ŘÍZENÍ JAKOSTIA SPOLEHLIVOSTI

Pavel Fuchs David Vališ

Josef ChudobaJan KamenickýJaroslav Zajíček

Obsah prezentace• Přehled metod analýzy spolehlivosti• Předpověď bezporuchovosti výpočtem z dílů• Analýza metodou pravdivostní tabulky• Analýza pomocí blokového diagramu bezporuchovosti

• pro provádění systematické a reprodukovatelné analýzy spolehlivosti systému je nezbytné používat jednotné postupy

• pro daný konkrétní případ je nutno zvolit vhodnou analytickou metodu nebo metody, která umožňují:– modelovat a hodnotit spolehlivostní problémy v širokém rozsahu– provádět přímou, systematickou, kvalitativní a kvantitativní analýzu– předpovědět číselné hodnoty ukazatelů spolehlivosti

• žádná jednotlivá metoda není natolik vyčerpávající, aby zvládla všechny složité modely konkrétního systému

Úvod

Přehled metod analýzy spolehlivosti

• V současné praxi se můžeme setkat zejména s následujícími metodami– metoda blokových diagramů bezporuchovosti (RBD)– metoda výpočtu bezporuchovosti z dílů (PC)– metoda stromu poruchových stavů (FTA), resp. stromu událostí (ETA)– Markovova analýza (MA)– analýza způsobů a důsledků poruch (FMEA)– analýza způsob, důsledků a kritičnosti poruch (FMECA)– simulační metody

Základní metody analýzy bezporuchovosti

Rozdělení metod analýzy bezporuchovosti

• Metody analýz bezporuchovosti lze dělit z různých hledisek

• Pro potřeby školení jsou rozděleny na:

– metody kvantitativní analýzy bezporuchovosti (počítání z dílů, pravdivostní tabulka, blokový diagram bezporuchovosti, strom poruchových stavů, strom událostí, Markovova analýza)

– metody kvalitativní a semikvantitativní analýzy bezporuchovosti (analýza způsobů a důsledků poruch FMEA a kritičnosti poruch FMECA, studie nebezpečí a provozuschopnosti HAZOP, analýza spolehlivosti lidského faktoru)

z ... metoda je způsobilá nz ... metoda není způsobilá nebo vhodná

Charakteristiky nejpoužívanějších metod

• Předpověď bezporuchovosti výpočtem z dílů – PC (Path County) je induktivní metoda vhodná k odhadu přibližné intenzity poruch systému pro předpoklad, že jeho poruchu způsobí porucha libovolné komponenty.

• Poskytuje předpověď bezporuchovosti systému na přijatelné úrovni přesnosti.

• Metoda se využívá většinou během časných etap návrhu, zejména pro elektronická zařízení a systémy s nízkou úrovní zálohování.

• Pro výpočet se systém rozdělí na jednotlivé základní komponenty.• Matematicky ze vzorců uvedených například v Military Handbooku 217-F se

zjistí intenzita poruch každé komponenty (pro elektronické komponenty).• Ze zjištěných intenzit poruch všech komponent se zjistí intenzita poruch

celého systému.

Popis metody

Předpověď bezporuchovosti výpočtem z dílů

Výhody, nevýhody metody

• Výhody metody– Možnost odhadnout parametry bezporuchovosti již v době návrhu.– Metoda dává nejlepší odhad parametrů bezporuchovosti v případě, že

neexistují žádná data z praxe.• Nevýhody metody

– Výsledek odhadu je velmi konzervativní. Na druhou stranu dává nejlepší odhad tam, kde neexistují žádná data z provozu.

– Tam, kde nejsou data z provozu či databází je pro zjištění kvalifikovaného výsledku potřeba tým lidí (konstruktéra, technolog, ...) schopných kvalifikovaně odhadnout frekvenci poruch komponent (u strojních komponent nebo větších funkčních celků).

– Tam, kde jsou k dispozici databáze s generickými hodnotami bezporuchovosti komponent, lze provést odhad bezporuchovosti systému poměrně jednoduše.

Výpočet intenzity poruch

• Výpočet intenzity poruch komponenty se provádí pronásobením základní intenzity poruch jednotlivými parametry. Jednotlivé parametry jsou například vliv prostředí na komponentu, vliv kvality, vliv zatížení, vliv výkonové hodnoty součástky apod. Mezi nejčastěji používané parametry patří: p - získaná intenzita poruchb - základní intenzita poruch z Military HandbookQ - faktor kvalityE - faktor prostředíT - faktor teplotyA - faktor aplikaceC - faktor konstrukceR - faktor výkonu - u polovodičových součástek dle hodnoty výkonuR - faktor odporu - u odporových součástek dle hodnoty odporuS - faktor zatížení (podíl skutečného a dovoleného parametru) CV - faktor kapacity

- příklad pro elektronický systém

Ukázka z Military Handbook

Příklad výpočtu bezporuchovosti výpočtem z dílů- odhadněte intenzitu poruch následujícího sériově zapojeného systému:

• Pravděpodobnost bezporuchového provozu se vypočítá pro sériový systém z intenzity poruch: R(t)=e-t

• Pro malé t lze využít aproximativní vzorec R(t)=1-t. Aproximativní vzorec je vhodný pro t<0,1.

• Z hlediska bezporuchovosti je nejméně bezporuchová baterie s výsledkem 10-4h-1 zatímco ostatní komponenty mají intenzitu poruch 0,107.10-6h-1.

Príklad výpočtu R(t) zařízení z

t [h]

R(t)

přesně R(t) aproximativně R(t)

baterie ostatní komponenty systém systém

1000 0,9048 0,9999 0,9047 0,8999

2000 0,8187 0,9998 0,8185 0,7998

5000 0,6065 0,9995 0,6061 0,4995

8000 0,4493 0,9991 0,4484 0,1991

Příklad výpočtu bezporuchovosti výpočtem z dílů

• Pravdivostní tabulku využíváme, pokud je potřeba zjistit logickou vazbu poruch mezi komponentami.

• Pokud má systém n komponent zkoumáme 2n možných kombinací vzniků poruch na jednotlivých komponentách a jejich vliv na systém.

• Poruchu označujeme 1, bezporuchový stav 0.

• Výhody metody:

– Jednoduchá, vždy použitelná, názorná, lehce interpretovatelná

• Nevýhody metody

– S rostoucím počtem komponent výrazně roste počet řešených kombinací.

• Při řešení úlohy se nejdříve nakreslí logické schéma, potom se zjistí zálohování mezi bloky a nakonec se úloha řeší pomocí pravdivostní tabulky.

Úvod

Analýza metodou pravdivostní tabulky

Sériový systém - analýza pravdivostní tabulkou

• Systém je bez zálohy.

• Nejporuchovější zapojení.

• Poruchu označíme 1, bez poruchy 0.

• Systém bude bez poruchy jenom pokud budou bez poruchy všechny komponenty.

Pravdivostní tabulka

Komp. A Komp. B Komp.C Systém Log. výraz

0 0 0 0  

0 0 1 1  

0 1 0 1  

0 1 1 1  

1 0 0 1  

1 0 1 1

1 1 0 1  

1 1 1 1  

CBA CBA CBA CBA

CBA CBA CBA

CBA

• Systém je v poruše tehdy, pokud jakákoliv komponenta bude v poruše.

• Systém je funkční, pokud všechny komponenty jsou funkční.

• Výraz z pravdivostní tabulky pro bezporuchový stav systému převedeme na výraz pro pravděpodobnost:

• Bezporuchovost, pohotovost systému se vypočte:

• V případě, že pohotovost každé komponenty je A=0,9, potom pohotovost celého systému je As=A3=0,729.

)()()()( CPBPAPSP

)()()()( tRtRtRtR CBAS )()()()( tAtAtAtA CBAS

Sériový systém - analýza pravdivostní tabulkou

Sériový systém - odvození ostatních vztahů

• Systém 3 sériově zapojených komponent bude v poruchovém stavu, pokud jedna z jeho komponent bude v poruchovém stavu. Proto se celková pravděpodobnost bezporuchového provozu (asymptotická pohotovost) vypočte jako:RS=R1R2R3 AS=A1A2A3

• Tento vzorec lze zobecnit pro jakýkoliv sériový systém, že je dán součinem jednotlivých R(t), A(t).

• Lze odvodit i jednoduchý vztah pro intenzitu poruch systému.

• Celková intenzita poruch sériového systému je dána součtem jednotlivých intenzit komponent sériového systému.

• Celková pravděpodobnost bezporuchového provozu sériového systému je dána součinem jednotlivých dílčích pravděpodobností bezporuchového provozu komponent sériového systému.

• Celková asymptotická pohotovost sériového systému je dána součinem dílčích asymptotických pohotovostí komponent sériového systému.

tttt

S eeeeRRRR )(321

321321

321)(

)(321

321

321)(

)(

)(

)(

t

t

S e

e

tRdttdR

th

Paralelní systém - analýza pravdivostní tabulkou

• Systém je zálohován. • Nejméně poruchové

zapojení.• Poruchu označíme 1,

bez poruchy 0.• Systém bude v poruše,

jestliže budou v poruše všechny komponenty.

Pravdivostní tabulka

Komp. A Komp. B Komp.C Systém log. výraz

0 0 0 0  

0 0 1 0  

0 1 0 0  

0 1 1 0  

1 0 0 0  

1 0 1 0

1 1 0 0  

1 1 1 1  

CBA CBA CBA CBA

CBA CBA CBA

CBA

Paralelní systém - analýza pravdivostní tabulkou

• Systém je v poruše tehdy, pokud všechny komponenty budou v poruše.

• Systém je funkční, pokud alespoň jedna komponenta je funkční.

• Výraz z pravdivostní tabulky pro bezporuchový stav systému převedeme na výraz pro pravděpodobnost:

• Bezporuchovost, pohotovost systému se vypočte:

• V případě, že pohotovost každého bloku je A=0,9, potom nepohotovost každého bloku je U=0,1. Pohotovost celého systému je:

))(1())(1())(1(1)( tRtRtRtR CBAS

)()()(1)( CPBPAPSP

))(1())(1())(1(1)( tAtAtAtA CBAS

999,0001,01

)9,01()9,01()9,01(1))(1())(1())(1(1)(

tAtAtAtA CBAS

Paralelní systém - odvození ostatních vztahů• Systém se třemi paralelními komponentami bude v poruše tehdy, pokud všechny

komponenty budou mít poruchu.• Pravděpodobnost, že komponenta 1 bude mít poruchu je F1(t), obdobně pro

komponentu 2 je F2(t) a pro komponentu 3 je F3(t).• Pravděpodobnost, že tři komponenty budou mít poruchu je FS=F1F2F3

• Obdobně můžeme vzorec upravit pro systém složený tvořený n komponentami• Pravděpodobnost bezporuchového provozu R(t)=1-F(t)• Pro výpočet n komponent:

• Pohotovost systému lze stanovit podle vzorce:

• Pro systém se shodnou intenzitou poruch komponent se vypočte intenzita poruch systému:

• Protože výpočet intenzity poruch systému je značně složitý, počítá se zpravidla z hodnoty RS (t).

n

iiS tRtR

1

))(1(1)(

)1)(1)(1( 321

321ttt

S eeeFFFF

n

ii

n

iiS tUtAtA

11

))(1))(1(1)(

nt

tnt

nt

tnt

nt

nt

S e

een

e

een

edte

tRdttdR

th)1(1

)1(

)1(1

)1(

)1(1

)1(1

)(

)(

)(11

Sérioparalelní systém - analýza pravdivostní tabulkou

• Smíšený systém lze rozdělit na jednotlivé sériové a paralelní subsystémy. • Každý subsystém lze dále rozkládat až na elementární komponenty, kde lze

určit intenzitu poruch.• Na obrázku je sérioparalelní systém• Komponenty A a B jsou zálohovány.• Komponenty C a D nejsou zálohovány.• Vyhledáme všechny kombinace poruch v systému.• Sestaví se pravdivostní tabulka. • Systém bude bez poruchy, pouze pokud budou všechny komponenty bez

poruchy, respektive komponenty A, C, D budou bez poruchy, nebo komponenty B, C, D budou bez poruchy

Sérioparalelní systém - analýza pravdivostní tabulkou

Pravdivostní tabulka

Komp A. Komp. B Komp. C Komp.D Systém Logický výraz 

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1  

0 0 1 1 1  

0 1 0 0 0  

0 1 0 1 1  

0 1 1 0 1  

0 1 1 1 1  

1 0 0 0 0  

1 0 0 1 1  

1 0 1 0 1  

1 0 1 1 1  

1 1 0 0 1  

1 1 0 1 1  

1 1 1 0 1  

1 1 1 1 1   DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

Sérioparalelní systém - analýza pravdivostní tabulkou

• Systém bude bez poruchy jen tehdy pokud všechny komponenty budou bez poruchy nebo pokud bude v poruše komponenta A nebo komponenta B.

• Celková pravděpodobnost bezporuchového provozu systému lze stanovit ze vztahu

RAB=1-(1-RA)(1-RB)

R=RABRCRD

• Celková asymptotická pohotovost systému se obdobně stanoví jako:

AAB=1-(1-AA)(1-AB)

A=AABACAD

)()()()()()()()()()()()()( DPCPBPAPDPCPBPAPDPCPBPAPSP

Systém s výběrem 2 ze 3 - analýza pravdivostní tabulkou

• Řešíme úlohu zálohování komponent v systému 2 ze 3.

• Systém je v bezporuchovém stavu, jestliže 2 ze 3 komponent pracují bez poruchy.

• Vytvoříme pravdivostní tabulku, která reprezentuje všechny možné kombinace stavů.

• Pro každou kombinaci se zapíše odpovídající stav systému.

• Označíme 0-bezporuchový stav 1-poruchový stav

V analýze se předpokládá, že vyhodnocovací člen je bezporuchový.

Systém s výběrem 2 ze 3 - analýza pravdivostní tabulkou

Kombinace Komp. A Komp. B Komp. C Systém Logický výraz

(1) 0 0 0 0

(2) 0 0 1 0

(3) 0 1 0 0

(4) 0 1 1 1

(5) 1 0 0 0

(6) 1 0 1 1

(7) 1 1 0 1

(8) 1 1 1 1

AA

CBA

CBA

CBA CBA

CBA

CBA

CBA

CBA

Systém s výběrem 2 ze 3 - odvození ostatních vztahů• Výraz z pravdivostní tabulky upravíme:

• Pokud známe pravděpodobnost bezporuchového provozu nebo pohotovost komponent A, B, C v čase t, můžeme vypočítat Rs(t), As(t)

• V případě, že pohotovost každé komponenty je A=0,9, potom pohotovost systému je A=3.0,9.0,9-2.0,9.0,9.0,9=0,972

• Obecný vzorec při n shodných prvcích pro pravděpodobnost bezporuchového provozu systému k z n prvků je:

• Obecný vzorec při n shodných prvcích pro pohotovost systému k z n prvků je:

• Pokud jednotlivé komponenty nejsou shodné je nutné pro výpočet RS(t) a AS(t) aplikovat numerickou matematiku (matematické modelování).

)C(P)B(P)A(P2)C(P)A(P)C(P)B(P)B(P)A(P

)C(P)B(P)A(P)C()B(P)A(P)C(P)B(P)A(P)C(P)B(P)A(P)S(P

)()()(2)()()()()()()( tRtRtRtRtRtRtRtRtRtR CBACACBBAS )()()(2)()()()()()()( tAtAtAtAtAtAtAtAtAtA CBACACBBAS

n

mk

knttkS ee

knk

ntR 1

)!(!

!)(

n

mk

knkS tAtA

knk

ntA )(1)(

)!(!

!)(

Shrnutí

• Výhody metody– Metoda pravdivostní tabulky lze použít pro každý systém.– Metoda je jednoduchá a intuitivní.– Metoda může být rozšířena na metodu blokových diagramů.

• Nevýhody metody– Se vzrůstajícím počtem komponent se výrazně zvyšuje počet stavů.

Tento nedostatek se odstraňuje rozdělením systému na části.• Pokud známe rozdělení bezporuchovosti nebo pohotovosti jednotlivých

komponent Ra(t) (např. Ra=e-t) může se vypočítat pravděpodobnost bezporuchového provozu pro celý systém dynamicky v čase.

• Za každou komponentu se zadává místo hodnoty její funkce.• Ve složitějších úlohách možno řešit numericky.• Pro větší systémy se využívají sofistikovanější metody např. blokových

diagramů bezporuchovosti nebo strom poruchových stavů.

• je základem pro blokové diagramy bezporuchovosti

• grafický model systému, kde jednotlivé prvky systému Ei jsou znázorněny obdélníky (bloky) a logické vazby mezi jednotlivými prvky jsou znázorněny hranami, které mohou být orientované nebo neorientované

• označena vstupní brána (->Input) a výstupní brána(Output->). Prvky mezi nimi jsou uspořádány a propojeny tak, aby reprezentovaly všechny „úspěšné cesty“ systému

E2

E7E1 E4

E6E5

E3

E4

E3

E5

E1 E2

I O

Příklady logického blokového diagramu

Logický blokový diagram (LBD)

Analýza pomocí blokového diagramu bezporuchovosti

Logický blokový diagram (LBD)

• je možné definovat kritické řezy a úspěšné cesty systému. Blokové diagramy pracují především s úspěšnými cestami. K objasnění tohoto pojmu využijeme jeho grafickou interpretaci.

E2

E7E4

E5

E3I O

• minimální úspěšnou cestu LBD lze určit tím, že od vstupní brány směrem k výstupní bráně blokového diagramu vedeme čáru podél hran diagramu. Každá množina prvků, kterými taková čára prochází, představuje minimální úspěšnou cestu systému

• vazby mezi prvky jak sériové, tak paralelní, resp. výběrové

• složitější metody řešení takových systémů pomocí RBD

– metoda dekompozice systému

– inspekční metoda

• převod logického výrazu do disjunktního tvaru

• přímé vyjádření pravděpodobnosti jevu

Obecné systémy a jejich řešení RBD

Metoda dekompozice systému• jednotlivé části systému, které jsou tvořeny čistě paralelní či sériovou strukturou

postupně nahrazujeme fiktivními prvky, u nichž stanovíme pravděpodobnost bezporuchového stavu

• tato metoda může být použita pouze pro systémy, kde jsou poruchy jednotlivých prvků nezávislé

• zpětným dosazením dílčích výrazů potom obdržíme výsledný vztah pro pravděpodobnost bezporuchového stavu systému a dosazením číselných hodnot pravděpodobností prvků také obdržíme výslednou pravděpodobnost pro systém

• Způsob řešení sériového, paralelního, smíšeného a výběrového zapojení struktury je shodný s metodou pravděpodobnostní tabulky.

• Jejich řešení bylo vysvětleno při prezentaci metody pravděpodobností tabulky.

13

4

7 11

9

5

108

6

2

I

IIII O

II

)1()1(1 32 RRRI )1()1()1(1 765 RRRRII

1098 RRRRIII

1 I 4 II 11

A

III

I O

IIIA RRRR 4

1 A 11

B

III

I O

)1()1(1 IIIAB RRR

1 B 11I O

111 RRRR BS

Postup dekompozice systému

Postup řešení byl vysvětlen při prezentaci metody pravděpodobností tabulky.

Inspekční metoda

• stav systému vyjádříme jako logickou kombinaci jevů vyjadřujících stavy jednotlivých prvků a dále vyšetříme, s jakou pravděpodobností tato kombinace jevů může nastat

• zkoumáme logické vazby mezi stavem jednotlivých prvků a stavem systému

• předmětem zkoumání nemusí být pouze bezporuchový stav systému, stejně tak to může být i poruchový stav

2

4

1

3

I

II

I O

Příklad použití inspekční metody

1324

144 )(

AAAA

AAAAAA IIIS

Převod logického výrazu do disjunktního tvaru

• cílem je úprava logického výrazu do tvaru, který představuje sjednocení řady vzájemně disjunktních jevů, protože jsme schopni snadno vyjádřit pravděpodobnost takto popsaného jevu

• zvláštní význam pro tyto úpravy má vztah pro převod sjednocení dvou nedisjunktních jevů na disjunktní tvar

BAABA • je výhodné na začátku řešení uspořádat logický výraz vyjadřující stav systému

tak, aby v něm byly sjednocované jevy uspořádány zleva doprava podle složitosti, to znamená tak, aby první člen ve výrazu vyjadřoval průnik nejmenšího počtu jevů a poslední člen průnik nejvyššího počtu jevů

Přímé vyjádření pravděpodobnosti jevu• založen na znalosti vztahu pro výpočet pravděpodobnosti sjednocení dvou

nedisjunktních jevů A a B )()()()( BPAPAPBAAPBAP

• přímo vyjádříme pravděpodobnost zkoumaného stavu objektu jako pravděpodobnost nastoupení jevu popsaného příslušným logickým výrazem

• výraz upravíme tak, aby představoval prosté sjednocení dvou jevů

Přímé vyjádření pravděpodobnosti jevu - pokrač.

• vyjádříme pravděpodobnost tohoto sjednocení jevů jako součet pravděpodobností těchto jevů zmenšený o pravděpodobnost jejich průniku

• opakujeme, dokud pravděpodobnost logického výrazu není vyjádřena jako prostý součet pravděpodobností průniků jevů

• i v případě vzájemně závislých poruch prvků

– je třeba aplikovat pravidla pro práci s podmíněnou pravděpodobností

• v modelu systému se objevuje jeden a tentýž prvek opakovaně

– opakující se prvek je v modelu systému na všech místech výskytu vždy označován stejně

• můžeme uvažovat závislost pravděpodobností jednotlivých stavů na době provozu

• nevýhodou inspekční metody je skutečnost, že u složitějších systémů s vysokým počtem prvků její použití vede ke komplikovaným a zdlouhavým matematickým úpravám výpočtových vztahů. Proto je vždy, když je to možné, výhodnější použít metodu dekompozice, pokud tomu nebrání její omezení

Možnosti použití inspekční metody

Příklad

• Vypočtěte pravděpodobnost bezporuchového provozu R(t) v čase 100 000h v následujícího zapojení.

• Intenzita prvku A je rovna 10-6 h-1, prvku B 2.10-6 h-1, prvku C 3. 10-6 h-1, prvku D 4.10-6 h-1

S pravděpodobností 98,63% nedojde do času 100 000h k poruše zařízení.

• RA(100000)=e-t=e-0,1=0,9048

• RB(100000)=e-t=e-0,2=0,8187

• RC(100000)=e-t=e-0,3=0,7408

• RD(100000)=e-t=e-0,4=0,6703

• RAB(100000)=RARB=0,7399

• RCIII(100000)=1-(1-RC)3=0,9826

• RDIII(100000)=1-(1-RD)3=0,9641

• RABCD(100000)=

=(1-(1-RAB)2). RCIII .RDIII=0,8832

• RCELK(100000)=

=1-(1-RABCD)2=0,9863

PoděkováníTento text pro výuku byl vytvořen s podporou ESF

v rámci projektu: „Inovace a realizace bakalářského oboru Informatika a logistika

v souladu s požadavky průmyslu a veřejné správy“, číslo projektu CZ.04.1.03/3.2.15.3/0442.

Děkuji Vám za pozornost.