제5부 자료의 분석 중급통계 -...

1

제13장 분산분석

제5부 자료의 분석-중급통계

2

13.1 일원분산분석

13.2 분산분석 - 무작위 블럭디자인

13.3 이원분산분석 - 팩토리얼 디자인


3

분산분석(ANOVA) - 두 개 이상의 집단들의 평균값을 비교하는 데 사용.

일원분산분석 - 처치변수가 한 개인 분산분석.

A

3.0 8.0

7.0 5.0

5.0 6.0

4.0 7.0

6.0 4.0

평균 5.0 6.0

B

3.0 9.0

7.0 6.0

5.0 7.0

4.0 8.0

6.0 5.0

5.0 7.0

C

4.7 5.8

5.0 5.8

5.0 6.0

5.2 6.0

5.1 6.4

5.0 6.0

1. 분산분석의 원리


4

처치변수 처치수준 결과변수

2. 분산분석의 절차


5

k

j

n

i

ij

j

XX1 1

2

k

j

jj XXn1

2

k

j

n

i

jij

j

XX1 1

2

전체 제곱합(total variance; total sum of squares; Total SS)

집단간 제곱합(between variance; sum of squares due to treatment; SST)

집단내 제곱합(within variance; sum of squares due to error; SSE)


6

제5부 자료의 분석-중급통계 <표 13.2> 분산분석표

원천 제곱합(SS) 자유도 제곱평균(MS) Fobs

처치(집단간) k – 1

오차(집단내) n – k

합계 n – 1

2

1

k

j

jj XXnSST

k

j

n

i

jij

j

XXSSE1 1

2

k

j

n

i

ij

j

XXSSTotal1 1

2

)1( kSSTMST

)( knSSEMSE

MSE

MST

7


3. 일원분산분석의 예

예 13.1: 일원분산분석의 예

교육프로그램에 따라 판매실적이 다르다고 할 수 있는가? α=.05.

<표 13.3> 교육프로그램별 판매실적

교육프로그램

A B C D

65

87

73

79

81

69

75

69

83

81

72

79

76

90

59

78

67

62

83

76

94

89

80

88

가설검증

(1) Ho: μ1=μ2=μ3=μ4

H1: 모든 μ가 동일하지는 않다

(어떤 집단의 평균값은 다른 집단의 평균값과 다르다).

(2) F-test를 한다.

(3) Fobs 계산을 위하여 분산분석표를 작성한다.

먼저, 각 집단의 평균값과 전체 평균값을 계산한다.

8



2.909,134.7788...

34.778734.7765

2

22

1 1

2

k

j

n

i

ij

j

XXSSTotal

712.5 77.34)-4(87.75

77.34)-7(78.43 34.7767.756

2

22

1

2

k

j

jj XXnSST

1,196.6 87.75)-(88

67.758767.7565

2

22

1 1

2

k

j

n

i

jij

j

XXSSE

5.237146.712)1( kSSTMST

0.634236.196,1)( knSSEMSE

77.30.63

5.237

MSE

MSTFobs

9


<표 13.5> 표 13.4의 자료에 의한 분산분석표

원천 제곱합(SS) d.f. 평균제곱(MS) Fobs

처치(집단간) SST = 712.6 3 MST = 237.5 3.77

오차(집단내) SSE = 1,196.9 19 MSE = 63.0

합계 Total SS = 1,909.2 22

(4) Fcrit = F(α; k-1, n-k) = F(.05; 3, 19) = 3.13

(5) F=3.13보다 우측이 기각영역이 되며 Fobs=3.77은 기각역에 위치하므로 Ho는 기각된다.

따라서 모든 교육프로그램효과가 동일하지는 않다.

즉, 최소한 어느 두 가지 프로그램 간에는 그 효과가 다르다고 결론지을 수 있다.

0


3.13

Fobs = 3.77

.05

10


4. 분산분석의 추가 이슈들

추가 1: p-value를 이용한 가설검증

예 13.1의 경우:

F(.05; 3, 19) = 3.13

F(.01; 3, 19) = 5.01

.01<p-value<.05이며, p-value<α(.05)보다

작으므로 Ho는 기각된다.

추가 2: 사후다중비교

예 13.1에서 분산분석결과 네 집단 중 적어도 어느 두 집단간에는 평균차이가 있다고 결론을

내렸다. 그러면 6개의 두 집단 비교 중 어느 두 집단에서 차이가 있는가(4C2 = 6)?

<부록>에서 설명.

3.77

p-value

11


4. 분산분석의 추가 이슈들

추가 3: 분산분석에 의한 두 집단 평균의 비교

-두 집단의 평균차이검증을 위해서 t-test외에 분산분석에 의한 F-test에 의해서도 가능.

-예 12.1의 문제를 분산분석에 의하여 접근할 수 있다.

분산분석결과 Fobs = 2.70 < Fcrit = F(.05; 2-1, 18-2) = 4.49로서 Ho는 기각되지 않는다.

이와 같이 두 모집단 평균차이검증을 위하여 F-test를 하더라도 t-test 결과와 같다.

t와 F의 관계:

t2(α/2; d.f.) = F(α; 1, d.f.)

예 12.1의 결과를 이 관계에 적용시켜 보면

(tobs)2 = (1.64)2 = 2.70 = Fobs

(tcrit)2 = (2.12)2 = 4.49 = Fcrit로 나타남을 알 수 있다.

예 13.1의 경우:

3.77

p-value

12


예 13.2: 무작위 블럭디자인에 의한 분산분석의 예

무작위 블럭디자인에 의한 분산분석은 paired-difference test를 확장한 것.

실험에서 4개의 수퍼마켓 각각에 세 가지 패키지 디자인의 비누를 모두 진열하였다. 이 경우 각

수퍼마켓의 조건은 세 가지 디자인의 비누판매에 공통적으로 영향을 미치며, 이와 같은 변수를

블럭변수라고 한다. 이러한 자료로부터 패키지 디자인에 따라 매출이 다르다고 할 수 있는

가? α=.05.

<표 13.6> 수퍼마켓별 각 패키지 디자인의 판매실적

패키지 디자인(처치변수)

A B C

슈퍼마켓

(블럭변수)

1 17 34 23

2 15 26 21

3 1 23 8

4 6 22 16

13



<표 13.7> 무작위 블럭디자인의 분산분석표

원천 제곱합(SS) 자유도 평균제곱(MS) Fobs

처치(집단간) SST t – 1 MST=SST/(t-1) MST/MSE

블럭 SSB b – 1 MSB=SSB/(b-1) MSB/MSE

오차(집단내) SSE (b-1)(t-1) MSE=SSE/(b-1)(t-1)

합계 Total SS bt – 1

여기서 b는 블럭의 수, 그리고 t는 처치의 수를 나타낸다.

14



(1) Ho: μA=μB=μC

H1: 모든 μ가 동일하지는 않다.

(2) F-test를 한다.

(3) 분산분석표를 작성하여 Fobs를 구한다. SPSS 12.0에 의해 분석한 결과는 다음과 같다.

<표 13.8> 표 13.6의 자료에 의한 무작위 블럭디자인의 분산분석표

원천 제곱합(SS) d.f. 평균제곱(MS) Fobs

처치(집단간) 547.17 2 273.58 36.09

블럭 348.00 3 116.00 15.30

오차(집단내) 45.50 6 7.58

합계 940.67 11

가설검증(1/2)

15



(4) 관심: 패키지 디자인에 따라 매출이 다른가?:

Fobs(처치)= 36.08을 다음의 Fcrit과 비교한다.

Fcrit = F(α; t-1, (b-1)(t-1)) = F(.05; 2, 6) = 5.14

(5) - Fobs > Fcrit이므로 Ho는 기각된다.

- α=.05에서 패키지 디자인에 따라 매출이 달라질 수 있다는 결론을 내릴 수 있다.

가설검증(2/2)

추가적으로, 수퍼마켓 간에 매출이 동일하다(μ1=μ2=μ3=μ4)는 귀무가설을 생각할 수 있다. Ho: μ1=μ2=μ3=μ4 H1: 모든 μ가 동일하지는 않다.

Fobs = 15.30 Fcrit = F(α; b-1, (b-1)(t-1)) = F(.05; 3, 6) = 4.76

- Fobs > Fcrit이므로 Ho는 기각된다.

- α=.05에서 수퍼마켓 간에 비누매출이 동일하지는 않다는 결론을 내릴 수 있다.

16


한 처치변수가 다른 처치변수의 변화에 따라 결과변수에 미치는 영향.

각 처치변수의 변화가 결과변수에 미치는 영향에 관한 것.

두 개 이상의 처치변수의 수준변화에 따른 결과변수값의 변화를 조사하기 위한 실험디자인.

- 각 처치변수를 factor라고 부른다.

- factor A의 처치수준은 a이고 factor B의 처치수준은 b이면 a×b factorial design.

- 처치변수가 두 개이므로 이원분산분석(two-way ANOVA)을 적용한다.

- 추가적으로 factor C가 있으며 처치수준이 c이면 a×b×c factorial design이 되며

삼원분산분석(three-way ANOVA)을 적용한다.

팩토리얼 디자인(factorial design)

상호작용효과

주효과

17


예: 두 개의 처치변수, 단맛정도와 탄산화정도가 소비자 태도에 미치는 영향. (2×2 factorial design)

18


<표 13.9> a×b factorial design에 대한 이원분산분석표


Factor A SS(A) (a-1) MS(A) = SS(A)/(a-1) MS(A)/MSE

Factor B SS(B) (b-1) MS(B) = SS(B)/(b-1) MS(B)/MSE

상호작용 A×B SS(AB) (a-1)(b-1) MS(AB) = SS(AB)/(a-1)(b-1) MS(AB)/MSE

오차 SSE (n-ab) MSE = SSE/(n-ab)

합계 Total SS (n-1)

19


세 가지 광고대안을 개발하여 남녀 각각 9명의 피실험자들을 6개의 cells에 할당하고 각 피실험자에게

세 가지 광고 중 하나를 보여주었다. 피실험자들의 광고태도는 <표>와 같다.

예 13.3: 팩토리얼 디자인에 의한 이원분산분석의 예

연구문제

1. 광고대안에 따라 광고태도가 다른가(광고대안의 주효과; α=.05)?

2. 성별에 따라 광고태도가 다른가(성별의 주효과; α=.05)?

3. 성별과 광고대안 간에는 상호작용효과가 있는가(α=.05)?

광고

성별 1 2 3

남 4.1 3.1 3.5

3.9 2.8 3.2

4.3 3.3 3.6

여 2.7 1.9 2.7

3.1 2.2 2.3

2.6 2.3 2.5

<표 13.10> 남•녀별 각 광고에 대한 태도점수

20


가설검증(1/2)


(1) 1. Ho: μ1=μ2=μ3 H1: 모든 μ가 동일하지는 않다.

2. Ho: μ남=μ여 H1: μ남≠μ여

3. Ho: 상호작용효과가 없다. H1: 상호작용효과가 있다.

(2) 2×3 factorial design에 의한 이원분산분석(세 개의 F-검증)

(3) cell별로 평균을 계산하면 <표 13.11>과 같다.

<표 13.11> 표 13.10 자료의 평균값

성별 광고

계 1 2 3

남 4.10 3.06 3.43 3.53

여 2.80 2.13 2.50 2.48

계 3.45 2.60 2.97 3.00

21


가설검증(2/2): SPSS 12.0에 의한 분석결과


<표 13.12> 표 13.10 자료의 이원분산분석표


광고(A) 2.1811 2 1.0906 21.81

성별(B) 5.0139 1 5.0139 100.28

상호작용(A×B) .1344 2 .0672 1.34

오차 .6000 12 .0500

합계 7.9294 17

(4) 연구가설별로 F-table에서 Fcrit 값을 찾는다.

(5) 상호작용효과(A×B)에 대한 검증: Fobs = 1.34 < Fcrit = F(.05; 2, 12) = 3.89 따라서, 상호작용효과는 유의적이지 않다.

광고대안(A)의 주효과에 대한 검증: Fobs = 21.81 > Fcrit = F(.05; 2, 12) = 3.89 따라서, 광고대안(A)의 주효과는 유의적이다.

성별(B)의 주효과에 대한 검증: Fobs = 100.28 > Fcrit = F(.05; 1, 12) = 4.75 따라서, 성별(B)의 주효과는 유의적이다.

22



광고태도

광고

1

2

3

4

3 2 1

남

여

<그림 13.2> 표 13.11 자료의 cell별 평균값

23


기술통계

N 평균 표준편차 표준오차

평균에 대한 95% 신뢰구간 최소값 최대값

하한값 상한값

판매 실적

프로 그램

프로 그램 A

6 75.67 8.165 3.333 67.10 84.24 65 87

프로 그램 B

7 78.43 7.115 2.689 71.85 85.01 69 90

프로 그램 C

6 70.83 9.579 3.911 60.78 80.89 59 83

프로 그램 D

4 87.75 5.795 2.898 78.53 96.97 80 94

합계 23 77.35 9.316 1.942 73.32 81.38 59 94

24


Levene 통계량 자유도1 자유도2 유의확률

판매실적 1.218 3 19 .330

분산분석

제곱합 자유도 평균제곱 F 유의확률

판매실적 집단-간 712.586 3 237.529 3.771 .028

집단-내 1196.631 19 62.981

합계 1909.217 22

분산의 동질성에 대한 검정

25


평균차 (I-J) 표준오차 유의확률 95% 신뢰구간

(I) 프로그램 (J) 프로그램 하한값 상한값

Scheffe

프로그램 A

프로그램B -2.762 4.415 .941 -16.29 10.76

프로그램C 4.833 4.582 .775 -9.20 18.87

프로그램D -12.083 5.123 .172 -27.77 3.61

프로그램 B

프로그램A 2.762 4.415 .941 -10.76 16.29

프로그램C 7.595 4.415 .420 -5.93 21.12

프로그램D -9.321 4.974 .347 -24.56 5.91

프로그램 C

프로그램A -4.833 4.582 .775 -18.87 9.20

프로그램B -7.595 4.415 .420 -21.12 5.93

프로그램D -16.917(*) 5.123 .032 -32.61 -1.23

프로그램 D

프로그램A 12.083 5.123 .172 -3.61 27.77

프로그램B 9.321 4.974 .347 -5.91 24.56

프로그램C 16.917(*) 5.123 .032 1.23 32.61

Bonferroni

프로그램 A

프로그램B -2.762 4.415 1.000 -15.76 10.24

프로그램C 4.833 4.582 1.000 -8.66 18.32

프로그램D -12.083 5.123 .175 -27.16 3.00

프로그램 B

프로그램A 2.762 4.415 1.000 -10.24 15.76

프로그램C 7.595 4.415 .610 -5.40 20.59

프로그램D -9.321 4.974 .458 -23.96 5.32

프로그램 C

프로그램A -4.833 4.582 1.000 -18.32 8.66

프로그램B -7.595 4.415 .610 -20.59 5.40

프로그램D -16.917(*) 5.123 .022 -32.00 -1.84

프로그램 D

프로그램A 12.083 5.123 .175 -3.00 27.16

프로그램B 9.321 4.974 .458 -5.32 23.96

프로그램C 16.917(*) 5.123 .022 1.84 32.00

* .05 수준에서 평균차가 큽니다.

사후검정 다중 비교 종속변수: 판매실적

26

제5부 자료의 분석-중급통계 변수값 설명 N

수퍼마켓

1 3

2 3

3 3

4 3

디자인

1 design A 4

2 design B 4

3 design C 4

수퍼마켓 디자인 평균 표준편차 N

1

design A 17.00 . 1

design B 34.00 . 1

design C 23.00 . 1

합계 24.67 8.622 3

2

design A 15.00 . 1

design B 26.00 . 1

design C 21.00 . 1

합계 20.67 5.508 3

3

design A 1.00 . 1

design B 23.00 . 1

design C 8.00 . 1

합계 10.67 11.240 3

4

design A 6.00 . 1

design B 22.00 . 1

design C 16.00 . 1

합계 14.67 8.083 3

합계

design A 9.75 7.544 4

design B 26.25 5.439 4

design C 17.00 6.683 4

합계 17.67 9.247 12

기술통계량 종속변수: 판매실적

개체-간 요인

27


개체-간 효과 검정 종속변수: 판매실적

소스 제 III 유형 제곱합 자유도 평균제곱 F 유의확률

수정 모형 895.167(a) 5 179.033 23.609 .001

절편 3745.333 1 3745.333 493.890 .000

수퍼마켓 348.000 3 116.000 15.297 .003

디자인 547.167 2 273.583 36.077 .000

오차 45.500 6 7.583

합계 4686.000 12

수정 합계 940.667 11

a R 제곱 = .952 (수정된 R 제곱 = .911)

제5부 자료의 분석 중급통계 -...

Documents

Transcript of 제5부 자료의 분석 중급통계 -...