授課教授：張海潮

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愛因斯坦（Albert Einstein 1879/3/14〜1955/4/18）在 1896 年秋天進入瑞士聯邦工業大學（ETH，英譯The Federal Instittute of Technology in Zurich）的師範系，主修數學和物理，以便畢業之後取得中學數學/物理教師資格，卻在1900年8月畢業之後立刻失業。

在1896年秋天與愛因斯坦同時入學的”師範生”另有4位同學，其中唯一位沒有畢業的是米列娃‧瑪里奇（Mileva Maric）。米列娃與愛因斯坦在1903年1月結婚，這段婚姻持續到1919年2月以離婚收場，兩人育有二子。

另外三位（男）同學和愛因斯坦同時畢業，並且都得到了留校助教之職位：格羅斯曼當了數學教授費德勒的助教，費德勒的專長是投影幾何。埃拉特當了物理教授魯迪奧的助教，專長分析力學。另一位同學柯爾羅斯當了數學教授胡爾維茲的助教，胡爾維茲（和明可夫斯基）是當時歐洲最出色的數學家。

愛因斯坦曾經回憶他的大學時代： 在那裡，我有幾位卓越的老師﹝比如，胡爾維茲(A.Hurwitz)、明可夫斯基 (H.Minkowski)﹞，所以照理說，我應該在數學方面得到深造。可是我大部分時間卻是在物理實驗室工作，迷戀於同經驗直接接觸。其餘時間，則主要用於在家裡閱讀基爾霍夫(G.R.Kirchhoff)、亥姆霍茲(H.L.F.von Helmholtz)、赫茲(H.R.Hertz) 等人的著作。我在一定程度上忽視了數學，其原因不僅在於我對自然科學的興趣超過對數學的興趣，而且還在於下述奇特的經驗。我看到數學分成許多專門領域，每一個領域都能費去我們所能有的短暫的一生。因此，我覺得自己的處境像布里丹的驢子一樣，牠不能決定究竟該吃哪一綑乾草。

這段話說明了當時的 ETH 確實有好的數學教授，只是與愛因斯坦道不相同。另一方面，愛因斯坦對ETH的物理教授韋伯 (H.F.Weber) 講的課一點不感興趣。愛因斯坦想學馬克斯威爾(Maxwell) 的電磁學理論，但是韋伯不講馬克斯威爾。韋伯有一次對愛因斯坦說：

你是一個很聰明的少年，絕頂聰明的少年，但是你有個大缺點，

你從來不願 聽別人的話。

甚至在畢業考的前三天，韋伯抱怨愛因斯坦的熱傳導作業沒有寫在規定的紙上，而要愛因斯坦重抄一遍。並且在愛因斯坦申請助教的時候，韋伯手上明明有缺，但是不願意收愛因斯坦。這對愛因斯坦而言，不僅是失業的問題，而且覺得非常難堪。韋伯死於1912年，愛因斯坦曾經寫信告訴一位朋友：

韋伯的死，對 ETH 是件好事。

就在這一年(1912)的10月，愛因斯坦回到母校ETH任理論物理教授，並且和老同學格羅斯曼（此時ETH的數學教授）合作探索廣義相對論，這已經是畢業之後的第12年了。

回到1900年8月，愛因斯坦畢業失業之後；一直到1901年5月才在一間中學找到代課，教數學，7月又失業。從是年10月到次年(1902)1月愛因斯坦再到一間私立學校教了一學期。1902年6月，愛因斯坦開始到位在瑞士伯恩的專利局擔任三等技術員。他在這個單位一直待到1909年10月，前後共計7年。

在這7年當中，愛因斯坦有幾件學術上重要的表現值得一提：

(一)1905 3月提出光量子論，解決光電效應問題。

(二)1905 4月向蘇黎世大學提出學位論文《分子大小的新測定法》， 取得博士學位。

(三)1905 5月完成布朗運動理論的研究。

(四)1905 6月完成論文《論動體的電動力學》，完整的提出狹義相對 論，揭示了空間和時間的本質關係，引起了物理學界對時 空的重新理解

(五)1905 9月提出E=mc2，質量與能量互相等價的關係，為後來原子 能的利用開關道路。

(六)1907 開始研究重力場理論，提出均勻引力場和均勻加速度場等 價的”等效原理”。

(七)1908 10月兼任伯恩大學編外教師。

(八)1909 7月接受日內瓦大學名譽博士。 10月離開專利局，任教蘇黎世大學理論物理學副教授。

在1902〜1909這7年的公務員生涯中，影響後世最大的學術貢獻首推1905年6月有關狹義相對論的完整論述和E=mc2質能互換的公式，以及1907年發現的等效原理及基於此發展出來的廣義相對論。狹義與廣義的區別在於廣義相對論引入重力而狹義相對論只是討論單純的時空及存在於時空的光或電磁波。

先前提到愛因斯坦在ETH讀書時的老師明可夫斯基。在愛因斯坦提出1905年的6月相對論論文之後，1908年9月21日明可夫斯基在科隆的德國自然科學和物理學第80屆大會上做了一個題為《Space and Time》的演講。在這份演講中，明可夫斯基將狹義相對論用嚴謹的公設處理而提出了以4–向量及張量作為相對論的語言。稍後明可夫斯基並且以現代通行的張量的形式重現了馬克斯威爾的電磁學方程式，因而開啟了狹義相對論簡潔的數學語言。剛開始時，愛因斯坦對明可夫斯基的”數學相對論”完全不以為意，甚至認為這些張量形式只是一種Superfluous learnedness ── 過份賣弄博學。但是到了1912年，他自己開始引用張量方法，而在1916年在論文中表示感激明可夫斯基的張量形式幫助建立了從狹義到廣義相對論的接軌。

明可夫斯基在1908年的演講中一開始是這樣說的：

我要向各位提出的空間和時間的概念是從實驗物理的土壤中生

出來的。這些概念之所以有力，就在於它們是最基本的。從現

在起，空間本身和時間本身註定要消逝在陰影當中，只有兩者

結合在一起才能保有獨立的實體。

至少，從此以後，時與空不再各自獨立，而只有”時空” (Spacetime) 才可能是一個獨立的實體。

明可夫斯基於1909年辭世，享年45歲。他曾經教過愛因斯坦，但是愛因斯坦對明可夫斯基的課程「無感」。當明可夫斯基知道愛因斯坦1905年的6月論文之後，告訴哥廷根大學的同事馬克斯‧玻恩(Max Born)說：「這使我大吃一驚，因為愛因斯坦在學生時代是條懶狗。他一點也不為數學操心。」

1908年的演講是明可夫斯基最後一次公開演講。但是在1912年以後，由於明可夫斯基的「張量」啟發，愛因斯坦成功的以黎曼幾何作為廣義相對論的基本語言，因而重新審視了在理論物理學中數學的角色。1933年愛因斯坦在牛津大學演講「理論物理方法」對數學的角色做了如下的評論，他說：

我堅信純粹數學的建構可以使我們發現觀念和聯繫觀念之間的

法則，開啟我們對自然現象的理解…。

也許因為這種說法過份強調了數學在理解自然規律過程中的主導性，許多物理學家並不贊同。其實愛因斯坦對數學的推崇完全來自於研究廣義相對論時的數學體驗。

當1912年10月愛因斯坦回到母校 ETH 任教時，他的大學同學格羅斯曼是ETH的數學教授，兩人合作在德國《數學和物理》期刊共同發表了有關廣義相對論的第一篇論文《廣義相對論綱要和引力論》。這篇文章分成數學和物理兩部分，分由格羅斯曼和愛因斯坦執筆，數學的部分主要就是提供廣義相對論的基本語言：黎曼幾何。後來愛因斯坦在1916年的論文《廣義相對論的基礎》中特別提到：

感謝我的朋友數學家格羅斯曼，他不僅幫我研究了有關的數學文

獻，並且在探索重力場方程式方面也給了我大力的支持。

格羅斯曼不僅是愛因斯坦大學時代的好同學，在愛因斯坦失業的時候，是格羅斯曼的父親推薦愛因斯坦求職於伯恩的專利局，格羅斯曼因為大學畢業留校當助教而後變成ETH的數學教授。他對學術界最大的貢獻就是協助廣義相對論的數學部分，亦即幫助愛因斯坦成功的將重力場下的時空結構以黎曼幾何的語言來表述。

1922年12月愛因斯坦在京都大學演講：

如果所有的系統都是等效的，那麼歐氏幾何就無法全然成立。

但是捨去幾何而留下物理定律，就好像捨去語言而留下思想。

我們必須在表達思想之前找到語言，我們到底能找到什麼語言？

一直到1912年的某一天，我突然想到解開秘密的鑰匙就是高斯

的曲面論…不過那時我還不知道其實黎曼已經為幾何立下了更

深刻的基礎……我終於認識到幾何學的基礎在物理上的重要

性……我問我的朋友，黎曼的理論是否能解答我的問題。

文中”我的朋友”就是指格羅斯曼，他和愛因斯坦的老師明可夫斯基在數學上幫助了愛因斯坦，是廣義相對論得以成形的重要推手。

原來在1905年的6月論文中，愛因斯坦提出了「相對性原理」和「光速不變原理」

作為狹義相對論的基礎，然後據以得出兩個以等速互相運動的慣性坐標系之間的

勞倫茲轉換。如果這兩個觀察者的x軸和x’軸重合，並且互相沿著對方的x軸及x’

軸以等速v運動，假設在時間t=t’=0時兩者的原點重合，則其間的坐標轉換如下： x’= t’= y’=y z’=z

這是勞倫茲變換一個特殊的形式，其中在y-z及y’-z’方向不需轉換。所謂一般的勞

倫茲變換是指保持c2t2-x2-y2-z2 這個二次式的線性變換，式中的常數c代表光在真空

中的速率。明可夫斯基在1908年的演講主要是聚焦在c2t2-x2-y2-z2 這個二次式以及

它的微分形式：

c2dt2-dx2-dy2-dz2

我們先略討論 c2t2-x2-y2-z2=0 所代表的意義，如果將此式除以t2，就會得到

= c2

代表一束光在時間t=0時從原點(0，0，0)發出，軌跡是(t，x，y，z)，如果滿足上式，代表 速度向量()滿足 意指光的速率為常數c (=299,792,458公尺/秒)。至於 c2dt2-dx2-dy2-dz2 =0，同樣除以dt2 就會得到

+ + = c2

代表在某一時刻光的瞬時速率是常數c。這個看法被愛因斯坦帶進了廣義相對論，而以黎曼幾何的語言表述：

狹義相對論賦予時空：c2dt2-dx2-dy2-dz2 二次齊次對稱式

廣義相對論賦予時空： , ,

x0=t , x’=x , x2=y , x3=z 二次齊次對稱式

我們可以用一個簡圖來表達上述的看法：

相對性原理 光速不變原理

慣性坐標系 勞倫茲變換

保持 c2dt2-dx2-dy2-dz2 狹義相對論

廣義相對論 等效原理

一般坐標變換 滿足重力場方程式的

V.Bargmann 在普林斯頓高等研究所曾經擔任過愛因斯坦的助手，他告訴 Pais（The Science and the Life of Albert Einstein 的作者）愛因斯坦在1916年（這一年發表廣義相對論的基礎）：

“acknowledged his indebtedness to Minkowski for having greatly facilitated the transition from special to general relativity “ （引自Pais的著作）

另外，愛因斯坦1916年發表於物理學雜誌《Annalen der Physik》769-822頁的《廣義相對論的基礎》，在前言中，愛因斯坦特別指出：

“用了明可夫斯基所給予的狹義相對論的形式，相對論的這種推

廣（到廣義）就變得很容易；這位數學家首先清楚地認識到空

間坐標和時間坐標形式上的等價性，並把它應用在建立這一理

論方面。”

這段話中「認識到空間坐標和時間坐標形式上的等價性」是指空間和時間不能分開來看，而是以「時空」(Spacetime)這個統合的狀態存在。其次明可夫斯基所給予狹義相對論的形式就是指 c2t2-x2-y2-z2 這個二次式以及由此演化出的二次微分式 c2dt2-dx2-dy2-dz2，而對後者施以最一般的坐標變換就會得到在廣義相對論中所引用的黎曼度規：

這就是愛因斯坦所謂的”推廣”，至於推廣背後的等效原理則是愛因斯坦在1907年11月思考重力在相對論中應有的角色時所發現的原理，在1922年訪問京都的演講中，他提到：

當時(指1907年11月)我坐在伯恩專利局的座位上，突然靈光一閃：

“一 個人如果處於自由落體狀態，他就無法感知重力”。這樣一個單

純的思想讓我非常震驚，而促成我走向重力理論。

上面這一則想法，愛因斯坦稱之為“畢生最快樂的思想” (The happiest thought of my life)。例如在地球的表面，地球的存在和9.8公尺/秒2 加速度場的存在是一樣的，換句話說，如果在無重力(質量)的存在下，在一個以9.8公尺/秒2 上昇的電梯中，站在電梯中的人感覺到的重力和地球的存在是一樣的──這就是愛因斯坦發現的“最快樂的思想”：等效原理(Equivalencw Principle)。

隨著等效原理的發現，對於(物理)觀察者的身分而言，就不能限制在互以等速運動的慣性坐標系中──那只是狹義相對論的一個簡化的狀態──而要考量互以加速度運動的非慣性坐標系了。因為處於重力相當處於加速狀態，因此所謂的坐標變換就絕不能只限於“線性”，也不能預先假設光速是常數了。愛因斯坦的廣義相對論要追求的是在任意坐標變換之下都能維持協變的方程式，這就是所謂的張量形式，我們現在通用的廣義相對論的場方程式：

R = -K

等號的左邊分別是Ricci 張量 ，metric 張量 和曲率(純量)R，等號的右邊是Energy Momentum 張量

及常數k= ，G是萬有引力常數，c是光速。與狹義相對論的勞倫茲變換：

x’= t’= y’=y z’=z

比較起來，廣義相對論的數學內容已經相當艱深，超過了一般人所能理解的層次。

雖然狹義相對論涉及的數學簡單，但是由於拋棄了絕對時空的概念，一般人仍然難以接受。在這裏，應該要提一個理解狹義相對論的重要人物：1909年諾貝爾化學獎得主奧斯特瓦爾德(Ostwald 1853~1932)

在1901年，亦即畢業後的第二年，愛因斯坦仍然想在大學謀一個助教的職位。是年3月愛因斯坦寫信給萊比錫大學的奧教授求職，但是奧教授沒有回應。愛因斯坦的父親因為同情兒子失業，也寫了一封信給奧教授：

My son is deeply unhappy with his current state of unemployment . Day by day the feeling grows in him that his career is off the track…..the awareness weights on him

that he is a burden to us , people of small means.

我的兒子因為失業而難過。他感覺可能再也無法繼續他的志業….並且成為 無法幫助他的父母的負擔。(意譯，Pais的愛因斯坦傳)

奇蹟是，9年以後的1909年10月，愛因斯坦和奧教授同時獲頒日內瓦大學的榮譽博士，次年奧教授開始提名愛因斯坦競爭諾貝爾物理獎。奧教授分別在1910、1912和1913三度以愛因斯坦在(狹義)相對論上的成就推薦他為諾貝爾物理獎的候選人。在1910年的時候，奧教授推許相對論是繼能量守恆原理之後最偉大的概念。1912年再度提名愛因斯坦，奧教授強調「相對論將人類從數千年的枷鎖中解放出來」(Relativity frees man from bonds , many thousands of years old )1913年第三次推薦，奧教授提到：相對論絕非像有些人所言，屬於哲學的範疇，而是物理上的重大成就。奧教授並且將愛因斯坦的成就比美於哥白尼的《日心說》和達爾文的《演化論》。

總計愛因斯坦從1910開始到1922獲獎，前後(除了1911，1915)被提名10次，而在1922卻回頭得了1921年未獲結論的獎，同年(1922)得獎的是波爾(Bohr，量子力學)。

1922年11月10日，諾貝爾委員會告訴愛因斯坦：

As I have already informed you by telegram , in its meeting held yesterday the Royal Academy of Sciences decided to award you last year’s (1921)Nobel prize for physics , in considerations of your work on theoretical physics and in particular for your discovery of the law of the photoelectric effect , but without taking into account the value which will be accorded your relativity and gravitation theories after they are confirmed in the future .

這段話不僅說明光電效應是得獎的主因，並且強調暫不考慮愛因斯坦在相對論上的工作。話說回來，自1905年開始，愛因斯坦先是發表光電效應的論文(E=h)，此後的貢獻以相對論為大宗，但是由於皇家委員會對相對論的認識不足，而又迫於壓力，因此妥協頒獎，始終不願認同愛因斯坦的相對論思想。

愛因斯坦早在1911年的論文《關於引力對光傳播的影響》就曾經預測光在經過太陽的時候會有0.83秒的偏折，後來在1916年的論文《廣義相對論的基礎》重新計算，得到1.7秒，大致是1911年計算的兩倍。1.7”這個偏折大體上在1919年11月6日被英國皇家學會和皇家天文學會確認，認為應該接受廣義相對論作為牛頓重力理論的修正。這個會議的結論分別刊登在11月7日的倫敦時報和11月10日的紐約時報。倫敦時報的標題是「科學的革命」和「宇宙的新理論─牛頓的想法被推翻了」，紐約時報的標題是「天空中的光線會偏向」和「愛因斯坦的理論贏了」。贏了誰？當然是牛頓，因為根據牛頓的光子說，光線經過太陽也會偏折，偏折的角度恰好是愛因斯坦在1911年的錯誤計算──0.83秒。

由於這兩大報的報導而使愛因斯坦變成了家喻戶曉的公眾人物，1999年12月31日出版的時代雜誌將愛因斯坦選為「person of the century」(世紀人物)，是唯一的一人。

俄國的物理學家Landau（1962年諾貝爾物理獎）曾經讚美愛因斯坦的相對論：

It is remarkable that it was developed by Einetein in a purely deductive manner and only later was substantiated by astronomical observations . (Landau and Lifshitz , The classical theory of fields p.227)

愛因斯坦自己也說：

The physicists say that I am a mathematician , and the mathematicians say that I am a physicist . I am a completely isolated man and though everybody knows me , there are very few people who really know me .

愛因斯坦到底是數學家還是物理學家？當1933年普林斯敦高等研究所成立的時候，曾經發函給一些領域頂尖的學者，希望他們回答：「在您的領域中前六個或前八個最好的學者是誰？」只有數學領域得到比較一致的答案，因此普林斯敦高等研究所首先成立了數學所，並且聘了六位教授：Alexander，Einstein，Morse，Veblen，Von Neumann 和Wey l. 愛因斯坦從1933年起一直到去世都待在高等研究所。

相對論的緣起 地球繞太陽公轉的軌道是一個相當接近圓的橢圓，它的離心率是

0.017，平均半徑是1.49X108公里，稱為一個天文單位。以平均半徑計算地球繞日的速度：

2X3.14X1.49X108/365X86400 =30公里/秒

相當於時速10萬公里。但是身處地球卻無法感覺地球的速度，甚至於也不感覺到地球的自轉，它的轉速是

2X3.14X6.37X106/86400 =463公尺/秒

相當於時速1600公里(聲音在空氣中的速度是330公尺/秒)。

即使如此，在不考慮地球的重力，不考慮自轉與公轉的向心加速度，忽略空氣的阻力這樣的條件之下，我們通常還是把地球表面想成是一個慣性系統，亦即假設地表的平面運動服從牛頓運動第一定律：慣性定律。

慣性定律是說：在無外力的作用之下，靜者恆靜，動者維持等速直線運動。

我們稱這個使慣性定律成立的坐標系為慣性坐標系或慣性系，同時任何一個與慣性系互以等速運動的系統也同樣是一個慣性系。

一般常用的說法是這樣：將火車站的月台看成是一個慣性系，而將等速通過的火車也看成是一個慣性系。在慣性系中，絕對無法從任何物理現象察覺自己是處於靜止還是處於運動。

月台和火車只是一個方便的用語，用來指涉兩個互以等速運動的慣性系。現在假設火車等速通過月台，並且在火車司機的座位上擺了一個大磁鐵。從月台上看，這個磁鐵的磁場正在通過月台，因此月台上除了感受到磁場，還會感受到電場，但是火車上只能感受到磁場，因為磁鐵對火車是靜止的。

顯然，月台所感知的空間和火車所感知的空間不可能是同一個，這個結論基本上就是愛因斯坦在1905年的6月論文的開場白。他這麼說：

大家知道，麥克斯韋電動力學像現在通常為人們所理解的那樣應用到

運動的物體上時，就要引起一些不對稱，而這種不對稱似乎不是現象

所固有的。比如設想一個磁體同一個導體之間的電動力的相互作用。

在這裡，可觀察到的現象只同導體和磁體的相對運動有關，可是按照

通常的看法，這兩個物體之中，究竟是這個在運動，還是那個在運動，

卻是截然不同的兩回事。如果是磁體在運動，導體靜止著，那末在磁

體附近就會出現一個具有一定能量的電場，它在導體各部分所在的地

方產生一股電流。但是如果磁體是靜止的，而導體在運動，那末磁體

附近就沒有電場，可是在導體中卻有一電動勢，這種電動勢本身雖然

並不相當於能量，但是它假定這裡所考慮的兩種情況中的相對運動是

相等的卻會引起電流，這種電流的大小和路線都同前一情況中由電力

所產生的一樣。

不妨假設鐵軌是月台的x軸，火車是自己的x’軸並且向右以等速v通過月台，因此x軸和x’軸重合。進一步假設y和y’，z和z’軸始終保持平行。

如果火車上沒有電場，但是有一個指向z’軸方向的均勻磁場N，愛因斯坦在論文中導出月台上所見的電場是朝著y軸的方向，

大小是 ， 而月台上所見的磁場是朝著z軸的方向，大小是 現在，將火車上的磁鐵改擺在月台上，當然，火車司機也同樣感受到一個電場和一個磁場，月台和火車對空間的量測雖然有不同的結果，但是這種不同是因觀測地位的不同，而非物理定律的不同，更不是這兩個空間有所謂的絕對和相對的不同。愛因斯坦一開始就認為絕對空間或是絕對時間根本就沒有存在的基礎。因此，在1905年的6月論文裏愛因斯坦也果敢的拋棄了光介質或是光以太的概念。

以太，長久以來的功能其實是為了填補廣大空間的真空部分，並作為光波傳播時的一個虛擬介質。因此以太這個概念是與絕對空間牢牢的綁在一起。一旦絕對空間被拋棄了，以太當然也被拋棄了，如同國王的新衣一般：本來無一物，何處惹塵埃？

愛因斯坦雖然不是拋棄以太的第一人，但是卻是丟掉以太而成功探索時空的第一人。