ODZIV ELEMENATA I SISTEMA

VREMENSKI ODZIV SISTEMA

• Najpogodniji način da se sagleda dinamičko ponašanje nekog sistema je da se nađe njegov odziv na neku definisanu ulaznu promenu (pobudu).

• Proces koji se javlja na izlazu elementa/sistema usled delovanja ulaznog signala nazivamo odzivom elementa ili sistema.

• Pod vremenskim odzivom sistema na datu ulaznu funkciju podrazumevamo vremensku zavisnost izlazane promenljive za zadatu promenu ulazane promenljive.

• Pod dejstvom pobude nastaje odvijanje procesa bilo koje vrste u elementu ili sistemu.

• Taj proces se najčešće naziva kretanjem. • Kretanje može nastati usled delovanja nenultih

početnih uslova koja predstavlja akumuliranu energiju u elementima ili sistemima, pod uticajem spoljašnjih sila (pobudnih signala) ili usled istovremenog delovanja nenultih početnih uslova i spoljašnjih sila.

• Kada se kretanje odvija samo na račun nenultih početnih uslova odnosno unutrašnje energije, tada kažemo da se element ili sistem autonomno kreće, odnosno da u njemu postoji slobodno kretanje .

• Ako se element ili sistem kreće samo usled delovanja spoljašnjih sila, tada govorimo o prinudnom kretanju.

• U konačnom se može reći da se svako kretanje pod dejstvom spoljašnjih sila sastoji iz slobodnog i prinudnog kretanja.

• Uspostavljanjem prinudnog kretanja sistem ulazi u stacionarno stanje.

• Prelazak iz jednog u drugo stacionarno stanje, usled promene pobude, naziva se prelaznim procesom.

• Elementi ili sistemi se mogu naći u različitim realnim sredinama i mogu biti podvrgnuti delovanju različitih spoljašnjih uticaja.

• Uopšte je poznato da su spoljašnji uticaji uglavnom, stohastičke veličine, tj. mogu imati proizvoljnu vrednost i oblik i podležu zakonitostima verovatnoće.

• Za određivanje reakcije sistema u takvim uslovima potrebno je primenjivati teoriju stohastičkih sistema.

• Ipak, u praksi se mnogi sistemi mogu tretirati kao sistemi koji rade u determinističkim uslovima, tj. da njihovi pobudni signali pripadaju klasi funkcija determinističkog tipa.

• Međutim, i broj pobudnih signala determinističkog tipa, koji mogu delovati na realne sisteme, je ogroman, praktično beskonačan, što usložnjava analizu i sintezu sistema, kao i njihovo međusobno kvalitativno i kvantitativno upoređivanje.

• U cilju unifikacije, pogodno je ograničiti broj mogućih pobudnih signala pomoću kojih se vrši kvalitativno i kvantitativno ispitivanje različitih sistema.

• Izabrani signali, koje ćemo dalje nazivati tipičnim, moraju imati nekoliko važnih osobina:

• (i) da su matematički jednostavni, • (ii) da se sistem, podvrgnut delovanju takvih

signala, nalazi u stanju povišenih zahteva na statičke i dinamičke karakteristike, i

• (iii) da se realni signali koji deluju na sistem mogu aproksimirati skupom tipičnih signala

• Postavljene zahteve u pogledu ispitivanja dinamičkih osobina sistema u potpunosti zadoviljavaju sledeći signali:

• Dirakov impulsni signal δ(t), • Hevisajdov odskočni signal h(t), • nagibni signal, • prostoperiodični (harmonijski) signal.

Procedura

Definicija: Vremenska zavisnost izlazane promenljive za zadatu promenu ulazane promenljive

Standardne ulazne funkcije za ispitivanje dinamike sistema: (a) stepenasta; (b) impulsna; (c) linearna; (d) sinusna; (e) beli šum

X(s)Y(s) = G(s)

{ } { }x-x(t) = (t)x = X(s) sp LL

X(s) G(s) = Y(s)

{ }Y(s) + y = (t)y + y = y(t) sp

s L 1−

Osnovni elementi sistema su: 1. proporcionalni element 2. aperiodski element ( sistem prvog reda-element sa vremenskom konstantom) 3. kapacitivni element (integrator) 4. oscilatorni element (sistem drugog reda) 5. element sa mrtvim vremenom (čisto kašnjenje) 6. diferencijalni element.

Proporcionalni element Proporcionalni element je relativno najjednostavninji elemenat kod koga je izlaz proporcionalan ulazu u svakom trenutku vremena: Y(t) = Kx(t) gde je : y ( t ) – ulazna veličina, x ( t ) – izlazna veličina K – koeficijent proporcionalnosti, koji se još naziva i koeficijent pojačanja elementa.

Poslednja jednačina je algebarska I pokazuje da element predaje signal sa ulaza ka izlazu trenutno, bez prelaznog procesa. Proporcionalni element je bez inercije, zbog čega se naziva i bezinercijalni, a takođe i pojačavački element nultog reda. Pošto je jednačina algebarska, ona zadržava isti oblik posle primene Laplasove transformacije. Prenosna funkcija proporcionalnog elementa je konstanta: a njegova statička i dinamička karakteristika su identične

Dinamička karakteristika proporcionalnog elementa za odskočnu promenu ulaza

Aperiodski element-sistem prvog reda (element sa vremenskom konstantom) Aperiodični element se može prikazati jednom diferencijalnom jednačinom prvog reda sa konstantnim koeficijentima:

Primenom Laplasove transformacije, dobija se prenosna funkcija sistema prvog reda:

Aperiodički element je definisan sa dva parametra modela, T I K . Parametar T ima dimenzije vremena i naziva se vremenska konstanta, dok parametar K predstavlja pojačanje, odnosno statičku karakteristiku aperiodičkog elementa. Aperiodički element se često naziva i element sa vremenskom konstantom. Elementi koji se mogu prikazati ovakvim dinamičkim modelom se često javljaju u postrojenjima procesne industrije. Mnogi procesi (objekti upravljanja) se mogu tačno ili približno prikazati kao jedan, ili češće, kao kombinacija više redno vezanih sistema prvog reda. Takođe, mnogi merni i izvršni elementi se mogu smatrati sistemima prvog reda, kao i mnoge komponente pneumatskih i električnih elemenata mernoregulacione opreme.

Karakter promene izlazne veličine na skokovitu promenu ulazne veličine dat je izrazom:

0( ) (1 )tTy t K x e

−= ⋅ −

Vremenske karakteristike ovog elemente date su na slici

Kapacitivni element (integrator) Osnovni dimnamički element kod kojeg je brzina promene izlazne veličine proporcionalna ulaznoj veličini, naziva se integralnim elementom, a njegova diferencijalna jednačina ima oblik :

:

0

( ) ( )t

y t K x t dt= ⋅∫

Integralenjem prethodne jednačine dobija se jednačina oblika:

Primenom Laplasove transformacije, dobija se sledeći oblik prenosne funkcije kapacitivnog elementa:

Kada na ulaz ovog elementa dovede odskočna pobudna funkcija, izlazna veličina ima oblik:

0( ) ( )y t K x t= ⋅

,

1

I

KT

=

Ova jednačina pokazuje da kada se na ulaz integralnog elementa dovodi konstantan poremećaj, dobiće se izlazna veličina koja linearno raste sa vremenom, kako je to grafički prikazano na narednoj slici.

Odskočna ulazna veličina I prelazna karakteristika integralnog elementa

Oscilatorni element Ovaj se elemenat naziva i proporcionalni elemenat drugog reda, jer se vremenska zavisnost između izlazne i ulazne veličine opisuje diferencijalnom jednačinom drugog reda. Naziv oscilatorni potiče otuda što u toku rada elementa ili sistema može da dođe do oscilatorne razmene energije između pojedinih njegovih delova. Tako, na primer, kinetička energija može pretvarati potencijalnu energiju električnog polja u energiju magnetnog polja itd. Zavisno od veličine gubitaka, oscilovanje teče brže ili sporije, a pri velikim gubicima proces može da postane aperiodičan.

Oscilatorni element se može opisati sistemom od dve zavisne obične linearne diferencijalne jednačine prvog reda sa konstantnim koeficijentima:

ili jednom običnom linearnom diferencijalnom jednačinom drugog reda sa konstantnim koeficijentima:

Ako se jednačina podeli sa a0 dobija se standardni oblik diferecijalne jednačine koji se najčešće koristi za prikazivanje dinamike oscilatornog elementa u vremenskom domenu:

Posle primene Laplasove transformacije, dobija se standardni oblik prenosne funkcije oscilatornog elementa:

Za definisanje oscilatornog elementa se, pored pojačanja K, koriste još dva parametra: vremenska konstanta T i koeficijent prigušenja ξ. Često se umesto vremenske konstante τ koristi njena recipročna vrednost ωn koja se naziva prirodna (sopstvena) frekvencija sistema. Odziv oscilatornog elementa na odskočni ulazni signal ima prigušeno-oscilatorni karakter, kao što prikazuje naredna slika.

Element sa mrtvim vremenom (element sa čistim kašnjenjem) U procesnoj industriji se često javaljaju procesi kod kojih se javlja kašnjenje izlazne za ulaznom promenljivom za određeno fiksno vreme. Ovaj elemenat je tako nazvan zbog toga što promena izlazne veličine sledi promenu ulazne veličine, ali sa određenom vremenskom zadrškom. Izlazni signal praktično ponavlja ulazni signal, ali posle određenog vremena. Prema tome, kad se takvom elementu dovede ulazna veličina u obliku skoka, na izlazu iz elementa se takođe dobija istovetan signal, samo vremenski pomeren za neko vreme, koje se naziva kašnjenje. Ukoliko ne dolazi ni do kakve druge promene ulaznog signala, ovakav sistem se može vrlo jednostavno matematički interpretirati:

Primenom Laplasove transformacije, uz korišćenje teoreme kašnjenja, dobija se sledeća prenosna funkcija ovog sistema:

Veličina D koja definiše vreme za koje izlaz kasni za ulazom naziva se mrtvo vreme ili čisto kašnjenje, a element koji ima ovakve dinamičke karakteristike element sa mrtvim vremenom ili element sa čistim kašnjenjem.

Prelazna karakteristika elementa čistog kašnjenja, ulazna odskočna funkcija I odgovarajuća izlazna veličina

Diferencijalni element Elemenat sistema automatskog upravljanja kod kojeg js izlazna veličina proporcionalna brzini promene ulazne veličine naziva se idealnim diferencijalnim elementom. Matematički opis ovog elementa dat je diferencijalnom jednačinom oblika:

( ) Ddxy t Tdt

=

Odskočna ulazna funkcija I odgovarajuća karakteristika diferencijalnog elementa

1. Vremenski odzivi sistema prvog reda 1

)(+τs

K = sG

(1) Stepenasti odziv

0( ) ( )

0p 0, t <

x t = A h t = A, t

≥

{ }( ) L ( ) AX s = A h t = s

τ

τ 1/+s1-

s1 K A =

1+sK

sA = Y(s)

τ+−

= −−

/111)( 11

ssAKty p LL

( )e-1 K A y= ty / ts

τ−+)(

t τ 2 τ 3 τ 4 τ 5 τ

y/KA 0.632 0.865 0.950 0.982 0.993

A = dt x(t) i t=t,

tt0, =)t-(t A = (t)x

-0

00

p ∫∞

∞

∞

≠δ

{ } A = (t) A = X(s) δL

ττ

τ 1/+sK/ A = A

1+sK = = Y(s)

e K Ay = y(t) / t-

sτ

τ+

bt = (t)x p

sb = X(s) 2

τττ

τ 1/+sbK +

sbK -

sbK =

1+sK

sb = Y(s) 22

)e-(1Kb - t Kb y= y(t) -t/s

ττ+

(2) Impulsni odziv (3) Odziv na linearnu promenu ulaza

2. Vremenski odzivi sistema drugog reda

1 + s2 + sK =

1+s2+sK =

X(s)Y(s) = G(s)

n2n

222

ωξ

ωξττ

1-- = 1-1= p 2nn

21/2 ξω±ωξξ

τ±

τξ

−

)1-++)(s1--+(s

K =

1-+

+s 1--

+s

K = X(s)Y(s) = G(s)

2nn

2nn

2n

222

ξωωξξωωξ

ω

τξξ

τξξ

τ

- za ξ<-1, koreni karakteristične jednačine su realni, pozitivni i različiti;

- za ξ=-1, koreni karakteristične jednačine su su realni, pozitivni i jednaki;

- za -1<ξ<0, koreni karakteristične jednačine su konjugovano-kompleksni, sa pozitivnim realnim delom;

- za ξ=0, koreni karakteristične jednačine su konjugovano-kompleksni sa realnim delom koji je jednak nuli;

- za 0<ξ<1, koreni karakteristične jednačine su konjugovano-kompleksni;

- za ξ=1, koreni karakteristične jednačine su realni, negativni i jednaki;

- za ξ>1, koreni karakteristične jednačine su realni, negativni i različiti.

Stepenasti odziv sistema drugog reda – konjugovano-kompleksni koreni: -1< ξ <1

ξ >0: stabilan, oscilatoran sistem (nedovoljno prigušen sistem)

ξ <0: nestabilan oscilatoran sistem

ξ =0: oscilatoran sistem na granici stabilnosti

Stepenasti odziv sistema II reda - pregled

Stabilan, nedovoljno prigušen odziv

- Period oscilovanja: ξω

π

ξ

πτ2

n2 -1

2 = -1

2 = P

ξ

πξ2-1

- = DB = PR exp- Prekoračenje

- Odnos slabljenja PR = -1

2- = BC = O.S. 2

2

ξ

πξexp

- Vreme uspona

ξ

ξ

ξ

τ22u,100%

-1

-1 = t arctan

- Vreme smirenja ts