klidin elerinin Kitabndan Birinci Kitap

elerin KitabndanBirinci Kitap

klidin Yunanca metnive

zer ztrk & David Piercein evirdii Trkesi

Dzeltilmi . bask Eyll

Matematik BlmMimar Sinan Gzel Sanatlar niversitesi

stanbulhttp://mat.msgsu.edu.tr/

Bu almaCreative Commons Attribution-Gayriticari-ShareAlike .

Unported Lisans ile lisansl.Lisansn bir kopyasn grebilmek iin,

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/

adresini ziyaret edin ya da mektup atn:Creative Commons,

Castro Street, Suite ,Mountain View, California, , USA.

CC BY: zer ztrk & David Pierce $\

C

ozer.ozturk@msgsu.edu.tr dpierce@msgsu.edu.tr

nsz

Bu kitapta, klidin eler inin birinci kitabnn orijinal Yunanca metnive paralel Trke eviri birlikte sunulmutur. Kitabmz, Mimar SinanGzel Sanatlar niversitesinin Matematik Blmnde bir birinci snflisans dersi iin hazrlanmtr.Kitabn birinci basks, Gz dneminde, ve ikinci basks,

Gz dneminde kullanlm ve fark edilen hatalar dzeltilmitir.lk dersin retmenleri, zer ztrk ve David Pierce oldu; sonraki

dersin retmenleri, Ahmet Bakkalolu, Ayhan Gnaydn, zer ztrkve David Pierce oldu.Kitabn ilk iki basksnda, ngilizce evirisi de vard. Bu nc baskya

ngilizce eviriyi almadk.Buradaki Yunanca metin, Heibergindir []. Kitabnn kopyas, inter-

nette bulunabilir, mesela Wilbour Hall ve European Cultural HeritageOnline (ECHO) sitelerinde. Aslnda LTEX elektronik dosyamz iin Fitz-patrickin LTEX kaynan [] kullanmtk. Ama Fitzpatrickin dosyasn-daki metni Heibergin kitabndan nasl aldn bilmiyoruz, ve bu metindebirka hatalar fark ettik. Bu hatalar, Project Perseus sitesinde bulun-mamaktadr.

Project Perseus sitesinden ok faydalandk. Gler elginin [] szlde yararlyd. Kullandmz Yunanca font, Greek Font Society (YunanFont Dernei) tarafndan salanan NeoHellenic fontudur.

http://www.wilbourhall.orghttp://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/home

Fitzpatrick Heibergnerme satr sayfa sayfa satr () ilk () () son () () ()

http://www.perseus.tufts.edu/

indekiler

Giri

// Hudutlar

// Postulatlar

// Ortak kavramlar

nermeler . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

indekiler

. nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nerme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fiiller Szl

Edatlar Szl

Kaynaka

Giri

Bildiimiz kadar ile, aa yukar bir yzyl nceye kadar, en azndanDnyann Hristiyan ve Mslman yerlerinde, her matematikci matema-tii klidden rendi. Bizce matematik rencileri, hl klidi okuma-llardr. eler eseri, dnyann ilk matematik dizgesidir.Her kitap gibi, klidin eler i mkkemel olmayabilir. Yapsnda ha-

talar varsa, renci onlar dzelterek rensin. Bugnk analitik ge-ometri ders kitaplar, mantk asndan dzensiz olabilir, ama eler inbirinci kitabnn yardmyla dzeltilebilir.

Metnimiz

klidin eler inin birinci kitab, burada iki stun halinde sunuluyor:sol stunda orijinal Yunanca metin, ve sanda bir Trke evirisi yeralyor.klidin eler i, her biri nermelere blnm olan kitaptan olu-

ur. Baz kitaplarda tanmlar da vardr. Birinci kitap ayrca postlat-lar ve ortak kavramlar da ierir. Bu baskda Yunanca metnin hernermesinin her cmlesi yle birimlere blnmtr ki

) (hemen hemen) her birim bir satra sar,) her birim cmle iinde bir rol oynar,) her birimin tam Trke evirisi vardr.

Her birimin evirisi, orijinalinin yannda yer alr. Bazen ortaya kanTrke cmleler, biraz tuhaf gelebilir. Bu durumda, daha akc ifadelerbulmak okuyucuya braklmtr.eler in her nermesinin yannda, ou noktann (ve baz izgilerin)

harerle isimlendirildii, bir izgi ve noktalar resmi yer alr. Bu resimharfli diagramdr. Her nermede diagram kelimelerin sonuna yerleti-riyoruz. Reviel Netze gre orijinal ruloda diagram burada yer alrd vebylece okuyan nermeyi okumak iin ruloyu ne kadar amas gerekti-ini bilirdi [, p. , n. ]. Bu baskda bir nerme iki sayfaya smazsa,diagram tekrarlanr.

klidin yazdklar, eitli szgelerden geerek bize ulamtr. e-ler in M.. civarnda yazlm olmas gerekir. Bizim kullandmzte yaynlanan Heiberg [] versiyonu, . yzylda yazlm ve Vati-kanda bulunmu bir elyazmasna dayanmaktadr.

Dili ve alfabesi

klidin kulland dil, Antik Yunancadr. Bu dil, ngilizce ve Farsagibi, Hint-Avrupa dilleri ailesindendir. Trke, bu aileden deildir; fakatbaz ynlerden Trke, Yunancaya, ngilizceden daha yakndr. rneinTrke ve Yunanca, adlar ve iller eker. ngilizce ve Trkenin gnmzbilimsel terminolojisinin kkleri genellikle Yunancadr.Yunan alfabesinin aadaki numaral sayfada verilen harni ez-

berlemenizi tavsiye ederiz. Bu kitapta her nermenin sadece bir diagramvardr, ve hareri Yunan alfabesinden alnmtr. Matematikiler, bu harf-leri her zaman kullanrlar.

elerin ve nermelerinin analizi

eler in her nermesi bir problem veya bir teorem olarak anlalabilir.M.S. civarnda (yani klidden yzyl sonra) yazan skenderiyeliPappos bu ayrm aadaki gibi tarif ediyor:

Geometri aratrmalarnda daha usta , bir ayrtrma yapmak isteyenler, - bir eyin yaplmasn veya ina edilme- , sini neren bir [nerme]ye problem

demeyi uygun gryorlar, ve belirli varsaymlarn eitliklerinin ve zorunlu sonularnn incelendii bir, [nerme]ye, teorem [demeyi uygun

gryorlar]; , ama antiklerin bazlar [nermelerin] . tmnn problem, bazlar da teorem

olduunu sylemitir.

Pappostan yaplan alnt, onun Toplama eserinin nc kitabnn [, s. ] giriin-den alnmtr. Alnt, [, pp. ] kaynanda da bulunabilir.

Giri

Bir problem bir ey yapmay nerir; bir teorem bir ey inceler. Pappos,problem ve teorem kelimelerinin etimolojisini antryor:

problem teorem- ner- - incele-

Bizim nerme szcmz, Yunancada bulunmamaktadr, ama etimolojiasndan ad gibidir. Yunan - fiili, anlam bak- olan -fiilinden trenmitir. Bu son fiilden tiyatro gelmitir.ster bir problem, ister bir teorem olsun, bir nermenin metni alt par-

aya kadar ayrlp analiz edilebilir. M.S. beinci yzylda (yani klidden yzyl sonra) Proklos bu paralar ve bu analizi anlatmtr:

Btn paralaryla donatlm her - problem ve her teorem aadaki tm paralar iermek ister:[i] , [ii] , () bildirme, () aklama,[iii] , [iv] , () belirtme, () dzenleme,[v] , [vi] . () gsterme, ve () bitirme. Bunlardan da: , . Bildirme, hangi verilenden hangi

. [sonucun] arandn syler. . Zira tam bir bildirme, bu iki parann

ikisini de ierir. .Aklama, verileni ayrca ele alarak . bunu aratrmada kullanmak zere ha-

zrlar. , . Belirtme, aranann ayrca ne oldu- , . unu net bir ekilde gsterir. . Dzenleme, aranan avlamak iin verilendeki eksikleri yerlemitir..

- . Gsterme, [elimizde] bulunanlar . bilimsel olarak kabul edilen [ilkeler]e

gre birletirir. . Bitirme, gsterilmi olan onayla-

Verilen alntnn Yunancas, [, s. ] kaynandan alnmtr. Bu kitabn ngilizce[] evirisi vardr. Verilen alntnn ngilizcesi, [, s. xxiii] bulunmutur. ProklosBizans (imdi stanbul) doumludur, ama aslnda Likyaldr, ve ilk eitimini Ksan-tosta almtr. Felsefe renmek iin skenderiyeye ve sonra da Atinaya gitmitir[, s. xxxix].

. yarak bildirmeye geri dner. - Bunlar, problemlerin ve teoremlerin - btn paralardr.

- En zorunlu olan ve her [nerme]de bu- . lunan [paralar], bildirme, gsterme,

ve bitirmedir.

Biz de Proklosun analizini aadaki anlamyla kullanacaz:. Bildirme, bir nermenin, harfli diagrama gnderme yapmayan, ge-

nel beyandr. Bu beyan, bir doru veya gen gibi bir nesne hak-kndadr.

. Aklama, bu nesneyi harfler araclyla diagramda iaret eder. Bunesnenin varl nc tekil emir kipinde bir fiil ile oluturulur.

. Belirtme,a) bir problemde, nesne ile ilgili ne yaplacan syler ve

kelimeleriyle balar (burada , gereklidir, ise o haldeanlamndadr);

b) bir teoremde, nesneyle ilgili neyin ispatlanacan syler ve di-yorum ki anlamna gelen kelimeleriyle balar. Aynifade, bir problemde de belirtmeye ek olarak, gstermenin ba-nda ve dzenlemenin sonunda grlebilir.

. Dzenleme varsa, ikinci kelimesi olur. Bu kelime, onaylayc birzarf ve sebep belirten bir balatr. Bunu zira olarak evirdik vecmlenin birinci kelimesi yaptk.

. Gsterme, genellikle (nk, olduundan) ilgeciyle balar.. Bitirme, bildirmeyi tekrarlar ve genellikle (bylece) ilgecini

ierir. Tekrarlanan bildirmeden sonra bitirme aadaki iki kalptanbiriyle sonlanr:a) yaplmas gereken tam buydu (problem-

lerde; Latincesi quod erat faciendum veya QEF);b) gsterilmesi gereken tam buydu (teoremlerde;

Latincesi quod erat demonstrandum veya QED).

Giri

byk kk okunu isim a alfa b beta g gamma d delta e (ksa) epsilon z (ds) zeta (uzun e) eta th theta i iota (yota) k kappa l lambda m m n nXi1 ks ksi o (ksa) omikron p pi r rho (ro) , s sigma t tau y, psilon f phi h (kh) khi ps psi (uzun o) omega

Yunan alfabesi

// Hudutlar

, [] Bir nokta, . hibir paras olmayandr.

[] Ve bir izgi, . geniliksiz uzunluktur.

[] Ve bir izginin . snrlar, noktadr.

, [] Bir doru izgi, eit olarak zerindeki noktalara gre. oturandr.

, [] Ve bir yzey, sadece uzunluu ve genilii. olandr.

[] Ve bir yzeyin . snrlar, izgidir.

, [] Bir dzlem yzeyi, eit olarak zerindeki dorulara gre. oturandr.

Lucio Russoya [, s. ] gre bu tanm ve buradaki baka tanmlar, HeronunTanmlar (Heronis Denitiones) adl kitabndan klidin eler ine eklenmitir.Heronun Tanmlarnda Bir doruizgi, eit olarak zerindeki noktalara gre dz ve ularndan en fazla gerilmioturandr (A straight line is a line that equally with respect to [all] points on itselflies straight and maximally taught between its extremities) metni bulunmutur.

// Hudutlar

[] Ve bir dzlem as, bir dzlemde iki izgi birbirine dokununca ve bir doru zerinde oturmaynca izgilerin birbirine gre. eimidir.

[] Ve ne zaman ay ieren izgiler , doru olursa . aya dzkenar denir.

[] Ve ne zaman bir doru, bir dorunun zerine dikilmi, bitiik alar , birbirine eit yaparsa, , eit alarn her biri, diktir, ve dikilmi doruya , dikey denir . zerine dikildigi [doru]ya.

[] Bir geni a, . dik [a]dan byk olandr.

[] Ve bir dar a, . dik [a]dan kk olandr.

, [] Bir hudut, . herhangi bir eyin snr olandr.

[] Bir figr, bir hudut veya hudutlar tarafndan. ierilendir.

Bu tanm, . ve . nermelerde alntlanr.Atatrkn Geometri kitabna [, , s. ] gre yle bir a, oput adr.

[] Bir daire, dzlemdeki bir figrdr bir izgice ierilen[ ], [bu izgiye evre denir] yle ki [bu izginin zerine] bir noktasndan (figrn ierisinde oturan noktala-

rn) tm den dorular,[ ] [evrenin zerine] . birbirine eittir.

[] Ve dairenin merkezi . denir o noktaya.

[] Ve bir dairenin bir ap, herhangi bir dorudur dairenin merkezinden ilerletilmi ve snrlandrlan her iki tarafta , dairenin evresi tarafndan; ve [byle bir doru,] . daireyi ikiye bler.

[] Bir yardaire, ierilen figrdr hem bir ap hem onun ayrd. evre tarafndan. , Ve yardairenin merkezi ayndr . daireninkiyle.

[] Dzkenar figrler, , dorularca ierilendir: , kenar figrler , , drtkenar figrler de drt, okkenar figrler de drtten daha fazla

// Hudutlar

. doruca ierilendir.

[] Ve kenar figrlerden ekenar gen, , eit kenar olan; ikizkenar da, , sadece iki eit kenar olan; eitkenar da, . eit olmayan kenar olandr.

[] Ve ayrca, kenar figrlerden, dik [al] gen, , bir dik as olan; geni al da, , bir geni as olan; dar al da, . dar as olandr.

[] Ve drtkenar figrlerden , kare, hem ekenar olan , hem dik; , dikdrtgen de , dik olan , ama ekenar olmayan; , romb da, , ekenar olan , ama dik olmayan; romboid de hem karlkl kenar , hem alar eit olan ama ne ekenar ne dik olandr. Ve bunlarn dnda kalan drtkenarlara

. trapezion denilsin.

, [] Paraleldir dorular, ayn dzlemde bulunan ve sonsuza uzatlnca her iki tarafta, hibir tarafta . arpmayan.

Yani ekenar drtgen.Romb ve romboid terimleri, nermelerde kullanlmaz. Trapezion terimi, . ner-

mede, yamuk iin kullanlr.

// Postulatlar

[Postulat olarak] rica edilmi olsun: [] herhangi bir noktadan herhangi bir noktaya bir doru izgi. ilerletmek.

[] Ve snrlanm bir doruyu kesiksiz ekilde bir doruda. uzatmak.

[] Ve her merkez ve uzunlua bir daire. izmek.

[] Ve btn dik alarn . birbirine eit olduu.

[] Ve eer iki dorunun zerine den bir doru ayn tarafta oluturduu i alar , iki dik adan kk yaparsa, uzatldklarnda bu iki dorunun snrszca, arpaca, alarn iki dik adan kk olduu

. tarafta.

// Ortak kavramlar

[] Ayn eye eitler . birbirine de eittir.

[] Ve eer eitlere , eitler eklenirse, . btnler eittir.

[] Ve eer eitlerden , eitler ayrlrsa, . kalanlar eittir.

[] Ve birbirine uygulaan eyler . birbirine eittir.

[] Ve btn, []. paradan byktr.

Ortak kavram adnn yerine aksiyom kullanlabilir.Bu cmle, ., ., ve . nermelerde alntlanr.Veya birbiriyle akan.

nermeler

. nerme

Verilmi snrlanm dorunun zerinde ekenar gen. ina etmek.

Olsun verilmi snrlanm doru . .

O halde gereklidir dorusuna ekenar gen. ina etmek.

merkezine, uzaklnda olan daire izilmi olsun, , , ve yine merkezine, uzaklnda olan daire izilmi olsun, , , , - ve dairelerin kesitii noktasndan

,

, , noktalarna birletirilmi olsun , . , dorular.

. nerme

Ve noktas dairesinin merkezi , olduundan,

, ya eittir., Yine noktas dairesinin merkezi ol-

, duundan, . , ya eittir. Ve nn ya eit olduu gste-

rilmiti. , Bylece ile nn her biri ya

. eittir. Ama ayn eye eitler birbirine de eittir. Bylece da, ya eittir. , , Bylece o doru, , , , . birbirine eittir.

Bylece ekenardr . geni. Ve ina edilmitir verilmi snrlanm dorusuna;

.

. yaplmas gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Verilmi noktaya verilmi doruya eit olan . doru yerletirmek.

Olsun , verilmi nokta , verilmi doru da .

O halde gereklidir noktasna, verilmi dorusuna eit olan . bir doru yerletirmek.

Zira birletirilmi olsun noktasndan noktasna , dorusu, ve ina edilmi olsun bu [doru] zerine , ekenar gen , ve uzatlm olsun , ile dorularndan , , ile dorular, ve merkezine uzaklnda , dairesi izilmi olsun, ve yine merkezine ve uzaklnda . dairesi izilmi olsun.

Dolaysyla noktas dairesi- , nin merkezi olduundan,

. , ya eittir., Yine, noktas dairesinin mer-

, kezi olduundan, , , ya eittir,

. nerme

. ve bunlardan , ya eittir. Bylece kalan, . kalanna eittir. Ve nn ya eit olduu gste-

rilmiti. , Bylece ile nn her biri ya

. eittir. Ama ayn eye eitler birbirine de eittir. . Ve bylece da, ya eittir.

Bylece verilmi noktasna verilmi dorusuna eit olan dorusu oturuyor; . yaplmas gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

ki eit olmayan doru verilince daha bykten daha ke eit olan . bir doru ayrmak.

Olsun verilmi iki eit olmayan doru , , ile , ve daha by olsun.

O halde gereklidir daha byk olan dan daha kk olan ya eit olan . bir doru ayrmak.

Otursun noktasna dorusuna eit olan . Ve merkezine uzaklnda olan . dairesi izilmi olsun.

Ve noktas, , dairesinin merkezi olduun-

dan, , ya eittir. . Ama da, ya eittir. , Bylece ile nn her biri ya eittir. . yleyse da, ya eittir.

Bylece iki eit olmayan ile , dorusu verilince

daha byk olan dan

. nerme

daha kk olan ya eit olan ayrlr; . yaplmas gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Eer iki gende iki kenar[] iki kenara eit olursa, her biri birine, ve a, aya eit olursa, [yani,] eit dorular tarafndan, ierilen, taban da , tabana eit olacak, gen de , gene eit olacak, ve kalan alar da kalan alara eit olacak, , her biri birine, [yani,] eit kenarlar tarafndan. raptedilenler.

Olsun , iki gen ile , , iki ile kenar , iki ile kenarna eit olan

Veya eit kenarlar tarafndan grlenler.

. nerme

her biri birine, , a ve , ya, ve [tarafndan ierilen] as . asna eit [olan].

, Diyorum ki, tabanda, , tabanna eittir, geni de , genine eit olacak, ve kalan alar da kalan alara eit olacak, , her biri birine, eit kenarlar tarafndan, raptedilenler: , , ya, . ve , a.

Zira uygulannca geni, geninin stne, ve yerletirilince noktas, noktasna, ve dorusu, , a, uygulayacak da noktas da a, nk , a eittir. O halde uygulam olunca , a, uygulayacak da dorusu, ya, nk as, ya eittir.

yleyse noktas da

Veya ddia ediyorum.

nermeler

noktasna uygulayacak, . yine nk , ya eittir. Ama tabii ki da, a uygulamtr; yleyse taban, . tabanna uygulayacak. Zira eer, , a uygulaynca, ve , ya, taban , tabanna uygulamayacaksa, iki doru bir alan ierecek, . ki bu imknszdr. Bylece uygulayacak taban, tabanna ve ona eit olacak. Dolaysyla btn geni de, btn genine uygulayacak, , ve ona eit olacak, ve kalan alar kalan alara uygulayacak, , ve onlara eit olacak: , ya . ve , a.

Bylece, eer iki gende iki kenar[] iki kenara eit olursa (her biri birine) ve a aya eit olursa [yani,] eit dorular tarafndan, ierilen, taban da , tabana eit olacak, gen de

. nerme

, gene eit olacak, ve kalan alar da kalan alara eit olacak, , her biri birine, [yani] eit kenarlar tarafndan raptedilenler; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

kizkenar genlerde, tabandaki alar , birbirine eittir, ve, eit dorular uzatldnda, tabann altnda kalan alar . birbirine eit olacak.

Olsun ikizkenar gen , kenar kenarna eit olan,

,

ve uzatlm olsun , ve dorularndan , ve dorular.

, Diyorum ki as, , ya eittir . ve , a eittir

Zira alnm olsun zerinde , rastgele bir noktas, ve ayrlm olsun byk olan dan

. nerme

, kk olan ya eit olan , ve birletirilmi olsun , . ve dorular.

Dolaysyla eit olduundan , ya , ve , ya, , o halde , ikilisi , , ikilisine eittir, her biri birine; ve ortak bir ay snrlandrrlar, (yani) y; bylece taban , tabanna eittir, ve geni , genine eit olacak, ve kalan alar kalan alara eit olacak, , her biri birine, , (yani) eit kenarlar grenler; , , ya, . ve , ya. Ve btn , btn ya eit olduundan, ve bunlarn [paralarndan] , ya eit olduundan, bylece kalan . kalanna eittir. Ve gsterilmiti nn ya eit olduu. , O halde ve ikilisi , ve ikilisine eittir, her biri birine, ve as, , asna eittir, ve onlarn ortak taban dr; Bylece geni de , genine eit olacak,

nermeler

ve kalan alar kalan alarna eit olacak, , her biri birine, ayn kenarlar grenler. Bylece eittir , ya, . ve , ya. Dolaysyla btn asnn btn asna , eit olduu gsterilmi olduundan ve bunlarn [paralarndan] , , ya eit olduundan, bylece kalan , kalan ya eittir; ve bunlar tabanndadr . geninin. Ve gsterilmiti nn ya eit olduu; . ve bunlar tabann altndadr.

Bylece ikizkenar genlerde, tabandaki alar , birbirine eittir, ve, eit dorular uzatldnda, tabann altnda kalan alar birbirine eit olacak; . gsterilmesi gereken tam buydu.

. nerme

nermeler

. nerme

Eer bir genin iki as , birbirine eit ise, eit alar rapteden kenarlar da . birbirine eit olacaktr.

Olsun gen , as eit olan asna.

, Diyorum ki kenar da . kenarna eittir.

, Zira eer , ya eit deilse, . biri daha byktr. , daha byk olsun, ve ayrlm olsun daha byk olan dan daha kk olan ya eit olan , , . ve birletirilmi olsun.

Dolaysyla , ya eit olduun-dan,

, ve ortak olduundan, , o halde , ikilisi , , ikilisine eittir , her biri birine, ve as asna eittir; bylece taban , tabanna eittir, ve geni

. nerme

, genine eit olacak, daha kk daha bye; ki bu samadr; bylece eit deil deildir , ya; . bylece eittir.

Bylece eer bir genin iki as , birbirine eit ise, eit alar rapteden kenarlar da birbirine eit olacaklar; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Ayn doru zerinde, ayn iki doruya eit olan baka iki doru, her biri birine, ina edilmeyecek bir ve baka bir noktaya, ayn tarafta, ayn snrlar olan . balangtaki dorularla.

, Zira eer mmknse, ayn dorusu zerinde , verilmi iki , dorusuna , eit baka iki , dorusu her biri birine ina edilmi olsun bir ve baka bir noktaya, hem ya hem ya, ayn tarafta, , ayn snrlar olan, yle ki eit olsun hem , ya, kendisiyle ayn snra sahip olan, , [yani] ; hem de , ya, kendisiyle ayn snra sahip olan, , [yani] , . ve birletirilmi olsun.

Dolaysyla eit olduundan , , ya, eittir as da, ya;

Heath [, I.], . nermeyle karlatrmamz nerir.

. nerme

bylece byktr dan; bylece ok daha byktr . dan. , Yine , ya eit olduundan, eittir as da, . asna. Ve ondan ok daha byk olduu

gsterilmiti; . ki bu imknszdr.

Bylece olmaz: ayn doru zerinde, iki verilmi doruya, eit iki baka doru, her biri birine, ina edilmeyecek bir ve baka bir noktaya, ayn tarafta, ayn snrlar olan balangtaki dorularla; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Eer iki gende iki kenar[] iki kenara eit ise, , her biri birine, , ve taban tabana eit ise, a da aya eit olacak, eit dorularca. ierilen.

Olsun , iki gen ve , , iki ile kenar , iki ile kenarna eit olan , her biri birine, , a, da, ya; olsun bir de taban tabanna eit.

, Diyorum ki bir de as da . asna eittir.

. nerme

Zira uygulannca geni gene, ve yerletirilince noktas, noktasna, ve dorusu, ya, uygulayacak da noktas, ya, nk , ya eittir. Uygulaynca, o halde, , ya, , bir de ve , uygulayacak , . ve ya. Zira eer taban, , tabanna uygularsa, , ve ve kenarlar , ve ya uygulamazsa, ama saparsa, , , ve olarak, ina edilecek ayn doru zerinde, ayn iki doruya eit olan baka iki doru, her biri birine, bir ve baka bir noktaya ayn tarafta . ayn snrlar olan. Ama ina edilmez; bylece olmaz: taban uygulaynca tabanna, uygulamayacak , ve kenarlar da, , . ve ya. Bylece uygulayacaklar. yleyse as da

nermeler

asna uygulayacak . ve ona eit olacak.

Eer, bylece, iki gende iki kenar[] iki kenara eit ise , her biri birine, , ve taban tabana eit ise, a da aya eit olacak, eit dorularca ierilen; . gsterilmesi gereken tam buydu.

. nerme

nermeler

. nerme

Verilmi dzkenar ay . ikiye blmek.

Olsun verilmi dzkenar a . .

O halde gereklidir . onun ikiye blnmesi.

alnm olsun , zerinde rastgele bir noktas, ve ayrlm olsun dorusundan , ya eit olan , , ve birletirilmi olsun, ve ina edilmi olsun zerinde , bir ekenar geni, ve birletirilmi olsun.

, Diyorum ki as ikiye blnm oldu . dorusu tarafndan. Zira olduundan , a eit, , ve ortak, , o halde , ikilisi , , ikilisine eittir . her biri birine, ve taban tabanna eittir; bylece as . asna eittir.

Bylece verilmi dzkenar a

. nerme

ikiye blnm oldu dorusunca; . yaplmas gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Verilmi snrl doruyu . ikiye blmek.

Olsun verilmi snrl doru .

O halde gereklidir snrl dorusunu . ikiye blmek.

na edilmi olsun zerinde , ekenar geni, ve blnm olsun as ikiye dorusunca.

, Diyorum ki dorusu ikiye blnm oldu . noktasnda. Zira olduundan , kenarna eit, , ve ortak, , o halde ve ikilisi , , ikilisine eittir, her biri birine, ve as asna eittir; bylece taban . tabanna eittir.

Bylece verilmi snrl , noktasnda ikiye blnm oldu; . yaplmas gereken tam buydu.

. nerme

nermeler

. nerme

Verilmi bir doruya zerinde verilmi bir noktadan dik alarda . bir doru ilerletmek.

Olsun verilmi doru , ve zerinde verilmi nokta .

O halde gereklidir noktasndan dorusuna dik alarda . bir doru ilerletmek.

alnm olsun da , rastgele bir noktas ve otursun , ya eit olan , ve ina edilmi olsun zerinde , ekenar geni, ve birletirilmi olsun.

, Diyorum ki verilmi dorusuna zerindeki noktasndan

dik alarda . bir dorusu ilerletilmi oldu. , Zira , a eit olduundan, , ve ortak olduundan, , o halde ve ikilisi, , ve ikilisine eittir,

. nerme

her biri birine; ve taban tabanna eittir; bylece as asna eittir; . ve bitiiktir. Ne zaman bir doru, bir doru zerine dikilmi, bitiik alar , birbirine eit yaparsa, eit alarn her biri, diktir. Bylece diktir , . , alarnn her biri.

Bylece, verilmi dorusuna, zerinde verilmi noktasnda,

dik alarda, bir dorusu ilerletilmi oldu; . yaplmas gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Verilmi snrlanmam doruya, , verilmi bir noktadan, , zerinde olmayan, . dikey doru bir izgi ilerletmek.

Olsun verilmi snrlanmam doru , , ve verilmi nokta, , zerinde olmayan, .

O halde gereklidir verilmi snrlanmam doru-

suna , verilmi noktasndan, , zerinde olmayan, . dikey doru bir izgi ilerletmek.

Zira almi olsun dorusunun dier tarafnda , rastgele bir noktas, ve merkezinde, uzaklnda, , bir dairesi izilmi olsun, ve dorusu noktasnda ikiye

, blnm olsun, ve birletirilmi olsun , , , , ve dorular.

, Diyorum ki verilmi snrlanmam doru- suna, , verilmi noktasndan, , zerinde olmayan,

. nerme

. dikey ilerletilmi oldu , Zira , a eit olduundan, , ve ortak olduundan, , o halde ve ikilisi, , ve ikilisine eittir, her biri birine; ve taban tabanna eittir; bylece as . asna eittir. . Ve bitiiktir. Ne zaman bir doru, bir doru zerinde dikildiinde, bitiik alar , birbirine eit yaparsa, , eit alarn her biri diktir, ve dikilmi doruya dikey denir . zerine dikildii [doru]ya.

Bylece, verilmi snrlanmam doruya,

, verilmi noktasndan, , zerinde olmayan, dikey , ilerletilmi oldu; . yaplmas gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Eer bir doru, bir dorunun zerine dikilmi, , alar yaparsa, ya iki dik ya da iki dik aya eit. [onlar] yapacak.

Zira bir dorusu, dorusunun zerine dikilmi, , ve alarn olutursun.

, Diyorum ki , ve alar ya iki dik adr . ya da iki dik aya eittir.

Dolaysyla eer eitse , , ya, . iki dik adr.

, Eer deilse, ilerletilmi olsun, noktasndan, [] dorusuna, dik [a]larda, .

, Bylece ve , iki diktir; ve , , ve ikilisine , eit olduundan, ortak olarak , eklensin. , Bylece ve ,

. nerme

, , , ve lsne . eittir., Yine , , ve ikilisine , eit olduundan, ortak olarak , eklensin; , bylece ve , , , , ve lsne . eittir. Ve ayrca gsterilmiti , ve nn ayn lye eitlii. Ve ayn eye eitler birbirine de eittir; , ve, bylece, ve , , ve ya eittir; , ama ve , iki diktir; , ve bylece ve . iki dik aya eittir.

Eer, bylece, bir doru, bir dorunun zerine dikilmi, , alar yaparsa, ya iki dik ya da iki dik aya eit [onlar] yapacak; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Eer bir doruya, ve ayn noktasnda, iki doru, ayn tarafnda uzanmayan, bitiik alar iki dik aya eit, yaparsa, bir doruda birbiriyle olacak . dorular.

Zira bir dorusuna, ve noktasnda, , iki ve dorular, ayn tarafnda uzanmayan, , bitiik ve alar iki dik aya eit yapsn.

, Diyorum ki bir dorudadr . ile .

Zira eer deilse ile bir doruda , , olsun ile bir doruda . .

Dolaysyla dorusu , dorusunun zerine konuldu-

undan, , bylece ve alar iki dik aya eittir.

. nerme

, ve da iki dik aya eittir. , Bylece ve , , . ve ya eittir. Ortak olarak kartlmi olsun. Bylece kalan , kalanna eittir, kk olan bye; . ki bu imknszdr. Bylece deildir . bir doruda , ile. , Benzer ekilde o halde gstereceiz ki hibiri [yle deildir], dnda. Bylece bir dorudadr . , ile.

Eer, bylece, bir doruya, ve ayn noktasnda, iki doru, ayn tarafnda uzanmayan, bitiik alar iki dik aya eit, yaparsa, bir doruda birbiriyle olacak dorular; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

, Eer iki doru birbirini keserse, ters alar

. birbirine eit yapar.

, Zira ve dorular birbirini kessin noktasnda.

, Diyorum ki eittir , , ya, . ve , ya.

Zira dorusu dorusuna dikilmi olduundan, , , ve alarn yapan, , bylece ve alar . iki dik aya eittir., Yine, dorusu dorusuna dikilmi olduundan, , , ve alarn yapan, , bylece ve alar . iki dik aya eittir. Ve gsterilmiti , ve alarnn iki dik aya eitlii, , bylece ve , , . ve ya eittir. Ortak olarak kartlm olsun

Yunancada bataki alar.

. nerme

; bylece kalan, kalanna eittir; , benzer ekilde o halde gsterilecek ki , . as da asna eittir.

Eer, bylece, , iki doru birbirini keserse, ters alar birbirine eit yapar . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Herhangi bir genin kenarlarnn biri uzatlnca, d a, her birinden (i ve kart alarn) . byktr.

Olsun , gen , ve uzatlm olsun onun kenar, noktasna.

, Diyorum ki d as byktr her birinden i ve kart , . ve alarnn.

, kenar, E noktasndan ikiye b-lnm olsun,

ve, birletirilince, , bir doruda, noktasna, uzatlm

olsun ve dorusuna eit olan otursun , , , ve birletirilmi olsun , . ve dorusu, noktasna ilerletil-

mi olsun.

Dolaysyla eit olduundan , , dorusuna, , ve , dorusuna, , o halde ve ikilisi, , ve ikilisine eittir,

. nerme

her biri birine; ve as, asna eittir, zira ters; bylece taban , tabanna eittir, ve geni , genine eittir, ve kalan alar kalan alarna eittir, , her biri birine, (yani) eit kenarlar grenler. Bylece eittir . ve . Ama byktr , asndan; bylece byktr . , asndan. Benzer ekilde o halde ikiye blnm olduundan , , gsterilecek ki , , asna eit olan, . byktr asndan da.

Bylece, herhangi bir genin, kenarlarndan biri uzatldnda, d a her bir i ve kart adan byktr; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Herhangi bir genin iki as kktr iki dik adan, . nasl alnrsa alnsn.

Olsun gen .

, Diyorum ki geninin iki as kktr iki dik adan, . nasl alnrsa alnsn.

Zira uzatlm olsun . , ya.

Ve geninin d as olduundan ,

byk i ve kart . asndan. Ortak olarak , eklensin; , bylece ve , , . ve dan byktr. , Ama ve , iki dik aya eittir; , bylece ve , . iki dik adan kktr. , Benzer ekilde o halde gstereceiz ki , ve de iki dik adan kktr, , . ve sonra ve [yledir].

. nerme

Bylece herhangi bir genin iki as iki dik adan kktr, nasl alnrsa alnsn; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Herhangi bir gende daha byk bir kenar, daha byk bir ay. rapteder.

Zira olsun gen , daha byk olan kenar dan.

, Diyorum ki as da daha byktr asndan.

, Zira , kenarndan daha bykolduundan,

otursun , ya eit olan , . ve birletirilmi olsun .

geninin , d a olduundan as da, byktr i ve kart asndan; , ve , ya eittir, kenar da, ya eit olduundan; bylece byktr da, dan; bylece , asndan ok

. daha byktr.

. nerme

Bylece, herhangi bir gende daha byk bir kenar, daha byk bir ay rapteder; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Herhangi bir gende, daha byk bir a, daha byk bir kenar tarafndan. raptedilir.

Zira olsun bir geni, daha byk olan as asndan.

, Diyorum ki kenar da kenarndan . daha byktr.

, Zira deil ise, ya eittir , ya ya da daha kktr. Ama dolaysyla eit deildir , ya; zira eer eit olsayd, as da, ya [eit olurdu]; ama deildir; bylece eit deildir . , ya. Tabii ki kk deildir , dan; zira eer kk olsayd, as da dan [kk olurdu]; ama deildir; bylece kk deildir

. nerme

. , dan. , Ve gsterilmiti ki . eit deildir. Bylece daha byktr . , dan.

Bylece, herhangi bir gende, daha byk bir a, daha byk bir kenar tarafndan raptedilir; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Herhangi bir genin iki kenar kalandan daha byktr, . nasl alnrsa alnsn.

Zira olsun gen .

, Diyorum ki geninin iki kenar kalandan daha byktr, , nasl alnrsa alnsn, , , ve , dan, , , ve ve , dan, , . ve ve , dan.

Zira ilerletilmi olsun , , noktasna, , ve , ya eit otursun, . ve birletirilmi olsun.

, Dolaysyla , ya eit olduun-dan,

de eittir y. Bylece , byktr dan. geninde, as daha byk olduundan , dan, ve daha byk a, daha byk kenarca, raptedildiindan, . bylece , dan byktr. Ve , ya eittir;

. nerme

, bylece ve byktr dan; , benzer ekilde gstereceiz ki , ve , dan , byktr, , . ve ve , dan.

Bylece, herhangi bir genin iki kenar kalandan daha byktr, nasl alnrsa alnsn; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Eer bir gende, kenarlarndan birinin zerinde, snrlardan, iki doru , ieride ina edilirse, ina edilmi dorular, genin kalan iki kenarndan , daha kk olacak, . ama daha byk bir ay ierecek.

Zira geninin, kenarnn zerinde , ve snrlarndan, ieride iki ve dorular ina

, edilmi olsun.

, Diyorum ki , ve genin kalan iki , ve kenarndan, , daha kktr, ama daha byk ay ierir: . , dan [daha byktr].

. nerme

Zira , ilerletilmi olsun . a doru.

Ve herhangi bir genin iki kenar, kalandan , byk olduundan, geninin, , iki ve kenarlar, kenarndan byktr; ortak olarak eklensin; , bylece ve , , . ve dan byktr., Yine, geninin, , iki ve kenarlar, , dan byk olduundan, ortak olarak eklenmi olsun; , bylece ve , , . ve dan byktr. , Ama ve dan daha byk gsterilmiti , ve ; , , bylece ve , ve dan ok

. daha byktr.

, Yine, herhangi bir genin d as i ve kart asndan , daha byktr, bylece, geninin d as . dan byktr. Ayn sebeple elbette, geninin d as da . dan byktr. Ama dan, daha byk gsterilmiti ;

nermeler

bylece , dan ok daha b- . yktr.

Eer, bylece, bir genin, kenarlarndan birinin snrlarndan, iki doru , ieride ina edilirse, ina edilen dorular, genin kalan iki kenarndan , daha kktr, ama daha byk bir ay ierir; . gsterilmesi gereken tam buydu.

. nerme

nermeler

. nerme

, dorudan, eit olan [], verilmi doruya, bir gen ina etmek; 19 ama gereklidir ikisinin, kalandan byk olmas, nasl alnrsa alnsn,[ nk herhangi bir genin, iki kenar kalandan byktr, ]. nasl alnrsa alnsn.

Olsun , , , verilmi doru , , ve , ve ikisi, kalandan byk olsun, , nasl alnrsa alnsn: , , ile , dan, , , ile , dan, , ve ile , dan.

O halde gereklidir , , , ve ya eit olanlardan . bir gen ina etmek.

Oturtulsun bir dorusu, da snrlanm, , ama da snrlanmam, ve otursun , ya eit , , ya eit ,

Heiberge gre [], Proklusun [] ve Eutokiosun aklamarnn metinlerinde yazlr; ama klidin metinlerinde yazlr.

. nerme

ve ya eit ; , ve merkezine uzaklnda bir dairesi izilmi olsun; , yine, merkezine, uzaklnda, , dairesi izilmi olsun, , ve ile birletirilmi olsun.

, Diyorum ki dorudan , , , ve ya eit olan . geni ina edilmitir.

Zira, noktas, dairesinin mer- , kezi olduundan,

, ya eittir; . ama , ya eittir. . Ve bylece ya eittir., Yine, noktas, dairesinin

, merkezi olduundan, , dorusuna eittir; ama , ya eittir; . ve bylece ya eittir. ve , dorusuna eittir; bylece doru, , , , ve , , , . , ve lsne eittir.

Bylece, dorudan, , , , , ve dan, eit olan verilmi doruya , , , , ve ya, bir geni ina edilmitir; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Verilmi bir doruda, ve zerinde verilmi noktada, verilmi dzkenar aya eit olan, . bir dzkenar a ina etmek.

Olsun , verilmi doru , , ve zerindeki nokta , ve verilmi dzkenar a .

O halde gereklidir, verilmi dorusunda, ve zerindeki noktasnda, verilmi dzkenar asna eit

olan bir dzkenar a. ina etmek.

alnm olsun , ve un her birinden , , rastgele ve noktalar, ve birletirilmi olsun, , ve dorudan , , , , ve a eit olan, , geni ina edilmi olsun yle ki eit olsun , , ya, , , ya, . ve ayrca , ya.

, Dolaysyla ve ikilisi, , ve ikilisine eit olduundan, , her biri birine, ve taban,

. nerme

, tabanna eit olduundan, bylece as . ya eittir.

Bylece, verilmi dorusunda, ve zerindeki noktasnda, verilmi dzkenar asna eit

olan dzkenar as ina edilmitir;

. yaplmas gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Eer iki gende iki kenar[] iki kenara eitse, , her biri birine, ama a adan bykse, [yani] eit kenarlarca, rapteden, taban da . tabandan byk olacak.

Olsun , iki gen ve , , iki ve kenar, , iki ve kenarna eit olan, , her biri birine, , a, , ve , ya, ve daki a, daki asndan byk olsun.

, Diyorum ki taban da . tabanndan byktr.

. nerme

Zira as, byk olduundan , asndan, ina edilmi olsun dorusunda, ve zerindeki noktasnda, , asna eit olan , ve oturmu olsun , , veya ya eit olan , , . ve ve birletirilmi olsun.

Dolaysyla eit olduundan , , a, , ve , ya, , o halde ve ikilisi, , ve iklisine eittir, her biri birine; ve as asna eittir; bylece taban . tabanna eittir., , Yine, , ya eit olduundan, bir de eittir as, ya; bylece byktr , dan; bylece ok daha byktr . , asndan. Ve gende, byk olduundan , as dan, ve daha byk a, daha byk a tarafndan, raptedildiinden, bylece byktr . kenar da dan. Ve , ya eittir; . bylece da, dan byktr.

nermeler

Eer, bylece, iki gende iki kenar iki kenara eitse , her biri birine, ama a adan bykse, [yani] eit kenarlarca, rapteden, taban da tabandan byk olacak; . gsterilmesi gereken tam buydu.

. nerme

nermeler

. nerme

Eer iki gende iki kenar iki kenara eitse , her biri birine, ama taban , tabandan bykse, a da adan byk olacak [yani] eit dorularca. rapteden.

Olsun , iki gen ve , , iki ve kenar, , iki ve kenarna eit olan, , her biri birine, , , a ve , ya; ve taban tabanndan byk olsun.

, Diyorum ki as da . asndan byktr.

, Zira eer deilse, ya ona eittir, ya da ondan kk; ama dolaysyla eit deildir , ya; zira eer eit ise taban da, tabanna [eittir]; . ama deil. Bylece eit deildir as, ya;

. nerme

tabii ki kk deildir , dan; zira eer kk ise, taban da, tabanndan [k-

ktr]; ama deil; bylece kk deildir . , dan. , Ama gsterilmiti ki eit deildir; bylece byktr . , dan.

Eer, bylece, iki gende iki kenar iki kenara eitse , her biri birine, ama taban , tabandan bykse, a da adan byk olacak [yani] eit dorularca rapteden; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Eer iki genin iki as, iki asna eitse, her biri birine, ve bir kenar, bir kenara eitse, ya eit alarn arasnda olan ya da karlayan , eit alardan birini, kalan kenarlar da kalan kenarlarna eit olacak, kalan alar da . kalan alarna.

Olsun , iki gen ve , , iki ve alar , iki ve ya eit olan, , her biri birine, , , ya ve , ya; ayrca olsun bir kenar da , bir kenarna eit, nce, esit alarn arasnda olan,

. nerme

, ya.

, Diyorum ki kalan kenarlar da kalan kenarlara eit olacaklar, , her biri birine, , a , ve , ya, ve kalan a , kalan aya, . , ya.

Zira eer eit deilse, , , kenarna, . biri daha byktr. , daha byk olsun, ve oturmu olsun , a eit olan , . ve birletirilmi olsun.

Dolaysyla eit olduundan , , a , ve , ya, , o halde ve ikilisi , ve ikilisine eittir, her biri birine, ve as asna eittir; bylece taban , tabanna eittir, ve geni , genine eittir, ve kalan alar , kalan alara eit olacaklar eit kenarlar raptettii. Bylece as eittir . a. Ama ,

nermeler

ya eit kabul edilir, bylece de , asna eittir, daha kk olan daha byk olana, . ki bu imknszdr. Bylece eit deil deildir, . , kenarna. . Bylece eittir. Ve durum yledir; , kenarna eittir; , o halde ve ikilisi , ve ikilisine eittir, her biri birine; as da asna eittir; bylece taban , tabanna eittir, ve kalan as kalan asna . eittir.

Ama o halde yine olsun - eit alar rapteden kenarlar eit,

,

, kenarna gibi; , Yine diyorum ki kalan kenarlar da , kalan kenarlara eit olacaklar, , , kenarna

. nerme

ve , kenarna ve kalan as da kalan asna . eittir.

Zira eer eit deil ise, , , kenarna, . biri daha byktr. , , , Mmknse, daha byk olsun, ve oturmu olsun , ya eit olan , . ve birletirilmi olsun. Ayrca eit olduundan , kenarna, , ve , kenarna, , o halde ve ikilisi, , ve ikilisine eittir, her biri birine; ve eit alar ierirler, bylece taban , tabanna eittir, ve geni , genine eittir, ve kalan alar , kalan alara eit olacak, eit kenarlarn raptettii. Bylece eittir . as, asna. Ama , asna eittir; o halde geninin d as eittir i ve kart asna; . ki bu imknszdr. Bylece eit deil deildir , ya; . bylece eittir. . Ve tekrar , kenarna eittir.

nermeler

, O halde ve ikilisi , ve ikilisine eittir, her biri birine; ve eit alar ierirler; bylece taban , tabanna eittir, ve geni genine eittir, ve kalan as . kalan asna eittir.

Eer, bylece, iki genin iki as iki asna eitse, her biri birine, ve bir kenar bir kenara eitse, , ya eit alarn arasnda olan ya da rapteden , eit alarn birini; kalan kenarlar da kalan kenarlarna eit olacak, kalan alar da kalan alarna; . gsterilmesi gereken tam buydu.

. nerme

nermeler

. nerme

Eer iki dorunun zerine den bir doru, ters alar , birbirine eit yaparsa, birbirine paralel olacak . dorular.

, Zira iki ve dorularnn ze- rine den ,

, ters ve alarn birbirine eit yapsn.

, Diyorum ki . , ya paraleldir.

, Zira eer deilse, uzatlan, , ve arpacak, , ya ve kenarnda, , . ya da ve kenarnda. Uzatlm olsun, ve arpn , . ve tarafnda, da. geninin d as, eittir i ve kart ya; ki bu imknszdr. Bylece yle deildir: , ve , uzatlm, , . ve tarafnda arpacak. , Benzer ekilde o halde gsterilecek

ki , ve tarafnda da deil. Hibir tarafta arpanlar,

. nerme

paraleldir; . bylece , ya paraleldir.

Eer, bylece, iki doru zerine den bir doru ters alar , birbirine eit yaparsa birbirine paralel olacak dorular; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Eer iki doru zerine den bir doru, d ay, i ve kart ve ayn tarafta [kalan] aya eit yaparsa, veya i ve ayn tarafta [kalanlar] , iki dik aya eit, birbirine paralel olacak . dorular.

, Zira ve dorular zerine den dorusu, d asn i ve kart asna

eit yapsn, veya i ve ayn tarafta [kalan] , ve alar iki dik aya eit.

, Diyorum ki paraleldir . , ya.

Zira eit olduundan , , ya, ama , , ya eit olduundan, bylece da ya eittir; ve onlar terstir; . bylece , ya paraleldir.

, , Yine ve ,

. nerme

, iki dik aya eittir, , ve ve de, , iki dik aya eittir, , bylece ve , , ve ya eittir; ve ortak olarak , ayrlm olsun; bylece kalan kalanna eittir; ve bunlar terstir; . bylece , ya paraleldir.

Eer bylece iki doru zerine den bir doru, d ay, i ve kart ve ayn tarafta kalan aya eit yaparsa, veya i ve ayn tarafta kalanlar, , iki dik aya eit, birbirine paralel olacak dorular; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Paralel dorular zerine den bir doru

hem ters alar birbirine eit yapar, hem d [a]y i ve kart [a]ya eit, hem i ve ayn taraftaki [alar] . iki dik aya eit.

, Zira paralel ve dorular ze- rine

dorusu dsn.

, Diyorum ki ters ve alar, eit yapar,

ve d asn i ve kart ya eit, ve i ve ayn taraftaki , ile alarn . iki dik aya eit.

Zira eer eit deilse , , asna, . biri byktr. daha byk olsun; ortak olarak eklenmi olsun; , bylece ve , , . ve dan byktr. , Ama ve . iki dik aya eittir.[] , Bylece ve [da] . iki dik adan kktr. Ve iki dik adan kk [alar]dan sonsuza uzatlan [dorular],

. nerme

arpr. , Bylece ve , uzatlnca sonsuza, arpr. Ama arpmaz, nk paralel kabul edilir. Bylece eit deil deildir , ya. . Bylece eittir. Ama , asna eittir; bylece da asna eittir; ortak olarak eklenmi olsun; , bylece ve , , . ve ya eittir. , Ama ve iki dik aya eittir. , Bylece ve da . iki dik aya eittir.

Bylece paralel dorular zerine den bir doru

hem ters alar birbirine eit yapar, hem d [a]y i ve kart [a]ya eit, hem i ve ayn taraftaki [alar] iki dik aya eit; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Ayn doruya paraleller, . birbirine de paraleldir.

Olsun , ve nn her biri, ya paralel.

, Diyorum ki . da ya paraleldir.

Zira dsn . zerlerine .

Ve paralel ve dorularnn, zerine

, dorusu dm olduundan, . bylece , ya eittir., Yine, paralel ve dorularnn

, zerine , dorusu dm olduundan, . , asna eittir. Ve gsterilmiti . , ya eit. Ve bylece , ya eittir; . ve bunlar terstir. . Bylece , ya paraleldir.

[ Bylece ayn doruya paraleller ] birbirine de paraleldir; . gsterilmesi gereken tam buydu.

. nerme

nermeler

. nerme

Verilmi bir noktadan verilmi bir doruya paralel . bir doru izgi ilerlemek.

Olsun , verilmi nokta , ve verilmi doru .

O halde gereklidir noktasndan dorusuna paralel . bir doru izgi ilerlemek.

alnm olsun zerinde , rastgele bir noktas, ve birletirilmi olsun, ve ina edilmi olsun, dorusunda, ve onun noktasnda, asna eit, ; ve uzatlm olsun, ile ayn doruda, . dorusu.

, Ve ve dorular zerine den dorusu, , ters ve alarn , birbirine eit yaptndan, . bylece , ya paraleldir.

Bylece, verilmi noktasndan, verilmi dorusuna paralel, doru izgisi, ilerletilmi oldu;

. nerme

. yaplmas gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Herhangi bir genin kenarlarndan biri uzatlnca, d a iki kart i aya , eittir, ve genin i as .

iki dik aya eittir.

Olsun , gen , ve uzatlm olsun onun kenar, noktasna.

, Diyorum ki d as eittir iki i ve kart , , ve alarna, ve genin i as , ,

. , , ve ,iki dik aya eittir.

Zira ilerletilmi olsun noktasndan dorusuna paralel . .

Ve paralel olduundan , , a, ve bunlarn zerine dtnden , , , ters ve alar . birbirine eittir., Yine, paralel olduundan

. nerme

, , dorusuna, ve bunlarn zerine dtnden , dorusu, d as eittir . i ve kart asna. Ve gsterilmiti da, asna eit. Bylece btn as eittir iki i ve kart , . ve alarna.

Ortak olarak eklensin; , bylece ve alar , , , ve lsne . eittir. , Ama ve , iki dik aya eittir; , , bylece , ve da . iki dik aya eittir.

Bylece, herhangi bir genin kenarlarndan biri uzatlnca, d a iki kart i aya , eittir, ve genin i as iki dik aya eittir; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Eit paralelleri ayn tarafta birletiren dorularn kendileri de . hem eit hem paraleldirler.

Olsun eit paraleller , , ve , ve bunlar birletirsin ayn tarafta , ve dorular.

, Diyorum ki , ve da . eit ve paraleldir.

. birletirilmi olsun. Ve paralel olduundan , , ya, ve bunlarn zerine dtnden , , , ters ve alar . birbirine eittir. Ve , ya eit olduundan, , ve ortak [olduundan], , ve ikilisi , ve ikilisine eittir; as da asna eittir; bylece taban , tabanna eittir, ve geni , genine eittir, ve kalan alar kalan alara eit olacak,

. nerme

, her biri birine, eit kenarlarn raptettii; bylece eittir . as, ya. , Ve iki ve dorularnn zerine den dorusu, ters alar birbirine eit, yaptndan, . bylece , ya paraleldir. . Ve ona eit olduu da gsterilmiti.

Bylece eit paralelleri ayn tarafta birletiren dorularn kendileri de hem eit hem paraleldirler; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Paralelkenar alanlarn hem kart kenarlar hem de alar, , birbirine eittir, . ve kegen onlar ikiye bler.

Olsun , paralelkenar alan ; ve onun kegeni, .

, Diyorum ki paralelkenarnn kart kenarlar ve alar , birbirine eittir, . ve kegeni onu ikiye bler.

Zira paralel olduundan , , ya, , ve bunlarn zerine dm oldu-

undan , , ters ve alar . birbirine eittir. Yine, paralel olduundan , , ya, , ve bunlarn zerine dm oldu-

undan , , ters ve alar

. nerme

. birbirine eittir. O halde iki gendir , ve , , iki ve alar , iki ve alarna eit olan, her biri birine, ve bir kenar, bir kenarna eit olan, eit alarn yannda olan, onlarn ortak ; bylece kalan kenarlar da kalan kenarlarna eit olacaklar, her biri birine, ve kalan a kalan aya; bylece eittir , kenar ya, , ve , ya, ve eittir . as, ya. Ve eit olduundan , as, ya, , ve , asna, bylece btn , . btn ya eittir. Ve gsterilmiti . da, ya eit.

Bylece, paralelkenar alanlarn hem kart kenarlar hem de alar, . birbirine eittir.

, O halde diyorum ki . kegen de onlar ikiye bler.

, Zira , ya eit olduundan, , ve ortak olduundan, , o halde ve ikilisi

nermeler

, ve ikilisine eittir, her biri birine; ve as, . asna eittir. Bylece taban da, . ya eittir. [] Bylece geni de . genine eittir.

Bylece kegeni ikiye bler paralelkenarn; . gsterilmesi gereken tam buydu.

. nerme

nermeler

. nerme

Paralelkenarlar ayn tabanda olan ve ayn paralellerde, . birbirine eittir.

Olsun , paralelkenarlar ve , ayn tabannda, ve ayn ve paralellerinde.

,

, Diyorum ki eittir . paralelkenarna.

Zira paralelkenar olduundan , , . , ya eittir. Ayn sebeple o halde da, ya eittir; yleyse da ya eittir; ve ortaktr; bylece btn , . btn ya eittir. da ya eittir. , O halde ve ikilisi , ve ikilisine eittir her biri birine; ve as da asna eittir, d a, i aya; bylece taban , tabanna eittir, ve geni genine eit olacak;

. nerme

ortak ayrlm olsun; bylece kalan yamuu

kalan yamuuna eittir; ortak olarak eklenmi olsun geni; - bylece btn paralelkenar,

btn paralelkenarna eittir..

Bylece paralelkenarlar; ayn tabanda olan ve ayn paralellerde olanlar, birbirine eittir; . gsterilmesi gereken tam buydu.

Yani trapezion.

nermeler

. nerme

Paralelkenarlar eit tabanlarda olan ve ayn paralellerde, . birbirine eittir.

Olsun , paralelkenarlar ve , eit ve tabanlarnda, ve ayn ve paralellerinde.

,

, Diyorum ki paralelkenar eittir . ya.

Zira birletirilmi olsun , . ile .

, Ve eit olduundan ile , , ama , ya eit olduundan, . bylece da, ya eittir. . Ve paraleldirler de. , Ve ve onlar birletirir. Ve hem eit hem paraleller ayn tarafta birletirenler hem eit hem paraleldir.[ , [Ve bylece ve , ]. hem eit hem paraleldir.] Bylece bir paralelkenardr.

.

Ve eittir ya. Zira onunla ayn taban vardr,

,

ve onunla ayn ve paralelle- , . rindedir.

. nerme

Ayn sebeple o halde, da, ayn ya eittir; yleyse paralelkenar da, . ya eittir.

Bylece paralelkenarlar eit tabanlarda olan ve ayn paralellerde, birbirine eittir; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

genler ayn tabanda olan ve ayn paralellerde, . birbirine eittir.

Olsun , genler ve , ayn tabannda ve ayn paralellerinde , [yani] ve .

, Diyorum ki geni, eittir . genine.

Uzatlm olsun dorusu, her iki kenarda, , , ve noktalarna, ve dan, ya paralel , ilerletilmi olsun, ve dan ya paralel . ilerletilmi olsun.

Bylece paralelkenardr , birer ile ; ve [bunlar] eittir; zira hem ayn tabannda

hem ayn ve paralellerinde;,

- ve paralelkenarnn yars,

. nerme

genidir, zira kegeni onu ikiye bler; ve paralelkenarnn yars, genidir, . zira kegeni onu ikiye bler.[ [Ve eitlerin yarlar ]. birbirine eittir.] Bylece eittir . geni genine.

Bylece genler ayn tabanda olan ve ayn paralellerde, birbirine eittir; . gsterilmesi gereken tam buydu.

D

nermeler

. nerme

genler eit tabanlarda olan ve ayn paralelerde, . birbirine eittir.

Olsun , genler ve , eit ve tabanlarnda ve ayn ve paralellerinde.

,

, Diyorum ki geni, eittir . genine.

Zira uzatlm olsun , , her iki tarafta ve ya, ve dan, ya paralel, , ilerletilmi olsun, ve dan, a paralel, . ilerletilmi olsun.

Bylece paralelkenardr , birer ile ; ve , ya eittir; , zira hem eit ve tabanlarnda,

hem ayn ve paralellerinde;,

- ve paralelkenarnn yars,

. nerme

. genidir. Zira kegeni onu ikiye bler; - ve paralelkenarnn yars,

genidir; zira kegeni onu ikiye bler.[ [Ve eitlerin yarlar, ]. birbirine eittir.] Bylece geni eittir . genine.

Bylece genler eit tabanlarda olan ve ayn paralelerde, birbirine eittir; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Eit genler ayn tabanda olan ve ayn tarafnda, . ayn paralellerdedir de.

Olsun , eit genleri ve ayn tabannda ve ayn tarafnda

olan.

[, [Diyorum ki .] ayn paralellerdedirler de.]

[] [Zira] birletirilmi olsun.

, Diyorum ki . paraleldir , tabanna.

, Zira eer deil ise, ilerletilmi olsun noktasndan dorusuna paralel , , . ve birletirilmi olsun. Eittir bylece geni, genine; zira hem onunla ayn tabannda,

. hem ayn paralellerdedir. Ama , ya eittir. Ve bylece , ya eittir, byk ke;

Heathin notuna [, I.] baknz.

. nerme

ki bu imknszdr. Bylece paralel deildir . , ya. , Benzer ekilde o halde gstereceiz ki dndakiler de [paralel] deildir; . bylece , ya paraleldir.

Bylece eit genler ayn tabanda olan ve onun ayn tarafnda, ayn paralellerdedirler de; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

(Bu nerme, klidin orijinal metne bir ilvedir. Heathin [, I.]notuna baknz.)

Eit genler, eit tabanlarda ve ayn tarafta olan, . ayn paralelerdedirler de.

Olsun , eit genler ve , , eit ve tabanlarnda, . ve ayn tarafta olan.

, Diyorum ki . ayn paralellerdedirler de.

Zira birletirilmi olsun.

, Diyorum ki . paraleldir , dorusuna.

, Zira eer deil ise, ilerletilmi olsun noktasndan, a paralel, , , . ve birletirilmi olsun. Bylece eittir geni genine; , zira hem eit ve tabanlarnda,

hem ayn ve paralellerinde-, . dir.

Ama geni, [] genine eittir;

. nerme

[] ve bylece genini genine eittir, byk ke; ki bu imknszdr. Bylece paralel deildir . , a. , Benzer ekilde o halde gstereceiz ki dndakiler de [paralel] deildir; . bylece , a paraleldir.

Bylece eit genler eit tabanlarda olan ve ayn tarafta, ayn paralelerdedir de; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Eer bir paralelkenar bir genle hem ayn tabana sahipse, , hem ayn paralelerdeyse, iki katdr . paralelkenar, genin.

Zira paralelkenar, geniyle hem ayn tabanna sahip olsun, hem ayn ve paralellerinde ol-

, sun.

, Diyorum ki iki katdr paralelkenar, . geninin.

. Zira birletirilmi olsun.

Eittir geni genine; zira onunla hem ayn tabanna

sahiptir, hem ayn ve paralelerindedir.

, .

Ama paralelkenar, geninin iki katdr; zira kegeni onu ikiye bler; yleyse paralelkenar, . geninin de iki katdr.

Bylece, eer bir paralelkenar bir genle hem ayn tabana sahipse,

. nerme

, hem ayn paralelerdeyse, iki katdr paralelkenar, genin; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Verilmi bir gene eit bir paralelkenar ina etmek . verilmi bir dzkenar ada.

Olsun , verilmi gen , ve verilmi dzkenar a .

O halde gereklidir genine eit bir paralelkenar ina etmek . dzkenar asnda.

, , da ikiye blm olsun, , ve birletirilmi olsun, ve ina edilmi olsun dorusunda, ve zerindeki noktasnda, asna eit, , , ayrca, dan, ya paralel, , ilerletilmi olsun, ve dan, ya paralel, ilerletilmi olsun; bylece bir paralelkenardr.

.

Ve eit olduundan , , ya, geni de eittir genine; , zira hem eit ve tabanlarnda,

hem ayn ve paralelerindedir;,

. nerme

iki katdr bylece . geni, geninin, - ayrca paralelkenar

geninin iki katdr; zira hem onunla ayn tabana sahip-

tir - hem onunla ayn paralellerdedir;

bylece eittir paralelkenar . genine. Ve onun as . verilmi ya eittir.

Bylece, verilmi genine eit bir paralelkenar ina edilmiti

asnda, , asna eit olan; yaplmas gereken tam buydu. .

nermeler

. nerme

Herhangi bir paralelkenarn kegeni etrafndaki paralelkenarlarn tmleyenleri, . birbirine eittir.

Olsun , paralelkenar , , ve onun kegeni , ve etrafnda paralelkenarlar, , , ve olsun,

ve szde tmleyenleri, , ile .

, Diyorum ki tmleyeni eittir . tmleyenine.

Zira bir paralelkenar olduundan , , , ve , onun kegeni [olduundan], eittir . geni, genine., Yine, bir paralelkenar olduundan , , , ve , onun kegeni [olduundan], eittir . geni, genine. O halde ayn sebeple . geni de, ya eittir. Dolaysyla geni,

Yunancada paralelkenar, veya ksaca iken, izgisi, veya olur. Fark, harfi tarifle gsterilir.

. nerme

, genine eit olduundan, , ve , ya, geni, ile, eittir genine, ile; ve btn geni, btn ya eittir; bylece kalan tmleyeni, kalan tmleyenine . eittir.

- Bylece, herhangi bir paralelkenar alann

kegeni etrafndaki paralelkenarlarn tmleyenleri, birbirine eittir; . gsterilmesi gereken tam buydu.

Z

nermeler

. nerme

Verilmi bir doru boyunca verilmi bir gene eit, bir paralelkenar uygulamak . verilmi bir dz kenar ada.

Olsun , verilmi doru , , ve verilmi gen , ve verilmi dzkenar a

.

O halde gereklidir verilmi dorusu boyunca verilmi genine eit bir paralelkenar . verilmi asnda uygulamak.

na edilmi olsun genine eit olan paralelkenar, , asnda, ya eit olan; ve oturtulmu olsun , yle ki , ile bir doruda olsun, , ve , a ilerletilmi olsun ve dan,

. nerme

, ve dan birine paralel olan, , ilerletilmi olsun, . ve birletirilmi olsun.

, Ve ile paralellerinin zerine , dorusu dtnden, , ve alar . iki dik aya eittir. , Bylece ve iki dik adan kktr. Ve iki dik adan kk olan, sonsuza uzatlan, arpr. , Bylece uzatlan ve ,. arpr.

Uzatlm olsun , ve noktasnda arpm olsun, ve noktasndan, , veya dorusuna paralel olan, , ilerletilmi olsun, , ve ve uzatlm olsun , . ve ye.

Bylece bir paralelkenardr,,

, ve onun kegenidir, ve etrafndadr , , ve paralelkenarlar, ve bunlarn szde tmleyenleri, , ile dr; . Bylece , ya eittir. Ama , genine eittir. . Bylece da ya eittir. Ve eit olduundan , as, ye, , ama , ya eit olduundan, bylece de asna

nermeler

. eittir.

Bylece, verilmi dorusu bo- yunca,

verilmi bir genine eit olan, paralelkenar uygulanm oldu,

, asnda, ya eit olan; . yaplmas gereken tam buydu.

. nerme

nermeler

. nerme

Verilmi bir dzkenar [figre] eit bir paralelkenar ina etmek, . verilmi dzkenar ada.

Olsun , verilmi dzkenar [figr] , ve verilmi dzkenar a .

O halde gereklidir dzkenarna eit bir paralelkenar ina etmek, . verilmi asnda.

, birletirilmi olsun, ve ina edilmi olsun, genine eit, bir paralelkenar, , asnda, a eit olan; ve uygulanm olsun dorusu boyunca, genine eit, bir paralelkenar, , asnda, . a eit olan.

. nerme

Ve as , ve nn her birine , eit olduundan, bylece da, . ye eittir. Ortak olarak eklenmi olsun; , bylece ve , , . ve ye eittir. , Ama ve iki dik aya eittir; , bylece ve de, . iki dik aya eittir. O halde bir dorusuna, ve ayn noktasnda, , iki ve dorular, ayn tarafta oturmayan, bitiik alar iki dik aya eit yapar. Bylece , ile bir dorudadr; , ve ve paralelleri zerine , dorusu dtnden, , ters ve alar . birbirine eittir. Ortak olarak eklenmi olsun; , bylece ve , , . ve ya eittir. , Ama ve iki dik aya eittir; , bylece ve da iki dik aya eittir; . bylece , ile bir dorudadr. Ve , ya , hem eit hem paralel olduundan, , ama da, ya, bylece da ya hem eit hem paraleldir; ve ile dorular, onlar bir-

, letirir;

nermeler

, bylece ve da hem eit hem paraleldirler; bylece bir paralelkenardr.

.

Ve eit olduundan geni , paralelkenarna, , ve , ye, bylece, btn dzkenar [-

gr], btn paralelkenarna . eittir.

Bylece, verilmi dzkenar - grne eit,

bir paralelkenar ina edilmi oldu,

, asnda, eit olan verilmi asna; . yaplmas gereken tam buydu.

. nerme

nermeler

. nerme

Verilmi bir doruda . bir kare izmak.

Olsun verilmi doru .

O halde gereklidir dorusunda . bir kare izmek.

lerletilmi olsun dorusunda, onundaki noktasnda, dik ada, , , ve oturmu olsun, ya eit, ; ve noktasndan, ya paralel, , ilerletilmi olsun; ve noktasndan, ya paralel, . ilerletilmi olsun.

Bylece bir paralelkenardr;

, bylece , a eittir, . ve , a. Ama , ya eittir. Bylece drt , , , , , , ve , birbirine eittir; bylece ekenardr . paralelkenar.

. nerme

, O halde diyorum ki . dik aldr da.

, Zira ve paralellerinin zerine , dorusu dtnden, , bylece ve , . iki dik aya eittir. Ve diktir; . bylece de diktir. Ve paralelkenar alanlarn hem kart kenar hem alar birbirine eittir. Bylece diktir her biri , kart ve alarndan;

. bylece dik aldr. . Ve gsterilmiti ki ekenardr da.

Bylece bir karedir; ve o dorusu zerine izilmitir; . yaplmas gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Dik al genlerde, dik ay rapteden kenarn zerindeki kare eittir dik ay ieren . kenarlarn zerindeki karelere.

Olsun dik al gen , dik as olan.

, Diyorum ki zerindeki kare eittir , . ve zerlerindeki karelere.

Zira izilmi olsun zerinde

. nerme

, karesi, , ve ile zerlerinde, , , ve , ve noktasndan, , ve a paralel olan, 24 ilerletilmi olsun; ve birletirilmi olsun , . ve .

Ve dik olduundan , , ve alarnn her biri, bir dorusunda, ve zerindeki noktasnda, , ve dorular, ayn tarafta oturmayan, bitiik alar iki dik aya eit yapar; . bylece , ile bir dorudadr. O halde ayn sebeple . da ile bir dorudadr. Ve eit olduundan as, ya, zira her ikiside diktir; ortak olarak eklenmi olsun; bylece btn , . btn ya eittir. Ve eit olduundan , , ya, , ve , ya, , o halde ve ikilisi , ve ikilisine eittir, her biri birine; ve as asna eittir; bylece taban [] , tabanna eittir,

Heibergin metninde [, p. ] harfinin yerine harfi konulmutur.

nermeler

ve geni genine eittir; [] ve geninin paralelkenarnn iki katdr; zira hem ayn tabanna sahiptir,

hem ayn ve parallerindedir; ,

ve geninin karesinin iki katdr; zira yine hem ayn tabanna sa-

hiptir hem ayn ve parallerindedir.

, .

[ [Ve eitlerin ] iki katlar birbirine eittir.] Bylece eittir paralelkenar da . karesine. O halde benzer ekilde, , ve birletirilince, gsterilecek ki paralelkenar da karesine eittir. Bylece btn , iki ve karelerine . eittir. Ve karesi, , zerine izilmitir, , , . ve ve , ve zerine. - Bylece kenarndaki kare

eittir , - ve kenarlarndaki karelere.

.

Bylece dik al genlerde, dik a

. nerme

rasteden kenar zerindeki kare eittir [] dik ay ieren kenarlarn zerindekilere; . gsterilmesi gereken tam buydu.

nermeler

. nerme

Eer bir genin bir kenarnn zerindeki kare eitse genin kalan , iki kenarndaki karelere, ierilen a genin kalan iki kenar tarafndan, . diktir.

Zira geninin kenarndaki karesi eit olsun , ve kenarlarndaki karelere.

, Diyorum ki . as diktir.

Zira ilerletilmi olsun noktasndan dorusuna dik alarda , ve oturmu olsun , ya eit , . ve birletirilmi olsun.

, , ya eit olduundan, eittir zerindeki kare de . zerindeki kareye. Eklenmi olsun ortak zerindeki kare; , bylece ve zerlerindeki kareler eittir

. nerme

, . ve zerlerindeki karelere. , Ama ve zerlerindekilere eittir zerindekine; zira as diktir; , ve ile zerlerindekilere de eittir zerindeki; zira kabul edilir; bylece zerindeki kare eittir zerindeki kareye; yleyse kenar da kenarna eittir; , ve , ya eit olduundan, , ve ortak [olduundan], , ve ikilisi , ve ikilisine eittir; ve taban tabanna eittir; bylece as [] . asna eittir. Ve diktir; . bylece diktir .

Eer bylece bir gende bir kenarn zerindeki kare eitse genin kalan , iki kenarlarndaki karelere, ierilen a genin kalan iki kenarlar tarafndan, diktir; . gsterilmesi gereken tam buydu.

Fiiller Szl

ilerle=

ilerlet=

ayr=

rica et=

sap=

med. dokun=

uygula=

uzat=

uygula=

uzat=

iz=

iz=

-i ol=

ier=

birletir=

dik=

- ( uzunluk)

-in zerine dik=

ina et=

med. -e den=

otur=

oturtul=

eklen=

kabul edil=

al=

ayr=

( szde)

snrla=

snrlandr=

zerine d=

(acc. ile) zerine d=

arp=

yap=

raptet=

kes=

ikiye bl=

yerletir=

Edatlar Szl

ama

bylece

nk

, ayn sebeple

zira

[genitivus absolutus] -ince

o halde

-diinden

de, ve

. . .

tabii ki

dolaysyla

yine

. . . hem. . . hem

elbette

yleyse, yle ki

Kaynaka

[] Mustafa Kemal Atatrk. Geometri. Trk Dil Kurumu, Ankara,. . bask; . bask .

[] Gler elgin. Eski YunancaTrke Szlk. Kabalc, stanbul, .

[] Euclid. Euclidis Elementa, volume I of Euclidis Opera Omnia. Te-ubner, . Edidit et Latine interpretatvs est I. L. Heiberg.

[] Euclid. The thirteen books of Euclids Elements translated from thetext of Heiberg. Vol. I: Introduction and Books I, II. Vol. II: BooksIIIIX. Vol. III: Books XXIII and Appendix. Dover PublicationsInc., New York, . Translated with introduction and commentaryby Thomas L. Heath, nd ed.

[] Euclid. Euclids Elements. Green Lion Press, Santa Fe, NM, .All thirteen books complete in one volume, the Thomas L. Heathtranslation, edited by Dana Densmore.

[] Euclid. Euclids Elements of Geometry. Published by the edi-tor, revised and corrected edition, . Edited, and providedwith a modern English translation, by Richard Fitzpatrick, http://farside.ph.utexas.edu/euclid.html.

[] Reviel Netz. The shaping of deduction in Greek mathematics, vo-lume of Ideas in Context. Cambridge University Press, Camb-ridge, . A study in cognitive history.

[] Pappus. Pappus Alexandrini Collectionis Quae Supersunt, volume I.Weidmann, Berlin, . E libris manu scriptis edidit, Latina in-terpretatione et commentariis instruxit Fridericus Hultsch.

[] Proclus. Procli Diadochi in primum Euclidis Elementorum librumcommentarii. Bibliotheca scriptorum Graecorum et Romanorum Te-ubneriana. In aedibus B. G. Teubneri, . Ex recognitione Godof-redi Friedlein.

Kaynaka

[] Proclus. A commentary on the rst book of Euclids Elements. Prin-ceton Paperbacks. Princeton University Press, Princeton, NJ, .Translated from the Greek and with an introduction and notes byGlenn R. Morrow, reprint of the edition, with a foreword byIan Mueller.

[] Lucio Russo. The forgotten revolution. Springer-Verlag, Berlin, .How science was born in BC and why it had to be reborn,translated from the Italian original by Silvio Levy.

[] Ivor Thomas, editor. Selections illustrating the history of Greek mat-hematics. Vol. II. From Aristarchus to Pappus, volume of LoebClassical Library. Harvard University Press, Cambridge, Mass, .With an English translation by the editor.