제목 : 고2 지수, 로그, 등차수열 문제 · 2018-10-08 · 수학1 (고2) 지수, 로그,...

제목 : 고2 지수, 로그, 등차수열 문제

지수와 로그 그리고 등차수열

헤 럴 드 수 학 학 원

수학1 (고2) 파트별 핵심 심화문항 100점 목표 헤럴드수학원 지수, 로그, 등차수열

헤럴드수학 학원 지수, 로그, 등차수열- 2 -

시험을 잘보기 위한 체크리스트1) 공식 확인2) 교과서 문항 확인 풀이 => 체크 => 복습(반복)3) 문제집 문항 확인 풀이 => 체크 => 복습(3회이상)4) 기출문항 확인5) 심화문항 확인

Part 1. 지수 1.1. 1)다음 중 옳은 것은?

① 일 때, 이다. ② 의 제곱근은 이다. ③ 의 네제곱근은 ±이다. ④ 이 짝수이고 일 때, 를 만족시키는 실수 의

값은 개이다. ⑤ 이 홀수일 때, 의 제곱근 중 실수인 것은 이다.

2.2. 2)다음 중 옳은 것은? (정답 개)

① 의 세제곱근은 이다.② 실수 의 네제곱근 중 실수인 것은 이다③ 은 의 네제곱근 중 양수인 것이다.④ 이 홀수일 때, 실수 에 대하여 의 제곱근 중 실수인 것은 개이다.⑤ 의 세제곱근 중 실수인 것은 이다.

3.3. 3)양수 와 이상의 자연수 에 대하여 의 제곱근

중에서 실수인 것의 개수를 이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 의 값을 구하시오.(2) ⋯ 의 값을 구하시오.

4.4. 4 )실수 와 자연수 에 대하여 의 제곱근 중에서 실수인

것의 개수를 이라 하자. 이때

의 값을 구하여라.

5.5. 5 )집합 에 대하여 두 집합

∈ 는실수 ∈ 는실수라 할 때, 집합 의 모든 원소의 곱은?① ② ③ ④ ⑤

6.6. 6)함수 가 ⋯ ⋯ 일 때, 의

값을 구하시오.

7.7. 7) 인 실수 에 대하여

의 값은?① ② ③ ④ ⑤

8.8. 8)이상의 자연수 과 실수 의 제곱근 중에서 실수인

것의 개수를 로 정의할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. 이 홀수일 때, ㄴ. ㄷ. 일 때,

×

<보 기>

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ



9.9. 9)세 수 의 대소 관계를

바르게 나타낸 것은?① ② ③ ④ ⑤

10.10. 10) ≠일 때, 을

만족시키는 유리수 의 값은?

① ②

③

④ ⑤

11.11. 11) 일 때, 의 값은? (단, )

① ② ③ ④ ⑤

12.12. 12)

이 자연수가 되도록 하는 모든 정수 의 값의

합은?① ② ③ ④ ⑤

13.13. 13) 이고 일 때,

의 값을

구하여라. (단, ≠이고 )

14.14. 14)

일 때, 의 값은? (단, )

① ②

③ ④

⑤

15.15. 15)이 아닌 실수 에 대하여 일 때,

를 만족시키는 실수 의 값을 구하여라.

16.16. 16)어떤 방사능 물질이 시간이 지남에 따라 일정한 비율로

붕괴되어 년 후에는 처음 양의 이 된다고 할 때, 년을 이

물질의 반감기라 한다. 반감기가 년인 방사능 물질의 처음의 양을 이라 할 때, 년 후 이 방사능 물질의 양 는

∙

인 관계가 성립한다. 반감기가 년인 방사능 물질의 양이 현재 이

라 할 때, 이 물질의 양이

이 되는 것은 지금으로부터 약 몇 년 후인

지 구하여라.

17.17. 17)방사성 동위원소의 반감기가 년이고, 현재의 양이

g이면 현재로부터 년 후의 방사성 동위원소의 양 g은

으로 주어진다. 방사성 동위원소 라듐의 반감기는 년이고, 현재의 양이 g일 때, 년 후의 라듐의 양은 년 후의 라듐의 양의 몇 배인가?① 배 ② 배 ③ 배④ 배 ⑤ 배

18.18. 18)표면 절대 온도가 반지름의 길이가 인 구 모양의

별이 단위 시간 동안 우주 공간으로 방출하는 광도 은 다음과 같다.

(는 상수)구 모양의 별 A와 B에 대하여 A의 광도는 B의 광도의 배이고, A의 반지름의 길이는 B의 반지름의 길이의

배일 때, 별 A의 표면의 절대 온도는 별 B의 표면 절대

온도의 몇 배인지 구하시오.



19.19. 19)두 실수 에 대하여 일 때,

의

값은?① ② ③ ④ ⑤

20.20. 20)부등식 을 만족시키는 자연수 에

대하여

×

×

×

이라고 할 때, 의 대소 관계로 옳은 것은?① ② ③

④ ⑤

21.21. 21)조개류는 현탁물을 여과한다. 수온이 ℃ 이고

개체중량이 g일 때, A 조개와 B 조개가 시간 동안 여과하는 양L을 각각 A B라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.A

B

수온이 ℃이고, A 조개와 B 조개의 개체중량이 각각 g일

때, BA 의 값은 ×이다. 의 값은?

(단, 는 유리수이다.)① ② ③ ④ ⑤

22.22. 22 )≤≤ ≤≤인 두 자연수 에 대하여

이 자연수가 되도록 하는 순서쌍 의 개수를 구하여라.

23.23. 23 )

일 때, 의 값은?

①

②

③

④

⑤



Part 2. 로그 24.24. 24)log

가 정의되기 위한 의 값의

범위가 일 때, 의 값은?① ② ③ ④ ⑤

25.25. 25)log log 일 때, log 를 로

나타내면?

① ②

③ ④

⑤

26.26. 26)세 양수 가 다음 조건을 모두 만족시킨다.

㈎㈏

이때


27.27. 27)log 의 정수 부분과 소수 부분이 이차방정식

의 두 근일 때, 상수 의 값은?① ② ③ ④ ⑤

28.28. 28)log 의 정수 부분을 , 소수 부분을 라 할 때,


29.29. 29)은 자리의 정수이고,

은 소수점 아래 째

자리에서 처음으로 이 아닌 숫자가 나타난다. 이 때 의 값을 구하여라. (단, log , log )

30.30. 30)

log log

log ⋯log

일 때, 의 값은?① ② ③

④ ⑤

31.31. 31)다음 세 조건을 모두 만족시키는 양의 실수 가

있다.

(가) log

(나) 와 의 상용로그의 지표는 같다.

(다) 와

의 상용로그의 가수는 같다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

이 때 의 값을 구하여라.

32.32. 32)≤ 이고 log 의 소수 부분과 log 의 소수

부분이 같을 때, 모든 실수 의 값의 곱은?① ② ③

④ ⑤

33.33. 33)보다 작은 자연수 에 대하여

이 소수점 아래

여섯째 자리에서 처음으로 이 아닌 숫자가 나타날 때, 의 값을 구하여라.

(단, log , log )



34.34. 34)어느 자동차 보험회사에서는 자동차의 차량가격에 대하여

보상 기준 가격을 년에 씩 떨어뜨리는 방식으로 보험료를 산정하고 있다. 년 전에 만 원을 주고 구입한 자동차의 현재 보상 기준 가격은 얼마인가?

(단, log )

① 만 원 ② 만 원 ③ 만 원④ 만 원 ⑤ 만 원

35.35. 35)방정식 loglog 의 두 근을 라고 할

때, 의 값을 구하여라.

36.36. 36) 보다 크지 않은 최대의 정수를 라고 할 때,

log log log ⋯ log 의 값은?

① ② ③ ④ ⑤

37.37. 37)다음 보기 중 log 와 소수 부분이 같은 수만을 있는

대로 고른 것은?

ㄱ. log ㄴ. logㄷ. log ㄹ. log

ㅁ. log

<보 기>

① ㄱ, ㄴ ② ㄴ, ㄹ ③ ㄷ, ㅁ ④ ㄱ, ㄷ, ㅁ ⑤ ㄴ, ㄹ. ㅁ

38.38. 38)소리의 강도가 Wm일 때, 소리의 크기 dB는

기준 음의 강도 와 비교하여 log 로 나타낸다.

B지역의 소리의 강도가 A지역의 소리의 강도의 배일 때, A지역과 B지역의 소리의 크기의 차이는 몇 dB인지 구하여라. (단, log )

39.39. 39)양수 에 대하여 log 라 할 때, 다음 두 조건을

만족하는 자연수 의 개수를 구하시오. (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

(가) (나)

40.40. 40) 일 때, log 의 가수와 log 의 가수의

합이 이 되는 모든 실수 의 개수는?① ② ③ ④ ⑤

41.41. 41)일의 자리의 수가 이 아닌 보다 큰 수 에 대하여

log log log

log

이 성립할 때, logloglog log log log

의 값을 구하시오. (단, 는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

42.42. 4 2)자연수 에 대하여 log의 정수 부분을 이라 할 때,

⋯의 값은?① ② ③ ④ ⑤

43.43. 4 3)자연수 에 대하여 log의 정수 부분과 소수 부분을 각각

, 이라 할 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 모든 의 값의 합을 구하여라.

(가) ≤≤

(나)



44.44. 44 )양수 에 대하여 log의 정수 부분을 , 소수 부분을

라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. 를 만족시키는 는 1뿐이다.ㄴ.g ggㄷ. 이면 g gg이다.ㄹ.ggggg g

[ 보 기 ]

① ㄱ,ㄷ ② ㄴ,ㄹ ③ ㄱ,ㄴ,ㄷ④ ㄱ,ㄷ,ㄹ ⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ,ㄹ

45.45. 45 )양의 정수 에 대하여 log 의 정수부분을 로 나타낼

때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은? (단, 은 자연수이다.)

ㄱ. ㄴ. 인 의 개수는 ⋅ 이다.ㄷ.

[ 보 기 ]

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

46.46. 46 )두 자리의 자연수 에 대하여 log 의 소수 부분이 일

때,

log log

을 만족시키는 의 값을 구하여라.

47.47. 47 )이하의 자연수 전체의 집합을 S라 할 때, ∈S에

대하여 집합 ∈S이고 log log 는 정수의 원소의 개수를 이라 하자. 예를 들어 이고 이다. 이때 인 의 개수를 구하여라.



Part 6. 등차등비수열48.48. 48)수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을 이라

하면 ⋅ 가 성립한다. 이때 수열 이 첫째항부터 등비수열을 이루도록 하는 실수 의 값은?① ② ③ ④ ⑤

49.49. 49)첫째항부터 제 항까지의 합이 , 첫째항부터 제

항까지의 합이 인 등비수열이 있다. 이 수열의 첫째항부터 제 항까지의 합을 구하여라.

50.50. 50)삼차방정식 의 세 근 가 이

순서로 등비수열을 이룰 때, 상수 의 값을 구하여라.

51.51. 51)만 원하는 승용차를 개월 할부로 구입하면서

인도금으로 만 원을 내고 나머지 만 원에 대해서는 다음 달부터 매월 말에 일정액의 할부금을 내기로 하였다. 월이율 의 복리로 하였다면 갑이 매월 내야될 할부금은 얼마인가? (단, 만원 미만은 버린다.)① 만 원 ② 만 원 ③ 만 원④ 만 원 ⑤ 만 원

52.52. 52)매년 말에 일정한 금액 원씩을 적립하여 년 후에 억

원이 되도록 하려고 한다. 연이율은 이고 년마다 복리로 계산할 때, 적립금 의 값은?

① ②

③

④ ⑤

53.53. 53)등차수열 에 대하여 일 때,

⋯ 의 값을 구하여라.

54.54. 54)개의 항으로 이루어진 등차수열 ⋯ 이

다음 조건을 모두 만족시킨다.

(가) 처음 개의 항의 합은 이다.

(나) 마지막 개의 항의 합은 이다.

(다) ⋯

<보 기>

이때 자연수 의 값을 구하여라.

55.55. 5 5)와 사이에 개, 과 사이에 개의 수를 넣어서

등차수열 ⋯ ⋯ 을 만들었다. 이 때 사이의 관계식은?① ② ③ ④ ⑤

56.56. 5 6)등차수열 에 대하여 일 때,

⋯의 값은?① ② ③ ④ ⑤

57.57. 5 7)등차수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라

할 때, 이다. 이때 ⋯ 의 값은?① ② ③ ④ ⑤



58.58. 58 )오른쪽 그림 같이 직선 위에 같은 간격으로 개의 점

P P P ⋯ P 을 잡고, 각 점에서 직선 에 내린 수선의 발을 차례로 Q Q Q ⋯ Q 이라 하자. PQ PQ 일 때,

PQPQPQ ⋯ PQ 의 값은?

① ② ③ ④ ⑤

59.59. 59)등차수열 의 첫째항부터 제항까지의 합을 이라

할 때, 이고 이다. 옳은 것만을 〈보기〉에서 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. ⋯ ㄴ. ㄷ. 일 때, 은 최댓값을 갖는다.

<보 기>

① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

60.60. 60)첫째항이 , 공비가 인 등비수열 의 첫째항부터 제

항까지의 합을 이라 하자. 이때, 수열 가 등비수열을 이루도록 하는 상수 에 대하여 의 값을 구하시오.

61.61. 61)수열 에 대하여 첫째항부터 제 항까지의 합 이

일 때, 의 값은?① ② ③ ④ ⑤

62.62. 62)등차수열 이 ⋯ 을

만족할 때, 다음 물음에 답하여라.

(1) 수열 의 일반항을 구하여라.

(2) 의 값을 구하여라.

63.63. 63)수열 에 대하여 첫째항부터 제 항까지의 합을

이라 하자. 수열 은 공차가 인 등차수열이고, 수열 은 공차가 인 등차수열이다. 일 때, 의 값을 구하시오.

[출처] 2010학년도 수능 / 4점

64.64. 64)다음 표는 어느 학교에서 한 달 전에 구입한 휴대용 저장

장치의 용량 에 따른 개당 가격과 개수의 현황을 나타낸 것이다.

용량 MB MB MB GB GB

개당 가격

개수

현재 모든 휴대용 저장 장치의 가격이 한 달 전보다 모두 씩 하락 하였다. 이 학교에서 휴대용 저장 장치의 용량과 개수를 위 표와 동일하 게 현재의 가격으로 구입한다면 지불해야 하는 금액은? (단, ＞이고 ＞이다.)

①

②

③

④

⑤



65.65. 65)다음은 어느 회사의 연봉에 관한 규정이다.

(가) 입사 첫째 해 연봉은 원이고, 입사 년째 해까지의 연봉은 해마다 직전 연봉에서 씩 인상된다.

(나) 입사 년째 해부터의 연봉은 입사 년째 해

연봉의 로 한다.

이 회사의 입사한 사람이 년 동안 근무하여 받은 연봉의 총합은? (단, 로 계산한다.)

①

②

③

④

⑤



Part 9. 수열의 합66.66. 66)함수 가 을 만족시킬 때,


67.67. 67)

⋯

의 값을 구하시오.

68.68. 68)

⋯ ⋯

⋅

개 일 때, 의

값은? (단, 는 자연수)① ② ③ ④ ⑤

69.69. 69)이차방정식 의 두 근을 , 이라고 할

때,


70.70. 70)자연수 에 대하여

⋅⋅⋅ ⋯ ⋅

일 때, 의 값은? (단, 는 정수)

① ② ③ ④ ⑤

71.71. 71)수열 에 대하여

일 때,

의 값을

로 나눈 나머지는?① ② ③ ④ ⑤

72.72. 72)자연수 전체의 집합에서 정의된 함수 에 대하여

×

일 때, 의 값은?

① ②

③ × ④ ×

⑤ ×

73.73. 73)첫째항이 , 공차가 인 등차수열 에 대하여

⋯


74.74. 74)양의 실수로 이루어진 수열 이

⋯

을 만족할 때,

의 값은?

① ② ③ ④ ⑤

75.75. 75)방정식 의 한 허근을 라 하자. 자연수 에

대하여 의 실수부분을 으로 정의할 때,

의 값은?

① ② ③

④ ⑤



76.76. 76)함수 는 를 만족하고, 그 그래프는

다음 그림과 같다. 모든 자연수 에 대하여

인 수열

이 있다. 이 보다 작은 자연수일 때, ⋯ 을 만족시키는 의 최솟값을 구하시오.[2010학년도 평가원]

77.77. 77) ⋯

를 만족하는

수열 에 대하여 다음 물음에 답하시오.(1) 수열 의 일반항을 구하시오.(2) 수열 ⋯ 의 번째 항을 구하시오.

☞ 개정교과과정에서 빠진 군수열 / 멱급수78.78. 78)다음 수열에서 제 항은?

⋯

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helpmemath

* 작성자 *

① ② ③ ④ ⑤

79.79. 79)수열

⋯에

대하여 다음 물음에 답하여라.

(1) 은 제 몇 항인지 구하여라.

(2) 번째 항을 구하여라.

80.80. 80)⋅⋅⋅ ⋯ ⋅ 의 값은?

① ⋅ ②

⋅ ③ ⋅

④ ⋅ ⑤

⋅

81.81. 81)수열 , ,

, ,

, ,

, ⋯에서 은 제 몇

항인가?① 제항 ② 제항 ③ 제항④ 제항 ⑤ 제항

82.82. 82)

⋅

⋅

⋅

⋯⋅

⋅

일 때, 정수 , , 의 곱 의 값을 구하여라.

83.83. 83)다음과 같이 수를 나열할 때, 위에서 첫 번째 줄부터 여덟

번째 줄까지 나열된 모든 수의 합을 구하여라.

84.84. 84)오른쪽과 같이 자연수를 배열할

때, 위에서 번째 줄의 왼쪽에서 번째 칸에 있는 수를 구하여라.



85.85. 85)자연수를 오른쪽 표와 같이 중앙의 에서부터 시작하여

시계 반대 방향으로 써 나갈 때, 바로 위에 오는 수를 구하여라.



Part 10. 수학적 귀납법

86.86. 86)수열 이 ,

⋯으로 정의될 때 의 값은?

① ②

③

④ ⑤

87.87. 87) ⋯으로 정의된 수열

에 대하여 을 만족시키는 자연수 의 값은?① ② ③ ④ ⑤

88.88. 88)수열 이

⋯ 으로 정의될 때,

은 제 몇 항인가?

① 제항 ② 제항 ③ 제항④ 제항 ⑤ 제항

89.89. 89) , ( ⋯)으로 정의된

수열 에 대하여

의 값은?

① ② ③ ④ ⑤

90.90. 90)수열 이 ,

⋯으로 정이될 때

의 값은?

① ② ③ ④ ⑤

91.91. 91)수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라고

하면 , ⋯

이 성립한다. 이때 의 값을 구하여라.

92.92. 92)수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라고

하면 , , ⋯이 성립한다. 이때 의 값은?① ② ③ ④ ⑤

93.93. 93)수열 이 , ⋅

⋯으로 정의되는 수열 에서 은 제 몇 항인지 구하여라.

94.94. 94)어떤 통에 물 L가 들어 있다. 이 통의 물의 을

퍼내고 L의 물을 다시 넣는다. 또 다시 통의 물을 을

퍼내고 L의 물을 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 번 반복한 후에 통에 남아 있는 물의 양을 L 라 할 때, 다음을 구하여라.(1) 의 값을 구하여라.(2) 과 사이의 관계식을 구하여라.(3) (1), (2)를 이용하여 의 값을 구하여라.

95.95. 95)어떤 사람이 계단을 오를 때, 매걸음마다 한 계단 또는 두

계단씩 올라간다고 하자. 이와 같은 방법으로 개의 계단을 올라가는 모든 방법의 수를 이라 할 때, 를 과 을 사용하여 나타내면?① ② ③ ④ ⑤



96.96. 96)수열 은 이고

× ≥

을 만족시킨다. = 일 때, 의 값을 구하시오.

(단, 는 서로소인 자연수이다.) [2011년 평가원]

97.97. 97)다음과 같이 정의된 수열 에 대하여 물음에

답하시오.

, ⋯

(1) 일반항 을 구하시오.(2) (1)에서 구한 일반항 이 모든 자연수 에 대하여

성립함을 수학적 귀납법으로 증명하시오.

(3)


98.98. 98 )수열이

, ⋯

으로 정의될 때, 을 만족시키는 자연수 의 값은?① ② ③ ④ ⑤

99.99. 99 )수열 이

, ⋯로 정의 될 때, 의 값은?① ② ③ ④ ⑤

100.100. 10 0)수열 이

, 을로 나누었을 때의 나머지 ⋯로 정의될 때, 의 값은?① ② ③ ④ ⑤

101.101. 1 01 )수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합을 이라

하면 ⋯

이 성립한다. 이때 의 값은?

① ② ③

④ ⑤

102.102. 1 02 )수열 에 대하여

, ⋯ ⋯이 성립할 때, 를 만족시키는 자연수 의 값을 구 하여라.

☞ 수학적귀납법 증명103.103. 103)자연수 에 대하여 명제 이 다음 세 조건을

만족한다고 한다. (단, 는 자연수이다.)

(가) 가 참이다.(나) 가 거짓이면 도 거짓이다.(다) 가 참이면 도 참이다.

참인 명제만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. ㄴ. ㄷ.

<보 기>

① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ



104.104. 104)다음은 모든 자연수 에 대하여

⋯ ⋯⋯㉠이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

ⅰ 일 때, (좌변) (우변)

따라서 일 때, ㉠이 성립한다.

ⅱ 가 일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

⋯ ⋯⋯㉡

㉡의 양변에 나을 더하면

⋯ 나 나 다 따라서 라 일 때도 ㉠이 성립한다.

ⅰ, ⅱ에 의하여 ㉠은 모든 자연수 에 대하여 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다), (라)에 알맞은 것을 구하여라.


⋯ ⋯⋯㉠이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

ⅰ 일 때, (좌변) ⋅ (우변)


ⅱ 일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

⋯ ⋯⋯㉡

㉡의 양변에 가을 더하면

⋯ 가 가 나 따라서 일 때도 ㉠이 성립한다.


위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것을 구하여라.


⋯ ⋯ ⋯⋯㉠이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

ⅰ 일 때,

(좌변) (우변)


ⅱ 일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

⋯ ⋯ ⋯⋯㉡

㉡의 양변에 가을 더하면

⋯ 가 ⋯ 가

가 나 따라서 일 때도 ㉠이 성립한다.



107.107. 107)다음은 이고, 이상의 모든 자연수 에 대하여

⋯⋯㉠가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

ⅰ 일 때,

(좌변)(우변) 가 이므로 ㉠이 성립한다.

ⅱ ≥ 일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

⋯⋯㉡

㉡의 양변에 를 곱하면 이므로

나 나 따라서 일 때도 ㉠이 성립한다.

ⅰ, ⅱ에 의하여 ㉠은 이상의 모든 자연수 에 성립한다.




108.108. 108)모든 자연수 에 대하여

⋅⋅⋅ ⋯

⋯ ㉠

가 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) 일 때좌변 ⋅ 우변

⋅⋅⋅

따라서 등식 ㉠이 성립한다.(ⅱ) 일 때 등식 ㉠이 성립한다고 가정하면

⋅⋅⋅ ⋯

위의 식의 양변에 가 를 더하면⋅⋅⋅ ⋯ 가

가 나

따라서 일 때도 등식 ㉠이 성립한다.(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 등식 ㉠이 성립한다.

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것을 순서대로 적어라.

109.109. 109)수열 은 이고,

라 할 때,

≥

을 만족시킨다. 다음은 을 구하는 과정이다.

주어진 식으로부터 이다.

≥일 때

이므로

이다. 따라서 일반항 을 구하면 자연수 에 대하여 일 때, 일 때, 가이다. 한편, 이므로

× 가

나

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 , 라 할 때, 의 값은?① ② ③ ④ ⑤

☞ 개정교과과정에서 빠진 계차수열/조화수열110.110. 110)수열 이 ,

⋯일 때, 의 값을 구하여라.

111.111. 111)수열 이 ,

⋯으로 정의될 때 은 제 몇 항인지 구하여라.

112.112. 112)수열 이

( ⋯ )

로 정의될 때, 의 값을 구하여라.

113.113. 1 13 )함수 가 모든 자연수 에 대하여

을 만족 시킨다. 일 때, 을 만족시키는 의 최솟값을 구하여라.



정답 및 풀이

1) [정답] ⑤① 일 때, 이다. ② 의 제곱근은 ±이다. ③ 이므로 의 네제곱근을 라 하면 에서 ± 또는 ±④ 이 짝수이고 일 때, 를 만족시키는 실수 의

값은 의 개이다. ⑤ 이 홀수일 때, 의 제곱근 중 실수인 것은 이다.

따라서 옳은 것은 ⑤이다.

2) [정답] ④, ⑤ ① 의 세제곱근을 라 하면

∴또는 ± (거짓)②(반례) 일 때, 의 네제곱근을 라 하면

따라서 의 네제곱근 중 실수인 것은 존재하지 않는다. (거짓) ③ 의 네제곱근을 라 하면 으로 의 네제곱근 중 양수는 존재하지 않는다. (거짓)④ 이 홀수일 때, 실수 에 대하여 의 제곱근 중 실수인 것은 의 개 이다. (참)⑤ 의 세제곱근 중 실수인 것은 이다. (참)따라서 옳은 것은 ④, ⑤이다.

3) [정답] (1) 풀이 참조 (2) (1) 양수 와 이상의 자연수 에 대하여 의 제곱근

중에서 실수인 것의 개수는 다음과 같다.이 홀수이면(의 제곱근) = ⇒ 이 짝수이면(의 제곱근) = ⇒

(2) ⋯

⋯ 이므로 ⋯

⋯

⋯

××

단계 채점 기준 배점

(1) 의 값을 이 홀수일 때와 짝수일

때로 구분하여 구한 경우

(2)제시된 식을 짝수 제곱근일 때와 홀수

제곱근일 때로 구분한 경우

식을 정리하여 답을 구한 경우

4) [정답] 의 제곱근 중 실수인 것은 방정식 의 실근이므로 개이다. ∴ 의 제곱근 중 실수인 것은 방정식 의 실근이므로 개이다. ∴ 의 제곱근 중 실수인 것은 방정식 의 실근이므로 개이다. ∴ 의 제곱근 중 실수인 것은 존재하지 않으므로 ∴ ∴

5) [정답] ② 은 허수이고, 는 실수이므로 는 모두 실수이므로 따라서 의 모든 원소의 곱은

⋅⋅ ⋅ ⋅

6) [정답]

⋯ ⋯

⋯⋯

∴

7) [정답] ③ 에서

× ×

밑이 으로 같으므로 에서



∴

8) [정답] ⑤ㄱ. 이 홀수이므로 실수 의 값에 관계없이

(참)ㄴ. 이상의 자연수 에 대하여 이고,

은 짝수, 은 홀수이므로

∴ (참) ㄷ. 에서 는 이 아닌 서로 다른 부호의 실수이고,

, , 은 홀수이므로

∴ × (참)따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

9) [정답] ②[해설]

∴

10) [정답] ⑤해설

××

×

×

×

즉,

이므로

∴

11) [정답] ①해설분자를 인수분해하면

∴

12) [정답] ①[해설]

이때

이 자연수가 되려면 이 자연수이어야 하므로

은 의 약수이어야 한다.∴

따라서 구하는 모든 정수 의 값의 합은

13) [정답]

[해설] 이므로

에서

에서

에서

즉,

․

․

∴

∴

14) [정답] ④

⋅

그런데 이므로 ∴

∴

15) [정답]

로 놓으면 ≠에서 ≠

에서



에서

⋅ 에서 ⋅

이때

이므로

즉,

⋅

에서

⋅ ⋅, ⋅ ⋅

따라서 이므로

16) [정답]

년 후 이 방사능 물질의 양이 이 된다고 하면 이 방사능

물질의 반감기가 년, 현재의 양이 이므로

⋅

,

,

∴ 따라서 년 후이다.

17) [정답] ②

×

이므로

×

×

∴

×

×

(배)

18) [정답] 별 A의 광도를 A 별 B의 광도를 B라 하고, 별 A의 표면 절대 온도를 A별 B의 표면 절대 온도를 B 라 하자.이때, 별 A의 반지름의 길이를 라 하면 별 B의 반지름의 길이는 이므로

B

AB

A

에서

B

A

BA

∴ B

A

(배)

19) [정답] ①

이므로

∴

⋯⋯㉠

이므로

∴

⋯⋯㉡㉠×㉡을 하면

×

×

∴

20) [정답] ① 이 자연수이고, 이 성립하므로 에서 ⋯⋯㉠ 에서 ⋯⋯㉡

에서

⋯⋯㉢

×

×

( ∵㉡)

∴

×

×

( ∵㉢)

∴

×

×

×

×

(∵㉠, ㉡, ㉢ )

∴

∴

21) [정답] ②수온이 ℃이므로 이고, A 조개와 B 조개의 개체 중량이 각각 g이므로 이다.

∴B

A××× ×



×

× ×

××

×

이때, BA

× 이므로

∴

22) [정답]

일 때,

이 자연수가 되도록 하는 의

값을 구한다.

(i) 일 때,

에서 은 어떤 자연수의 네제곱의 꼴이어야 하므로

또는

(ii) 일 때,

에서 은 어떤 자연수의 제곱의 꼴이어야 하므로

또는 또는 또는

(iii) 일 때,

에서 은 어떤 자연수의 네제곱의 꼴이어야 하므로

또는

(iv) 일 때,

에서 ⋯

이상에서 구하는 순서쌍 의 개수는

23) [정답] ⑤

먼저

의 양변을 제곱한다.

, 즉

의 양변을 제곱하면

∴

∴

⋅⋅

이므로

24) [정답] ④

해설밑의 조건에서 ≠∴ ≠ ⋯⋯㉠진수의 조건에서

∴ ⋯⋯㉡㉠, ㉡의 공통범위를 구하면 ∴ ∴

25) [정답] ②

loglog

log

에서

log

log

log

⋅

log log

log log ⋅ log log

∴ log

26) [정답]

에서 log log log

∴

log

log

log

log log log

log

log

log

⋅

27) [정답] ⑤log ( 은 정수, ≤ )라 하면 가 이차방정식 의 두 근이므로 근과 계수의 관계에 의하여

⋯⋯ ㉠

⋯⋯ ㉡

㉠에서 이므로 이 값을 ㉡에 대입하면



⋅

∴

28) [정답] log log log 이므로 log

즉, log 의 정수부분 는 소수 부분 는

log log log log

∴ log

29) [정답] 해설log log ×

에서 log의 지표가 이므로 은 자리의 정수이다.∴

log

log log

에서 log

의 지표가 이므로

은 소수점 아래 째

자리에서 처음으로 이 아닌 숫자가 나타난다.∴ ∴

30) [정답] ⑤해설

log log log

⋯log

log ⋅⋅

⋯

log

∴ log

31) [정답] 해설(나)에서 와 의 상용로그의 지표가 같으므로log log

(은 정수, ≤ ≤ )

로 놓자

(다)에서 와 의 상용로그의 가수가 같으므로

log

log

∴ ⋯⋯㉠(가)에서 log loglog 이므로

∴

∵㉠

따라서 log log 이므로

∴

32) [정답] ①≤≤에서 ≤ log ⋯⋯ ㉠log 의 소수 부분과 log 의 소수 부분이 같으므로log log log log log (정수)㉠에 의하여 ≤ log

∴ log

즉, log

이므로

따라서 모든 실수 의 값의 곱은

×

×

33) [정답]

이 소수점 아래 여섯째 자리에서 처음으로 이 아닌

숫자가 나타나므로 log

의 정수 부분은 이다. 즉,

≤ log

≤log

∴ ≤ log

따라서 log log log log 이므로 구하는 자연수 의 값은 이다.

34) [정답] ②



현재 보상 기준 가격은 × (만 원) 상용로그를 취하면

log × log log

log ×

∴ ×

즉, 현재 보상 기준 가격은 만 원이다.

35) [정답]

log log ⋅ log 이므로

··································································· 주어진 방정식은 loglog log

∴ 또는 log···································································

∴ log

log

···································································

단계 채점요소 배점

log 를 변형하기

의 값 구하기

의 값 구하기

36) [정답] ①(ⅰ) ≤≤ 일 때, ≤ log 이므로 log (ⅱ) ≤ 일 때, ≤ log 이므로 log (ⅲ) ≤ 일 때, ≤ log 이므로 log (ⅳ) ≤ 일 때, ≤ log 이므로 log ∴ (주어진 식) ⋅⋅⋅⋅

37) [정답] ④log (은 정수, ≤ )라 하면ㄱ. log 이므로 log의 소수 부분은 이다.ㄴ. log

이므로 log의 소수 부분은 이다.ㄷ. log log

이므로 log의 소수 부분은 이다.ㄹ. log

그런데 ≤ 이므로 log의 소수 부분은 알 수 없다.

ㅁ. log log

이므로 log 의 소수 부분은 이다.

따라서 log와 소수 부분이 같은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다.

38) [정답] dBA지역의 소리의 강도를 , A지역의 소리의 크기를 , B지역의

소리의 크기를 라 하면

log

log

log log

log

log log

log

따라서 A지역과 B지역의 소리의 크기의 차이는 dB이다.

39) [정답] 조건 ㈏에서 이므로 log 의 지표는 log 의 지표보다 이 더 큰 값이다.즉, 의 자릿수는 의 자릿수보다 이 더 크다.이때, 조건 ㈎에서 이므로 의 자릿수가 의 자릿수보다 한 자리 더 큰 수를 찾으면 다음과 같다.(ⅰ) 일 때, (ⅱ) ⋯ 일 때, ⋯ (ⅲ) ⋯ 일 때, ⋯ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 조건을 만족하는 자연수 의 개수는 (개)

40) [정답] ③ 에서 log log log ∴ log ⋯⋯ ㉠또한, log 의 가수와 log 의 가수의 합이 이므로log log log log log (정수)㉠에서 log 이므로log

∴ log

⋯



∴

⋯

그런데

이면 log 과 log 의 가수가 각각 이 되어 log 의 가수와 log 의 가수의 합이 이 되므로

은 제외한다.따라서 조건을 만족하는 실수 의 개수는 이다.

41) [정답]

logloglog log log log

log loglog log loglog 이므로 구하는 식의 값은 log log log 의 각각의 가수의 합이다.이때, 실수 는 일의 자리의 수가 이 아닌 보다 큰 수이므로 log (≥인 정수, )라 하면

log

log

log log log

log

에서 log 의 가수는 log

의

가수의 배이므로

, ∴

∴ log

∴ log log

,

log log

따라서 log log log 의 가수는 각각

이므로

구하는 값은

42) [정답] ③ ⋯

⋯

⋯

∴⋯ ⋅⋅⋅

43) [정답] 은 정수이므로 조건(가)에서 또는 ∴≤ ……㉠한편 g g에서 과 의 숫자의 배열이 같으므로 × (은 정수)

∴ × (은 정수) ……㉡㉠,㉡에서 또는 따라서 구하는 합은

44) [정답] ③log g (단,는 정수, ≤g )ㄱ. g인 경우 g 일 때뿐이다.즉 log 이므로 ㄴ. log log이므로 , g g∴g g ggㄷ. logg이므로 logg ……㉠또 에서 logglogg ……㉡㉠,㉡에서logg logg logg

∴ g ggㄹ. ggggg loglog logloglog

logloglogloglog

log log

한편 log의 정수부분이 이므로 g log log log∴ gggggg 이상에서 옳은 것은 ㄱ,ㄴ,ㄷ이다.

45) [정답] ⑤ ×임을 이용하여 정수부분과 소수부분의 관계식을 구한다.⑤ㄱ. 은 네 자리의 정수이므로 log의 정수부분은 이다.

∴ ㄴ. 에서 log의 정수부분이 이므로

≤ log ∴ ≤

이를 만족하는 자연수 의 개수는 ⋅

ㄷ. log , log ( 는 정수, ≤ , ≤ )라 하면 log log ⋅ loglog이므로 ∴ 이 때, ≤ 이고 모두 정수이므로 도



정수이다.따라서 또는 그런데 두 수 은 (는 정수)꼴이 될 수 없으므로 ≠ ≠이다. 즉, 이고 이므로

∴ 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

46) [정답] log의 정수 부분이 임을 이용한다. 은 두 자리의 자연수이므로 log의 정수 부분이 이다.

∴log ≤

한편 log log

이므로

log

log

∴

47) [정답]

log log log 이 정수임을 이용한다.

주어진 집합을 A라 하면 log log log (정수)이므로

(은 정수)꼴이어야 한다.

⋅

(ⅰ) ≤≤일 때,

이면

이므로 ∈A

이면

이므로 ∈A

따라서 집합 A의 원소의 개수는 이상이다. ⋅

(ⅱ) 인 짝수일 때,

이면

이므로 ∈A

이면

이므로

∈A

따라서 집합 A의 원소의 개수는 이상이다. ⋅

(ⅲ) 인 홀수일 때,

에서

을 만족시키는 정수 은

뿐이므로 따라서 집합 A의 원소의 개수는 이다. ⋅

이상에서 구하는 자연수 은 ⋯ 의 개다. ⋅

48) [정답] ②해설

⋅ ⋅

⋅ ⋅ (≥ ) ⋯ ㉠ ⋅

⋯ ㉡이때 이 수열이 첫째항부터 수열을 이루려면 ㉠에 을 대입한 것과 ㉡이 같아야 하므로⋅ ∴

49) [정답] [해설]첫째항을 , 공비를 라고 하면

⋯ ㉠

⋯ ㉡

㉢÷㉠을 하면 , ∴

이것을 ㉠에 대입하면

∴

따라서 첫째항부터 제 항까지의 합은

⋅

⋅

50) [정답] [해설]삼차방정식 의 세 근이 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 ⋯ ㉠ ⋯ ㉡ ⋯ ㉢그런데, 가 이 순서로 등비수열을 이루므로



⋯ ㉣㉣을 ㉡에 대입하면 에서

∴ ∵㉠)㉢에서 ∴

51) [정답] ④[해설]만 원의 개월 후의 원리합계는 × (만 원) ⋯ ㉠또, 할부금 만 원을 매월 말에 적립한다고 하면 개월 후의 적립총액은

(만 원) ⋯ ㉡

㉠과 ㉡이 같아야 하므로

∴

××× (만 원)

이때 만 원 미만은 버리므로 매월 내야 되 할부금은 만 원이다.

52) [정답] ②매년 말에 일정한 금액 원씩 적립한 년 후의 원리합계는⋯

∴

53) [정답] 등차수열 의 첫째항을 , 공차를 라 하면 에서 ⋯⋯ ㉠ 에서 ⋯⋯ ㉡㉠，㉡을 연립하여 풀면 ∴ ⋅

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯제항에서 처음으로 음수가 나온다고 하면 ∴ ×××

따라서 제항부터 음수이다.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 이므로 ⋯

⋯

⋅

⋅

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

54) [정답] 조건 (가), (나)에서

∴

이때 수열 은 등차수열이므로 에서

∴

조건 (다)에서

∴

55) [정답] ②주어진 등차수열의 공차를 라 하면수열 ⋯ 에서

첫째항은

은제항이므로

∴

⋯⋯ ㉠

또 수열 ⋯ 에서 을 첫째항으로 보면 은 제 항이므로

∴

⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡에서

이므로

∴

56) [정답] ⑤등차수열 의 공차를 라 하면 ∴

∴ ⋅

에서 ∴

×××

따라서 수열 은 첫째항부터 제항까지 양수이고, 제항부터 음수이다. 이므로 ⋯



⋯ 제항부터제항까지의 항수는

⋯

57) [정답] ③등차수열 의 첫째항을 , 공차를 라 하면

∴ …㉠

∴ …㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 ⋯

⋅⋅

58) [정답] ⑤오른쪽 그림에서 색칠한 직각삼각형은 모두 합동이므로 PQPQ

PQPQ

⋮PQPQ

즉 PQ PQ ⋯ PQ 의 길이는 이 순서대로 등차수열을 이루므로 이 수열의 공차를 라 하면 PQ dPQ d

PQPQPQ ⋯ PQ

PQPQ ⋯PQ 의 길이는 이 순서대로 등차수열을

이루므로PQPQPQ ⋯ PQ

PQ

PQPQPQ ⋯ PQ PQPQ

59) [정답] ③해결단계

❶ 단계 임을 이용하여 ㄱ의 참, 거짓을 판별한다.

❷ 단계등차중항의 성질을 이용하여 ㄴ의 참, 거짓을

판별한다.

❸ 단계등차수열의 합의 공식을 이용하여 ㄷ의 참,

거짓을 판별한다.

ㄱ. 에서⋯

⋯ ⋯

∴ ⋯ (참)ㄴ. 수열 이 등차수열이므로

⋯ ⋯

ㄱ에서 이므로

∴ (참)ㄷ. 등차수열 의 공차를 라 하면 ㄴ에서

이므로

∴

이때, 이므로 이고,

의 값이 최대가 되려면 합해지는 항이 모두 음수가 아니어야 하므로

≥ ∴ ≤∵

따라서 일 때, 은 최댓값을 갖는다. (거짓)그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

60) [정답] 등비수열 의 첫째항은 , 공비는 이므로 합 은

×

∴

×

이때, 수열 가 등비수열을 이루려면 일반항이

꼴이어야 하므로

에서

∴ ×

61) [정답]　⑤

에서(ⅰ) ≥ 일 때,



(ⅱ) 일 때,

(ⅰ), (ⅱ)에서 ⋯

∴

62) [정답]　(1) (2)

(1) ⋯ 에서

⋯ 이므로

대신에 을 대입하면

×

×

에서

(2) (1)에서 수열 이 등차수열이므로 수열 도 등차수열이고, × × 이므로

(1) 등차수열 의 첫째항을 , 공차를 라 하면 에서 ×

즉, 수열 은 첫째항이 , 공차가 인 등차수열이므로

⋯

× ~

위의 식은 에 대한 항등식이므로 ∴ ×

단계 채점 기준 배점

주어진 식에서 을 구한 후, 수열

의 일반항을 구한 경우50%

수열 이 등차수열임을 이해하고값을 구한 경우

50%

63) [정답]　

해결단계

❶ 단계

을 로 나타내고, 을 로 나타낸다.

❷ 단계

임을 이용하여 의 값을 구한다.

수열 은 공차가 인 등차수열이므로 × 수열 은 공차가 인 등차수열이므로 ×

∴

64) [정답] ④현재 모든 휴대용 저장 장치의 가격이 한 달 전보다 모두 씩 하락하였으므로 지불해야 하는 금액은

××

×

×⋯

×

×

× ×

×

×

×

×

×

65) [정답] ④이 회사에 입사하여 년 동안 근무하며 받은 연봉은 다음과 같다. 첫째 해의 연봉 : 원 년째 해의 연봉 : 원년째 해의 연봉 : 원

⋮

년째 해의 연봉 : 원



⋮


따라서 이 사람의 연봉의 총합은 ××× ⋯×



××

×

××

×

× ∵

66) [정답] [해설]

∴

⋯ ⋯

67) [정답]

⋯

⋯

⋯

⋯

⋮

×××⋯×

⋯

×

68) [정답] ③해설 ⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋯

⋅

따라서 이므로

69) [정답] 의 두 근이 , 이므로 근과 계수의 관계에 의하여 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

∴

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 단계 채점요소 배점 , 의 값 구하기

안쪽에 있는 부터 차례로 풀기

답 구하기

70) [정답] ④주어진 수열의 제 항을 라 하면

∴ (주어진 식)

⋅

⋅

따라서 이므로

71) [정답] ①

이라 하면 이므로

(i) ≥ 일 때,

(ⅱ) 일 때,

(i), (ⅱ)에서 ⋯ 이므로

××

⋯



∴

위의 식에서

×

××

×

× ,

×

이므로 각각 로 나누어떨어진다.

따라서

은 로 나누어떨어지므로

를 로 나눈 나머지는 를 로 나눈 나머지와

같다.이때, ×

××

×

××××

××

이므로 을 로 나눈 나머지는 이다.

즉,

를 로 나눈 나머지는 이다.

72) [정답] ③해결단계

❶ 단계

과 을 이용하여 과 사이의

관계식을 구한다.❷

단계❶ 단계에서 구한 식의 대신에 ⋯ 을 대입하여 을 구한다.

❸ 단계

의 값을 구한다.

⋯ 이라 하면

× 에서

이라 하면

⋯⋯ ㉠

⋯⋯ ㉡

㉠㉡을 하면

≥ 에서

∴

⋯⋯ ㉢

㉢의 대신에 ⋯ 을 차례대로 대입하여 변끼리 곱하면

⋮

×

×

×⋯×

×

×

∵

∴ ×

×

73) [정답] 수열의 첫째항이 , 공차가 인 등차수열이므로 일반항 은 ×

∴

⋯

⋯

⋯

⋯

∵

∵ ×

74) [정답] ②



해결단계

❶ 단계

수열의 합과 일반항 사이의 관계 및 의 값을

이용하여 수열 의 일반항 을 구한다.

❷ 단계

분모의 유리화를 이용하여

의 값을

구한다.

⋯ 에서

이라 하면

이므로

(i) ≥ 일 때,

∴ ∵

(ⅱ) 일 때, ∴ ∵

(i), (ⅱ)에서 ⋯

∴

⋯

75) [정답] ②방정식 , 즉 의 한 허근이 이므로 는 이차방정식 의 근이다.

∴

±

이때, , 이고, 의 실수부분이 이므로

±

에서

,

에서

,

에서 ,

× 에서 ,

× 에서

⋮ ⋮

즉, 은

이 이 순서대로 계속 반복된다.

따라서 ×이므로

76) [정답]

⋯이므로

⋯ ⋯

⋯

이때, 이므로

위의 부등식을 만족하기 위해서는 이어야 하므로

그런데 이 보다 작은 자연수이므로

따라서 구하는 자연수 의 최솟값은 이다.

77) [정답] (1) ⋯ (2)

(1)

이라 하면 이므로

(ⅰ) ≥일 때,

∴

(ⅱ) 일 때,

××

(ⅰ), (ⅱ)에서 ⋯

(2) ⋯ 이므로 주어진 수열은 ⋯

위의 수열을 ⋯

과 같이 군수열로 생각하면 제군의 항의 개수는



이므로 제군부터 제군까지의 항의 개수는

따라서 ×

× 이므로 번째 항은

제군의 번째 항인 이다.

78) [정답] ②[해설]주어진 수열을 같은 수끼리 군으로 묶으면 ⋯

제 군의 항의 개수는 이므로 제 군부터 제군까지의 항의 개수는

⋅

일 때 일 때 이므로 제항은 제군에 속한다.따라서 제 항은 이다.

79) [정답] (1) 제항 (2)

[해설](1) 주어진 수열을 분모와 분자의 합이 같은 것끼리 군으로 묶으면

⋯

제군의 분모와 분자의 합은 이므로 은 제군의

번째 항이다. 이때 제군의 항의 개수는 이므로 제 군부터

제군까지의 항의 개수수는

⋅

따라서 에서 은 제항이다.

(2) 제 군부터 제군까지의 항의 개수는

이므로

일 때, ×

일 때, ×

따라서 번째 항은 제군의 번째 항이고

제군은

⋯

⋯

이므로

제 항은 이다.

80) [정답] ④[해설]

⋅⋅⋅ ⋯ ⋅

⋅⋅ ⋯ ⋅⋅

⋯ ⋅

⋅

∴

⋅

⋅

⋅

81) [정답] ④주어진 수열을 분모가 같은 것끼리 군으로 묶으면

⋯

제군의 분모는 이므로 은 제군의 번째 항이다.

제군의 항 수는 이므로 제군부터 제군까지의 항 수는

⋯

일 때, ⋅

이므로 제군의 번째 항은

에서 은 제항이다.

82) [정답] 주어진 식의 좌변을 로 놓으면

⋅⋅

⋅

⋯⋅

⋅

⋅

⋯⋅

⋅

⋯

⋅

⋅

⋅

∴

⋅

∴ , , ∴



83) [정답] 각 줄을 군으로 묶으면

, , , ⋯이때 제군은 첫째항이 이고 공차가 , 항 수가 인 등차수열이다. 제군의 수들의 합을 이라고 하면 ⋯⋅

⋅

따라서 제군부터 제군까지의 모든 수의 합은

⋅

⋅⋅

84) [정답] 첫 번째 줄의 수를 나열하면

⋯

이므로 첫 번째 줄의 왼쪽에서 번째 칸에 있는 수는

첫 번째 줄의 왼쪽에서 번째 칸에 있는 수부터 번째 줄의 왼쪽에서 번째 칸에 있는 수까지 씩 작아지므로 번째 줄의 번째에 있는 수는

85) [정답] ⋯

즉 ⋯ 이고, 바로 위의 수는

이므로 ∴ 따라서 바로 위의 수는 ⋅

86) [정답] ③해설

의 에 ⋯ 을 차례로 대입하여

변변 곱하면

⋮

×

⋅

⋅

⋅ ⋯ ⋅

⋅

⋅

∴

87) [정답] ②

의 에 ⋯ 을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 ⋮

×

⋅⋅⋅⋯⋅ ⋅

이므로

⋯

에서

∴ 또는 그런데 는 자연수이므로

88) [정답] ⑤

의 에 ⋯ 을 차례로

대입하여 변끼리 더하면

⋮

∴



에서 ∴

89) [정답] ⑤ 의 에 ⋯ 을 차례대로 대입하여 변끼리 더하면 ⋅ ⋅ ⋅ ⋮

⋅

∴

⋅⋅⋅

⋅

⋅

90) [정답] ②[해설] 에서 따라서 수열 은 첫째항이 이고, 공비가 인 등비수열이다.따라서 ⋅ 에서

⋅

∴

⋅

⋅

91) [정답] [해설] 이므로 에서

∴

따라서 수열 은 첫째항이 이고, 공비가 인 등비수열이므로 ⋅

∴

∴

92) [정답] ④[해설] 에서

그런데 이므로 이므로 ∴

은 과 의 등차중항이므로 수열 은 이고 공차가 인 등차수열이다.

∴

××

93) [정답] 제항해설

⋅ 의 에 ⋯ 을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 ⋅ ⋅ ⋅

⋮

×

⋅

⋅⋅⋅⋅ ⋯ ⋅

⋅ ⋯

에서

∴ (∵ 은 자연수)

94) [정답] (1) (2) (3)

해설

(1) L의 물의 을 퍼내고 L의 물을 다시 넣었을 때,

통에 들어 있는 물의 양이 L 이므로

⋅



(2) 시행을 번 반복한 후에 통에 남아 있는 물의 양 L 에

대하여 이 물의 을 퍼내고 L의 물을 다시 넣었을 때

통에 들어 있는 물의 양이 L 이므로

( ⋯ )

(3) 의 에 을 차례로 대입하면

⋅

⋅

∴

⋅

95) [정답] ①먼저 첫 번째 계단을 오르는 방법은 가지이고 두 번째 계단을 오르는 방법은 가지이므로

오른쪽 그림과 같이 번째의 계단을 오르는 방법은 번째 계단까지 와서 두 계단을 오르는 방법과 번째 계단까지 와서 한 계단을 오르는 방법이 있으므로

96) [정답]

×

의 대신에 ⋯ 를 차례

대로 대입하여 변끼리 더하면

⋮

⋯

∴

따라서 이므로

97) [정답] (1) (2) 풀이 참조 (3)

(1) 이고,

이므로 대신에 , , ,

⋯을 차례대로 대입하면

× ,

×

,

×

,

⋮∴

(2) (ⅰ) 일 때, × 이므로 이 성립한다.

(ⅱ) 일 때 이 성립한다고 가정하면 이므로

따라서 일 때도 이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 에 대하여 이다.

(3)

⋯



98) [정답]④

의 에 ⋯ 을 차례대로 대입하여 변끼리 곱하면

⋅⋅⋅⋯⋅ ⋅

⋯ ⋅

⋅

에서

,

, ,

이 때 는 자연수이므로

99) [정답]④ 에서

으로 놓으면 ,

즉 수열은 첫째항이 , 공비가 인 등비수열이므로

⋅

따라서

이므로

100) [정답]④ 에서 (을 로 나누었을 때의 나머지) (를 로 나누었을 때의 나머지

를 로 나누었을 때의 나머지) 를 로 나누었을 때의 나머지) ⋮

∴

단는 자연수)

이 때 ⋅, ⋅, ⋅이므로

101) [정답] ④ ⋯에서

한편 ⋯이므로

∴

따라서 수열 은 공비가 인 등비수열이고 첫째항은 이므로

⋅

∴

∴

102) [정답] ⋯ 으로 놓으면 주어진 식은 …… ㉠∴ …… ㉡㉠㉡을 하면

∴

위의 식의 에 ⋯ 을 차례대로 대입하여 변끼리 곱하면

⋮

×

⋅

⋅

⋅⋯⋅

⋅

⋅



에서

, ∴ (∵ 는 자연수)

103) [정답] ⑤ㄱ. 조건 (나)의 대우는 ‘이 참이면 도 참이다.’ 이

고, 조건 (가)에서 가 참이므로 도 참이다.

ㄴ. 이 참이므로 조간 (다)에서 도 참이다.

ㄷ. 이 참이므로 조건 (나)의 대우에서 도 참이다.

따라서 참인 명제는 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

104) [정답] (가) (나) (다) (라) ⅱ 일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면⋯ ⋯⋯㉡㉡의 양변에 을 더하면

⋯

따라서 일 때도 ㉠이 성립한다.

105) [정답] (가) (나)

ⅱ 일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면⋯ ⋯⋯㉡㉡의 양변에 을 더하면⋯

106) [정답] (가) (나)

ⅱ 일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면⋯ ⋯ ⋯⋯㉡㉡의 양변에 을 더하면

⋯

⋯

107) [정답] (가) (나) ⅰ 일 때, (좌변)(우변)

이므로 ㉠이 성립한다.ⅱ ≥ 일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 ⋯⋯㉡㉡의 양변에 를 곱하면 이므로

따라서 일 때도 ㉠이 성립한다.

108) [정답] (가) (나)

해설(ⅱ) 일 때 등식 ㉠이 성립한다고 가정하면 ⋅⋅⋅ ⋯

위의 식의 양변에 를 더하면 ⋅⋅⋅ ⋯

따라서 일 때도 등식 ㉠이 성립한다.(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 에 대하여 등식 ㉠이 성립한다.

109) [정답] ③ 에서(ⅰ) 일 때,

≥ 이므로 수열 은 첫째항이 이고, 공차가 인 등차수열이다.∴ × ≥

(ⅱ) 일 때, ≥ 이므로 수열 는 첫째항이 이고, 공차가 인 등차수열이다.∴ × ≥

한편, 이므로

×

따라서 , 이므로

110) [정답] 해설



의 에 ⋯ 을 차례로 대입하여 변끼리 더하면

⋮

∴

111) [정답] 제 항해설

의 양변의 역수를 취하면

이라고 하면 ,

즉 수열 은 첫째항이 , 공차가 인 등차수열이다.∴ ⋅

따라서 이므로

에서

∴

112) [정답]

해설

에서 수열 이 등차수열이므로

⋅

⋅

∴

∴ ⋅

113) [정답] 의 에 ⋯ 을 차례대로 대입하여 변끼리 더하면 ⋅ ⋅ ⋅

⋮ ⋅

⋅⋅

에서 ∴ ∵은자연수

따라서 구하는 의 최솟값은 이다.

제목 : 고2 지수, 로그, 등차수열 문제 · 2018-10-08 · 수학1 (고2) 지수, 로그,...

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