Obratnye trigonometricheskie funkcii
Transcript of Obratnye trigonometricheskie funkcii
![Page 1: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/1.jpg)
Обратные тригонометрические
функции
Работу выполнила
Учитель МАОУ «Лицей №10»
Зололтухина Л.В
![Page 2: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/2.jpg)
Содержание:
1. Обратные тригонометрические функции, свойства, графики
2. Историческая справка
3. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции
4. Решение уравнений
5. Задания различного уровня сложности
![Page 3: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/3.jpg)
Из истории тригонометрических функций•Древняя Греция.III в до н. э. Евклид, Аполоний Пергский. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике.•Ок. 190 до н. э Гиппарх Никейский. Возможно он первый составил таблицу хорд, аналог современных таблиц тригонометрических функций.•Абу-аль-Ваф ввел тригонометрические функции тангенс и котангенс.•Первая половина XV в. Аль-Каши произвел уникальные расчеты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом 1’.•I-II вв. индийские математики вводят понятие синуса.•1423-1461- австрийский математик и астроном Георг фон Пойербах был одним из первых европейских ученых, которрый применил понятие синуса.•1602-1675 французский математик, астроном и физик Жиль Роберваль построил синусоиду. •XV в. Региомонтан ввел термин тангенс.•1739 г. И. Бернулли ввел современные обозначения синуса и косинуса.•1770 г. Георг Симон Клюгель вводит новый термин тригонометрические функции. •1772 г. Ж. Лагранж вводит первую из шести обратных тригонометрических функций. •Карл Шерфер ввел современные обозначения для обратных тригонометрических функций.
![Page 4: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/4.jpg)
Arcsin х
Арксинусом числа m называется такой угол x, для которого sinx=m, -π/2≤X≤π/2,|m|≤1
Функция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей.
График обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы I - III координатных углов.
![Page 5: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/5.jpg)
Свойства функции y = arcsin x
1)Область определения: отрезок [-1; 1];
2)Область изменения: отрезок [-π/2,π/2];
3)Функция y = arcsin x нечетная: arcsin (-x) = - arcsin x;
4)Функция y = arcsin x монотонно возрастающая;
5)График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.
![Page 6: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/6.jpg)
Arccos х
Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого:
cos x = m0 ≤ x ≤ π|m|≤1
![Page 7: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/7.jpg)
Функция y= arccosx является строго убывающей
cos(arccosx) = x при -1 ≤ x ≤ 1arccos(cosy) = y при 0 ≤ y ≤ π
D(arccosx)= [ −1;1]]
E(arccosx)= [0;π]]
Свойства функции y = arccos x .
![Page 8: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/8.jpg)
Arctgх
Арктангенсом числа m называется такой угол x, для которого tgx=m, -π/2<X<π/2.График функции y=arctgxПолучается из графика Функции y=tgx, симметриейОтносительно прямой y=x.
![Page 9: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/9.jpg)
y=arctgх
1)Область определения: R
2)Область значения: отрезок [-π/2,π/2];
3)Функция y = arctg x нечетная: arctg (-x) = - arctg x;
4)Функция y = arctg x монотонно возрастающая;
5)График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.
y
yx
2
2
![Page 10: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/10.jpg)
Arcctgх
Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого ctgx=a, 0<x<π
2
![Page 11: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/11.jpg)
• Функция y=arcctgx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.
• Функция y=arcctgx является строго убывающей.
• ctg(arcctgx)=x при xєR
• arcctg(ctgy)=y при 0 < y < π
• D(arcctgx)=(-∞;∞)
• E(arcctgx)=(0; π)
Arcctgх
![Page 12: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/12.jpg)
Преобразование выражений
.28)3
7(712
4
3arcsin712
4
3arcsin712
,3
7
,4
7
16
91sin1cos,
4
3-sin )3
.42
224
4cos24 )2
.243
1324
6324 )1
:Решение
.4
3arcsin712 )3
;1cos24 )2 ;5,0arcsin324 )1
:Вычислить
2
ctgctg
ctg
tg
ctg
arcctgtg
![Page 13: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/13.jpg)
Преобразование выражений
.4
B т ,1 как Так .1120239119
119120239
239
1
119
1201
239
1
119
120
119
120
144
251
12
52
4,12
5
25
11
5
12
1
22
41
4)4(
:равенства этого частейобеих от ттангенВозьмем
4 вычислить Надо239
1,
5
1 ттогд,
239
1,
5
1
:239
1
5
14
ракалькулято без Вычислить 1.
2
tgBtgB
tgtg
tgtg
tgtg
tgtgtgtgB
В
tgtgarctgarctg
Решение
arctgarctg
![Page 14: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/14.jpg)
.arctg(-2))25
3arccos
2
13.tg(
;arctg(-2))25
3arccos
2
1sin(..2
);5
4scos(2arcco 1.
:Вычислить
решения льногосамостояте для Упражнения
![Page 15: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/15.jpg)
Уравнения, содержащие
обратные тригонометрические функции
.2
1sin x,
2
1arcsinx
,2
;2
-2 но,2
1t,2t
.0252t
тогда,2
;2
- tпричем t,arcsinx Пусть
.02arcsin52(arcsinx) уравнение Решить.2
.4
22 x,
2
2-12x откуда ,
4
3cos12x
уравнению оравносильн уравнение данное числа
аарккосинус юопределени по тт,;04
3 как Так
.4
31)arccos(2x уравнение Решить.1
21
2
2
t
x
![Page 16: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/16.jpg)
Упражнения для самостоятельного решения
.32
xarcsin-arcsinx.3
,34
x-1arctg.2
;3
3)x1.arccos(2
:уравнения Решить
![Page 17: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/17.jpg)
Задания различного уровня сложности
11.- равно выражения данного Значение
,6
11)
6
5(sin(arccos
поэтому значения, льныенеотрицате ттольк
принимаеет 0; промежутке наsinx f(x) Функция
.36
11)
6
5(1
))6
5(arccos(cos1))
6
5(arccos(sin
тт,cos1sinПоскольку
)).6
5(-sin(arccos116))
6
5arccos(-
2
3cos(116
:приведенияформулу Применим :Решение
)).6
5arccos(-
2
3cos(116
выражения значение Найти
2
22
22
tt
![Page 18: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/18.jpg)
Задания различного уровня сложности
.8
1 xноокончатель получаем ОДЗ учетом С
.8
1,1,0178x или 781
812(2x)-1arcsin2x)(2sin-1n2x)cos(2arcsi
7x,s7x)cos(farcco как Так
7x)cos(arccosn2x)cos(2arcsi
:следующему оравносильн уравнение промежутке этом На
.7
1x
7
1- есть то
7
1x
7
12
1x
2
1-
или 17x1-
12x1-
:уравнения ОДЗ найдем :Решение
arccos7x.2arcsin2x
уравнение Решить
22
222
xxxxx
x
![Page 19: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/19.jpg)
Задания различного уровня сложности
.4
1arccos- что Получим,
.4
1-1-
16
621-
22coscos Найдем
.4
6
2
3
2
2
2cos что Получим, .sin
2
2
2cos углами.
искомым и данныммежду емсоотношени мсяВоспользуе
:Решение
гранями. боковымимежду угол Найдите
.60 равный угол, основания плоскостью с образует
пирамиды льнойчетырехуго правильной грань Боковая
:задачу Решить
2
0
![Page 20: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/20.jpg)
Таблицы значений обратных тригонометрических функций
В следующей таблице приведены значения функций арксинуса и арккосинуса для некоторых значений углов:
![Page 21: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/21.jpg)
В следующей таблице приведены значения функций арктангенса и арккотангенса для некоторых значений углов:
![Page 22: Obratnye trigonometricheskie funkcii](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022051113/55b81b80bb61ebca798b464a/html5/thumbnails/22.jpg)
Литература:1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобр. учреждений/ Ш.А.
Алимов, Просвещение, 2009.-384 с.
2. Тесты по математике для абитуриентов.-М.:Айрис-пресс,2003.-352 с.
3. За страницами учебника математики/С.А Литвинова, Л.В. Куликова.- 2-е изд.,дополнительное.М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008.-176с.