МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР

УтвержденоУчебно-методическим управлением

но высшему образованию

ФИЗИКА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ (ВКЛЮЧАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЕ ВУЗЫ)

Под редакцией А. Г. Чертова

Издание пятое, переработанное

Москва «Высшая школа» 1987

ББК 22.5 Ф 50

УДК 530.1

Авторы:А. А. Воробьев, В. П. Иванов, В. Г. Кондакова, А. Г. Чертов

Ф50 Физика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-техни­ческих специальностей вузов (включая сельскохо­зяйственные вузы)/ А. А. Воробьев, В. П. Иванов, В. Г. Кондакова, А. Г. Чертов — М.: Высш. шк., 1987. — 208 с.: ил.

1704000000(4309000000)—280 ББК 2 2 .5Ф -------------------------------------------- 138—87. гп

001(01)—87 53

Учебное издание

ФИЗИКА

Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей

высших учебных заведений (включая сельскохозяйственные вузы)

Зав. редакцией Е. С. Гридасова. Редактор Л. С. Куликова. Млад­ший редактор Г. В. Вятоха. Художественный редактор В. И. Понома­ренко. Технический редактор А. К. Нестерова. Корректор Г. И. Кост-

рикова.

Н/К

Изд. № ФМ—915/УМД. Сдано в набор 11.02.87. Поди, в печать 20.04.87. Формат 84ХЮ81/з2. Бум. кн.-журн. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 10,92. уел. печ. л. 11,02. уел. кр.-отт. 10,06 уч.-изд. л. Тираж 200 000 экз. Зак. № 105. Цена 35 коп. Издатель­ство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., д. 29/14.

Ярославский полиграфкомбинат Союзполиграфпрома при Государ­ственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной

торговли. 150014, Ярославль, ул. Свободы, 97.

© Министерство высшего и среднего специального образования СССР, 1987

П Р Е Д И С Л О В И Е

Цель настоящего учебно-методического посо­бия — оказать помощь студентам-заочникам инже­нерно-технических специальностей высших учебных заведений в изучении курса физики.

Основной учебный материал программы курса в пособии распределен на шесть разделов. В каж­дом из них даны основные формулы, примеры ре­шения задач, задачи для самостоятельного решения (с ответами) и контрольные задания. Кроме того, в пособии даны общие методические указания, све­дения о приближенных вычислениях и некоторые справочные таблицы.

В пособии учтены особенности учебных планов разных специальностей — различие в числе кон­трольных работ и во времени, отводимом для изу­чения курса физики. Для этого даны две таблицы вариантов контрольных работ: одна — для студен­тов, выполняющих шесть контрольных работ, и вто­рая — для студентов, выполняющих четыре кон­трольные работы. Таблицы вариантов контрольных работ студентам специальностей, по которым преду­смотрено выполнение только двух контрольных ра­бот, рассылаются кафедрами физики учебных за­ведений.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА КУРСА ФИЗИКИ ДЛЯ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ

СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ ЗАОЧНЫХ ОТДЕЛЕНИЙ И ВУЗОВ*

ВведениеПредмет физики. Методы физического исследования: опыт, гипо­

теза, эксперимент, теория. Роль физики в развитии техники и влияние техники на развитие физики. Связь физики с марксистско-ленинской философией и другими науками.

Физические основы классической механикиМеханическое движение как простейшая форма движения мате­

рии. Представления о свойствах пространства и времени, лежащие в основе классической (ньютоновской) механики. Элементы кинема­тики материальной точки. Скорость и ускорение точки как производ­ные радиуса-вектора по времени. Нормальное и тангенциальное уско­рения. Радиус кривизны траектории. Поступательное движение твер­дого тела.

Динамика материальной точки и поступательного движения твер­дого тела. Закон инерции и инерциальные системы отсчета. Законы динамики материальной точки и системы материальных точек. Внешние и внутренние силы. Центр масс (центр инерции) механической системы и закон его движения. Закон сохранения импульса.

Энергия как универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Работа переменной силы. Кинетическая энергия меха­нической системы и ее связь с работой внешних и внутренних сил, приложенных к системе.

Поле как форма материи, осуществляющая силовое взаимодейст­вие между частицами вещества. Потенциальная энергия материаль­ной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей на материальную точку. Понятие о градиенте скалярной функции коор­динат. Поле центральных сил. Потенциальная энергия системы. Закон сохранения механической энергии. Диссипация энергии. Закон сохра­нения и превращения энергии как проявление неуничтожимости ма­терии и ее движения. Применение законов сохранения к столкнове­нию упругих и неупругих тел.

* Рабочая программа составлена на основе «Программы курса фи­зики для инженерно-технических специальностей высших учебных заведе­ний» (индекс УМУ-9/1). Утверждена Учебно-методическим управле­нием по высшему образованию Минвуза СССР 26 июня 1981 г.

4

Элементы кинематики вращательного движения. Угловая скорость н угловое ускорение, их связь с линейными скоростями и ускорениями точек вращающегося тела. Момент силы и момент импульса механи­ческой системы. Момент силы относительно оси. Момент импульса тела относительно неподвижной оси вращения. Момент инерции тела отно­сительно оси. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Кинетическая энергия вращающе­гося тела. Закон сохранения момента импульса и его связь с изотроп­ностью пространства.

Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.

Элементы специальной (частной) теории относительностиПреобразования Галилея. Механический принцип относительности.

Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Ло­ренца. Понятие одновременности. Относительность длин и промежут- кон времени. Интервал между событиями и его инвариантность по отношению к выбору инерциальной системы отсчета как проявление взаимосвязи пространства и времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Релятивистский импульс. Основной закон релятивистской динамики материальной точки. Релятивистское выражение для кинети­ческой энергии. Взаимосвязь массы и энергии. Энергия связи системы. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы. Границы применимости классической (ньютоновской) механики.

Механические колебания и волны в упругих средахГармонические механические колебания. Кинематические характе­

ристики гармонических колебаний. Дифференциальное уравнение гар­монических колебаний. Пружинный, физический и математический маятники. Энергия гармонических колебаний. Сложение гармоничес­ких колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Апериодический про­цесс. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его ре­шение. Амплитуда смещения и фаза вынужденных колебаний. Понятие о резонансе.

Волновые процессы. Механизм образования механических волн и упругой среде. Продольные и поперечные волны. Синусоидальные (гармонические) волны. Уравнение бегущей волны. Длина волны и волновое число. Волновое уравнение. Фазовая скорость и дисперсия ноли. Энергия волны. Принцип суперпозиции волн и границы его при­менимости. Волновой пакет. Групповая скорость. Когерентность.

Интерференция волн. Образование стоячих волн. Уравнение стоя­чей волны и его анализ.

Основы молекулярной фиалки и термодинамикиСтатистический метод исследования и его связь с учением ди­

алектического материализма о соотношении случайности- и необходи­мости. Термодинамический метод исследования. Термодинамические параметры. Равновесные состояния и процессы, их изображение на о'рмодинамических диаграммах. Вывод уравнения молекулярно-кине­тической теории идеальных газов для давления и его сравнение с,

5

уравнением Клапейрона — Менделеева. Средняя кинетическая энергия молекул. Молекулярно-кинетическое толкование термодинамической температуры. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул. Внутренняя энер­гия идеального газа. Работа газа при изменении его объема. Коли­чество теплоты. Теплоемкость. Первое начало термодинамики. При­менение первого начала термодинамики к изопроцессам и адиабатному процессу идеального газа. Зависимость теплоемкости идеального газа от вида процесса. Классическая молекулярно-кинетическая теория теплоемкостей идеальных газов и ее ограниченность.

Закон Максвелла для распределения молекул идеального газа по скоростям и энергиям теплового движения. Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул. Время релаксации. Явления переноса в термодинамически неравновесных системах. Опытные законы диффузии, теплопроводности и внутреннего трения. Молекулярно-кинетическая теория этих явлений.

Обратимые и необратимые процессы. Круговой процесс (цикл). Тепловые двигатели и холодильные машины. Цикл Карно и его КПД для идеального газа. Второе начало термодинамики. Независимость КПД цикла Карно от природы рабочего тела. Энтропия. Энтропия идеального газа. Статистическое толкование второго начала термоди­намики. Критика идеалистического толкования второго начала термо­динамики.

Отступления от законов идеальных газов. Реальные газы. Силы и потенциальная энергия межмолекулярного взаимодействия. Эффек­тивный диаметр молекул. Уравнение Ван-дер-Ваальса. Сравнение изотерм Ван-дер-Ваальса с экспериментальными. Фазовые переходы 1 и II рода. Критическое состояние. Внутренняя энергия реального газа. Особенности жидкого и твердого состояний вещества.

ЭлектростатикаЗакон сохранения электрического заряда. Электрическое поле.

Основные характеристики электростатического поля — напряженность и потенциал. Напряженность как градиент потенциала. Расчет электро­статических полей методом суперпозиции. Поток вектора напряженно­сти. Теорема Остроградского — Гаусса для электростатического поля в вакууме. Применение теоремы Остроградского — Гаусса к расчету поля. Электрическое поле в веществе. Свободные и связанные заряды в диэлектриках. Типы диэлектриков. Электронная и ориентационная поляризация. Поляризованность. Диэлектрическая восприимчивость вещества. Электрическое смещение. Диэлектрическая проницаемость среды. Вычисление напряженности поля в диэлектрике. Сегнето- электрики.

Проводники в электрическом поле. Поле внутри проводника и у его поверхности. Распределение зарядов в проводнике. Электроемкость уединенного проводника. Взаимная емкость двух проводников. Конден­саторы. Энергия заряженных проводника, конденсатора и системы проводников. Энергия электростатического поля. Объемная плотность энергии.

Постоянный электрический токПостоянный электрический ток, его характеристики и условия су­

ществования. Классическая электронная теория электропроводности

6

металлов и ее опытные обоснования. Вывод закона Ома в дифферен­циальной форме из электронных представлений. Закон Видемана — Франца. Закон Ома в интегральной форме. Разность потенциалов, (лектродвижущая сила, напряжение. Затруднения классической теории и|сктропроводности металлов. Границы применимости закона Ома. Ток в газах. Плазма. Работа выхода электронов из металла. Термо­электронная эмиссия.

ЭлектромагнетизмМагнитное поле. Магнитная индукция. Закон Ампера. Магнитное

ноле тока. Закон Био — Савара — Лапласа и его применение к рас­чету магнитного поля. Магнитное поле прямолинейного проводника г током. Магнитное поле кругового тока. Магнитный момент витка г током. Вихревой характер магнитного поля. Закон полного тока (цир­куляция вектора магнитной индукции) для магнитного поля в вакууме и его применение к расчету магнитного поля тороида и длинного соленоида. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле. Принцип действия циклических ускорителей заряженных частиц. Эффект Холла. МГД-генератор. Контур с током в магнитном поле. Магнитный поток. Теорема Остроградского — Гаусса. Работа перемещения проводника и контура с током в магнитном поле.

Явление электромагнитной индукции (опыты Фарадея). Правило Ленца. Закон электромагнитной индукции и его вывод из закона сохра­нения энергии. Явление самоиндукции. Индуктивность. Токи при замы­кании и размыкании цепи. Явление взаимной индукции. Взаимная индуктивность. Энергия системы проводников с током. Объемная плотность энергии магнитного поля.

Магнитное поле в веществе. Магнитные моменты атомов. Типы магнетиков. Намагниченность. Микро- и макротоки. Элементарная’ теория диа- и парамагнетизма. Магнитная восприимчивость вещества н ее зависимость от температуры. Закон полного тока для магнитного ноля в веществе. Напряженность магнитного поля. Магнитная прони­цаемость среды. Ферромагнетики. Опыты Столетова. Кривая намагни­чивания. Магнитный гистерезис. Точка Кюри. Домены. Спиновая при­рода ферромагнетизма.

Основы теории Максвелла для электромагнитного поля. Ток сме­щения. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в интеграль­ной форме.

Электромагнитные колебания и волныГармонические электромагнитные колебания и их характеристики.'

Дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний. Электри­ческий колебательный контур. Энергия электромагнитных колебаний: Дифференциальное уравнение электромагнитных колебаний и его ре­шение. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Случай резо­нанса. Электромагнитные волны. Дифференциальное уравнение элек­тромагнитной волны. Основные свойства электромагнитных волн. Моно-, хроматическая волна. Энергия электромагнитных волн. Поток энергии. Вектор Умова — Пойнтинга. Излучение диполя.

7

Волновая оптикаИнтерференция света. Когерентность и монохроматичность свето­

вых волн. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников. Оптическая длина пути. Интерференция света в тонких пленках. Интерферометры. Дифракция света. Принцип Гюйгенса — Френеля. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске. Дифракция Фраун­гофера на одной щели и дифракционной решетке. Разрешающая спо­собность оптических приборов. Дифракция на пространственной решет­ке. Формула Вульфа — Брэгга. Принцип голографии. Исследование структуры кристаллов. Оптически неоднородная среда. Дисперсия света. Области нормальной и аномальной дисперии. Электронная теория дис­персии света. Эффект Доплера. Излучение Вавилова — Черенкова. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Поляризация света при отражении. Закон Брюстера. Двойное лучепреломление. Одноосные кристаллы. Поляроиды и поляризационные призмы. Закон Мал юса.

Квантовая природа излученияТепловое излучение. Черное тело. Закон Кирхгофа. Закон Сте­

фана — Больцмана. Распределение энергии в спектре абсолютно чер­ного тела. Закон смещения Вина. Квантовая гипотеза и формула Планка. Оптическая пирометрия. Внешний фотоэффект и его законы. Фотоны. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Масса и импульс фотона. Давление света. Опыты Лебедева. Квантовое и вол­новое объяснения давления света. Эффект Комптона и его теория. Диалектическое единство корпускулярных и волновых свойств электро­магнитного излучения.

Элементы атомной физики и квантовой механики

Опытное обоснование корпускулярно-волнового дуализма свойств вещества. Формула де Бройля. Соотношение неопределенностей как проявление корпускулярно-волнового дуализма свойств материи. Вол­новая функция и ее статистический смысл. Ограниченность механиче­ского детерминизма. Принцип причинности в квантовой механике. Ста­ционарные состояния. Уравнение Шредингера для стационарных со­стояний. Свободная частица. Туннельный эффект. Частица в одномер­ной прямоугольной «потенциальной яме». Квантование энергии и им­пульса частицы. Понятие о линейном гармоническом осцилляторе. Атом водорода. Главное, орбитальное и магнитное квантовые числа.

Опыт Штерна и Герлаха. Спин электрона. Спиновое квантовое число. Фермионы и бозоны. Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям. Понятие об энергетических уровнях молекул. Спектры атомов и молекул. Поглощение, спонтанное и вынужденное излучения. Понятие о лазере.

Элементы квантовой статистики и физики твердого тела

Фазовое пространство. Элементарная ячейка. Плотность состояний. Понятие о квантовой статистике Бозе — Эйнштейна. Фатонный и фонон-

8

Волновая оптикаИнтерференция света. Когерентность и монохроматичность свето­

вых волн. Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников. Оптическая длина пути. Интерференция света в тонких пленках. Интерферометры. Дифракция света. Принцип Гюйгенса — Френеля. Метод зон Френеля. Прямолинейное распространение света. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске. Дифракция Фраун­гофера на одной щели и дифракционной решетке. Разрешающая спо­собность оптических приборов. Дифракция на пространственной решет­ке. Формула Вульфа — Брэгга. Принцип голографии. Исследование структуры кристаллов. Оптически неоднородная среда. Дисперсия света. Области нормальной и аномальной дисперии. Электронная теория дис­персии света. Эффект Доплера. Излучение Вавилова — Черенкова. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Поляризация света при отражении. Закон Брюстера. Двойное лучепреломление. Одноосные кристаллы. Поляроиды и поляризационные призмы. Закон Малюса.

Квантовая природа излученияТепловое излучение. Черное тело. Закон Кирхгофа. Закон Сте­

фана — Больцмана. Распределение энергии в спектре абсолютно чер­ного тела. Закон смещения Вина. Квантовая гипотеза и формула Планка. Оптическая пирометрия. Внешний фотоэффект и его законы. Фотоны. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Масса и импульс фотона. Давление света. Опыты Лебедева. Квантовое и вол­новое объяснения давления света. Эффект Комптона и его теория. Диалектическое единство корпускулярных и волновых свойств электро­магнитного излучения.

Элементы атомной физики и квантовой механики

Опытное обоснование корпускулярно-волнового дуализма свойств вещества. Формула де Бройля. Соотношение неопределенностей как проявление корпускулярно-волнового дуализма свойств материи. Вол­новая функция и ее статистический смысл. Ограниченность механиче­ского детерминизма. Принцип причинности в квантовой механике. Ста­ционарные состояния. Уравнение Шредингера для стационарных со­стояний. Свободная частица. Туннельный эффект. Частица в одномер­ной прямоугольной «потенциальной яме». Квантование энергии и им­пульса частицы. Понятие о линейном гармоническом осцилляторе. Атом водорода. Главное, орбитальное и магнитное квантовые числа.

Опыт Штерна и Герлаха. Спин электрона. Спиновое квантовое число. Фермионы и бозоны. Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям. Понятие об энергетических уровнях молекул. Спектры атомов и молекул. Поглощение, спонтанное и вынужденное излучения. Понятие о лазере.

Элементы квантовой статистики и физики твердого тела

Фазовое пространство. Элементарная ячейка. Плотность состояний. Понятие о квантовой статистике Бозе — Эйнштейна. Фатонный и фонон-

8

нмii газы. Распределение фононов по энергиям. Теплоемкость крис­таллической решетки. Сверхтекучесть. Понятие о квантовой статистике Ферми — Дирака. Распределение электронов проводимости в металле но энергиям при абсолютном нуле температуры. Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение электронов. Уровень Ферми. Внутренняя энергия и теплоемкость электронного газа в металле. >лектропроводность металлов. Сверхпроводимость. Магнитные свойства

сверхпроводника.' Энергетические зоны в кристаллах. Распределение электронов по энергетическим зонам. Валентная зона и зона проводимости. Металлы, диэлектрики и полупроводники. Собственная проводимость полупровод­ников. Квазичастицы — электроны проводимости и дырки. Эффектив- п.in масса электрона в кристалле. Примесная проводимость полупро­водников. Электронный и дырочный полупроводники. Контактные явле­нии. Контакт электронного и дырочного полупроводника (р-л-переход) и его вольт-амперная характеристика. Фотоэлектрические явления в полупроводниках. Люминесценция твердых тел.

Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц

Заряд, размер и масса атомного ядра. Массовое и зарядовое числа. Момент импульса ядра и его магнитный момент. Состав ядра. Работы Иваненко и Гейзенберга. Нуклоны. Взаимодействие нуклонов и понятие о свойствах и природе ядерных сил. Дефект массы и энергия связи ядра. Закономерности и происхождение альфа-, бета- и гамма-излуче­ний атомных ядер. Ядерные реакции и законы сохранения. Реакция деления ядер. Цепная реакция деления. Понятие о ядерной энергетике. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций. Элементарные частицы. Их классификация и взаимная пре­вращаемость. Четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильные, электромагнитные, слабые и гравитационные. Понятие об основных проблемах современной физики и астрофизики.

ЛИТЕРАТУРА

ОсновнаяЛенин В. И. Материализм и эмпириокритицизм. Поли. собр. соч.

Т. 18.Трофимова Т. И. Курс физики. — М.: Высшая школа, 1985. Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физийи. —-

М.: Высшая школа, 1973— 1979. — Т. 1, 2, 3. •Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики. — М.: Наука,

1972— 1974. — Т. 1, 2, 3.Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1977— 1979.—

Т. 1, 2, 3.Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики. —

М : Наука, 1979.Чертов А. Г., Воробьев А. А. Задачник по физике. — М.: Высшая

школа, 1981.

9

ими газы. Распределение фононов по энергиям. Теплоемкость крис­таллической решетки. Сверхтекучесть. Понятие о квантовой статистике Ферми — Дирака. Распределение электронов проводимости в металле по энергиям при абсолютном нуле температуры. Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение электронов. Уровень Ферми. Внутренняя энергия и теплоемкость электронного газа в металле. Электропроводность металлов. Сверхпроводимость. Магнитные свойства сверхпроводника.' Энергетические зоны в кристаллах. Распределение электронов по энергетическим зонам. Валентная зона и зона проводимости. Металлы, диэлектрики и полупроводники. Собственная проводимость полупровод­ников. Квазичастицы — электроны проводимости и дырки. Эффектив- И.1Н масса электрона в кристалле. Примесная проводимость полупро­водников. Электронный и дырочный полупроводники. Контактные явле­нии. Контакт электронного и дырочного полупроводника (р-п-переход) в его вольт-амперная характеристика. Фотоэлектрические явления в полупроводниках. Люминесценция твердых тел.

Элементы физики атомного ядра и элементарных частиц

Заряд, размер и масса атомного ядра. Массовое и зарядовое числа. Момент импульса ядра и его магнитный момент. Состав ядра. Работы Иваненко и Гейзенберга. Нуклоны. Взаимодействие нуклонов и понятие о свойствах и природе ядерных сил. Дефект массы и энергия связи ядра. Закономерности и происхождение альфа-, бета- и гамма-излуче­ний атомных ядер. Ядерные реакции и законы сохранения. Реакция деления ядер. Цепная реакция деления. Понятие о ядерной энергетике. Реакция синтеза атомных ядер. Проблема управляемых термоядерных реакций. Элементарные частицы. Их классификация и взаимная пре­вращаемость. Четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильные, электромагнитные, слабые и гравитационные. Понятие об основных проблемах современной физики и астрофизики.

ЛИТЕРАТУРА

ОсновнаяЛенин В. И. Материализм и эмпириокритицизм. Поли. собр. соч.

Т. 18.Трофимова Т. И. Курс физики. — М.: Высшая школа, 1985. Детлаф А. А., Яворский Б. М., Милковская Л. Б. Курс физики.

М.: Высшая школа, 1973— 1979. — Т. 1, 2, 3. •Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики. — М.: Наука,

1972— 1974. — Т. 1, 2, 3.Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1977— 1979.—

Т. 1, 2, 3.Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики. —

М : Наука, 1979.Чертов А. Г., Воробьев А. А. Задачник по физике. — М.: Высшая

школа, 1981.

9

ДополнительнаяСтрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975.Кикоин И. К-, Кикоин А. К. Молекулярная физика. — М.: Наука,

1976.Калашников С. Г. Электричество. — М.: Наука, 1977.Сивухин Д . В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977— 1980.—

Т. 1, 2, 3, 4.Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. — М.: Высшая

школа, 1976, 1986.Матвеев А. Н. Молекулярная физика. — М.: Высшая школа, 1981. Матвеев А. Н. Электродинамика. — М.: Высшая школа, 1980. Епифанов Г. И., Мома Ю. А. Твердотельная электроника. — М.:

Высшая школа, 1986.Сена Л. А. Единицы физических величин и их размерности. —

М.: Наука, 1977.Чертов А. Г. Единицы физических величин. — М.: Высшая школа,

1977.

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ВЫПОЛНЕНИЮ

КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

1. За время изучения курса общей физики студент- заочник должен представить в учебное заведение в зави­симости от специальности от двух до шести контрольных работ.

2. Номера задач, которые студент должен включить и свою контрольную работу, определяются по таблицам вариантов (см., например, с. 35).

3. Контрольные работы нужно выполнять чернилами в школьной тетради, на обложке которой привести сведе­нии по следующему образцу:

Студент строительного факультета ВЗПИ Киселев А. В.Шифр 257320

Адрес: г. Каргополь Архангельской обл., ул. Сергеева, 2, кв. 5

Контрольная работа 1 по физике

4. Условия задач в контрольной работе надо перепи­сать полностью без сокращений. Для замечаний препода- ннтеля на страницах тетради оставлять поля.

5. В конце контрольной работы указать, каким учеб­ником или учебным пособием студент пользовался при изучении физики (название учебника, автор, год изда­ния). Это делается для того, чтобы рецензент в случае необходимости мог указать, что следует студенту изучить для завершения контрольной работы.

6. Высылать на рецензию следует одновременно не более одной работы. Во избежание одних и тех же оши­бок очередную работу следует высылать только после получении рецензии на предыдущую.

7. Если контрольная работа при рецензировании не ычтена, студент обязан представить ее на повторную рецензию, включив в нее те задачи, решения которых

п

оказались неверными. Повторную работу необходимо представить вместе с незачтенной.

8. Зачтенные контрольные работы предъявляются экзаменатору. Студент должен быть готов во время экза­мена дать пояснения по существу решения задач, входя­щих в контрольные работы.

9. Решения задач следует сопровождать краткими, но исчерпывающими пояснениями; в тех случаях, когда это возможно, дать чертеж, выполненный с помощью чертеж­ных принадлежностей.

10. Решать задачу надо в общем виде, т. е. выразить искомую величину в буквенных обозначениях величин, заданных в условии задачи. При таком способе решения не производятся вычисления промежуточных величин.

11. После получения расчетной формулы для проверки правильности ее следует подставить в правую часть фор­мулы вместо символов величин обозначения единиц этих величин, произвести с ними необходимые действия и убе­диться в том, что полученная при этом единица соответ­ствует искомой величине. Если такого соответствия нет, то это означает, что задача решена неверно (см. при­мер 4 на с. 53 и пример 3 на с. 78).

12. Числовые значения величин при подстановке их в расчетную формулу следует выражать только в едини­цах СИ. В виде исключения допускается выражать в любых, но одинаковых единицах числовые значения одно­родных величин, стоящих в числителе и знаменателе дроби и имеющих одинаковые степени (см. пример 7 на с. 23).

13. При подстановке в расчетную формулу, а также при записи ответа числовые значения величин следует записывать как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень десяти. Например, вместо 3520 надо записать З,52*103, вместо 0,00129 записать 1,29-10_3 и т. п.

14. Вычисления по расчетной формуле надо проводить с соблюдением правил приближенных вычислений (см. в «Задачнике по физике» А. Г. Чертова, А. А. Во­робьева Приложение о приближенных вычислениях). Как правило, окончательный ответ следует записывать с тремя значащими цифрами. Это относится и к случаю, когда результат получен с применением калькулятора.

УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПО РАЗДЕЛАМ КУРСА ФИЗИКИ

I. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Основные формулыКинематическое уравнение движения материальной

Точки (центра масс твердого тела) вдоль оси хх = /(*)>

ГДС f(t) — некоторая функция времени.Проекция средней скорости на ось х

<*>—£■Средняя путевая скорость

еде As — путь, пройденный точкой за интервал време­ни М. Путь As в отличие от разности координат Ах — •-*2 — *i не может убывать и принимать отрицательные винчения, т. е. A s^O .

Проекция мгновенной скорости на ось х

Проекция среднего ускорения на ось х

Проекция мгновенного ускорения на ось х

Кинематическое уравнение движения материальной гички по окружности

ф — f(t), г = R — const.

Модуль угловой скорости

Модуль углового ускорения

Связь между модулями линейных и угловых величин, характеризующих движение точки по окружности:

v = со/?, аг = е/?, ап = со2/?,где v — модуль линейной скорости; ах и ап — модули тангенциального и нормального ускорений; со — модуль угловой скорости; е — модуль углового ускорения; R — радиус окружности.

Модуль полного ускорения

Угол между полным а и нормальным а„ ускорениями

Кинематическое уравнение гармонических колебаний материальной точки

х — A cos(<o/-f ф),

где х — смещение; А — амплитуда колебаний; и — уг­ловая или циклическая частота; ф — начальная фаза.

Скорость и ускорение материальной точки, совершаю­щей гармонические колебания:

v = —Лео sin (со/ + ф); а = —Лео2 cos (at + ф)-Сложение гармонических колебаний одного направ­

ления и одинаковой частоты:а) амплитуда результирующего колебания

б) начальная фаза результирующего колебания

Траектория точки, участвующей в двух взаимно пер­пендикулярных колебаниях,

х = Л 1 СОЗсо/; у — Л2 cos((o£-f-<p):

или

а = arc cos (ап/ а ).

Л = “\/ Л2 Лг-|-2Л 1 Лг соэ(ф2 — Ф1) ;

ф = arc tg А | sin <pi+/l2 sin фг A 1 cos (pi —)— 2 cosq>2 '

I

14

Уравнение плоской бегущей волны

У — A cos со ( t -----,

I in- // смещение любой из точек среды с координатой х N момент t\ v — скорость распространения колебаний и среде.

Г ('.вязь разности фаз Лер колебаний с расстоянием Лл: ■ Между точками среды, отсчитанным в направлении рас-

М|" ктранения колебаний;а 2 л, дАф = ——Лх,

А.

Где X — длина волны.Импульс материальной точки массой т, движущейся

1'п скоростью V,

р = mv.

I(горой закон Ньютонаdp = F At,

ГДе F — результирующая сила, действующая на ма­териальную точку.

С.илы, рассматриваемые в механике: и) сила упругости

F — — kx,

где k — коэффициент упругости (в случае пружины — Жесткость); х — абсолютная деформация;

б) сила тяжестиР = mg;

в) сила гравитационного взаимодействияF —.Q

’ - . где G — гравитационная постоянная; т , и т 2 — массы и ыимодействукнцих тел; г — расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В слу­чае гравитационного взаимодействия силу можно выра- ||| и. также через напряженность G гравитационного Поля; ’*

F = mG;

15

г) сила трения (скольжения)F = fN,

еде f — коэффициент трения; N — сила нормального дав­ления.

Закон сохранения импульсаN

2 Pi = Const,/=1

или для двух тел (i= 2)m iV i+ m 2v2= miUi + m2u2,

где Vi и v2 — скорости тел в момент времени, принятый за начальный; Ui и u2 — скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный.

Кинетическая энергия тела, движущегося поступа­тельно,

Т = mu2/ 2, или Т = р2/(2т).Потенциальная энергия:а) упругодеформированной пружины

П = ' / 2kx2,где k — жесткость пружины; х — абсолютная дефор­мация;

б) гравитационного взаимодействияII = — Gm\m2/r,

где G — гравитационная постоянная; гп\ и т 2 — массы взаимодействующих тел; г — расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки);

в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести,

П = mgh,где g — ускорение свободного падения; h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедли­ва при условии h<^R, где R — радиус Земли).

Закон сохранения механической энергииЕ = Т + П = const.

Работа А, совершаемая результирующей силой, опре­деляется как мера изменения кинетической энергии ма­териальной точки:

А = АТ = Т2 — Т\.16

Основное уравнение динамики вращательного движе­нии относительно неподвижной оси z

Мг = ]гг,1Ж Мг — результирующий момент внешних сил относи­тельно оси z, действующих на тело; е — угловое ускоре­ние, ! г — момент инерции относительно оси вращения.

Моменты инерции некоторых тел массой т относи­тельно оси г, проходящей через центр масс:

а) стержня длиной / относительно оси, перпендику- дирпой стержню,

Jz = ‘/ i 2 ml2\б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно

оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра),

Jz = mR2,| де. R — радиус обруча (цилиндра);

в) диска радиусом R относительно оси, перпендику- дирной плоскости диска,

Jz = ' / 2т Я 2.Проекция на ось z момента импульса тела, вращаю­

щегося относительно неподвижной оси z,Lz -- J2^,

ГДС <о — угловая скорость тела.Закон сохранения момента импульса систем тел, вра­

щающихся вокруг неподвижной оси z,Jz СО = const,

где J2 — момент инерции системы тел относительно оси г\ ш — угловая скорость вращения тел системы во­круг оси z.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z,

T = ' / 2Jz(o2, или T = Ll/{2Jz).

Примеры решения задач

Пример 1. Уравнение движения материальной точки идоль оси имеет вид х = А Bt Ct3, где А = 2 м, В = — I м/с, С = —0,5 м/с3. Найти координату х, скорость «*, и ускорение ах точки в момент времени t = 2с.

17

Р е ш е н и е . Координату х найдем, подставив в урав нение движения числовые значения коэффициентов A, i и С и времени t :

jc = (2.+ 1 -2 — 0,5• 23) м = 0.Мгновенная скорость относительно оси х есть перва

производная от координаты по времени:

V xZ = 4 f = в + з с / 2 -

Ускорение точки найдем, взяв первую производну! от скорости по времени:

& V ,ах = At 6Ct.

В момент времени t — 2cу* = (1 - 3 - 0 , 5-22) м/с = - 5 м/с;ах = 6( —0,5)-2 м /с2 ■6 м/с .

Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной ос по закону <р = А + Bt + С/2, где А = 10 рад, В — 20 рад/< С= —2 рад/с2. Найти полное ускорение точки, находя щейся на расстоянии л = 0 ,1 м от оси вращения, дл момента времени t= 4 с.

Р е ш е н и е . Полное ускорение а точки, движущейс: по кривой линии, может быть найдено как геометричес кая сумма тангенциального ускорения ах, направленное по касательной к траектории, и нормального ускоре ния а„, направленного к центру кривизны траектории (рис. 1):

а = ат + а „.Так как векторы ат и а„ взаимно перпендикулярны

то модуль ускоренияа = д/ а? + а2 . (1

Модули тангенциального нормального ускорения точки вращающегося тела выражаютс: формулами

ах = гг. ю2г,

где со — модуль угловой скорости тела; е — модуль его угловое ускорения.

18

Подставляя выражения ат и ап в формулу (1), НИ­КОДИМ

а = д/ г2г2 + toV2 =5= л / е2 + со4 . (2 )Угловую скорость со найдем, взяв первую производ­

ную угла поворота по времени:м = -12. = в + 2 CL

1$ момент времени t= 4с модуль угловой скорости to = [20 + 2(—2) 4] рад/с = 4 рад/с.

Угловое ускорение найдем, взяв первую производную ОТ угловой скорсти по времени:

е = dco/dt = 2 С = —4 рад/с2.

Подставляя значения со, е и г в формулу (2), полу­днем

а = 0,1д/ (— 4)2 + 44 м /с2 = 1,65 м /с2.

Пример 3. Ящик массой mt = 20 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной / = 2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой т г = 8 0 к г может свободно (без трения) переме­щаться по рельсам в горизонтальном направлении. Опре­делить скорость и тележки с ящиком, если лоток накло­нен под углом а = 3 0 ° к рельсам.

Р е ш е н и е . Тележку и ящик можно рассматривать как систему двух неупруго взаимодействующих тел. Но гг а система не замкнута, так как на нее действуют внеш­ние силы: силы тяжести т ig и и сила реакции N2(рис. 2). Поэтому применить закон сохранения импульса к системе ящик — тележка нельзя. Но так как проекции указанных сил на направление оси х, совпадающей с направлением рельсов, равны нулю, то проекцию импуль­са системы на это направле­ние можно считать постоян­ной, т. е.

Р \х " Т Р2х — р ' \х “Ь Р?х> ( 1 )

где р [х и р2х — проекции импульса ящика и тележки с песком в момент падения ящика на тележку; р 'и и р’и — те же величины после падения ящика. Рис. 2

19

Рассматривая тела системы как материальные точки выразим в равенстве (1) импульсы тел через их массы и скорости, учитывая, что р2*= 0 (тележка до взаимодей­ствия с ящиком покоилась), а также что после взаимо­действия оба тела системы движутся с одной и той ж( скоростью и:

m\V\x — {mi + m2) и,или

m\v i cos а = (mi + m2) и,где vi — модуль скорости ящика перед падением на те лежку; vu = vi cosa — проекция этой скорости на ось х

Отсюда и = m\V\ cosa/(m i + m2) . (2)Модуль скорости v\ определим из закона сохранения

энергии:m\gh = 7 2miOi,

где h = / sin а, откудаv\ = V 2 gt sin a .

Подставив выражение v\ в формулу (2), получим m { \ 2 g l sin a cos а

U т 1 + т2

После вычислений найдем

и = 2Q\] 2-9,81 -2 sin 30° J O + 80 cos 30° м/с =

= 0,2\/ 19,6 • 0,867 м/с = 0,767 м/с.Пример 4. На спокойной воде пруда перпендикулярно

берегу и носом к нему стоит лодка массой М и длиной L На корме стоит человек массой т. На какое расстояние удалится лодка от берега, если человек перейдет с кормы на нос лодки? Силами трения и сопротивления пре небречь.

Р е ш е н и е . Систему человек — лодка относительно горизонтального направления можно рассматривать как замкнутую. Согласно следствию из закона сохранения импульса, внутренние силы замкнутой системы тел не могут изменить положение центра масс системы. Приме няя это следствие к системе человек — лодка, можно считать, что при перемещении человека по лодке центр масс системы не изменит своего положения, т. е. оста нется на прежнем расстоянии от берега.

20

constПусть центр масс сис- п мы человек—лодка нахо­дится на вертикали, прохо- дищсй в начальный момент через точку Ci лодки (рис. 3), а после переме­щения лодки — через дру- I ую ее точку С2. Так как »гн вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s л о д к и относительно берега рйнно перемещению лодки опюсительно вертикали.Л что последнее легко определить по перемещению цен- ipn масс О лодки. Как видно из рис. 3, в начальный мо­мент точка О находится на расстоянии а\ слева от верти­кали, а после перехода человека — на расстоянии а2 справа от вертикали. Следовательно, искомое перемеще­ние лодки

S = Q.\ - f - CL2 .

Для определения а\ и а2 воспользуемся тем, что ре­зультирующий момент сил, действующих на систему от­носительно горизонтальной оси, перпендикулярной про- дольной оси лодки, равен нулю. Поэтому для начального положения системы Mga i = mg(l — a i), откуда

ai = ml/(M + m).После перемещения лодки Mgd2 = mg(L — d2 — /), от­

кудаa2 = m{L — l)/(M + /n).

Подставив полученные выражения ai и a2 в (1),Н1Йдем

s — м - М + /га (L — /), или s — М + т L.

Пример 5. При выстреле из пружинного пистолета* вертикально вверх пуля массой т—20 г поднялась на высоту h— 5 м. Определить жесткость k пружины писто- 'ита, если она была сжата на х= 10 см. Массой пру­жины и силами трения пренебречь.

Р с ш е н и е. Рассмотрим систему пружина — пуля. Гик как на тела системы действуют только консерватив­

■ 21

ные силы, то для решения задачи можно применить за­кон сохранения энергии в механике. Согласно ему полная механическая энергия Е\ системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энер­гии Е2 в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту Л), т. е.

Е\ = £ 2, или Г. + П, = Г2 + П2, (1)где Т1, Т2, Ш и П2— кинетические и потенциальные энергии системы в начальном и конечном состояниях.

Так как кинетические энергии пули в начальном и ко­нечном состояниях равны нулю, то равенство (1) при­мет вид

П, = П2. (2)Примем потенциальную энергию пули в поле сил тяго­

тения Земли, когда пуля покоится на сжатой пружине, равной нулю, а высоту подъема пули будем отсчитывать от торца сжатой пружины. Тогда энергия системы в на­чальном состоянии будет равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е. П 1 = 1 / 2kx2, а в конечном состоя­нии — потенциальной энергии пули на высоте h, т. е. П2 = mgh.

Подставив выражения Пi и П2 в формулу (2), най­дем 1 / 2kx2=mgh, откуда

k = 2mgh/x2. (3)Проверим, дает ли полученная формула единицу

жесткости к. Для этого в правую часть формулы (3) вместо величин подставим их единицы*:

[ я* Нд 1 [А ] 1 КГ- 1 М-С~2 - 1 М 1 КГ-М-С- 2 , и , . .------ —7-5 = ---------- : 5----------— --------;--------- — 1 п / М.

[ * ] 2 1 м 2 1 м

Убедившись, что полученная единица является еди­ницей жесткости (1 Н /м), подставим в формулу (3) зна­чения величин и произведем вычисления:

, 2 -0 , 02 -9 , 81 -5 и , , n c и ,k - ---- ТоТр---- Н/м — 196 Н/м.

Пример 6. Шар массой гп\, движущийся горизон­тально с некоторой скоростью v\, столкнулся с неподвиж­ным шаром массой пг2. Шары абсолютно упругие, удар

* Единицу какой-либо величины принято обозначать символом этой величины, заключенным в квадратные скобки.

примой, центральный. Какую долю е своей кинетической Ч1Н1Н ИИ первый шар передал второму?

I' е ш е н и е. Доля энергии, переданной первым ша­рим второму, выразится соотношением

е 1 т 2иг m2 /г, m,v'i mi \ (1)

I ж Т\ кинетическая энергия первого шара до удара; и , и /.' скорость и кинетическая энергия второго шара Вигле удара.

Кик видно из формулы (1), для определения е надо Найти и2. Согласно условию задачи, импульс системы двух шаров относительно горизонтального направления иг изменяется и механическая энергия шаров в другие винм не переходит. Пользуясь этим, найдем:

triiVy = m\U\ -f- m2U2\ (2)m,v2, _ m,ui . m2U2 (3)2 2 ' 2 '

Решим совместно уравнения (2) и (3):„ _ 2m,ui

2 mi+/ri2 ‘Подставив это выражение u2 в формулу (1) и сократив Ни Vi и т\, получим

с .... шг Г 2m,t>i 1 2 __ 4m,m2m, t Ci(m, + m2)] (m, + m2)2

Из найденного соотношения видно, что доля передан- in 1Й энергии зависит только от масс сталкивающихся пиров.

Пример 7. Через блок в виде сплошного диска, имею­щею массу т— 80 г (рис. 4), перекинута тонкая гибкая Ни I н. к концам которой подвешены гру­зы с массами mi = 100 г и т2 = 200 г.Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе. Трением и массой нити пре­небречь.

I* е ш е н и е. Рассмотрим силы, дей- I I вукмцие на каждый груз и на блок в о сдельности. На каждый груз действу- нм две силы: сила тяжести и сила упру- IIв'си (сила натяжения нити). Направим Ось к вертикально вниз и напишем для Рис. 4

23

каждого груза уравнение движения (второй закон Нью-^ тона) в проекциях на эту ось. Для первого груза

m\g — T\ - т\а\ (!)для второго груза

m2g — Т2 = т2а. (2)1Под действием моментов сил Т\ и Т2 относительно]

оси z, перпендикулярной плоскости чертежа и направлен­ной за чертеж, блок приобретает угловое ускорение е.1 Согласно основному уравнению динамики вращательного! движения,

Т2г — Т\г = / ге, (3)1где г=а/г \ Jz=='/2mr2 — момент инерции блока (сплош-j ного диска) относительно оси г.

Согласно третьему закону Ньютона, с учетом невесо-1 мости нити Т \ = Т \ , Т2= Т 2. Воспользовавшись этим,] подставим в уравнение (3) вместо Т\ и Т2 выражения Тд и Т2, получив их предварительно из уравнений (1) и (2):

(m2g - m2a) г — {m\g m\d) г = mr2a/{2r).После сокращения на г и перегруппировки членов]

найдема = m 2 — m\

m2-\- m 1 + m /2 8- (4)

Формула (4) позволяет массы пи, т2 и т выразить в граммах, как они даны в условии задачи, а ускоре­ние — в единицах СИ. После подстановки числовых зна-; чений в формулу (4) получим

а = (200 - 100) г (200 + ЮО + 80/2) г •9,81 м/с2 = 2,88 м/с2.

Пример 8. Маховик в виде сплошного диска радиусои R = 0,2 м и массой т = 5 0 кг раскручен до частоты вра^ щения «1 = 480 мин"1 и предоставлен сам себе. Пол действием сил трения маховик остановился через t—50 с] Найти момент А1 сил трения.

Р е ш е н и е . Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движе! ния в виде

&Lz = M2At, (1)

где dLz — изменение проекции на ось z момента импульса| маховика, вращающегося относительно оси z, совпадаю^

24

ни*<1 с геометрической осью маховика, за интервал вре­мени d/; Мг — момент внешних сил (в данном случае момент сил трения), действующих на маховик относи­тельно оси г.

Момент сил трения можно считать не изменяющимся е и мением времени (Мг= const), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению

ALZ = MzAt. (2)При вращении твердого тела относительно неподвиж­

ной оси изменение проекции момента импульсаALZ = / гДш, (3)

Где J, — момент инерции маховика относительно оси г; Ап> изменение угловой скорости маховика.

Приравняв правые части равенств (2) и (3), получим M;At = JzЛы, откуда

<4>Момент инерции маховика в виде сплошного диска

определяется по формулеJz^ ' h m R 2.

Изменение угловой скорости Д о)= о2— оц выразим через конечную я2 и начальную п\ частоты вращения, пользуясь соотношением о) = 2ял:

Лео = ю2 — о)1 = 2яп2 — 2 яП1 = 2я(ге2—ni).Подставив в формулу (4) выражения / г и Дсо, полу­

чимM z — nmR2(ri2 — ti\)/At. (5)

Проверим, дает ли расчетная формула единицу мо­мента силы (Н -м). Для этого в правую часть формулы «место символов величин подставим их единицы:

Ы [/?г]МU1

1 кг-1 м2- 1 с 1 с 1 кг-м-с 2-1 м = 1 Н-м.

Подставим в (5) числовые значения величин и произ­ведем вычисления, учитывая, что П1 = 480 мин~‘ = « 480/60 с-1 = 8 с - ':

Мг 3,14-50-(0,2)2-(0—8) 50

Н • м = —1 Н-м.

25

Знак минус показывает, что момент сил трения ока­зывает на маховик тормозящее действие.

Пример 9. Платформа в виде сплошного диска радиу­сом /?=1,5 м и массой /П1=180кг вращается около вертикальной оси с частотой л=10м ин . В центре плат­формы стоит человек массой т 2= 60 кг. Какую линейную скорость v относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы?

Р е ш е н и е . Согласно условию задачи, момент внеш­них сил относительно оси вращения г, совпадающей с геометрической осью платформы, можно считать рав­ным нулю. При этом условии проекция Lz момента им­пульса системы платформа — человек остается по­стоянной:

L2 = / г(о = const, (1)

где / г — момент инерции платформы с человеком отно­сительно оси z; со — угловая скорость платформы.

Момент инерции системы равен сумме моментов инер­ции тел, входящих в состав системы, поэтому в началь­ном состоянии / z = / i + / 2, а в конечном состоянии ] ’г — = /{+ /$ .

С учетом этого равенство (1) примет вид(/.+/2)а> = ( /1 + /5)©', (2)

где значения моментов инерции /i и J2 платформы и человека соответственно относятся к начальному состоя­нию системы; /( и / 2 — к конечному.

Момент инерции платформы относительно оси z при переходе человека не изменяется: ] { = ][ = '/ 2m\R2. Мо­мент инерции человека относительно той же оси будет изменяться. Если рассматривать человека как материаль­ную точку, то его момент инерции / 2 в начальном состоя­нии (в центре платформы) можно считать равным нулю. В конечном состоянии (на краю платформы) момент инерции человека J'2— m2R2.

Подставим в формулу (2) выражения моментов инер­ции, начальной угловой скорости вращения платформы с человеком (<о = 2лп) и конечной угловой скорости (ы '— v / R , где v — скорость человека относительно пола):

С/ 2 m\R2 + 0)2лп — (1 / 2m\R2 m2R2)v/R.После сокращения на R2 и простых преобразований

находим скорость:v = 2nnRm\/(nu + 2m2).

26

2-3,14 — .1,5-180

У = ----- 18б + 2"бб------- М/ С = 1 М/ С-

Пример 10. Ракета установлена на поверхности Земли ддя запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости щ, сообщенной ракете при запус­ке, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (i? = 6,37* 106 м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Р е ш е н и е . Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При не­работающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно,

Г, + П, = Г2 + П 2, (1)где Т\, П 1 и Т2 , П2— кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, рав­ном радиусу Земли) состояниях.

Согласно определению кинетической энергии,Т\ — ' famv2.

Потенциальная энергия ракеты в начальном со­стоянии*

II, = — GmM/R.

По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее потенциальная энергия возрастает, а кинетическая — убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Т2

станет равной нулю, а потенциальная — достигнет макси­мального значения:

П2= — GmM/{2R).Подставляя выражения Т\, П|, T2 и П2 в (1), получаем

mv \ / 2 — G m M /R = —GmM/(2R),откуда

ш = л/гЩ 7 # -

Произведем вычисления:

* Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел. бесконечно удаленных друг от дуга, принимается равной нулю.

27

2 -3,14 1,5-180

V~ 180 + 2-60 м/ с = 1 м/ с-

Пример 10. Ракета установлена на поверхности Земли /у|я запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости v\, сообщенной ракете при запус­ке, она удалится от поверхности на расстояние, равное радиусу Земли (/? = 6,37-106 м)? Всеми силами, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь.

Р е ш е н и е . Со стороны Земли на ракету действует сила тяжести, являющаяся потенциальной силой. При не­работающем двигателе под действием потенциальной силы механическая энергия ракеты изменяться не будет. Следовательно,

Т\ + П| = Г2 + П2, (1)где Т\, П| и Гг, П2 — кинетическая и потенциальная энергии ракеты после выключения двигателя в начальном (у поверхности Земли) и конечном (на расстоянии, рав­ном радиусу Земли) состояниях.

Согласно определению кинетической энергии,Т1 = 1 limv\.

Потенциальная энергия ракеты в начальном со­стоянии*

П, = — GmM/R.По мере удаления ракеты от поверхности Земли ее

потенциальная энергия возрастает, а кинетическая — убывает. В конечном состоянии кинетическая энергия Тг станет равной нулю, а потенциальная — достигнет макси­мального значения:

П2= — GmM/(2R).Подставляя выражения Т\, П|, Г2 и П2 в (1), получаем

mv \ / 2 - GmM/R = -GmM/{2R) ,откуда

и, = У GM/R .

Произведем вычисления:

* Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, бесконечно удаленных друг от дуга, принимается равной нулю.

27

Заметив, что GM/R2 — g (g — ускорение свободного па­дения у поверхности Земли), перепишем эту формулу в виде

v\ = I~gR,что совпадает с выражением для первой космической скорости.

Произведем вычисления:v\ = -\/9,8-6,37• 106 м /с = 7,9 км/с.

Пример 11. Точка совершает гармонические колеба­ния с частотой v = 10 Гц. В момент, принятый за началь­ный, точка имела максимальное смещение: х тах= 1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить их график.

Р е ш е н и е . Уравнение колебаний точки можно за­писать в виде

х = А sin(co/ q>i), (1)где А — амплитуда колебаний; со — циклическая частота; t — время; «pi — начальная фаза.

По определению, амплитуда колебанийА X max. (2)

Циклическая частота со связана с частотой v соот­ношением

co = 2rcv. (3)Для момента времени / = 0 формула (1) примет вид

Xmax === A sin ф1, откуда начальная фаза

ф! = arcsin(xmax//4) = arcsin 1,или

ф1 = (2k + 1)я /2 (k = 0, 1, 2, ...).Изменение фазы на 2я не изменяет состояния коле­

блющейся точки, поэтому можно принятьф1 = я /2 . (4)

С учетом равенств (2) — (4) уравнение колебанш примет вид

х = А з т (2 я ^ + ф), или лс= Л со82я^ ,

где Л = 1 мм = 10~3 м, v = 10 Гц, ф = я /2 .

28

График соответствующего гармонического колебания приведен на рис. 5.

Пример 12. Частица массой т = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2 с. Полная энергия колеблющейся частицы £ = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы I'm ах, действующей на частицу.

Р е ш е н и е . Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы:

£ = 1/2тш2А2,где со = 2 л /Т. Отсюда амплитуда

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением l — —kx, где k — коэффициент квазиупругой силы; х — смещение колеблющейся точки. Максимальной сила бу­дет при максимальном смещении х тах, равном амплитуде:

£ т а х = М . ( 2)

Коэффициент k выразим через период колебаний: k — ты2 = т-Ал2/ Т 2. (3)

Подставив выражения (1) и (3) в (2) и произведя . упрощения, получим

F max == 2 л - \ / 2 т £ /Т.Произведем вычисления:

А = 2-з 14~ V - —м = 0,045 м = 45 мм;

29

max ^ |^ - V 2 • 10~'2■ 10~4 H = 4,44 • 10~3 H = 4,44 mH.

Пример 13. Складываются два колебания одинако­вого направления, выраженные уравнениями

*i = v4icos-y-(*-fti); x2 = A2cos-j-( t + т 2),

где Л 1 = 3см, Л2 = 2см, t i = 1 / 6 c, т 2= 1 / З с, Т = 2 с. Построить векторную диаграмму сложения этих колеба­ний и написать уравнение результирующего колебания.

Р е ш е н и е . Для построения векторной диаграммы сложения двух колебаний одного направления надо фиксировать какой-либо момент времени. Обычно век­торную диаграмму строят для момента времени / = 0. Преобразовав оба уравнения к канонической форме х = A cos(co^-(-(p), получим

Х1=Л1СОб( — Н ——хЛ ; х2 = Л2со5( — Н — '

Отсюда видно, что оба складываемых гармонических колебания имеют одинаковую циклическую частоту

ы = 2л/Т.Начальные фазы первого и второго колебаний соот­

ветственно равны2л 2лф1 = —уг-Х|; <р2 = ——х2.

Произведем вычисления:

со = — = — с —3,14 с

<Pi = -y--g- р ад = 30°; ф2 = -у -- |- рад = 60°.

Изобразим векторы Ai и А2. Для этого отложим от­резки длиной A i = 3 cm и Л 2= 2 см под углами q>i = 30° и ф2= 6 0 ° к оси Ох. Результирующее колебание будет происходить с той же частотой со и амплитудой А, равной геометрической сумме амплитуд А| и А2: A = Ai + A 2. Согласно теореме косинусов,

30

Л — -\jА 1 -)- Л2 -J- 2Л |Л2 соэ(ф2—ф[) .

Начальную фазу результи­рующего колебания можно также определить непосред­ственно из векторной диа­граммы (рис. 6):

А

, Л] sincni -f- / l2sintp2ю= arctg-^----- , .-----—~ А I т с . m 1 A - A n P O Q m ../4icosq)i + Лгсоэфг '

A, cos f t + А2 cos <pz x

Произведем вычисления: Рис. 6

А = у З " + 2 2+ 2 , 3 . 2cos(60°—30°) см = 4,84 см;

или <р= 0,735 рад.Так как результирующее колебание является гармо­

ническим, имеет ту же частоту, что и слагаемые колеба­ния, то его можно записать в виде

где 71 = 4,84 см, « = 3,14 с-1 , <р=0,735 рад.Пример 14. Плоская волна распространяется вдоль

прямой со скоростью и = 20м/с. Две точки, находя­щиеся на этой прямой на расстояниях jci = 12м и х2 = ■= 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз А<р= 0,75л. Найти длину волны X, написать уравнение полны и найти смещение указанных точек в момент /= 1 ,2 с , если амплитуда колебаний Л = 0,1 м.

Р е ш е н и е . Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны X, колеблются с разно­стью фаз, равной 2я; точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии Ах, колеблются с разностью фаз, равной

Подставив числовые значения величин, входящих в выражение (1), и выполнив арифметические действия, Получим

х — A cos(«/ -Т- ф),

Аср= Ах -2л/Х = (х2 — х\)-2л/Х. Решая это равенство относительно X, получаем

Х = 2 л ( х 2 — J C i ) / A q j . (1)

31

Для того чтобы написать уравнение плоской волны, надо еще найти циклическую частоту со. Так как со = = 2л / Т (T = X / v — период колебаний), то

Зная амплитуду А колебаний, циклическую частоту со и скорость v распространения волны, можно написать уравнение плоской волны для данного случая:

где Л = 0,1 м, со = 5 я с -1 , v — 20 м/с.Чтобы найти смещение у указанных точек, доста­

точно в уравнение (2) подставить значения t и х :г/1 = 0,1 соэ5л( 1,2 — 12/20) м = 0,1 cos3n м = —0,1 м;

у2 = 0,1 cos 5я( 1,2— 15/20) м = 0,1 cos 2,25л м ==*= 0,1 cos0,25л м = 0,071 м = 7,1 см.

Задачи для самостоятельного решения

1. Точка движется по окружности радиусом R — 4 м. Закон ее движения выражается уравнением s = А -+- Bt2, где Л = 8 м, В = —2 м/с2. Определить момент времени /, когда нормальное ускорение ап точки равно 9 м/с2.; Найти скорость v, тангенциальное аг и полное а ускоре­ния точки в тот же момент времени t. [1,5 с; —6 м/с;! —4 м/с2; 9,84 м /с2]

2. Две материальные точки движутся согласно урав-‘ нениям^ х\ = A\t-\- Bit2 + Cit3 и х2 = A2t + B2t2 -f- C2t3, где, /4, = 4м /с , В i = 8 м/с2, С1 = — 16 м/с3, А2 = 2 м/с, В2 = \ = —4 м/с2, С2= 1 м/с3. В какой момент времени t уско­рения этих точек будут одинаковы? Найти скоростии v2 точек в этот момент. [0,235 с; 5,1 м/с; 0,286 м/с]

3. Шар массой mi = 1 0 кг сталкивается с шаром мае-] сой ш2= 4 кг. Скорость первого шара щ = 4 м/с, второ­г о — 1 > 2 = 1 2 м/ с. Найти общую скорость и шаров после- удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой, шар, движущийся в том же направлении; 2) шары дви-j жутся навстречу друг другу. Удар считать прямым,! центральным,^неупругим. [6,28 м/с; —0,572 м/с]

4. В лодке массой М = 240 кг стоит человек массой■

to = 2яо/А,.

Произведем вычисления:

(О

y = /4cos®(^—x/v). (2)

32

т = 60кг. Лодка плывет со скоростью v — 2 м/с. Человек прыгает с лодки в горизонтальном направлении со ско­ростью и = 4 м /с (относительно лодки). Найти скорость лодки после прыжка человека: 1) вперед по движению лодки; 2) в сторону, противоположную движению лодки. | 1 м/с; 3 м/с]«, 5. Человек, стоящий в лодке, сделал шесть шагов

вдоль нее и остановился. На сколько шагов передви­нулась лодка, если масса лодки в два раза больше (мень­ше) массы человека? [2 шага; 4 шага]

6. Из пружинного пистолета выстрелили пулькой, масса которой т = 5г. Жесткость пружины k — = 1,25кН/м. Пружина была сжата на А/= 8 см. Опре­делить скорость пульки при вылете ее из пистолета. | 40 м/с]

7. Шар массой mi = 200 г, движущийся со скоростью у, = 10 м/с, сталкивается с неподвижным шаром массой т 2 = 800 г. Удар прямой, центральный, абсолютно упру­гий. Определить скорости шаров после столкновения. [—6 м/с; 4 м/с]

8. Шар, двигавшийся горизонтально, столкнулся с неподвижным шаром и передал ему 64% своей кинети­ческой энергии. Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Во сколько раз масса второго шара боль­ше массы первого? [В 4 раза]

9. Цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться вокруг оси, совпадающей с осью цилиндра. Масса цилиндра гп\ — 12 кг. На цилиндр намотали шнур, к которому привязали гирю массой m2 = 1 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря? Какова сила натяже­ния шнура во время движения гири? [1,4 м /с2; 8,4 Н]

10. Через блок, выполненный в виде колеса, переки­нута нить, к концам которой привязаны грузы массами mi = 100 г и т 2 = 300 г. Массу колеса А4=200 г считать равномерно распределенной по ободу, массой спиц пре­небречь. Определить ускорение, с которым будут дви­гаться грузы, и силы натяжения нити по обе стороны блока. [3,27 м/с2; 1,31 Н; 1,96 Н]

11. Двум одинаковым маховикам, находящимся й покое, сообщили одинаковую угловую скорость ш = = 63 рад/с и предоставили их самим себе. Под действием сил трения маховик остановился через одну минуту, а второй сделал до полной остановки N = 360 оборотов. У какого маховика тормозящий момент был больше и во сколько раз? [У первого больше в 1,2 раза]

2— 105 33

12. Шар скатывается с наклонной плоскости высотой h = 90 см. Какую линейную скорость будет иметь центр шара в тот момент, когда шар скатится с наклонной плоскости? [3,55 м/с]

13. На верхней поверхности горизонтального диска, который может вращаться вокруг вертикальной оси, про­ложены по окружности радиусом л=50 см рельсы игру­шечной железной дороги. Масса диска М = 10кг, его радиус R = 60 см. На рельсы неподвижного диска был поставлен заводной паровозик массой т = 1 кг и выпущен из рук. Он начал двигаться относительно рельсов со ско­ростью и = 0,8 м/с. С какой угловой скоростью будет вра­щаться диск? [0,195 рад/с]

14. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с частотой «1=14 мин-1. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота возросла до «2=25 мин-1. Масса человека «г = 70 кг. Определить массу платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для мате­риальной точки. [210 кг]

15. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте Я = 3200 км над поверх­ностью Земли. Определить линейную скорость спутника. [6,45 км/с]

16. Точка совершает гармонические колебания. В не- \ который момент времени смещение точки х = 5 с м , ско-j рость ее о = 20см /с и ускорение а = —80 см/с2. Найти циклическую частоту и период колебаний, фазу колеба- j ний в рассматриваемый* момент времени и амплитуду колебаний. [4 с-1 ; 1,57 с; я /4 ; 7,07 см]

17. Точка совершает гармонические колебания, урав­нение которых имеет вид х — A sin со/, где Л = 5 см, ш = ] = 2 с-1. Найти момент времени (ближайший к началу отсчета), в который потенциальная энергия точки П = = 10-4 Дж, а возвращающая сила F — + 5 - 10-3 Н. Опре­делить также фазу колебаний в этот момент времени. [2,04 с; 4,07 рад]

18. Два гармонических колебания, направленных по одной прямой, имеющих одинаковые амплитуды и пе­риоды, складываются в одно колебание той же ампли­туды. Найти разность фаз складываемых колебаний. [120° или 240°]

19. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями х = А\ coswi/

34

и у — /l2cosco2(i + т), где А\ = 4см, М1 = п Г ' , Л2 = 8см, ш2= л с ~ ', т = 1 с. Найти уравнение траектории и на­чертить ее с соблюдением масштаба. [2х + г/ = 0]

20. Поперечная волна распространяется вдоль упру­гого шнура со скоростью у = 1 5 м /с . Период колебаний точек шнура Т— 1,2 с. Определить разность фаз Дф коле­баний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях * i = 2 0 m и х2= 3 0 м. [200°]

Контрольная работа 1Таблица вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики четыре и шесть контрольных работ

Ва­риант

Номера задач

0 1 10 120 130 140 150 160 170 1801 101 111 121 131 141 151 161 1712 102 112 122 132 142 152 162 1723 103 113 123 133 143 153 163 1734 104 114 124 134 144 154 164 1745 105 115 125 135 145 155 165 1756 106 116 126 136 146 156 166 1767 107 117 127 137 147 157 167 1778 108 118 128 138 148 158 168 1789 109 119 129 139 149 159 169 179

-*• 101. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью у0 = 4м /с . Когда оно достигло верхней точки полета из того же начального пункта, с той же начальной скоростью Vo вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.

102. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением а = 5 м /с г. Определить, на сколько путь, пройденный точкой в п-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. Принять vo = 0.

103. Две автомашины движутся по дорогам, угол между которыми а = 6 0 ° . Скорость автомашин и/=- = 54 км/ч и 02=72 км/ч. С какой скоростью v удаля­ются машины одна от другой?

104. Материальная точка движется прямолинейно с начальной скоростью о0= Ю м /с и постоянным ускоре­нием а = - 5 м /с2. Определить, во сколько раз путь As, пройденный материальной точкой, будет превышать мо­

2* 35

дуль ее перемещения Аг спустя t = 4 с после начала от­счета времени.

105. Велосипедист ехал из одного пункта в другой. Пер­вую треть пути он проехал со скоростью щ = 18 км/ч. Д а­лее половину оставшегося времени он ехал со скоростью 0 2 = 2 2 км/ч, после чего до конечного пункта он шел пеш­ком со скоростью о3 = 5 км/ч. Определить среднюю ско­рость (о ) велосипедиста.

106. Тело брошено под углом ос=30° к горизонту со скоростью о0 = ЗОм/с. Каковы будут нормальное ап и тангенциальное ах ускорения тела через время i = l c после начала движения?

107. Материальная точка движется по окружности с постоянной угловой скоростью о = я /6 рад/с. Во сколь­ко раз путь As, пройденный точкой за время / = 4 с, будет больше модуля ее перемещения Дг? Принять7*что в мо­мент начала отсчета времени радиус-вектор г, задающий положение точки на окружности, относительно исходного положения был повернут на угол <р0 = л;/3рад.

108. Материальная точка движется в плоскости ху согласно уравнениям х = A\-\-Bxt-\-C\t2 и */ = Л2+ В 2 -|- + С2/2, где В| = 7 м/с, C i= — 2 м/с2, В2= — 1 м/с, С2= = 0 ,2 м /с2. Найти модули скорости и ускорения точки в момент времени t = 5 с.

109. По краю равномерно вращающейся с угловой скоростью ш =1 рад/с платформы идет человек и обхо­дит платформу за время / = 9,9с. Каково наибольшее ускорение а движения человека относительно Земли? Принять радиус платформы R = 2 м.

110. Точка движется по окружности радиусом /? = = 30 см с постоянным угловым ускорением е. Определить тангенциальное ускорение ах точки, если известно, что за время / = 4 с она совершила три оборота и в конце третьего оборота ее нормальное ускорение а„= 2,7 м /с2.

111. При горизонтальном полете со скоростью и — = 250 м/с снаряд массой т = 8 к г разорвался на две! части. Большая часть массой mi = 6 кг получила ско­рость «1 = 400 м/с в направлении полета снаряда. Опре­делить модуль и направление скорости «2 меньшей части снаряда.

112. С тележки, свободно движущейся по горизон­тальному пути со скоростью oi = 3 м/с, в сторону, про­тивоположную движению тележки, прыгает человек, пос­ле чего скорость тележки изменилась и стала равной «1 = 4 м/с. Определить горизонтальную составляющую

36

скорости и2х человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки /П1 = 210кг, масса человека т 2= 7 0 кг.

113. Орудие, жестко закрепленное на железнодорож­ной платформе, производит выстрел вдоль полотна же­лезной дороги под углом а = 30° к линии горизонта. Определить скорость «2 отката платформы, если снаряд вылетает со скоростью «1=480 м/с. Масса платформы с орудием и снарядами т 2= 1 8 т , масса снаряда т\ — = 60 кг.

114. Человек массой т i= 7 0 кг, бегущий со скоростью £>1 = 9 км/ч, догоняет тележку массой т 2= 190кг, движу­щуюся со скоростью £>2=3,6 км/ч, и вскакивает на нее.С какой скоростью станет двигаться тележка с челове­ком? С какой скоростью будет двигаться тележка с чело­веком, если человек до прыжка бежал навстречу те­лежке?

115. Конькобежец, стоя на коньках на льду, бросает камень массой т.\ = 2,5 кг под углом а — 30° к горизонту со скоростью £>=10 м/с. Какова будет начальная ско­рость £>о движения конькобежца, если масса его т 2 = 60 кг? Перемещением конькобежца во время бро­ска пренебречь.

116. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски сто­ит человек. Масса его mi = 60 кг, масса доски т 2 — 20 кг.С какой скоростью (относительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль нее со скоростью (относительно доски) v = 1 м/с? Массой колес и тре­нием пренебречь.

117. Снаряд, летевший со скоростью v = 400 м/с, в верхней точке траектории разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположном направлении со скоростью «1 = 150 м/с. Определить скорость «2 боль­шего осколка.

118. Две одинаковые лодки массами т = 200 кг каж­дая (вместе с человеком и грузами, находящимися в лодках) движутся параллельными курсами навстречу- .. друг другу с одинаковыми скоростями и = 1 м/с. Когда лодки поравнялись, то с первой лодки на вторую и со второй на первую одновременно перебрасывают грузы массами mi = 200 кг. Определить скорости щ и м2 лодок после перебрасывания грузов.

119. На сколько переместится относительно берега лодка длиной / = 3,5 м и масоо.. т\ = 200 кг, если стоя-

37

щий на корме человек массой т2 — 80 кг переместится на нос лодки? Считать лодку расположенной перпендику­лярно берегу.

120. Лодка длиной I = 3 м и массой т — 120 кг стоит на спокойной воде. На носу и корме находятся два рыбака массами т\ = 60 кг и т2 = 90 кг. На сколько сдвинется лодка относительно воды, если рыбаки поме­няются местами?

121. В деревянный шар массой т i = 8 кг, подвешен­ный на нити длиной / = 1,8 м, попадает горизонтально летящая пуля массой т2 = 4 г. С какой скоростью ле­тела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на угол а = 3 ° ? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, централь­ным.

122. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой т\ = 300 кг, ударяет молот массой т2 = 8 кг. Определить КПД ц удара, если удар неупру­гий. Полезной считать энергию, затраченную на дефор­мацию куска железа.

123. Шар массой пи — 1 кг движется со скоростью oi = 4 м/с и сталкивается с шаром массой т2 — 2 кг, движущимся навстречу ему со скоростью и2 = 3 м/с. Ка­ковы скорости «1 и и2 шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

124. Шар массой т t = 3 кг движется со скоростью oi = 2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой т2 — 5 кг. Какая работа будет совершена при деформа­ции шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.

125. Определить КПД г) неупругого удара бойка мас­сой т 1 = 0,5 т, падающего на сваю массой т2 = 120 кг. Полезной считать энергию, затраченную на вбивание сваи.

126. Шар массой т\ — 4 кг движется со скоростью oi = 5 м/с и сталкивается с шаром массой т2 — 6 кг, который движется ему навстречу со скоростью о2 = = 2 м/с. Определить скорости щ и и2 шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, цент­ральным.

127. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой mi = 10 г со скоростью о = 300 м/с. Затвор пистолета массой т2 = 200 г прижимается к стволу пру­жиной, жесткость которой k = 25 кН/м. На какое рас-38

стояние отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

128. Шар массой т\ — Ъ кг движется со скоростью Hi = 1 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой mi — 2 кг. Определить скорости и\ и ui шаров после удара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, цент­ральным.

129. Из орудия, не имеющего противооткатного уст­ройства, производилась стрельба в горизонтальном на­правлении. Когда орудие- было неподвижно закреплено, снаряд вылетел со скоростью v\ = 600 м/с, а когда ору­дию дали возможность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью ц2 = 580 м/с. С какой ско­ростью откатилось при этом орудие?

130. Шар массой т\ = 2 кг сталкивается с покоя­щимся шаром большей массы и при этом теряет 40% ки­нетической энергии. Определить массу т 2 большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, цент­ральным.

131. Определить работу растяжения двух соединен­ных последовательно пружин жесткостями к\ — 400 Н/м и ki = 250 Н/м, если первая пружина при этом растя­нулась на А/ = 2 см.

132. Из шахты глубиной h = 600 м поднимают клеть массой mi = 3,0 т на канате, каждый метр которого име­ет массу т = 1 , 5 кг. Какая работа А совершается при поднятии клети на поверхность Земли? Каков коэффи­циент полезного действия т] подъемного устройства?

133. Пружина жесткостью k = 500 Н/м сжата силой I = 100 Н. Определить работу А внешней силы, допол­нительно сжимающей пружину еще на А /== 2 см.“ 134. Две пружины жесткостью k\ = 0,5 кН/м и /.•2= 1 к Н /м скреплены параллельно. Определить потен­циальную энергию П данной системы при абсолютной деформации А/ = 4 см.

135. Какую нужно совершить работу А, чтобы пру­жину жесткостью fe = 800 Н/м, сжатую на х = 6 см, до­полнительно сжать на Ах — 8 см?

136. Если на верхний конец вертикально расположен­ной спиральной пружины положить груз, то пружина сожмется на А/ = 3 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h — 8 см?

137. Из пружинного пистолета с пружиной жестко­стью k = 150 Н/м был произведен выстрел пулей массой ill = 8 г. Определить скорость v пули при вылете ее из

пистолета, если пружина была сжата на Ах — 4 см.138. Налетев на пружинный буфер, вагон массой

т = 16 т, двигавшийся со скоростью v = 0,6 м/с, оста­новился, сжав пружину на А/ = 8 см. Найти общую жест­кость k пружин буфера.

139. Цепь длиной / = 2 м лежит на столе, одним кон­цом свисая со стола. Если длина свешивающейся части превышает 1 / 3 /, то цепь соскальзывает со стола. Опре­делить скорость v цепи в момент ее отрыва от стола.

140. Какая работа А должна быть совершена при поднятии с земли материалов для постройки цилиндри­ческой дымоходной трубы высотой Л = 40 м, наружным диаметром D = 3,0 м и внутренним диаметром d = 2,0 м? Плотность материала р принять равной 2 ,8 -103 кг/м3.

141. Шарик массой т — 60 г, привязанный к концу нити длиной /j = 1,2 м, вращается с частотой П| = 2с- , опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачива­ется, приближая шарик к оси до расстояния /г = 0,6 м. С какой частотой лг будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

142. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D = 75 см и массой т — 40 кг приложена сила F = 1 кН. Определить угловое ускорение е и час­тоту вращения п маховика через время t = 10 с после начала действия силы, если радиус г шкива равен 12 см. Силой трения пренебречь.

( 143. На обод маховика диаметром D = 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой т = 2 кг. Определить момент инерции J маховика, если он, вра­щаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t = 3 с приобрел угловую скорость о) = 9 рад/с.

г 144. Нить с привязанными к ее концам грузами мас­сами mi = 50 г и т г = 60 г перекинута через блок диа­метром D = 4 см. Определить момент инерции J блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угло­вое ускорение е = 1,5 рад/с2. Трением и проскальзыва­нием нити по блоку пренебречь.

145. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину, согласно уравнению ср = At -f- Bt3, где А = 2 рад/с, В = 0,2 рад/с3. Определить вращающий момент М, действующий на стержень через время t = 2 с после начала вращения, если момент инерции стержня J = 0,048 кг* м2.

40

146. По горизонтальной плоскости катится диск со скоростью о = 8 м/с. Определить коэффициент сопро­тивления, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь s = 18 м.

147. Определить момент силы М, который необхо­димо приложить к блоку, вращающемуся с частотой и = 12 с-1 , чтобы он остановился в течение времени Л/ = 8 с. Диаметр блока D — 30 см. Массу блока т =

6 кг считать равномерно распределенной по ободу.148. Блок, имеющий форму диска массой т = 0,4 кг,

вращается под действием силы натяжения нити, к кон­цам которой подвешены грузы массами т\ — 0,3 кг и nil = 0,7 кг. Определить силы натяжения Г| и ^ нити по обе стороны блока.

149. К краю стола прикреплен блок. Через блок пе­рекинута невесомая и нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы. Один груз движется по по­верхности стола, а другой — вдоль вертикали вниз. Определить коэффициент f трения между поверхностями груза и стола, если массы каждого груза и масса блока одинаковы и грузы движутся с ускорением а = 5,6 м/с2. Проскальзыванием нити по блоку и силой трения, дей­ствующей на блок, пренебречь.

150. К концам легкой и нерастяжимой нити, пере­кинутой через блок, подвешены грузы массами т\ =-■ 0,2 кг и т2= 0,3 кг. Во сколько раз отличаются силы,

действующие на нить по обе стороны от блока, если масса блока т — 0,4 кг, а его ось движется вертикально вверх с ускорением а = 2 м /с2? Силами трения и про­скальзывания нити по блоку пренебречь.

151. На скамье Жуковского сидит человек и держит па вытянутых руках гири массой т = 5 кг каждая. Рас­стояние от каждой гири до оси скамьи 1 = 7 0 см. Скамья вращается с частотой п\ = 1с-1 . Как изменится частота вращения скамьи и какую работу А произведет человек, если он сожмет руки так, что расстояние от каждой гири an оси уменьшится до 12 = 20 см? Момент инерции чело­века и скамьи (вместе) относительно оси / = 2,5 кг* -м2,:

152. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень вертикально по оси скамьи. Скамья I человеком вращается с угловой скоростью соi = 4 рад/с. С какой угловой скоростью ы2 будет вращаться скамья с человеком, если повернуть стержень так, чтобы он за­нял горизонтальное положение? Суммарный момент инер­ции человека и скамьи 7 = 5 кг*м2. Длина стержня

41

/= 1 ,8 м, масса m = 6 кг. Считать, что центр масс стерж­ня с человеком находится на оси платформы.-г.« 153. Платформа в виде диска диаметром D = 3 м и массой /Л1 = 1 8 0 кг может вращаться вокруг вертикаль­ной оси. С какой угловой скоростью wi будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой т 2= 7 0 к г с о скоростью и = 1 , 8 м/с относительно плат­формы?

154. Платформа, имеющая форму диска, может вра­щаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол ф повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную (на платформе) точку? Масса плат­формы гп\ = 280 кг, масса человека т 2 = 80 кг.

155. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руке за ось велосипедное колесо, вращающееся вокруг своей оси с угловой скоростью ©i=25 рад/с. Ось колеса расположена вертикально и совпадает с осью скамьи Жуковского. С какой скоростью <d2 станет вращаться скамья, если повернуть колесо вокруг горизонтельной оси на угол а=90°? Момент инерции человека и скамьи J равен 2,5 кг • м2, момент инерции ролеса J0 = 0,5 кг • м2.

156. Однородный стержень длиной /= 1,0 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходя­щей через один из его концов. В другой конец абсолютно неупруго ударяет пуля массой т= 7 г, летящая перпенди­кулярно стержню и его оси. Определить массу М стерж­ня, если в результате попадания пули он отклонится на угол а=60°. Принять скорость пули и=360 м/с.

157. На краю платформы в виде диска, вращающей­ся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой «1 = 8 мин-1 , стоит человек массой mi = 70 кг. Когда че­ловек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой л2= Ю мин-1. Определить массу т 2 платфор­мы. Момент инерции человека рассчитывать как для ма­териальной точки.

158. На краю неподвижной скамьи Жуковского диа­метром D— 0,8 м и массой т i= 6 кг стоит человек массой т 2= 60 кг. С какой угловой скоростью to начнет вра­щаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой т = 0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии г=0,4 м от оси скамьи. Ско­рость мяча и = 5 м/с.

159. Горизонтальная платформа массой m i=150 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через

42

центр платформы, с частотой п— 8 мин-1. Человек мас­сой /Л2 = 7 0 кг стоит при этом на краю платформы. С какой угловой скоростью со начнет вращаться плат­форма, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу круглым, однородным дис­ком, а человека — материальной точкой.

160. Однородный стержень длиной /==1,0 м и массой М= 0,7 кг подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. В точку, отстоящую от оси на 2/ 3 /, абсолютно упруго ударяет пуля маесой /т = 5 кг/> летящая перпендикулярно стержню и его оси. После уда- ра стержень отклонился на угол а=60°. Определить ско­рость пули.<•-161. Определить напряженность G гравитационного

поля на высоте ft=1000 км над поверхностью Земли. Считать известными ускорение g свободного падения у поверхности Земли и ее радиус R.

162. Какая работа А будет совершена силами грави­тационного поля при падении на Землю тела массой т = 2 кг: 1) с высоты h = 1000 км; 2) из бесконечности?

163. Из бесконечности на поверхность Земли падает метеорит массой т = 30 кг. Определить работу А, которая при этом будет совершена силами гравитационного поля Земли. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

164. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью и = 5 км/с. На какую высоту она поднимется?

165. По круговой орбите вокруг Земли обращается спутник с периодом Г=90 мин. Определить высоту спут­ника. Ускорение свободного падения g у поверхности Земли и ее радиус R считать известными.

166. На каком расстоянии от центра Земли находитсяточка, в которой напряженность суммарного гравита­ционного поля Земли и Луны равна нулю? Принять, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны и что рас­стояние от центра Земли до центра Луны равно 60 ра­диусам Земли. • •.

167. Спутник обращается вокруг Земли по круговой орбите на высоте h =520 км. Определить период обра­щения спутника. Ускорение свободного падения g у по­верхности Земли и ее радиус R считать известными.

» 168. Определить линейную и угловую скорости спут­ника Земли, обращающегося по круговой орбите на вы­соте Л= 1000 км. Ускорение свободного падения g у по­

43

верхности Земли и ее радиус R считать известными.169. Какова масса Земли, если известно, что Луна

в течение года совершает 13 обращений вокруг Земли и расстояние от Земли до Луны равно 3,84-108 м?

170. Во сколько раз средняя плотность земного ве­щества отличается от средней плотности лунного? При­нять, что радиус R3 Земли в 390 раз больше радиуса Rn Луны и вес тела на Луне в 6 раз меньше веса тела на Земле.

171. На стержне длиной /= 30 см укреплены два оди­наковых грузика: один — в середине стержня, другой — на одном из его концов. Стержень с грузами колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведенную длину L и пе­риод 7 простых гармонических колебаний данного физи­ческого маятника. Массой стержня пренебречь.

172. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, уравнения которых х = =.4isin<»i^ и у = А 2 c o s a>2t, где Л := 8 см, А2= 4 см, 04 = 0)2=2 с-1. Написать уравнение траектории и постро­ить ее. Показать направление движения точки.

173. Точка совершает простые гармонические колеба­ния, уравнение которых х=А&\пЫ, где Л= 5 см, со= = 2 с -1. В момент времени, когда точка обладала потен­циальной энергией П=0,1 мДж, на нее действовала воз­вращающая сила F = 5 мН. Найти этот момент времени t.

174. Определить частоту v простых гармонических колебаний диска радиусом R = 20 см около горизонталь­ной оси, проходящей через середину радиуса диска пер­пендикулярно его плоскости.

175. Определить период Т простых гармонических ко­лебаний диска радиусом R = 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

176. Определить период Т колебаний математического маятника, если его модуль максимального перемещения Дг=18 см и максимальная скорость итах=: 16 см/с.

177. Материальная точка совершает простые гармони­ческие колебания так, что в начальный момент времени смещение х0=А см, а скорость ио=10 см/с. Определить амплитуду А и начальную фазу <ро колебаний, если их период 7 = 2 с.

е 178. Складываются два колебания одинакового на­правления и одинакового периода: x i= ^isinw i< и х2= = /l2sin£o2(/ + т), где А 1 — А2 = 3 c m , <b i = <d2 = яс- 1, т= 0 ,5 с. Определить амплитуду А и начальную фазу <ро

44

результирующего колебания. Написать его уравнение. Построить векторую диаграмму для момента време­ни t=0.

179. На гладком горизонтальном столе лежит шар массой М— 200 г, прикрепленный к горизонтально рас­положенной легкой пружине с жесткостью £ = 500 Н/м. В шар попадает пуля массой т = 1 0 г, летящая со ско­ростью и=300 м/с, и застревает в нем. Пренебрегая пе­ремещением шара во время удара и сопротивлением воз­духа, определить амплитуду А и период Т колебаний шара.

180. Шарик массой т = 60 г колеблется с периодом Т—2 с. В начальный момент времени смещение шарика х0= 4 ,0 см и он обладает энергией £= 0 ,02 Дж. Записать уравнение простого гармонического колебания шарика и закон изменения возвращающей силы с течением вре­мени.

2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. ТЕРМОДИНАМИКА

Основные формулы

Количество вещества* тела (системы)

v = N / N a,где N — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п.), составляющих тело (систему); Na — по­стоянная Авогадро (Ад=6,02* 1023 м о л ь - 1 ) .

Молярная масса веществаМ = m/v,

где m — масса однородного тела (системы); v — коли­чество вещества этого тела.

Относительная молекулярная масса вещества = 2 riiAr, i,

где tii — число атомов i-ro химического элемента, входя­щих в состав молекулы данного вещества; Ал, ,•— относит тельная атомная масса этого элемента. Относительные

* Количество вещества — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п.), содержащихся в теле или системе. Количество вещества выражается в молях. Моль равен количеству вещества си­стемы, содержащей столько же структурных элементов, сколько со­держится атомов в углероде-12 массой 0,012 кг.

45

атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева. См. также табл. 14 Приложения.

Связь молярной массы М с относительной молекуляр­ной массой вещества

М = Mrk,где k = 10-3 кг/моль.

Количество вещества смеси газов

v = vi + v2+ ... + v„ = N i / N \ + N 2 / NA-f ... + N„/Na,или

m 1 , m2 . , m„V ~ ~ Ж + ~m7 ’

где v,, Nit пи. Mi — соответственно количество вещества, число молекул, масса, молярная масса t-го компонента смеси.

Уравнение Менделеева — Клапейрона (уравнение со­стояния идеального газа)

pV RT = vRT,

где m — масса газа, М — молярная масса газа, R — мо­лярная газовая постоянная, v — количество вещества, Т — термодинамическая температура.

Опытные газовые законы, являющиеся частными слу­чаями уравнения Менделеева — Клапейрона для изопро­цессов:

а) закон Бойля — Мариотта (изотермический процесс: 7’=const, m =const)

pV = const,

или для двух состояний газаp\V\ = P2 V2 ,

б) закон Гей-Люссака (изобарный процесс: р — const, m =const)

- j - = const,

или для двух состоянийУх Уг .Тх Г2 ’

46

в) закон Шарля m =const)

(изохорный процесс: /= co n s t,

- j = const,

или для двух состоянийPi _ Р2 .Л Т2 ’

г) объединенный газовый закон (m =const)pV , piV, p2V2-V -= const, или = -C— ,* 1 1 l 2

где pi V{, T1 — давление, объем и температура газа в начальном состоянии; рг, V2, Т'г — те же величины в ко­нечном состоянии.

Закон Дальтона, определяющий давление смеси газов, Р — Р \ + Р 2+ +Ря,

где pi — парциальные давления компонентов смеси; п — число компонентов смеси.

Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Молярная масса смеси газовДД _ п и + т 2+ ... + т п

V| + V2 + ... + v„ ’

где т\ — масса г-го компонента смеси; V; == — коли-/V I i

чество вещества г-го компонента смеси; п — число ком­понентов смеси.

Массовая доля г'-го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)

где т — масса смеси.Концентрация молекул

п — -J L — NaS>V — М ’

где N — число молекул, содержащихся в данной системе; р — плотность вещества; V — объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агре­гатного состояния вещества.

47

Основное уравнение кинетической теории газов р = 2/з п ( е „ ) ,

где <е„> — средняя кинетическая энергия поступатель­ного движения молекулы.

Средняя кинетическая энергия поступательного дви­жения молекулы

<еп> = 3/ 2kT,где k — постоянная Больцмана.

Средняя полная кинетическая энергия молекулы

< е ,) = ± k T ,

где i —- число степеней свободы молекулы.Зависимость давления газа от концентрации молекул

и температурыр = nkT.

Скорости молекул:

V 3 ит / з RT—— = Y — ----- средняя квадратичная;

V OUT / SRT—— = у —--------средняя арифметическая;

2 RT — наиболее вероятная,

где m 1 — масса одной молекулы.Относительная скорость молекулы

и = v / v B,где v — скорость данной молекулы.

Удельные теплоемкости газа при постоянном объеме (су) и постоянном давлении (ср)

Cv 2 м ’ Сп -- i + 2 R2 М '

Связь между удельной с и молярной С теплоемкос­тями

с = С/М, С = сМ.Уравнение Майера

Ср — Cv — R-

48

Внутренняя энергия идеального газа

Первое начало термодинамики Q = A U + A,

где Q — теплота, сообщенная системе (газу); AU — из­менение внутренней энергии системы; А — работа, совер­шенная системой против внешних сил.

Работа расширения газа:

при адиабатном процессе, где y = cp/ c v — показатель адиабаты.

Уравнения Пуассона, связывающие параметры иде­ального газа при адиабатном процессе:

Л - 1 ' _р АV v j • Г

, р\)

Термический КПД цикла

где Q1 — теплота, полученная рабочим телом от тепло- отдатчика; Q2 — теплота, переданная рабочим телом теплоприемнику.

Термический КПД цикла Карно

где Т1 и Т2 — термодинамические температуры теплоот- датчика и теплоприемника.

pVy = const,

т , - г 2г ,

49

Коэффициент поверхностного натяженияF А Е

« = — - или “ = ^ s -

где F — сила поверхностного натяжения, действующая на контур /, ограничивающий поверхность жидкости; \ Е — изменение свободной энергии поверхностной плен­ки жидкости, связанное/С изменением площади AS по­верхности этой пленки.

Формула Лапласа, выражающая давление р, созда­ваемое сферической поверхностью жидкости:

где R — радиус сферической поверхности.Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

h 2а cos0 Р gR

где 9 — краевой угол (9 = 0 при полном смачивании сте­нок трубки жидкостью; 9 = л при полном несмачивании); R — радиус канала трубки; р — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения.

Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными друг другу плоскостями

, 2acos0А = -П 3 “ •

где d ■— расстояние между плоскостями.

Примеры решения задач

Пример 1. Определить для серной кислоты: 1) относи­тельную молекулярную массу Мг; 2) молярную массу М.

Р е ш е н и е . 1. Относительная молекулярная масса вещества равна сумме относительных атомных масс всех элементов, атомы которых входят в состав молекулы дан­ного вещества, и определяется по формуле

Af, = 2 пИ м, (Огде /г, — число атомов г-го элемента, входящих в моле­кулу; Аг, I — относительная атомная масса t-ro элемента.

Химическая формула серной кислоты имеет ви H2SO4. Так как в состав молекулы серной кислоты входят атомы трех элементов, то стоящая в правой части равен

50

ства (1) сумма будет состоять из трех слагаемых и эта формула примет вид

Mr = t l \Ar, I -)- П2А Г, 2 ПзАг, з. (2)Из формулы серной кислоты далее следует, что п\=2

(два атома водорода), п2= 1 (один атом серы) и п3—4 (четыре атома кислорода).

Значения относительных атомных масс водорода, серы и кислорода найдем в таблице Д. И. Менделеева или в табл. 14 Приложения:

A r, i = l , А г, г = 32, А г, з = 16.Подставив значения ги и А г, г в формулу (2), найдем

относительную молекулярную массу серной кислоты:М, = 2-1 + 1-32 + 4 -16 = 98.

2. Зная относительную молекулярную массу Мг, най­дем молярную массу серной кислоты по формуле

М — Mrk, (3)где k— 10-3 кг/моль.

Подставив в (3) значения величин, получим М = 98-10“ 3 кг/моль.

Пример 2. Определить молярную массу М смеси кис­лорода массой mi = 25 г и азота массой т 2= 75 г.

Р е ш е н и е . Молярная масса смеси М есть отноше­ние массы смеси т к количеству вещества смеси v:

М = т /\ . (1)Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси:

т = mi + m2.Количество вещества смеси равно сумме количеств

вещества компонентов:v = Vi + v2 =■ т |

М,т 2

Ж 'Подставив в формулу (1) выражения т и v, получим-

м = т' + т2Щ\/М\ -)- ГП2/М2 ( 2)

Применив метод, использованный в примере 1, найдем молярные массы кислорода Mi и азота М2:

Mi = 32-10~3 кг/моль; М2==28-10_3 кг/моль.

51

Подставим значения величин в (2) и произведем вы­числения:

2 5 -10_3 + 7 5 -10_3М ~ 25 • 10-3 /(32 • 10” 3) + 7 5 -10_3/(28- К Г 3)

— 28,9-10_3 кг/моль.

кг/моль =

Пример 3. Определить число N молекул, содержащих­ся в объеме V = \ мм3 воды, и массу т\ молекулы воды. Считая условно, что молекулы воды имеют вид шариков, соприкасающихся друг с другом, найти диаметр d мо­лекул.

Р е ш е н и е . Число N молекул, содержащихся в не­которой системе массой т, равно произведению постоян­ной Авогадро N А на количество вещества v:

N = vN a.Так как v=m /A f, где М — молярная масса, то N = ~ тм~ - Выразив в этой формуле массу как произведение плотности на объем V, получим

N = pVNA/M.Произведем вычисления, учитывая, что Л1=18Х

X Ю~3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

N = •6,02*1023 молекул = 3,34-1019 молекул.

Массу гп\ одной молекулы можно найти по формуле mi = M / N A. (1)

Подставив в (1) значения Л4 и Л/д, найдем массу моле­кулы воды:

т ' “ - р / ^ к г= 2’" - 1(Г>' кг-Если молекулы воды плотно прилегают друг к другу,

то можно считать, что на каждую молекулу приходится объем (кубическая ячейка) V i= d3, где d — диаметр мо­лекулы. Отсюда

d = VVT . (2)

Объем V\ найдем, разделив молярный объем Vm на число молекул в моле, т. е. на N А:

V, = Vm/ N A. (3)

52

Подставим выражение (3) в (2): d = V m/Nb,

где Vm= M / р. Тогдаd = \ jM /{PNA). (4)

Проверим, дает ли правая часть выражения (4) единицу длины:

Г \М \ l ^ ( 1 кг/моль | ^ .I [ р] [ а]/ I 1 кг/м3 - 1 моль-1 / м '

Произведем вычисления:3 /-----------IT

d = Л/ — 3 -gT м = 3,11* Ю~10 м = 311 пм.v 103-6,02- 1023

Пример 4. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением р\ — 1 МПа и при температуре T’i = 300 К. После того как из баллона было взято т = 1 0 г гелия, температура в баллоне понизилась до 7 = 290 К. Опре­делить давление р2 гелия, оставшегося в баллоне.

Р е ш е н и е . Для решения задачи воспользуемся уравнением Менделеева—Клапейрона, применив его к конечному состоянию газа:

p2V = ^ R T 2, (1)где т2 — масса гелия в баллоне в конечном состоянии; М — молярная масса гелия; R — молярная газовая по­стоянная.

Из уравнения (1) выразим искомое давление:р2= m2RT2/{MV). (2)

Массу т2 гелия выразим через массу т\, соответству­ющую начальному состоянию, и массу т гелия, взятого из баллона:

т 2— т1— т. (3)Массу mi гелия найдем также из уравнения Менде­

леева— Клапейрона, применив его к начальному со­стоянию:

т\ = MP\V/(RT\). (4)

Подставив выражение массы mi в (3), а затем выра­жение т2 в (2), найдем

( MPlv \ rt2 р2 \ RTi т) ~Ш ’

53

или

(5)

Проверим, дает ли формула (5) единицу давления. Для этого в ее правую часть вместо символов величин подставим их единицы. В правой части формулы два слагаемых. Очевидно, что первое из них дает единицу давления, так как состоит из двух множителей, первый из которых (Т2 / Т 1) — безразмерный, а второй— давле­ние. Проверим второе слагаемое:

[ т\ [#] [ Г] 1 кг 1 Д ж / (моль - К) • 1К 1 кг ■ 1 моль чг л/Л г i / i ~ Г Т Т Т Т Т Т Г ^ 1 _.з I

Паскаль является единицей давления. Произведем вычисления по формуле (5), учитывая, что М = = 4 - 10_3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

Пример 5. Баллон содержит mi = 80 г кислорода и т 2 = 320 г аргона. Давление смеси р — 1 МПа, температу­ра Г = 300 К. Принимая данные газы за идеальные, определить объем V баллона.

Р е ш е н и е . По закону Дальтона, давление смеси равно сумме парциальных давлений газов, входящих в состав смеси. По уравнению Менделеева — Клапейрона, парциальные давления р\ кислорода и р2 аргона выра­жаются формулами

Следовательно, по закону Дальтона, давление смеси газов

[Л4] [ V] 1 кг/моль 1 м' 1 кг

чу 1 ДЖ - 1 Г\ _ 1 /ДЖ _ 1 О • М _ 1111 м3- 1 моль-1 к 1 м3 1 м3 1м2

1 Дж - 1 К 1 Дж 1 Н-м 1 Н

Па = 3,64 • 105 Па =

= 0,364 МПа.

p x = m xRT/{MxV), p2 = m2RT/{M2V).

откуда объем баллона

( О

54

Произведем вычисления, учитывая, что М| = 32Х X Ю~3 кг/моль, М2= 4 0 -10~3 кг/моль (см. табл. 14 При­ложения) :

0 ,08 . 0 ,3 2 \ 8,31 -3 0 0

32 • 1 0 '3 1 4 0 - 10- 3/ 106м3 = 0,0262 м3 = 26,2 л.

Пример 6. Найти среднюю кинетическую энергию <евр) вращательного движения одной молекулы кислоро­да при температуре Т = 350 К, а также кинетическую энергию Е к вращательного движения всех молекул кислорода массой т = 4 г.

Р е ш е н и е . На каждую степень свободы молекулы газа приходится одинаковая средняя энергия (ei) == \ k T , где k — постоянная Больцмана; Т — термодина­мическая температура газа. Так как вращательному движению двухатомной молекулы (молекула кислоро­да — двухатомная) соответствуют две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы кислорода

<евр> = 2 .1-kT. (1)

Кинетическая энергия вращательного движения всех молекул газа

ЕК— <евр> N. (2)Число всех молекул газа

N = N av, (3)где Na — постоянная Авогадро; v — количество веще­ства.

Если учесть, что количество вещества х — т/М, где т — масса газа; М — молярная масса газа, то формула (3) примет вид

Подставив выражение N в формулу (2), получаемЕк= N Ат(евр) /М. (4)

Произведем вычисления, учитывая, что для кислорода М = 32-10-3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):

<8вр> = k T = 1,38- К Г 23-350 Дж = 4,83* К Г 21 Дж;

£ к = 6,02• 1023-- ^ - 1-4,83• 10 -21 Дж — 364 Дж.

55

Пример 7. Вычислить удельные теплоемкости при постоянном объеме су и при постоянном давлении ср неона и водорода, принимая эти газы за идеальные.

Р е ш е н и е . Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

С — J L J L .C v , _ 2 М ’ ( 1 )

1 + 2 R

р 2 М ’ ( 2 )

где i — число степеней свободы молекулы газа; М — мо­лярная масса. Для неона (одноатомный газ) г = 3 и М = 2 0 -10~3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения).

Произведем вычисления:

су = у 208’ - з Д ж /(кг-К ) = 6 ,2 4 -102 Д ж /(к г -К );

сР = ~2o~w-'3 Д ж / • К) = 1,04.103 Д ж /(кг- К).

Для водорода (двухатомный газ) I— 5 и М — — 2 - 10~3 кг/моль. Тогда

Д ж /(кг -К) = 1,04• 104 Д ж /(к г -К );

Ср = Ц ~ - ~ . i Д ж / (кг-К) = 1,46- 104 Д ж /(к г -К ).

Пример 8. Вычислить удельные теплоемкости су и ср смеси неона и водорода, если массовые доли неона и водорода составляют w\ = 80% и ш г= 20%. Значения удельных теплоемкостей газов взять из предыдущего примера.

Р е ш е н и е . Удельную теплоемкость Су смеси при постоянном объеме найдем следующим образом. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на ДТ, выразим двумя способами:

Q = Cy(m\ -f- /Л2)ДТ, (1)Q = (су,\гп\ + Cv,2m2)\T , (2)

где Су, 1 —- удельная теплоемкость неона; су,2 — удельная теплоемкость водорода.

Приравняв правые части (1) и (2) и разделив обе

56

части полученного равенства на mi) = CvAinl -j-Cv,2tn2. Отсюда

А7\ получим С\{т\-\-

C v = Cv.\ ■m i

m i + m2 + Су.2' m 2m, -f- m2

ИЛИC v = С1/.1Ш1 + Cv, 2W2,

m 1 m2ГДе Ш| = ------ ;------ И Ш2 = ------ :------.m 1 + m2 mi + m2

Рассуждая так же, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

C p = C p , iW i + CP,2W2.

Произведем вычисления: cv= (6,24 • 102 • 0,8 + 1,04 • 104 • 0,2) Д ж / (кг• К) =

= 2,58-103 Д ж /(к г -К ) = 2,58 к Д ж /(к г -К ) ;Ср = (1,04 • 103 • 0,8 + 1,46 • 104 • 0,2) Д ж / (кг • К) =

= 3,75-103 Д ж / (кг• К) = 3,75 к Д ж /(к г -К ) .

Пример 9. Кислород массой т = 2кг занимает объем Ki = 1 m3 и находится под давлением р 1 = 0,2МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема Кг = 3м , а затем при постоянном объеме до давления рз = 0,5МПа. Найти изменение AU внутренней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, передан­ную газу. Построить график процесса.

Р е ш е н и е . Изменение внутренней энергии газа

At/ = CvmAT = Y ~ m A T ; (1)

где i — число степеней свободы молекул газа (для двух­атомных молекул кислорода i — 5); А 7 '= Г 3— Т\ — раз­ность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Менделеева — Клапейрона pV = , откуда

Т = PVM/(mR).

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой

л , = пи 1 M RA T '

57

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю:

Л2 = 0.

Следовательно, полная работа, совершаемая газом, A = Ai + .Д2== А 1.

Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии AU и работы А:

Q = AU + A.Произведем вычисления, учтя, что для кислорода

А4 = 32-10_3 кг/моль (см. табл. 14 Приложения):2-105-1 -32- КГ3

Т,

Т 2~

2-8,312-105-3-32-10“

2-8,31

К = 385 К;

К = 1155 К;

Тз — - -5» Зр К = 2887 К;2-8,31

А, 8,31 -2-(1155 — 385)32-10“ Дж = 0,400-106 Дж = 0,4 МДж;

Л = Л i= 0 ,4 МДж;

^5251 Дж = 3,24-106

Q = (3,24+ 0,4) МДж = 3,64 МДж.

Д£/= 5, 8,31-|2887-385) Дж = з 12 4 . 10б д ж = 3,24 МДж;

График процесса приведен на рис. 7.Пример 10. В цилиндре под поршнем находится водо­

род массой т = 0,02 кг при температуре 7| = 300К- Водород сначала расширился адиа- батно, увеличив свой объем в п\ -- = 5 раз, а затем был сжат изотер­мически, причем объем газа умень­шился в /12 = 5 раз. Найти темпера­туру в конце адиабатного расшире­ния и работу, совершаемую газом при этих процессах. Изобразить процесс графически.

Р е ш е н и е . Температуры и объ­емы газа, совершающего адиабат­ный процесс, связаны между собой

58

соотношением

где у — отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме; П\ = V2/V\.

Отсюда получаем следующее выражение для конечной температуры:

Т2 = Т\/п\~'.Работа А\ газа при адиабатном расширении может

быть определена по формуле

А , = Си(Г| - Г2) = - J - 7Д,где Ск— молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Работа А2 газа при изотермическом процессе может быть выражена в виде

А, = - £ RT,1 п -£ , или I n -Iмгде «2— Рг/Рз-

Произведем вычисления, учитывая, что для водорода как двухатомного газа 7 = 1 ,4 , i= 5 и М = 2 - 10~3 кг/моль:

7V 300 К = 300 К.

Так как 5 ’ =1,91 (находится логарифмированием),тр

Т2- 3001,91 К = 157 К;

А , = Tl'o-»8? (300~ 157) Д ж = 29,8 кДж;

^ J S - . 8^ , 5 7 1 n > t a s - 2 1 кДж.

Знак минус показывает, чТо при сжатии работа газа совершается над газом вне­шними силами.

График процесса приве­ден на рис. 8.

Пример 11. Тепловая ма­шина работает по обратимо­му циклу Карно. Температу­ра теплоотдатчика Т{ = = 500 К. Определить тер­

59

мический КПД т] цикла и температуру Т2 теплоприем- ника тепловой машины, если за счет каждого кило­джоуля теплоты, полученной от теплоотдатчика, машина совершает работу А — 350 Дж.

Р е ш е н и е . Термический КПД тепловой машины показывает, какая доля теплоты, полученной от тепло- отдатчика, превращается в механическую работу. Терми­ческий КПД выражается формулой

г] = Л/<2,, -где Q| — теплота, полученная от теплоотдатчика; А — работа, совершенная рабочим телом тепловой машины.

Зная КПД цикла, можно по формуле r) = (7’i — Т2)/Т\ определить температуру охладителя Т2:

Т2— Т\{\ — т|).Произведем вычисления:П = 350/1000 = 0,35; Т2 = 500(1 -0 ,3 5 ) К = 325 К.Пример 12. Найти добавочное давление внутри мыль­

ного пузыря диаметром й = 1 0 см . Какую работу нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь?

Р е ш е н и е . Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности: внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление

где г — радиус пузыря. Так как r = d / 2, тоp = 8a/d.

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на AS, выражается формулой

А — aAS, или i4 = cx(S — S 0).В данном случае 5 — общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; So — общая площадь двух поверхностей плоской пленки, затягивав­шей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебре­гая So, получаем

А = aS — 2nd2a.

60

Произведем вычисления:8 - 4 0 - 1СГ

0,1 Па = 3,2 Па;

Л = 2-3,14-(0,1)2*40- 10-3 Дж = 2,5-10-3 Дж = 2,5 мДж.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить массу т атома азота. [2,33-10~26 кг]2. Плотность газа р при давлении р — 96 кПа и темпе­

ратуре t = 0°С равна 1,35 г/л. Найти молярную массу М газа. [32* 10~3 кг/моль]

3. Определить давления р\ и р2 газа, содержащего Л/= 109 молекул и имеющего объем V — 1 см3, при темпе­ратурах 7"i = 3K и 7’2= 1000 К. [41,4 нПа; 13,8 мкПа]

4. При температуре t = 35°С и давлении р = 708 кПа плотность некоторого газа р = 12,2 кг/м3. Определить относительную молекулярную массу Мг газа. [44,1]

5. Какой объем V занимает смесь азота массой mi = = 1 кг и гелия массой т 2 = 1 кг при нормальных услови­ях? [6,4 м3]

6. В баллоне вместимостью У = 1 5 л находится смесь, содержащая mi = 10 г водорода, т 2 = 54 г водяного пара и т 3 = 60г оксида углерода. Температура смеси t — 27°. Определить давление. [1,69 МПа]

7. Найти полную кинетическую энергию, а также кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы аммиака NH3 при температуре t — 27°C. [1,24 ДО-20 Дж; 6 ,2 -10-21 Дж]

8. Определить удельные теплоемкости cv и ср газо­образного оксида углерода СО. [743 Д ж /(кг-К ); 1,04 кДж/(кг>К)]

9. Смесь газа состоит из кислорода 0 2 с массовой долей Ш1 = 85% и озона 0 3 с массовой долей w2= 15%. Определить удельные теплоемкости су и ср этой газовой смеси. [629 Д ж /(к г-К ); 877 Д ж /(кг-К )]

10. Газовая смесь состоит из азота массой т\ = Ъкт и водяного пара массой т 2= 1 кг. Принимая эти газы за идеальные, определить удельные теплоемкости су и ср газовой смеси. [902 Д ж / (кг- К ); 1,24 кД ж / (кг-К)]

11. Молекула газа состоит из двух атомов; разность удельных теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме равна 260 Д ж /(к г -К ). Найти мо­лярную массу газа и его удельные теплоемкости Cv и ср. [32* 10_3 кг/моль; 650 Д ж /(кг*К ); 910 Д ж /(кг*К )]

61

ft/Wfl

1.6

is

IA

1.3

1,2

2 3

/ 2

Рис. 9

3 V,m s

12. Найти среднюю длину </> свободного пробега мо­лекулы водорода при р — = 133 мПа и t = — 173°С. [4,4 см].

13. Один киломоль двух­атомного идеального газа совершает замкнутый цикл, график которого изображен на рис. 9. Определить: 1) те­плоту Qi, полученную от те- плоотдатчика; 2) теплоту Qi, переданную теплоприем- нику; 3) работу А, совер­

шаемую газом за один цикл; 4) термический КПД ц цик­ла. [7,61 МД ж; 7,19 МДж; 0,4 МДж; 5,3%1

14. Водород занимает объем К = 1 0 м 3 при давлении pi = 0,1 МПа. Его нагрели при постоянном объеме до давления р2 = 0,ЗМПа. Определить изменение AU внут­ренней энергии газа, работу А, совершенную им, и тепло­ту Q, сообщенную газу. [5 МДж; 0; 5 МДж]

15. Кислород при неизменном давлении р = 80кПа нагревается. Его объем увеличивается от К| = 1м3 до 72= 3 м3. Определить изменение ДU внутренней энергии кислорода, работу А, совершенную им при расширении, а также теплоту Q, сообщенную газу. [400 кДж; 160 кДж; 560 кДж[

16. В цилиндре под поршнем находится азот, имею­щий массу т = 0,6 кг и занимающий объем К|==1,2м3, при температуре 74 = 560 К- В результате нагревания газ расширился и занял объем У2= 4 ,2 м 3, причем темпера­тура осталась неизменной. Найти изменение ДU внутрен­ней энергии газа, совершенную им работу А и теплоту Q, сообщенную газу. [0; 126 кДж; 126 кДж]

17. В бензиновом автомобильном двигателе степень сжатия горючей смеси равна 6,2. Смесь засасывается в цилиндр при температуре i == 15°С. Найти температуру t2 горючей смеси в конце такта сжатия. Горючую смесь рассматривать как двухатомный идеальный газ; процесс считать адиабатным. [324°С]

18. Газ совершает цикл Карно. Температура тепло- отдатчика в три раза выше температуры теплопрнемника. Теплоотдатчик передал газу <?| = 41,9кДж теплоты. Какую работу совершил газ? [28,1 кДж|

19. Какую энергию надо затратить, чтобы выдуть

62

мыльный пузырь диаметром ^ = 1 2 с м ? Каково будет добавочное давление внутри этого пузыря? [3,62 мДж; 2,66 Па]

20. На нижнем конце трубки диаметром d = 0,2 см повисла шарообразная капля воды. Найти диаметр этой капли. [4,42 мм]

21. В сосуд с ртутью частично погружены две вер­тикально расположенные и параллельные друг другу стеклянные пластинки. Расстояние между пластинками d — 1 мм. Определить разность Ah уровней ртути в сосуде и между пластинками, краевой угол принять равным 138°. [—5,57 мм]

Контрольная работа 2Таблица вариантов для специальностей, учебными планами

которых предусмотрено по курсу физики четыре и шесть контрольных работ

Ва­риант

Номера контрольных забот

0 210 220 230 240 250 260 270 2801 201 211 221 231 241 251 261 2712 202 212 222 232 242 252 262 2723 203 213 223 233 243 253 263 2734 204 214 224 234 244 254 264 2745 205 215 225 235 245 255 265 2756 206 216 226 236 246 256 266 2767 207 217 227 237 247 257 267 2778 208 218 228 238 248 258 268 2789 209 219 229 239 249 259 269 279

201. Определить количество вещества v и число N молекул кислорода массой т = 0,5 кг.

202. Сколько атомов содержится в ртути: 1) количе­ством вещества v = 0,2 моль; 2) массой т = 1 г?

203. Вода при температуре f= 4 °C занимает объем V — 1 см3. Определить количество вещества v и число N молекул воды.

204. Найти молярную массу М и массу т „ одной ' молекулы поваренной соли.

205. Определить массу т м одной молекулы углекис­лого газа.

£ 206. Определить концентрацию п молекул кислорода, находящегося в сосуде вместимостью У— 2л. Количество вещества v кислорода равно 0,2 моль.

207. Определить количество вещества v водорода,

63

заполняющего сосуд объемом у = 3 л, если концентрация молекул газа в сосуде п = 2 • 1018 м-3 .

208. В баллоне вместимостью V = 3 л содержится кислород массой /л = 1 0 г . Определить концентрацию п молекул газа.

209. Определить относительную молекулярную мас­су Мг: 1) воды; 2) углекислого газа; 3) поваренной соли.

210. Определить количество вещества v и число N молекул азота массой т = 0,2 кг.

211. В цилиндр длиной / = 1,6 м, заполненный возду­хом при нормальном атмосферном давлении р0, начали медленно вдвигать поршень площадью основания S = = 200 см2. Определить силу F, действующую на поршень, если его остановить на расстоянии / 1 = 10 см от дна ци­линдра.

212. В баллоне находится газ при температуре Т\ = = 400 К. До какой температуры Гг надо нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в 1,5 раза?

213. Баллон вместимостью К = 2 0 л заполнен азотом при температуре Г = 400 К- Когда часть газа израсходо­вали, давление в баллоне понизилось на Д р=200 кПа. Определить массу m израсходованного газа. Процесс считать изотермическим.

214. В баллоне вместимостью У = 1 5 л находится аргон под давлением р! = 600кПа и при температуре Т1 = 300 К. Когда из баллона было взято некоторое коли­чество газа, давление в баллоне понизилось до р2 = = 400 кПа, а температура установилась Гг—260 К. Определить массу m аргона, взятого из баллона.

215. Два сосуда одинакового объема содержат кисло­род. В одном сосуде давление р 1 = 2М П а и температура Т\ = 800 К, в другом р2 = 2,5МПа, 7 = 200 К- Сосуды соединили трубкой и охладили находящийся в них кисло­род до температуры Т = 200 К. Определить установив­шееся в сосудах давление р.

216. Вычислить плотность р азота, находящегося в баллоне под давлением р = 2М П а и имеющего темпера­туру Т = 400 К.

217. Определить относительную молекулярную мас­су М г газа, если при температуре 7"= 154 К и давлении р = 2,8 МПа он имеет плотность р = 6,1 кг/м3.

218. Найти плотность р азота при температуре Т = = 400 К и давлении р = 2 МПа.

219. В сосуде вместимостью К = 4 0 л находится кис­лород при температуре Т = 300 К- Когда часть газа из­

64

расходовали, давление в баллоне понизилось на Лр = = 100 кПа. Определить массу т израсходованного кисло­рода. Процесс считать изотермическим.

220. Определить плотность р водяного пара, находя­щегося под давлением р = 2,5кПа и имеющего темпера- туру Т — 250 К.

221. Определить внутреннюю энергию U водорода, а также среднюю кинетическую энергию <е> молекулы этого газа при температуре Т = 300 К, если количество вещества v этого газа равно 0,5 моль.

222. Определить суммарную кинетическую энергию Ек поступательного движения всех молекул газа, находя­щегося в сосуде вместимостью Г = 3 л под давлением р — 540 кПа.

223. Количество вещества гелия v = 1,5 моль, темпе­ратура Т = 120 К. Определить суммарную кинетическую энергию Ек поступательного движения всех молекул этого газа.

224. Молярная внутренняя энергия Um некоторого двухатомного газа равна 6,02 кДж/моль. Определить среднюю кинетическую энергию <евр> вращательного движения одной молекулы этого газа. Газ считать иде­альным.

225. Определить среднюю кинетическую энергию <е) одной молекулы водяного пара при температуре Т = = 500 К.

226. Определить среднюю квадратичную скорость ( v KB) молекулы газа, заключенного в сосуд вместимостью V = 2 л под давлением р — 200 кПа. Масса газа т = 0,3 г.

227. Водород находится при температуре Т = 300 К. Найти среднюю кинетическую энергию <евр) вращатель­ного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию Ек всех молекул этого газа; коли­чество водорода v = 0,5 моль.

228. При какой температуре средняя кинетическая энергия (е„) поступательного движения молекулы газа равна 4,14-10-21 Дж?

229. В азоте взвешены мельчайшие пылинки, которые движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Масса каждой пылинки равна 6-10_ |0 г. Газ находится при температуре 7"= 400 К. Определить средние квадратичные скорости <щв), а также средние кинетические энергии <е„) поступательного движения молекулы азота и пылинки.

** 230. Определить среднюю кинетическую энергию <еп)

3-105 65

поступательного движения и <евр) вращательного движе­ния молекулы азота при температуре 7 = 1 кВ. Опреде­лить также полную кинетическую энергию Ек молекулы при тех же условиях.

231. Определить молярную массу М двухатомного газа и его удельные теплоемкости, если известно, что разность ср — cv удельных теплоемкостей этого газа рав­на 260 Д ж / (кг - К.).

232. Найти удельные ср и Су, а также молярные Ср и Cv теплоемкости углекислого газа.

233. Определить показатель адиабаты у идеального газа, который при температуре 7 = 3 5 0 К и давлении р = 0,4 МПа занимает объем У = 300л и имеет теплоем­кость Су—857 Дж/К.

234. В сосуде вместимостью V — б л находится при нормальных условиях двухатомный газ. Определить теп­лоемкость Су этого газа при постоянном объеме.

235. Определить относительную молекулярную массу Мг и молярную массу М газа, если разность его удельных теплоемкостей ср — су= 2,08 кД ж /(кг-К ).

236. Определить молярные теплоемкости газа, если его удельные теплоемкости су = 10,4 кД ж /(кг-К ) и ср = 14,6 кД ж /(кг-К ).

237. Найти удельные с у и ср и молярные Су и Ср теплоемкости азота и гелия.

238. Вычислить удельные теплоемкости газа, зная, что его молярная масса М = А • 10~3 кг/моль и отношение теплоемкостей Ср/ С у = 1,67.

239. Трехатомный газ под давлением р = 240кПа и температуре t = 20°С занимает объем У = 1 0 л . Опреде­лить теплоемкость Ср этого газа при постоянном дав­лении.

240. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объем У = 5 л . Вычислить теплоемкость Су этого газа при постоянном объеме.

241. Найти среднее число (г ) столкновений за время <=1 с и длину свободного пробега ( /) молекулы гелия, если газ находится под давлением р = 2кП а| при темпе­ратуре 7 = 2 0 0 К.

242. Определить среднюю длину свободного пробега (/) молекулы азота в сосуде вместимостью V — 5 л. Мас­са газа /л = 0,5 г.

243. Водород находится под давлением р = 20мкПа и имеет температуру 7 = 3 0 0 К- Определить среднюю длину свободного пробега (/) молекулы такого газа.

66

244. При нормальных условиях длина свободного пробега (/) молекулы водорода равна 0,160 мкм. Опреде­лить диаметр d молекулы водорода.

245. Какова средняя арифметическая скорость (и) молекул кислорода при нормальных условиях, если известно, что средняя длина свободного пробега (/) молекулы кислорода при этих условиях равна 100 нм?

246. Кислород находится под давлением р = 1 3 3 нПа при температуре 7 = 2 0 0 К. Вычислить среднее число (г ) столкновений молекулы кислорода при этих условиях за время т = 1 с.

247. При каком давлении р средняя длина свободного пробега (/) молекул азота равна 1 м, если температура газа / = 10°С?

248. В сосуде вместимостью К = 5 л находится водо­род массой т = 0,5 г. Определить среднюю длину свобод­ного пробега (/} молекулы водорода в этом сосуде.

249. Средняя длина свободного пробега ( /) молекулы водорода при некоторых условиях равна 2 мм. Найти плотность р водорода при этих условиях.

250. В сферической колбе вместимостью У =3,л„ со­держащей азот, создан вакуум с давлением р = 80 мкПа. Температура газа 7 = 250 К. Можно ли считать вакуум в колбе высоким?

Примечание. Вакуум считается высоким, если длина свободного пробега молекул в нем много больше линейных размеров сосуда.

251. Определить количество теплоты Q, которое надо сообщить кислороду объемом К = 50 л при его изохорном нагревании, чтобы давление газа повысилось на \ р = = 0,5 МПа.

252. При изотермическом расширении азота при тем­пературе 7 = 280 К объем его увеличился в два раза. Определить: 1) совершенную при расширении газа рабо­ту А; 2) изменение AU внутренней энергии; 3) количество теплоты Q, полученное газом. Масса азота т = 0,2 кг.

253. При адиабатном сжатии давление воздуха было увеличено от р 1 = 50кПа до рг = 0,5МПа. Затем при неизменном объеме температура воздуха была понижена - до первоначальной. Определить давление рз газа в конце процесса.

254. Кислород массой т = 200г занимает объем V\ = = 100 л и находится под давлением /?1 = 200кПа. При нагревании газ расширился при постоянном давлении до объема К2 = 300л, а затем его давление возросло до

3* 67

р3 = 500 кПа при неизменном объеме. Найти изменение внутренней энергии AU газа, совершенную газом рабо­ту Л и теплоту Q, переданную газу. Построить график процесса.

255. Объем водорода при изотермическом расширении при температуре 7 = 3 0 0 К увеличился в п = 3 раза. Определить работу А, совершенную газом, и теплоту Q, полученную при этом. Масса т водорода равна 200 г.

р. 256. Азот массой т = 0,1 кг был изобарно нагрет от температуры 7i = 200 К до температуры 72 = 400 К. Опре­делить работу А, совершенную газом, полученную им теплоту Q и изменение AU внутренней энергии азота.

л 257. Во сколько раз увеличится объем водорода, содержащий количество вещества v = 0,4 моль при изо­термическом расширении, если при этом газ получит ко­личество теплоты ф = 800Дж? Температура водорода 7 = 3 0 0 К.

258. Какая работа А совершается при изотермиче­ском расширении водорода массой т = 5 г, взятого при температуре 7 = 2 9 0 К, если объем газа увеличивается в три раза?

259. Какая доля w\ количества теплоты Q, подводи­мого к идеальному двухатомному газу при изобарном процессе, расходуется на увеличение AU внутренней энергии газа и какая доля w 2 — на работу А расшире­ния? Рассмотреть три случая, если газ: 1) одноатомный; 2) двухатомный; 3) трехатомный.

260. Определить работу А, которую совершит азот, если ему при постоянном давлении сообщить количество теплоты Q = 21 кДж. Найти также изменение AU внут­ренней энергии газа.

261. Идеальный газ совершает цикл Карно при тем­пературах теплоприемника 72 = 290 К и теплоотдатчика 7] = 400 К. Во сколько раз увеличится коэффициент полезного действия т] цикла, если температура тейлоот- датчика возрастет до 71 = 600 К? \

262. Идеальный газ совершает цикл Карно. Темпера­тура 7i теплоотдатчика в четыре раза (п = 4) больше температуры теплоприемника. Какую долю w количества теплоты, полученного з^ один цикл от теплоотдатчика, газ отдаст теплоприемнику?

263. Определить работу А 2 изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, КПД которого т] = 0,4, если работа изотермического расширения равна А\ = = 8 Дж.

68

264. Газ, совершающий цикл Карно, отдал теплопри- емнику теплоту Q2 = 14 кДж. Определить температуру 71 теплоотдатчика, если при температуре теплоприемника 7’2 = 280 К работа цикла Л = 6кДж.

265. Газ, являясь рабочим веществом в цикле Карно, получил от теплоотдатчика теплоту (?1 = 4,38кДж и со­вершил работу Л = 2,4кДж. Определить температуру теплоотдатчика, если температура теплоприемника Т2 = = 273 К.

266. Газ, совершающий цикл Карно, отдал теплопри- емнику 67% теплоты, полученной от теплоотдатчика. Определить температуру Т2 теплоприемника, если темпе­ратура теплоотдатчика Т i = 430 К.

^267. Во сколько раз увеличится коэффициент полез­ного действия г) цикла Карно при повышении температу­ры теплоотдатчика от 71 = 380 К до 71 = 560 К? Темпе­ратура теплоприемника Т2 = 280 К-

268. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. Температура теплоотдатчика 71 = 500 К, темпера­тура теплоприемника 7г = 250 К. Определить термиче­ски КПД -л цикла, а также работу А\ рабочего вещества при изотермическом расширении, если при изотермиче­ском сжатии совершена работа Л2 = 70 Дж.

269. Газ, совершающий цикл Карно, получает теплоту С?1 = 84кДж. Определить работу А газа, если темпера­тура 71 теплоотдатчика в три раза выше температуры Т2

теплоприемника.270. В цикле Карно газ получил от теплоотдатчика

теплоту <31 = 500Дж и совершил работу Л = 1 0 0 Д ж . Температура теплоотдатчика 71 = 400 К. Определить температуру Т2 теплоприемника.

271. Найти массу m воды, вошедшей в стеклянную трубку с диаметром канала ^ = 0,8мм, опущенную в воду на малую глубину. Считать смачивание полным.

272. Какую работу А надо совершить при выдувании мыльного пузыря, чтобы увеличить его объем от Ц = = 8 см3 до К2= 1 6 с м 3? Считать процесс изотермическим.

273. Какая энергия Е выделится при слиянии двух: капель ртути диаметром di = 0,8 мм и d2= 1,2 мм в одну каплю?

274. Определить давление р внутри воздушного пу­зырька диаметром d = 4 мм, находящегося в воде у самой ее поверхности. Считать атмосферное давление нор­мальным.

275. Пространство между двумя стеклянными парал­

69

лельными пластинками с площадью поверхности S = = 100 см2 каждая, расположенными на расстоянии / = = 20 мкм друг от друга, заполнено водой. Определить силу F, прижимающую пластинки друг к другу. Считать мениск вогнутым с диаметром d, равным расстоянию между пластинками.

276. Глицерин поднялся в капиллярной трубке диа­метром канала d = 1 мм на высоту h — 20 мм. Определить поверхностное натяжение а глицерина. Считать смачива­ние полным.

277. В воду опущена на очень малую глубину стек­лянная трубка с диаметром канала d = 1 мм. Определить массу т воды, вошедшей в трубку.

278. На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузыря больше нормального атмосферного давления р0, если диаметр пузыря d = 5 мм?

279. Воздушный пузырек диаметром d = 2,2 мкм нахо­дится в воде у самой ее поверхности. Определить плот­ность р воздуха в пузырьке, если воздух над поверх­ностью воды находится при нормальных условиях.

280. Две капли ртути радиусом г= 1 ,2 мм каждая слились в одну большую каплю. Определить энергию Е, которая выделится при этом слиянии. Считать процесс изотермическим.

3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА.ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК.

Основные формулы

Закон Кулонар _ QiQ?

4яеоЕ г 2

где F — сила взаимодействия точечных зарядов Qi и Q2; г — расстояние между зарядами; е — диэлектрическая проницаемость; ео — электрическая постоянная.

Напряженность электрического поля и потенциал

E = F/Q , <р= П/Q,

где П — потенциальная энергия точечного положитель­ного заряда Q, находящегося в данной точке поля (при условии, что потенциальная энергия заряда, удаленного в бесконечность, равна нулю).

70

Сила, действующая на точечный заряд, находящийся в электрическом поле, и потенциальная энергия этого заряда

F = QE, II = Qcp.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой точечных зарядов (принцип суперпозиции электрических полей),

N N

е = 2 Е<'> ф= 2 фьi=] i=i

где Е,-, ф, — напряженность и потенциал в данной точке поля, создаваемого t-м зарядом.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом,

£ —__ 5__ ф==__Я.__4 я е 0е г 2 ’ т 4 л Е(,е г ’

где г — расстояние от заряда Q до точки, в которой опре­деляются напряженность и потенциал.

Напряженность и потенциал поля, создаваемого про­водящей заряженной сферой радиусом R на расстоянии г от центра сферы:

а) Е = 0; ФQ

4леое/?(при r < R ) \

б) Е — Q

в) Е

4 л е 0е R2 ’ ^

4л е 0е г ■; ф =

4 л е о е/?

Q4 л е о ё г

(при г = Я ) ;

(при r > R ) ,

где Q — заряд сферы.Линейная плотность заряда

Q/1-

Поверхностная плотность заряда o = Q / S .

Напряженность и потенциал поля, создаваемого рас­пределенными зарядами. Если заряд равномерно распре­делен вдоль линии с линейной плотностью т, то на линии выделяется малый участок длиной d/ с зарядом dQ =

71

= xd/. Такой заряд можно рассматривать как точечный и применять формулы

dE rd l4 л ё 0er2

г , rd/7 ’ d<P— 4 л е о е г ’

где г — радиус-вектор, направленный от выделенного элемента А1 к точке, в которой вычисляется напряжен­ность.

Используя принцип суперпозиции электрических по­лей, находим интегрированием напряженность Е и потен­циал ср поля, создаваемого распределенным зарядом:

g __ т f <il г __ т f dl4 л е 0е \ г 2 г ' ^ 4 л е 0ё г

Интегрирование ведется вдоль всей длины / заряжен­ной линии (см. примеры 5 и 8).

Напряженность поля, создаваемого бесконечной пря­мой равномерно заряженной линией или бесконечно длинным цилиндром,

£ — т2 леоег ’

где г — расстояние от нити или оси цилиндра до точки, напряженность поля в которой определяется.

Напряженность поля, создаваемого бесконечной рав­номерно заряженной плоскостью,

Связь потенциала с напряженностью:

а) Е = grad ф, или Е = i - ^ + j - ^ - + в об­щем случае;

б) £ = (ф1 — 4 >2) /d в случае однородного поля;в) Е = — в случае поля, обладающего централь­

ной или осевой симметрией.Электрический момент диполя

P = IQ |1,

где Q — заряд; 1 — плечо диполя (векторная величина, направленная от отрицательного заряда к положитель­ному и численно равная расстоянию между зарядами).

Работа сил поля по перемещению заряда Q из точки поля с потенциалом ф! в точку с потенциалом фг

•<412= Ф(ф1 —фг).

72

ЭлектроемкостьC = Q / i р, или C = Q / U ,

где ср — потенциал проводника (при условии, что в беско­нечности потенциал проводника принимается равным нулю); U — разность потенциалов пластин конденсатора.

Электроемкость плоского конденсатораС — eo&S/d,

где 5 — площадь пластины (одной) конденсатора; d — расстояние между пластинами.

Электроемкость батареи конденсаторов:1 N 1а) - ^ - = 2 ~г~ ПРИ последовательном соединении;с i=! с,

N

б) С = 2 Ci ПРИ параллельном соединении,

где N — чи£ло конденсаторов в батарее.Энергия заряженного конденсатора:

W = Q U /2 , W = C U 2 / 2, W = Q 2/(2C).

Сила постоянного токаI=Q/ t ,

где Q — заряд, прошедший через поперечное сечение проводника за время t.

Плотность токаi = i / s ,

где S — площадь поперечного сечения проводника.Связь плотности тока со средней скоростью (и)

направленного движения заряженных частицj — Q n(v>,

где Q — заряд частицы; п — концентрация заряженных частиц.

Закон Ома:а) I — а ф2 — Для участка цепи, не содержащего

ЭДС, где ф1 — (f2 = U — разность потенциалов (напря­жение) на концах участка цепи; R — сопротивление участка;

г (ф!—Фг)б) / = ^ ----- для участка цепи, содержащего

4 73

ЭДС, где £— ЭДС источника тока; R — полное сопро­тивление участка (сумма внешних и внутренних сопро­тивлений) ;

в) I = ^ для замкнутой (полной) цепи, где R —А ~Г А/

внешнее сопротивление цепи; /?, — внутреннее сопротив­ление цепи.

Законы Кирхгофа:а) 2 / ; = 0 — первый закон;б) 2 liRi='Z& i — второй закон,

где 2 U — алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле; 2 URi — алгебраическая сумма произведений сил токов на сопротивления участков; 2 % i — алгебраическая сумма ЭДС.

Сопротивление R и проводимость G проводника

R = pl/S, G = yS/l ,

где р — удельное сопротивление; у — удельная прово­димость; / — длина проводника; S — площадь поперечно­го сечения проводника.

Сопротивление системы проводников:а) R — 2 Rt при последовательном соединении;б) -4-= У ПРИ параллельном соединении, где Ri —

А А/

сопротивление /-го проводника.Работа тока:

А = IUt, А = I 2Rt, А = U2 t/R.

Первая формула справедлива для любого участка цепи, на концах которого поддерживается напряжение U, последние две — для участка, не содержащего ЭДС.

Мощность тока:P = IU, Р = I2R, Р = U2 /R.

Закон Джоуля—ЛенцаQ = I 2Rt.

Закон Ома в дифференциальной форме j = YE,

г д е у — у д е л ь н а я п р о в о д и м о с т ь ; Е — н а п р я ж е н н о с т ь э л е к т р и ч е с к о г о п о л я ; j — п л о т н о с т ь т о к а .

74

Связь удельной проводимости у с подвижностью b заряженных частиц (ионов)

У = Qn(b+ + 6_),где Q — заряд иона; п — концентрация ионов; Ь+ и Ь- — подвижности положительных и отрицательных ионов.

Примеры решения задач

Пример 1. Два точечных заряда 9Q и — Q закреплены на расстоянии / = 50 см друг от друга. Третий заряд Qi может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Qi, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда Qi равновесие будет устойчивым?

Р е ш е н и е . Заряд Qi находится в равновесии в том случае, если геометрическая сумма сил, действующих на него, равна нулю. Это значит, что на заряд Qi дол­жны действовать две силы, равные по модулю и проти­воположные по направлению. Рассмотрим, на каком из трех участков /, II, III (рис. 10) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд Q1 — положительный.

Рис. 10

На участке I (рис. 10, а) на заряд Qi будут дей­ствовать две противоположно направленные силы: Fi и F2. Сила F1, действующая со стороны заряда 9Q, в любой точке этого участка больше силы F2, действующей со стороны заряда — Q, так как больший заряд 9Q находится всегда ближе к заряду Qi, чем меньший

75

(по модулю) заряд —■ Q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.

На участке II (рис. 10, б) обе силы F) и F2 направ­лены в одну сторону — к заряду — Q. Следовательно, и на втором участке равновесие невозможно.

На участке III (рис. 10, в) силы Fi и F2 направлены в противоположные стороны, так же как и на участке /, но в отличие от него меньший заряд — Q всегда нахо­дится ближе к заряду Qi, чем больший заряд 9Q. Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы Fi и F2 будут одинаковы по модулю, т. е.

F\ = F2. (1)Пусть х и I + х — расстояние от меньшего и боль­

шего зарядов до заряда Q|. Выражая в равенстве (1) F\ и F2 в соответствии с законом Кулона, получим 9Q Qi/(/ + x f — Q Qi/ jc2, или t + x. = ± 2>x, откуда

x\ = + 1/ 2 , x 2 = — / /4 .Корень x 2 не удовлетворяет физическому условию

задачи (в этой точке силы F| и F2 хотя и равны по модулю, но сонаправлены).

Определим знак заряда Qi, при котором равновесие будет устойчивым. Равновесие называется устойчивым, если при смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равно­весия. Рассмотрим смещение заряда Qi в двух случаях: когда заряд положителен и отрицателен.

Если заряд Qi положителен, то при смещении его влево обе силы F i и F2 возрастают. Так как сила F i воз­растает медленнее, то результирующая сила, действую­щая на заряд Qi, будет направлена в ту же сторону, в которую смещен этот заряд, т. е. влево. Под действием этой силы заряд Q\ будет удаляться от положения равно­весия. То же происходит и при смещении заряда Qi вправо. Сила F2 убывает быстрее, чем F Геометриче­ская сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительного заряда равновесие является неустойчивым.

Если заряд Qi отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил Fi и F2, но сила Fi возрастает медленнее, чем F2, т. е. |F2|> |F i |. Результирующая сила будет направлена вправо. Под ее действием заряд Qi

76

возвращается к положению равновесия. При смещении Q\ вправо сила F2 убывает быст­рее, чем F 1, т. е. |F i|> |F 2|, ре­зультирующая сила направле­на влево и заряд Qi опять бу­дет возвращаться к положе­нию равновесия. При отрица­тельном заряде равновесие яв­ляется устойчивым. Величина самого заряда Qi несущест­венна.

/ \

Рис. 11

Пример 2. Три точечных заряда Qi = Q2 = Q3 = 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равно­весии?

Р е ш е н и е . Все три заряда, расположенные по вер­шинам треугольника, находятся в одинаковых условиях. Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует по­местить в центре треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например Qь находился в равновесии. Заряд Qi будет находиться в равновесии, если век­торная сумма действующих на него сил равна нулю (рис. 11):

где F2, F3, F4 — силы, с которыми соответственно дей­ствуют на заряд Qi заряды Q2, Q3, Q4; F — равнодей­ствующая сил F2 и F3.

Так как силы F и F4 направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным: F — F4 = 0 , откуда F4 = F. Выразив в последнем равенстве F через F2 и F3 и учиты­вая, что F3 — F2, получим

F4 = F2 V 2(1 + cos а ).Применив закон Кулона и имея в виду, что Q2 = Q3 = •

= Q1, найдем

F2 + F3 + F4 = F + F4 = 0, (1)

4леоГ1Qi Q4 4 ^ V 2 ( l + c o s a ) ,

откуда

(2)77

Из геометрических построений в равностороннем тре­угольнике следует, что

г/2 _ гг 1 =, cos а = cos 60° = 1 /2.cos(a/2) 2cos30° УЗ

С учетом этого формула (2) примет вид = Qi/y/З .

Произведем вычисления:

Q4 = Ю"а/л/3 Кл = 5,77- Ю -10 Кл = 577 пКл.

Следует отметить, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым.

Пример 3. На тонком стержне длиной / = 20 см нахо­дится равномерно распределенный электрический заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии а== 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд Q\ = = 40 нКл, который взаимодействует со стержнем с си­лой F — 6 мкН. Определить линейную плотность т заряда на стержне.

Р е ш е н и е . Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом Q\ зависит от линейной плотности т заряда на стержне. Зная эту зависимость, можно определить т. При вычислении силы F следует иметь в виду, что заряд на стержне не является точеч­ным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим из стержня (рис. 12) малый участок dr с зарядом dQ = xdr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона,

d/r =4лео г

Интегрируя это выражение в пределах от а до а -(- /, получаем

а Iр _ Q it f d r _ Q it / _1_______ 1 \ Qixl

4лбо J г2 4яёо\ а а + / / 4яеоа(а + I) ’

йг

........ ........./

откуда

т = 4ле0а (а + /) FQU

78

Рис. 12Проверим, дает ли рас­

четная формула единицу ли­

нейной плотности электрического заряда. Для этого в правую часть формулы вместо символов величин подста­вим их единицы:

[во] [а] [а + /] [ F ] _ 1 Ф /м • 1 м • 1 м • 1 Н _ 1 Ф - 1 Н _

[ Q] [ I] ~ 1 К л • 1 м ~ 1 К л —

1 К л / В - 1 Н __ 1 Н

1 К л ~ 1 В

1 Н 1 Н - 1 К л

1 Д ж / К л — 1 Н • м1 Кл/м.

Найденная единица является единицей линейной плот­ности заряда.

Произведем вычисления:0,1(0,1 +0,2)-6-КГ6

9 - 10э- 4 - 1 0 _ 8 -0 ,2Кл/м = 2,5>10 9 Кл/м = 2,5 нКл/м.

Пример 4. Два точечных электрических заряда Qi = 1 нКл и Q2 = —2 нКл находятся в воздухе на рас­стоянии d = 1 0 c M друг от друга. Определить напря­женность Е и потенциал ф поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда Qi на расстоя­ние Г\ = 9 см и от заряда Q2 на г2— 1 см.

Р е ш е н и е . Согласно принципу суперпозиции элек­трических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность Е электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напря­женностей Ei и Е2 полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: Е = Ei + Е2. Напряженности электриче­ского поля, создаваемого в воздухе ( е = 1 ) зарядами Qi и Qi,

Р IQ.I1 4лё0Г1 ’ (1)

_кы4лео/2 ’ (2)

Вектор Ei (рис. 13) направлен по силовой линии от заряда Qi, так как этот заряд положителен; вектор Е2 направлен также по силовой линии, но к заряду Q2, так как этот заряд отрицателен. Рис. 13

79

Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов:

Е — -yjE'i -+- £2 + 2£ |£ '2cosa, (3)где a — угол между векторами Ei и Е2, который можетбыть найден из треугольника со сторонами г\, г2 и d :2 _ г2 _ г2

1 2 В данном случае во избежаниеcosa = - П — Г 2

2Г|Г2громоздких записей удобно значение cosa вычислить отдельно:

ГПо „ = (0,1)2 - ( 0 , 0 9 ) 2 - ( 0 , 0 7 ) г 2-0,09-0,07 0,238.

Подставляя выражение Е\ из (1) и Е2 из (2) в (3) и вынося общий множитель 1/(4лео) за знак корня, полу­чаем

£ = T i- -л 1 ® - + ® - + 2 ^4ле0 V г* г\ Ут^-cosa .Г\Гг (4)

В соответствии с принципом суперпозиции электриче­ских полей потенциал <р результирующего поля, созда­ваемого двумя зарядами Q\ и Q2, равен алгебраической сумме потенциалов;

ф=ф1+ф2- (5)Потенциал электрического поля, создаваемого в ва­

кууме точечным зарядом Q на расстоянии г от него, выра­жается формулой

Qф - 1 Ь (6)

В нашем случае согласно формулам (5) и (6) получимQi 1 Q2ф:

илиф=

4леоЛ

14лео

Произведем вычисления: Е —

4леоГ2 ’

( М ) -

14я/(4я-9-109)

= у= -л/ (Ю~9)2 ! (2-1 о- 9)2

(0,09)4 2 (-0 ,238) В/м =

ф=

(0,07)4 ' (0,09)2-(0,07)

= 3,58-103 В/м = 3,58 кВ/м;-)В =1 ( 10“ 9 . —2 • 10~9\

4 я /(4 л -9 -109) \ 0,09 1 0,07 ) ■157 В.

80

Пример 5. По тон­кому кольцу равно­мерно распределен за­ряд Q = 40 нКл с ли­нейной плотностью т == 50нКл/м. Опреде­лить напряженность Е электрического поля, создаваемого этим за­рядом в точке А, лежа­щей на оси кольца и удаленной от его цен­тра на расстояние, рав­ное половине радиуса.

Р е ш е н и е . Сов­местим координатную плоскость хОу с плоскостью коль­ца, а ось Oz — с осью кольца (рис. 14). На кольце выделим малый участок длиной d/. Так как заряд dQ = rd /, находящийся на этом участке, можно считать точечным, то напряженность dE электрического поля, создаваемого этим зарядом, может быть записана в виде

rd/ г

Рис. 14

dE =4яёо '

где г — радиус-вектор, направленный от элемента d/ к точке А.

Разложим вектор dE на две составляющие: dEi, пер­пендикулярно плоскости кольца (сонаправленную с осью Oz) , и dE2, параллельную плоскости кольца (плос­кости хОу) , т. е.

d E = d Ei + dE2.Напряженность Е электрического поля в точке А найдем интегрированием'.

Е = \ Е , +$ Е2,

где интегрирование ведется по всем элементам заряженно­го кольца. Заметим, что для каждой пары зарядов dQ и dQ'(dQ = dQ'), расположенных симметрично относительно центра кольца, векторы dE2 и dE2 в точке А равны по модулю и противоположны по направлению: dE2= —dE2.Поэтому векторная сумма (интеграл) \ dE2 = 0. Состав-

т.ляющие dEi для всех элементов кольца сонаправлены

4 — 105 81

с осью Oz (единичным вектором к), т. е. dE, = kd£i. Тогда

Е = к\ d Ei.T,

Так как dE — ^ i . г = л / R‘2+ ( R / 2)2 = у/5/?/2 и c o sa = = (R /2 ) / r = 1 / V ? , ° t o

d£, = ~ Г ------~~7=d/ = — .4jt8° 5/?2V^ 5У5яе„Я2Таким образом,

2nRE = k ^ I Al — k 2 t

(3 5r^5neoR2 5-^5eoR

Из соотношения Q = 2n/?x определим радиус кольца: Я = Ф /(2ят). Тогда

£ __k 2т2ят __ k 4лт25-^/5 eoQ 5-\/5ео Q

Модуль напряженности

|Е| 4ят25-\/58oQ ( 1)

Проверим, дает ли правая часть полученного равен­ства единицу напряженности (В/м):

[т2] _ (1 Кл/м)2 _ 1 Кл[eo][Q] 1 Ф/м-1 Кл 1 Ф-1 м 1 В/м.

Выразим физические величины, входящие в форму­лу (1), в единицах СИ (т= 5-10~ 8 Кл/м, (?=4-10~®Кл, е о = 8 , 8 5 - 10-12 Ф/м) и произведем вычисления:

Е = 4 - 3 ,1 4 - ( 5 - 1 0 ~ 8)2

& V 5 - 8 .8 5 - 10_|2- 4 - 1 0 ~ 8В/м = 7,92 кВ/м.

Пример 6. Две концентрические проводящие сферы радиусами /?| = 6см и /?2= 1 0 с м несут соответственно заряды <?1=1нКл и Q2= — 0,5 нКл. Найти напряжен­ность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на рас­стояниях r i = 5 см, г 2 = 9 с м , г з = 15 см. Построить график Е(г).

Р е ш е н и е . Заметим, что точки, в которых требуется найти напряженности электрического поля, лежат в трех

82

областях (рис. 15): обла­сти I (n< R i) , области II (Rl< r 2< R 2), области III{Г 3>^?2).

1. Для определения на­пряженности Ег в области I проведем гауссову повер­хность Si радиусом ri и воспользуемся теоремой Остроградского—Г аусса:

<| EndS = О Рис. 15

(так как суммарный заряд, находящийся внутри гауссо­вой поверхности, равен нулю). Из соображений симметрииEn — Ei = const. Следовательно, £i® dS = 0 и Е\ (напря­

женность поля в области I) во всех точках, удовлетворяю­щих условию г ,< /? 1, будет равна нулю.

2. В области II гауссову поверхность проведем радиу­сом г2. В этом случае*

(так как внутри гауссовой поверхности находится только заряд Q,).

Так как Е„ = Е = const, то Е можно вынести за знак интеграла:

Обозначив напряженность Е для области II через £ 2, получим

где S2 = 4 n r |— площадь гауссовой поверхности. Тогда

3. В области III гауссова поверхность проводится ра­диусом гз. Обозначим напряженность Е области III через

* Диэлектрическую проницаемость е среды будем считать равной единице (вакуум).

£2 = Qi/(eoS2),

4* 83

Ез и учтем, что в этом случае гауссова поверхность охва­тывает обе сферы и, следовательно, суммарный заряд бу­дет равен Q1 + Q2. Тогда

р Q\ + Q 23 4л8оАз '

Заметив, что Q2< 0 , это выражение можно переписать в виде

Q . - I Q 2 I 4лЁоА (2)

Убедимся в том, что правая часть равенств (1) и (2) дает единицу напряженности:

[ Q] _ 1 Кл _ 1 Кл[ е0] [ г 2} 1 Ф/м-1 м2 1 Ф-1 м

1 В/м.

Выразим все величины в единицах СИ (СЬ = 10~9 Кл, q 2= —0,5-К Р 9 Кл, п = 0,09м, /-2 = 0,15 м, 1/(4яе0) == 9-10э м/Ф) и произведем вычисления:

£ 2 = 9 . Ю9- ^ ^ - В/м = 1,П кВ/м;

Ез = 9• 109 В /м = 200 В/м.

Построим график Е(г). В области /(/"i < /?i) Е = 0. В области II (7?1< г< /? 2) Е2 (г) изменяется по закону 1Jr2. В точке r = R \ напряженнЬсть E2(R i) — Q\/(4ne0R\) = = 2,5кВ/м. В точке r = R 2 (г стремится к R2 слева) E2(R2) = Q i/(4ne0/?i) = 0,9 кВ/м. В области III (r > R 2) E3(r) изменяется по закону 1 / г 2, причем в точке r = R 2 (г стре­мится к R2 справа) E3(R2) = (Qi — |Q2|/(4neo£l) == 0,45кВ/м. Таким образом, функция Е(г) в точках

г = R\ и г — R2 терпит раз­рыв.

График зависимости Ег представлен на рис. 16.

Пример 7. Точечный заряд Q = 25 цКл нахо­дится в поле, созданном прямым бесконечным ци­линдром радиусом R = = 1 см, равномерно заря­женным с поверхностной плотностью а= 0 ,2 нКл/см2.

84

Определить силу F,.действующую на заряд, если его рас­стояние от оси цилиндра г = 10 см.

Р е ш е н и е . Значение силы F, действующей на то­чечный заряд Q, находящийся в поле, определяется по формуле

F = Q E , (1)где Е — напряженность поля.

Как известно, напряженность поля бесконечно длин­ного равномерно заряженного цилиндра

Е — ___1 _2пеоГ ’ (2)

где т — линейная плотность заряда.Выразим линейную плотность т через поверхностную

плотность а. Для этого выделим элемент цилиндра дли­ной / и выразим находящийся на нем заряд Q двумя способами: Q = aS = o2nRl, Q = tI. Приравняв правые части этих формул и сократив полученное равенство на I, найдем т = 2nRo. С учетом этого формула (2) примет вид Е = Ra/(eor). Подставив выражение Е в (1), получим

р _ QoRЕо Г

Произведем вычисления:

2 ,5 -10_8-2 -10_6- 18,85-10- ДО Н = 5,65-1СГ4 Н = 565 мкН.

Сила F сонаправлена с напряженностью Е, которая в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) пер­пендикулярна поверхности цилиндра.

Пример 8. По тонкой нити, изогнутой по дуге окруж­ности, равномерно распределен заряд с линейной плот­ностью т= 1 0 н К л /м . Определить напряженность Е и потенциал <р электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке, совпадающей с цент­ром кривизны дуги. Длина I нити составляет 1 / 3 длины окружности и равна 15 см.

Р е ш е н и е . Выберем оси координат так, чтобы на­чало координат совпадало с центром кривизны дуги, а ось Оу была бы симметрично расположена относительно концов дуги (рис. 17). На нити выделим элемент длины d/. Заряд dQ = rd/, находящийся на выделенном участке, можно считать точечным.

85

Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала на­пряженность dE поля, созда­ваемого зарядом dQ:

dE = x d l

4 я е 0 г г

где г — радиус-вектор, на­правленный от элемента dt к

Рис. 17 точке, в которой вычисляетсянапряженность.

Выразим вектор dE через проекции dЕх и dЕу на оси координат:

d E = id£x + ]dEy,где i и j — единичные векторы направлений (орты).

Напряженность Е найдем интегрированием:

Е = \ d E = i \ d£* + dЕу.Ji i i

Интегрирование ведется вдоль дуги длиной I. В силусимметрии \ dEx = 0. Тогда

дE = jS dЕу, (1)

где dEy — d£cos# = Td/cos#/(4iteor2) . Так как г = R = = const, d/ = #d#, то

dEy x R d ft

4ne0R2 COS# =T

4 ntoRcos#d#.

Подставим выражение d£j, в (1) и, приняв во внима­ние симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до я /3 , а результат удвоим:

я/3Е= 1 т = Ы 0 “ 5* " = * Т ^ Г / 3 / 2 .

Выразив радиус R через длину / нити (3/=2яД ), получим

Е = i< s n /3 . (2)86

Из этой формулы видно, что напряженность поля по направлению совпадает с осью Оу.

Найдем потенциал электрического поля в точке О. Сначала найдем потенциал dtp, создаваемый точечным зарядом dQ в точке О:

dtp= xdl/(4neor).Заменим г на R и проведем интегрирование:

Ф = 4леоЛS d/ = т/4я8оR *

Так как 1=2лЯ/3 , тоф= т/(6е0). (3)

Произведем вычисления по формулам (2) и (3):

6-8,85-10“12-0,15 В / м = 2,18 кВ/м,

ф10"

6-8,85-10— В = 188 В.

Пример 9. На тонком стержне длиной I равномерно распределен заряд с линейной плотностью т = 10 нКл/м. Найти потенциал <р, созданный распределенным зарядом в точке А, расположенной на оси стержня и удаленной от его ближайшего конца на расстояние I.

Р е ш е н и е . В задаче рассматривается поле, созда­ваемое распределенным зарядом. В этом случае посту­пают следующим образом. На стержне выделяют малый участок длиной d х. Тогда на этом участке будет сосре­доточен заряд dQ = -гdjc, который можно считать точеч­ным. Потенциал dtp, создаваемый этим точечным зарядом в точке А (рис. 18), можно определить по формуле

. _ d Q _ rd*^ 4яе0л: 4jie0x

Согласно принципу суперпозиции электрических полей? потенциал электрическогополя, создаваемого заря- и------- ^ Jженным стержнем в точ- гке А, найдем интегрирова- А--------------- Ц,г '"= \ — ►ние этого выражения: А do

21 21 I /__ Г тйх __ т f <\х Г* *■

^ 4яе0х 4ле0 ' ( х ' р ис ]8

d*

U0l

Рис. 18

87

Выполним интегрирование:т

4леоIn 2.

Подставим числовые значе­ния физических величин в СИ (т = 10-10-9 К л / М , 1/(4ле0) = = 9 - 109 м/Ф) и произведем вычис­ления:

Ф = 9 - 109- 10- 1(Г9-0,693 В = 62,4 В.Пример 10. На пластинах плоского конденсатора на­

ходится заряд Q = 10 нКл. Площадь S каждой пласти­ны конденсатора равна 100 см2, диэлектрик — воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Р е ш е н и е . Заряд Q одной пластины находится в поле напряженностью Е, созданном зарядом другой пла­стины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис. 19)

Так какF = QE.

Е = а / (2е0) = Q/(2e.oS),

(1 )

где о — поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) примет вид

F = Q2/(2 e0S).Произведем вычисления:

F - Н = 5’65 ' 10_* Н = 565 “ КН-

Пример 11. Электрическое поле создано длинным ци­линдром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью т = 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии а\ = 0,5 см и а2 — 2 см от поверхности ци­линдра, в средней его части.

Р е ш е н и е . Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью по­ля и изменением потенциала: Е = — grad ф. Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде

Е = — , или ёф = — Edr.dr т I

88

Интегрируя это выражение, найдем разность потен­циалов двух точек, отстоящих на расстояниях г\ и г2 от оси цилиндра: Г2

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром:

Е — т / ( 2 л е о г ) .

Подставив выражение Е в (1), получим

или

г 2т

2 л £о1п-£Г1

т2лео

(2)

Произведем вычисления, учитывая, что величины Г\ и г2, входящие в формулу (2) в виде отношения, можно выразить в сантиметрах (г\ = R + а.\ = 1,5 см, г2 = = R + а,2 — 3 см ):

Ф, - ф2 = 2 -10-8- 1,8-10'° In (3/1,5) == 3 ,6 -102-2,3 In 2 В = 250 В.

Пример 12. Электрическое поле создается двумя за­рядами Q, = 4 мкКл и Q2 = — 2 мкКл, находящимися на расстоянии а — 0,1 м друг от друга. Определить ра­боту Л 1 )2 сил поля по перемещению заряда Q — 50 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 20).

Р е ш е н и е . Для определения работы Лi,2 -сил поля воспользуем­ся соотношением

Л i,2 = Q (ф1 — фг).Применяя принцип суперпозиции электрических полей, определим по­тенциалы ф! и ф2 точек 1 и 2 поля:

Qi t Qi_ V1<>1 4яеоа/2 4яв0а/2

_ 2(Qi + Q2) . 4ле0а ’

89

_ QI____ i _ Q2 __ Q1/V2 + Q2* 4яеоаУ5~ ' 4 яе 0а 4ле 0а

Тогда

^ 2 = l i r l 2 (Ql + Q2) “ (<?'Л/2 + Q , ) ] .

или

й Ы « ' ( 2 ~ v B + < ? ! ] '

Проверим, дает ли правая часть равенства единицу работы (Дж):

[Q] [Qi] _ 1 Кл-1 Кл [ ео] [а] 1 Ф/м* 1 м

1 Кл • 1 В = 1 Дж.

Подставим числовые значения физических величин в СИ (Q = 50 -10~9 Кл, Q, = 4 - 10-6 Кл, Q2 = 2 .1 ( r e Кл, а = 0,1 м, 1/(4лео) = 9• 109 м/Ф) и произведем вычис­ления:

Ахл = — ■* \ 81-9’109 [4(2 - 1/V2 ) - 2] • К Г 6 Дж =

= 14,3 мДж.

Пример 13. Определить ускоряющую разность потен­циалов 0, которую должен пройти в электрическом поле электрон, обладающий скоростью v\ = 106 м/с, что­бы скорость его возросла в п — 2 раза.

Р е ш е н и е . Ускоряющую разность потенциалов можно найти, вычислив работу А сил электростатиче­ского поля. Эта работа определяется произведением эле­ментарного заряда е на разность потенциалов U:

A — eU. (1)

Работа сил электростатического поля в данном слу­чае равна изменению кинетической энергии электрона:

А = Т2 - Г, = JOd - , (2)

где Т1 и Г2— кинетическая энергия электрона до и после прохождения ускоряющего поля; m — масса элект­рона; t»i и 02 — начальная и конечная скорости его.

90

I

Приравняв правые части равенств (1) и (2), полу­чим

nI1 ти 2 mu2 m n 2v 2 mu 2eU ~ ~2 2 ~ 2 2 ’

где n = v2/ v x.Отсюда искомая разность потенциалов

ц __ ти2(п2 — 1)2е

Произведем вычисления:9,1 -К Г 31 -(10'

U = ’ 2 -1 .6 - .(И ^ 2 - 1) В = 8*53 В‘Пример 14. С поверхности бесконечного равномерно

заряженного (т = 50нКл/м) прямого цилиндра вылетает а-частица (и0 = 0). Определить кинетическую энергию Т2 а-частицы (кэВ) в точке 2 на расстоянии 8R от поверх­ности цилиндра (рис. 21).

Р е ш е н и е . Так как силы электростатического поля являются консервативными, то для определения кинети­ческой энергии а-частицы в точке 2 воспользуемся зако­ном сохранения энергии, записанном в виде E i = E2, где Е 1 и Е2 — полные энергии а-частицы в точках 1 и 2.

Так как E\ — T\-\-V\ и E2= T 2-\-U2 (Т\ и Т2 — кине­тические энергии а-частицы; Ui и U2 — потенциальные), то, учитывая, что 71 = 0 (уо = 0), можно записать U\ = = T2 + U2, откуда Т2= U\ — U2= Q(<pi —фг) (Q — заряд а-частицы; <pi и фг — потенциалы точек 1 и 2).

Используя решение примера 10, запишем

♦

ф1 — ф 2т

2леоIn

Тогда

Г г - ^ Ь | л 9 -

Проверка единиц анало­гична проведенной в приме­ре 1 1.

Выразим все величины в единицах СИ (Q = 2-1,60X X Ю~19 Кл, т=50-10~ 9 Кл/м, 1/(2яео) = 18-109 м/Ф) и произведем вычисления

Г 2 Т _Г\ 2лес

In 9.

91

(1/(1,60-10 1Э) — коэффициент перевода из Дж в эВ):

Т2 = 1 8 - 109 2 -1 ,60-10~|9-50-10~91,60-ю - 19

2,20 эВ = 3,96 кэВ.

Пример 1 5 . Конденсатор емкостью Ci = 3 m k O был заряжен до разности потенциалов Hi = 40 В. После отключения от источника тока конденсатор соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью С2 = 5 м к Ф . Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?

Р е ш е н и е . Энергия, израсходованная на образо­вание искры,

W ' = W X — W 2, (1)где W | — энергия, которой обладал первый конденсатор до присоединения к нему второго конденсатора; W2 — энергия, которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле

W = l/ 2CU2, (2)где С — емкость конденсатора или батареи конденса­торов.

Выразив в формуле (1) энергии W i и W2 по фор­муле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим

w = ,/2c,t/?-7 2 (C, + c2)f/i) (3)где U2 — разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потен­циалов U2 следующим образом:

и 2 QС| + Сг

Cit/,Ci + Сг (4)

Подставив выражение U2 в (3), найдем

или

ту//__ С|С? (С, + Сг)С?С?2 2(С, + С2)2 ’

^ = - Ы т к « -

92

Произведем вычисления:

3-10”6- 5 - 1 0 '6г ® -

W' =2 3 - 10_6 + 5-10

= 1,5 мДж.

1600 Дж =

1-4Рис. 22

Пример 16. Потенциометр сопро­тивлением = 100 Ом подключен к батарее с ЭДС S — 150 В и внутрен­ним сопротивлением Ri = 50 Ом.Определить: 1) показание вольтметра сопротивлением Rv = 500 Ом, соединенного с одной из клемм потенциомет­ра и подвижным контактом, установленным посередине потенциометра; 2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.

Р е ш е н и е . 1. Показание вольтметра, подключенно­го к точкам Л и В (рис. 22), определим по формуле

£/i = />/?>,где R\ — сопротивление параллельно соединенных вольт­метра и половины потенциометра; 1\ — суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвленной части цепи).

Силу тока / 1 найдем по закону Ома для полной цепи:/ , = * /(* . + &). (1)

где Re — сопротивление внешней цепи. Это сопротивле­ние есть сумма двух сопротивлений:

Re = R/2 + Ru (2)Сопротивление R\ найдем по формуле параллельного

1соединения проводников —А

R\

RvRRv

4 R /2 , откуда

R + 2 R V ■

Подставив в (1) выражение Re по (2), найдем, S1 R /2 + R , + R r

В данном случае решение задачи в общем виде было бы громоздким. Поэтому удобно вычисление величин провести раздельно:

100-500R 1 100 + 2-500 Ом = 45,5 Ом;

93

вода от Ui = 2 В до f/2 = 4 В в течение / = 20 с. [20 Кл]14. Определить силу тока в цепи, состоящей из д в у х

элементов с ЭДС ^ = 1 ,6 В и ^ = 1 ,2 В и внутренними сопротивлениями Я, = 0,6 Ом и /?2 = 0,4 Ом, соединенных одноименными полюсами. [0,4 А]

15. Гальванический элемент дает на внешнее сопро­тивление £?1 = 0,5Ом силу тока / 1 = 0,2 А. Если внешнее сопротивление заменить на /?2 = 0,8 Ом, то элемент дает силу тока / 2 = 0,15 А. Определить силу тока короткого замыкания. [0,45 А]

16. К источнику тока с ЭДС £ = 1 2 В присоединена нагрузка. Напряжение U на клеммах источника стало при этом равным 8 В. Определить КПД источника тока. [68 %]

17. Внешняя цепь источника тока потребляет мощ­ность Р — 0,75 Вт. Определить силу тока в цепи, если ЭДС источника тока £ = 2 В и внутреннее сопротивление Я = 1 Ом. [0,5 и 1,5 А]

18. Какая наибольшая полезная мощность Р тах может быть получена от источника тока с ЭДС 8 = 12 В и внут­ренним сопротивлением R = 1 Ом? [36 Вт]

19. При выключении источника тока сила тока в цепи убывает по закону / = / 0е_а< (/0= 10 А, а = 5 -1 0 2с_ |). Определить количество теплоты, которое выделится в резисторе сопротивлением 7? = 5 0м после выключения источника тока. [0,5 Дж]

К о н т р о л ь н а я р а б о т а 3

Таблица вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики

шесть контрольных работ

Ва­риант

Номера задач

0 310 320 330 340 350 360 370 3801 301 311 321 331 341 351 361 371 ‘ ♦2 302 312 322 332 342 352 362 3723 303 313 323 333 343 353 363 3734 304 314 324 334 344 354 364 3745 305 315 325 335 345 355 365 3756 306 316 326 336 346 356 366 3767 307 317 327 337 347 357 367 3778 308 318 328 338 348 358 368 3789 309 319 329 339 349 359 369 379

97

5. С какой силой, приходящейся на единицу площади, отталкиваются две одноименно заряженные бесконечно протяженные плоскости с одинаковой поверхностной плотностью заряда а = 2 мкКл/м2? [0,23 H /mj]

6. Какую ускоряющую разность потенциалов U дол­жен пройти электрон, чтобы получить скорость V — = 8 Мм/с? [182 В]

7. Заряд равномерно распределен по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью о = 1 0 н К л /м 2. Определить разность потенциалов двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от нее на расстояние а = 1 0 см. [56,6 В]

8. Электрон с начальной скоростью у = 3 Мм/с влетел в однородное электрическое поле напряженностью Е = = 150 В/м. Вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженности электрического поля. Определить: 1) силу, действующую на электрон; 2) ускорение, приобре­таемое электроном; 3) скорость электрона через t — = 0,1 мкс. [24 аН; 26,4 Тм/с2; 4 Мм/с]

9. К батарее с ЭДС 8 = 300 В включены два плоских конденсатора емкостями Ci = 2nO и С2 = ЗпФ. Опреде­лить заряд Q и напряжение U на пластинках конденса­торов при последовательном и параллельном соединени­ях. [1) 0,36 нКл; 180 В; 120 В; 2) 0,6 нКл; 0,9 кКл; 300 В]

10. Конденсатор емкостью Ci = 600nO зарядили до разности потенциалов t/1 = 1,5 кВ и отключили от источ­ника напряжения. Затем к нему параллельно присоедини­ли незаряженный конденсатор емкостью С2 = 400 пФ. Определить энергию, израсходованную на образование искры, проскочившей при соединении конденсаторов. [0,27 мДж]

11. На концах медного провода длиной / = 5 м под­держивается напряжение <7=1 В. Определить плотность тока / в проводе. [1,18* 107 А/м2]

12. Резистор сопротивлением R i = 5 Ом, вольтметр и источник тока соединены параллельно. Вольтметр пока­зывает напряжение <7i=10B. Если заменить резистор другим с сопротивлением /?2= 1 2 0м, то вольтметр пока­жет напряжение f/2= 1 2 B . Определить ЭДС и внутрен­нее сопротивление источника тока. Током через вольт­метр пренебречь. [14 В; 2 Ом]

13. Определить электрический заряд, прошедший че­рез поперечное сечение провода сопротивлением R = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах про-96

Таблице вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики четыре контрольных работы

Ва­риант

Н о м е р а задач

0 310 340 350 370 420 440 460 4701 301 331 341 361 411 431 451 4612 302 332 342 362 412 432 452 4623 303 333 343 363 413 433 453 4634 304 334 344 364 414 434 454 4645 305 335 345 365 415 435 455 4656 306 336 346 366 416 436 456 4667 307 337 347 367 417 437 457 4678 308 338 348 368 418 438 458 4689 309 339 349 369 419 439 359 369

301. Точечные заряды Qi = 2 0 мкКл, Q2 = —10 мкКл находятся на расстоянии d = 5 см друг от друга. Опреде­лить напряженность поля в точке, удаленной на п = 3 см от первого и на г2 = 4 см от второго заряда. Определить также силу F, действующую в этой точке на точечный заряд Q = 1 мкКл.

302. Три одинаковых точечных заряда Q1 = Q2= Q 3 = = 2 нКл находятся в вершинах равностороннего тре­угольника со сторонами а = 1 0 с м . Определить модуль и направление силы F, действующей на один из зарядов со стороны двух других.

303. Два положительных точечных заряда Q и 9Q закреплены на расстоянии d = 1 0 0 c M друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устой­чивым, если перемещения зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.

304. Два одинаково заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол а. Шарики погружают в масло. Како­ва плотность р масла, если угол расхождения нитей при погружении в масло остается неизменным? Плотность материала шариков ро == 1,5-103 кг/м3, диэлектрическая проницаемость масла е= 2 ,2 .

305. Четыре одинаковых заряда Ql = Q2= Q 3 = Q 4 = = 40кНл закреплены в вершинах квадрата со стороной а = 1 0 с м . Найти силу F, действующую на один из этих зарядов со стороны трех остальных.

98

306. Точечные заряды Q, = 30 мкКл и Q2= — 20 мкКл находятся на расстоянии d = 20 см друг от друга. Опре­делить напряженность электрического поля Е в точке, удаленной от первого заряда на расстояние п = 30 см, а от второго — на г2 = 15 см.

307. В вершинах правильного треугольника со сторо­ной а = 1 0 с м находятся заряды Qi = 1 0 mkIOi, Q2 = = 20 мкКл и Q3 = 30 мкКл. Определить силу F, действую­щую на заряд Q\ со стороны двух других зарядов.

308. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды Qi = Q2— Q3 = (?4 = 8-10~'° Кл. Какой отрица­тельный заряд Q нужно поместить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрица­тельного заряда?

309. На расстоянии ^ = 2 0 с м находятся два точечных заряда: Qi = —50 нКл и Q2= 100 нКл. Определить си­лу F, действующую на заряд Q3= —ЮнКл, удаленный от обоих зарядов на одинаковое расстояние, равное d.

310. Расстояние d между двумя точечными зарядами (?1 = 2нКл и (?2 = 4 нКл равно 60 см. Определить точку, в которую нужно поместить третий заряд Q3 так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Определить заряд <2з и его знак. Устойчивое или неустойчивое будет равновесие?

311. Тонкий стержень длиной / = 20см несет равно­мерно распределенный заряд т = 0,1 мкКл. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, лежащей на оси стержня на расстоянии а = 20 см от его конца.

312. По тонкому полукольцу радиуса R = 10 см равно­мерно распределен заряд с линейной плотностью т = = 1 мкКл/м. Определить напряженность Е электрическо­го поля, создаваемого распределенным зарядом в точ­ке О, совпадающей с центром кольца.

313. Тонкое кольцо несет распределенный заряд Q = = 0,2 мкКл. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние г = = 20 см. Радиус кольца Р = 1 0 с м .

314. Треть тонкого кольца радиуса 7?=10см несет распределенный заряд (? = 50нКл. Определить напря­женность Е электрического поля, создаваемого распре­деленным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца.

99

315. Бесконечный тонкий стержень, ограниченный с одной стороны, несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью т = 0,5 мкКл/м. Определить на­пряженность Е электрического поля, создаваемого рас­пределенным зарядом в точке А, лежащей на оси стерж­ня на расстоянии а = 20 см от его начала.

316. По тонкому кольцу радиусом # = 20 см равно­мерно распределен с линейной плотностью т = 0 ,2 мкКл/м заряд. Определить напряженность Е электрического по­ля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, находящейся на оси кольца на расстоянии /г = 2# от его центра.

*317. По тонкому полукольцу равномерно распределен заряд Q = 20 мкКл с линейной плотностью т=0,1 мкКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, со­здаваемого распределенным зарядом в точке О, совпа­дающей с центром кольца.

318. Четверть тонкого кольца радиусом # = 1 0 см несет равномерно распределенный заряд ф = 0,05мкКл. Определить напряженность Е электрического поля, со­здаваемого распределенным зарядом в точке О, совпа­дающей с центром кольца.

319. По тонкому кольцу равномерно распределен заряд Q =10 нКл с линейной плотностью т=0,01 мкКл/м. Определить напряженность Е электрического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке А, лежа­щей на оси кольца и удаленной от его центра на расстоя­ние, равное радиусу кольца.

320. Две трети тонкого кольца радиусом # = 1 0 см несут равномерно распределенный с линейной плотностью т = 0 ,2 мкКл/м заряд. Определить напряженность Е элек­трического поля, создаваемого распределенным зарядом в точке О, совпадающей с центром кольца.

321. На двух концентрических сферах радиусом # и 2# равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями а, и аг (рис. 24). Требуется: 1) используя теорему Остроградского—Гаусса, найти зависимость Е(г) напряженности электрического поля от расстояния для трех областей: /, II и III. Принять oi = 4o, а г = о ; 2) вы­числить напряженность Е в точке, удаленной от центра на расстояние г, и указать направление вектора Е. Принять сг = 30 нКл/м2, г — 1,5#; 3) построить график

322. См. условие задачи 321. В п. 1 принять oi = o, 02= —о. В п. 2 принять а = 0,1 мкКл/м2, г = 3.100

323. См. условие задачи 321. В п. 1 принять о| = —4а, а 2 = а . В п. 2 принять а = 50 нКл/м2, г = 1,5/?.

324. См. условие задачи 321. В п. 1 принять о i = —2о, о2 = о. В п. 2 принять а = 0,1 мкКл/м2, r = 3R.

325. На двух бесконечных параллельных плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями 0 i и 02 (рис. 25). Требуется: 1) используя теорему Остроградского—Гаусса и принцип суперпози­ции электрических полей, найти выражение Е(х) напря­женности электрического поля в трех областях: /, II и ///. Принять oi = 20, 02 = о; 2) вычислить напряженность Е поля в точке, расположенной слева от плоскостей, и ука­зать направление вектора Е; 3) построить график Е(х).

326. См. условие задачи 325. В п. 1 принять 0 i = = —4о, 02 = 2o. В п. 2 принять о = 40 нКл/м2 и точку расположить между плоскостями.

327. См. условие задачи 325. В п. 1 принять 01 = 0 , 02= — 2о. В п. 2 принять о = 20 нКл/м2 и точку располо­жить справа от плоскостей.

328. На двух коак­сиальных бесконечных цилиндрах радиусами R и 2R равномерно распре­делены заряды с поверх­ностными П Л О Т Н О С Т Я М И 01 и 02 (рис. 26). Требуется:1) используя теорему Остроградского—Г аусба: найти зависимость Е(г) напряженности электри­ческого поля от-лэасстоя- ния для трех областей:

Ш1

/, II и III. Принять (Xi = —2а, аг = а; 2) вычислить напря­женность Е в точке, удаленной от оси цилиндров на рас­стояние г, и указать направление вектора Е. Принять о = 50 нКл/м2, г = 1,5/?; 3) построить график Е(г).

329. См. условие задачи 328. В п. 1 принять oi = o, 0 2= —о. В п. 2 принять о = 60 нКл/м2, г= 3 /? .

330. См. условие задачи 328. В п. 1 принять oi = —о, 02 = 4о. В п. 2 принять о = 30 нКл/м2, r — AR.

331. Два точечных заряда Qi = 6 нКл и Q2= 3 нКл находятся на расстоянии */ = 60см друг от друга. Какую работу необходимо совершить внешним силам, чтобы уменьшить расстояние между зарядами вдвое?

332. Электрическое поле создано заряженным прово­дящим шаром, потенциал <р которого 300 В. Определить работу сил поля по перемещению заряда (? = 0,2мкКл из точки 1 в точку 2 (рис. 27).

333. Электрическое поле создано зарядами Qi == 2 мкКл и Q2 = —2 мкКл, находящимися на расстоянии а = 1 0 с м друг от друга. Определить работу сил поля, совершаемую при перемещении заряда <3 = 0,5мкКл из точки / в точку 2 (рис. 28). .

334. Две параллельные заряженные плоскости, по­верхностные плотности заряда которых Oi = 2 мкКл/м2 и о2 = —0,8 мкКл/м2, находятся на расстоянии d = = 0,6 см друг от друга. Определить разность потенциа­лов U между плоскостями.

335. Диполь с электрическим моментом р = 100 пКл • м свободно установился в свободном электрическом поле напряженностью Е = 200 кВ/м. Определить работу внешних сил, которую необходимо совершить для поворо­та диполя на угол а = 180°.

102

336. Четыре одинаковых капли ртути, заряженных до потенциала ф = 10 В, сливаются в одну. Каков потен­циал (pi образовавшейся капли?

337. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R = = 10 см. Он равномерно заряжен с линейной плотностью заряда т = 800 нКл/м. Определить потенциал <р в точке, расположенной на оси кольца на расстоянии h — 10 см от его центра.

338. Поле образовано точечным диполем с электри­ческим моментом р = 200 пКл- м. Опредить разность потенциалов V двух точек поля, расположенных симмет­рично относительно диполя на его оси на расстоянии г = = 40 см от центра диполя.Ф 339. Электрическое поле образовано бесконечно длин­

ной заряженной нитью, линейная плотность заряда кото­рой т‘= 20 пКл/м. Определить разность потенциалов U двух точек поля, отстоящих от нити на расстоянии г\ = 8 см и гг = 12 см.

340. Тонкая квадратная рамка равномерно заряжена с линейной плотностью заряда т = 200 пКл/м. Опреде­лить потенциал <р поля в точке пересечения диагоналей.

341. Пылинка массой т — 200 мкг, несущая на себе заряд Q = 40 нКл, влетела в электрическое поле в на­правлении силовых линий. После прохождения разности потенциалов U = 200 В пылинка имела скорость v — — 10 м/с. Определить скорость v0 пылинки до того, как она влетела в поле.

342. Электрон, обладавший кинетической энергией Т — 10 эВ, влетел в однородное электрическое поле в направлении силовых линий поля. Какой скоростью будет обладать электрон, пройдя в этом поле разность потен­циалов U = 8 В?# 343. Найти отношение скоростей ионов Си++ и К+,

прошедших одинаковую разность потенциалов.344. Электрон с энергией Т = 400 эВ (в бесконечнос­

ти) движется вдоль силовой линии по направлению к поверхности металлической заряженной сферы радиусом R — 10 см. Определить минимальное расстояние а, на которое приблизится электрон к поверхности сферы, если заряд ее Q = — 10 нКл.

345. Электрон, пройдя в плоском конденсаторе путь от одной пластины до другой, приобрел скорость v = = 105 м/с. Расстояние между пластинами d — 8 мм. Найти: 1) разность потенциалов U между пластинами; 2) поверхностную плотность заряда о на пластинах.

103

346. Пылинка массой т = 5 нг, несущая на себе N = = 10 электронов, прошла в вакууме ускоряющую раз­ность потенциалов U = 1 МВ. Какова кинетическая энер­гия Т пылинки? Какую скорость v приобрела пылинка?

347. Какой минимальной скоростью Hmin должен обла­дать протон, чтобы он мог достигнуть поверхности заря­женного до потенциала ф = 400 В металлического шара (рис. 29)?

348. В однородное электрическое поле напряжен­ностью Е = 200 В/м влетает (вдоль силовой линии) электрон со скоростью vo=2 Мм/с. Определить расстоя­ние /, которое пройдет электрон до точки, в которой его скорость будет равна половине начальной.

349. Электрическое поле создано бесконечной заря­женной прямой линией с равномерно распределенным зарядом (т = 10 нКл/м). Определить кинетическую энер­гию Т2 электрона в точке 2, если в точке 1 его кинетиче­ская энергия Т\ = 200 эВ (рис. 30).

350. Электрон движется вдоль силовой линии одно­родного электрического поля. В некоторой точке поля с потенциалом tpi = 100 В электрон имел скорость V\ = — 6 Мм/с. Определить потенциал фг точки поля, дойдя до которой электрон потеряет половину своей скорости.

f 351. Конденсаторы емкостью Ci = 5 мкФ и С2 = = 10 мкФ заряжены до напряжений U\ = 60 В и U2 = = 100 В соответственно. Определить напряжение на об­кладках конденсаторов после их соединения обкладками, имеющими одноименные заряды.

352. Конденсатор емкостью Ci = 10 мкФ заряжен до напряжения U — 10 В. Определить заряд на обкладках этого конденсатора после того, как параллельно ему был

104

подключен другой, незаряженный, конденсатор ем­костью С2 = 20 мкФ.

353. Конденсаторы емкостями Сi — 2 мкФ, С2 = = 5 мкФ и С3 = 10 мкФ соединены последовательно и находятся под напряжением U — 850 В. Определить на­пряжение и заряд на каждом из конденсаторов.

354. Два конденсатора емкостями Ci = 2 мкФ и С2 = = 5 мкФ заряжены до напряжений U\ = 100 В и U2 = = 150 В соответственно. Определить напряжение на об­кладках конденсаторов после их соединения обкладками, имеющими разноименные заряды.

355. Два одинаковых плоских воздушных конденсато­ра емкостью С = 100 пФ каждый соединены в батарею последовательно. Определить, на сколько -изменится емкость С батареи, если пространство между пластинами одного из конденсаторов заполнить парафином.

356. Два конденсатора емкостями Ci = 5 мкФ и С2 = = 8 мкФ соединены последовательно и присоединены к батарее с ЭДС S — 80 В. Определить заряды Qi и Q2 конденсаторов и разности потенциалов U\ и U2 между их обкладками.

357. Плоский конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом R = 10 см каждая. Расстояние между пластинами d — 2 мм. Конденсатор присоединен к источ­нику напряжения U = 80 В. Определить заряд Q и на­пряженность Е поля конденсатора в двух случаях: а) диэлектрик — воздух; б) диэлектрик — стекло.

358. Два металлических шарика радиусами R t = = 5 см и R2 = 10 см имеют заряды Qi = 40 нКл и Q2 = == —20 нКл соответственно. Найти энергию W, которая выделится при разряде, если шары соединить проводни­ком.

359. Пространство между пластинами плоского кон­денсатора заполнено двумя слоями диэлектрика: стекла толщиной d\ — 0,2 см и слоем парафина толщиной d2 = = 0,3 см. Разность потенциалов между обкладками U = = .300 В. Определить напряженность Е поля и падение потенциала в каждом из слоев.

360. Плоский конденсатор с площадью пластин 5 = = 200 см2 каждая заряжен до разности потенциалов U = = 2 кВ. Расстояние между пластинами d = 2 см. Диэлект­рик — стекло. Определить энергию W поля конденсатора и плотность энергии w поля.

361. Катушка и амперметр соединены последователь­но и подключены к источнику тока. К клеммам катушки

105

присоединен вольтметр с сопротивлением г — 4 кОм. Ам­перметр показывает силу тока I = 0,3 А, вольтметр — напряжение U = 120 В. Определить сопротивление R катушки. Определить относительную погрешность е, кото­рая будет допущена при измерении сопротивления, если пренебречь силой тока, текущего через вольтметр.

362. ЭДС батареи 8 = 80 В, внутреннее сопротивле­ние Ri = 5 Ом. Внешняя цепь потребляет мощность Р = 100 Вт. Определить силу тока I в цепи, напряжение U, под которым находится внешняя цепь, и ее сопротив­ление R.

363. От батареи, ЭДС которой 8 = 600 В, требуется передать энергию на расстояние I = 1 км. Потребляемая мощность Р — 5 кВт. Найти минимальные потери мощ­ности в сети, если диаметр медных подводящих проводов d — 0,5 см.

364. При внешнем сопротивлении R\ — 8 Ом сила тока в цепи 1\ = 0,8 А, при сопротивлении R2 — 15 Ом сила тока / 2 = 0,5 А, Определить силу тока / кз короткого замыкания источника ЭДС.

365. ЭДС батареи 8 = 24 В. Наибольшая сила тока, которую может дать батарея, / тах = 10 А. Определить максимальную мощность Ртах, которая может выделяться во внешней цепи.

I 366. Аккумулятор с ЭДС 8 = 12 В заряжается от сети постоянного тока с напряжением U = 15 В. Определить напряжение на клеммах аккумулятора, если его внутрен­нее сопротивление Ri — 10 Ом.

367. От источника с напряжением U — 800 В необхо­димо передать потребителю мощность Р — 10 кВт на не­которое расстояние. Какое наибольшее сопротивление может иметь линия передачи, чтобы потери энергии в ней не превышали 10% от передаваемой мощности?

368. При включении электромотора в сеть с напряже­нием U = 220 В он потребляет ток / = 5 А. Определить мощность, потребляемую мотором, и его КПД, если сопро- противление R обмотки мотора равно 6 Ом.

369. В сеть с напряжением U = 100 В подключили катушку с сопротивлением R\ — 2 кОм и вольтметр, сое­диненные последовательно. Показание вольтметра U\ = = 80 В. Когда катушку заменили другой, вольтметр по­казал U2 = 60 В. Определить сопротивление R2 другой катушки.

370. ЭДС батареи 8 = 12 В. При силе тока / = 4 А106

КПД баратери т] = 0,6. Определить внутреннее сопротив­ление Ri батареи.

371. За время t = 20 с при равномерно возраставшей силе тока от нуля до некоторого максимума в проводнике сопротивлением R = 5 Ом выделилось количество тепло­ты Q = 4 кДж. Определить скорость нарастания силы тока, если сопротивление проводника R = 5 Ом.

372. Сила тока в проводнике изменяется со временем по закону I = /о е ~ а/, где /0 = 20 А, а — 102с_ | . Опреде­лить количество теплоты, выделившееся в проводнике за время t = 10~2 с.

373. Сила тока в проводнике сопротивлением R =— 10 Ом за время t — 50 с равномерно нарастает от 1\ — = 5 А до / 2 == 10 А. Определить количество теплоты Q, выделившееся за это время в проводнике.

374. В проводнике за время / = 10 с при равномерном возрастании силы тока от 1\ — 1 А до / 2 = 2 А выдели­лось количество теплоты Q = 5 кДж. Найти сопротив­ление R проводника.

375. Сила тока в проводнике изменяется со временем по закону I = / 0sinW. Найти заряд Q, проходящий через поперечное сечение проводника за время /, равное поло­вине периода Т, если начальная сила тока / 0 = 10 А, цик­лическая частота to = 50яс_ |.

376. За время t — 10 с при равномерно возрастающей силе тока от нуля до некоторого максимума в проводнике выделилось количество теплоты Q = 40 кДж. Определить среднюю силу тока <СЛ> в проводнике, если его сопро­тивление R — 25 Ом.

377. За время / = 8 с при равномерно возраставшей силе тока в проводнике сопротивлением R — 8 Ом выде­лилось количество теплоты Q = 500 Дж. Определить за­ряд q, проходящий в проводнике, если сила тока в на­чальный момент времени равна нулю.

в 378. Определить количество теплоты Q, выделившееся за время t = 10 с в проводнике сопротивлением R —— 10 Ом, если сила тока в нем, равномерно уменьшаясь, изменилась от 1\ = 10 А до / 2 = 0.

379. Сила тока в цепи изменяется по закону / = . . = /osinW. Определить количество теплоты, которое вы­делится в проводнике сопротивлением /?= 1 0 Ом за вре­мя, равное четверти периода (от t\ = 0 до 2 = Т/4, где Г = 10 с).

380. Сила тока в цепи изменяется со временем по закону / — /ое- “'. Определить количество теплоты, кото­

107

рое выделится в проводнике сопротивлением R = 20 Ом за время, в тёчение которого ток уменьшится в е раз. Коэффициент а принять равным 2*10~2с-1.

4. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Основные формулы

Связь магнитной индукции В с напряженностью Н магнитного поля

В = р ц о Н ,

где ц — магнитная проницаемость изотропной среды; ро — магнитная постоянная. В вакууме р = 1, и тогда магнитная индукция в вакууме

В = р 0 Н.

Закон Био—Савара—Лапласа

d B -^ - [dir] или dB = g dl,

где dB — магнитная индукция поля, создаваемого эле­ментом провода длиной dl с током /; г—радиус-вектор, направленный от элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция; а — угол между ра­диусом-вектором и направлением тока в элементе про­вода.

Магнитная индукция в центре кругового тока

где R — радиус кругового витка.Магнитная индукция на оси кругового тока

о __ И!1» 2л/?2/Б - ^ Г 1w + h ^ ’

где h — расстояние от центра витка до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля прямого токаВ — рр0//(2лл0),

где го — расстояние от оси провода до точки, в которой определяется магнитная индукция.

Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком провода с током (см. рис. 31, а и пример 1),

В = (1Ц0 / (cosai — cosa2) .

108

4л г о

Обозначения ясны из рисунка. Направление вектора магнитной индукции В обозначено точкой — это значит, что В направлен пер­пендикулярно плоскости чертежа к нам.

При симметричном располо­жении концов провода относи­тельно точки, в которой опреде­ляется магнитная индукция (рис. 31,6), —cosa2 = cosai = = cosa, тогда

а) || б) и

Рис. 31

В = М-М-о2л

/— cosa.г оМагнитная индукция поля соленоида

В — рцоя/,где п — отношение числа витков соленоида к его длине.

Сила, действующая на провод с током в магнитном поле (закон Ампера),

F — /[ 1 В ] , или F = IBlsina,где I — длина провода; a — угол между направлением тока в проводе и вектором магнитной индукции В. Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и прямого отрезка провода. Если поле неоднородно и провод не является прямым, то закон Ампера можно применять к каждому элементу провода в отдельности:

dF = / [dlB].

Магнитный момент плоского контура с током р,п = n IS,

где п — единичный вектор нормали (положительной) к плоскости контура; / — сила тока, протекающего по кон-, гуру; S — площадь контура.

Механический (вращательный) момент, действующий на контур с током, помещенный в однородное магнитное поле,

М = [ рщВ], или М = pmBsina, где a — угол между векторами р т и В .

10 i

Потенциальная энергия (механическая)* контура с током в магнитном поле

Пмех === — pm В, ИЛИ Пмех == — pmBcOSCL.

Отношение магнитного момента рт к механическому L (моменту импульса) заряженной частицы, движущейся по крутой орбите,

Р т _1 QL ~ 2 т ’

где Q — заряд частицы; m — масса частицы.Сила Лоренца**

F = Q[vB], или F — QvBs'ma,где v — скорость заряженной частицы; а — угол между векторами v и В.

Магнитный поток:а) в случае однородного магнитного поля и плоской

поверхностиФ = BScosa или Ф == BnS,

где S — площадь контура; а — угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции:

б) в случае неоднородного поля и произвольной по­верхности

Ф = \ BndSJs

(интегрирование ведется по всей поверхности). Потокосцепление (полный поток)

W = N4>.Эта формула верна для соленоида и тороида с равномер­ной намоткой плотно прилегающих друг к другу N вит­ков.

Работа по перемещению замкнутого контура в маг­нитном поле

А = /ДФ.

* Часть полной потенциальной энергии, которая обусловлена существованием механического (вращательного) момента (см.: Са­вельев И. В. Курс общей физики. М., 1978. Т. 2. С. 129).

** Если частица находится одновременно в электрическом и маг­нитном полях, то под силой Лоренца понимают выражение

F = QE + Q[ v В].

ПО

ЭДС индукции

At

Разность потенциалов на концах провода, движущего­ся со скоростью v в магнитном поле,

U = BlvsmoL,где I — длина провода; а — угол между векторами v и В.

Заряд, протекающий по замкнутому контуру при из­менении магнитного потока, пронизывающего этот кон­тур,

Q = АФ/R , или Q = NA<t>/R = AW/R,где R — сопротивление контура.

Индуктивность контураL = Ф//.

ЭДС самоиндукции

Индуктивность соленоидаL = рр0 n2V,

где п — отношение числа витков соленоида к его длине; V — объем соленоида.

Мгновенное значение силы тока в цепи, обладающей сопротивлением R и индуктивностью L:

а) / = (1 — e~R,/L) (при замыкании цепи), гдеё —КЭДС источника тока; t — время, прошедшее после замы­кания цепи;

б) I — I0e~RI/L (при размыкании цепи), где /о — сила тока в цепи при / = 0; t — время, прошедшее с момента размыкания цепи.

Энергия магнитного поляI /2 1

I F —w 2 ‘

Объемная плотность энергии магнитного поля (отно­шение энергии магнитного поля соленоида к его объему)

w = B H /2, или w = В2/(2\щ0), или ш = рроЯ2/2,где В — магнитная индукция; Я — напряженность маг­нитного поля.

Ш

Примеры решения задач

Пример 1. По отрезку прямого провода длиной 1 = — 80 см течет ток /= 5 0 А. Определить магнитную индук­цию В поля, создаваемого этим током, в точке А, равно­удаленной от концов отрезка провода и находящейся на расстоянии го = ЗОсм от его середины.

Р е ш е н и е . Для решения задач воспользуемся законом Био—Савара—Лапласа и принципом суперпо­зиции магнитных полей. Закон Био—Савара—Лапласа позволяет определить магнитную индукцию dB, создавае­мую элементом тока /dl. Заметим, что вектор dB в точ­ке А направлен за плоскость чертежа. Принцип супер­позиции позволяет для определения В воспользоваться геометрическим суммированием (интегрированием):

где символ I означает, что интегрирование распростра­няется на всю длину провода.

Запишем закон Био—Савара—Лапласа в векторной форме:

где dB — магнитная индукция, создаваемая элементом провода длиной d/ с током / в точке, определяемой

В = $ dB, ( 1)

\\

\

радиусом-вектором г; р0 — магнитная постоянная; р — магнитная проницаемость среды, в которой находится провод (в нашем случае р = 1*). Заметим, что век-

\А торы dB от различных эле- ментов тока сонаправлены (рис. 32), поэтому выраже-ние (I) можно переписать в скалярной форме:

В = \ dВ,

11 II

Рис. 32

* Во всех задачах, где это спе­циально не оговорено, следует счи­тать, что средой является воздух, для которого магнитная проницае­мость принимается равной единице.

П 2

гдеd£ = J*o/ sin a dl.

4л r2

В скалярном выражении закона Био—Савара—Лапласа угол а есть угол между элементом тока /dl и радиусом- вектором г . Таким образом,

4л ^ г2 (2)

Преобразуем подынтегральное выражение так, чтобы была одна переменная — угол а. Для этого выразим длину элемента провода dl через угол da: d /= r d a /s in a (рис. 32).

Тогда подынтегральное выражение ■■■s-ln2°c dl запишемsin a г da doc ^в виде —- — —. Заметим, что переменная г так­

же зависит от a, ( г = г 0/ sin а); следовательно,d a sin aг Го da.

Таким образом, выражение (2) можно переписать в видеCt2

Д = sin ad а,4лл0->

где ai и 02 — пределы интегрирования.Выполним интегрирование:

В==~ ё ;(c o sa , —cosa2). (3)

Заметим, что при симметричном расположении точки А относительно отрезка провода cosa 2= —cosai. С учетом этого формула (3) примет вид

В- |-1р/

Из рис. 32 следует cos ai —-

2 nr о

1/2

cos ai. (4)

iv m r -Г О V4ло + 1г '

Подставив выражение cosai в формулу (4), получимЦо /____IВ-2nr« V4rl + c2 (5)

5— 105 113

Произведя вычисления по формуле (5), найдем В — 26,7 мкТл.

Направление вектора магнитной индукции В поля, создаваемого прямым током, можно определить по пра­вилу буравчика (правилу правого винта). Для этого проводим магнитную силовую линию (штриховая линия на рис. 33) и по касательной к ней в интересующей нас точке проводим вектор В. Вектор магнитной индукции В в точке А (рис. 32) направлен перпендикулярно плос­кости чертежа от нас.

Рис. 33

Пример 2. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой 1 — 60 А, расположены на расстоянии d = 1 0 c M друг от друга. Определить магнит­ную индукцию В поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 34), отстоящей от оси одного про­водника на расстоянии г( = 5 см, от другого — г г= 12 см.

Р е ш е н и е . Для нахождения магнитной индукции В в точке А воспользуемся принципом суперпозиции маг­нитных полей. Для этого определим направления магнит­ных индукций В| и В2 полей, создаваемых каждым про­водником с током в отдельности, и сложим их геометри­чески:

В = В1 —|— Вг.Модуль вектора В может быть найден по теореме коси­нусов: ____________

В = Ж + Ш + 2 В Ж cosa, (1)где а — угол между векторами Bi и Вг.

114

Магнитные индукции Bi и В2 выражаются соответ­ственно через силу тока / и расстояния г\ и г2 от прово­дов до точки А:

В\ — р0//(2 я г i); Вч = |х0//(2 я/-2).Подставляя выражения В\ и В2 в формулу (1) и

вынося р о //(2 я ) за знак корня, получаем

2---- cos а.Г\Г2 (2)

Вычислим cos а. Заметив, что a — Z.DAC (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами), по тео­реме косинусов запишем

d 2 = r ? + r l — 2г1Гг cos а,где d — расстояние между проводами. Отсюда

cos а г? + rl — d 2 . 2г 1 /"2 cos а 52+ 122- Ю 2

2-5-1223 40 '

Подставим в формулу (2) числовые значения физи­ческих величин и произведем вычисления:

„ 4-3,14- 10~7-60l_ / 1 |2-3,14 V (0.0512 '

1(0,05)2 1 (0,12)2

= 3,08-10“ 4 Тл = 308 мкТл.

2 23 т _0 ,0 5 -0 ,1 2 '4 0 1л —

Пример 3. По тонкому проводящему кольцу радиусом R = 10 см течет ток / = 80 А. Найти магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние г = 20 см.

Р е ш е н и е . Для решения задачи воспользуемся законом Био—Савара—Лапласа:

dB (to /[dir] 4л г2 ’

где dB — магнитная индукция поля, создаваемого эле­ментом тока /dl в точке, определяемой радиусом-векто­ром г.

Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем радиус-вектор г (рис. 35). Вектор dB направим н соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей,

в* 115

магнитная индукция В в точке А определяется интегри­рованием:

В = $ dB,

где интегрирование ведется по всем элементам d/ кольца.Разложим вектор dB на две составляющие: dBx,

перпендикулярную плоскости кольца, и dBn, параллель­ную плоскости кольца, т. е.

d В = d В _l —|— d В и.

Рис. 35

Тогда

В = \ dBx + \ dBn.Jt i

Заметив, что \ dBu = 0 из соображений симметрии и чтоУ

векторы dBx от различных элементов d/ сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

В = $ dBx,

где d B x = dBcosp и dB = (поскольку dl перпен­дикулярен г и, следовательно, sin а = 1). Таким образом,

2пКв = —-j- cos р d 1 = Ц0/СО5р; 2л/?.

4л г2 r J0 4лг2

116

После сокращения на 2л и замены cos р на R /r (рис. 35) получим

В \iolR22/'3

Проверим, дает ли правая часть равенства единицу магнитной индукции (Тл):

[ цо] [ /] [ fl2] _ 1 Гн - 1 А - 1 м2 __ 1 Гн-1 А2 __ 1 Дж[ г 3] м - 1 м 3 1 А - 1 м 2 1 А - 1 м!

1 Н-1 м 1 А - 1 м2

Тл.

Здесь мы воспользовались определяющей формулой для магнитной индукции:

В р

Тогда

1 Тл 1Н-1м— . 1 А ■ 1 м5 •

Выразим все величины в единицах СИ и произведем вычисления:

В- 4л-10~'7-80-(0,1)2 2-(0,2)3 Тл = 6,28-1(Г5 Тл,

или В = 62,8 мкТл.Вектор В направлен по оси кольца (пунктирная стрел­

ка на рис. 35) в соответствии с правилом буравчика.Пример 4. Длинный провод с током / = 5 0 А изогнут

под углом а = 2 л /3 . Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 36). Расстояние d = 5 см.

Р е ш е н и е . Изогнутый провод можно рассматри­вать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О (рис. 37). В соответствии с принципом супер­позиции магнитных полей магнитная индукция В в точ-* ке А будет равна геометрической сумме магнитных ин­дукций Bi и В2 полей, создаваемых отрезками длинных проводов 1 и 2, т. е. B = B i + B2. Магнитная индукция В2 равна нулю. Это следует из закона Био—Навара—Лап­ласа, согласно которому в точках, лежащих на оси привода, dB = О ([dir} = 0).

117

В\ =-т^ ~ (cos а\ —cos а 2),4лг0 '

где го — кратчайшее расстояние от провода 1 до точки А (рис. 37).

Магнитную индукцию В \ найдем, воспользовавшисьсоотношением (3), найденным в примере 1:

В нашем случае oci-»-0 (провод длинный), а 2= а = = 2я/3 (cos а 2 = cos (2л/3) = - J /2). Расстояние го = = d sin (л — a) = d sin (n/3) = d^j3 /2. Тогда магнитная индукция

В\ Цо I4ndV3 /2 (1 + 1/ 2).

Так как В = В\ (В2 = 0), то

В Уз цр/ 4яй

Вектор В сонаправлен с вектором Bi и определяется правилом правого винта. На рис. 37 это направление отмечено крестиком в кружочке (перпендикулярно пло­скости чертежа, от нас).

Проверка единиц аналогична выполненной в приме­ре 3. Произведем вычисления:

Д = V 3 - 4 я - ю - 7-50 Тл — з 46. 10~5 Тл = 34,6 мкТл.4я -5-10-2

Пример 5. Два бесконечно длинных провода скреще­ны под прямым углом (рис. 38). По проводам текут токи / | = 80А и / 2 = 60 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию В в точ­ке А, одинаково удаленной от обоих проводов.

Р е ш е н и е . В соответствии с принципом суперпо­зиции магнитных полей магнитная индукция В поля,

создаваемого токами 1\ и / 2, определяется выра­жением В = Bi + В2, где Bt — магнитная индук­ция поля, созданного в точке А током I t; В2 — магнитная индукция по­ля, созданного в точке А током / 2.

Заметим, что векторы Bi и В2 взаимно перпен­дикулярны (их направле­ния находятся по прави­лу буравчика и изобра­жены в двух проекциях на рис. 39). Тогда модуль вектора В можно опреде­лить по теореме Пифа­гора:

B = |B | = V s f+ B f , Рис. 39

где В| и В2 определяются по формулам расчета магнит­ной индукции для бесконечно длинного прямолинейного провода с током:

В2 \1ч1 :>2яго

В нашем случае r0 = d/2. Тогда

В = -^т- па -41Т+Я.

Проверка единиц величин аналогична выполненной в примере 3.

Произведем вычисления:

В = 4л-|0~; У 80Ч 602 Тл = 4 .1 0 -4 Тл = 400 мкТл.л-10-' v 1

Пример 6. Бесконечно длинный провод изогнут так* как это изображено на рис. 40. Радиус R дуги окруж­ности равен 10 см. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в точке О током / = 80 А, текущим по этому проводу.

Р е ш е н и е . Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных

119

полей; В =2 в,. В нашем случае провод можно разбить на три части (рис. 41): два прямолинейных провода (/ и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда

В = В , + В2 + Вз,где В|, В2 и В3— магнитные индукции в точке О, созда­ваемые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках провода.

Так как точка О лежит на оси провода /, то B i = 0 и тогда

В = В2 + Вз

Учитывая, что векторы В2 и В3 направлены в соответ­ствии с правилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, то геометрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

В = В2 -Т Вз.

Магнитную индукцию В2 найдем, воспользовавшись выражением для магнитной индукции в центре кругового тока:

В нашем случае магнитное поле в точке О создается лишь половиной такого кругового тока, поэтому

120

В — cos оц —cos а2).4яг0

Магнитную индукцию й 3 найдем, воспользовавшисьСоотношением (3), выведенным в примере 1:

В нашем случае r0= R , а\ = л /2 (cosa2 = —1). Тогда

й 3 |Ло/4лЯ

(cosoti = 0), a2 я

Используя найденные выражения для й 2 и йз, получимП П П Во/ I Во/В = В2 + В з--- 4^ + - ^ - ,

или

в = Т ^ ( " + 1)-Проверка единиц величин аналогична выполненной в

примере 3.Произведем вычисления:

й = --- - ( я +1 ) Тл = 3 ,З Ы (Г 4 Тл,4л-0,1

илиВ = 331 мкТл.

Пример 7. По двум параллельным прямым проводам длиной 1=2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от друга, текут одинаковые токи 1= 1 кА. Вычислить силу взаимодействия токов.

Р е ш е н и е . Взаимодействие двух проводов, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток создает магнитное поле, которое дей­ствует на другой провод.

Предположим, что оба тока (обозначим их для удоб­ства / 1 и /г) текут в одном направлении. Ток 1\ создает в месте расположения второго провода (с током / 2) магнитное поле. ' *-

Проведем линию магнитной индукции (пунктир на рис. 42) через второй провод и по касательной к ней — вектор магнитной индукции В). Модуль магнитной индук­ции В\ определяется соотношением

й, Во I 2nd ( 1)

ИМ1

Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго провода с током / 2 длиной dl действует в магнитном поле сила ^

d F ~ h B \d l sin (dlВ).Так как вектор dl перпендикулярен вектору Bi, то sin (dl% )= 1 и тогда

d / W 2Bid/.Подставив в это выражение В\ согласно (1), получим

d F Цо/II22n d

dl.

Силу F взаимодействия проводов с током найдем интегрированием: ;

F = ЛфЩ d/ = J ^ l / .2 n d 2n d

Заметив, что /, = / 2 = /, получимр .. йо Fl

2 n d '

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н):

[ H U 2] [q _ 1 Гн/м- (1 А)2- 1 м'id ] 1 м

Произведем вычисления:

1 Дж 1 м 1 н.

F — -"‘ 1097'^!»3)2—— Н = 2,5 Н.ZTi-yjyZ

Сила F сонаправлена с силой dF (рис. 42) и опреде­ляется (в данном случае проще) правилом левой руки.

122

вПример 8. Протон, прошедший

ускоряющую разность потенциа­лов U = 600 В, влетел в однород­ное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус R окружности.

Р е ш е н и е . Движение заря­женной частицы в однородном магнитном поле будет происходить по окружности только в том слу­чае, когда частица влетит в маг­нитное поле перпендикулярно ли­ниям магнитной индукции v I B ,Так как сила Лоренца перпендикулярна вектору v, то она сообщит частице (протону) нормальное ускорение ал.

Согласно второму закону Ньютона,

Рис. 43

Fa = ma„, (1)где т — масса протона.

На рис. 43 совмещена траектория протона с пло­скостью чертежа и дано (произвольно) направление вектора v. Силу Лоренца направим перпендикулярно вектору v к центру окружности (векторы а„ и Рл сона- правлены). Используя правило левой руки, определим направление магнитных силовых линий (направление вектора В).

Перепишем выражение (1) в скалярной форме (в про­екции на радиус):

Fj\— man. (2)

В скалярной форме Fn= QvB sin а. В нашем случае v_L В и s i n a = l , тогда Fn=Q vB. Так как нормальное ускоре­ние an= v 2/R , то выражение (2) перепишем следующим образом:

QvB = mv2/R .1

Отсюда находим радиус окружности: ' •R = mv/(QB).

Заметив, что mv есть импульс протона (р), это выраже­ние можно записать в виде

R = P/{QB). (3)

123

Импульс протона найдем, воспользовавшись связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии протона, т. е. А = \Т , или

Q(<pi — ф2) = Т2 — Т\,где ф| —ф2 — ускоряющая разность потенциалов (или ускоряющее напряжение U ) ; Тi и Тч — начальная и ко­нечная кинетические энергии протона.

Пренебрегая начальной кинетической энергией прото­на (7 1 « 0 ) и выразив кинетическую энергию 72 через импульс р, получим

QU = р2/(2т).Найдем из этого выражения импульс p = j2mQU и подставим его в формулу (3):

р 1j2mQUН ~ QB ’ИЛИ

R = -L ^l2m U /Q . (4)

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу длины (м):

г 7.1ГГ/7»1 1 / 1 к г - 1 в \ ,/гf/7.| _ 1 / i кг-1 В \7.] 1 Тл \ 1 Кл ) ~~

(1 K r ) v ‘- M2[В] [Q

(1 кг)'/!- 1 А -м2 (1 Д ж)'^1 Дж-1 Кл

(1 кг)'7-м2(1 кг)‘/!-м/с-с

(1 Д ж ) 7 . 1 с

- 1 М.

Подставим в формулу (4) числовые значения физи­ческих величин и произведем вычисления:

1 / 2 -1 ,6 7 -10-27 - 6000,3 V 1,6-ю - ,э

м = 0,0118 м = 11,8 мм.

Пример 9. Электрон, влетев в однородное магнитное поле (В = 0,2 Тл), стал двигаться по окружности радиуса /? = 5см. Определить магнитный момент рт эквивалент­ного кругового тока.

Р е ш е н и е . Электрон начинает двигаться по окруж­ности, если он влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. На рис. 44 линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости чертежа и направлены «от нас» (обозначены крести­ками) .

124

Движение электрона по окруж­ности эквивалентно круговому току, который в данном случае опреде­ляется выражением

I _ ИЛ ЭКВ----- J »

где е — заряд электрона; Т — пе­риод его обращения.

Период обращения можно выра­зить через скорость электрона v и путь, проходимый электроном за период Т = v / (2л/?). Тогда

XВ

( 1)/ э к в = \e\v/{2 nR).Зная / экв, найдем магнитный момент эквивалентного кругового тока. По определению, магнитный момент контура с током выражается соотношением

Рш==/экв5, (2)

где S — площадь, ограниченная окружностью, описывае­мой электроном (S = nR2).

Подставив / экв из (1) в выражение (2), получим\е\о2л R л/?2.

Сократим на лД и перепишем это выражение в виде:

pm= ^\e \vR . (3)

В полученном выражении известной является ско­рость электрона, которая связана с радиусом R окруж­ности, по которой он движется, соотношением R = — mv/(QB) (см. пример 8). Заменив Q на \е\, найдем интересующую нас скорость v = \e\BR/m и подставим ее в формулу (3):

_ _ l£ WPm~ 2m •

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу магнитного момента (А-м2):

[ег| [В] [fl2j _ (1 Кл)М Тл-(1 м)2 _ (1 Кл)г-1 Н _[т] 1 КГ

(1 А)21 А • м • кг • с2

1 кг-1 А-м

1 А-М2.

125

Произведем вычисления:

= 7,03 пА-м2.Пример 10. Электрон движется в однородном магнит­

ном поле (Л = 10м Т л) по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг Л = 6см. Определить период Т обращения электрона и его скорость и.

Р е ш е н и е . Электрон будет двигаться по винтовой линии, если он влетает в однородное магнитное поле под некоторым углом (а=£л/2) к линиям магнитной индук­ции. Разложим, как это показано на рис. 45, скорость v электрона на две составляющие: параллельную вектору B(vn) и перпендикулярную ему (vx). Скорость vj в магнит­ном поле не изменяется и обеспечивает перемещение электрона вдоль силовой линии. Скорость v± в результа­те действия силы Лоренца будет изменяться только по направлению (Рл-Lvx) (в отсутствие параллельной со­ставляющей (vii = 0) движение электрона происходило бы по окружности в плоскости, перпендикулярной маг­нитным силовым линиям). Таким образом, электрон бу­дет участвовать одновременно в двух движениях: равно­мерном перемещении со скоростью v\\ и равномерном движении по окружности со скоростью Пх.

Период обращения электрона связан с перпендику­лярной составляющей скорости соотношением

Найдем отношение R/v±. Для этого воспользуемся тем, что сила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение an = v2±/R. Согласно второму закону Ньютона можно написать „

Т = 2я R/v±. ( 1 )

F n = m a n,\ или

Сократив (2) на вх,выразим соотношениеR /v± (R/vj . = m/\e\B) и подставим его в фор­мулу (1):

Рис. 45

126

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу времени (с):

[от] 1 кг 1 кг-А-м2 1 кг-с2-м2 .[е] [В] 1 Кл-1 Тл — 1 А-с-Н-м — 1 с-кг-м2 ~ 1 С>

Произведем вычисления:

Т 2л-9,1 • 10~3' 1,6 - 10“ 19- 10- 10“ 3

с = 3,57-10-® с = 3,57 нс.

Модуль скорости v, как это видно из рис. 45, можно выразить через и и и:

v = У + v lИз формулы (2) выразим перпендикулярную составляю­щую скорости:

Параллельную составляющую скорости v\\ найдем из следующих соображений. За время, равное периоду обра­щения Т, электрон пройдет вдоль силовой линии расстоя­ние, равное шагу винтовой линии, т. е. h — Tv\\, откуда

v\\ — h/T.Подставив вместо Т правую часть выражения (2),

получим

Таким образом, модуль скорости электрона

-уята-^У яч Ш11 •Убедимся в том, что правая часть равенства дает

единицу скорости (м /с). Для этого заметим, что R и А имеют одинаковую единицу — метр (м). Поэтому в квад­ратных скобках мы поставим только одну из величин (например, R):

М 1 В1 г r>2i 1 /2__ 1 Кл-1 Тл / , , 2 \ ‘/2 1 А -с-Н -м-м 1 Н-с[от] ~ 1 кг ( м ) - Кг-А-м2 “ 1 кг ~

= 1 м/с.1 кг ■ м ■с 1 кг-с2

127

Произведем вычисления:

- «Л-.0-*..о..о^£ (0,01)*4<-^1 «/«-9 ,Ы 0 -

= 2,46-107 м/с,или 24,6 Мм/с.

Пример 11. Альфа-частица прошла ускоряющую раз­ность потенциалов 0 = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (£ = 1 0 кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа-части­цы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямоли­нейной траектории.

Р е ш е н и е . Для того чтобы найти отношение заря­да Q альфа-частицы к ее массе т, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частицы:

Q U = m v 2/ 2,откуда

Q/m = o2/( 2U). (1)

Скорость v альфа-частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

а) сила Лоренца F a= Q [vB ], направленная перпен­дикулярно скорости v и вектору магнитной индукции В;

б) кулоновская сила F k= QE, сонаправленная с век­тором напряженности Е электростатического поля (Q>0). На рис. 46 направим вектор магнитной индукции В вдоль оси Oz, скорость v — в положительном направлении оси Ох, тогда Ел и Fk будут направлены так, как показа­но на рисунке.

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, еслигеометрическая сумма сил Fa = Fk будет равна нулю. В проекции на ось Оу получим следующее равенство (при этом учтено, что v 1 В и sina = 1):

QE — QvB = 0,откуда

v = E/B.

128

Подставив это выражение скорости в формулу (1), получим

Q/m = E \2 U B 2) .Убедимся в том, что правая часть равенства дает

единицу удельного заряда (Кл/кг):

[Е2] (1В /м )2 _ (1В -А )2 _ 1 Д ж • Кл _ 1Кл-м[У] [В2] ~ 1В- (1Тл)2 — 1В -(1Н )2 (1Н -с)2 1Н-с2

= 1 Кл/кг.

Произведем вычисления:

- ^ - = 2 .104(0 ,i f Кл/ кг = 4’81 ' 10? Кл/кг = 48,1 МКл/кг.

Пример 12. Короткая катушка, содержащая N = 103 витков, равномерно вращается с частотой п — 10 с-1 относительно оси АВ, лежащей в плоскости катушки и перпендикулярной линиям однородного магнитного поля (В = 0,04 Тл). Определить мгновенное значение ЭДС индукции для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол а = 6 0 ° с линиями поля. Пло­щадь S катушки равна 100 см2.

Р е ш е н и е . Мгновенное значение ЭДС индукции 8i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла:

Потокосцепление Д = УУФ, где N — число витков ка­тушки, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Д в формулу (1), получим

gt = - N - ^ ~ . (2)

При вращении катушки магнитный поток Ф, пронизы­вающий катушку в момент времени t, изменяется по за­кону Ф = BS cos cat, где В — магнитная индукция; S — площадь катушки; со — угловая скорость катушки. Под­ставив в формулу (2) выражение магнитного потока Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

Si = NBSasin сot.

129

Заметив, что угловая скорость ю связана с частотой вращения п ка­тушки соотношением ш = 2лп и что угол at = я /2 — а (рис. 47), полу­чим (учтено, что sin (л/2 — а) = = cos а)

8i = 2nnNBS cos а.

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу ЭДС (В):

[n][B][S} =

_ 1 Тл-i мг _ 1 Н-м2 _ 1 Дж .1с 1 А -м -с 1 Кл

Произведем вычисления:£ ,= 2 • 3,14 • 10 • 103 • 0,04 • 10-2 • 0,5В = 25,1В.

Пример 13. Квадратная проволочная рамка со сторо­ной а — 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле (В — 40 мТл). Нормаль к плоскости рамки составляет угол а — 30° с линиями маг­нитной индукции. Определить заряд Q, который пройдет по рамке, если магнитное поле выключить.

Р е ш е н и е . При выключении магнитного поля про­изойдет изменение магнитного потока. Вследствие этого в рамке возникнет ЭДС индукции, определяемая основ­ным законом электромагнитной индукции

Р с!Ф

Возникшая ЭДС индукции вызовет в рамке индукцион­ный ток, мгновенное значение которого можно опреде­лить воспользовавшись законом Ома для полной цепи U = &JR, где R — сопротивление рамки. Тогда

Так как мгновенное значение силы индукционного тока , d Q//= ~~&р то это выражение можно переписать в виде

- ^ R = -----откуда dQ = ------------ (1)

Апн

130

Проинтегрировав выражение (1), найдем

$ dQ = ---- j - ^ dO , или Q = Ф' " —-■

Заметив, что при выключенном поле (конечное состоя­ние) Ф2 = 0, последнее равенство перепишется в виде

Q = <l>i/R. (2)Найдем магнитный поток Фь По определению магнит­

ного потока имеемOi = BS cos а ,

где S — площадь рамки.В нашем случае (рамка квадратная) S = а2. Тогда

Ф1 = Ba2cos а . (3)Подставив (3) в (2), получим

Q = — cos а .А

Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу заряда (Кл):

[ В ] [а 2] 1 Т л • (1м2) __ 1 Н • м2 _ 1Дж _ у

[В] — Юм — I A - m - O m - 1В — 11ЧЛ’

Произведем вычисления:

Q = 0,04 ‘25 о о = 8,67 • К Г 3 Кл = 8,67 мКл .

Пример 14. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток /= 1 0 0 А, свободно установился в однородном магнитном поле (В = 1 Тл). Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей че­рез середину его противоположных сторон, на угол: 1) ф, = 90°; 2) фг = 3°. При повороте контура сила то^а в нем поддерживается неизменной.

Р е ш е н и е . Как известно, на контур с током в маг­нитном поле действует момент силы (рис. 48)

Af = pmB sin ф, (1)где pm= / S = /a 2 — магнитный момент контура; В — магнитная индукция; ф — угол между векторами р т (направлен по нормали к контуру) и В.

131

Задачу можно решить и другими способами:1. Работа внешних сил по перемещению контура с

током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, пронизываю­щего контур:

А = - /Д Ф = /(Ф, — Ф2) ,

где Ф) — магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения; Ф2 — то же, после перемещения.

Если ф! = 90°, то Ф) = BS, 02 = 0. Следовательно,А = IBS = IB а2,

что совпадает с (3).2. Воспользуемся выражением для механической по­

тенциальной энергии контура с током в магнитном поле

П ( ф ) = — P m f lc O S ф .

Тогда работа внешних сил

А = ЛII = Г12 — III,или

А = ртВ (cos ф1 — cos ф2) .Так как рт - la2, cos ф! = / и cos ф2 = 0, то

А = 1Ва2 ,что также совпадает с (3).

Пример 15. Соленоид с сердечником из немагнитного материала содержит N — 1200 витков провода, плотно прилегающих друг к другу. При силе тока / — 4 А маг­нитный поток Ф = 6 мкВб. Определить индуктивность L соленоида и энергию W магнитного поля соленоида.

Р е ш е н и е . Индуктивность L связана с потокосцеп-лением 'Г и силой тока I соотношением*

Ч' = LI. (1)Потокосцепление, в свою очередь, может быть опреде­

лено через поток Ф и число витков N (при условии, что витки плотно прилегают друг к другу):|д а . . Чг = МФ. (2)

Из формул (1) и (2) находим индуктивность Соле­ноида:

L — N 0 / 1 . (3)

133

По условию задачи в на­чальном положении контур сво­бодно установился в магнитное поле. При этом момент силы ра­вен нулю (М = 0), а значит, ср = 0, т. е. векторы рт и В сона- правлены. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший мо­мент сил [см. (1)] будет стре­миться возвратить контур в ис­ходное положение. Против это­

го момента и будет совершаться работа внешними си­лами. Так как момент сил переменной (зависит от угла поворота ф), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме с1Л = Мбф. Учиты­вая формулу (1), получаем

d/4 = / Ва2 sin фбф .Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

фА = /Ва2 \ sin фбф . (2)

ч>Работа при повороте на угол ф! = 90°

я/2 >A\ = IBa2 ( sin фбф = /В а2| (— cos ф)| = 1Ва2 . (3)

оВыразим числовые значения величин в единицах СИ

(/ = ЮО А, В = 177, а = 10 см = 0,1 м) и подставим в (3):

A t = 1 0 0 - 1 - (0,1)2 Д ж = 1 Дж.Работа при повороте на угол ф2 = 3°. В этом случае,

учитывая, что угол фг мал, заменим в выражении (2) sin ф « ф : ф2

А 2 = 1Ва2 \ фбф = 4-/Д а2ф2. (4)Jo z

Выразим угол ф2 в радианах. После подстановки чис­ловых значений величин в (4) найдем

Л2 = -j-100 • 1 • (0,1 )2 • (0,0523)2 Дж = 1,37 - 10^3 Дж = = 1,37 м Д ж .

132

Энергия магнитного поля соленоида W = ' / 2LI2.

Выразив L согласно (3), получимW = l/ 2N<t>I. (4)

Подставим в формулы (3) и (4) значения физических величин и произведем вычисления:

, 1,2 • 103 • 6 • 10_б - 1 0 щ - з г ' 1 о г-L = —:------ --------- Гн = 1,8 • 10 Гн = 1,8 мГн;

W = - j - 1,2 • 103 • 6 • 10—6 • 4 Дж = 1,44 - 10-2 Дж == 14,4 м Д ж .

Задачи для самостоятельного решения1. Напряженность магнитного поля # = 1 0 0 А/м. Вы­

числить магнитную индукцию В этого поля в вакууме. [126 мкТл]

2. По двум длинным параллельным проводам текут в одинаковом направлении токи /i = 10 А и / 2= 1 5 А . Расстояние между проводами Л = 10см . Определить на­пряженность Н магнитного поля в точке, удаленной от первого провода на ti = 8 cm и от второго на г2= 6 см. [44,5 А/м]

3. Решить задачу 2 при условии, что токи текут в про­тивоположных направлениях, точка удалена от первого провода на Г\= 15 см и от второго на г2= 1 0 см. [17,4 А/м]

4. По тонкому проводнику, изогнутому в виде пра­вильного шестиугольника со стороной а= 1 0 см, идет ток 1—20 А. Определить магнитную индукцию В в центре шестиугольника. [138мкТл]

5. Обмотка соленоида содержит два слоя плотно при­легающих друг к другу витков провода диаметром d—0,2 мм. Определить магнитную индукцию В на оси соленоида, если по проводу идет ток /= 0 ,5 А. [6,28 мТл]

6. В однородном магнитном поле с индукцией В = =0,01 Тл помещен прямой проводник длиной /= 20 см (подводящие провода находятся вне поля). Определить силу F, действующую на проводник, если по нему течет ток /= 5 0 А, а угол ф между направлением тока и векто­ром магнитной индукции равен 30°. [50 мН]

7. Рамка с током /= 5 А содержит N=20 витков тон­кого провода. Определить магнитный момент рт рамки с током, если ее площадь 5 = 1 0 см2. [0,1 А-м2]

134

8. По витку радиусом £ = 1 0 см течет ток /= 5 0 А. Виток помещен в однородное магнитное поле (£ = 0 ,2 Тл). Определить момент силы М, действующей на виток, если плоскость витка составляет угол ф=60° с линиями индук­ции. [0,157 Н-м]

9. Протон влетел в магнитное поле перпендикулярно линиям индукции и описал дугу радиусом £ = 1 0 см. Определить скорость v протона, если магнитная индукция £ = 1 Тл. [9,57 Мм/с]

10. Определить частоту п обращения электрона покруговой орбите в магнитном поле (£ = 1 Т л ) . [2,&ХX Ю10 с-1]

11. Электрон в однородном магнитном поле движется по винтовой линии радиусом £ = 5 см и шагом h—20 см. Определить скорость v электрона, если магнитная индук­ция £= 0 ,1 мТл. [1,04-106 м/с]

12. Кольцо радиусом £ = 1 0 см находится в однород­ном магнитном поле (£ = 0 ,318 Тл). Плоскость кольца составляет с линиями индукции угол ф=30°. Вычислить магнитный поток Ф, пронизывающий кольцо. [5 мВб]

13. По проводнику, согнутому в виде квадрата со стороной а= 1 0 см , течет ток / = 20 А. Плоскость квад­рата перпендикулярна магнитным силовым линиям поля. Определить работу А, которую необходимо совершить для того, чтобы удалить проводник за пределы поля. Магнитная индукция £ = 0,1 Тл. Поле считать однород­ным. [0,02 Дж]

14. Проводник длиной 1=1 м движется со скоростью и= 5 м/с перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля. Определить магнитную индукцию £, если на концах проводника возникает разность потен­циалов U = 0,02 В. [4 мТл]

15. Рамка площадью S = 5 0 c m 2 , содержащая N = = 100 витков, равномерно вращается в однородном маг­нитном поле (£ = 40мТл). Определить максимальную ЭДС индукции £тах, если ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции, а рамка вращается с частотой п = 960 об/мин. [2,01 В] ,

16. Кольцо из проволоки сопротивлением £ = 1 мОм находится в однородном магнитном поле (£ = 0,4 Тл). Плоскость кольца составляет с линиями индукции угол ф = 90°. Определить заряд Q, который протечет по коль­цу, если его выдернуть из поля. Площадь кольца S = = 10 см2. [0,4 Кл]

17. Соленоид содержит N = 4000 витков провода, по135

которому течет ток / = 20 А. Определить магнитный поток Ф и потокосцепление 'Г, если индуктивность /, = 0,4Гн. [2 мВб; 8 Вб]

18. На картонный каркас длиной /= 5 0 с м и пло­щадью сечения S = 4 c m 2 намотан в один слой провод диаметром d = 0 ,2 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Опре­делить индуктивность L получившегося соленоида. [6,28 мГн]

19. Определить силу тока в цепи через /==0,01 с после ее размыкания. Сопротивление цепи R = 20 Ом и индуктивность L = 0,1 Гн. Сила тока до размыкания цепи / 0 = 50 А. [6,75 А]

20. По обмотке соленоида индуктивностью L = 0,2 Гн течет ток / = 10 А. Определить энергию W магнитного поля соленоида. [10 Дж]

Контрольная работа 4Таблица вариантов для специальностей, учебными планами

которых предусмотрено по курсу физики шесть контрольных работ

Ва­риант

Номера задач

0 410 420 430 440 450 460 470 4801 401 411 421 431 441 451 461 4712 402 412 422 432 442 452 462 4723 403 413 423 433 443 453 463 4734 404 414 424 434 444 454 464 4745 405 415 425 435 445 455 465 4756 406 416 426 436 446 456 466 4767 407 417 427 437 447 457 467 4778 408 418 428 438 448 458 468 4789 409 419 429 439 449 459 469 479

401. Бесконечно длинный провод с током /= 1 0 0 А изогнут так, как это показано на рис. 49. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R = 10 см.

402. Магнитный момент рт тонкого проводящего кольца рт — 5 А-м2. Определить магнитную индукцию В в точке А, находящейся на оси кольца и удаленной от точек кольца на расстояние л = 20см (рис. 50).

403. По двум скрещенным под прямым углом беско­нечно длинным проводам текут токи / и 2/ ( /= 1 0 0 А). Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 51). Расстояние d — Юсм.

136

Рис.

51

Рис.

52

Рис.

55

Рис.

56

404. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 52, течет ток / = 200 А: Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R = 10 см.

405. По тонкому кольцу радиусом /? = 20см течет ток /= 1 0 0 А. Определить магнитную индукцию В на оси кольца в точке А (рис. 53). Угол р = л/3.

406. По двум бесконечно длинным проводам, скре­щенным под прямым углом, текут токи / 1 и / 2 = 2/i (/i = = 100 А). Определить магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от проводов на расстояние й = 1 0 с м (рис. 54).

407. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 55, течет ток /= 2 0 0 А. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R = 10 см.

408. По тонкому кольцу течет ток /= 8 0 А. Опреде­лить магнитную индукцию В в точке А, равноудаленной от точек кольца на расстояние г = 10 см (рис. 56). Угол а = л/6.

I

Рис. 57

409. По двум бесконечно длинным, прямым парал­лельным проводам текут одинаковые токи 1 = 60 А. Опре­делить магнитную индукцию В в точке А (рис. 57), рав­ноудаленной от проводов на расстояние ^ = 1 0 с м . Угол Р = я /3 .

410. Бесконечно длинный провод с током / = 5 0 А изогнут так, как это показано на рис. 58. Определить магнитную индукцию В в точке А, лежащей на биссект­рисе прямого угла на расстоянии б/=10см от его вер­шины.

411. По двум параллельным проводам длиной 1 = = 3м каждый текут одинаковые токи /= 5 0 0 А. Рас­стояние d между проводами равно 10 см. Определить силу F взаимодействия проводов.

138

412. По трем параллельным прямым проводам, нахо­дящимся на одинаковом расстоянии с? = 20см друг от друга, текут одинаковые токи / = 400 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить для каждого из проводов отношение силы, действующей на него, к его длине.

413. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны параллельны проводу. По рамке и про­воду текут одинаковые токи /= 2 0 0 А. Определить силу F, действующую на рамку, если ближайшая к про­воду сторона рамки находится от него на расстоянии, равном ее длине.

414. Короткая катушка площадью поперечного сече­ния S = 250cm2, содержащая А = 500 витков провода, по которому течет ток 1 = 5 А, помещена в однородное маг­нитное поле напряженностью Н = 1000 А/м. Найти: 1) магнитный момент рт катушки; 2) вращающий мо­мент М, действующий на катушку, если ось катушки составляет угол <р = 30° с линиями поля.

415. Тонкий провод длиной / = 20 см изогнут в виде полукольца и помещен в магнитное поле (В =10м Т л) так, что площадь полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. По проводу пропустили ток /= 5 0 А. Определить силу F, действующую на провод. Подводя­щие провода направлены вдоль линий магнитной ин­дукции.

416. Шины генератора длиной / = 4 м находятся на расстоянии d=10cM друг от друга. Найти силу взаим­ного отталкивания шин при коротком замыкании, если ток / к.з короткого замыкания равен 5 кА.

417. Квадратный контур со стороной а = 1 0 с м , по которому течет ток /= 5 0 А , свободно установился в од­нородном магнитном поле (В = 10м Т л). Определить из­менение АП потенциальной энергии контура при пово­роте вокруг оси, лежащей в плоскости контура, на угол 0 = 180°.

418. Тонкое проводящее кольцо с током /= 4 0 А помещено в однородное магнитное поле (В = 80мТл).‘ Плоскость кольца перпендикулярна линиям магнитной индукции. Радиус R кольца равен 20 см. Найти силу F, растягивающую кольцо.

419. Квадратная рамка из тонкого провода может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, совпа­дающей с одной из сторон. Масса т рамки равна 20 г.

139

Рамку поместили в однородное магнитное поле (В = = 0,1 Тл), направленное вертикально вверх. Определить угол а, на который отклонилась рамка от вертикали, когда по ней пропустили ток / = 1 0 А .

420. По круговому витку радиусом # = 5см течет ток / = 20 А. Виток расположен в однородном магнитном поле (В = 40мТл) так, что нормаль к плоскости контура составляет угол О = я /6 с вектором В. Определить изме­нение АП потенциальной энергии контура при его пово­роте на угол ф = я /2 в направлении увеличения угла ft.

421. По тонкому кольцу радиусом # = 1 0 см равно­мерно распределен заряд с линейной плотностью т = = 50нКл/м. Кольцо вращается относительно оси, пер­пендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр, с частотой п = 1 0 с -1. Определить магнитный момент рт, обусловленный вращением кольца.

422. Диск радиусом # = 8см несет равномерно рас­пределенный по поверхности заряд (<т= 100 нКл/м2) . Определить магнитный момент рт, обусловленный вра­щением диска, относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска. Угловая скорость вращения диска со = 60 рад/с.

423. Стержень длиной / = 20см заряжен равномерно распределенным зарядом с линейной плотностью т = = 0,2 мкКл/м. Стержень вращается с частотой /г= 10 с-1 относительно оси, перпендикулярной стержню и прохо­дящей через его конец. Определить магнитный момент рт, обусловленный вращением стержня.

424. Протон движется по окружности радиусом # = = 0,5 см с линейной скоростью и = 1 0 6 м/с. Определить магнитный момент рт, создаваемый эквивалентным кру­говым током.

425. Тонкое кольцо радиусом # = 1 0 см несет равно­мерно распределенный заряд <? = 80нКл. Кольцо враща­ется с угловой скоростью со = 50 рад/с относительно оси, совпадающей с одним из диаметров кольца. Найти маг­нитный момент рт, обусловленный вращением кольца.

426. Заряд Q = 0,1 мкКл равномерно распределен по стержню длиной / = 50см. Стержень вращается с угло­вой скоростью со = 20 рад/с относительно оси, перпенди­кулярной стержню и проходящей через его середину. Найти магнитный момент рт, обусловленный вращением стержня.

427. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра (протона) по окружности радиусом # = 53 пм.

140

Определить магнитный момент рт эквивалентного круго­вого тока.

428. Сплошной цилиндр радиусом /? = 4см и высотой /i= 1 5 см несет равномерно распределенный по объему заряд (р = 0,1 мкКл/м3). Цилиндр вращается с частотой л = 1 0 с ~ ‘ относительно оси, совпадающей с его геомет­рической осью. Найти магнитный момент р т цилиндра, обусловленный его вращением.

429. По поверхности диска радиусом /? = 1 5 см равно­мерно распределен заряд <2 = 0,2мкКл. Диск вращается с угловой скоростью со = 30 рад/с относительно оси, пер­пендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Определить магнитный момент рт, обусловленный вращением диска.

430. По тонкому стержню длиной / = 40см равномер­но распределен заряд ф = 60нКл. Стержень вращается с частотой л = 1 2 с ~ ‘ относительно оси, перпендикуляр­ной стержню и проходящей через стержень на расстоя­нии а — 1/3 от одного из его концов. Определить магнит­ный момент рт, обусловленный вращением, стержня.

431. Два иона разных масс с одинаковыми зарядами влетели в однородное магнитное поле, стали двигаться по окружностям радиусами 7?i = 3 cm и /?2=1,73см. Определить отношение масс ионов, если они прошли оди­наковую ускоряющую разность потенциалов.

432. Однозарядный ион натрия прошел ускоряющую разность потенциалов 17=1 кВ и влетел перпендику­лярно линиям магнитной индукции в однородное поле (В = 0,5 Тл). Определить относительную атомную массу А иона, если он описал окружность радиусом /? = 4,37 см.

433. Электрон прошел ускоряющую разность потен­циалов /7 = 800 В и, влетев в однородное магнитное поле В = 47мТл, стал двигаться по винтовой линии с шагом h = 6 см. Определить радиус R винтовой линии.

434. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов 17 — 300 В и, попав в однородное магнитное иоле, стала двигаться по винтовой линии радиусом R = 1 см и шагом Л = 4 см. Определить магнитную индук­цию В поля.

435. Заряженная частица прошла ускоряющую раз­ность потенциалов 17= 100 В и, влетев в однородное маг­нитное поле (В = 0,1 Тл), стала двигаться по винтовой линии с шагом Л = 6,5см и радиусом R — 1 см. Опреде­лить отношение заряда частицы к ее массе.

436. Электрон влетел в однородное магнитное поле

141

(В = 200мТл) перпендикулярно линиям магнитной индук­ции. Определить силу эквивалентного кругового тока / э«в, создаваемого движением электрона в магнитном поле.

437. Протон прошел ускоряющую разность потенциа­лов U = 300 В и влетел в однородное магнитное поле (В = 20мТл) под углом а = 3 0 ° к линиям магнитной индукции. Определить шаг h и радиус R винтовой линии, по которой будет двигаться протон в магнитном поле.

438. Альфа-частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов U, стала двигаться в однородном магнит­ном поле (В = 50мТл) по винтовой линии с шагом h — = 5 см и радиусом /? = 1 см . Определить ускоряющую разность потенциалов, которую прошла альфа-частица.

439. Ион с кинетической энергией Т = 1 кэВ попал в однородное магнитное поле (В — 21 мТл) и стал дви­гаться по окружности. Определить магнитный момент рт эквивалентного кругового тока.

440. Ион, попав в магнитное поле (В = 0,01 Тл), стал двигаться по окружности. Определить кинетическую энергию Т (в эВ) иона, если магнитный момент рт экви­валентного кругового тока равен 1,6-10“ 14 А-м2.

441. Протон влетел в скрещенные под углом a — i20° магнитное (В = 50мТл) и электрическое (£ = 20кВ/м) поля. Определить ускорение а* протона, если его ско­рость v (Iv) = 4 -105 м/с) перпендикулярна векторам Е и В.

442. Ион, пройдя ускоряющую разность потенциалов U = 645 В, влетел в скрещенные под прямым углом одно­родные магнитное (£ = 1 ,5 м Т л ) и электрическое (£ = = 200 В/м) поля. Определить отношение заряда иона к его массе, если ион в этих полях движется прямоли­нейно.

443. Альфа-частица влетела в скрещенные под пря­мым углом магнитное (£ = 5мТл) и электрическое (£ = = 3 0 кВ/м) поля. Определить ускорение а* альфа-части­цы, если ее скорость v (|v| = 2 - 106 м/с) перпендикулярна векторам В и Е, причем силы, действующие со стороны этих полей, противонаправлены.

444. Электрон, пройдя ускоряющую разность потен­циалов 1 /= 1 ,2кВ , попал в скрещенные под прямым углом однородные магнитное и электрическое поля. Опре­

* Ускорение а определяется в момент вхождения заряженной частицы в область пространства, где локализованы однородные магнитное и электрическое поля.

142

делить напряженность Е электрического поля, если маг­нитная индукция В поля равна 6 мТл.

445. Однородные магнитное (В = 2,5мТл) и электри­ческое (£ = 1 0 к В /м ) поля скрещены под прямым углом. Электрон, скорость v которого равна 4•10® м/с, влетает в эти поля так, что силы, действующие на него со сторо­ны магнитного и электрического полей, сонаправлены. Определить ускорение а* электрона.

446. Однозарядный ион лития массой т = 7 а. е. м. прошел ускоряющую разность потенциалов U — 300 В и влетел в скрещенные под прямым углом однородные магнитное и электрическое поля. Определить магнит­ную индукцию В. поля, если траектория иона в скрещен­ных полях прямолинейна. Напряженность Е электриче­ского поля равна 2 кВ/м.

447. Альфа-частица, имеющая скорость о = 2М м/с, влетает под углом а = 3 0 ° к сонаправленному магнитному (В = 1 мТл) и электрическому ( £ = 1 кВ/м) полям. Опре­делить ускорение а* альфа-частицы.

448. Протон прошел некоторую ускоряющую раз­ность потенциалов U и влетел в скрещенные под прямым углом однородные поля: магнитное (В = 5 мТл) и электри­ческое (£ = 20 кВ/м). Определить разность потенциа­лов U, если протон в скрещенных полях движется прямо­линейно.

449. Магнитное (В = 2мТл) и электрическое ( £ = = 1,6кВ/м) поля сонаправлены. Перпендикулярно векто­рам В и Е влетает электрон со скоростью v = 0,8 Мм/c.. Определить ускорение а* электрона.

450. В скрещенные под прямым углом однородные магнитное (Я = 1 МА/м) и электрическое (£ = 50кВ/м) поля влетел ион. При какой скорости v иона (по модулю и направлению) он будет двигаться в скрещенных полях прямолинейно?

451. Плоский контур площадью S = 2 0 c m 2 находится в однородном магнитном поле (В = 0,03Тл). Определить магнитный поток Ф, пронизывающий контур, если пло­скость его составляет угол ф = 60° с направлением лиций индукций.

452. Магнитный поток Ф сквозь сечение соленоида равен 50 мкВб. Длина соленоида /= 5 0 с м . Найти маг­нитный момент рт соленоида, если его витки плотно при­легают друг к другу.

* См. ссылку на с. 142.

143

453. В средней части соленоида, содержащего п — = 8 витков/см, помещен круговой виток диаметром d = 4 см. Плоскость витка расположена под углом ф = 60° к оси соленоида. Определить магнитный поток Ф, прони­зывающий виток, если по обмотке соленоида течет ток / = 1 А.

454. На длинный картонный каркас диаметром d = = 5 см уложена однослойная обмотка (виток к витку) из проволоки диаметром й = 0 ,2 м м . Определить магнитный поток Ф, создаваемый таким соленоидом при силе тока / = 0,5 А.

455. Квадратный контур со стороной а = 1 0 с м , в ко­тором течет ток 1 = 6 А, находится в магнитном поле (В = 0,8Тл) под углом а = 5 0 ° к линиям индукции. Какую работу А нужно совершить, чтобы при неизменной силе тока в контуре изменить его форму на окружность?

456. Плоский контур с током / = 5 А свободно устано­вился в однородном магнитном поле (В = 0,4Тл). Пло­щадь контура S = 200 см2. Поддерживая ток в контуре неизменным, его повернули относительно оси, лежащей в плоскости контура, на угол а = 4 0 ° . Определить совер­шенную при этом работу А.

457. Виток, в котором поддерживается постоянная сила тока / = 60 А, свободно установился в однородном магнитном поле (Д = 20мТл). Диаметр витка й = 1 0 с м . Какую работу А нужно совершить для того, чтобы повер­нуть виток относительно оси, совпадающей с диаметром, на угол а = я /3?

458. В однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции расположен плоский контур площадью 5 = 100 см2. Поддерживая в контуре постоянную силу тока / = 50А, его переместили из поля в область про­странства, где поле отсутствует. Определить магнитную индукцию В поля, если при перемещении контура была совершена работа Л = 0,4Дж.

459. Плоский контур с током / = 5 0 А расположен в однородном магнитном поле (В = 0,6Тл) так, что нор­маль к контуру перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить работу, совершаемую силами поля при медленном повороте контура около оси, лежащей в плоскости контура, на угол а= 3 0 ° .

460. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий соленоид, если его длина / = 5 0 с м и магнитный момент рт = 0,4 Вб.

461. В однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл) рав­144

номерно с частотой я = 5 с вращается стержень дли­ной / = 50см так, что плоскость его вращения перпен­дикулярна линиям напряженности, а ось вращения про­ходит через один из его концов. Определить индуцируе­мую на концах стержня разность потенциалов U.

462. В однородном магнитном поле с индукцией It = 0,5 Тл вращается с частотой п = 10 с-1 стержень дли­ной / = 20см. Ось вращения параллельна линиям индук­ции и проходит через один из концов стержня перпенди­кулярно его оси. Определить разность потенциалов U на концах стержня.

463. В проволочное кольцо, присоединенное к балли­стическому гальванометру, вставили прямой магнит. При этом по цепи прошел заряд (? = 50мкКл. Определить изменение магнитного потока АФ через кольцо; если сопротивление цепи гальванометра / ? =ЮОм.

464. Тонкий медный провод массой т = 5 г согнут в виде квадрата, и концы его замкнуты. Квадрат поме­щен в однородное магнитное поле (В = 0,2 Тл) так, что его плоскость перпендикулярна линиям поля. Определить заряд Q, который потечет по проводнику, если квадрат, потянув за противоположные вершины, вытянуть в линию.

465. Рамка из провода сопротивлением /? = 0,04 0м равномерно вращается в однородном магнитном поле (В = 0,6Тл). Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь рамки S = 200 см . Определить заряд Q, который потечет по рамке при изменении угла между нормалью к рамке и линиями индукции: 1) от 0 до 45°; 2) от 45 до 90°.

466. Проволочный виток диаметром D — 5 см и сопро­тивлением /? = 0,02 0м находится в однородном магнит­ном поле (В = 0,3 Тл). Плоскость витка составляет угол Ф=40° с линиями индукции. Какой заряд Q протечет по витку при выключении магнитного поля?

467. Рамка, содержащая N = 200 витков тонкого про-мода, может свободно вращаться относительно оси, лежащей в плоскости рамки. Площадь рамки S = 5 0 cm2. Ось рамки перпендикулярна линиям индукции однород-- ного магнитного поля (В = 0,05Тл). Определить макси­мальную ЭДС $ max, которая индуцируется в рамке при ее вращении с частотой ге = 40с .

468. Прямой проводящий стержень длиной / = 4 0 с м находится в однородном магнитном поле (В —0,1 Тл). Концы стержня замкнуты гибким проводом, находящим­

0— 105 145

ся вне поля. Сопротивление всей цепи /? = 0,5Ом. Какая мощность Р потребуется для равномерного перемещения стержня перпендикулярно линиям магнитной индукции со скоростью и — 10 м/с?

469. Проволочный контур площадью S = 5 0 0 c m 2 и со­противлением /? = 0,1 Ом равномерно вращается в одно­родном магнитном поле (В = 0,5Тл). Ось вращения ле­жит в плоскости кольца и перпендикулярна линиям маг­нитной индукции. Определить максимальную мощность Ршах» необходимую для вращения контура с угловой ско­ростью о = 50 рад/с.

470. Кольцо из медного провода массой m = 1 0 r помещено в однородное магнитное поле (В = 0,5Тл) так, что плоскость кольца составляет угол Р —60° с линиями

1 магнитной индукции. Определить заряд Q, который прой­дет по кольцу, если снять магнитное поле.

471. Соленоид сечением S = 1 0 cm2 содержит N = 103 витков. При силе тока 1 = 5 А магнитная индукция В поля внутри соленоида равна 0,05 Тл. Определить индук­тивность L соленоида.

472. На картонный каркас длиной /= 0 ,8 м и диамет­ром £) = 4см намотан в один слой провод диаметром d = 0,25 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу. Вычислить индуктивность L получившегося соле­ноида.

473. Катушка, намотанная на магнитный цилиндри­ческий каркас, имеет N = 250 витков и индуктивность L\ = 36 мГн. Чтобы увеличить индуктивность катушки до £ 2=100м Г н, обмотку катушки сняли и заменили обмот­кой из более тонкой проволоки с таким расчетом, чтобы длина катушки осталась прежней. Сколько витков оказа­лось в катушке после перемотки?

474. Индуктивность L соленоида, намотанного в один слой на немагнитный каркас, равна 0,5 мГн. Длина / соленоида равна 0,6 м, диаметр D = 2 см. Определить отношение п числа витков соленоида к его длине.

475. Соленоид содержит N = 800 витков. Сечение сер­дечника (из немагнитного материала) S = 1 0 cm2. По об­мотке течет ток, создающий поле с индукцией В = 8 мТл. Определить среднее значение ЭДС (Ss) самоиндукции, которая возникает на зажимах соленоида, если сила тока уменьшается практически до нуля за время \ t = = 0,8 мс.

476. По катушке индуктивностью L = 8 мкГн течет ток / = 6 А. Определить среднее значение ЭДС (gs) само­

146

индукции, возникающей в контуре, если сила тока изме­нится практически до нуля за время Д/ = 5мс.

477. В электрической цепи, содержащей резистор со­противлением R = 20 Ом и катушку индуктивностью /. = 0,06Гн, течет ток / = 2 0 А . Определить силу тока I и цепи через Д /= 0 ,2 мс после ее размыкания.

478. Цепь состоит из катушки индуктивностью L — = 0,1 Гн и источника тока. Источник тока отключили, не разрывая цепи. Время, через которое сила тока умень­шится до 0,001 первоначального значения, равно t = = 0,07 с. Определить сопротивление катушки.

479. Источник тока замкнули на катушку сопротив­лением /?= 10О м и индуктивностью А = 0,2Гн. Через какое время сила тока в иепи постигнет 50°/ максималь­ного значения?

480. Источник тока замкнули на катушку сопротив­лением R = 20 Ом. Через время / = 0,1 с тока I в ка­тушке достигла 0,95 предельного значения. Опреде­лить индуктивность L катушки.

5. ОПТИКА

Основные Формулы

Скорость света в средеv — c/n,

где с — скорость света в вакууме; п — показатель пре­ломления среды.

Оптическая длина пути световой волныL = nl,

где I — геометрическая длина пути световой волны в среде с показателем преломления п.

Оптическая разность хода двух световых волнД = L, — Li. '

Зависимость разности фаз от оптической разности хода световых волн

Л(р = 2 л ( т ) ’

где К — длина световой волны.

«* 147

Условиеференции

максимального усиления света

А = ± kX (k — 0, 1, 2,...)

при интер

Условие максимального ослабления света

A = ± ( 2 k + l ) ±

Оптическая разность хода световых волн, возникаю­щая при отражении монохроматического света от тонкой пленки,

Д = 2d-\/n2 — sin2i'i ±или

Я,А = 2drtcosi'2± -j-,

где d — толщина пленки; п — показатель преломления пленки; ii — угол падения; г2 — угол преломления света в пленке.

Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете rk = J(2k-^l)RX/2 (£ = 1 ,2 ,3 ,.. .) ,

где k — номер кольца; R — радиус кривизны.Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете

г к = У £/?£.

Угол ф отклонения лучей, соответствующий макси­муму (светлая полоса) при дифракции на одной щели, определяется из условия

a sin ф = (2£ + 1 )Х/2 (£ = 0, 1, 2, 3, ...),где а — ширина щели; k — порядковый номер макси­мума.

Угол ф отклонения лучей, соответствующий макси­муму (светлая полоса) при дифракции света на дифрак­ционной решетке, определяется из условия

ds inф = ±kX (£ = 0, 1, 2, 3, ...),где d — период дифракционной решетки.

Разрешающая способность дифракционной решеткиR = X/AX = kN,

где АХ — наименьшая разность длин волн двух соседних спектральных линий (X и А. + АЛ.), при которой эти линии

148

могут быть видны раздельно в спектре, полученном по­средством данной решетки; N — полное число щелей решетки.

Формула Вульфа — Брэггов2dsin0=M ,

где 0 — угол скольжения (угол между направлением параллельного пучка рентгеновского излучения, падаю­щего на кристалл, и атомной плоскостью в кристалле); d — расстояние между атомными плоскостями кристалла.

Закон Брюстераt g e B= П21,

где ев — угол падения, при котором отразившийся от диэлектрика луч полностью поляризован; Я21 — относи­тельный показатель преломления второй среды относи­тельно первой.

Закон Малюса/ = /о cos2 ос,

где /о — интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; I — интенсивность этого света после анализатора; а — угол между направлением коле­баний электрического вектора света, падающего на ана­лизатор, и цлоскостью пропускания анализатора (если колебания электрического вектора падающего света совпадают с этой плоскостью, то анализатор пропускает данный свет без ослабления).

Угол поворота плоскости поляризации монохромати­ческого света при прохождении через оптически активное вещество:

а) ф = а d (в твердых телах),где а — постоянная вращения; d — длина пути, прой­денного светом в оптически активном веществе;

б) ф = [а]рг/ (в растворах),

где [ а] — удельное вращение; р — массовая концентра­ция оптически активного вещества в растворе.

Релятивистская масса ‘т то

л/1 — {v/c? ’или т т0

где то — масса покоя частицы; v — ее скорость; с —- скорость света в вакууме; р — скорость частицы, выра­женная в долях скорости света (р = и/с).

149

Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы

где Т — кинетическая энергия релятивистской частицы. Кинетическая энергия релятивистской частицы

Импульс релятивистской частицы

Связь между полной энергией и импульсом реляти­вистской частицы

Закон Стефана — Больцмана Re = o T \

где Re — энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черного тела; а — постоянная Стефана — Больцмана; Т — термодинамическая температура Кель­вина.

Закон смещения Вина

где кт — длина волны, на которую приходится макси­мум энергии излучения; b — постоянная Вина.

Энергия фотона

где h — постоянная Планка; % — постоянная Планка, деленная на 2л; v — частота фотона; to — циклическая частота.

Масса фотона

где с — скорость света в вакууме; к — длина волны фо тона.

Е = тс2, или Е = -

где Е0 = т0с2 — энергия покоя частицы. Полная энергия свободной частицы

Е = Е 0+ Т ,

Е2 = Е1 + (рс)2.

кт = Ь/Т,

e = /tv, или е=Йсо,

т = г /с2 = h/(ck),

150

Импульс фотонаp = mc— h/X.

Формула Эйнштейна для фотоэффектаhx = A + Tmax = A + mv2m ах/2,

где hx — энергия фотона, падающего на поверхность металла; А — работа выхода электрона; Ттах — макси­мальная кинетическая энергия фотоэлектрона.

Красная граница фотоэффектаx0 = A/h, или Хо = hc/A,

где vo — минимальная частота света, при которой еще возможен фотоэффект; А,о — максимальная длина волны света, при которой еще возможен фотоэффект; h — постоянная Планка; с — скорость света в вакууме.

Формула Комптона

АХ=Х' — к = — (1 —cos0),т0с 4 7

ИЛИ

АХ— Х' — Х= 2— sin2-^-,тос 2где X — длина волны фотона, встретившегося со свобод­ным или слабосвязанным электроном; X' — длина волны фотона, рассеянного на угол 0 после столкновения с электроном; то — масса покоящегося электрона.

Комптоновская длина волныA = h/(moc) (А = 2,436 пм).

Давление света при нормальном падении на поверх­ность

р = Ее{ 1 + р)/с = w{ 1 + р),где Ее — энергетическая освещенность (облученность); w — объемная плотность энергии излучения; р — коэф­фициент отражения.

* * .

Примеры решения задач

Пример 1. От двух когерентных источников Si и 5г (А,= 0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблю­дается интерференционная картина. Когда на пути одно­го из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (/1=1,33), интерференционная картина измени­

151

лась на противоположную. При какой наименьшей толщине dmin пленки это возможно?

Р е ш е н и е . Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках экрана, где‘наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы. Такой сдвиг интерференционной картины возможен при изме­нении оптической разности хода пучков световых волн на нечетное число половин длин волн, т. е.

Д2 —д, = (2 6 + 1)Л/2, (1)где At — оптическая разность хода пучков световых волн до внесения пленки; Дг — оптическая разность хода тех же пучков после внесения пленки; k — 0, ± 1 , ± 2 ,

Наименьшей толщине dmin пленки соответствует k=0. При этом формула (1) примет вид

As — Ai = Я./2. (2)Выразим оптические разности хода Дг и Д1. Из рис. 59

следует;ДI = /1 — /г,

Аг=[(/1 —dmin) -f-ndm in] — / 2 = (Л —^2) “f“ dm in(n— 1).Подставим выражения Д1 и Дг в формулу (2):

(Л — /г) 4 -d min(n — 1) — (Л — /г) == V 2 ,или

Отсюдаdmin(n — 1) — А./2-

drain = A / [ 2( n - l ) ] .

Произведем вычисления:

drain = 2(1 зз8_ ! ) м км = 1,21 мкм.

Пример 2. На стеклянный клин с малым углом нор­мально к его грани падает параллельный пучок лучей

монохроматического света с дли­ной волны А = 0,6 мкм. Число т возникающих при этом интерферен­ционных полос, приходящихся на отрезок клина длиной /, равно 10. Определить угол а клина.

Р е ш е н и е . Параллельный пучок света, падая нормально к

152

грани клина, отражается как от верхней, так и от нижней грани. Эти отраженные пучки света когерентны. Поэтому на поверхности клина будут наблюдаться интерференцион­ные полосы. Так как угол клина мал, то отраженные пуч­ки / и 2 света (рис. 60) будут практически параллельны.

Темные полосы видны на тех участках клина, для которых разность хода лучей кратна нечетному числу половин длин волн:

Д = (2Л + 1)Л/2 (Л = 0 ,± 1 , ± 2 , ...). (1)

Разность хода Д двух волн складывается из разности оптических длин путей этих волн (2dncos&i) и половины длины волны (Х/2)- Величина \ / 2 представляет собой добавочную разность хода, возникающую при отражении световой волны 1 от оптически более плотной среды. Подставляя в формулу (1) разность хода Д световых волн, получаем

2dkn cos 62 + V 2 = (2 fe + 1 )Я/2 , (2 )

где п — показатель преломления стекла (л =1,5); dk — толщина клина в том месте, где наблюдается темная полоса, соответствующая номеру k\ — угол прелом­ления.

Согласно условию, угол падения равен нулю; следо­вательно, и угол преломления е£ равен нулю, a cose2= l . Раскрыв скобки в правой части равенства (2), после упрощения получим

2 dkn = kk. (3)

153

Пусть произвольной темной полосе /г-го номера соот­ветствует толщина dk клина, а темной полосе k-\-m-го номера — толщина dk+m клина. Тогда (рис. 60), учиты­вая, что т полос укладывается на расстоянии /, найдем:

sin a = ( d k+m — dk)/l. (4)Выразим из (3) dk и dk+т и подставим их в формулу

(4). Затем, учитывая, что sina= a(H 3-3a малости угла а), получим

__ (k-\-m)X — k X тХа 2nl 2nl '

Подставляя значения физических величин, найдем

а ю-0,6-ю-42 - 1 , 5 - 1

рад = 2-10 4 рад.

Выразим а в секундах. Для этого можно восполь­зоваться соотношением между радианом и секундой: 1 рад = 206 265" « 2 ,0 6 -1 05". Тогда

а = 2 -1 0 ~ 4-2,06-105" = 41,2".Пример 3. На дифракционную решетку в направле­

нии нормали к ее поверхности падает монохроматиче­ский свет. Период решетки ^ = 2 м к м . Определить наи­больший порядок дифракционного максимума, который дает эта решетка в случае красного (A,i = 0,7 мкм) и в случае фиолетового (Х-2 = 0,41 мкм) света.

Р е ш е н и е . Из формулы, определяющей положение главных максимумов дифракционной решетки, найдем порядок т дифракционного максимума:

т — (dsintp) /X, (1)где d — период решетки; <р — угол дифракции; X — длина волны монохроматического света. Так как sin ф не может быть больше 1, то число т не может быть больше d/X, т. е.

m ^ d / X . (2)Подставив в формулу (2) значения величин, получим:

2/0,7 = 2,86 (для красных лучей); т ^ 2 /0 ,4 1 = 4,88 (для фиолетовых лучей).

Если учесть, что порядок максимумов является це­лым числом, то для красного света rnma* = 2 и для фиоле­тового т шах — 4.

154

Пример 4. Пучок естествен­ного света падает на полиро­ванную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жид­кость. Отраженный от пластины пучок света образует угол <р=97° с падающим пучком (рис. 61).Определить показатель прелом­ления п.\ жидкости, если отра­женный свет максимально поля­ризован.

Р е ш е н и е . Согласно за­кону Брюстера, пучок света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю пре­ломления tge = Л21, где п2\ — показатель преломления вто­рой среды (стекла) относительно первой (жидкости).

Относительный показатель преломления равен отно­шению абсолютных показателей преломления. Следова­тельно, tge = «2/« i.

Так как угол падения равен углу отражения, то е=ср/2 и, следовательно, tg(q>/2) = «2/n i, откуда

Я П21 tg(<p/2) '

Рис. 61

Произведем вычисления:1,5 1,5

п ' ~ tg(97°/2) — 1,131,33.

Пример 5. Два николя Ni и N2 расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет а = 60°. Определить, во сколько раз уменьшится интен­сивность / о естественного света: 1) при прохождении через один николь N t; 2) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в николе k = = 0,05. Потери на отражение света не учитывать. ,

Р е ш е н и е 1. Естественный свет, падая на грарь призмы Николя (рис. 62), расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два пучка: обыкновенный и необыкновенный. Оба пучка одинаковы по интенсив­ности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного пучка лежит в плоскости чертежа (плоскость главного сечения). Плоскость колебаний

155

обыкновенного пучка перпендикулярна плоскости черте­жа. Обыкновенный пучок света (о) вследствие полного отражения от границы АВ отбрасывается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный пучок (е) проходит через призму, уменьшая свою интен­сивность вследствие поглощения. Таким образом, интен­сивность света, прошедшего через первую призму,

/, = у 2/ 0(1 -й ) .

Относительное уменьшение интенсивности света полу­чим, разделив интенсивность / 0 естественного света, падающего на первый николь, на интенсивность / 1 поля­ризованного света:

/о 21 о 2 / 1 ^17 ^ ■ ' 1'

Произведем вычисления:

Таким образом, интенсивность уменьшается в 2,1 раза.2. Плоскополяризованный пучок света интенсивности

1\ падает на второй николь N 2 и также расщепляется на два пучка различной интенсивности: обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный пучок полностью погло­щается призмой, поэтому интенсивность его нас не интересует. Интенсивность /2 необыкновенного пучка, вышедшего из призмы N2, определяется законом Малюса (без учета поглощения света во втором николе):

/2 = /icos2a,где а — угол между плоскостью колебаний в поляризо­ванном пучке и плоскостью пропускания николя N 2 -

156

Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором николе, получаем

/2 = /i(l —A:)cos2oc.Искомое уменьшение интенсивности при прохождении

света через оба николя найдем, разделив интенсив­ность /о естественного света на интенсивность /2 света, прошедшего систему из двух николей:

/о /оh / i( 1— k ) cos2 а ‘

Заменяя отношение Io/Ii его выражением по форму­ле (1), получаем

/о _ 2/2 (1—k)2cos2a ‘

Произведем вычисления:/о 2/2 ~ (1 —0,05)2cos260° ~~ ’

Таким образом, после прохождения света через два николя интенсивность его уменьшится в 8,86 раза.

Пример 6. Плоскополяризованный монохроматический пучок света падает на поляроид и полностью им гасится. Когда на пути пучка поместили кварцевую пластину, интенсивность / пучка света после поляроида стала рав­на половине интенсивности пучка, падающего на поля­роид. Определить минимальную толщину кварцевой пластины. Поглощением и отражением света поляроидом пренебречь, постоянную вращения а кварца принять рав­ной 48,9 град/мм.

Р е ш е н и е . Полное гашение света поляроидом озна­чает, что плоскость пропускания поляроида (штриховая линия на рис. 63) перпендикулярна плоскости колебаний (I—I) плоскополяризованного света, падающего на него. Введение кварце­вой пластины приводит к повороту плоскости колебаний света на угол

ф = «/, (1)где I — толщина пластины.

Зная, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохожде­нии его через поляроид, определим угол р, который установится между

157

плоскостью пропускания поляроида и новым направлением (II—II) плоскости колебаний падающего на поляроид плоскополяризованного света. Для этого воспользуемся законом Малюса

I — /ocos2f$.Заметив, что р = п/г — ф, можно написать

/ = / о COS2 ( " / 2 —ф), или /= /о 3 1 П 2ф. (2)Из равенства (2) с учетом (1) получим ос/ =

= arcsin-\////o . откуда искомая толщина пластины / = (1/a )a rc s im ////0 .

Произведем вычисления во внесистемных единицах:

/ = _ a r c s m y /2 м м = ■ — мм = 16 мкм.

Пример 7. Определить импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью v — = 0,9 с, где с — скорость света в вакууме.

Р е ш е н и е . Импульсом частицы называется произ­ведение массы частицы на ее скорость:

p = mv. (1)Так как скорость электрона близка к скорости света,

то необходимо учесть зависимость массы от скорости, определяемую по формуле

m = mo/V 1 — Р2 , (2)где m — масса движущейся частицы; т0 — масса покоя­щейся частицы; р — v/c — скорость частицы, выраженная в долях скорости света.

Заменив в формуле (1) массу т ее выражением (2) и приняв во внимание, что п = ср , получим выражение для релятивистского импульса:

Рт0 рс т0

V 1 —(с/с)2рс. (3)

Произведем вычисления:

р = - = ~-3' 0 ,9 -3 -108 кг -м/с = 5,6- К Г 22 кг-м/с. V1 -0,81 ‘ ’

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энер­гией Е и энергией покоя Е0 этой частицы, т. е. Т— Е — Е0.

158

Так как Е = т с 2 и £ 0 = тос2, то, учитывая зависимость массы от скорости, получаем 7 = /лос2/У 1 — р2 — т0с2 или

Т = тЛV T 3 F ""1)'- <4)Произведем вычисления:

Г = 9 ,Ы 0 - 31.(3.108)2-( , 1 - А Дж =4 7 V VI —0,81 /

= 8,18-10—14-(2,29 — 1) Дж = 1,06-10-13 Дж.

Так как во внесистемных единицах шос2 = 0,51 МэВ, то вычисления упрощаются:

7 = 0,51-1,29 МэВ = 0,66 МэВ.

Пример 8. Определить релятивистский импульс элект­рона, обладающего кинетической энергией 7 = 5 МэВ.

Р е ш е н и е . Решение задачи сводится к установле­нию соотношения между релятивистским импульсом р частицы и ее кинетической энергией 7.

Сначала установим связь между релятивистским им­пульсом и полной энергией частицы. Полная энергия Е частицы прямо пропорциональна ее массе, т. е.

Е = me2. (1)Зависимость массы от скорости определяется фор­

мулойm = /Ло/У 1 — £2 - (2)

Заменив массу m в формуле (1) ее выражением (2) и приняв во внимание, что пгоС2 = Е0, получим

Е = £ 0/У 1 — р2 . (3)Возведя обе части равенства (3) в квадрат, найдем £ 2 = £ о/ ( 1— Р2), откуда

£ 2 - ( р £ ) 2 = £§. , (4)

Очевидно, что ‘ •-р£ = (v/c)mc2 = mvc = pc.

Поэтому равенство (4) можно переписать в виде £ 2 — — р2с2 = £ 2, откуда релятивистский импульс

р = (У е)У £ * -£ 8 = ( ‘/ с) У ( £ - £ 0)(£+ £о) .

159

Разность между полной энергией и энергией покоя есть кинетическая энергия Т частицы: Е — Ео=Т. Легко убе­диться, что Е + Ео= Т + 2Е0, поэтому искомая связь между импульсом и кинетической энергией релятивист­ской частицы выразится формулой

p = ± ^ [ T ( T + Щ .

Вычисления удобно провести в два приема: сначала найти числовое значение радикала во внесистемных еди­ницах, а затем перейти к вычислению в единицах СИ. Таким образом,

р _ У Г (7 ~ + 2 £ о ) _ -\/5(5 + 2 -0 .5 1 ) ^ МэВ ” с с с

= 5’5'з ^ 01°- - 3 Дж = 2,93 • К Г 21 кг • м/с.

Пример 9. Длина волны, на которую приходится мак­симум энергии в спектре излучения черного тела, к0= =0,58 мкм. Определить энергетическую светимость (из- лучательность) R e поверхности тела.

Р е ш е н и е . Энергетическая светимость Re абсолют­но черного тела в соответствии с законом Стефана — Больцмана пропорциональна четвертой степени термоди­намической температуры и выражается формулой

Re = o T \ (1)где о — постоянная Стефана — Больцмана; Т — термоди­намическая температура.

Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вина:

U = b / T , (2)где Ь — постоянная закона смещения Вина.

Используя формулы (2) и (1), получаемRe = o ( b / k о)4. (3)

Произведем вычисления:

Re = 5,67 • 10-®( 4 Вт/м2 = 3,54 - 107 Вт/м2 =

=35,4 МВт/м2.Пример 10. Определить максимальную скорость и max

фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра:

160

1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны Ai = = 0,155 мкм; 2) у-излучением с длиной волны 1 им.

Р е ш е н и е . Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фото­эффекта:

где е — энергия фотонов, падающих на поверхность металла; А — работа выхода; Тта — максимальная кине­тическая энергия фотоэлектронов.

Энергия фотона вычисляется также по формуле

где А — постоянная Планка; с — скорость света в ва­кууме; А — длина волны.

Кинетическая энергия электрона может быть выра­жена или по классической формуле

в зависимости от того, какая скорость сообщается фото­электрону. Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия е фото­на много меньше энергии покоя Ео электрона, то может быть применена формула (3), если же е сравнима по величине с Ео, то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4).

1. Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по формуле (2):

энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3):

е — А + Т, (О

е = Ас/А, (2)

Т = m0v2/ 2,или по релятивистской формуле

(3)

Т = Ео( 1 /лЛ — р2 — 1) (4 )

Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше

8 1 = А + т < Щ ш а х / 2 ,

161

откуда* = -V2(ei — Л)/m 0 . (5)

Проверим, дает ли полученная формула единицу скорости. Для этого в правую часть формулы (5) вместо символов величин подставим обозначения единиц:

/ f e , — Л ] \ ‘ / 2 /' 1 Д ж \ * / 2 / ' 1 к г - м 2/ с 2\

К [ т о ] ) \ V 1 КГ / ' X 1 К Г /

\ 1/2А = 1 м/с.

Найденная единица является единицей скорости. Подставив значения величин в формулу (5), найдем

- , / 2(1,28• 10 - 18 — 0,75-10-1 8 ) , ____ , ЛО 1 П 6 . .Отах— 9 11- К )-31 M /C — 1,08.10 М/С.

2. Вычислим энергию фотона уизлучения:

е2 = he 6,63-1(Г34-3-10810“

Д ж = 1,99-10~13 Дж,

или во внесистемных единицах 1,99-10“ 13

62 = 1,6- юэВ = 1,24-106 э В = 1,24 МэВ.

Работа выхода электрона (Л = 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона (е2= 1,24 МэВ), поэтому можно, принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: Ттах==е2 = = 1,24 МэВ. Так как в данном случае кинетическая энер­гия электрона больше его энергии покоя, то для вычис­ления скорости электрона следует взять релятивистску- формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдем

(3 = У(2£0 + Т)7' /(Ео + Т).Заметив, что v= c fi и Ттах = е 2, получим

У max = сУ(2£0 + е2)е2 /{Е0 + е2).Произведем вычисления*:

t w = 3-108- ^ -°о’5511+ 1;224] •]'24 м/с = 2,85• 108 м/с.

Пример 11. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол # =

* Энергии Ео и е2 входят в формулу в виде отношения,- поэтому их можно не выражать в единицах СИ.

162

= 90°. Энергия рассеянного фотона е2 = 0,4 МэВ. Опре­делить энергию фотона ei до рассеяния.

Р е ш е н и е . Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона:

АД, = 2 —— sin2 тр. ( 1 )тоС 2

где АХ = Х2— -1 — изменение длины волны фотона в ре­зультате рассеяния на свободном электроне; h — пос­тоянная Планка; т0 — масса покоя электрона; с — ско­рость света в вакууме; Ф — угол рассеяния фотона.

Преобразуем формулу (1) : 1) заменим в ней АХ на Х2 — Х1; 2) выразим длины волн A,i и Х2 через энергии ei и 62 соответствующих фотонов, воспользовавшись фор­мулой e= h c /X \ 3) умножим числитель и знаменатель правой части формулы на с. Тогда

he he82 ei

he 0 . 9 0 ------ 5-2 sin'' —m0c 2Сократим на he и выразим из этой формулы искомую

энергию:_ _ „2 „ С

( 2)ei Е2/П0С ег£отоС2 — е22 sin2 (#/2) Е0 — 2е0 sin (0/2) ’

где Е0 = т0с2 — энергия покоя электрона.Вычисления по формуле (2) удобнее вести во внесис­

темных единицах. Так как для электрона Ео = 0,511 МэВ,то

0,4-0,511ei 0 ,5 1 1 -2 - 0 ,4 sin2 (9072) МэВ = 1,85 МэВ.

Пример 12. Пучок монохроматического света с длиной волны X = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения Фе = 0,6 Вт. Определить: 1) силу давления F, испытываемую этой по­верхностью; 2 ) число фотонов ежесекундно падающих на поверхность.

Р е ш е н и е . 1. Сила светового давления на поверх-t ность равна произведению светового давления р на пло-- щадь S поверхности:

F = p S . (1)Световое давление может быть найдено по формуле

р = £ е(р + 1) / с , (2 )где Ее — энергетическая освещенность;

163

с — скорость света в вакууме; р — коэффициент отраже­ния.

Подставляя правую часть выражения (2) в формулу (1), получаем

F = £ eS ( p + \ ) / с . ( 3)

Так как EeS представляет собой поток излучения Ф„то

F = Фс( р + 1)/с. ( 4 )

Произведем вычисления, учитывая, что для зеркаль­ной поверхности р = 1:

F = 0,63- 10й (1 + 1)Н = 4нН.

2. Произведение энергии е одного фотона на число! фотонов п |, ежесекундно падающих на поверхность,] равно мощности излучения, т. е. потоку излучения: Фй = = вп 1, а так как энергия фотона е = hc/X, то

Ф«. = hcn\/X ,откуда

п\ = ФД/(he) . (5) |Произведем вычисления: I

п 1 0,6-6,63-10-6,63-ю - 34.з-ю' с -1 = 2 • 1018с~'.

Задачи для самостоятельного решения

1. На пути пучка света поставлена стеклянная плас­тина толщиной d = 1 мм так, что угол падения луча i, = 30°. На сколько изменится оптическая длина пути] светового пучка? [550 мкм]

2. На мыльную пленку с показателем преломления! л = 1 ,3 3 падает по нормали монохроматический свет| с длиной волны X = 0,6 мкм. Отраженный свет в резуль­тате интерференции имеет наибольшую яркость. Какова наименьшая возможная толщина dmm пленки? [0,113 мкм]

3. Радиус второго темного кольца Ньютона в отра­женном свете г2 = 0,4 мм. Определить радиус R кривизны] плосковыпуклой линзы, взятой для опыта, если она осве- j

164

щается монохроматическим светом с длиной волны А = = 0,64 мкм. [125 мм]

4. На пластину с щелью, ширина которой а = 0,05 мм, падает нормально монохроматический свет с длиной вол­ны А = 0,7 мкм. Определить угол <р отклонения лучей, соответствующий первому дифракционному максимуму.11°12']

5. Дифракционная решетка, освещенная нормально падающим монохроматическим светом, отклоняет спектр третьего порядка на угол <pi = 30°. На какой угол фг отклоняет она спектр четвертого порядка? [41°50']

6. Угол преломления луча в жидкости г2 = 35°. Опре­делить показатель преломления п жидкости, если извест­но, что отраженный пучок света максимально поляризо­ван. [1,48]

7. На сколько процентов уменьшается интенсивность света после прохождения через призму Николя, если потери света составляют 10%? [На 55%]

8. При какой скорости v релятивистская масса час­тицы в k — 3 раза больше массы покоя этой частицы? [2,83- 108 м/с]

9. Определить скорость v электрона, имеющего кине­тическую энергию Т = 1,53 МэВ. [2,91 • 108 м/с]

10. Электрон движется со скоростью v = 0,6 с, где с — скорость света в вакууме. Определить релятивист­ский импульс р электрона. [2,0- 10-22 кг-м /с]

11. Вычислить энергию, излучаемую за время t = = 1 мин с площади S = 1 см2 абсолютно черного тела, температура которого Т = 1000 К. [340 Дж]

12. Длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно черного тела, Ат = 0,6 мкм. Определить температуру Т тела. [4,82 кК]

13. Определить максимальную спектральную плот­ность (гк,т) шах энергетической светимости (излучатель- ности), рассчитанную на 1нм в спектре излучения абсо­лютно черного тела. Температура тела Т = 1 К. [13 Вт/ / (м2• нм)]

14. Определить энергию е, массу m и импульс р фото­на с длиной волны А = 1,24 нм. [1,60- 10-16 Дж; 1,78 X- X 10~33 кг; 5,35* 10"25 кг м/с]

15. На пластину падает монохроматический свет (А = 0,42 мкм). Фототок прекращается при задерживаю­щей разности потенциалов U = 0,95 В. Определить рабо­ту А выхода электронов с поверхности пластины. [2 эВ].

165

16. На цинковую пластину падает пучок ультрафио­летового излучения (А, = 0,2 мкм). Определить макси­мальную кинетическую энергию Ттах и максимальную скорость итах фотоэлектронов. [2,2 эВ; 8,8- 105 м/с]

17. Определить максимальную скорость итах фото­электрона, вырванного с поверхности металла у-квантом с энергией е = 1,53 МэВ [2,91 • 108 м/с]

18. Определить угол б1 рассеяния фотона, испытавше­го соударение со свободным электроном, если измене­ние длины волны при рассеянии ДА,= 3,63 пм. [120°]

19. Фотон с энергией ei, равной энергии покоя электрона (тос2), рассеялся на свободном электроне на угол Ф = 120°. Определить энергию е2 рассеянного фотона и кинетическую энергию Т электрона отдачи (в единицах m0c2) . [0,4т0с2; 0 ,6 т0с2]

2 0 . П о т о к энергии, излучаемой электрической лампой, фе = 600 Вт. На расстоянии г = 1 м от лампы перпен­дикулярно падающим лучам расположено круглое плос­кое зеркальце диаметром d = 2 см. Определить силу F светового давления на зеркальце. Лампу рассматривать как точечный изотропный излучатель. [0,1 нН]

21. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны X — 0,663 мкм падает на зачерненную поверхность и производит на нее давление р — 0,3 мкПа. Определить концентрацию п фотонов в световом пучке. [1012 м -3]

Контрольная работа 5

Таблицы вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики

шесть контрольных работ

Ва­риант

0 5101 5012 5023 5034 5045 5056 5067 5078 5089 509

Номера задач

520511512513514515516517518519

530521522523524525526527528529

540531532533534535536537538539

550541542543544545546547548549

560551552553554555556557558559

570561562563564565566567568569

580571572573574575576577578579

166

Таблица вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики

четыре контрольных работы

Ва­риант

Номера задач

0 510 530 550 570 610 630 650 6701 501 521 541 561 601 621 641 6612 502 522 542 562 602 622 642 6623 503 523 543 563 603 623 643 6634 504 524 544 564 604 624 644 6645 505 525 545 565 605 625 645 6656 506 526 546 566 606 626 646 6667 507 527 547 567 607 627 647 6678 508 528 548 568 608 628 648 6689 509 529 549 569 609 629 649 669

501. Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плосковыпуклой линзой находится жидкость. Найти пока­затель преломления жидкости, если радиус г3 третьего темного кольца Ньютона при наблюдении в отраженном свете с длиной волны Я = 0,6 мкм равен 0,82 мм. Радиус кривизны линзы R — 0,5 м.

502. На тонкую пленку в направлении нормали к ее поверхности падает монохроматический свет с длиной волны Я = 500 нм. Отраженный от нее свет максимально усилен вследствие интерференции. Определить минималь­ную толщину d mm пленки, если показатель преломления материала пленки п — 1,4.

503. Расстояние L от щелей до экрана в опыте Юнга равно 1 м. Определить расстояние между щелями, если на отрезке длиной I = 1 см укладывается N = 10 темных интерференционных полос. Длина волны Я = 0,7 мкм.

504. На стеклянную пластину положена выпуклой стороной плосковыпуклая линза. Сверху линза освеще­на монохроматическим светом длиной волны Я = 500 нм. Найти радиус R линзы, если радиус четвертого, темного кольца Ньютона в отраженном свете Г\ — 2 мм.

505. На тонкую глицериновую пленку толщиной d = = 1,5 мкм нормально к ее поверхности падает белый, свет. Определить длины волн Я лучей видимого участка спектра (0,4 ^ Я ^ 0,8 мкм), которые будут' ослаблены в результате интерференции.

506. На стеклянную пластину нанесен тонкий слой прозрачного вещества с показателем преломления п = = 1,3. Пластинка освещена параллельным пучком монохроматического света с длиной волны Я = 640 нм,

167

падающим на пластинку нормально. Какую минимальную] толщину d min должен иметь слой, чтобы отраженный пу-] чок имел наименьшую яркость?

507- На тонкий стеклянный клин падает нормально параллельный пучок света с длиной волны А = 500 нм. ] Расстояние между соседними темными интерференцион-1 ными полосами в отраженном свете 6 = 0,5 мм. Опреде-1 лить угол а между поверхностями клина. Показатель преломления стекла, из которого изготовлен клин, п — ] = 1,6 .

508. Плосковыпуклая стеклянная линза с / = 1 м | лежит выпуклой стороной на стеклянной пластин-1 ке. Радиус пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете гъ = 1,1 мм. Определить длину световой волны А.]

509. Между двумя плоскопараллельными пластинами I на расстоянии L = 10 см от границы их соприкосновения] находится проволока диаметром d = 0,01 мм, образуя] воздушный клин. Пластины освещаются нормально па-] дающим монохроматическим светом (А, = 0,6 мкм).| Определить ширину Ь интерференционных полос, наблю-] даемых в отраженном свете.

510. Установка для наблюдения колец Ньютона осве-1 щается нормально падающим монохроматическим светом | (А = 590 нм). Радиус кривизны R линзы равен 5 см.] Определить толщину d3 воздушного промежутка в том I месте, где в отраженном свете наблюдается третье свет-] лое кольцо.

511. Какое наименьшее число Nmin штрихов должна] содержать дифракционная решетка, чтобы в спектре] второго порядка можно было видеть раздельно две жел-| тые линии натрия с длинами волн Ai = 589,0 нм и Аг =1 = 589,6 нм? Какова длина I такой решетки, если постоян-1 ная решетки d = 5 мкм?

512. На поверхность дифракционной решетки нор-1 мально к ее поверхности падает монохроматический свет.1 Постоянная дифракционной решетки в п = 4,6 раза боль-1 ше длины световой волны. Найти общее число М дифрак-| ционных максимумов, которые теоретически можно] наблюдать в данном случае.

513. На дифракционную решетку падает нормально] параллельный пучок белого света. Спектры третьего и] четвертого порядка частично накладываются друг на] друга. На какую длину волны в спектре четвертого по-| рядка накладывается граница (А = 780 нм) спектра] третьего порядка?

168

5 1 4 . 'Н а дифракционную решетку, содержащую п — — 600 штрихов на миллиметр, падает нормально белый свет. Спектр проецируется помещенной вблизи решетки линзой на экран. Определить длину I спектра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана L = 1,2 м. Границы видимого спектра: А,„р = 780 нм, А,ф = 400 нм.

5 1 5 . На грань кристалла каменной соли падает па­раллельный пучок рентгеновского излучения. Расстоя­ние d между атомными плоскостями равно 280 пм. Под углом 0 = 65° к атомной плоскости наблюдается дифрак­ционный максимум первого порядка. Определить длину волны А, рентгеновского излучения.

5 1 6 . На непрозрачную пластину с узкой щелью па­дает нормально плоская монохроматическая световая волна (А, = 600 нм). Угол отклонения лучей, соответст­вующих второму дифракционному максимуму, ф = 2 0 °. Определить ширину а щели.

5 1 7 . На дифракционную решетку, содержащую п = = 100 штрихов на 1 мм, нормально падает монохрома­тический свет. Зрительная труба спектрометра наведена на максимум второго порядка. Чтобы навести трубу на другой максимум того же порядка, ее нужно повернуть на угол Д<р = 16°. Определить длину волны А, света, па­дающего на решетку.

5 1 8 . На дифракционную решетку падает нормально монохроматический свет (А, = 410 нм). Угол Дф между направлениями на максимумы первого и второго поряд­ков равен 2°21'. Определить число п штрихов на 1 мм дифракционной решетки.

5 1 9 . Постоянная дифракционной решетки в п = 4 ра­за больше длины световой волны монохроматического света, нормально падающего на ее поверхность. Опреде­лить угол а между двумя первыми симметричными ди­фракционными максимумами.

5 2 0 . Расстояние между штрихами дифракционной ре­шетки d = 4 мкм. На решетку падает нормально свет с длиной волны А, = 0,58 мкм. Максимум какого наиболв-. шего порядка дает эта решетка?

521. Пластинку кварца толщиной d = 2 мм помести­ли между параллельными николями, в результате чего плоскость поляризации монохроматического света повер­нулась на угол ф = 53°. Какой наименьшей толщины f/min следует взять пластинку, чтобы поле зрения поляри­метра стало совершенно темным?

169

522. Параллельный пучок света переходит из глице­рина в стекло так, что пучок, отраженный от границы раздела этих сред, оказывается максимально поляризо­ванным. Определить угол у между падающим и прелом­ленным пучками.

523. Кварцевую пластинку поместили между скрещен­ными николями. При какой наименьшей толщине dmi„ кварцевой пластины поле зрения между николями будет максимально просветлено? Постоянная вращения а квар­ца равна 27 град/мм.

524. При прохождении света через трубку длиной /i = 20 см, содержащую раствор сахара концентрацией С | = 10%, плоскость поляризации света повернулась на угол ф) = 13,3°. В другом растворе сахара, налитом в трубку длиной /2 = 15 см, плоскость поляризации повернулась на угол ф2 = 5,2°. Определить концентрацию Сг второго раствора.

525. Пучок света последовательно проходит через два николя, плоскости пропускания которых образуют между собой угол ф = 40°. Принимая, что коэффициент погло­щения k каждого николя равен 0,15, найти, во сколько раз пучок света, выходящий из второго николя, ослаблен по сравнению с пучком, падающим на первый ни- коль.

526. Угол падения е луча на поверхность стекла равен 60°. При этом отраженный пучок света оказался макси­мально поляризованным. Определить угол е£ преломле­ния луча.

527. Угол а между плоскостями пропускания полярои­дов равен 50°. Естественный свет, проходя через такую систему, ослабляется в п — 8 раз. Пренебрегая поте­рей света при отражении, определить коэффициент погло­щения k света в поляроидах.

528. Пучок света, идущий в стеклянном сосуде с гли­церином, отражается от дна сосуда. При каком угле е падения отраженный пучок света максимально поляри­зован?

529. Пучок света переходит из жидкости в стекло. Угол падения е пучка равен 60°, угол преломления е2 = 50°. При каком угле падения ев пучок света, отра­женный от границы раздела этих сред, будет максималь­но поляризован?

530. Пучок света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину, нижняя поверхность которой находится в воде. При каком угле падения ев свет,

170

отраженный от границы стекло—вода, будет максимально поляризован?

531. Частица движется со скоростью v = с/3, где с — скорость света в вакууме. Какую долю энергии покоя составляет кинетическая энергия частицы?

532. Протон с кинетической энергией Т — 3 ГэВ при торможении потерял треть этой энергии. Определить, во сколько раз изменился релятивистский импульс а-час- тицы.

533. При какой скорости р (в долях скорости света) релятивистская масса любой частицы вещества в п — 3 раза больше массы покоя?

534. Определить отношение релятивистского импульса р-электрона с кинетической энергией Т = 1,53 МэВ к комптоновскому импульсу т0с электрона.

535. Скорость электрона v = 0,8 с (где с — скорость света в вакууме). Зная энергию покоя электрона в мегаэлектрон-вольтах, определить в тех же единицах кинетическую энергию Т электрона.

536. Протон имеет импульс р = 469 МэВ/с*. Какую кинетическую энергию необходимо дополнительно со­общить протону, чтобы его релятивистский импульс воз­рос вдвое?

537. Во сколько раз релятивистская масса m элек­трона, обладающего кинетической энергией Т = 1,53 МэВ, больше массы покоя то?

538. Какую скорость р (в долях скорости света) нуж­но сообщить частице, чтобы ее кинетическая энергия бы­ла равна удвоенной энергии покоя?

539. Релятивистский электрон имел импульс р\ = т0с. Определить конечный импульс этого электрона (в еди­ницах тос), если его энергия увеличилась в п — 2 раза.

540. Релятивистский протон обладал кинетической энергией, равной энергии покоя. Определить, во сколько раз возрастет его кинетическая энергия, если его им­пульс увеличится в п — 2 раза.

541. Вычислить истинную температуру Т вольфрамо­вой раскаленной ленты, если радиационный пирометр показывает температуру Траа = 2,5 кК. Принять, что по-, глощательная способность для вольфрама не зависит от частоты излучения и равна а, = 0,35.

» 1 М эВ/с — единица импульса:

1 МэВ/с =1,60- 10-,3 Дж

3- 108м/с 5,33- К Г 22 кг-м/с.

171

542. Черное тело имеет температуру Т\ — 500 К. Како­ва будет температура Тъ тела, если в результате нагрева­ния поток излучения увеличится в п = 5 раз?

543. Температура абсолютно черного тела Т = 2 кК. Определить длину волны Хт , на которую приходится мак­симум энергии излучения, и спектральную плотность энергетической светимости (излучательности) (/-л,7)та« ДЛЯ ЭТОЙ длины волны.

544. Определить температуру Т и энергетическую светимость (излучательность) Re абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения приходится на длину волны Хт — 600 нм.

545. Из смотрового окошечка печи излучается поток Фе = 4 кДж/мин. Определить температуру Т печи, если площадь окошечка S = 8 см2.

546. Поток излучения абсолютно черного тела Фе= 10 кВт. Максимум энергии излучения приходится на длину волны Хш = 0,8 мкм. Определить площадь S излучающей поверхности.

547. Как и во сколько раз изменится поток излучения абсолютно черного тела, если максимум энергии излуче­ния переместится с красной границы видимого спектра (A,mi = 780 нм) на фиолетовую (Хт 2 — 390 нм)?

548. Определить поглощательную способность ат се­рого тела, для которого температура, измеренная радиа­ционным пирометром, Трад== 1,4 кК, тогда как истинная температура Т тела равна 3,2 кК.

549. Муфельная печь, потребляющая мощность Р = 1 кВт, имеет отверстие площадью S = 100 см2. Определить долю tj мощности, рассеиваемой стенками печи, если температура ее внутренней поверхности равна 1 кК.

550. Средняя энергетическая светимость R поверхно­сти Земли равна 0,54 Д ж /(см 2* мин). Какова должна быть температура Т поверхности Земли, если условно считать, что она излучает как серое тело с коэффициен­том черноты аг= 0 ,2 5 ?

551. Красная граница фотоэффекта для цинка Х0 = 310 нм. Определить максимальную кинетическую энергию Тmax фотоэлектронов в электрон-вольтах, если на цинк падает свет с длиной волны X = 200 нм.

552. На поверхность калия падает свет с длиной волны X = 150 нм. Определить максимальную кинетиче­скую энергию Тmax фотоэлектронов.

553. Фотон с энергией е = 10 эВ падает на серебря-172

ную пластину и вызывает фотоэффект. Определить им­пульс р, полученный пластиной, если принять, что на­правления движения фотона и фотоэлектрона лежат на одной прямой, перпендикулярной поверхности пластин.

554. На фотоэлемент с катодом из лития падает свет с длиной волны А, = 200 нм. Найти наименьшее значение задерживающей разности потенциалов Umm, которую нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратить фототок.

555. Какова должна быть длина волны у-излучения, падающего на платиновую пластину, чтобы максималь­ная скорость фотоэлектронов была ута х =3 Мм/с?

556. На металлическую пластину направлен пучок ультрафиолетового излучения (А, = 0,25 мкм). Фототок прекращается при минимальной задерживающей раз­ности потенциалов Umm = 0,96 В. Определить работу выхода А электронов из металла.

557. На поверхность металла падает монохроматический свет с длиной волны А = 0,1 мкм. Красная граница фото­эффекта Ао = 0,3 мкм. Какая доля энергии фотона расходуется на сообщение электрону кинетической энер­гии?

558. На металл падает рентгеновское излучение с дли­ной волны А = 1 нм. Пренебрегая работой выхода, опре­делить максимальную скорость у max фотоэлектронов.

559. На металлическую пластину направлен моно­хроматический пучок света с частотой v = 7,3* 1014 Гц. Красная граница Ао фотоэффекта для данного материала равна 560 нм. Определить максимальную скорость утах фотоэлектронов.

560. На цинковую пластину направлен монохрома­тический пучок света. Фототок прекращается при задер­живающей разности потенциалов U = 1,5 В. Определить длину волны А света, падающего на пластину.

561. Фотон при эффекте Комптона на свободном электроне был рассеян на угол О = л/2. Определить импульс р (вМэВ/с)*, приобретенный электроном, если энергия фотона до рассеяния была г\ = 1,02 МэВ.

562. Рентгеновское излучение (А = 1 нм) рассеивается .. электронами, которые можно считать практически сво­бодными. Определить максимальную длину волны Аша» рентгеновского излучения в рассеянном пучке.

563. Какая доля энергии фотона приходится при

* См. сноску на с. 171.

173

эффекте Комптона на электрон отдачи, если рассеяние фотона происходит на угол О = л/2? Энергия фотона до рассеяния ei = 0,51 МэВ.

564. Определить максимальное изменение длины волны ( \к ) „а» при комптоновском рассеянии света на свободных электронах и свободных протонах.

565. Фотон с длиной волны A,i = 15 пм рассеялся на свободном электроне. Длина волны рассеянного фотона

= 16 пм. Определить угол д рассеяния.566. Фотон с энергией ei = 0,51 МэВ был рассеян

при эффекте Комптона на свободном электроне на угол ■0'= 180°. Определить кинетическую энергию Т электрона отдачи.

567. В результате эффекта Комптона фотон с энер­гией ei = 1,02 МэВ рассеян на свободных электронах на угол O'=150°. Определить энергию е2 рассеянного фотона.

568. Определить угол О, на который был рассеян квант с энергией ei = 1,53 МэВ при эффекте Комптона, если кинетическая энергия электрона отдачи 7'=0,51МэВ.

569. Фотон с энергией ei = 0,51 МэВ при рассеянии на свободном электроне потерял половину своей энергии. Определить угол рассеяния О.

570. Определить импульс ре электрона отдачи, если фотон с энергией ei = 1,53 МэВ в результате рассеяния на свободном электроне потерял 1/з своей энергии.

571. Определить энергетическую освещенность (облу­ченность) Ее зеркальной поверхности, если давление р, производимое излучением, равно 40 мкПа. Излучение падает нормально к поверхности.

572. Давление р света с длиной волны к — 40 нм, падающего нормально на черную поверхность, равно 2 нПа. Определить число N фотонов, падающих за время t = 10 с на площадь 5 = 1 мм2 этой поверхности.

573. Определить коэффициент отражения р поверх­ности, если при энергетической освещенности Ее = = 120 Вт/м2 давление р света на нее оказалось равным 0,5 мкПа.

574. Давление света, производимое на зеркальную поверхность, р = 5 мПа. Определить концентрацию п0 фотонов вблизи поверхности, если длина волны света, падающего на поверхность, к = 0,5 мкм.

575. На расстоянии- г — 5 м от точечного монохрома­тического (А, = 0,5 мкм) изотропного источника распо­ложена площадка (S = 8 мм2) перпендикулярно падаю­

174

щим пучкам. Определить число N фотонов, ежесекундно падающих на площадку. Мощность излучения Р = = 100 Вт.

576. На зеркальную поверхность под углом а = 6 0 ° к нормали падает пучок монохроматического света (А, = 590 нм). Плотность потока энергии светового пучка ф = 1 кВт/м2. Определить давление р, производи­мое светом на зеркальную поверхность.

577. Свет падает нормально на зеркальную поверх­ность, находящуюся на расстоянии т = 10 см от точеч­ного изотропного излучателя. При какой мощности Р излучателя давление р на зеркальную поверхность будет равным 1 мПа?

578. Свет с длиной волны А = 600 нм нормально пада­ет на зеркальную поверхность и производит на нее дав­ление р = 4 м к П а . Определить число N фотонов, падаю­щих за время / = 10 с на площадь 5 = 1 мм2 этой по­верхности.

579. На зеркальную поверхность площадью 5 = 6 см2 падает нормально поток излучения Фе = 0,8 Вт. Опреде­лить давление р и силу давления F света на эту поверх­ность.

580. Точечный источник монохроматического (А = 1 нм) излучения находится в центре сферической зачерненной колбы радиусом /? = 10 см. Определить световое давле­ние р, производимое на внутреннюю поверхность колбы, если мощность источника Р = 1 кВт.

6.ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ И КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Основные формулыБоровская теория водородоподобного атома. Момент

импульса электрона (второй постулат Бора)£„ = 7ш, или mvnrn = ftn,

где m — масса электрона; vn — скорость электрона н& п-й орбите; гп — радиус п-й стационарной орбиты; Н — •- постоянная Планка; п — главное квантовое число (п —= 1,2, 3, ...).

Радиус п-й стационарной орбиты г„ = а0п2,

где а0 — первый боровский радиус.

175

Энергия электрона в атоме водорода En = E i /n \

где Ei — энергия ионизации атома водорода.Энергия, излучаемая или поглощаемая атомом во­

дорода,

где п 1 и п.2 — квантовые числа, соответствующие энерге­тическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

Спектроскопическое волновое число

где к — длина волны излучения или поглощения атомом; R — постоянная Ридберга.

Волновые свойства частиц. Длина волны де Бройля

где р — импульс частицы.Импульс частицы и его связь с кинетической энер­

гией Т:

где то — масса покоя частицы; пг — релятивистская мас­са; v — скорость частицы; с — скорость света в вакууме; Е0 — энергия покоя частицы (Ео — тос2).

Соотношение неопределенностей:а) Др*Дх^Й (для координаты и импульса),

где Дрх — неопределенность проекции импульса на ось X ; Ах — неопределенность координаты;

б) Д £ Д ^ Й (для энергии и времени),где ДЕ — неопределенность энергии; At — время жизни квантовой системы в данном энергетическом состоянии

е == йсо = Е„2 — Еп„

илие = £,■( 1/я 1 — 1/и1),

v = l A = /? ( l /n ? - l /n i) ,

k = 2nh/p,

176

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

где ф(л:) — волновая функция, описывающая состояние частицы; т — масса частицы; Е — полная энергия; U = U(x) — потенциальная энергия частицы.

Плотность вероятности

где бш(х) — вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х на участке dx.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от х\ до х2

Хз

w = \ |ф(х)|2б*.Xi

Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика:

а )(собственная нормирован­ная волновая функция);

б) Еп n W 2 тР (собственное значение энергии),

где п — квантовое число ( я = 1 , 2, 3, ...); I — ширина ящика. В области U = оо и ф(х) = 0.

Атомное ядро. Радиоактивность. Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)

A = Z + N,

где Z — зарядовое число (число протонов); N — число нейтронов.

Закон радиоактивного распадаd N = —XNdt, или N = N 0e~u ,

где dN — число ядер, распадающихся за интервал вре­мени dt; N — число ядер, не распавшихся к моменту вре­мени t ; N0 — число ядер в начальный момент (/= 0); к — постоянная радиоактивного распада.

Число ядер, распавшихся за время t,

N N = N o - N = N o { , \ - е ~ и).

I l l7—105

В случае, если интервал времени A t , за который опре­деляется число распавшихся ядер, много меньше периода полураспада T\/i, то число распавшихся ядер можно определить по формуле

Д N = kNAt.Зависимость периода полураспада от постоянной

радиоактивного распада7'1/2 = ( 1 п 2 ) Д = 0 , 6 9 3 Д .

Среднее время т жизни радиоактивного ядра, т. е. интервал времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз,

т = 1 Д .

Число N атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,

N = m N A/M ,где т — масса изотопа; М — молярная масса; Мд— постоянная Авогадро.

Активность А радиоактивного изотопаA = —dN /d t = XN, или A = XN0e~u = А0е~и ,

где dN — число ядер, распадающихся за интервал вре­мени d/; Ао — активность изотопа в начальный момент времени.

Удельная активность изотопаа — А /т .

Дефект массы ядраАт = Zmp (А — Z)mn — тя,

где Z — зарядовое число (число протонов в ядре); А — массовое число (число нуклонов в ядре); (А —Z ) — число нейтронов в ядре; тр — масса протона; тп — мас­са нейтрона; тя — масса ядра.

Энергия связи ядраЕсв= Ате2,

где Ат — дефект массы ядра; с — скорость света в вакууме.

Во внесистемных единицах энергия связи ядра равна Дсв=931Дщ, где дефект массы Ат — в а. е. м.; 931 — коэффициент пропорциональности (1 а. е. м. — 931 МэВ).

178

Теплоемкость кристалла. Средняя энергия квантового одномерного осциллятора

(е) Ё0+ es«,/(4D_j •

где 8о — нулевая энергия (е о = 1/ 2 <й); Й — постоянная Планка; со — круговая частота колебаний осциллятора; k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая тем­пература.

Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов,

U m= U 0m + ^ R ^ E /{e eP/T — 1),

где R — молярная газовая постоянная; 0Е=Йсо//г — характеристическая температура Эйнштейна; 0 0т — = * / з / ? 0 е — молярная нулевая энергия (по Эйнштейну).

Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)

с — ( г<<во) -

Теплота, необходимая для нагревания тела,т,

где m — масса тела; М — молярная масса; Т\ и Т2 — начальная и конечная температуры тела.

Элементы квантовой статистики. Распределение сво­бодных электронов в металле по энергиям при О К

где dn(e) — концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от е до e-f-de; m — масса электро­на. Это выражение справедливо при e < e F (где ef'-*- энергия или уровень Ферми).

Энергия Ферми в металле при Т = О К

8 р = ^ 3л2" )2/3’где п — концентрация электронов в металле.

7** 179

Полупроводники. Удельная проводимость собственных полупроводников

у = Yoexp(—AE/2kT),где АЕ — ширина запрещенной зоны; у0 — константа.

Сила тока в /э-я-переходеI = I0[exp(eU / kT) — 1],

где /о — предельное значение силы обратного тока; U — внешнее напряжение, приложенное к р-л-переходу.

Контактные и термоэлектрические явления. Внутрен­няя контактная разность потенциалов

где bf, и 6 f2 — энергия Ферми соответственно для пер­вого и второго металлов; е — заряд электрона.

Примеры решения задач

Пример 1. Электрон в атоме водорода перешел с чет­вертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

Р е ш е н и е . Для определения энергии фотона вос­пользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов:

lA = /? Z 2( l / n f - l / n | ) , (1)где А, — длина волны фотона; R — постоянная Ридберга; Z — заряд ядра в относительных единицах (при Z = 1 формула переходит в сериальную формулу для водо­рода); ni — номер орбиты, на которую перешел электрон; П2 — номер орбиты, с которой перешел электрон (rti и яг — главные квантовые числа).

Энергия фотона е выражается формулойе = АсД.

Поэтому, умножив обе части равенства (1) на he, получим выражение для энергии фотона:

б = R hcZ \ 1 /л 1 — 1 /л |) .Так как Rhc есть энергия ионизации £, атома водорода, то

8 = £ ,г 2(1 /я ? -1 /л 1 ).

180

Вычисления выполним во внесистемных единицах: £ ,= 13,6эВ (см. табл. 1 Приложения); Z — 1; «1 = 2;/12=4:

е= 1 3 ,6 -1 2( - ^ — р-) э В = 13,6-3/16 эВ = 2,55 эВ.

Пример 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потен­циалов 0. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U\ = 51 В; 2) 1/2 = 510 кВ.

Р е ш е н и е . Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой

k = h /p , (1)где h — постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетиче­ская энергия сравнима с энергией покоя частицы).

В нерелятивистском случаер = л /2 т0 Г, (2)

где /по — масса покоя частицы.В релятивистском случае

p = l(2E0 + T )T /с , (3)где Ео — тос2 — энергия покоя частицы.

Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запи­шется:

в нерелятивистском случае

к h-у/2 т 0Т ’

(4)

в релятивистском случае

-у/(2£о + Т ) Т / с '

Сравним кинетические энергии электрона, прошедше­го заданные в условии задачи разности потенциалов U i = 51 В и {У2 = 510кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

181

Как известно, кинетическая энергия электрона, про­шедшего ускоряющую разность потенциалов U,

Т — eU.В первом случае 7\ = eU = 51 эВ = 0,51 • 10~4 МэВ,

что много меньше энергии покоя электрона Ео = т0с2 = = 0,51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно приме­нить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Г(= 1 0 _ 4 т 0с . Подставив это выражение в форму­лу (4), перепишем ее в виде

? ..... h______ 102 h- y j2 m o -10~4 -т о с 2 V2 т °с

Учитывая, что h/moc есть комптоновская длина вол­ны Л, получаем

Х ,= 102Л /72 .Так как Л = 2 , 4 3 п м ( с м . табл. 1 Приложения), то

Ь , = 1 0 2 . 2 , 4 3 / У 2 п м = 1 7 1 п м .

Во втором случае кинетическая энергия Тг— eU2 = = 510 кэВ = 0,51 МэВ, т. е. равна энергии покоя элект­рона. В этом случае необходимо применить релятивист­скую формулу (5). Учитывая, что Г2=0,51М эВ = = тоС2, по формуле (5) находим

' уV ( 2 moc2 + m0c2)moc2/c У з тос

илиXs = л / У з .

Подставим значение Л и произведем вычисления:Х2 = 2,43/У3 пм = 1,40 пм.

Пример 3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка Г = 1 0 эВ . Ис­пользуя соотношение неопределенностей, оценить мини­мальные линейные размеры атома.

Р е ш е н и е . Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид

ДХД/7Х>Й , (1)где Ах — неопределенность координаты частицы (в дан­ном случае электрона); Дрх — неопределенность импуль­са частицы (электрона); % — постоянная Планка.

182

L

Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следо­вательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линей­ные размеры /, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью

Ах =1/2.Соотношение неопределенностей (1) можно записать

в этом случае в виде(//2)Ap,>fe,

откудаl ^ 2 h / \ p x. (2)

Физически разумная неопределенность импульса Дрх во всяком случае не должна превышать значения самого импульса рх, т. е. Дрх^ .р х. Импульс рх связан с кинети­ческой энергией Т соотношением рх = л\2тТ. Заменим Дрх значением ~/2пгТ (такая замена не увеличит /). Переходя от неравенства к равенству, получим

lmm— 2h/^j2mf. (3)

Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3) вместо симво­лов величин подставим обозначения их единиц:

[Л] 1 Д ж -с ( 1 Д*Л1/2-1 С -I w F (1 к г-1 Д ж )|/5 \ 1 кг )

/ 1 кг-м2/с г\ 1/2 , ,\ Гкг у - 1 с = 1 м -

Найденная единица является единицей длины. Произведем вычисления:

2.1,05-Ю - *4 2-9,1 -К Г 31- 1,6-10~гг 10 м = 1,24-10 10 м = 124 нм.

Пример 4. Волновая функция t|>(x) = -\/2//sin-y-x опи-сывает основное состояние частицы в бесконечно глубо­ком прямоугольном ящике шириной /. Вычислить вероят­ность нахождения частицы в малом интервале Д / = 0,01/ в двух случаях: 1 (вблизи стенки) (О ^х^СД/); 2) в сред-ней части ящика ( —-----—: ^ х ^ ——|-— J •

183

Р е ш е н и е . Вероят­ность того, что частица бу­дет обнаружена в интервале йх (от х до х -f- dx), пропор­циональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей дан­ное состояние, равна

dta; = |\p(jc)|2djc.

В первом случае искомая вероятность найдется интег­рированием в пределах от 0 до 0,01/ (рис. 64):

0,01/

= s i n 2 - Y - x d x .• *0 *

Знак модуля опущен, так как ф — функция в данном случае не является комплексной.

Так как х изменяется в интервале 0<!х<[0,01/ и, сле­довательно, n x /h < 1 , справедливо приближенное равен­ство

. 2 п / я \ 2 S i n ' ' — - j X \ .

С учетом этого выражения (1) примет вид

После интегрирования получим

м/ = - |-я 2- 10_6 = 6,6-10_6.

Во втором случае можно обойтись без интегрирова­ния, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (Л/ = 0,01 /) практически не изменяется. Искомая вероятность во вто­ром случае определяется выражением

ш = |ф (//2 ) |2Д/,или

w ^ s i n ^ ± y M = ^ . 0 , 0 U = 0,02.

Пример 5. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра Ш .

184

тх)/‘

Р е ш е н и е . Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтро­нов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Д т и есть разность между суммой масс свободных нукло­нов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т. е.

Д т = Zrrip + (Л — Z)mn — т я ( 1)где Z — атомный номер (число протонов в ядре); А — массовое число (число нуклонов, составляющих ядро); тр, тп, т я — соответственно массы протона, нейтрона и ядра.

В справочных таблицах всегда даются массы нейт­ральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целе­сообразно преобразовать так, чтобы в нее входила мас­са т я нейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: т а= т я + + Zm e, откуда

т я= т а — Zme. (2)Выразив в равенстве (1) массу ядра по формуле (2),

получаем Дт = Zmp-\-(A — Z)mn — т я-\- Zme,илиA m — Z(mp-f-me) + (Л—Z)mn — та.

Замечая, что тр-\-те= т н, где т » — масса атома водорода, окончательно находим

Am = Zmn-\-{A—Z)m„ — ma. (3)Подставив в выражение (3) числовые значения масс

(см. табл. 15 и 17 Приложения), получимД/п = [3 -1,00783+ (7-3)-1 ,00867-7-0 ,1601] а. е. и —

= 0,04216 а. е. м.В соответствии с законом пропорциональности массы

и энергии Е = с 2Ат, (4)

где с — скорость света в вакууме.Коэффициент пропорциональности с1 может быть вы-.,

ражен двояко:с2 = 9-1016 м2/с 2, или с2 = АЕ/Ат — 9* 1016 Дж/кг.Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистем­

ными единицами, то с2 = 931 МэВ/а. е. м. С учетом этого формула (4) примет вид

£ = 931 Д/n (МэВ). (5)

185

Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим

£ = 9 3 1 - 0 , 0 4 2 16 МэВ = 3 9 ,2 МэВ.Примечание. Термин «дефект массы» часто применяют в другом

смысле: дефектом массы Д называют разность между массой нейт­рального атома данного изотопа и его массовым числом А : А — т , — А. Эта величина особого физического смысла не имеет, но ее использова­ние позволяет в ряде случаев значительно упростить вычисления. В на­стоящем пособии всюду имеется в виду дефект массы Ат, определяе­мый формулой (1).

Пример 6. При соударении а-частицы с ядром бора ‘ьВ произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось два новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода !Н. Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, дать символическую запись ядерной реакций и определить ее энергетический эффект.

Р е ш е н и е . Обозначим неизвестное ядро символом гХ. Так как а-частица представляет собой ядро гелия £Не, запись реакции имеет вид

гН е + 'бВ-*> { Н + г Х .

Применив закон сохранения числа нуклонов, полу­чим уравнение 4 + 1 0 = 1 -{-Л, откуда Л = 1 3 . Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2 + 5 = = 1 + Z, откуда Z = 6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода 'iC.

Теперь можем записать реакцию в окончательном виде:

|He + 'g B ^ lH + 'lC.Энергетический эффект Q ядерной реакции определя­

ется по формулеQ = 9 3 1 [ ( m He + m B) — ( т н + т с ) ] .

Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках — массы ядер — про­дуктов реакции. При числовых подсчетах по этой форму­ле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений.

Число электронов в электронной оболочке нейтраль­ного атома равно его зарядовому числу Z. Сумма заря­довых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер — продуктов реакции. Следовательно, электронные

186

оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода.

Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтраль­ных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подста­вив массы атомов (см. табл. 15 Приложения) в расчет­ную формулу, получим

Q = 931(4,00260 +10,01294) — (1,00783 + 13,00335) МэВ = = 4,06 МэВ.

Пример 7. Определить начальную активность Л0 радиоактивного препарата магния ^7Mg массой т = = 0,2 мкг, а также его активность А через время £ = 6 ч . Период полураспада Т1/2 магния считать известным.

Р е ш е н и е . Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отно­шением числа dN ядер, распавшихся за интервал вре­мени d/, к этому интервалу:

А = —dN/dt. (1)

Знак «—» показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает.

Для того чтобы найти d N / d t , воспользуемся законом радиоактивного распада:

N = N 0e ~ u , (2)

где N — число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент времени t; N о — число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (/=0); X — постоянная радиоактивного распада.

Продифференцируем выражение (2) по времени:d A /d /= - W V 0e -w. (3)

Исключив из формул (1) и (3) d N / d t , находим актив-, ность препарата в момент времени t:

А = \ N 0e ~ u . (4)

Начальную активность А0 препарата получим при/ = 0 :

Ао — XN о. (5)

187

Постоянная радиоактивного распада К связана с пе­риодом полураспада Т\/г соотношением

к = (1п2)/Г1/*. (6)Число No радиоактивных ядер, содержащихся в изо­

топе, равно произведению постоянной Авогадро N a на количество вещества v данного изотопа:

Ao = vAa='-£LAa, (7)

где пг — масса изотопа; М — молярная масса.С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4)

принимают вид

A o = JM T ^ Na’ (8)Произведем вычисления, учитывая, что Т\/ч— 10 мин =

= 600с(см . табл. 16 Приложения), 1п2 = 0,693, t = = 6 ч = 6 -3 ,6 -103 с = 2,16* 104 с:

А0= °272; 1100:;9 °66 3 6,02-1023 Бк = 5,13-1012 Бк = 5,13 ТБк;

0,2-10-9 2 7 •10_3

0,693600 6,02-1023 е

0,693

600•2,16-10*

Бк = 81,3 Бк.

Пример 8. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоемкость с при по­стоянном объеме алюминия при температуре Т = 200 К. Характеристическую температуру в Е Эйнштейна принять для алюминия равной 300 К.

Р е ш е н и е . Удельная теплоемкость с вещества мо­жет быть выражена через молярную теплоемкость Ст соотношением

с = Ст/М, (1)где М — молярная масса.

Молярная теплоемкость при постоянном объеме по теории Эйнштейна выражается формулой

2 ееЕ/г(е 0 Е /г— ,)» ■ ( 2)

Подставив в (1) выражение теплоемкости Ст формуле (2), получим

3R / е Еу ееЕ/г С ~ М \ Т ) (евЕ/т _ i)2 •

по

(3 )

188

Произведем вычисления:300 \ 2 е300/20°е 3 00 /200

Пример 9. Определить теплоту AQ, необходимую для нагревания кристалла NaCl массой т = 20г от темпе­ратуры Тi = 2 К до температуры Гг = 4 К. Характеристи­ческую температуру Дебая 6 d д л я NaCl принять равной 320 К и условие 7,<C0d считать выполненным.

Р е ш е н и е . Теплота AQ, подводимая для нагрева­ния тела от температуры Т\ до Гг, может быть вычислена по формуле

где Ст — теплоемкость тела.Теплоемкость тела связана с молярной теплоемко­

стью соотношением

где пг — масса тела; М — молярная масса.Подставив выражение Ст в формулу (1), получим

г2

В общем случае теплоемкость Ст есть сложная функ­ция температуры, поэтому выносить ее за знак интеграла нельзя. Однако если выполнено условие Т <С 0 d, то на­хождение AQ облегчается тем, что можно воспользо­ваться предельным законом Дебая, в согласии с кото­рым теплоемкость пропорциональна кубу термодинамиче­ской температуры:

Подставляя молярную теплоемкость (4) в формулу (3), получим • .

AQ = $ CAT , ( 1)

C^= mCm/M , (2)

AQ = CmdT. (3)

Выполним интегрирование:АЛ 12л4 m R ( П T i \

189

Переписав полученную формулу в видеЗ я ttl /? / «7.4 'т’ 4\

-ЗГ\‘ 2— 1 0>Л <?=- 5 М 0 о

произведем вычисления:3-(3,14)4 2-10~2A Q- 8,31т (44- 2 4) Дж =5 58,5-10“ 3 (320)= 1,22- 1(Г3 Дж — 1,22 мДж.

Пример 10. Вычислить максимальную энергию eF (энергию Ферми), которую могут иметь свободные элект­роны в металле (медь) при температуре Г ^ О К . При­нять, что на каждый атом меди приходится по одному валентному электрону.

Р е ш е н и е . Максимальная энергия eF, которую могут иметь электроны в металле при Т = 0 К, связана с концентрацией свободных электронов соотношением

eF= Н2(Зл2п)2/3/(2т), (1)где % — постоянная Планка; т — масса электрона.

Концентрация свободных электронов по условию за­дачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле

n = pN к/М, (2)где р — плотность меди; Na — постоянная • Авогадро; М — молярная масса.

Подставляя выражение п в формулу (1), получаем

о п2 ( "Лер = ^ г ( 3* р ж )

2/3

Произведем вычисления:

eF (1,05-10"34)2 Г 2 -9 ,1 -Ю -31 [ 3-(3,14)2-8,9-103- 6,02-10-23

64 • 10_3

= 1,18-К Г 18 Дж = 7,4 эВ.

Пример 11. Кремниевый образец нагревают от тем­пературы t i= 0 °C до температуры /г=10°С . Во сколько раз возрастает его удельная проводимость?

Р е ш е н и е . Удельная проводимость у собственных полупроводников связана с температурой Т соотноше­нием

7 = уое -ДЕ/(2АГ)

где уо — константа; АЕ — ширина запрещенной зоны.

190

Следовательно,

Полагаяления:

-11=72"

ДЛЯ

:>*лмп r w j __ i_\iе - 4 £ / ( 2 * Л САР [ 2 k \ Г, Г2/ J •

кремния Д £ = 1 ,1 эВ , произведем вычис-

I I72

= exp 1,76-К Г 19 2(1,38-10 - 23)

Задачи для самостоятельного решения

1. Определить энергию е фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энерге­тического уровня на основной. [12,1 эВ]

2. Определить первый потенциал возбуждения cpi атома водорода. [10,2 В]

3. Вычислить длину волны де Бройля X для электро­на, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U = 22,5 В. [0,258 нм]

4 . Вычислить длину волны де Бройля X для протона, движущегося со скоростью у = 0,6 с (с — скорость света в вакууме). [1,76 фм]

5. Оценить с помощью соотношения неопределенно­стей минимальную кинетическую энергию Ттт электрона, движущегося внутри сферической области диаметром d = 0,l нм. [15 эВ]

6. Определить относительную неопределенность Ар/р импульса движущейся частицы, если допустить, что неопределенность ее координаты равна длине волны де Бройля. [0,16]

7. Электрон находится в прямоугольном потенциаль­ном ящике с непроницаемыми стенками. Ширина ящика /= 0 ,2 н м , энергия электрона в ящике £ = 37,8 эВ. Опре­делить номер п энергетического уровня и модуль волно­вого вектора к. [2; 3 ,14-Ю10 м-1]

8. Частица в потенциальном ящике находится в ос­новном состоянии. Какова вероятность обнаружения ча-- стицы: в средней трети ящика? в крайней трети ящика? [0,609; 0,195]

9. Вычислить энергию связи £ св ядра дейтерия |Н и трития ?Н. [2,22 МэВ; 8,47 МэВ]

10. Вычислить энергетический эффект Q реакции 2Ве + Ше — '§С + on. [5,71 МэВ]

11. То же, для реакции iH -*-iH e+2He. [4,03 МэВ]

191

12. Определить число N атомов радиоактивного пре­парата иода *5з1 массой т = 0,5 мкг, распавшихся в тече­ние времени: 1) ^ = 1мин; 2) /г = 7 сут. [1,38* 10“ ; 1,04-10 '5]

13. Определить активность А радиоактивного препа­рата llSr массой т = 0,1 мкг. [543 кБк]

14. Определить частоту v колебаний атомов серебра по теории теплоемкости Эйнштейна, если характеристи­ческая температура серебра 6 е = 165 К. [3,44 • 10-12 Гц]

15. Определить среднюю энергию <е) линейного, одномерного квантового осциллятора при температуре Г = 0 Е=2ОО К. [1,61-К Г 21 Д ж ]

16. Определить теплоту Q, необходимую для нагре­вания кристалла меди массой т = 1 0 0 г от 7\ = 10К до Гг = 2 0 К. Характеристическая температура Дебая для меди 0 D= 320 К. Считать условие Гг-C 0 d выполненным. [3,48 Дж]

17. Выразить среднюю квадратичную скорость <пк») через максимальную скорость итах электронов в металле при температуре О К. [У3/5»т*х]

18. Металл находится при температуре 0 К. Опреде­лить относительное число электронов, энергии которых отличаются от энергии Ферми не более чем на 2%. [0,03]

Контрольная работа 6Таблица вариантов для специальностей, учебными планами

которых предусмотрено по курсу физики шесть контрольных работ

Ва­риант

Номер< задач

0 601 611 621 631 641 651 661 6711 602 612 622 632 642 652 662 6722 603 613 623 633 643 653 663 6733 604 614 624 634 644 654 664 6744 605 615 625 635 645 655 665 6755 606 616 626 636 646 656 666 6766 607 617 627 637 647 657 667 6777 608 618 628 638 648 658 668 6788 609 619 629 639 649 659 669 6799 610 620 630 640 650 660 670 680

601. Невозбужденный атом водорода поглощает квант излучения с длиной волны К= 102,6 нм. Вычислить, пользуясь теорией Бора, радиус г электронной орбиты возбужденного атома водорода.

192

602. Вычислить по теории Бора радиус г2 второй стационарной орбиты и скорость v2 электрона на этой орбите для атома водорода.

603. Вычислить по теории Бора период Т вращения электрона в атоме водорода, находящегося в возбуж­денном состоянии, определяемом главным квантовым числом п = 2.

604. Определить изменение энергии АЕ электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона с частотой v = 6,28-10й Гц.

605. Во сколько раз изменится период Т вращения электрона в атоме водорода, если при переходе в невоз­бужденное состояние атом излучил фотон с длиной вол­ны А, = 97,5 нм?

606. На сколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фото­на с длиной волны А,= 435нм?

607. В каких пределах ДА, должна лежать длина волн монохроматического света, чтобы при возбуждении ато­мов водорода квантами этого света радиус г„ орбиты электрона увеличился в 16 раз?

608. В однозарядном ионе лития электрон перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Опреде­лить длину волны А, излучения, испущенного ионом лития.

609. Электрон в атоме водорода находится на третьем энергетическом уровне. Определить кинетическую Т , потенциальную П и полную Е энергию электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.

610. Фотон выбивает из атома водорода, находя­щегося в основном состоянии, электрон с кинетической энергией 7’= 1 0 э В . Определить энергию е фотона.

611. Вычислить наиболее вероятную дебройлевскую длину волны X молекул азота, содержащихся в воздухе при комнатной температуре.

612. Определить энергию А7\ которую необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его деброй-' левская длина волны уменьшилась от A,i = 0,2 мм до- Х2= 0,1 нм.

613. На сколько по отношению к комнатной должна измениться температура идеального газа, чтобы деброй- левская длина волны X его молекул уменьшилась на 20%?

614. Параллельный пучок моноэнергетических элект­ронов падает нормально на диафрагму в виде узкой прямоугольной щели, ширина которой а = 0,06 мм. Опре­

193

делить скорость этих электронов, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии / = 40мм, ширина центрального дифракционного максимума Ь = = 1 0 мкм.

615. При каких значениях кинетической энергии Т электрона ошибка в определении дебройлевской длины волны X по нерелятивистской формуле не превышает 10%?

616. Из катодной трубки на диафрагму с узкой пря­моугольной щелью нормально к плоскости диафрагмы направлен поток моноэнергетических электронов. Опре­делить анодное напряжение .трубки, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии /= 0 ,5 м , ширина центрального дифракционного максимума Ах = = 10,0 мкм. Ширину Ь щели принять равной 0,10 мм.

617. Протон обладает кинетической энергией Т = = 1 кэВ. Определить дополнительную энергию АТ, кото­рую необходимо ему сообщить для того, чтобы длина волны X де Бройля уменьшилась в три раза.

618. Определить длины волн де Бройля а-частицы и протона, прошедших одинаковую ускоряющую разность потенциалов U = 1 кВ.

619. Электрон обладает кинетической энергией Т = = 1,02МэВ. Во сколько раз изменится длина волны де Бройля, если кинетическая энергия Т электрона уменьшится вдвое?

620. Кинетическая энергия Т электрона равна удвоен­ному значению его энергии покоя (2mot). Вычислить длину волны X де Бройля для такого электрона.

621. Оценить с помощью соотношения неопределенно­стей минимальную кинетическую энергию электрона, движущегося внутри сферы радиусом R — 0,05 нм.

622. Используя соотношение неопределенностей, оце­нить наименьшие ошибки До в определении скорости электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью 1 мкм.

623. Какова должна быть кинетическая энергия Т протона в моноэнергетическом пучке, используемого для исследования структуры с линейными размерами I ж К Г 13 см?

624. Используя соотношение неопределенностей, оце нить ширину I одномерного потенциального ящика, котором минимальная энергия электрона £ тт = 1 0 э В

625. Альфа-частица находится в бесконечно глубо ком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящик194

Используя соотношение неопределенностей, оценить ши­рину I ящика, если известно, что минимальная энергия а-частицы £ min=8M 3B .

626. Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии составляет At ж 10~8 с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны (А) которого равна 600 нм. Оценить ширину АХ излучаемой спектральной линии, если не происходит ее уширения за счет других процессов.

627. Для приближенной оценки минимальной энергии электрона в атоме водорода можно предположить, что неопределенность Аг радиуса г электронной орбиты и неопределенность Ар импульса р электрона на такой орбите соответственно связаны следующим образом: Аг ж г и Ар ж р. Используя эти связи, а также соотно­шение неопределенностей, найти значение радиуса электронной орбиты, соответствующего минимальной энергии электрона в атоме водорода.

628. Моноэнергетический пучок электронов высвечи­вает в центре экрана электронно-лучевой трубки пятно радиусом г ж 10_3 см. Пользуясь соотношением неопре­деленностей, найти, во сколько раз неопределенность Ах координаты электрона на экране в направлении, перпен­дикулярном оси трубки, меньше размера г пятна. Длину L электронно-лучевой трубки принять равной 0,50 м, а уско­ряющее электрон напряжение U — равным 20 кВ.

629. Среднее время жизни At атома в возбужденном состоянии составляет около 10~8 с. При переходе атома в нормальное состояние испускается фотон, средняя длина волны (А,) которого равна 400 нм. Оценить относитель­ную ширину ДА/А излучаемой спектральной линии, если не происходит уширения линии за счет других процессов.

630. Для приближенной оценки минимальной энергии электрона в атоме водорода можно предположить, что неопределенность Аг радиуса г электронной орбиты и неопределенность Ар импульса р электрона на такой орби­те соответственно связаны следующим образом: Аг ж г и Ар ж р. Используя эти связи, а также соотношение, неопределенностей, определить минимальное значение энергии Тmin электрона в атоме водорода.

631. Частица находится в бесконечно глубоком, одно­мерном, прямоугольном потенциальном ящике. Найти отношение разности АЕп, „+! соседних энергетических уровней к энергии Еп частицы в трех случаях: 1) п = 2; 2) п = 5; 3) п -*- оо.

195

632. Электрон находится в бесконечно глубоком, од­номерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной / = 0,1 нм. Определить в электрон-вольтах наименьшую разность энергетических уровней электрона.

633. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике шириной / находит­ся в возбужденном состоянии (п = 3). Определить, в каких точках интервала 0 < х < / плотность вероятности нахождения частицы имеет максимальное и минимальное значения.

634. В прямоугольной потенциальной яме шириной I с абсолютно непроницаемыми стенками (0 < х <С /) на­ходится частица в основном состоянии. Найти вероят­ность w местонохождения этой частицы в области 1 / 4/ << * < 7 4 * .

635. Частица в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике находится в основ­ном состоянии. Какова вероятность w обнаружения частицы в крайней четверти ящика?

636. Волновая функция, описывающая движение элект­рона в основном состоянии атома водорода, имеет вид

ф(г) = А е -" а\где А — некоторая постоянная; а0 — первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода наиболее вероятное расстояние электрона от ядра.

637. Частица находится в основном состоянии в пря­моугольной яме шириной I с абсолютно непроницаемыми стенками. Во сколько раз отличаются вероятности место­нахождения частицы: w i — в крайней трети и W2 — в край­ней четверти ящика?

638. Волновая функция, описывающая движение элект­рона в основном состоянии атома водорода, имеет вид

где А — некоторая постоянная; а0 — первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода среднее значение <F) кулоновской силы.

639. Электрон находится в бесконечно глубоком, од­номерном, прямоугольном потенциальном ящике шири­ной I. В каких точках в интервале 0 < х <. I плотности вероятности нахождения электрона на втором и третьем энергетических уровнях одинаковы? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Решение пояснить графиком.

ф(г) = Л е_г/“°,

196

640. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид

ф(г) = А е ~ " а°,где А — некоторая постоянная; а<> — первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода среднее значение (П> потенциальной энергии.

641. Найти период полураспада Т \ / 2 радиоактивного изотопа, если его активность за время t = 10 сут умень­шилась на 24% по сравнению с первоначальной.

642. Определить, какая доля радиоактивного изотопа 2в|Ас распадается в течение времени / = 6 сут.

643. Активность А некоторого изотопа за время t = 10 сут уменьшилась на 20%. Определить период полураспада Т \ / г этого изотопа.

644. Определить массу пг изотопа 1|з1, имеющего активность А = 37 ГБк.

645. Найти среднюю продолжительность жизни т ато­ма радиоактивного изотопа кобальта 2°Со.

646. Счетчик а-частиц, установленный вблизи радио­активного изотопа, при первом измерении регистрировал N 1 = 1400 частиц в минуту, а через время t — 4 ч — только М2 == 400. Определить период полураспада Т 1/2 изотопа.

647. Во сколько раз уменьшится активность изотопа i§P через время / = 20 сут?

648. На сколько процентов уменьшится активность изотопа иридия 'fflr за время t = 15 сут?

649. Определить число N ядер, распадающихся в течение времени: 1) t\ = 1 мин; 2) Ь = 5 сут, — в радио­активном изотопе фосфора i§P массой m = 1 мг.

650. Из каждого миллиона атомов радиоактивного изотопа каждую секунду распадается 200 атомов. Опре­делить период полураспада Т1/2 изотопа.

651. Определить количество теплоты Q, выделяющей­ся при распаде радона активностью А = 3,7-1010 Бк за время t = 20 мин. Кинетическая энергия Г вылетающей из радона а-частицы равна 5,5 МэВ.

652. Масса m = 1 г урана 2l lU в равновесии с продуктами его распада выделяет мощность Р = 1,07Х X Ю-7 Вт. Найти молярную теплоту Qm, выделяемую ураном за среднее время жизни т атомов урана.

653. Определить энергию, необходимую для разделе­ния ядра 20Ne на две а-частицы и ядро 12С. Энергии

197

связи на один нуклон в ядрах Z0Ne, 4Не и |2С равны со­ответственно 8,03; 7,07 и 7,68 МэВ.

654. В одном акте деления ядра урана 23SU освобо­ждается энергия 200 МэВ. Определить: 1) энергию, выделяющуюся при распаде всех ядер этого изотопа урана массой т = 1 кг; 2) массу каменного угля с

лентную в тепловом отношении 1 кг урана 235U.655. Мощность Р двигателя атомного судна состав­

ляет 15 Мвт, его КПД равен 30%. Определить месяч­ный расход ядерного горючего при работе этого дви­гателя.

656. Считая, что в одном акте деления ядра урана 235U освобождается энергия 200 МэВ, определить мас­су т этого изотопа, подвергшегося делению при взрыве атомной бомбы с тротиловым эквивалентом 30 • 106 кг, если тепловой эквивалент тротила q равен 4,19 МДж/кг.

657. При делении ядра урана j36U под действием замедленного нейтрона образовались осколки с массо­выми числами М\ = 90 и М 2 — 143. Определить число нейтронов, вылетевших из ядра в данном акте деления. Определить энергию и скорость каждого из осколков, если они разлетаются в противоположные стороны и их суммарная кинетическая энергия Г равна 160 МэВ.

658. Ядерная реакция 14N (а, р) ‘70 вызвана а-части- цей, обладавшей кинетической энергией Та = 4,2 МэВ. Определить тепловой эффект этой реакции, если протон, вылетевший под углом 6 = 60° к направлению движения а-частицы, получил кинетическую энергию Т — 2 МэВ.

660. Определить скорости продуктов реакции 10В (п, a)7Li, протекающей в результате взаимодействия тепловых нейтронов с покоящимися ядрами бора.

661. Определить теплоту Q, необходимую для нагре­вания кристалла калия массой m = 200 г от температу­ры Т\ = 4 К до температуры Гг = 5 К. Принять ха­рактеристическую температуру Дебая для калия 0 d = = 100 К и считать условие Г -С 0 d выполненным.

662. Вычислить характеристическую температуру 0i> Дебая для железа, если при температуре Г = 20 К мо­лярная теплоемкость железа Ст = 0,226 Дж/К-моль. Ус­ловие Г <с 0 d считать выполненным.

удельной теплотой сгорания

ций:659. Определить тепловые эффекты следующих реак- i:

7Li (р, л)7Ве и ieO(d, a)l4N.

198

663. Система, состоящая из N — Ю20 трехмерных квантовых осцилляторов, находится при температуре Т = 0 е ( 0 е = 250 К). Определить энергию Е системы.

664. Медный образец массой пг = 100 г находится при температуре Т\ = 10 К. Определить теплоту Q, не­обходимую для нагревания образца до температуры Гг = 20 К. Можно принять характеристическую темпе­ратуру ©d для меди равной 300 К, а условие Г < 0 d считать выполненным.

665. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйн­штейна, определить коэффициент упругости р связи ато­мов в кристалле алюминия. Принять для алюминия0 Е = 300 К.

666. Найти отношение средней энергии <екв) линей­ного одномерного осциллятора, вычисленной по кванто­вой теории, к энергии (eM) такого же осциллятора, вычисленной по классической теории. Вычисление произ­вести для двух температур: 1) Т = О , 1 0 е ; 2) Т = 0 е ,

где © е — характеристическая температура Эйнштейна.667. Зная, что для алмаза 0 d = 2000 К, вычислить

его удельную теплоемкость при температуре Т = 30 К.668. Молярная теплоемкость Ст серебра при темпе­

ратуре 7" = 20 К оказалась равной 1,65 Д ж /(м оль-К ). Вычислить по значению теплоемкости характеристиче­скую температуру 0 d. Условие Т <С ©d считать выпол­ненным.

669. Вычислить (по Дебаю) удельную теплоемкость хлористого натрия три температуре Т = ©d/ 20. Условие Т <С ©d считать выполненным.

670. Вычислить по теории Дебая теплоемкость цин­ка массой пг = 100 г при температуре Т = 10 К. При­нять для цинка характеристическую температуру Дебая 0о = 300 К и считать условие Г <С ©d выполненным.

671. Определить долю свободных электронов в метал­ле при температуре Т = 0 К, энергии е которых заклю­чены в интервале значений от '/г^тах ДО £тах-

672. Германиевый кристалл, ширина АЕ запрещенной зоны в котором равна 0,72 эВ, нагревают от темпера­туры t\ = 0°С до температуры /г = 15°С. Во сколько раз возрастет его удельная проводимость?

673. При нагревании кремниевого кристалла от тем­пературы t\ = 0° до температуры = Ю°С его удельная проводимость возрастает в 2,28 раза. По приведенным данным определить ширину АЕ запрещенной зоны кри­сталла кремния.

199

674. р-л-переход находится под обратным напряже­нием U = 0 ,1 В. Его сопротивление = 692 Ом. Ка­ково сопротивление R2 перехода при прямом напря­жении?

675. Металлы литий и цинк приводят в соприкосно­вение друг с другом при температуре Т = 0 К. На сколь­ко изменится концентрация электронов проводимости в цинке? Какой из этих металлов будет иметь более высо­кий потенциал?

676. Сопротивление R\ р-л-перехода, находящегося под прямым напряжением U = 1 В, равно 10 Ом. Опре­делить сопротивление R2 перехода при обратном напря­жении.

677. Найти минимальную энергию №min, необходи­мую для образования пары электрон—дырка в кристалле CaAs, если его удельная проводимость у изменяется в 10 раз при изменении температуры от 20 до 3°С.

678. Сопротивление R i кристалла PbS при темпера­туре t\ = 20°С равно 104 Ом. Определить его сопротив­ление R2 при температуре t2 = 80°С.

679. Каково значение энергии Ферми bf у электронов проводимости двухвалентной меди? Выразить энергию Ферми в джоулях и электрон-вольтах.

680. Прямое напряжение U, приложенное к р-п-пе­реходу, равно 2 В. Во сколько раз возрастет сила тока через переход, если изменить температуру от Т\ = 300 К до Т2 = 273 К?

П Р И Л О Ж Е Н И Я

1. Основные физические постоянные (округленные значения)

Физическая постоянная Обозначение Значение

Нормальное ускорение сво-9,81 м/с2водного падения g

Гравитационная постоянная G 6,67 • 10“ " м3/(кг ■ с2)Постоянная Авогадро Аа 6,02-1023 моль~'Молярная газовая постоян­

ная R 8,31 Дж /(м оль-К )Стандартный объем* v m 22,4 • 10_3 м3/мольПостоянная Больцмана k 1,38-10-23„Д ж /КЭлементарный заряд е 1,60 -10“ 19 Кл

3,00-108 м/сСкорость света в вакууме сПостоянная Стефана—Больц­

мана о 5 ,6 7 -10- 8 В т/ (м2 • К4)Постоянная закона смещения Вина ь 2,90-10“ 3 м-КПостоянная Планка h 6 ,63-10“ 34 Д ж -с

п 1,05-ЮГ34 Д ж -сПостоянная Ридберга R 1,10-10' м~‘Радиус Бора а 0,529-Ю-10 мКомптоновская длина волны

электрона А 2 ,43-1 0 -’2 мМагнетон Бора РВ 0,927-10 - 23 А-м2Энергия ионизации атома во­

дорода Ei 2 ,18-10—18 Лж (13,6 эВ)Атомная единица массы а.е.м. 1,660-10 27 кгЭлектрическая постоянная е0 8,85-ЮГ12 Ф/мМагнитная постоянная Ро 4л*10 Гн/м

* Молярный объем идеального газа при нормальных условиях.

2. Некоторые астрономические величины

Наименование Значение

Радиус Земли 6,37-10® мМасса Земли 5,98-1024 кгРадиус Солнца 6,95-108 мМасса Солнца 1,98.10?° кгРадиус Луны 1,74-10® мМасса Луны 7,33-1022 кгРасстояние от центра Земли до

центра Солнца 1,49-10“ мРасстояние от центра Земли до

центра Луны 3,84-108 м

201

3. Плотность твердых тел

Твердое тело Плотность, кг/м3 Твердое тело Плотность, кг/м3

Алюминий 2 ,70-103 Медь 8,93-103Барий 3 ,50-103 Никель 8,90-103Ванадий 6,02-103 Свинец 11,3-103Висмут 9 ,80-103 Серебро 10,5-103Железо 7,88-103 Цезий 1,90-103Литий 0,53-103 Цинк 7,15-103

4. Плотность жидкостей

Жидкость Плотность, кг/м3 Жидкость Плотность, кг/м3

Вода (при 4°С) 1,00-103

Сероуглерод 1,26-103

Глицерин 1,26-103 Спирт 0,80-103Ртуть 13,6-103

5 Плотность газов (при нормальных условиях)

Г аз Плотность, Газ Плотность,кг/м3 кг/м3

Водород 0,09 Гелий 0,18Воздух 1,29 Кислород 1,43

6. Коэффициент поверхностного натяжения жидкостей

Жидкость Коэффициент,мН/м

Жидкость Коэффициент,мН/м

Вода 72 Ртуть 500Мыльная пена 40 Спирт 22

7. Эффективный диаметр молекулы

Г аз Диаметр, м Газ Диаметр, м,т

Азот 3 ,0 -10-‘° Гелий 1,9-10-'°Водород 2 ,3 -10~'° Кислород 2,7-10-*°

202

8. Диэлектрическая проницаемость

Вещество Проницаемость Вещество Проницаемость

Вода 81 Парафин 2,0Масло транс- Стекло 7,0

форматорное 2,2

9. Удельное сопротивление металлов

Металл Удельное сопро- Металл Удельное сопро-тивление, Ом • м тивление, Ом-м

Железо 9 ,8 -10~8 1,7-10-8

Нихром 1 ,М 0 " 61,6-ю - 8Медь Серебро

10. Энергия ионизации

Вещество Ei, Дж £,, эВ

Водород 2 ,18 -10-18 13,6Гелий 3,94-10 8 24,6Литий 1,21 • 10” 7 75,6Ртуть 1,66-10“ 18 10,4

11. Подвижность ионов в газах, м2/ (В-с )

Г аз Положительные Отрицательныеионы ионы

Азот 1,27-10 - 4 1,81-10-"Водород 5 ,4 -10-4 7,4-10-"Воздух 1,4 ■ 10-4 1,9-10-"

12. Показатель преломления

Вещество Показатель Вещество Показатель

Алмаз 2,42 Глицерин 1,47Вода 1,33 Стекло 1,50

203

13. Работа выхода электронов

Металл А. Дж А, эВ

Калий 3,5-10“ 19 2,2Литий 3,7-10“ 19 2,3Платина 10 -1о- 19 6,3Рубидий 3 ,4 -10 - 9 2,1Серебро 7 ,5 -10-19 4,7Цезий 3,2.10“ 9 2,0Цинк 6 ,4 -1 0 -19 4,0

14. Относительные атомные массы (округленные значения) А, и порядковые номера Z некоторых элементов

Элемент Символ А, Z Элемент Символ A, Z

Азот N 14 7 Марганец Мп 55 25Алюминий AI 27 13 Медь Си 64 29Аргон Аг 40 18 Молибден Мо 96 42Барий Ва 137 56 Натрий Na 23 11Ванадий V 60 23 Неон Ne 20 10Водород Н 1 1 Никель Ni 59 28Вольфрам W 184 74 Олово Sn 119 50Гелий Не 4 2 Платина Pt 195 78Железо Fe 56 26 Ртуть Hg 201 80Золото Au 197 79 Сера S 32 16Калий К 39 19 Серебро Ag 108 47Кальций Са 40 20 Углерод C 12 6Кислород О 16 8 Уран u 238 92Магний Mg 24 12 Хлор Cl 35 17

15. Массы атомов легких изотопов

Изотоп Символ Масса,а.е.м.

Изотоп Символ Масса,а.е.м.

Нейтрон 0 П 1,00867 Берилий ЗВе 7,01693<Ве 9,01219

Водород |Н 1,00783 Бор ‘?В 10,01294?н 2,01410 "В 11,0093)0?н 3,01605

Гелий 1Не 3,01603 Углерод ЧС 12,00000- 5н 4,00260 Чс 13,00335

Чс 14,00324Литий ! l 6,01513 Азот Ч N 14,00307

Jli 7,01601Кислород чо 15,99491

Чо 16,99913

204

16. Периоды полураспада радиоактивных изотопов

Изотоп Символ Период полураспада

Актиний 289Ас 10 сутИод 131 f

53» 8 сутКобальт 2?Со 5,3 гМагний 12Mg 10 минРадий 2IoRa 1620 летРадон 2elRn 3,8 сутСтронций laSr 27 летФосфор ?*P 14,3 сутЦерий 'flCe 285 сут

17. Масса и энергия покоя некоторых частиц

Частицат0 Л>

КГ а.е.м. Дж МэВ

Электрон 9,1 Ы О -31 0,00055 8 ,16-1 0 -'4 0,511Протон 1,672-10 „ 1,00728 1,50-Ю -10 938Нейтрон 1,675- 10~Д 1,00867 1,51 -10-*° 939Дейтрон 3,35-10“ *! 2,01355 3,00-Ю -10 1876а-частица 6,64-10“ 27 4,00149 5,96-10-*° 3733Нейтральный л-мезон 2,41 -10“ 28 0,14498 2,16-10-" 135

18. Единицы СИ, имеющие специальные наименования

Величина Единица

Наименование Размерность Наимено­вание

Обо­зна­

чение

Выражение через основные и до­

полнительные еди­ницы

Основные единицы

Длина L метр мМасса М килограмм кгВремя Т секунда с

205

13. Работа выхода электронов

Металл А, Дж А. эВ

Калий 3.5-10— 2,2Литий 3,7.10" ® 2,3Платина 10-10-19 6,3Рубидий 3 .4 -ИГ ® 2,1Серебро 7,5-10 19 4,7Цезий 3 ,2 -10~19 2,0Цинк 6 ,4 -10~19 4,0

14. Относительные атомные массы (округленные значения) А, и порядковые номера Z некоторых элементов

Элемент Символ А, Z Элемент Символ A, Z

Азот N 14 7 Марганец Мп 55 25Алюминий А1 27 13 Медь Си 64 29Аргон Аг 40 18 Молибден Мо 96 42Барий Ва 137 56 Натрий Na 23 11Ванадий V 60 23 Неон Ne 20 10Водород Н 1 1 Никель Ni 59 28Вольфрам W 184 74 Олово Sn 119 50Гелий Не 4 2 Платина pt 195 78Железо Fe 56 26 Ртуть Hg 201 80Золото Au 197 79 Сера s 32 16Калий К 39 19 Серебро Ag 108 47Кальций Са 40 20 Углерод C 12 6Кислород О 16 8 Уран u 238 92Магний Mg 24 12 Хлор Cl 35 17

15. Массы атомов легких изотопов

Изотоп Символ Масса,а.е.м.

Изотоп Символ Масса,а.е.м.

Нейтрон о П 1,00867 Берилий «Ве 7,01693<Ве 9,01219

Водород !Н 1,00783 Бор ‘ИВ 10,01294?н 2,01410 'sB 11,00930?н 3,01605

Гелий iHe 3,01603 Углерод ‘еС 12,00000- |Н 4,00260 ЧС 13,00335

Чс 14,00324Литий SL 6,01513 Азот 4N 14,00307

1и 7,01601Кислород ЧО 15,99491

ч о 16,99913

204

I

16. Периоды полураспада радиоактивных изотопов

Изотоп Символ Период полураспада

Актиний ЧЪАс 10 сутИод 131т

53» 8 сутКобальт 2?Со 5,3 гМагний 12Mg 10 минРадий 2llRa 1620 летРадон 2IlRn 3,8 сутСтронций ieSr 27 летФосфор ?|P 14,3 сутЦерий 'SJCe 285 сут

17. Масса и энергия покоя некоторых частиц

Частицат0 0

КГ а.е.м. Д ж МэВ

Электрон 9,11 • 10 31 0,00055 8 ,16-1 0 -14 0,511Протон 1,672- 10“ 27 1,00728 1,50-10-'° 938Нейтрон 1,675-10-27

3,35- 10~т11,00867 1,51-10-'° 939

Дейтрон 2,01355 3,00 -10—10 1876а-частица 6,64-10_ 27 4,00149 5,96-10-'° 3733Нейтральный я-мезон 2,41 • 10—28 0,14498 2 ,16 -10 -“ 135

18. Единицы СИ, имеющие специальные наименования

Величина Единица

Наименование Размерность Наимено­вание

Обо­зна­

чение

Выражение через основные и до­

полнительные еди­ницы

Основные единицы

Длина L метр мМасса М килограмм кгВремя Т секунда с

205

Продолжение табл. 18

Величина Единица

Наименование Размерность Наимено- Обо- Выражение черезвание зна- основные и до-

чение полнительные еди-ницы

Сила электриче-ского тока I ампер А

Термодинамиче-ская температура 0 кельвин К

Количество ве-щества N моль МОЛЬ

Сила света J кандела кд

Дополнительные единицы

Плоский угол — радиан радТелесный угол стерадиан ср

Производные единицы

Частота Т- ' герц Гц с-'Сила, весДавление, механи­

LMT-2 ньютон Н м-кг-с-2

ческое напряжение Энергия, работа,

L-I MT-2 паскаль Па м- ' -кг-с~2

количество теплоты Мощность, n O T O F

l2m i - 2 джоуль Дж м2-кг-с~2

энергииКоличество элек­

тричества (электриче­

l2m t ~3 ватт Вт м2-кг-с“3

ский заряд)Электрическое на­

пряжение, электриче­ский потенциал, раз­ность электрических потенциалов, электро­

TI кулон Кл с-А

движущая силаЭлектрическая ем­

L2MT~3I - ‘ вольт В м2-кгс-с~3- А-1ч

костьЭлектрическое со­

L -2M -'T 4I2 фарад Ф м~2-кг~' - с4-А2

противлениеЭлектрическая про­

L2M T-3I - 2 ом Ом м2-кг-с~3 • А-2

водимостьМагнитный по­

L -2M -‘T3I2 сименс См м_2-кг~' -с3-А2

токМагнитная ин­

L2M T-2I- ' вебер Вб м2-кг-с~2-А-1

дукция M T-2! - ' тесла Тл кг-с~2-А_|

206

Продолжение табл. 18

Величина Единица

Наименование Размер­ность

Наименова­ние

Обо­зна­

чение

Выражение через основные и допол­нительные единицы

Индуктивность, взаимная индук­тивность

Световой поток Освещенность Активность изо-

L2MT-2j-2JL -2J

генрилюменлюкс

Гнлмлк

м2-кг-с- 2 -А~2кд-срм_2-кд-ср

топа (активность нуклида в радио­активном источ­нике)

Поглощенная доза излучения

т - ‘

L2!-2

беккерель

грей

Бк

Гр

с - 1

м2- с - 2

Примечания:1. Кроме температуры Кельвина (обозначение Т) допускается приме­

нять также температуру Цельсия (обозначение / ) , определяемую выраже­нием t — T—To, где Го = 273,15 К. Температура Кельвина выражается в кельвинах, температура Цельсия — в градусах Цельсия (обозначение меж­дународное и русское °С). По размеру градус Цельсия равен кельвину.

2. Интервал или разность температур Кельвина выражают в кельвинах. Интервал или разность температур Цельсия допускается выражать как в кельвинах, так и в градусах Цельсия.

19. Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименования

Приставка Приставка

Множи­тель

Наименование Обозна­чение

Множи­тель

Наименование Обозна­чение

экса э ю 18 деци д 10-'пэта п 10'5 санти С . 10-2тера т 1012 милли м 1(Г8гига г 109 микро мк 10 9мега м 10е нано н 10 9кило К 103 пи ко п 1 0-'2гекто Г 102 фемто ф 10- ‘6дека да 10' атто а 10- ‘8

207

20. Греческий алфавит

Обозначениябукв

Названиебукв

Обозначениябукв

Названиябукв

А, а альфа N, v НЮ

В, Р бета 3, I ксиГ, V гамма О, о омикронЛ. 6 дэльта П, я пиЕ, е • эпсилон Р. Р роZ, s дзета 2 , а сигмаН. г, эта Т, т тауе, о тэта Т , « ипсилон], i йота Ф, ф фиК, X каппа х, х хиЛ. я ламбда V , ф псиМ, р МИ Й, ш омега

I U t S t f

СОДЕРЖАНИИ

Предисловие ............................................................ 3Рабочая п р о г р а м м а ................................................................................... 4Л и т е р а т у р а ................................................................................................... 9Общие методические у к а з а н и и ............................................................ IIУчебные материалы по разделам курса ф и ш к и .............................. 13

1. Физические основы классической м ех а н и к и ................................. 13Основные ф о р м у л ы ......................................................................... 13Примеры решения з а д а ч .................................................................. 17Задачи для самостоятельного р е ш е н и я ....................................... 32Контрольная работа 1 35

2. Молекулярная физика. Термодинамика....................................... 45Основные ф о р м у л ы ............................................................................. 45Примеры решения з а д а ч .................................................................. 50Задачи для самостоятельного р е ш е н и я ....................................... 61Контрольная работа 2 ........................................................................ 63

3. Электростатика. Постоянный электрический т о к ...................... 70Основные ф о р м у л ы ............................................................................. 70Примеры решения з а д а ч .................................................................. 75Задачи для самостоятельного р е ш е н и я ...................................... 95Контрольная работа 3 ........................................................................ 97

4. Электромагнетизм................................................................................... ]08Основные ф о р м у л ы ............................................................................ 108Примеры решения з а д а ч .................................................................. 112Задачи для самостоятельного р е ш е н и я ....................................... 134Контрольная работа 4 ........................................................................ 136

5. О п ти к а....................................................... ................................ ..... 147-Основные формулы .................................................................................... 147Примеры решения з а д а ч ......................................................................... 151Задачи для самостоятельного р е ш е н и я ..............................................164Контрольная работа 5 ........................................................................ 166

6. Элементы атомной физики и квантовой механики. Физикатвердого т е л а ........................................................................................ 17 5Основные ф о р м у л ы ............................................................................. 175.Примеры решения з а д а ч ..........................................................................180Задачи для самостоятельного р е ш е н и я ....................................... 1§1Контрольная работа 6 192

П ри лож ен ия ..................................................................................................... 301

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫСШЕМУ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ-ЗАОЧНИКОВ ИНЖЕНЕРНО-ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ

ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ (ВКЛЮЧАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННЫЕ ВУЗЫ)

ОБРАЗОВАНИЮ

ФИЗИКА

ВЫСШАЯ ШКОЛА 1987