ÖNERMELER MANTIĞI
-
Upload
flynn-moon -
Category
Documents
-
view
87 -
download
2
description
Transcript of ÖNERMELER MANTIĞI
![Page 1: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/1.jpg)
ÖNERMELER MANTIĞI
Yılmaz KILIÇASLAN
![Page 2: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/2.jpg)
Önermeler Mantığı - Bağlaçlar Yalnızca doğruluk değerleri üzerinden fonksiyonel
olarak tanımlanabilen bağlaçlar ve olumsuzluk operatörü, Önermeler Mantığı için Mantık Sabiti olabilirler. Örnekler:
(1) Ali kafasını duvara çarptı ve ağlıyor.
(2) Ali ağlıyor çünkü kafasını duvara çarptı.
(3) Ali ağlıyor.
(4) Ali kafasını duvara çarptı.
(5) Ali ağlıyor çünkü yağmur yağıyor.
(6) Yağmur yağıyor.
![Page 3: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/3.jpg)
Önermeler Mantığı – Doğruluk Tabloları (1) OLUMSUZLUK:
φ ¬φ ----------------- 0 1
1 0
VE:
φ ψ (φ ψ) ----------------------- 0 0 0
0 1 0
1 0 0 1 1 1
![Page 4: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/4.jpg)
Önermeler Mantığı – Doğruluk Tabloları (2) VEYA:
φ ψ (φ ψ) --------------------------- 0 0 0
0 1 1
1 0 1 1 1 1
İSE
φ ψ (φ ψ) ----------------------- 0 0 1
0 1 1
1 0 0 1 1 1
![Page 5: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/5.jpg)
Önermeler Mantığı – Doğruluk Tabloları (3) ANCAK VE ANCAK:
φ ψ (φ ψ) --------------------------- 0 0 1
0 1 0
1 0 0 1 1 1
![Page 6: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/6.jpg)
Önermeler Mantığı ve Küme Kuramı
![Page 7: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/7.jpg)
Önermeler Mantığı – Bir Formel Dil-L0 (1) SÖZDİZİM:
A. Temel İfadeler
1. Mantık Sabitleri: ¬, , , , 2. Önerme Değişkenleri: p, q, r, p1, q1, r1, …
B. Oluşum Kuralları
1. Her önerme değişkeni L0’a ait bir formüldür.2. Eğer φ L0’a ait bir formül ise ¬φ da öyledir.3. Eğer φ ve ψ L0’a ait formül iseler
(φ ψ), (φ ψ), (φ ψ), (φ ψ) de öyledir.
4. Başka bir şey formül olamaz.
![Page 8: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/8.jpg)
Önermeler Mantığı – Bir Formel Dil-L0 (2) L0 için bir BNF (Backus-Naur Form) Gramer:
Formül p | q | r
| p1
| q1
| r1 | …
Formül ¬ Formül | ( Formül Formül )
| ( Formül Formül ) | ( Formül Formül )
| ( Formül Formül )
![Page 9: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/9.jpg)
Önermeler Mantığı – Bir Formel Dil-L0 (2) SEMANTİK:
L0 için modelimiz bütün önerme değişkenlerine 1 yada 0 değerini atayan bir F fonksiyonudur.
1. []F = F(), bütün önerme sabitleri için.
2. Eğer [φ]F = 0 ise [¬φ]F = 1’dir (ve diğer durumlarda [¬φ]F = 0’dır).
3. Eğer [φ]F = 1 veya [ψ]F = 1 ise [φ ψ]F = 1’dir.
4. Eğer [φ]F = 1 ve [ψ]F = 1 ise [φ ψ]F = 1’dir.
5. Eğer [φ]F = 0 veya [ψ]F = 1 ise [φ ψ]F = 1’dir.
6. Eğer [φ]F = 1 ve [ψ]F = 1 veya
[φ]F = 0 ve [ψ]F = 0 ise [φ ψ]F = 1’dir.
![Page 10: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/10.jpg)
Semantik Geçerlilik Eğer φ1 … φn önermelerinin her birinin doğru olduğu
bütün modellerde ψ önermesi de doğruysa,
φ1 … φn / ψ
argümanına (semantik olarak) geçerli bir argümandenir.
Bu durumda ψ, φ1 … φn önermelerinin semantiksonucudur deriz:
φ1 … φn ╞ ψ
![Page 11: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/11.jpg)
Alıştırma - 1
Aşağıdaki argümanının geçerliliğini semantik olarak gösteriniz.
p (q r), q ¬r / ¬p
![Page 12: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/12.jpg)
Hep-Doğrular ve Hep-Yanlışlar
![Page 13: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/13.jpg)
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 1 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı:
1. .
.
.
m1. φ
.
.
.
m2. ψ.
.
.
n. φ ψ E , m1, m2
![Page 14: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/14.jpg)
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 2 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı (i):
1. .
.
.
m. φ ψ .
.
.
n. φ Ç , m
![Page 15: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/15.jpg)
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 3 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı (ii):
1. .
.
.
m. φ ψ .
.
.
n. ψ Ç , m
![Page 16: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/16.jpg)
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 4
Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı:1. .
.
.
m1. φ ψ
.
.
.
m2. φ.
.
.
n. ψ Ç , m1, m2
![Page 17: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/17.jpg)
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 5
Bağlacı İçin Ekleme Kuralı:1. .
.
.
m. φ Varsayım.
.
.
n-1. ψ
n. φ ψ E
![Page 18: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/18.jpg)
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 6
Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (i):1. .
.
.
m. φ.
.
.
n. φ ψ E , m
![Page 19: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/19.jpg)
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 7
Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (ii):1. .
.
.
m. ψ.
.
.
n. φ ψ E , m
![Page 20: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/20.jpg)
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 8 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı:
1. .
.
.
m1. φ ψ
.
.
.
m2. φ X
.
.
.
m3. ψ X .
.
.
n. X Ç , m1, m2 , m3
![Page 21: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/21.jpg)
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 9 Bağlacı İçin Çıkarma Kuralı:
1. .
.
.
m. φ ψ
.
.
.
n. (Φ ψ) (Φ ψ) Ç , m
![Page 22: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/22.jpg)
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 10 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (i):
1. ...
m1. φ ψ ...
m2. ψ φ...
n. (Φ ψ) E , m1, m2
![Page 23: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/23.jpg)
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 11 Bağlacı İçin Ekleme Kuralı (ii):
1. ...
m1. φ ψ ...
m2. ψ φ...
n. (ψ φ) E , m1, m2
![Page 24: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/24.jpg)
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 12 ¬ Operatörü İçin Çıkarma Kuralı:
1. .
.
.
m1. ¬φ
.
.
.
m2. φ
.
.
.
n. ┴ Ç ¬, m1, m2
![Page 25: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/25.jpg)
Dizimsel Çıkarım Kuralları - 13 ¬ Operatörü İçin Ekleme Kuralı:
1. .
.
.
m1. φ Varsayım.
.
.
n-1. ┴
n. ¬φ E ¬
![Page 26: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/26.jpg)
ÖrnekHizmetçi kız tarafından işlendiyse, ancak salonda olması halinde cinayet, tabancayla gerçekleştirilmiştir. Fakat, salonda gerçekleşmemiş olması halinde, baş uşak suçsuz ise, cinayet hizmetçi kız tarafından işlenmiştir. Ancak tabancayla işlenmiş olması halinde cinayeti hizmetçi kız işlemiş iken, salonda gerçekleşmiş olması halinde baş uşak suçludur. Öyleyse, baş uşak suçludur.
1. p (q r) öncül
2. (¬p1 ¬r) p öncül
3. (p q) (r p1) öncül
4. ¬p1 varsayım
5. ¬r varsayım
6. ¬p1 ¬r E, 4, 5
7. p Ç, 2, 6
8. q r Ç, 1, 7
9. p q Ç, 3
10. q Ç, 7, 9
11. r Ç, 8, 10
12. ┴ Ǭ, 5, 11
13. r E¬
14. r p1 Ç, 3
15. p1 Ç, 3, 14
16. ┴ Ǭ, 4, 15
17. P1 E¬
Anahtar:
p: Cinayeti hizmetçi kız işledi.
q: Cinayet tabancayla işlendi.
r: Cinayet salonda işlendi.
p1: Cinayeti baş uşak işledi.
![Page 27: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/27.jpg)
Alıştırmalar - 2
Aşağıdaki ifadelerin L0’a ait birer formül olup olmadığını gösteriniz.
1. ¬(¬p q)
2. (p ((p q)))
3. (p (q r))4. (¬p ¬¬p)
5. (p (p q) q)
![Page 28: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/28.jpg)
Alıştırmalar - 3
Aşağıdaki cümleleri L0’ın ifadeleri olarak formüle ediniz.
1. Kimse gülmedi veya alkışlamadı.
2. Güneş parlarken yağmur yağarsa, gökkuşağı görünür.
3. Ahmet işe arabayla veya bisiklet ve trenle gider.
4. Annem ve babam birlikte giderlerse ben gitmeyeceğim, ama sadece babam giderse ben de gideceğim.
5. Yardımına ihtiyacım olduğunda bana yardım etmezsen, bana ihtiyacın olduğunda da ben sana yardım etmem.
![Page 29: ÖNERMELER MANTIĞI](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081418/56813654550346895d9ddbb7/html5/thumbnails/29.jpg)
Alıştırmalar - 3
Aşağıdaki teoremleri dizimsel çıkarım ile ispatlayınız:1. (p q) |-- (q p)2. (p q) r |-- (q p) r3. |-- ((p q) r) (p (q r))