Obsah

1 Č́ıselné množiny a reálné funkce 51.1 Množina reálných č́ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Množina komplexńıch č́ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Reálné funkce jedné reálné proměnné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Definice a základńı vlastnosti reálné funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Elementárńı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Mocninné funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 Exponenciálńı a logaritmická funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.3 Goniometrické a cyklometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.4 Hyperbolické a hyperbolometrické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Spojitost a limita funkce 292.1 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.1 Definice spojitosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2 Operace se spojitými funkcemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.3 Vlastnosti funkćı spojitých na intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.4 Metoda bisekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Posloupnosti reálných č́ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.1 Základńı terminologie a symbolika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2 Limita posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.2.3 Vlastnosti limity posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.1 Limita funkce v bodě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.2 Vlastnosti limity funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Diferenciálńı počet funkćı jedné proměnné 473.1 Derivace funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Definice derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.2 Vlastnosti derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.1.3 Derivace elementárńıch funkćı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.4 Derivace vyšš́ıho řádu; diferenciál funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.5 Věty o středńı hodnotě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.1.6 L’Hospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.1.7 Taylor̊uv polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.8 Derivace funkćı zadaných parametricky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2 Vyšetřováńı pr̊uběhu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.1 Monotónnost funkce a derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2.2 Lokálńı a globálńı extrémy funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2.3 Konvexnost a konkávnost funkce, inflexńı body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.4 Asymptoty grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.2.5 Vyšetřováńı pr̊uběhu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3

4 OBSAH

4 Neurčitý integrál 794.1 Primitivńı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.2 Základńı vzorce pro integraci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.3 Metoda integrace per partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4 Substitučńı metoda integrováńı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.5 Integrace racionálńıch funkćı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.6 Převedeńı integrandu na racionálńı funkci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5 Riemann̊uv určitý integrál 1095.1 Zavedeńı Riemannova integrálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 Newtonova-Leibnizova formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.3 Integrováńı metodou per partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.4 Integrováńı substitučńı metodou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205.5 Integrál sudé, liché nebo periodické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.6 Použit́ı Riemannova integrálu v geometrii a ve fyzice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6 Nevlastńı Riemann̊uv integrál 1276.1 Integrál nevlastńı vlivem integrandu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.2 Integrály nevlastńı vlivem meźı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7 Diferenciálńı rovnice 1357.1 Diferenciálńı rovnice 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.2 Lineárńı diferenciálńı rovnice 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

7.2.1 Homogenńı lineárńı diferenciálńı rovnice 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.2.2 Nehomogenńı lineárńı diferenciálńı rovnice 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

7.3 Lineárńı diferenciálńı rovnice n–tého řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497.3.1 Homogenńı lineárńı diferenciálńı rovnice n–tého řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507.3.2 Nehomogenńı lineárńı diferenciálńı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.4 Soustava lineárńıch diferenciálńıch rovnic 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.4.1 Homogenńı soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597.4.2 Nehomogenńı soustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

8 Řady 1678.1 Č́ıselná řada a jej́ı vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.2 Řady s nezápornými členy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1698.3 Řady s libovolnými členy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

9 Rejstř́ık 175

Kapitola 1

Č́ıselné množiny a reálné funkce

1.1 Množina reálných č́ısel

Kĺıčová slova: Racionálńı, iracionálńı, přirozené, celé, reálné č́ıslo; absolutńı hodnota č́ısla; supremum,infimum, maximum, minimum množiny; interval; plus a mı́nus nekonečno; rozš́ı̌rená reálná osa; neomezenýinterval; okoĺı bodu; levé a pravé okoĺı bodu; prstencové okoĺı bodu; levé a pravé prstencové okoĺı bodu;vnitřńı, vněǰśı, hraničńı, hromadný, izolovaný bod množiny; otevřená, uzavřená, omezená, kompaktńımnožina; vnitřek a hranice množiny

Racionálńı a iracionálńı č́ıslaPřipomeňme několik pojmů a označeńı, týkaj́ıćıch se reálných č́ısel, jak jsme se s nimi seznámili na středńıškole.Množinu reálných č́ısel tvoř́ı č́ısla racionálńı a iracionálńı.Racionálńım č́ıslem nazýváme každé reálné č́ıslo, které lze napsat ve tvaru zlomku pq , kde p a q jsou č́ıslacelá nesoudělná a q 6= 0. Mezi racionálńı č́ısla poč́ıtáme celá č́ısla, nebot’ se daj́ı napsat jako zlomek sejmenovatelem 1. Mezi č́ısla celá patř́ı přirozená č́ısla, tj. č́ısla 1, 2, 3, 4, . . . .Iracionálńım č́ıslem nazýváme každé reálné č́ıslo, které neńı racionálńı. Iracionálńı č́ıslo je určeno, je-lidán nějaký postup, podle něhož je můžeme umı́stit mezi dvě racionálńı č́ısla libovolně málo od sebeodlǐsná.Pro označeńı uvedených č́ıselných množin použ́ıváme následuj́ıćı označeńı: R znač́ı množinu reálnýchč́ısel, Z znač́ı množinu celých č́ısel, N znač́ı množinu přirozených č́ısel.Absolutńı hodnota reálného č́ısla je definována předpisem

|a| ={

a pro a ≥ 0 ;−a pro a < 0 . (1.1)

Pro každá dvě č́ısla a, b ∈ R nazýváme nezáporné č́ıslo |a− b| (euklidovskou1) vzdálenost́ı č́ısel a, b.Př́ıklady

1. Máme naj́ıt všechna celá č́ısla vyhovuj́ıćı nerovnosti −3 < 2x+ 5 < 7 .Řešeńı: Odečteme-li od všech člen̊u nerovnosti č́ıslo 5 a vyděĺıme č́ıslem 2, dostaneme ekvivalentńıpodmı́nku −4 < x < 1. J́ı vyhovuj́ı celá č́ısla −3, −2, −1, 0.2. Máme vyjádřit racionálńı č́ıslo 1, 3 ve tvaru zlomku.Řešeńı: Č́ıslo 1, 3 můžeme zapsat jako nekonečný součet 1, 3 = 1+3 ·10−1 +3 ·10−2 + · · ·+3 ·10−n+ · · · .Součet na pravé straně je – až na prvńı sč́ıtanec – geometrická řada s kvocientem q = 10−1, takže3·10−1+3·10−2+· · ·+3·10−n+· · · = 3·10−1/(1−10−1) = (3/10)·(10/9) = 1/3. Je tedy 1, 3 = 1+1/3 = 4/3.3. Máme dokázat, že pro každé prvoč́ıslo r > 1 je

√r iracionálńı č́ıslo.

Řešeńı: Předpokládejme, že č́ıslo√r je racionálńı, tj., že existuj́ı celá č́ısla p, q taková, že

√r = p/q a

že č́ısla p, q nemaj́ı žádného společného dělitele. Odtud speciálně plyne, že nemohou být obě č́ısla p, q

1Euklides z Alexandrie (365?-300? př. Kr.), jeden z nejvlivněǰśıch matematik̊u všech dob, autor třinácti knih Základ̊u(Stoicheia), pravděpodobně hned po bibli nejčastěji tǐstěné a studované knihy v dějinách západńıho světa; položil v nichzáklady geometrie, jak se uč́ı i dnes na základńıch a středńıch školách

5

6 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE

dělitelná č́ıslem r. Umocńıme obě strany rovnosti√r = p/q a dostaneme rovnost r = p2/q2, nebo po

úpravě rq2 = p2. Z této rovnosti plyne, že č́ıslo p2, a tedy i č́ıslo p muśı být dělitelné č́ıslem r. Pak ovšemp2 je dělitelné č́ıslem r2, a tedy i č́ıslo q2 muśı být dělitelné č́ıslem r. To však znamená, že jak č́ıslo p,tak i č́ıslo q je dělitelné č́ıslem r, což je spor s předpokladem nesoudělnosti č́ısel p, q. Tedy předpoklad,že č́ıslo

√r je racionálńı neplat́ı, takže č́ıslo

√r muśı být iracionálńı.

Úlohy

1. Která z č́ısel −7, 3/4, 5.2, log2 8, 31/2, 15, 0, π, 2√

4 jsou a) přirozená; b) celá; c) racionálńı; d)iracionálńı.

[ a) log2 8, 15, 2√

4; b) −7, log2 8, 15, 0, 2√

4; c) −7, 3/4, 5.2, log2 8, 15, 0, 2√

4; d) 31/2, π.]

2. Určete všechna celá č́ısla vyhovuj́ıćı nerovnosti −2 < x+ 2 < 6 . [−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.]3. Vyjádřete racionálńı č́ıslo 0, 76 ve tvaru zlomku. [23/30.]

4. Pro která č́ısla x, y ∈ R plat́ı nerovnost x− y < x+ y? [x ∈ R, y > 0.]5. Pro která č́ısla b ∈ R plat́ı nerovnost b > 1− 2b? [b > 1/3.]6. Pro která č́ısla x, y ∈ R plat́ı nerovnost xy < x/y?

[Je-li xy > 0, pak pro |y| < 1, je-li xy < 0, pak pro |y| > 1.]7. Necht’ a, b jsou iracionálńı č́ısla. Je možné, aby č́ıslo a+ b nebo a− b bylo racionálńı? Jestli ano, udejtepř́ıklad. [Ano, např. pro a = π, b = 1− π je a+ b = 1, pro a = π, b = π − 1 je a− b = 1.]8. Ukažte, že č́ıslo

√3 neńı racionálńı.

9. Máme naj́ıt chybu v následuj́ıćı úvaze.Necht’ x, y jsou nenulová reálná č́ısla taková, že x = y . Pak x2 = xy , a tedy také x2−y2 = xy−y2 , neboli(x − y)(x + y) = y(x − y) . Obě strany rovnosti vyděĺıme č́ıslem x − y a dostaneme rovnost x + y = y .Jelikož je x = y, dostáváme 2y = y a odtud po zkráceńı 2 = 1 . [Dělili jsme x− y, tedy nulou.]Supremum a infimum množinyNecht’ M je libovolná neprázdná podmnožina množiny R. Horńı meźı množiny M nazýváme každé č́ısloh takové, že pro každé x ∈M plat́ı x ≤ h. Má-li množina M horńı mez, ř́ıkáme, že množina M je shoraomezená. Dolńı meźı množiny M nazýváme každé č́ıslo d takové, že pro každé x ∈M plat́ı x ≥ d. Má-limnožina M dolńı mez, ř́ıkáme, že množina M je zdola omezená. Řı́káme, že množina M je omezená právětehdy, když je zdola i shora omezená.Nejmenš́ı horńı mez množiny M nazýváme supremem množiny M a znač́ıme ji supM . Patř́ı-li supMdo množiny M , nazývá se maximum množiny M a znač́ı se maxM . Největš́ı dolńı mez množiny Mnazýváme infimem množiny M a znač́ıme ji inf M . Patř́ı-li infimum do množiny M , nazývá se minimummnožiny M a znač́ı se minM .

Věta o supremu a infimu

Pro každou shora omezenou neprázdnou množinu M ⊂ R existuje právě jednou č́ıslo S = supM ∈ R.Pro každou zdola omezenou neprázdnou množinu M ⊂ R existuje právě jednou č́ıslo s = inf M ∈ R.Poznámka. Uvědomte si, že supremum shora omezené neprázdné množiny nemuśı existovat v množiněracionálńıch č́ısel. Např́ıklad množina M všech racionálńıch č́ısel q, pro která je q2 < 2, nemá v množiněracionálńıch č́ısel supremum, protože podle př́ıkladu 1.1.3 neńı

√2 racionálńı. Právě existence suprema

shora omezené neprázdné množiny je z hlediska matematické nejd̊uležitěǰśı rozd́ıl mezi množinami ra-cionálńıch a reálných č́ısel.

Př́ıklady

1. Máme naj́ıt supremum, infimum, maximum a minimum množiny M = {x ∈ R | x = 1/n , n ∈ N}.Řešeńı: Množina M je omezená zdola č́ıslem 0 a shora č́ıslem 1.Zřejmě každý prvek množiny M je větš́ı než nula, a tedy nula je dolńı meźı množiny M . Ukážeme, že jenejvětš́ı dolńı meźı. Zvolme jakékoli č́ıslo ε > 0. Pak určitě existuje přirozené č́ıslo n takové, že 1/n < ε.Skutečně, stač́ı volit n > 1/ε. Je tedy č́ıslo 0 infimem množiny M . Jelikož toto č́ıslo nepatř́ı do množinyM , neńı jej́ım minimem. Množina M minimum nemá.Jednodušš́ı problém je hledáńı suprema množiny M . Jelikož žádný prvek množiny M neńı větš́ı než jednaa č́ıslo 1 je prvkem množiny M , je toto č́ıslo maximem množiny M , a tedy i jej́ım supremem.

2. Máme naj́ıt supremum, infimum, maximum a minimum množiny M = {x ∈ R | −2 < x ≤ 3} .

1.1. MNOŽINA REÁLNÝCH ČÍSEL 7

Řešeńı: Množina M je zdola omezená č́ıslem −2 a shora č́ıslem 3. Odtud plyne, že č́ıslo −2 je jedna zjeho dolńıch meźı a č́ıslo 3 je jedna z jeho horńıch meźı. Jelikož č́ıslo 3 patř́ı do množiny M , je supM =maxM = 3. Analogicky, žádné č́ıslo a > −2 nemůže být dolńı meźı množiny M , takže inf M = −2.Minimum množiny M neexistuje.

Intervaly v RNecht’ a, b ∈ R, a ≤ b. Pak definujeme omezené intervaly v R takto.Uzavřeným intervalem 〈a, b〉 nazýváme množinu všech reálných č́ısel x, pro která plat́ı a ≤ x ≤ b.Otevřeným intervalem (a, b) nazýváme množinu všech reálných č́ısel x, pro která plat́ı a < x < b.Polootevřeným či polouzavřeným intervalem 〈a, b), resp. (a, b〉 nazýváme množinu všech reálných č́ısel x,pro která plat́ı a ≤ x < b, resp. a < x ≤ b.Na obr. 1.1 jsou naznačeny tři omezené intervaly, a to otevřený interval (a, b), uzavřený interval 〈c, d〉 azleva polootevřený interval (e, f〉.

R

a b c d e f

Obrázek 1.1: Omezené intervaly na reálné ose R

Př́ıklady

1. Máme zapsat interval 〈−3, 5〉 pomoćı nerovnost́ı a absolutńı hodnoty.Řešeńı: Interval má délku 8, jeho středem je bod 1. Patř́ı tedy do intervalu 〈−3, 5〉 všechna reálná č́ısla,jejichž vzdálenost od jedničky je menš́ı nebo rovna 4. Je tedy 〈−3, 5〉 = {x ∈ R | |x− 1| ≤ 4} .2. Máme zapsat doplněk intervalu 〈−3, 5〉 pomoćı nerovnost́ı a absolutńı hodnoty.Řešeńı: Podle předchoźıho př́ıkladu patř́ı do této množiny všechna reálná č́ısla, jejichž vzdálenost odjedničky je větš́ı než 4. Je tedy R \ 〈−3, 5〉 = {x ∈ R | |x− 1| > 4} .ÚlohyZapǐste interval 〈3, 9〉 a jeho doplněk v R pomoćı nerovnost́ı a absolutńı hodnoty.

[〈3, 9〉 = {x ∈ R | |x− 6| ≤ 3} , R \ 〈3, 9〉 = {x ∈ R | |x− 6| > 3}.]Rozš́ı̌rená reálná osaV celé řadě úvah nevystač́ıme s reálnými č́ısly z množiny R. Ukazuje se jako užitečné uvažovat kromě č́ıselz R ještě dvě daľśı č́ısla, +∞, −∞, která budeme nazývat plus nekonečno a mı́nus nekonečno. MnožinuR∗ = R ∪ {−∞,+∞} budeme nazývat rozš́ıřenou reálnou osou. V této množině zavedeme uspořádáńı

−∞ < a < +∞ pro všechna a ∈ R , −∞ < +∞ . (1.2)

Pro jejich absolutńı hodnoty plat́ı

| −∞| = |+∞| = +∞ ≡∞ . (1.3)

Dále rozš́ı̌ŕıme definice aritmetických operaćı v R na operace v R∗ takto:

a±∞ = ±∞ pro všechna a ∈ R .+∞+∞ = +∞−∞−∞ = −∞a · (+∞) =

{ +∞ pro všechna a ∈ R∗ , a > 0 ,−∞ pro všechna a ∈ R∗ , a < 0 .

a · (−∞) ={ −∞ pro všechna a ∈ R∗ , a > 0 ,

+∞ pro všechna a ∈ R∗ , a < 0 .a

±∞ = 0 pro všechna a ∈ R ,a

0=

{ −∞ pro všechna a ∈ R∗ , a < 0 ,+∞ pro všechna a ∈ R∗ , a > 0 .

8 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE

Nedefinováno je ∞−∞ , 00,±∞±∞ , ±∞ · 0 . Nedefinovány jsou i mocniny 0

0 , 1±∞ , 0±∞ , (±∞)0 .Je užitečné si uvědomit, že operace děleńı nulou a nekonečnem v množině R∗ se poněkud lǐśı od operaćıděleńı dvou konečných nenulových č́ısel. Vı́me, že když vynásob́ıme rovnost

a

b= c pro a, b, c ∈ R , b 6= 0,

č́ıslem b, dostaneme pravdivou rovnost a = bc. Vynásob́ıme-li však rovnosta

±∞ = 0 nekonečnem neborovnost

a

0= ±∞ nulou, dostaneme na obou stranách nedefinované výrazy.

Intervaly v R∗ se definuj́ı analogicky jako jsme je definovali v R. Analogicky se definuj́ı rovněž pojmysupremum a infimum množiny v R∗. Můžeme definovat i neomezené intervaly v R

(−∞, b〉 = {x ∈ R | x ≤ b} , (−∞, b) = {x ∈ R | x < b} ,〈a,+∞) = {x ∈ R | a ≤ x} , (a,+∞) = {x ∈ R | a < x}

(1.4)

a v R∗〈−∞, b〉 = {x ∈ R∗ | x ≤ b} , 〈−∞, b) = {x ∈ R∗ | x < b} ,〈a,+∞〉 = {x ∈ R∗ | a ≤ x} , (a,+∞〉 = {x ∈ R∗ | a < x} .

(1.5)

Okoĺı bodu a prstencová okoĺı boduJe dán bod x0 ∈ R a č́ıslo ε > 0.Okoĺım bodu x0 s poloměrem ε, nebo také ε–okoĺım bodu x0 nazýváme množinu

U(x0, ε) = {x ∈ R | |x− x0| < ε} = (x0 − ε, x0 + ε) . (1.6)

MnožinuU+(x0, ε) = {x ∈ R | x0 ≤ x < x0 + ε} = 〈x0, x0 + ε) (1.7)

nazýváme pravým okoĺım bodu x0.Množinu

U−(x0, ε) = {x ∈ R | x0 − ε < x ≤ x0〉 = (x0 − ε, x0〉 (1.8)nazýváme levým okoĺım bodu x0. Na obr. 1.2 jsou znázorněna okoĺı U(x0, ε), U−(y0, ε), U+(z0, ε).

R

x0 − ε x0 x0 + ε y0 − ε y0 z0 z0 + ε

Obrázek 1.2: Okoĺı bodu na reálné ose R

Prstencovým okoĺım bodu x0 s poloměrem ε, nebo také prstencovým ε–okoĺım bodu x0 nazýváme množinu

P(x0, ε) = {x ∈ R | 0 < |x− x0| < ε} = (x0 − ε, x0) ∪ (x0, x0 + ε) . (1.9)

MnožinuP+(x0, ε) = {x ∈ R | x0 < x < x0 + ε} = (x0, x0 + ε) (1.10)

nazýváme pravým prstencovým okoĺım bodu x0.Množinu

P−(x0, ε) = {x ∈ R | x0 − ε < x < x0} = (x0 − ε, x0) (1.11)nazýváme levým prstencovým okoĺım bodu x0. Prstencová okoĺı bodu jsou znázorněna na obr. 1.3.

R

x0 − ε y0 − ε z0 z0 + εx0 y0x0 + ε

Obrázek 1.3: Prstencová okoĺı bodu na reálné ose R

1.1. MNOŽINA REÁLNÝCH ČÍSEL 9

1

0−1−2−3 1 2 3

y =1

x

x

y

ε

1

ε

Obrázek 1.4: K ilustraci významu prstencových okoĺı bodu

Okoĺı a prstencová okoĺı bodu +∞, −∞ definujeme jako množiny

U(∞, ε) ≡ P(∞, ε) = P−(∞, ε) = (1/ε,∞), (1.12)

U(−∞,−ε) ≡ P(−∞,−ε) = P+(−∞,−ε) = (−∞,−1/ε). (1.13)

Význam prstencových okoĺı uvid́ıme např. při vyšetřováńı funkce f(x) =1x

, jej́ıž graf je na obr. 1.4. Tatofunkce neńı definovaná v bodě x = 0, ale je definovaná v každém prstencovém okoĺı tohoto bodu. Je zřejmé,že pravé prstencové okoĺı P+(0, ε) = (0, ε) se zobrazuje na levé prstencové okoĺı P−(∞, ε) = (1/ε,∞).Tyto úvahy budou hrát d̊uležitou roli později při vyšetřováńı limity této funkce v bodě 0.

Př́ıklady

1. Máme zapsat pomoćı absolutńı hodnoty a nerovnosti okoĺı U(−3, 5) bodu −3 s poloměrem 5.Řešeńı: Hledané okoĺı je otevřený interval (−8, 2), takže U(−3, 5) = {x ∈ R | |x+ 3| < 5} .2. Máme zapsat pomoćı absolutńı hodnoty a nerovnost́ı prstencové okoĺı P(3, 7) bodu 3 s poloměrem 7.Řešeńı: Hledané okoĺı je otevřený interval (−4, 10) bez bodu 3, takže P(3, 7) = {x ∈ R | 0 < |x−3| < 7} .3. Máme zapsat jako interval pravé a levé prstencové okoĺı P+(0, 6) a P−(0, 6) bodu 0 s poloměrem 6.Řešeńı: Pravé, resp. levé prstencové okoĺı P+(0, 6), resp. P−(0, 6) je otevřený interval (0, 6), resp. (−6, 0).Úlohy

1. Zapǐste pomoćı absolutńı hodnoty a) U(2, 5) ; b) U(−1, 3) ; c) U(2, 4) .[a) |x− 2| < 5 ; b) |x+ 1| < 3 ; c) |x− 2| < 4 .]

2. Zapǐste pomoćı absolutńı hodnoty a) P(3, 2) ; b) P(−2, 3) ; c) P(5, 4) .[a) 0 < |x− 3| < 2 ; b) 0 < |x+ 2| < 3 ; c) 0 < |x− 5| < 4 .]

3. Zapǐste pomoćı nerovnost́ı a) U(3, 7) , b) U+(3, 7) , c) U−(3, 7).[a) −7 < x− 3 < 7 ; b) 0 ≤ x− 3 < 7 ; c) −7 < x− 3 ≤ 0 .]

4. Zapǐste pomoćı nerovnost́ı a) P(3, 7) , b) P+(3, 7) , c) P−(3, 7).[a) 0 < |x− 3| < 7 ; b) 0 < x− 3 < 7 ; c) −7 < x− 3 < 0 .]

Klasifikace bod̊u vzhledem k dané množiněPředpokládejme, že je dána množina M ⊂ R a bod x0 ∈ R. Ř́ıkáme, že bod x0 jevnitřńım bodem množiny M právě tehdy, když existuje takové okoĺı U(x0, ε) bodu x0, které celé lež́ıv množině M ;vněǰśım bodem množiny M právě tehdy, když existuje takové okoĺı U(x0, ε) bodu x0, které celé lež́ıv doplňku R \M ;hraničńım bodem množiny M právě tehdy, když každé okoĺı U(x0, ε) bodu x0 má neprázdný pr̊unik jaks množinou M , tak i s jej́ım doplňkem R \M ;hromadným bodem množiny M právě tehdy, když každé prstencové okoĺı P (x0, ε) bodu x0 má s množinouM neprázdný pr̊unik;izolovaným bodem množiny M právě tehdy, když x0 ∈M a existuje takové prstencové okoĺı P (x0, ε) bodux0, které neobsahuje žádný bod množiny M .

10 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE

R

a ed cb

Obrázek 1.5: Ilustrace ke klasifikaci bod̊u

Na obr. 1.5 je množina M sjednoceńım intervalu (a, b) a jednoprvkové množiny {c}, tj. M = (a, b)∪{c} .Př́ıkladem vnitřńıho bodu této množiny je např. bod d, ale také každý jiný bod otevřeného intervalu(a, b). Př́ıkladem vněǰśıho bodu je např. bod e. Hraničńımi body jsou body a, b, c, z nichž body a, b jsoui hromadnými body této množiny, zat́ımco bod c je jej́ım izolovaným bodem.

Klasifikace množin v RPředpokládejme, že je dána množina M ⊂ R. Ř́ıkáme, že množina M jeotevřená právě tehdy, když každý jej́ı bod je jej́ım vnitřńım bodem;uzavřená právě tehdy, když obsahuje všechny své hromadné body;omezená právě tehdy, když je obsažena v nějakém okoĺı počátku;kompaktńı právě tehdy, když je omezená a uzavřená.Vnitřkem množiny M nazýváme množinu všech jej́ıch vnitřńıch bod̊u.Hranićı množiny M nazýváme množinu všech jej́ıch hraničńıch bod̊u.Pro označeńı vnitřku množiny M se použ́ıvá obvykle symbol M◦.

1.2 Množina komplexńıch č́ısel

Kĺıčová slova: Imaginárńı jednotka; komplexńı č́ıslo; reálná a imaginárńı část komplexńıho č́ısla; kom-plexně sdružené č́ıslo; Gaussova rovina komplexńıch č́ısel; reálná a imaginárńı osa; modul a argument kom-plexńıho č́ısla; hlavńı hodnota argumentu; komplexńı jednotka; kartézský, goniometrický a exponenciálńıtvar komplexńıho č́ısla; Euler̊uv vztah: Moivreova věta; součet, rozd́ıl, součin a pod́ıl komplexńıch č́ısel

Komplexńı č́ıslaNyńı rozš́ı̌ŕıme obor reálných č́ısel R na obor komplexńıch č́ısel, který budeme značit symbolem C. Ktomuto rozš́ı̌reńı vedla p̊uvodně snaha vytvořit takový obor č́ısel, v němž by každá algebraická rovniceměla řešeńı. Již ze středńı školy v́ıme, že např. velice jednoduchá algebraická rovnice x2 + 1 = 0 nemá vmnožině R řešeńı.Množinu reálných č́ısel R rozš́ı̌ŕıme na množinu komplexńıch č́ısel C takto. Nejdř́ıve přidáme k R daľśıč́ıslo, které budeme značit i , takové, že i 2 = −1. Č́ıslo i budeme nazývat imaginárńı jednotkou. Pakpřidáme všechna č́ısla tvaru x+ i y, kde x, y jsou reálná č́ısla a i je imaginárńı jednotka. Takto utvořenáč́ısla budeme nazývat komplexńımi č́ısly. Č́ıslo x nazýváme reálnou část́ı komplexńıho č́ısla z = x + i ya znač́ıme je

1.2. MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 11

a�����

y = =zy z = x+ i y

x =

12 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE

Př́ıkladVyjádřeme komplexńı č́ıslo z = 1 + i v goniometrickém a exponenciálńım tvaru.Řešeńı: Podle (1.15) je |z| = √1 + 1 = √2. Pro hodnotu ϕ podle (1.19) muśı platit cosϕ = 1/√2,sinϕ = 1/

√2, −π < ϕ ≤ π . Odtud dostáváme ϕ = π/4. Podle (1.17) je z = √2(cosπ/4 + i sinπ/4)

goniometrický tvar komplexńıho č́ısla z a podle (1.18) je z =√

2eiπ/4 exponenciálńı tvar komplexńıhoč́ısla z.

ÚlohyZapǐste v goniometrickém a exponenciálńım tvaru následuj́ıćı komplexńı č́ısla.

a = 2 ; b = −2 ; c = 2i ; d =√

3− i ; e = 1 + i√

3 ; f = 1− i√

3 .

a = 2(cos 0 + i sin 0) = 2ei 0 ; b = 2(cosπ + i sinπ) = 2eiπ ;

c = 2(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 2eiπ/2 ; d = 2(cos(π/6)− i sin(π/6)) = 2e−iπ/6 ;e = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) = 2eiπ/3 ; f = 2(cos(π/3)− i sin(π/3)) = 2e−iπ/3.

Početńı operace s komplexńımi č́ıslyNecht’ z = x+ i y a w = u+ i v jsou dvě komplexńı č́ısla. Pak jejich součet, resp. rozd́ıl, resp. součin, resp.pod́ıl definujeme vztahy

z + w = (x+ i y) + (u+ i v) = (x+ u) + i (y + v) , (1.23)

resp.z − w = (x+ i y)− (u+ i v) = (x− u) + i (y − v) , (1.24)

resp.zw = (x+ i y)(u+ i v) = (xu− yv) + i (xv + yu) , (1.25)

resp.z

w=x+ i yu+ i v

=(x+ i y)(u− i v)(u+ i v)(u− i v) =

xu+ yvu2 + v2

+ iyu− xvu2 + v2

. (1.26)

Při násobeńı komplexńıch č́ısel v goniometrickém a exponenciálńım tvaru se vynásob́ı moduly a sč́ıtaj́ıargumenty. Skutečně, je-li z = |z|(cosϕ+ i sinϕ) = |z|eiϕ, w = |w|(cosψ + i sinψ) = |w|eiψ, pak

zw = |z||w|(cosϕ+ i sinϕ)(cosψ + i sinψ) == |z||w|[(cosϕ cosψ − sinϕ sinψ) + i (cosϕ sinψ + sinϕ cosψ)] == |z||w|[ cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ)] = |z||w|ei (ϕ+ψ) .

(1.27)

Při děleńı komplexńıch č́ısel v goniometrickém a exponenciálńım tvaru se vyděĺı moduly a argumenty seodeč́ıtaj́ı. Skutečně, je-li z = |z|(cosϕ+ i sinϕ) = |z|eiϕ, w = |w|(cosψ + i sinψ) = |w|eiψ, pak

z

w=

|z|(cosϕ+ i sinϕ)|w|(cosψ + i sinψ) =

|z|(cosϕ+ i sinϕ)(cosψ − i sinψ)|w|(cosψ + i sinψ)(cosψ − i sinψ) =

=|z||w| (cos(ϕ− ψ) + i sin(ϕ− ψ)) =

|z||w| e

i (ϕ−ψ) .(1.28)

Umocňováńı komplexńıho č́ısla v kartézském tvaru provád́ıme pomoćı binomické věty. V goniometrickéma exponenciálńım tvaru se umocńı modul a argument se vynásob́ı mocnitelem.Odmocňováńı komplexńıch č́ısel je poněkud komplikovaněǰśı. V kartézském tvaru lze poč́ıtat pouze dru-hou odmocninu z komplexńıho č́ısla. K výpočtu obecně n-té odmocniny z komplexńıho č́ısla použ́ıvámegoniometrického nebo exponenciálńıho tvaru. Z Moivreovy věty dostáváme

n√z = n

√|z|(

cosϕ+ 2kπ

n+ i sin

ϕ+ 2kπn

), k = 0, 1, 2, . . . , n− 1 , (1.29)

(pro přehledněǰśı vyč́ısleńı voĺıme ϕ = Arg z ∈ 〈0, 2π)).Př́ıklady1. Necht’ z1 = 2 + 3i , z2 = 3 + 4i . Vypočtěme z1 + z2, z1 − z2, z1z2, z1/z2, |z2|, z1.

1.2. MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL 13

Řešeńı: Podle (1.23) je z1 + z2 = (2 + 3i ) + (3 + 4i ) = (2 + 3) + (3 + 4)i = 5 + 7i .Podle (1.24) je z1 − z2 = (2 + 3i )− (3 + 4i ) = (2− 3) + (3− 4)i = −1− i .Podle (1.25) je z1z2 = (2 + 3i )(3 + 4i ) = (2 · 3− 3 · 4) + (2 · 4 + 3 · 3)i = −6 + 17i .Podle (1.26) je

z1z2

=2 + 3i3 + 4i

=(2 + 3i )(3− 4i )(3 + 4i )(3− 4i ) =

18 + i25

=1825

+i

25.

Podle (1.15) je |z2| =√

(3 + 4i )(3− 4i ) = √25 = 5 .Podle definice komplexně sdruženého č́ısla je z1 = 2 + 3i = 2− 3i .2. Vypočtěme z = 12i − i 3 + (3− 5i )(1− 2i ) + 2− 4i

1− i .Řešeńı: Nejdř́ıve provedeme pomocné výpočty. Podle (1.14) je i 3 = −i . Podle (1.25) je (3−5i )(1−2i ) =−7 − 11i . Konečně, podle (1.26) je 2− 4i

1− i =62

+−22

i = 3 − i . Po dosazeńı dostáváme z = 12i + i +(−7− 11i ) + (3− i ) = −4 + i .3. Máme naj́ıt všechna řešeńı algebraické rovnice z6 − 1 = 0.Řešeńı: Úloha, naj́ıt všechna řešeńı algebraické rovnice z6− 1 = 0, je ekvivalentńı s úlohou naj́ıt všechnyšesté odmocniny z jedničky. Tyto odmocniny budeme poč́ıtat podle vzorce (1.29).

6√

1 = 6√

1(cos 0 + i sin 0) = 6√

1(cos(2kπ/6) + i sin(2kπ/6)) , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 .

Odtud dostáváme hledané odmocniny

cos 0 + i sin 0 = 1 pro k = 0 ,cos(π/3) + i sin(π/3) = 1/2 + i

√3/2 pro k = 1 ,

cos(2π/3) + i sin(2π/3) = −1/2 + i√3/2 pro k = 2 ,cosπ + i sinπ = −1 pro k = 3 ,cos(4π/3) + i sin(4π/3) = −1/2− i√3/2 pro k = 4 ,cos(5π/3) + i sin(5π/3) = 1/2− i√3/2 pro k = 5 .

Řešeńımi dané rovnice jsou tedy komplexńı č́ısla

z1,2 = ±1 , z3,4 = 1/2± i√

3/2 , z5,6 = −1/2± i√

3/2 .

Úlohy1. Najděte č́ısla komplexně sdružená k č́ısl̊um a = 3 + 2i ; b = 2i ; c = 3 ; d = −3− 2i .

[a = 3− 2i , b = −2i , c = 3 , d = −3 + 2i .]2. Najděte reálná č́ısla r, s tak, aby komplexńı č́ıslo z = r(2− 3i ) + s(1 + 4i ) byloa) reálné [r = 4s/3, s libovolné reálné,]b) ryze imaginárńı [r = −s/2, s libovolné reálné.]3. Najděte reálná č́ısla x, y tak, aby platila rovnost x(1− i ) + y(4 + 2i ) = 1 + 3i [x = −5/3, y = 2/3.]4. Vypočtěte a = (2 + 4i ) + (1 + 2i ) ; b = (2− 3i ) + (−2 + 3i ) ; c = (−2− i )− (−3− 7i ) .

[a = 3 + 6i ; b = 0 ; c = 1 + 6i .]5. Vypočtěte a = (3 + 2i )i ; b = (2 + 3i )(4 + 5i ) ; c = (2− i )(2 + i ) . [a = −2 + 3i ; b = −7 + 22i ; c = 5.]6. Vypočtěte (2− i )(1 + 2i )(3− 4i ) [24− 7i .]7. Vypočtěte a =

2 + i3− i ; b =

1 + i1− i −

1− i1 + i

. [a = 1/2 + i /2 ; b = 2i .]

8. Zjistěte, pro která reálná č́ısla x, y plat́ıx+ i y1− i = 3 + 2i [x = 5, y = −1.]

9. Vypočtěte následuj́ıćı odmocniny komplexńıch č́ısel.

a)√−1

[cos

π + 2kπ2

+ i sinπ + 2kπ

2, k = 0, 1.

]

b) 3√

i[cos

π/2 + 2kπ3

+ i sinπ/2 + 2kπ

3, k = 0, 1, 2.

]

c) 4√

i[cos

π/2 + 2kπ4

+ i sinπ/2 + 2kπ

4, k = 0, 1, 2, 3.

]

14 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE

d) 4√−16

[2(

cosπ + 2kπ

4+ i sin

π + 2kπ4

), k = 0, 1, 2, 3.

]

e) 5√

32[2(

cos2kπ

5+ i sin

2kπ5

), k = 0, 1, 2, 3, 4.

]

f) 3√

1 + i[

6√

2(

cosπ/4 + 2kπ

3+ i sin

π/4 + 2kπ3

), k = 0, 1, 2.

]

g) 5√

2 + 2i[

10√

8(

cosπ/4 + 2kπ

5+ i sin

π/4 + 2kπ5

), k = 0, 1, 2, 3, 4.

]

h) 6√−729

[3(

cosπ + 2kπ

6+ i sin

π + 2kπ6

), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

]

i) 8√

1 + i√3 + i

[1

16√

2

(cos

π/12 + 2kπ8

+ i sinπ/12 + 2kπ

8

), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

]

1.3 Reálné funkce jedné reálné proměnné

Kĺıčová slova: Reálná funkce jedné reálné proměnné; funkčńı hodnota, definičńı obor, obor hodnot, graffunkce; obraz množiny; prostá a inverzńı funkce; kompozice funkćı; rostoućı, klesaj́ıćı, neklesaj́ıćı, ne-rostoućı, monotónńı, ryze monotónńı, shora omezená, zdola omezená, omezená, neomezená, sudá, lichá,periodická funkce; perioda a primitivńı perioda funkce, vektorová funkce, složená vektorová funkce

1.3.1 Definice a základńı vlastnosti reálné funkce

Budeme se zabývat reálnými funkcemi jedné reálné proměnné. Taková funkce je zadaná nějakým před-pisem f(x), kterým je každému x ∈ R přǐrazeno nejvýše jedno y = f(x) ∈ R. Č́ıslo y = f(x) nazývámefunkčńı hodnotou funkce f v bodě x . Množinu těch x ∈ R, kterým je předpisem f(x) přǐrazeno nějakéč́ıslo y = f(x) ∈ R, nazýváme definičńım oborem funkce f a znač́ıme jej Df . Množinu všech funkčńıchhodnot funkce f nazýváme oborem hodnot funkce f a znač́ıme jej Hf . Je-li M ⊂ Df , pak množinu všechfunkčńıch hodnot f(x) pro x ∈ M nazýváme obrazem množiny M a znač́ıme ji f(M). Skutečnost, že fje funkce, zapisujeme např. f : Df → R, nebo prostě x→ f(x). Grafem funkce f nazýváme množinu

graf f = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ Df , y = f(x)}. (1.30)

Řı́káme, že funkce f : Df → R je prostá právě tehdy, když pro každé dva body x1, x2 ∈ Df , x1 6= x2,je f(x1) 6= f(x2). Grafy prostých funkćı jsou načrtnuty na obr. 1.7 a), d), f). Na obr. 1.7 b), e), g) jsougrafy funkćı, které nejsou prosté.Funkce g se nazývá inverzńı funkćı k funkci f právě tehdy, když rovnost y = f(x) je ekvivalentńı s rovnost́ıx = g(y). Z této poměrně volné charakterizace inverzńı funkce je vidět, že k tomu, aby k dané funkciexistovala inverzńı funkce je nutné, aby tato daná funkce byla prostá. Na obr. 1.7 c) je graf kvadratickéfunkce, která zřejmě prostá neńı. Když však jej́ı definičńı obor zúž́ıme na interval 〈0,∞), tj. uvažujemepouze jej́ı pravou větev, pak tato funkce je již prostá a můžeme k ńı sestrojit funkci inverzńı. Tou jedruhá odmocnina, načrtnuta na obr. 1.7 c). Doporučujeme čtenáři, aby si rozmyslel, proč grafy funkćınavzájem inverzńıch jsou symetrické podle osy prvńıho kvadrantu. Pro označeńı funkce inverzńı k funkcif se obvykle použ́ıvá symbol f−1. Plat́ı Df = Hf−1 a Df−1 = Hf .Necht’ g(y) a f(x) jsou dvě funkce takové, že Hf ⊂ Dg. Ř́ıkáme, že funkce h je kompozićı funkćı f a g (vtomto pořad́ı) a ṕı̌seme h = g ◦ f právě tehdy, když h(x) = g(f(x)) pro všechna x ∈ Df . Funkce f se paknazývá vnitřńı funkce, funkce g vněǰśı funkce složené funkce h = g ◦ f . Zde si muśıme uvědomit, že přivytvářeńı kompozice dvou funkćı muśıme nejdř́ıve určit definičńı obor vnitřńı funkce f(x) tak, aby bylasplněna podmı́nka Hf ⊂ Dg. Např. pro g(y) = ln y a f(x) = x3 nesmı́me brát Df = R, ale Df = (0,∞).Pak je skutečně Hf ⊂ Dg a složená funkce h(x) = lnx3 je definovaná pro všechna x ∈ Df = (0,∞).Necht’ je funkce f definovaná na nějakém intervalu I ⊂ Df . Jestliže pro všechna x1,x2 ∈ I, x1 < x2, plat́ı

f(x1) < f(x2) , resp. f(x1) ≤ f(x2) , resp. f(x1) > f(x2) , resp. f(x1) ≥ f(x2) , (1.31)

pak ř́ıkáme, že funkce f je rostoućı v intervalu I, resp. neklesaj́ıćı v intervalu I, resp. klesaj́ıćı v intervaluI, resp. nerostoućı v intervalu I (viz obr. 1.7 d) – g)). Má-li funkce f některou z uvedených vlastnost́ı,

1.3. REÁLNÉ FUNKCE JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ 15

−2 −1 1 2−1

1

2 y = x3

x1

f(x1)

f(x2)

x2 x

y

a) funkce je prostá

−2 −1 1 2−1

1

2

x

y

y = x2

x2x1

f(x1) = f(x2)

b) funkce neńı prostá

−2 −1 1 2−1

1

2

x

y

f−1(x) =√x

y = xf(x) = x2

c) funkce inverzńı

y

x1 x2

x

f

f(x1)

f(x2)

d) funkce rostoućı

y

x1 x2

xf(x1)

x3

ff(x2) = f(x3)

e) funkce neklesaj́ıćı

y

x1

x

x2

f(x1)

f

f(x2)

f) funkce klesaj́ıćı

y

x1

x

x3x2

f(x1)

f(x2) = f(x3)

f

g) funkce nerostoućı

Obrázek 1.7: Ilustrace vlastnost́ı funkćı

pak ř́ıkáme, že funkce f je monotónńı v intervalu I. Je-li funkce f rostoućı nebo klesaj́ıćı v intervalu I,pak ř́ıkáme, že je ryze monotónńı v intervalu I.Řı́káme, že funkce f je shora, resp. zdola omezená na množině A ⊂ R právě tehdy, když existuje reálnéč́ıslo K, resp. k tak, že f(x) < K, resp. f(x) > k pro všechna x ∈ A. Řı́káme, že funkce je omezená namnožině A právě tehdy, když je omezená zdola i shora, tj. právě tehdy, když existuje č́ıslo k0 tak, že plat́ı|f(x)| < k0 pro všechna x ∈ A. Funkce, které nejsou omezené, nazýváme neomezené.Řı́káme, že funkci f je sudá, resp. lichá právě tehdy, když má tyto dvě vlastnosti:

(i) f(x) má definičńı obor symetrický podle počátku, tj. je-li x ∈ Df , pak je také −x ∈ Df .(ii) Pro všechna x ∈ Df je f(−x) = f(x), resp. f(−x) = −f(x).

Z vlastnost́ı (i) a (ii) plyne: Graf funkce sudé je symetrický podle osy y (např. graf funkce y = x2, viz 1.7b) ), graf funkce liché je symetrický vzhledem k počátku soustavy souřadnic (např. graf funkce f(x) = x3,viz 1.7 a) ).Řı́káme, že funkce f je periodická s periodou p (p > 0) právě tehdy, když má následuj́ıćı vlastnost: je-lidefinována v bodě x, je též definována v bodech x+ p, x− p a plat́ı f(x) = f(x+ p) = f(x− p).Funkce periodická s periodou p je též periodická s periodou kp, k ∈ N. Pokud existuje nejmenš́ı z těchtoperiod T > 0, nazývá se tato perioda primitivńı periodou funkce f .

16 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE

Vektorové funkceVektorovou funkćı jedné reálné proměnné budeme nazývat každé zobrazeńı f z množiny R do prostoruRn všech uspořádaných n–tic reálných č́ısel. Obvykle je takové zobrazeńı zadáno jako uspořádaná n–ticereálných funkćı reálné proměnné

f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)), x ∈ Df = Df1 ∩ Df2 ∩ · · · ∩ Dfn .

Reálné funkce f1, f2, . . . , fn nazýváme složkami vektorové funkce f a ṕı̌seme obvykle f = (f1, f2, . . . , fn).Např́ıklad předpisem

f(x) = (cosx, x3, lnx), x ∈ Df = (0,∞), (1.32)je definována vektorová funkce f : (0,∞)→ R3.Pro vektorové funkce f = (f1, f2, . . . , fn) a g = (g1, g2, . . . , gn) se stejným definičńım oborem D definu-jeme jejich součet f + g, rozd́ıl f − g, skalárńı součin f • g a skalárńı násobek αf funkce f reálným č́ıslemα definujeme po složkách f ± g = (f1 ± g1, f2 ± g2, . . . , fn ± gn) , f • g = (f1 · g1 + f2 · g2 + . . . + fn · gn) ,αf = (αf1, αf2, . . . , αfn) .Je-li ϕ : R→ R reálná funkce jedné reálné proměnné a je-li f = (f1, f2, . . . , fn) , vektorová funkce taková,že ϕ(t) ∈ Df pro všechna t ∈ Dϕ, pak definujeme složenou vektorovou funkci

(f ◦ ϕ)(t) = f(ϕ(t)) = (f1(ϕ(t)), f2(ϕ(t)), . . . , fn(ϕ(t))) , t ∈ Dϕ. (1.33)

Např́ıklad, je-li f vektorová funkce dána předpisem (1.32) a funkce x = ϕ(t) = 3t+ 4, pak

(f ◦ ϕ)(t) = f(ϕ(t)) = (cos(3t+ 4), (3t+ 4)3, ln(3t+ 4)), t ∈ (−4/3,∞).

1.4 Elementárńı funkce

Kĺıčová slova: Konstantńı funkce, lineárńı funkce, kvadratická funkce, mocninná funkce, exponenciálńıfunkce, logaritmická funkce, goniometrické funkce, cyklometrické funkce, hyperbolické funkce, hyperbo-lometrické funkce

1.4.1 Mocninné funkce

Řadu elementárńıch funkćı známe již ze středńı školy. Je to např. konstantńı funkce f(x) = c, x ∈ Df = R,kde c je nějaká konstanta (viz obr. 1.8 a) ), nebo lineárńı funkce f(x) = kx+ q, x ∈ Df = R, jej́ıž graf jenačrtnut na obr. 1.8 b). Často budeme pracovat s absolutńı hodnotou f(x) = |x|, x ∈ Df = R, jej́ıž grafje načrtnut na obr. 1.8 c). Na obr. 1.8 d) a e) jsou načrtnuty grafy kvadratických funkćı

f(x) = ax2 + bx+ c ≡ a(x− r)(x− s), x ∈ Df = R. (1.34)Č́ısla r a s se nazývaj́ı jejich nulovými body. Př́ıpady, kdy kvadratický polynom má dva r̊uzné reálnénulové body r a s, resp. jeden dvojnásobný nulový bod, resp. nemá reálné nulové body, jsou ilustroványna obr. 1.8 d) (i) – (iii) a e) (iv) – (vi). Doporučujeme čtenáři, aby se pokusil na základě př́ıslušnýchgraf̊u nalézt analytické vyjádřeńı odpov́ıdaj́ıćıch kvadratických funkćı, zjistit, jak souviśı diskriminantpř́ıslušné kvadratické rovnice s polohou grafu vzhledem k ose x a jak souviśı pr̊uběh funkce se znaménkemkoeficientu u kvadratického členu. Je rovněž velice užitečné si promyslet, na jakých množinách nabývaj́ıtyto funkce kladné, resp. záporné hodnoty a jak se dvě r̊uzná typická chováńı z obr. 1.8 d) a e) poznaj́ıpodle znaménka u kvadratického členu?Jistým zobecněńım předchoźı funkce je n-tá mocnina

f(x) = xn, n ∈ N, x ∈ Df = R. (1.35)

Grafy takových mocninných funkćı pro n = 2 a n = 3 jsou načrtnuty na obr. 1.8 f). Můžeme srovnatjejich pr̊uběhy a rozmyslet si, jak se lǐśı pr̊uběh mocninných funkćı se sudým a s lichým exponentem.Poněkud obecněǰśı funkce než n-tá mocnina je mocninná funkce s racionálńım exponentem

f(x) = xnm , m ∈ N, n ∈ Z , n, m nesoudělná,n 6= 0, x ∈ Df , (1.36)

1.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 17

c

x

y

y = c

a) konstantńı funkce

������������

q

x

y

y = kx+ q

b) lineárńı funkce

@@@@����

x

y

y = |x|

c) absolutńı hodnota

x

1

2

1 2 3

y(i)

(ii)

(iii)

d) kvadratické funkce

1

-1

-2

x1 2 3

y

(iv)

(v)

(vi)

e) kvadratické funkce

y = x3

−2 −1−1

x

1

y = x32

y

y = x2

y =√x

21

y = x2

f) mocninné funkce

.

... . . . . .

. .

−2 −1

−1

x

1

y

1 2

y = x1/3

y = x1/2

y = x1/10

g) odmocniny

f(x) =ax− bx− c

x

y

a

c0

h) lineárńı lomená funkce

Obrázek 1.8: Grafy elementárńıch funkćı

kdeDf = R pro n > 0 a m liché ,Df = R \ {0} pro n < 0 a m liché ,Df = 〈0,∞) pro n > 0 a m sudé ,Df = (0,∞) pro n < 0 a m sudé .

(1.37)

Mezi funkce s racionálńım exponentem patř́ı také m-tá odmocnina

f(x) = m√x = x

1m , x ∈ Df = R pro lichá m, x ∈ Df = 〈0,∞) pro sudá m. (1.38)

Graf této funkce pro m = 2, 3 a 10, tj. druhé, třet́ı a desáté odmocniny je načrtnut na obr. 1.8 g). Druháodmocnina, jako funkce inverzńı k pravé větvi druhé mocniny, je rovněž načrtnuta na obr. 1.8 f).Mocninnou funkćı s racionálńım exponentem je i funkce

f(x) = 1/xn = x−n , n ∈ N , x ∈ Df = R \ {0} . (1.39)Grafem takové funkce je hyperbola, načrtnuta pro n = 1 na obr. 1.4.Funkce

f(x) =ax− bx− c =

ax− ac+ (ac− b)x− c = a+

ac− bx− c , x ∈ Df = R \ {c} , a, b, c ∈ R, (1.40)

18 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE

je zobecněńım funkce 1/x. Nazývá se lineárńı lomená funkce a jej́ı graf je na obr. 1.8 h).

Př́ıklady1. Máme naj́ıt definičńı obor funkce f(x) =

√x2 + x− 6.

Řešeńı: Druhá odmocnina je definovaná pro nezáporná reálná č́ısla, takže muśı být x2 + x − 6 ≥ 0 .Kvadratická rovnice x2 + x− 6 = 0 má kořeny x1 = −3, x2 = 2 a z pr̊uběhu funkce vid́ıme, že nezápornéhodnoty nabývá na intervalech (−∞,−3〉 a 〈2,∞). Je tedy Df = (−∞,−3〉 ∪ 〈2,∞) .2. Máme naj́ıt definičńı obor funkce f(x) =

√−x2 − x+ 6.Řešeńı: Postup je podobný jako v předchoźım př́ıkladě. Opět muśı platit −x2 − x+ 6 ≥ 0 . Kvadratickárovnice −x2−x+6 = 0 má opět kořeny x1 = −3, x2 = 2, ale koeficient u kvadratického členu je záporný,takže parabola je otevřená do −∞ a funkce nabývá nezáporné hodnoty na intervalu 〈−3, 2〉. Je tedyDf = 〈−3, 2〉 .3. Máme naj́ıt funkci f−1(x) inverzńı k funkci f(x) =

11− x, x 6= 1.

Řešeńı: Funkce f(x) je rostoućı v intervalu (−∞, 1) i v intervalu (1,∞). Inverzńı funkci budeme hledatna intervalu (−∞, 1). Funkce 1/(1 − x) je na intervalu (−∞, 1) prostá a nabývá tam všech zápornýchhodnot. Existuje tedy inverzńı funkce f−1(x), definovaná pro všechna x < 0. Podle definice inverzńı funkceje y = f(x) právě tehdy, když je x = f−1(y). Muśıme proto z předpisu pro funkci y = f(x) vyjádřitproměnnou x pomoćı funkčńı hodnoty y. Z rovnosti y = 1/(1− x) dostaneme tak rovnost x = (y− 1)/y.Tato rovnost udává předpis pro hledanou inverzńı funkci, avšak v soustavě souřadnic s vyměněnýmisouřadnicovými osami. (Uvědomte si, že oba předpisy popisuj́ı v rovině xy tutéž množinu, tj. graf funkcef(x) = 1/(1 − x), x 6= 1.) Proto ještě vyměńıme označeńı proměnných a dostaneme hledanou inverzńıfunkci pro x < 0. Stejným postupem na intervalu (1,∞) bychom dostali stejný předpis pro x > 0. Jetedy

f−1(x) =x− 1x

, x ∈ Df−1 = (−∞, 0) ∪ (0,∞).

4. Máme naj́ıt funkci f−1(x) inverzńı k funkci f(x) = 3√x2 + 1, x ≥ 0.

Řešeńı: Funkce f(x) je rostoućı v celém svém definičńım oboru a nabývá tam všech reálných hodnot zintervalu 〈1,∞). Existuje tedy inverzńı funkce, definovaná pro všechna x ≥ 1. Stejně jako v předchoźımpř́ıkladě z předpisu pro funkci y = f(x) vyjádř́ıme proměnnou x pomoćı funkčńı hodnoty y. Z rovnosti y =3√x2 + 1 dostaneme tak rovnost x =

√y3 − 1, která udává předpis pro hledanou inverzńı funkci, avšak

opět v souřadnicovém systému s vyměněnými souřadnicovými osami. Proto ještě vyměńıme označeńıproměnných a dostaneme hledanou inverzńı funkci

f−1(x) =√x3 − 1, x ∈ Df−1 = 〈1,∞) .

Úlohy1. Nalezněte definičńı obor funkce f(x), kde

a) f(x) =1

2x− 4 ; b) f(x) =√

2x− 1 ; c) f(x) = 1√2x− 1 ;

d) f(x) =x2

3x− 6 ; e) f(x) =√

3x− x3 ; f) f(x) = √2 + x− x2 .[

a) Df = (−∞, 2) ∪ (2,∞) ; b) Df = 〈1/2,∞) ; c) Df = (1/2,∞) ;d) Df = (−∞, 2) ∪ (2,∞) ; e) Df = (−∞,−

√3〉 ∪ 〈0,√3〉 ; f) Df = 〈−1, 2〉.

]

2. Nalezněte funkci inverzńı k funkci: a) y = 5x−1 ; b) y = (1−x)/(1+x) , x 6= −1; c) y = x2−1 , x ≥ 0.[a) y = (x+ 1)/5, x ∈ R ; b) y = (1− x)/(1 + x) , x 6= −1 ; c) y = √x+ 1, x ∈ 〈−1,∞) .]

1.4.2 Exponenciálńı a logaritmická funkce

Již na středńı škole jsme se seznámili také s exponenciálńı funkćı

f(x) = eax , a ∈ R, x ∈ Df = R . (1.41)

1.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 19

Jej́ı graf je načrtnut na obr. 1.9 a). Zde č́ıslo e je tzv. Eulerovo č́ıslo. Je to iracionálńı č́ıslo, přibližněe .= 2, 718.Funkce inverzńı k exponenciálńı funkci f(x) = ex je logaritmická funkce

f−1(x) = lnx, x ∈ Df−1 = (0,+∞). (1.42)

Je tedy definovaná vztahemy = lnx právě tehdy, když x = ey.

Tato funkce se nazývá také přirozený logaritmus. Jej́ı graf je načrtnut na obr. 1.9 b).

0

y

x

1

y = ex

a) graf exponenciálńı funkce

y = lnx

1

x

y

0

b) graf logaritmické funkce

Obrázek 1.9: Grafy exponenciálńı a logaritmické funkce

Nahrad́ıme-li v exponenciálńı funkci f(x) = ex jej́ı základ e libovolným kladným č́ıslem a ∈ (0, 1)∪(1,∞) ,dostaneme funkci

f(x) = ax , a ∈ (0, 1) ∪ (1,∞), x ∈ Df = R, (1.43)kterou nazýváme obecná mocnina se základem a.Funkce k ńı inverzńı je tzv. logaritmická funkce se základem a

f−1(x) = loga x, x ∈ Df−1 = (0,+∞), a ∈ (0, 1) ∪ (1,∞). (1.44)

Je definovaná vztahemy = loga x právě tehdy, když x = a

y. (1.45)

Pro a = 10 mluv́ıme o tzv. dekadickém logaritmu.

Př́ıklady

1. Máme naj́ıt definičńı obor funkce f(x) = lnx− 5

x2 − 10x+ 24 .Řešeńı: Přirozený logaritmus je definován pro kladná reálná č́ısla, takže muśı platit

x− 5x2 − 10x+ 24 > 0, x

2 − 10x+ 24 6= 0. (1.46)

Kvadratická rovnice x2 − 10x + 24 = 0 má dva kořeny x1 = 4, x2 = 6. Můžeme tedy podmı́nku (1.46)přepsat na tvar

x− 5(x− 4)(x− 6) > 0, x 6= 4, x 6= 6 a vyjádřit pomoćı dvou podmı́nek (x − 5 >

0) ∧ ((x− 4)(x− 6) > 0) nebo (x− 5 < 0) ∧ ((x− 4)(x− 6) < 0) . Snadno se ověř́ı, že prvńı podmı́nka jesplněna pro x ∈ (6,∞) a druhá podmı́nka pro x ∈ (4, 5). Je tedy Df = (4, 5) ∪ (6,∞).2. Máme naj́ıt definičńı obor funkce f(x) = ln(ln(x2 − x− 5)).Řešeńı: Přirozený logaritmus je definován pro kladná reálná č́ısla, takže muśı být ln(x2 − x− 5) > 0. Tovšak plat́ı pouze tehdy, když je x2−x−5 > 1 . Protože kvadratická rovnice x2−x−6 = 0 má dva kořeny

20 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE

x1 = −2, x2 = 3, můžeme tuto nerovnost přepsat na tvar (x + 2)(x − 3) > 0 . Snadno se ověř́ı, že tatonerovnost je splněna pro x ∈ (−∞,−2) ∪ (3,∞), a tedy Df = (−∞,−2) ∪ (3,∞).3. Máme naj́ıt funkci f−1(x) inverzńı k funkci f(x) = ln(3x+ 2)− 1, x > −2/3.Řešeńı: Funkce f(x) je kompozice rostoućıch funkćı, a je tedy rostoućı v celém svém definičńım oboru.Nabývá tam všech reálných hodnot. Existuje tedy inverzńı funkce, která bude definovaná pro všechnax ∈ R. Z předpisu pro funkci y = f(x) muśıme vyjádřit proměnnou x pomoćı funkčńı hodnoty y. Zrovnosti y = ln(3x + 2) − 1 dostaneme tak rovnost x = (e1+y − 2)/3, která udává předpis pro hledanouinverzńı funkci, avšak v soustavě souřadnic s vyměněnými souřadnicovými osami. Proto ještě vyměńımeoznačeńı proměnných a dostaneme hledanou inverzńı funkci

f−1(x) = (e1+x − 2)/3, x ∈ Df−1 = (−∞,∞).

Úlohy1. Určete definičńı obor funkce f(x), kde

a) f(x) = ln(x2 − 3x+ 2) ; b) f(x) = ln(x+√x2 + 2) ;

c) f(x) = ln(ln 2− ln(x2 − 5x+ 8)) ; d) f(x) = ln(x2 − 9) ;

e) f(x) =5

x2 − 9 + ln(x3 − x) f) f(x) =

√ln(

5x− x24

)+ ln(x3 − x) .

[a) (−∞, 1) ∪ (2,∞) ; b) (−∞,∞) ; c) (2, 3) ;d) (−∞,−3) ∪ (3,∞) ; e) (−1, 0) ∪ (1, 3) ∪ (3,∞) ; f) (1, 4〉.

]

2. Nalezněte funkci inverzńı k funkci a) y = ex−1 + 2 ; b) y = 10x+1 .[a) y = 1 + ln(x− 2) , x ∈ (2,∞) ; b) y = log10(x/10) , x ∈ (0,∞) .]

1.4.3 Goniometrické a cyklometrické funkce

Goniometrické funkceFunkce

f(x) = sinx, x ∈ Df = R, (1.47)je goniometrická funkce sinus. Je to periodická funkce s periodou 2π. Jej́ı graf je na obr. 1.10 a). Funkcesinx má nulové body xk = kπ , k ∈ Z , a plat́ı

sin(

(2k + 1)π

2

)= (−1)k , k ∈ Z . (1.48)

Funkcef(x) = cosx, x ∈ Df = R, (1.49)

je goniometrická funkce kosinus. Je to periodická funkce s periodou 2π. Jej́ı graf je na obr. 1.10 b).Funkce f(x) = cosx má nulové body xk = (2k + 1)

π

2, k ∈ Z , a plat́ı

cos(kπ) = (−1)k , k ∈ Z . (1.50)

Zkuste si sami nakreslit grafy funkćı sin 2x , cos 2x , sin(x/2) , cos(x/2) , 2 sinx , 2 cosx a naj́ıt jejich nu-lové body.Následuj́ıćı rovnosti plat́ı pro všechna x a y, neńı-li řečeno bezprostředně něco jiného.Plat́ı rovnost

sin2 x+ cos2 x = 1, (1.51)

která se často nazývá goniometrická jednička.Plat́ı součtové vzorce

sin(x± y) = sinx cos y ± cosx sin y, (1.52)

1.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 21

y

x

−π/2 π/2 π 3π/2 2π−1

1

a) graf funkce sinus

y

x

−π/2 π/2 π 3π/2 2π−1

1

b) graf funkce kosinus

2

1

−1

−2

−π2

π

2π 3π

2

x

y

c) graf funkce tangens

2

1

−1

−2

−π −π2

π

2

π

x

y

d) graf funkce kotangens

Obrázek 1.10: Grafy goniometrických funkćı

cos(x± y) = cosx cos y ∓ sinx sin y, (1.53)a odtud pro x = y dostáváme vzorce pro dvojnásobné úhly

sin 2x = 2 sinx cosx, (1.54)

cos 2x = cos2 x− sin2 x. (1.55)Posledńı rovnost můžeme vyjádřit pomoćı jediné funkce

cos 2x = cos2 x− sin2 x = 1− 2 sin2 x = 2 cos2 x− 1. (1.56)Plat́ı Euler̊uv vztah

ei x = cosx+ i sinx, e−i x = cosx− i sinx. (1.57)Odtud dostáváme

cosx =ei x + e−i x

2, sinx =

ei x − e−i x2i

. (1.58)

Funkcef(x) = tg x =

sinxcosx

, x ∈ Df =⋃

k∈Z

((2k − 1)π

2, (2k + 1)

π

2

), (1.59)

je goniometrická funkce tangens. Je to periodická funkce s periodou π. Jej́ı graf je na obr. 1.10 c). Funkcetg x nabývá nulové hodnoty v bodech xk = kπ , k ∈ Z .Funkce

f(x) = cotg x =cosxsinx

, x ∈ Df =⋃

k∈Z(kπ, (k + 1)π), (1.60)

je goniometrická funkce kotangens. Je to periodická funkce s periodou π. Jej́ı graf je na obr. 1.10 d).Funkce cotg x má nulové body xk = (2k + 1)

π

2, k ∈ Z .

Nyńı uvedeme řadu rovnost́ı udávaj́ıćıch vztahy mezi jednotlivými goniometrickými funkcemi.

tg x cotg x = 1, 1 + tg2 x = 1/ cos2 x , 1 + cotg2 x = 1/ sin2 x , (1.61)

22 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE

sinx =2 sin(x/2) cos(x/2)

sin2(x/2) + cos2(x/2)=

2 tg(x/2)1 + tg2(x/2)

, cosx =cos2(x/2)− sin2(x/2)cos2(x/2) + sin2(x/2)

=1− tg2(x/2)1 + tg2(x/2)

.

(1.62)Z rovnosti cos2 x = 1/(1 + tg2 x) plyne

cosx =1√

1 + tg2 x, sinx =

tg x√1 + tg2 x

, x ∈(−π

2,π

2

). (1.63)

Plat́ı součtové vzorce

tg(x± y) = tg x± tg y1∓ tg x tg y , cotg(x± y) =

cotg x cotg y ∓ 1cotg y ± cotg x . (1.64)

Z nich pro x = y plynou vzorce pro dvojnásobný úhel

tg 2x =2 tg x

1− tg2 x , cotg 2x =cotg2 x− 1

2 cotg x. (1.65)

Z rovnost́ı 1.57, 1.59 a 1.60 plyne

tg x = −i ei x − e−i x

ei x + e−i x, cotg x = i

ei x + e−i x

ei x − e−i x . (1.66)

Př́ıklady1. Máme naj́ıt definičńı obor funkce f(x) = ln sinx.Řešeńı: Funkce ln y je definovaná pro y > 0, takže muśı být y = sinx > 0. Protože funkce sinx má nulovébody ve všech celoč́ıselných násobćıch č́ısla π a sinx > 0 pro x ∈ ∪k∈Z(2kπ, (2k + 1)π), je definičńı obordané funkce Df = ∪k∈Z(2kπ, (2k + 1)π) .2. Máme naj́ıt definičńı obor funkce f(x) =

11 + cosx

.

Řešeńı: Nejdř́ıve hledáme nulové body jmenovatele. Rovnost cosx = −1 plat́ı pro x = (2k + 1)π. Prohledaný definičńı obor funkce f(x) tedy plat́ı Df = ∪k∈Z((2k − 1)π, (2k + 1)π) .3. Máme naj́ıt definičńı obor funkce f(x) =

1√cos (x/3)−√3/2

.

Řešeńı: Nejdř́ıve najdeme nulové body jmenovatele. Rovnost cos (x/3) − √3/2 = 0 plat́ı pro x/3 =±π/6 + 2kπ, a tedy x = ±π/2 + 6kπ. Dále muśı platit cos(x/3) − √3/2 > 0. Tato nerovnost plat́ı naintervalech (6kπ − π/2, 6kπ + π/2), k ∈ Z. Je tedy Df = ∪k∈Z(6kπ − π/2, 6kπ + π/2).4. Máme naj́ıt primitivńı periodu T funkce f(x) = sinx+ 3 sin 2x+ 2 sin 3x.Řešeńı: Funkce sinx má primitivńı periodu T1 = 2π, funkce sin 2x má primitivńı periodu T2 = π a funkcesin 3x má primitivńı periodu T3 = 2π/3. Primitivńı periodou součtu funkćı je nejmenš́ı společný násobekperiod T1, T2, T3, a tedy č́ıslo T = 2π.

Úlohy1. Nalezněte definičńı obor funkce f(x), kde

a) f(x) =√

sinx ; b) f(x) =√| sinx| ; c) f(x) = ln | sinx| ; d) f(x) = cos

2 x+ 15− lnx .

[a) ∪k∈Z 〈2kπ, (2k + 1)π〉 ; b) R ; c) ∪k∈Z (kπ, (k + 1)π) ; d) (0, e5) ∪ (e5,∞).]2. Nalezněte primitivńı periodu T funkce f(x).

a) f(x) = cos 3x ; b) f(x) = 2 sin 2x ; c) f(x) = 5 cosπx ; d) f(x) = 7 sin(3x+ 5) ;

e) f(x) = cos ((x− 1)/2) ; f) f(x) = √tg x ; g) f(x) = tg√x ; h) f(x) = cos 3x− sin 2x .[

a)T = 2π/3; b)T = π; c)T = 2; d)T = 2π/3; e)T = 4π;f)T = π; g) neńı periodická; h) T = 2π.

]

1.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 23

3. Nalezněte primitivńı periodu T funkce f(x).a) f(x) = tg(x/2)+tg(x/3) ; b) f(x) = sin(πx/3)+cos(πx/4) ; c) f(x) = sin(2πx+π/3)+cos(3πx+π/4) + sin 5πx . [a) T = 6π, b) T = 24; c) T = 2.]

Cyklometrické funkceNyńı se budeme věnovat funkćım inverzńım ke goniometrickým funkćım. Vı́me však, že inverzńı funkceexistuje pouze k prosté funkci a že goniometrické funkce nejsou prosté. Je proto při konstrukci těchtoinverzńıch funkćı nutné omezit se vždy na interval, na němž je př́ıslušná goniometrická funkce prostá.

y

x

π

2

−π2

−1 1

a) graf funkce arkussinus

y

x

π

π

2

−1 1

b) graf funkce arkuskosinus

x

y

π

2

−π2

−2 −1 1 2

c) graf funkce arkustangens

x

y

π

π

2

−2 −1 1 2d) graf funkce arkuskotangens

Obrázek 1.11: Grafy cyklometrických funkćı

Funkcef(x) = arcsinx, x ∈ Df = 〈−1, 1〉, (1.67)

se nazývá arkussinus a je to funkce inverzńı k funkci sinx na intervalu 〈−π/2, π/2〉. Je tedy definovanávztahem y = arcsinx právě tehdy, když x = sin y , y ∈ 〈−π/2, π/2〉 . Jej́ı graf je na obr. 1.11 a).Funkce

f(x) = arccosx, x ∈ Df = 〈−1, 1〉, (1.68)se nazývá arkuskosinus a je to funkce inverzńı k funkci cosx na intervalu 〈0, π〉, takže je definovanávztahem y = arccosx právě tehdy, když x = cos y , y ∈ 〈0, π〉 . Jej́ı graf je na obr. 1.11 b).Funkce

f(x) = arctg x, x ∈ Df = R, (1.69)se nazývá arkustangens. Je to funkce inverzńı k funkci tg x na intervalu (−π/2, π/2), a je tedy definovanávztahem y = arctg x právě tehdy, když x = tg y , y ∈ (−π/2, π/2) . Jej́ı graf je na obr. 1.11 c).Funkce

f(x) = arccotg x, x ∈ Df = R, (1.70)se nazývá arkuskotangens. Je to funkce inverzńı k funkci cotg x na intervalu (0, π), a je tedy definovanávztahem y = arccotg x právě tehdy, když x = cotg y , y ∈ (0, π) . Jej́ı graf je na obr. 1.11 d).

24 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE

Př́ıklady

1. Máme naj́ıt definičńı obor funkce f(x) = arccos1− 2x

5.

Řešeńı: Definičńım oborem funkce arccosx je interval 〈−1, 1〉. Muśı tedy být splněny nerovnosti −1 ≤(1− 2x)/5 ≤ 1 . Snadno ověř́ıme, že tato nerovnost je splněna pro x ∈ 〈−2, 3〉, a tedy Df = 〈−2, 3〉 .2. Máme naj́ıt definičńı obor funkce f(x) = ln arcsin

1 + x1− x.

Řešeńı: Logaritmus je definován pro kladná reálná č́ısla, takže muśı platit arcsin((1 + x)/(1 − x)) > 0 .Definičńım oborem funkce arcsinx je interval 〈−1, 1〉 a kladné hodnoty nabývá na intervalu (0, 1〉. Muśıtedy být splněny nerovnosti 0 < (1+x)/(1−x) ≤ 1 . Snadno ověř́ıme, že pro 1−x > 0 jsou obě nerovnostisplněny současně pro x ∈ (−1, 0〉, zat́ımco pro 1 − x < 0 nejsou splněny současně pro žádné x. Je tedyDf = (−1, 0〉 .3. Máme naj́ıt funkci f−1(x) inverzńı k funkci f(x) = 5 arccos

√1− x2, x ∈ 〈0, 1〉.

Řešeńı: Funkce f(x) je prostá v celém intervalu 〈0, 1〉 a zobrazuje jej na interval 〈0, 5π/2〉. Existuje tedyinverzńı funkce, která bude definovaná na intervalu 〈0, 5π/2〉. Z předpisu y = f(x) muśıme vyjádřit xpomoćı y. Z rovnosti y = 5 arccos

√1− x2 dostaneme tak rovnost |x| =

√1− cos2(y/5) = ∣∣sin(y/5)∣∣.

Vzhledem k předpokladu x ∈ 〈0, 1〉 a y ∈ 〈0, 5π/2〉 můžeme vynechat absolutńı hodnoty, takže mámerovnost x = sin(y/5). Vyměńıme označeńı proměnných a dostaneme

f−1(x) = sinx

5, x ∈ Df−1 = 〈0, 5π/2〉.

4. Máme vypoč́ıtat následuj́ıćı hodnoty cyklometrických funkćı.a) arcsin(−√2/2).Řešeńı: Podle definice je arcsin(−√2/2) = y právě tehdy, když sin y = −√2/2, a to plat́ı pro y = −π/4.b) arctg

√3.

Řešeńı: Podle definice je arctg√

3 = y právě tehdy, když tg y =√

3, a to plat́ı pro y = π/3.c) arccos(−1/2).Řešeńı: Podle definice je arccos(−1/2) = y právě tehdy, když cos y = −1/2, a to plat́ı pro y = 2π/3.d) arccotg 1.Řešeńı: Podle definice je arccotg 1 = y právě tehdy, když cotg y = 1, a to plat́ı pro y = π/4.

Úlohy1. Nalezněte definičńı obor funkce f(x), kde

a) f(x) = arcsin

√1 + 2x

2; b) f(x) = arcsin

√1− x1 + x

; c) f(x) = arccos√x

2.

[a) 〈−1/2, 1/2〉 ; b) 〈0, 1〉 ; c) 〈0, 4〉 .]2. Vypočtěte funkčńı hodnoty a) arcsin(1/2) ; b) arccos(

√3/2) ; c) arctg(

√3/3) ; d) arccotg

√3 .

[a) π/6 ; b) π/6 ; c) π/6 ; d) π/6 .]

1.4.4 Hyperbolické a hyperbolometrické funkce

Hyperbolické funkceFunkce

f(x) = sinhx, x ∈ Df = R, (1.71)se nazývá sinus hyperbolický a je definovaná vztahem

sinhx =ex − e−x

2. (1.72)

Jej́ı graf je na obr. 1.12 .Funkce

f(x) = coshx, x ∈ Df = R, (1.73)

1.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 25

x

y

−1

−2

2

1

−1−2 1 2

y = coshx

y = sinhx

x

y

−2 −1 1 2

−1

−2

2

1

y = cotghx

y = cotghx

y = tghx

Obrázek 1.12: Grafy hyperbolických funkćı

se nazývá kosinus hyperbolický a je definovaná vztahem

coshx =ex + e−x

2. (1.74)

Jej́ı graf je na obr. 1.12 .Pro hyperbolické funkce sinhx a coshx plat́ı následuj́ıćı vztahy:

cosh2 x− sinh2 x = 1, (1.75)

sinh(x± y) = sinhx cosh y ± coshx sinh y , cosh(x± y) = coshx cosh y ± sinhx sinh y, (1.76)

sinh 2x = 2 sinhx coshx , cosh 2x = cosh2 x+ sinh2 x. (1.77)

Funkcef(x) = tghx, x ∈ Df = R, (1.78)

se nazývá tangens hyperbolický a je definovaná vztahem

tghx =ex − e−xex + e−x

=sinhxcoshx

. (1.79)

Jej́ı graf je na obr. 1.12 .Funkce

f(x) = cotghx, x ∈ Df = R \ {0} , (1.80)se nazývá kotangens hyperbolický a je definovaná vztahem

cotghx =ex + e−x

ex − e−x =coshxsinhx

. (1.81)

Jej́ı graf je na obr. 1.12 .

Hyperbolometrické funkceFunkce

f(x) = argsinhx, x ∈ Df = R, (1.82)se nazývá argument sinus hyperbolický. Je to funkce inverzńı k funkci f(x) = sinhx, a je tedy definovanávztahem y = argsinhx právě tehdy, když x = sinh y . Jej́ı graf je na obr. 1.13.Funkce

f(x) = argcoshx, x ∈ Df = 〈1,∞), (1.83)

26 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE

x

y

y = argcoshx

y = argsinhx−2 −1 1 2

2

1

−1

−2

y

−1

−1

1

y = argcotghx

y = argcotghx

x

2

1

−2

2−2y = argtghx

Obrázek 1.13: Grafy hyperbolometrických funkćı

se nazývá argument kosinus hyperbolický. Je to funkce inverzńı k funkci f(x) = coshx na intervalu〈0,+∞), a je tedy definovaná vztahem y = argcoshx právě tehdy, když x = cosh y , y ≥ 0 . Jej́ı graf jena obr. 1.13.Funkce

f(x) = argtghx, x ∈ Df = (−1, 1), (1.84)se nazývá argument tangens hyperbolický. Je to funkce inverzńı k funkci f(x) = tghx, a je tedy definovanávztahem y = argtghx právě tehdy, když x = tgh y . Jej́ı graf je na obr. 1.13.Funkce

f(x) = argcotghx, x ∈ Df = (−∞,−1) ∪ (1,+∞), (1.85)se nazývá argument kotangens hyperbolický. Je to funkce inverzńı k funkci f(x) = cotghx, a je tedydefinovaná vztahem y = argcotghx právě tehdy, když x = cotgh y . Jej́ı graf je na obr. 1.13.

Úlohy na opakováńı1. Nalezněte definičńı obor Df funkce f(x).

a) f(x) =3

4− x2 + ln(x3 − x); b) f(x) = x

2

1 + x; c) f(x) =

x√x2 − 3x+ 2 ;

d) f(x) =√

sin 2x+√

sin 3x; e) f(x) =√

2 + x− x2; f) f(x) = ln(x2 − 4);

g) f(x) =√x− 2x+ 2

+√

1− x1 + x

; h) f(x) =

√ln

5x− x24

; i) f(x) =√

sinx+12

;

j) f(x) = ln(√x− 4 +√6− x); k) f(x) = log2 log3 log4 x; l) f(x) =

√3x− x3.

a) (−1, 0) ∪ (1, 2) ∪ (2,∞) ; b) (−∞,−1) ∪ (−1,∞) c) (−∞, 1) ∪ (2,∞) ;d) ∪k∈Z (〈2kπ, 2kπ + π/3〉 ∪ 〈2kπ + 4π/3, 2kπ + 3π/2〉) ; e) 〈−1, 2〉 ;f) (−∞,−2) ∪ (2,∞) ; g) ∅ ; h) 〈1, 4〉 ; i) ∪k∈Z 〈(12k − 1)π/6, (12k + 7)π/6〉;j) 〈4, 6〉 ; k) (4,∞) ; l) (−∞,−√3〉 ∪ 〈0,√3〉 .

2. Načrtněte graf funkce f(x).

a) f(x) = |x+ 1|+ |x− 1|; b) f(x) = |x| − x; c) f(x) = |x− 1| − 1;d) f(x) = x2 + 2− |2x+ 1|; e) f(x) = x2 − 2x+ 4; f) f(x) = −x2 + 4x− 6;

g) f(x) = 1− 1− x1 + x

; h) f(x) =3x+ 22x− 3 ; i) f(x) =

2x− 13x+ 2

;

1.4. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE 27

j) f(x) =∣∣∣∣x+ 1x− 1

∣∣∣∣ ; k) f(x) =√−x− 2; l) f(x) = √4− x2;

m) f(x) = ln1

x− 1 ; n) f(x) = ln(x− 1); o) f(x) = 1 + ex−1;

p) f(x) = e−|x−1|; q) f(x) = 1− cos 2x; r) f(x) = | cotg x− 1|.3. Zjistěte, zda funkce f(x) je sudá nebo lichá.

a) f(x) = 3√

(1− x)2 + 3√

(1 + x)2; b) f(x) = 2−x2; c) f(x) = x+ x2;

d) f(x) = ln(x+√

1 + x2); e) f(x) = 3x− x3; f) f(x) = sinx− cosx;

g) f(x) =ax − 1ax + 1

; a > 0; h) f(x) = x · ax − 1ax + 1

, a > 0; i) f(x) =sinxx

.

[a) sudá; b) sudá; c) ani sudá, ani lichá; d) lichá; e) lichá;

f) ani sudá, ani lichá; g) lichá; h) sudá; i) sudá.

]

4. Ukažte, že plat́ı rovnosti

a) argsinhx = ln(x+√

1 + x2), x ∈ R ; b) argcoshx = ln(x+√x2 − 1), x > 1 ;

c) argtghx =12

ln1 + x1− x , |x| < 1 ; d) argcotghx =

12

lnx+ 1x− 1 , |x| > 1 .

28 KAPITOLA 1. ČÍSELNÉ MNOŽINY A REÁLNÉ FUNKCE

Kapitola 2

Spojitost a limita funkce

2.1 Spojitost funkce

Kĺıčová slova: Funkce spojitá v bodě, spojitá na množině, spojitá v bodě zprava, spojitá v bodě zleva

2.1.1 Definice spojitosti

S pojmem spojité změny se setkáváme v intuitivńım smyslu v běžné hovorové řeči. Tato intuitivńıpředstava spojité změny jako protikladu změny, při ńıž docháźı ke skok̊um, stoj́ı rovněž v pozad́ı de-finice spojitosti funkce. Volně řečeno, funkci f(x) budeme považovat za spojitou, jestliže malým změnámproměnné x budou odpov́ıdat malé změny funkčńıch hodnot f(x). Na obr. 2.1 a) je načrtnut graf funkce,která je v bodě x0 spojitá, zat́ımco na obr. b) je znázorněna situace, kdy funkce neńı v bodě x0 spojitá,ale má tam skok.

x

y

f

x0 x

f(x0)

f(x)

f(x0) + ε

x0 + δ

U(x0, δ)

U(f(x0), ε)

a) spojitost v bodě

x

y

f

x0x

f(x0)

f(x)

f(x0) + ε

f(x0)− ε

x0 + δ

U(x0, δ)

U(f(x0), ε)

b) nespojitost v bodě

Obrázek 2.1: K definici spojitosti a nespojitosti funkce v bodě

Definice spojitosti funkce v boděJe dána funkce f a bod x0 ∈ Df . Řı́káme, že funkce f je spojitá v bodě x0 právě tehdy, když ke každémuokoĺı U(f(x0), ε) ≡ (f(x0)− ε, f(x0) + ε) funkčńı hodnoty f(x0) existuje okoĺı U(x0, δ) ≡ (x0 − δ, x0 + δ)bodu x0 tak, že každý bod tohoto okoĺı, v němž je funkce f definovaná, se zobraźı do okoĺı U(f(x0), ε).

Formulace pomoćı absolutńıch hodnot a kvantifikátor̊u(i) Funkce f je spojitá v bodě x0 právě tehdy, když ke každému č́ıslu ε > 0 existuje č́ıslo δ > 0 tak, žepro všechna x ∈ Df , pro která je |x− x0| < δ, je |f(x)− f(x0)| < ε.

29

30 KAPITOLA 2. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE

(ii) Funkce f je spojitá v bodě x0 právě tehdy, když

∀ U(f(x0), ε) ∃U(x0, δ) tak, že (x ∈ U(x0, δ) ∩ Df ⇒ f(x) ∈ U(f(x0), ε)), (2.1)nebo pomoćı nerovnost́ı

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tak, že (x ∈ Df , x0 − δ < x < x0 + δ ⇒ f(x0)− ε < f(x) < f(x0) + ε). (2.2)

Poznámka Následuj́ıćı vlastnost spojitých funkćı budeme v daľśıch úvahách často použ́ıvat. Pro jedno-duchost formulace předpokládáme, že funkce je definovaná v nějakém celém okoĺı bodu x0.Je-li funkce f spojitá v bodě x0 a je-li v bodě x0 kladná, resp. záporná, pak je kladná, resp. záporná i vnějakém celém okoĺı bodu x0.D̊ukaz: Tvrzeńı dokážeme pro f(x0) > 0. K ε = f(x0)/2 > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všechna x ∈(x0 − δ, x0 + δ) je 0 < f(x0)/2 = f(x0)− f(x0)/2 = f(x0)− ε < f(x) .Definice spojitosti na množiněŘı́káme, že funkce f je spojitá na množině M ⊂ Df právě tehdy, když je spojitá v každém bodě x0 ∈ M.Spojitost v bodě zprava a zlevaNahrad́ıme-li v definici spojitosti okoĺı U(x0, δ) pravým, resp. levým okoĺım U+(x0, δ) = 〈x0, x0 + δ) ,resp. U−(x0, δ) = 〈x0 − δ, x0) , dostaneme definici spojitosti funkce f v bodě x0 zprava, resp. zleva. Naobr. 2.1 b) je načrtnut graf funkce, která v bodě x0 je spojitá zprava a neńı v něm spojitá.

Spojitost vektorové funkceŘı́káme, že vektorová funkce f = (f1, f2, . . . , fn) je spojitá v bodě x0, resp. spojitá na množině M právětehdy, když každá jej́ı složka je spojitá v bodě x0, resp. na množině M.

2.1.2 Operace se spojitými funkcemi

Jsou-li funkce f , g spojité v bodě x0 ∈ Df ∩Dg, pak také f ± g, f · g, |f | a pro g(x0) 6= 0 i f/g jsou spojitéfunkce v bodě x0.Analogické tvrzeńı plat́ı pro spojitost na množině a spojitost zprava i zleva.D̊ukaz: Dokážeme tvrzeńı pro spojitost součtu. Ze spojitosti funkćı f a g plyne, že ke každému ε > 0existuj́ı č́ısla δ1 > 0 a δ2 > 0 tak, že pro x ∈ Df splňuj́ıćı podmı́nku |x− x0| < δ1 je |f(x)− f(x0)| < ε/2a pro x ∈ Dg splňuj́ıćı podmı́nku |x − x0| < δ2 je |g(x) − g(x0)| < ε/2. Položme δ = min{δ1, δ2} > 0.Pak pro všechna x ∈ Df ∩ Dg splňuj́ıćı podmı́nku |x − x0| < δ plat́ı |(f(x) + g(x))− (f(x0) + g(x0))| ≤|f(x)− f(x0)|+ |g(x)− g(x0)| < ε/2 + ε/2 = ε . To je ovšem podmı́nka pro spojitost funkce f + g v boděx0.Analogicky se dokazuj́ı zbývaj́ıćı vlastnosti. Pro součin využijeme nerovnosti |f(x) · g(x)− f(x0) · g(x0)|= |f(x) ·g(x)−f(x) ·g(x0)+f(x) ·g(x0)− (f(x0) ·g(x0))| ≤ |f(x)| · |g(x)−g(x0)|+ |g(x0)| · |f(x)−f(x0)|,pro |f | využijeme nerovnost ||f(x)| − |f(x0)|| ≤ |f(x)− f(x0)| a pro pod́ıl využijeme nerovnosti

∣∣∣∣f(x)g(x)

− f(x0)g(x0)

∣∣∣∣ =|(f(x) · g(x0)− f(x0) · g(x0))− (f(x0) · g(x)− f(x0) · g(x0))|

|g(x) · g(x0)| ≤

≤ |f(x)− f(x0)||g(x0)|+ |f(x0)||g(x)− g(x0)||g(x)||g(x0)| .

Poznámka Uvedené vlastnosti spojitých funkćı umožňuj́ı dokazovat spojitost funkćı, které vznikly zespojitých funkćı pomoćı algebraických operaćı sč́ıtáńı, odeč́ıtáńı, násobeńı a děleńı. Stejnému účelu slouž́ıi následuj́ıćı tvrzeńı.

Spojitost složené funkceJe-li funkce g spojitá v bodě x0, f spojitá v bodě y0 = g(x0), pak také jejich kompozice f ◦ g je spojitáv bodě x0.Je-li funkce g spojitá na množině M, f spojitá na množině H = g(M), pak funkce f ◦ g je spojitá namnožině M.Volně řečeno, kompozice spojitých funkćı je spojitá funkce.D̊ukaz: Ke každému ε > 0 existuje δ0 > 0 takové, že pro všechna y ∈ Df splňuj́ıćı podmı́nku |y− y0| < δ0plat́ı |f(y)− f(y0)| < ε. K č́ıslu δ0 > 0 existuje δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ Dg splňuj́ıćı podmı́nku|x−x0| < δ plat́ı |g(x)−g(x0)| < δ0. Odtud plyne, že pro všechna x ∈ Dg splňuj́ıćı podmı́nku |x−x0| < δplat́ı |f(g(x))− f(g(x0))| < ε, což jsme měli dokázat.

2.1. SPOJITOST FUNKCE 31

2.1.3 Vlastnosti funkćı spojitých na intervalu

1. Weierstrassova1 věta Necht’ funkce f(x) je spojitá na kompaktńım (tj. omezeném a uzavřeném)intervalu I. Pak funkce f(x) je na intervalu I omezená a nabývá na něm svého maxima a minima, tj. vintervalu I existuj́ı body xm a xM takové, že

f(xm) = min{f(x) | x ∈ I}, f(xM ) = max{f(x) | x ∈ I}.

D̊ukaz: Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že funkce f neńı omezená, tj. že pro žádné k ∈ Rneplat́ı |f(x)| ≤ k pro všechna x ∈ I = 〈a, b〉. Rozděĺıme interval I na dvě poloviny. Dostaneme takdva uzavřené intervaly

〈a, (a + b)/2

〉a〈(a + b)/2, b

〉. V jednom z těchto d́ılč́ıch interval̊u neńı funkce

omezená. Označme tento interval I1. Jestliže budeme opakovat tento proces, dostaneme posloupnost dosebe vložených uzavřených interval̊u In délky 2−n(b − a) takových, že v nich neplat́ı odhad |f(x)| ≤ kpro žádné k ∈ R. Protože jsou intervaly In uzavřené, je

∞⋂n=1In = {x0}, kde x0 ∈ I. Nav́ıc muśı být

|f(x0)| ≥ k pro každé k ∈ R, a tedy funkce f nenabývá v bodě x0 konečnou hodnotu, což je ve sporu spředpokladem, že funkce f je v bodě x0 spojitá. Funkce f tedy muśı být v intervalu I omezená.Označme M = sup{f(x)|x ∈ I} a předpokládejme, že funkce nenabývá tuto hodnotu v žádném boděx ∈ I. Pak muśı být f(x) < M pro všechna x ∈ I, takže M−f(x) > 0, a tedy funkce g(x) = 1/(M−f(x))je spojitá v intervalu I. Podle prvńı části je pak g(x) omezená, a tedy 0 < g(x) = 1/(M − f(x)) < k provšechna x ∈ I a nějaké k > 0. Z této nerovnosti plyne 0 < 1/k < M −f(x), a tedy f(x) < M −1/k < Mpro všechna x ∈ I, což je ve sporu s předpokladem, že M je supremum funkce f na intervalu I. T́ım jedokázána existence č́ısla xM z tvrzeńı věty. Obdobně se dokáže i tvrzeńı o minimu funkce.

2. Bolzanova2 věta Necht’ funkce f(x) je spojitá na kompaktńım intervalu 〈a, b〉 a necht’ f(a)f(b) < 0.Pak existuje alespoň jeden bod c ∈ 〈a, b〉 tak, že f(c) = 0.D̊ukaz: Necht’ f(a)f(b) < 0. Položme x∗ = (a + b)/2. Je-li f(x∗) = 0, je věta dokázána. Pokud neńı,pak bud’ f(a)f(x∗) < 0 nebo f(x∗)f(b) < 0. Podle toho, která podmı́nka je splněna, nahrad́ıme interval〈a, b〉 intervalem 〈a, x∗〉, nebo 〈x∗, b〉. Tento postup opakujeme. Dostáváme tak posloupnost do sebevložených interval̊u takových, že následuj́ıćı má vždy polovičńı délku. Bud’ po konečném počtu krok̊udostaneme při p̊uleńı bod c ∈ (a, b), pro který je f(c) = 0, nebo źıskáme posloupnost interval̊u 〈an, bn〉,kde f(an)f(bn) < 0, pro které plat́ı

∞⋂n=1〈an, bn〉 = {c}, kde c je hledaný bod. Skutečně, délka intervalu

〈an, bn〉 neńı větš́ı než (b−a)/2n, takže ke každému okoĺı bodu c lze zvolit n tak veliké, že obě č́ısla an, bnlež́ı v tomto okoĺı. Kdyby bylo f(c) > 0, musely by pak i obě funkčńı hodnoty f(an) a f(bn) být kladné,což je spor. Analogicky pro f(c) < 0. Muśı tedy být f(c) = 0.

3. Darbouxova3 věta Necht’ funkce f(x) je spojitá na kompaktńım intervalu 〈a, b〉. Označme M =max{f(x)|x ∈ 〈a, b〉} a m = min{f(x)|x ∈ 〈a, b〉}. Pak f(〈a, b〉) = 〈m,M〉 , tj. ke každému y0 ∈ 〈m,M〉existuje x0 ∈ 〈a, b〉 tak, že f(x0) = y0.Volněji řečeno, funkce f(x) zobrazuje interval opět na interval.D̊ukaz: Je-li y0 = m nebo y0 = M , plyne tvrzeńı z Weierstrassovy věty. Je-li m < y0 < M , pak podle téževěty existuj́ı body xm, xM ∈ 〈a, b〉 takové, že m = f(xm) a M = f(xM ). Potom v intervalu 〈xm, xM 〉,resp. 〈xM , xm〉 je funkce spojitá a plat́ı f(xm) − y0 = m − y0 < f(x) − y0 < f(xM ) − y0 = M − y0 .Protože je m − y0 < 0 a M − y0 > 0, podle Bolzanovy věty existuje bod x0 ∈ 〈xm, xM 〉 ⊂ 〈a, b〉, resp.x0 ∈ 〈xM , xm〉 ⊂ 〈a, b〉 takový, že f(x0)− y0 = 0, a tedy f(x0) = y0.Poznámka 1. Na obr. 2.2 jsou načrtnuty grafy funkćı ilustruj́ıćı některá tvrzeńı tohoto odstavce a takésituace, které vznikaj́ı porušeńım předpoklad̊u. Obrázek a) ilustruje tvrzeńı Weierstrassovy a Darbouxovyvěty. Na obrázku b) se předpokládá, že interval neńı uzavřený ani v bodě a ani v bodě b. Infimum funkce fna intervalu (a, b) je označeno f(a+) a této hodnoty zobrazená funkce nenabývá v žádném bodě intervalu(a, b). V levém prstencovém okoĺı bodu b funkce nabývá libovolně velikých hodnot, takže neexistuje anijej́ı maximum. O těchto situaćıch se bude podrobněji pojednávat v souvislosti s pojmem limity funkce.Obrázek c) ukazuje, že nespojitá funkce může (ale nemuśı) zobrazovat interval na několik disjunktńıchinterval̊u.

1Weierstrass, Karl Th. W. (1815-1897), německý matematik, profesor na berĺınské universitě, dokončil postupnéupřesňováńı matematických postup̊u v diferenciálńım a integrálńım počtu

2Bolzano, Bernard (1781-1848), největš́ı český matematik 19. stolet́ı, patř́ı k zakladatel̊um diferenciálńıho počtu a teoriemnožin; rovněž významný filosof a teolog, profesor na pražské universitě

3Darboux, Gaston J. (1842-1917), profesor na Collège de France, rozv́ıjel diferenciálńı geometrii a jej́ı aplikace v mechanice

32 KAPITOLA 2. SPOJITOST A LIMITA FUNKCE

y

xM

x

xm

f(xM )f

f(xm)

a b

a)

y

x

a b

f(a+)f

b)

y

x

a

f

f

h

d1c2

c1

d2

b

c)

Obrázek 2.2: Ilustrace vlastnost́ı funkćı spojitých na kompaktńım intervalu

4. Spojitá funkce f(x) je prostá na intervalu I právě tehdy, když je na intervalu I ryze monotónńı.D̊ukaz: Předpokládejme, že funkce f je prostá a neńı ryze monotónńı. Potom existuj́ı body x1, x2, x3 ∈ Itakové, že x1 < x2 < x3 a f(x1) < f(x3) < f(x2). (Pro zbývaj́ıćı tři možnosti se následuj́ıćı úvahaprovád́ı analogicky.) Funkce f je spojitá v intervalu 〈x1, x2〉, tud́ıž podle Darbouxovy věty existuje bodx∗ ∈ (x1, x2) tak, že f(x∗) = f(x3). Je však x∗ < x3 a současně f(x∗) = f(x3), což je spor s předpokladem,že funkce f je prostá.Tvrzeńı, že ryze monotónńı funkce je prostá, plyne bezprostředně z definice rostoućıch a klesaj́ıćıch funkćı.

5. Je-li funkce f(x) ryze monotónńı na intervalu I a je-li obraz f(I) intervalu I opět interval, pak funkcef(x) je spojitá na intervalu I.D̊ukaz: Pro větš́ı přehlednost a jednodušš́ı zápis budeme předpokládat, že interval I je otevřený a žefunkce f(x) je rostoućı.Necht’ je dáno ε > 0. Máme naj́ıt kladné č́ıslo δ tak, aby pro každé č́ıslo x ∈ U(x0, δ) ∩ Df ležela jehofunkčńı hodnota f(x) v okoĺı U(f(x0), ε). Podle předpokladu je obraz J = f(I) intervalu I opět interval.Vzhledem k tomu, že v definici spojitosti může být ε libovolně malé, můžeme předpokládat, že celýinterval U(f(x0), ε) = (f(x0) − ε, f(x0) + ε) lež́ı v množině J . Pak ovšem existuj́ı č́ısla a,b v intervaluI taková, že f(a) = f(x0)− ε, f(b) = f(x0) + ε. Jelikož funkce f(x) je podle předpokladu rostoućı, muśıplatit a < x0 < b. Nyńı stač́ı volit č́ıslo δ > 0 tak, aby bylo U(x0, δ) = (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ (a, b).Poznámka 2. Pomoćı tohoto tvrzeńı lze snadno dokázat, že každá elementárńı funkce je spojitá v celémsvém definičńım oboru. Pro každou elementárńı funkci f(x) lze každý kompaktńı podinterval M jej́ıhodefiničńıho oboru rozložit na sjednoceńı konečného počtu interval̊u M = M1 ∪M2 ∪ . . . ∪Mk, na nichžje funkce ryze monotónńı, a tedy spojitá. Pak stač́ı dokázat př́ıpadně spojitost funkce f(x) v hraničńıchbodech těchto interval̊u, a t́ım je dokázána spojitost funkce na množině M .

6. Je-li funkce f(x) na intervalu I spojitá a rostoućı, resp. klesaj́ıćı, pak také inverzńı funkce f−1 je naintervalu J = f(I) spojitá a rostoućı, resp. klesaj́ıćı.D̊ukaz: Provedeme d̊ukaz pro rostoućı funkci f . Z definice rostoućı funkce plyne, že pro všechna x1, x2 ∈ Ije x1 < x2 právě tehdy, když f(x1) < f(x2). Označ́ıme-li y1 = f(x1) a y2 = f(x2), pak lze tuto ekvivalencipřepsat tak, že f−1(y1) < f−1(y2) právě tehdy, když y1 < y2. To však znamená, že funkce f−1 je rostoućıv intervalu J = f(I). Protože je funkce f spojitá, zobrazuje interval 〈x1, x2〉 na interval 〈y1, y2〉. Protojej́ı inverzńı funkce f−1 zobrazuje interval 〈y1, y2〉 na interval 〈x1, x2〉. Jak jsme ukázali, je inverzńı funkcerostoućı, a tedy podle tvrzeńı 5. spojitá.

2.1.4 Metoda bisekce

Bolzanova věta ř́ıká, že když funkce f je v intervalu 〈a, b〉 spojitá a splňuje podmı́nk