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General Physics Lab (International Campus) Department of PHYSICS YONSEI University

Lab Manual

The Motion of a Rigid-Body Ver.20180410

Lab Office (Int’l Campus)

Room 301, Building 301 (Libertas Hall B), Yonsei University 85 Songdogwahak-ro, Yeonsu-gu, Incheon 21983, KOREA (☏ +82 32 749 3430) / 16

[국제캠퍼스 실험]

강체의 공간 운동

회전하는 강체의 관성 모멘트와 회전 운동 에너지에 대해 이해하고, 회전 운동과 병진 운동을 함께 하는 강체의 운동을

관찰하여 회전 운동 에너지를 포함하는 역학적 에너지의 보존 법칙을 확인한다.

외부로부터 힘이 가해져도 크기나 형태가 바뀌지 않는 이

상적인 물체를 강체(rigid body)라고 한다. 회전 운동에서 다

루는 물리량은 전체 질량이 동일해도 질량이 어떻게 분포

하느냐에 따라 결과가 달라지기 때문에, 질량 분포의 형태

가 바뀌지 않는 강체의 개념을 도입하여 운동을 설명한다.

그림 1 각속도 𝜔𝜔 로 회전하는 강체

제자리에서 회전하는 강체는 병진 운동을 하지 않기 때문

에 운동 에너지가 없다고 오인하기 쉽다. 그런데 그림 1 과

같이 강체를 질량이 𝑚𝑚1,𝑚𝑚2,⋯ ,𝑚𝑚𝑖𝑖 인 입자들로 나누어서

생각해보면, 강체가 회전할 때 각 입자가 회전축을 중심으

로 원형 궤도를 따라 운동하고 있는 것을 알 수 있다. 즉,

각 입자는 운동 에너지를 가지고 있으며 강체의 운동 에너

지는 각 입자의 운동 에너지의 총 합과 같으므로 회전하는

강체는 운동 에너지를 가지게 된다. 이와 같은 운동 에너지

를 회전 운동 에너지(rotational kinetic energy)라고 한다.

그림 1 과 같이 강체를 구성하는 질량 𝑚𝑚1,𝑚𝑚2,⋯ ,𝑚𝑚𝑖𝑖 의 입

자가 회전축으로부터 𝑟𝑟1, 𝑟𝑟2, ⋯ , 𝑟𝑟𝑖𝑖 의 거리에 있고 각속도

𝜔𝜔 로 회전하면, 𝑖𝑖 번째 입자의 속력 𝑣𝑣𝑖𝑖 는 다음과 같다.

𝑣𝑣𝑖𝑖 = 𝑟𝑟𝑖𝑖𝜔𝜔 (1)

따라서, 𝑖𝑖 번째 입자의 운동 에너지는 다음과 같다.

12𝑚𝑚𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖2 =

12𝑚𝑚𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖2𝜔𝜔2 (2)

회전하는 강체의 총 운동 에너지는 각 입자의 운동 에너

지의 합과 같으므로 다음의 식을 유도할 수 있다.

𝐾𝐾 = �12𝑚𝑚𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖2𝜔𝜔2

𝑖𝑖

=12��𝑚𝑚𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖2

𝑖𝑖

�𝜔𝜔2 (3)

Objective

Theory

----------------------------- Reference --------------------------

Young & Freedman, University Physics (14th ed.), Pearson, 2016

9.4 Energy in Rotational Motion

10.3 Rigid-Body Rotation about a moving axis

-----------------------------------------------------------------------------


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식(3)에서 괄호 안의 값을 주어진 회전축에 대한 강체의

관성 모멘트(moment of inertia)라고 정의하며, 기호 𝐼𝐼 를 사

용하여 표기한다. 관성 모멘트의 SI단위는 kg ∙ m2 이다.

𝐼𝐼 = �𝑚𝑚𝑖𝑖𝑟𝑟𝑖𝑖2𝑖𝑖

(4)

식(4)와 같이 관성 모멘트는 질량을 가진 입자의 분포 형

태에 따라 결정되는데, 강체의 총 질량이 일정하다면 강체

를 구성하는 입자의 분포가 회전축에서 멀어질수록 관성

모멘트가 증가한다. 관성 모멘트는 병진 운동의 질량 또는

관성 질량(inertial mass)에 대응하는 회전 운동의 관성을 나

타내는 물리량이다. 물체의 관성 질량이 증가할수록 물체의

병진 운동 상태를 바꾸기 어려운 것처럼, 관성 모멘트가 증

가할수록 회전 운동 상태를 바꾸기 어려워진다. 이와 같은

이유로 관성 모멘트를 회전 관성(rotational inertia)이라고도

한다. 그림 2 는 대표적인 형태를 가진 강체의 관성 모멘트

이다.

강체의 회전 운동 에너지 𝐾𝐾 는 식(3), (4)로부터 관성 모멘

트를 사용하여 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있다.

𝐾𝐾 =12 𝐼𝐼𝜔𝜔

2 (5)

회전 운동과 병진 운동을 함께하는 강체의 운동 에너지는,

강체를 구성하는 작은 입자의 운동 에너지로부터 구할 수

있다. 그림 3 에서 질량 𝑚𝑚𝑖𝑖 을 가진 입자의 속도 𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖 는, 병

진 운동을 하는 질량 중심(center of mass)의 속도 𝒗𝒗��⃗ cm 와

질량 중심에 대한 입자의 상대 속도 𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖′ 의 합과 같다.

𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖 = 𝒗𝒗��⃗ cm + 𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖′ (6)

그림 2 다양한 강체의 관성모멘트

이 입자의 운동 에너지 𝐾𝐾𝑖𝑖 = (1 2⁄ )𝑚𝑚𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖2 = (1 2⁄ )𝑚𝑚𝑖𝑖(𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖 ⋅ 𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖)

에 식(6)을 대입하면 다음의 식을 유도할 수 있다.

𝐾𝐾𝑖𝑖 =

12𝑚𝑚𝑖𝑖�𝒗𝒗��⃗ cm + 𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖

′� ⋅ �𝒗𝒗��⃗ cm + 𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖′�

=12𝑚𝑚𝑖𝑖�𝑣𝑣cm2 + 2𝒗𝒗��⃗ cm ⋅ 𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖

′ + 𝑣𝑣𝑖𝑖′2�

(7)

강체의 총 운동 에너지 𝐾𝐾 는 강체를 구성하는 모든 입자

의 운동 에너지의 총 합이며, 다음과 같이 정리할 수 있다.

𝐾𝐾 = �𝐾𝐾𝑖𝑖

=12 ��𝑚𝑚𝑖𝑖� 𝑣𝑣cm2 + 𝒗𝒗��⃗ cm ⋅ ��𝑚𝑚𝑖𝑖𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖

′� + ��12𝑚𝑚𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖′

2� (8)

식(8)에서 첫째 항의 ∑𝑚𝑚𝑖𝑖 는 강체의 총 질량 𝑀𝑀 과 같다.

둘째 항은 질량 중심의 정의에 의해 ∑𝑚𝑚𝑖𝑖𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖′ = 0 이 된다.

또한, 질량 중심을 지나는 축에 대한 관성 모멘트를 𝐼𝐼cm 이

라고 하면, 마지막 항은 식(2)~(4)에 따라 (1 2⁄ )𝐼𝐼cm𝜔𝜔2 이

된다. 따라서, 회전 운동과 병진 운동을 함께하는 강체의

총 운동 에너지는 다음과 같다.

𝐾𝐾 =12𝑀𝑀𝑣𝑣cm

2 +12 𝐼𝐼cm𝜔𝜔

2 (9)

그림 3 회전운동을 하면서 동시에 병진운동을 하는 강체.

강체 내의 한 입자의 속도 𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖 는 질량 중심(center of mass)의 속도 𝒗𝒗��⃗ cm 와 질량 중심에 대한 입자의 상대속도 𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖

′ 의 합과 같다.


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지면을 굴러가는 강체는 회전 운동과 병진 운동을 함께한

다. 이 강체가 지면에서 미끄러지지 않고 굴러가기 위해서

는, 그림 4 와 같이 강체의 질량 중심의 이동 속도 𝒗𝒗��⃗ cm 과

지면에 맞닿은 강체 표면의 회전 속도 𝒗𝒗��⃗ 1′ 이 반대 방향이

며 크기가 동일해야 한다. 따라서, 반경이 𝑅𝑅 , 질량 중심에

대한 회전 각속도가 𝜔𝜔 인 강체가 미끄러지지 않고 굴러갈

조건은 다음과 같다.

𝑣𝑣cm = 𝑅𝑅𝜔𝜔 (10)

경사면에서 미끄러지지 않고 굴러가는 강체의 속력은 회

전 운동 에너지를 포함한 역학적 에너지 보존 법칙을 사용

하여 구할 수 있다. 기준점으로부터 높이 ℎ 에 있는 강체

의 총 역학적 에너지는 다음과 같다.

𝐸𝐸 = 𝐾𝐾 + 𝑈𝑈 =12𝑀𝑀𝑣𝑣cm


2 + 𝑀𝑀𝘨𝘨ℎ (11)

그림 5 와 같이 높이 ℎ 에서 정지해 있는 질량 𝑀𝑀, 반경 𝑅𝑅

인 구형 강체(solid sphere)가 미끄러지지 않고 굴러서 높이

0 의 기준점(𝑃𝑃2)에 도달할 때의 속력은, 식(12)~(15)의 조건

을 사용하여 식(16)과 같이 유도할 수 있다.

𝐾𝐾1 + 𝑈𝑈1 = 𝐾𝐾2 + 𝑈𝑈2 (12)

0 + 0 + 𝑀𝑀𝘨𝘨ℎ =12𝑀𝑀𝑣𝑣cm,2

2 +12 𝐼𝐼cm𝜔𝜔2

2 + 0 (13)

𝐼𝐼cm =25𝑀𝑀𝑅𝑅

2 (Solid Sphere) (14)

𝜔𝜔2 =𝑣𝑣cm,2

𝑅𝑅 (15)

𝑣𝑣cm,2 = �107 𝘨𝘨ℎ (16)

그림 4 미끄러지지 않고 구르는 바퀴 표면의 운동은 질량

중심의 속도 𝒗𝒗��⃗ cm 과 질량 중심에 대해 회전하는 상대 속도 𝒗𝒗��⃗ 𝑖𝑖

′ 의 합과 같다.

높이가 2𝑟𝑟 인 원형 궤도 상단(𝑃𝑃3)에서의 이 강체의 속력도

마찬가지 방법으로 구할 수 있으며 결과는 다음과 같다.

𝑣𝑣cm,3 = �107 𝘨𝘨(ℎ − 2𝑟𝑟) (17)

이 구형 강체(solid sphere)가 원형 궤도에서 떨어지지 않

고 굴러가기 위해서는 최소한 다음 조건을 만족해야 한다.

𝑀𝑀𝑣𝑣cm,32

𝑟𝑟 = 𝑀𝑀𝘨𝘨 or 𝑣𝑣cm,32 = 𝘨𝘨𝑟𝑟 (18)

식(17)을 식(18)에 대입하면 강체가 궤도에서 이탈하지 않

는 최소 높이를 구할 수 있다.

ℎ =2710 𝑟𝑟

(19)

한편, 식(12)~(15)를 일반화하여 𝐼𝐼cm = 𝑐𝑐𝑀𝑀𝑅𝑅2 인 강체에 대

해 적용하면, 다양한 강체가 미끄러지지 않고 굴러서 지면

에 도달할 때의 속력을 구할 수 있다.

𝑣𝑣cm,2 = � 2𝘨𝘨ℎ1 + 𝑐𝑐

(20)

식(20)에서 𝑐𝑐 는 강체의 형태에 따라 결정된다. 그림 2 에

서 구형 강체(solid sphere)의 경우 𝑐𝑐 = 2 5⁄ 이며, 원통형 강

체(solid cylinder)는 𝑐𝑐 = 1 2⁄ 이다. 속이 빈 원통형 강체

(hollow cylinder)는 외경과 내경의 비율이 𝑛𝑛 ∶ 1 일 경우

𝑐𝑐 = (𝑛𝑛2 + 1) 2𝑛𝑛2⁄ 이다.

그림 5 경사면과 원형 궤도를 따라 구르는 강체의 운동


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1. 실험 장비

장비 수량 용도 및 비고

컴퓨터 및 소프트웨어 동영상분석: SG PRO

1 물체의 운동을 촬영하고 영상으로 저장한다. 물체의 궤적을 분석한다.

카메라

1 동영상을 촬영하여 물체의 궤적을 분석한다.

삼각대

1 카메라를 고정하고 위치를 조정한다.

스크린

1 영상 촬영 시 배경으로 사용한다. 백색 폼보드, 900 × 1200mm

원형 트랙

1 구형 강체의 운동을 관찰하기 위한 원형 궤도이다.

직선 트랙

1 원통형 강체의 운동을 관찰하기 위한 직선 궤도이다.

구형 강체

1 색상 추적 방식의 궤적 자동 분석을 위해 녹색 플라스틱으로 구성된 구형 강체이다.

원통형 강체

1 set 색상 추적 방식의 궤적 자동 분석을 위해 형광색 표식이 부착된 원통형 강체이다. 내경이 다른 세 종류의 강체가 제공된다.

A형 베이스 지지막대(600mm) 지지막대(300mm) 멀티클램프

1 1 1 2

레일과 트랙을 지지하여 장비를 구성한다.

Equipment


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장비 수량 용도 및 비고

집게

1 원형 궤도에서 강체의 출발 기준점을 표시한다.

버니어 캘리퍼스

1 외경, 내경 및 깊이를 0.05mm 단위로 측정한다.

자

1 최대 1000mm의 길이를 측정한다.

2. 주요 장비 기능 및 작동 원리

(1) 카메라

640 × 480 해상도의 동영상을 초당 30 프레임의 속도로

촬영한다. USB 케이블로 PC에 연결하여 사용한다.

(2) 동영상 분석 프로그램 (SG PRO)

동영상을 촬영하고 편집하여 저장한다. 최대 6 개의 물체

를 동시에 추적하여, 물체의 좌표와 경로를 데이터 테이블

및 그래프로 표시한다.

(3) 버니어 캘리퍼스

물체의 외경, 내경 또는 깊이를 0.05mm 단위로 측정한다.

① 아들자의 눈금 0 이 위치하는 어미자의 눈금을 읽는다.

그림에서는 22~23 사이에 위치하므로 22 (+α) mm이다.

② 아들자/어미자의 눈금이 일치하는 위치에서 아들자의

눈금을 읽는다. 아들자의 한 눈금은 0.05 mm 이며, 13번째

눈금이 일치하므로 0.05 × 13 = 0.65 mm 이다.

③ 따라서, 측정값은 22 + 0.65 = 22.65 mm 이다.


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Setup1. Equipment Setup

실험 장비는 다음과 같이 설치한다.

카메라를 삼각대에 고정한 후 USB 케이블을 컴퓨터에 연

결한다.

① 구형 강체의 운동 : 원형 트랙을 사용한다. 동영상 촬영

에 방해가 되는 직선 트랙은 제거한다.

② 원통형 강체의 운동 : 직선 트랙을 사용한다. 직선 트랙

을 다시 설치하고, 원형 트랙은 절대로 분해하지 않는다.

(잘못 보관할 경우 뒤틀릴 수 있다.)

Setup


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Setup2. Software Setup

(1) SG PRO 프로그램을 실행한다.

(2) 카메라의 위치를 조정한다.

[화면조정시작]을 클릭한 후, 실시간 영상을 확인하면서 카

메라의 위치를 조정한다. 완료되면 반드시 [화면조정종료]

아이콘을 클릭한다. (종료하지 않으면 데이터가 메모리에

누적되어 컴퓨터가 느려지거나 오류가 발생할 수 있다.)

(3) 영상을 녹화한다.

[프레임]을 30 fps으로 설정하고 [영상녹화]를 사용하여 실

험 영상을 녹화한다.

NOTE

물체의 궤적을 추적할 때, 사용자가 자동 또는 수동

방식을 선택할 수 있다. 자동 추적 방식은 분석할 프레

임이 많을 때 빠르고 간편하게 추적할 수 있는 장점이

있으나, 설정 과정이 복잡하고 잘못 설정할 경우 분석

오류가 발생할 가능성이 많다. 만약 자동 추적 기능을

사용하는 것이 어려울 경우에는 수동 방식을 사용한다.

수동 추적 방법은 [부록]을 참고한다.

NOTE

카메라의 위치를 조정할 때 다음을 참고한다.

① 카메라와 원형 트랙 사이의 거리

- 그림과 같은 영역이 촬영되는 거리

② 카메라의 중심/높이

- 원형궤도 상단이 화면 수평 중심선 상에 위치

- 왼쪽에서 세 번째 표시점 수직 중심선 상에 위치

③ 카메라의 기울기

- 수직 지지막대가 기울어지지 않아야 함

- 순서(8) 좌표축 보정 방법을 반드시 참고한다.

① 카메라와 직선 트랙 사이의 거리

- 그림과 같은 영역이 촬영되는 거리

② 카메라의 중심/높이

- 왼쪽에서 두 번째 표시점이 화면 중심 부근에 위치

③ 카메라의 기울기

- 수직 지지막대가 기울어지지 않아야 함

- 순서(8) 좌표축 보정 방법을 반드시 참고한다.


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(4) 녹화된 영상을 저장한다. (필요한 부분만 저장한다.)

① [영상열기] 아이콘을 클릭하여 촬영된 영상을 연다.

② 기본적으로 전체 영상이 선택되어 전체 프레임이 노란

색 막대로 표시된다.

③ 시작 프레임을 선택한다. 영상을 보면서 프레임 막대를

드래그하여 저장할 영상의 시작 프레임을 찾는다.

④ [첫 프레임으로 지정] 아이콘을 클릭한다.

⑤ 첫 프레임 이전의 영상은 선택이 해제된다.

⑥ 동일한 방법으로, 영상을 보면서 마지막 프레임을 찾은

후 [끝 프레임으로 지정] 아이콘을 클릭한다.

⑦ 마지막 프레임 이후의 영상이 선택 해제된다.

⑧ [영상저장] 아이콘을 클릭하여 선택된 프레임 영역의

영상을 파일로 저장한다.

(5) 영상 분석을 시작한다.

[분석] 메뉴를 선택하여 영상 분석을 시작한다.

(6) 동영상 파일을 연다.

[영상파일]에서 파일의 경로를 지정한 후, [분석] 메뉴에서

[영상열기]를 선택하면 저장된 영상이 화면에 나타난다.

(7) 좌표축의 원점을 지정한다.

우측 [설정] 메뉴에서 [원점설정]을 선택하면 다음 그림과

같은 좌표축이 표시된다. 마우스를 사용하여 원점으로 지정

할 위치를 클릭한다. 원점 설정이 끝나면 다시 한번 [원점

설정]을 클릭하여 완료한다.


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(8) 좌표축 크기를 보정한다.

[설정]에 실제 거리 450mm 를 입력한 후, [스케일설정]을

클릭한 후 영상에서 두 기준점을 차례대로 지정하면 스케

일 설정이 완료된다.

카메라가 좌우로 기울어져 있는지 여부는 각 기준점의 간

격을 측정하여 확인할 수 있다. [길이측정]을 클릭한 후 모

든 기준점 사이의 거리를 측정한다. 만약 전부 일치하지 않

는다면, 카메라가 좌우로 기울어진 상태로 촬영되어 영상이

왜곡되었기 때문이다. (이 경우 카메라의 기울기를 재조정

하고 실험 영상을 다시 녹화해야 한다.)

우측 메뉴의 [좌표보기]를 선택하면 좌표축이 표시되며, 원

점과 스케일이 정상적으로 설정되었는지 확인할 수 있다.

(9) 분석 영역을 설정한다.

자동 추적 기능은 지정된 색상에 따라 물체를 추적한다.

만약, 추적하고자 하는 물체와 비슷한 색상이 분석 영역 내

에 있을 경우 분석 오류가 발생한다. 따라서, 분석 영역 설

정 기능을 사용하여 분석 영역을 최소화하는 것이 좋다.

[분석영역설정] 아이콘을 클릭하면 영상에서 영역 설정 박

스가 표시된다. 분석 영역을 적절히 수정한 후 다시 한번

[분석영역설정]을 클릭하여 완료한다.

NOTE

다음에서 설명하는 순서(9)~(12)는 자동 추적 기능을

사용할 경우에 진행하며, 수동으로 추적하고자 할 때에

는 이 부분을 생략하고 [부록]을 참고한다.


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(10) 자동 추적할 물체의 색상을 지정한다.

자동 추적 기능을 시작하기 전에, 촬영한 영상의 모든 프

레임에서 해당 물체의 형태와 색상이 식별 가능한지 확인

한다. 만약 특정 프레임에서 물체가 보이지 않으면 자동 추

적이 정상적으로 이루어지지 않는다. 이 경우에는 영상을

다시 촬영하거나 수동으로 물체를 추적해야 한다.

① 색상 설정을 시작한다.

[대상물체]에서 첫 번째 체크박스를 체크한 후 [▼]를 클릭

한다.

다음과 같이 [컬러설정] 창이 열린다.

② 영상에서 추적할 물체를 클릭한다.

실제 영상에서 추적할 색상을 마우스로 클릭한다. (첫 프

레임에서 물체가 보이지 않으면 [프레임] 막대에서 다른 프

레임을 선택하여 진행해도 된다.)

③ 선택한 색상에 해당하는 픽셀을 확인한다.

앞에서 지정한 위치의 픽셀과 동일한 색상의 픽셀만 검은

색 화면에 표시된다.

NOTE

만약 색상 지정 중 다음과 같은 메시지가 나타날 경우

다른 프레임을 선택하여 진행한다.


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④ 색상 범위를 조정한다.

필요 없는 픽셀이 포함된 경우 또는 픽셀 범위가 너무 크

거나 작은 경우에는 좌표가 정상적으로 측정되지 않을 수

있다. 이 때에는 Hue, Saturation, Lightness 를 적절히 변

경하여 색상 범위를 조정한다. (사용 방법은 직접 해보면

알 수 있다.)

⑤ 모든 프레임에서 결과를 확인한다.

프레임 막대를 사용하여 선택한 색상이 모든 프레임에서

적절하게 표시되는지 확인한다. (필요하면 과정을 반복하여

전체 프레임에서 추적에 필요한 픽셀만 나타나야 한다.)

⑥ [저장]을 클릭하여 설정을 완료한다.

(11) 자동 추적을 시작한다.

[분석시작]을 클릭하면 자동으로 프레임이 이동하면서 선

택한 색상의 물체의 위치가 표시되는 것을 확인할 수 있다.

(12) 자동 추적 오류를 수정한다.

자동 추적 과정에서 잘못된 좌표가 측정되거나 누락되었

을 경우에는, 수동으로 좌표를 수정해 준다.

① 수정할 프레임을 찾는다.

그림과 같이 측정 오류가 발생한 경우, 해당 좌표를 직접

클릭하거나 프레임 막대를 적절히 이동하면, 수정할 프레임

을 찾을 수 있다.


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② 좌표 정보를 삭제한다.

[제거]를 클릭하여 해당 좌표를 삭제한다.

③ 수동으로 좌표 정보를 추가한다.

동일한 프레임에서 [추가]를 클릭한 후, 영상에서 적절한

위치를 클릭하면, 해당 프레임에서 물체의 좌표가 추가된다.

(13) 좌표 데이터를 확인한다.

① [결과] 메뉴를 선택하면, 좌표 정보를 테이블과 그래프

로 표시한다.

② [분석]에서 좌표 정보를 수정하였을 경우, [분석데이터

다시 읽기]를 클릭하면 테이블과 그래프가 업데이트된다.

③ [내보내기]를 선택하면 데이터 테이블을 엑셀 파일로

저장할 수 있다.

버그로 인해 엑셀에서 숫자가 ₩0.00 형태로 표시된다. 엑

셀에서 [표시형식]을 [일반]으로 변경하면 해결할 수 있다.

동영상 분석 프로그램 사용 중 발생하는 여러 가지 문제

는 프로그램을 다시 실행하면 해결할 수 있다.


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실험 1. 구형 강체(Solid Sphere)의 운동 1

(1) 실험 장비를 구성한다.

구형 강체는 원형 트랙을 사용하여 실험한다. 촬영에 방해

가 되지 않도록 직선 트랙을 제거하고, 스크린을 원형 트랙

뒤에 놓는다.

(2) 강체(녹색구)의 질량 𝑀𝑀 및 반경 𝑅𝑅 을 측정한다.

𝑀𝑀 = _________

𝑅𝑅 = _________

(3) 실험 영상을 촬영한다.

적절한 높이에서 강체를 굴리면서 영상을 촬영한다.

(실험을 3회 이상 반복하고 각각의 결과를 정리한다.)

(4) 영상을 분석한다.

영상에서 강체의 궤적을 추적하여 좌표 데이터를 얻는다.

(데이터를 사용하여 ℎ, 𝑟𝑟, 𝑣𝑣cm,2, 𝑣𝑣cm,3 를 직접 계산한다.)

원주 구간에서의 속력은 다음을 참고하여 계산한다.

계산한 결과로부터 다음의 식이 성립하는지 확인한다.

𝑣𝑣cm,2 = �107 𝘨𝘨ℎ (16)

𝑣𝑣cm,3 = �107 𝘨𝘨(ℎ − 2𝑟𝑟) (17)

측정한 데이터로 𝑃𝑃3의 속력을 구할 수 없을 때에는 측정

가능한 지점(𝑃𝑃4)을 선택하여 결과를 비교한다. 𝑃𝑃4 의 높이가

ℎ′ 이라면 강체의 속력은 다음과 같다.

𝑣𝑣cm,4 = �107 𝘨𝘨(ℎ − ℎ′)

다양한 위치에서 운동 에너지와 위치 에너지를 계산하여

비교하고 역학적 에너지 보존 법칙을 확인한다.

𝐸𝐸 = 𝐾𝐾 + 𝑈𝑈 =12𝑀𝑀𝑣𝑣cm


2 + 𝑀𝑀𝘨𝘨ℎ (11)

Procedure


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실험 2. 구형 강체(Solid Sphere)의 운동 2

반복 실험을 통해 구형 강체가 원형 궤도를 이탈하지 않

는 최소 높이를 찾는다.

(1) 실험 1과 동일하게 장비를 구성한다.

(2) 출발 위치를 표시한다. (집게를 사용하면 편리하다.)

(3) 최소 높이를 찾는다.

출발 위치를 변경하면서 궤도에서 이탈하지 않는 최소 높

이를 찾는다. (시각으로 구별하기 힘들 경우 청각을 활용한

다. 굴러가는 소리의 미세한 차이로 구별할 수 있다.)

(4) 강체의 운동을 측정한다.

최소 높이에서 강체를 굴리면서 강체의 운동을 촬영한다.

(5) 결과를 분석한다.

다음의 식을 확인하고 오차를 분석한다.

𝑀𝑀𝘨𝘨 = 𝑀𝑀𝑣𝑣cm,32

𝑟𝑟 or 𝑣𝑣cm,32 = 𝘨𝘨𝑟𝑟 (18)

ℎ =2710 𝑟𝑟

(19)

실험 3. 원통형 강체(Solid/Hollow Cylinders)의 운동

원통형 강체와 직선 트랙을 사용하여 실험 1 과 동일한 방

법으로 실험한다.

(1) 강체의 내경 𝑅𝑅1, 외경 𝑅𝑅2, 질량 𝑀𝑀 을 측정한다.

(2) 직선 트랙을 삽입하여 고정하고 스크린을 설치한다.

원형 트랙은 잘못 보관하면 뒤틀릴 수 있으므로 절대로

분해하지 않는다.

(3) 실험을 진행한 후 결과를 분석한다.

세 종류의 원통형 강체에 대해 식(20)을 확인한다.

𝑣𝑣cm,2 = � 2𝘨𝘨ℎ1 + 𝑐𝑐

(20)

Solid cylinder : 𝑐𝑐 = 1 2⁄

Hollow cylinder (𝑅𝑅2:𝑅𝑅1 = 𝑛𝑛 ∶ 1): 𝑐𝑐 = (𝑛𝑛2 + 1) 2𝑛𝑛2⁄

다양한 위치에서 운동 에너지와 위치 에너지를 계산하여

비교하고 역학적 에너지 보존 법칙을 확인한다.


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물체의 궤적을 수동으로 측정하는 방법

① [대상물체]의 1열을 체크한다. (물체 1개 추적)

② 프레임막대를 드래그하여 적절한 프레임을 선택한다.

③ 1열의 [추가] 아이콘을 클릭한다.

④ 물체의 위치를 클릭한다.

⑤ 모든 프레임에 대해 순서 ②-④ 을 반복한다.

정상적으로 진행되면 다음 그림과 같이 좌표가 표시된다.

다음 그림과 같이 좌표를 잘못 지정했을 경우에는, 다음

순서에 따라 삭제한다.

① 삭제하고자 하는 표시점을 찾는다.

② 해당 표시점이 연결된 프레임을 찾는다.

③ 1열의 [제거]를 클릭한다.

④ 확인 창에서 [예]를 선택하여 삭제한다.

순차적으로 모든 프레임에 대해 위치를 추적하면 다음과

같은 화면을 확인할 수 있다.

Appendix

NOTE

프로그램 버그로 인해, 프로그램 실행 후 최초 사용

시에는 마우스를 클릭해도 좌표 표기가 되지 않을 수

있다. 이 경우에는 다음과 같이 진행하여 해결한다.

① [자동추적] 아이콘 클릭 후 자동추적 과정이 완료될

때까지 대기한다. (세부 설정 필요 없이 단순히 자동추

적 실행만 하면 된다. 추적된 결과는 무시한다.)

② 동영상 파일의 경로를 다시 설정하여 열어 준다.

③ 수동 추적을 재시작한다.


Lab Manual




조교의 안내에 따라 실험 결과를 정리하고 분석한 후 결과 보고서를 작성한다.

실험을 완료하면 반드시 실험 장비를 정리한 후 조교의 확인을 받고 퇴실한다.

□ 실험용 컴퓨터에 저장한 실험 데이터 파일을 모두 삭제하고 휴지통을 비운다.

□ 컴퓨터를 끈다.

□ 스크린으로 사용하는 백색 폼보드는 파손되지 않도록 주의하고, 사용 후 실험실 앞에 모아서 보관한다.

□ 카메라/삼각대는 통행에 방해가 되지 않는 곳에 세워둔다.

□ 원형 트랙은 잘못 보관할 경우 뒤틀릴 수 있으므로 설치된 상태에서 분해하지 않는다.

Result & Discussion

End of LAB Checklist

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