Міністерство освіти...

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Національний Технічний Університет України

«Київський Політехнічний Інститут» Навчально-науковий комплекс

«Інститут прикладного системного аналізу» Кафедра системного проектування

«МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ»

Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт для студентів напряму підготовки 6.050101 «Комп'ютерні науки», спеціальностей 8.05010102 «Інформаційні технології проектування» та 8.05010103 «Системне проектування» денної та заочної форм навчання

Склали: доц. БОБІН ВІКТОР ВАСИЛЬОВИЧ доц. ЛАДОГУБЕЦЬ ВОЛОДИМИР ВАСИЛЬОВИЧ доц. ФІНОГЕНОВ ОЛЕКСІЙ ДМИТРОВИЧ

Київ - 2011 р.

Методи оптимізації : Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт для студентів напряму підготовки 6.050101 «Комп'ютерні науки», спеціальностей 8.05010102 «Інформаційні технології проектування» та 8.05010103 «Системне проектування» денної та заочної форм навчання / Укл. В.В. Бобін, В.В. Ладогубець, О.Д. Фіногенов. – К. : НТУУ «КПІ», 2011 р. – 128 c.

Рекомендовано Методичною радою НТУУ «КПІ»

(Протокол № 5 від 19.01.2012 р.) Укладачі: Бобін Віктор Васильович, канд. техн. наук,

Ладогубець Володимир Васильович, канд. техн. наук, Фіногенов Олексій Дмитрович, канд. техн. наук

Відповідальний редактор:

А.І. Петренко, д.т.н., проф..

Рецензент: В.П. Денисюк, д.ф.-м.н., проф..

3

ЗМІСТ

ВСТУП.................................................................................................................. 4 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1. Чисельне визначення градієнту цільової функції .................................................................................................................. 6 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2. Чисельне визначення елементів матриці Гессе цільової функції ...................................................................................... 17 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3. Дослідження цільової функції за допомогою ліній однакового рівня.................................................................. 22 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4. Дослідження цільової функції за допомогою поверхонь....................................................................................... 28 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 5. Дослідження методів одномірного пошуку............................................................................................................................. 32 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 6. Алгоритми знаходження інтервалу невизначеності ................................................................................................... 46 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 7. Використання методів одномірного пошуку для вирішення практичних задач ...................................................... 51 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 8. Використання методів безумовної багатопараметричної оптимізації для вирішення практичних задач ........... 60 ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 9. Використання методів нелінійного програмування для вирішення практичних задач.......................................... 75 ДОДАТОК А. Опис вхідної мови та видів аналізу NetALLTED ................. 90 ДОДАТОК Б. Ряди номіналів резисторів ..................................................... 124 СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ .......................................... 127

4

ВСТУП

Дисципліна «Методи оптимізації» належить до циклу професійно

орієнтованих дисциплін і базується на знанні дисциплін: «Математичний

аналіз», «Алгебра та геометрія», «Дискретна математика», «Чисельні

методи». Матеріал курсу використовується як самостійно так і у курсах

«Моделювання складних систем» та «Проектування автоматизованих

інформаційних систем». Програми, що розроблені при виконанні 1,2,5 та

6-ої лабораторних роботах, є складовими частинами програми, що

розробляється при виконанні РГР або курсового проекту.

Метою дисципліни є вивчення класичних методів та сучасних

чисельних методів оптимізації для розв'язування широкого спектру задач

оптимізації. Матеріал курсу покликаний прищеплювати студентам знання

та вміння вирішувати задачі оптимізації проектно-конструкторських

розробок та прийняття рішень методами обчислювальної математики.

Внаслідок вивчення предмету студенти повинні:

знати: провідні особливості методів оптимізації, умови їх

використання, можливості адаптації до конкретних задач;

вміти: проаналізувати поставлену задачу, обрати найбільш

ефективний для її розв’язку метод, реалізувати обраний метод та отримати

практичні результати.

мати навички проектування пристроїв за заданими критеріями

оптимальності.

Лабораторні роботи орієнтовані на студентів-бакалаврів із

спеціальності 6.050101 «Комп'ютерні науки». Роботи мають

дослідницький характер. Для полегшення підготування студентів до

лабораторних робіт у методичних вказівках наведено необхідні

5

довідникові дані і матеріали та розібрано приклади, розглянуто методику

підготування завдання для взаємодії з пакетом NetALLTED. Вважається за

необхідне наявність у студентів знань з обчислювальної та дискретної

математики, з теорії електронних кіл та з питань аналогової та цифрової

схемотехніки тощо [1-7]. Бажано також, щоб лабораторні роботи

стимулювали подальше поглиблене вивчення студентами теоретичного

матеріалу [8-17] та сприяли оволодінню українською науково-технічною

термінологією [7-10].

6

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1.

ЧИСЕЛЬНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ГРАДІЄНТУ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ

1 Мета роботи

Ознайомитись з методами обчислення на ЕОМ частинних похідних

функцій (зокрема градієнту цільової функції (ЦФ)) та факторами, що

впливають на похибку обчислень.

2 Короткі теоретичні відомості

Градієнт – це вектор частинних похідних, що вказує у напрямок

найбільшого зросту функції.

Якщо )(xf - цільова функція, де [ ]Tnxxxx ,...,, 21= - n-мірний вектор

змінних, то скорочене розкладання у ряд Тейлора в околиці точки x має

вигляд:

( ) ( ) ( ) ...)(21

+++≈+ hxHhhxgxfhxf TT (1.1)

де

T

nxxf

xxf

xxfxg ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∂∂

∂∂

∂∂ )(,...,)(,)()(

21

- градієнт цільової функції;

Tnhhhh ],...,,[

21= - вектор прирощення змінних;

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnn

n

xxxf

xxxf

xxxf

xxxf

xH

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

)(.................)(....................................

)(.................)(

)(2

1

2

1

2

11

2

- матриця других похідних (матриця

Гессе).

7

При обчисленні градієнту на ЕОМ для визначення похідних

використовують методи правих, лівих та центральних кінцевих різниць.

Метод правої кінцевої різниці

Розглянемо на прикладі функції однієї змінної )(xf її розкладання у

ряд Тейлора «праворуч» від точки x :

)(!

...)(!3

)(!2

)()()( )(32

xfnhxfhxfhxfhxfhxf n

n

++′′′+′′+′+≈+ (1.2)

Якщо обмежитись лінійною апроксимацією, тобто першими двома

членами розкладу (1.2), а саме:

)()()( xfhxfhxf ′+≈+ (1.3)

то з (1.3) отримаємо формулу правої кінцевої різниці для обчислення

першої похідної:

hxfhxfxf )()()( −+

≈′ (1.4)

Методична похибка цієї формули має порядок [ ])(hh Ο .

Метод лівої кінцевої різниці

Скорочене розкладання у ряд Тейлора функції f x( ) «ліворуч» від

точки x має вигляд:

8

)(!

)1(...)(!3

)(!2

)()()( )(32

xfnhxfhxfhxfhxfhxf n

nn−++′′′−′′+′−≈− (1.5)

Аналогічно до (1.3), обмежившись лінійною апроксимацією функції )(xf :

)()()( xfhxfhxf ′−≈− (1.6)

отримаємо з (1.6) формулу к лівої кінцевої різниці для обчислення першої

похідної:

hhxfxfxf )()()( −−

≈′ (1.7)

Методична похибка цієї формули також має порядок [ ])(hh Ο .

Суттєвим недоліком методів правої та лівої кінцевих різниць є

значна похибка обчислень. Розглянемо значення похибки на

наступному прикладі:

1) 1.0,1,)( 3 === hxxxf .

Аналітичний розрахунок похідної:

33)()(1

231 ==′=′

== xx xxxf

Розрахунок за формулою лівої кінцевої різниці:

71.21.0729.01

1.09.01

1.0)1.01()1()()()(

33

1.0,11.0,1 =

−=

−=

−−=

−−=′

====

ffh

hxfxfxfhx

hx

Розрахунок за формулою правої кінцевої різниці:

31.31.0

1331.11.0

11.11.0

)1()1.01()()()(33

1.0,11.0,1 =

−=

−=

−+=

−+=′

====

ffh

xfhxfxfhx

hx

Як видно із результатів розрахунків, значення градієнту, що отримані за

!

9

допомогою методів лівої та правої кінцевих різниць значно відрізняються

від дійсного. Варто відмітити, що метод лівої кінцевої різниці дав

значення менше за дійсне, а правої більше. Тому, вочевидь, є цікавим

поєднати результати обох методів, щоб отримати середнє значення, яке

буде мати меншу похибку.

Метод центральної кінцевої різниці

Головна ідея методу – поєднання методів лівої та правої кінцевих

різниць. Значення градієнту за методом центральної кінцевої різниці

обчислюється, як середнє арифметичне значень градієнту за методами

лівої та правої кінцевих різниць:

2)()()( xfxfxf пл ′+′

≈′ (1.8)

де )(xf л′ - значення градієнту за методом лівої кінцевої різниці (1.7), )(xfп′ -

значення градієнту за методом правої кінцевої різниці (1.4).

Для методу правої кінцевої різниці візьмемо перші чотири члени

розкладу у ряд Тейлора (1.2):

)(!3

)(!2

)()()(32

xfhxfhxfhxfhxf ′′′+′′+′+≈+

Звідси знайдемо значення градієнту:

h

xfhxfhxfhxfxfп

)(!3

)(!2

)()()(

32

′′′−′′−−+=′ (1.9)

10

Аналогічно для методу лівої кінцевої різниці:

h

xfhxfhhxfxfxf л

)(!3

)(!2

)()()(

32

′′′−′′++−=′ (1.10)

Підставивши (9) та (10) в (8), отримаємо:

)(62

)()(2

)(!3

2)()(

2

)(!3

)(!2

)()()(!3

)(!2

)()(

2)()()(

2

3

3232

xfhh

hxfhxfh

xfhhxfhxf

h

xfhxfhxfhxfxfhxfhhxfxf

xfxfxf плЦ

′′′−−−+

=′′′−−−+

=

=′′′−′′−−++′′′−′′+−−

=

=′+′

=′

Залишаючи для розрахунку лише обчислення значень функції, отримаємо

формулу для обчислення градієнту за методом центральних різниць:

hhxfhxfxfЦ 2

)()()( +−−≈′ (1.11)

Методична похибка цієї формули має порядок [ ])( 22 hh Ο .

Примітка!

Обчислимо значення градієнту за допомогою методу «центральних»

кінцевих різниць для попереднього прикладу

1.0,1,)( 3 === hxxxf .

11

01.32.0

729.0331.12.0

9.01.11.02

)1.01()1.01(2

)()()(33

1.0,11.0,1

=−

=

=−

=⋅

−−+=

−−+=′

====

ffh

hxfhxfxfhx

hx

Таблиця 1.1 – Результати розрахунку градієнту

Методи кінцевої різниці Аналітичний

метод лівої правої центральної

Значення

градієнту 3 2.71 3.31 3.01

Абсолютна

похибка 0 0.29 0.31 0.01

Відносна

похибка, % 0 9.67 10.33 0.33

Варто відмітити, що алгоритми обчислення похідних на ЕОМ

належать до класу нестійких. Взявши до уваги, що значення функцій

f x h( )+ і f x h( )− обчислюються з інструментальними похибками ε 1 і

ε2 відповідно, одержимо:

~ ( ) ( ) ( ) ( )′ ≈+ + − − −

= ′ +−f x f x h f x h

hf x

hε ε ε ε1 2 1 2

2 2,

тобто похибка ε ε ε ε1 2

222

−≤ =

h h h прямує до нескінченності, якщо 0→h .

Це входить у протиріччя з методичною похибкою. Тому при

реалізації на ЕОМ алгоритмів обчислення похідних функцій (і перших і

других) при виборі значення прирощення h треба знаходити компроміс.

12

Все вищезазначене узагальнюється і на випадок функції багатьох

змінних )(xf . Так, і-та складова градієнту )(xgi обчислюється за виразом:

[ ] ,)1(1,)()(21)( niehxfehxfh

xg iiiii =−−+= rs

де rei - одиничний вектор( i -та складова дорівнює 1, решта – 0).

3 Алгоритм обчислення градієнту цільової функції

3.1) Введення .,),(, hxxfn

3.2) Цикл по .)1(1: nii =

3.3) ).(1; xffhxx ii =+=

3.4) ).(2;2 xffhxx ii =−=

3.5) .2

21h

ffgi−

=

3.6) x x hi i= + . (відновлення значення x i ).

3.7) Кінець циклу по i.

3.8) Друк результатів обчислення.

4 Завдання

4.1) Для трьох цільових функцій (ЦФ): двох тестових F F1 2, і однієї

індивідуальної 3F провести аналітичний розрахунок градієнту в точці x

(для функції 3F , точку обрати самостійно). При обрахунках тут і надалі

використовувати 14 цифр після коми.

1. Проста квадратична функція F1 TxxxxxxF )1,0(;)10(91)()(1 2

212

21 =−++−=

13

2. Функція Розенброка F2 TxxxxxF )1,2.1(;)1()(100)(2 21

2212 −=−+−=

3. Індивідуальна функція F3 :

цільова функція формується з системи нелінійних рівнянь за

варіантом (табл. 1.2)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

0),...,(.......................

0),...,(

1

11

nn

n

xxf

xxf,

яка має вигляд:

),...,(....),...,()(3 12

121 nnn xxfxxfxF ++= .

Мінімум цієї функції буде співпадати з вирішенням системи.

Таблиця 1.2 – Варіанти систем рівнянь

Варіант Система рівнянь Варіант Система рівнянь

1 ( ) ;

;

x x

x x1

222

12

22

1 1

1

− + =

+ =

16 x x x

x x x x12

22

1

12

1 2 22

4 75

2 14

+ − =

− − =

. ;

;

2 x Sin x x

x x1 1 2

12

22

157

6 6

− + =

+ =

( ) . ;

. ;

17 3 6 510 6 2 57

1 2

1 2

x CosxSin x x

− =− − =

. ;( . ) . ;

3 0 8 15 2 422 12 12812

22

1 2 1

. . . ;( ) . . ;x x

Sin x x x+ =

− − = −

18 Sin x xx Cosx

( . ) . ;. ;

1 2

1 2

0 6 163 0 9

− − =− =

4 x x

x x12

22

12

22

7 72

1 3 92

+ =

− + =

. ;

( ) . ;

19 ;9)5(

;1)(2211

2121

=+

=−

xxx

xxx

5 Cos x xx Cosx

( ) . ;;

2 1

2 1

1 141

− + =− = −

20 Sin x x x

x x

( ) . . ;

;1 2 1

12

22

12 0 2

1

+ − =

+ =

14

6 Sin x x x

x x

( ) . . ;

. . ;

2 12 0 4

0 8 15 11 2 1

12

22

− − =

+ =

21 ( ) . ;

. ;

x x x

x x x x1 2

21

12

1 2 22

0 7

7 12 9

+ − = −

− + =

7 x x

x x x12

22

12

1 22

2 88

6 4 32

+ =

− + = −

. ;

. ;

22 ;75.423

;0)1(22

21

22

21

=−

=−

xx

xx

8 2 1 00 4

1 2

2 1

x Cos xx Sinx

− + =+ = −

( ) ;. ;

23 Cos x xSinx x

( . ) . ;. ;

2 1

1 2

0 5 0 82 16+ + =

− =

9 2 2 24

18812

1 2 22

12

22

1

x x x x

x x x

− − =

+ − =

. ;

. ;

24 x x x x

x x x12

1 2 22

1 22

1

7 15 25

15

− + =

+ − =

. ;

( ) . ;

10 x xx Sin x x

12

22

1 1 2

61115

+ =− + =

. ;( ) . ;

25 tg x x x

x x

( ) ;

. ;1 2 1

2

12

22

0

0 8 2 1

− =

+ =

11 Sin x xCos x x

( . ) ;( ) ;

2 1

1 2

0 5 12 0

+ − =− + =

26 3 2 12 78

1 7 212

22

12

22

x x

x x

− =

− = −

. ;

( ) . ;

12 Cosx xx Sin x

2 1

2 1

152 0 5 1

+ =− − =

. ;( . ) ;

27 x x x

x x12

1 22

12

22

6 4 76

2 44

− + = −

+ =

. ;

. ;

13 Sin x xx Sin x

( ) . ;( ) . ;

2 1

2 1

1 131 0 8

− + =− + =

28 Sin x xx Cosx

( . ) . ;. ;

1 2

1 2

0 6 2 073 4 92

− − =− =

14 Sin x x xx x( ) . . ;

. . . ;2 12 152

0 8 15 1831 2 1

1 2

− − =+ =

29 4 2 4 2

2 3 0 221 2

31 2 2

12

1 2 22

x x x x x

x x x x

+ − − =

+ + + =

. ;

. ;

15 tg x x x

x x

( . ) ;

. ;1 2 1

2

12

22

0 3 0

0 9 2 1

+ − =

+ = 30

;5.3292

;8.22221

21

22

21

−=+−

=+

xxx

xx

4.2) Скласти програму розрахунку на ЕОМ градієнту ЦФ за методом

центральної різниці для 3,2,1 FFF при 92 1010 −− ÷=h з кроком 110−=h .

Результати звести у таблицю:

15

Таблиця 1.3 – Значення градієнту

Крок ...1 =F ...2 =F ...3 =F

h 11xF 21xF 12 xF 22xF 13xF 23xF

10-2

10-3

..

10-9

4.3) Використавши дані п. 4.1 та 4.2 розрахувати абсолютну похибку

обчислень чисельних значень градієнту для 3,2,1 FFF при h=10-2÷10-9 та

звести у таблицю:

Таблиця 1.4 – Значення абсолютної похибки

Крок ...1 =F ...2 =F ...3 =F

h 11xE 21xE 12xE 22xE 13xE 23xE

10-2

10-3

..

10-9

Розрахунок абсолютної похибки вести за формулою: A

iK

ii FFE −= ,

де KiF – значення, обраховане за допомогою ЕОМ, A

iF – значення,

обраховане аналітично;

4.4) Визначити крок, при якому для усіх функцій похибка обчислень

найменша.

16

5 Зміст звіту

5.1) мета роботи;

5.2) варіант завдання;

5.3) короткі теоретичні відомості;

5.4) результати аналітичного розрахунку значень градієнту в заданих

точках для тестових функцій F F1 2, та в обраній точці для індивідуальної

функції 3F ;

5.5) лістинг програми обчислення перших похідних за методом

центральної різниці;

5.6) результати розрахунку значень градієнту на ПЕОМ (табл. 1.3);

5.7) результати розрахунку абсолютної похибки (табл. 1.4);

5.8) висновки щодо оптимального кроку обчислення градієнту.

6 Контрольні запитання

6.1) Що таке градієнт цільової функції та які його властивості?

6.2) Як використовується градієнт цільової функції при оптимізації?

6.3) Які Ви знаєте методи чисельного визначення градієнту?

6.4) Які види похибок впливають на чисельне обчислення градієнту та як

саме?

6.5) Навести приклади функцій, для яких обрахунок за методом лівих або

правих різниць буде безпомилковим.

6.6) Навести приклади функцій, для яких обрахунок за методом

центральних різниць буде безпомилковим.

17


ЧИСЕЛЬНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ЕЛЕМЕНТІВ МАТРИЦІ ГЕССЕ ЦІЛЬОВОЇ

ФУНКЦІЇ


Ознайомитись з методами обчислення на ЕОМ других частинних

похідних функцій (зокрема елементів матриці Гессе цільової функції) та

факторами, що впливають на похибку обчислень.


При обчисленні елементів матриці Гессе на ЕОМ використовують

методи кінцевих різниць, зокрема, метод кінцевих «центральних» різниць

(1.11). Якщо цей метод застосувати до градієнту цільової функції (1.1), то

отримаємо формулу для визначення елемента ijH матриці Гессе:

jhihjejhieihxfjejhieihxfjejhieihxfjejhieihxf

ijH 4

)()()()( rrrrrrr −−+−+−+−−++=

3 Завдання

3.1) Для трьох цільових функцій (ЦФ): двох тестових F F1 2, і однієї

індивідуальної 3F з ЛР №1 провести аналітичний розрахунок матриці

Гессе в точці x (для функції 3F , точку обрати самостійно).

3.2) Побудувати 3D–зображення кожної ЦФ (наприклад, за допомогою

Matlab) в межах, що містять задані (для F1, F2) або обрану (для F3) точки.

18

[x1,x2]=meshgrid(-5:0.5:5,-5:0.5:5);

F=(x1-x2).^2+1/9*(x1+x2-10).^2;

surf(x1,x2,F);

axis tight;

xlabel({'x1'});

ylabel({'x2'});

zlabel({'F1'});

title('F=(x1-x2)^2+1/9*(x1+x2-

10)^2');

%для друку у чорно-білому форматі

%colormap(gray(10));

%для вигляду зверху

%view(-45,90);

Лістинг 2.1 – Побудова 3D-зображення ЦФ

Рисунок 2.1 – 3D–зображення ЦФ

(вигляд під кутом)

Рисунок 2.2 – 3D-зображення ЦФ

(вигляд зверху)

3.3) Скласти програму розрахунку на ЕОМ елементів матриці Гессе ЦФ за

методом центральної різниці для 3,2,1 FFF при h=10-2÷10-9 з кроком 10-1.

Результати звести у таблицю:

19

Таблиця 2.1 – Значення елементів матриці Гессе

Крок

ji hh =

...1 =F TX (...,...)1 =

...2 =F TX (...,...)2 =

...3 =F TX (...,...)3 =

H11 H12 … … H11 H12 10-2

H21 H22 … … H21 H22

H11 H12 … … H11 H12 10-3

H21 H22 … … H21 H22

… … … … … … …

H11 H12 … … H11 H12 10-9

H21 H22 … … H21 H22

3.4) Використавши дані п.4.1 та 4.2 розрахувати абсолютну похибку

обчислень чисельних значень елементів матриці Гессе для 3,2,1 FFF при

h=10-2÷10-9 та звести у таблицю:

Таблиця 2.2 – Значення абсолютної похибки

...1 =F ...2 =F ...3 =F Крок

ji hh = E11 E12 =E21 E22 E11 E12 =E21 E22 E11 E12 =E21 E22

10-2

10-3

..

10-9

Розрахунок абсолютної похибки вести за формулою:

Aij

Kijij EEE −= ,

20

де KijE – значення, обраховане за допомогою ЕОМ, A

ijE – значення,

обраховане аналітично;

3.5) Визначити крок, при якому для усіх функцій похибка обчислень

найменша.





4.4) результати аналітичного розрахунку значень елементів матриць Гессе

в заданих точках для тестових функцій F F1 2, та в обраній точці для

індивідуальної функції 3F ;

4.5) 3D–зображення ЦФ F F1 2, та 3F ;

4.6) лістинг програми обчислення елементів матриці Гессе за методом

центральної різниці;

4.7) результати розрахунку значень матриці Гессе на ПЕОМ (табл. 2.1);

4.8) результати розрахунку абсолютної похибки (табл. 2.2);

4.9) висновки щодо оптимального кроку обчислення елементів матриці

Гессе.


5.1) Яка апроксимація ЦФ (лінійна або квадратична) використовується для

отримання розрахункових співвідношень елементів матриці Гессе?

5.2) Що таке матриця Гессе ЦФ? Її властивості.

5.3) Використання матриці Гессе ЦФ при оптимізації.

5.4) Методи чисельного визначення матриці Гессе ЦФ.

21

5.5) Як впливає величина h на похибку обчислень другої похідної ЦФ?

Порівняти з впливом на похибку обчислень першої похідної.

5.6) Що таке «квадратичність» поведінки ЦФ?

5.7) Як яружність (по рос. «овражность») ЦФ пов’язана з її матрицею

Гессе?

22


ДОСЛІДЖЕННЯ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ЛІНІЙ

ОДНАКОВОГО РІВНЯ


Побудова за допомогою ЕОМ та аналіз ліній однакового рівня

цільової функції.


Для аналізу поведінки )(xf іноді застосовують графічні методи

дослідження функції. В загальному випадку на цільову функцію накладені

обмеження, що обумовлені параметрами технології виробництва,

параметрами, що потрібно отримати від виробу, типовими значеннями

складових частин та таке інше. У просторі рішень обмеження утворюють

деяку допустиму область. Тому завжди цікаво, яка частина ЦФ належить

до допустимої області та як ЦФ змінюється на цій ділянці.

Якщо розсікти )(xf площинами, паралельними площині змінних

{ }21, xx та перпендикулярними вісі значень ЦФ, то в кожній з цих площин

буде одержано перетин функції ),( 21 xxf , який відповідає її сталому

значенню. Замкнена лінія, яка лежить у цій площині і обмежує перетин

функції ),( 21 xxf , зветься лінією однакового рівня, рівняння якої має вигляд

.)( constcxf == При різних значеннях c одержуємо сімейство таких ліній.

Іноді, по аналогії з топографічною термінологією такі лінії звуться ізолінії.

Подібне зображення цільових функцій допомагає вивчати їх

властивості і особливості, а також провадити порівняльний аналіз різних

алгоритмів оптимізації.

23

Лінії однакового рівня на площині параметрів { }21,xx являють собою

аналог топографічних ліній однакового рівня (наприклад, над рівнем моря)

на географічній мапі. Саме тому топографічна термінологія

використовується і при опису задач оптимізації, вважаючи, що лінії

однакового рівня описують «рельєф» функції. До основних характерних

точок ізоліній відносять:

- точки максимуму (локальні та глобальна), що відповідають

«пагорбу» або «вершині»;

- точки мінімуму (локальні та глобальна), що відповідають «ямі»;

- сідельні точки, що відповідають «перевалу» або «сідловині»;

Дослідження ЦФ за допомогою ліній рівня дозволяє:

- з’ясувати вид ЦФ (багато екстремальна, унімодальна, яружна тощо);

- обрати зручну початкову точку )0(x (від правильного вибору

початкової точки залежить як швидкість отримання результату так і

можливість отримання його взагалі);

- оцінити вплив окремих компонентів вектора x на поведінку ЦФ (в

залежності від швидкості зміни окремих компонентів можна зробити

висновок щодо доцільності їх включення до вектору варійованих

параметрів);

- обрати зручний метод вирішення (в залежності від поведінки функції

обрати один з градієнтних, квазіньютонівських методів або методів

випадкового пошуку тощо).

Графічне представлення характерних точок за допомогою ліній рівня

наведено на рисунках 3.1–3.3.

24

Рисунок 3.1 – Лінії рівня «яма» Рисунок 3.2 – Лінії рівня «пагорб»

[x1,x2]=meshgrid(-3:0.25:3,-3:0.25:3); F=cos(100*(x2-x1.*x1)).^2+sin((1-x1)).^2; [C,h] = contourf(x1,x2,F); text_handle = clabel(C,h); set(text_handle,'BackgroundColor',[1 1 .6],... 'Edgecolor',[.7 .7 .7]); title('F=cos^2(100*(x2-x1.*x1))+sin^2((1-x1))'); %%for gray picture %set(text_handle,'BackgroundColor',[1 1 1],... % 'Edgecolor',[.7 .7 .7]) %colormap gray

Рисунок 3.3 – Лінії рівня

«сідловина»

Лістинг 3.1 – Лінії рівня

3 Завдання

3.1) Сформувати індивідуальні ЦФ F3 та F4, використовуючи систему

нелінійних рівнянь з ЛР №1:

З системи нелінійних рівнянь

25

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

0),...,(.......................

0),...,(

1

11

nn

n

xxf

xxf

формується цільові функції, які мають вигляд:

F X f x x f x xn n n3 12

12

1( ) ( ,..., ) .... ( ,..., )r

= + + ,

));,...,((sin)),...,((cos)(4 12

112

nnn xxfxxfXF +=r

.

3.2) За допомогою прикладних програм (наприклад, Matlab та

лістингу 3.1) отримати та проаналізувати сімейство ліній однакового рівня

індивідуальних ЦФ F3 та F4 (наприклад, рис. 3.4–3.5). Побудову вести в

межах 32,13 ≤≤− xx .


(з заливкою)


(контурні)

3.3) Виявити характерні точки цільової функції F4. Навести приклади

координат особливих точок та елементів «рельєфу», зведені у таблицю:

26

Таблиця 3.1 – Особливі точки та елементи рельєфу

Елемент рельєфу F3 F4

Яма (x1,x2) (x1,x2)

Пагорб (x1,x2) (x1,x2)

Сідловина (x1,x2) (x1,x2)

Хребет (x1,x2)-(x1,x2) (x1,x2)-(x1,x2)

Яр (x1,x2)-(x1,x2) (x1,x2)-(x1,x2)

Для визначення координат можна скористатися опцією «Data cursor» в

Matlab (як, наприклад, на рис. 3.1–3.3).

3.4) Зробити висновки щодо використання градієнтних методів при

визначенні мінімумів індивідуальних ЦФ F3 та F4 в залежності від обраної

початкової точки )0(x .





4.4) сімейство ліній однакового рівня ЦФ F3 та F4;

4.5) координати особливих точок та елементів рельєфу (табл. 3.1);

4.6) висновки.


5.1) Що являють собою лінії однакового рівня?

27

5.2) Як спрямовано градієнт цільової функції по відношенню до ліній

однакового рівня ?

5.3) Який вигляд мають лінії однакового рівня для яружної цільової

функції?

5.4) Як по лініям однакового рівня визначити координати глобального

екстремуму цільової функції?

5.5) Сформулювати можливий алгоритм визначення окремих точок на лінії

однакового рівня.

28


ДОСЛІДЖЕННЯ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ПОВЕРХОНЬ


Аналіз властивостей цільових функцій за допомогою поверхонь.


Аналогічно до аналізу властивостей ЦФ за допомогою ліній

однакового рівня (див. ЛР №3) на практиці часто застосовують аналіз за

допомогою поверхонь. В загальному випадку поверхня має n+1 вимір, де n

- розмірність вектору x . Так як зобразити поверхню для 2>n неможливо,

то для таких випадків використовують аналіз по кожній парі },{ ji xx , де

jinjni ≠== ,)1(1,)1(1 .

Графічне представлення характерних точок за допомогою поверхонь

наведено на рисунках 4.1–4.3.

Рисунок 4.1 – Поверхня «яма» Рисунок 4.2 – Поверхня «пагорб»

29

[x1,x2]=meshgrid(-3:0.25:3,-3:0.25:3); F=(x1.^2-x1-x2.^2); %F=x1.*exp(-x1.^2-x2.^2); xlabel({'x1'}); ylabel({'x2'}); zlabel({'F4'}); surf(x1,x2,F); axis tight; title('F=(x1.^2-x1-x2.^2)'); view(35, 25); %for gray picture %colormap gray

Рисунок 4.3 – Поверхня «сідловина» Лістинг 4.1 – Поверхні ЦФ

3 Завдання

3.1) Сформувати індивідуальні функції F3 та F4, використовуючи систему

нелінійних рівнянь з ЛР№1:

З системи нелінійних рівнянь

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

0),...,(.......................

0),...,(

1

11

nn

n

xxf

xxf

формується цільові функції, які мають вигляд:

F X f x x f x xn n n3 12

12

1( ) ( ,..., ) .... ( ,..., )r

= + + ,

));,...,((sin)),...,((cos)(4 12

112

nnn xxfxxfXF +=r

або скористатися результатами п.3.1 ЛР №3.

30

3.2) За допомогою прикладних програм (наприклад, Matlab та

лістингу 3.1) отримати та проаналізувати поверхні індивідуальних ЦФ F3

та F4 (наприклад, рис. 4.1–4.5). Побудову вести в межах 32,13 ≤≤− xx .

Рисунок 4.5 – Визначення

координат «пагорба»

Рисунок 4.6 – Визначення координат

«яру»

3.3) Виявити характерні точки цільової функції F4. Навести приклади

координат особливих точок та елементів «рельєфу», зведені у таблицю:

Таблиця 4.1 – Особливі точки та елементи рельєфу

Елемент рельєфу F3 F4

Яма (x1,x2) (x1,x2)

Пагорб (x1,x2) (x1,x2)

Сідловина (x1,x2) (x1,x2)

Хребет (x1,x2)-(x1,x2) (x1,x2)-(x1,x2)

Яр (x1,x2)-(x1,x2) (x1,x2)-(x1,x2)

Для визначення координат можна скористатися опцією «Data cursor» в

Matlab (як, наприклад, на рис. 4.4–4.5).

31

3.4) Зробити висновки щодо використання поверхонь для аналізу

властивостей ЦФ. Порівняти з аналізом за допомогою ліній однакового

рівня.





4.4) зображення поверхонь для ЦФ F3 та F4;

4.5) координати особливих точок та елементів рельєфу (табл. 4.1);



5.1) Чим відрізняються локальний і глобальний екстремум?

5.2) Як формуються поверхні для ЦФ з n варійованими параметрами?

5.3) Що таке «сідловина» цільової функції?

5.4) Які властивості має матриця Гессе цільової функції в характерних

точках (мінімумі, максимумі, сідловині)?

32


ДОСЛІДЖЕННЯ МЕТОДІВ ОДНОМІРНОГО ПОШУКУ


Дослідження на ПЕОМ пошукових алгоритмів мінімізації функцій

однієї змінної на базі методів виключення інтервалів.


Більшість детермінованих алгоритмів мінімізації базуються на

використанні ітераційної формули:

K,1,0)()()()1( =+=+ kSxx kkоп

kk λ (5.1)

де )(kS - напрям пошуку, )(kопλ - довжина кроку у вибраному напрямку

пошуку.

Постає питання, як визначити довжину кроку )(kопλ ? Цю задачу

можливо сформулювати, як задачу одномірної мінімізації виду:

)(min )()()()(

kkk Sxfk

λλ

+ (5.2)

суть якої зводиться до пошуку такого значення )(kопλ , при якому цільова

функція )( )()()( kkk Sxf λ+ досягає свого мінімуму. В процесі вирішення задачі

оптимізації того чи іншого виду результати розв’язку задачі (5.2) можуть

бути використані багаторазово. Тому ефективність рішення задачі (5.2)

значною мірою визначає ефективність процесу оптимізації в цілому.

33

Потрібно визначити, що у більшості випадків процес розв’язку

задачі (5.2) складається з двох етапів:

- знаходження інтервалу невизначеності, тобто інтервалу [ ]kkmaxmin ,λλ , в

якому знаходиться )(kопλ .

- пошук )(kопλ .

Хоча задачі одномірної оптимізації є найбільш простими з усіх типів

екстремальних задач, однак їх наявність у багатьох більш складних

алгоритмах, робіть доцільним вивчення методів їх розв’язку.

Фактично всі методи одномірного пошуку, які використовуються на

практиці, засновані на припущенні, що досліджувана функція унімодальна

в інтервалі пошуку. Для унімодальної функції f(x) порівняння значень

функції в декількох різних точках інтервалу пошуку дозволяє визначити: у

якому саме, із заданих підінтервалів, точка оптимуму відсутня. Пошук

оптимуму полягає в послідовному виключенні підінтервалів і, отже,

зменшенні інтервалу пошуку.

Правило виключення інтервалів.

Нехай функція )(xf – унімодальна на замкнутому інтервалі bxa ≤≤ ,

а її мінімум досягається в точці *x та виконуються наступні умови:

значення )(xf в будь-якій точці інтервалу ),( ba менше за )(af та )(bf .

Розглянемо точки )1(x і )2(x , розташовані в інтервалі таким чином

bxxa <<< )2()1( .

Порівнюючи значення функції в точках )1(x і )2(x , можна зробити

наступні висновки:

Якщо )()( )2()1( xfxf > , то точка мінімуму не лежить в інтервалі ),( )1(xa ,

тобто ),( )1(* bxx ∈ (рис. 5.1).

34

Рисунок 5.1

Якщо )()( )2()1( xfxf < , то точка мінімуму не лежить в інтервалі ),( )2( bx ,

тобто ),( )2(* xax ∈ , (рис. 5.2).

Рисунок 5.2

Якщо )()( )2()1( xfxf = , то точка мінімуму не лежить в інтервалах

),( )1(xa і ).( )2( bx і ),( )2()1(* xxx ∈ , (рис.5.3).

Рисунок 5.3

x(1) x(2)

)

a b

x(1) x(2)

)

a b

x(1) x(2)

)

a b

35

Методи пошуку, засновані на використанні правила виключення

інтервалів, складаються з 2 етапів:

1) Знаходження інтервалу невизначеності (Лабораторна робота №6).

2) Зменшення інтервалу невизначеності до наперед встановленої

величини.

Метод ділення інтервалу навпіл (метод дихотомії).

Метод дозволяє виключати половину інтервалу невизначеності на

кожній ітерації. Іноді цей метод називають триточковим методом на рівних

інтервалах, оскільки його реалізація заснована на виборі 3-х початкових

точок, рівномірно розподілених в інтервалі пошуку.

Початковими даними є інтервал невизначеності ),( ba і похибка ε , з

якою потрібно визначити координати оптимуму. Пошук мінімуму функції

)(xf методом дихотомії може бути реалізовано за допомогою наступного

алгоритму:

1. Покласти 2

)( bax m += і abL −= . Обчислити )( )(mxf .

2. Покласти 4

,4

)2()1( LbxLax −=+= .

Точки )()1( , mxx і )2(x ділять інтервал ( )ba, на 4 рівні частини.

Обчислити )(),( )2()1( xfxf і )( )m(xf .

3. Порівняти )( )1(xf і )( )m(xf .

Якщо )()( )m()1( xfxf < (рис. 5.4), виключити інтервал ( )bx m ,)( , поклавши )(mxb = . Середньою точкою інтервалу пошуку стає точка )1(x , )1()( xx m = .

Перейти до п. 5.

36

Рисунок 5.4

Якщо )()( )m()1( xfxf ≥ (рис. 5.5), перейти до п. 4.

Рисунок 5.5

4. Порівняти )( )2(xf і )( )m(xf .

Якщо )()( )m()2( xfxf < , виключити інтервал ( ))(, mxa , поклавши

mxa = (рис.5.6). Середньою точкою інтервалу пошуку стає точка х2, 2xxm = .

Перейти до п. 5.

Якщо )()( )m()2( xfxf ≥ (рис.5.), виключити інтервали ( ))1(, xa і ( )bx ,)2( ,

поклавши )1(xa = , )2(xb = , )(mx залишиться середньою точкою.

x(m) x(1) x(2)

)

a b

x(m) x(1) x(2)

)

a b

37

Рисунок 5.6

5. Обчислити abL −= , якщо ε≤L , закінчити пошук, інакше

повернутися до п. 2.

На кожному кроці алгоритму дихотомії виключається половина

інтервалу. Середня точка послідовно одержуваних інтервалів завжди

співпадає з однієї з точок )2()()1( ,, xxx m . Отже, на кожній ітерації (окрім

першої) потрібно не більше 2-х обчислень значень функції. Якщо

проведено n ітерацій, то довжина одержаного інтервалу дорівнює ( )n21

довжини початкового інтервалу.

Метод Фібоначчі.

У методі Фібоначчі повинно бути заздалегідь визначено загальне

число точок, в яких проводитимуться обчислення. Це число може бути

визначено на підставі вимог точності.

Нехай початковий інтервал ( ))0()0( ,ba після декількох кроків

зменшився до ( ))()( , kk ba . При цьому вибираються дві точки )0(1x і )0(

2x , які

визначаються наступними рівностями:

)1)(1(0,)(,)( )0(2

1

1)0(1 −=+−=+−=

−

−

−+

−− nkaabFFxaab

FFx kkk

kn

knkkk

kn

kn

x(m) x(1) x(2)

)

a b

38

де kF - числа Фібоначчі, які можуть бути обчислені згідно

формул .1, 1021 ==+= −− FFFFF kkk

Якщо )()( )(2

)(1

kk xfxf < (рис. 5.7) , то наступний інтервал невизначеності

( ) ( ))(2

)()1()1( ,, kkkk xaba =++ .

Рисунок 5.7

Якщо )()( )(2

)(1

kk xfxf > (рис. 5.8), то наступний інтервал невизначеності

( ) ( ))()(1

)1()1( ,, kkkk bxba =++ .

Рисунок 5.8

Останні точки визначаються таким чином:

x(1) x(2)

)

a(k) b(k)

x(1) x(2)

)

a(k) b(k)

39

)1()1()1()1(2

)1()1()1()1(1 )(

21,)(

21 −−−−−−−− +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+−= nnnnnnnn aabxaabx ξ ,

де ξ - довільне мале позитивне число.

Одна з двох точок, в яких проводяться обчислення, завжди лежить

усередині зменшеного інтервалу і служить однією з точок, в яких

проводиться обчислення на наступній ітерації, таким чином, якщо не

рахувати початкової ітерації, кожна ітерація вимагає тільки одну

додаткову точку.

Величина останнього інтервалу дорівнює:

ξ+−=− )(21 )0()0()()( abF

abn

nn .

Якщо узяти ξ = 0 і не додавати точки при обчисленні останнього

інтервалу, то у вираз для останнього інтервалу замість nF2 входитиме 1+nF .

nn FF 211

1

>+

для 2≥n .

Для того, щоб не вимагати попереднього визначення кількості точок,

в яких буде оцінюватися функція, використовується метод "золотого

перетину".

Метод "золотого перетину".

Пошук у методі "золотого перетину" базується на розподіленні

інтервалу невизначеності на дві частини, яке відоме як "золотий перетин".

При цьому відношення довжини всього інтервалу до більшої частини

40

дорівнює відношенню більшої частини до меншої. Тут використовуються

дві дробі Фібоначчі. При ∞→k :

618,0,382,011

1 →→++

−

k

k

k

k

FF

FF .

Початковими даними є інтервал невизначеності ( ))0()0( ,ba і похибка ε .

Пошук мінімуму функції )(xf методом "золотого перетину" може бути

реалізовано наступним чином.

Обчислюються )0()0()0( baL −= , )0()0()0(1 382,0 Lax += , )0()0()0(

2 618,0 Lax += та

)( )0(1xf і )( )0(

2xf , 1=k . Якщо )()( )1(2

)1(1

−− ≤ kk xfxf (рис. 5.9), виключити інтервал

( ))1()1(2 , −− kk bx , поклавши

)()()(

1)1(

1)(

2)()()()1(

2)()1()( 382,0,,,, kkkkkkkkkkkk LaxxxabLxbaa +==−=== −−− .

Рисунок 5.9

Якщо )()( )1(2

)1(1

−− > kk xfxf (рис. 5.10), виключають інтервал ( ))1(1

)1( , −− kk xa ,

поклавши

)()()(

2)1(

2)(

1)()()()1()()1()( 618,0,,,, kkkkkkkkkkkk LaxxxabLbbxa +==−=== −−− .

x(1) x(2)

)

a(0) b(0)

41

Рисунок 5.10

Якщо ε>)(kL , то 1+= kk і процес виключення інтервалів повторюється.

Якщо ε≤)(kL , пошук закінчується, а точкою мінімуму вважають

{ })(),(minarg~ )(2

)(1

)( kkk xfxfxx =∗ .

На кожному кроці виключається 0,382 частини інтервалу. Одна з

двох точок послідовно одержуваних інтервалів завжди співпадає з іншою

точкою з пари точок попереднього інтервалу. Отже, на кожній ітерації

(окрім першої) потрібно тільки одне обчислення значення функції. Якщо

проведено n обчислень значення функції, то довжина одержаного

інтервалу дорівнює )0(1)( )618,0( LL nk −= .

3 Алгоритм пошуку методом золотого перетину

3.1) Введення ε),(,, )0()0( xfba –потрібна точність (абсолютна або відносна

довжина кінцевого інтервалу невизначеності);

3.2) ( )τ τ τ1 2 12

1 51=

+= −; ;

3.3) );( )0()0(2

)0()0(1 abax −+= τ );( )0()0(

1)0()0(

2 abax −+= τ

3.4) );(4),(3 )0(2

)0(1 xfFxfF ==

3.5) Друк )()( , kk bbaa == - початковий і проміжні інтервали пошуку;

x(1) x(2)

)

a(0) b(0)

42

3.6) Якщо F F4 3≥ , то на 10;

3.7) );(4;;43;;; )(2

)(1

)()(2

)()()()(2

)(1

)(1

)( kkkkkkkkkkk xfFLaxFFabLxxxa =+==−=== τ –

«відкидання» лівого підінтервалу )( )(1

)( kk xa ÷ та перенумерація точок;

3.8) Якщо ε>)(kL , то на 5;

3.9) на 11;

3.10) );(3;34;;;; )(1

)(2

)()(1

)()()()(1

)(2

)(2

)( kkkkkkkkkkk xfFFFLaxabLxxxb ==+=−=== τ

на 8; – «відкидання» правого підінтервалу та перенумерація точок;

3.11) Друк { } );(;)(),(minarg *)()(* xfbfafx kk=

3.12) Кінець.

4 Завдання

4.1) Сформувати індивідуальну квадратичну функцію 5F виду:

pqxqpxF +++= )(5 2

де p – перша ,а q – друга цифра в номері варіанту. Якщо номер варіанту

менше 10, то p=0.

Дослідити квадратичну 5F та індивідуально задану функцію однієї

змінної 6F , обрану за варіантом (табл. 5.1), наприклад, за допомогою

Matlab, в приблизних межах ]0.10;0.10[− .

x=-10:0.01:10;

f=x.*x-1;

plot(x,f);

grid on;

Лістинг 5.1 – Графік функції однієї змінної

43

Таблиця 5.1 – Варіанти

Варіант Функція )(xF Варіант Функція )(xF

1 6)1()( −= xxxF 16 32 )1()1()( +−= xxxF

2 35.0)( xxxF −= 17 xxxF /1)( +=

3 3cos)( 4 +−= xxxF 18 xxxF += 4sin)(

4 )sin()( 2 xxxxF += 19 )1()( 2 −= xxxF

5 xxexF x 233.0)( 3 +−= 20 xexF x ln)( −−=

6 xxxF sin2/)( 2 −= 21 )2/(cos)( 2 −= xxxF

7 34 33)( xxxF −= 22 3/1)3/1()( 23 +−= xxxF

8 2232)( xxexF −−= 23 232)( xxexF +=

9 xexxF −= 22)( 24 xexxF −+= 32)( 2

10 xxxxF sin01.020)( 2 +−−= 25 xxxF 4/1)( 2 +=

11 )1/()( 22 −−= xxxF 26 );1/()( 2 += xxxF

12 163)( 26 −−+= xxxxF 27 106sin)( 24 ++= xxxF

13 xxxxF 84.0cossin)( ++= 28 )sin1.1/()1.08()( 4 xxxxF −−=

14 26)( 3 −= xxF 29 )3ln(10)( += xxxF

15 xxxxxF 706014)( 234 −+−= 30 xexxF x 2085)( 42 +−=

4.2) За допомогою графіків функцій, визначити початкові інтервали

пошуку ],[ )0()0( ba , які містять мінімуми функцій (локальний або

глобальний).

44

4.3) Скласти програму пошуку мінімуму функції однієї змінної методом

золотого перетину. Результати розрахунку мінімуму двох функцій 5F та

6F з точністю 31 −= eε зведені у таблицю (табл. 5.2):

Таблиця 5.2 – Результати пошуку мінімуму методом золотого перетину

Квадратична функція 5F

...)( 2 += xxf

Індивідуальна функція 6F ...)( =xf

Ітер

ація

Початок

інтервалу

Кінець

інтервалу

Довжина

L

Початок

інтервалу

Кінець

інтервалу

Довжина

L

1

2

…

n

Res =*x =)( *xf =*x =)( *xf

4.4) Розрахувати значення мінімуму функцій 5F , 6F аналітично та

порівняти з результатами п.4.3.





5.4) графіки функцій 5F та 6F в межах, що містять шуканий мінімум;

5.5) лістинг програми обчислення мінімумів функцій методом золотого

перетину;

45

5.6) результати аналітичного розрахунку мінімумів квадратичної 5F та

індивідуальної функцій 6F ;

5.7) результати розрахунку мінімумів квадратичної 5F та індивідуальної

функцій 6F на ПЕОМ (табл. 5.2);



6.1) Місце задачі одномірного пошуку у загальній задачі оптимізації

6.2) Чому задача пошуку оптимального кроку перетворюється у задачу

одномірного пошуку?

6.3) Загальна стратегія одномірного пошуку.

6.4) У скільки разів зменшується інтервал пошуку за одну ітерацію: а) у

методі золотого перетину; б) у методі Фібоначчі; в) у методі ділення

відрізку навпіл?

6.5) Які використовуються критерії закінчення пошуку?

6.6) Скільки необхідно обрахунків значень ЦФ для зменшення початкового

інтервалу невизначеності у p разів а) методом золотого перетину, б)

методом ділення відрізку навпіл?

46


АЛГОРИТМИ ЗНАХОДЖЕННЯ ІНТЕРВАЛУ НЕВИЗНАЧЕНОСТІ


Ознайомитись з алгоритмами знаходження інтервалу невизначеності

[ ]ba , для задач одномірної оптимізації.


У більшості випадків, для визначення інтервалу невизначеності

використовується алгоритм Девіса–Свенна–Кемпі (іноді в літературі

зустрічається назва : ДСК або рекурентна формула Свенна).

Припускаючи, що в межах інтервалу невизначеності цільова функція

є опуклою, алгоритм виглядає наступним чином.

З початкової точки )(kx виконуються зростаючі по розміру кроки

K1,0,2)()1( =⋅±=+ khxx kkk

до тих пір, поки при якому-небудь pk = , цільова функція не почне

зростати. Як тільки знайдена точка, в якій значення функції перевищує

значення функції в попередній точці, здійснюється повернення на

половину останнього кроку і обчислюється значення функції в даній точці.

Останні чотири точки розташовані на рівній відстані. Оцінюючи значення

функції )(xf в цих точках, на основі правила виключення інтервалів

визначається інтервал, що містить мінімум функції )(xf .

47

Знак довжини кроку h визначається шляхом порівняння значень

)( )0(xf , )( )0( hxf − , )( )0( hxf + . Якщо )()()( )0()0()0( hxfxfhxf +≥≥− довжина

кроку h –вибирається із знаком "+" (рис. 6.1).

Рисунок 6.1

Якщо )()()( )0()0()0( hxfxfhxf +≤≤− довжина кроку h – вибирається із

знаком "–" (рис. 6.2).

Рисунок 6.2

Якщо )()()( )0()0()0( hxfxfhxf +≤≥− , одержаний інтервал

);( )0()0( hxhx +− і є інтервалом невизначеності (рис. 6.3).

x(0)+|h| x(0)–|h| x(0)

)

x(0)+|h| x(0)–|h| x(0)

)

48

Рисунок 6.3

Якщо )()()( )0()0()0( hxfxfhxf +≥≤− , то це суперечить припущенню

про унімодальність функції )(xf . На практиці подібні ситуації

зустрічаються дуже рідко і, як правило, виникають внаслідок некоректно

обраної величини h . Можливим виходом з подібних ситуацій є зміна

розміру довжини кроку.

Ефективність пошуку залежить від довжини кроку h . При великому

кроці одержуються грубі оцінки координат граничних точок. При малому

кроці h для обчислення граничних точок буде потрібен великий об'єм

обчислень.

3 Завдання

3.1) Побудувати графіки квадратичної 5F та індивідуальної 6F функцій

(ЛР №5) в околі точки 0)0( =x , в межах ±5 для визначення можливості

знаходження інтервалу невизначеності. У випадку розривів функції в околі

точки 0)0( =x , обрати іншу початкову точку, використовуючи графік

функції.

3.2) Скласти програму для знаходження інтервалу ЦФ 5F та 6F при

початкових значеннях розміру кроку ,411 −= eh 212 −= eh , 13 =h та 104 =h та

початкової точки 0)0( =x (або обрану у п.3.1).

x(0)+|h| x(0)–|h| x(0)

)

49

3.3) Використовуючи програму з ЛР №5, для кожного з інтервалів

невизначеності провести розрахунки сумарної кількості оцінок ЦФ

(КОЦФ) при використанні методу пошуку інтервалу невизначеності та

пошуку мінімуму методом «золотого перетину» (МЗП) зведені у таблицю

(табл. 6.1). Для МЗП точність обрати 31 −= eε . Врахувати оцінки ЦФ, що

необхідні для знаходження напряму пошуку інтервалу невизначеності.

Передбачити в програмі перевірку, щодо розрахунку МЗП лише за умов,

коли початковий інтервал більший за необхідну точність ε .

Таблиця 6.1 – Результати пошуку інтервалу невизначеності

Квадратична функція 5F

...)( 2 += xxf ...)0( =x

Розмір

кроку

Початок

інтервалу

Кінець

інтервалу

КОЦФ КОЦФ

(МЗП)

Сумарна

КОЦФ

h=1e-4

h=1e-2

h=1

h=10

Індивідуальна функція 6F

...)( =xf ...)0( =x

Розмір

кроку

Початок

інтервалу

Кінець

інтервалу

КОЦФ КОЦФ

(МЗП)

Сумарна

КОЦФ

h=1e-4

h=1e-2

h=1

h=10

50

3.4) Побудувати графіки індивідуальної 3F та квадратичної функцій 4F

для кожного з розмірів кроку в межах, що містять знайдені інтервали

невизначеності.

3.5) Зробити висновки, щодо оптимального розміру кроку при пошуку

інтервалу невизначеності для знаходження мінімуму функції.





4.4) графіки функцій в межах ]0.5,0.5[− ;

4.5) графіки функцій в межах, що містять знайдені інтервали

невизначеності (за умови, що інтервал невизначеності не входить в межі

графіків п. 4.4);

4.6) лістинг програми для знаходження інтервалу невизначеності;

4.7) зведені до таблиці дані про КОЦФ (табл. 6.1);



5.1) Що таке інтервал невизначеності?

5.2) Стратегії пошуку інтервалу невизначеності: переваги та недоліки.

5.3) Чи гарантовано знаходження інтервалу невизначеності? Навести

приклади.

5.4) Які використовуються критерії закінчення пошуку?

51


ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДІВ ОДНОМІРНОГО ПОШУКУ ДЛЯ

ВИРІШЕННЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАДАЧ


Ознайомитись на практиці з використанням методів одномірного

пошуку для вирішення практичних задач в галузі електроніки за

допомогою пакету схемотехнічного проектування NetALLTED [2,3].


Типовими практичними задачами у різних галузях техніки є:

– мінімізація значення цільової функції в залежності від значень деяких

параметрів (наприклад, мінімізація витрат матеріалу в залежності від

форми та розташування елементів);

– отримання певних значень характеристики (наприклад, отримання

необхідної вихідної напруги) в залежності від параметрів елементів схеми.

Розглянемо порядок застосування методів одномірного пошуку для

задачі отримання певних характеристик схеми.

Для електричної схеми (рис. 7.1) змінюючи значення опору R2

отримати напругу у 2-му вузлі U2 =V=3 В. Параметри схеми: E1 = 5 В,

R1=R2=5 Ом.

Рисунок 7.1 – Схема електрична

52

Сформуємо цільову функцію таким чином, щоб при значенні U2 =V=

3 В вона приймала мінімальне значення:

2)2()2( UVRF −=

Запишемо рівняння струму відповідно до законів Кірхгофа для вузла 2:

021 =− RR II (7.1)

Використовуючи закон Ома для ділянки кола, отримаємо з (7.1):

22

21 RUII R

RR == (7.2)

Запишемо рівняння напруги для замкнутого контуру відповідно до законів

Кірхгофа:

01 21 =−− RR UUE

011 21 =−− RR URIE (7.3)

Підставивши в (7.3) вираз (7.2), отримаємо:

012

1 22 =−− R

R URR

UE

Звідси залежність напруги у 2-му вузлі буде:

53

2121

2 RRREU R +

⋅=

Таким чином, ЦФ в залежності від значення опору R2 буде мати вигляд:

22

25253

2121)2( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅

−=RR

RRREVRF (7.4)

x=0:0.1:100; f=(3-(5.*x)./(5+x)).^2;plot(x,f); grid on;

Рисунок 7.2 – Залежність ЦФ від значення опору R2

З графіку залежності ЦФ від значення опору R2 (рис. 7.2) видно, що

мінімум функції лежить в межах ]10,0[2 =R . Використавши програму з ЛР

№5 на визначеному інтервалі, отримаємо вирішення задачі.

3 Вирішення задачі за допомогою пакету NetALLTED

Файл завдання для пакету NetALLTED складається з двох частин:

опису об’єкту дослідження та завдання на дослідження. В якості об’єкту

дослідження виступає електрична схема (рис. 7.1), завдання на

дослідження якої знайти таке значення опору R2, при якому потенціал в 2-

му вузлі буде дорівнювати V2=3 В.

54

Файл завдання

Опис

Object Завдання на опис об’єкту

search ALLTED; Підключення бібліотеки allted.alb

circuit lab7; Назва схеми

R1(1,2) =5; R2(2,0) =5;

E1(1,0) =5;

Опис схеми у форматі:

<Тип елементу><унікальне ім’я елементу>(Вузол 1, Вузол 2) = номінал;

E – джерело напруги;

J – джерело струму;

R – опір.

& Відокремлення блоку опису схеми

task Блок завдання

dc; Режим статичного аналізу (по постійному струму)

optim; Режим оптимізації

varpar R2(0.1,10);

Перелік варійованих параметрів (R2) та меж варіювання (0.1-10 Ом)

fix f=fixa(v2,0); Значення схемної змінної v2 при заданому значенні t=0 незалежної змінної

of Z=f2(3/f); ЦФ F2 виду Z=(3-v2)2

const method=120;

Вибір методу оптимізації (120 = BFGS – Метод змінного порядку на базі формули Бройдена-Флетчера-Гольдфарба-Шанно).

option 48; Опції виводу додаткової інформації в *.ato файл

const operr = 1e-3;

Задана точність рішення

& Відокремлення блоку завдання

END Кінець файлу завдання

Жирним шрифтом відмічено службові слова, функції та розділові

знаки системи NetALLTED. Більш детальний опис форматів та параметрів

команд NetALLTED дивіться у додатку А.

55

**************************************** R E S U L T S O F O P T I M I Z A T I O N **************************************** Object status at optimal point Objective function Z = .3726482391E-03 Variable parameters R2 = .7497671879E+01 **************************************** S T A T I S T I C S Number of OF evaluations = 17 Number of steps = 0 Number of line search = 1 Number of OF evaluations for Hessian and gradient numerical determination = 1 OF evaluations in line search = 0 Number of steps (by order) order - 1 = 0 order - 2 = 1 order - 3 = 0 order - 4 = 0 Number of var.parameters = 1 **************************************** Directive F I X output characteristics **************************************** F = 2.99962735

Рисунок 7.2 – Фрагмент вихідного файлу

4 Завдання

4.1) Обрати схему (табл. 7.1) відповідно до варіанту (табл. 7.2);

56

Таблиця 7.1 – Схеми електричні

Схема 1 Схема 2



Таблиця 7.2 – Вхідні дані Варіант №

Схеми E1 R1 R2 R3 R4 №

вузла Потрібний потенціал, V

1 1 5 5 5 5 5 2 3.0 2 1 5 5 5 5 5 3 3.0 3 1 5 5 5 5 5 3 3.5 4 1 5 5 5 5 5 3 3.8 5 1 5 5 5 5 5 2 4.5 6 2 5 5 5 5 5 3 2.6 7 2 5 5 5 5 5 2 2.7

57

8 2 5 5 5 5 5 3 2.7 9 2 5 5 5 5 5 2 2.4 10 2 5 5 5 5 5 3 3.0 11 3 5 5 5 5 5 2 4.0 12 3 5 5 5 5 5 3 3.0 13 3 5 5 5 5 5 4 2.9 14 3 5 5 5 5 5 2 3.9 15 3 5 5 5 5 5 2 3.1

Варіант № Схеми

J1 R1 R2 R3 R4 № елем.

Потрібний струм, J

16 4 5 5 5 5 5 R2 2.6 17 4 5 5 5 5 5 R4 2.1 18 4 5 5 5 5 5 R3 2.3 19 4 5 5 5 5 5 R1 3.7 20 4 5 5 5 5 5 R2 1.1 21 5 5 5 5 5 5 R1 1.3 22 5 5 5 5 5 5 R1 3.3 23 5 5 5 5 5 5 R1 4.1 24 5 5 5 5 5 5 R4 1.9 25 5 5 5 5 5 5 R4 1.0 26 6 5 5 5 5 5 R2 1.9 27 6 5 5 5 5 5 R2 2.2 28 6 5 5 5 5 5 R4 0.8 29 6 5 5 5 5 5 R1 1.8 30 6 5 5 5 5 5 R3 1.9

4.2) Для обраної схеми за допомогою законів Кірхгофа отримати ЦФ

залежності значення потенціалу у вузлі (варіанти 1-15) або необхідного

значення струму на елементі (варіанти 16-30) від значення кожного із

опорів (4 ЦФ).

4.3) Дослідити отримані ЦФ та побудувати графіки в межах, що містять

мінімуми функцій.

4.4) Для одного з опорів на вибір за допомогою графіку обрати проміжок

[a1,a2], що містить мінімум ЦФ. Розрахувати мінімум ЦФ з точністю

31 −= eε методом «золотого перетину» за допомогою програми, складеної в

ЛР №5.

4.5) Скласти файл завдання (вказати необхідні струми або потенціали

вузлів) для початкового аналізу струмів та напруг схеми. В разі не

58

співпадання за знаком з обраним напрямом шуканого струму або напруги,

змінити порядок вузлів підключення обраного опору. Приклад блока

завдання з друком всіх струмів та потенціалів схеми наведено на рис. 7.4.

& task dc; Table ALLI,ALLV; & END

Рисунок 7.4 – Блок завдання для NetALLTED

4.6) За допомогою пакету NetALLTED, використовуючи один з

вбудованих методів оптимізації (наприклад, метод BFGS), розрахувати

мінімум ЦФ з точністю 31 −= eε на проміжку [a1,a2] (з п.4.4). Результати

звести результати у таблицю.

Таблиця 7.3 – Результати оптимізації

Метод Варійований

параметр

...R

Межі

варіювання

Шуканий

потенціал

(струм)

Значення

ЦФ

КО

ЦФ

МЗП

NetALLTED

4.7) Зробити висновки, щодо використання спеціалізованих засобів

вирішення практичних задач на прикладі NetALLTED.




59

5.3) рисунок схеми та завдання за варіантом;

5.4) ЦФ та графіки ЦФ в межах, що містять мінімум, для кожного із

опорів;

5.5) результати пошуку мінімуму ЦФ методом «золотого перетину» для

обраного опору;

5.6) файл завдання та фрагмент вихідного файлу, що містить результати

пошуку мінімуму за допомогою пакету NetALLTED;

5.7) зведена таблиця з результатами по КОЦФ (табл. 7.3);



6.1) Типи ЦФ, що використовуються в NetALLTED.

6.2) За допомогою яких директив NetALLTED задаються характеристики,

що оптимізуються?

6.3) Головні відмінності вирішення задачі одномірної мінімізації за

допомогою NetALLTED та розробленої програми МЗП.

6.4) Можливі види закінчення пошуку в NetALLTED.

60


ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДІВ БЕЗУМОВНОЇ БАГАТОПАРАМЕТРИЧНОЇ

ОПТИМІЗАЦІЇ ДЛЯ ВИРІШЕННЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАДАЧ


Ознайомитись на практиці з використанням методів

багатопараметричної оптимізації для вирішення практичних задач в галузі

електроніки за допомогою пакету NetALLTED.


В залежності від математичного апарату, який використовується при

побудові методів розв’язку задач безумовної мінімізації, усі методи можна

розділити на три великі групи:

- методи випадкового пошуку;

- детерміновані (регулярні) методи;

- методи з використанням алгоритмів чисельного інтегрування.

Метод випадкового пошуку зі зменшенням інтервалу пошуку (ВПЗІП).

Багато методів випадкового пошуку екстремуму зводяться в тій чи

іншій формі до побудови послідовності { })(kx , що визначається

співвідношенням: )()()1( kkk xx λξ+=+ , де )(kλ - деяка позитивна скалярна

величина, [ ])()(2

)(1

)( ,...,, kn

kkk ξξξξ = - деяка реалізація n - мірного випадкового

вектора ξ . При цьому, як робочий напрямок )(kξ вибирається такий, щоб

виконувалася умова )()( )()1( kk xfxf <+ .

Усі методи випадкового пошуку можуть бути розділені на дві

підмножини [7]: алгоритми без навчання й алгоритми із самонавчанням.

61

До першого відносяться методи, у яких область зміни вектора варійованих

параметрів x , а також закон розподілу випадкового вектора ξ не залежить

від номеру кроку пошуку. До таких методів можна віднести метод прямої

вибірки, метод групової вибірки зі зменшенням інтервалу (ГВПЗІ) та деякі

інші алгоритми [1, 7]. Головна особливість алгоритму без навчання полягає

в тому, що для розрахунку координат нової робочої точки не враховується

інформація, яка отримана на попередніх кроках пошуку.

Частково від цього недоліку звільнені алгоритми із самонавчанням.

Одним з найбільш відомих на практиці алгоритмів цієї групи є алгоритм

ВПЗІП. Основна ідея цього алгоритму полягає в наступному.

На кожному кроці пошуку N раз (N – розмір вибірки) оцінюються

значення ЦФ )( )( jxf , Nj )1(1= . Складові кожного з векторів хj генеруються

згідно рівномірному закону розподілу із області допустимих значень

параметрів, що варіюються , випадковим чином згідно співвідношенню:

,)1(1),( )(min

)(max

)(min

)( nixxxx ki

ki

ji

ki

kji =−+= η

де jη - множник, який виробляється генератором випадкових чисел з

інтервалу [0,1], к – номер кроку. Для кожного значення )( )( jxf

перевіряється умова:

)()( )( k

пj fxf ≤ , (8.1)

де )(kпf - порогове значення ЦФ на к-му кроці пошуку. Якщо ця умова

виконується, то спроба вважається успішною. По всім успішним спробам

ведеться облік відповідних значень ЦФ і значень варійованих параметрів з

метою визначення найменшого значення ЦФ )(kmiпf та границь змін

62

варійованих параметрів для наступного кроку ( nixx ki

ki )1(1,, )1(

max)1(

min =++ ).

Причому:

,)1(1,)1(1,max

,min

)()1(max

)()1(min

pjnixx

xx

j

kji

ki

j

kji

ki

===

=

+

+

де p – кількість успішних спроб. У якості порогового рівня на 1+k кроці )1( +k

пf приймається значення )(kmiпf (рис. 8.1).

Рисунок 8.1 – Зменшення інтервалу методом ВПЗІП

У якості критерію закінчення пошуку може бути використано

співвідношення:

,)(

)1()(

ε≤− +

kп

kп

kп

fff

x

f

fn(0)

x(0)min

{ }

fn(1)

x(1)min

{ }

x(2)min

{ }x(2)

max { }

x(0)max

{ }x(1)

max { }

63

де ε – точність пошуку.

Окремо необхідно розглянути випадок, коли на якомусь кроці

кількість успішних спроб р менше якогось критичного, наперед заданого

числа m . Це може трапитись у тих випадках, коли допустима область

значно більше інтервалу, у якому виконується умова (8.1), що може

призвести до втрати області оптимуму. В цих випадках доцільно

повторити крок (не перераховуючи значення цільових функцій),

збільшивши пороговий рівень:

),(5.0 )()()1( Δ−+=+ kп

kп

kп fff

де

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=≠

≤≤

=

=Δ

.0,195,0

,1,10

)(

)(min

mрприf

mрприfрпри

kп

k

На практиці, область оптимуму надійно утримувалась при m=5.

З метою недопущення втрати оптимуму перед переходом до

наступного кроку, доцільно перевірити межи допустимої області (точки

nixx ki

ki )1(1,, )(

max)(

min = ) на виконання умови (8.1). В тих випадках, коли для

якихось з цих точок умова (8.1) виконується, то на наступному кроці

відповідна межа не змінюється.

Значний вплив на ефективність алгоритму оказує вибір початкового

начального значення ЦФ )0(пf . Вибір занадто малого значення )0(

пf

збільшує ймовірність втрати області оптимуму навіть при проведенні

великої кількості спроб на кожному кроці пошуку екстремуму. В той же

64

час завдання великого порогового значення )0(пf не визиває суттєвого

зменшення області пошуку на першому кроці оптимізації, який в цьому

випадку перетворюється лише на вибір більш коректного )0(пf . Тому на

практиці величина )0(пf обирається на основі оцінки початкового значення

ЦФ )( )0(xf за допомогою наступних співвідношень:

1.0)0( =nf , якщо 1.0)( )0( ≤xf ;

2.0)0( =nf , якщо 1)(1.0 )0( ≤< xf ;

2)0( =nf , якщо 10)(1 )0( ≤< xf ;

10)0( =nf , якщо 100)(10 )0( ≤< xf ;

150)0( =nf , якщо 1000)(100 )0( ≤< xf ;

1000)0( =nf , якщо 5)0(3 10)(10 ≤< xf ; 5)0( 10=nf , якщо )(10 )0(5 xf< .

Серед переваг методів випадкового пошуку слід зазначити слабку

залежність результату пошуку від координат початкової точки )0(x і від

кількості варійованих параметрів. Їх перевагою так само варто вважати і

те, що для визначення напрямку зменшення )(xf використовується

інформація тільки про значення самої ЦФ.

При використанні методів випадкового пошуку, хоча і можна досить

швидко локалізувати область екстремуму, але усередині її швидкість

збіжності методів різко зменшується і для практичних задач рідко

вдається одержати результат за прийнятну кількість оцінок ЦФ.

Усе це робить доцільним і можливим використовувати методи

випадкового пошуку лише на деяких початкових етапах розв’язку

65

екстремальних задач схемотехнічного проектування, а при подальшому

розв’язку віддавати перевагу регулярним методам.

Метод Бройдена-Флетчера-Гольдфарба-Шенно (BFGS).

Метод BFGS відноситься до класу квазіньютонівських методів

пошуку розв’язку безумовних задач параметричної оптимізації.

В основу цих методів покладена апроксимація зворотної матриці

Гессе )( )(1 kx−Η деякою допоміжною матрицею )(kη , що й обумовило назву

самих алгоритмів. При такому підході усувається один з головних

недоліків ньютонівських методів, що ускладнюють їхнє ефективне

використання для розв’язку задач параметричної оптимізації складних

систем - необхідність обчислення матриці других похідних )(xΗ та

забезпечення її додатної визначеності.

Загальна ітераційна формула для всіх квазіньютонівських методів

має вигляд:

),( )()()()()1( kkkkk xgxx ηλ−=+ (8.2)

де )( )(kxg - градієнт ЦФ, обчислений у точці )(kx , )(kλ - скалярний

коефіцієнт, визначений за допомогою одномірного пошуку.

Значення елементів матриці )(kη обчислюються на основі інформації

про цільову функцію в k -ій та ( 1−k )-ій точках пошуку )( )(kxf , )( )1( −kxf , її

похідних у цих точках )(),( )1()( −kk xgxg , а також значень )1()( , −kk xx і )1( −kη .

Розходження в способах оцінки елементів матриці )(kη і визначають

різноманіття квазіньютонівських методів мінімізації.

Для апроксимації матриці )(kη використовується наступне

співвідношення:

66

,)()()1( kc

kk ηηη +=+

де )(kcη - корегуюча матриця.

Необхідно побудувати матрицю )(kη таким чином, щоб

послідовність )1()2()1()0( ,,,, +kηηηη K давала наближення до )( *21 xf∇=Η− . Вибір )(k

cη визначає конкретний метод змінної метрики. Для забезпечення

збіжності матриця )1( +kη повинна бути додатньо визначена.

Розкладемо в ряд Тейлора )(xg :

),)(()()( )()()( kkk xxxHxgxg −+=

тоді для )1( +kx маємо:

))(()()( )()1()()()1( kkkkk xxxxgxg −Η+= ++

))(()()( )()1()()()1( kkkkk xxxxgxg −Η=− ++ .

Помноживши обидві частини рівняння на )( )(1 kx−Η , отримаємо:

[ ])()()()( )()1()(1)()1( kkkkk xgxgxxx −Η=− +−+

(Якщо )(xf – квадратична функція, то Η=Η )( )(kx , тобто матриця Гессе

постійна). Це рівняння можна розглядати як систему n лінійних рівнянь,

що містять n невідомих параметрів, котрі необхідно оцінити для того, щоб

апроксимувати )(1 x−Η або )(xΗ при заданих значеннях xxgxf Δ),(),( на

більш ранніх етапах пошуку. У досить великій групі методів )( )1(1 +−Η kx

апроксимується з допомогою інформації, отриманої на к-му кроці:

67

),()( )()()1()1(1 kc

kkkx ηηωωη +=≈Η ++−

де ω - масштабуючий множник (константа, що зазвичай дорівнює 1). На

(k+1) – му кроці відомі наступні значення: )()1()()( ),(),(, kkkk xgxgx η+ . Необхідно

обчислити )1( +kη таким чином, щоб задовольнялось співвідношення:

[ ] ),(1)()( )()1()()1()1( kkkkk xxxgxg −=− +++

ωη

або:

)()()1( 1 kkk xg Δ=Δ+

ωη ,

де

)()( )()1()( kkk xgxgg −=Δ + )()1()( kkk xxx −=Δ + .

Враховуючи, що )()1()( kkkc ηηη −= + , і підставляючи це у попереднє

рівняння, отримаємо:

)()()()()( 1 kkkkkc gxg Δ−Δ=Δ η

ωη (8.3)

.

Рівняння (8.3) необхідно розв’язати відносно )(kcη . Воно має

наступний розв’язок:

68

)(

)()(

)(

)()( 1

k

kk

k

kk

c gzzg

gyyx

ΔΔ

−Δ

Δ= Τ

Τ

Τ

Τ ηω

η (8.4)

де y, z – довільні вектори розмірності n×1.

Наприклад, якщо при ω=1 вибрати )()()( kkk gxzy Δ−Δ== η , то

отримаємо так званий алгоритм Бройдена, якщо ж )()()( , kkk gzxy Δ=Δ= η - то

алгоритм Давідона–Флетчера–Пауелла. Можуть бути і інші можливі

вибори векторів y, z.

Якщо кроки )(kxΔ визначаються шляхом мінімізації )(xf у напрямку )(kS , то всі методи, з допомогою яких обчислюють симетричну матрицю

)1( +kη , що задовольняє умові )()()1( 1 kkk xg Δ=Δ+

ωη дають напрямки, котрі

являються взаємно спряженими ( для квадратичної функції).

Квазіньютонівські методи можуть бути отримані за допомогою

загального підходу до побудови методів спряжених напрямків,

запропонованого Хуангом. Це також означає, що напрямки пошуку, які

генеруються за допомогою квазіньютонівських методів, є спряженими, що

дозволяє говорити про надлінійну швидкість збіжності квазіньютонівських

алгоритмів, при умові точного визначення значень (k)опλ і навіть при

неточному одномірному пошуку, але при виконанні умови:

nkkigx iki ≥=Δ=Δ ,,2,1)()()( Kη . Це означає, що ефективність

квазіньютонівських процедур слабо залежить від точності одномірного

пошуку.

Вхідні дані:

Початкова точка )0(x , параметри завершення 21,εε .

1) Задати координати початкової точки )(kx , k=0. Обчислити )( )(kxg . Нехай

I=)0(η , де I – одинична діагональна матриця.

69

2) Обчислити (k)опλ при мінімізації функції [ ])( )()()()( kkkk xgxf ηλ−

(використовується метод одномірного пошуку).

3) Обчислити точку )1( +kx :

)( )()((k))()1( kkоп

kk xgxx ηλ−=+

4) Обчислити )(),( )1()1( ++ kk xgxf , )()( )()1()( kkk xgxgg −=Δ +, )()1()( kkk xxx −=Δ + .

5) Перевірити виконання нерівностей:

,)(

)()(1)(

)()1(

ε>−+

k

kk

xfxfxf

або:

1)( ε>Δ kg , якщо 0)( →xf .

2)(

)(

ε>Δ

ki

ki

xx ,

або:

2)( ε>Δ k

ix , якщо 0→ix .

6) Якщо нерівності не виконуються, пошук завершується, інакше п.7.

7) k=k+1. Обчислити )(kη за допомогою одного з квазіньютоновських

методів, наприклад BFGS:

70

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)( ) ( 1)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

k k k k k kk k

k k k k k k

x g g x x xI Ix g x g x g

η η− − Τ − − Τ − − Τ

−− Τ − − Τ − − Τ −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤Δ Δ Δ Δ Δ= − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ Δ Δ Δ Δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Перехід до п. 2. Головною перевагою даного методу являється слабка залежність від

точності обчислень при проведенні одномірного пошуку. Цей метод

визнаний одним із самих ефективних методів пошуку при розв’язанні

задач з функціями загального вигляду.

Розглянемо порядок застосування методів багатомірного пошуку для

вирішення задач оптимізації певних характеристик електричної схеми.

Нехай для схеми (рис. 8.2) необхідно змінюючи значення опорів

R1,R2 отримати напругу у 2-му вузлі U2 =V=3 В.


Параметри схеми: E1 = 5 В, R1=R2=5 Ом. Вочевидь, що одним з рішень буде значення, яке отримано в

прикладі для ЛР №7. Скористаємось сформованою ЦФ з ЛР №7 :

. 2)2()2,1( UVRRF −=

ЦФ в залежності від значення опорів R1,R2 буде мати вигляд (рис. 8.3):

71

22

21253

2121)2,1( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅

−=RR

RRRREVRRF

[x1,x2]=meshgrid(0:0.1:10,0:0.1:10); F=(3-(5.*x2)./(x1+x2))^2; surf(x1,x2,F);

Рисунок 8.3 – Залежність ЦФ від опорів R1,R2


Для вирішення задачі за допомогою пакету NetALLTED слід

скористатися файлом завдання з ЛР №7 з врахуванням наступних

синтаксичних конструкцій:

– varpar R1=R2(0.1,10); – одночасне варіювання двох або більше

параметрів;

– const method=40, numb = 60; – вибір методу оптимізації ВПЗІП з

вибіркою 60 оцінок ЦФ на одному кроці, або const method=40; – вибір

методу оптимізації BFGS.

72

4 Завдання

4.1) Обрати схему (табл. 7.1 – ЛР №7) відповідно до варіанту (табл. 8.1).

Таблиця 8.1 – Вхідні дані Варі ант

№ Схеми

E1 R1 R2 R3 R4 № вузла

Потрібний потенціал,V

Варійовані параметри

Межі

1 1 5 5 5 5 5 2 3.0 R1=R4, R3 0.1..10 2 1 5 5 5 5 5 3 3.0 R1=R4, R2 0.1..10 3 1 5 5 5 5 5 3 3.5 R1=R3, R2 0.1..10 4 1 5 5 5 5 5 3 3.8 R1, R2=R3 0.1..10 5 1 5 5 5 5 5 2 4.5 R1=R3, R2 0.1..10 6 2 5 5 5 5 5 3 2.6 R1=R2, R3 0.1..10 7 2 5 5 5 5 5 2 2.7 R1=R4, R3 0.1..10 8 2 5 5 5 5 5 3 2.7 R1=R2, R4 0.1..10 9 2 5 5 5 5 5 2 2.4 R1=R3, R4 0.1..10 10 2 5 5 5 5 5 3 3.0 R1, R3=R4 0.1..10 11 3 5 5 5 5 5 2 4.0 R1=R4, R3 0.1..10 12 3 5 5 5 5 5 3 3.0 R1=R4, R2 0.1..10 13 3 5 5 5 5 5 4 2.9 R1=R3, R4 0.1..10 14 3 5 5 5 5 5 2 3.9 R1=R2, R4 0.1..10 15 3 5 5 5 5 5 2 3.1 R1, R2=R3 0.1..10 Варі ант

№ Схеми

J1 R1 R2 R3 R4 № елем.

Потрібний струм, J

Варійовані параметри

Межі

16 4 5 5 5 5 5 R2 2.6 R1=R3, R2 0.1..10 17 4 5 5 5 5 5 R4 2.1 R1=R2, R4 0.1..10 18 4 5 5 5 5 5 R3 2.3 R1=R4, R3 0.1..10 19 4 5 5 5 5 5 R1 3.7 R2=R4, R3 0.1..10 20 4 5 5 5 5 5 R2 1.1 R1=R4, R3 0.1..10 21 5 5 5 5 5 5 R1 1.3 R2=R4, R3 0.1..10 22 5 5 5 5 5 5 R1 3.3 R1=R3, R4 0.1..10 23 5 5 5 5 5 5 R1 4.1 R2=R3, R4 0.1..10 24 5 5 5 5 5 5 R4 1.9 R1=R4, R2 0.1..10 25 5 5 5 5 5 5 R4 1.0 R1, R3=R4 0.1..10 26 6 5 5 5 5 5 R2 1.9 R1, R3=R4 0.1..10 27 6 5 5 5 5 5 R2 2.2 R2=R3, R4 0.1..10 28 6 5 5 5 5 5 R4 0.8 R1=R2, R3 0.1..10 29 6 5 5 5 5 5 R1 1.8 R1=R4, R2 0.1..10 30 6 5 5 5 5 5 R3 1.9 R1=R3, R2 0.1..10

4.2) Для обраної схеми за допомогою законів Кірхгофа отримати цільові

функції залежності значення потенціалу у вузлі (варіанти 1-15) або

73

необхідного значення струму на елементі (варіанти 16-30) від значень

опорів (стовпчик «варійовані параметри» – табл. 8.1) або скористатися

виразом для ЦФ, отриманим в ЛР №7.

4.3) Побудувати графік ЦФ в межах, що надані в стовпчику «Межі»

(табл. 8.1).

4.4) За допомогою пакету NetALLTED вирішити задачу оптимізації,

використовуючи методи BFGS (method=120) та метод ВПЗІП (method=40)

для вибірок numb={20;40;60}. Для всіх розрахунків використовувати

точність OPERR=1e-3. Результати звести у таблицю:

Таблиця 8.2 – Результати оптимізації

Метод R1 R2 R3 R4 Шуканий

потенціал

(струм)

Значення

ЦФ

КО

ЦФ

BFGS

ВПЗІП (20)

ВПЗІП (40)

ВПЗІП (60)

ВПЗІП (20)*

* – у разі невиконання критерію точності та зупину розрахунків пакетом,

підібрати межі варійованих параметрів «вручну», використовуючи графік

ЦФ з п. 4.3. та дані інших методів. Навести фрагмент вихідних файлів із

зривом процедури та з модифікованими межами. Окремо вказати межи

варійованих параметрів.

4.5) На основі отриманих значень та графіку ЦФ зробити висновки щодо

результатів роботи використаних методів для вирішення даної задачі.

74




5.3) рисунок схеми та завдання за варіантом;

5.4) ЦФ та її тривимірний графік у заданих межах;

5.5) файл завдання на оптимізацію для пакету NetALLTED;

5.5) зведена таблиця (табл. 8.2) з результатами по КОЦФ;

5.6) фрагменти вихідних файлів в разі невиконання критеріїв точності та

файл завдання, що містить модифіковані межи параметрів, що варіюються;



6.1) Переваги та недоліки методів багатопараметричної оптимізації при

визначенні мінімуму ЦФ.

6.2) Які використовуються критерії закінчення пошуку у методі ВПЗІП?

6.3) Які правила для зменшення інтервалу пошуку в методі ВПЗІП?

6.4) Недоліки метода Ньютона.

6.5) Основні властивості квазіньютоновських методів.

6.6) Яка швидкість збіжності методів Ньютона, BFGS, та ВПЗІП?

75


ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДІВ НЕЛІНІЙНОГО ПРОГРАМУВАННЯ ДЛЯ

ВИРІШЕННЯ ПРАКТИЧНИХ ЗАДАЧ


Ознайомитись з використанням методів нелінійного програмування з

обмеженнями для вирішення практичних задач в галузі електроніки.


До задач нелінійного програмування зводиться багато практичних

задач, зокрема задача призначення оптимальних допусків, яка в загальному

випадку, формулюється як:

∑=

n

i it t1 2

1min (9.1)

при умовах

mjgdtSn

ijjiij )1(1,05.0

1

2 ==+−∑=

де jd – задані припустимі відхилення j -ї вихідної характеристики; T

mggg ],...,[ 1= – вектор додаткових змінних, що перетворює обмеження

типу нерівностей до обмежень у вигляді рівностей; ijS – елемент матриці

чутливості; it – значення оптимального допуску на i -й елемент; n –

кількість варійованих змінних; m – кількість вихідних характеристик, на

які накладаються обмеження.

76

Розглянемо алгоритм вирішення задачі (9.1) за допомогою одного з

варіантів модифікованого методу множників Лагранжа. Використовуючи

цей підхід, координати нової робочої точки розраховуються як:

)((k))()1( k

опkk ttt Δ+=+ λ (9.2)

де (k)опλ – розмір кроку, а

[ ] ( )[ ])()()(1)()( kkkt

ktt

k NFt μμ Δ++Φ′−=Δ− (9.3)

В (9.3) N – представляє собою якобіан обмежень задачі (9.1); )(kμ та )(kμΔ –

вектор множників Лагранжа та його прирости; )(ktΦ′ – вектор похідних

),( txΦ ; )(kttF – матриця других похідних лагранжіана задачі (9.1), який має

вигляд:

.5.021),,(

1

2

11∑ ∑∑

= ==

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−+=

m

jjji

n

ijij

n

i i

gdtSt

gtL μμ (9.4)

Визначимо значення всіх складових правої частини виразу (9.3).

Для Лагранжіана (9.4) [ ] ( ))(31)( kktt tdiagF =

− , T

n

kt tt ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=Φ′

221

)(

21,...,

21 , а

матриця N має вигляд

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

mnn

m

SS

SSN

L

MLM

L

1

111

77

Значення елементів матриці N не залежать від змінних gt ,,μ і

залишаються постійними впродовж усього процесу пошуку оптимальних

значень *t .

Для визначення значень )(kμΔ запишемо умови Куна-Таккера задачі

(9.1)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==+

=+Φ′

0)(0)(5.0

0

μ

μ

gdiagggdiagG

Nt

(9.5)

Де

T

mi

n

imii

n

ii dtSdtSG ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−= ∑∑

== 11

11 ,,K

Вирішивши (9.5) методом Ньютона прийдемо до системи рівнянь

[ ] ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=Δ+Δ

−−=Δ+Δ

+Φ′−=Δ+Δ−

)()()()(5.0)()()()()()(

)()()()()(

)()()()(1)(

kkkkk

kkkkkT

kkt

kkktt

gdiaggdiaggdiagggdiagGggdiagtN

NNtF

μμ

μμ

(9.6)

З (9.6) витікає

))()(( )()()(1)( kkkk ggdiagZdiagA +=Δ − μμ (9.7)

migg ki

ki

ki

kik

i )1(1,)()(

)()()()( =

Δ+−=Δ

μμμ (9.8)

78

де

[ ] )()( )(21)()( kktt

Tk gdiagNFNdiagA −−=−

μ

[ ] [ ] )(1)()(1)()()( )(5.0 kktt

Tki

ktt

Tkk NFNFNggdiagGZ μ−−

+Φ+−−=

При практичних обрахунках значення )(kμΔ доцільно визначати не за (9.7),

а вирішенням лінійної системи рівнянь виду

ZA k ′=Δ )(μ (9.9)

де

))()(( )()()( kkk ggdiagZdiagZ +=′ μ

Якщо 0)( ≠kig і 0)( ≠k

iμ , mi )1(1= , то система рівнянь (9.9) завжди має

розв’язок, т.я. при таких умовах матриця A не може бути особливою.

Визначив таким чином значення )()()( ,, kkk gt ΔΔΔ μ і використав (9.2),

можливо оцінити значення )1( +kt . При цьому величина (k)опλ обчислюється

вирішенням задачі

)g,,tL(targmin (k)(k)(k)(k)(k)(k)(k) gоп Δ+Δ+Δ+= αμαμαλα

(9.10)

Таким чином задача (9.10) може бути вирішена за допомогою

стандартних методів пошуку мінімуму однопараметричних функцій.

В якості критеріїв скінчення пошуку вирішення задачі (9.1)

використовуються наступні співвідношення:

79

0,),,(),,( 11)()()()1()1()1( >≤−+++ εεμμ kkkkkk gtLgtL

0,)1(1, 22)( >=≤Δ εε nit k

i

0,)1(1, 33)( >=≤Δ εεμ mik

j

0, 44)( >≤Δ εεk

jg

де 4321 ,,, εεεε – деякі додатні константи.


Розглянемо порядок застосування розглянутого підходу для

вирішення наступної задачі.

Для електричної схеми (рис. 9.1) з параметрами E1 = 5 В, R1=R3=5

Ом, R2=10 Ом, необхідно виконати наступне:

3.1) визначити чутливість зміни значення V2 до зміни параметрів елементу

R1;

3.2) визначити верхню та нижню межі значення V2 в режимі аналізу

найгіршого випадку за умови, що номінал елементу R1 варіюється в межах

%51 ±=Rt ;

3.3) розрахувати оптимальний допуск на значення R1 за умови, що

найбільше відхилення значення V2 не повинно бути більше ніж %12 ±=VD ;

3.4) обрати опір R1 з рядів номіналів, що за своїми показниками розкиду

параметрів задовольняє допуску, обрахованому в п. 3.3.

80


Вирішення

3.1) Сформуємо функцію, що описує залежність між значеннями опорів та

значенням потенціалу V2:

3211)32(

2 RRRERRV

+++

= (9.11)

Чутливість зміни значення V2 до зміни параметрів елементу R1

визначається як:

1875.040075

20155

)321()32(1

1)( 22

22 −=−=

⋅−=

+++

−=∂∂

=RRRRRE

RVVS

Файл завдання на дослідження та результати моделювання в пакеті

NetALLTED наведені на рис. 9.2.

81

Object Circuit lab9a; E1(1,0)=5; R1(1,2)=5; R2(2,3)=10; R3(3,0)=5; & task dc; sa; table V2; varpar R1; & end.

S E N S I T I V I T Y A N A L Y S I S *************************************** S T E A D Y - S T A T E R E S P O N S E ( D C O P E R A T I N G P O I N T ) **************************************** Nominal values of output variables ********************************** Iterations 3.00000000 Maximum error .000000000 V2 3.75000000 Output variables sensitivity to parameter 1 **************************************** S.V2 -.187500000

Рисунок 9.2 – Результати моделювання

3.2) Для визначення верхньої та нижньої меж значення V2 скористаємось

розрахунком чутливості п. 3.1. Обмежуючись лінійною частиною розкладу

в ряд Тейлора отримуємо:

⎢⎣

⎡

Δ⋅−=Δ⋅+=

−

+

iii

iii

SYYSYY

)0(

)0(

Значення розкиду Δi, визначається відносно базового номіналу елементу та

становить:

25.005.051 1 =⋅=⋅=Δ Ri tR

Використовуючи в якості початкового значення )0(Y значення 75.32 =V (п.

3.1), отримуємо:

82

⎢⎣

⎡

=⋅−==⋅+=

−

+

703125.325.01875.075.3796875.325.01875.075.3

YY


NetALLTED наведені на рис. 9.3.

Object Circuit lab9a; E1(1,0)=5; R1(1,2)=5; R2(2,3)=10; R3(3,0)=5; & task dc; wcd; varpar R1(5); & end.

W O R S T C A S E D E S I G N ********************************* S T E A D Y - S T A T E R E S P O N S E (D C O P E R A T I N G P O I N T) ************************************* Iterations 3 Maximum error .000000000 Nominal values of variables V2 3.75000000 Variables' upper bound values H.V2 3.79687500 Variables' low bound values L.V2 3.70312500


3.3) Визначимо оптимальний допуск на значення R1 аналітично,

скориставшись виразом (9.11):

01.13211)32(99.0

3211)32(

2 ⋅++

+≤≤⋅

+++

RRRERRV

RRRERR

Розв’язавши ці нерівності відносно значення R1 отримаємо ліву та праві

межі розкиду:

83

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⇒≥⋅++

+

⇒≤⋅++

+

R

L

RVRRRERR

RVRRRERR

2

2

01.13211)32(

99.03211)32(

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

≥−≥−≥−⋅+

≥+−⋅+

≤=

≥−≥−≥−⋅+

≥+−⋅+

≥=

2.5152.201575.375.7515

75.301.15)105()32(01.11)32(1

8.4158.191575.325.7415

75.399.05)105()32(99.01)32(1

2

2

RRV

ERRRR

RRV

ERRRR

R

L

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

%4%10052.51%100

11

%4%10058.41%100

11

RRD

RRD

RR

LL

Таким чином, %4±=D . Графічно, залежність значення потенціалу 2V від

значення опору 1R (9.11) в межах, що містять значення допуску

представлені на рис. 9.4 – 9.5.

Рисунок 9.4 – Межі значень

оптимального допуску

Рисунок 9.5 – Залежність значення

потенціалу V2 від значення опору R1

84


NetALLTED наведені на рис. 9.6

Object search ALLTED; circuit lab9; R1(1,2) =5; R2(2,3) =10; R3(3,0) =5; E1(1,0) =5; & task dc; tolas; fix T1=FIXA(V2,0); varpar R1(5); CONTROL T1(1,1); & END.

O P T I M A L T O L E R A N C E S *********************************** Parameter Nominal Tolerance value % abs R1 .5000000000E+01 +- 3.846 +- .1923155040E+00

***************************************************** W O R S T C A S E C A L C U L A T I O N

to estimate the quality of the tolerances assignment ******************************************** Output cha- Nominal Allowable Upper limit Lower limit racteristic value deviation, % abs % abs % T1 .3750E+01 +- 1.00 .3786E+01 .97 .3711E+01 -1.03


3.4) Розглянемо номінальні ряди елементів Е24÷Е192 (Додаток Б) та

визначимо значення, що найближчі до номінального значення R1=5 Ом.

Таблиця 9.1 – Підбір елементів з рядів номіналів

Ряд Допуск, % RL< R1Ном R1Ном R1Ном <RR

Е24 5 4.7 5 5.1

Е48 2 4.87 5 5.11

Е96 1 4.99 5 5.11

Е192 0,5 4.99 5 5.05

Проведемо розрахунок меж, в яких лежать значення опорів із номінальних

таблиць з врахуванням їх допуску, та перевіримо їх відповідність допуску

на значення елементу R1 (п. 3.3).

85

Таблиця 9.2 – Вибір елементу, що задовольняє допуску

Ряд Допуск (Δ), % RL-Δ RL RL+Δ RR-Δ RR RR+Δ

Е24 5 4.465 4.7 4.935 4.845 5.1 5.355

Е48 2 4.7726 4.87 4.9674 5.0078 5.11 5.2122

Е96 1 4.9401 4.99 5.0399 5.0589 5.11 5.1611

Таким чином, в якості реального елементу можна обрати елементи

номіналу R1=4.99 або R1=5.11 з допуском не більшим за 1%, т.я. дані

елементи з врахуванням допуску лежать в розрахованих межах:

2.518.4 ≤≤ R .

4 Завдання

4.1) Обрати схему (табл. 7.1) відповідно до варіанту (табл. 7.2).

4.2) Визначити аналітично чутливість значення потенціалу в вузлі «№

вузла» (варіанти 1-15) або струму на елементі «№ елем.» до зміни

параметрів кожного з опорів. У якості початкових значень елементів

обрати значення опорів, що отримані при виконанні оптимізації в ЛР №8.

4.3) Визначити чутливість значення потенціалу в вузлі «№ вузла» для

варіантів 1-15 або струму на елементі «№ елем.» для варіантів 16-30 (табл.

7.2) до зміни параметрів кожного з опорів за допомогою пакету

NetALLTED. Порівняти результати з п.4.2 та звести у таблицю. У якості

початкових значень елементів обрати значення опорів, що отримані при

виконанні оптимізації в ЛР №8.

86

Таблиця 9.3 – Розрахунок чутливості

Чутливість )( iVS або )( RIIS Метод

розрахунку R1 R2 R3 R4

Аналітичний

розрахунок ...1 =RS ...2 =RS ...3 =RS ...4 =RS

NetALLTED ...1 =RS ...2 =RS ...3 =RS ...4 =RS

4.4) Обрати елемент з найбільшим за модулем значенням чутливості

(табл.⌐9.1) та аналітично розрахувати допуск на значення елементу за

умови, що найбільше відхилення досліджуваної характеристики не

перевищує ±1%.

4.5) Побудувати графік залежності значення досліджуваної характеристики

від значення обраного елементу (п.4.4), що містить межі допуску.

4.6) Визначити допуск на обраному елементі за допомогою пакету

NetALLTED. Порівняти результати з п.4.4 та звести у таблицю.

Таблиця 9.4 – Розрахунок допуску

Допуск Метод

розрахунку RX

Аналітичний

розрахунок ...=RXD

NetALLTED ...=RXD

4.7) Визначити допуски одночасно на всі елементи за допомогою пакету

NetALLTED.

87

4.8) Обрати опори з рядів номіналів E6-E192 (Додаток Б), що за своїми

показниками розкиду параметрів задовольняють допуску на відповідні

опори в п. 4.7. Використовувати ряди від найменш (E6) до найбільш

точного (E192) та оцінити умову допуску при використанні опорів як в

бік збільшення так і зменшення від номінального.

Таблиця 9.5 – Розрахунок номіналів

Допуск )( iVD або )( RIID

R1 R2 R3 R4

Розрахований

номінал* ...1 =R ...2 =R ...3 =R ...4 =R

Допуск,

розрахований

NetALLTED

...1 =RD ...2 =RD ...3 =RD ...4 =RD

Розрахований

номінальний ряд E… E… E… E…

Припустимий

розкид для ряду ±..% ±..% ±..% ±..%

Реальне значення

опору з ряду ...1 =R ...2 =R ...3 =R ...4 =R

* – Значення опорів, отримані після оптимізації в ЛР №8.

4.9) Перевірити значення верхньої та нижньої межі варіювання значення

досліджуваної характеристики в режимі аналізу найгіршого випадку в

пакеті NetALLTED за умови, реальних номіналів елементів та

припустимих розкидів, використавши дані п.4.8 (табл. 9.5). Зробити

висновки, щодо отриманих результатів.

88




5.3) рисунок схеми за варіантом;

5.4) номінали елементів схеми, що отримані в ЛР№8;

5.5) аналітичний розрахунок чутливості;

5.6) файл завдання та фрагмент вихідного файлу розрахунку чутливості в

пакеті NetALLTED;

5.7) результати по аналізу чутливості (табл. 9.3);

5.8) графік залежності значення досліджуваної характеристики від

значення обраного елементу;

5.9) аналітичний розрахунок допуску на обраний елемент;

5.10) файл завдання та фрагмент вихідного файлу розрахунку допуску на

обраний елемент в пакеті NetALLTED;

5.11) результати розрахунку допуску (табл. 9.4);

5.12) файл завдання та фрагмент вихідного файлу розрахунку допуску на

всі елементи в пакеті NetALLTED;

5.13) результати розрахунку номіналів (табл. 9.5);

5.14) файл завдання та фрагмент вихідного файлу перевірки реальних

номіналів у режимі найгіршого випадку;



6.1) Класифікація методів вирішення задачі нелінійного програмування?

6.2) Необхідні умови існування мінімуму для задачі нелінійного

програмування.

89

6.3) Що таке чутливість ЦФ до зміни окремого компоненту вектора

варійованих параметрів?

6.4) Особливості методів «штрафних» функцій.

6.5) Особливості методів множників Лагранжа.

6.6) Особливості проекційних методів.

90

ДОДАТОК А.

ОПИС ВХІДНОЇ МОВИ ТА ВИДІВ АНАЛІЗУ NETALLTED

А.1 Опис вхідної мови NetALLTED

Взаємодія користувача з NetALLTED здійснюється за допомогою

проблемно-орієнтованої вхідної мови (ВМ), з використанням якої

описується початкова інформація про об'єкти та завдання на дослідження.

Вхідна мова NetALLTED складається з трьох функціонально

відокремлених мов:

- мови опису об'єкта дослідження (МОО);

- мови постановки завдань на дослідження (МПЗ);

- мови управління бібліотекою (МУБ).

За допомогою МОО задається інформація про структуру і

компонентний склад об’єкта дослідження (ОД). Засобами МПЗ описуються

відомості про характер досліджень, списки вихідних змінних, форму

вихідних результатів. МУБ призначений для організації взаємодії

користувача з бібліотекою моделей, списків і функцій пакета.

Основним мовним елементом МОО є речення, МПЗ і МУБ -

директива.

А.1.1 Загальні правила використання вхідної мови

При описі мовних конструкцій використовуються певні домовленості.

Зокрема, елементи мови, що визначають деякі узагальнені мовні поняття,

подаються в кутових дужках "<>". У квадратні дужках "[]" подаються

елементи мови, які можуть бути опущені у відповідних мовних

91

конструкціях. Фігурними дужками "{}" об'єднуються конструкції, які

можуть повторюватися.

А.1.1.1 Алфавіт вхідної мови

У набір допустимих символів ВМ включені такі символи:

- 52 великі та малі букви латинського алфавіту;

- знак підкреслення (_);

- 10 десяткових цифр;

- знак пробілу;

- 17 спеціальних символів:

, (кома)

; (крапка з комою)

( (ліва кругла дужка)

) (права кругла дужка)

+ (плюс)

– (мінус)

= (рівність)

* (зірочка)

/ (коса риска)

[ (ліва квадратна дужка)

] (права квадратна дужка)

< (знак "менше")

> (знак "більше")

% (відсоток)

& (амперсанд)

^ (циркумфлекс)

92

. (крапка)

Примітка:

1. Знак підкреслення відноситься до букв і може використовуватися

скрізь, де допускається вживання літер.

2. У вхідній мові NetALLTED великі і малі літери не розрізняються,

тому, наприклад, слова "CIRCUIT", "Circuit" і "circuit" є еквівалентними.

А.1.1.2 Лексичний склад вхідної мови

Будь-який текст на ВМ розглядається як послідовність лексем -

елементарних лінгвістичних елементів ВМ. До лексем відносяться

ідентифікатори, імена, ключові слова, числа і роздільники. Роздільником

може служити будь-який з спеціальних символів алфавіту ВМ або символ

пробілу.

Пробіли не можуть вживатися всередині лексем, але між лексемами

вони використовуються вільно, не надаючи ніякого впливу на зміст тексту.

Два наступних підряд числа, ідентифікатора, імені або ключових слова

повинні розділятися принаймні одним пропуском. В інших випадках, коли

неоднозначності не виникає, використання пробілів необов'язкове.

Зауважимо, що скрізь, де допускається один пробіл, можна записати кілька

пробілів або порожній рядок (рядки) тексту.

При розбитті текстів на лексеми, кінці рядків розглядаються як

пробіли. Таким чином, кожна лексема повинна розміщуватися в межах

одного рядка тексту на ВМ. Однак більш складні синтаксичні конструкції

(наприклад, речення МОО або директиви МПЗ) можуть займати кілька

рядків вхідного опису або, при дотриманні правил вживання пробілів,

93

кілька речень ВМ можуть бути записані на одному рядку. Максимальна

довжина вхідного рядка - 127 символів.

На лістингу трансляції ВМ вхідний текст представляється у

форматованому вигляді, що дозволяє більш наочно відобразити структуру

текстового опису.

А.1.1.3 Ідентифікатори та ключові слова

Ідентифікатори використовуються для позначення багатополюсних і

двополюсних елементів досліджуваної схеми, аргументів функціонально-

залежних елементів і для інших цілей. Ідентифікатор - це будь-яка

послідовність літер (включаючи знак підкреслення) і цифр, що

починається буквою.

Ідентифікатор може мати довільну довжину, але значущими є тільки

його перші 8 символів.

Приклади ідентифікаторів:

R17, ur1, Lambda.

Граматично ідентифікаторами є також і ключові слова ВМ, однак

вони мають строго певний сенс і призначення та для інших цілей

використовуватися не можуть.

Приклади ключових слів:

MODEL, List, time, RE.

94

А.1.1.4. Імена

Поряд з ідентифікаторами, в ВМ використовуються лексеми типу

"ім'я", які також являться комбінаціями букв і цифр, але першим символом

не обов'язково повинна бути буква.

Зауважимо, що послідовність символів, що складається тільки з цифр,

буде лексемою іншого типу - цілим числом, і ім'ям в загальному випадку

не є. Імена використовуються для позначення основної схеми, моделей,

списків параметрів, вузлів, символічних параметрів моделей і в інших

випадках.

Приклади імен:

2N2217, BETA, 8to16.

А.1.1.5. Числа

Числа використовуються для завдання значень елементів, параметрів

нелінійних залежностей, параметрів символічних моделей. У МПЗ в

числовому вигляді вказуються значення деяких констант розрахунку,

номінали, параметри креслень та інші кількісні характеристики.

Для запису чисел використовується стандартна нотація з десятковою

крапкою, знаком і ступенем: 5; 5.; 5.0; -5.0; +5 E-7; 5.0e +9.

У вхідній мові NetALLTED числа не можуть починатися з

десяткового дробу, навіть при наявності знака. Наприклад, такі форми

запису числа неприпустимі: .5; .5 E +10; -. 5; + .5 e +10.

95

При необхідності після числа може бути вказаний масштабний

множник, що задається наступними буквами (в будь-якому регістрі):

F = 10-15

P = 10-12

N = 10-9

U = 10-6

M = 10-3

K = 10+3

MEG = 10+6

G = 10+9

T = 10+12

Таким чином, еквівалентними є такі записи одного і того ж числа:

3.14 = 3140.M = 0.00314 k

Зауваження: ціле число з безпосередньо наступним за ним

масштабним множником обробляється транслятором як лексема типу

"ім'я". У таких випадках необхідно явно розділити число і множник,

використовуючи десяткову крапку або пробіл. наприклад: 10 K; 10.K; 150 p

А.1.1.6 Коментарі

Коментар починається символом "#", який стоїть в будь-якій позиції

рядка, і триває до кінця рядка вхідного тексту. Коментар може поміщатися

на будь-якому рядку після будь лексеми або бути самостійною приміткою,

що займає цілий рядок. У тексті коментаря можуть використовуватися

будь-які символи, що відображаються. На сенс опису коментарі не

впливають.

Приклади коментарів:

96

# Самостійний коментар # І його продовження R1 (1,2) = 10; # КОМЕНТАР В КІНЦІ РЯДКА

А.1.1.7 Структура вхідного потоку даних

Структура вхідного текстового файлу має вигляд:

OBJECT <опис_схеми> & TASK <текст_завдання > & TASK <текст_завдання > & . . . LIBRARY <завдання_для_бібліотеки> & . . . END

Вхідні дані обробляються програмою NetALLTED порціями в порядку

їх розташування у вхідному потоці. Окремими порціями інформації є опис

об'єкта дослідження, завдання на дослідження і завдання на взаємодію з

бібліотекою NetALLTED, які називаються відповідно розділом опису,

розділом завдання на дослідження та розділом управління бібліотекою.

Тип кожного розділу визначається керуючою директивою, що

записується на окремому рядку на початку відповідного розділу: OBJECT,

TASK, LIBRARY. Перед ключовим словом, що визначає тип керуючої

директиви, може бути записано будь-яку кількість пробілів. Директиви

97

OBJECT і TASK параметрів не мають, єдиним параметром директиви

LIBRARY може бути ім'я відповідного бібліотечного файлу, при цьому

параметр відділяється від директиви одним або декількома пропусками. До

і після керуючої директиви може вживатися довільна кількість порожніх

рядків.

Кінець розділу кожного типу позначається символом "&", при цьому

ознака кінця порції інформації може записуватися як на окремому рядку,

так і в кінці останнього текстового рядка даного розділу.

Черговість розділів визначається користувачем в кожному

конкретному випадку взаємодії з пакетом. При цьому розділ опису завжди

повинен бути єдиним і передувати розділу завдання, в якому вказується

вид дослідження і задається форма представлення вихідної інформації. За

одним розділом опису може слідувати кілька розділів завдання, що

описують різні режими дослідження однієї і тієї ж схеми. Розділ завдання

може бути розташований перед розділом опису об'єкта дослідження, але в

цьому випадку він може містити лише директиву OPTION.

Розділ управління бібліотекою по відношенню до розділів опису та

завдання може розташовуватися довільним чином або, наприклад, може

бути єдиним розділом у вхідному потоці.

Особливим видом керуючої директиви є директива END, що відзначає

кінець вхідного потоку даних. Після її обробки функціонування програми

ALLTED припиняється.

А.1.1.8. Директива FIX

У багатьох випадках користувача цікавить не тільки характер

поведінки схеми в певному часовому або частотному інтервалі, але і

98

значення деяких "особливих" точок вихідних характеристик. Такі точки

визначаються з допомогою директиви FIX, що має наступний формат:

FIX <ім’я > = <функція_фіксації> (<аргумент> {,<значення>})

{,<функція_фіксації> (<аргумент> {,<значення>})};

Кожній "особливій" точці в директиві FIX присвоюється ім'я <імя >, в

якості якого може бути заданий будь-який ідентифікатор. Фактично ім'я є

змінною, якій в результаті аналізу схеми буде присвоєно деяке значення.

Правила обчислення такого значення описуються за допомогою

стандартного набору функцій фіксації (<фун_фіксаціі>):

RISE - значення незалежної змінної (часу або частоти) в точці, в якій

схемна змінна <аргумент>, зростаючи, досягає рівня <значення>;

FALL - значення незалежної змінної (часу або частоти) в точці, в якій

схемна змінна <аргумент>, спадаючи, досягає рівня <значення>;

MAXF - значення схемної змінної <аргумент> у точці максимуму;

MINF - значення схемної змінної <аргумент> в точці мінімуму;

MAXA - значення незалежної змінної в точці максимуму схемної

змінної <аргумент>;

MINA - значення незалежної змінної в точці мінімуму схемної змінної

<аргумент>;

FIXA - значення схемної змінної <аргумент> при заданому значенні

<значення> незалежної змінної.

Приклади описаних функцій фіксації наведено в таблиці А.1.

99

Таблиця А.1 – Функції фіксації

Функція Значення

tp=RISE(y, yp) y

t pt

y

On rising

p

t pt

y

On rising

tp=RISE(y, yp,ts, tf) y

tt

y

p

pt

y

On rising

t s ft

tp=FALL(y, yp) y

t pt

y

p

t

y

On falling

100

tp=FALL(y, yp, ts, tf) y

t pt

y

p

t

y

On falling

t ts f

tmax=MAXA(y) ymax=MAXF(y)

ymax

t maxt

yGlobal Maximum

tmax=MAXA(y, ts, tf) ymax=MAXF(y, ts, tf)

ymax

t maxt

y

fs tt

Maximum

tmin=MINA(y) ymin=MINF(y)

y

tt

y

min

min

Global Minimum

101

tmin=MINA(y, ts, tf) ymin=MINF(y, ts, tf) y

tt

y

min

min

t t

Minimum

s f

yp=FIXA(y, tp) y

t pt

y

p

t

y

Для аналізу в частотній області в якості схемної змінної <аргумент>

необхідно вказувати тип передавальних функцій.

Приклади:

FIX T1 = FALL (UR1, 0.5), T2 = RISE (UR1, 0.5); FIX M1 = MAXF (UR1), M2 = MINF (UR1); FIX FREQ1 = MAXA (RE.TF1), FREQ2 = MINA (RE.TF1);

У першій директиві FIX визначається час T1 переходу спадаючої

напруги на резисторі R1 через значення 0.5 і час T2 переходу через те ж

значення при зростанні напруги.

У другому прикладі визначаються максимальна (M1) і мінімальна

(M2) значення напруги на резисторі R1.

102

В останньому прикладі визначаються значення частоти, на яких

дійсна частина передаточної функції TF1 досягає максимуму (ім'я фіксації

FREQ1) і мінімуму (FREQ2).

Директива FIX відноситься до директив виведення результатів,

оскільки після завершення аналізу імена фіксацій, визначені в директиві, і

відповідні їм значення будуть виведені в результуючий файл

ALLTED.OUT. Однак імена фіксацій можуть бути параметрами інших

директив, наприклад, директиви INT.

У розділі завдання може бути задано декілька директив FIX.

А.2 Аналіз статичних режимів (DC-метод)

Модулі DC-методу по постійному струму дозволяють обчислювати

всі напруги, струми і потужності для будь-якого компонента кола та вузла.

У DC-аналізі використовуються три алгоритми, які засновані на різних

підходах до вирішення нелінійних алгебраїчних рівнянь кола.

Перший алгоритм (DC-метод = 0) ґрунтується на схемі методу

Ньютона-Рафсона з лінійним визначенням довжини кроку вздовж обраної

траєкторії пошуку.

Другий алгоритм (DC-метод = 1) ґрунтується на методі продовження

по параметру, де проміжне рішення знаходиться за допомогою модифікації

методу Ньютона (модифікація Давиденко).

Третій алгоритм (DC-метод = 2) - ґрунтується на визначенні

гіперкривої, що з'єднує поточну точку з точкою рішення. У деяких

випадках цей алгоритм може давати збільшення обчислювальних витрат у

порівнянні з іншими методами, але завжди має кращу швидкістю

збіжності.

103

Можливість використання різних стратегій допомагає подолати

розбіжність будь який раз, коли вона виникає. Це значно збільшує

надійність NetALLTED, оскільки аналіз по постійному струму зазвичай є

першим етапом часового аналізу та процедур визначення робочої точки.

DC аналіз управляється за допомогою наступної директиви:

DC; CONST <значення вибираються з таблиці А.2>;

Додаткові константи, які можуть бути обрані користувачем даються в

таблиці А.2.

Таблиця А.2 – Константи аналізу статичних режимів

Тип константи Значення за

замовчуванням

DCMET *

0 - Ньютон-Рафсон

1 – продовження по параметру

2 – пошук кривої вирішення

0

DCMAXIT

(максимальне додаткове число ітерацій на кожному

кроці)

300

DCERR

(відносна похибка ітерації Ньютона)

E-6

DAMP

(демпфуючий коефіцієнт модифікації метода

Ньютона)

0.75

104

DCLC

(фіктивна величина реактивних компонент)

1.E-7

MAXDM

(максимальне число діагональних модифікацій

однократного вирішення системи рівнянь)

3

* – Користувач може обрати процедуру вирішення для своєї приватної

задачі.

Для завдання початкових умов для DC аналізу використовується

директива INSTALL:

INSTALL <ім'я змінної кола> = <значення> [, <ім'я змінної

кола> = <значення> ... ];

Змінними кола є струми елементів кола і вузлів, потенціали, що

включені до вектору невідомих X:

INSTALL V1 = 0.5, IJ1.T1 = 1.0E-4;

Якщо DC рішення не досягнуто за допомогою DCMET = 0 протягом

DCMAXIT ітерацій, процедура вирішення автоматично змінюється на

DCMET = 1. Метод криволінійного пошуку апріорно вибирається

користувачем установкою DCMET = 2 в директиві CONST.

Необхідні результати DC аналізу виводяться в файл ALLTED.OUT за

допомогою директиви TABLE:

TABLE < ім'я змінної кола >{,...< ім'я змінної кола >...}; TABLE ALLU {, ALLI, ALLV, ALLP};

105

Змінними схеми є струми, напруги або потужності на двополюсних

компонентах або вузлові потенціали.

Значення змінних схеми в робочій точці можуть бути виведені у файл

ALLTED.OUT за допомогою директив PLOT, TPLOT, LTPLOT. Однак, ці

вихідні дані з'являться у вихідному файлі тільки при наявності директиви

OPTION 48 у файлі завдання (TASK файл).

А.3 Оптимізація

Метою параметричної оптимізації в САПР є визначення таких значень

варійованих параметрів, при яких вимоги до об'єкта проектування

задовольняються найкращим чином. Фактично, ця задача є кінцевою

задачею всього процесу проектування. Всі інші проектні операції, такі, як

формування математичної моделі та її упорядкування, рішення рівнянь,

оцінка та ідентифікація вихідних характеристик під час аналізів тощо,

служать базисом процедур оптимізації, за допомогою яких обчислюються

значення цільових функцій і визначається оптимальна точка. Це

підкреслює важливість процесу оптимізації в САПР системі.

Необхідно виконати наступні кроки для постановки завдання

оптимізації та її формулювання в термінах вхідної мови NetALLTED:

1. Визначити цілі проектування об'єкту і перетворити їх до виду

цільових функцій.

2. Вибрати набір варійованих параметрів і відповідних їм

параметричних обмежень.

3. Вибрати (у разі необхідності) функціональні обмеження.

4. Вибрати метод рішення і налаштувати його для вирішення

конкретної задачі.

106

При вирішенні оптимізаційної задачі можуть бути використані

наступні директиви:

- Директиви виду аналізу: TR з DC; TR; DC; AC з DC; AC;

- Директива завдання режиму оптимізації OPTIM;

- Директива завдання цільових функцій OF;

- Директива завдання варійованих параметрів VARPAR;

- Директива завдання обмежень LIMIT;

- Директиви завдання керуючих параметрів CONST, INSTALL,

OPTION;

- Директиви визначення вихідних характеристик FIX, INT, FUNC, TF.

А.3.1 Завдання цільових функцій. Директива OF

OF <ім'я цільової функції> = F<номер> (<список параметрів>

/ <список аргументів>) {, <ім'я цільової функції> ... / <список аргументів>)};

Цільові функції можуть бути абсолютно різні за їх видом, однак, всі

вони подібні щодо їх форми. Всі цільові функції згруповані в спеціальній

бібліотеці і можуть бути використані для спрощення підготовки завдання.

Фактично цей набір цільових функцій покриває більшість практичних

задач оптимізації. Якщо для будь-якої задачі жодна з наявних цільових

функцій непридатна, то NetALLTED дозволяє користувачу розширювати

бібліотеку функцій (для більш детальної інформації дивіться документацію

пакету).

Нижче в таблиці наведено список наявних стандартних цільових

функцій. Всі функції (за винятком F6, F7, F9, F13 і F14) мають вигляд

адитивної цільової функції і можуть бути використані в тих випадках, коли

для вирішення багатокритеріальних задач застосовується метод зважених

107

сум. Опції F6, F7, F9, F13 і F14 мають форму цільових функцій максимуму

і можуть бути використані в комбінації з мінімаксними методами

оптимізації. Функція F10 призначена для використання в

багатокритеріальному методі ЛП-пошуку.

У таблиці x1, x2, ..., xn позначають аргументи цільової функції, у

якості яких можуть виступати характеристики, визначені директивами

FIX, INT, FUNC, а також будь-які символічні параметри списків

параметрів символічних моделей і будь які лінійні двополюсні

компоненти. Символи PV1, PV2, ... позначають параметри цільової функції

і в ряді випадків (наприклад, для функцій F1, F2) можуть трактуватися, як

бажані результати оптимізації.

Символ D визначає допуск; K1, K2, ..., Kn - вагові коефіцієнти; Zmin,

Zmax - нижня і верхня межі області допустимих значень цільової функції

при ЛП-пошуку.

Таблиця А.3 – Базові цільові функції

№ Опис Звертання

1 ( )PV xi ii

n

−=∑ 2

1 ( )F PV PV x xn n1 1 1,..., / ,...,

2 ∑=

−n

iii xPV

1 ( )F PV PV x xn n2 1 1,..., / ,...,

3 ( )K D PV xi i ii

n

− −=∑

2

1 ( )F D PV PV x xn n3 1 1, ,..., / ,...,

4 ( )K PV x

Kif x PV

if x PV

i i ii

n

ii i

i i

−

=− ≤

− >

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

=∑

1

2

0

1

( )F PV PV x xn n4 1 1,..., / ,...,

5 ∑=

n

iii xK

1

( )F K K x xn n5 1 1,..., / ,...,

108

6 ( )max

,i i iPV x

i N

−

=

2

1

( )F PV PV x xn n6 1 1,..., / ,...,

7 max

,i i iPV x

i N

−

= 1

( )F PV PV x xn n7 1 1,..., / ,...,

8 PV xPVi i

ii

N −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=∑

2

1

( )F PV PV x xn n8 1 1,..., / ,...,

9 max

,

i

i i

i

PV xPV

i n

−

= 1

( )F PV PV x xn n9 1 1,..., / ,...,

10 ∑=

n

iii xK

1

( )F Z Z K K x xn n10 1 1min max, , ,..., / ,...,

11 ( )K PV xi i ii

n

−=∑ 2

1 ( )F K PV K PV x xn n n11 1 1 1,..., / ,...,

12 ∑=

−n

iiii xPVK

1

( )F K PV K PV x xn n n12 1 1 1, ... , / , ... ,

13 ( )[ ]maxi i i iK PV x−

2 ( )F K PV K PV x xn n n13 1 1 1,..., / ,...,

14 max

,i i iPV x

i N

−

= 1

( )F K PV K PV x xn n n14 1 1 1, ... , / , ... ,

15 ( )K PV xi ii

n

−=∑ 2

1 ( )F KPV PV x xn n15 1 1,..., / ,...,

16 ∑=

−n

iii xPVK

1 ( )F KPV PV x xn n16 1 1,..., / ,...,

Функції F1, F2, F3, F4, F5, F8, F11, F12, F15 і F16 самі по собі мають

форму адитивних цільових функцій, якщо кількість аргументів більше, ніж

1. Крім цього, адитивна функція формується автоматично з комбінації

будь-яких цільових функцій, перелічених у таблиці А.3, якщо дві або

109

більше цільових функцій містяться у файлі завдання на оптимізацію, і

передбачається використання методу однокрітеріальної оптимізації.

Опції F6, F7, F9, F13 або F14 можуть використовуватися тільки з

мінімаксними методами оптимізації. При цьому кожна пара ix і iPV

формує окремий критерій якості.

А.3.2 Визначення варійованих параметрів. Директива VARPAR

Наступні параметри об'єкта проектування можуть розглядатися, як

варійовані:

– величини будь-якого лінійного компонента в головній схемі чи в моделі;

– будь-які параметри символічних моделей або функцій, заданих в

списках.

В якості таких параметрів можуть виступати опори, індуктивності,

величини джерела струму, параметри нелінійних компонентів

електронних, гідравлічних, механічних і інших кіл.

За допомогою директиви VARPAR можливе завдання варійованих

параметрів, що змінюються синхронно, параметрів з однією і тією ж

допустимою областю, параметрів, що мають дискретні значення, і так далі

(для більш детальної інформації дивіться документацію пакету).

Приклад.

VARPAR m.Q6 = CM (8.2,16.4);

У цій директиві параметр m.Q6 і параметр CM змінюються

синхронно. Таке завдання варійованих параметрів призводить до того, що

тільки один з перерахованих параметрів присутній у векторі варійованих

параметрів, але його зміна синхронно викликає зміну всіх інших

110

варійованих параметрів, пов'язаних через знак "дорівнює" в директиві

VARPAR.

А.3.3 Завдання критеріїв закінчення пошуку

Постановка задачі оптимізації передбачає формулювання критеріїв

закінчення пошуку. Пошук припиняється, якщо:

1. Досягнута бажана точність рішення.

2. Бажана точність рішення не досягнуто, але швидкість збіжності

настільки низька, що подальші обчислення марні.

3. При зацикленні чисельної процедури.

Критерії зупини специфічні для кожного виду завдань оптимізації і

залежать від властивостей цільової функції, обмежень і методу оптимізації.

У NetALLTED для всіх методів використовуються універсальні критерії

закінчення, що значно спрощує їх завдання.

Зазвичай вирішується два типи оптимізаційних задач: апроксимація та

мінімізація. Метою апроксимації є досягнення з максимальною точністю

заздалегідь певних значень характеристик, що оптимізуються. При цьому

цільові функції формуються таким чином, щоб оцінити різницю між

бажаними і поточними значеннями характеристик, що оптимізуються. При

цьому, якщо F (x) = 0, характеристики точно відповідають заданим

значенням. Враховуючи це, в якості критеріїв закінчення для задач

апроксимації використовуються наступні співвідношення:

)),(+1(|)(-)(|

;|)(|)(

1)()1-(

)(

kkk

k

xfxfxfxf

ε

ε

≤

≤ (A.1)

111

де

ε - точність вирішення (OPERR);

G

ki

ki

ki

Gnixxx

εε

≤≤

max

)(2

)()1-( ;,1= |),|+1(-|

де:

k - номер кроку;

ε1 - параметр для оцінки швидкості зміни цільової функції, = 100;

εG - параметр для оцінки точності виконання обмежень (CONERR);

ε2 - параметр для оцінки швидкості зміни варійованих параметрів

ε ε2= ;

Gmax - домінуюче обмеження на k-му кроці, де

{ }G B x A x i N j Mi j j

kj

kmax ,

( ) ( )max | ( )|, , ( ) , , , , ;= = =0 1 1

де:

N – кількість обмежень рівностей;

M – кількість обмежень нерівностей;

Задача вважається успішно вирішеною, якщо виконуються перша і

четверта умови (A.1). Якщо ні, то, перевіряючи друге і третє

співвідношення, приймається рішення про продовження або припинення

процесу оптимізації.

Мінімізація використовується для поліпшення стабільності,

зменшення потужності, зменшення часу затримки і так далі, тобто, в тих

випадках, коли бажана величина характеристики, що оптимізується, не

112

може бути заздалегідь передбачена. Точність рішення в цьому випадку

контролюється за допомогою оцінки приросту значення цільової функції і

величиною кроку на двох послідовних ітераціях пошуку за допомогою

співвідношень:

εεεε

εε

ε

==

≤=+≤−

+≤−−

−

21

max

)(2

)()1(

)(1

)()1(

,100

;,1|),|1(||

|);)(|1())((|

G

ki

ki

ki

kkk

Gnixxx

xfxfxf

(A.2)

Передбачається, що досягнуто оптимальне рішення, якщо

виконуються перша і третя умови співвідношення (A.2). В іншому випадку

перевірка другої умови дозволяє вирішити питання про зупинення чи

продовження процесу пошуку. Якщо основні умови в (A.1) або (A.2)

задовольняються, то у вихідних файлах отримане рішення відзначається як

"оптимальне". В інших випадках результат оптимізації визначається як

"найкращий знайдене" значення.

Параметр ε в (A.1) і (A.2) відповідає ключовому параметру OPERR

(величина за замовчуванням 1.E-6), і параметр Gε - CONERR (0.01) в

директиві CONST.

А.3.4 Методи оптимізації

Вибір методу оптимізації здійснюється за допомогою ключового

параметра METHOD директиви CONST, використовуючи таблицю А.4, в

якій наведено найбільш відмінні характеристики методів оптимізації, що

використовуються в NetALLTED.

113

Таблиця А.4 – Характеристики методів оптимізації

№ Значення константи

METHOD

Примітка

1 METHOD = 40

RSIS

Метод випадкового пошуку зі зменшенням

інтервалу пошуку. Використовується

генератором випадкових чисел з

рівномірним розподілом.

2 METHOD = 50

RSIS(D)



генератором випадкових чисел з

рівномірним розподілом, при цьому

значення варійованих параметрів

округлюються до найближчого,

використовуючи спеціальні файли

DISKOPT.DAT.

3 METHOD = 60

RSIS(LP)



модифікований генератор випадкових чисел

з рівномірним розподілом. Цей розподіл в

деяких випадках більш ефективний, але

розмір вибірки (що задається за допомогою

параметра (NUMB) повинен вибиратися з

ряду 2, m = 1,2, ... Це може викликати

складності, коли NUMB> 64.

4 METHOD = 70

RSIS(LP-D)

Аналогічно METHOD = 60, але з

генератором, аналогічним METHOD = 50.

5 METHOD = 100 Метод змінного порядку, заснований на

114

VOM(DFP) формулі Давідона - Флетчера - Пауелла.

6 METHOD = 110

VOM(B)

Метод змінного порядку, заснований на

формулі Бройдена.

7 METHOD = 120

VOM(BFGS)

Метод змінного порядку, заснований на

формулі Бройдена - Флетчера - Гольдфарба -

Шанно.

8 METHOD = 130

RSIS + VOM

(DFP)

Комбінація METHOD = 40 i METHOD = 100

9 METHOD = 140

RSIS + VOM

(B)


10 METHOD = 150

RSIS + VOM

(BFGS)


11 METHOD = 220

MAPS

Мiнiмаксний метод з покроковим вибором

активних функцій (модифікація методу

Агню)

12 METHOD = 300

LP-search

Метод рішення багатокритеріальних

оптимiзацiйних задач, заснований на ЛП-

пошуку. Метод складається з двох етапів.

На першому етапі виконується серія тестів

по неоднорідній сітці, що генерується за

допомогою ЛП-розподілу. Отримані

значення варійованих параметрів цільових

функцій i обмежень упорядковуються та

видаються в якості вихідного результату. На

115

другому етапі визначаються оптимальні (в

сенсі Парето) рішення. METHOD = 300

визначає тільки першу стадію рішення.

13 METHOD = 310

LP-search

Друга стадія ЛП-пошуку. На цьому етапі

відбувається оперування результатами,

отриманими попередньо при METHOD =

300.

14 METHOD = 320

LP-search

Метод, що включає обидва етапи ЛП -

пошуку

Кожен метод може бути використаний для вирішення як

апроксимаційних, так і для мінімізаційних задач. Якщо число, яке

визначається значенням параметра METHOD, закінчується на 0, то

передбачається, що вирішується завдання апроксимації; щоб ініціювати

мінімізацію, остання цифра в параметрі повинна дорівнювати 2.

А.4 Аналіз чутливості та моделювання «найгіршого випадку»

NetALLTED дозволяє визначати функції чутливості статичних,

динамічних і частотних характеристик системи, що аналізується, по

відношенню до варіацій значень лінійних 2-х полюсних компонент схеми

(режим SA). Крім цього можуть бути отримані оцінки максимальних

відхилень характеристик схеми за методом "найгіршого випадку" (WCD

режим). Ці можливості дозволяють визначити найбільш критичні

компоненти схеми для використання цієї інформації для оптимізації,

оптимального призначення допусків, центрування області працездатності

схеми, а також виконання статистичного аналізу.

Функції чутливості по відношенню до варіації компонентів схеми

можуть бути визначені не тільки для струмів і напруг на двополюсних

116

компонентах схеми і вузлових потенціалів, але також і для змінних,

заданих директивами FIX, INT. Це можуть бути часи затримок, тривалості

імпульсів, та / або час переходу через певний рівень.

Часові характеристики функцій чутливості визначаються

спеціальним методом спільного інтегрування системи нелінійних алгебро-

диференціальних рівнянь, що описують основну схему, а також моделей

чутливості з оптимальним вибором довжини кроку та порядку методу

інтегрування.

Частотні характеристики функцій чутливості визначаються на основі

методу моделей чутливості.

А.4.1 Аналіз чутливості (SA)

Аналіз чутливості задається директивою SA у файлі завдання. Аналіз

статичних, динамічних або частотних характеристик визначається

відповідно директивами DC і TR або DC та AC.

Компоненти, по відношенню до яких досліджується функції

чутливості, задаються директивою VARPAR:

VARPAR <ім'я параметра> (<нижнє значення відхилення параметра в %>, <верхнє значення відхилення параметра в %>),...,;

Характеристики схеми, функції чутливості яких необхідно знайти,

визначаються директивами FIX, INT, PLOT, TPLOT, LTPLOT і TABLE.

Приклад:

TASK DC;TR;SA;

117

CONST TMAX=700; FIX F1=FIXA(UR1,100),F2=MAXA(UC1); TABLE V1,IR1,UR1; PLOT IR2,V1; VARPAR C3,R10; & END

У цьому завданні задається визначення функції чутливості в

статичному режимі для V1, IR1, UR1, IR2 по відношенню до зміни значень

C3 і R10, а також функції чутливості перерахованих характеристик в

часовій області. Будуть знайдені також значення та їх чутливість стосовно

зміни C3 і R10 для величин, визначених директивами FIXA і MAXA. Після

виконання цього завдання будуть отримані три креслення. Перше - містить

криві залежності V1 (TIME) і IR2 (TIME); друге – залежність чутливості

V1 (TIME) і IR2 (TIME) до зміни C3; трете – залежність чутливості V1

(TIME) і IR2 (TIME) до зміни R10.

Зауважимо, чутливості змінних схеми, які призначаються

директивами FIX типу MAXA, MAXF, MINA і MINF, обчислюються як,

відповідно максимальні та мінімальні значення змінних на інтервалі 0-

TMAX. Якщо на інтервалі 0-TMAX є кілька точок, які відповідають точкам

екстремумів, відповідне значення чутливості визначаються тільки для

першого локального мінімуму (максимуму).

Параметри лінійних і нелінійних функцій не можуть бути

використані в директиві VARPAR для SA і WCD режимів.

При аналізі чутливості, коли вказано велика кількість виведеної

інформації, обчислення можуть бути перервані внаслідок нестачі пам'яті

для зберігання результатів. Щоб уникнути цього, інтервал між точками, що

виводяться на характеристиках, повинен бути збільшений,

використовуючи константи DIPLOT і DITAB, шляхом встановлення їх

значень приблизно рівних 0.01 TMAX.

118

За аналогією з іншими режимами користувач може керувати

процесом аналізу часових характеристик чутливості, використовуючи

значення, що задаються директивою CONST, як показано в таблиці А.5.

Таблиця А.5 – константи аналізу чутливості

Ім’я константи Значення за замовченням

SLERR – локальна похибка, повинна

бути рівна або менше LERR

LERR

SXMAX XMAX

SORD ORDER

А.4.2 Аналіз найгіршого випадку

Аналіз максимальних можливих відхилень, відповідних

"найгіршому випадку" функціонування схеми задається директивою WCD.

У даному режимі визначаються мінімальні Yi і максимальні +iY значення

вектора вихідних характеристик tmi YYY ],...,[= для найбільш поганого

поєднання відхилень tnxxx ],...,[ 1 ΔΔ=Δ вектора варійованих параметрів

tnxxx ],...,[ 1= , де

∑=

+ ==+=n

i

iiijjj mjni

txSyY

1

)0(max ,...,1,,...,1,

100

та

∑=

− ==−=n

i

iiijjj mjni

txSyY

1

)0(min ,...,1,,...,1,

100

119

tnttt ],...,[ 1= - вектор значень допусків ( в % ),

i

jij x

YS

∂∂ )0(

= - чутливість

вихідної характеристики ( )0jY до зміни компоненти Xi вектора варійованих

параметрів в точці ( )0x . Значення варійованих компонент X та їх допусків t

визначаються директивою VARPAR:

VARPAR < ім’я компоненти > ( < допуск(%) > {< ім’я компоненти >(< допуск(%) >)}

Приклад:

VARPAR C1(5), R2(10);

Всі схемні змінні, які вказуються у файлі завдання директивами

TABLE, PLOT, TPLOT, LTPLOT, FIX, INT включаються як компоненти

вектора Y.

Приклад: TASK DC;TR;WCD; FIX MAX=MAXF(UJ2),X0=FIXA(UJ2,0.29); PLOT UJ2,IC1; VARPAR R1,R2(10),C3(5); CONST TMAX=0.2;

Результати дослідження будуть отримані у вигляді графіків

наступних кривих: )(2),(2 max TIMEUJTIMEUJ (зазначена як HB-UJ2),

)(2min TIMEUJ (зазначена як LB-UJ2), )(1),(1),(1 minmax TIMEICTIMEICTIMEIC −+ , а

також таблиці наступних значень: MAX, HB-MAX, LB-MAX, X0, HB-X0,

LB-X0. Вектор допусків тут t]5,10,10[ . В режимі WCD, також як і в режимі

SA, тільки значення лінійних двополюсних компонентів можуть

вибиратися як варійовані параметри.

120

Керуючі константи для режиму WCD такі ж як і для режиму SA.

А.5 Призначення оптимальних допусків

Метою цієї проектної операції є визначення максимальних допусків

на варійовані параметри об'єкта проектування, при яких вихідні

характеристики знаходяться в області працездатності. Ця операція, як

правило, виконується на останній стадії проектування схеми і дає

можливість врахувати вплив умов виробництва, зовнішніх умов і таке інше

вже на етапі проектування.

Розглядаючи всю множину об'єктів, проектування яких можливо за

допомогою NetALLTED, легко можна виділити групи параметрів, які

можуть становити інтерес при вирішенні задачі призначення оптимальних

допусків:

- елементи, що визначають геометричні розміри (довжина

трубопроводу, його перетин, ширина і довжина каналу транзистора і т.д.);

- фізичні параметри, такі як опір, ємність, маса, щільність рідини,

сила тертя і т. д.);

- параметри і коефіцієнти нелінійних функціональних залежностей

(коефіцієнт температурного розширення, константа Больцмана,

універсальна газова константа і т.д.);

- параметри настройки (коефіцієнт посилення, тимчасові

константи, джерело тиску і т.д.).

Фактично будь-який з параметрів системи може становити інтерес

при вирішенні задачі визначення оптимальних допусків, і ВМ САІР

повинна дозволяти задавати будь-який з них в явній формі. Формально ВМ

дозволяє вибирати в якості варійованих параметрів або імена символічних

121

параметрів, або лінійних компонентів моделей. Однак, за аналогією з

режимом оптимізації, якщо зробити деякі зміни в еквівалентній схемі,

будь-який нелінійний компонент або його параметр в основній або

вкладеній моделях може бути розглянутий як варійований параметр. Для

цього лише необхідно включити його до символічної моделі

А.5.1 Запуск процедури

Щоб встановити режим призначення оптимальних допусків, можуть

бути використані наступні директиви:

- директиви види аналізу:

TR з DC;

AC з DC;

TR;

DC;

AC;

- керуючі директиви CONST, INSTALL, OPTION;

- директиви призначення додаткових характеристик CONTROL,

TOLE, VARPAR;

- директиви визначення вихідних характеристик FIX, INT, FUNC;

- директива завдання режиму оптимальних допусків TOLAS.

При вирішенні задачі призначення оптимальних допусків ці

директиви мають наступний формат:

TOLAS; VARPAR <ім'я змінної> (<початковий допуск (%)>) {, <ім'я

змінної> (<початковий допуск (%)>)}; TOLE <ім'я змінної> (<допуск (%)> {, <ім'я змінної>

(<допуск (%)>)};

122

CONTROL <ім'я вихідної характеристики> (<нижній допуск (%)>, <верхній допуск (%)>) {, <ім'я вихідної характеристики> (<нижній допуск (%)>, <верхній допуск (%)>)};

CONST TOLERR = xxx;

Директива TOLAS задає режим призначення оптимальних допусків і

не містить ніяких параметрів.

Директива VARPAR використовується для призначення варійованих

параметрів. На відміну від режиму оптимізації при призначенні

оптимальних допусків в круглих дужках розташовується тільки один

числовий параметр, який визначає величину початкового допуску у

відсотках.

Приклад:

VARPAR R1(5),ALFA.TRAN(5),C2(3);

або еквівалентна директива

VARPAR R1,ALFA.TRAN(5),C2(3);

Директива TOLE задає списки варійованих параметрів із заздалегідь

встановленими допусками.

Імена вихідних характеристик задаються за допомогою директиви

CONTROL. В якості вихідних характеристик можуть використовуватися

вторинні змінні, що задаються директивами FIX, INT, FUNC.

Приклад:

FIX F1=FIXA(UR1, 0.1); FIX F2=FIXA(UR1, 0.5); INT T1=F2-F1;

123

FUNC T2=F4(3,5,6/F1,F2,T2); CONTROL F1(5,5),T1(6,6),T2(3,7);

У прикладі задаються три вихідні характеристики F1, T1, T2. F1

визначається за допомогою директив FIX, T1 – INT і T2 – FUNC

відповідно. Зазначимо, що чисельне значення меж в останній

характеристиці неоднаково. NetALLTED не дозволяє розглядати такі

ситуації, і в якості меж встановлює максимальну з двох величин.

Тільки одна спеціальна змінна TOLERR використовується в

директиві CONST в розглянутому режимі. Її значення визначає точність

рішення. Значення TOLERR за замовчуванням дорівнює 1.E-3.

124

ДОДАТОК Б.

РЯДИ НОМІНАЛІВ РЕЗИСТОРІВ

Номінали радіодеталей (опір резисторів, ємність конденсаторів,

індуктивність невеликих котушок індуктивності), що випускаються

промислово, не є довільними. Існують спеціальні ряди номіналів, що

представляють собою множини значень від 1 до 10. Номінал деталі

певного ряду є довільним значенням з відповідної множини, помноженим

на довільний десятковий множник (10 в цілій ступені). Наприклад:

резистор з ряду E12 може мати один з таких номіналів (опорів):

1.2 Ом, 12 Ом, 120 Ом, ..., 1.2 МОм, 12 МОм

Дані ряди відповідають міжнародному стандарту «IEC 60063. Preferred

number series for resistors and capacitors. International Electrotechnical

Commission» та діючому в Україні «ГОСТ 8032-84. Предпочтительные

числа и ряды предпочтительных чисел».

Допуск

E6 E12 E24 E48 E96 E192 ±20% ±10% ±5% ±2% ±1% ±0.5%

E6

1.0 1.5 2.2 3.3 4.7 6.8

E12 1.0 1.2 1.5 1.8 2.2 2.7 3.3 3.9 4.7 5.6 6.8 8.2

125

E24 1.0 1.1 1.2 1.3 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.7 3.0 3.3 3.6 3.9 4.3 4.7 5.1 5.6 6.2 6.8 7.5 8.2 9.1

E48

1.00 1.05 1.10 1.15 1.21 1.27 1.33 1.40 1.47 1.54 1.62 1.69 1.78 1.87 1.96 2.05 2.15 2.26 2.37 2.49 2.61 2.74 2.87 3.01 3.16 3.32 3.48 3.65 3.83 4.02 4.22 4.42 4.64 4.87 5.11 5.36 5.62 5.90 6.19 6.49 6.81 7.15 7.50 7.87 8.25 8.66 9.09 9.53

E96

1.00 1.02 1.05 1.07 1.10 1.13 1.15 1.18 1.21 1.24 1.27 1.30 1.33 1.37 1.40 1.43 1.47 1.50 1.54 1.58 1.62 1.65 1.69 1.74 1.78 1.82 1.87 1.91 1.96 2.00 2.05 2.10 2.15 2.21 2.26 2.32 2.37 2.43 2.49 2.55 2.61 2.67 2.74 2.80 2.87 2.94 3.01 3.09 3.16 3.24 3.32 3.40 3.48 3.57 3.65 3.74 3.83 3.92 4.02 4.12 4.22 4.32 4.42 4.53 4.64 4.75 4.87 4.99 5.11 5.23 5.36 5.49 5.62 5.76 5.90 6.04 6.19 6.34 6.49 6.65 6.81 6.98 7.15 7.32 7.50 7.68 7.87 8.06 8.25 8.45 8.66 8.87 9.09 9.31 9.53 9.76

126

E192 1.00 1.01 1.02 1.04 1.05 1.06 1.07 1.09 1.10 1.11 1.13 1.14 1.15 1.17 1.18 1.20 1.21 1.23 1.24 1.26 1.27 1.29 1.30 1.32 1.33 1.35 1.37 1.38 1.40 1.42 1.43 1.45 1.47 1.49 1.50 1.52 1.54 1.56 1.58 1.60 1.62 1.64 1.65 1.67 1.69 1.72 1.74 1.76 1.78 1.80 1.82 1.84 1.87 1.89 1.91 1.93 1.96 1.98 2.00 2.03 2.05 2.08 2.10 2.13 2.15 2.18 2.21 2.23 2.26 2.29 2.32 2.34 2.37 2.40 2.43 2.46 2.49 2.52 2.55 2.58 2.61 2.64 2.67 2.71 2.74 2.77 2.80 2.84 2.87 2.91 2.94 2.98 3.01 3.05 3.09 3.12 3.16 3.20 3.24 3.28 3.32 3.36 3.40 3.44 3.48 3.52 3.57 3.61 3.65 3.70 3.74 3.79 3.83 3.88 3.92 3.97 4.02 4.07 4.12 4.17 4.22 4.27 4.32 4.37 4.42 4.48 4.53 4.59 4.64 4.70 4.75 4.81 4.87 4.93 4.99 5.05 5.11 5.17 5.23 5.30 5.36 5.42 5.49 5.56 5.62 5.69 5.76 5.83 5.90 5.97 6.04 6.12 6.19 6.26 6.34 6.42 6.49 6.57 6.65 6.73 6.81 6.90 6.98 7.06 7.15 7.23 7.32 7.41 7.50 7.59 7.68 7.77 7.87 7.96 8.06 8.16 8.25 8.35 8.45 8.56 8.66 8.76 8.87 8.98 9.09 9.19 9.31 9.42 9.53 9.65 9.76 9.88

127

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Петренко А.И. Оптимальное схемотехническое проектирование в

машиностроении: Учеб. пособие / Петренко А.И., Ладогубец В.В., Чкалов

В.В. – К. : УМК ВО, 1989. – 164 с.

2. Petrenko A. ALLTED – a computer-aided engineering system for electronic

circuit design / Petrenko A., Ladogubets V., Tchkalov V., Pudlowski Z. – 3.

Melbourne: UICEE, 1997. – 205 p.

3. Allted. All Technology Designer: Master Manual // Research Institute of

Information Resources at National Technical Univercity of Ukraine «Kiev

Politechnic Institute», Kiev, Ukraine; MicroSystem Lab. at Sunmoon

University, Asan, Chungnan, Korea. – 1998. – 453 p.

4. Батищев Д.И. Поисковые методы оптимального проектирования /

Батищев Д.И. – М. : Сов. Радио, 1975. – 214 c.

5. Реклейтис Г. Оптимизация в технике : В 2-х книгах / Реклейтис Г.,

Рейвиндран А., Рэгсдел К. – М. : Мир, 1986. – 747 с.

6. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование /

Химмельблау Д. – М. : Мир, 1974. – 532 с.

7. Ладогубець В.В. Алгоритми параметричної оптимізації складних систем

(курс лекцій) / Ладогубець В.В., Ладогубець Т.С., Ладогубець О.В. – К. :

«Аверс», 2006. – 139 с.

8. Бартіш М.Я. Методи оптимізації. Теорія і алгоритми : Навчальний

посібник / Бартіш М.Я. – Львів : Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка,

2006. – 223 с.

9. Попов Ю.Д. Методи оптимізації. Навчальний електронний посібник

для студентів спеціальностей “Прикладна математика”, “Інформатика”,

“Соціальна інформатика” / Попов Ю.Д., Тюптя В.І., Шевченко В.І. − Київ

: Електронне видання. Ел. бібліотека факультету кібернетики

128

Київського національного університету імені Тараса Шевченка, 2003. −

215 с.

10. Нефьодов Ю.М. Методи оптимізації в прикладах і задачах : навчальний

посібник / Нефьодов Ю.М., Балицька Т.Ю. – К. : Кондор, 2011. – 324 с. –

ISBN 966-351-345-4.

11. Дегтярев Ю.И. Методы оптимизации: Учеб. Пособие для вузов /

Дегтярев Ю.И. – М. : Сов радио, 1980. – 272 с.

12. Банди Б. Вводной курс / Банди Б. – М. : Радио и связь, 1988. – 128 с.

13. Зайченко Ю.П. Исследование операций : учебник / Зайченко Ю.П. – 6

изд., перераб. и доп. – К. : Издательский Дом «Слово», 2003. – 686 с.

14. Аттетков А.В. Методы оптимизации : учебник для вузов / А.В.

Аттетков, С.В. Галкин, В.С. Зарубин. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э.

Баумана, 2003. – 440 с. – (Сер. Математика в техническом университете;

Выпуск 14).

15. Карманов В.Г. Математическое программирование : учеб. пособие /

Карманов В.Г. – М. : Наука, 1986. – 288 с.

16. Таха Х. Введение в исследование операций : В 2-х книгах / Таха Х. –

М. : Мир, 1985. – 975 с.

17. Аоки М. Введение в методы оптимизации / Аоки М. – М. : Мир, 1977. –

334 с.

Міністерство освіти...

Documents

Transcript of Міністерство освіти...