κινητήρων επαγωγής ενός

περιστροφικού και ενός ευθύγραμμου για λειτουργία με σταθερό ρεύμα. Οι κινητήρες

είναι επαγωγικοί ασύγχρονοι με σύγχρονη ταχύτητα 150m/s για συχνότητα 50Ηz και 8

πόλους. Το δευτερεύον και για τους δύο είναι φύλλο αλουμινίου πάχους 10mm.

17

ΣΧΗΜΑ 8

α) Χαρακτηριστική ωθήσεως - ολισθήσεως για οκταπολικό ευθύγραμμο επαγωγικό

κινητήρα µε 150m/s σύγχρονη ταχύτητα στα 50Ηz, διακεκομμένη μαζί µε τη

χαρακτηριστική του αντίστοιχου περιστροφικού κινητήρα επαγωγής.

β) Ομοίως χαρακτηριστικές αποδόσεως - ολισθήσεως

γ) και χαρακτηριστικές συντελεστού ισχύος - ολισθήσεως.

Οι κυριότερες διαφορές στις χαρακτηριστικές τους είναι:

• Για το ασταθές τμήμα λειτουργίας του στο ευθύγραμμο κινητήρα υπάρχουν

τοπικά μέγιστα και ελάχιστα τα οποία δεν υπάρχουν βέβαια στον περιστροφικό

κινητήρα.

• Η μέγιστη ροπή, ο μέγιστος βαθμός αποδόσεως και ο μέγιστος συντελεστής

ισχύος του ευθύγραμμου κινητήρα είναι αισθητά ελαττωμένοι σε σχέση με τον

18

περιστροφικό κινητήρα και επιτυγχάνονται σε σχετικά μεγαλύτερες τιμές ολίσθησης

δηλαδή για μικρότερες ταχύτητες.

• Για μηδενική ολίσθηση η δύναμη ώθησης είναι εν γένει διάφορη του μηδενός,

ενώ στον περιστροφικό κινητήρα είναι πάντοτε μηδέν.

• Τέλος για ολίσθηση ίση προς τη μονάδα (δηλαδή για ακίνητο πρωτεύον σε σχέση

με το δευτερεύον) οι δύο δυνάμεις είναι περίπου ίσες.

Σαν τελικό γενικό συμπέρασμα μπορούμε να πούμε ότι η συμπεριφορά του

γραμμικού κινητήρα είναι χειρότερη απ' τη συμπεριφορά του περιστροφικού κινητήρα

και ως προς τη δύναμη ωθήσεως και ως προς την απόδοση και ως προς το συντελεστή

ισχύος. Αυτό ήταν ένας από τους βασικούς λόγους που μέχρι τώρα οι εφαρμογές των

ευθύγραμμων κινητήρων είναι σχετικά περιορισμένες. Όλη λοιπόν η σχετική θεωρητική

και πειραματική προσπάθεια έχει συγκεντρωθεί στη μελέτη και στην ανεύρεση τρόπων

εξουδετέρωσης αυτών των φαινόμενων των άκρων και των δυσμενών τους επιδράσεων

στην απόδοση του ευθύγραμμου κινητήρα.

Ένα βασικό ποιοτικό χαρακτηριστικό της λειτουργίας ενός οποιουδήποτε κινητήρα

είναι ο βαθμός ποιότητας (Goodness factor) G ο οποίος καλείται και μαγνητικός αριθμός

Reynolods. Ο αριθμός αυτός είναι ένα αδιάστατο μέγεθος και δίνεται από τη σχέση : 2

0 s dGd g

σ μ υω

⋅ ⋅= ⋅

+ (1)

Όπου:

μο= μαγνητική διαπερατότητα του κενού

d= πάχος δευτερεύοντος

σ= η αγωγιμότητα του δευτερεύοντος

g= απόσταση μεταξύ σιδήρου πρωτεύοντος και δευτερεύοντος (gap)

υs= σύγχρονη ταχύτητα

ω= κυκλική συχνότητα διέγερσης

Οποιαδήποτε ηλεκτρομαγνητική μηχανή για να έχει μια σχετικά ικανοποιητική

λειτουργική συμπεριφορά πρέπει να έχει βαθμό ποιότητας G που να υπερβαίνει

τουλάχιστον τον αριθμό 20.

19

1.4 ΜΕΘΟΔΟΙ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

Μπορούμε να διακρίνουμε δύο ειδών φαινόμενα σ' ένα γραμμικό κινητήρα,

φαινόμενα μόνιμα και φαινόμενα μεταβατικά. Η μελέτη των μεταβατικών φαινομένων

είναι, όπως και στους περιστροφικούς κινητήρες δυσκολότερη υπόθεση. Τέτοια

μεταβατικά φαινόμενα δημιουργούνται σε δύο περιπτώσεις:

α) Όταν οι εφαρμοζόμενες τάσεις ή ρεύματα είναι μεταβατικά.

β) Όταν η κίνηση συνεπάγεται μεταβολή στις ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες του

χώρου που αναπτύσσεται το πεδίο του κινητήρα.

Η πρώτη περίπτωση είναι μάλλον προφανής ενώ η δεύτερη σημαίνει ότι όταν ο

δρομέας που κινείται δεν έχει άπειρο μήκος κατά τη διεύθυνση της μετακίνησης, ή

ομοιόμορφες ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες, εμφανίζονται γενικά μεταβατικά φαινόμενα,

που μόνο σε μερικές περιπτώσεις με κάποια περιοδικότητα μπορούν να μελετηθούν σαν

μόνιμα φαινόμενα κατά προσέγγιση.

Αν μείνουμε τώρα στην περιοχή των μονίμων φαινομένων μπορούμε να πούμε ότι

γενικά για την μελέτη τους χρησιμοποιούνται οι πιο κάτω μέθοδοι:

α) Αριθμητικές μέθοδοι :

• με πεπερασμένες διαφορές ή

• με πεπερασμένα στοιχεία.

β) Ημιαναλυτικές μέθοδοι :

• Απευθείας ολοκλήρωση των μερικών διαφορικών εξισώσεων Maxwell

στο διάκενο του κινητήρα.

• Χρήση σειρών Fourier για την ολοκλήρωση των εξισώσεων Maxwell

(βρίσκει εφαρμογή στη μελέτη των περιστροφικών μηχανών).

• Χρήση Μ/μού Fourier για την επίλυση των εξισώσεων Maxwell.

(βρίσκει εφαρμογή στη μελέτη των περιστροφικών μηχανών).

Η μέθοδος των Μετασχηματισμών Fourier όπως θα φανεί στην συνέχεια,

συνδυαζόμενη με τις ιδιότητες των Μετασχηματισμών του Fourier μπορεί να επεκταθεί

έτσι ώστε, ο υπολογιστής να χρησιμοποιείται απ’ ευθείας για τον αριθμητικό

υπολογισμό των ολοκληρωμάτων στο χώρο Fourier, που εκφράζουν τις δυνάμεις ώθησης

και ανάρτησης και την πραγματική και άεργο ισχύ. Την μέθοδο αυτή θα

20

χρησιμοποιήσουμε για την μελέτη των ευθύγραμμων κινητήρων και θ' αναπτύξουμε

αναλυτικά στη συνέχεια του παρόντος βιβλίου.

Η μέθοδος των μετασχηματισμών Fourier θα χρησιμοποιηθεί κατ’ αρχήν για την

κατά προσέγγιση διδιάστατη μελέτη των ευθύγραμμων κινητήρων. Η πλήρης

τρισδιάστατη μελέτη των ευθύγραμμων κινητήρων θα χρησιμοποιηθεί μόνον σε ειδικές

περιπτώσεις επειδή είναι αρκετά πολύπλοκη και αφού μπορούμε με τη βοήθεια

διαφόρων υποθέσεων και διορθωτικών συντελεστών θα ανάγουμε τα τρισδιάστατα

μοντέλα σε διδιάστατα μοντέλα μελέτης.

Τα κυριότερα προβλήματα, πού προέρχονται απ' την πραγματική ανάπτυξη του

ευθύγραμμου κινητήρα στις τρεις διαστάσεις, δημιουργούνται απ' τα ρεύματα

επιστροφής που υπάρχουν τόσο στο στάτη όσο και στο δρομέα (βλέπε σχ. 5β). Τα

ρεύματα αυτά δημιουργούν απώλειες και μαγνητική ροή σκεδάσεως που γενικά

επηρεάζει τη συμπεριφορά του κινητήρα. Τα φαινόμενα αυτά λέγονται φαινόμενα των

εγκαρσίων άκρων (Transverse edge effects). Κατά προσέγγιση για το δευτερεύον τα

φαινόμενα αυτά μπορούν να εξομοιωθούν από ένα συντελεστή διορθώσεως στην

απόδοση του κινητήρα. Δηλαδή θεωρούμε ότι στο δευτερεύον δημιουργούνται

πρόσθετες απώλειες οι οποίες δεν υπολογίζονται με το διδιάστατο μοντέλο. Η μαγνητική

ροή σκεδάσεως που οφείλεται στα εγκάρσια άκρα συνήθως υπολογίζεται με αντίστοιχο

διορθωτικό συντελεστή, ως ποσοστό της συνολικής μαγνητικής ροής του ευθύγραμμου

κινητήρα.

Οι αύλακες και οι οδοντώσεις στο πρωτεύον ή στο δευτερεύον δημιουργούν μια

άλλη ομάδα προβλημάτων που μπορούν, στην περίπτωση συνηθισμένων τυλιγμάτων στο

πρωτεύον, να εξομοιωθούν με μια αύξηση στο μήκος του διακένου του αέρα, μεταξύ

δρομέα και στάτη. Ο συντελεστής διορθώσεως ονομάζεται συντελεστής του Carter.

Η μαγνητική ροή σκεδάσεως που οφείλεται στη μαγνητική ροή που είναι

παγιδευμένη μέσα στους αύλακες συνήθως υπολογίζεται και αυτή ως ποσοστό της

συνολικής μαγνητικής ροής του ευθύγραμμου κινητήρα.

Το περιορισμένο πλάτος του σιδήρου στο πρωτεύον δεν θεωρείται γενικά ότι έχει

σημαντικές επιδράσεις. Ομοίως και οι επιδράσεις των ρευμάτων των τυλιγμάτων

εγκάρσιας επιστροφής (end windings), μπορούν να θεωρηθούν αμελητέες για την

περίπτωση μελέτης υπό σταθερό ρεύμα. Στην περίπτωση σταθερής τάσης αυξάνονται οι

ωμικές απώλειες του πρωτεύοντος και μειώνεται η απόδοση του κινητήρα. Η μαγνητική

ροή σκεδάσεως που οφείλεται στα εγκάρσια άκρα του πρωτεύοντος συνήθως

21

υπολογίζεται και αυτή ως ποσοστό της συνολικής μαγνητικής ροής του ευθύγραμμου

κινητήρα.

Τέλος σημειώνουμε ότι στην περίπτωση αναλυτικής μελέτης θεωρείται ότι ο

σίδηρος κατά μήκος του πρωτεύοντος έχει άπειρο μήκος, στην πραγματικότητα βεβαίως

αυτός έχει πεπερασμένο μήκος, δηλαδή εκτείνεται μόνον κάτω απ' το πρωτεύον τύλιγμα

Αυτό έχει σαν συνέπεια κάποια μεγέθη όπως λ.χ. η άεργος ισχύς, η κάθετος στην κίνηση

δύναμη κτλ. να εμφανίζονται αυξημένα σε σχέση με τις πραγματικές τους τιμές.

Η μελέτη του ευθύγραμμου κινητήρα με σταθερή τάση, μπορεί να γίνει

θεωρούμενη σαν υπέρθεση της λειτουργίας με σταθερό ρεύμα και των φαινομένων της

πτώσης τάσης λόγω απωλειών στο τύλιγμα πρωτεύοντος και από την σκέδαση στους

αύλακες του πρωτεύοντος και δευτερεύοντος και στα τυλίγματα επιστροφής του

πρωτεύοντος και δευτερεύοντος, όπως θα δούμε στη συνέχεια.

1.5 ΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ

Σ’ ένα περιστροφικό κινητήρα βασικά ενδιαφερόμαστε για τη ροπή περιστροφής

του δρομέα, που αντιστοιχεί στον ευθύγραμμο κινητήρα, στη δύναμη πρόωσης. Το

πρόβλημα του αν υπάρχουν και άλλες δυνάμεις παρέμεινε τελείως θεωρητικού

ενδιαφέροντος για τον περιστροφικό κινητήρα αφού η συμμετρική τοποθέτηση του

δρομέα ως προς το στάτη εξισορροπεί τις ακτινικές δυνάμεις και μηδενίζει τις αξονικές.

Έτσι μένουν μόνο οι περιφερειακές δυνάμεις που δημιουργούν και τη ροπή

περιστροφής που ονομάζεται δύναμη ώθησης και συμβολίζεται με Τ (Thrust). Σ’ ένα

ευθύγραμμο κινητήρα όμως κατ' αρχήν δεν εξισορροπούνται οι "ακτινικές" δυνάμεις οι

οποίες, με την ανάπτυξη του περιστροφικού κινητήρα σε ευθύγραμμο, γίνονται όλες συν

παράλληλες. Η συνολική αυτή δύναμη είναι ή απωστική (θετική) ή ελκτική (αρνητική)

και ονομάζεται δύναμη ανάρτησης και συμβολίζεται με L (Lift).

Μπορούμε να πούμε ότι γενικά και για όλα τα είδη ευθυγράμμων κινητήρων θα

ισχύουν τα εξής όσον αφορά την δύναμη ανάρτησης :

Υπάρχουν γενικά δύο αντίθετες δυνάμεις σ' όλα τα είδη των ευθύγραμμων

κινητήρων:

• Ελκτική δύναμη μεταξύ στάτη και δρομέα, κυρίως σαν αποτέλεσμα της ύπαρξης

σιδήρου στο πρωτεύον και στο δευτερεύον. Η έλξη μεταξύ τους πηγάζει απ' τη γενική

22

αρχή ότι σε κάθε περίπτωση και σε κάθε μαγνητικό κύκλωμα η μαγνητική ροή στο

διάκενο τείνει να αυξηθεί και το διάκενο να ελαττωθεί.

• Απωστική δύναμη μεταξύ στάτη και δρομέα σαν αποτέλεσμα της ύπαρξης

αγώγιμου τμήματος στο δρομέα στον οποίο δημιουργούνται ρεύματα εξ' απαγωγής

αντιθέτου φοράς προς τα ρεύματα του στάτη. Η αλληλεπίδραση αυτών των ρευμάτων

είναι πάντοτε, απωστική λόγω του κανόνα του Lentz,.

Οι δύο αυτές δυνάμεις ανά μονάδα επιφανείας εκφράζονται ποσοτικά συναρτήσει

της καθέτου (Hn) και της εφαπτομενικής (Ht) συνιστώσας της μαγνητικής εντάσεως ως

εξής:

2

2

/

12 nm

Fελκτικη

μ= ⋅ ⋅ Η

2

2

/

12 tm

Fαπωστικη

μ= ⋅ ⋅ Η

Αυτές οι δυνάμεις προκύπτουν απ' την κάθετη συνιστώσα σε επίπεδη επιφάνεια του

τανυστού μαγνητικής καταπόνησης του Maxwell, όπως θα δούμε στην συνέχεια.

Άρα στους ευθύγραμμους κινητήρες χωρίς υποστήριξη σιδήρου στο δευτερεύον θα

υπερισχύει η απωστική δύναμη, ενώ στους ευθύγραμμους κινητήρες χωρίς αγωγούς αλλά

μόνο με σίδηρο στο δευτερεύον θα υπάρχει μόνον ελκτική δύναμη. Στους κινητήρες με

αγώγιμο δευτερεύον και υποστήριξη το πρόσημο της δύναμης εξαρτάται γενικά απ' τα

χαρακτηριστικά του ευθύγραμμου κινητήρα, αλλά και από την ολίσθηση. Στο σχήμα (9)

φαίνεται η κάθετη δύναμη σαν συνάρτηση της ολισθήσεως σ’ ένα ευθύγραμμο

επαγωγικό κινητήρα για διάφορες συχνότητες λειτουργίας. Αυτή η κάθετη δύναμη

μπορεί να αξιοποιηθεί σ’ ένα ευθύγραμμο κινητήρα υποβοηθώντας την δύναμη

ανάρτησης λ.χ.

23

ΣΧΗΜΑ 9

Η ώθηση και η κάθετη δύναμη σαν συνάρτηση της ολίσθησης για ευθύγραμμο επαγωγικό

κινητήρα για τετραπολικό και οκταπολικό ευθύγραμμα κινητήρα, της ίδιας σύγχρονης

ταχύτητας.

Εκτός από την δύναμη ανάρτησης υπάρχουν και οι εγκάρσιες .δυνάμεις (που

αντιστοιχούν στις αξονικές δυνάμεις των περιστροφικών). Οι εγκάρσιες δυνάμεις είναι

βέβαια μηδέν αν ο στάτης έχει μία συμμετρική θέση σε σχέση με το δρομέα. Δηλαδή

εγκάρσια δύναμη εμφανίζεται όταν το κέντρο του δρομέα απομακρύνεται πλαγίως απ' το

κέντρο του στάτη. Το πρόβλημα που παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι κατά πόσο αυτή η

δύναμη είναι αρνητική (που είναι επιθυμητό), δηλαδή τείνει να επαναφέρει τους άξονες

των τυλιγμάτων σε ευθυγράμμιση, ή είναι θετική που αποσταθεροποιεί το σύστημα. Στη

δεύτερη περίπτωση χρειάζεται οπωσδήποτε οδήγηση γιατί το σύστημα βρίσκεται σε

ασταθή ισορροπία.

Σαν γενικό κανόνα μπορούμε να διατυπώσουμε ότι ένα άρτιο πλήθος παραλλήλων

επαγωγικών ευθυγράμμων κινητήρων, εν γένει έχει ευσταθή συμπεριφορά όταν δρα

βέβαια στο αυτό δευτερεύον, ενώ το περιττό πλήθος (άρα και ένας απλός κινητήρας

μόνον) έχε ι ασταθή συμπεριφορά ως προς τις εγκάρσιες δυνάμεις.

24

Εκτός απ' αυτές τις δυνάμεις που συμβολίζονται συνήθως στο σύστημα ανάρτησης

με Fy, ενδιαφέρουν και οι τρεις ροπές που δημιουργούνται κατά την περιστροφή περί

τους τρεις κύριους άξονες. Δηλαδή οι ροπές περιστροφής ως προς τον άξονα στη

διεύθυνση της κίνησης Μx, το εγκάρσιο άξονα My και τον κάθετο άξονα Mz (Roll, Pitch

and Yaw monents). Η μελέτη των ροπών υπερβαίνει τα όρια του παρόντος

συγγράμματος, μπορούν όμως να μελετηθούν με παρόμοιο τρόπο με τις δυνάμεις με τη

χρήση χωρικών Μετασχηματισμών Fourier.

1.6 ΚΥΡΙΑ ΥΛΙΚΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

Τα κύρια υλικά που χρησιμοποιούνται στους Ηλεκτρομαγνητικούς

ευθύγραμμους κινητήρες πρόωσης ή ανάρτησης είναι τα παρακάτω:

• Αλουμίνιο (Αl)

• Χαλκός (Cu)

• Σίδηρος (Fe) (χάλυβας ή φύλλα μαλακού σιδήρου).

Οι τιμές της αγωγιμότητας (σ) των υλικών αυτών σε καθαρή μορφή είναι

αντίστοιχα :

Αλουμίνιο = 3,6·107 S/m, Χαλκός = 5,8·107 S/m, Χάλυβας ≅ 106 S/m ( 1 S=1 Ω-1)

Οι τιμές της σχετικής μαγνητικής διαπερατότητας (μr) είναι αντίστοιχα:

Αλουμίνιο = 1 Χαλκός = 1 Χάλυβας ≅ 100-1000

Σε συναφείς εφαρμογές εμφανίζονται και άλλα υλικά όπως:

• Το μεταλλικό υγρό NaK που χρησιμοποιείται στις αντλίες υγρών μετάλλων

(22% Na, 78% K) έχει αγωγιμότητα 2,46·106 S/m,

• Τέλος το θαλασσινό νερό έχει μέση αγωγιμότητα πολύ μικρή της τάξης των 5.0

S/m.

Για τον λόγο αυτό η ηλεκτρομαγνητική πρόωση με ευθύγραμμους επαγωγικούς

κινητήρες όπου το δευτερεύον είναι το θαλασσινό νερό είναι όπως θα δούμε

προβληματική.

25

1.7 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΝΑΡΤΗΣΗ

Η δυνατότητα μεταφοράς της ωστικής δύναμης από τους τροχούς σε ένα γραμμικό

κινητήρα επιτρέπει τη σχεδίαση της ανάρτησης σαν ανεξάρτητο σύστημα από τους

τροχούς. Αν υπάρχουν τροχοί, στην περίπτωση χρήσης συστήματος ηλεκτρομαγνητικής

ανάρτησης, θα έχουν βοηθητικό χαρακτήρα ή θα χρησιμεύουν για την οδήγηση όταν κι'

αυτή δεν εξασφαλίζει από ηλεκτρομαγνητικό σύστημα οδήγησης.

Τα συστήματα ηλεκτρομαγνητικής ανάρτησης διαιρούνται σε στατικά και

δυναμικά συστήματα. Στο επικρατέστερο απ' τα στατικά συστήματα οι δυνάμεις

αναρτήσεως του κινουμένου προς το ακίνητο μέρος εξασφαλίζονται απ' την αμοιβαία

άπωση μονίμων μαγνητών κατάλληλα διατεταγμένων. Οι μόνιμοι αυτοί μαγνήτες μπορεί

να είναι λ.χ. μαγνητικά τούβλα με κατάλληλη σύνθεση που και τη μαγνήτιση διατηρούν

και η μη αγωγιμότητά τους ελαχιστοποιεί τις απώλειες δινορευμάτων. Εν τούτοις τα

στατικά συστήματα αποδείχτηκαν ακατάλληλα για τις σχετικά μεγάλες διαστάσεις ενός

πραγματικού οχήματος, μολονότι η συμπεριφορά τους στα μικρά μοντέλα όπου αρχικά

δοκιμάστηκαν ήταν αρκετά ικανοποιητική.

Έτσι η επικρατούσα ηλεκτρομαγνητική ανάρτηση σήμερα είναι η δυναμική.

Υπάρχουν βασικά δύο διακεκριμένα συστήματα δυναμικής ηλεκτρομαγνητικής

ανάρτησης, το ελκτικό σύστημα και το ηλεκτροδυναμικό απωστικό σύστημα.

α) Ελκτικό σύστημα

Το σύστημα αυτό χρησιμοποιεί την ελκτική δύναμη μεταξύ ηλεκτρομαγνητικών

διατάξεων τοποθετημένων στη κινούμενη και αναρτημένη διάταξη και του ακίνητου

οπλισμού του. Αυτός ο οπλισμός είναι συνήθως μια σιδηροδοκός που εκτείνεται σ' όλο

το μήκος της διαδρομής του κινητού μέρους.

Η ελκτική δύναμη πρέπει να ελέγχεται από ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου µέσω

του ρεύματος της πηγής που το τροφοδοτεί ώστε το διάκενο μεταξύ ηλεκτρομαγνήτη και

οπλισμού να παραμείνει σταθερό (βλ. σχ. 10) γιατί το σύστημα είναι ασταθές.

26

ΣΧΗΜΑ 10. Ελκτικό σύστημα μαγνητικής ανάρτησης

β) Το ηλεκτροδυναμικό απωστικό σύστημα

Το σύστημα αυτό χρησιμοποιεί συνήθως την απωστική δύναμη μεταξύ ενός ταχέως

κινούμενου υπεραγώγιμου πηνίου που διαρρέεται από αρκετές χιλιάδες Αµπέρ (χωρίς

βέβαια απώλειες) και ενός αγώγιμου φύλλου που εκτείνεται σ' όλο το μήκος της

διαδρομής. Βεβαίως στο σύστημα αυτό δημιουργείται εκτός απ' την άπωση και δύναμη

ανασχέσεως της κίνησης καθώς και πλάγια δύναμη όταν υπάρξει εγκάρσια απομάκρυνση

των αξόνων στάτη και δρομέα.

Έτσι το απωστικό αυτό σύστημα είναι αφ' ενός περισσότερο ενεργοβόρο σε σχέση

µε το προηγούμενο ελκτικό σύστημα, αφ' ετέρου μπορεί να παρουσιάζει αστάθεια στις

εγκάρσιες μετατοπίσεις. Στο σχήμα 11 φαίνεται η συμπεριφορά ενός απωστικού

συστήματος. Σε μικρές ταχύτητες η άπωση (ή καλύτερα ο λόγος άπωση/ανάσχεση) είναι

σχετικά μικρός,

27

ΣΧΗΜΑ 11 Δυνάμεις ανάρτησης και ανάσχεσης συναρτήσει της ταχύτητας για απωστικό σύστημα

ηλεκτρομαγνητικής ανάρτησης με υπεραγωγούς μαγνήτες (500 ΚΑ) σε ύψος 22cm από φύλλα αλουμινίου

πάχους 1cm.

πράγμα που σημαίνει ότι για μικρές ταχύτητες επιβάλλεται η χρήση τροχών για την

ανάρτηση. Όταν όμως η ταχύτητα υπερβεί κάποια τιμή, αυξάνει σημαντικά η δράση των

δυνάμεων του απωστικού συστήματος ανάρτησης επιφέροντας την ηλεκτρομαγνητική

"απογείωση" του οχήματος. Για μεγάλες ταχύτητες που κατά προσέγγιση για τα

ηλεκτροδυναμικά συστήματα ανάρτησης μπορεί να αποδειχτεί ότι ο λόγος της δύναμης

ανάρτησης προς την δύναμη ανάσχεσης δίδεται απ’ την σχέση

0 2L dD

μ σ υ= ⋅ ⋅ ⋅ (2)

Όπου : -70 μ =4π×10 sec/V A m⋅ ⋅

σ = αγωγιμότητα του δευτερεύοντος σε S/m d = πάχος δευτερεύοντος σε m υ = ταχύτητα πρωτεύοντος-δευτερεύοντος σε m/sec

Η πλάγια αστάθεια μπορεί να εξουδετερωθεί με πλάγια απωστικά συστήματα

οδήγησης. Το μεγάλο πλεονέκτημα του απωστικού σε σχέση με το ελκτικό σύστημα

βρίσκεται στο ότι τα διάκενα για τα οποία εργάζεται το απωστικό σύστημα είναι πολύ

μεγαλύτερα απ' τα διάκενα του ελκτικού συστήματος π.χ. της τάξεως των 10 έως 20cm

σε σύγκριση με 1cm έως 2cm του ελκτικού.

28

Το πλεονέκτημα αυτό βέβαια είναι κρίσιμο γιατί είναι δύσκολη σε πραγματικά

οχήματα και σε πολύ μεγάλες ταχύτητες τα μικρά διάκενα του ελκτικού συστήματος να

παρέχουν την αναγκαία ασφάλεια κατά την κίνηση. Άλλο πλεονέκτημα του απωστικoύ

σε σχέση με το ελκτικό είναι ότι το απωστικό είναι σύστημα φυσικά αυτορρυθμιζόμενο

(ευσταθές) ενώ το ελκτικό εξαρτάται από ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου του ρεύματος

τροφοδοσίας των ηλεκτρομαγνητών του.

Η συντήρηση των υπεραγώγιμων μαγνητών στη χαμηλή θερμοκρασία (υγρού

αζώτου) είναι δαπανηρή όπως και το σύστημα αυτομάτου ελέγχου, του ελκτικού

συστήματος. Το σημαντικότερο μειονέκτημα του απωστικού συστήματος είναί ότι δεν

υπάρχει δυνατότητα αποσβέσεως των ταλαντώσεων που μπορεί να εμφανιστούν. Γι' αυτό

λ.χ. η Siemens η οποία συστηματικά μελέτησε και τα δυο συστήματα εγκατέλειψε το

απωστικό σύστημα και ανέπτυξε, για το ηλεκτρομαγνητικά, ωθούμενο και αναρτώμενο

πρότυπo τραίνο της (σύστημα Transrapid), το ελκτικό σύστημα.

Όπως βλέπουμε λοιπόν και τα δυο συστήματα έχουν αρκετά πλεονεκτήματα ή

μειονεκτήματα στη μεταξύ τους σύγκριση. Κατά τη γνώμη μου για συστήματα που η

ταχύτητά τους δεν θα υπερβαίνει τα 500 km/h, (δηλαδή για τρένα, Intercity κ.λ.π.) το

ελκτικό σύστημα κατ' αρχήν φαίνεται επικρατέστερο, γι' αυτό άλλωστε οι Γερμανοί και

Ιάπωνες ασχολούνται κύρια με το σύστημα αυτό για να μπορέσουν να το

χρησιμοποιήσουν στα Intercity τραίνα τους. Ενώ για συστήματα που η ταχύτητά τους

υπερβαίνει τα 500km/h (όπως τα γεωπλάνα) είναι πιθανόν να επικρατήσει το απωστικό

σύστημα. Βλέπε σχ. (12). Βέβαια γι' αυτές τις ταχύτητες δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι μια

και η πρόσφυση των τροχών δεν χρειάζεται αφού θα γίνεται χρήση ευθύγραμμων

κινητήρων.

29

ΣΧΗΜΑ 12: Σχηματική διάταξη που δείχνει το συστήματα ανάρτησης και κίνησης του τρένου με

ηλεκτρομαγνητική ώθηση και aπωστική ανάρτηση (MAGLEV).

1.8 ΟΙ ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΚΙΝΗΤΉΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΗΛΕΚΤΡΟΚΙΝΗΣΗ

Στην παράγραφο αυτή θα επιχειρήσουμε μια συγκριτική παρουσίαση των

ηλεκτρικών ευθυγράμμων κινητήρων για την ηλεκτρική πρόωση όπου είναι και η

κυριότερη εφαρμογή τους.

Κατ' αρχήν πρέπει να πούμε ότι οι οικονομικότεροι και λιγότερο προβληματικοί

ευθύγραμμοι κινητήρες για την ηλεκτροκίνηση είναι οι κινητήρες μιας όψης, συνήθως με

υποστήριξη σιδήρου στο δευτερεύον και με βραχύ κινητό πρωτεύον. Ο κινητήρας με δυο

όψεις, όπου χρησιμοποιήθηκε σε πειράματα με βαγόνια πραγματικών διαστάσεων,

δημιούργησε δυσεπίλυτα προβλήματα, π.χ. λόγω της δημιουργουμένης κύρτωσης στο

αγώγιμο φύλλο του δευτερεύοντος από θερμοκρασιακές μεταβολές, κ.α.

Επίσης το βραχύ πρωτεύον (τουλάχιστον για τους ευθύγραμμους κινητήρες

επαγωγής) προτιμήθηκε κατ' αρχήν, γιατί αφ' ενός το μακρύ πρωτεύον είναι μια πολύ

ακριβότερη λύση (το πρωτεύον αναπτύσσεται σε όλο το μήκος της διαδρομής), αφ'

ετέρου η αυτεπαγωγή αυτού του πρωτεύοντος είναι τόσο μεγάλη ώστε ο συντελεστής

ισχύος της διάταξης θα ήταν απαράδεκτα χαμηλός. Για το λόγο αυτό,σε περίπτωση

χρήσης πρωτεύοντος μεγάλου μήκους, η τροφοδοσία του γίνεται κατά τμήματα, δηλαδή

με την ενεργοποίηση του πρωτεύοντος μόνο σ' ένα σχετικά μικρό τμήμα απ' όπου

διέρχεται το ηλεκτροκίνητο όχημα.

30

Ο πρώτος και σημαντικότερος υποψήφιος ευθύγραμμος κινητήρας για εφαρμογή

στην ηλεκτρομαγνητική πρόωση, είναι ο ευθύγραμμος κινητήρας επαγωγής. Είναι ίσως

η φθηνότερη και απλούστερη λύση και μάλιστα μπορεί να χρησιμοποιηθεί με

οποιοδήποτε αγώγιμο δευτερεύον (Αλουμινίου, Χαλκού ή ακόμη και Χάλυβα). Η.

επικρατέστερη μορφή είναι ο ευθύγραμμος επαγωγικός κινητήρας απλής όψεως με

βραχύ πρωτεύον και με δευτερεύον ένα αγώγιμο φύλλο από σκληρό κράμα αλουμινίου.

Το μεγαλύτερο μειονέκτημα του επαγωγικού κινητήρα είναι το χαμηλό γινόμενο

(η×cosφ ) (δηλαδή βαθμός απόδοσης Χ τον συντελεστή ισχύος) που στην καλύτερη

περίπτωση για πολύ καλή σχεδίαση σε κανονικές συνθήκες λειτουργίας μπορεί να

υπερβεί και το 0.75. Για σύγκριση αναφέρουμε ότι στους περιστροφικούς κινητήρες

επαγωγής αυτό το γινόμενο συνήθως είναι πάνω από 0.80. Βεβαίως η χρήση ενός

ακριβότερου δευτερεύοντος, που θα είναι ένα τύλιγμα (ή χυτό αλουμίνιο) στους αύλακες

του σιδήρου υποστηρίξεως, μπορεί να δώσει καλύτερα αποτελέσματα.

Ένας άλλος σημαντικός ευθύγραμμος κινητήρας είναι ο σύγχρονος κινητήρας με

μακρύ πρωτεύον, όπου το τριφασικό τύλιγμα του εκτείνεται σε όλο το μήκος της

διαδρομής. Ο κινητήρας αυτός είναι βέβαια ακριβότερη λύση απ' τον ευθύγραμμο

επαγωγικό κινητήρα με βραχύ πρωτεύον. Είναι δυνατόν όμως τόσο ο βαθμός αποδόσεως

του να βελτιωθεί όσο και ο συντελεστής ισχύος του να γίνει ίσος με τη μονάδα. Αυτά σε

σχέση με τον επαγωγικό κινητήρα αποτελούν πολύ σημαντικά πλεονεκτήματα.

Στην ακριβότερη λύση όπου θα χρησιμοποιηθεί ευθύγραμμος κινητήρας με μακρύ

πρωτεύον κατά μήκος της τροχιάς κινήσεως, μπορούμε να ξεχωρίσουμε δυο κύρια

συστήματα που έχουν προταθεί για τα υπερ-ταχέα τρένων ( με ταχύτητες έως 500km/h).

Με τις ταχύτητες που επιτυγχάνονται απ’ τα συστήματα αυτά μπορούν να θεωρηθούν ως

εναλλακτική πρόταση του αεροπλάνου, για διαδρομές έως 1000km, από άποψη

συνολικού χρόνου μεταφοράς κλπ.

Πρόκειται για τα συστήματα με ηλεκτροκίνητα οχήματα αναρτημένα με ένα

ηλεκτροδυναμικό απωστικό σύστημα από υπεραγώγιμους μαγνήτες ή με ένα

ηλεκτροδυναμικό ελκτικό σύστημα . Ο ευθύγραμμος κινητήρας ωθήσεως θα είναι ένας

σύγχρονος κινητήρας με μακρύ πρωτεύον, ενώ το βραχύ δευτερεύον θα είναι ή ένα

σύνολο από ισχυρότατους υπεραγώγιμoυς ηλεκτρομαγνήτες είτε ένα τύλιγμα συνεχούς

σε αύλακες μαλακού σιδήρου, αναρτημένα στο κινούμενο όχημα. Η τροφοδοσία του

πρωτεύoντoς γίνεται από ενδιάμεσους σταθμός (Α.C. προς Α.C. μετατροπείς inverters)

31

που βρίσκονται κατά μήκος της διαδρομής κάθε 1 έως 2 km, ανάλογα με την

απαιτούμενη ταχύτητα του κινουμένου οχήματος σ' αυτό το τμήμα της γραμμής.

Στο σχήμα 13 που ακολουθεί επεξηγείται η λειτουργία του συστήματος

συγχρονισμού, προς τις απαιτήσεις εντάσεως ρεύματος και φασικής διαφοράς, για την

επίτευξη της επιδιωκόμενης δυνάμεως και ταχύτητας .

ΣΧΗΜΑ 13: Συγχρονισμός στο υπεραγώγιμο σύστημα MAGLEV.

Το σύστημα Transrapid π.χ. χρησιμοποιεί τύλιγμα συνεχούς σε αύλακες μαλακού

σιδήρου που τροφοδοτείται από μπαταρίες επί του οχήματος. Οι μπαταρίες αυτές

φορτίζονται από ευθύγραμμη επαγωγική γεννήτρια της οποίας το πρωτεύον βρίσκεται

επί του οχήματος Στην περίπτωση των υπεραγώγιμων μαγνητών δεν απαιτείται σίδηρος

ούτε στο πρωτεύον και το διάκενο πρωτεύοντος-δευτερεύοντος μπορεί ν’ αυξηθεί

σημαντικά.

32

1.9 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΚΙΝΗΣΗΣ ΜΕ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΑΝΑΡΤΗΣΗ (MAGNETIC LEVITATION SYSTEMS ή MAGLEVS)

Όπως ήδη αναφέραμε οι ευθύγραμμοι κινητήρες συνδυαζόμενοι με τα συστήματα

ηλεκτρομαγνητικής ανάρτησης (MAGLEV SYTEMS) αποτελούν την καλύτερη επιλογή

για τα συστήματα μεταφοράς για υψηλές ταχύτητες. Βεβαίως καθώς οι απώλειες από την

αεραντίσταση αυξάνουν με τον κύβο της ταχύτητας δεν μπορούμε να υπολογίζουμε

τρένα στον αέρα για ταχύτητες μεγαλύτερες από 400-500km/h. Ενώ οι ενδιάμεσοι

σταθμοί επιβίβασης - αποβίβασης θα πρέπει ν' απέχουν τουλάχιστον 100km.

Για λόγους σύγκρισης με τα συμβατικά τραίνα μπορούν να αναφερθούν τα

παρακάτω:

- Ένα σύστημα MAGLEV θα καταναλίσκει περίπου 300Wh/επιβάτη/ χιλιόμετρο

(για μέση ταχύτητα 300km/h).

- Ένα συμβατικό ηλεκτροκίνητο τρένο 160Wh/επιβατοχιλιόμερο (για μέση

ταχύτητα 250km/h).

- Ένα κοινό επιβατικό τετραθέσιο αυτοκίνητο για ταχύτητα 130km/h ξοδεύει

350Wh/επιβατοχιλιόμετρο.

- Και ένα αεροπλάνο 400-600Wh/επιβατοχιλιομετρο για ταχύτητες 900km/h. Ας

σημειωθεί όμως ότι τα ενεργειακά λειτουργικά έξοδα δεν θα υπερβαίνουν το 10% του

κόστους λειτουργίας για το MAGLEV.

- Το MAGLEV χρησιμοποιώντας ηλεκτρική ενέργεια δεν εξαρτάται από υγρά

καύσιμα (πετρέλαιο).

- Το MAGLEV κινείται χωρίς τις ανεπιθύμητες ταλαντώσεις που δημιουργούν οι

τροχοί σε υψηλές ταχύτητες.

- Το MAGLEV κινείται σχεδόν αθόρυβα με μόνο τον ήχο του οχήματος που

διασχίζει τον αέρα.

- Η συντήρησή του είναι πολύ εύκολη και γίνεται σε αραιά διαστήματα αφού το

μόνο κινητό τμήμα είναι το ίδιο το όχημα και η τροχιά δεν φθείρεται αφού δεν έρχεται σε

επαφή μαζί της.

- Το φορτίο του τρένου κατανέμεται ομοιόμορφα εξαιτίας της ανάρτησης με

ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις, έτσι το σύστημα γίνεται πολύ ελαφρότερο απ' ότι υπάρχει

στην περίπτωση στήριξης σε τροχούς.

33

- Η ακτίνα στροφής μπορεί να γίνει μικρότερη (ευκολότερη δηλαδή χάραξη

τροχιάς) επειδή στις στροφές δεν βασιζόμαστε στην πρόσφυση των τροχιών, φθάνοντας

τα 2,5km.

- Η πέδηση συνδυασμός ηλεκτρομαγνητικής και μηχανικής είναι ταχύτερη,

ασφαλέστερη και με δυνατότητες αναγέννησης της ισχύος πέδησης.

-Το ουσιώδες μειονέκτημα των MAGLEV είναι η απαιτούμενη πολύ μεγαλύτερη

επένδυση ανά Km γραμμής έναντι των συμβατικών τραίνων.

Αυτό αν συνδυαστεί με το γεγονός ότι τα TGV (συμβατικά τραίνα μεγάλων

ταχυτήτων) ήδη έχουν ξεπεράσει το όριο των 500 Km καθιστούν την επιλογή των

MAGLEV σε υπέργειες διαδρομές μη ανταγωνιστική. Εν τούτοις για υπόγειες διαδρομές

μέσα σε τούνελ χαμηλής πίεσης (βλέπε Swiss Metro π.χ. ) η χρήση MAGLEV είναι

αναγκαία.

Για λόγους σύγκρισης παραθέτουμε μερικά στοιχεία που αφορούν ηλεκτροκίνηση

με ευθύγραμμο κινητήρα επαγωγής (LIM) (με βραχύ πρωτεύον) και σύγχρονο

ευθύγραμμο κινητήρα (LSM) (με μακρύ πρωτεύον) με ηλεκτρομαγνητική ανάρτηση. Βλ.

σχ. 14.

ΣΧΗΜΑ 14 : ΜAGLEV με ελκτικό σύστημα αναρτήσεως

34

L.I.M L.S.M

ΠΕΔΙΟ

ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ

ΓΙΑ ΜΕΣΕΣ

ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ ΈΩΣ 300

km/h ΚΑΙ ΜΕΣΟΥΣ

ΌΓΚΟΥΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΓΙΑ ΥΨΗΛΕΣ

ΤΑΧΥΤΗΤΕΣ (πάνω από

300km/h)

Στάτης, επί του

οχήματος φέρει πρωτεύων

τριφασικό τύλιγμα σε

σιδηροπυρήνα από φύλλα

μαλακού σιδήρου. Με

σύστημα ψύξεως κτλ.

Στάτης, τριφασικό

τύλιγμα κατά μήκος της

τροχιάς, σε σιδηροπυρήνα από

φύλλα μαλακού σιδήρου.

Το μακρύ τύλιγμα

υποδιαιρείται σε τύλιγμα των

2km ανά 8 τμήματα

τροφοδοτούνται από ένα

Inverter. Κάθε τμήμα

ενεργοποιείται μόνο όταν πάνω

του βρίσκεται κάποιο κινητήριο

όχημα.

ΣΧΕΔΙΑΣΗ

Δρομέας, ένα απλό

φύλλο αλουμινίου επί της

τροχιάς ( συνήθως

υποστηριζόμενο από

σίδηρο).

Δρομέας, διανεμημένο

τύλιγμα συνεχούς επί του

οχήματος. Επί του οχήματος

βρίσκεται επίσης, ευθύγραμμη

σύγχρονη γεννήτρια που

συλλέγει επαγωγικά ισχύ για τις

ανάγκες του οχήματος.

ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ Το δεύτερο είναι

απλό και δεν χρειάζεται

συντήρηση.

Η απόσταση μεταξύ

σταθμών ηλεκτρικής

τροφοδοσίας είναι σχετικά

μεγάλη.

Απαιτεί λοιπόν χαμηλότερη

αρχική επένδυση.

Δεν χρειάζεται επαφές

για την συλλογή της

ηλεκτρικής ενέργειας που

καταναλίσκεται στο όχημα.

Απλούστερη και

ελαφρότερη κατασκευή

οχημάτων.

Καλύτερες συνθήκες

για αυτοματισμό.

35

Τόσο η

απόδοση όσο και ο

συντελεστής ισχύος είναι πάνω

από 80%.

ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ Υπάρχει σύστημα

συλλογής ισχύος με επαφή

(συντήρησης, τριβές, κτλ.)

Η απόδοση επί τον

συντελεστής ισχύος είναι

κάτω από 75%.

Το όχημα είναι

βαρύτερο και ακριβότερο.

Η τροχιά είναι ακριβή

και πολύπλοκη στην κατασκευή

της.

Χρειάζεται

ιδιαίτερη αντιμετώπιση για το

προβλήματα που μπορεί να

προέλθουν από βραχυκύκλωμα

στα τυλίγματα του

πρωτεύοντος ή την

ελαττωματική λειτουργία του

συστήματος συγχρονισμού,

αφού σχετίζονται με την

ασφάλεια του ταξιδιού.

1.10 ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΤΡΕΝΑ

1.10.1 Υποδιαιρέσεις ηλεκτροκίνητων τρένων

Ανάλογα µε τη χρήση τους μπορούν να χωριστούν σε κατηγορίες τρένων:

• Μεταξύ πόλεων (INTERCITY).

• Μέσα σε πόλεις που μπορούν επίσης να υποδιαιρεθούν σε:

1. συστήματα ΜΕΤΡΟ

2. μικρά μονοβαγόνια συστήματα.

Ανάλογα µε την ταχύτητα υποδιαιρούνται σε τρένα:

• Χαμηλής ταχύτητας (30-80km/h)

36

(όπως είναι συνήθως τα τρένα μέσα στις πόλεις)

• Μέσης ταχύτητας (80-250km/h)

(όπως είναι συνήθως τα τρένα μεταξύ πόλεων)

• Υψηλής ταχύτητας (250-500km/h)

(όπως σχεδιάζονται να γίνουν τα τρένα μεταξύ πόλεων µε βάση τη νέα τεχνολογία)

και

• Υπερύψηλης ταχύτητας (πάνω από 500km/h) (Γεωπλάνα) τα οποία θα κινούνται

σε τούνελ µε υποπίεση (δηλαδή με μικρές σχετικά αεραντιστάσεις).

Και τέλος ανάλογα µε την τεχνολογία τους υποδιαιρούνται σε τρένα:

• Συμβατικής τεχνολογίας

(που είναι χαμηλής και μέσης και υψηλής ταχύτητας, με η χωρίς αυτόματα

συστήματα οδηγήσεως)

• Προηγμένης τεχνολογίας

(που είναι τα τρένα υψηλής και υπερύψηλης ταχύτητας µε ηλεκτρομαγνητική

ώθηση ή ανάρτηση και αυτόματα συστήματα οδηγήσεως).

1.10.2 Βασικά υποσυστήματα σ' ένα ηλεκτρικό τρένο

/Α

Υποσύστημα Συμβατική τεχνολογία Ενδιάμεση ή

προωθημένη τεχνολογία

Σύστημα

ωθήσεως

Συμβατικοί

περιστροφικοί

ηλεκτροκινητήρες με χρήση

ηλεκτρονικών διατάξεων

(DRIVES)

Ευθύγραμμοι κινητήρες

37

Σύστημα

πεδήσεως

Μηχανικό σύστημα

πεδήσεως µε χρήση και

ηλεκτρομαγνητικής πεδήσεως

Ηλεκτρομαγνητική σε

συνδυασμό ενδεχομένως µε

μηχανική πέδηση στις

χαμηλές ταχύτητες, µε

ανακομιδή ισχύος και

πλήρη αυτοματισμό για

προγραμματισμένη στάση και

έλεγχο επιβραδύνσεως.

Σύστημα

αναρτήσεως και

οδηγήσεως στην

τροχιά

Τροχοί Ηλεκτρομαγνητική

ανάρτηση και οδήγηση

Σύστημα

συλλογής ισχύος

-Μηχανική επαφή

συνήθως µε ηλεκτροφόρα

καλώδια χαμηλής τάσης

(600V)

-Μηχανική επαφή µε

καλώδια υψηλής τάσης (11kV

ή 25kV)

- Μηχανική επαφή µε

καλώδια υψηλής τάσης (11kV

ή 25kV)

- Τροφοδοσία οπό την

τροχιά σε περίπτωση κινητήρα

µε πρωτεύον σ' αυτήν και

δευτερεύον στο όχημα

- Ηλεκτρομαγνητική

μεταφορά ισχύος

Σύστημα

οδηγήσεως

και ελέγχου

-Οδήγηση από

μηχανοδηγό µε βάση οπτικά

σήματα στην διαδρομή ή και

µμέσα στο θάλαμο

οδηγήσεως

-Ημιαυτόματη οδήγηση

από ηλεκτρονικό σύστημα

αυτόματου ελέγχου Και µε

παρουσία μηχανοδηγού

- Ημιαυτόματη οδήγηση

από ηλεκτρονικό σύστημα

αυτόματου ελέγχου µε η χωρίς

παρουσία μηχανοδηγού

- Αυτόματη οδήγηση µε

κεντρικό έλεγχα από

ηλεκτρονικό υπολογιστή

38

1.10.3 Δυνάμεις και ισχύς κατά την Ηλεκτροκίνηση τρένων

Η απαιτούμενη ισχύς, των κινητηρίων μηχανών είναι ΡΚΙΝ = υ•TKIN. Για χαμηλές

και μέσες ταχύτητες, οι στατικές δυνάμεις και οι δυνάμεις αδρανείας είναι μεγαλύτερες

της αεραντιστάσεως.

Όταν όμως οι ταχύτητες αυξάνουν πολύ ο παράγων αεραντίσταση γίνεται

σημαντικός, απαιτώντας παράλληλη αύξηση της ΤΚΙΝ. Είναι δυνατόν βέβαια η

απαιτούμενη κινητήρια δύναμη, που μεταφέρεται µε τους τροχούς στην τροχιά, να

υπερβαίνει, για κάποια τιμή της ταχύτητας Uορ , τη μέγιστη δύναμη πρόσφυσης τροχού -

τροχιάς υποχρεώνοντας τους τροχούς σε αναγκαστική ολίσθηση. Δηλαδή, θα είναι

πάντοτε :

υ< υορ

Για συνηθισμένα υλικά για το ζεύγος τροχός - τροχιά και συνηθισμένα προφίλ

αεραντίστασης του οχήματος η υορ είναι της τάξεως των 500km/h. Είναι φανερό λοιπόν

ότι για ταχύτητες µμεγαλύτερες του προηγούμενου ορίου θα απαιτηθεί διαφορετικός

τρόπος μεταφοράς των δυνάμεων στη φορά κίνησης. Έτσι για μεγαλύτερες ταχύτητες θα

απαιτηθεί η χρήση ευθύγραμμων ηλεκτροκινητήρων (LINEAR MOTORS ).

Σήμερα τα χρησιμοποιούμενα ηλεκτρικά τρένα έχουν ταχύτητες κάτω απ' το

προηγούμενο όριο είτε σε διαδρομές μέσα σε πόλεις είτε μεταξύ πόλεων. Υπάρχει όμως

μια συνεχώς αυξανόμενη πίεση για μεγαλύτερες ταχύτητες που ξεπερνούν τα συνήθη

όρια. Πάντως ας σημειωθεί ότι µε συμβατική ηλεκτροκίνηση το Γαλλικό τρένο T.V.G.

έχει πετύχει ταχύτητες μεγαλύτερες των 512 km/h χάρις την ειδική κατασκευή του,

μικρότερες αεραντιστάσεις και πιστεύω ότι έχουν εξαντλήθει τα όρια της συμβατικής

περιστροφικής Ηλεκτροκίνησης.

Κατά την κίνηση του επί τροχιάς ένα τρένο πρέπει να υπερνικήσει, τις τριβές που

προκύπτουν απ' την επαφή τροχών και τροχιάς όπως:

• τριβές κυλίσεως, (ΤΚΥΛ) που είναι πρακτικά ανεξάρτητες της σχετικής ταχύτητας

(υ)

• και τις τριβές µε τον αέρα (DΑIR αεροαντιστάσεις) που είναι ανάλογες µε την

επιφάνεια διατομής του τραίνου (Α) της πυκνότητας του αέρος ρ, και τετράγωνο της

ταχύτητας (υ), δηλαδή

2AIR F S

1D = ρ (C +C ) A υ2⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (3)

39

Όπου: CF = συντελεστής μορφής 0, 2 0,3÷ CS = συντελεστής πλάγιων τριβών 0,1 x (αριθμός βαγονιών)

Η πυκνότητα του αέρα ρ υπό κανονικές συνθήκες (Τ0=2880Κ, και ατμοσφαιρική

πίεση P0=103200 Pα ) , ισούται προς 1,25 Kg/m3. (εάν οι συνθήκες μεταβληθούν η ρ

είναι ανάλογος της πιέσεως P και αντίστροφα ανάλογη με την απόλυτη θερμοκρασία Τ)

Ταυτόχρονα σε ανηφορική κίνηση πρέπει να υπερνικήσει τη συνιστώσα του βάρους

στη φορά της κίνησης B sinφ⋅ . Δηλαδή η δύναμη πρόωσης (Thrust) T πρέπει να είναι :

ΚΥΛ AIR ANTT>(T +D +B sinφ)=T⋅ (4)

Η διαφορά Τ - ΤΑΝΤ ισούται µε την ισοδύναμη κινούμενη μάζα Μ επί τη μεταβολή

της ταχύτητάς της ως προς το χρόνο :

ANTdυT-T =Mdt

Μ= μάζα ευθύγραμμα κινούμενη (m)+ Μάζα προκύπτουσα απ' τους

περιστρεφόμενους τροχούς (mτ). Συνήθως m>>mτ άρα Μ=m.

Στην περίπτωση των Maglev πρέπει να προστεθεί στην αντίσταση και η

ηλεκτρομαγνητική τριβή ανάρτησης η οποία για την ηλεκτροδυναμική ανάρτηση όπως

θα αποδείξουμε δίδεται από την σχέση:

αν

0 2

Dd υμ σ

Β≅

⋅ ⋅ ⋅

Όπου: σ = η αγωγιμότητα σε S/m , d = το πάχος του φύλλου ανάρτησης σε m , υ = η ταχύτητα σε m/sec, -7

0 μ =4π×10 sec/V A m⋅ ⋅ και Β=βάρος του οχήματος σε Νt

Παράδειγμα : 1 Ηλεκτροκίνητο τραίνο με 6 βαγόνια και βάρος 200 ton έχει ονομαστική μέγιστη

ταχύτητα 270 Km/h (υ=75m/sec) . Η επιφάνεια διατομής του είναι Α=12m2. Ο

συντελεστής τριβής είναι CF = 0,25 και ο CS = 0,1·6 = 0.6. Εάν η μέγιστη κλίση είναι 1%

να υπoλογιστεί η ονομαστική μηχανική ισχύς , των ηλεκτροκινητήρων του ώστε να

υπάρχει περίσσια ώθηση 5000Nt . Για την μέγιστη ταχύτητα. η ΤΚΥΛ είναι αμελητέα άρα

:

2ANT F S

1T ρ (C +C ) A υ B sinφ2

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

40

2ANT

1T 1,25 (0,25+0,6) 12 75 200000 9,81 0,012

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= 35860+19620 = 53480Nt

T 53480+5000 = 58480Nt≥

P = T υ = 58480 75 = 4,386 Mw⋅ ⋅

Παράδειγμα : 2 Μονοβαγόνιο Maglev βάρους 25 ton κινείται μέσα σε τούνελ μειωμένης πίεσης. Ο

συνολικός συντελεστής αεραντίστασης του είναι ίσος προς 0.3, και πρέπει να

προσαυξηθεί κατά 80% λόγω του τούνελ.

Εάν η πίεση στο τούνελ είναι το 10 % της ατμοσφαιρικής και η θερμοκρασία

περιβάλλοντος η κανονική, η μέγιστη κλίση 1%, και το δευτερεύον της

ηλεκτροδυναμικής αντίστασης είναι Al με επιφανειακή αγωγιμότητα d·σ = 3,6·105 S και

η επιφάνεια διατομής του Α= 15m2 . Να υπολογιστεί η ονομαστική μηχανική ισχύς του

ευθύγραμμου κινητήρα του ώστε να υπάρχει περίσσεια ώθηση 2500Nt, όταν το Maglev

κινείται με την μέγιστη του ταχύτητα 200m/sec (760 Km/h). Ο συντελεστής

ανάρτησης/ανάσχεσης ισούται προς :

20λ= λ= 4π 3,6 10 200 90,52

dμ σ υ −⋅ ⋅ ⋅⇔ ⋅ ⋅ ⋅

2ANT

1 ΒT ρ C A υ B 0,01+2 λ

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

Η πυκνότητα του αέρος θα είναι περίπου: 30,10 1,25=0,125Kg/m⋅

Ο συντελεστής τριβών υπολογίζεται : 0,3 1,8 0,54⋅ = και το Β είναι :

B=25000 9,81=245250Nt⋅

ANTT =20250+2450+2710=25410Nt

T 25410+2500=27910Nt≥

MP =T υ 5.6MW⋅ .

41

1.11 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΤΩΝ ΤΡΑΙΝΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟ- ΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΩΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ (MAGLEVS) Οι χώρα που έδειξε μεγάλο ενδιαφέρον για εφαρμογές MAGLEV ήταν καταρχήν η

Γερμανία με το σύστημα TRANSRAPID, το οποίο ήδη εφαρμόστηκε στην Γερμανία και

στην Κίνα.

Ιστορικά προηγήθηκε η Ιαπωνία με το σύστημα ΗSSΤ (High Speed Surface

Transport) , ενώ πρόσφατα η Ελβετία με το SWISS METRO προχωρεί ακόμη ένα βήμα

μπροστά σχεδιάζοντας το γεωπλάνο για τις υπόγειες μεταφορές του μέλλοντος .

Άφθονα στοιχεία για τις εφαρμογές αυτές μπορεί να βρει κανείς στο internet

χρησιμοποιώντας τις λέξεις κλειδιά (όπως γράφτηκαν στα αγγλικά) και στο

WIKIPEDIA στις λέξεις MAGLEV TRAIN, και JAPAN MAGLEV, WIKI MAGLEV

κτλ. Συνοπτικά αναφέρονται τα ακόλουθα:

ΓΕΡΜΑΝΙΑ-ΚΙΝΑ (Transrapid)

Δοκιμάστηκε και αναπτύχθηκε στην Γερμανία από την Siemens. Εφαρμόζεται ήδη

στην Κίνα (Γραμμή Shangai/Pudongna 30 km). Σχεδιάζεται επέκταση του συστήματος

κατά 160km προς την πόλη Hangzhou.

- Μέγιστη ταχύτητα: 500 km/h, Μέση: 300 km/h.

- Κινητήρας ωθήσεως: Σύγχρονος ευθύγραμμος κινητήρας (LSM) με υποστήριξη

σιδήρου .

- Σύστημα ανάρτησης: Ελκτικό ηλεκτρομαγνητικό σύστημα με διάκενο ανάρτησης

1cm. Κάθε μαγνήτης δρα ανεξάρτητα με τα δικά της αισθητήρια (διακένου, ταχύτητας,

επιτάχυνσης, μαγνητικής ροής).

- Η τροχιά είναι αναρτημένη σε ύψος 5m από το έδαφος σε πυλώνες ανά 24m.

ΙΑΠΩΝΙΑ

-Σύστημα YAMANASHI (υπό δοκιμή). Μέγιστη ταχύτητα 480km/h, ώθηση

σύγχρονος κινητήρας, πλάγια ανάρτηση με υπεραγώγιμους μαγνήτες.

- Σύστημα HSST 200km/h.

- Κινητήρας ωθήσεως: Ευθύγραμμος κινητήρας επαγωγής (LIM) .

- Σύστημα ανάρτησης: Ελκτικό σύστημα ηλεκτρομαγνητικής ανάρτησης με

διάκενο

42

1cm.

-LINEAR METRO (HITACHI). Προτείνεται η χρήση ευθύγραμμων κινητήρων για

τα

συμβατικά ΜETRO με τα ακόλουθα επιχειρήματα:

• Οι τροχοί χρησιμοποιούνται μόνον για ανάρτηση αρα η διάμετρος τους

μικραίνει δίνοντας την δυνατότητα στην σήραγγα του METRO να μικρύνει καθ’ ύψος.

Αρα η κατασκευή της γίνεται οικονομικώτερη.

• Ο γραμμικός κινητήρας ώθησης επιτρέπει ανάβαση υπο κλίση έως 8%

ενώ η ώθηση μέσω περιστροφικών κινητήρων και των τροχών επιτρέπει κλίσεις έως

3.5%. Αυτό συνεπάγεται την ευκολώτερη, συντομότερη και οικονομικώτερη χάραξη του

METRO μέσα στις πόλεις,

ΕΛΒΕΤΙΑ (Swiss Metro)

Σε εξέλιξη η κατασκευή συστήματος υπόγειας σύνδεσης (με διπλή υπόγεια

σήραγγα) των κύριων πόλεων της Ελβετίας. Ευθύγραμμη πρόωση και ηλεκτρομαγνητική

ανάρτηση οχημάτων σε σήραγγες, με μειωμένη πίεση αέρος (άρα και πυκνότητας) κάτω

από το 10% της ατμοσφαιρικής. Εκτιμάται ότι αυτά τα οχήματα ,που μερικοί αποκαλούν

γεωπλάνα, θα αποδειχθούν ως μια απολύτως ρεαλιστική πρόταση για το μέλλον των

μεταφορών μεσαίων και μεγάλων αποστάσεων, για τον 210 Αιώνα.

Η.Π.Α. ηλεκτρομαγνητικοί εκτοξευτές

Σημαντική περιοχή ενδιαφέροντος για πιθανές εφαρμογές της ηλεκτρομαγνητικής

πρόωσης και ανάρτησης αποτελεί ο τομέας των ηλεκτρομαγνητικών εκτοξευτών

αεροπλάνων (από αεροπλανοφόρα , Electromagnetic Aircraft Launch System) και

πυραύλων για διαστημικές (launch loop) και άλλες εφαρμογές (Railgun).

Χρήση ευθύγραμμων κινητήρων σε συμβατικά τραίνα

Τέλος παραθέτουμε την ακόλουθη σειρά τραίνων σε διάφορες περιοχές του κόσμου

όπου χρησιμοποιούνται ευθύγραμμοι κινητήρες για την ώθηση συμβατικών κυρίως

τραίνων:

43

• Scarborough RT line (Toronto, Canada, 1985) • SkyTrain (Vancouver, Canada, 1986) • Nagahori Tsurumi-ryokuchi Line (Osaka, Japan, 1990) • Toei Ōedo Line (Tokyo, Japan, 1991) • Kaigan Line (Kobe, Japan, 2001) • AirTrain JFK (New York, USA, 2003) • Nanakuma Line (Fukuoka, Japan, 2005) • Guangzhou Metro Line 4 (Guangdong Province, China, 2005) • Imazatosuji Line (Osaka, Japan, 2006) • Green Line (Yokohama, Japan, Under construction) • Tōzai Line (Sendai, Japan, Under construction) • Beijing Subway Capital Airport Track (Beijing, China)

44

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL

Οι εξισώσεις που περιγράφουν πλήρως το Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο φέρουν το

όνομα του Maxwell που τις πρωτοδιατύπωσε στη μορφή που έχουν σήμερα υποθέτοντας

μάλιστα, όπως είναι γνωστό, και ένα όρο σ' αυτές του οποίου η ύπαρξη δεν είχε μέχρι

τότε πειραματικά επιβεβαιωθεί. Μέχρι σήμερα ο όρος Dt

∂∂

ονομάζεται γι' αυτό το λόγο

και Maxwell Hypothesis.

Οι εξισώσεις του Maxwell στη διαφορική και ολοκληρωτική τους μορφή είναι κατά

τα γνωστά οι παρακάτω:

Name Διαφορική μορφή Ολοκληρωτική μορφή

Ηλεκτρικός Νόμος Gauss: ρ=⋅∇ D ∫∫ ∫∫∫ ⋅=⋅S V

dvdsD ρ

Μαγνητικός Νόμος Gauss: 0=⋅∇ B B dss

⋅ =∫ 0

Νόμος Ampère-Maxwell t

DJH

∂∂

+=×∇ ∫∫ ∫∫∫ ⋅∂∂

+⋅=⋅S S

dsDt

dsJdlH

Νόμος Faraday: : tB

E∂∂

−=×∇ ∫∫∫ ⋅∂∂

−=⋅S

l

dsBt

dlE

45

,H B : Μαγνητική ένταση και Μαγνητική επαγωγή

S=∫∫ Κλειστό επιφανειακό ολοκλήρωμα

επιφάνεια S που είναι όριο του όγκου V.

,E D : Ηλεκτρική ένταση και Ηλεκτρική επαγωγή

l=∫ Κλειστό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα στη

γραμμή l που είναι όριο της επιφάνειας.

J ,ρ : Πυκνότητες ρεύματος και φορτίου.

Ισχύει ακόμη: Η εξίσωση συνέχειας ή διατήρησης του φορτίου

tj

∂∂ ρ

−=⋅∇ ∫∫ ∫∫∫ ⋅∂∂

−=⋅S V

dvt

dsJ ρ

Μπορεί να αποδειχθεί εύκολα ότι οι δυο πρώτες εξισώσεις μαζί με την εξίσωση συνέχειας εμπεριέχουν τις δυο επόμενες η απόδειξη είναι πολύ εύκολη αν λάβουμε υπόψη ότι ( ×A)=0∇⋅ ∇ για κάθε άνυσμα A , και εν γένει τα πεδία είναι μεταβλητά

οπότε 0t∂≠

∂.

Οι συνθήκες που θα ισχύσουν πάγια στις περιπτώσεις των συστημάτων που θα

μελετηθούν είναι οι παρακάτω:

- Τα πεδία είναι Γραμμικά χωρίς μαγνητική υστέρηση. Δηλαδή:

D Eε= B Hμ=

Επιπλέον οι απώλειες μαγνητικής υστέρησης είναι αμελητέες. (Αυτό είναι

αποδεκτή υπόθεση αφού ο μαλακός σίδηρος που χρησιμοποιείται συνήθως έχει πολύ

μικρή μαγνητική υστέρηση).

μ = μαγνητική διαπερατότητα = μrμ0

μ0 = μαγνητική διαπερατότητα κενού = -7 V sec4π 10A m⋅

⋅⋅

ε = διηλεκτρική σταθερά = εrε0

ε0 = διηλεκτρική σταθερά του κενού = 9

1 A sec4π 9 10 V m

⋅⋅ ⋅ ⋅

( μr,εr σχετικές σταθερές του μέσου σε σχέση με το κενό)

- Σε αγωγούς το E δημιουργεί ρεύματα εντάσεως J :

J= Eσ ⋅

όπου σ = αγωγιμότητα του αγωγού.

- Η συχνότητα διέγερσης είναι σταθερή. Δηλαδή τα πεδία έχουν τη μορφή j ω tA(x,t)=Real(A(x) e )⋅ ⋅⋅

46

Δηλαδή : j ω tA(x,t) Real(jω A(x) e )t

⋅ ⋅∂= ⋅ ⋅

∂

Άρα απλά ο τελεστής παραγώγισης ως προς το χρόνο t∂∂

μπορεί ν' αντικατασταθεί

µε τον πολλαπλασιαστή j·ω.

- Ο όρος D j Dt

ω∂= ⋅ ⋅

∂ αμελείται σαν πολύ μικρότερος από τον όρο J , για τις

μικρές σχετικά συχνότητες λειτουργίας των συστημάτων ηλεκτροκίνησης, δηλαδή τα

επιφανειακά φορτία αμελούνται.

Έτσι οι εξισώσεις για τα ηλεκτρομαγνητικά συστήματα πρόωσης και ανάρτησης

που λειτουργούν με χαμηλές συχνότητες στη διαφορική τους μορφή γράφονται ως εξής

×E=-j ω B=-j ω μ H∇ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

×H= J=σ E∇ ⋅

Απ’ τις σχέσεις αυτές προκύπτουν άμεσα οι σχέσεις : B=0∇ , J =0∇ .

Δηλαδή σε ένα ομογενή χώρο με μαγνητική διαπερατότητα μ και ηλεκτρική

αγωγιμότητα σ , τα ανύσματα της ηλεκτρικής και μαγνητικής έντασης E και H ( 6

ανεξάρτητες εξισώσεις ), σχετίζονται με δυο διανυσματικές εξισώσεις ( δηλαδή 6

διαφορικές εξισώσεις ) ως εξής :

×E=-j ω μ H∇ ⋅ ⋅ ⋅

×H=σ E∇ ⋅

Η δυναμική του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου περιγράφεται από την εξίσωση της

δύναμης που ασκείται σε φορτίο q που κινείται µε ταχύτητα υ , ή ενός ρεύματος Ι που

διαρρέει στοιχείο αγωγού Δl.

F=q (υ Β)=Ι (Δ l Β)⋅ × ⋅ × (Δύναμη Lorenz-Laplace)

Η δύναμη Coulomb QF =q E⋅ , μπορεί να αμεληθεί αφού έγινε η υπόθεση ότι δεν

υπάρχουν επιφανειακά φορτία.

2.2 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΤΑ ΟΡΙΑ

Όριο ονομάζουμε μια επιφάνεια που διαχωρίζει δύο μέσα µε διαφορετικά

ηλεκτρομαγνητικά χαρακτηριστικά .

47

Υποθέτουμε ότι σε μια τέτοια επιφάνεια μπορεί να υπάρχει μόνον κάποιο

επιφανειακό ρεύμα, δηλαδή ένα φύλλο ρεύματος (current sheet) το οποίο

αντιπροσωπεύεται από τις πυκνότητες ρεύματος ανά μονάδα πλάτους στις δύο κύριες

διευθύνσεις της επιφάνειάς του (ας τις ονομάσουμε x και y) δηλαδή:

Ιx(y) = Πυκνότητα ρεύματος στην κατεύθυνση x ανά μονάδα μήκους y (A/m).

Ιy(x) = Πυκνότητα ρεύματος στην κατεύθυνση y ανά μονάδα μήκους x (A/m).

Τα επιφανειακά ηλεκτρικά φορτία που πηγαίνουν από το όρο Dt

∂∂

έχουν θεωρηθεί

αμελητέα .

Μαγνητικές οριακές συνθήκες

α) Ξεκινώντας από την ολοκληρωτική μορφή της εξισώσεως B=0∇⋅ , που

συνεπάγεται ότι η μαγνητική ροή που εισέρχεται σε κάποια κλειστή επιφάνεια ισούται με

αυτήν που εξέρχεται και εφαρμόζοντας την στην εξωτερική επιφάνεια κυλίνδρου

αμελητέου πάχους και επιφάνειας ΔS (τμήματος της οριακής επιφάνειας )

ΣΧΗΜΑ 15

Είναι προφανές ότι πρέπει να υπάρχει συνέχεια της κάθετης συνιστώσας της

μαγνητικής επαγωγής (n=normal , κάθετη) επι της επιφάνειας ΔS, δηλαδή επί της

οριακής επιφάνειας : n,2 n,1B =B

β) Εφαρμόζω την εξίσωση ×H= J∇ στην ολοκληρωτική της μορφή που σημαίνει

ότι η μαγνητική τάση κλειστής γραμμής ( l ) ισούται με το ρεύμα που διαπερνά την

48

επιφάνεια που περικλείεται από την κλειστή γραμμή (l) στο ορθογώνιο αμελητέου ύψους

και μήκους Δl του σχήματος 16.

Έχουμε: t,1 t,2H Δl - H Δl = Μαγνητικη ταση= Ι = J Δl⋅ ⋅ ⋅

Όπου J είναι η γραμμική πυκνότητα του φύλλου ρεύματος που βρίσκεται στην

οριακή επιφάνεια (t=tangential , εφαπτομενική).

Δηλαδή: t,1 t,2H -H = J

Εάν θεωρήσω στην οριακή επιφάνεια την γραμμή l στην κατεύθυνση χ και το

φύλλο ρεύματος με γραμμική πυκνότητα στην κατεύθυνση y τότε θα είναι :

x,2 x,1 yH -H = J

Ομοίως μπορεί να αποδειχθεί ότι :

y,2 y,1 xH -H = - J

ΣΧΗΜΑ 16

Υπό διανυσματική μορφή οι μαγνητικές σχέσεις στα όρια γράφονται ως : • •

x y1 2(H -H ) (J , J ,0)n × =

1 2(B -B ) 0n ⋅ = (δεν υπάρχουν μαγνητικές μάζες στα όρια)

Όπου n είναι ένα μοναδιαίο άνυσμα κατά τον άξονα z ( κάθετο στην οριακή

επιφάνεια δηλαδή) :

(0,0,1)n =

49

Αν το όριο είναι απαλλαγμένο επιφανειακών ρευμάτων υπάρχει συνέχεια της

εφαπτομενικής συνιστώσας του Μαγνητικού Πεδίου, δηλαδή :

2,t 1,tH =H

2.3 ΑΠΟΘΗΚΕΜΕΝΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Είναι γνωστό ότι το Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο εμπεριέχει δυναμική ενέργεια που

θεωρούμε ότι αποθηκεύεται στο χώρο. (Αυτή είναι και η πιο ρεαλιστική θεώρηση της

ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας).

Η ανά μονάδα όγκου, δηλαδή η πυκνότητά δίνεται απ' τη σχέση:

W1 1P = E D+ H B2 2

⋅ ⋅

Ας υποθέσουμε ότι αναζητούμε την ενέργεια σε διάκενα αέρος όπου και

αποθηκεύεται συνήθως σε μεγάλες ποσότητες.

Στα διάκενα αέρος, όπου το μέσο είναι γραμμικό, θα είναι : 2

2W 0

0

B1 1P = ε E +2 2 μ

⋅ ⋅

Ο πρώτος όρος εκφράζει τη μαγνητική αποθηκευμένη ενέργεια και ο δεύτερος την ηλεκτρική.

Ο λόγος : 2

0 0

B 1( )E ε μ

λ = ⋅

Για τις μέγιστες τιμές των B , E εκφράζει την σχέση μεταξύ της ηλεκτρικής και

μαγνητικής ενέργειας .

Στο M.K.S.A. 1/μ0ε0 =c2 =9·1016 (c= ταχύτητα του φωτός)

• Συνήθως στις ηλεκτρομαγνητικές διατάξεις πρόωσης το B <1,5 2

wbm

(περιορισμός απ' τον κορεσμό, των παραπλήσιων σιδηροµαγνητικων υλικών)

• Ενώ το E συνήθως δεν μπορεί να υπερβεί λχ την τιμή 4,5·105 ( Vm

)

(περιορισμός απ' την τάση διάστασης του κενού εκτιμώμενης λ.χ. σε 4,5 KV για διάκενο

1 cm).

50

Άρα η ελάχιστη τιμή του λόγου λ είναι της τάξης του 106. Δηλαδή η Πυκνότητα της

μαγνητικής ενέργειας που αποθηκεύεται στο χώρο είναι εκατομμύρια φορές μεγαλύτερη

απ' την ηλεκτρική. Μπορούμε λοιπόν χωρίς αισθητό σφάλμα να υποθέσουμε ότι , για τα

ηλεκτρομαγνητικά συστήματα πρόωσης και ανάρτησης ( και γενικά για τις διατάξεις

χαμηλής συχνότητας ) η ολική αποθηκευμένη ηλεκτρομαγνητική ενέργεια είναι ίση προς

:

12Wp H B= i

- Σε ένα συγκεντρωμένο γραμμικό ηλεκτρομαγνητικό σύστημα που αποτελείται

από τρία τυλίγματα που διαρρέονται από στιγμιαία ρεύματα και εμπλέκονται µε

μαγνητικές ροές.

Η συνολική μαγνητική ενέργεια που είναι αποθηκευμένη στο σύστημα εκφράζεται

από τον τύπο : 3

ij j kj,k=1

1W= M I I2⋅ ⋅ ⋅∑

όπου Mjk=Mkj = Συντελεστής αλληλεπαγωγής (ή Αμοιβαίας επαγωγής ) μεταξύ των

τυλιγμάτων Mkk = Lk = Συντελεστής αυτεπαγωγής (ή Ιδίας επαγωγής) των τυλιγμάτων.

Η τάση στα άκρα κάθε συγκεντρωμένου τυλίγματος δίνεται απ' τη σχέση 3

kj jj=1

d( M I )

dtkV⋅

=∑

Έτσι μπορεί ν' αποδειχτεί ότι η ισχύς του συστήματος είναι: 3

k kk=1

dWP= V Idt

= ⋅∑

2.4 ΙΣΧΥΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ

Σε κάθε ηλεκτρομαγνητικό σύστημα που περιέχει αγώγιμα τμήματα μπορούμε ν'

αποδείξουμε ότι η ισχύς που καταναλίσκεται είναι ίση (ανά μονάδα όγκου) µε -E J⋅ Για

τα συνήθη γραμμικά αγώγιμά μέσα σ E=J⋅ άρα E J⋅ = σ·2

E . Αυτό είναι μια

διαφορετική μορφή διατύπωσης του νόμου του Οhm σε ένα στοιχείο διατομής ΔS και

μήκος Δl ( άρα ΔS ⋅ Δl όγκου ). Πράγματι η τάση επί του στοιχείου θα είναι V=E Δl⋅

51

και το ρεύμα I=J ΔS⋅ , και η ωμική ισχύς θα είναι V I=E J ΔS Δl⋅ ⋅ ⋅ ⋅ και η ωμική ισχύς

ανά μονάδα όγκου θα είναι :

V I =E JΔS Δl

⋅⋅

⋅

Σε ένα κλειστό ηλεκτρομαγνητικό σύστημα που καταλαμβάνει όγκο V όπου

υπάρχει αποθηκευμένη ηλεκτρομαγνητική ενέργεια και καταναλισκόμενη

ηλεκτρομαγνητική ισχύς θα νόμιζε εκ πρώτη όψεως κανείς ότι η παράσταση :

d 1 1A= H B dV + E J dV = 0dt 2 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫∫∫ ∫∫∫

Δηλαδή η μεταβολή της αποθηκευμένης ισχύος του κλειστού συστήματος γίνεται

ωμική κατανάλωση εντός του συστήματος .

Η κατάσταση όμως σε ένα ηλεκτρομαγνητικό σύστημα είναι αρκετά πιο περίπλοκη.

Η παράσταση Α είναι διάφορη του μηδενός και ισούται µε την ισχύ που «βγαίνει»

ηλεκτρομαγνητικά έξω από το σύστημα (όχι κατ' ανάγκη ως ενέργεια

ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, η οποία για τα συστήματα χαμηλής συχνότητας είναι

αμελητέα άλλωστε).

Μπορεί να αποδειχτεί ότι :

S

A=- P ds⋅∫

όπου P καλείται διάνυσμα του Poynting και δίνεται από τη σχέση :

P E H= ×

Το P εκφράζει λοιπόν την ισχύ ανά μονάδα επιφάνειας που εξέρχεται

ηλεκτρομαγνητικά από την επιφάνεια S που κλείνει μέσα της ηλεκτρομαγνητικό

σύστημα (όγκου V) .

Η απόδειξη είναι απλή και ακολουθεί για λόγους τεκμηρίωσης .

×P= ×(E×H)=H ( ×E)-E ( ×H)∇ ∇ ⋅ ∇ ⋅ ∇

Όμως : B×E=-t

∂∇

∂ , ×H=J∇ από τις εξισώσεις Maxwell άρα :

B×P= H +E Jt

∂−∇ ⋅ ⋅

∂ και επειδή B=μH

1 (H B)×P= +E J2 t

∂ ⋅−∇ ⋅ ⋅

∂

Αν η διαφορική αυτή εξίσωση γραφεί υπό ολοκληρωτική μορφή γίνεται :

52

S V V

1- P ds= (H B)dv+ E J dvt 2∂

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∂∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫

Δηλαδή : S

- P ds=A⋅∫∫

Άρα υπάρχει εξερχόμενη ηλεκτρομαγνητική ισχύς από την κλειστή επιφάνεια S η

οποία περικλείει κάθε ηλεκτρομαγνητικό σύστημα, ανεξάρτητα από την συχνότητα

διέγερσης, και η εξερχόμενη ισχύς από το στοιχειό dS→

ισούται προς P dS→

− ⋅ , όπου

P= H E× . Η φύση της εξερχόμενης αυτής ισχύος είναι ηλεκτρομαγνητική, η οποία δεν

ακτινοβολείται από τα συστήματα χαμηλής συχνότητας προς μακρινές αποστάσεις υπό

την μορφή φωτονίων , αλλά αλληλεπιδρά ηλεκτρομαγνητικά με το περιβάλλον (near

field effect)

2.5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΙΣΧΥΟΣ ΜΕ ΤΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ POYNTING

Με την βοήθεια του διανύσματος Poynting μπορούμε να υπολογίσουμε την

ισχύ που μεταφέρεται από το πρωτεύον (διέγερση) στο δευτερεύον ενός ευθύγραμμου

κινητήρα. Για την κατανόηση του τρόπου χρήσης του θα δώσουμε καταρχήν ένα

παράδειγμα.

Παράδειγμα 3 (χρηση του διανυσματος poynting στην απλή ηλεκτρική

γραμμη μεταφορας )

Ας θεωρήσουμε μια απλή γραμμή μεταφοράς μεγάλου μήκους L (αγωγιμότητας σ )

η οποία μεταφέρει ρεύμα Ι(t) υπό τάση V(t). Ας παρατηρήσουμε ότι μέσα στον αγωγό το

διάνυσμα Poynting P είναι ακτινικής διεύθυνσης αφού το H είναι περιφερειακό και

E Jσ= ⋅ είναι στην κατεύθυνση του αγωγού.

Λόγω συμμετρίας τα H και E θα είναι συναρτήσεις της ακτινικής απόστασης r . Μπορούμε εύκολα ν' αποδείξουμε ότι στην επιφάνεια του αγωγού ακτίνας 0r θα

είναι :

0

I(t)H(t) =2 π r⋅ ⋅

53

Και αν S η διατομή του αγωγού, θεωρώντας ότι το ρεύμα κατανέμεται ομοιόμορφα

στην διατομή του θα είναι :

J IE = =σ σ S⋅

Άρα 2

0

P E H E H2 r Sπ σ

Ι= × = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Η συνολική ηλεκτρομαγνητική ισχύς φαίνεται ότι εισέρχεται μέσα στον αγωγό δια

της εξωτερικής του επιφάνειας που συνολικά είναι ίση προς 0(2 )r Lπ⋅ ⋅ ⋅ άρα:

22 20

00

I ( ) (2 π r L) LΕισερχομενη Ισχυς P(t) (2 π r L)= =I (t) =I ( ) R2 π r σ S σ St t⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Δηλαδή η εισερχόμενη ηλεκτρομαγνητική ισχύς μετατρέπεται σε ωμική η οποία

καταναλίσκεται στον αγωγό που έχει αντίσταση R.

ΣΧΗΜΑ 17

Δηλαδή το P( )t που κατευθύνεται προς το εσωτερικό του αγωγού εκφράζει τις

ωμικές απώλειες Joule στον αγωγό (βλ. σχ. 17).

Έξω από τον αγωγό σε απόσταση 0r>r θα είναι τα I(t)H(r,t)2 π r

=⋅ ⋅

και έχει πάλι

περιφερειακή φορά. Λόγω της τάσεως V(t) ο αγωγός μπορεί ν’ αποδειχτεί ότι φέρει

54

επιφανειακό φορτίο το οποίο δημιουργεί μια ακτινική E(r,t) επομένως το διάνυσμα

( , ) ( , ) ( , )P r t E r t H r t= × θα έχει τη φορά της γραμμής.

Η ισχύς που διέρχεται από δακτύλιο πάχους Δr θα είναι ίση προς

Η(r,t) E(r,t) 2 π r Δr⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Άρα η συνολική ισχύς που μεταφέρεται ηλεκτρομαγνητικά

στον εξωτερικό χώρο πέριξ της γραμμής θα είναι ίση προς :

0 0r r

P H ( r , t ) E ( r , t ) 2 π r d r = I E ( r , t ) d r∞

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

Όμως η τάση δίδεται συναρτήσει της ηλεκτρικής εντασεως από την σχέση:

0r

( ) E(r,t)) drV t∞

= ⋅∫

Άρα : 0r

( ) I(t) E(r,t) dr=Ι(t) V(t)P t∞

= ⋅ ⋅ ⋅∫

Δηλαδή η στιγμιαία ισχύς V(t) I(t)⋅ που μεταφέρεται με την ηλεκτρική γραμμή δεν

περνάει μέσα απ' τη γραμμή αλλά από τον γύρω περιβάλλοντα χώρο στην κατεύθυνση

της γραμμής !!!

2.6 ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ POYNTING ΣΤΟΥΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥΣ

ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ

θεωρούμε στο διάκενο μεταξύ του πρωτεύοντος και του δευτερεύοντος

ευθύγραμμου κινητήρα μια επίπεδη επιφάνεια, πάνω στην οποία υποθέτουμε ότι όλες οι

πεδιακές συνιστώσες είναι γνωστές (σχήμα 20). Αν θεωρήσουμε μάλιστα το διδιάστατο

μοντέλο του ευθύγραμμου κινητήρα, οι µη μηδενικές πεδιακές συνιστώσες, όπως θα

αποδείξουμε είναι μόνον οι Εy, Hx, Hz .

Μπορούμε ν' αποδείξουμε τότε ότι η ηλεκτρομαγνητική ισχύς που μεταφέρεται από

το πρωτεύων στο δευτερεύον ανά m2 και διέρχεται απ' την επιφάνεια αυτή εκφράζεται

από την κάθετη, στην επιφάνεια αυτή, συνιστώσα του P , δηλαδή την Ρz.

Η Ρz θα είναι προφανώς ίση προς : z x yP = H E⋅

55

ΣΧΗΜΑ 18

Δηλαδή η μεταφερόμενη ισχύς από το πρωτεύον στο δευτερεύον ανά m πλάτους θα

είναι ίση προς : + +

Z x y- -

P = P dx E H dx∞ ∞

∞ ∞

⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫ (5)

Η ισχύς αυτή που μεταφέρεται ηλεκτρομαγνητικά από το πρωτεύον στο

δευτερεύον στη γενική περίπτωση μετατρέπεται σε :

Ωμική ισχύ απωλειών PL (που δημιουργούνται από τα δινορεύματα στα

αγώγιμα τμήματα του δευτερεύοντος )

Μηχανική ισχύ εκφραζόμενη σαν ΜP υ= Τ⋅ (όπου Τ η δύναμη πρόωσης

στην κατεύθυνση x, που ασκείται ηλεκτρομαγνητικά στο δευτερεύον από το πρωτεύον

και υ η ταχύτητα του δευτερεύοντος στην κατεύθυνση x ).

Υπάρχει όμως και η ταλαντευόμενη ισχύς μεταξύ πρωτεύοντος και δευτερεύοντος

που ονομάζουμε και άεργο ισχύ Q.

Όπως θα αποδείξουμε για πεδία σταθερής συχνότητας ω η στιγμιαία ισχύς δίδεται

από την σχέση:

P(t)=P(1-cos(2ωt))+Q sin(2ωt)⋅ (6)

56

Όπου: =PM + PL = πραγματική ισχύς μεταφερόμενη από το πρωτεύον στό

δευτερεύον και Q=Άεργος ισχύς πού εκφράζει την ισχύ πού ταλαντεύεται μεταξύ

πρωτεύοντος-δευτερεύοντος (με συχνότητα μάλιστα 2·ω)

2.7 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Όπως ήδη αναφέρθηκε η δύναμη Laplace για στοιχείοΔ λεπτού ρευματοφόρου

αγωγού που διαρρέεται από ρεύμα Ι εκφράζεται και απ' τον τύπο :

LF =I ( ×B)⋅ Δ

δηλαδή για όλο τον αγωγό που εκτείνεται στην κλειστή γραμμή :

LF = (Δ ×B)Ι ⋅∫

Για να βρεθούν οι δυνάμεις σε μια ευθύγραμμη διάταξη θα έπρεπε να γνωρίζουμε

τα ρεύματα και τα μαγνητικά πεδία στους ρευματοφόρους αγωγούς (τυλίγματα). Σε

μερικές περιπτώσεις δεν υπάρχουν καν αγωγοί αλλά αγώγιμα στρώματα πράγμα που

δυσκολεύει περισσότερο τους υπολογισμούς.

Ο τρόπος αυτός υπολογισμού των δυνάμεων είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί

μόνον στην περίπτωση που έχουμε ευθύγραμμες ηλεκτρομαγνητικές διατάξεις χωρίς

σίδηρο και μόνον με αγώγιμα τυλίγματα από λεπτούς ρευματοφόρους αγωγούς.

Για την εύρεση των δυνάμεων μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο τύπος του Newmann. Ο

τύπος αυτός, που ισχύει για αγωγούς στο κενό χώρο, δίδει τη αλληλεπαγωγή Μ12 μεταξύ

δυο τυλιγμάτων (l1,l2) (όπου l1,l2 είναι λεπτοί ρευματοφόροι αγωγοί) στον κενό χώρο με

τη σχέση :

1 2

0 1 21 2

1 2

μ d dM =4 π r

⋅⋅

⋅ ∫ ∫ (7)

όπου r12 είναι η απόσταση μεταξύ των στοιχείων d 1 και d 2

Επειδή η αμοιβαία ηλεκτρομαγνητική ενέργεια εξ αλληλεπαγωγής μεταξύ των

τυλιγμάτων 12W δίδεται από την σχέση

12 12 1 2W =M I I⋅ ⋅ (8)

Οι δυνάμεις (αλλά και οι ροπές) ευθύγραμμων (ή και περιστροφικών διατάξεων)

που αποτελούνται από το πρωτεύων 1 και δευτερεύον 2 χωρίς υποστήριξη σιδήρου

57

μπορούν να υπολογιστούν με παραγώγιση της αμοιβαίας ηλεκτρομαγνητικής τους

ενέργειας. Λ.χ. η δύναμη στην κατεύθυνση (x) που συνήθως ονομάζεται ώθηση Τ

δίδεται από την σχέση :

12WT=x

∂∂

Τόσον ο υπολογισμός της 12M όσο και η παράγωγος της ως προς x μπορεί να

γίνει αριθμητικά με χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή.

Στην γενική περίπτωση πάντως όπου υπάρχουν σιδηρομαγνητικά υλικά ή

αγώγιμα στρώματα χρειαζόμαστε μια πιο γενική μέθοδο υπολογισμού των δυνάμεων

όπως είναι ο τανυστής του Maxwell (Maxwell Stress Tensor).

2.8 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΩΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ

ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΗ MAXWELL

Εάν κλείσουμε σε μια ιδεατή επιφάνεια S το τμήμα ενός ηλεκτρομαγνητικού

συστήματος πάνω στο οποίο ενδιαφερόμαστε να υπολογίσουμε τις δυνάμεις, αρκεί να

υπολογίσουμε τις δυνάμεις σ' αυτήν την επιφάνεια. Εννοείται ότι ο τελικός αποδέκτης

της συνισταμένης των δυνάμεων αυτών, δηλαδή ο υλικός φορέας που τις υποδέχεται,

είναι το εγκλωβισμένο «υλικό» τμήμα του συστήματος που βρίσκεται μέσα στην

επιφάνεια S.

Σε κάθε στοιχείο Δs της επιφάνειας που έχει μοναδιαίο κάθετο διάνυσα το n

(κατευθυνόμενο προς το εσωτερικό της) ασκούνται δύο δυνάμεις ως εξής:

• Θλιπτική δύναμη (Compressive component) :

1 ( )2n t t n nF H B H B n SΔ = − ⋅ ⋅ Δ (9)

• Διατμητική δύναμη (shear component) :

t n tF B H SΔ = ⋅ ⋅Δ (10)

Οι δείκτες t,n σημαίνουν εφαπτομενική και κάθετη συνιστώσα. Οι τύποι του

τανυστή του Maxwell είναι γενικοί και ισχύουν σε κάθε περίπτωση ηλεκτρομαγνητικού

πεδίου, αποδείχθηκαν δε για πρώτη φορά από τον ίδιο τον Maxwell.

58

Στην συνέχεια θα δούμε πως χρησιμοποιώντας τις συνιστώσες του τανυστή του

Maxwell μπορούμε να υπολογίσουμε τις δυνάμεις σε ευθύγραμμους και περιστροφικούς

κινητήρες .

2.9 ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΗ ΤΟΥ MAXWELL ΣΤΟΥΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥΣ

ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ

Με τη βοήθεια των συνιστωσών του Τανυστή του Maxwell μπορεί να

υπολογιστούν οι δυνάμεις μεταξύ πρωτεύοντος και δευτερεύοντος σε ένα ευθύγραμμο

κινητήρα, αν το πεδίο είναι γνωστό σε μια επιφάνεια μεταξύ πρωτεύοντος και

δευτερεύοντος (σχ. 19). Ας θεωρήσουμε λ.χ. ένα ευθύγραμμο κινητήρα και μάλιστα

μεγάλου πλάτους ώστε τα φαινόμενα των εγκάρσιων άκρων ν' αμελούνται, όπως θ'

αποδειχτεί τότε Ηy=0.

ΣΧΗΜΑ 19

Έστω ότι μαγνητικό πεδίο είναι γνωστό στο επίπεδο z=z1. Η εφαπτομενική

συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου στο επίπεδο αυτό είναι η Ht(zl,x)=Hx(x), και η

κάθετος συνιστώσα του είναι η Ηn(z1,x)=Ηz(x). Άρα χρησιμοποιώντας τις συνιστώσες

του τανυστή Maxwell μπορούμε να εξάγουμε τους παρακάτω ολοκληρωτικούς τύπους

για τον υπολογισμό δυνάμεων ανά m πλάτους (κάθετης Fz και εφαπτοµενικής Fx) : +

2 20z/(m πλατους) x z

-

μF ( H (x) - H (x) ) dx 2

∞

∞

= ⋅∫ (11)

59

Η δύναμη αυτή συμβολίζεται µε L=(Lift Fοrce) και ονομάζεται δύναμη

ανάρτησης. +

x/(m πλατους) 0 z x-

F μ H (x) H (x) dx∞

∞

= ⋅ ⋅∫ (12)

H δύναμη αυτή συμβολίζεται µε το σύμβολο T=(Thrust Fοrce) και ονομάζεται

δύναμη πρόωσης.

Συνήθως αν η Fx < 0, η δύναμη συμβολίζεται µε το σύμβολο D=(Drag

Force) και ονομάζεται δύναμη ανάσχεσης.

2.10 ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΗ ΤΟΥ MAXWELL ΣΤΟΥΣ

ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΟΥΣ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ

Παρόμοια ολοκληρώματα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και για τον υπολογισμό

δυνάμεων ή ροπών σε περιστροφικούς κινητήρες, βλέπε σχήμα 20 (ή και σε

ευθύγραμμους σωληνωτούς ή και σε δισκοειδείς κινητήρες).

60

ΣΧΗΜΑ 20

Αρκεί το μαγνητικό πεδίο να είναι γνωστό σε μια επιφάνεια μεταξύ πρωτεύοντος

και δευτερεύοντος λ.χ. στον περιστροφικό κινητήρα του σχήματος 20 αν τα πεδία είναι

γνωστά στην περιφέρεια ακτίνας r μέσα στο διάκενο θα είναι : 2π

θ 0φ r

0

F μ H (φ) H (φ) dφ(m πλατους) 2

= ⋅ ⋅ ⋅∫

Άρα η ροπή Μ θα είναι :

2π

0φ r

0

μM H (φ) H (φ) dφ(m πλατους) 2

r⋅= ⋅ ⋅ ⋅∫

Ομοίως, η αξονική δύναμη ανά πόλο και m πλάτους θα είναι : π

2P 2 20r φ r

π-2P

r μF ( H (φ) - H (φ) ) dφ

2

+⋅

= ⋅ ⋅∫

Όπου Ρ είναι τα ζεύγη πόλων

Ας αναφερθεί επί πλέον ότι και η μεταφερόμενη ισχύ από το πρωτεύον στο

δευτερεύον μπορεί να υπολογιστεί με τη χρήση του διανύσματος Poynting από την σχέση

: 2π

φ y0

P r H E dφm πλα του ς 2

= ⋅ ⋅ ⋅∫

φH = περιφερειακή συνιστώσα μαγνητικού πεδίου.

61

yE = συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου στην κυλινδρική κατεύθυνση κατά πλάτος του

περιστροφικού κινητήρα.

Η ηλεκτρομαγνητική αυτή ισχύς μεταφέρεται στην ακτινική κατεύθυνση από το

πρωτεύον στο δευτερεύον και μετατρέπεται εν γένει σε μηχανική περιστροφική ισχύ και

ωμικές απώλειες στο δευτερεύον. Υπάρχει βέβαια και μια ταλαντευόμενη (άεργος) ισχύς

στο διάκενο που «πηγαινοέρχεται» απ’ το πρωτεύον στο δευτερεύον, που επίσης

περιέχεται στην στιγμιαία ισχύ P, αφού το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μεταβάλλεται με το

χρόνο και μάλιστα με κυκλική συχνότητα ω.

62

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΎΜΑΤΑ (ΧΑΜΗΛΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ)

ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ EΌURIER

3.1 ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΑΣΙΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Ηλεκτρομαγνητικό κύμα ονομάζουμε γενικά κάθε μεταβλητό ηλεκτρομαγνητικό

πεδίο στο χρόνο. Αν περιοριστούμε στη μια διάσταση (x) και σε κύματα σταθερής

συχνότητας το ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι της μορφής : 0

jωtF(x,t)=Real( F(x) e )⋅

Για την μελέτη των ευθύγραμμων κινητήρων δυο κατηγορίες ηλεκτρομαγνητικών

κυμάτων είναι πολύ χρήσιμες. Τα τρέχοντα αρμονικά κύματα και τα στάσιμα αρμονικά

κύματα.

- Αρμονικό τρέχον ηλεκτρομαγνητικό κύμα καλούμε την πεδιακή συνάρτηση 0

j (ω t -k x )F (x ,t)= R e a l( F e )⋅ ⋅ ⋅⋅

άρα για αρμονικά κύματα το 0 0

- j k xF ( x ) = F e ⋅ ⋅⋅

Το 0F είναι μιγαδική σταθερά (ανεξάρτητη του χ) και καλείται

αντιπροσωπευτικός μιγαδικός του αρμονικού κύματος, το 0F καλείται μέτρο

του κύματος και η γωνία 0

φ=ορ( F) είναι η φάση του κύματος. Γράφουμε δε

0f(x,t) F⇔ ( δηλαδή το αρμονικό κύμα f(x,t) αντιστοιχεί μονοσήμαντα στο μιγαδικό

αριθμό0F ).

Η ω καλείται κυκλική συχνότητα και λαμβάνεται πάντοτε θετική. Αυτό σχετίζεται

µε το γεγονός ότι το παρόν δημιουργείται αποκλειστικά απ' το παρελθόν και δεν

63

επηρεάζεται από το μέλλον, δηλαδή ο χρόνος «ρέει» πάντοτε σε μια κατεύθυνση . Η

κυκλική συχνότητα συνδέεται µε την περίοδο των τοπικών ταλαντώσεων µε τη σχέση

Τ=2π/ω=1/f, όπουf η συχνότητα του κύματος.

Ο αριθμός κ καλείται κυματαριθμός και μπορεί να είναι θετικός ή αρνητικός

αριθμός, πράγμα που σχετίζεται με το γεγονός ότι τα κύματα μπορούν να κινηθούν και

προς τις δύο κατευθύνσεις, συνδέεται δε µε το μήκος του αρμονικού κύματος µε τη

σχέση λ=2π/k. Συνήθως το λ στους ευθύγραμμους κινητήριες λαμβάνεται ίσο προς 2τ,

όπου τ το πολικό βήμα του κινητήρα άρα πκ=τ

.

Ταχύτητα φάσεως του κύματος ονομάζουμε την σταθερά ωυ=κ

(που μπορεί να

είναι θετικός ή αρνητικός αριθμός).

Μία παράσταση του κύματος στο χρόνο έχουμε αν λάβουμε µία ημιτονοειδή

συνάρτηση του x µε μέγιστη τιμή F και αρχική φάση του φ δηλαδή f=F sin(κx+φ)⋅ ,

την οποία να κινήσουμε προς την κατεύθυνση του+∞ για κ>0 , µε ταχύτητα ωυ=κ

(ή αντίθετα αν κ<0 ,βλέπε σχ. 21).

Τότε όλα τα σημεία της εκτελούν ταλάντωση µε ίδια συχνότητα ω, και διαφορετική

φάση. Η δ (δηλαδή η φάση φ του κύματος) κινείται επίσης µε ταχύτητα υ.

ΣΧΗΜΑ 21

- Αρμονικό στάσιμο κύμα καλούμε τη συνάρτηση: 0

j ω tG(x,t)=Real[G cos(κx+φ) e ]⋅ ⋅⋅ ⋅

64

Το κύμα αυτό χαρακτηρίζεται πάλι από το μέτρο του 0G , τις φάσεις του, χωρική φ

και χρονική που ισούται με το 0

ορ (G ) , τον κυματαριθμό του κ και τη συχνότητα του ω.

Το αρμονικό αυτό κύμα για κάποιες τιμές χ (δεσμοί) όπου k·χ+φ=n·Π+ Π/2 γίνεται

μόνιμα μηδέν για n=−∞ ,…..,+∞ ενώ για τις τιμές του χ που πληρούν τη σχέση

k·χ+φ=n·π, το g(x,t) παίρνει για κάποια t τις μέγιστες τιμές του.

Όλα τα σημεία χ εκτελούν ταλάντωση διαφορετικού πλάτους 0G cos( )xκ φ⋅ + ίδιας

όμως συχνότητας και χωρίς φασική διαφορά μεταξύ τους.

- Αρμονικό στατικό κύμα (κατ' επέκταση) καλούμε τη συνάρτηση: 0

-j κ xS(x,t)=Real(S e )⋅ ⋅⋅

που τη θεωρούμε σαν αρμονικό κύμα μηδενικής συχνότητας ω (ω=0 σημαίνει

συνεχές ρεύμα τροφοδοσίας).

Μπορούμε εύκολα ν' αποδείξουμε τα παρακάτω:

α. Για δύο αρμονικά κύματα fl(x,t), f2(x,t) µε παραστατικούς μιγάδες τους 0 0

1 2F , F και ίδια ω και k ισχύουν οι σχέσεις: 0 0

1 21 1 2 2 1 2α. c f (x,t)+c f (x,t) F +c Fc⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅

01

1f (x,t)β. jωF

t∂

⇔∂

01

1f (x,t)γ. -jκF

x∂

⇔∂

0

11f (x,t) Fδ. ξ ξ

∂ ∂⇔

∂ ∂

ε. Δυο αρμονικά κύματα µε ίδια πλάτη και συχνότητες και αντίθετα κ

(δηλαδή αντίθετα κινούμενα) φτιάχνουν ένα στάσιμο κύμα.

Πραγματικά : 0

j (ω t-κ x)1f (x,t)=Real[ F e ]⋅ ⋅ ⋅⋅

0j (ω t+κ x)

2f (x,t)=Real[ F e ]⋅ ⋅ ⋅⋅

0j ω t

1 2f(x,t)=f (x,t)+f (x,t)=2 Real[ F cos(κ x) e ]⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

65

στ. Δυο στάσιμα κύματα που έχουν χωρική φασική διαφορά π/2 και χρονική π/2

δημιουργούν ένα τρέχον αρμονικό κύμα (εφόσον έχουν ίδιο πλάτος). Δηλαδή: j ω t

1f (x,t)=Real[F cos(κ x) e ]⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

πj (ω t+ )2

2πf (x,t)=Real[F cos(κ x+ ) e ]2

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

j ω t1 2f(x,t)=f (x,t)+f (x,t)=Real[F [cos(κ x)-j sin(κ x)] e ]⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

-j κ x j ω t j (ω t-κ x)Real[F e e ]=Real[F e ]⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

η. Τρία στάσιμα κύματα που έχουν το ίδιο πλάτος F χωρική διαφορά φάσεως 2π/3

και χρονική 2π/3 δίνουν πάλι ένα τρέχον κύμα (και μάλιστα µε πλάτος 3/2F). j ω t

1f (x,t)=Real[F cos(κ x) e ]⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

2 πj (ω t- )3

22 πf (x,t)=Real[F cos(κ x+ ) e ]

3

⋅⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅

2 πj (ω t+ )3

32 πf (x,t)=Real[F cos(κ x- ) e ]

3

⋅⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅

j (ω t-κ x)1 2 3

3f(x,t)=f(x,t) +f (x,t)+f (x,t)=Real[ F e ] τρεχον προς το + απειρο2

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

Σημείωση: αν το δεύτερο κύμα έχει χρονική φάση 2π/3 και το τρίτο -2π/3 το τελικά

σχηματιζόμενο αρμονικό κύμα έχει αρνητικό k δηλαδή τρέχει προς το −∞ .

3.2 ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΣΕΙΡΕΣ FOURIER

Τα περιοδικά κύματα είναι μια μαθηματική επέκταση των αρμονικών κυμάτων.

Γενικά θεωρούμε ότι η συχνότητα διέγερσης είναι σταθερή δηλαδή εξετάζουμε εν γένει

κύματα της ίδιας συχνότητας, δηλαδή κύματα που παράγονται από την ίδια πηγή

σταθερής συχνότητας ω άρα : 0

jωtf(x,t)=Real[ F(x) e ]⋅

Ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα καλείται περιοδικό ως προς το χώρο (χ) αν ισχύει η

σχέση :

f(x,t)=f(x+λ,t) για καθε x.

Το λ καλείται μήκος κύματος, του περιοδικού κύματος.

66

Δηλαδή τότε θα είναι : 0 0F(x)= F(x,λ)

Οι συναρτήσεις 0F (x) µε την προηγούμενη ιδιότητα αποδεικνύεται ότι μπορούν ν'

αναλυθούν σε ένα σύνολο από αρμονικά κύματα με κυματοριθμούς:

nα =- n κ⋅ όπου 2πκ=λ

και n ακέραιος .

Δηλαδή: n0

j α xn

n = -

F ( x ) = F e∞

⋅ ⋅

∞

⋅∑

Τότε αποδεικνύεται εύκολα ότι:

n

λ0 0- j α x

n

0

1F F ( x ) e d xλ

⋅ ⋅= ⋅ ⋅∫

Η ανάλυση με αρμονικά κύματα ονομάζεται ανάλυση σε σειρά Fourier.

3.3 ΑΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ FOURIER

Γενικεύοντας μπορούμε να πούμε ότι και τα µη περιοδικά κύματα της ίδιας

συχνότητας, μπορούν ν' αναλυθούν σε αρμονικά κύματα όχι όμως µε διακεκριμένες τιμές

κυματαριθμών αn αλλά µε συνεχείς τιμές κυματαριθμών α.

Τότε μπορεί ν' αποδειχτεί ότι: +0 0

j α x

-

dαF (x)= F (α ) e2π

∞⋅ ⋅

∞

⋅ ⋅∫ (13)

+0 0-j α x

-

F (α )= F (x) e dx∞

⋅ ⋅

∞

⋅ ⋅∫ (14)

Συμβολικά γράφουμε : 0 0F(x) F(α)⇔

ΠΡΟΣΟΧΗ : Χρησιμοποιούμε για λόγους ευκολίας παρουσίασης το ίδιο

σύμβολο 0F για τη συνάρτηση και το μετασχηματισμό της κατά Fourier (Fourier

Transform), όμως πρόκειται για εντελώς διαφορετικές συναρτήσεις με διαφορετικές

μεταβλητές x και α.

67

3.3.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Μ/ΜΩΝ FOURIER

Οι παρακάτω ιδιότητες μπορούν ν ‘αποδειχτούν σχετικά εύκολα, παρόλα αυτά

θεωρούμενες ως οι βασικές μαθηματικές σχέσεις που διέπουν τους Μετασχηματισμούς

Fourier παρατίθενται χωρίς απόδειξη.

Αν 0 0 0 0

1 1 2 2F (x) F ( ) F (x) F (α)α και⇔ ⇔ θα ισχύουν οι σχέσεις:

α. Γραμμικότης 0 0 0 0

1 2 1 21 2 1 2 1 2C F (x)+C F (x) C F (α)+C F (α) (C ,C σταθερες)⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅

β. Παραγώγιση 0

011

F (x) j α F (α)x

∂⇔ ⋅ ⋅

∂

0 0

1 1F (x) F (α) ξ ξ

∂ ∂⇔

∂ ∂

0

11

F (α)-j x F ( ) α

x ∂⋅ ⋅ ⇔

∂

γ. Μετατόπιση , αλλαγή κλίμακας :

00 0

-j α x1 10F (x-x ) F (α) e ⋅ ⋅⇔ ⋅

0 0j x

1 1e F ( x ) F ( α - )κ κ⋅ ⋅ ⋅ ⇔

0 0

1 11 αF (κ x) F ( )κ κ

⋅ ⇔ ⋅

δ. Συνέλιξη (Convolution): +0 0 0 0

11 2 1 1 2 1

-

dαF (x) F (x) F (α-α ) F (α )2π

∞

∞

⋅ ⇔ ⋅ ⋅∫

+ 0 0 0 0

1 21 1 2 1 1-

F (x+x ) F (x ) dx F (α) F (α)∞

∞

⋅ ⋅ ⇔ ⋅∫

ε. Ιδιότητες Parseval

68

+ + 0 0

1 21 2- -

dαF (x) F (x) dx= F (α) F (α) (* σημαινει συζυγης)2π

∗

∞ ∞∗

∞ ∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

+ + 0 0

1 21 2- -

dαF (x) F (x) dx= F (α) F (-α) 2π

∞ ∞

∞ ∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

3.4 ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER

Οι συνήθεις Μετασχηματισμοί Fourier που θα χρειαστούν κατά την μελέτη των

συστημάτων πρόωσης και ανάρτησης είναι Μετασχηματισμοί Fourier των ορθογώνιων

συναρτήσεων.

Ορθογώνια συνάρτηση F(x) ορίζουμε την συνάρτηση η οποία φαίνεται στο σχήμα

που ακολουθεί:

ΣΧΗΜΑ 22

Η συνάρτηση αυτή στο διάστημα -δ x δ≤ ≤ έχει σταθερή τιμή Ι2δ

, ενώ

μηδενίζεται εκτός του διαστήματος αυτού. Με μόνη την χρήση του ορισμού του Μ/μου

Fourier μπορούμε να αποδείξουμε ότι ο Μετασχματισμός Fourier της F(x) είναι :

2 sin(α δ)F(α)= α 2 δ

⋅ ⋅ Ι⋅⋅

(15)

Για αδ 1, F(α)=Ι

Εάν η συνάρτηση μετατοπιστεί δεξιά κατά 0Χ τότε ισούται προς 1 0F (x)=F(x-x ) (το

κέντρο της είναι στη θέση 0x=x ), άρα :

0- j α x1

s i n (α δ )F (α ) = eα δ

⋅ ⋅⋅⋅ Ι ⋅

⋅(16)

69

(Αν μετατοπιστεί αριστερά ο εκθέτης θα έχει πρόσημο +).

Εάν στην ορθογωνική συνάρτηση το δ τείνει στο μηδέν, η συνάρτηση

F(x)μετατρέπεται στην συνάρτηση Ι δ(x)⋅ όπου δ(x) είναι η συνάρτηση του Dirac. Η

συνάρτηση του Dirac δ(x) ορίζεται ως εξής :

• δ(x) 0 μονον για x=0≠

• δ(x)=0 για καθε x 0≠

• Επί πλέον : b

α

δ(x) f(x) dx=f(0)⋅ ⋅∫ εφόσον α<0<b.

Ο μετασχηματισμός της Ι δ(x)⋅ θα γίνει μια σταθερά ίση προς Ι.

Πράγματι θα είναι: + +

- -

F( )= F(x) δ(α) dxj x j xe dx eα αα∞ ∞

− ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

∞ ∞

⋅ ⋅ = Ι ⋅ ⋅ ⋅ = Ι∫ ∫ .

Αντίστροφα αν το δ τείνει στο άπειρο δηλαδή η συνάρτηση F(x) είναι

σταθερή και ίση προς Ι, ο μετασχηματισμός της γίνεται ίσος προς F(α)=2π δ(α)⋅ Ι ⋅ .

Πράγματι θα είναι: + +

- -

dαF(x)= F(α) δ(α) dα2π

j x j xe eα α∞ ∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∞ ∞

⋅ ⋅ = Ι ⋅ ⋅ ⋅ = Ι∫ ∫ .

Εάν πολλαπλασιάσουμε την συνάρτηση F(x) με την -j κ xe ⋅ ⋅ η συνάρτηση -j κ x

2F (x)=F(x) e ⋅ ⋅⋅ έχει Μετασχηματισμό Fourier την συνάρτηση :

2sin[(α+κ) δ]F (α)=

(α+κ) δ⋅

⋅ Ι⋅

(17)

(Αυτό πάλι αποδεικνύεται κατ΄ ευθείαν από τον ορισμό του Μ/μου Fourier αλλά

και είναι φανερή από τις ιδιότητες μετατόπισης του Μετασχηματισμού Fourier ) -j κ x

3 3Εαν δ δηλαδη F (x)=I e F (x)=2π Ι δ(α+κ)⋅ ⋅→ ∞ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ .

Ας βρούμε τον Μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης 1F (x) που αποτελείται

από δυο όμοιους ορθογωνικούς παλμούς μετατοπισμένους σε συμμετρικά σημεία 0±x ,

όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.

70

ΣΧΗΜΑ 23

Άρα 1 0 0F (x)=F(x+x )+F(x-x ) δηλαδή :

0 0j α x -j α x1 0F (α)=F(α) [e +e ]=2 F(α) cos (α x )⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

Ομοίως μπορεί να αποδειχτεί ότι η συνάρτηση 2F (x) που αποτελείται από δυο

αντίθετους ορθογωνίους παλμούς θα έχει Μετασχηματισμό Fourier την συνάρτηση

2 0F (α)=2 j F(α) sin (α x )⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3.5 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ

FOURIER ΟΠΟΙΑΣΔΗΠΟΤΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α(x).

Ας υποθέσουμε ότι η A(x) είναι μια τυχαία συνάρτηση η οποία έχει εν γένει μια

περιοχή συσσώρευσης από το 1x στο 2x . Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές της συνάρτησης

εκτός του διαστήματος αυτού είναι μηδενικά ή μπορούν να αμεληθούν .

Μια καλή περιγραφή της A(x) θα ήταν να έχουμε τις τιμές της για Ν διαδοχικά

σημεία

: 2 1n 1

(x -x )x =x + (n-1), n=1,...,N (N-1)

( Εάν χρησιμοποιήσουμε το MATLAB το xn=linspace( x1, x2, N) )

Αρχίζοντας από το σημείο 1x και καταλήγοντας στο σημείο N 2x x= . Δηλαδή

υποθέτουμε ότι έχουμε μια ικανοποιητική εικόνα για την συνάρτηση όταν

‘‘αποθηκεύουμε’’ Ν τιμές της. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση μετατρέπεται σε ένα

71

Ν-διάστατο διάνυσμα. Για αυτό και οι συναρτήσεις για τον υπολογιστή είναι Ν-διαστατά

διανύσματα.

Για ένα μηχανικό που χρησιμοποιεί ηλεκτρονικό υπολογιστή το να προσδιορίσει το

διάστημα 1 2(x ,x ) και το Ν, για τα οποία θα γίνει μια ικανοποιητική αναπαράσταση

κάποιας συνάρτησης, φαίνεται απλή δουλειά. Παράγει με την βοήθεια του υπολογιστή

μια εικόνα της A(x) για ένα (αρχικά) πολύ μεγάλο διάστημα και αριθμό σημείων, ώστε

να λάβει μια ‘καλή’ εικόνα της A(x) . Στη συνεχεία εκτιμά αφ’ ενός την περιοχή 1 2(x ,x )

όπου η A(x) έχει σημαντική παρουσία και αφετέρου το ελάχιστο διάστημα διαμέρισης

ώστε η εικόνα της A(x) να είναι όσο χρειάζεται ικανοποιητική ( για την εφαρμογή που

μελετά) .

Τότε θα είναι :

2 1(x -x )N= 1 δx

+

Βλέποντας το θέμα αυτό από μια άλλη οπτική γωνία, η A(x) έχει γίνει ισοδύναμη

με ένα σύνολο Ν ορθογώνιων παλμών πλάτους δ με αντίστοιχες τιμές nA(x ) , όπου το

nx δίδεται από την σχέση (1). Ο Μετασχηματισμός Fourier της ισοδύναμης αυτής

συνάρτησης όμως μπορεί να υπολογιστεί απ’ τη σχέση:

n

Ν- j α x

nn = 1

α δ x2 s i n ( )2A ( α ) = A ( x ) e

α⋅ ⋅

⋅⋅

⋅ ⋅∑

Εάν υποθέσουμε ότι α δx2⋅ είναι πολύ μικρότερο της μονάδος τότε έχουμε :

n

Ν- j α x

n = 1

A ( α ) ( ) enx A xδ ⋅ ⋅⋅ ⋅∑

Με τον ίδιο τρόπο εάν έχουμε την συνάρτηση A(α) μπορούμε να προσδιορίσουμε ένα διάστημα 1 2(α ,α ) και το διάστημα διαμέρισης Δα ώστε με Μ σημεία να αναπαραστήσουμε ικανοποιητικά την εικόνα της A(α) .

Άρα :

2 1(α -α )Μ= 1Δα

+

Μπορούμε να γράψουμε τον αντίστροφο Μετασχηματισμό:

72

m

Mj α x

mm = 1

2 s i n ( )2A ( x ) = A ( ) e

x

x a

α ⋅ ⋅

⋅ Δ⋅

⋅ ⋅∑

κατά προσέγγιση για Δαx 12

⋅ θα είναι:

m

Mj α x

m = 1

A ( x ) ( ) ema A α ⋅ ⋅Δ ⋅ ⋅∑

Ουσιαστικά στην παράγραφο αυτή δείξαμε ότι για συναρτήσεις ψηφιακά

αποθηκεμένες (όπου δηλαδή η συνάρτηση ταυτίζεται με το σύνολο των τιμών της σε

δεδομένα διαδοχικά σημεία ), ο Μετασχηματισμός Fourier ( ή ο αντίστροφος

Μετασχηματισμός Fourier ) υπολογίζεται με μόνη τη γνώση του Μετασχηματισμού

Fourier της ορθογωνικής συνάρτησης.

Η κατηγορία αυτή των συναρτήσεων που μπορούν να αποθηκευτούν ψηφιακά, για

τους συνήθεις προσεγγιστικούς υπολογισμούς των μηχανικών, είναι ο συνήθης ή σχεδόν

αποκλειστικός τρόπος για την αριθμητική απεικόνισης τους.

Προσοχή χρειάζεται μόνον στην επιλογή διαστημάτων 1 2(x ,x ) , 1 2(α ,α ) και

διαμέρισης δx, Δα για την ικανοποιητική αναπαράσταση των συναρτήσεων ή των

Μετασχηματισμών Fourier αυτών των συναρτήσεων. Αυτό όμως είναι τεχνική που

αποκτάται με εμπειρία ή τέχνη που απαιτεί διανοητικό ταλέντο. Η τεχνική και το ταλέντο

όμως χρειάζονται σε κάθε μηχανικό.

3.5 ΣΧΕΣΗ ΣΕΙΡΑΣ FOURIER ΜΕ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ FOURIER

Έστω F(x) περιοδική συνάρτηση µε περίοδο το λ, 2πκ=λ

τότε:

2 π0 0-j n ( ) x -j n κ xλn nn0

1F F (x ) e d x κ α ι F F eλ

λ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ = ⋅∑∫

α) θεωρώ μια συνάρτηση 0

0

1F (x) 0 x λF (x)=0 x λ η x 0

≤≥≺

≺

Η μετασχηματισμένη κατά Fourier της 0

1F (x) θα είναι :

73

+0 0 0-j α x -j α x

1 10

-

F (α)= F (x) e dx= F (x) e dxλ

∞⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

άρα: 0 0

n 11F F (α=-n κ)λ

= ⋅ ⋅

β) 0 0

- j n κ xn

n = -

F ( x ) = F e∞

⋅ ⋅ ⋅

∞

⋅∑

άρα: 0

n=-F(α)=2 π F δ(α+n κ)

∞

∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑

Αν Fx(x), Fy(x) περιοδικές µε περίοδο λ. Τότε:

* * *0 0 0 0 0 0

x y n,x n ,y x,1 y,10

n=- n=-

1F (x) F (x) dx F F F (-nκ) F (-nκ)λ

λ ∞ ∞

∞ ∞

⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅∑ ∑∫

*0 0 0 0 0 0

z x n,z -n,x x,1 z,10

n=- n=-

1F (x) F (x) dx λ F F F (-nκ) F (nκ)λ

λ ∞ ∞

∞ ∞

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∑ ∑∫

3.6 ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER ΣΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ

ΚΥΜΑΤΑ

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε µια ηλεκτρομαγνητική διάταξη ακίνητη ως προς το

σύστημα αναφοράς (Οxyz ) , που ας ονομαστεί διέγερση, η οποία δημιουργεί στο χώρο

ηλεκτρομαγνητικό πεδίο, δηλαδή κάποιο κύμα µε κυκλική συχνότητα ω. Δηλαδή όλες οι

πεδιακές συνιστώσες στο χώρο είναι της μορφής : 0

-j ω tF(x,y,z,t)=Real[ F(x,y,z) e ]⋅ ⋅⋅

Αν κάποια άλλη ηλεκτρομαγνητική διάταξη κινείται στην κατεύθυνση του άξονα

x µε ταχύτητα +υ είναι φανερό ότι ενδεχομένως να βλέπει, τουλάχιστον ως προς άξονα

x, πράγματα διαφορετικά από αυτά που βλέπει ακίνητος παρατηρητής.

Πραγματικά έστω ότι στην κατεύθυνση x έχουμε ένα αρμονικό κύμα µε

κυματαριθμό k κινούμενο στην κατεύθυνση x µε ταχύτητα υs=ω/k ( )→+∞ . Τότε ο

κινούμενος παρατηρητής βλέπει το κύμα να κινείται µε ταχύτητα υs-υ ενώ το μήκος

κύματός του παραμένει το ίδιο. Δηλαδή το k παραμένει το ίδιο, άρα αυτό που αλλάζει

74

για τον κινούμενο παρατηρητή είναι η συχνότητα. Αν ω' η συχνότητα που

αντιλαμβάνεται κινούμενος παρατηρητής τότε:

ss

ω' =κ ω'=(υ - ) κ=ω-υκυ -υ

υ⇒ ⋅

Για την γενική αρμονική µας ανάλυση σε ολοκλήρωμα Fourier όπου -k=α

μπορούμε να γράψουμε ότι :

ω' =ω+αυ

3.7 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ FOURIER

Στην παράγραφο (2.9) δόθηκαν οι τύποι υπολογισμού δυνάμεων ανά μέτρο

πλάτους για ευθύγραμμη ηλεκτρομαγνητική διάταξη. Έτσι η ώθηση Τ λ.χ. δίνεται απ' τη

σχέση: +

z x-T=μ Η Η dx

∞

∞⋅ ⋅∫ (12)

όπου τα Ηx Ηz είναι οι μη μηδενικές συνιστώσες της μαγνητικής έντασης στη θέση

z=z1. Ας υποθέσουμε ότι οι συνιστώσες αυτές είναι κύματα στην κατεύθυνση x,

σταθερής συχνότητας ω. Δηλαδή έχουν την μορφή: 0

jωtzzΗ =Real( H (x) e )⋅

0jωt

xxΗ =Real( H (x) e )⋅

Τότε η Τ είναι συνάρτηση του χρόνου και μάλιστα 0 0+ jωt jωt

x x-

T(t)=μ Real( H (x) e ) Real( H (x) e )dx∞

∞⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫

Όμως: 0 0 0 0 0 0

*1 1 Real[Α ] Real[Β]= Real[Α Β ]+ Real[Α Β]2 2

⋅ ⋅ ⋅

Άρα: 0 0 0 0+ +* 2 j ω t0 0

z x z x- -

μ μ T= Real H (x) H (x) dx + Real[e H (x) H (x) dx]2 2

∞ ∞⋅ ⋅ ⋅

∞ ∞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

Δηλαδή η T(t) αποτελείται από δύο όρους, ένα σταθερό και ανεξάρτητο του χρόνου

(που συμβολίζεται µε Τ). 0 0+ *0

z x-

μ Re H (x) H (x) dx 2

∞

∞Τ = ⋅ ⋅ ⋅∫

75

και ένα μεταβλητό που μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου με συχνότητα 2ω και

μέγιστη τιμή το μέτρο της παράστασης Ts. 0 0+0

z xS -

μT = H (x) H (x) dx2

∞

∞⋅ ⋅ ⋅∫

Ας υποθέσουμε περαιτέρω ότι το 0 0

z xH (x),H (x) έχουν μετασχηματισμένες

συναρτήσεις κατά Fourier τις συναρτήσεις 0 0

z xH (α) H (α)⋅ .

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες Parseval προκύπτουν οι σχέσεις: 0 0+ *

z x-

μ dαRe H (α) H (α) 2 2π

∞

∞Τ = ⋅ ⋅ ⋅∫ (18)

0 0+z xS -

μ dαH (α) H (-α) 2 2π

∞

∞Τ = ⋅ ⋅ ⋅∫

Με όμοιο ακριβώς τρόπο μπορεί ν' αποδειχτεί ότι και η δύναμη ανάρτησης L(t) έχει

δύο συνιστώσες μια σταθερή L ( ίση προς την μέση τιμή ως προς χρόνο της L(t) και μια

ημιτονοειδή µε μηδενική μέση τιμή ως προς το χρόνο , συχνότητα 2ω και πλάτος το

μέτρο της μιγαδικής παράστασης Ls.

Με παρόμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι : 2 20 0+

x z-

μ dαL= ( H (α) H (α) ) 4 2π

∞

∞⋅ − ⋅∫ (19)

0 0 0 0+x x z zS -

μ dαL = (H (α) H (-α)-H (α) H (-α)) 4 2π

∞

∞⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫

Στην περίπτωση όπου ένα από τα δύο μεγέθη είναι περιοδική συνάρτηση µε

περίοδο 2τ (έστω το 0H (x) ) είναι φανερό ότι :

+0 0

z nn=-

H (α)=2π F δ(α+κn)∞

∞

⋅ ⋅∑

όπου k=π/τ.

Άρα λ.χ. + 0 0

*n x

n=-

μ Real F H (-κ n)2

∞

∞

Τ = ⋅ ⋅ ⋅∑

+ 0 0

n xSn=-

μ Real F H (κ n)2

∞

∞

Τ = ⋅ ⋅ ⋅∑

Στην περίπτωση όπου και τα δύο μεγέθη είναι περιοδικά µε περίοδο 2τ τότε

+ 0

- j n κ xn ,xx

n = -

Η ( ) F ex∞

∞

= ⋅∑ ,+ 0

- j n κ xn ,zz

n = -

Η ( ) F ex∞

∞

= ⋅∑

76

Τα μεγέθη Τ, Τς, L, Ls για το μήκος 2τ (ανά περίοδο) και πάντοτε βέβαια και ανά

μονάδα πλάτους), θα είναι λχ. :

+ 0 0λ *

n,z n,xz0n=-

μ Real (x) (x) dx = 2 τ F F2 x

∞

∞

Τ = ⋅ Η ⋅Η ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑∫ κτλ. για τα υπόλοιπα

μεγέθη

Στην περίπτωση όπου τα δύο κυματικά μεγέθη έχουν συχνότητα ω=0 (Στατικά

κύματα δηλαδή συνεχές ρεύμα τροφοδοσίας) τα μεγέθη Ηx(x), Ηz(x) είναι πραγματικοί

αριθμοί και επομένως: + + *

0 x z x z- -T =μ (x) (x) dx = μ (x) (x) dx

∞ ∞

∞ ∞⋅ Η ⋅Η ⋅ ⋅ Η ⋅Η ⋅∫ ∫

Άρα για συνεχές ρεύμα:

+ *

0 x z-

dαT =μ (α) (α)2π

∞

∞⋅ Η ⋅Η ⋅∫ (20)

Αυτό βγαίνει απ' το γεγονός ότι όταν Ηx(x), Ηz(x) πραγματικοί και όταν το ω τείνει

στο μηδέν θα είναι :

TO=T+Ts=2T,

Ομοίως για την L για συνεχές ρεύμα προκύπτει η σχέση: + 2 2

0 x z-

μ dαL = ( (α) (α) ) 2 2π

∞

∞⋅ Η − Η ⋅∫ (21)

Ας υποθέσουμε τέλος ότι τα δύο πεδία έχουν διαφορετικές συχνότητες ω1,ω2 τότε

μπορούμε ν' αποδείξουμε ότι λ.χ. η 1 2 1 2j (ω -ω ) j (ω +ω )

D ST(t)=Real[T e +T e ]⋅ ⋅⋅ ⋅

όπου + *

D z x-

μ dαT = (α) (α)2 2π

∞

∞⋅ Η ⋅Η ⋅∫

+

S z x-

μ dαT = (α) (-α)2 2π

∞

∞⋅ Η ⋅Η ⋅∫

Έχουμε λοιπόν δύο ημιτονοειδείς δυνάμεις οι οποίες όμως έχουν μηδενική μέση

τιμή ως προς το χρόνο. Δηλαδή ουσιαστικά δεν προλαβαίνουν να ασκηθούν δυνάμεις

από το πρωτεύον στο δευτερεύον του συστήματος εκτός εάν η διαφορά ω1-ω2 είναι

(απολύτως) ένας πολύ μικρός αριθμός έτσι που να δίνεται η δυνατότητα στην διάρκεια

77

της ημι-περιόδου Τ/2=1/2(ω1-ω2), που ασκούνται δυνάμεις μιας φοράς να υπάρξει

αντίστοιχο κινητικό αποτέλεσμα.

3.8 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΙΣΧΥΟΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ FOURIER Κατά τα γνωστά η ισχύς ανά m πλάτους (y) η οποία διέρχεται, δια ενδιάμεσου

επιπέδου στο διάκενο μεταξύ πρωτεύοντος-δευτερεύοντος ευθύγραμμης

ηλεκτρομαγνητικής διάταξης δίνεται από τη σχέση: +

x y-P=- Η dx

∞

∞⋅Ε ⋅∫ (22)

Όπου Ηx ειναι η συνιστώσα κατά τον άξονα x, της έντασης του μαγνητικού πεδίου

και Εy η (μη μηδενική) συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου, κατά τον αξονα y, στην

επίπεδη επιφάνεια z=z1.

Ας υποθέσουμε ότι Ηχ, Εy είναι πεδία της ίδιας συχνότητας, δηλαδή : 0

jωtxxΗ Real( H (x) e )= ⋅

0jωt

yy Real( E (x) e )Ε = ⋅

Τότε 0 0+ jωt jωt

x y-

P(t)= Real( H (x) e ) Real( E (x) e ) dx∞

∞⋅ ⋅ ⋅∫

όπου P(t) είναι η στιγμιαία ισχύς που εισέρχεται (+) ή εξέρχεται (-) από το επίπεδο

z=z1 της ευθύγραμμης διάταξης.

Μπορώ ν' αποδείξω εύκολα ότι η P(t) χωρίζεται σε δύο τμήματα το πρώτο

ημιτονοειδές με συχνότητα 2ω, συν μια σταθερά Ρ (άρα µε μέση τιμή Ρ), και το δεύτερο

ημιτονοειδές με συχνότητα 2ω, μέση τιμή 0 και μέγιστη τιμή Q και μάλιστα θα είναι:

P(t)=P (1-cos(2 ω t))+Q sin(2 ω t)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (23)

Όπου τα P,Q δίδονται απο τις σχέσεις:

* *0 0 0 0+ +

x y x y- -

1 1 dαP=- Re [ H (x) E (x) dx] - Re [ H (α) E (α) ]2 2 2π

al al∞ ∞

∞ ∞⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫

* *0 0 0 0+ +

x y x y- -

1 1 dαQ=- [ H (x) E (x) dx] - [ H (α) E (α) ]2 2 2π

Jmag Jmag∞ ∞

∞ ∞⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

Δηλαδή :

78

*0 0 0+

x y-

1 dαP+jQ = H (α) E (α) = S =μιγαδικη ισχυς.2 2π

∞

∞⋅ ⋅ ⋅∫ (24)

Η πραγματική ισχύς Ρ είναι η καταναλισκομένη ισχύς στο δευτερεύον του

ευθύγραμμου κινητήρα (η οποία γίνεται εν γένει εν μέρει μηχανική ισχύς και εν μέρει

απώλειες Joule).

Η άεργός ισχύς Q είναι κατά κάποιο τρόπο το μέτρο της αποθηκευμένης στο

σύστημα ενέργειας W µε τη μορφή μαγνητικού πεδίου

Στην περίπτωση που ζητείται η συνολική ισχύς που αποδίδει σε ένα

ηλεκτρομηχανικό σύστημα ένα φύλλο ρεύματος ανά μέτρο πλάτους (y) µε γραμμική

πυκνότητας ρεύματος Jy μπορούμε ν' αποδείξουμε ότι: + *

y y-

1 dαP+jQ= J (α) E (α)2 2π

∞

∞⋅ ⋅ ⋅∫

Μπορούμε ν' αποδείξουμε ότι η αποθηκευμένη ενέργεια του μαγνητικού πεδίου W

συνδέεται με την ολική άεργο ισχύ Q με την σχέση:

QW=2 ω⋅

Aν κρατήσουμε σε ένα σύστημα τα ρεύματα σταθερά μπορεί να αποδειχτεί ότι η

δύναμη στην κατεύθυνση θ δίδεται απο την σχέση :

θW 1= = Fθ 2

Qω θ

∂ ∂⋅

∂ ⋅ ∂

Δηλαδή η μεταβολή της αποθηκευμένης μαγνητικής ενέργειας στην κατεύθυνση

θ, δίδει τη δύναμη στην κατεύθυνση θ (λ.χ. αν θ=x Fx= δύναμη στην κατεύθυνση x, εάν

θ= γωνία, Fθ= ροπή, κτλ. ).

Ισοδύναμα μπορεί ν’ αποδειχτεί ότι αν κρατήσουμε σε ένα διάκενο τις

εφαπτομενικές συνιστώσες του μαγνητικού πεδίου σταθερές ( δηλαδή Ht σταθερό) τότε

πάλι θα είναι : θW =Fθ

∂∂

79

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΜΕΛΕΤΗ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ

4.2 ΓΕΝΙΚΑ Μια επίπεδη ηλεκτρομαγνητική διάταξη αποτελείται από ένα σύνολο επίπεδων

παράλληλων διαδοχικών στρωμάτων (αγώγιμων ή µη αγώγιμων) που διεγείρονται από

ένα σύνολο από ομοπαράλληλα επίπεδα στρώματα ρεύματος (που θα τις ονομάζουμε

διεγέρσεις). Οι σημαντικότερες ευθύγραμμες διατάξεις ηλεκτρομαγνητικής πρόωσης και

ανάρτησης έχουν μια ή δυο το πολύ διεγέρσεις.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε ένα επίπεδο στρώμα πάχους d µε μαγνητική

διαπερατότητα µ και αγωγιμότητα σ, το οποίο κινείται στην κατεύθυνση του άξονα x µε

ταχύτητα υ βλέπε σχ. 24.

Το στρώμα αυτό δέχεται τις επιδράσεις εξωτερικών πεδίων και διεγέρσεων και ας

υποθέσουμε προς στιγμήν ότι όλα τα εξωτερικά πεδία και διεγέρσεις έχουν την ίδια

συχνότητα ω, ως προς το σύστημα (x,y,z).Αυτό σημαίνει βεβαίως ότι το στρώμα ¨βλέπει¨

λόγω Doppler συχνότητα ω'=ω+αυ.

Ζητάμε να προσδιορίσουμε το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο μέσα στο στρώμα αυτό

υποτιθεμένου ότι γνωρίζουμε τις συνιστώσες του στις δυο οριακές επιφάνειες του

στρώματος.

Κατά τα γνωστά στο στρώμα θα ισχύουν οι σχέσεις :

E=-j ω' B∇× ⋅ ⋅

×H=J∇

Όπου J εκφράζει την πυκνότητα ρεύματος των επαγομένων πεδίων στο αγώγιμο στρώμα δηλαδή J=σ E⋅ . Άρα:

E=-j ω' B∇× ⋅ ⋅ και ×B=μ σ Ε∇ ⋅ ⋅

80

ΣΧΗΜΑ 24

Μπορεί να αποδειχτεί τότε ότι J=0 δηλαδη και =0 ∇⋅ ∇ ⋅Ε Άρα

πολλαπλασιάζοντας με τον εκτελεστή ∇× την σχέση E=-j ω' B∇× ⋅ ⋅ λαμβάνουμε:

× E=-jω' ×B ∇ ∇× ⋅∇ , όμως 2× E=- ( )- ∇ ∇× ∇⋅ ∇ ⋅Ε ∇ Ε

Δηλαδή προκύπτει η σχέση : 2E=jω'μσ Ε∇ ⋅

Ομοίως μπορεί ν' αποδειχτεί ότι : 2B=jω'μσ B∇ ⋅

Δηλαδή τα διανύσματα B,E (δηλαδή όλες οι συνιστώσες τους) πληρούν την ίδια

χαρακτηριστική εξίσωση.

Ας ονομάσουμε οΑ (x,y,z) µία οποιαδήποτε πεδιακή συνιστώσα τωνB,E , θα είναι

τότε : 0 0

2 Α=jω'μσ Α∇ ⋅

Βεβαίως συναρτήσει του χρόνου η συνιστώσα αυτή, σταθερής συχνοτητας ω,

δίδεται από την σχέση Α(x,y,z,t)=Real [ '( , , ) j tx y z eο

ω⋅ ⋅Α ⋅ ].

Ας υποθέσουμε ότι γενικά κάνουμε έναν διπλό Μ/µό Fourier κατά μήκος των

αξόνων x και y στην πεδιακή συνιστώσα οΑ (που αντιπροσωπεύει κάποιο κύμα) µε

κυματικούς αριθμούς α, β αντίστοιχα.

Απ' τις ιδιότητες διαφόρισης προκύπτει ότι:

81

20 02 2 2

2Α (x,y,z)= (-α -β + ) Α (α,β,z)z∂

∇ ⋅∂

Δηλαδή 2 0 0

2 2 22

Α(x,y,z) (α +β +jω'μσ) Α (α,β,z)= γ Α (α,β,z)z

∂= ⋅ ⋅

∂

Βλέπουμε λοιπόν ότι η συνάρτηση οΑ (α,β,z) πληρεί την εξίσωση :

02 0

22

A ( , ,z) γ Α( , , )zzα β α β∂

= ⋅∂

Όπου 2 2 2γ =α +β +jω'μσ . Αντί οΑ (α,β,z) μπορώ να χρησιμοποιήσω το σύμβολο

A(z) .

Οταν δεν υπάρχει αλλαγή κατά τον άξονα y δηλαδή =0 (δηλαδη αν β=0)y∂∂

, θα

είναι οΑ (α,β,z) =

ο2 2Α (α,z) γ =α +jω'μσκαι .

Η λύση της εξίσωσης ο

2 ο2

2

Α γ Αz

∂=

∂ είναι γνωστή, για γ2 σταθερά ανεξάρτητη του z,

και είναι της μορφής: 0

1 2Α (z)=c exp (γz)+c exp (-γz)

Αν η ( )zοΑ είναι γνωστή στα όρια z1,z2 µε τιμές Α1, Α2 θα είναι για

1 2 2 1z z z ,z -z =d≤ ≤

02 1

1 2

sinh (z -z) sinh (z-z )Α (z)=A +A

sinh(γ d) sinh(γ d)γ γ⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅

.

Πράγματι η γενική λύση (εκθετικής μορφής) ικανοποιεί απολύτως τις συνθήκες στα

όρια .

Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει λ.χ. µε την πεδιακή συνιστώσα της ηλεκτρικής

εντάσεως κατά τον άξονα z, σε ένα επίπεδο αγώγιμο στρώμα πάχους d.

Αφού τα επιφανειακά φορτία αμελήθηκαν είναι φανερό ότι:

1, 2, 0z zE E= =

(αφού 1, 2, 0z ZJ J= = ). Δηλαδή:

( ) 0zE z = για 1 2z z z≤ ≤

82

λόγω της προηγούμενης σχέσεως δηλαδή στα επίπεδα μαγνητικά συστήματα όπου

τα ρεύματα μετατόπισης ( Dt

∂∂

) αμελήθηκαν θα είναι Εz(z)=0, για κάθε z.

Αν θεωρήσουμε επιπλέον ότι y∂∂

=0 (ομοιόμορφα συστήματα κατά τον άξονα y)

δηλαδή β=0, μπορούμε ν' αποδείξουμε ότι Ηy=0 και Εχ=0. Δηλαδή υπάρχουν εν γένει

τρείς, µη μηδενικές, πεδιακές συνιστώσες οι οποίες είναι οι ακόλουθες: Εy,Ηx, Ηz .

4.2 Η ΓΡΑΜΜΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

Στα ηλεκτρικά συστήματα ονομάζεται ομογενή γραμμή μεταφοράς (σταθερής

συχνότητας ω) το μονοδιάστατο σύστημα που εκτείνεται κατά μήκος ενός άξονα (ας το

ονομάσουμε z) επί του οποίου ορίζονται δύο πεδιακά μεγέθη (ή κύματα), η τάση οV (z)

και η ένταση οI (z) που αντίστοιχα εκφράζουν τη στιγμιαία τάση και ένταση της γραμμής

διά των σχέσεων : 0

jωtu(t)=Real[ V (z) e ]⋅ , 0

jωti(t)=Real[ I (z) e ]⋅

και συνδέονται μεταξύ τους µε το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων : 0

0 0

1V (z) Z I (z)

z∂

= − ⋅∂

00 0

1I (z) Y V (z)z

∂= − ⋅

∂

Οι μιγαδικές σταθερές ο ο

1 1Z ,Y εκφράζουν τις ανά μονάδα μήκους μιγαδική σύνθετη

αντίσταση και αγωγιμότητα της γραμμής.

Είναι φανερό ότι : 0

2 0 0 02

1 12

V (z) (Z Y ) V (z)=γ V(z)z

∂= ⋅ ⋅

∂

0

2 0 0 02

1 12

I (z) (Z Y ) I (z)=γ Ι(z)z

∂= ⋅ ⋅

∂ Όπου

0 02

1 1γ Z Y= ⋅

83

Η ομογενής γραμμή μεταφοράς διακινεί ηλεκτρική ισχύ 0 0

*V (z) Ι (z) στην

κατεύθυνση z και μάλιστα δια του περιβάλλοντος χώρου πέριξ της γραμμής όπως

δείξαμε.

Παρατηρούμε ότι τα πεδιακά μεγέθη της ομογενούς γραμμής διέπονται απ' την ίδια

εξίσωση που διέπονται και τα πεδιακά μεγέθη σε ένα επίπεδο κινούμενο στρώμα, όπως

δείχθηκε προηγουμένως. Η ροή της ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας στο επίπεδο στρώμα

γίνεται επίσης κατά την κατεύθυνση του άξονα z.

Το ερώτημα που τίθεται είναι αν μπορούμε να ορίσουμε, συναρτήσεις οV (z) , ( )I z

ο,

συνεχείς ως προς z στα επίπεδα στρώματα, συναρτήσει των πεδιακών συνιστωσών, τα

οποία να σχετίζονται μεταξύ τους µε τις εξισώσεις της γραμμής μεταφοράς.

Η απάντηση στο ερώτημα είναι όπως θα δούμε στη συνέχεια καταφατική. Αυτό

όπως καταλαβαίνει κανείς έχει τεράστια σημασία γιατί όλο τον πλούτο των πληροφοριών

που έχουμε αντλήσει μελετώντας την ηλεκτρική γραμμή μπορούμε να τον μεταφέρουμε

αυτούσιο στα ευθύγραμμα ηλεκτρομαγνητικά συστήματα που αποτελούνται από

αλλεπάλληλα επίπεδα στρώματα.

4.3 ΕΠΙΠΕΔΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΑΝ ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ

α. Διδιάστατα συστήματα 0 0 0

y x zE (x,z),H (x,z),H (x,z) όπως ήδη αναφέραμε είναι οι πεδιακές συνιστώσες που

είναι διάφορες του 0. Άρα προκύπτουν τα εξής.

• Από την διανυσματική σχέση E=-jω' B∇× ⋅ έχουμε δυο εξισώσεις 0

0=-jω'y

xE

Hz

μ∂

⋅ ⋅∂

και

00

=-jω'yz

EH

xμ

∂⋅ ⋅

∂

• Και από την διανυσματική σχέση yH=J=σE ∇× μια εξίσωση

0 00

x zy

H H Ez x

σ∂ ∂− =∂ ∂

84

Μετασχηματίζω τις σχέσεις κατά Fourier κατά τον άξονα x µε κυματοριθμό α

οπότε έχουμε τις παρακάτω σχέσεις στο χώρο Fourier : 0

0yx

E (α,z) -jω'μ H (α,z)z

∂= ⋅

∂

0 0

y zjα E (α,z) -jω'μ H (α,z)⋅ = ⋅ 0

0 0xz y

H (α,z) - jα H (α,z) σ E (α,z)z

∂⋅ = ⋅

∂

Δηλαδή αν ορίσω τα ο οV (z), I (z)στο επίπεδο στρώμα απ' τις σχέσεις:

0 0

xV (z)=α H (α,z)⋅ (25)

0 0 0

z yαI (z)=μ H ( , ) E ( , )ω'

z zα α⋅ = − (26)

Είναι φανερό ότι τα ο οV (z), I (z) είναι συνεχείς συναρτήσεις ως προς z,αφού τόσο η

εφαπτόμενη συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου xH όσο και η κάθετος συνιστώσα

επαγωγής zμH διατηρούνται κατά την διάβαση επιφανειών (χωρίς επιφανειακά ρεύματα)

Η περίπτωση διάβασης επιφανειών με επιφανειακά ρεύματα θα εξετασθεί στην

συνέχεια. Οι συναρτήσεις αυτές ο οV (z), I (z) είναι οι συναρτήσεις που ζητήθηκαν αφού θα

ισχύουν για αυτές οι παρακάτω σχέσεις : 0

2 0V (z) (α +jω'μσ) I (z)jμz

∂= − ⋅

∂ (27)

00I (z) jμ V (z)

z∂

= − ⋅∂

(28)

Τελικά λοιπόν το επίπεδο στρώμα έγινε ομογενής γραμμή μεταφοράς (στο χώρο

Fourier) και μάλιστα τα ( ), ( )V z I zο ο

της ισοδύναμου αυτής γραμμής σχετίζονται µε τις

πεδιακές συνιστώσες µε τις ακόλουθες σχέσεις: 0

0

xV (z)H (α,z)α

= (29) 0

0

zI (z)H (α,z)μ

= (30)

85

0 0

yω'E (α,z) I (z)α

= − ⋅ (31) (ω =ω+α υ′ ⋅ )

Δηλαδή ισοδύναμα θα είναι : 0

2 0V (z) γ I (z)jμz

∂= − ⋅

∂ (32)

00I (z) jμ V (z)

z∂

= − ⋅∂

(33)

Με : 2 2γ =α +j μ σ (ω+α υ)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (34)

Σημείωση: Για ένα τρισδιάστατο επίπεδο στρώμα µε 5 µη μηδενικές συνιστώσες

του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου Εy, Εx, Ηx, Ηy, Ηz κάνοντας κατ' επέκταση

μετασχηματισμούς Fourier δύο διαστάσεων (κατά μήκος των αξόνων x,y και µε

κυματαριθμούς α,β). Δηλαδή : 0 0

-j (α x+β y)

-

F (α ,β )= F (x,y) e dx dy∞ ∞

⋅ ⋅ ⋅

∞ −∞

⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

0 0j (α x+β y)

-

dα dβF (x,y)= F (α ,β) e2π 2π

∞ ∞⋅ ⋅ ⋅

∞ −∞

⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

μπορούν πάλι να οριστούν δύο μεγέθη οV (z) και

οI (z) τέτοια ώστε τα :

ο ο ο ο ο

x y x y zE (α,β,z), E (α,β,z), H (α,β,z), H (α,β,z), H (α,β,z)

να δίνονται συναρτήσει των ο οV (z), I (z) ως εξής:

00

x 2 2

α (z) H (α,β,z)=α +β

V⋅ (35)

00

y 2 2

β (z) H (α,β,z)=α +β

V⋅ (36)

00

zI (z) H (α,β,z)=μ

(37)

0

0

x 2 2

β ω' (z)(α,β,z)=α +β

IE ⋅ ⋅ (38)

0

0

y 2 2

α ω' (z)(α,β,z)=-α +β

IE ⋅ ⋅ (39)

86

Για τις συναρτήσεις αυτές θα ισχύουν πάλι οι σχέσεις: 0

2 0V (z) γ I (z)jμz

∂= − ⋅

∂ (40)

00I (z) jμ V (z)

z∂

= − ⋅∂

(41)

2 2 2με : γ =α +β +jω'μσ (42) , ω'=ω+αυ

Στις συνέχεια, εάν δεν αναφέρεται κάτι άλλο, θα θεωρούμε πάντοτε ότι 0y∂=

∂ άρα

β=0. Δηλαδή εξετάζουμε διδιάστατα μοντέλα και οι δυνάμεις ισχύς κτλ., υπολογίζονται

ανά m πλάτους του πρωτεύοντος, τα δε φαινόμενα των εγκαρσίων άκρων θα

υπολογίζονται έμμεσα ή κατά προσέγγιση με διορθωτικούς συντελεστές επί των

διδιάστατων μοντέλων.

4.4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΗΣ ΓΡΑΜΜΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ

Η ομογενής ηλεκτρική γραμμή μεταφοράς που αναπτύσσεται κατά μήκος του

άξονα z, 1 2z z z≤ ≤ έχει μελετηθεί σε μεγάλη έκταση και βάθος.

Κάθε επίπεδο ηλεκτρομαγνητικό στρώμα µε χαρακτηριστικά µ, σ που κινείται στην

κατεύθυνση του άξονα χ µε ταχύτητα υ είναι ισοδύναμο µε μια ομογενή ηλεκτρική

γραμμή μεταφοράς µε

"Μιγαδική σύνθετη αντίσταση /m "2γ

jμ=

και

"Μιγαδική σύνθετη αγωγιμότητα /m" jμ=

Ας δώσουμε μερικές απ' αυτές τις ιδιότητές της που θα φανούν χρήσιμες στη

συνέχεια

• Η παράσταση 2 2γ= γ = α +jμσ(ω+αυ) µε Re(γ) 0≥ ονομάζεται σταθερά

διαδόσεως της γραμμής.

87

• Ενώ η παράσταση 20

2

γ γZ = =(jμ) jμ

, χαρακτηριστική αντίσταση της

γραμμή.

• Αν ο ο

1 2V ,V και ο ο

1 2I , I οι τάσεις και τα ρεύματα της "ισοδύναμης γραμμής" στα

άκρα της, ισχύουν οι σχέσεις: 0 0 0 0

21 2V cosh(d γ) V Z sinh(d γ) I= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ (43)

0 0 0

1 220sinh(d γ)I V cosh(d γ) I

Z

⋅= ⋅ + ⋅ ⋅ (44)

• Αυτό σημαίνει ότι η γραμμή μπορεί ν' αντιπροσωπευτεί από ένα Τ τετράπολο

(σχ. 25) µε στοιχεία : 0 0

Sd γZ Z tanh( )

2⋅

= ⋅ (45)

και: 0

0

pZZ

sinh(d γ)=

⋅ (46)

ΣΧΗΜΑ 25

• Για 1 2z z z≤ ≤ θα είναι :

0 0 0

1 22 11V (z)= [V sinh(γ (z -z)) V sinh(γ (z-z ))]

sinh(d γ)⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⋅

88

Ομοίως : 0 0 0

1 22 11I (z)= [I sinh(γ (z -z)) I sinh(γ (z-z ))]

sinh(d γ)⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⋅

• Αν στα άκρα (2) έχουμε δοσμένο πηλίκο ο

ο22ο

2

V =ΖI

(δηλαδή γνωστή τερματική

αντίσταση ) τότε η "αντίσταση" ο

1Ζ (δηλαδή το πηλίκο ο

1ο

1

V

I) δίνεται απ' τη σχέση:

0 00 0 2

1 0 0

2

Z Z tanh(dγ)Z ZZ tanh(dγ) Z

+ ⋅= ⋅

⋅ + (47)

• Αντιστοίχως µέσω του ισοδύναμου Τ τετραπόλου η 1

οΖ δίδεται απ' τη σχέση:

0 0 00 2 S p

1 0 0 0 0

2 S p S

(Z Z ) ZZ(Z Z Z ) Z

+ ⋅=

+ + ⋅ (48)

• Αν ο ο

2Ζ =Ζ τότε και ο ο

1Ζ =Ζ= (χαρακτηριστική αντίσταση).

• Αν ο

2Ζ =0 , τότε ο

1Ζ tanh(dγ) .

• Αν 2

οΖ = ∞ , τότε

οο

1ΖΖ =

tanh(dγ).

• Αν τώρα το σημείο z2 πάει στο +∞ δηλαδή το d γίνεται άπειρο (έχουμε μια

ομογενή γραμμή απείρου μήκους) θα είναι: 0 0 0

11V Z I= ⋅

δηλαδή η γραμμή είναι ισοδύναμη προς την χαρακτηριστική της αντίσταση.

• Οι λύσεις οV (z) και

οI (z) σε μια γραμμή άπειρου μήκους δηλαδή z1< z < ∞

δίνονται απ' τις σχέσεις: 0 0

1 1V (z)= V exp(-γ (z-z ))⋅ ⋅

0 0

1 1I (z)= I exp(-γ (z-z ))⋅ ⋅

Σημείωση: Αφού Re[γ] 0≥ για ο ο

z ,V (z), I (z) 0→∞ → .

• Αν στη θέση (1) έχω μία πηγή τάσεως οV με αντίσταση υποστήριξης

oZ και

ακολουθεί ομογενής γραμμή με χαρακτηριστική αντίσταση oZ σταθερά διαδόσεως γ

89

πάχους d, το ισοδύναμο κατά "Thevenin" στη θέση z2=zl+d θα είναι πηγή τάσεως οV⋅exp(-d·γ) με αντίσταση υποστήριξης τη

oZ . (Βλέπε σχήμα 26).

ΣΧΗΜΑ 26

4.5 ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΣΥΝΗΘΗ ΥΛΙΚΑ ΤΩΝ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

Τα υλικά που χρησιμοποιούνται ή εμφανίζονται στις υπό μελέτη ευθύγραμμες

ηλεκτρομαγνητικές διατάξεις είναι συνήθως τα ακόλουθα:

• Αέρας ή κενό με μ=μο και σ=0 άρα : 0

ΑA0

αγ α , Z

j μ= =

⋅

• Σίδηρος (αποτελούμενος από φύλλα) δηλαδή με μηδενική αγωγιμότητα σ (στην

κατεύθυνση y) και μαγνητική διαπερατότητα μ»μο (που συνήθως την παίρνουμε ίση με

∞ ) άρα:

0

FF

αγ α , Z 0 (βραχυκυκλωμα)

j μ= = =

⋅

• Αγώγιμο στρώμα αγωγιμότητας σ, μαγνητικής διαπερατότητας μ0. Συνήθως τα

χρησιμοποιούμενα αγώγιμα υλικά (αλουμίνιο, χαλκός κτλ.), δηλαδή υλικά μη μαγνητικά,

δηλαδή έχουν μαγνητική διαπερατότητα αυτή του κενού (μ0), είτε είναι δια-μαγνητικά ή

παρα-μαγνητικά οπότε πάλι έχουν μαγνητική διαπερατότητα σχεδόν ίση προς την μ0.

Άρα η μαγνητική διαπερατότητα του συνήθους μη μαγνητικού αγώγιμου στρώματος

λαμβάνεται ίση προς το μ0=-7 V sec4π 10

A m⋅

⋅⋅

.

90

• Αν υποθέσουμε ότι το στρώμα κινείται με ταχύτητα υ στην κατεύθυνση +x θα

είναι:

2C Cγ = α +jμσ(ω+αυ), [ Reγ 0 ]≥

0C

C C C C Cγ= =R -jx (R , x 0)jμ

Z ≥

• Υπερ-αγώγιμο στρώμα, δηλαδή σ=∞ τότε:

C Cγ και Ζ (Ανοικτο κυκλωμα)≈ ∞ ≈ ∞

• Ένα λεπτό φύλλο μεγάλης αγωγιμότητας (Al, Cu) είναι ισοδύναμο προς

αντίσταση 0Z=σ d (ω+α υ)⋅ ⋅ ⋅ . Λεπτό φύλλο ονομάζεται αγώγιμο στρώμα πάχους d≈0,

ενώ το γινόμενο d·σ είναι πεπερασμένο, για το οποίο ισχύει καί η σχέση d γ 1⋅ .

Άρα : 2

0 0

S

0

d γd γ d γ d γ 2tanh( ) , αρα Z tanh( )

2 2 2 j μZ

⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ =⋅

Και : 0

0

P

0

1 1sinh(d γ) d γ, αρα Zsinh(d γ) j μ d

Z⋅ ⋅ = = ⋅

⋅ ⋅

Εάν υποθέσουμε ότι d 0→ αλλά dσ είναι πεπερασμένο λόγω της μεγάλης τιμής

του σ τότε 0

P Z →∞ ενώ το 0

S1 d σ (ω+α υ)2

Z → ⋅ ⋅ ⋅ άρα η ολική αντίσταση του

ισοδύναμου τετραπόλου είναι ίση προς 0

S2 Z⋅ δηλαδή ίση προς d σ (ω+α υ)⋅ ⋅ ⋅ .

4.6 ΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ, ΦΥΛΛΑ ΡΕΥΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΣΤΟ

ΧΩΡΟ FOURIER

Ας υποθέσουμε τώρα ότι έχουμε δύο διαδοχικά στρώματα με διαφορετικές

ηλεκτρομαγνητικές σταθερές και διαφορετικές ταχύτητες υ1, υ2 .

Είναι γνωστό ότι στα όριά τους θα υπάρχει συνέχεια της καθέτου μαγνητικής

επαγωγής (μ·Ηz) και της εφαπτομενικής μαγνητικής εντάσεως (Ηχ).Αυτό σημαίνει ότι,

στα όρια το ρεύμα και η τάση των δυο ισοδύναμων γραμμών που αντιπροσωπεύονται

91

από τα δύο Τ τετράπολα είναι ίσα δηλαδή τα Τ τετράπολα μπορούν να συνδεθούν εν

σειρά σχ. 27.

ΣΧΗΜΑ 27

Ας υποθέσουμε τώρα ότι στο όριο υπάρχει ακίνητο φύλλο ρεύματος, με πυκνότητα o

yI (x) και συχνότητα ω, όπως ήδη έχει αποδειχτεί θα είναι :

0 0 0

x,2 x,1 yΗ ( ) Η ( ) I ( )x x x− =

Μετασχηματίζοντας την σχέση αυτή στο χώρο Fourier και πολαπλασιάζοντας την

με α προκύπτει η σχέση:

0 0 0

y x,2 x,1α I (α) α Η (α) α Η (α)⋅ = ⋅ − ⋅ άρα:

0 0 0

y 2 1α I (α) V ( ) V ( )a a⋅ = −

Δηλαδή το φύλλο ρεύματος δημιουργεί μια ασυνέχεια στην συνιστώσα 0

xΗ ( )z της

μαγνητικής εντασης, δηλαδή δημιουργεί μια σταθερή διαφορά τάσεως στο χώρο Fourier

που την εκφράζουμε με μια αντίστοιχη πηγή τάσεως 0 0

yα I (α) V( )a⋅ = (49)

Την συνάρτηση 0

yI (α) που δημιουργεί την τάση 0 0

yα I (α) V( )a⋅ = , θα την

ονομάζουμε διέγερση συχνότητας ω.

Δηλαδή υπάρχει η αντιστοιχία του σχήματος 28:

92

ΣΧΗΜΑ 28

Ας υποθέσουμε ότι το φύλλο ρεύματος κινείται με ταχύτητα υ προς την

κατεύθυνση +χ και έχει συχνότητα ω, τότε η σχετική κατά Doppler συχνότητα του

φύλλου ρεύματος (που αντιλαμβάνεται ένας ακίνητος παρατηρητής ο οποίος μπορεί να

θεωρήσουμε ότι κινείται με ταχύτητα -υ σε σχέση με το φύλλο) θα είναι

kω =ω-αυ .

Με βάση λοιπόν τα μέχρι τούδε αναφερθέντα κάθε επίπεδη ηλεκτρομαγνητική

διάταξη πού αποτελείται από διαδοχικά στρώματα και πιθανώς από ένα σύνολο από

φύλλα ρεύματος αντιστοιχεί, στο χώρο των Μ/μων Fourier, πρoς ένα σύνολο διαδοχικών

Τ τετραπόλων με τις αντίστοιχες προς τα φύλλα ρεύματος πηγές τάσεως (διεγέρσεις)

συνδεδεμένες στα όρια που υπάρχουν οι πραγματικές διεγέρσεις, δηλαδή τα ισοδύναμα

φύλλα ρεύματος των τυλιγμάτων.

Οι τερματικές γραμμές είναι συνήθως είτε στρώματα αέρος απείρου μήκους (που

αντιστοιχούν απλά στην τερματική αντίσταση 0

o

Aa

Zj μ

=⋅

) είτε στρώματα σιδηρο-

μαγνητικού υλικού από φύλλα σιδήρου (που σημαίνει τερματική αντίσταση 0o

FZ = ).

Αν το ισοδύναμο κύκλωμα που προκύπτει επιλυθεί, τότε στα όρια όλων των

στρωμάτων γνωρίζουμε την, ισοδύναμη "τάση" V(α,z) και "ρεύμα" I(α,z), δηλαδή

μπορούμε να προσδιορίσουμε σε κάθε z την τάση και το ρεύμα και επομένως να βρούμε

τους μετασχηματισμούς Fourier των τριών μη μηδενικών συνιστωσών του

Ηλεκτρομαγνητικού πεδίου στο επίπεδο z, ( , ), ( , ), ( , )y x zE a z H a z H a zο ο ο

από τις σχέσεις:

93

00

xV (α,z)H (α,z)α

= 0

0

zI (α,z)H (α,z)μ

=

0 0

yω'E (α,z) I (α,z)α

= − ⋅

Αυτό σημαίνει ότι με αντιστροφή Fourier στον πραγματικό χώρο μπορούμε να

προσδιορίσουμε τις συναρτήσεις: 0 0 0

y x z( , ), H ( , ), H ( , ). x z x z x zΕ

Έτσι λόγου χάριν θα είναι: 0 0

-j α xy y

dα ( , ) (α , ) e2π

x z z∞ ⋅ ⋅

−∞Ε = Ε ⋅ ⋅∫ κτλ.

Αυτό σημαίνει ότι τελικά για σταθερή συχνότητα διέγερσης ω μπορούμε να

βρούμε και τις αντίστοιχες πεδιακές συνιστώσες συναρτήσει του χρόνου.

Έτσι λόγου χάριν θα είναι: 0

j ω ty yΕ (x,z,t) Re [ Ε (x,z) e ]al ⋅ ⋅= ⋅ κτλ.

4.6 ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΙΕΓΕΡΣΕΙΣ ΤΥΛΙΓΜΑΤΩΝ

Η ισοδύναμη τάση επιφανειακού ρεύματος με γραμμική πυκνότητα στην

κατεύθυνση y της συνάρτησης y (x)J δίδεται από την σχέση 0

yα (α)J⋅ . Η

συνάρτηση0

y (α)J καλείται διέγερση του επιφανειακού ρεύματος . Στη συνέχεια δίδονται

οι υπολογισμοί και οι συναρτήσεις 0

y (α)J για τις πιο χαρακτηριστικές περιπτώσεις

τυλιγμάτων και των ισοδύναμων επιφανειακών φύλλων ρεύματος.

4.6.1 ΑΓΩΓΟΣ ΜΕ ΡΕΥΜΑ (Ι)

Κάθε αγωγός που βρίσκεται στη θέση 0x και μεταφέρει ρεύμα Ι στην

κατεύθυνση y μπορεί να θεωρηθεί ισοδύναμο προς λεπτό φύλλο (αμελητέου πάχους ) και

πλάτους δ. η γραμμική πυκνότητα του επιφανειακού αυτού ρεύματος θα δίδεται από την

συνάρτησης του σχήματος 29 .

94

ΣΧΗΜΑ 29

Κατά τα γνωστά ο Μ/μος Fourier της y (x)J δηλαδή η ισοδύναμη διέγερση του

μεμονωμένου αγωγού θα είναι :

00

-j xy

α δ2 s in ( )2(α )= e

α δJ α⋅ ⋅

⋅⋅ Ι

⋅ ⋅

00

-j xy

α δsin( )2(α )= eα δ( )

2

J α⋅ ⋅

⋅

⋅ Ι ⋅⋅

Το δ για ελεύθερους αγωγούς στον αέρα είναι πολύ μικρό άρα α δ( ) 12⋅

(τουλάχιστον για την περιοχή του α που έχει πρακτικό ενδιαφέρον, όπως θα δούμε)

Άρα : 0

0-j x

y (α ) eJ α⋅ ⋅Ι ⋅ Το ισοδύναμο δ για αγωγούς μέσα σε αύλακες σιδηρομαγνητικής υποστήριξης

των ηλεκτρικών μηχανών μπορεί να υποθέσουμε ότι είναι ίσο περίπου με το πλάτος μιας

αύλακος και ενός οδόντος, εξ’ αιτίας του μαγνητικού πεδίου που δημιουργεί.

Αυτό συνεπάγεται ότι μια σειρά Ν1 αγωγών σε διαδοχικούς αύλακες που

μεταφέρουν το ίδιο ρεύμα Ι είναι ισοδύναμες με επιφανειακό ρεύμα με πυκνότητα 1Ν ⋅ ΙΔ

όπου 1 δΔ = Ν ⋅ όπως στο σχήμα 30 που ακολουθεί .

95

ΣΧΗΜΑ 30

Άρα η διέγερση του συνόλου των αγωγών θα είναι ίση προς :

00

-j xy 1

α Δsin ( )2(α )= [ ] eα Δ

2

J α⋅ ⋅

⋅

⋅ Ν ⋅ Ι ⋅⋅

4.6.2 ΑΠΛΟ ΤΡΙΦΑΣΙΚΟ ΤΥΛΙΓΜΑ

Το απλό τριφασικό τύλιγμα ( με ένα ζεύγος πόλων ) αναπτύσσεται σε μήκος 2τ.

Το τ συμβολίζει το απλό πολικό βήμα ή αλλιώς την απόσταση ενός αγωγού προσαγωγής

με τον αγωγό επιστροφής του ρεύματος. Στο μήκος 2τ κάθε φάση του τριφασικού

τυλίγματος καταλαμβάνει το 1/3 του μήκους και επομένως η ομάδα των αγωγών

προσαγωγής κάθε φάσεως το 1/6 του μήκους και επιστροφής 1/6 του μήκους.

Ας υποθέσουμε ότι Ν είναι το σύνολο των αγωγών του τυλίγματος η ομάδα

προσαγωγής (και επιστροφής ) θα έχει 3Ν αγωγούς διαρεόμενους από ρεύμα

0Ι 1 και θα

αναπτύσσεται σε μήκος 2τ τ=6 3

άρα θα έχει γραμμική πυκνότητα Ντ

.

Έτσι το τύλιγμα της πρώτης φάσης με ρεύμα 0Ι 1 θα έχει την παρακάτω συνάρτηση

πυκνότητας που φαίνεται στο σχήμα 31 πού ακολουθεί :

96

ΣΧΗΜΑ 31

Άρα οι αγωγοί προσαγωγής της πρώτης φάσης θα έχουν διέγερση :

05 τ0 + jα1 61 ,π

α τ2 s in ( ) Ι6(α )= eα

Jτ

⋅⋅ Ν ⋅

⋅ ⋅

Και οι αγωγοί επιστροφής :

0τ0 -jα1 62,ε

α τ2 sin( ) Ι6(α )= - eα

Jτ

⋅⋅ Ν ⋅

⋅ ⋅

Άρα η πρώτη φάση θα έχει συνολική διέγερση :

5 τ τ0 0 + jα -jα6 611

α τ2 sin ( )6(α )= Ι (e -e )

α τJ

⋅⋅

⋅ Ν ⋅ ⋅

τ τ τ0 0jα +jα -jα3 2 2 11

α τ2 sin( )6(α)= e (e -e ) Ι

ατJ

⋅⋅ Ν ⋅

⋅ ⋅ ⋅

97

Οι άλλες δυο φάσεις θα διαρρέονται από ρεύμα 0 0

2 3Ι , Ι και θα είναι μετατοπισμένες

κατά 2 τ3⋅

± σε σχέση με την πρώτη δηλαδή θα αναπτύσσονται με το ακόλουθο τρόποπου

φαίνεται στο επόμενο σχήμα 32.

ΣΧΗΜΑ 32

Άρα οι αντίστοιχες διεγέρσεις τους θα είναι :

τ τ τ0 0jα +jα -jα3 2 2 22

ατ2 sin( )6(α)= e (e -e ) Ι

ατJ

⋅Ν ⋅⋅ ⋅ ⋅

τ τ τ0 0jα +jα -jα3 2 2 33

ατ2 sin( )6(α)= e (e -e ) Ι

ατJ

⋅Ν ⋅⋅ ⋅ ⋅

Τα ρεύματα 0 0 0

1 2 3Ι , Ι , Ι έχουν φασική διαφορά 2π3

το ένα από το άλλο , άρα μπορώ να

τα θεωρήσω ότι σχετίζονται με τις σχέσεις : 2π0 -j31Ι e= Ι ⋅ ,

2π0 +j32Ι e= Ι ⋅ ,

0

3Ι = Ι

Άρα λαμβάνοντας υπόψη ότι : τ τ+jα -jα2 2 α τe -e 2 j sin( )

2⋅

= ⋅ ⋅ η συνολική

διέγερση του απλού διπολικού τριφασικού τυλίγματος είναι ίση προς :

τ 2π τ 2π0 j(α ) -j(α )3 3 3 3ολ

α τ α τ4 j sin( ) sin( )6 2(α)= (e e 1)

α τJ

− +

⋅ ⋅⋅ Ν ⋅ Ι ⋅ ⋅ ⋅

⋅ + −⋅

98

0

ολ

ατ ατ4 j sin( ) sin( ) τ 2π6 2(α)= [2 cos (α ) 1)]ατ 3 3

J⋅Ν ⋅ Ι ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ − −

Η συνάρτηση αυτή λαμβάνει απολύτως την μέγιστη τιμή της για ατ=-π της

δηλαδή για πα=-τ

και αυτή είναι ίση προς :

φολ,max

6 26=π π

J⋅ Ν ⋅ ⋅ Ι⋅ Ν ⋅ Ι

=

Όπου φΙ η φασική ενεργός ένταση και φ2 ⋅ Ι η μέγιστη στιγμιαία ένταση του

φασικού ρεύματος .

4.6.3 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΠΛΟΥ ΔΙΠΟΛΙΚΟΥ ΤΡΙΦΑΣΙΚΟΥ ΤΥΛΙΓΜΑΤΟΣ

Η επιδίωξη από την χρήση του τριφασικού τυλίγματος είναι η δημιουργία ενός

αρμονικού κύματος δηλαδή, η δημιουργία της συνάρτησης γραμμικής πυκνότητας : j (ω t-κ x )J(x,t)=R eal[ e ]I ⋅ ⋅ ⋅⋅ (50)

Για την περιοχή ανάπτυξης του τυλίγματος δηλαδή για την περιοχή

-τ x τ≤ ≤

Άρα 0

-jκx(x)= e , -τ x τJ I ⋅ ≤ ≤ άρα η διέγερση αυτής της γραμμικής πυκνότητας θα

είναι η : 0 2 sin[(α+κ) τ](α)=

α+κIJ ⋅ ⋅ ⋅ (51) ποπου κ=

τ

Η συνάρτηση αυτή λαμβάνει την απόλυτη μέγιστη τιμή της για : πα=-κ=-τ

και η

τιμή της ισούται προς 2 τI⋅ ⋅ . Άρα λοιπόν θα πρέπει να ισχύει η σχέση :

φ φ6 2 3 22 τ= αρα =

π π τI I

⋅Ν ⋅ ⋅ Ι ⋅Ν ⋅ ⋅ Ι⋅ ⋅

⋅ (52)

Στο σχήμα 33 που ακολουθεί φαίνονται η ολ (α)J , δηλαδή η πραγματική διέγερση

όπως υπολογίζεται από τις τρεις φασικές διεγέρσεις, και η ισοδύναμη της J(α) για το

διάστημα -10 κ α 8 κ⋅ ≤ ≤ ⋅ .

99

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

relative wave number a/k

appr

oxim

ate

and

acur

ate

3-ph

ase

exci

tatio

n

The differences are important near the points +5k and -7k

ΣΧΗΜΑ 33

4.6.4 ΔΙΠΛΟ ΔΙΠΟΛΙΚΟ ΤΡΙΦΑΣΙΚΟ ΤΥΛΙΓΜΑ

Αν παρατηρήσουμε το προηγούμενο σχήμα 33 θα δούμε ότι οι δυο καμπύλες

διαφέρουν σημαντικά στα σημεία +5κ και 7κ− , δηλαδή εμφανίζονται δυο ανεπιθύμητες

αρμονικές οι οποίες ενώ δεν συμβάλουν στην παραγωγή μηχανικής ισχύος δημιουργούν

απώλειες . Για το λόγο αυτό πρέπει να εξουδετερωθούν.

Ο απλούστερος τρόπος είναι να υπερθέσουμε δυο τυλίγματα , μετατοπισμένα κατά

τ5

για την ολική εξάλειψη της 5ης αρμονικής και μερική της 7ης ( ή κατά τ6

για την

μερική εξάλειψη της 5ης και της 7ης αρμονικής ).

Αυτό σημαίνει ότι το διπλό τύλιγμα θα έχει διέγερση την ακόλουθη συνάρτηση : ατ ατ0 0 0 0+j -j10 10ολ,2 ολ ολ ολ

ατ(α)= (α) e + (α) e =2 (α) cos( )10

J J J J⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Αυτό σημαίνει ότι αντίστοιχα για α=-κ είναι :

100

1 φ2 3 2 π= cos( )π 10

I⋅Ν ⋅ ⋅ ⋅ Ι

⋅

Το σύνολο των αγωγών του διπλού τυλίγματος όμως θα είναι 1Ν=2Ν , άρα :

φ3 2 π= cos( )πτ 10

I⋅Ν ⋅ ⋅ Ι

⋅

Ο αριθμός πcos( )10

(ή πcos( )12

) καλείται συντελεστής τυλίγματος και

συμβολίζεται με wK . Είναι λοιπόν :

φw

3 2=

π τI K

⋅Ν ⋅ ⋅ Ι⋅

⋅ (53)

Στο σχήμα 34 που ακολουθεί φαίνονται οι δυο καμπύλες (ακριβής και

προσεγγιστική ), για διπλό τριφασικό τύλιγμα με μετατόπιση π/5 ,δηλαδή πcos( )10wK =

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

relative wave number a/k

appr

oxim

ate

and

acur

ate

3-ph

ase

exci

tatio

n

Double 3-phase winding in (cos(pi/10))

ΣΧΗΜΑ 34

101

Παρατηρούμε ότι οι διαφορές μεταξύ τους εξομαλύνθηκαν σε μεγάλο βαθμό. Οι

διαφορές τους για τα τετράγωνα των συναρτήσεων αυτών, για την περιοχή

ενδιαφέροντος είναι πρακτικά αμελητέες. Έτσι μπορούμε σαν ισοδύναμη διέγερση

τριφασικού τυλίγματος να λαμβάνουμε χωρίς αισθητό σφάλμα την συνάρτηση:

0 2 sin[(α+κ) τ] π(α)= οπου κ=α+κ τ

I pJ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ και φw

3 2=

πτI K

⋅Ν ⋅ ⋅ Ι⋅

4.6.5 ΔΙΠΛΟ ΔΙΠΟΛΙΚΟ ΤΡΙΦΑΣΙΚΟ ΤΥΛΙΓΜΑ ΜΕ P ΖΕΥΓΗ

ΠΟΛΩΝ

Με p συμβολίζουμε συνήθως τα ζεύγη πόλων μια ηλεκτρικής μηχανής. Η

διπολική μηχανή έχει p=1 ή τετραπολική p=2 κ.ο.κ.

Ένα τριφασικό τύλιγμα που αναπτύσσεται σε p ζεύγη πόλων αντιστοιχεί με ένα

αρμονικό κύμα : j (ω t -κ x )J (x , t )= R e a l[ e ]I ⋅ ⋅ ⋅⋅

Που αναπτύσσεται σε μήκος - τ x τp p⋅ ≤ ≤ ⋅ , άρα :

0-j κ xJ (x)= e , - τ x τI p p⋅ ⋅⋅ ⋅ ≤ ≤ ⋅

και 0J (x)=0 εκτός αυτού διαστήματος

Άρα θα έχουμε : 0 2 sin[(α+κ) τ](α)=

α+κpJ I ⋅ ⋅ ⋅

⋅ (54)

Όπου για διπλό τύλιγμα : φw

3 2 =

π τI K

⋅Ν ⋅ ⋅ Ι⋅

⋅ (55)

Αντί του ακριβούς τύπου που προκύπτει από την θεωρητική ανάλυση των

διεγέρσεων των τριών τυλιγμάτων, μπορούμε χωρίς αισθητό σφάλμα να χρησιμοποιούμε

για όλους τους ευθύγραμμους κινητήρες τον προσεγγιστικό αυτό τύπο για την διέγερση

πολυ-πολικού τριφασικού τυλίγματος με p ζεύγη πόλων και επομένως η ισοδύναμη τάση

του μπορεί να γραφεί ως :

w φ3 2 sin[(α+κ) τ]V(α) 2 απ τ α+κ

K p⋅Ν ⋅ ⋅ Ι ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

⋅ (56)

102

4.8 ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΧΥΣ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ

ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΗΣ ΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΝΤΑΣΗΣ ΣΤΟ

ΧΩΡΟ FOURIER

Χρησιμοποιώντας την ανάλυση των προηγουμένων κεφαλαίων και τις ιδιότητες

των Μ/μων Fourier μπορούμε να προσδιορίσουμε τις δυνάμεις Τ, L και την ισχύ

(πραγματική Ρ και άεργο Q) ανά μέτρο πλάτους που μεταφέρονται από κάθε επίπεδο (το

οποίο προσδιορίζεται για κάποια τιμή του z, στο οποίο γνωρίζουμε την 0( , )V a β και την

0( , )I a β .

Πράγματι, όπως προαναφέρθηκε είναι:

0 0+ *z x

-

μ dαRe H (α,z) H (α,z) 2 2π

∞

∞Τ = ⋅ ⋅ ⋅∫

2 20 0+x z

-

μ dαL= ( H (α,z) H (α,z) ) 4 2π

∞

∞⋅ − ⋅∫

*0 0+

x y-

1 dαP+j Q= H (α,z) E (α,z)2 2π

∞

∞⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫

Χρησιμοποιώντας τις αλγεβρικές σχέσεις 0

0

xV (α,z)(α,z)=α

H

00

zI (α,z)(α,z)=μ

H

0 0

yω(α,z)= I (α,z)α

E ⋅

Συνήθως η 0

y (α,z)E υπολογίζεται σε ακίνητο επίπεδο ( υ=0 ) για αυτό ελήφθη

ω=ω΄ :

Άρα προκύπτουν οι ακόλουθες ολοκληρωτικές σχέσεις :

• 0 0

*+ z

-

1 Ι (α,z) V (α,z) dαRe 2 α 2π

∞

∞

⋅Τ = ⋅ ⋅∫ (57)

Όπου Τ>0 σημαίνει ωστική δύναμη , Τ<0 ανασχετική δύναμη

103

•

2 20 0

+

2 2-

V (α,z) I (α,z) μ dαL= [ ) 4 α μ 2π

∞

∞⋅ − ⋅∫ (58)

Όπου L>0 σημαίνει απωστική δύναμη, L<0 ελκτική δύναμη

• 0 0

*+

2-

ω V (α,z) I (α,z) dαP+j Q=2 α 2π

∞

∞

⋅⋅ ⋅ ⋅∫ (59)

Όπου P>0 σημαίνει κατανάλωση ισχύος, P<0 παραγωγή ισχύος, Και όπου Q>0

σημαίνει επαγωγική άεργος ισχύς , Q<0 χωρητική άεργος ισχύς.

Η επιλογή στα πρόσημα έγινε ώστε η καταναλισκομένη ισχύς να είναι θετική το

ίδιο και η δύναμη ωθήσεως Τ. Μέρος της P μετατρέπεται σε μηχανική ισχύς. Η μηχανική

ισχύς είναι ίση προς υ Τ⋅ . Η διαφορά LP-υ Τ=P⋅ ισούται προς τις απώλειες Joule στο

δευτερεύον .

Άρα αποδεικνύεται εύκολα ότι : 0 0

*+

L 2-

1 V (α,z) I (α,z) dαP Re (ω+αυ) 2 α 2π

∞

∞= ∫ (60)

Αυτό σημαίνει ότι εάν αντί ω στον τύπο 0 0

yω(α,z)= I (α,z)α

E ⋅ ελάμβανα ω΄=ω+α·υ,

το Ρ υπολογίζει μόνον τις απώλειες, χωρίς να συμπεριλάβει και την μηχανική ισχύ. Αυτό

γίνεται γιατί στο κινούμενο σύστημα αναφοράς με ταχύτητα υ, υπάρχει ώθηση αλλά η

ταχύτητα του είναι μηδενική ως προς το σύστημα αυτό.

Επίσης για διατάξεις με μόνο μια διέγερση συχνότητας ω η άεργος ισχύς Q, που

υπολογίζεται θα είναι φυσικά επαγωγική, και κατά σύμβαση, αυτή η ισχύς δίδεται από

ένα θετικό αριθμό.

104

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΕΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ

5.1 ΓΕΝΙΚΑ Οι ευθύγραμμες επαγωγικές μηχανές πρόωσης βασίζονται στην αρχή της

ηλεκτρομαγνητικής αλληλεπίδρασης ενός πρωτεύοντος, στο οποίο συνήθως υπάρχει ένα

τριφασικό τύλιγμα που τροφοδοτείται από ένα τριφασικό σύστημα τάσεων

υποστηριζόμενο από σίδηρο, και ενός δευτερεύοντος το οποίο είναι ένα απλό αγώγιμο

φύλλο, στο οποίο καθώς κινείται με ταχύτητα υ (κατά τον άξονα x) επάγονται ρεύματα.

Η κύρια εφαρμογή τους είναι οι ευθύγραμμοι επαγωγικοί κινητήρες (ΕΕΚ),

μπορούν όμως να λειτουργήσουν αντίστροφα σαν ευθύγραμμες γεννήτριες επαγωγής.

Στην ίδια κατηγορία ανήκουν οι επίπεδες επαγωγικές αντλίες ρευστού μετάλλου,

όπου το δευτερεύον δεν είναι ένα επίπεδο αγώγιμο φύλλο αλλά ένα επίπεδο στρώμα

ρευστού μετάλλου όπως επίσης και οι ευθύγραμμες επαγωγικές μαγνητο-υδροδυναμικές

γεννήτριες όπου το δευτερεύον είναι τα καυσαέρια μιας καύσης (συνήθως στερεών

καυσίμων) εμπλουτισμένα με κατάλληλες ουσίες ώστε να γίνουν αγώγιμα.

5.2 ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΥ

ΚΙΝΗΤΗΡΑ (ΕΕΚ)

Ο συνήθης ευθύγραμμος επαγωγικός κινητήρας έχει συνήθως ένα διπλής στρώσης

τριφασικό τύλιγμα στο πρωτεύον που αποτελείται από τρία (3) μονοφασικά τυλίγματα,

τα οποία διαρρέονται, από ένα τριφασικό σύστημα ρευμάτων και το οποίο εκτείνονται

σε μήκος 2Ρτ, όπου τ = πολικό βήμα και Ρ= ζεύγη πόλων. Το τελικό αποτέλεσμα, όπως

προαναφέρθηκε, είναι ένα τρέχον κύμα με πλάτος 2 I⋅ , συχνότητα ω και ταχύτητα

φάσεως ω=κsυ , όπου πκ=

τ είναι ο κυματαριθμός του τρέχοντος κύματος.

105

Δηλαδή, για τους συνήθεις ευθύγραμμους επαγωγικούς κινητήρες με βραχύ

πρωτεύον θα είναι κατά προσέγγιση : j (ω t - k x )J ( x , t ) = R e a l 2 eI ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤⋅ ⋅⎣ ⎦ (61) ,

( - p τ x τp⋅ ≤ ≤ + ⋅ )

Αυτό σημαίνει, όπως αποδείχθηκε, ότι το τύλιγμα αυτό ισοδυναμεί με διέγερση.

[ ]0 2 sin (α+κ) τJ (x)= 2

α+κp

I⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ (62)

όπου : τπ

ϕ⋅

⋅⋅⋅=

IKNI w3

(63)

Ν = αριθμός αγωγών ανά πόλο

wΚ = συντελεστής τυλίγματος

( που είναι συνήθως ίσος προς : cos 0.95110π⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ή cos 0.966

12π⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠)

φI = ενεργός ένταση του φασικού ρεύματος κάθε φάσεως.

Οι συναρτήσεις J(α/k)/( 2 )I⋅ και ( J(α/k)/( 2 )I⋅ )2 φαίνονται στα σχήματα 35

και 36 που ακολουθούν για εξαπολικό ΕΕΚ δηλαδή για p=3.

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-40

-20

0

20

40

60

80

100

relative wave number a/k

Exc

itatio

n %

of a

6-p

ole

LIM

ΣΧΗΜΑ 35

106

ΣΧΗΜΑ 36

Άρα η ισοδύναμη τάση, στο χώρο Fourier, του τυλίγματος θα είναι επομένως :

( )( )( )

0 2 sin2

a k pV I

a kτ

α α⎡ ⎤⋅ + ⋅ ⋅⎣ ⎦= ⋅ ⋅ ⋅

+ (64)

Το διπλό αυτό τριφασικό τύλιγμα βρίσκεται μέσα σε αύλακες που σχηματίζονται

από επάλληλα (κατά τον άξονα y) φύλλα μαλακού σιδήρου . Τα φύλλα αυτά είναι

μονωμένα (κατά τον άξονα y ) ώστε πρακτικά τα δινορεύματα μέσα σε αυτά να είναι

αμελητέα.

Το δευτερεύον του συνήθους ΕΕΚ είναι ένα παράλληλο αγώγιμο φύλλο πάχους d

αγωγιμότητας σ, κινούμενο με σχετική ταχύτητα υ ως προς το πρωτεύον, στην

κατεύθυνση του άξονα +x. Μεταξύ πρωτεύοντος και δευτερεύοντος υπάρχει διάκενο

αέρος πάχους g . Όπως το πρωτεύον έτσι και το δευτερεύον υποστηρίζεται από μαλακό

σίδηρο (σε επάλληλα μονωμένα φύλλα).

Συνήθως για να ληφθούν υπόψη τα φαινόμενα των αυλακιών και οδόντων του

πρωτεύοντος, το διάκενο g πρέπει να ληφθεί αυξημένο με πολλαπλασιασμό με το

-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.50

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

relative wave number a/k

Square Excitation % of a 6-pole LIM

107

συντελεστή του Carter. Η συνήθης τιμή του συντελεστή Carter είναι περίπου ίση προς

1.05 έως 1.10.

Οι δυνάμεις και ισχύεις ανά m πλάτους που θα υπολογιστούν από το διδιάστατο

μοντέλο του ΕΕΚ πρέπει να πολλαπλασιαστούν με το πλάτος του σιδήρου του

πρωτεύοντος για να μας δώσουν τα αντίστοιχα μεγέθη στον επαγωγικό κινητήρα. Ας

σημειώσουμε επίσης ότι το αγώγιμο δευτερεύον έχει μεγαλύτερο πλάτος από το σίδηρο

για την επιστροφή των εγκάρσιων ρευμάτων. Οι απώλειες των εγκάρσιων ρευμάτων

πρέπει να ληφθούν υπ’ όψη κατά την λειτουργία του ΕΕΚ υπό σταθερή τάση. Επίσης ο

σίδηρος του πρωτεύοντος κατά τον άξονα του x εκτείνεται λίγο περισσότερο από το

μήκος (2·p·τ) της διέγερσης του κινητήρα και βεβαίως δεν πηγαίνει στο άπειρο, όπως

προβλέπεται στο μοντέλο εργασίας, αυτό έχει σαν συνέπεια την υπερεκτίμηση της

ελκτικής δύναμης μεταξύ πρωτεύοντος και δευτερεύοντος (L) και της άεργου ισχύος του

κινητήρα (Q).

Έτσι λοιπόν το τελικό διδιάστατο μοντέλο εργασίας για τον ΕΕΚ με βραχύ

πρωτεύον, απλής όψεως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί (σχ. 37).

ΣΧΗΜΑ 37

Μια άλλη δυνατότητα για το ΕΕΚ είναι να λάβει την μορφή ευθύγραμμου

επαγωγικού κινητήρα διπλής όψεως.

Ο ΕΕΚ διπλής όψεως έχει δύο συμμετρικά τυλίγματα σε απόσταση 2(g+d) και στη

μέση ένα φύλλο πάχους 2d. Λόγω της συμμετρίας των τυλιγμάτων οι μαγνητικές

δυναμικές γραμμές είναι κάθετες στο επίπεδο γεωμετρικής συμμετρίας.

108

ΣΧΗΜΑ 38

Άρα ο κινητήρας διπλής όψεως είναι ισοδύναμος με δύο κινητήρες απλής όψεως με

στοιχεία (d, g) σχήμα 38. Η δύναμη ωθήσεως και η ισχύς του κινητήρα διπλής όψεως

είναι διπλάσια αυτού του ΕΕΚ απλής όψεως.Τέτοιοι ΕΕΚ διπλής όψεως

χρησιμοποιούνται π.χ. σαν επίπεδες αντλίες υγρών μετάλλων.

Εάν το δευτερεύον ΕΕΚ αποτελείται από ένα σύνολο αγωγών μέσα σε αύλακες

σιδήρου, όπως στον περιστροφικό επαγωγικό κινητήρα βραχυκυκλωμένου δρομέα, κατά

προσέγγιση μπορούν να θεωρηθεί ισοδύναμος προς ένα συνήθη ΕΕΚ με δευτερεύον

πάχους 2 C(N A )d=τ⋅ , όπου 2N οι αγωγοί δευτερεύοντος ανά πόλο, CA η επιφάνεια

έκαστου αγωγού του δευτερεύοντος και τ το πολικό βήμα. Επίσης το διάκενο (g) για τον

υπολογισμό του συντελεστού ποιότητας G δεν θα αυξηθεί στο (g+d) . Πάντοτε το

πολικό βήμα πρωτεύοντος και δευτερεύοντος, σε κάθε κινητήρα, πρέπει να είναι ίσα.

5.3 ΤΟ ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΚΥΚΛΩΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΥ

ΚΙΝΗΤΗΡΑ (ΕΕΚ)

Ο κινητήρας απλής όψεως του οποίου το μοντέλο εργασίας, μόλις περιγράψαμε,

είναι λοιπόν ισοδύναμος με ένα κύκλωμα, στο χώρο Fourier, που αποτελείται από τα

παρακάτω στοιχεία (βλ. σχ. 39).

109

ΣΧΗΜΑ 39

Η ισοδύναμα με το κύκλωμα του σχήματος (40)

ΣΧΗΜΑ 40

Όπου 0 0

S,A AγZ = Z tanh(d )2

⋅ ⋅ , 0

0 AP,A

ZZ =sinh(d γ)⋅

20 ( )a jγ μ σ ω α υ= + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ,

0

A

0

γZj μ

=⋅

Και τελικώς με το κύκλωμα του σχήματος (41) :

ΣΧΗΜΑ 41

110

Όπoυ: ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

0 0Z tanh Z tanh

1 tanh tanh

C

C

A

g dZ

Z g dZ

ολα γ

α

α γ

Α⋅ ⋅ + ⋅ ⋅=

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(65)

Τέλος, κατά προσέγγιση αν επειδή 1<<⋅ gα και 1<<⋅ dγ για την περιοχή όπου

το J(α) έχει σημαντικές τιμές, οι υπερβολικές εφαπτόμενες μπορούν να

αντικατασταθούν από τα τόξα τους, άρα κατά προσέγγιση θα είναι

( )gddg

jZ

o ⋅⋅+⋅+⋅

⋅⋅

≅ 2

22

11

γγα

μαολ (66)

5.4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΚΑΙ ΙΣΧΥΟΣ ΣΕ ΣΥΝΗΘΕΙΣ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΥΣ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ (ΕΕΚ)

Χρησιμοποιώντας τις γνωστές σχέσεις για την ώθηση Τ, τη δύναμη ανάρτησης L,

την πραγματική ισχύ Ρ και την άεργο ισχύ Q που δίδονται από τα ακόλουθα

ολοκληρώματα, για 0

( )V α και 0

( )I α υπολογιζόμενα στο ακίνητο επίπεδο z μεταξύ τού

πρωτεύοντος και του διακένου:

-Δύναμη ωθήσεως ανά m πλάτους 0 0

*+ z

-

1 Ι (α) V (α) dαRe 2 α 2π

∞

∞

⋅Τ = ⋅ ⋅∫ (67)

-Ισχύς ανά m πλάτους 0 0

*+

2-

ω V (α) I (α) dαP+j Q=2 α 2π

∞

∞

⋅⋅ ⋅ ⋅∫ (68)

-Δύναμη αναρτήσεως ανά m πλάτους

2 20 0

+

2 2-

V (α) I (α) μ dαL= [ ) 4 α μ 2π

∞

∞⋅ − ⋅∫ (69)

Άρα για κάθε ευθύγραμμο επαγωγικό κινητήρα όπου το πρωτεύον υποστηρίζεται

από σίδηρο και 0 0 0( ) / ( ) ( )oV I a Z λα α= τα ολοκληρώματα γίνονται αντίστοιχα:

:

111

20

0

( )1 Re2 2( )

V adal

Z aολ

απα

∞

−∞

Τ = − ⋅ ⋅⋅⋅

∫ (70)

( )

( )

20

02

12 2

VdP j Q

Zολ

ααωπα α

∞

−∞

+ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅

∫ (71)

( )( )

20

22 02

1 14 2

o

o

dL VZ ολ

μ ααα π

μ α

∞

−∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ ⋅ −⎢ ⎥ ⋅

⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ (72)

Το διάστημα ολοκλήρωσης συνήθως μπορεί να ληφθεί μεταξύ των

5 k 5 k-k- -k+p p

α⋅ ⋅≤ ≤ λόγω της μορφής της

0( )V α ,και η διαμέριση σε 5000 σημεία,

οπότε η ακρίβεια υπολογισμών είναι της τάξεως του 1/100.

Τα ολοκληρώματα μπορούν να υπολογιστούν με οποιαδήποτε αριθμητική μέθοδο

σε υπολογιστή και έτσι θα έχουμε τα χαρακτηριστικά μεγέθη του κινητήρα και επομένως

μπορούμε να υπολογίσουμε την Ζολ(α) συναρτήσει της ταχύτητας υ, για την λειτουργία

του ΕΕΚ υπό σταθερή ένταση. Για τον συνήθη ΕΕΚ μπορεί να χρησιμοποιηθεί η

προσεγγιστική σχέση για την ( )gddg

jZ

o ⋅⋅+⋅+⋅

⋅⋅

≅ 2

22

11

γγα

μαολ .

Το πηλίκο Τ υη=Ρ⋅⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

είναι ο βαθμός απόδοση του ΕΕ κινητήρα για λειτουργία υπό

σταθερό ρεύμα, δηλαδή χωρίς υπολογισμό των απωλειών πρωτεύοντος , δευτερεύοντος

από εγκάρσια ρεύματα όπως και τις απώλειες σιδήρου .

Ο συντελεστής ισχύος του ΕΕΚ είναι ο αριθμός :

2 2

Pcos(φ)=P +Q

Ο συντελεστής ισχύος του ΕΕΚ υπολογίζεται πάλι για λειτουργία υπό σταθερή

ένταση, όπου στο P δεν περιλαμβάνονται οι απώλειες που προανέφερα και στο Q δεν

περιλαμβάνεται η άεργος ισχύς σκεδάσεως στους όδοντες και στις εγκάρσιες συνδέσεις.

112

Ας σημειωθεί επίσης ότι το Q είναι αυξημένο επειδή θεωρήθηκε ότι ο σίδηρος του

πρωτεύοντος εκτείνεται σε μεγάλο (άπειρο) μήκος , όπως και του δευτερεύοντος .

Οι μη μηδενικές συνιστώσες στο χώρο Fourier των πεδιακών εντάσεων Hx(α),

Hz(α) και Εy(α) μπορούν να υπολογιστούν συναρτήσει των συναρτήσεων V(α) και

Ι(α)=V(α) /0

oολ0

( ) Z (α)( )

V

I a

α= από τις παρακάτω σχέσεις:

( )0 0

( ) / ,xH a V a a= ( )0 0

0( ) / ,zH a I a μ= ( )0 0

( ) /yE a I a aω= − ⋅

Με αντιστροφή στον πραγματικό χώρο μπορούν να υπολογιστούν οι αντίστοιχες

πεδιακές συνιστώσες 0

H x(x) , 0

H z(x) και 0E y(x).

Οι πεδιακές συνιστώσες συναρτήσει του χρόνου θα είναι αντίστοιχα:

Hx(x,t)=Real(0

H x(x)·ej·ω·t) , Hz(x,t)=Real(0

H z(x) ·ej·ω·t) και Εy(x,t)=Real(0E y(x) ·ej·ω·t)

5.5 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ

ΕΠΑΓΩΓΗΣ (ΕΕΚ)

Ας θεωρήσουμε για τον συνήθη ΕΕΚ για την ολική αντίσταση στο χώρο Fourier

την προσέγγιση που αναφέρθηκε προηγουμένως δηλαδή: ( )gddg

jZ

o ⋅⋅+⋅+⋅

⋅⋅

≅ 2

22

11

γγα

μαολ .

Χρησιμοποιώντας τους αριθμούς:

• G= βαθμός ποιότητας της διάταξης (ή μαγνητικός αριθμός Reynolds) οριζόμενου

από την σχέση : 02

σ μ ω dG=κ d+g⋅ ⋅

⋅ (73)

• Τον αριθμό ζευγών πόλων p

• την ολίσθηση S

S

υ -υs=

υ ,

• τον αδιάστατο αριθμό λ=κ g (g+d)⋅ ⋅

• και τον σχετικό κυματικό αριθμό αw=κ

, τα ολοκληρώματα που δίνουν την

ώθηση και την ισχύ του συνήθους ΕΕΚ μπορούν να γραφούν ως εξής:

113

( )( )

( )( )( )

2

24 2

sin 1111

o

w pw G w w sT T dw

ww G w w s

ππ

∞

−∞

⎡ ⎤+ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ + − ⋅= ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

+ ⋅+ ⋅ + − ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (74)

( )( )

( )( )( )

2

24 2

sin 1111

o s

w pG w w sP T dw

ww G w w s

πυ

π

∞

−∞

⎡ ⎤+ ⋅ ⋅⋅ + − ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

+ ⋅+ ⋅ + − ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (75)

( )( )

( )( )( )

222 2 2

24 2

sin 1111

o s

w pw G w w sQ T dw

ww G w w s

πλυ

π

∞

−∞

⎡ ⎤+ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ + − ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

+ ⋅+ ⋅ + − ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ (76)

Όπου: fd

GITo ⋅⋅⋅

=σ

2

(77)

Και: τπ

ϕ⋅

⋅⋅⋅=

IKNI w3

(78)

Λόγω της συγκέντρωσης του παράγοντα( )( )( )

2sin 1

1w pw

ππ

⎡ ⎤+ ⋅ ⋅⎢ ⎥

+ ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦πέριξ του σημείου

w=-1 τα όρια ολοκλήρωσης μπορούν να περιοριστούν στο διάστημα 5 5-1- -1+p p

α≤ ≤

Για καλή ακρίβεια στον αριθμητικό υπολογισμό των ολοκληρωμάτων αυτών

απαιτείται διαμέριση σε τουλάχιστον 5000 σημεία.

Για μεγαλύτερη ακρίβεια, το διάκενο πρωτεύοντος – δευτερεύοντος (g) πρέπει να

αυξηθεί (λόγω των οδόντων) κατά μέσο όρο από 5 έως 10%.

Δηλαδή ο συνήθης συντελεστής διόρθωσης Carter για τις συνήθεις τιμές του g είναι

περίπου 1.05 έως 1.10.

Στο σχήμα 42 που ακολουθεί φαίνεται υπό σταθερό ρεύμα η ώθηση συναρτήσει της

ταχύτητας. Στην καμπύλη αυτή η περιοχή ευσταθούς λειτουργίας του ΕΕΚ καθορίζεται

από τα σημεία 1( ,0)υ και 2 M( ,T )υ . Όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο οι τιμές 1 2,υ υ

και MT καθορίζονται για κάθε ΕΕΚ από τρεις χαρακτηριστικούς αριθμούς για κάθε

ΕΕΚ. Το αριθμό ζευγών πόλων P, τον αριθμό ποιότητας G, και την Τ0.

114

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

20

40

60

80

100

120

relative speed % of synchronous

rela

tive

Thru

st %

of M

axim

um T

hrus

t TM

4-pole LIM of al secondary iron backed d=1cm,g=1cm

ΣΧΗΜΑ 42

5.6 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ

ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ (ΕΕΚ) ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟ ΡΕΥΜΑ

Χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα ολοκληρώματα μπορούν να παραχθούν οι

καμπύλες που ακολουθούν και που προσδιορίζουν εκτός των άλλων και την περιοχή

ευσταθούς λειτουργίας κάθε ΕΕΚ με δεδομένα μόνον τα ζεύγη πόλων p και ο βαθμός

ποιότητας G.

Έτσι από το σχήμα 43 που ακολουθεί (με δεδομένα τα p,G) υπολογίζεται κατά

προσέγγιση η ταχύτητα υ1 για την οποία μηδενίζεται η ώθηση Τ.

115

0 100 200 300 400 500 6000.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

1.02

goodness factor G

v/vs

=rel

ative

spe

ed fo

r Thr

ust=

0

pole pairs p=1,2,3,4,5,6

ΣΧΗΜΑ 43

Από τα επόμενα σχήματα 44 και 45 (με δεδομένα τα p,G) υπολογίζονται κατά

προσέγγιση η μέγιστη ώθηση TM και η ταχύτητα υ2 για την οποία μεγιστοποιείται η

ώθηση του ΕΕΚ δηλαδή Τ=ΤΜ .

όπου GTfd

IC /0

2

=⋅⋅

=σ

και τπ

ϕ⋅

⋅⋅⋅=

IKNI w3

116

0 100 200 300 400 500 6000.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

goodness factor G

rela

tive

spee

d v/

vs fo

r max

imum

Thr

ust

for p=1,2,3,4,5,6

ΣΧΗΜΑ 44

0 100 200 300 400 500 6000

10

20

30

40

50

60

70

80

goodness factor G

max

imum

Thr

ust/C

pole pairs p=1,2,3,4,5,6 and C=I2/(f*d*conductivity)

ΣΧΗΜΑ 45

117

Όπως θα δούμε στην συνέχεια οι γενικές αυτές χαρακτηριστικές μπορούν να

χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό κατά προσέγγιση της χαρακτηριστικής λειτουργίας

οποιουδήποτε συνήθους μορφής ΕΕΚ.

5.7 ΜΕΓΙΣΤΟΣ ΒΑΘΜΟΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ (ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΥΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ

ΡΕΥΜΑ)

Στο σχήμα 46 που ακολουθεί φαίνεται η ώθηση, η καμπύλη απόδοσης και το

συνημίτονο λειτουργίας με σταθερό ρεύμα ενός συνήθους εξαπολικού ΕΕΚ με μεγάλο

βαθμό ποιότητας G (όπως είναι σχεδόν πάντα, ο βαθμός ποιότητας για ΕΕΚ που

χρησιμοποιούνται στην ηλεκτρομαγνητική ώθηση) . Παρόμοιες καμπύλες θα λάβουμε

για ΕΕΚ με οποιοδήποτε αριθμό ζευγών πόλων p. Από τις καμπύλες αυτές είναι φανερό

ότι η μέγιστη απόδοση επιτυγχάνεται πέριξ του σημείου 2 M( ,T )υ .

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Constant current operation of a six pole LIM

rel.

Thru

st(re

d),e

ffici

ency

(gre

en),c

os(b

lue)

relative speed % of synchronous speed

ΣΧΗΜΑ 46

118

Για G>30 η ολίσθηση s1 για την οποία επιτυγχάνεται η μέγιστη ώθηση είναι

περίπου σταθερά και όπως προκύπτει από τις καμπύλες του σχήματος 2 κατά προσέγγιση

θα είναι αντίστοιχα:

Αριθμός

ζευγών πόλων Ρ

1 2 3 4 5 6

Ολίσθηση

μέγιστης ώθησης

s1

0.3

90

0.2

30

0.1

60

0.1

25

0.1

00

0.0

80

Στο σχήμα 47 πού ακολουθεί υπολογίστηκε η μέγιστη απόδοση του ευθύγραμμου

κινητήρα με P ζεύγη πόλων υπολογιζόμενη κατά προσέγγιση για την αντίστοιχη

ολίσθηση s1 (για την οποία όπως είπαμε επιτυγχάνεται περίπου η μέγιστη ώθηση),

συναρτήσει του G για συνήθεις ΕΕΚ (με G >30).

0 100 200 300 400 500 600

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

Goodness factor G

max

imum

effi

cien

cy

LIM pole pairs P=1,2,3,4,5,6

ΣΧΗΜΑ 47

119

Από τις καμπύλες αυτές είναι φανερό ότι η απόδοση του ΕΕΚ αυξάνει με τον

αριθμό ζευγών πόλων p καί με το συντελεστή ποιότητας G. Πάντως η αύξηση της

απόδοσης για G>100-200 είναι αμελητέα. Έτσι για G>200 η απόδοση των συνήθων ΕΕΚ

φαίνεται στον πίνακα πού ακολουθεί συναρτήσει των ζευγών πόλων p.

Αριθμός ζευγών πόλων Ρ

1 2 3 4 5 6

Mεγίστη Απόδοση (Ολίσθηση s1) για G>200

0.67

0.80

0.86

0.88

0.91

0.93

5.8 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΟΙ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΙ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ ΩΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΙ

ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΙ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ (ΕΕΚ )

Είναι φανερό ότι αν αμελήσουμε τα φαινόμενα της καμπυλότητας (πράγμα που

είναι δυνατόν όταν η ακτίνα τυμπάνου του περιστροφικού επαγωγικού κινητήρα R είναι

πολύ μεγαλύτερη από το διάκενο μεταξύ πρωτεύοντος και δευτερεύοντος g) ένας

περιστροφικός επαγωγικός κινητήρας μπορεί να θεωρηθεί σαν ΕΕΚ με διέγερση: j (ω t-κ x)J(x,t)=Real[ 2 e ] για καθε xI ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ (79)

Έτσι η διέγερσή του είναι ένα πλήρες αρμονικό κύμα. Δηλαδή η διέγερση ενός

ευθύγραμμου κινητήρα είναι επαναλαμβανόμενη με περίοδο 2τ (δηλαδή ο περιστροφικός

επαγωγικός κινητήρας δεν έχει άκρα).

Μπορούμε να αποδείξουμε τότε ότι η διέγερση αυτή αντιστοιχεί προς πηγή τάσεως

στο χώρο Fourier:

( ) ( )2 2V a I kα π δ α⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +⎣ ⎦ (80)

Όπου η συνάρτηση δ(α+κ) είναι η συνάρτηση Dirac (για α=-κ).

Επομένως μπορούμε να αποδείξουμε ότι για περιστροφικό κινητήρα με p ζεύγη

πόλων η δύναμη πρωτεύοντος δευτερεύοντος (που πολλαπλασιαζόμενη με την ακτίνα

γίνεται ροπή περιστροφής) δίνεται από τη σχέση:

( )2 12 ReRT p I

Z kολ

π⎡ ⎤

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

(81)

120

Και αντίστοιχα η πραγματική και άεργος ισχύς του είναι:

( )2 12R R SP j Q p I

Z kολ

π υ⎡ ⎤

+ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

(82)

Άρα η απόδοση του περιστροφικού κινητήρα για λειτουργία με σταθερό ρεύμα

είναι:

Sυυυη =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Ρ⋅Τ

= (83)

Μπορεί να αποδειχτεί ότι (κατά προσέγγιση) θα είναι :

( ), 2

21

R R Ms GT Ts G⋅ ⋅

= ⋅+ ⋅

(84)

( )2, 12

GsGsTP SMRR⋅+⋅⋅

⋅⋅= υ (85) καί ( )( )( )2

2

, 112

GssGTQ SMRR

⋅+⋅⋅+⋅

⋅⋅=λυ (86)

Άρα: 222 ))(1()(

)cos(λ

φ⋅⋅++⋅

⋅=

sGGsGs (87)

όπου :

02

σ μ ω dG=κ d+g⋅ ⋅

⋅ , ( )

22

, 22o

R Mp Ip G IT

d f k d gπ μ

σ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

= =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

(88) με

τπ

ϕ⋅

⋅⋅⋅=

IKNI w3

(δηλαδή 0RT =

2p ⋅Τ ) και λ=κ g (g+d)⋅ ⋅ (89)

5.9 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ

ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΥΣΤΑΘΟΥΣ

ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ

Χρησιμοποιώντας τις προηγούμενες χαρακτηριστικές καμπύλες του συνήθους

ΕΕΚ, μπορώ κατά προσέγγιση να υπολογίσω τα δυο κύρια σημεία της χαρακτηριστικής

καμπύλης λειτουργίας του Τ(υ) (στην περιοχή ευσταθούς λειτουργίας). Τα σημεία αυτά

121

είναι τα ακόλουθα 1( ,0)υ , 2 M( ,T )υ . Η χαρακτηριστική Τ(υ) διέρχεται από τα δυο αυτά

σημεία και επιπρόσθετα στο σημείο 2 M( ,T )υ είναι το μέγιστο της.

Κατά προσέγγιση μπορώ να σχεδιάσω την καμπύλη T(υ) για το ευσταθές τμήμα

λειτουργίας του επαγωγικού ευθύγραμμου κινητήρα, θεωρώντας την ως παραβολή που

δίδεται από την δευτεροβάθμια εξίσωση: 2υυ ⋅Γ+⋅+= BAT

Επειδή η Τ(υ) διέρχεται από τα ίδια σημεία 1( ,0)υ , 2 M( ,T )υ και έχει μέγιστο στο

δεύτερο σημείο ΤΜ μπορούμε εύκολα να αποδείξουμε ότι θα είναι:

( )( )2

21

212

1 2υυ

υυυ−

⋅⋅−⋅= MT

A , ( )2

21

22υυυ

−⋅⋅

= MTB , ( )2

21 υυ −−=Γ MT

Ας δούμε πως αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ένα πρακτικό πρόβλημα που

αφορά ΕΕΚ.

Παράδειγμα 4

Δίδεται εξαπολικός ΕΕΚ με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά:

Πρωτεύον: Διπλό τριφασικό τύλιγμα με Ν=1000 , kw=cos(π/10)=0.9511, Iφ=100 Α

και πολικό βήμα τ=1m, πλάτος L=1.2 m.

Δευτερεύον: Φύλλο αλουμινίου πάχους d=1cm, αγωγιμότητος σ = 3.65·107 S/m,

υποστηριζόμενο από φύλλα μαλακού σιδήρου.

Διάκενο g =1.5 cm, συχνότητα διέγερσης f =50 Hz άρα κυκλική συχνότητα ω=2πf

rad/sec, υs=2fτ = 100 m/sec μ0=4π·10-7 V·sec/A·m

Να υπολογιστεί κατά προσέγγιση η χαρακτηριστική λειτουργίας του Τ(υ) στο

ευσταθές τμήμα λειτουργίας της και να βρεθεί η ταχύτητα υ και η μηχανική ισχύς για

ώθηση Τ=ΤΜ/2.

Λύση: Υπολογίζω το G , I και C από τις σχέσεις πού ακολουθούν όπου κ=π/τ,

02

σ μ ω dG=κ d+g⋅ ⋅

⋅ =584 , τπ

ϕ⋅

⋅⋅⋅=

IKNI w3

=90823 Α/m , 2

452ICd fσ

= =⋅ ⋅

Nt/m

Από τα διαγράμματα των σχημάτων για Ρ=3 και G=584 προκύπτουν τα εξής:

122

TM=21·C·L=11390 Nt , υ1=0.985· υs=98.5 m/sec, υ2=0.84·υs=84m/sec

Με την χρήση των τύπων πού ακολουθούν προσδιορίζονται τα A,B,Γ ως εξής:

( )( )2

21

212

1 2υυ

υυυ−

⋅⋅−⋅= MT

A =-3.7 , ( )2

21

22υυυ

−⋅⋅

= MTB =9.1,

( )221 υυ −

−=Γ MT =54.2

Άρα η Τ(υ) στο ευσταθές τμήμα λειτουργίας του υ2 < υ <υ1 , δίδεται κατά

προσέγγιση από την δευτεροβάθμια εξίσωση: 2υυ ⋅Γ+⋅+= BAT , η καμπύλη

αυτή τέμνεται με την ευθεία Τ=Τ0/2=5695 Νt στο σημείο υ=94.2 m/sec (ταχύτητα

λειτουργίας) όπως φαίνεται στο σχήμα 48 που ακολουθεί :

84 86 88 90 92 94 96 98 1000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

speed in m/sec

Thru

st in

Nt

ΣΧΗΜΑ 48

Άρα η μηχανική ισχύς λειτουργίας του EEK θα είναι ιση προς

ΡΜ=94.2 Χ 5695=536470 W

Στο σχήμα 49 που ακολουθεί φαίνεται η προσεγγιστική και η ακριβέστερη

καμπύλη Τ(υ) που υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα

123

( )( )

( )( )( )

2

24 2

sin 1111

o

w pw G w w sT T dw

ww G w w s

ππ

∞

−∞

⎡ ⎤+ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ + − ⋅= ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

+ ⋅+ ⋅ + − ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦∫ .

84 86 88 90 92 94 96 98 1000

2000

4000

6000

8000

10000

12000

speed in m/sec

Thru

st in

Nt

ΣΧΗΜΑ 49

Tο ολοκλήρωμα υπολογίστηκε αριθμητικά με χρήση του MATLAB ως εξής:

p=3 και dw=(10/p)/5000, ενώ το w(n) λαμβάνει τις 5000 τιμές του ανύσματος

linspace(-5/P-1,5/P-1,5000) η Τ(υ) είναι για κάθε υ=(1-s)·υs ίση προς το άθροισμα ,

( )( )

( )( )( )

25001

0 24 21

sin ( ) 1( ) 1 ( )( ) 1( ) ( ) 1 ( )n

w n pw G w n w n sT L T dw

w nw n G w n w n s

ππ=

⎡ ⎤+ ⋅ ⋅− ⋅ ⋅ + − ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

+ ⋅+ ⋅ + − ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦∑

Όπως παρατηρούμε οι δυο καμπύλες αν και συμπίπτουν στα σημεία υ1 και υ2,

έχουν απόκλιση στις ενδιάμεσες τιμές δηλαδή η προσέγγιση με την δευτεροβάθμια

εξίσωση είναι μικρής σχετικά ακρίβειας.

5.10 ΑΝΤΛΙΕΣ ΥΓΡΩΝ ΜΕΤΑΛΛΩΝ

Είναι φανερό ότι με τη βοήθεια των επαγωγικών δυνάμεων μπορεί να επιδράσουμε

από απόσταση g όχι μόνο σε αγώγιμο στερεό στρώμα αλλά και σε υγρό αγώγιμο στρώμα

124

(λειωμένο μέταλλο λ.χ.). Έτσι με βάση τη θεωρία του συνήθους ΕΕΚ, που αναπτύχθηκε

προηγουμένως, μπορεί να μελετηθεί και η επίπεδη αντλία υγρού μετάλλου. Το μοντέλο

μιας τέτοιας επίπεδης αντλίας υγρού μετάλλου είναι όπως στο επόμενο σχήμα 50.

Δηλαδή η αντλία υγρού μετάλλου είναι ένας ΕΕΚ διπλής όψεως.

ΣΧΗΜΑ 50

Το ισοδύναμο μοντέλο εργασίας για το μισό του κινητήρα αυτού θα είναι λοιπόν

το ακόλουθο (σχήμα 51):

ΣΧΗΜΑ 51

Έτσι το μοντέλο της επίπεδης αντλίας υγρού μετάλλου μετατρέπεται στο μοντέλο

του συνήθους ευθύγραμμου κινητήρα επαγωγής (μιας όψεως) . Θα ισχύουν γι 'αυτήν

ακριβώς οι ίδιοι τύποι που ισχύουν για τον ισοδύναμο ΕΕΚ, εφόσον βέβαια όλο το

στρώμα του υγρού Μετάλλου έχει την ίδια ταχύτητα, πράγμα που συνήθως

εξασφαλίζουν οι δυνάμεις συνάφειας.

125

Γενικά πάντως μπορεί να επιλυθεί (µε χρήση υπολογιστή) και το πρόβλημα της

επίπεδης αντλίας υγρού Μετάλλου με ένα οποιοδήποτε προφίλ ταχύτητας, κατά μήκος

του d. Η περίπτωση αυτή ανήκει στην κατηγορία των επαγωγικών συστημάτων με

στρωματοποιημένες ανομοιογένειες στο αγώγιμο στρώμα του δευτερεύοντος, για τις

οποίες θα αναφερθούμε εκτενέστερα σε επόμενο κεφάλαιο.

Μπορεί να αποδειχτεί τότε ότι η πίεση της αντλίας είναι ίση προς 2

T Nt ( )d m

rΡ =

και η παροχή της ίση προς 3mΠ=2 d L ( )

secυ⋅ ⋅ ⋅ όπου L το πλάτος της αντλίας d το πάχος

του κινούμενου μεταλλικού ρευστού, υ η ταχύτητα του και Τ η ώθηση ανά m πλάτους L

του αντίστοιχου ΕΕΚ μιας όψεως . Άρα η σχέση πίεσης- παροχής της αντλίας P(Π) είναι

όμοια με την σχέση ώθησης-ταχύτητας T(υ) του ισοδύναμου ΕΕΚ απλής όψεως .

Αντλίες υγρών Μe χρησιμοποιούνται για την κυκλοφορία του ψυκτικού υγρού του

πυρήνα πυρηνικών αντιδραστήρων. Το ψυκτικό υγρό είναι υγρό μέταλλο (μίγμα Na 22%

και K 78%), ονομάζεται NaK και έχει αγωγιμότητα υπό συνήθεις συνθήκες λειτουργίας 6σ=2.46 10 S/m⋅ .

5.14 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΙ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΙ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ ΜΕ

ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝ ΧΩΡΙΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΣΙΔΗΡΟΥ

Το διδιάστατο μοντέλο ενός ΕΕΚ με το δευτερεύον χωρίς υποστήριξη σιδήρου

φαίνεται στο σχήμα 52 που ακολουθεί :

126

ΣΧΗΜΑ 52

Το ισοδύναμο κύκλωμα στο χώρο Fourier φαίνεται στο σχήμα 53 πού ακολουθεί:

ΣΧΗΜΑ 53

Όπου

A0

αZ (α)=

jμ 2

C 0γ = α +j μ σ (ω+ )α υ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

127

cC

0

γZ (α)=jμ

Aγ = α

Και 2 sin[(α+κ) τ]V(α)= 2 α(α+κ)

pI ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ φ3 Ν Ι

οπου =π

KwI

τ⋅ ⋅ ⋅

⋅

Η συνολική ισοδύναμη αντίσταση υπεράνω της πηγής τάσεως μπορεί να

υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την σχέση εισόδου-εξόδου τετράπολου άρα:

1 ΑΖ = Ζ

C2

C

tanh(γ d)

1+ tanh(γ d)C

C

Α

Α

Ζ + Ζ ⋅ ⋅Ζ =

Ζ⋅ ⋅

Ζ

(90)

και ( )

23

2

tanh( α )

1+ tanh( α )C

g

gαολ

ΑΖ + Ζ ⋅ ⋅Ζ = Ζ =

Ζ⋅ ⋅

Ζ

(91)

μπορούμε χωρίς αισθητό σφάλμα να αντικαταστήσουμε τις υπερβολικές

εφαπτόμενες με τα τόξα τους , δηλαδή :

C Ctanh(γ d) γ d⋅ ⋅ και tanh( α ) αg g⋅ ⋅

Παράδειγμα 5

Για σύγκριση ας υπολογίσουμε με σταθερό ρεύμα τις T(υ),n(υ),cos(υ) για δυο

τετραπολικους ΕΕΚ, χωρίς υποστήριξη σιδήρου στο δευτερεύον όπου το (α)ολΖ

υπολογίζεται από τους αντίστοιχους τύπους όπως αναφέρθηκαν προηγουμένως.

Και με υποστήριξη σιδήρου στο δευτερεύον όπου κατά τα γνωστά :

2 2

C C C2

0 CC

tanh( α ) tanh(γ d) g a +γ d1( )j μ 1+γ d g1+ tanh( α ) tanh(γ d)C

A

ga

gολ

ΑΖ ⋅ ⋅ + Ζ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Ζ =

Ζ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅Ζ

Τα δεδομένα και για τους δυο ΕΕΚ είναι: 7P=3, d=1cm, g=1cm, σ=3.65×10 S/m, τ =1m, f=50Hz και I=5000A/m άρα:

2+ + 22

2ολ ολ- -

V(α)1 dα sin [(α+κ) ] α dαT(υ)= Re 4 Re2 α Ζ (α) 2π (α+κ) Ζ (α) 2π

p τ∞ ∞

∞ ∞

⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅ Ι ⋅ ⋅

⋅ ⋅∫ ∫

128

Επειδή είναι 2 sin[(α+κ) τ]V(α)= 2 α(α+κ)

pI ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ φ3 Ν Ι

οπου =π

KwI

τ⋅ ⋅ ⋅

⋅ και

επομένως: + 2

22

ολ-

sin [(α+κ) ] ω dαP(υ)=4 Real (α+κ) Ζ (α) 2π

pI τ∞

∞

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅∫

+ 22

2ολ-

sin [(α+κ) ] ω dαQ(υ)=4 Im(α+κ) Ζ (α) 2π

pI ag τ∞

∞

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅∫

Άρα θα είναι : 2 2

T(υ) υ P(υ)n(υ)= , cosφ(υ)=P( ) P ( ) ( )Qυ υ υ

⋅

+

Τα ολοκληρώματα μπορούν να υπολογιστούν αριθμητικά με το MATLAB λ.χ. στο

διάστημα : 5κ 5κ-κ- α -κ+p p≤ ≤ για διαμέριση σε 5000Ν = σημεία .

Δηλαδή:

α(ν)= linspace 5κ 5κ(-κ- , -κ+ ,5000)p p

με κΔα=1000 p⋅

.

Εκτός του διαστήματος αυτού ο παράγων 2

2

sin [(α+κ) ](α+κ)

p τ⋅ ⋅ έχει αμελητέες τιμές.

Τα ανηγμένα αποτελέσματα φαίνονται στά σχήματα 54 και 55 που ακολουθούν .

129

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

relative speed

rela

tive

Thru

st,a

nd e

ffici

ency

6-pole LIM Al 1cm, iron backed(blue) and air backed(red),g=1cm, pole pitch 1m

ΣΧΗΜΑ 54

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

rela

tive

Thru

st,a

nd c

os

6-pole LIM Al 1cm, iron backed(blue) and air backed(red),g=1cm, pole pitch 1m

relative speed

ΣΧΗΜΑ 55

130

Παράδειγμα 6

Ενδιαφέρον παρουσιάζει και ο υπολογισμός της απωστικής δύναμης L(υ)

για τους δυο ΕΕΚ που μπορεί να αποδειχτεί εύκολα ότι δίδεται από την σχέση :

+ 2

2 022 2

- ολ

μsin [(α+κ) ] 1 dαL(υ)=2 Ι [ ](α+κ) α 2πΖ (α)

p τ∞

∞

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅∫

Οι ανοιγμένες απωστικές δυνάμεις δυο τετραπολικών ΕΕΚ (με και χωρίς

υποστήριξη σιδήρου) φαίνονται στο σχήμα 56 που ακολουθεί.

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

relative speed

4-pole LIM Al 1cm, iron backed(blue) and air backed(red),g=1cm, pole pitch 1m

rela

tive

repu

lsiv

e (L

ift) f

orce

ΣΧΗΜΑ 56

Είναι φανερό ότι η απωστική δύναμη του ΕΕΚ χωρίς υποστήριξη σιδήρου στο

δευτερεύον είναι πολύ μεγαλύτερη για κάθε ταχύτητα υ, από την αντίστοιχη δύναμη του

ΕΕΚ με υποστήριξη σιδήρου. Μάλιστα στην ευσταθή περιοχή λειτουργίας των

κινητήρων, ο ΕΕΚ με υποστήριξη σιδήρου έχει ελκτική δύναμη .

131

5.15 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΜΕ

ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝ ΣΙΔΗΡΟ-ΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΑΓΩΓΙΜΟ ΣΤΡΩΜΑ

Το δευτερεύον ΕΕΚ μπορεί να είναι απλά ένα χαλύβδινο στρώμα πάχους

αρκετών εκατοστών. Πρακτικά το σιδηρο-μαγνητικό στρώμα μπορεί να θεωρηθεί πολύ

μεγάλου πάχους, άρα η ολική ισοδύναμη χαρακτηριστική του αντίσταση θα είναι

ισοδύναμη προς την χαρακτηριστική του αντίσταση του σιδηρο-μαγνητικού υλικού .

Το διδιάστατο σχήμα του ΕΕΚ με το ισοδύναμο κύκλωμα του φαίνονται στα

επόμενα σχήματα 57 και 58 .

ΣΧΗΜΑ 57

132

ΣΧΗΜΑ 58

Η χαρακτηριστική σταθερά του χάλυβα είναι : 2x 0γ = α +j μ μ σ (ω+α υ)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Άρα η χαρακτηριστική αντίσταση : xx

0

γΖj μ μ

=⋅ ⋅

σ = αγωγιμότητα του χάλυβα 610 S/m

μ = σχετική μαγνητική διαπερατότητα του χάλυβα 100 1000÷

Η αντίσταση ολZ (α) υπεράνω της πηγής τάσεως είναι ίση προς :

x Αολ

x

A

Ζ +Ζ tanh(g α )Z (α)=

Ζ1+ tanh(g α )

Ζ

⋅ ⋅

⋅ ⋅ (92)

Όπου Α0

αΖ και tanh(g α ) g α

jμ= ⋅ ⋅

Άρα

2x

0ολ

x

gΖ +αjμ

Z (α)γ

1+ gμ

⋅

⋅ (93)

Παράδειγμα 7

133

Στο σχήμα 59 που ακολουθεί φαίνονται οι καμπύλες T(υ), n(υ), cosφ(υ)

τετραπολικού ΕΕΚ με δευτερεύον αγώγιμη πλάκα πάχους αρκετών εκατοστών (ώστε να

μην προκαλείται μαγνητικός κορεσμός στη χαλύβδινη πλάκα).Το διάκενο πρωτεύοντος

δευτερεύοντος είναι g=2cm, ή αγωγιμότητα 6xσ 10 /S m= και η σχετική μαγνητική

διαπερατότητα είναι μ 100 . Το πρωτεύον έχει ισοδύναμο ΑΙ=5000 ,m

τ=1m και πλάτος

L=1m .

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

speed % of synchronous speed

rela

tive

thru

st(b

lue)

,effi

cien

cy(g

reen

),cos

(red)

6-pole LIM,steel secondary,pole pitch 1m,gap=1cm

ΣΧΗΜΑ 59

Συγκρίνοντας τον εξαπολικό ΕΕΚ με δευτερεύον την χαλύβδινη πλάκα βλέπουμε

ότι η λειτουργική συμπεριφορά του, είναι χειρότερη από την λειτουργική συμπεριφορά

αντίστοιχου εξαπολικού συνήθους ΕΕΚ, με το ίδιο διάκενο και πάχος δευτερεύοντος

αλουμινίου ίσο με λ.χ. 1cm, (δηλαδή στην περιοχή ευσταθούς λειτουργίας έχει

μικρότερη απόδοση η(υ) και συνημίτονο λειτουργίας cosφ(υ) )

Αν και μπορεί να αποδειχτεί ότι, για την ίδια ένταση λειτουργίας Ιφ, η δύναμη

ώθησης του ΕΕΚ αυτού του τύπου είναι πολύ μεγαλύτερη από την ώθηση του

αντιστοίχου συνήθους ΕΕΚ. Εν τούτοις για σταθερή τάση η συμπεριφορά καθορίζεται

134

από την απόδοση η(υ) και το συνημίτονο λειτουργίας cosφ(υ) και επομένως εφόσον

αυτά είναι μικρότερα, για τον ΕΕΚ με δευτερεύον χαλύβδινη πλάκα, έχουν σαν

αποτέλεσμα ασφαλώς την χειρότερη λειτουργική του συμπεριφορά.

5.16 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΜΕ

ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝ ΑΓΩΓΙΜΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΓΑΛΟΥ ΠΑΧΟΥΣ

(ΘΑΛΑΣΣΙΝΟ ΝΕΡΟ).

Το μοντέλο του κινητήρα αυτού φαίνεται στο σχήμα 60 που ακολουθεί μαζί με το

ισοδύναμο κύκλωμα του :

ΣΧΗΜΑ 60

135

Το αγώγιμο στρώμα πάχους είναι ισοδύναμο με την χαρακτηριστική του αντίσταση

ΣZ (α) όπου:

20Σ

Σ0 0

α +j μ σ (ω+α υ)γZ (α)=

j μ j μ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅

(94)

Η συνολική αντίσταση θα είναι: Σ Aολ

Σ

A

Z (α)+Z tanh(g α )Z (α)

Z (α)1+ tanh(g α )

Z

⋅ ⋅

⋅ ⋅ (95)

Εάν g είναι πολύ μικρό (όπως είναι λ.χ. η περίπτωση όπου το θαλασσινό νερό είναι

σχεδόν σε επαφή με το πρωτεύον του ΕΕΚ) η

ολ ΣZ (α) Z (α) .

Παράδειγμα 8

Εάν υπολογίσω τα n(υ) και cosφ(υ) για ΕΕΚ με δευτερεύον θαλασσινό

νερό και αγωγιμότητα σ=5 S/m , για smυ 20

sec, f=50 Hz , τ=0.2m , =10p ,

προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα, όπως προκύπτει από το σχήμα 61 που ακολουθεί:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

relative speed

rela

tive

Thru

st,a

nd e

ffici

ency

10-pole LIM, pole pitch 1m, secondary high depth water of conductivity=5,f=10Hz

ΣΧΗΜΑ 61

136

Η η(υ) γίνεται μέγιστη για m kmυ 18.8 (68 )sec sec

(λογική ταχύτητα

σκάφους στο νερό εάν χρησιμοποιήσει αυτόν τον ΕΕΚ για την κίνηση του). Η μέγιστη

τιμή της είναι 83% της μεγίστης .

Αντίστοιχα εάν υπολογίσουμε το συνημίτονο λειτουργίας ,η τιμή του cosφ(υ) για

την υ όπου επιτυγχάνεται η τιμή μέγιστης ώθησης, είναι εξαιρετικά μικρή περίπου -6 2 10⋅ .

Ο ΕΕΚ με δευτερεύον θαλασσινό νερό λοιπόν είναι ένας πολύ κακός

κινητήρας αφού για μια μονάδα μηχανικής ισχύος θα χρειάζονται 900 χιλιάδες μονάδες

άεργης ισχύος για να λειτουργήσει !!!

5.14 ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΕΚ. Εάν κάνουμε τρισδιάστατη ανάλυση του συνήθους ΕΕΚ πρέπει να λάβουμε υπ‘

όψη τις σχέσεις που προκύπτουν στο χώρο Fourier για β 0≠ . Άρα θα ισχύουν τα εξής : 2 2 2AIRγ =α +β (96)

2 2 2C 0γ =α +β j μ σ (ω+α υ)+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (97)

Άρα κατά προσέγγιση η ισοδύναμη ολική αντίσταση του ΕΕΚ θα είναι

2 2 2

Cολ 2

0 C

(α +β ) g+γ dZj μ (1+γ d g)

⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (98)

Αντίστοιχα η ώθηση και ισχύς υπολογίζονται σαν διπλά ολοκληρώματα από τις

σχέσεις:

2

2 2ολ

V(α,β) α1 dα dβT Real[ ]2 (α +β ) Z 2π 2π

+∞ +∞

−∞ −∞

⋅= − ⋅ ⋅

⋅∫ ∫ (99)

Όπου η V(α,β) είναι με μεγάλη προσέγγιση ίση προς :

L2 sin(β )2V(α,β)=V(α)

β

⋅ ⋅⋅ (100)

137

όπου L=πλάτος πρωτεύοντος και 2 sin[(α+κ) τ]V(α)= 2 α(α+κ)

pI ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ είναι η

συνήθης ισοδύναμη τάση τριφασικού τυλίγματος με:

φ3 Ν Ι=

πw

Iτ

⋅ ⋅ ⋅Κ

⋅ , Ν= αγωγοί ανά πόλο , φΙ = φασική ένταση

και : 2

2 2ολ

V(α,β) ω1 dα dβ2 (α +β ) Z 2π 2π

P j Q+∞ +∞

−∞ −∞

⋅+ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅∫ ∫ . (101)

Το διάστημα ολοκλήρωσης για τον αριθμητικό υπολογισμό των ολοκληρωμάτων

μπορεί να ληφθεί αντίστοιχα: 5κ 5κ-κ- α -κP P≤ ≤ και 8π 8π- β

L L≤ ≤

και η διαμέριση λαμβάνεται αντίστοιχα : κΔα=500 p⋅

και 2πΔβ=15 L⋅

.

( 2πΔβ=15 L⋅

σημαίνει ότι το δευτερεύον θεωρείται ότι δεν έχει άπειρο πλάτος αλλά

πλάτος ίσο προς 2L =15 L⋅ όπου L είναι το πλάτος του πρωτεύοντος)

Αυτό θεωρητικά σημαίνει ότι η διάταξη είναι ισοδύναμη με μια σειρά όμοιων ΕΕΚ

σε πλάγια απόσταση 15 L⋅ ο ένας από τον άλλο , και τα Τ και P jQ+ είναι τα μεγέθη

ενός ΕΕΚ από αυτούς.

Υπολογίζοντας αριθμητικά τα διπλά ολοκληρώματα στα προηγούμενα διαστήματα

ολοκλήρωσης και με την διαμέριση πού ανέφερα το σφάλμα της προσέγγισης είναι

μικρότερο του 1% .

Παράδειγμα 9

Στα σχήματα 62 και 63 φαίνονται τα MAX

TT

και η απόδοση η, όπως και ταMAX

TT

και

συνημίτονο λειτουργίας cosφ για συνήθη ΕΕΚ με διδιάστατη και τρισδιάστατη

ανάλυση, υπό σταθερό ρεύμα με συχνότητα f=50 Hz.

Ο ΕΕΚ είναι εξαπολικός δηλαδή =3p και έχει τις ακόλουθες διαστάσεις:

d=1cm, g=1cm, L 1m= και 1mτ = .

Το δευτερεύον του είναι Al με αγωγιμότητα 73,65 10 /S mσ = ⋅ .

138

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6One-D and Two-D analysis of a 6-pole LIM Al d=1cm,g=1cm,pole pitch=1m

Thru

st a

nd e

ffici

ency

for b

oth

mod

els

of a

naly

sis

speed % of synchronous

ΣΧΗΜΑ 62

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 1000

0.5

1

1.5

speed % of synchronous

Thru

st a

nd c

os fo

r bot

h m

odel

of a

naly

sis

One-D and Two-D analysis of a 6-pole LIM Al d=1cm,g=1cm,pole pitch=1m

ΣΧΗΜΑ 63

139

Από τα σχήματα αυτά προκύπτει ότι υπό σταθερό ρεύμα η διδιάστατη ανάλυση

δίδει μεγαλύτερη ώθηση από την τρισδιάστατη ανάλυση, όμως η απόδοση και το

συνημίτονο λειτουργίας είναι περίπου ίδια. Αυτό σημαίνει ότι υπό σταθερή τάση

λειτουργίας, θα λάβω και με τις δύο αναλύσεις (διδιάστατη και τρισδιάστατη) τα ίδια

αποτελέσματα για την πραγματική και άεργο ισχύ και για την ώθηση.

Μπορούμε λοιπόν να χρησιμοποιούμε χωρίς αισθητό σφάλμα την απλούστερη

διδιάστατη ανάλυση για την μελέτη του ΕΕΚ. Δηλαδή τα τελικά αποτελέσματα της

διδιάστατης ανάλυσης ΕΕΚ, υπό σταθερή τάση λειτουργίας, θα είναι περίπου ίδια με

αυτά της ακριβέστερης τρισδιάστατης ανάλυσης του ίδιου ΕΕΚ.

5.15 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΩΝ ΣΤΟΥΣ ΕΕΚ.

Οι συνιστώσες του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, οι οποίες ταλαντεύονται με κυκλική

συχνότητα ω δεν χρειάζονται να υπολογιστούν ενδιαμέσως για τον υπολογισμό

δυνάμεων και ισχύος , εν τούτοις η γνώση τους μπορεί να προσφέρει χρήσιμες

πληροφορίες για τον ΕΕΚ. Λογού χάριν η γνώση του μεγέθους της μαγνητικής επαγωγής

που εισέρχεται στα σιδηρομαγνητικα μέρη του ΕΕΚ μπορεί να δώσει πληροφορίες

σχετικά με πιθανό κορεσμό του σιδηρομαγνητικού υλικού του.

Παράδειγμα 10

Ας δούμε πως θα υπολογίσουμε λοιπόν την εισερχομένη μαγνητική επαγωγή στο

σιδηρο-μαγνητικό υλικό του πρωτεύοντος. Εάν ανατρέξουμε στο τελικό ισοδύναμο

κύκλωμα οιονδήποτε ΕΕΚ προκύπτει ότι 0

0

0

ολ

V (α) I (α)=Z (α)

, όπου κατά προσέγγιση

2 sin[(α+κ) ]( ) 2(α+κ)

pV I τα α ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ και

0

ολZ (α) καθορίζεται από την μορφή του

δευτερεύοντος του ΕΕΚ.

Κατά τα γνωστά είναι: 0 0

z0 zI (α)=μ Η (α)= B (α)⋅

140

Αρα : 0

jωtzB(x,t)=Real[ B (x) e ]⋅

Όπου : 0

0 0j j x

z z 0- - ολ

dα V (α) dαB (x)= B (α) e e2π 2πZ (α)

xα α∞ ∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∞ ∞

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫

Λόγω της μορφής της 0V (α)η ολοκλήρωση μπορεί να γίνει στην περιοχή

n κ n κ-κ- α -κ+p p⋅ ⋅

≤ ≤ όπου n=5.

Και η διαμέριση μπορεί να γίνει ίση προς α2 n κΔ =

Np⋅ ⋅⋅

,π.χ αν τα σημεία διαμερισης

γίνουν Ν=1000n η διαμεριση θα είναι ίση προς : α2 κΔ =

1000 p⋅⋅

Το μέτρο της zB (x,t) δηλαδή η μέγιστη στιγμιαία τιμή της ισούται προς 0

zB (x) .

Στο σχήμα 64 που ακολουθεί φαίνεται η 0

zB (x) για συνήθη ΕΕΚ (p=1) ζεύγη πόλων ,

d=1cm, 7σ=3.65×10 S/m, g=1cm, f=50Hz , I=5000A/m , mυ=95sec

. Τα φαινόμενα των

άκρων είναι φανερό καθώς το πεδίο εκτείνεται πέραν του ενός άκρου του ΕΕΚ.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

distance from the center of the primary in m

norm

al m

agne

tic in

duct

ion

in W

b (fo

r v=7

0m/s

ec a

nd v

=0)

ΣΧΗΜΑ 64

141

Το φαινόμενο αυτό οφείλεται αποκλειστικά στην ταχύτητα υ του κινητήρα . Εάν το

δευτερεύον έχει ταχύτητα υ=0 το φαινόμενο αυτό πρακτικά δεν εμφανίζεται όπως

φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα. Σαν παρατήρηση ας σημειωθεί ότι η μέγιστη τιμή του 0

zB (x) δεν πρέπει να υπερβαίνει κάποια τιμή , ώστε να μην εμφανιστούν δυσμενή

φαινόμενα μαγνητικού κορεσμού στους ΕΕΚ . Αυτό ενδεχόμενος περιορίζει και την

μέγιστη τιμή του Ι αφού είναι φανερό ότι η

0

zB (x) είναι ανάλογο του Ι. Όπου φ w3 Ν Ι=

πK

Iτ

⋅ ⋅ ⋅

⋅

Παράδειγμα 11

Ένα άλλο ενδιαφέρον πεδιακό μέγεθος είναι η πυκνότητα ρεύματος στο δευτερεύον

(η μεγάλη πυκνότητα μπορεί να δημιουργήσει θερμές περιοχές που είναι ανεπιθύμητες) .

Η μέγιστη πυκνότητα ρεύματος είναι στην επιφάνεια του δευτερεύοντος που εφάπτεται

του διακένου. Εάν yE (α) η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στην επιφάνεια αυτή θα είναι

:

yE (α)=J(α) , όμως 1y

(ω+α ) Ι (α)E (α)=-αυ⋅ ⋅

Όπου 1Ι (α) το ρεύμα στην επιφάνεια αυτή από το ισοδύναμο κύκλωμα μπορεί ν’

αποδειχτεί ότι

11

S,A C

V (α)Ι (α)=Z tanh(γ d)C+ Ζ ⋅ ⋅

Όπου S,AZ = αντίσταση σειράς ισοδύναμου τετράπολου του αέρα πάχους g.

Δηλαδή 2

S,A A0

g α gZ =Z tanh( )2 2 j μ

α⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅

C

22

C C C 00

γ dZ tanh(γ d) οπου γ j μ ( )

j μα σ ω α υ

⋅⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

⋅

1V (α) = τάση στην επιφάνεια

Άρα : 1 ολ S,Aολ

V(α)V (α) = (Z (α)-Z )Z (α)

⋅

142

Όπου ολZ (α) για συνήθη ΕΕΚ είναι ίση προς 2 2

20

γj μ (1 γ )

g gd g

α ⋅ + ⋅⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

.

Στο σχήμα 65 που ακολουθεί υπολογίστηκε η πυκνότητα : 0

jαx dαJ (x) J(α) e2π

∞

−∞

= ⋅∫ για συνήθη ΕΕΚ με στοιχειά =1p , τ=1m , d=1cm, g=1cm,

I=100000A/m και mυ 65sec

.

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

distance from the center of the primary in m

curre

nt d

ensi

ty o

n th

e to

p su

rface

of t

he s

econ

dary

in A

/sq.

mm

ΣΧΗΜΑ 65

5.16 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΤΙΔΡΑΣΗΣ ΑΥΤΕΠΑΓΩΓΗΣ ΤΥΛΙΓΜΑΤΟΣ

Ας θεωρήσουμε το τριφασικό τύλιγμα πρωτεύοντος τοποθετημένο σε αύλακες

σιδήρου της ευθύγραμμης μηχανής. Όπως ήδη είπαμε , κάθε αγωγός του τυλίγματος

μπορεί να αντιστοιχηθεί προς ένα φύλλο ρεύματος που έχει το μήκος ίσο περίπου είτε με

το πλάτος αύλακος ή την απόσταση μεταξύ δυο οδόντων και διαρρέεται από το ρεύμα

του αγωγού. Έτσι π.χ. ο σκιαγραμμισμένος αγωγός του σχήματος 66 που διαρρέεται από

143

ένταση 0

j ω tR eal 2 e ⋅ ⋅⎛ ⎞⋅ Ι⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ μπορεί να θεωρηθεί ισοδύναμος με φύλλο ρεύματος

μήκους περίπου ίσο με το πλάτος της αύλακος. Όπου οI = ενεργός ένταση και ορ(

οI ) η

χρονική φάση του ρεύματος. Δηλαδή η συνάρτηση πυκνότητας δίνεται από τη σχέση:

ΣΧΗΜΑ 66

0

jωt( , ) e ( ) ey yJ x t R al J x⎛ ⎞= ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Όπου :o

0

y2 IJ (x)=δ⋅ , για 1 1x x xδ δ− ≤ ≤ +

Και 0

yJ (x)=0 , για 1x xδ− > ή 1x xδ+ <

Έχει λοιπόν μετασχηματισμό Fourier :

10 o

y

2 sin2J ( )= 2 I j a x

a

ea

δ

αδ

− ⋅ ⋅

⋅⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠⋅ ⋅ ⋅⋅

Όπως ήδη προαναφέρθηκε, μπορούμε χωρίς αισθητό σφάλμα να υποθέσουμε ότι

αδ<<1 άρα α δ2 sin α δ2⋅⎛ ⎞⋅ = ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠ και επομένως :

144

10 o

yJ (a )= 2 I j a xe − ⋅ ⋅⋅ ⋅

Αν το τύλιγμα που διαρρέεται από το ίδιο ρεύμα oI αποτελείται από n αγωγούς

τοποθετημένους σε αύλακες με (μέσες) αποστάσεις από την αρχή των αξόνων x1,x2,…,xn

θα έχει συνολική ισοδύναμη τάση :

( ) ( )κ

no o o o-j x α

yκ=1

V(α)=α J α = 2 α ± I e =α I F α⋅ ⋅⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

Το ( )+ λαμβάνεται για τους αγωγούς προσαγωγής και το ( )− για τους αγωγούς

επιστροφής.

Ας υποθέσουμε τώρα ότι αυτή η διέγερση βλέπει πάνω της μια συνολική

ισοδύναμη μιγαδική αντίσταση (στο χώρο Fourier) Ζολ(α).

Η συνολική Q που δημιουργείται τότε θα είναι: 20

2+

ολ-

F(α) dαQ=Jmag ωZ (α) 2π

∞

∞

Ι ⋅⋅ ⋅∫

η Q όμως ισούται με 20

XΙ ⋅ , όπου X είναι η ισοδύναμη αντίδραση αυτεπαγωγής του

τυλίγματος.

Άρα η Χ θα δίδεται απ' τη σχέση: 2+

-

F(α) dαX=JmagZ (α) 2πολ

ω∞

∞

⋅⋅∫

Η αντίδραση εξ’αυτεπαγωγής που υπολογίστηκε εκφράζει την ανά μονάδα πλάτους

του αγωγού αντίδραση εξαιτίας του μαγνητικού πεδίου που δημιουργείται απ' το τύλιγμα.

Επειδή το τύλιγμα θεωρήθηκε σαν φύλλο ρεύματος, όλες οι δυναμικές γραμμές του

μαγνητικού πεδίου θα βγαίνουν στην επιφάνεια του σιδήρου.

Υπάρχουν, όμως, δύο ακόμη όροι που συμβάλουν στη συνολική αυτεπαγωγή και

που δεν μπορούν να συνυπολογιστούν από την προηγούμενη σχέση.

Ο πρώτος όρος μετρά την αυτεπαγωγή σκεδάσεως μέσα στον αύλακα (Χσκ,ΑΥΛ)

δηλαδή μετρά τη ροή της οποίας οι δυναμικές γραμμές είναι μέσα στον αύλακα και δεν

βγαίνουν έξω (η σκέδαση αυτή συνήθως είναι μικρή).

Ο δεύτερος όρος μετρά τη μαγνητική ροή σκεδάσεως η οποία εμπλέκεται με τις

εγκάρσιες συνδέσεις των αγωγών του τυλίγματος (Χσκ,ΕΓΚ).

145

Η σκέδαση αυτή είναι σημαντική, εξαρτάται μάλιστα από τον τρόπο με τον οποίο

οι εγκάρσιες συνδέσεις έχουν «διπλώσει» στα πλάγια του πεπερασμένου πλάτους

δευτερεύοντος.

Έτσι η ολική αντίδραση θα είναι:

oλ σκ,ΑΥΛ σκ,ΕΓΚX =Χ+Χ +Χ

Μια κατ' εκτίμηση τιμή για το Χολ θα μπορούσε να ληφθεί:

( )oλX = 1.05 1.10 X÷ ⋅

Αν έχουμε δύο τυλίγματα που διαρρέονται από τα ρεύματα 1Iο

και 2Iο

με n1 και n2

αγωγούς (συνήθως για τριφασικά τυλίγματα n1 = n2) τοποθετημένους σε αύλακες που

απέχουν xl,k και x2,k αποστάσεις θα είναι:

( ) ( )1

1,κ 2,κ

no o o o o o-jx α -jx α

1 2 1 1 2 2κ=1

V(α)= 2 I α e + 2 I α e 2 I α F α 2 I α F α⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∑ ∑

Τότε εν γένει η Q υπολογιζόμενη με το ολοκλήρωμα:

( ) 2+

ολ-

V α1 dαQ= Jmag ω2 α Z (α) 2π

∞

∞

⋅ ⋅⋅∫ , δίδει μια σχέση της μορφής :

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2+ +o o1 21 2

ολ ολ- -

* *o o o o* *

1 2 1 21 2 1 2+

ολ-

F α F αdα dαQ= I Jmag ω I Jmag ωZ (α) 2π Z (α) 2π

I F α I F α I F α I F αdαJmag ω

Z (α) 2π

a

a

α∞ ∞

∞ ∞

∞

∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫

( ) ( )

( )

*o o*

1 2 1 22 2o o

1 21 2ολ

Real I I F α F αdαQ=X I X I 2 Jmag

Z α 2πα ω

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∫

Με λίγη άλγεβρα μπορούμε να αποδείξουμε ότι η παράσταση

( ) ( )( )

*1 2

12ολ

Real F α F α dαX JmagZ α 2π

α+∞

−∞

⎡ ⎤⋅⎣ ⎦= ⋅ ⋅∫

είναι ίση προς την αντίδραση εξ’αλληλεπαγωγής των δύο τυλιγμάτων.

Βεβαίως πάλι πρέπει να αυξηθούν οι τιμές αυτές κατά ένα ποσοστό (ας πούμε 5%

για να υπολογιστούν οι συνέπειες της σκέδασης από τους αύλακες και τις εγκάρσιες

συνδέσεις).

146

5.17 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΤΟΥ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΥΠΟ

ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΑΣΗ

Ας υποθέσουμε ότι στις τρεις φάσεις ενός τριφασικού ευθύγραμμου κινητήρα

εφαρμόζουμε ένα σταθερό συμμετρικό τριφασικό σύστημα τάσεων 1 2 3, ,V V Vο ο ο

. Είναι

φανερό ότι δεν γνωρίζουμε τα ρεύματα 1 2 3, ,I I Iο ο ο

που διαρρέουν τις 3 φάσεις. Αν τα

ρεύματα 1 2 3, ,I I Iο ο ο

γίνουν γνωστά μπορεί να υπολογιστεί η διέγερση

( ) 1 2 3( ) ( ) ( )aV V a V a V aο ο ο ο

= + + του κινητήρα και τελικά με τα γνωστά ολοκληρώματα να

γίνει υπολογισμός των Τ, L, Ρ, Q.

Το πρόβλημα της λειτουργίας με σταθερή βάση βρίσκεται λοιπόν στον υπολογισμό

των 1 2 3, ,I I Iο ο ο

με δεδομένα τα 1 2 3, ,V V Vο ο ο

.

Αν ο κινητήρας είναι συμμετρικός ως προς τις 3 φάσεις του (πράγμα που εν γένει

μπορώ να υποθέσω κατά προσέγγιση για όλους τους συνήθεις Ευθύγραμμους

Επαγωγικούς Κινητήρες), τα 1 2 3, ,I I Iο ο ο

θα είναι επίσης ένα συμμετρικό τριφασικό

σύστημα.

Τότε μπορεί να αποδειχθεί ότι: ( ) ( )ο ο ο

κ κκ sV = R+jX I V+jX I+ (κ = 1,2,3)

Όπου τα sR,X,r,X είναι αντίστοιχα:

R= Ισοδύναμος αντίσταση ανά φάση (ως αποτέλεσμα της P)

X= Ισοδύναμος αντίδραση ανά φάση (ως αποτέλεσμα της Q)

r= Αντίσταση του τυλίγματος πρωτεύοντος ανά φάση

sX = Αντίδραση σκεδάσεως τυλίγματος ανά φάση

Η αντίδραση σκεδάσεως Χs του τυλίγματος ανά φάση θα λαμβάνεται περίπου ίση

προς 5-10% της X , δηλαδή η ολική αντίδραση ανά φάση θα είναι (1.05-1.10)·Χ.

Οι R , X υπολογίζονται συναρτήσει της ταχύτητας από τις σχέσεις:

( ) ( )2φ

L P υR υ =

3 I⋅

⋅ , ( ) ( )

2φ

L Q υX υ =

3 Ι⋅

⋅

147

Άρα επειδή ( )

( ) ( )t

2 α sin α+κ τV(α)= 2 2 α F α

α+κp

I I⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

Όπου wφ φ

3 N=π τ

KI ⋅ ⋅⎡ ⎤ ⋅ Ι = Α⋅Ι⎢ ⎥⋅⎣ ⎦ θα είναι λοιπον:

( ) ( )( )

2+2t

ολ-

F αL A dαR υ = Real ω3 Z α 2π

a∞

∞

⋅⋅ ⋅ ⋅∫ (102)

( ) ( )( )

2+2t

mολ-

F αL A dαX υ = J ω3 Z α 2π

a∞

∞

⋅⋅ ⋅ ⋅∫ (103)

Όπου:

( )( )t

2 sin α+κ τF (α)=

α+κp⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ , με L = πλάτος και Ρ= ζεύγη πόλων, του ΕΕΚ.

Άρα για δεδομένη τη φασική τάση Vφ το φασικό ρεύμα Ιφ θα δίδεται από τη

σχέση:

( )( ) ( ) ( )φ

φ 22

VΙ =

R υ +r + 1.05-1.10 Χ υ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

(104)

Το φασικό ρεύμα, όπως είναι φανερό, είναι συνάρτηση της σχετικής ταχύτητας

πρωτεύοντος, δευτερεύοντος υ.

Έχοντας το Ιφ μπορώ να υπολογίσω για κάθε υ την ( ) ( ) ( )( )2φP υ 3I υ R υ +r= ⋅ , και

την ( ) ( ) ( ) ( )2φQ υ 3I υ 1.05 1.10 X υ= ⋅ − ⋅ άρα και το cosφ λειτουργίας από τη σχέση:

( )( ) ( )2 2

P υcosφ=

P υ Q υ+.(105)

Η ώθηση μπορεί να υπολογιστεί από το ολοκλήρωμα:

( )( )( )

2+

ολ-

V α1 dαΤ υ = Real2 α Ζ α 2π

∞

∞

⋅⋅∫ (106)

Όπου ( ) ( ) ( )φ tV α = 2 A I υ α F α⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

Η ( )ολΖ α υπολογίστηκε ήδη από το ισοδύναμο κύκλωμα του ΕΕΚ.

Ο βαθμός απόδοσης του ΕΕΚ υπό σταθερή τάση θα είναι λοιπόν ίσος προς:

( )( )

Τ υ υη(υ)=

P υ⋅

(107)

148

Παράδειγμα 12

Στις καμπύλες του σχήματος 67 που ακολουθούν, υπολογίστηκαν η ώθηση Τ (%

της μεγίστης), η απόδοση η και το cosφ λειτουργίας συναρτήσει της ταχύτητας υ(% της

σύγχρονης ταχύτητας), για συνήθη εξαπολικό ΕΕΚ με διαστάσεις και λοιπά στοιχεία

όπως ακολουθούν :

τ = 1m, d = 1cm, g = 1cm, 7σ = 3.65×10 s , Ν =1000, r = 1%·R, Xs=10%X και

wπK =cos

10⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Ο ΕΕΚ λειτουργεί με σταθερό συμμετρικό τριφασικό σύστημα τάσεων με φασική

τάση Vφ = 220V, και συχνότητα, f = 50Hz.

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

relative speed % of synchronous speed

rel.

Thru

st(re

d),e

ffici

ency

(gre

en),c

os(b

lue)

Constant voltage operation of a six pole LIM

ΣΧΗΜΑ 67

5.18 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΟΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ ΥΠΟ ΣΤΑΘΕΡΗ

ΤΑΣΗ.

149

Η ανάλυση που ακολουθεί βασίζεται στην παρατήρηση ότι για μικρά d και g ως

προς το πολικό βήμα τ, ο περιστροφικός κινητήρας επαγωγής, όπως προαναφέρθηκε,

μπορεί να θεωρηθεί σαν ένας ευθύγραμμος επαγωγικός κινητήρας ( ΕΕΚ) με άπειρο

αριθμό πόλων.

Ισχύει λοιπόν και για αυτόν , ότι ισχύει για οποιαδήποτε ΕΕΚ με συμμετρικό

τριφασικό τύλιγμα. Δηλαδή η ισοδύναμες ανά φάση αντίσταση και αντίδραση θα είναι

αντίστοιχα :

2φ

L P(s)R(s)3 I⋅

=⋅

2φ

L Q(s)X(s)3 I⋅

=⋅

ΌπουP(s) και ( )Q s είναι αντίστοιχα η πραγματική και η άεργος ισχύς όπως

υπολογίζονται από τους σχετικούς τύπους για τον περιστροφικό κινητήρα , L=πλάτος

και s=ολίσθηση.

Άρα: 0 2

G sR ( ) A1+(G s)

s ⋅=

⋅ (108)

και: 2

0 2

1+(G s λ)X (s) A1+(G s)

⋅ ⋅=

⋅ (109)

Όπου: 2 2

w 0 s3

6 L Ν μ υΑ=π (d+g)

p K⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

(110)

P=ζεύγη πόλων , wK =συντελεστής τυλίγματος , d= πάχος δευτερεύοντος

g=διάκενο, sυ =2fτ , 0 sσ μ υ dG=d+gκ

⋅ ⋅⋅ και λ=κ g (g+d)⋅ ⋅

Εν γένει μπορώ να υποθέσω ότι λ 1.

Το ισοδύναμο ανά φάση κύκλωμα που φαίνεται στο σχήμα 68 που ακολουθεί¨

150

ΣΧΗΜΑ 68

Μπορεί να μετατραπεί στο κύκλωμα του σχήματος 69 που ακολουθεί:

ΣΧΗΜΑ 69

Όπου Χ Α , 2ARG

= και 2Χ για συνήθεις τιμές του g και d δεν υπερβαίνει το

0.01 X⋅ .

Το Α είναι αντιστρόφως ανάλογο του g. Το ηλεκτρομαγνητικό διάκενο g, ιδιαιτέρα

στον περιστροφικό κινητήρα όπου το δευτερεύον είναι και αυτό σε αύλακες, είναι

σημαντικά μεγαλύτερο του γεωμετρικού.

Για το λόγο αυτό και κατά εκτίμηση σε περιστροφικούς κινητήρες με αύλακες μόνο

στο πρωτεύων το g λαμβάνεται αυξημένο κατά 5-10% . Oταν υπάρχουν αύλακες και στο

δευτερεύον ισχύουν τα παρακάτω:

151

• το d υπολογίζεται κατά τα γνωστά και κατ’ εκτίμηση διαιρώντας την

επιφάνεια διατομής του αγωγιμου υλικού ανά αύλακα με το άθροισμα του μήκους μιάς

αύλακος και ενός οδόντος.

• Για τον υπολογισμό του Α και του G το g+d θα πρέπει να ληφθεί ίσο με

την πραγματική τιμή του διακένου που κατά προσέγγιση είναι 10-15% αυξημένο έναντι

του γεωμετρικού g. Δηλαδή θα είναι:

2 2

w 0 s3

6 L Ν κ μ υΑ=π (1.1 1.15) g

pεως

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

0 sσ μ υ dG=(1.1 1.15) gκ εως

⋅ ⋅⋅

⋅

• Το 2ARG

= είναι ανεξάρτητο του g+d .

Eπειδή έχει αποδειχτεί ότι ο βαθμός απόδοσης του περιστροφικού κινητήρα είναι

ίσος προς (1-s), η αντίσταση 2Rs

μπορεί να χωριστεί σε δυο τμήματα στο τμήμα 2R (η

οποία εκφράζει τις ωμικές απώλειες του δευτερεύοντος ανά φάση) και στο τμήμα 21-s Rs

(η οποία εκφράζει την αποδιδόμενη μηχανική ισχύ ανά φάση από τον κινητήρα) .

Επί πλέον στο τυλιγμένο δευτερεύον πρέπει να ληφθεί υπ’ όψιν και η αντίδραση

σκέδασης του δευτερεύοντος, που σχετίζεται με μαγνητική ροή που ενώ εμπλέκεται με

το τύλιγμα δευτερεύοντος δεν εμφανίζεται στο διάκενο. Δηλαδή η αντίδραση που

σχετίζεται με την μαγνητική ροή σκέδασης μέσα στις αύλακες και στις πλαγιές συνδέσεις

του τυλίγματος του δευτερεύοντος .Για καλά τυλιγμένο δρομέα η αντίδραση σκέδασης

αυτή είναι 2,5 5%÷ της Χ.

Ομοίως το τύλιγμα πρωτεύοντος έχει αντίσταση 1R και αντίδραση σκεδάσεως 1X

εκτιμώμενη και αυτή στα όρια 2,5 5%÷ της Χ .

Αν ληφθούν υπ’ όψιν και οι σιδηρο-μαγνητικές απώλειες (ακόμη και στον μαλακό

σίδηρο υπάρχει κάποια μικρή μαγνητική υστέρηση), το πλήρες ισοδύναμο ανά φάση

κύκλωμα του περιστροφικού κινητήρα γίνεται όπως στο σχήμα 70 που ακολουθεί:

152

ΣΧΗΜΑ 70

Όπου Χ=Α, 2ARG

= , 12.5 5X A

100÷

= , 23.5 6X A

100÷

= (1% του Α επιπλέον του Χ1

για να ληφθεί υπ’ όψιν και η σκέδαση από την λ)

Η CR συνήθως λαμβάνεται για σχετικά μεγάλους περιστροφικούς κινητήρες ίση

προς 3 5%X÷ συνήθως επίσης 1 2R R . Οι ωμικές αντιστάσεις των τυλιγμάτων

πρωτεύοντος 1R και δευτερεύοντος R2 βεβαίως μπορεί να υπολογιστούν από το μήκος

ανά φάση του τυλίγματος, την διατομή του και την αγωγιμότητα του υλικού τους . Όπως

έχουμε αναφέρει ένας περιστροφικός επαγωγικός κινητήρας είναι καλύτερος πάντοτε

από τον αντίστοιχο του ΕΕΚ. Στα σχήματα 71 καί 72 που ακολουθούν αυτό είναι φανερό

απο τις καμπυλες λειτουργίας τους υπό σταθερή τάση.

153

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1comparison of a Rotary Induction Motor to a six pole LIM

Thru

st L

IM (b

lue)

,Thr

ust R

otar

y (g

reen

)

relative speed % of synchronous speed

ΣΧΗΜΑ 71

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

relative speed % of synchronous speed

Eff

LIM

(blu

e),E

ff R

otar

y (g

reen

),Thr

ust(r

ed,g

reen

)

comparison of a Rotary Induction Motor to a six pole LIM

ΣΧΗΜΑ 72

154

Παράδειγμα13

Να υπολογιστεί η D(η) για περιστροφικό επαγωγικό κινητήρα βραχυκυκλωμένου

δρομέα με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά:

1g 1cm= ισοδύναμο d=1cm, =2p τ=0.6m, 50Ν = , L=2m , f=50Hz αρα

smυ 60

sec= , 7σ=3.6 10 /S m⋅ , φV 660V= , 1 2R R , 1 2X X 0.035 X= ⋅ , CR 0.05X= ,

wπκ cos( )

10= .

Υπολογίζω τα Α, G από τις σχέσεις: 2 2

w 0 s3

6 L p Ν κ μ υΑ= 6.6π (d+g)

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅Ω

⋅ , 0 sσ μ υ dG= 259.2

d+gκ⋅ ⋅

⋅ =

Άρα 6.6Χ Α = Ω , 1 2X X 0.231= Ω , 1 2AR R 0.0255G

= = Ω , CR 0.33= Ω

Η MECH MECH

MECH

P PD(s)=

ω (1-s)2π(f/P)= , 2 2

MECH φ(1-s)RP 3 I

s= ⋅ ⋅

Η φI υπολογίζεται από το κύκλωμα για κάθε s άρα D(s) = υπολογίζεται για κάθε s.

Αντίστοιχα οι στροφές ανα πρώτο λεπτό (PRM) δίδονται συναρτήσει του s, από την

σχέση: 60fη=(1-s) (1-s) 1500p

= ⋅ .

Άρα η ανοιγμένη D(η) δίδεται στο σχήμα 73 που ακολουθεί μαζί με το cosφ

λειτουργίας του κινητήρα και την απόδοση του %.

155

1350 1400 1450 15000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

RPM

Torq

ue %

,cos

%,e

ffici

ency

%

ΣΧΗΜΑ 73

Εάν υποθέσουμε ότι η ονομαστική ροπή λειτουργίας του περιστροφικού κινητήρα

είναι το 50% της maxD , στο σημείο ονομαστικής λειτουργίας

( ηον≈1477 RPM ήτοι ωον=2·π·(1477/60)=154.7 ) θα είναι:

• Tο ονομαστικό συνημίτονο λειτουργίας cosφ=0.88

• Η ονομαστική απόδοση η=95.6% .

• Η ονομαστική μηχανική ισχύς του κινητήρα είναι PM,ον=1254 ΚW

• H ονομαστική πραγματική ισχύς του είναι (PM,ον/η)=1312 KW

• Η ονομαστική άεργος ισχύς του είναι (tanφ·PM,ον/η)=707 KVAR

• Και η φαινομένη ονομαστική ισχύς του είναι (PM,ον/η/cosφ)=1490 KVA .

5.19 ΜΕΛΕΤΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗΣ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑΣ

Εάν η ταχύτητα υ υπερβεί την υ1, όπως αυτή προσδιορίζεται από το διάγραμμα,

όπου η υ1 εν γένει είναι περίπου ίση προς τη σύγχρονη ταχύτητα υs = 2·f·τ, η ώθηση του

156

ευθύγραμμου επαγωγικού κινητήρα είναι αρνητική. Αυτό σημαίνει ότι για υ> υ1 έχουμε

λειτουργία της επαγωγικής μηχανής ως επαγωγικής γεννήτριας. Δηλαδή, αν η

ευθύγραμμη τριφασική αυτή γεννήτρια είναι συνδεδεμένη σε τριφασικό δίκτυο σταθερής

τάσης, η γεννήτρια αποδίδει από το πρωτεύον της στο δίκτυο ηλεκτρική ισχύ

μετατρέποντας μέρος της μηχανικής ισχύος ΡΜ που απορροφά από το κινούμενο

δευτερεύον (ίσης προς ΡΜ= T(υ) υ⋅ ). Η Τ(υ) είναι η ώθηση που αποδίδεται στο

δευτερεύον υπό ταχύτητα υ> υ1 (όπου 1 sυ υ≈ ).

Κατά τα λοιπά, με τα γνωστά ολοκληρώματα μπορούν για κάθε υ να

υπολογιστούν οι ( )Τ υ , ( )P υ , ( )Q υ για δεδομένο και σταθερό φασικό ρεύμα Ιφ

Αντίστοιχα, μπορούμε κατά προσέγγιση να υπολογίσουμε τη λειτουργία της

διασυνδεδεμένης με ηλεκτρικό δίκτυο, ευθύγραμμης επαγωγικής γεννήτριας υπό

σταθερή τάση όπως στην περίπτωση του ευθύγραμμου τριφασικού επαγωγικού

κινητήρα.

157

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6

ΣΥΓΧΡΟΝΟΙ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ (ΣΕΚ)

6.1 ΤΥΠΟΙ ΣΥΓΧΡΟΝΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ (ΣΕΚ)

Υπάρχουν δύο κύριοι τύποι ευθύγραμμων σύγχρονων κινητήρων (ΣΕΚ). Σύγχρονοι

ευθύγραμμοι κινητήρες με υποστήριξη σιδήρου (συμβατικός σύγχρονος ευθύγραμμος

κινητήρας) και σύγχρονοι ευθύγραμμοι κινητήρες χωρίς σίδηρο, με χρήση υπεραγώγιμων

μαγνητών. Ο σύγχρονος ευθύγραμμος αυτός κινητήρας καλείται υπεραγώγιμος

σύγχρονος κινητήρας ή απλά σύγχρονος ευθύγραμμος κινητήρας αέρος.

Οι σύγχρονοι ευθύγραμμοι κινητήρες αέρος επιβάλλεται να κατασκευαστούν με

βραχύ δευτερεύον, δηλαδή με λίγους μόνον υπεραγώγιμους μαγνήτες, γιατί το κόστος

και η συντήρηση υπεραγώγιμων μαγνητών είναι πολυδάπανη για όλο τη μήκος της

γραμμής, πέρα από τα άλλα προβλήματα που πιθανόν να εμφανιστούν.

Οι ευθύγραμμοι σύγχρονοι κινητήρες με υποστήριξη σιδήρου μπορούν να

κατασκευαστούν είτε με βραχύ πρωτεύον είτε με βραχύ δευτερεύον. Για λόγους

τεχνολογίας, ο συνήθης ΣΕΚ σιδήρου έχει βραχύ δευτερεύον.

Έτσι θα μελετήσουμε στο παρόν και τους δύο τύπους σύγχρονων κινητήρων με

βραχύ δευτερεύον. Η λειτουργική συμπεριφορά των κινητήρων με βραχύ πρωτεύον είναι

άλλωστε δεν διαφέραι ουσιαστικά (εκτός από την μικρότερη άεργο ισχύ που έχει).

Έτσι, θα θεωρήσουμε οτι έχουμε στο πρωτεύον ένα μακρύ τριφασικό τύλιγμα . Το

τύλιγμα του πρωτεύοντος συνήθως ενεργοποιείται κατά τμήματα, όταν πάνω του υπάρχει

το κινουμενο δευτερεύον, για να ελαττωθούν οι θερμικές απώλειες και η άεργος ισχύς

του συστήματος. Το τύλιγμα τροφοδοτείται με ένα τριφασικό σύστημα τάσεων έτσι ώστε

μπορούμε να υποθέσουμε ότι το ισοδύναμο φύλλο ρεύματος θα έχει πυκνότητα ρεύματος 0

,1 ,1( , ) Re ( 2 ( ) )j ty yx t al x e ω⋅ ⋅Ι = ⋅ Ι ⋅ όπου:

158

0

,1( ) 2 j xy x I e κ− ⋅ ⋅Ι = ⋅ ⋅ και 3 /( )WI N K I π τΦ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (111)

Kw= συντελεστής τυλίγματος, Ν= αριθμός αγωγών μιας φάσεως και κ=π/τ.

Δηλαδή η γραμμική πυκνότητα είναι ένα αρμονικό κύμα με κυματαριθμό το κ.

Βεβαίως στη γενική περίπτωση θα υπάρχουν και άλλες χωρικές αρμονικές (γενικά

μπορούμε να αποδείξουμε ότι οι μη μηδενικές αρμονικές έχουν κυματαριθμoύς που

δίνονται από τη σχέση αn=(6n+1)·k για n ακέραιο).

Έτσι υπάρχουν οι αρμονικές με κυματαριθμούς:

0 -1 1 -2 2α =-κ, α =-5 κ, α =7 κ, α =-11 κ, α =13 κ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , κ.τ.λ.

Όπως και στα τυλίγματα των ΕΕΚ το τύλιγμα είναι διπλό ώστε να

εξουδετερώνουμε κυρίως την 5η (α-1) και 7η (α1) αρμονική που είναι και η ισχυρότερες.

Δηλαδή χρησιμοποιούμε δύο τυλίγματα που απέχουν στο χώρο διάστημα τ/5 ή τ/6. Έτσι

συνήθως θα είναι Κw=cοs(π/10) ή cοs(π/12).

Επειδή οι υπόλοιπες αρμονικές έχουν πολύ μικρό μέτρο, τελικά για διπλό τύλιγμα

πρωτεύοντος, μπορούμε να θεωρήσουμε χωρίς αισθητό σφάλμα ότι όλες μαζί οι

αρμονικές έχουν αμελητέα επίδραση στην κίνηση και στην απόδοση των ΣΕΚ.

Η ισοδύναμη τάση του πρωτεύοντος στο χώρο Fourier θα είναι λοιπόν:

( ) ( )1V α = 2 ( κ) 2 π δ α+κI⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ (112)

Ενώ η συχνότητα της είναι ω. Δηλαδή η διέγερση αυτή αντιπροσωπεύει αρμονικό

κύμα που κινείται στην κατεύθυνση x προς το +∞ , με ταχύτητα φάσεως υs=ω/κ, που

καλείται και σύγχρονη ταχύτητα.

Ας έλθουμε τώρα στο βραχύ δευτερεύον. Το τύλιγμά του, είναι ένα τύλιγμα

συνεχούς, δηλαδή, για διδιάστατη ανάλυση, αποτελείται από 2·n εν σειρά αγωγούς που

διαρρέονται οι μισοί με ρεύμα μιας σταθερής φοράς Ι0 και οι άλλοι μισοί με ρεύμα

αντίθετης φοράς. Σχεδόν πάντα στους ΣΕΚ, το πλάτος των αγωγών του δευτερεύοντος

είναι ίσο με το πλάτος των αγωγών του πρωτεύοντος L. Επίσης η μέση απόσταση μεταξύ

αγωγών μιας φοράς από τους αγωγούς της άλλης φοράς είναι πάντοτε ίση προς το πολικό

βήμα του πρωτεύοντος. Επειδή κάθε ζεύγος αγωγών προσαγωγής – επιστροφής

ισοδυναμεί με ένα πλαίσιο με διαστάσεις τ και L , προκύπτει ένα στατικό κύμα με

πυκνότητα μετασχηματισμένη κατά Fourier που δίδεται από τη σχέση :

159

( ) m

n0-j x α

y,2 οm=1

α δsinα τ2I α =Ι e 2 j sinα δ 2

2

⋅ ⋅

⋅⎛ ⎞⎜ ⎟ ⋅⎛ ⎞⎝ ⎠⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

∑ (113)

Όπου δ είναι το πάχος του ισοδύναμου φύλλου ρεύματος έκαστου αγωγού του

δευτερεύοντος και xm η απόσταση του μέσου του m-υοστού πλαισίου, συνήθως από το

μέσον του τυλίγματος. Η ισοδύναμη τάση του τυλίγματος του δευτερεύοντος στο χώρο

Fourier θα είναι :

( ) ( )0 0

y,22V α =α I α⋅

Το στατικό αυτό κύμα κινείται στην κατεύθυνση του άξονα x με ταχύτητα υ. Άρα

μπορούμε να πούμε ότι έχει κατά Doppler συχνότητα ω'=-αυ (διαφορετική για κάθε

κυματαριθμό α).

Έτσι σε σχέση με το ακίνητο πρωτεύον υπάρχουν δύο αλληλεπιδρώντα κύματα το

ένα με συχνότητα ω και το άλλο με συχνότητα -αυ. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι για να

υπάρξει αλληλεπίδραση μεταξύ πρωτεύοντος και δευτερεύοντος οι δύο συχνότητες

πρέπει να συμπέσουν. Δηλαδή όταν ω=-αυ.

Όμως το πρώτο κύμα έχει μόνο ένα κυματαριθμό α=-κ άρα για την αλληλεπίδραση

πρέπει ω=κ·υ, άρα sωυ= =υκ

. Δηλαδή το δευτερεύον πρέπει να κινείται με ταχύτητα

φάσεως του πρωτεύοντος που είναι η σύγχρονη ταχύτητα του κινητήρα. Γι’ αυτό και οι

ευθύγραμμοι αυτοί κινητήρες ονομάζονται σύγχρονοι

Η αλληλεπιδρώσα συνιστώσα του δευτερεύοντος θα έχει ισοδύναμη τάση, λοιπόν,

ίση προς:

( ) ( )0 0

y,22 -κ =-κ I -κV ⋅ (114)

Παρ’ όλο που τα αρμονικά αυτά κύματα έχουν την ίδια συχνότητα και ταχύτητα

φάσεως, έχουν εν γένει στο χώρο κάποια φασική διαφορά φ. Άρα αν θεωρήσουμε τη

διέγερση του πρωτεύοντος ( )0

1 (- )= 2 ( κ) 2 π δ α+κV Iκ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ σαν μέγεθος αναφοράς

(δηλαδή η 0

1V (-κ)= πραγματικός αριθμός) , η διέγερση δευτερεύοντος θα είναι:

( ) ( )0 o

jφ22 2 2-κ = V -κ e =V cosφ+j V sinφV ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

160

Δηλαδή η 0

2V (-κ) προηγείται της 0

1V (-κ) στο χώρο κατά γωνία φ, ενώ και οι δύο

διεγέρσεις έχουν κοινή συχνότητα ω και σύγχρονη ταχύτητα υs.

6.2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΕΓΕΡΣΕΩΝ ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝΤΟΣ

Στους κινητήρες αέρος το δευτερεύον αποτελείται από ένα σύνολο από

υπεραγώγιμα πλαίσια με πολικό βήμα τ και πλάτος L .

Ας υπολογίσουμε την ισοδύναμη τάση δευτερεύοντος ενός πλαισίου που

διαρρέεται από ρεύμα Ιο. Το πλάτος του ισοδύναμου φύλλου ρεύματος (δ) αγωγού στον

αέρα είναι αμελητέο άρα :

αδsin2 1αδ

2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ≈

Άρα:

( ) m0

-j x αy,2 ο

α τI α =Ι e 2 j sin2

⋅ ⋅ ⋅⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Το xm είναι η απόσταση του μέσου του πλαισίου συνήθως από το μέσον του

τυλίγματος άρα εν προκειμένω xm = 0. Άρα:

( )o

2 ο oκ τV -κ =-κ I 2 j sin - =2 j κ I2⋅⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

Άρα:

( )o

22 οV = V -κ =2 κ Ι⋅ ⋅

Έστω ότι έχουμε δυο υπεραγώγιμα πλαίσια της ίδιας φοράς σε απόσταση xο

μεταξύ τους όπως στο σχήμα 74 πού ακολουθεί:

ΣΧΗΜΑ 74

161

Η ισοδύναμη ( )y,2I α θα είναι:

( )ο οx +τ x +τ

-j α j α2 2

y,2 ο οα τ α τI α =Ι e 2 j sin Ι e 2 j sin

2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

αφού οι αποστάσεις των μέσων των δύο πλαισίων από το μέσον του τυλίγματος

είναι αντίστοιχα ox +τ±2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Επειδή κ·τ=π θα είναι τsin 12κ− ⋅⎛ ⎞ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠, άρα :

( ) ( )o0

2 ο

κ x +τV -κ =4 j κ Ι cos -

2⋅⎛ ⎞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Το μέτρον του ( )o

2V -κ γίνεται μέγιστο όταν ( )0κ x +τcos - 1

2⋅⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

και άρα:

ox +τκ =η π2

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Άρα:

ox +τ π=η =η τ2 κ

⋅ ⋅

Άρα:

( )ox = 2 η-1 τ⋅ ⋅ Άρα η μικρότερη απόσταση μεταξύ των δύο τυλιγμάτων για μεγιστοποίηση του

μέτρου της ( )o

2V -κ είναι η ox =τ . Στην περίπτωση αυτή ( )o

2 οV -κ =4 κ Ι⋅ ⋅ .

Εάν τα πλαίσια είχαν αντίθετη φορά όπως στο σχήμα 75 πού ακολουθεί:

ΣΧΗΜΑ 75

τότε είναι φανερό ότι:

( )ο οx +τ x +τ0 -j α j α2 2

y,2 ο οα τ α τI α =Ι e 2 j sin Ι e 2 j sin2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Άρα:

162

( ) ( )o0

2 ο

κ x +τV -κ =4 j κ Ι sin

2⋅⎛ ⎞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Το μέτρο της ( )o

2V -κ γίνεται μέγιστο όταν ( )0κ x +τsin 1

2⋅⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

και άρα:

ox +τ πκ =η π+2 2

⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Άρα:

ox +τ 1 π τ= η+ =η τ+2 2 κ 2

⎛ ⎞ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Άρα ox =2 η τ⋅ ⋅ με μικρότερη τιμή για το ox την 2 τ⋅ .

Άρα, τα υπεραγώγιμα πλαίσια αντίθετης φοράς πρέπει να απέχουν 2·τ ώστε η

ισοδύναμη τάση τους να έχει μέτρο μέγιστο και ίσο προς :

( )o

2 οV -κ =4 κ Ι⋅ ⋅

Γενικεύοντας μπορούμε να αποδείξουμε ότι ν πλαίσια όμοιας φοράς σε

διαδοχικές αποστάσεις τ μεταξύ τους έχουν μέτρο της τάσης τους:

( )o

2 οV -κ = 4 κ Ιν ⋅ ⋅ ⋅ (115)

Το ίδιο επιτυγχάνεται με ν πλαίσια με διαδοχικά αντίθετες φορές σε διαδοχικές

αποστάσεις 2·τ μεταξύ τους.

Στους κινητήρες σιδήρου το δευτερεύον είναι μέσα σε αύλακες συνήθως μάλιστα

καλύπτουν όλο το χώρο μεταξύ τους δηλαδή έχουν την ακόλουθη μορφή του σχήματος

76 πού ακολουθεί :

163

ΣΧΗΜΑ 76

Άρα, θεωρώντας κατά προσέγγιση ότι το ισοδύναμο πλάτος του φύλλου ρεύματος

έκαστου αγωγού ίσο προς το πλάτος μιας αύλακος συν ενός οδόντος, η πυκνότητα

ρεύματος γίνεται όπως στο σχήμα για ένα ζεύγος πόλων όπου : 2 o2

N I=

τJ .

Όπου: 2N = αριθμός αγωγών δευτερεύοντος ανά πόλο και

oI = ρεύμα έκαστου αγωγού δευτερευόντος

Άρα, για διπολικό τύλιγμα θα είναι :

( )α τ α τ2 20 j -j2 2y,2

α τ α τ2 sin 2 sin2 2α = e - e

α α

J JJ

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⋅ ⋅

Όπου οι αποστάσεις ελήφθησαν από το μέσον του τυλίγματος.

Άρα:

( )20

2

κ τ-κ J sin -κ τ2V -κ = 2 j sin -

-κ 2

⋅⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅⎛ ⎞⎝ ⎠ ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

Επειδή κ τ π=2 2⋅ θα είναι:

164

( )o

2 o2 2

N IV -κ =4 j J =4 j

τ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Άρα :

( )o

2 ο2

4 N ΙV -κ =

τ⋅ ⋅

Μπορούμε να αποδείξουμε ότι αν έχουμε p ζεύγη πόλων στο δευτερεύον θα είναι:

( )o

2 ο2

N ΙV -κ =4τ

p ⋅⋅ ⋅ (116)

6.3 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΣΥΓΧΡΟΝΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ

ΚΙΝΗΤΗΡΩΝ

Το ισοδύναμο κύκλωμα για τον σύγχρονο ευθύγραμμο κινητήρα σιδήρου φαίνεται

στο σχήμα 77 που ακολουθεί.

ΣΧΗΜΑ 77

165

Τα Ζs, Zp είναι οι αντιστάσεις στο χώρο Fourier του ισοδύναμου τετραπόλου του

διακένου αέρος πάχους g, για α = -κ. Δηλαδή:

sο

κ κ gZ = tanhj μ 2

⋅⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠ (117)

( )Pο

κ 1Z =j μ sinh κ g

⋅⋅ ⋅

(118)

Το επίπεδο ακριβώς πάνω από το πρωτεύον αντιπροσωπεύεται από τα σημεία Α

και Β. Τα o

1V , o

2V αντιπροσωπεύουν τις τάσεις πρωτεύοντος δευτερεύοντος που είναι

αντίστοιχα :

( )o

1V = 2 I κ 2 π δ α+κ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (119)

( )o o

j φ2 2V = V -κ e ⋅⋅ (120)

Επιλύοντας το ισοδύναμο κύκλωμα μπορώ να αποδείξω ότι :

( ) ( )o

1 21

1Itanh tanh

o oo

AB o

A

V VIg gZ κ κ

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⋅ +⎢ ⎥⋅ ⋅⎣ ⎦

(121)

Όπου: Aο

κZ =j μ⋅

και βέβαια o o

1 ABV = V .

Το μοντέλο για τον σύγχρονο ευθύγραμμο κινητήρα αέρος με διάκενο g, με το

αντίστοιχο ισοδύναμο κύκλωμα του φαίνεται στο σχήμα 78 που ακολουθεί :

166

ΣΧΗΜΑ 78

Πράγματι, κατά Thevenin μπορώ να αποδείξω ότι πάνω από τα Α, Β (που

αντιπροσωπεύουν το επίπεδο ακριβώς πάνω από το πρωτεύον) τα κυκλώματα του

προηγούμενου σχήματος 78 είναι ισοδύναμα.

Άρα, θα είναι: oo- α go

1 21 A

A ο

αV + V eI = , με Z =

2 Z j μ

⋅

⋅ ⋅

Έχοντας υπολογίσει το ισοδύναμο ρεύμα στο χώρο Fourier στο αντίστοιχο

επίπεδο ακριβώς πάνω από το πρωτεύον και για τους δυο τύπους κινητήρων μπορώ να

χρησιμοποιήσω, για τον υπολογισμό δυνάμεων και ισχύος τις ακόλουθες σχέσεις :

-Δύναμη ωθήσεως ανά m πλάτος ( ) ( )

*0 0+

ABAB

-

V α α1 dαT=- Real2 α 2π

∞

∞

⋅ Ι⋅ ⋅∫ (122)

-Ισχύς ανά m πλάτους ( ) ( )

*o 0+

ABAB

2-

V α α1 dαP+jQ= ω2 2πα

∞

∞

⋅ Ι⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ (123)

-Δύναμη αναρτήσεως ανά m πλάτους ( ) ( )

2 2ο ο

ABAB+ο

2 2ο-

V α Ι αμ dαL=4 2πα μ

∞

∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ − ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ (124)

167

που δίδουν τις δυνάμεις και την ισχύ ευθύγραμμων διατάξεων συναρτήσει των

μεγεθών ( ) ( )0 0

ABABV α , αΙ ανά m πλάτους του κινητήρα.

Όπως θα δούμε στην επόμενη παράγραφο κατά τη χρήση των τύπων αυτών,

πρέπει να ληφθούν υπ’όψιν για τον υπολογισμό των μεγεθών Q, L :

(α) ότι το πρωτεύον τροφοδοτείται κατά τμήματα

(β) ότι το δευτερεύον του ΣΕΚ σιδήρου έχει πεπερασμένο μήκος σιδήρου στο

δευτερεύον.

Οι σύγρονοι κινητήρες σιδήρου μπορουν να κατασκευαστούν με δευτερεόν

αποτελούμενο απο μια σειρά μόνιμων μαγητών, στους οποίους τα τελευταία χρόνια εχει

γίνει σημαντική πρόοδος και υπαρχουν διαθέσιμοι σε λογικές τιμες. Η χρήση μόνιμων

μαγνητών σε ευθύγραμμους σύγχρονους κινητήρες θα αποτέσει ειδικό κεφάλαιο.

6.4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΩΝ – ΙΣΧΥΟΣ ΣΤΟΝ ΣΕΚ ΣΙΔΗΡΟΥ

Τα μεγέθη Τ, P, Q, L υπολογίζονται ανά m πλάτους του κινητήρα για λειτουργία

υπό σταθερό ρεύμα.

α. Υπολογισμός ώθησης Τ και πραγματικής ισχύος P

Λαμβανομένου υπ’όψιν των τιμών για ( ) ( )0 0

ABABV α , αΙ και ότι η συνάρτηση

δ(α+κ) εξισώνει το ολοκλήρωμα με την τιμή της συνάρτησης για α=-κ θα είναι :

( )

o

2ο 12

j μ V V1T=- Real2 κ sinh κ g

⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ ⋅

⋅⎢ ⎥⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(125)

Όπου

1V = 2 κI⋅ ⋅ με w φ3 N I=

π τK

I⋅ ⋅ ⋅

⋅

oj φ

2 2V =V e ⋅⋅ με ( )o

22V = V -κ

Άρα:

168

ο 1 22

μ V VT= sinφ

2 κ sinh(κ g)⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅

(126)

Ομοίως,

( ) ( )

o

2ο ο 1 2 s13 2

j μ μ V V υV V ω1P= Real sin2 κ sinh κ g 2 κ sinh κ g

ϕ

⎡ ⎤⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ = ⋅⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(127)

Δηλαδή sP=T υ⋅ ,πράγμα αναμενόμενο αφού sω =υκ

.

Αυτό προκύπτει διότι λόγω του συγχρονισμού δεν επάγονται ρεύματα στο

δευτερεύον λόγω του πρωτεύοντος, άρα η πραγματική ισχύς μετατρέπεται σε μηχανική.

Βεβαίως, αυτό δε σημαίνει ότι η απόδοση του κινητήρα είναι 100%.

Οι απώλειες πρωτεύοντος και δευτερεύοντος (PL), που υπολογίζονται από τις

αντιστάσεις των αντίστοιχων τυλιγμάτων και των ρευμάτων που τα διαρρέουν και οι

απώλειες σιδήρου, μειώνουν την απόδοση στον αριθμό :

s

s L

υ Tη=

(υ T)+P⋅

⋅

Ας σημειωθεί, επίσης, ότι το μέγεθος 1

2

VV

δεν είναι αδιάστατο αλλά εκφράζεται

σε m.

Η παράσταση:

ο 1 20 2

μ V VT =

2 κ sinh(κ g)⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ (128)

είναι η μέγιστη θετική ώθηση που μπορεί να δημιουργήσει ο ΣΕΚ άρα το

διάγραμμα ώθησης ταχύτητας του κινητήρα φαίνεται στο σχήμα 79 που ακολουθεί:

169

ΣΧΗΜΑ 79

Ο ΣΕΚ αποδίδει μηχανική ισχύ μόνον για υ=υs και μάλιστα έως την τιμή Το. Αυτό

σημαίνει ότι εάν πρέπει να υπερνικήσει κάποια εξωτερική αντίδραση, πρέπει αυτή για υ

= υs να υπολίπεται της Το, αλλιώς ο ΣΕΚ αποσυγχρονίζεται και σταματά.

Ένας σωστά υπολογισμένος ΣΕΚ για υ = υs πρέπει να λειτουργεί υπό τάση που του

επιτρέπει, για κάθε περίπτωση, να υπερβαίνει την εξωτερική δύναμη ανάσχεσης που

μπορεί να προέρχεται από διάφορα αίτια, όπως αεραντίσταση, ηλεκτρομαγνητική

ανάσχεση από το σύστημα ανάρτησης ή ανάσχεση από το ίδιο βάρος λόγω κλίσεως κ.τ.λ.

Το πόσο η Το υπερβαίνει την εξωτερική ανάσχεση καθορίζει το sinφ δηλαδή τη διαφορά

φάσεως μεταξύ των δύο αρμονικών κυμάτων (πρωτεύοντος-δευτερεύοντος). Η μέγιστη

διαφορά φάσεως είναι π2

και για διαφορά φάσεως ίση προς το μηδέν η ώθηση

μηδενίζεται.

β. Υπολογισμός αέργου ισχύος Q

Κατά τον υπολογισμό της αέργου ισχύος εμφανίζονται δύο όροι Q1 και Q2.

Το Q1 δίδεται από τη σχέση :

( ) ( )

ο

2ο ο 1 2 s11 3 2

j μ μ V V υV Vω1Q = Jmag cosφ2 sinh κ gκ 2 κ sinh κ g

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⎢ ⎥⋅ ⋅ = ⋅⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦

(129)

και εκφράζει την άεργο ισχύ από την αλληλεπίδραση πρωτεύοντος δευτερεύοντος.

Το Q2 δίδεται από τη σχέση :

170

( ) ( )2+2

ο 12 3

-

j μ ω V1 dαQ = Jmag 2 π δ α+κ 2 sinh κ g 2 πκ

∞

∞

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦⋅ ⋅∫

και εκφράζει την άεργο ισχύ από την ίδια δράση του πρωτεύοντος.

Εύκολα φαίνεται ότι η Q2 είναι άπειρη επειδή το ολοκλήρωμα

( )2+

-

dα2 π δ α+κ2 π

∞

∞

⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⋅∫ είναι άπειρο.

Αυτό γίνεται διότι δεν ελήφθει υπ’όψιν η τροφοδοσία του πρωτεύοντος κατά

τμήματα. Εάν υποθέσουμε ότι τροφοδοτούμε μόνον ένα τμήμα μήκους ΧΜ τότε η Q2

δίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση :

( )2

ο s 1 M2 2

μ υ V XQ =

2 κ tanh κ g⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ (130)

Αυτός ο τύπος είναι σωστός μόνον εφόσον άνωθεν του τμήματος ΧΜ του

πρωτεύοντος υπάρχει σίδηρος.

Επειδή ο σίδηρος υπάρχει μόνον κατά το μήκος περίπου 2·P·τ (που αντιστοιχεί

στους P πόλους του δευτερεύοντος) η Q2 αποτελείται από τους δυο όρους, τον Q21 που

δίδεται από την σχέση:

[ ]( )

2ο s 1

21 2

μ υ V 2 τQ =

2 κ tanh κ gp⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ (131)

και εκφράζει την άεργο ισχύ του τμήματος του δευτερεύοντος που βρίσκεται στο

διάκενο σιδήρου μεταξύ πρωτεύοντος δευτερεύοντος, και τον 22Q που θα ισούται με την

άεργο ισχύ του τμήματος του πρωτεύοντος που «βλέπει» άνωθεν αέρα και έχει μήκος

(ΧΜ-2·P·τ) και δίδεται κατά προσέγγιση από την σχέση:

( )2

ο s 122 M2

μ υ VQ = X -2 τ2 κ

p⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ (132)

Άρα:

( )2

ο s 12 M2

μ υ V 1Q = X + 1 2 τ2 κ tanh κg

p⎛ ⎞⎡ ⎤⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ ⎣ ⎦⎝ ⎠ (133)

Τέλος, ας παρατηρήσουμε ότι η Q1 για π <φ<π2

(όπου sinφ>0) το cosφ είναι

αρνητικό δηλαδή η άεργος ισχύς εξ’ αλληλεπιδράσεως πρωτεύοντος δευτερεύοντος

μπορεί να γίνει αρνητική (χωρητική).

171

γ. Υπολογισμός δυνάμεως αναρτήσεως L

Η δύναμη ανάρτησης L μπορεί να υπολογιστεί από το αντίστοιχο ολοκλήρωμά

της, ξεχωρίζοντας με προσοχή τους όρους που γίνονται άπειροι και επανεκτιμώντας τις

τιμές τους όπως θα προκύψουν από την πεπερασμένου μήκους τροφοδοσία του

πρωτεύοντος και του σιδήρου του δευτερεύοντος.

Ένας διαφορετικός τρόπος που οδηγεί ευκολότερα στον υπολογισμό της L

προκύπτει χρησιμποιώντας τους ήδη υπολογισθέντες τύπους για την Q από τη σχέση :

WL=g

∂∂

όπου W είναι η αποθηκευμένη μαγνητική ενέργεια και σχετίζεται με την

άεργο ισχύ με την σχέση: QW=2 ω⋅

άρα:

1 QL=2 ω g

∂⋅

⋅ ∂ (για Ιφ και Ι2 σταθερά)

Άρα θα είναι :

( ) ( )2

ο 1 2 s ο 1 s2 2

μ V V υ cosφ μ V υ 2 τ1 1 1 1L=2 ω 2 κ sinh κ g 2 ω 2 κ sinh κ g

pg g⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∂ ∂

+ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ ⋅ ∂ ⋅ ⋅ ⋅ ∂ ⋅⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Δηλαδή:

( )2ο

1 2 12 2

μL=- V V cosφ cosh( )+V 2 τ4 κ sinh κ g

k g p⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦⋅ ⋅ ⋅

για κg<<1 θα είναι sinh( g) g και cosh( g) 1κ κ κ⋅ ⋅ ⋅ άρα:

( )ο 12 14 2

μ VL - V cosφ+V 2 τ2 κ

pg

⋅≈ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ (134)

Το πρόσημο (-) σημαίνει αρνητική ελκτική δύναμη.

6.5 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΩΝ – ΙΣΧΥΟΣ ΣΤΟΝ ΣΥΓΧΡΟΝΟ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΑΕΡΟΣ

α. Υπολογισμός ωθήσεως Τs πραγματικής ισχύος P

Λαμβανομένου υπ’ όψιν ότι το ολοκλήρωμα Τ για o

1V , o

2V γίνεται διαδοχικά:

172

( ) ( ) ( )

2* oo o- α g*ο1 AB

1 a 1 α 2 αj μV I1 dα 1 dαT=- Real T=- Real V + V V e

2 α 2π 4 α α 2π

+∞ +∞⋅

−∞ −∞

⎡ ⎤⎛ ⎞⋅⋅⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

( ) ( )oo

- α g*ο1 α 2 α

μ1 dαT= V V e4 α α 2π

Jmag+∞

⋅

−∞

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

∫

Επειδή ( ) ( )ο

1 α 1V =2 π δ α+κ V⋅ ⋅ ⋅ , με 1V = 2 κI⋅ ⋅ :

( )-κ g o

ο212

μ eT= V V -κ sinφ

4 κ

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅

Άρα: -κ g

ο1 22

μ eT= V V sinφ4 κ

⋅⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ (135)

Όπου ( )o

22V = V -κ .

Ακολουθώντας μια παρόμοια πορεία μπορεί να αποδειχτεί ότι: -κ g

ο s1 22

μ υ eP= V V sinφ4 κ

⋅⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ (136)

Δηλαδή : sP=υ T⋅

Ο βαθμός απόδοσης του ΣΕΚ δόδεται από τη σχέση :

L

Pη=P+P

Όπου LP = ωμικές απώλειες πρωτεύοντος , αφού στο υπεραγώγιμο δευτερεύον οι

απώλειες είναι μηδενικές.

β. Υπολογισμός της αέργου ισχύος Q

Η συνολική άεργος ισχύς Q του πρωτεύοντος τυλίγματος θα δίδεται από το

ολοκλήρωμα :

( ) ( )ο ο

AB α1 α2

V I ω1 dαQ=Jmag2 2πα

∗+∞

−∞

⎡ ⎤⋅ ⋅⎢ ⎥⋅ ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∫

173

Γίνεται ίση προς:

( ) ( ) ( )

2 o o- α g*

1 α 1 α 2 αο2 2

Vμ V V edα dαQ= Real4 2π 2πα α α αω ⋅+∞ +∞

−∞ −∞

⎡ ⎤⋅ ⋅⎢ ⎥⋅ + ⋅⎢ ⎥⋅ ⋅

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

Το πρώτο ολοκλήρωμα για πρωτεύον απείρου μήκους όπου

( ) ( ) 11 αV =2 π δ α+κ V⋅ ⋅ ⋅ κατά τα γνωστά απειρίζεται.

Για πεπερασμένο μήκος πρωτεύοντος (τροφοδοσία κατά τμήματα μήκους ΧΜ) το

πρώτο ολοκλήρωμα γίνεται:

2 2ο ο s1 1 M 1 M3 2

μ ω μ υQ = V X = V X

4 κ 4 κ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

(137)

Το δεύτερο ολοκλήρωμα ισούται προς: -κ g -κg

ο ο s2 1 2 1 23 2

μ ω e μ υ eQ = V V cosφ= V V cosφ

4 κ 4 κ

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ (138)

Όπου ( )ο

21 2V = 2 κ , V = V -κI⋅ ⋅

Παρατηρούμε ότι το 2Q για π <φ π2

≤ γίνεται αρνητικό. Άρα κάτω από ορισμένες

προϋποθέσεις είναι δυνατόν η συνολική 1 2Q=Q Q+ να γίνει αρνητική δηλαδή ο ΣΕΚ

αέρος να συμπεριφέρεται ως πυκνωτής.

γ. Υπολογισμός της δύναμης ανάρτησης L

Η δύναμη ανάρτησης L μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση :

WL=g

∂∂

όπου QW=2ω

= αποθηκευμένη μαγνητική ενέργεια

Άρα:

1 QL=2ω g

∂∂

Κατά συνέπεια θα είναι : -κ g

ο1 22

μ eL - V V cosφ

8 κ

⋅⋅= ⋅ ⋅

⋅ (139)

174

Η δύναμη αυτή για π0 φ<2

≤ είναι αρνητική (ελκτική μεταξύ πρωτεύοντος και

δευτερεύοντος) για π <φ π2

≤ γίνεται θετική (απωστική μεταξύ πρωτεύοντος και

δευτερεύοντος).

Ας υποθέσουμε ότι ζητείται η ελκτική δύναμη ανάρτησης και η ώθηση να είναι

ίσες. Τότε θα πρέπει οcosφ sinφ tanφ=0.5 φ=83.45 sinφ=0.44722

= ⇒ ⇒ ⇒ .

Άρα για τη γωνία αυτή θα είναι: -κ g

ο 1 22

μ e V VL=T 0.112κ

⋅⋅ ⋅ ⋅= ⋅

6.6 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΣΙΔΗΡΟΥ ΚΑΙ ΑΕΡΟΣ

Από τούδε ΤΑ και ΤF θα ονομάζουμε τις δυνάμεις πρόωσης του ΣΕΚ αέρος και

σιδήρου αντίστοιχα.

Είναι φανερό ότι ο κινητήρας αέρος "χρειάζεται" πολύ λιγότερη άεργη ισχύ για να

λειτουργήσει και αυτό αποτελεί ένα από τα πλεονεκτήματα του.

Αν συγκρίνουμε τώρα την ΤΑ με την TF για να δούμε ότι για ίδια V1, V2 και ίδια

διάκενα : A FT T

Δηλαδή φαίνεται ότι ο κινητήρας σιδήρου πλεονεκτεί έχοντας μεγαλύτερη δύναμη

ωθήσεως άρα και πραγματική ισχύ. Όμως η εικόνα αυτή είναι παραπλανητική για τους

εξής λόγους:

Η δύναμη ωθήσεως που ασκείται λ.χ. στο πρωτεύον θα είναι πάντοτε ανάλογη της

παραστάσεως: o o

ZxReal J B⎡ ⎤⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

Όπου o o

ZxJ ,B είναι οι παραστατικοί μιγάδες των αρμονικών κυμάτων που

εκφράζουν το ρεύμα των αγωγών του πρωτεύοντος και την κάθετη μαγνητική επαγωγή

στους αγωγούς.

175

Η o

xJ εξαρτάται αποκλειστικά από το ρεύμα του πρωτεύοντος άρα είναι ίδια και

στους δυο κινητήρες ενώ η o

zB δημιουργείται κυρίως από το ρεύμα των αγωγών του

δευτερεύοντος που βρίσκονται σε αύλακες σιδήρου ή των υπεραγωγών του

δευτερεύοντος. Στο σίδηρο υπάρχει κάποιο όριο για το ΒΖ πάνω απ' το οποίο έχουμε

κορεσμό του σιδήρου. Λόγου χάριν το o

zB δεν μπορεί να υπερβεί τα 1.2 Τesla, ακόμα

και για μικρό διάκενο.

Ενώ στον κινητήρα χωρίς σίδηρο υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει αρκετό ρεύμα

στο υπεραγώγιμο δευτερεύον μπορεί ν' αναπτυχθούν πολύ μεγαλύτερα πεδία, ΒΖ στη

θέση του πρωτεύοντος .

Λ.χ. Αν κοντά στον υπεραγωγό έχουμε μαγνητικά πεδία της τάξεως των 5 Τesla.

Η απόσβεση e-kg που υφίσταται μέχρις τη θέση του πρωτεύοντος είναι λ.χ. για τ=lm

και g=10cm ίση με e-0,314=0,73 δηλαδή το πεδίο που δρα επί του πρωτεύοντος είναι της

τάξης των 5x0.73=3,65 Τesla, τιμή πολύ μεγαλύτερη της τιμής κορεσμού του κινητήρα

με σίδηρο, άρα και η δύναμη ωθήσεως του κινητήρα αέρος μπορεί να γίνει πολύ

μεγαλύτερη της δυνάμεως ωθήσεως του κινητήρα σιδήρου, ακόμη και για πολύ

μεγαλύτερα διάκενα g (10 φορές λ.χ. μεγαλύτερα).

6.7 ΣΥΓΧΡΟΝΟΙ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ ΣΙΔΗΡΟΥ ΜΕ ΒΡΑΧΥ ΠΡΩΤΕΥΟΝ .

Ένας σύγχρονος κινητήρας σιδήρου με βραχύ πρωτεύον συμπεριφέρεται ακριβώς

όπως ένας κινητήρας με βραχύ δευτερεύον. Η σχετική κίνηση μεταξύ πρωτεύοντος

δευτερεύοντος είναι πάντοτε ίση με τη σύγχρονη ταχύτητα και η κύρια αλληλεπίδραση

γίνεται με την πρώτη αρμονική (α = -κ). Η δράση των υπολοίπων είναι συνήθως

αρνητική γι’αυτό με την κατασκευή του τριφασικών τυλίγματος (διπλό) επιδιώκουμε την

εξάλειψη των πλέον ισχυρών αρμονικών.

Η ώθηση και πραγματική ισχύς δίδονται από παρόμοιους τύπους, όπως και για

τον ΣΕΚ με βραχύ δευτερεύον δηλαδή :

( )ο 1 2

2

μ V VT - sinφ2 κ sinh

pgκ

⋅ ⋅ ⋅= ⋅

⋅ ⋅ ⋅ (140)

Όπου L = πλάτος του ΣΕΚ, P=ζεύγη πόλων πρωτεύοντος

176

1V = 2 κ I⋅ ⋅ , w φ3Nκ I=

πτΙ , s=T υp ⋅ και ( )

o

22V = V -κ , όπου ( )o

2V -α

είναι η ισοδύναμη τάση ενός ζεύγους πόλων του δευτερεύοντος.

Άρα κατά τα γνωστά :

2 o2

4 N IV =

τ⋅ ⋅

όπου Ιο το συνεχές ρεύμα του δευτερεύοντος

Το τελικό αποτέλεσμα είναι το ίδιο αφού ο αριθμός ζευγών πόλων μετράται πλέον

στο πρωτεύον αντί του δευτερεύοντος.

Η απόδοση του ΣΕΚ δίδεται από τη σχέση :

L

Pη=P+P

Όπου PL είναι οι απώλειες του βραχέως πρωτεύοντος συν τις απώλειες από το

συνεχές ρεύμα του δευτερεύοντος (το οποίο επίσης τροφοδοτείται κατά τμήματα για

περιορισμό αυτών των απωλειών).

Ο ΣΕΚ με βραχύ πρωτεύον πλεονεκτεί μόνο στο ότι η άεργος ισχύς του

πρωτεύοντος είναι μικρότερη.

Όπως προαναφέρθηκε ο κινητήρας με μακρύ πρωτεύον (τροφοδοτούμενος ανά

τμήματα ΧΜ ) έχει άεργο ισχύ Q που αποτελείται από τρεις όρους :

1 21 22Q=Q Q Q+ +

Η 1Q ωφείλεται στην αλληλεπίδραση πρωτεύοντος δευτερεύοντος και δίδεται από

τη σχέση :

( )ο 1 2 s

1 2

μ V V υQ = cosφ2 κ sinh κ gp ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅

(141)

Παρόμοια ακριβώς είναι και η άεργος ισχύς του ΣΕΚ με βραχύ πρωτεύον, μόνο

που τα 1 2V , V δίδονται από τις σχέσεις που αναφέρθηκαν προηγουμένως ( ( 1V = 2Iκ ,

2 o2

4N IV =τ

).

Η 21Q ωφείλεται στο μαγνητικό πεδίο στο διάκενο του σιδήρου μεταξύ

πρωτεύοντος και δευτερεύοντος (στο διάστημα 2·p·τ) και δίδεται από την ίδια σχέση

ακριβώς και για τον ΣΕΚ με βραχύ δευτερεύον.

177

( )2

ο s 121 2

μ υ V 2 τQ =2 κ tanh κ g

p⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

(142)

Η 22Q δεν υφίσταται πλέον αφού το ΧΜ = 2·p·τ.

Άρα η 1 21Q = Q .

Άρα το συνημίτονο λειτουργίας υπό σταθερό ρεύμα Ιφ θα είναι :

2 2

Pcosθ=P +Q

Τα μεγέθη Τ, Ρ, Q υπολογίστηκαν ανά m πλάτος του κινητήρα για λειτουργία υπό

σταθερά φασικό ρεύμα Ιφ.

6.8 ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΙΚΟΣ ΣΥΓΧΡΟΝΟΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑΣ

Ο κλασσικός σύγχρονος περιστροφικός κινητήρας είναι κινητήρας σιδήρου.

Μπορεί κατά προσέγγιση, λοιπόν, να θεωρήσομε ότι ο σύγχρονος περιστροφικός

κινητήρας σιδήρου με p ζεύγη πόλων είναι όμοιος με ευθύγραμμο κινητήρα σιδήρου με

βραχύ πρωτεύον με p ζεύγη πόλων. Πράγματι και στους δυο κινητήρες η αλληλεπιδρώσα

αρμονική είναι μόνο η θεμελιώδης κ=π/τ, α = -κ, άρα θα ισχύουν παρόμοιοι τύποι για

τον υπολογισμό των κύριων λειτουργικών τους χαρακτηριστικών. Δηλαδή για λειτουργία

υπό σταθερό ρεύμα πρωτεύοντος Ιφ και δευτερεύοντος Ιο θα είναι :

( )ο 1 2

2

μ V VT sinφ2 κ sinh

pgκ

⋅ ⋅ ⋅= ⋅

⋅ ⋅ ⋅ (143)

Και sP=T υ⋅

Όπου : 1V = 2 I κ ⋅ ⋅ , w φ3 N κ II=

π τ⋅ ⋅ ⋅

⋅, 2 o

24 N I

V =τ

⋅ ⋅

Η απόδοση του περιστροφικου σύγχρονου κιντήρα ειναι: L

L Pη=L P+P

⋅⋅

(144)

Όπου LP οι ωμικές απώλειες πρωτεύοντος και δευτερεύοντος, L = πλάτος

κινητήρα.

Τέλος, το συνημίτονο λειτουργίας του περιστροφικού κινητήρα σιδήρου δίδεται

από τη σχέση :

178

2 2

Pcosθ=P +Q

(145)

Όπου ( )

( )

ο 1 2 s1 2

1 2 2ο 1 s

2 2

μ V V υQ cosφ2 κ sinh κ g

Q=Q Q μ V υ 2 τQ2 κ tanh κ g

p ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎧ = ⋅⎪ ⋅ ⋅ ⋅⎪+ ⎨⋅ ⋅ ⋅ ⋅Ρ ⋅⎪ =

⎪ ⋅ ⋅ ⋅⎩

(146)

Τα μεγέθη (Ρ,Q,Τ) είναι ανηγμένα ανά μέτρο πλάτους του περιστροφικού

σύγχρονου κινητήρα για λειτουργία υπό σταθερό ρεύμα Ιφ.

Ο περιστροφικός σύγχρονος κινητήρας μπορεί να κατασκευαστεί με υπεραγώγιμο

δευτερεύον (κινητήρας αέρος). Για το σύγχρονο περιστροφικό κινητήρα αέρος (ανά m

πλάτους) θα ισχύουν για τα Ρ, Τ και Q οι σχέσεις που ισχύουν για ΣΕΚ αέρος με μήκος

πρωτεύοντος 2·p·τ.

Άρα θα είναι :

-κ g

ο1 22

μ eT V V sinφ4 κ

p ⋅⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅

⋅ , sP=T υ⋅ (147)

1V = 2 I κ ⋅ ⋅ όπου: w φ3 N κ II=

π τ⋅ ⋅ ⋅

⋅

2 2 οV =4 N Ι /τ⋅ ⋅ (Ιο το ρεύμα υπεραγώγιμου πλαισίου)

L

L Pη=L P+P

⋅⋅

(148) , LP = ωμικές απώλειες πρωτεύοντος = 2φ 13 I r⋅ ⋅

Όπου r1 = η ανά φάση ωμική αντίσταση του πρωτεύοντος,

L = πλάτος του κινητήρα.

Τέλος, το συνημίτονο λειτουργίας του περιστροφικού κινητήρα αέρος δίδεται από

τη σχέση :

2 2

Pcosθ=P +Q

(149)

Όπου :

2ο s1 12

1 2 -κ gο s

2 1 22

μ υQ V 2 τ4 κQ=Q Q μ υ eQ = V V cosφ

4 κ

p

⋅

⋅⎧ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎪⎪ ⋅+ ⎨⋅ ⋅⎪ ⋅ ⋅ ⋅

⎪⎩ ⋅

(150)

179

Τ, Ρ, Q υπολογίζονται ανά m πλάτους του περιστροφικού σύγχρονου κινητήρα

αέρος για λειτουργία υπό σταθερό ρεύμα Ιφ.

6.9 ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΥΠΟ ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΑΣΗ

Η ανάλυση που ακολουθεί είναι παρόμοια για όλα τα είδη σύγχρονων κινητήρων

(σιδήρου, αέρος, ευθύγραμμων, περιστροφικών).

Για κάθε τύπο κινητήρος ισχύουν τα παρακάτω :

• Η πραγματική ισχύς (Ρ) που μετατρέπεται σε μηχανική είναι ανάλογος της Ιφ

Άρα: φP=3 A I⋅ ⋅

• Η άεργος ισχύς Q αποτελείται από δύο τμήματα Q1 και Q2 για τα οποία ισχύουν

τα ακόλουθα :

1. Η Q1 είναι ανάλογος της Ιφ, 1 φQ =3 B I⋅ ⋅ (Άεργος ισχύς εξ’αλληλεπαγωγής

πρωτεύοντος δευτερεύοντος)

2. Η Η Q2 είναι ανάλογος της Ιφ2, 22 φQ =3 X I⋅ ⋅ (Άεργος ισχύς

εξ’αυτεπαγωγής πρωτεύοντος)

Για λειτουργία υπό σταθερή τάση πρέπει να λάβουμε υπόψιν την άεργο ισχύ

σκεδάσεως Qs (στους αύλακες ή και στις πλάγιες συνδέσεις). Συνήθως ( )s 2Q 3 5% Q÷ .

Επίσης πρέπει να ληφθούν υπ’ όψιν και οι ωμικές απώλειες πρωτεύοντος πού είναι

ίσες προς 2L φ 1P =3 I r⋅ ⋅ , όπου 1r = φασική αντίσταση πρωτεύοντος.

Επειδή τα μεγέθη Ρ, Q1 είναι ανάλογα της Ιφ κατά μέτρο, στο ισοδύναμο κύκλωμα

ανά φάση για το σύγχρονο κινητήρα, πού φαίνεται στο σχήμα 80 πού ακολουθεί, το Ιφ

λαμβάνεται ως μέγεθος αναφοράς (δηλαδή είναι πραγματικός θετικός αριθμός ίσος με

την ενεργό φασική ένταση Ιφ).

Ισοδύναμο κύκλωμα ανά φάση

180

ΣΧΗΜΑ 80

Η παράσταση ( )oV = A+jB είναι μια ισοδύναμη τάση η οποία απορροφά ισχύ φAI

(ίση με την μηχανική ισχύ ανά φάση) και άεργο ισχύ φj B I⋅ ⋅ (ανά φάση).

Για δεδομένα τα Α, Β, Χ, Χs, r1, Vφ προσδιορίζονται τα θ, Ιφ από τη μιγαδική

σχέση:

( )( )j θφ φ s 1V e =Ι j X+X +r +A+B j⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Άρα:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

2 22φ φ 1 φ s

φ s

φ 1

1 V = Α+Ι r B+Ι X+X

B+Ι X+X2 θ=arctan

Α+Ι r

⋅ + ⋅

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

Από την (1) προσδιορίζεται το Ιφ ως η θετική ριζα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης :

( ) ( )2 2 2 2 2 2s 1 φ 1 s φ φX+X +r I +2 Α r +B X+X I + A +B -V =0⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Για να μπορεί να λειτουργήσει ο κινητήρας υπό τάση Vφ η διακρίνουσα της

δευτεροβάθμιας εξίσωσης πρέπει να είναι μη αρνητική.

Δηλαδή : ( ) ( )2 2 2 2 2 21 s s 1 φΑ r B X+X X+X +r A +B -V 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ + ⋅ − ⋅ ≥⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Με δεδομένη την Ιφ η διαφορά φάσεως μεταξύ της φασικής τάσης και έντασης

προσδιορίζεται από την (2) δηλαδή προσδιορίζεται το συνημίτονο λειτουργίας του

κινητήρα cosθ.

Η μηχανική ισχύς του σύγχρονου κινητήρα δίδεται από τη σχέση φP=3 A I⋅ ⋅ και η

απόδοση θα είναι ίση προς :

L

L Pη=L P+P

⋅⋅

181

2 2L φ 1 o 2P =3 I r +I r⋅ ⋅ ⋅

Όπου : 2r = αντίσταση τυλίγματος του δευτερεύοντος (για υπεραγώγιμο

δευτερεύον 2r 0= ).

Παραδειγμα 14 : λειτουργια σεκ σιδηρου με μακρυ πρωτευον υπο σταθερη

ταση

Δίδεται ΣΕΚ σιδήρου με τα ακόλουθα χαρακτηριστικά :

Πρωτεύον :

Ν1 = 100, κw = cos(π/10), τ = 1m, p = 5 ζεύγη πόλων

Αντίδραση σκεδάσεως 3%∼ της αντιδράσεως εξ’αυτεπαγωγής

Vφ = 6600V, 1r = 4Ω, f = 50Hz, L = 1m, υs = 2·f·τ = 100m/s

Τροφοδοσία κατά τμήματα ΧM = 500m

Δευτερεύον :

Ν2 = 100, 2r = 0.5 Ω, Ιο = 120 Α

Διάκενο : 1cm

Να υπολογιστούν τα μεγέθη Τ/Τmax, cosθ, η, ως συναρτήσεις της εν χώρω

φασικής διαφοράς φ των αρμονικών κυμάτων πρωτεύοντος - δευτερεύοντος.

Τα μεγέθη ανά φάση του κυκλώματος του προηγούμενου σχήματος

προσδιορίζονται από τις σχέσεις :

( )( )

2

ο s w 1

m2

μ υ 2 κ 3 κ N /π τ1 2 p τX= L X -2 p τ+3 tanh κ g2 κ

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞⋅ ⋅⎣ ⎦⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⋅ ⎝ ⎠

m3X = X

100

( ) [ ]( )

2

ο s w 1 o 2

o 2

P μ υ 2 κ 3 κ N /π τ 4 I N /τ L1V =3 2 κ sinh κ g

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎣ ⎦⋅⋅ ⋅ ⋅

oA=V sinφ

182

oB=V cosφ

Άρα :

( )( )

1 sφ 2 2

s 1

Δ - Α r +B X+XI =

X+X +r

⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

Όπου :

( ) ( )2 2 2 2 21 s s 1 ο φΑ r B X+X X+X r V -V⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ = ⋅ + ⋅ − + ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Άρα, για να μπορεί να λειτουργήσει υπό τάση Vφ ο ΣΕΚ πρέπει :

( )( )

21 s2 2

φ o 2 2s 1

Α r +B X+XV V

X+X +r

⋅ ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦≥ −

( )( )

21 s2 2

φ o 2 2s 1

Α r +B X+XV V

X+X +r

⎡ ⎤⋅ ⋅⎣ ⎦≥ − s

PT=υ

Το συνημίτονο λειτουργίας του θα είναι τότε :

( ) ( )φ 1

2 2

φ 1 φ s

A+I rcosθ=

A+I r + B+I X+X

⋅

⎡ ⎤⋅ ⋅⎣ ⎦

Και η απόδοση :

L

L Pη=L P+P

⋅⋅

, όπου 2 2L φ 1 o 2P =3I r +I r

Στο σχήμα 81 που ακολουθεί φαίνονται οι καμπύλες Τ/Τmax, cosθ, η, συναρτήσει

της γωνίας φ.

183

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

phase angle of synchronous waves

T/Tm

ax, c

os(è

),effi

cien

cy

ΣΧΗΜΑ 81

Για λειτουργία υπό γωνία φ = 115ο θα είναι λ.χ. :

max

Τcosθ = 0.91 , η = 0.975 , 0.76, P = 340 kWΤ

=

Εάν ο κινητήρας ήταν περιστροφικός M 1 1X =2 , r 2 / Mp r p Xτ τ′ ′⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ και για

λειτουργία υπο φασική γωνία φ=1150 θα ήταν:

max

Τcosθ = 0.90 , η = 0.99 , 0.77, P = 886 kWΤ

=

Δηλαδή ο περιστροφικός κινητήρας για την ίδια φασική τάση αποδίδει 260 %

περισσότερη ισχύ. Αυτό εξάγεται από το γεγονός ότι δεν υπάρχει το μακρύ πρωτεύον

όπως στον ευθύγραμμο (το οποίο τροφοδοτείται ανά 500m) και το οποίο περιορίζει με

την αυτεπαγωγή του το φασικό ρεύμα, για την ίδια φασική τάση.

184

6.11 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ

ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΙΝΗΤΗΡΑ ΥΠΟ ΣΤΑΘΕΡΗ ΤΑΣΗ ΚΑΙ ΦΟΡΤΙΟ

Ας υποθέσουμε ότι δίδεται ώθηση που πρέπει να αποδίδει υπό σταθερή τάση ο

ΣΕΚ και ζητούνται τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά του (cosθ, η).

Χρησιμοποιώντας το ισοδύναμο κύκλωμα του σχήματος 80 ανά φάση παρατηρώ

ότι η παράσταση o φ s3V I sinφ/υ ισούται προς τη δεδομένη Τ και επομένως :

sφ

o

T υI sinφ= =c, είναι γνωστό3 V⋅

⋅⋅

Άρα, ζητείται το Ιφ με επιπλέον δεδομένο την φI sinφ⋅ , άρα :

( ) ( )jθφ φ 1 s φ o oV e =Ι r +j X+X Ι + V sinφ+j V cosφ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( )jθ 2 2φ φ φ 1 s φ o φ o φI V e =Ι r +j X+X Ι +V Ι sinφ+j V Ι cosφ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )2 22 2 2φ φ φ 1 o φ s φ o φI V = Ι r +V Ι sinφ + X+X Ι +V Ι cosφ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( ) ( )22 2 4 2 2 2 2 3 4 2 2 2 2 3φ φ φ 1 o φ o φ 1 φ s o φ φ φ o sI V =Ι r +V Ι sin φ+2V Ι r sinφ+Ι X+X +V Ι Ι sin φ +2Ι V X+X cosφ−

( )( ) ( )22 2 4 2 2 2 2φ φ φ 1 s o φ o φ 1 φ s φI V =Ι r X+X +V Ι +2V Ι r Ι sinφ+ X+X Ι cosφ⎡ ⎤+ ⎣ ⎦

( )( ) ( )22 2 2 2φ φ 1 s o o 1 s φV =Ι r X+X +V +2V r c+ X+X Ι cosφ⎡ ⎤+ ⎣ ⎦

( ) ( )2 2

φ φ φI sinφ + I sinφ =I ⇒

2 2φ φI sinφ= I c−

( ) ( )( ) ( )22 2 2 2 2 2φ o φ 1 s o 1 o s φV -V -Ι r X+X -2V r c=2V X+X Ι c+ −

( )( )( )

22 2 2φ o o 1 1 s2 2 2

φ φo s o s

V -V 2V r c r X+XΙ Ι c

2V X+X 2V X+X− +

− = −

Δηλαδή :

2 2 21 φ 1 φ-A Ι +B = Ι -c

Άρα : 2 2 4 2 2 2

1 1 φ 1 1 φ φB +A Ι -2A B Ι =Ι -c

[ ]2 4 2 2 21 φ 1 1 φ 1A Ι - 2A B +1 Ι +B +c 0=

185

( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1 1 12

φ 21

2A B +1 2A B +1 4A B +cΙ

2A

± −=

21 1 1 12

φ 21

2A B +1 1 4A B 4cΙ

2A± + −

=

Υπάρχουν δύο θετικές ρίζες (εφόσον 1+4Α1Β1>4c) και είναι οι ακόλουθες :

21 1 1 1

φ1

2A B +1 1 4A B 4cΙ

2A

± + −=

Όπου :

( )( ) ( )

2 2 22φ o o 11 s

1 1o s o s

V V 2V r cr + X+XA = , B

2V X+X 2V X+X− −

=

s

o

Tυc=3V

Η τεχνικά βέλτιστη λύση είναι η μικρότερη Ιφ δηλαδή :

21 1 1 1

φ1

2A B +1 1 4A B 4cΙ

2A

− + −=

Για δεδομένη Ιφ, προσδιορίζεται το sinφ και cosφ. Άρα :

( )o φ s

o φ 1

V cosφ+Ι X+Xθ arctan

V sinφ+Ι r⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2φ 1 o 2

Pη= (η ισχυς P δίδεται)P+jI r +I r

186

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

(MAGLEVs)

7.1 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΕΛΚΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Το ηλεκτρομαγνητικό ελκτικό σύστημα ανάρτησης βασίζεται στην ελκτική δύναμη

που ασκείται από ένα σύνολο ηλεκτρομαγνητών που βρίσκονται στη βάση του

κινουμένου oχήματος, σε μια σταθερή σιδηροµαγνητική δοκό που εκτείνεται κατά μήκος

της διαδρομής του οχήματος (όπως στο σχήμα 82) . Η δύναμη έλξης των

ηλεκτρομαγνητών είναι ανεξάρτητη της ταχύτητας του οχήματος.

Χρησιμοποιώντας τον τανυστή MAXWELL είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι η

δύναμη αυτή δίδεται από την σχέση : 2n

0

BF=2μ

S⋅

Όπου nB η κάθετος μαγνητική επαγωγή στην επιφάνεια S του πέδιλου του

ηλεκτρομαγνήτου.

187

ΣΧΗΜΑ 82

Για τιμές του nB αρκετά πριν από την τιμή κορεσμού του σιδήρου ( nB <1 Tesla

), η nB είναι κατά προσέγγιση ανάλογη του ρεύματος Ι του ηλεκτρομαγνήτου. Κατά

προσέγγιση μάλιστα n

0

B=N I

μd⋅ ⋅ , όπου Ν τα ελίγματα του ηλεκτρομαγνήτου και d το

μήκος του διακένου. Άρα :

20

1 N IF= μ ( ) S2 d

⋅⋅ ⋅ ⋅

Το σύστημα αυτό είναι φανερό ότι είναι ασταθές, δηλαδή αν το διάκενο αυξηθεί η

δύναμη έλξεως ελαττώνεται που σημαίνει ότι το διάκενο αυξάνεται περισσότερο. Αν το

διάκενο ελαττωθεί η δύναμη έλξεως αυξάνεται που σημαίνει ότι το διάκενο ελαττώνεται

ακόμη περισσότερο κτλ.

Έτσι αν για κάποιο ρεύμα Ι στον ηλεκτρομαγνήτη το διάκενο ισορροπίας είναι το d

η διατήρησή του καθίσταται δυνατή µόνο µε τη βοήθεια ενός ηλεκτρονικού συστήματος

αυτομάτου ελέγχου που μεταβάλλει το ρεύμα του ηλεκτρομαγνήτη έτσι ώστε το d να

μένει σταθερό. Με το σύστημα αυτό λειτουργεί ήδη το σύστημα TRANSRAPID (βλέπε

σχήμα 82α )

188

ΣΧΗΜΑ 82α

Το ελκτικό σύστημα είναι εξαιρετικά απλό με μόνο μειονέκτημα την εγγενή

αστάθεια του και επομένως χρειάζεται την λειτουργία συστήματος αυτομάτου ελέγχου.

Το διάκενο d συνήθως είναι περίπου 10mm. Αυτό αν και μικρό έχει αποδεχτεί στην

πράξη ότι επιτρέπει την ανάπτυξη ταχυτήτων έως και 500 Km/h χωρίς προβλήματα.

Μια ενδιαφέρουσα παραλλαγή για το ελκτικό σύστημα προκύπτει εαν στη θέση

(ενος αριθμού) των ηλεκτρομαγνητών χρησιμοποιηθούν μόνιμοι μαγνήτες, οι οποίοι

μπορούν να καλύπτουν λχ το 80% του βάρους του κενού οχήματος. Η ανάρτηση του

υπόλοιπου βάρους του οχήματος και του βάρους των επιβατών του θα καλύπτεται απο

τους ηλεκτρομαγνήτες των οποίων ο έλεγχος του ρεύματος λειτουργίας τους μπορεί να

εξασφαλίσει το σταθερό διάκενο

Μια άλλη ενδιαφέρουσα εφαρμογή του ελκτικού ηλεκτρομαγνητικού συστήματος

αποτελούν τα ηλεκτρομαγνητικά ρουλεμάν .

Χρησιμοποιώντας ηλεκτρονικά ελεγχόμενους ηλεκτρομαγνήτες μπορούμε να

στηρίξουμε περιστρεφόμενους σιδηρομαγνητικούς άξονες που φέρουν σημαντικό βάρος,

ενώ το διάκενο διατηρείται σταθερό με μικρομετρική ακρίβεια. Η συσκευή αυτή λοιπόν

μπορεί να υποκαταστήσει ένα κοινό ρουλεμάν και ονομάζεται ηλεκτρομαγνητικό

ρουλεμάν. Η δομή ενός τέτοιου ρουλεμάν είναι παρεμφερής με αυτήν μιας συνήθους

τετραπολικής περιστροφικής κυλινδρικής μηχανής (όπως φαίνεται στο σχήμα 83).

Σκοπός είναι η δημιουργία τεσσάρων ηλεκτρομαγνητικών ελκτικών δυνάμεων που

189

ελέγχονται ηλεκτρομαγνητικά έτσι ώστε με την ρύθμιση του ρεύματος των

ηλεκτρομαγνητών το διάκενο να παραμένει σταθερό.

ΣΧΗΜΑ 83

Εν γένει τα ηλεκτρομαγνητικά ρουλεμάν συνδυάζονται σε 2 τύπους:

α. Σαν ακτινικά ηλεκτρομαγνητικά ρουλεμάν που έχουν κυλινδρικά διάκενα αέρα

και μπορούν να παραλάβουν κάθετα φορτία (ακτινικά).

β. Σαν κωνικά ηλεκτρομαγνητικά που μπορούν να παραλάβουν ακτινικά και

αξονικά φορτία και το διάκενο έχει κωνικό σχήμα.

Τα ηλεκτρομαγνητικά ρουλεμάν έναντι των κοινών ρουλεμάν έχουν αρκετά

πλεονεκτήματα. Δεν υπάρχει μηχανική φθορά στον άξονα, η θέση του άξονα βρίσκεται

κάτω από έλεγχο ακριβείας και οι απώλειες περιστροφής τους είναι πολύ μικρότερες.

Έτσι λ.χ. σε ένα στροβιλοσυμπιεστή με μια άτρακτο 1000 kg και στις 10000 PRM ένα

συμβατικό Ρουλεμάν έχει 478 KW απώλειες ενώ ένα ΗΜΡ μόνο 3,5 KW. Εν τούτοις το

κόστος τους είναι μεγαλύτερο των συμβατικών πράγμα που δεν επιτρέπει τη πλήρη

υποκατάσταση των συμβατικών ρουλεμάν για όλες τις χρήσεις.

190

Στα συνήθη ηλεκτρομαγνητικά ρουλεμάν το υλικό κατασκευής του άξονα επιτρέπει

δυνάμεις της τάξης των 40 N/cm2 .

Πράγματι 2n

0

BFS 2μ= , για 7

n 0B 1, μ 4π 10= ⋅ , άρα:

7 3

2 2 2

F 10 10 40S 8π 8m cm cmπ

Ν Ν Ν= ⋅ =

Για δεδομένη διάμετρο η μέγιστη ταχύτητα περιστροφής, για τα ηλεκτρομαγνητικά

ρουλεμάν , είναι μεγαλύτερη έως 4 φορές έναντι των κοινών ρουλεμάν και διπλάσια απ'

την ταχύτητα των υδροπνευματικών ρουλεμάν.

7.3 ΗΛΕΚΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΑΠΩΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ

ΥΠΕΡΑΓΩΓΟΥΣ.

Στα ηλεκτροδυναμικά συστήματα ανάρτησης η δύναμη ανάρτησης είναι η

απωστική δύναμη η οποία ασκείται μεταξύ ενός αγώγιμου φύλλου, ή ενός συνόλου

διαδοχικών βραχυκυκλωμένων αγώγιμων σπειρών (δευτερεύον), και ενός ταχέος

κινουμένου κλειστού αγωγού διαρρεομένου από συνεχές ρεύμα (πρωτεύον).

Στο υπεραγώγιμο ηλεκτροδυναμικό σύστημα ανάρτησης το πρωτεύων είναι ένα

σύνολο υπεραγώγιμων ορθογωνίων πλαισίων διαρρεομένων από ισχυρά ρεύματα ( χωρίς

ωμικές απώλειες ). Τα πλαίσια αυτά είναι συνήθως ορθογωνικά πλάτους L, και η κίνηση

γίνεται κάθετα ως προς το L.

Το δευτερεύον είναι συνήθως ένα φύλλο αλουμινίου με πάχος d της τάξεως 1 cm

Μεταξύ τους υπάρχει διάκενο g (της τάξεως των 5-20 cm)

Δεν υπάρχουν σιδηρομαγνητικά υλικά, άρα ο συντελεστής μαγνητικής

διαπερατότητας μ=μο παντού.

Αυτό σημαίνει ότι έχουμε το τρισδιάστατο μοντέλο εργασίας (σχ. 84).

Στο συγκεκριμένο μοντέλο του σχήματος 84 έχουμε 3 ορθογωνικά πλαίσια

διαρρεόμενα από ομόρροπα ρεύματα Ι.

Το αντίστοιχο διδιάστατο μοντέλο είναι βεβαίως προσέγγιση που όμως μπορεί να

μας δώσει καλά υπολογιστικά αποτελέσματα, ανά m πλάτους L.

191

Τα υπαραγώγιμα πλαίσια έχουν διαστάσεις ( 02 x L⋅ ⋅ ) και απέχουν απόσταση δ

μεταξύ τους . Τα πλαίσια βρίσκονται πάντοτε επί του κινητηρίου οχήματος και απέχουν

απόσταση g από το δευτερεύον αγώγιμο φύλλο, το οποίο εχει πάχος d και αγωγιμότητα

σ. Η ταχύτητα του κινητηρίου οχήματος ( δηλαδή η σχετική ταχύτητα πρωτεύοντος-

δευτερεύοντος) συμβολίζεται με υ.

ΣΧΗΜΑ 84

Η ισοδύναμη διδιάστατη διέγερση θα είναι ένα σύνολο από πολύ λεπτούς αγωγούς

στην κατεύθυνση y που διαρρέονται από συνεχές ρεύμα Ι . κάθε λεπτός αγωγός που

διαρρέεσαι από ρεύμα Ι και απέχει απόσταση κx από το μέσον της διάταξης έχει

ισοδύναμη τάση αντίστοιχα την :

κ0

-j α x0( ) α I eV a ⋅ ⋅= − ⋅

Αν λχ έχουμε ένα πλαίσιο με διαστάσεις 02 x L⋅ ⋅ η συνολική διέγερση του θα είναι

ίση προς :

0 00

j α x -j x1 0 0 0 0( ) α I e -α I e 2 j α I sin(α x )V a α⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Εάν έχουμε δυο όμοια πλαίσια που τα κέντρα τους απέχουν απόσταση 2δ, 0(δ>x )

και διαρρέονται από ίσα και ομόρροπα ρεύματα ή ισοδύναμη τάση τους θα είναι : 0

-j α δ j α δ2 0 0 0 0( ) 2 j α I sin(α x ) e 2 j α I sin(α x ) eV a ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

192

Δηλαδή 0

2 0 0( ) 4 j α I sin(α x ) cos(α δ)V a = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Εάν τα πλαίσια διαρρέονται από ίσα αλλά αντίρροπα ρεύματα η ισοδύναμη τάση

τους θα είναι: 0

-j α δ j α δ2 0 0 0 0' ( ) 2 j α I sin(α x ) e -2 j α I sin(α x ) eV a ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0

2 0 0' ( ) 4 j α I sin(α x ) sin(α δ)V a = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Για κ πλαίσια με ίσα και όμοροπα ρεύματα Ι0 ισαπέχοντα, σε απόσταση 2δ μεταξύ

τους, μπορώ να αποδείξω ότι: 0

-j2αδ -j2 (2αδ) -j3 (2αδ) -j(κ-1) (2αδ)0 0( ) 2 j α I sin(α x ) [1 e +e +e +.......+e ]V aκ

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

Άρα -jκ (2αδ)0

0 0 -j2αδ

1 e( ) 2 j α I sin(α x ) [ ]1 e

V aκ

⋅−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

− (151)

Αν τα κ πλαίσια εναλλάσσουν φορά ρεύματος διαδοχικά μπορεί ν’ αποδειχτεί ότι: -j(2αδ)0

0 0 -j2αδ

1 ( e )' ( ) 2 jαI sin(αx ) [ ]1 e

V aκ

κ− −

= ⋅−

(152)

Στις δυο τελευταίες περιπτώσεις για τον υπολογισμό της ισοδύναμης τάσης 0

(α)V , ως αρχή των συντεταγμένων ελήφθη το μέσο του πρώτου πλαισίου. Επειδή στους

τελικούς τύπους υπολογισμού των δυνάμεων L,D εισέρχεται η 20

(α)V . Η επιλογή της

αρχής δεν επηρεάζει τις τιμές των δυνάμεων, όπως άλλωστε ήταν αναμενόμενο.

Το ισοδύναμο κύκλωμα της ηλεκτρομαγνητικής διατάξεως θα είναι όπως φαίνεται

στο σχήμα 85 πού ακολουθεί:

193

ΣΧΗΜΑ 85

0

- α g0

0 0

(α) e(α)=( )A

VIZ Zολ α

⋅⋅

+ (153)

Όπου: 0 0

0 0 A Cολ 0

0 A0

C

+tanh(γ d), (α)=j μ

1+ tanh(γ d)

AZ ZZ Z

Z

Z

α ⋅ ⋅=

⋅⋅ ⋅

(154)

194

Όπου: 2 20

0

γ =α +j μ σ α υ, jμCZ γ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

0 0 0

ολ( ) (α)ABV I a Z= ⋅

Μπορούμε να βρούμε τις δυο δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ πρωτεύοντος

δευτερεύοντος από τα ολοκληρώματα (για συνεχές ρεύμα) δευτερεύοντος από τα

ολοκληρώματα (για συνεχές ρεύμα) 0 0

+ *ΑΒ

-

V I (α) dαT=-Realα 2π

∞

∞

⋅⋅∫

2 20 0

AB+

0 2 20-

I (α)1 dαL= μ [ ]2 α μ 2π

V∞

∞

− ⋅∫

Η δύναμη –Τ καλείται δύναμη ανάσχεσης D . Άρα : *02+ 0 ολ

-

(α) dαReal I (α)2π

ZDα

∞

∞

= ⋅ ⋅∫ (155)

202+ 0 ολ0 2

0-

1 (α) 1 dαL= μ I (α) ( )2 μ 2π

Zα

∞

∞

⋅ ⋅ ⋅ − ⋅∫ (156)

Οι δυνάμεις αυτές είναι βεβαίως ανά m του πλάτους της διέγερσης .

Παράδειγμα 15

Δίδεται απωστικο ηλεκτρομαγνητικό σύστημα ανάρτησης με τα ακολουθά

χαρακτηριστικά :

Πρωτεύον: υπεραγώγιμο ορθογωνικό πλαίσιο με διαστάσεις 2x0=1m, y=1m, που

διαρεεται από ρεύμα Ι0=200000 A.

Δευτερεύον: Λεπτό αγώγιμο φύλλο Αλουμινίου πάχους d=1cm και αγωγιμότητας 7σ=3,6 10 S/m⋅ . Το διάκενο μεταξύ τους είναι g=15cm.

Να προσδιοριστούν :

1.Οι δυνάμεις D,L συνάρτηση της σχετικής ταχύτητος υ

195

2.Ο λόγος L/D για την ονομαστική ταχύτητα λειτουργίας του συστήματος υ=150

m/sec ( 540Km/h ).

Η ισοδύναμη τάση πρωτεύοντος δίδεται από την σχέση : 0

0 0( ) 2 j α I sin(α x )V a = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Άρα οι δυνάμεις D,L θα προσδιοριστούν από τα παρακάτω ολοκληρώματα : 20

- α *0+ +

ολ120 0

- -A ολ

V (α)eReal[ (α)] dα dαy ( )

2π 2π+ (α)

g

ZD y DZ Z

αα

∞ ∞

∞ ∞

= ⋅ ⋅ = ⋅∫ ∫

02 2- α ολ+ +

012 2 20 0

0- -A ολ

(α)μ V(α)e1 1 dα dαL=y ( ) y ( )2 μ 2π 2π

+ (α)

g ZL

Z Zα

α

∞ ∞

∞ ∞

⋅⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫

Προκειμένου τα ολοκληρώματα να υπολογιστούν αριθμητικά θα πρέπει να

εκτιμήσουμε την διαμέριση Δα και το διάστημα ολοκλήρωσης .

Κατ ‘ αρχήν για α=0 μπορούμε ν ‘αποδείξουμε ότι οι ολοκληρωτέοι παράγοντες

μηδενίζονται , άρα μας ενδιαφέρει τι γίνεται αν α αυξάνεται . Παρατηρώ ότι η

συνάρτηση 2- αV(α)e g τείνει προς το 0 ταχύτερα από τους υπολοίπους παράγοντες

καθώς το α αυξάνεται , άρα αρκεί να απαιτήσω το ΜΑΧα g⋅ = Μ ( όπου Μ=10 λχ ,

ώστε να εμφανίζεται μείωση της τάσεως του -30e ), άρα ΜΑΧ15αg

= , και η ολοκλήρωση

μπορεί να γίνει στο διάστημα , 15 15[ , ]g g

− . Ο παράγων Δα καθορίζει το μήκος

επανάληψης της διάταξης , δηλαδή για το συγκεκριμένο παράδειγμα όπου η διάταξη έχει

μήκος 2·x0 αρκεί το 0 0

1 150 (2 ) 100x x

αΔ = =⋅ ⋅ ⋅

.

Άρα λαμβάνω Ν σημεία διάμερισης όπου

0

0

30

3000 100001100

xgg

x

Ν ≅ = ⋅ =

⋅

196

Και επομένως στο MATLAB μπορώ να γράψω ότι το α είναι ένα διάνυσμα με

10000 τιμές στο διάστημα 15 15[ , ]g g

− ως εξής .

Α=linspace( 015 15, ,3000 xg g g

− ⋅ )

Οι ολοκληρωτέoι παράγοντες 1( )D α , 1( )L α αντίστοιχα λαμβάνουν τιμές

συνάρτησει του α, και τα ολοκληρώματα υπολογίζονται ως άθροισμα από την σχέση : N

1n=1

ΔαD=y ( ( ))2π

D nα∑

N

1n=1

ΔαL=y ( ( ))2π

L nα∑

Χρησιμοποιώντας ένα απλό πρόγραμμα στο MΑΤΛΑΒ υπολογιστήκαν τα D,L για

150 τιμες της 1 150 / secmυ = ÷ και τα αποτελέσματα φαίνονται στο σχήμα 86 που

ακολουθεί.

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 104

speed in m/sec

Dra

g an

d Li

ft fo

rces

in N

t

ΣΧΗΜΑ 86

197

Για 150 / secmυ = θα είναι LL=47767Nt, D=1671Nt, 28,58D=

Παράδειγμα 16

Να υπολογιστεί η δύναμη ανάρτησης L ηλεκτροδυναμικού συστήματος με

δευτερεύον όπως στο προηγούμενο παράδειγμα και πρωτεύον αποτελούμενο από δυο

υπεραγωγιμες σπείρες 1m x 1m , σε απόσταση Δ μεταξύ τους για ταχύτητα

150 / secmυ = .

Εάν οι σπείρες έχουν ομοροπα ρεύματα η διέγερση τους θα είναι: 0

0 0 0( ) 4 j α I sin(α x ) cos( ( / 2))V a a x= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Δ

Εάν έχουν αντίρροπα ρεύματα θα είναι : 0

0 0 0'( ) 4 j α I sin(α x ) sin( ( / 2))V a a x= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + Δ

Ακολουθώντας την προηγούμενη μέθοδο υπολογίστηκαν οι δυνάμεις ανάρτησης

συνάρτησης του Δ οι οποίες φαίνονται στο σχήμα 87 που ακολουθεί :

0 0.5 1 1.5 2 2.5 35

6

7

8

9

10

11

12

13

14x 104

superconducting loop distance in m

Lift

forc

e in

Nt

ΣΧΗΜΑ 87

198

Ας σημειωθεί ότι ο λόγος L/D είναι πρακτικά ανεξάρτητος του Δ και περίπου ίσος

προς 30.

Παρατηρούμε ότι η δύναμη ανάρτησης της δεύτερης διάταξης είναι σαφώς

μεγαλύτερη της πρώτης . Μια ερμηνεία για το θέμα αυτό θα δοθεί στην συνέχεια στην

παράγραφο 7.5 .

Ας σημειωθεί ότι στο διδιάστατο μοντέλο τα δινορεύματα αναπτύσσονται στην

κατεύθυνση y. Άρα το συνεχές αγώγιμο στρώμα στο δευτερεύον μπορεί ν

αντικατασταθει από ένα σύνολο επάλληλων ορθογωνικών σπειρών οι οποίες

αναπτύσσονται κατά μήκος του άξονα χ.

Η άνω πλευρά των σπειρών αυτών θα είναι ισοδύναμη με ένα επίπεδο αγώγιμο

στρώμα. Το πάχος του στρώματος είναι όσο το πάχος κάθε σπείρας (εάν έχει ορθογωνική

διατομή), και η αγωγιμότητα του στρώματος θα είναι περίπου ανάλογη του α

ολ

lσl

όπου

αl = το άνω μήκος σπείρας, ολl = το ολικό μήκος της σπείρας και σ= η αγωγιμότητα του

υλικού της σπείρας.

7.4 ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΗΛΕΚΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ

Το διδιάστατο μοντέλο που χρησιμοποιήθηκε για τη μελέτη των ευθύγραμμων

επαγωγικών συστημάτων, δίδει αρκετά ικανοποιητικά αποτελέσματα στη μελέτη του

ευθύγραμμου επαγωγικού κινητήρα. Το ίδιο ισχύει και για τους υπόλοιπους

ευθύγραμμους κινητήρες ωθήσεως, όπως τον σύγχρονο. Εν τούτοις η χρήση του

διδιάστατου μοντέλου μελέτης για τα συστήματα ηλεκτροδυναμικής ανάρτησης, δεν

δίδει ικανοποιητικά αποτελέσματα, αφού συνήθως τα "υπεραγώγιμα" πλαίσια είναι

ορθογώνια, πεπερασμένου πλάτους δηλαδή δεν μπορούμε να υποθέσουμε ότι / 0y∂ ∂ = .

Έτσι πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για την ακριβέστερη μελέτη τους διδιάστατους

Μ/μους Fourier, εισάγοντας και την μεταβλητή β (κυματαριθμό στην κατεύθυνση y).

Τα βασικό τρισδιάστατο μοντέλο της περιπτώσεως αυτής φαίνεται στο σχήμα 88.

199

ΣΧΗΜΑ 88

Έστω λοιπόν ότι ένα υπεραγώγιμο πλαίσιο κινείται με ταχύτητα υ στην κατεύθυνση

x. Το πλαίσιο είναι εν γένει ένας κλειστός ρευματοφόρος αγωγός με ρεύμα Ι0 που

ορίζεται, κατά προσέγγιση από μια τεθλασμένη πολυγωνική γραμμή οριζόμενη από τα

σημεία Αι, Α2,…..,ΑΝ όπου το σημείο Ακ έχει συντεταγμένες (xκ,yκ,zκ).

Το πλαίσιο βρίσκεται υπεράνω ενός αγώγιμου επίπεδου στρώματος πάχους d και

αγωγιμότητας σ, το οποίο εν γένει θεωρείται ότι έχει άπειρες διαστάσεις κατά τους

άξονες x και y. Για λόγους απλοποίησης η άνω επιφάνεια του επίπεδου αγώγιμου αυτού

στρώματος λαμβάνεται στη θέση z=0, άρα zκ >0 για κάθε Ακ .

Το ισοδύναμο μοντέλο μελέτης του ηλεκτροδυναμικού αυτού συστήματος στο

χώρο των τρισδιάστατων Μ/μών Fourier παραμένει βασικά το ίδιο, με το αυτό του

σχήματος 85 το οποίο όπως προαναφέρθηκε μετατρέπεται προς το ακόλουθο κύκλωμα

του σχήματος 89.

200

ΣΧΗΜΑ 89

Όπου: 0 0

0 A Cολ 0

Α0

C

+ tanh( )

1+ tanh( d)

Z Z dZZ

Z

γ

γ

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

(157)

Με: 0

0j μA

AZ γ=

⋅, 2 2

Α γ = α +β

και : 0

0j μCZ γ=

⋅, 2 2

0γ = α +β +j μ σ α υ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Άρα: 0

0 10 0

A ολ

(α,β)I (α,β)=+

V

Z Z (158)

και: 0 0

ο 0 0 ολ10 0ολ

A ολ

(α,β)V (α,β)= (α,β)+

V ZI ZZ Z

⋅⋅ = (159)

201

Η ανηγμένη διέγερση στην επίπεδη επιφάνεια άνωθεν του αγώγιμου στρώματος

πάχους d (που δηλώνεται με τα σημεία ΑΒ στο κύκλωμα) μπορεί ν’ αποδειχτεί ότι

δίδεται από τη σχέση: Ν-10

11 0 2 2

κ=1

( ) ( )(α,β)=Ι j y xVx y a zκ κ κ κ

κ κ κ

α βα β β

+Γ −Γ ⋅ Δ − Δ⋅

Δ + Δ − + ⋅Δ∑ (160)

Όπου: Ν το πρώτο και το τελευταίο σημείο της κλειστής υπεραγώγιμης σπείρας .

1 1,x x x y y yκ κ κ κ κ κ+ +Δ = − Δ = −

1z z zκ κ κ+Δ = − (τα z μετρώνται από το επίπεδο ΑΒ)

2 2exp( )j a x j y a zκ κ κ κβ βΓ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅

Εάν η υπεραγώγιμη σπείρα βρίσκεται σε επίπεδο παράλληλο προς τα ΑΒ και σε

απόσταση z θα είναι z zκ = για κάθε κ άρα:

2 2Ν-10

1 11 0

κ=1

(exp[ ( )] exp[ ( )]) ( )(α,β)=Ι a Z j ax y j ax z y xV ex y

β κ κ κ κ κ κ

κ κ

β β α βα β

− + ⋅ + ++ − + ⋅ Δ − ΔΔ + Δ∑ (

161)

Και: 0 0 0

ολAB 1(α,β)= V (α,β)V Z⋅

Παράδειγμα 17

Να υπολογιστεί η ισοδύναμη τάση επίπεδης ορθογώνιας υπεραγώγιμης σπείρας με

πλευρές 2x0,2y0 παράλληλες προς τους άξονες χ και υ, που διαρέεται από ρεύμα Ι0 και

απέχει απόσταση g από την άνω επιφάνεια αγώγιμου στρώματος πάχους d, αγωγιμότητας

σ.

Η σπείρα μπορεί να περιγράφει από τα ακόλουθα 5 σημεία :

1 1 0 0( , ) ( , ),x y x y= 2 2 0 0( , ) ( , ),x y x y= − 3 3 0 0( , ) ( , ),x y x y= − − 4 4 0 0( , ) ( , ),x y x y= −

και 5 5 0 0( , ) ( , )x y x y= .

Αρα 1 0 2 3 0 42 , 0, 2 , 0x x x x x xΔ = − Δ = Δ = Δ =

1 2 0 3 4 00, 2 , 0, 2y y y y y yΔ = Δ = − Δ = Δ =

1 0 0 2 0 0exp( ), exp( ),jax j y jax j yβ βΓ = + Γ = − +

3 0 0 4 0 0exp( ), exp( )jax j y jax j yβ βΓ = − − Γ = −

202

5 1Γ = Γ .

2 1 0 0( ) exp( ) 2sin( )j j y axβΓ −Γ = ⋅

3 2 0 0( ) exp( ) 2sin( )j jax yβΓ −Γ = − ⋅

4 3 0 0( ) exp( ) 2sin( )j j y xβ αΓ −Γ = − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

5 4 0 0( ) exp( ) 2sin( )j j a x yβΓ −Γ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Άρα 0

1 0 0 0 0(α,β)=A[exp( ) 2sin( ) ( ) exp( ) 2sin( ) ( )V j y ax j x yβ αβ α βα β

⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ +

0 0 0 0exp( ) 2sin( ) ( ) exp( ) 2sin( ) ( )]j y ax j x yβ αβ α βα β

+ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Ήτοι: 0

1 0 0 0(α,β)=A[-2sin(αx ) (exp( ) exp( )) ( )V j y j y ββ βα

⋅ − − ⋅ −

0 0 02sin( )(exp( ) exp( ) ( )]y j x j x αβ α αβ

− − − ⋅

0

1 0 0 0 0(α,β)=-4A j [sin(αx ) sin( ) ( ) sin( ) sin( ) ( )]V y y xβ αβ β αα β

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

Τελικά: 2 20

1 0 0(α,β)=-4 A j sin(α x ) sin( ) [ ]aV y ββα β+

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅

(162)

Όπου: 2 2

0a ge β− + ⋅Α = Ι ⋅

Οι συναρτήσεις 0( , )A α β και

0( , )A x y (διαφορετικές μιγαδικές συναρτήσεις με

διαφορετικές μεταβλητές) είναι ένα Ζεύγος διδιάστατων Μ/μών Fourier με

κυματαριθμούς α, β στις κατευθύνσεις x και y αν ισχύουν οι σχέσεις: 0 0

( )2

dα dβA (x,y)= A (α,β)4 π

j a x b ye+∞ +∞

⋅ ⋅ + ⋅

−∞ −∞

⋅⋅

⋅∫ ∫

0 0( )A (α,β)= A (x,y) j a x b ye dx dy

+∞ +∞− ⋅ ⋅ + ⋅

−∞ −∞

⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

203

Εάν σε ένα ισοδύναμο κύκλωμα γνωρίζω την ισοδύναμη πηγή τάσεως 0( , )V α β και

το αντίστοιχο ρεύμα 0( , )I α β μπορούν να προσδιοριστούν οι δυνάμεις ανάσχεσης D και

ανάρτησης L από τα παρακάτω ολοκληρώματα:

*+ + 0 0

AB2 2 2- -

dα dβD=Real[ ( , ) V ( , ) ]α 4 π

Iα α β α ββ

∞ ∞

∞ ∞

⋅⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅∫ ∫ (163)

2 20 0

AB+ +

0 2 2 2 20- -

( , ) ( , )1 dα dβL= μ [ ]2 α μ 4 π

V Iα β α β

β

∞ ∞

∞ ∞

⋅⋅ ⋅ − ⋅

+ ⋅∫ ∫ (164)

Παράδειγμα 18

Να υπολογιστούν με τρισδιάστατους Μ/μους οι δυνάμεις D,L και ο λόγος L/D σε

ηλεκτροδυναμικό σύστημα ανάρτησης με τα χαρακτηριστικά (πρωτεύον, δευτερεύον,

διάκενο) του παραδείγματος 1.δηλαδη 0 02x =1m, 2y =1m, d=1cm,

70σ=3.6 10 / , g=15 cm, I 200000S m A⋅ = και σχετική ταχύτητα πρωτεύοντος

δευτερεύοντος υ=150 m/sec.

H ανοιγμένη τάση στο επίπεδο ΑΒ δίδεται από την σχέση :

2 22 20

1 0 0 0(α,β)=-4 I sin(α x ) sin( ) [ ]a g aV e yβ ββαβ

− + ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

00 1

0 0

A ολ

(α,β)(α,β)= VIZ Z+

0 00 ολ1ΑΒ 0 0

A ολ

(α,β)V ZVZ Z

⋅=

+

*

20+ + + +01

ολ 10 0 2 2 2 2- - - -A ολ

(α,β) dα dβ dα dβD= Real(Z ) (α,β)α 4 π 4 π+ Z

V DZ

αβ

∞ ∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

+ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫

2020 ολ+ + + +

10 10 0 2 2 2 2 2

0- - - -A ολ

1 (α,β) 1 dα dβ dα dβL= μ ( - ) (α,β)2 α +β μ 4 π 4 π+

ZV LZ Z

∞ ∞ ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞

⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅

⋅ ⋅∫ ∫ ∫ ∫

204

η ακρίβεια στον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων εξαρτάται από την επιλογή του

διαστήματος ολοκλήρωσης β β βΜ Μ− ≤ ≤ + , α α αΜ Μ− ≤ ≤ + (δηλαδή των αΜ ,βΜ )και

της διαμερισης Δα, Δβ.

Ακολουθώντας την λογική των απλών Μετασχηματισμών Fourier μια εύλογη

επιλογή είναι η ακόλουθη :

Μ0

15 1α = , Δα=g 100x

διαμεριση σε 03000 xg

σημεια)

Μ0 0

10 1β = , Δβ=y 20y

διαμεριση σε 400 σημεια )

Άρα στο MATLAB θα είναι:

0α

15 15( , ,3000 N )g g

xa linspaceg

= − =

β0 0

10 10( , , 400 N )y y

linspaceβ = − =

2

Δα Δβ4π⋅

ΔΔ =

Οι ολοκληρωτέοι παράγοντες 1(α,β)D , 1(α,β)L γίνονται διδιάστατα ανύσματα και

τα ολοκληρώματα γίνονται κατά προσέγγιση ίσα προς : βα NN

1κ=1 ν=1

D= ( , ) ( )D κ να β ⋅ ΔΔ∑∑

βα NN

1κ=1 ν=1

L= ( , ) ( )L κ να β ⋅ ΔΔ∑∑

Ο υπολογισμός για το συγκεκριμένο παράδειγμα έδωσε τις ακόλουθες τιμές για

υ=150 m/sec.

L=70756 Nt, D=2363 Nt, L =29,93D

Η τρισδιάστατη ανάλυση έδωσε διαφορετικά αποτελέσματα για τα L,D από αυτά

της διδιάστατης ανάλυσης και σχετικά παρόμοια τιμή για τον λόγο LD

.

205

Όπως θα δούμε στη συνεχεία στα συστήματα ηλεκτροδυναμικής ανάρτησης το

σπουδαίο μέγεθος είναι ο λόγος LD

. Τουλάχιστον για αυτό το μέγεθος η διδιαστατη

ανάλυση δίδει ικανοποιητικά αποτελέσματα ενώ υποεκτιμά τις δυνάμεις L,D:

47767 Nt έναντι 70756 Νt για το L

1671 Nt έναντι 2363 Nt για το D.

Το γιατί γίνεται αυτό θα το δούμε στην επόμενη παράγραφο.

7.5 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΗΛΕΚΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΩΝ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Αν υποθέσουμε ότι το αγώγιμο στρώμα έχει πολύ μεγάλη αγωγιμότητα (είναι

υπεραγώγιμη) τότε οι μαγνητικές γραμμές είναι παράλληλες προς το επίπεδο αυτό. Άρα

στην θέση του επιπέδου μπορούμε να θεωρήσουμε ισοδύναμα μια συμμετρική διέγερση

(είδωλο) σε απόσταση g. Το πεδίο που δημιουργείται είναι ίδιο ακριβώς άρα και οι

δυνάμεις που ασκούνται στην διέγερση μπορούν να υπολογιστούν από το ισοδύναμο

μοντέλο. Ας υποθέσουμε λ.χ. ότι έχουμε δυο αγωγούς (πλαίσιο απείρου μήκους- δηλαδή

διδιαστατη διέγερση) σε απόσταση 2x0 μεταξύ τους , και λόγο του κατοπτρικού

μοντέλου, σε απόσταση 2g βρίσκονται τα είδωλα τους όπως στο σχήμα 90 :

ΣΧΗΜΑ 90

206

Ο άπειρος αγωγός που φέρει το ρεύμα +Ι0 δέχεται μια απωστική δύναμη από τον

κατοπτρικό άπειρο αγωγό –I0 . Η δύναμη αυτή υπολογίζεται ανά m πλάτους από την την

γνωστή σχέση : 2

0 01

μ IF =4 π g⋅⋅ ⋅

.

Δέχεται επίσης μια ελκτική δύναμη από τον άλλο κατοπτρικό αγωγό +Ι0 ίση ανά m

πλάτους. 2

0 02 2 2

0

μ IF =4 π x +g

⋅

⋅ ⋅, της οποίας η κάθετος ελκτική συνιστώσα είναι ίση

προς: 2

0 02 2 2

0

μ IF cosφ=4 π (x +g )

g⋅ ⋅⋅ ⋅

Άρα η συνολική απωστική δύναμη επί του ενός αγωγού ίση προς 2 2 2

0 0 0 0 02 2 2 2

0 0

μ I μ I x1( )4 π x +g 4 π (x +g )

gg g

⋅ ⋅− =

⋅ ⋅ ⋅

Επί όλου του πλαισίου η δύναμη θα είναι διπλάσια δηλαδή : 2

2 00 0 2 2

0

x1 μ I2 (x +g )

Lgπ

= ⋅ ⋅⋅ ⋅

.

Εάν x0=0,05m, g=0,15m, I0=200000A η L θα ισούται προς 48930Νt.

Τιμή η οποία απέχει 2,4% από την υπολογισθείσα τιμή 477767Νt ανά m πλάτους

από κινούμενο πλαίσιο (με ταχύτητα 150 m/sec) υπεράνω του αγώγιμου στρώματος με

αγωγιμότητα 7σ 3,6 10 /S m= ⋅ .

Βλέπουμε λοιπόν ότι για μεγάλες ταχύτητες η απωστική δύναμη του

ηλεκτροδυναμικού συστήματος μπορεί κατά προσέγγιση να μελετηθεί με την βοήθεια

του κατοπτρικού μοντέλου.

Με τη βοήθεια του κατοπτρικού μοντέλου γίνεται φανερό για πιο λόγο το

ηλεκτροδυναμικό σύστημα με δυο πλαίσια (αντίρροπα) έχει μεγαλύτερη δύναμη

ανάρτησης L από το αντίστοιχο με ομόρροπα πλαίσια (βλέπε σχήμα 91):

207

ΣΧΗΜΑ 91

Το μοντέλο με τα είδωλα (για μεγάλα γινόμενα υ·σ) ισχύει και για τα τρισδιάστατα

μοντέλα.

Με τη βοήθεια του μοντέλου των ειδώλων μπορούμε να εξηγήσουμε γιατί με το

τρισδιάστατο μοντέλο η δύναμη ανάρτησης L ήταν μεγαλύτερη από την δύναμη

ανάρτησης υπολογιζόμενη ανά m πλάτος με το διδιαστατο μοντέλο.

Είναι φανερό ότι με το διδιαστατο μοντέλο υπολογίζομε μόνο τις αντίστοιχες

δυνάμεις μεταξύ των αγωγού που αναπτύσσονται κατά τον άξονα y. Ενώ στο

τρισδιάστατο μοντέλο συνυπολογίζονται και οι δυνάμεις από τους εγκαρσίους αγωγούς

του πλαισίου που αναπτύσσονται κατά τον άξονα χ.

Βλέπε σχήμα 92.

208

ΣΧΗΜΑ 92

Διδιαστατο μοντέλο υπολογίζει τις απωστικές δυνάμεις επί των αγωγών ΑΒ, ΓΔ.

Τρισδιάστατο μοντέλο συνυπολογίζει και τις απωστικες δυνάμεις επί των αγωγών ΒΓ και

ΔΑ.

7.6 ΗΛΕΚΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΕΣ

Η κινουμένη υπεραγώγιμη σπείρα σχετικά με το αγώγιμο φύλλο του δευτερεύοντος

είναι ισοδύναμη με ένα μαγνήτη. Μπορούμε αντί υπεραγωγού να χρησιμοποιήσουμε ένα

ηλεκτρομαγνήτη. Η σωστή επιλογή για ευθύγραμμες διατάξεις , είναι η διασπορά του

τυλίγματος σε όλο το μήκος του ηλεκτρομαγνήτη. Έτσι η διέγερση του πρωτεύοντος θα

είναι όπως στο σχήμα 93:

209

ΣΧΗΜΑ 93

Κατά προσέγγιση η διέγερση αυτή θα έχει ισοδύναμη γραμμική πυκνότητα

ρεύματος που δίδεται από την σχέση 0

0

N IJ=2 x⋅⋅

όπου Ν το σύνολο αγωγών του τυλίγματος

, Ι0 το ρεύμα που τους διαρρέει. Η πυκνότητα J είναι αρνητική μετά το μέσον της

διάταξης, άρα η ισοδύναμη τάση της διέγερσης αυτής θα είναι ίση προς :

0 00

02 2

2 sin( )2V (α)=α J [ ]

x xj a j a

xae e

a+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅ −

Άρα 0

2 20 0 0

0

4 Ν Ι j4 jV (α)=α J sin ( ) sin ( )α 2 χ 2

x xa a⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

Το ισοδύναμο κύκλωμα της διάταξης φαίνεται στο σχήμα 94 που ακολουθεί .

210

ΣΧΗΜΑ 94

Όπου : 0 0

0 A Cολ 0

Α0

C

+ tanh( )

1+ tanh( d)

Z Z dZZ

Z

γ

γ

⋅ ⋅=

⋅ ⋅

.

Το κύκλωμα αυτό μπορεί κατά Thevenin να γίνει ισοδύναμο οπως στο παρακάτω

σχήμα 95 :

211

ΣΧΗΜΑ 95

Όπου 0

0

12

V (α)(α)=g α

cosh ( )2

V⋅

Άρα 0

0 10 0

ολ A

(α)I (α)=+ Z tanh(g α )

V

Z ⋅ ⋅

0 0 0

ολΑΒ (α)V I Z= ⋅

Οι δυνάμεις L, και D ανά m πλάτους πρωτεύοντος υπολογίζονται από τα γνωστά

ολοκληρώματα : *0 0

+ +ΑΒ

1- -

I (α) (α) dα dαReal ( )2π 2π

VD D αα

∞ ∞

∞ ∞

⋅= ⋅ = ⋅∫ ∫

2 20 0

AB+ +

0 12 20- -

I (α)1 dα dαL= μ [ ] ( )2 α μ 2π 2π

VL α

∞ ∞

∞ ∞

⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅∫ ∫

Παράδειγμα 19

Ηλεκτρομαγνήτης πλάτους 1m φέρει Ν=2000 αγωγούς τοποθετημένους σε αύλακες

σιδηρού φέροντας ρεύμα 10Α έκαστος. Το μήκος του ηλεκτρομαγνήτη είναι 2x0=1m. Ο

212

ηλεκτρομαγνήτης κινείται με ταχύτητα υ παράλληλα προς αγώγιμο φύλλο πάχους 1cm

και αγωγιμότητας 7σ = 3 .6 1 0 S /m⋅ , σε απόσταση g=15 cm απ’ αυτόν.

Να προσδιοριστούν :

• Οι συναρτήσεις L(υ), D(υ) για 0 150 / secmυ≤ ≤ .

• Ο λόγος L/D για 150 / secmυ = .

Λύση :

Πρέπει να υπολογιστούν αριθμητικά τα προηγούμενα ολοκληρώματα. Λόγο της

μορφής του αρκεί να υπολογιστούν σε κάποιο διάστημα α α αΝ Ν− ≤ ≤ + για διαμέριση

Δα.

Όπως προηγουμένως λαμβάνω Ν0

15 1α = , Δα=g 100 x⋅

άρα τα σημεία διαμερισης θα

είναι Ν 02 α3000 ( ) 1

Δαxgα

⋅Ν = = ⋅ + .

Έτσι το α είναι διάνυσμα που στο MATLAB δίδεται από την σχέση :

α15 15( , , N )g g

a linspace= − αα=α(κ), κ=1 εως Ν .

Για τις Να τιμές του α(κ) οι ολοκληρωτέoι παράγοντες παίρνουν τις αντίστοιχες

τιμές : αN

1κ=1

ΔαD= ( ( ))2π

D α κ∑

αN

1κ=1

ΔαL= ( ( ))2π

L α κ∑

Ο υπολογισμός έδωσε για τιμές υ=1,2,……,150 τα αντίστοιχα D,L όπως φαίνεται

στο σχήμα 96 που ακολουθεί:

213

0 50 100 1500

10

20

30

40

50

60

70

speed in m/sec

Dra

g an

d Li

ft fo

rces

in N

t

ΣΧΗΜΑ 96

Για υ=150m/sec - L/D=27.6, L=62.5 Nt, D=2.26 Nt

Εάν αντί για 5000 αγωγούς με 10 Α ρεύμα είχαμε 2 υπεραγωγούς με 25000Α ( ίδιο

γινόμενο) για υ=150m/sec θα ήταν

- L/D=28.57, L=746 Nt, D=26 Nt

Δηλαδή οι υπεραγωγοί δημιουργούν για τα ιδία αμπερελίγματα περίπου 10πλασια

ανάρτηση L. Αυτό οφείλεται και στην διασπορά των τυλιγμάτων των σιδηρομαγνητών

και στην υποστήριξη σιδηρού.

Παρατηρούμε ότι το L/D για υ=150m/sec είναι πάλι κοντά στο 30, όπως και

στους υπεραγωγους. Για την ‘σύμπτωση’ αυτή που δεν είναι καθόλου τυχαία θα

μιλήσουμε στην επόμενη παράγραφο.

Το σύστημα ηλεκτροδυναμικής ανάρτησης μπορεί να λειτουργήσει επίσης αν στη

θέση των σιδηρομαγνητών χρησιμοποιηθούν μόνιμοι μαγνήτες. Συνήθως αυτοί

τοποθετούνται στην διάταξη του σχήματος 97 που ακολουθεί.

214

ΣΧΗΜΑ 97

Η διάταξη αυτή ονομάζεται διάταξη HALBACH και έχει την ιδιότητα να

δημιουργεί ισχυρό μαγνητικό πεδίο στο κάτω μέρος της και αμελητέο στο πάνω.

Η διάταξη του σχήματος 97 λχ. αποτελείται από 4 κατακόρυφους διαδοχικούς

μόνιμους μαγνήτες(κατ΄εναλλαγή των πολικοτήτων τους) και 5 οριζοντιους (ομοίως κατ’

εναλλαγήν ). Το ισοδύναμο Ν·Ι0 κάθε ηλεκτρομαγνήτη καθορίζεται από τις διαστάσεις

και την χαρακτηριστική των ηλεκτρομαγνητών. Λεπτομερέστερη παρουσίαση όλων των

μορφών απωστικών ηλεκτροδυναμικών συστημάτων με μόνιμους μαγνήτες θα αναλυθεί

σε επόμενο κεφάλαιο.

7.7 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ L/D

Ο λόγος LD

, δηλαδή ο λόγος μεταξύ της δύναμης ανάρτησης προς τη δύναμη

ανάσχεσης, είναι κατά κάποιο τρόπο ένα μέτρο της «ενεργειακής» ποιότητας του

συστήματος ανάρτησης. Είναι προφανές ότι το L θα ισούται προς το βάρος του

ηλεκτρομαγνητικά αναρτημένου οχήματος, ενώ το γινόμενο υ D⋅ είναι ίσο προς την

ισχύ των απωλειών του συστήματος. Άρα, όσο μεγαλύτερος είναι ο λόγος LD

τόσο

μικρότερη είναι η ισχύς που καταναλώνεται για τη λειτουργία του συστήματος

ηλεκτρομαγνητικής ανάρτησης.

Όλα τα ηλεκτροδυναμικά συστήματα έχουν κοινά χαρακτηριστικά, δηλαδή το

τελικό ισοδύναμο τους κύκλωμα στο χώρο Fourier (τρισδιάστατο μοντέλο) δίδεται στο

σχήμα 98 πού ακολουθεί :

215

ΣΧΗΜΑ 98

Εφόσον υποθέσαμε ότι το αγώγιμο στρώμα είναι λεπτό, για μεγάλες ταχύτητες

μπορώ να υποθέσω ότι είναι ισοδύναμο προς αντίσταση ίση προς σdω΄=σdαυ . Άρα, το

ισοδύναμο κύκλωμα γίνεται όπως στο σχήμα 99 πού ακολουθεί :

ΣΧΗΜΑ 99

216

Άρα :

( )2 2o o

AB

ο

α +βV I α,β σ α υ d+

j μ

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

( )2 2* *o o

AB

ο

j α +βV I α,β σ α υ d+

μ

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Άρα, τα ολοκληρώματα που υπολογίζουν τα D, L

( )0 0

AB

2 2

α ( , ) α,β dα dβD=Realα +β 2π 2π

V Iα β∗

+∞ +∞

−∞ −∞

⋅ ⋅⋅ ⋅∫ ∫

( )20

2ABο

2 2 2

( , ) Ι α,βμ dα dβL=2 α 2π 2π

V

ο

α β

β μ

+∞ +∞

−∞ −∞

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ − ⋅ ⋅

+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

Μετατρέπονται στα :

( )2 2 20

2 2ο

j α +βα dα dβD= α,β Real σ α υ d+α +β μ 2π 2π

I+∞ +∞

−∞ −∞

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

ήτοι :

( )20

2

2 2

α α,βdα dβD=σ υ d

α +β 2π 2π

I+∞ +∞

−∞ −∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

και :

( ) ( ) ( )2 2 20 2

22οο

2 2 2ο

α +βα,β σ α υ dI α,βμμ dα dβL=

2 α +β μ 2π 2π

I+∞ +∞

−∞ −∞

⎡ ⎤⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⋅ − ⋅ ⋅⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

ήτοι :

( )( )

202

2ο2 2

α α,βμ dα dβL= σ υ d2 α +β 2π 2π

I+∞ +∞

−∞ −∞

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

Άρα :

217

( )2ομ σ υ dL 2=D σ υ d

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ και επομένως:

ομ σ υ d2

LD

⋅ ⋅ ⋅= (165)

Αποδείχθηκε, λοιπόν, ότι με μόνη την προσέγγιση του λεπτού αγώγιμου

φύλλου, ο λόγος LD

είναι ανεξάρτητος της διέγερσης του πρωτεύοντος (υπεραγωγοί,

ηλεκτρομαγνήτες, 2-D ή 3-D ανάλυση).

Παραδειγμα 20

Ένα ηλεκτροδυναμικό σύστημα ανάρτησης έχει d = 1 cm, 7σ = 3.6 10 /S m⋅ ,

-7ο

vsecμ = 4π 10A m

⋅⋅

και υ = 150 m/sec. Να προσδιοριστεί ο λόγος LD

και οι απώλειες

ανάσχεσης αν το βάρος του οχήματος είναι 170.000 Nt ( )17 ton∼ .

Θα είναι : L/D= 4·π·3.6·1.5/2=10.8·π = 34

Επειδή το βαρος του οχήματος και η δύναμη ανάρτησης είναι ίσα θα είναι:

L = 170.000 Nt. Τότε η D θα είναι ίση προς :

L 170000D= = =5000Nt34 34

Άρα, οι απώλειες ανάσχεσης είναι υ D=5000Nt 150m/sec=750kW⋅ ⋅

Ας υποθέσουμε ότι το όχημα αυτό ταξιδεύει περίπου 1 ώρα (διανύοντας περίπου

500 km), τότε θα έχει καταναλώσει 750 kWh. Εάν μεταφέρει περίπου 100 επιβάτες, κάθε

επιβάτης για την μετακίνηση του θα χρειάζεται μόνο για ηλεκτρομαγνητική ανάρτηση

7.5 kWh.

Για τρέχουσα τιμή kWh (2008, Ελλάδα, περίπου 0.08 EURO) κάθε επιβάτης

πρέπει να επιβαρυνθεί με 0.6 EURO/500 km.

Το ποσόν αυτό είναι πρακτικά αμελητέο μια και ένας λογικός ναύλος για μια

διαδρομή 500 km (με την άνεση και ασφάλεια του Maglev) θα πρέπει να είναι

τουλάχιστον 60 EURO.

218

7.8 ΗΛΕΚΤΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΔΕΥΤΕΡΕΥΟΝ

ΒΡΑΧΥΚΥΚΛΩΜΕΝΕΣ ΑΓΩΓΙΜΕΣ ΣΠΕΙΡΩΝ

Σε μερικά ηλεκτροδυναμικά απωστικά συστήματα το δευτερεύον αποτελείται από

μια σειρά διαδοχικών βραχυκυκλωμένων αγώγιμων σπειρών κατά μήκος της διαδρομής.

Το πρωτεύον είναι συνήθως μια σειρά υπεραγωγών επί του σχήματος. Το πρωτεύον με

την κίνησή του με ταχύτητα υ δημιουργεί επαγωγικά ρεύματα στις βραχυκυκλωμένες

αγώγιμες σπείρες του δευτερεύοντος. Σύμφωνα με τον κανόνα του Lentz θα

δημιουργούνται μεταξύ πρωτεύοντος και δευτερεύοντος δυνάμεις των οποίων η δράση

θα μπορούσε να εξουδετερώσει το αίτιο της δημιουργίας των επαγωγικών δυνάμεων.

Κατ’ αρχήν, λοιπόν, δημιουργούνται δυνάμεις ανάσχεσης (D) των οποίων η

δράση αντιτίθεται στην ταχύτητα υ. Επίσης, θα δημιουργηθούν δυνάμεις ανάρτησης των

οποίων η δράση στοχεύει στην απομάκρυνση πρωτεύοντος-δευτερεύοντος ώστε να

περιοριστεί η επαγωγική αλληλεπίδρασή τους. Είναι πιθανών για μια ειδική κατηγορία

σπειρών δευτερεύοντος να δημιουργηθούν πλάγιες δυνάμεις (Fy), οι οποίες στοχεύουν

να φέρουν σε αντισυμμετρική θέση το πρωτεύον και το δευτερεύον ώστε η μαγνητική

ενέργεια του δευτερεύοντος να ελαχιστοποιηθεί (ή να μηδενιστεί).

Για τη θεωρητική εξέταση αυτών των συστημάτων πρέπει κατ’ αρχήν να

μελετηθούν οι δυνάμεις μεταξύ δύο τουλάχιστον τυλιγμάτων (στον κενό χώρο) που

διαρρέονται από συνεχές ρεύμα.

Η μελέτη αυτή μπορεί να γίνει με δύο τρόπους :

α. Με τη μέθοδο του Newman.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο που δίνει την αλληλεπαγωγή μεταξύ των δύο

τυλιγμάτων (πρωτεύοντος-δευτερεύοντος). Η αλληλεπίδραση δίδεται από το διπλό

επικαμπύλιο ολοκλήρωμα :

1 2

ο 1 2

12

μ d dM=4π r

⋅⋅ ∫ ∫ (166)

όπου 1, 2 οι κλειστοί βρόχοι που περιγράφουν τα τυλίγματα πρωτεύοντος

δευτερεύοντος και r12 η αντίσταση μεταξύ των d 1 και d 2. Η Μ μπορεί να

219

προσδιοριστεί αριθμητικά αρκεί να δωθούν οι καμπύλες 1, 2 σαν ένα σύνολο από σημεία

με τις συντεταγμένες τους.

Λόγου χάριν η 1 κατά προσέγγιση από Ν σημεία ( )ν ν νν 1 Νχ ,y ,z , 1 ν Ν , ≤ ≤ =∑ ∑ ∑ ενώ η 2 κατά προσέγγιση από Μ σημεία

( )' ' 'm m mm

χ' ,y' ,z' , 1 m M , m m M

≤ ≤ =∑ ∑ ∑ ∑ .

Το 1,νd είναι ένα άνυσμα με συντεταγμένες ( )ν+1 ν+1 ν+1χ , y ,y z zν ν νχ− − − .

Το 2,md ομοίως με συντεταγμένες ( )m+1 m m+1 m m+1 mχ' ' , y' ' , ' 'y z zχ− − − και

( )( ) ( )( ) ( )( )1,ν 2,m ν+1 ν m+1 m ν+1 ν m+1 m ν+1 ν m+1 md d χ -χ χ' -χ' + y -y y' -y' + z -z z' -z'⋅ = ⎡ ⎤⎣ ⎦

λαμβάνει ( )( )1 1N M− − τιμές.

Ομοίως, η r12 θα λαμβάνει ( )( )1 1N M− − τιμές ως εξής :

2 2 2ν,m vm vm vmr = Δχ +Δy +Δz

όπου ν+1 ν m+1 mv,m

χ +χ χ +χΔχ -2 2

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

κ.τ.λ. για v,mΔy και v,mΔz .

Άρα το διπλό επικαμπύλιο ολοκλήρωμα αριθμητικά μετατρέπεται στο άθροισμα :

( )Ν-1 M-1

1 2ν=1 m=1 ν,m

1M= d dr

⋅∑∑

Ο υπολογισμός των δυνάμεων στον άξονα των χ γίνεται από τη σχέση :

χ 1 2F =Ιχ

∂ΜΙ

∂

Αριθμητικά η σχέση αυτή υπολογίζεται ανα θεωρήσουμε ότι τα χν αυξηθούν και

Δχ οπότε :

1 zM -Mχ Δχ

∂Μ≈

∂

όπου Μ1 η αρχική τιμή της αλληλεπαγωγής και Μ2 η τελική τιμή της μετά την

αύξηση των χν κατά Δχ, δηλαδή την μετακίνηση του τυλίγματος (1) και Δχ, κατά τον

άξονα χ. Κατά παρόμοιο τρόπο μπορεί αριθμητικά να υπολογιστεί η τιμή της Fy και Fz.

Το μειονέκτημα της μεθόδου αυτής είναι ότι ισχύει μόνο για τον κενό χώρο,

δηλαδή αν το κύκλωμα πρωτεύοντος ή δευτερεύοντος υποστηρίζονται από σίδηρο δεν

μπορεί να εφαρμοστεί.

220

β. με την μέθοδο των Μ/μων Fourier

Το πρωτεύον και το δευτερεύον (κάποια χρονική στιγμή) βρίσκονται σε κάποιες

μεταξύ τους θέσεις και μεταξύ τους υπάρχει κάποιο διάκενο αέρος.

Σε ένα αυθαίρετο επίπεδο ΑΒ που βρίσκεται στο διάκενο μεταξύ πρωτεύοντος-

δευτερεύοντος οι δυο διεγέρσεις έχουν ισοδύναμες τάσεις 0

1 (α,β)V , 0

2 (α,β)V . Εάν οι δυο

διεγέρσεις βρίσκονται στον αέρα το ισοδύναμο κύκλωμα στο χώρο Fourier είναι όπως

στο σχήμα 100 που ακολουθεί:

ΣΧΗΜΑ 100

Όπου: 2 20

A

0 0

α= cZj j

βμ μ+

=⋅ ⋅

Θα είναι λοιπόν : 0 0

0 1 20

( , ) ( , )( , )2

V a V aI aZ

β ββΑ

−=

⋅ (167)

221

Και : 0 0

0 2 1( , ) ( , )( , )2

V a V aV a β ββ += (168)

Άρα χρησιμοποιώντας τα γνωστά ολοκληρώματα που δίδουν τα D=FX, L=FZ και

κατά αναλογία FY θα είναι τελικά

( ) ( )0 0

01 23 2( , , )

2 4xda dF Jmag V a V a

cμ α ββ β

π

∞ ∞ ∗

−∞ −∞

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅∫ ∫ (169)

( ) ( )0 0

01 23 2( , , )

2 4yda dF Jmag V a V a

cμ β ββ β

π

∞ ∞ ∗

−∞ −∞

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅∫ ∫ (170)

( ) ( )0 0

01 22 2

1 Re ( , , )2 4z

da dF al V a V ac

μ ββ βπ

∞ ∞ ∗

−∞ −∞

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅∫ ∫ (171)

Για τον αριθμητικό υπολογισμό των FX, FZ, FY απαιτείται

• η εύρεση των ισοδύναμων αγώγιμων τάσεων στο επίπεδο ΑΒ

• και ο αριθμητικός υπολογισμός των ολοκληρωμάτων.

Έτσι η μέθοδος αυτή δεν είναι απλούστερη της μέθοδο Newman. Πλεονεκτεί

όμως κατά το ότι εάν ένα τύλιγμα (λ.χ. το τύλιγμα δευτερεύοντος υποστηρίζεται από

σίδηρο μπορεί να χρησιμοποιηθεί η μέθοδος αυτή με την κατάλληλη σχεδίαση του

αντίστοιχου ισοδύναμη στο χώρο Fourier)

Εάν περιοριστούμε στα συστήματα με υπεραγωγούς, που είναι και τα πιο πιθανά

υποψήφια συστήματα απωστικής ηλεκτροδυναμικής ανάρτησης, η μέθοδος Newman

είναι πιθανόν να οδηγεί σε ταχύτερους υπολογισμούς και πιο ακριβή αποτελέσματα για

τις δυνάμεις . Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι εάν χωρίσουμε σε σχετικά μικρά τμήματα

(Ν τμήματα ,Δ 1), (Μ τμήματα ,Δ 2) τα δύο τυλίγματα που αλληλεπιδρούν. Οι

υπολογισμοί των δυνάμεων οδηγούν σε ένα άθροισμα ( )M N× όρων και η διαφόριση σε

2×M×N όρους. Αντίστοιχα, εάν λόγω μορφολογίας των τυλιγμάτων μπορούν με

ικανοποιητική προσέγγιση να διαιρεθούν σε Ν1 και Μ1 ευθύγραμμα τμήματα, ώστε να

υπολογίσουμε τις ισοδύναμες τάσεις τους στο χώρο Fourier, το γινόμενο των τάσεων που

εμφανίζεται στα ολοκληρώματα έχει ( )1 1M N× όρους. Επιπλέον, η ολοκλήρωση ως προς

α και β απαιτεί ένα σημαντικό αριθμό όρων Να (για το α) και Νβ (για το β), άρα ο

222

υπολογισμός οδηγεί σε ένα άθροισμα ( )1 1 α βN M N× × ×Ν όρων που σαφώς είναι πολύ

περισσότεροι των ( )2 M N× × όρων της μεθόδου Newman. Εάν όμως η τάση είναι

γνωστή (π.χ. ορθογωνικά πλαίσια) ενδεχομένως οι όροι Να × Νβ, που απαιτούνται για

τον αριθμητικό υπολογισμό των δυνάμεων, να είναι λιγότεροι των αντίστοιχων όρων του

Newman 2×Μ×Ν.

Παράδειγμα 21

Να υπολογιστεί με τη μέθοδο των ισοδύναμων κυκλωμάτων οι δυνάμεις κατά

τους άξονες x, y, z μεταξύ δύο παραλλήλων επιπέδων τετράγωνων σπειρών με πλευρά

Δ=0.5 m όμοιων διαστάσεων, διαρρεόμενων από ίσα ρεύματα Ι = 1000 Α όταν η

απόσταση των επιπέδων τους είναι 2g = 0.4 m και τα κέντρα τους απέχουν αποστάσεις x0

= 0.1 m και y0 = 0.05 m, κατά τους άξονες x και y αντίστοιχα.

α) Μέθοδος ισοδύναμων κυκλωμάτων

Η 0

V 1(α,β) ανηγμένη στο μέσο επίπεδο είναι :

( ) ( )0

-g c1 α,β =F α,β e V ⋅⋅ όπου 2 2c= α +β (172)

Και: ( )2α Δ β Δ cF α,β =4 I sin sin

2 2 α β⋅ ⋅⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(173)

Η δε 0

V 2(α,β) ανηγμένη στο ίδιο επίπεδο είναι :

( ) ( ) ( )o o0

-j α x β y-g c2 α,β =F α,β e e V ⋅ ⋅ + ⋅⋅⋅ ⋅ (174)

Άρα, οι Fx, Fy, Fz μπορούν να υπολογιστούν από τα διπλά ολοκληρώματα :

( )οx x 2

μ dα dβF = f α,β2 4 π

+∞ +∞

−∞ −∞

⋅⋅ ⋅

⋅∫ ∫ , κ.τ.λ.

Για τον αριθμητικό υπολογισμό των ολοκληρωμάτων με το MATLAB π.χ.:

( )1 1 αα=limspace -α ,α ,Ν , δηλαδή το α λαμβάνει m διακριτές τιμές m = 1 έως Nα ,

αρχίζοντας απο την τιμή -α1 και καταλήγοντας στην τιμή α1

223

Ομοίως ( )1 1 ββ=limspace -β ,β ,Ν και το β n διακριτές τιμές n = 1 έως Νβ (από –β1

έως β1)

όπου 12πα =g

, 120πβ =Δ

, αΔ200g

Ν = , β 200Ν = , άρα Δα=2α1/(Να-1), Δβ=2β1/(Νβ-

1).

Άρα, προσδιορίζονται οι αΝ και βΝ όροι των ολοκληρωτέων παραγόντων x,mnf ,

y,mnf , z,mnf από τις σχέσεις :

( )x,mn x m nf f α ,β= κ.τ.λ.

για m = 1 έως Να και n = 1 έως Νβ.

Οι δε δυνάμεις είναι ίσες προς τα αθροίσματα : βα NN

x x,mn 2m=1 n=1

α βF f2 4 πομ Δ ⋅Δ

= ⋅⋅∑∑ κ.τ.λ.

Για το συγκεκριμένο παράδειγμα προκύπτουν οι εξής δυνάμεις :

xF 896 Nt= (δύναμη επαναφοράς)

yF 456 Nt= (δύναμη επαναφοράς)

zF 4620 Nt= (δύναμη έλξης)

Παράδειγμα 22

Να υπολογιστεί αριθμητικά με τη μέθοδο Newman η αλληλεπαγωγή δύο

παράλληλων κυκλικών σπειρών με ακτίνα r που διαρρέονται από ίσα ρεύματα εάν η

απόσταση των επιπέδων τους είναι g και έχουν μετατόπιση (xo,yo).

Κάθε κυκλική σπείρα διαρρέεται σε Ν ισαπέχοντα σημεία των οποίων οι

συντεταγμένες για σύστημα συντεταγμένων που διέρχονται από το κέντρο τους.

n n,oν=(rcosφ ,rsinφ )∑ όπου n

2π(n-1)φ =N-1

, n n+1 nΔl =Σ -Σ

(Το πρώτο και το τελευταίο σημείο συμπίπτουν).

Εάν η δεύτερη σπείρα μετατοπιστεί κατά τον άξονα x κατά xo και yo, οι

συντεταγμένες των σημείων της γίνονται :

224

n n o n oΣ' =(rcosφ -x ,rsinφ -y )

Εάν μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά g οι συντεταγμένες της γίνονται :

n n o n oΣ' =(rcosφ -x ,rsinφ -y ,g) και n n+1 nΔl' =Σ' -Σ'

Οι συντεταγμένες των ενδιάμεσων σημείων των μικρών τεθλασμένων τμημάτων

που δημιουργούνται στις σπείρες μπορούν να υπολογιστούν (κατά προσέγγιση) από τις

σχέσεις :

n n nM =(rcos(φ +Δφ),rsin(φ +Δφ))

n n o n oM' =(rcos(φ +Δφ)-x ,rsin(φ +Δφ)-y ,g)

όπου πΔφΝ

.

Άρα :

( )1 2

N N m mο ο12

m=1 m=112l l m n

Δl Δl 'μ μΔl Δl'M = =4π r 4π M -M'

∑∑∫ ∫ii

όπου θα είναι :

( )m n m n m nΔl Δl '= Δx Δx' +Δy Δy'i

2 2 2m n mn mn mnM -M' = x +y +z

όπου :

mn m n ox =(r cos(φ +Δφ)-r cos(φ +Δφ)+x )⋅ ⋅

mn m n oy =(r sin(φ +Δφ)-r sin(φ +Δφ)+y )⋅ ⋅

mn =gz

Εάν λ.χ. g = 0.1 m, r = 1 m, xo = yo =0 το αποτέλεσμα είναι Μ12=3 mHenry.

Εάν θέλουμε να υπολογίσουμε τη δύναμη προς την κατεύθυνση z (L = Fz), αρκεί

λ.χ. να υπολογίσουμε την Μ΄12 για g = 0.11m. Τότε :

12 12 12 121 2 1 2 1 2

M' -M M' -ML=I I = I I 0.000012 I I0.11-0.10 0.01

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

όπου Ι1, Ι2 τα ρεύματα που διαρρέουν τις δύο σπείρες.

Αν λ.χ. οι σπείρες διαρρέονται από 10000 Α θα είναι :

L 1200 Nt

Η δύναμη αυτή είναι ελκτική εάν τα ρεύματα των σπειρών είναι ομόρροπα και

απωστική αν τα ρεύματα είναι αντίρροπα.

225

7.9 ΠΛΕΥΡΙΚΗ ΑΝΑΡΤΗΣΗ

Την μέθοδο της πλευρικής ανάρτησης έχουν υιοθετήσει και μελετούν συστηματικά

οι Ιάπωνες στο Maglev YAMANASHI. Την περιγραφή του συστήματος που κάνει

κατανοητή την όλη λειτουργία του μπορεί κανείς να τη βρει στο site

http://www.rtri.or.jp/rd/maglev/html/english/maglev_principle_E.html . Αυτό που

συνοπτικά περιγράφει το απλούστερο σύστημα πλάγιας ηλεκτροδυναμικής ανάρτησης

είναι ότι υπάρχει μια επίπεδη ορθογωνική σπείρα στο πρωτεύον και ένα σύνολο από

επίπεδες διπλές ορθογωνικές σπείρες στο δευτερεύον. Τα επίπεδα των δύο σπειρών

απέχουν απόσταση g (βλέπε σχήμα 101).

Εάν οι άξονες συμμετρίας των δύο σπειρών δεν έχουν απόσταση κατά τον άξονα y,

το πρωτεύον καθώς κινείται στην κατεύθυνση x με ταχύτητα υ, δεν επάγει ρεύμα στο

δευτερεύον (λόγω της ειδικής αντισυμμετρίας του συστήματος του δευτερεύοντος).

ΣΧΗΜΑ 101

Εάν υπάρξει μικρή σχετικά πλάγια μετακίνηση ( Δy στην κατεύθυνση y) τότε

δημιουργούνται επαγωγικά ρεύματα στο δευτερεύον τα οποία τείνουν να επαναφέρουν

στην αρχική θέση.

226

Η πλάγια αυτή δύναμη Fy επαναφοράς, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως δύναμη

ανάρτησης (βλ. Σχήμα 101).

Χρησιμοποιώντας ένα παρόμοιο με το αριθμητικό πρόγραμμα του πρώτου

παραδείγματος της προηγούμενης παραγράφου, μπορούμε να υπολογίσουμε αριθμητικά

την Fy.

Παράδειγμα 23

Το τύλιγμα ενός πλαγίου συστήματος ανάρτησης είναι (περίπου) ισοδύναμο προ

δυο τετράγωνες σπείρες με πλευρά Δ = 1 m, που διαρρέονται από αντίθετα ρεύματα.

Έστω ότι η κινούμενη σπείρα είναι πάλι τετράγωνη με πλευρά Δ και απέχει κάθετη

απόσταση g = 0.1 m, οριζόντια απόσταση Δx = 0 και διαρρέεται από ρεύμα Ι = 10000 Α.

Ζητείται ο υπολογισμός της Fy(Δy) για Δy=1÷10 cm.

Δηλαδή η οριζόντια απόσταση των τυλιγμάτων είναι xo = 0, η δε πλάγια απόσταση

yo για την αλληλεπίδραση της κινητής σπείρας με το άνω τμήμα είναι ίση προς

oΔy = +Δy2

, ενώ για την αλληλεπίδραση με το κάτω τμήμα θα είναι : oΔy' = -Δy2

.

227

Στο σχήμα 102 που ακολουθεί φαίνεται η Fy σαν συνάρτηση του Δy.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12x 104

lateral distance in cm

Late

ral f

orce

eigth-shaped and orthogonal windings in normal distance 10 cm

ΣΧΗΜΑ 102

228

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΕΙΔΙΚΕΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΚΥΛΥΝΔΡΙΚΕΣ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ

Στο κεφάλαιο αυτό θα εφαρμόσουμε τη θεωρία των Μ/μών Fourier και το

ισοδυνάμων κυκλωμάτων του που ανεπτύχθη στη μελέτη των δινορευμάτων σε επίπεδες

ομοιογενείς αγώγιμες πλάκες και κατ’ επέκταση στις επίπεδες ανομοιογενείς αγώγιμες

πλάκες.

Θα εξεταστούν επίσης οι κυλινδρικές ευθύγραμμες διατάξεις σαν επέκταση των

ευθύγραμμων επιπέδων διατάξεων. Ιδιαίτερα θα εξετάσουμε τους σωληνωτούς

κινητήρες, τις κυλινδρικές αντλίες υγρών μετάλλων και αγώγιμων ρευστών, αλλά και τα

δινορευματα σε κυλινδρικά στρώματα.

8.1 ΔΙΝΟΡΕΥΜΑΤΑ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ ΑΓΩΓΙΜΑ ΣΤΡΩΜΑΤΑ

Με τη βοήθεια των ισοδύναμων κυκλωμάτων στο χώρο Fourier μπορούν να γίνουν

υπολογισμοί των δινορευμάτων σε επίπεδες πλάκες. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα την

επίπεδη πλάκα πάχους d του σχήματος 103 ακολουθεί με διέγερση συχνότητας ω

κινούμενη με σχετική ταχύτητα υ ως προς την πλάκα σε απόσταση g.

229

ΣΧΗΜΑ 103

Η διάταξη περιγράφεται στο χώρο Fourier από το ισοδύναμο κύκλωμα του

σχήματος 104 πού ακολουθεί. Με την βοήθεια του κυκλώματος αυτού μπορούμε να

υπολογίσουμε σε κάθε περίπτωση (με υποστήριξη αέρα όπως είναι η διάταξη του

σχήματος ή σιδηρομαγνητικό υλικό) τα ισοδύναμα ρεύματα στο χώρο Fourier 0

1( )aΙ και

0

2 ( )aΙ στα επίπεδα των οριακών ειφανειών της αγώγιμης πλάκας .

ΣΧΗΜΑ 104

230

Αυτό σημαίνει ότι μπορούν να υπολογιστούν τα ισοδύναμα ρεύματα 0( , )a zΙ σε

οποιοδήποτε σημείο z ( 0 z d≤ ≤ ) από τη σχέση: o o o

1 2sinh[(d-z) γ] sinh(z γ)I (α,z)= I (α) + I (α)

sinh(d γ) sinh(d γ)⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅

(175)

Όπου 20γ= α +j μ σ (ω+α υ)⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου κατά τον άξονα y δίνεται από την παρακάτω

σχέση : 0

0 0 0

y y(ω+α υ) (α,z)(α,z)=- ομως E (α,z)=σ (α,z)

αIE J⋅ ⋅

⋅

ο ο

yω+α υδηλαδη : J (α,z)=- Ι (α,z)α σ

⋅⋅

⋅ (176)

Έτσι αντιστρέφοντας στον πραγματικό χώρο έχουμε: 0 0+ j α x

y y-

dα(x,z)= (α,z) e2π

J J∞ ⋅ ⋅

∞⋅ ⋅∫ (177)

Δηλαδή υπολογίζεται η πυκνότητα των δινορευμάτων στην κατεύθυνση y σε κάθε

θέση z σ' όλο τον άξονα x (δηλαδή για κάθε x και z). Εάν η αγώγιμη πλάκα είναι ακίνητη

θέτουμε υ=0 στις αντίστοιχες εξισώσεις.

8.2 ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΘΕΡΜΑΝΣΗ

Με τη βοήθεια του προηγουμένου ισοδύναμου κυκλώματος μπορεί να υπολογιστεί

και η συνολική ισχύς που αποδίδει η διέγερση πραγματική και άεργος P+jQ από το

ολοκλήρωμα:

*ο 0

112

V (α) (α) (ω+α υ) dαα 2π

IP jQ+∞

−∞

⋅ ⋅ ⋅+ = ⋅∫

Αν μάλιστα καλέσω Ι το ρεύμα της διέγερσης τα P/I2 και Q/I2 δίνουν μια αντίσταση

RΔ και μια αντίδραση ΧΔ που χαρακτηρίζουν τη διάταξη δια της οποίας δημιουργούνται

τα δινορεύματα.

Μια από τις συνήθεις εφαρμογές της θεωρίας των δινορευμάτων έχουμε στις

διατάξεις που ονομάζονται επαγωγικοί φούρνοι και γενικά στις διατάξεις επαγωγικής

231

θέρμανσης. Στις περιπτώσεις αυτές έχουμε μια ακίνητη (υ=0) διέγερση, δηλαδή ένα

πηνίο, πού διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα συχνότητας ω, η οποία προκαλεί την

εμφάνιση δινορευμάτων στη μεταλλική μάζα που θέλουμε να θερμάνουμε επαγωγικά.

Μειονέκτημα της επαγωγικής θέρμανση αποτελεί το γεγονός της ταυτόχρονης

ύπαρξης RΔ και ΧΔ δηλαδή έχουμε κάποιο:

Δ2 2

Δ Δ

Rcosφ=R +Χ

Το συνημίτονο λειτουργίας μπορεί να γίνει σημαντικά μικρότερο της μονάδος όταν

η συχνότητα ω αυξηθεί. Δηλαδή μπορεί να αποδειχτεί ότι όταν αυξηθεί η ω θα αυξηθεί η

ικανότητα παραγωγής πραγματικής ισχύος (η οποία γίνεται θερμότητα) από το

επαγωγικό σύστημα θέρμανσης, αλλά θα μειωθεί το cosφ του συστήματος.

Τα δινορευματα μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για μη καταστροφικό έλεγχο

μεταλλικών αντικειμένων.

Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να δοκιμάσουμε αν ένα μεταλλικό αντικείμενο. Που

τοπικά θεωρείται επίπεδη ομογενής πλάκα κατά πόσο έχει κάποια εσωτερική ρωγμή.

Σύμφωνα με όσα είπαμε προηγουμένως μπορούμε θεωρητικά να υπολογίσουμε τα ΔR

και ΔΧ . Τα ΔR και ΔΧ μετρώνται σε μια συγκεκριμένη διάταξη με κάποιο όργανο και

συγκρίνονται με τα θεωρητικά υπολογιζόμενα. Σε περίπτωση σημαντικής απόκλισης

είμαστε σίγουροι ότι το μεταλλικό αντικείμενο έχει κάποια ρωγμή ή κατασκευαστική

ανομοιογένεια (φυσαλίδες λ.χ.) που μειώνουν τις απώλειες δινορευμάτων άρα και την

ΔR λ.χ..

Μια άλλη εφαρμογή είναι οι ανιχνευτές μετάλλων στο έδαφος. Πραγματικά το

έδαφος έχει μια μικρή αγωγιμότητα σγ, όμως για χαμηλές συχνότητες το γινόμενο ωσγ

είναι αμελητέο άρα η γη μπορεί για τις χαμηλές συχνότητες να θεωρηθεί σαν

διηλεκτρικό με σ=0 και ε=l (κενό).

Ένα θαμμένο όμως μεταλλικό αντικείμενο προκαλεί την εμφάνιση δινορευμάτων

και επομένως την εμφάνιση RΔ και XΔ που μπορούν με ένα υπερευαίσθητο ωμόμετρο

(γέφυρα) να ανιχνευτούν. Βεβαίως τα κύματα που εκπέμπει ο ανιχνευτής Μετάλλου

χαμηλής συχνότητας είναι χωρικά αποσβενυμένα στην κάθετη κατεύθυνση δηλαδή

μειώνονται εκθετικά με το βάθος g. Έτσι λ. χ. αν k ο κύριος κυματαριθμός του πηνίου

του ανιχνευτή τα δινορεύματα μειώνονται με τον αριθμό exp( -gk).

232

8.3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΕΣ ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΙΕΣ

Ας υποθέσουμε ότι κάποιο από τα στρώματα των επιπέδων διατάξεων που

εξετάστηκαν, έχει κάποια στρωματοποιημένη ανομοιογένεια. δηλαδή έχει λ.χ. ή σ

μεταβλητό κατά μήκος του άξονα των z, με τέτοιο τρόπο όμως ώστε για κάθε z τα μ και

σ να μη μεταβάλλονται ως προς τα x και y. Τότε έχουμε αυτό που ονομάζεται σαν

στρωματoπoιημένη ανομοιογένεια η οποία μπορεί να μελετηθεί με τα ισοδύναμα

κυκλώματα στο χώρο Fourier.

Παράδειγμα 24 Έστω ότι το αγώγιμο στρώμα πάχους d έχει αγωγιμότητα σ(z)

μεταβαλλόμενη κατά μήκος του z όπως στο σχήμα 105 πού ακολουθεί:

ΣΧΗΜΑ 105

Ζητείται ο υπολογισμός των δινορευμάτων.

Για τον αριθμητικό υπολογισμό των δινορευμάτων ακολουθώ την υπολογιστική

παρακάτω διαδικασία:

233

Χωρίζω το στρώμα d σε ένα αριθμό μικρότερων στρωμάτων με πάχος δ«d και

υπολογίζω την αγωγιμότητα σ για κάθε δ (είτε τη μέση τιμή της στο δ είτε την τιμή στο

μέσον του) τότε έχουμε για κάθε στρώμα δ ένα ισοδύναμο Τ τετράπολο όπως το σχήμα

106 που ακολουθεί :

ΣΧΗΜΑ 106

όπου : 0 γZ=

j μ⋅ 2

0γ= α +j μ σ (ω+α υ)⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0 0

Sγ= Z tanh( )

2Z δ⋅

⋅ 0

0

PZ=

tanh(γ )Z

δ⋅

Συνήθως |δ·γ|«l

Άρα: tanh(γ·δ/2)=γ·δ/2 , sinh(γ·δ)=γ·δ

Έτσι το στρώμα είναι ισοδύναμο με μια αλυσίδα διαφορετικών εν σειρά Τ

τετραπόλων. Το ισοδύναμο συνολικά Τ τετράπολο μπορεί να βρεθεί, βεβαίως μόνο με

αριθμητικό προσδιορισμό με την χρήση υπολογιστή. Αυτό μπορεί να γίνει είτε

234

συνθέτοντας εν σειρά και εν παράλληλο διαδοχικές αντιστάσεις, είτε χρησιμοποιώντας

τον τύπο της αντίστασης εισόδου-εξόδου.

Αν υποθέσουμε ότι το στρώμα έχει την ίδια σ αλλά κάθε τμήμα του κινείται με

διαφορετικό u (προφίλ ταχύτητας) όπως μπορεί να συμβαίνει λ.χ. στην περίπτωση των

επιπέδων αντλιών υγρού Μετάλλου. Τότε κάνουμε την ίδια ανάλυση αλλά υποθέτουμε

ότι η ταχύτητα είναι συνάρτηση του z άρα ω'(z)=ω+αυ(z).

Άρα έχουμε τους προηγούμενους τύπους με μεταβλητό ω' αντί του σ (δηλαδή

διαφορετικό ω' για κάθε στρώμα πάχους δ«d).

ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΑ ΥΛΙΚΑ

Ορισμένα υλικά έχουν την ιδιότητα να εμφανίζουν διαφορετικές ηλεκτρο-

μαγνητικές ιδιότητες κατά μήκος των αξόνων x,y,z. Ας εξετάσουμε για παράδειγμα την

περίπτωση ενός υλικού με διαφορετική μαγνητική διαπερατότητα κατά μήκος του x και

του z (μx, μz αντίστοιχα). Για την ανάλυση του τι συμβαίνει πρέπει να ανατρέξουμε πάλι

στις εξισώσεις του Maxwell και να δούμε τις σχέσεις που συνδέονται τα πεδιακά μεγέθη

μεταξύ τους. Μπορεί να αποδείξουμε τότε ότι μια επίπεδη πλάκα πάχους d από το υλικό

αυτό θα είναι ισοδύναμη στο χώρο Fourier με ένα Τ τετράπολο με στοιχεία

0

x

γZ=j μ⋅

2 xx

z

μγ= α ( )+j μ σ (ω+α υ)μ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0 0

Sγ d= tanh( )2

Z Z ⋅⋅

00

P =tanh(γ d)

ZZ⋅

Άρα τέτοια ανισότροπα υλικά μπορούν να μελετηθούν με την μέθοδο των

ισοδυνάμων κυκλωμάτων στο χώρο Fourier.

235

8.4 ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ

Όπως ήδη αναφερθήκαμε για διάκενα πολύ μικρότερα της διαμέτρου ο

περιστροφικός κινητήρας μπορεί , κατ’ επέκταση, να θεωρηθεί ως ευθύγραμμος. Όπως

θα δούμε με την χρήση των Μ/μων Fourier μπορούν να μελετηθούν γενικά οι

κυλινδρικές διατάξεις ευθύγραμμης ή περιστροφικής κίνησης.

Μια κυλινδρική διάταξη έχει σύστημα αναφοράς με συντεταγμένες (r,φ,z) που

συνδέονται με τα (x,y,z) του καρτεσιανού συστήματος με τις σχέσεις :

x=r cosφ⋅ , y=r sinφ⋅ , z=z

Οι ευθύγραμμοι κινητήρες με κυλινδρική μορφή ονομάζονται και σωληνωτοί

ευθύγραμμοι κινητήρες για να τους ξεχωρίζουμε από του συνήθεις περιστροφικούς

κινητήρες, που έχουν και αυτοί κυλινδρική μορφή.

Γενικά στα διδιάστατα συμμετρικά κυλινδρικά συστήματα υπάρχουν δύο τύποι

συμμετρικών διεγέρσεων ( περιφερειακής και αξονικής συμμετρίας) που συνδέονται με

τους σωληνωτούς και περιστροφικούς κινητήρες αντίστοιχα.

Στα συστήματα περιφερειακής συμμετρίας οι διεγέρσεις και οι συνιστώσες του

ηλεκτρομαγνητικού πεδίου είναι ανεξάρτητα της μεταβλητής φ, δηλαδή 0φ∂

=∂

.

Ενώ στα σύστημα αξονικής συμμετρίας οι διεγέρσεις και τα πεδιακά μεγέθη είναι

ανεξάρτητα της μεταβλητής z, δηλαδή 0z∂=

∂.

8.4 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΕΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ

Στις διατάξεις αυτές όπως είπαμε υπάρχει περιφερειακή συμμετρία δηλαδή 0φ∂

=∂

.

Μπορούμε λοιπόν ν αντιστοιχίσουμε το επίπεδο στρώμα με άξονες x (κατά την φορά της

κίνησης του), y ( άξονα συμμετρίας), z (άξονα κατά μήκος του οποίου μεταβάλλονται τα

ηλεκτρομαγνητικά χαρακτηριστικά του στρώματος), με κυλινδρικό στρώμα ( βλέπε

σχήμα 107) έτσι ώστε:

• Η κυλινδρική συντεταγμένη φ να αντιστοιχεί στην καρτεσιανή

συντεταγμένη y (και οι δύο είναι άξονες συμμετρίας)

236

• Η κυλινδρική συντεταγμένη r να αντιστοιχεί στην καρτεσιανή

συντεταγμένη z (κατά μήκος της οποίας γίνεται η μεταβολή των ιδιοτήτων του

στρώματος).

• Η κυλινδρική συντεταγμένη z να αντιστοιχεί στην καρτεσιανή

συντεταγμένη x (κατά μήκος της οποίας γίνεται η σχετική κίνηση με ταχύτητα υ).

Δηλαδή η ταχύτητα κατά τον άξονα x στο επίπεδο στρώμα γίνεται ταχύτητα κατά τον

άξονα z στο κύλινδρο.

Τότε έχουμε κυλινδρικές διατάξεις ευθύγραμμης κίνησης ( τους σωληνωτούς

ευθύγραμμους κινητήρες TUBULAR LINEAR MOTORS).

Στην περίπτωση αυτή αποδεικνύεται ότι οι μη μηδενικές πεδιακές συνιστώσες είναι

οι, z r φH , H ,E που αντιστοιχούν για επίπεδα στρώματα με εγκάρσια συμμετρία 0y∂=

∂,

στα x z yH ,H ,E

ΣΧΗΜΑ 107

Αν γράψουμε τις εξισώσεις του Maxwell σε κυλινδρικές συντεταγμένες μπορεί να

αποδείξουμε με την ίδια ακριβώς διαδικασία που ακολουθήσουμε στα επίπεδα στρώματα

ότι για λεπτό στρώμα πάχους δ πολύ μικρότερου από το r ότι ισχύουν οι εξισώσεις : ο

2 oV (α,r) γ Ι (α,r)j μ rr

∂= − ⋅

∂ ⋅ ⋅

οoI (α,r) j μ V (α,r)r

r∂

= − ⋅ ⋅ ⋅∂

(178)

Όπου: 2γ= α +j μ σ (ω+α υ)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (179)

237

Με α συμβολίζεται ο κυματαριθμός κατά τον άξονα z του κυλινδρικού συστήματος

(που είναι ο αντίστοιχος άξονας κίνησης με ταχύτητα υ και αντιστοιχεί με τον

καρτεσιανό άξονα x του επίπεδου στρώματος όπως είπαμε).

Τα μ,σ είναι η μαγνητική διαπερατότητα και η αγωγιμότητα του πολύ λεπτού

κυλινδρικού στρώματος.

Οι συναρτήσεις 0( , )V a r ,

0( , )a rΙ είναι συναρτήσεις του α και του r.

Οι συναρτήσεις αυτές 0( , )V a r ,

0( , )a rΙ συνδέονται με τις Μ/μένες κατά Fourier των

μη μηδενικών πεδιακών συνιστωσών με τις σχέσεις: ο ο

zV (α,r)=α H (α,r) ⋅ (180)

o ο

r φα r Ι (α,r)=r μ H (α,r)= E (α,r)

(ω+α υ)

o⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ (181)

Ένα λεπτό κυλινδρικό στρώμα μέσης ακτίνας r και πάχους δ«r μπορεί να

εξομοιωθεί με ένα Τ τετράπολο, με χαρακτηριστική διάδοσης: 2γ= α +j μ σ (ω+α υ)⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(182)

και χαρακτηριστική αντίσταση: 0 γ(r)=

j μZ

r⋅ ⋅ (183)

Άρα έχει 20 0

Sγ γ γ=Z(r) tanh( ) (r)

2 2 2 j μ rZ Zδ δ δ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ⋅⋅ ⋅

(184)

00

P(r) 1=

sinh(γ ) r μZZ

jδ δ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (185)

Ισχύει επίσης ο τύπος της σχέσης εισόδου – εξόδου για το τετράποδο αυτό δηλαδή: 0 0 0

20 2 21 0 0

2 20

tanh(γ ) γ /( )

1+ )1+ tanh(γ )

Z Z Z j rZZ Z j r

Z

δ δ μ

μ δδ

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

(186)

Η συμμετρική διέγερση των σωληνωτών ευθύγραμμων κινητήρων είναι ένα

επιφανειακό κυλινδρικό φύλλο ρεύματος στη θέση r=ro του οποίου η συνάρτηση

γραμμικής πυκνότητας είναι η συνάρτηση o

j ω tJ(z,t)=Real[ J (z) e ]⋅ ⋅⋅ . Μετασχηματίζοντας

την συνάρτηση J(z) στο χώρο Fourier με κυματαριθμό α λαμβάνουμε την συνάρτηση : +ο ο

-j z

-

J (α)= J (z) e dzα∞

⋅ ⋅

∞

⋅∫ (187)

238

Η συνάρτηση αυτή δίδει μια ισοδύναμη πηγή τάσεως στο χώρο Fourier που δίδεται

από την σχέση: ο οV (α)=α J (α)⋅ (188)

Παράδειγμα 25

Δίδεται κυλινδρική αντλία υγρού μετάλλου (βλέπε σχήμα 108) με τα ακόλουθα

χαρακτηριστικά :

Πρωτεύον: περιφερειακά συμμετρικό τριφασικό τύλιγμα με f=50Hz ,

p=3, πτ=0.3 m , κ=τ

, υποστηριζόμενο από σίδηρο. Ακτίνα πρωτεύοντος 25r cm= ,

φ W3ΝΙ KΙ= 100000

πτ= .

Διάκενο: μονωτικό πάχους g=1.25 cm

Δευτερεύον: υγρό NaK που κινείται με ομοιόμορφη ταχύτητα (λόγω συνάφειας)

στον εσωτερικό κύλινδρο ακτίνας 22.5inR cm= , με αγωγιμότητα 6σ=2.46 10 S/m⋅ .

ΣΧΗΜΑ 108

Να υπολογιστεί η καμπύλη Pr(Q), όπου Ρr η πίεση της αντλίας σε Νt/m2 και Q η

παροχή σε m3/sec του υγρού μετάλλου δια της αντλίας.

239

Η πίεση δίδεται από την σχέση 2Prin

TRπ

= όπου Τ η ώθηση του σωληνωτού

κινητήρα και η παροχή από την σχέση 2( )inQ Rπ υ= ⋅

Άρα το διάγραμμα Pr(Q), είναι αντίστοιχο του διαγράμματος Τ(υ). Η ώθηση του

σωληνωτού κινητήρα δίδεται από το ολοκλήρωμα: 20

0*

ολ

V (α)Re V (α) I (α) dα 1 dαRe

2 α 2π 2 α Z ( ) 2πal al

α

+∞ +∞

−∞ −∞

⋅Τ = − ⋅ = − ⋅

⋅∫ ∫

0 2sin[(α+κ) τ]οπου: V (α)= 2 (α+κ)

pI α ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ και: φ3 Ν Ι π = , κ=

π τ τKw

I⋅ ⋅ ⋅

⋅

Η ολZ ( )α υπολογίζεται σαν η τερματική αντίσταση όπως φαίνεται από την

κυλινδρική επιφάνεια της διέγερσης με ακτίνα R.

Για να υπολογιστεί η αντίσταση αυτή χρησιμοποιώ τον επαναληπτικό τύπο: 20

n n1

0n n

0

1 n n n

γ dμ r n=1,...,N

1+ r μ d

n

n

n

ZjZ

Z j

−

−

+ ⋅⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(189)

Όπου nΖ είναι η αντίσταση εισόδου από κυλινδρική επιφάνεια με ακτίνα nr , 1n−Ζ

η αντίσταση εισόδου από κυλινδρική επιφάνεια n-1r , n n n-1d r r= −

2n n nγ = α +j μ σ (ω+α υ)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , και nμ , nσ η μαγνητική διαπερατότητα και αγωγιμότητα

αντίστοιχα , του κυλινδρικού στρώματος πάχους nd .

Επειδή το υγρό μέταλλο δεν είναι σιδηρομαγνητικό ούτε βεβαίως και το μονωτικό

στρώμα η μαγνητική διαπερατότητα είναι σταθερή n 0μ μ= για κάθε n. Το nσ είναι είτε

μηδέν, για n n R r R≤≺ (διάκενο μονωτικό με μηδενική αγωγιμότητα ) είτε ίσο πρός την

αγωγιμότητα του υγρού μετάλλου σ, για n 0 inr R≤ ≤ .

Για καλή προσέγγιση χωρίζω τον κύλινδρο ακτίνας R σε Ν=300 στρωματά

μεταβλητού πάχους nd ώστε n

n

d 1r 100

c= ≤ (αυτό σημαίνει ότι n n d r ). Στο

συγκεκριμένο παράδειγμα ελήφθη c=.0047 άρα n-1 n n nr r d (1 ) rc= − = − ⋅ άρα για nr R=

το nr (1 )N nc R−= − .

240

Επειδή η 0r 0 η χαρακτηριστική της αντίστασης 0

0 0

γjμ r

≈ ∞ . Αυτό σημαίνει ότι η

τερματική αντίσταση κυλινδρικής επιφανείας 0r 0 είναι ανοικτό κύκλωμα , άρα

0

0Z ∞

Δηλαδή : 0

1

0 1 1

1j μ d

Zr

=⋅ ⋅ ⋅

, όπου r1=6.12 .

Χρησιμοποιώντας τον επαναληπτικό τύπο υπολογισμού της αντίστασης για

1n=2 N÷ όπου, nr (1-c)N n R−= ⋅ , n

n

dr

c= , 2n n nγ = α +j μ σ (ω+α υ)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , n 0μ μ= , n σ σ=

για 2 n=2 N÷ και nσ 0= για 2 1n=N 1 N+ ÷ , όπου το Ν2 προσδιορίζεται από την σχέση

1 2(1-c)N NinR R−= και ισούται προς Ν2=289, φθάνω τελικά στην Ζn η οποία είναι και η

συνολική αντίσταση στο χώρο Fourier όπως φαίνεται από την κυλινδρική επιφάνεια με

ακτίνα R=0.25m, δηλαδή η ολZ ( )α .

Ο υπολογισμοί μπορούν να γίνουν για κάθε τιμή 0 sυ υ≤ ≺ όπου

2 30 / secs f mυ τ= ⋅ ⋅ = . Στην συγκεκριμένη περίπτωση επιλεγεί η εύρεση της Τ για τις

ακόλουθες 30 τιμές του 1.1 ( 1) / 29mU m= ⋅ − , 1 30m = ÷ και για ( 20000)I =

Το ολZ ( )α πρέπει να υπολογιστεί για κάθε α και επομένως για κάθε υ πρέπει να

υπολογίζεται σε Ν=2500 τιμές του α στο διάστημα :

5 κ 5 κ- κ α -κp p⋅ ⋅

− ≤ ≤ άρα στο MATLAB

5 κ 5 κ 10 κ(- κ, -κ, 2500),2500

a linspace ap p p⋅ ⋅ ⋅

= − Δ =⋅

22500

1 ολ

( )1 Δα( ) Re2 Z ( ) 2πm

VT al ν

ν ν ν

αυ

α α=

= − ⋅⋅∑

Άρα για κάθε υm προσδιορίζεται η Τ δηλαδή προκύπτει η Τ(υ).

Η Pr(Q) πού φαίνεται στο σχήμα 108 που ακολουθεί, είναι ακριβώς ίδια με την

Τ(υ) με διαφορετικές μονάδες στους άξονες ( 2aNtPm

= και 3

secm ) πράγματι Ρr=Τ/Α καί Q=

υ·Α όπου Α=π· (R-g)2.

241

0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

250

liquid metal flow in cbm/sec

pres

sure

in P

a

6-pole tubular liquid metal pump

ΣΧΗΜΑ 109

8.6 ΜΑΓΝΗΤOΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΠΑΓΩΓΙΚΕΣ ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ

Μια επαγωγική μαγνητοϋδροδυναμική γεννήτρια μπορεί να θεωρηθεί σαν η

αντίστροφη μηχανή της σωληνωτής αντλίας Μετάλλων της οποίας η λειτουργία

αναπτύχθηκε στο προηγούμενο παράδειγμα. Στην περίπτωση της γεννήτριας το

δευτερεύον δεν είναι πια υγρό Μέταλλο αλλά τα ταχέως κινούμενα αέρια μιας καύσεως,

που έχουν εμπλουτιστεί με κάποια χημική ουσία ώστε να γίνουν αγώγιμα. Είναι φανερό

ότι αν η ταχύτητα των αερίων είναι υ>υs=ω/k, όπου ω η συχνότητα της διέγερσης και k ο

βασικός κυματαριθμός της, η διάταξη εργάζεται στην περιοχή της γεννήτριας όπου η Τ

είναι αρνητική (δρα ανασχετικά στα κινούμενα αγώγιμα αέρια), απορροφώντας κινητική

ενέργεια την οποία μετατρέπει σε ηλεκτρική υπό τη μορφή τριφασικής ισχύος στο

τύλιγμα του πρωτεύοντος. Η συχνότητα της διέγερσης καθορίζεται απ' το

διασυνδεδεμένο δίκτυο ενώ η τάση ρυθμίζεται από συστοιχία πυκνωτών που απαιτείται

ώστε η επαγωγική γεννήτρια να λειτουργήσει (αυτό είναι κοινό χαρακτηριστικό όλων

242

των επαγωγικών γεννητριών). Λόγω της χαμηλής αγωγιμότητας των ταχέως κινουμένων

αγώγιμων αερίων, η γεννήτρια λειτουργεί με ένα μικρό cosφ. Η απαίτηση για πολύ

μεγάλη παράλληλη συστοιχία πυκνωτών για την διόρθωση του συνημιτόνου, αλλά και η

χαμηλή απόδοση της επαγωγικής, μαγνητοϋδροδυναμικής γεννήτριας πάλι λόγω της

χαμηλής αγωγιμότητας του δευτερεύοντος την καθιστούν αντιοικονομική λύση, όπως

συμβαίνει και με τους κινητήρες με δευτερεύον θαλάσσιο νερό.

8.7 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΞΟΝΙΚΕΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ

Στις κυλινδρικές αυτές διατάξεις υπάρχει αξονική συμμετρία δηλαδή 0z∂=

∂. Το

επίπεδο στρώμα με το καρτεσιανό σύστημα (x,y,z) που κινείται με ταχύτητα υ κατά τον

άξονα x και έχει συμμετρία κατά τον άξονα y, δηλαδή 0y∂=

∂ και πάχος d κατά το άξονα

z πρέπει να αντικατασταθεί με ένα κυλινδρικό στρώμα με αντίστοιχο κυλινδρικό

σύστημα συντεταγμένων (φ,r,z) με την ακόλουθη αντιστοιχία:

• Το κυλινδρικό στρώμα έχει αξονική συμμετρία άρα ο άξονας y του καρτεσιανού

συστήματος αντιστοιχεί στον άξονα z του κυλινδρικού.

• Το κυλινδρικό στρώμα έχει πάχος δ κατά τον άξονα r, άρα η συντεταγμένη z του

καρτεσιανού συστήματος αντιστοιχεί στην συντεταγμένη r του κυλίνδρου.

• Και τελικά ο καρτεσιανή συντεταγμένη x αντιστοιχεί στην κυλινδρική

συντεταγμένη φ.

Άρα, η περιστροφική κίνηση με περιφερειακή ταχύτητα υ = ωm·r (όπου ωm είναι

η γωνιακή ταχύτητα περιστριφής) αντιστοιχεί στην ευθύγραμμη κίνηση κατά τον άξονα

x με ταχύτητα υ.

Στην περίπτωση του περιστροφικού κινητήρα οι μη μηδενικές πεδιακές συνιστώσες

είναι οι ακόλουθες : Er, Hz, Ηφ

Χρησιμοποιώ για την μεταβλητή του μετασχηματισμού Fourier της μεταβλητής φ

το σύμβολο l .

Επειδή το φ έχει βασική περίοδο το 2π το l λαμβάνει τιμές ακέραιες :

1, 2, 3.......l = ± ± ±

243

Εάν η διάταξη έχει Ρ πόλους, έχει περίοδο 2πΡ

άρα, το ±P,±2P,±3P.......l = .

Η μετασχηματισμένη της συνάρτησης ( ) ( )oF F 2 π δ -nl

n

l l+∞

=−∞

= ⋅ ⋅ ⋅∑

όπου 2o

j φ

0

F ( ) e dφo

ll F

π

ϕ⋅

⋅ ⋅= ⋅ ⋅∫ ενώ η στιγμιαία τιμή του μεγέθους F είναι :

( ) ( )o

j ω tφ,t =Real F φ eF ⋅ ⋅⎡ ⎤⋅⎢ ⎥⎣ ⎦ (190)

Στην περίπτωση αυτή μπορεί να αποδειχτεί ότι μπορούμε να γράψουμε τις

εξισώσεις Maxwe11 σε κυλινδρικές σuν/μένες για το προηγούμενο κυλινδρικό στρώμα

πάχους δ υπό τη μορφή:

( )o

2 oV( ) γ=- Ir j μ

r

l ll∂

⋅∂ ⋅ ⋅

(191)

( ) ( )o

oI=-j μ V

r rl l l

∂⋅ ⋅ ⋅

∂ (192)

Όπου: ( )2

2m2γ = +jμ ω+ ω

rl lσ⋅ ⋅ ⋅ (193) και ωm = συχνότητας περιστροφής

όπου : ( ) ( )o

φV =r Hl l⋅ (194) και : ( )o ( )I ( ) z

rm

l E ll r H ll

μω ω⋅

= ⋅ ⋅ = −+ ⋅

(195)

Έτσι ένα λεπτό κυλινδρικό στρώμα ακτίνας r και πάχους δ (δr«r) είναι ισοδύναμο

προς ένα Τ τετράπολο με στοιχεία :

2 20

sγ γ δ γ δ= tanh( )=

j μ /r 2 j μ 2rZ

l l⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(196)

0

pγ 1 r=

j μ l/r sinh( ) j μ l δZ

γ δ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ (197)

244

Οι περιστροφικοί κινητήρες είναι παραδείγματα τέτοιων διατάξεων με αξονική

συμμετρία ( 0z∂=

∂). Όμως, πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι οι περιστροφικοί κινητήρες

έχουν πεπερασμένο πλάτος (z) δηλαδή τα μεγέθη Τ, Ρ, Q υπολογίζονται ανά m πλάτους.

Οι συνήθεις τριφασικοί περιστροφικοί κινητήρες με διπλό τύλιγμα έχουν μια μόνο

αρμονική με περίοδο 2πΡ

, όπου Ρ τα ζεύγη πόλων του τριφασικού τυλίγματος.

Οι συνήθεις περιστροφικοί κινητήρες έχουν διάκενα πολύ μικρότερα της ακτίνας

του τυμπάνου τους άρα χωρίς αισθητό σφάλμα μπορούν να θεωρηθούν σαν ευθύγραμμοι

(όπως και θεωρήθηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια). Η γενική θεωρία που αναπτύχθηκε

στην παράγραφο αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην γενική περίπτωση ειδικών

περιστροφικών διατάξεων με σχετικά μεγάλα διάκενα.