OEIDT rijeseni zadaci
-
Upload
slavica-dukic -
Category
Documents
-
view
63 -
download
11
description
Transcript of OEIDT rijeseni zadaci
ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да је операциони појачавач савршен: а) одредити потребан услов у погледу
односа отпорности у колу, да струја IL кроз отпорник RL не зависи од његове вредности,
б) одредити вредност струје IL у том случају.
Јун 2002, А
UR4R3
RL
R1 R2
IL
а) За посматрано коло важе једначине:
43 III L += ,
33 R
UUI L−
= ,
44 R
UUI LA −
= и
+=
1
21RR
UU LA ,
U R4 R3
RL
R1 R2
IL
I3 I4
UA
UL
на основу којих се може одредити зависност струје IL од вредности напона UА, UL и отпорности у колу.
41
2
4
1
2
4
1
RRR
UR
URR
UI L
LL
=
−
+
= ,
Сређивањем добија се израз за вредност струје IL у зависности од улазног напона U и напона UL на крајевима отпорника RL:
−+= 1
41
32
33 RRRR
RU
RUI L
L ,
односно у зависности од отпорности RL: LLL IRU = ,
−−
=
141
323 RR
RRRR
UI
L
L
Потребан услов да струја IL кроз потрошач (отпорник RL) не зависи од отпорности оптерећења RL има облик:
4132 RRRR = б) Када је наведени услов испуњен, струја IL је једнака:
3RUI L =
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
2
ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да је операциони појачавач савршен: а) одредити општи израз за вредност
струје IL кроз отпорник RL у зависности од вредности улазног напона UI;
б) одредити потребан услов у погледу односа отпорности у колу, да струја IL кроз отпорник RL не зависи од напона UL на његовим крајевима.
Јун 2002, Б
UI
R4R3
r
RL
UL
R1 R2
IL
а) За посматрано коло важе једначине:
=+
−−
=−=43
4 RRU
rUU
III LLArL
+
+−=43
1RR
rr
Ur
U LA (1)
и LLL IRU = . (2)
на основу којих се може одредити зависностструје IL од вредности напона UА.
U
R4R3r
RL
UL
R1 R2
IL
UA
I1= I2
I3= I4
Ir
Напон UА одређује се на основу својстава савршеног операционог појачавача:
43
3
RRR
UUU L +== +− ,
112 R
UUII +−
== ,
одакле следи:
+
−−+
=−= +43
3
1
2
43
322 RR
RUU
RR
RRR
UIRUU LLA
1
21
43
3
1
2
RRR
RRRUU
RRU LA
++
+−=
Уношењем изведеног израза за вредност напона UА у једначину 1. добија се:
=
+
−−+
++−=
431
21
43
3
1
2 1RR
rR
RRRR
Rr
URR
rUI L
L
( ) ( )1413132311431
2 1 rRRRRRRRRRRRRr
URR
rU L −−−+
++−= .
( ) ( )[ ]rRRRRRRRr
URR
rUI L
L +−+
+−= 41321431
2 1 .
б) Потребан услов да струја IL кроз отпорник RL не зависи од напона UL на његовим крајевима има облик:
( ) 04132 =+− rRRRR
II Аналогна електроника
3
ЗАДАТАК За приказано коло, под претпоставком да је операциони појачавач савршен: а) одредити општи израз за фреквенцијску карактеристику W(jω)=UO(jω)/U(jω), б) одредити општи израз за амплитудску фреквенцијску карактеристику W(ω)=W(jω), в) одредити општи израз за фазну фреквенцијску карактеристику ϕ(ω)=arg W(jω), Јануар, мај, септембар 2002
U
R1
C
R2 R3
UО
uo(t)u(t)
а) За коло са идеалним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, важе једначине:
+− =UU (инверујући и неинвертујући улаз појачавача налазе се на истом потенцијалу),
223 R
UUII −−
== (улазне струје операционог појачавача једнаке су нули),
UZR
RU
C+=+
1
1 , Cj
ZC ω1
= (напон на неинверујућем улазу појачавача одређен је само вредношћу улазног напона)
2333 R
UURUIRUU O
++−
−−=−=
С обзиром да је израз, који одређује вредност напона U+ у зависности од улазног напона U, отпорности R1 и капацитивности C, познат:
CRjCRj
UU1
1
1 ωω
+=+ ,
може се одредити израз за напон UО на излазу кола (операционог појачавача) :
U
R1
C
R2 R3
UО
U-
U+
I2 I3
UCRj
CRjRR
URR
URR
URR
U O1
1
2
3
2
3
2
3
2
3
111
ωω
+
++⋅−=⋅
++⋅−= + .
Сређивањем ове једначине добија се:
( )
CRj
CRjRR
UCRj
CRjRR
CRjRR
UU O1
12
3
1
12
31
2
3
11
11
ω
ω
ω
ωω
+
+−=
+
+++−
= ,
односно:
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
4
CRj
CRR
Rj
RR
UCRj
CRR
Rj
RR
U O1
3
21
2
3
1
3
21
2
3
1
1
1
1
ω
ω
ω
ω
+
−−=
+
−= .
Фреквенцијска карактеристика кола је, према дефиницији:
( ) ( )( ) 1
3
21
2
3
1
1
CRjRR
CRj
RR
jUjU
jW O
ω
ω
ωω
ω+
−−==
Фреквенцијска карактеристика посматраног кола се може представити у облику:
( ) ( )( )ωω
ωjWjW
RR
jW2
1
2
3−= , где је:
( ) ( ) ( )ωϕωωω 11
3
211 1 jeW
RR
CRjjW =−= ( ) ( ) ( )ωϕωωω 2212 1 jeWCRjjW =+=
( ) ( )2
13
2111
+==
RR
CRjWW ωωω ( ) ( ) ( )21 122 CRjWW ωωω +==
( ) ( )
−==
3
2111 R
RCRarctgjW ωωωϕ arg ( ) ( ) ( )122 CRarctgjW ωωωϕ == arg
Амплитудска фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је једначином:
( )( )21
2
3
21
2
3
1
1
CR
RR
CR
RR
Wω
ω
ω+
+
=
в) Фазна фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је једначином:
( ) ( ) ( )ωϕωϕωϕ 21 −= , oдакле следи (arc tg(-x) = - arctg x):
( ) 11
21 CRarctg
RR
CRarctg ωωωϕ −−=
II Аналогна електроника
5
ЗАДАТАК За приказано коло, под претпоставком да је операциони појачавач савршен, а) одредити општи израз за функцију
преноса, W(s)=UO(s)/U(s); б) одредити амплитудску
фреквенцијску карактеристику, W(ω), в) одредити фазну фреквенцијску
карактеристику, ϕ(ω)=arg W(jω), г) одредити диференцијалну једначину
која описује однос улазног, u(t), и излазног напона, uo(t), у случају R1 = R2 = R3 = R .
Август 2002
u(t)R1
C
R2
R3
uo(t)
U
UO
а) За посматрано коло са савршеним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, важе једначине:
CC Z
UUI 1−
= ,
URR
RU
21
11 += ,
и ( ) CCO IRZUU 3+−= .
U
R1
C
R2
R3 UО
U1
IC
На основу претходних једначина се може одредити израз за напон UО на излазу кола (операционог појачавача) :
( ) ( )C
CC
CO ZRR
RUU
RZUZ
UURZUU 21
1
31
3+
−+−=
−+−= ,
URR
RZR
UUC
O21
231+
+−=
−
+=
+−
+=
CCO ZR
RRRR
RUU
RRR
ZR
URR
RU
1
32
21
1
21
23
21
1 1 .
Сменом sC
ZC1
= и сређивањем ове једначине добија се:
( ) ( )
−
+= CR
RR
sRR
RsUsU O 3
1
2
21
1 1 .
Функција преноса кола је, према дефиницији, одређена односом комплексних ликова излаза и улаза:
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
6
( )( )
−
+== CR
RR
sRR
RsUsU
)s(W O3
1
2
21
1 1 .
б) Фреквенцијска карактеристика W(јω) посматраног кола добија се сменом ωjs = : Амплитудска фреквенцијска карактеристика:
2
31
2
21
1 1
+
+= CR
RR
RRR
)(W ωω
в) Фазна фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је једначином:
( )1
23 R
RCRarctgωωϕ −=
г) У посматраном случају, када је R1 = R2 = R3 = R, израз за функцију преноса посматраног кола има облик:
( ) ( )( ) ( )sRCsUsU
sW O −== 121 ,
одакле следи: ( ) ( )( )sRCsUsU O −= 12 ,
односно: ( ) ( ) ( )sUsRCsUsU O +−=2 ,
Сменом оператора s оператором диференцирања по времену:
( ) ( ) ( ) ( )tusU,tusU,dtds OO ↔↔↔ ,
добија се диференцијална једначина која описује однос улазног, u(t), и излазног напона, uo(t):
)t(udtduRC)t(uO +−=2 .
II Аналогна електроника
7
ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да је операциони појачавач савршен: а) одредити општи израз за фреквенцијску карактеристику б) одредити општи израз за амплитудску фреквенцијску карактеристику у
случају R1 = R2 = R3 = R
U R1
C
R2 R3
UО
uo(t)u(t)
Април 2003
а)
Посматрано коло се може посматрати као систем са два улаза на која је доведен исти сигнал. Такво коло, са идеалним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, представља линеаран систем за који важи принцип суперпозиције. Одзив кола се може наћи као збир одзива на појединачну побуду када је други улаз спојен са масом:
02OO1 =
=U
UU и 01
OO2 ==
UUU ,
R2
C R1
UО
R3
U2 = U
U1 = U
2O1O UUU O += .
Када је напон U2 једнак нули, коло се своди на редну везу пасивног филтра и неинвертујућег појачавача
+
+=
+
+=
2
3
12
3
11O 1
111
RR
CRjUU
RR
ZRZ
UC
C
ω,
CjZC ω
1=
U
R2
C R1
UО1
R3
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
8
Када је напон U1 једнак нули, коло се своди на инвертујућi појачавач:
URR
U2
32O −= ,
U R2
C R1
UО2
R3
( )
CRj
CRjRR
RR
UUU O1
12
3
2
3
2O1O 1
11
ω
ω
+
+−+=+=
CRj
CRR
RjUUO
1
2
31
1
1
ω
ω
+
−=
Фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је једначином:
( ) ( )( ) CRj
RR
CRj
sUsU
sW O
1
2
31
1
1
ω
ω
+
−==
б) У посматраном случају (R1 = R2 = R3 = R) aмплитудска фреквенцијска карактеристика посматраног кола једнака је
( )( )
11
1
21
2
2
31
=+
+
=CR
RR
CRW
ω
ωω
II Аналогна електроника
9
ЗАДАТАК За коло приказано на слици, подпретпоставком да је примењениоперациони појачавач савршен: а) одредити фреквенцијску
карактеристику; б) одредити амплитудску фреквенцијску
карактеристику; в) одредити фазну фреквенцијску
карактеристику ; г) одредити диференцијалну једначину
која описује однос улазног ui(t) и излазног напона uo(t).
Мај 2002, Новембар 2002
ui
R
C
кR
кR
R
uo
а) За коло са идеалним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, важе једначине:
Cuuu == +− , (1) (инверујући и неинвертујући улаз појачавача налазе се на истом потенцијалу)
kRuu
Ruu
iii COCFiC
−+
−=+= , (2)
kRRu
Ru
i O
+== − , (3)
(улазне струје операционог појачавача једнаке су нули),
( ) ( ) ( )ωωω jIjZjU CCC ⋅= , (4)
ui
R
C
кR
кR
R
uo
uC=u+
u-
iC
ii
iF
i
На основу једначина (1) и (3) се може одредити израз за напон uО на излазу кола (операционог појачавача) у зависности од вредности напона uC на кондензатору:
( ) ( ) ( ) CO ukR
ukRRikRRu +=⋅+=⋅+= − 1 .
На основу добијеног израза и једначине (2) добија се: ( )
Ru
Ru
Ruu
kRuuk
Ruu
i CCCCCC =+
−=
−++
−=
1
одакле следи:
UR
ZIZU C
CCC =⋅= , односно
( ) ( )U
RZk
UkU CCO
+=+=
11
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
10
Сменом Cj
ZC ω1
= добија се:
( ) ( ) ( )ωω
ω jURCjkjU O
+=
1.
Фреквенцијска карактеристика кола је, према дефиницији: ( )( ) RCj
kjUjU
)j(W O
ωωω
ω +==
1
б) Амплитудска фреквенцијска карактеристика:
RCk)(W
ωω +
=1
в) Фазна фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је једначином:
( )2πωϕ −=∞−= arctg
г) Сменом jω= s добија се израз за функцију преноса посматраног кола:
( ) ( )( ) sRC
ksUsU
sW O +==
1 ,
одакле следи: ( ) ( ) ( )sUkssRCU O += 1 .
Сменом оператора s оператором диференцирања по времену:
( ) ( ) ( ) ( )tusU,tusU,dtds OO ↔↔↔ ,
добија се диференцијална једначина која описује однос улазног, u(t), и излазног напона, uO(t):
( ) )(1 tukdt
duRC O += .
II Аналогна електроника
11
ЗАДАТАК
За коло приказано на слици, ако напон на кондензатору представља излазни сигнал, одредити функцију преноса под претпоставком да је примењени операциони појачавач савршен. UC(s) = UC[s, C, R, U1(s), U2(s)]
u1
R
C
R R
r
u2
ruC
Април 2003
За коло на слици, са идеалним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, важе једначине ( CUUU == +− ):
( ) CC ZIIU O1 += ,
RUU
I A−= 1
1 , R
UUI AO
O−
= ,
+=
+=
CC Z
RU
ZZR
UU 1C
CCA ,
2CO rIUU −= , r
UUI C2
2−
=
U1
R
C
R R
r
U2r
I1
IO
UA
UO
UCI2
на основу којих следи: ( ) ( ) ( )RZUZUUZUUURU CCCOCO +−+=+−= 22 1A1C
( ) ( ) CCC ZUUZRU O123 +=+ , и
2CO 2 UUU −= , односно:
( )R
ZUUU C
C 321 −= .
Сменом sC
ZC1
= добија се:
( ) ( ) ( )sRC
sUsUsU C 3
21 −= .
Посматрано коло омогућује интеграљење разлике два сигнала (диференцијални интегратор).
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
12
ЗАДАТАК
За коло приказано на слици, под претпоставком да је примењени операциони појачавач савршен, одредити општи израз за улазну отпорност.
R
R
R ZI
U
ОП1
За посматрано коло важe следеће релације:
RUU
I O−= , U
RRUU O 21 =
+= ,
на основу којих следи:
RUI −= .
RIURi −==
R
R
R
UI
ОП1
II Аналогна електроника
13
ЗАДАТАК
За коло приказано на слици, под претпоставком да је примењени операциони појачавач савршен, одредити општи израз за улазну импедансу
C
R
R
R
RUO
U
Z
За посматрано коло важe следеће релације:
RUU
RUU
I OCC −=
−= ,
+=
CCO Z
RUU 1 ,
где ZC означава импедансу паралелне везе кондензатора C и отпорника R:
sRCRRXZ CC +
==1
.
На основу којих следи:
+−=−=−
CCCOCC Z
RUUUUUU 1
C
R
R
R
R U
I
UO
UC
ZC = R||XC
−=
CC Z
RUU 1
RZZ
UUC
CC −= ,
RZU
RUU
IC
C
−−
=−
=
sRCCsR
IUZ
+==
1
2
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
14
ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да је операциони појачавач савршен, а) одредити општи израз за функцију
преноса кола. Ако је R1 = R2 = R, и C1 = C2 = C: б) одредити општи израз за
амплитудску фреквенцијску карактеристику;
в) нацртати асимптотску логаритамску амплитудску фреквенцијску карактеристику;
г) одредити општи израз за фазну фреквенцијску карактеристику.
R1
C1
R2
U UO
C2
јун 2003
а) За коло са савршеним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, за назначене смерове струја, важе једначине:
OUUU == +− ,
1C
AOO Z
UUI
−= ,
11 R
UUI A−
= ,
22
C
O
ZU
I = , OIII += 12 ,
( )222 CA ZRIU += ,
11
1sC
ZC = , 2
21
sCZC =
R1
C1
R2UUO
C2UAI1 I2
IO
На основу ових једначина следи:
( ) ( ) ( )22222
222 1 RsCUZRZU
ZRIU OCC
OCA +=+=+=
112 C
AOA
C
O
ZUU
RUU
ZU −
+−
= ,
( ) 1121 CsRUUUUUCsR AOAO −+−= . Сређивањем последњег израза:
( ) ( ) UCsRUCsRCsRU AO =++− 111121 1
( ) UCsRCsRCRCRsCsRCsRU O =++++− 221122112
1121 1 . добија се једначина:
( )[ ]121222112 +++= RRsCCRCRsUU O ,
на основу које следи израз за функцију преноса кола:
II Аналогна електроника
15
( ) ( )( ) ( ) 1
1
21222112 +++
==RRsCCRCRssU
sUsW O .
б) Ако је R1 = R2 = R, и C1 = C2 = C, функција преноса има облик:
( )( ) ( )22 1
112
1sRCsRCsRC
sW+
=++
=
Фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је изразом:
( )( ) RCjRCjRCj
jWωωω
ω+
⋅+
=+
=1
11
11
12
Амплитудска фреквенцијска карактеристика одређена је једначином:
( )( )21
1RC
Wω
ω+
= .
в) Логаритамска амплитудска фреквенцијска карактеристика дефинисана је изразом:
( ) ( )ωω WW L log20= .
( ) ( )[ ]2120 RClogdBW L ω+−= Графички приказ асимптотске логаритамске амплитудске фреквенцијске карактеристике посматраног кола приказан је на слици.
WL(ω)
0
ωlog
ωg
нагиб -40 dB/dec
= -12 dB/oct
10 ωg
-40 dB
dB
Преломна учестаност једнака је:
RCg1
=ω
г) Фазна фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је једначином: ( ) CRarctgCRarctg ωωωϕ −−= .
( ) CRarctgωωϕ 2−=
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
16
ЗАДАТАК
У колу приказаном на слици, примењени операциони појачавачи се могу сматрати савршеним. а) Oдредити општи израз за функцију
преноса кола. б) Одредити општи израз за амплитудску
фреквенцијску карактеристику кола. Aко је R1 = R2 = R: в) Нацртати асимптотску логаритамску
амплитудску фреквенцијску карактеристику.
г) Одредити општи израз за фазнуфреквенцијску карактеристику.
д) Написати диференцијалну једначину која описује однос улазног, u(t), и излазног напона, uo(t).
R1 R2
u(t)
C
R
uO(t)
а) За коло на слици, са идеалним операционим појачавачима у линеарном режиму рада, важе једначине:
URR
U1
22 −= ,
CZRUU
I+−
= 2 , sC
ZC1
=
RIUU O −= , на основу којих се добија:
sRC
CRR
sRUU O +
−=
1
11
2
.
R1 R2
CR
UO
U UO
U2
I
A2
A1
Функција преноса посматраног кола, W(s), има облик:
( ) ( )( ) sRC
CRR
sR
sUsU
sW O
+
−==
1
11
2
б) Фреквенцијска карактеристика посматраног кола, W(jω), одређена је једначином:
( ) ( )ω
ωjs
sWjW=
= ',
II Аналогна електроника
17
( ) ( )( ) RCj
CRR
Rj
jUjU
jW O
ω
ω
ωω
ω+
−==
1
11
2
. (1)
Амплитудска фреквенцијска карактеристика посматраног кола, W(ω), одређена је једначином:
( )( )2
2
1
2
1
1
RC
RR
RCW
ω
ω
ω+
+
= .
в) Aко је R1 = R2 = R:
( ) 1=ωW . ( ) 0=ωLW
Графички приказ асимптотске логаритамске амплитудске фреквенцијске карактеристике дат је на слици.
WL(ω) 0
ωlog
dB
г) Фазна фреквенцијска карактеристика система чија је фреквенцијска карактеристика дефинисана једначином (1) одређена је изразом:
( ) CRarctgRR
CRarctg ωωωϕ −−=1
2 .
Aко је R1 = R2 = R, добија се: ( ) CRarctgωωϕ 2−=
Посматрано коло понаша се као фреквенцијски независан “померач фазе”. Сигнал на излазу кола има исту амплитуду као и улазни сигнал, независно од његове учестаности, али је фазно померен за угао φ(ω). д) На основу израза за функцију преноса кола следи:
( ) ( ) ( ) ( )sUsRCsRCsUsWsU O +
−=⋅=
11 ,
односно: ( )( ) ( )( )sRCsUsRCsUO −=+ 11 .
( ) ( ) ( ) ( )ssURCsUssURCsU OO ⋅−=⋅+
Однос улазног, u(t), и излазног напона, uo(t) описан је диференцијална једначином:
( ) ( )dtduRCtu
dtdu
RCtu OO
O −=+
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
18
ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да је операциони појачавач савршен : а) одредити општи израз за функцију
преноса кола. Ако је R1 = R2 = R, и C1 = C2 = C : б) одредити амплитудску
фреквенцијску карактеристику; в) одредити фазну фреквенцијску
карактеристику.
R1
C1 R2
U UO
C2
а) За коло на слици, са идеалним операционим појачавачем у линеарном режиму рада, важе једначине:
OUUU == +− ,
21 III O =+ ,
22 R
UI O= ,
11
C
A
ZUU
I−
= ,1RUU
I AOO
−= ,
( )222 CA ZRIU += ,
11
1sC
ZC = , 2
21
sCZC =
R1
C1
R2
U UO
C2
UA I1 I2
IO
На основу ових једначина може се одредити израз за вредност напона UА у зависности од вредности излазног напона UО:
( ) ( )22
2222
2222
1RsC
RsCUZR
RU
ZRIU OCO
CA+
=+=+= .
112 RUU
ZUU
RU AO
C
AO −+
−= ,
( ) 1121 CsRUUUUUCsR AOAO −+−= . Сређивањем последњег израза добија се једначина:
( )[ ]121122112
22112 +++= CCsRCRCRsUCRCRUs O , (1)
на основу које следи израз за функцију преноса кола
( ) ( )( ) ( ) 12112211
22211
2
+++==
CCsRCRCRsCRCRs
sUsU
sW O .
б) Ако је R1 = R2 = R, и C1 = C2 = C, функција преноса има облик:
( ) ( )( )
( )( )2
2
2
2
112 sRCsRC
sRCsRCsRCsW
+=
++=
Фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је изразом:
( )RCj
RCjRCj
RCjRCj
RCjjW
ωω
ωω
ωω
ω+
⋅+
=
+
=111
2
II Аналогна електроника
19
Амплитудска фреквенцијска карактеристика одређена је једначином:
( ) ( )( )2
2
1 RCRCWω
ωω+
=
Логаритамска амплитудска фреквенцијска карактеристика дефинисана је изразом:
( ) ( )ωω WW L log20= .
( ) ( )[ ]2012040 RClogRClogdBWL ωω +−= Графички приказ асимптотске логаритамске амплитудске фреквенцијске карактеристике посматраног кола приказан је на слици.
WL(ω)
0 ωlog
нагиб 40 dB/dec
= 12 dB/oct
ωP dB
Преломна учестаност једнака је:
RCP1
=ω
в) Фазна фреквенцијска карактеристика посматраног кола одређена је једначином:
( ) CRarctgωπωϕ 2−= .
На основу једначине (1)
( )[ ]121122112
22112 +++= CCsRCRCRsUCRCRUs O
добија се једначина: ( ) ( )( )12222222 ++= RCsCRssUCRssU O ,
односно ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsRCsUsUsRCsUsRC O ++= 22222 Однос улазног, u(t), и излазног напона, uo(t) описан је диференцијална једначином:
( ) ( ) ( )tudt
duRC
dtud
RCdt
udRC OOO +++= 2
2
22
2
22
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
20
ЗАДАТАК У колу приказаном на слици, примењени операциони појачавачи, ОП1 и ОП2, се могу сматрати савршеним. Одредити израз за вредност улазне импедансе ZI .
RC
R
RR
R
RR
ZI
UI
ОП2ОП1
Октобар 2, 2002
а) Улазна импеданса кола је, према дефиницији, једнака количнику комплексних ликова улазног напона U и улазне струје I. Струја I једнака је збиру струја I1 и I2. Да би се одредила њена вредност потребно је одредити зависност струја I1 и I2 од улазног напона U.
( ) ( )( )sIsUsZ I =u i
RC
R
RR
R
R
RU
I
ОП2ОП1
I2 I1
U2U1
UC
За коло операционог појачавача ОП1 важе следеће једначине:
RUU
I 11
−= . (1)
URRUU 211 =
+= . (2)
на основу којих следи:
RUI −=1 . (3)
II Аналогна електроника
21
За коло операционог појачавача ОП2 важe следеће релације:
RUU
RUU
I CC 22
−=
−= . (4)
+=
CC Z
RUU 12 . (5)
где ZC означава импедансу паралелне везекондензатора C и отпорника R:
sRCRRXZ CC +
==1
. (6)
C
R
R
R
RU
ОП2
I2
U2
UC
ZC = R||XC На основу једначина (4) и (5) следи:
+−=−=−
CCCCC Z
RUUUUUU 12 (7)
Сређивањем добија се израз за вредност напона на неинвертујућем улазу појачавача ОП2:
RZZ
UUC
CC −= , (8)
на основу којег се одређује зависност струје I2 од улазног напона U:
CsRU
RU
sRCRRU
RU
RsRCR
sRCR
RU
RU
RU
RUI C
22
1
1 +=−−
−=−
+
+−=−= .
CsRUIII 221 =+= . (10)
( ) ( )( ) CRjjIjUjZ 2ωωω
ω == .
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
22
ЗАДАТАК За коло са савршеним операционим појачавачима, приказано на слици: А) одредити општи израз за улазну импедансу кола, ZI, под претпоставком
да су импедансе Z1, Z2, Z3, Z4, Z5 и Z6 познате; Б) одредити израз за вредност улазне импедансе ZI у случају када је Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = Z6 = R, Z5 =1/јωC. (10)
Z4
Z6
Z5
Z3
Z2
Z1
ZI
Октобар 2, 2002
А) Према ознакама на слици, за посматрано коло важе следеће једначине:
u i
U(jω) I(jω)
Z4
Z6
Z5
Z3
Z2
Z1
ОП1
ОП2
U
I1I I6
U1 U2
( ) ( ) ( )ωωω jIjIjI 61 += ,
( ) ( ) ( )( )ω
ωωω
jZjUjU
jI1
11
−= ,
( ) ( ) ( )( )ω
ωωω
jZjUjU
jI6
26
−= .
( ) ( )( ) ( )ωωω
ω jUjZjZ
jU
+=
3
21 1 ,
( ) ( )( ) ( ) ( )ωωωω
ω jUZ
ZZZZ
jUjZjZ
jU3
32
4
51
4
52
+−=−= ,
на основу којих следи:
II Аналогна електроника
23
UZZ
ZI
31
21 −= ,
( )U
ZZZZZZZZ
UZ
ZZ
ZZ
I643
52343
6
4
5
3
2
6
11++
=
++
= .
Улазна струја једнака је:
( )U
ZZZZZZZZZZZZZZ
I6431
6421523431 −++= .
( ) 6421523431
6431
ZZZZZZZZZZZZZZ
Z I −++=
Б) За случај када је Z1 = Z2 = Z3 = Z4 = Z6 = R, Z5 =1/јωC , добија се:
323
4
12 RCj
RR
RZ I
−+=
ω
CRjZ I2
21
ω=
ПРОВЕРА У посматраном случају, када су све отпорности у колу једнаке, операциони појачавач ОП1 има улогу неинвертујућег појачавача чије је појачање једнако 2. Операциони појачавач ОП2, у чијој грани повратне спреге се налази кондензатор, делује као инвертујући интегратор:
( ) ( )ωω
ω jURCj
jU 121
−= .
R
R
C
R
R
R
ОП1
ОП2
U
I1I I6
U1 U2
UU 21 = ,
URCj
Uω
22 −= ,
RUI −=1
(за усвојене референтне смерове струја I1 је негативна !) ,
CRjU
RUI
262ω
+=
UCRj
I2
2ω
=
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
24
ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да су операциони појачавачи савршени, а) одредити општи израз за вредност
улазне импедансе Zi; б) одредити улазну импедансу ако је
Z1 = Z2 = Z3 = Z5 = R, Z4 = 1/jωC, в) ако напон Ui представља улазну
(управљачку), а струја Ii излазну (управљану) величину, нацртати асимптотску логаритамску амплитудску фреквенцијску карактеристику кола.
Maj 2002
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
ОП1
ОП2
Ui Ii
а) За коло са идеалним операционим појачавачима у линеарном режиму рада, важе једначине:
iA UU = и AB UU = ,
3
1
2
223 Z
UUZ
UUII ii −
=−
== ,
554 Z
UII i== ,
iUZ
ZZU
5
541
+= , и
3
1232222 Z
UUZUIZUIZUU i
iiA−
+=+=+= .
Z1
Z2
Z3
Z4
Z5
ОП1
ОП2
Ui Ii
UA =Ui
UB= UA
I4 = I5
U1
U2
A
B
Сређивањем последње једначине добија се:
−=
+−+=
53
42
5
54
3
22 11
ZZZZ
UZ
ZZZZ
UUU iii
Улазна струја Ii једнака је:
ii
i UZZZ
ZZZ
UUII
531
42
1
21 =
−== ,
одакле следи
II Аналогна електроника
25
42
531
ZZZZZ
IU
Zi
ii ==
б) За задате услове Z1 = Z2 = Z3 = Z5 = R, Z4 = 1/jωC добија се CRjZ i
2ω= в)
За посматрано коло фреквенцијска карактеристика једнака је:
( ) ( )( ) ( ) ( )ωωωωω
jZjY
jUjIjW 1
=== ,
( )CRj
jW 21
ωω =
( ) CRlogWL2
1020 ωω −= . Логаритамска амплитудска и фазна фреквенцијска карактеристика
приказане су на слици. WL(ω)
ωlog
нагиб-20 dB/dec= -6 dB/oct
φ(ω)0
ωlog
- π/2
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
26
ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да су операциони појачавачи савршени, а) одредити општи израз за вредност улазне импедансе Zi; б) ако напон UI представља улазну (управљачку), а струја II излазну
(управљану) величину одредити фреквенцијску карактеристику преноса W(jω) за случај Z1 = Z3 = Z4 = Z5 = R, Z2 = 1/jωC,
Z1
Z2 Z3 Z4
Z5UI
ОП1 ОП2
Децембар 2002
а) Према ознакама на слици, за коло са идеалним операционим појачавачима у линеарном режиму рада, важе једначине:
IUUU == +− , (1) (инверујући и неинвертујући улаз појачавача налазе се на истом потенцијалу)
3
232 Z
UUII I−
== , (2)
IUZ
ZZU
5
542
+= , (3)
(улазне струје операционог појачавача једнаке су нули),
221 IZUU I −= , (4)
1
11 Z
UUII I
−== , (5)
Z1
ZI
Z2 Z3 Z4
Z5
UI
II
ОП1 ОП2 UI
UI
U2U1
I2 = I3
а) На основу једначина (1) до (4) добија се:
−=
−
+
−=−
−=53
42
3
5
4
23
221 1
1
ZZZZ
UZ
UUZZ
ZUZ
UUZUU I
II
II
I .
На основу једначине (5) добија се:
531
42
1
1
ZZZZZ
UZ
UUI II =
−= , одакле следи
II Аналогна електроника
27
42
531
ZZZZZ
IU
ZI
II ==
б) Фреквенцијска карактеристика посматраног кола када прикључени напон UI представља улазну (управљачку) величину (побуду), а струја II излазну (управљану) величину (одзив), је комплексна величина, W(jω), одређена количником комплексних ликова струје и напона, која физички, представља улазну адмитансу:
( ) ( )( ) ( )ωωω
ω jYjUjIjW == .
За случај Z1 = Z3 = Z4 = Z5 = R, Z2 = 1/jωC, добија се
( )CRjZZZ
ZZjW
2531
42 1ω
ω ==
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
28
ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да су операциони појачавачи савршени: а) одредити функцију преноса W(jω)=UO(jω)/ U(jω); б) одредити амплитудску фреквенцијску карактеристику W(ω)=W(jω); в) одредити фазну фреквенцијску карактеристику ϕ(ω)= arg W(jω); г) нацртати логаритамску асимптотску фреквенцијску карактеристику
појачања.
u
C3
uo
+
OP1
OP3 OP2+
+R1
R4R5
R2
R3R6
C2
Јануар 2003
а) Према ознакама на слици, за коло са идеалним операционим појачавачима у линеарном режиму рада, важе једначине:
OUCsR
U33
21
−= ,
24
53 U
RR
U −= ,
61 II = ,
11 R
UI I= .
6
36 R
UI −=
ui
C3
uo
+
OP1
OP3 OP2+
+R1
R4R5
R2
R3 R6
C2
интеграторинвертор
I1
I6
U3
U2
На основу којих следи:
IO URR
UCRsR
RU
1
6
343
53 −== ,
Функција преноса кола једнака је
( ) 3351
64. CsRRRRR
UU
sWI
O −==
б) Фреквенцијска карактеристика кола дефинисана је изразом:
II Аналогна електроника
29
( ) ( ) 3351
64 CRRRRR
jjs
sWjW ωω
ω −==
=
Амплитудска фреквенцијска карактеристика једнака је:
( ) ( ) 351
643 C
RRRR
RjWW ωωω ==
в)
Фазна фреквенцијска карактеристика једнака је – π/2.
г)
Асимптотска логаритамска амплитудска фреквенцијска карактеристика приказана је на слици.
WL(ω)
ωlog
нагиб20 dB/dec= 6 dB/oct
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
30
ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да су примењени операциони појачавачи савршени: а) одредити општи израз за карактеристику преноса UО= f(U); б) нацртати карактеристику преноса UО= f(U) за случај када за вредности
отпорности у колу важи једначина: Ra = Rb; в) нацртати дијаграм који приказује таласне облике напона UО и UA, при
побуди кола наизменичним напоном симетричног троугаоног таласног облика
UO
U
Ra Rb
Rc
RL
UA
D2
D1
OPА
OPB D3
D4
Јануар 2003 а) Када је улазни напон U позитиван, расподела струја и потенцијала у колу
је приказана на слици 2.2. Излазни напон једнак је улазном напону
UOUI > 0 Ra Rb
Rc
RL UA
D1
OPA
OPB D3
Ia Ib
Ia + Ib
Ic = 0
Инвертујући улаз операционог појачавача OPB је на потенцијалу улаза (негативна повратна спрега се остварује преко диоде D3). Диода D4 је закочена. Према претпоставци, операциони појачавачи су савршени, струја кроз отпорник Ra једнака је нули, па је потенцијал излаза такође једнак потенцијалу улaзa. Негативна повратна спрега у колу операционог појачавача OPА остварује се преко диоде D1. Диода D2 је закочена.
0>= UзаUUO Kaда је улазни напон U негативан, расподела струја и потенцијала у
колу је приказана на слици.
II Аналогна електроника
31
UO > 0UI < 0 Ra Rb
RL
UA
D2 OPA
OPB
D4
Ia = Ib
Инвертујући улаз операционог појачавача ОPB је на потенцијалу улаза (негативна повратна спрега се остварује преко диоде D4). Диода D3 је закочена. Негативна повратна спрега у колу операционог појачавача OPА остварује се преко диоде D2 Диода D1 је закочена. Операциони појачавач OPА има улогу инвертујућег појачавача
0<−= UзаURR
Ua
bO
<−
>= 0
0
UзаURR
UзаUU
a
bO
б) У случају Ra = Rb посматрано коло представља модуо-коло.
<−>
=0
0UзаU
UзаUU O
Карактеристика преноса UО= f(U) приказана је на слици
0
UО
U
в) Дијаграм таласних облика напона UO(t) и UA(t) приказан је на слици.
U(t)U
0 t T T/2
UО(t)U
- U
0 t T
T/2
UА(t)
- U(ТО)
0 t T T/2
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
32
ЗАДАТАК За коло приказано, под претпоставком да су операциони појачавачи савршени: • одредити израз за карактеристику преноса UО= f(U), • нацртати дијаграм који приказује таласни облик напона UO(t) при побуди
кола биполарним напоном симетричног троугаоног таласног облика амплитуде U.
UO
rRU
R
D1
D2
A
B
Rr U(t)U
- U
0
t
TT/2
Октобар 2, 2002
РЕШЕЊЕ а) Када је улазни напон негативан, расподела струја и потенцијала у колу је
приказана на слици. Инвертујући улаз операционог појачавача ОП1 је на потенцијалу масе (виртуелна маса). Потенцијал тачке B је такође једнак потенцијалу масе (кроз отпорник не протиче никаква струја, па је и пад напона између његових крајева једнак нули). Операциони појачавач ОП2 има улогу инвертујућег појачавача.
UO < 0
rR
U < 0
RB=R
D1
D2
A
B
Rr
UA > 0
UB = 0
I1 I2
прекидОП1 ОП2
RUI =1 , (1)
URrU A −= , (2)
rU
I A=2 , (3)
AO UrRU −= . (4)
Дакле, када је улазни напон U негативан, излазни напон UО је такође негативан, једнак улазном напону:
0<= UзаUU O
II Аналогна електроника
33
Када је улазни напон позитиван, расподела струја и потенцијала у колу је приказана на слици.
UO < 0
rR
U > 0
R
D1
D2
A
B
Rr
UA = UB /2
UB < 0
I1 IА
прекид
UB < 0
IB
ОП1 ОП2
RUI =1 , (5)
rU
I BA 2
−= , (6)
RU
I BB −= , (7)
BA III +=1 . (8)
На основу једначина од (6) до (8) следи:
RrU
rU
RU
I BBB
221 −=−−= (9)
rRrU
RRr
UU B 222+
−=−= (10)
rRrU
rRUURIUU BBBABO 2
22
+=+=−= (11)
Дакле, када је улазни напон U позитиван, излазни напон UО је негативан, једнак по величини (интензитету) улазном напону.
0>−= UзаUU O Посматрано коло омогућује добијање апсолутне вредности улазног напона са негативним предзнаком.
>−<
=0
0UUзз
UзаUU O
а) Дијаграм таласних облика напона UO(t) и UA(t) при побуди кола биполарним напоном симетричног троугаоног таласног облика амплитуде U приказан је на слици.
U(t)U
- U
0 tTT/2
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
34
ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да су примењени операциони појачавачи савршени: а) одредити општи израз за карактеристику преноса UО= f(U); б) нацртати дијаграм који приказује таласне облике напона UO и UA, при
побуди кола наизменичним напоном симетричног троугаоног таласног облика за случај када за вредности отпорности у колу важе једначине: Ra = Rb, Rd = 2Rc
UO
UI
Ra Rb Rc RdUA
Децембар 2002 а) Када је улазни напон U позитиван, расподела струја и потенцијала у колу
је приказана на слици.
UO
U > 0
Ra Rb Rc Rd
Ia = Ib Ic = Id
D1
UU
UA>U
ba
a IRUI == , (1)
+=
a
bA R
RUU 1 , (2)
dc
Ac I
RUU
I =−
= , (3)
ddO RIUU −= . (4)
Побуда позитивним напоном На основу једначина (2) и (3) следи:
URR
RI
ca
bc = ,
−=
ca
dbO RR
RRUU 1
Када је улазни напон U негативан, расподела струја и потенцијала у колу је приказана на слици.
II Аналогна електроника
35
UO
U < 0
Ra Rb Rc Rd
Ia Ic = Id = 0
D2
U U
UA=U
Ib = Ic = 0
Побуда негативним напоном
Инвертујући улаз операционог појачавача ОП1 је на потенцијалу улаза (негативна повратна спрега је остварена преко диоде D2). Потенцијал тачке А је такође једнак потенцијалу улaзa (кроз отпорникe Rb и Rc не протиче никаква струја). Операциони појачавач ОП2 има улогу јединичног појачавача (кроз отпорник Rd не протиче никаква струја, па је и пад напона између његових крајева једнак нули).
0<= UзаUUO
<
>
−=
0
01
UзаU
UзаRRRR
UUca
db
O
У случају Ra = Rb, Rd = 2Rc посматрано коло омогућује добијање апсолутне вредности улазног напона са негативним предзнаком:
<>−
=00
UзаUUзаU
U O
в) Дијаграм таласних облика напона UO(t) и UA(t) при побуди кола биполарним напоном симетричног троугаоног таласног облика амплитуде U приказан је на слици.
U(t)U
- U
0 t T T/2
UО(t)
- U
0 t T T/2
UА(t)2U
- U
0 t T T/2
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
36
ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да су ZD1 и ZD2 савршене Ценер-диоде (динамичка отпорност у режиму пробоја и пад напона при директној поларизацији су занемарљиво мали), као и да је операциони појачавач савршен а) одредити општи израз за вредност напона UO на излазу кола у
зависности од вредности улазног напона U, напона пробоја UZ и односа отпорности R1, R2 и R3;
б) израчунати вредност излаzног напона за случај U = 5 V, UZ = 2.5 V и R1 = R2 = R3;
в) нацртати улазно-излазну карактеристику кола, UО(U); U
R1R3
R2
Uo
ZD1 ZD2
UАК
IAK
UZА
К
Јун 2002, А
РЕШЕЊЕ а) Са становишта поларитета улазног напона Ui, структура кола је симетрична, па је и улазно-излазна карактеристика кола симетрична у односу на координатни почетак. За мале вредности улазног напона Ui, струја кроз грану кола у којој се налазе Ценер-диоде је једнака нули. Коло се понаша као неинвертујући појачавач :
+=
1
21RR
UU O
Овакав модел може се применити уколико је пад напона на отпорнику R2 мањи од напона пробоја Ценер-диоде, UZ. Вредност улазног напона Uк која дефинише границу ове области одређена је условом:
Zk U
RU
RIRU ===1
2222 ,
односно
2
1
RR
UU Zk = .
U
R1
R2
Uo
U2=R2 I2< UZ
I2
II Аналогна електроника
37
Еквивалентно коло које одговара случају када је улазни напон већи од напона Uк приказано је на слици.
U>UK
R1 R3
R2
Uo
UZ
U
R1 RT
Uo
UT
Применом Тевененове теореме, добија се једноставнији модел, приказан на слици. за који важи:
32
2
RRR
UU ZT += ,
32
32
RRRR
RT +=
Овај део карактеристике одређен је једначином:
kTO UU;UR
R||RUU ≥+
+=
1
321
б) Uk = UZ = 2,5 V,UT=1,25 V,UO(5 V)= 8,75 V
в) Графички приказ улазно-излазне карактеристике кола дат је на слици.
0
UО
U
2
1
RRUU ZK =
ZT URR
RU22
2
+=
+
2
11RRU Z
Петар Бошњаковић Електроника, збирка решених задатака (рукопис)
38
ЗАДАТАК За коло приказано на слици, под претпоставком да је операциони појачавач савршен,: а) одредити општи израз за вредност напона UO(Ui, U) на излазу кола под
претпоставком да су диоде D1 и D2 савршене (при директној поларизацији, пад напона од аноде до катоде се може занемарити);
б) нацртати улазно-излазну карактеристику кола, UО(Ui, U) ако све отпорности у колу имају једнаке вредности: R = R1 = R2 = R3;
в) нацртати улазно-излазну карактеристику кола, UО(Ui, U) за случај: R = R1 = R2, R3 = ∞;
Ui
R R3
R1
R2
Uo
R1
R2
+U
-U
D1
D2
UAK
IAK
јун 2002,Б
РЕШЕЊЕ а) Структура кола је симетрична у погледу поларитета улазног напона U, па је и улазно-излазна карактеристика кола симетрична у односу на координатни почетак. За мале вредности улазног напона обе диоде су инверзно поларисане.
iO URR
U 3−=
Константа нагиба карактеристике у околини координатног почетка једнака је:
RR
k 31 −= ,
При довољно великој позитивној вредности улазног напона диода D1 је директно поларисана и представља кратак спој (слика 2).
UR
RRU
RRR
U iO2
1313 −−=
Константа нагиба улазно-излазне карактеристике за Ui ≥ UiG једнака је:
RRR
UU
ki
O 132 −=
∆∆
=
II Аналогна електроника
39
При довољно великој позитивној вредности улазног напона диода D1 је директно поларисана и представља кратак спој (слика 2).
UR
RRU
RRR
U iO2
1313 −−= .
Константа нагиба улазно-излазне карактеристике за Ui ≥ UiG једнака је:
RRR
UU
ki
O 132 −=
∆∆
=
Ui
R R3 Uo
R1
R2
+U
D1 А
б) Графички приказ улазно-излазне карактеристике кола дат је на слици. Вредност улазног напона UiG која одговара преломној тачки карактеристике одређена је потребним условом да је напон у тачки А једнак нули када је струја кроз диоду једнака нули,
21 RU
RU OG =− ; iGOG U
RR
U 3−= , одакле следи URRRR
U iG32
1= , URR
U OG2
1−=
0
UО
UUG
-UG
-UОG
UОG
константа нагиба k1
константа нагиба k2
UR
RR
2
13−
в) Графички приказ улазно-излазне карактеристике кола за случај R3 = ∞ дат је на слици.
0
UО
U