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双対空間 (Dual space)

　 電通大数学：山田

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準備　 Rn のベクトルを タテ

x⃗ =

x1

x2...

xn

∈ Rn

で表すとき，１つ１つの ヨコベクトル a⃗ = (a1, a2, · · · an) はRn から Rへの線形写像

⟨a⃗, ⟩ : Rn → R

x⃗ 7→ a⃗ x⃗　 積（内積）“ペア”= a1x1 + a2x2 + · · · + anxn

を定める．　逆に Rn から Rへの線形写像は，必ず ある ヨコベクトルとの ペアで表される．

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n 次元線形空間 V に対して, 次の集合を V の双対空間 とよぶ．

V ∗ = { V から R への線形写像 }

例：(Rnタテ

)∗= Rn

ヨコV ∗ の元を コベクトル という

ここで，f : V → Rが線形写像であるとは,次の２条件が成り立つことである.

(1) f は 和 を保つ：　 f(u⃗ + v⃗) = f(u⃗) + f(v⃗)

(2) f は スカラー倍 を保つ：　 f(cu⃗) = cf(u⃗)

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事実． V ∗ は n 次元（V と同じ次元）の 線形空間 となる.

dimV ∗ = dimV

V ∗ 内の（コベクトル）の 和とスカラー倍 は次のように定義する.

(1) f, g ∈ V ∗ のとき「f と g の 和」(f + g) ∈ V ∗ は

(f + g)(u⃗) = f(u⃗) + g(u⃗)

(2) f ∈ V ∗, c ∈ R のとき「f の c 倍」(cf) ∈ V ∗ は

(cf)(u⃗) = c(f(u⃗))

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さて, V の基底B = {e⃗1, e⃗2, · · · , e⃗n}

を１つ固定する.

V ∗ の元 f は基底の各ベクトルに対する値f(e⃗1) = a1, f(e⃗2) = a2, · · · , f(e⃗n) = an が与えられれば

f(c1e⃗1 + c2e⃗2 + · · · + cne⃗n) = c1a1 + c2a2 + · · · cnan

となり「V のすべてのベクトルに対する f の像」つまり写像 f 自体が定まる.

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今, V の基底 B = {e⃗1, e⃗2, · · · , e⃗n} に対してV ∗ の元 e∗i (i = 1, 2, · · · , n) を

e∗i (e⃗j) =

{1 if i = j

0 if i ̸= j

と定めると, {e∗1, e∗2, · · · , e

∗n} は V ∗ の基底となることがわかる.

これを B の双対基底とよび, B∗ と表す：

B∗ = {e∗1, e

∗2, · · · , e

∗n}

与えられた基底 B に対して定められていることに注意．

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計算例： コベクトル への ベクトル の代入

e∗1(2e⃗1 − 3e⃗2) = 2 e∗1(e⃗1) − 3 e∗1(e⃗2) 　= 2 · 1 − 3 · 0

= 2

メモ：e∗i は e⃗i の係数（第 i成分）を返す.

さらに(40e∗1 + 25e∗2)(2e⃗1 − 3e⃗2)

= 40e∗1(2e⃗1 − 3e⃗2) + 25e∗2(2e⃗1 − 3e⃗2)

= 40 · 2 + 25 · (−3)

= 5

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双対空間 から １次微分形式へコベクトル場

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定義　平面の ベクトル場 とは，平面の各点に，その点を始点とするベクトル が指定されていること

表示法　ベクトル場

−→X =

[X1(x, y)

X2(x, y)

]（各Xi(x, y)は関数）

とは，点 P(a, b) に指定されたベクトルの成分が

−→X at P =

[X1(a, b)

X2(a, b)

]

であるベクトル場を表す．

　

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対応

１点における ⇝ 平面・空間 の各点でベクトル ⇝ 　ベクトル場コベクトル ⇝ “コベクトル場”

→ １次微分形式

コベクトル場 とは

　　各点で その点を始点とする コベクトルが指定されていること　　　　　　　　　　　　

考察　ベクトルに始点があるので，　⇒ どこが始点のベクトルでも代入できる．

　⇒ 概念として“格上げ”　１次微分形式

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表示：まず基本

　 B =

{∂

∂x1

, · · · ,∂

∂xn

}at P に対して

　 B∗ = {dx1, · · · , dxn} at P が 双対基底．

dxi

(∂

∂xj at P

)=

{1 if i = j

0 if i ̸= j

言い換えると

dxi

a1...ai...

an

at P

= ai

つまり dxi は 第 i成分を返す.

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計算例： １次微分形式 への ベクトル の代入

基本

dx1

(2

∂

∂x1

− 3∂

∂x2

∣∣∣∣at P

)= 2 dx1

(∂

∂x1 at P

)− 3 dx1

(∂

∂x2 at P

)= 2 · 1 − 3 · 0

= 2

メモ：dxi は 第 i成分を返す.

表示法　 Rn の１次微分形式は，次のように表す

µ = X1dx1 + X2dx2 + · · · + Xndxn

（各Xi = Xi(x1, · · · , xn)は関数）　

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計算例：１次微分形式 への ベクトル の代入　 µ = 2xy dx + x2 dy　に

　 a⃗ = 2∂

∂x− 3

∂

∂y

∣∣∣∣at (5, 4)

=

[2

−3

]at (5, 4)

を代入

µ(a⃗) = (2xy dx + x2 dy)

(2

∂

∂x− 3

∂

∂y

∣∣∣∣at (5, 4)

)↓ at (5, 4)

= (2 · 5 · 4 dx + 52 dy)∣∣at (5, 4)

(2

∂

∂x− 3

∂

∂y

∣∣∣∣at (5, 4)

)

= (40 dx + 25 dy)| at (5, 4)

[ 2

−3

]at (5, 4)

= 40 · 2 − 25 · 3 = 5

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ベクトル場−→X と１次微分形式 X̃ の同等

Rn で 各Xi は関数： Xi = Xi(x1, x2, · · · , xn)

−→X =

X1

X2...

Xn

⇔ X̃ = X1dx1 + X2dx2 + · · · + Xndxn

例：平面 R2 で−→X =

[−y

x

]⇔ X̃ = −y dx + x dy

対応は　 X̃ = ⟨−→X, ⟩　内積の片方に−→X を代入して待機．

X̃(−→v ) = ⟨−→X at P,

−→v ⟩ =−→X at P · −→v （P は −→v の始点）

−→X at P はベクトル場

−→X の Pで指定されたベクトル．

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用法：関数 φ = φ(x1, x2, . . . , xn)について

勾配∇φ は （関数の）外微分 dφ と同等

∇φ =

∂φ

∂x1

∂φ

∂x2

...∂φ

∂xn

⇔ dφ =

∂φ

∂x1

dx1 +∂φ

∂x2

dx2 + · · · +∂φ

∂xn

dxn

必要な計算が同じ　

予告： 回転 rot−→X や 発散 div

−→X にも, 同等な計算が登場する．

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線積分の幾何的意味

１次微分形式 µは「ベクトルを代入すると値を返す」

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１次微分形式 µの曲線C に沿う線積分 とは

P

Q

P

Q

P

P

1

2

折れ線近似 による計算

µ(−→PP1

)+ µ

(−−→P1P2

)+ · · · + µ

(−−→PNQ

)を 細かくして · · · · · ·

lim細分

N∑i=0

µ(−−−−→PiPi+1

)

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１次微分形式 µの曲線C に沿う線積分 とは

P

Q

P

Q

折れ線近似 による計算

µ(−→PP1

)+ µ

(−−→P1P2

)+ · · · · · · + µ

(−−→PNQ

)もっと細かく · · · · · · 極限を取る

lim細分

N∑i=0

µ(−−−−→PiPi+1

)そもそも “積の和の細分による極限”が 積分 の発想

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計算法　 xy平面で,

　１次微分形式　 µ = P (x, y) dx + Q(x, y) dy　 と　曲線C：　 c(t) = (x(t), y(t)) (a ≤ t ≤ b)

が与えられたとき，

線積分∫C

µ =

∫C

P (x, y) dx + Q(x, y) dy　の計算法は

∫ b

a

{P (x(t), y(t))

dx

dt(t) + Q(x(t), y(t))

dy

dt(t)

}dt.

覚え方x ⇝ x(t), dx ⇝

dx

dt(t)dt

y ⇝ y(t), dy ⇝dy

dt(t)dt

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ベクトル場−→X と１次微分形式 X̃ の同等の下で

−→X at Pi

·−−−−→PiPi+1 = X̃

(−−−−→PiPi+1

)ベクトル場の線積分

∫C

−→X ·

−→dr とは

P

Q

P1

P2

−→

X

C

　内積の和の細分による極限 積分 の発想　−→X at P · −→PP1 +

−→X at P1

· −−→P1P2 + · · · + −→X at PN

· −−→PNQ

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１次微分形式 X̃ とベクトル場−→X の同等の下で

X̃(−−−−→PiPi+1

)=

−→X at Pi

·−−−−→PiPi+1

考察：どんなとき 線積分∫C

X̃ =

∫C

−→X ·

−→dr が大きいか？

−→

X

黒板に描くと面倒なので ここまで