Ünite 7: Temel Olasılık Hesaplamaları · 2018. 4. 6. · 8 .Ünite Örnek 8–7 Örnek 3 Klima...

Ünite 8: Olası l ığa Giriş ve Temel Olası l ık Hesaplamaları

Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT

http://cv.ankara.edu.tr/[email protected]&deger=1

8 .Ünite

8. Olasılık Kavramı ve Temel Olasılık Hesaplamaları

Ünitede Ele Alınan Konular

Olasılık Kavramı ve Temel Olasılık Hesaplamaları

8.1. Temel Kavramlar

8.2. Temel Olasılık Kuralları

2

8.1.1. Deney, Sonuç, Örnek uzay

8.1.1. Olay

8.1.2. Olasılığın Tanımı

8.2.1. Bir Alt Kümenin (Olayın) Olasılığı

8.2.2. Tümleyen Kümenin Olasılığı

8.2.3. Birleşim Kümesinin olasılığı

8.2.4. Kesişim Kümesinin olasılığı

8.2.5. Koşullu Olasılık ve Olayların Bağımsızlığı

8 .Ünite Olasılığın Tanımı

Olasılığın Tanımı

Olasılık, bir olayın gerçekleşme ihtimali veya şansının ölçülmesinedenir.

Olasılık P ile gösterilir.

Bir A olayının olasılığı ise P(A) şeklinde gösterilir ve 0 ile 1arasında bir değer alır.

3

Olasılığın Tanımlanması ve hesaplanmasında 4 anahtar sözcük(Kavram) önemli rol oynamaktadır.

Deney Sonuç Örnek uzay Olay

8 .Ünite

Deney: Deney, teorik olarak belirli koşullar altında sonsuz defatekrarlanabilen, her tekrarında farklı sonuçlar elde edilebilen veolası sonuçların çok iyi tanımlandığı bir süreçtir.Bu süreç sonunda araştırılan konuya ilişkin sonuçlar (değerler)elde edilir.

Deney, Sonuç, Örnek uzay

Deney, Sonuç, Örnek uzay 4

Sonuç: Deney sonucunda elde edilen veriye de deneyin sonucuya da kısaca sonuç denir.

Örnek Uzay: herhangi bir deney sonucunda elde edilebilecekmümkün (olası) sonuçlar örnek uzay olarak tanımlanır ve S ilegösterilir

8 .Ünite Örnek 1

Örnekler

5

8 .Ünite Olay

Olay

6

Olay: Örnek uzayın belirli bir koşulu sağlayan herhangi bir altkümesine “Olay” denir.

Deneyin sonucu bu alt kümelerden örneğin A kümesinin elemanıise bu deneyde A olayının gerçekleştiği; deneyin sonucu Akümesinin elemanı değilse A olayının gerçekleşmediği söylenir.

8 .Ünite 7

Zarın bir defa atılması deneyinde Mümkün olan sonuçlarnelerdir?

S={1,2,3,4,5,6}

8 .Ünite 8

1

3

4

5

2

6

SA={2,4,6}

S={1,2,3,4,5,6}A

Zarın bir defa atılması deneyinde A olayı görünen yüzdeki sayınınçift sayı olması durumu olsun.

8 .Ünite Örnek 1

Örnek

Zarın bir defa atılması durumunda

A olayı görünen yüzün 1 gelmesi durumu olarak;

B olayı da görünen yüzdeki sayının çift sayı olması durumu

olarak tanımlansın.

Örnek uzayı, A ve B olaylarının elemanlarını küme ve Venn

şeması ile gösteriniz.

9

Çözüm:

8 .Ünite Olasılığın Tanımı

Olasılığın Tanımı

Olasılığın Klasik Tanımı: S, olası sonuçlardan her birinin

gerçekleşme şanslarının eşit olduğu bir örnek uzayı ve A ise bu

uzayda tanımlı bir olayı göstersin.

Bu durumda A olayının olasılığı;

10

Olasılığın Frekans tanımı: Bir deney N defa tekrarlandığında

ilgilenilen A olayının toplam gözlenme sıklığı (frekansı) fA

şeklinde saptansın. Bu durumda A olayının olasılığı;

8 .Ünite Örnek 8–5

Örnek 2

Hilesiz bir zarın bir defa atılması deneyinde;

A= zarın 1 gelmesi

B= Zarın çift sayı gelmesi

C= Gelen sayının 3 ten büyük olması

Olayları tanımlansın. A, B ve C olayının meydana gelme

olasılıklarını hesaplayınız.

11


Çözüm 2

12

Hilesiz bir zar atıldığında mümkün sonuçlardan her birinin

gerçekleşme şansları eşittir.

Bu nedenle Klasik tanımı kullanarak olasılığı hesaplayabiliriz.

S={1, 2, 3, 4, 5, 6} ve n(S)=6

n(A) 1P(A)

n(S) 6

n(B) 3P(B)

n(S) 6

n(C) 3P(C)

n(S) 6

1

3

4

5

2

6

S

A

A={1} ve n(A)=1 olduğundan

B={2, 4, 6} ve n(B)=3 olduğundan

C={4, 5, 6} ve n(C)=3 olduğundan

B

C


Örnek 3

Klima üreten bir fabrikada üretilen klimalardan rastgele 200 tanesi

seçilmiş ve 10 tanesinin kusurlu olduğu saptanmıştır. Üretilen bir klima

rastgele seçildiğinde bunun kusurlu olması olasılığı nedir?

13

Çözüm 3:A olayı rastgele seçilen bir klimanın kusurlu olması olayı olsun.

Her bir klimanın seçilmesi işlemini bir deney olarak ele alalım.

Her deneyin sonucunda klimanın kusurlu ya da sağlam olduğu

kaydedilsin. Dikkat edilirse sonuçların aynı sıklıkta gözlenmediği

görülmektedir. Olasılığın frekans tanımını kullanarak hesaplama yapalım.

A

A

f 10

N 200

olasılığın frekans tanımı gereği

f 10P(A) 0,05

N 200

8 .Ünite Tümleyen Kümenin Olasılığı

Tümleyen Kümenin Olasılığı

14


Örnek 4

Bir bilgisayar Laboratuvarında bulunan 25 bilgisayardan 5 tanesi

bozuktur. Bu bilgisayarlardan bir tanesinin rastgele seçilerek açılması

deneyinde birbirini Tümleyen (bütünleyici) olayları tanımlayınız ve

bunların olasılıklarını bulunuz.

15

Çözüm 4:Rastgele seçilen bilgisayar ya bozuktur ya da sağlamdır. Dolayısıyla bu

deney için birbirini Tümleyen (bütünleyici) iki sonuç vardır. Bunlar;

A seçilen bilgisayar bozuktur.

A Seçilen bilgisayar bozuk değildir.

n(S) 25

n(A)=5

n(A)=20

n(A) 5P(A)

n(S) 25

n(A) 20P(A)

n(S)

0,20

0,8025

8 .Ünite Birleşim Kümesinin Olasılığı

Birleşim Kümesinin olasılığı (Toplama Kuralı)

16

A ve B gibi iki olay S örnek uzayında tanımlansın. Bu olayların

AUB şeklinde gösterilen birleşimi, A olayını ya da B olayını ya da

her iki olayı da birlikte sağlayan sonuçların oluşturduğu kümedir.

AUB olayı, bu iki olaydan en az biri gerçekleştiğinde gerçekleşir.

P(A B) P(A) P(B) P(A B)

Olayların birleşimine ilişkin olasılık, söz konusu iki olayın

gerçekleşme olasılıklarının toplamından olayların birlikte

görülmesi olasılığının çıkarılmasıyla elde edilmektedir.


Örnek 5

Zarın bir defa atılması deneyinde A olayı gelen sayının çift olması, B

olayı da gelen sayının 3 ten büyük olması şeklinde tanımlansın. Gelen

sayının 3’ten büyük ya da çift olması olasılığını bulunuz.

17

Çözüm 5:

Olayları sağlayan temel sonuçları kümeler ve Venn şeması kullanarak

gösterelim.

1

3

4

5

2

6

A

B

S

P(A B) P(

3P(A)

6

3P(B) =

6

2P(A B)=

6

3 3 2 4P(A B)

6

A) P(B) P(A B)

6 6 6

8 .Ünite Kesişim Kümesinin Olasılığı

Kesişim Kümesinin olasılığı (Çarpma Kuralı)

18

A ve B gibi birlikte ortaya çıkan olayların olasılığı P(A∩B) şeklinde ifade

edilir. İki olayın kesişiminin olasılığı, bir olayın olasılığı ile ikinci olayın

koşullu olasılığının çarpımına eşittir ve bu kurala çarpma kuralı denir.

Koşullu olasılık P(B|A) biçiminde gösterilir. P(B|A) gösterimi, A olayının

gerçekleştiği bilindiğinde B olayının olasılığını ifade eder.

A ve B olayları aynı örnek uzayında tanımlanmış iki olay olsun. A

olayının gerçekleştiği bilgisi elimizdeyken B olayının ( A koşulu altında)

olasılığı (P(A) > 0 );

P(A B) P(A)* P(B | A)

Eğer A ve B olaylarından birinin gerçekleşmesi diğerini etkilemiyor ise

yani bu olaylar bağımsız ise o zaman;

8 .Ünite

Örnek 6

Bir torbada 2 kırmızı 3 mavi bilye vardır. Bu torbadan ardı ardına

iki bilye çekiliyor. İki bilyenin de Mavi olması olasılığı nedir?

19

Çözüm 6:

M1 = çekilen 1. Bilyenin Mavi olması olayı

M2 = çekilen 2. Bilyenin Mavi olması olayı olarak tanımlansın.

İstenen olasılık M1 ve M2 olaylarının kesişimi olup, bu olayların

birlikte meydana gelmesi çarpım kuralı ile hesaplanabilir. Bu

olasılık;1 2 1 2 1

1

P(M M ) P(M ) * P(M | M )

3P(M )

5

2 1

2P(M | M )

4

1 2 1 2 1

1 2

P(M M ) P(M ) * P(M | M )

3 2 6P(M M ) * 0,30 olarak bulunur

5 4 20


Örnek 7

Bir erkeğin 5 yıl daha yaşaması olasılığı 1/5 ve eşinin 5 yıl daha

yaşaması olasılığı ise 1/4 olarak hesaplanmıştır. Bu verilere göre;

Her ikisinin birlikte 5 yıl daha yaşaması olasılığı nedir?

20

Çözüm 7:

A olayı erkeğin 5 yıl daha yaşaması

B olayı ise eşinin 5 yıl daha yaşaması olsun.

Her birey kendi ömrünü tüketeceğinden A ve B olayları

bağımsızdır.

P(A B) P(A) * P(B)

1 1P(A B) *

5 4

1P(A B)

20

P(A B) 0,05 olarak bulunur.


Örnek 7-Devam


yaşaması olasılığı ise 1/4 olarak hesaplanmıştır.

Bu verilere göre; En az birinin 5 yıl daha yaşaması olasılığı nedir?

21

Çözüm 7:

A olayı erkeğin 5 yıl daha yaşaması

B olayı ise eşinin 5 yıl daha yaşaması olsun.

P(A B) P(A) P(B) P(A B)

1 1 1 1P(A B) *

5 4 5 4

9 1P(A B)

20 20

8P(A B) = 0,40 olarak bulunur.

20


Örnek 7-Devam



Bu verilere göre; Bu süre içinde Erkeğin ölmesi ve Kadının

yaşaması olasılığı nedir?

22

T T

T

T

T

P(A B) P(A )*P(B)

4 1P(A B) *

5 4

4P(A B)

20

P(A B) 0,20 olarak bulunur.

T

T

P(A) P(A ) 1 ise

1 4P(A ) 1

5 5


Örnek 7-Devam



Bu verilere göre; Bu süre içinde Erkeğin yaşaması ve Kadının

ölmesi olasılığı nedir?

23

T T

T

T

T

P(A B ) P(A)*P(B )

1 3P(A B ) *

5 4

3P(A B )

20

P(A B ) 0,15 olarak bulunur.

T

T

P(B) P(B ) 1 ise

1 3P(B ) 1

4 4


Örnek 7-Devam



Bu verilere göre; Bu süre içinde Erkeğin ve Kadının ölmesi

olasılığı nedir?

24

T T T T

T T

T T

T T

P(A B ) P(A )*P(B )

4 3P(A B ) *

5 4

12P(A B )

20

P(A B ) 0,60 olarak bulunur.


Örnek 7-Devam

Bir erkek ve kadın için ölüm ve yaşam için mümkün sonuçlar 4

tanedir.

1- Erkek ve kadın yaşar (0,05)

2- Erkek ölür kadın yaşar (0,20)

3- Erkek yaşar kadın ölür (0,15)

4- Erkek ve kadın ölür (0,60)

Toplam (Örnek Uzay) (1.00 yani %100)

25

8 .Ünite 27

Makale_ Örnek

8 .Ünite 28

Makale_ Örnek

8 .Ünite 29

8 .Ünite 30

BAS A istatistik dersinden 60 ve üzerinde alanlar başarılı

sayılmaktadır. Aşağıda öğrencilerin cinsiyetlerine göre başarı

durumlarının dağılımı görülmektedir?

Başarı Durumu Cinsiyete Bağımlı mıdır?

Örnek

Başarı/Cinsiyet Toplam P (Olasılık)

Başarılı (>=60) 31 % 81,6

Başarısız (<60) 7 % 18,4

8 .Ünite 31





Örnek

Başarı/Cinsiyet E % K %

Başarılı (>=60) 10 %83,3 21 %80,8

Başarısız (<60) 2 %16,7 5 %19,2

Toplam 12 26

P (Olasılık)

% 81,6

% 18,4

8 .Ünite 32

SPSS 2Analizi

8 .Ünite 33

Bir Sigorta acentesi bir aylık bir dönemde trafik sigortası yaptıran

100 müşterinin trafik kaskosu durumunu araçların menşeine göre

sınıflandırmış ve aşağıdaki tabloyu elde etmiştir.

Örnek

Araç Yerli Yabancı Toplam

Kaskosu var 5 30 35

Kaskosu yok 55 10 65

P (Olasılık) 60 40 100

A- Rastgele seçilen bir aracın Kaskolu olması ihtimali kaçtır?

B- Rastgele seçilen bir aracın Yabancı olma ihtimali kaçtır?

C- Rastgele seçilen bir aracın Yerli ve kaskosuz olma ihtimali kaçtır?

D- Rastgele seçilen bir aracın Yerli olduğu bilindiğine göre kaskolu

olması ihtimali nedir?

8 .Ünite 34


Kaskosu var 5 30 35



A- Rastgele seçilen bir aracın Kaskolu olması ihtimali kaçtır?

N= Toplam araç sayısı = 100

n K = kaskolu araç sayısı = 35

Olasılığın klasik tanımından

P K = seçilen aracın kaskolu olması olasılığı

n(K)P K =

N

35P K = =0,35

100

8 .Ünite 35


Kaskosu var 5 30 35



B- Rastgele seçilen bir aracın Yabancı olma ihtimali kaçtır?


n Ya = Yabancı araç sayısı = 40


P Ya = seçilen aracın yabancı olması olasılığı

n(Ya)P Ya =

N

40P Ya = =0,40

100

8 .Ünite 36


Kaskosu var 5 30 35



C- Rastgele seçilen bir aracın Yerli ve kaskosuz olma ihtimali kaçtır?


n yk = Yerli ve kaskosuz araç sayısı = 55


P yk = seçilen aracın yerli ve kaskosuz olması olasılığı

n(yk)P yk =

N

55P yk = =0,55

100

8 .Ünite 37


Kaskosu var 5 30 35



D- Rastgele seçilen bir aracın Yerli olduğu bilindiğine göre kaskolu olması

ihtimali kaçtır?

Koşullu olasılık Formülünden K=kaskolu ve Y= yerli aracı göstermek üzere

( )P( ) (yerli olduğu bilinen aracın kaskolu olması olasılığı)

( )

( ) 60 ( ) 5P(Y)= ve P(K Y)=

100 100

5

( )P( )

( )

P K YKY P Y

n Y n K Y

N N

P K YKY P Y

100

60

100

5 10,08

60 12

8 .Ünite 38





Örnek

Başarı/Cinsiyet E K Toplam P (Olasılık)

Başarılı (>=60) 10 (%83,3) 21 (%80,8) 31 %81,6

Başarısız (<60) 2 (%16,7) 5 (%19,2) 7 %18,4

P (Olasılık)12/38%31,6

26/38%68,4

38 38/38=1

8 .Ünite Olayların Bağımsızlığı

Olayların Bağımsızlığı

39

Bir deney yapıldığında bir B olayının gerçekleşme olasılığı A

olayının gerçekleşme olasılığını etkilemiyorsa bu iki olay

“bağımsızdır” denir.

Başka bir ifadeyle, B olayının gerçekleştiğine ilişkin ek bilgi

A olayının olasılığının güncelleştirilmesini gerektirmiyorsa bu iki

olay bağımsızdır.

A ve B bağımsız ise P(A|B)= P(A) veya P(B|A)= P(B) yazabiliriz.

P(A B)=P(A)*P(B)

8 .Ünite Örnek 9

Örnek 9:

Bir probleme ilişkin deney sonuçlarının oluşturduğu örnek uzayı

S ={1,2,3,4,5,6,7,8} şeklinde verilmiş olsun.

A={1,2}

B={2,4,6,8} olsun .

A ve B olayları bağımsız mıdır?

40

n(S)=8

n(A)=2

n(B)=4

n(A∩B)=1 3

8

2

4

16

7

5

ABS

8 .Ünite Örnek 9

Çözüm 9:

S ={1,2,3,4,5,6,7,8}

A={1,2}

B={2,4,6,8}

41

n(S)=8

n(A)=2

n(B)=4

n(A∩B)=1

n(A) 2P(A)=

n(S) 8

n(B) 4P(B)=

n(S) 8

n(A B) 1P(A B)=

n(S) 8

P(A B)=P(A)*P(B) ?

1 2 4*

8 8 8

1 8

8 64

1 1

8 8

3

8

2

4

16

7

5

ABS

8 .Ünite Örnek 9

Çözüm 9:

42

n(S)=8

n(A)=2

n(B)=4

n(A∩B)=13

8

2

4

16

7

5

ABS

1

84

8

P(A|B)=P(A) mıdır?

P(A B)P(A|B)

P(B)

P(A|B)

1P(A|B)

4

n(S)

8

n(A)P(A)=

2P(A)=

1P(A)

4

8 .Ünite

Küçük Sınav

Ünite 7: Temel Olasılık Hesaplamaları · 2018. 4. 6. · 8 .Ünite Örnek 8–7 Örnek 3 Klima...

Documents

Transcript of Ünite 7: Temel Olasılık Hesaplamaları · 2018. 4. 6. · 8 .Ünite Örnek 8–7 Örnek 3 Klima...