Ô¢ú'?ðÉ*úæ8Ê]wâÓ~µx¯>È ¢véJOf½ ?Ó CÍà£Nhhýé ³?/¹aOR … · 1 BÖLÜM 9...
Transcript of Ô¢ú'?ðÉ*úæ8Ê]wâÓ~µx¯>È ¢véJOf½ ?Ó CÍà£Nhhýé ³?/¹aOR … · 1 BÖLÜM 9...
1
BOumlLUumlM 9
NORMAL DAĞILIM
Normal dağılım normal dağılım eğrisi (normaly distribution curve) ile kavramlaştırılan hipotetik bir
evren dağılımıdır Gauss dağılımı ya da Gauss eğrisi olarak da bilinen normal dağılım eğrisi suumlrekli
ve olasılıklı bir fonksiyon eğrisidir
Normal dağılım eğrisinin fonksiyonu aşağıdaki şekildedir
Formuumllden de anlaşılacağı uumlzere normal dağılımı tanımlayan parametreler evren ortalaması (micro) ve
evren standart sapması (σ)dır
Normal dağılım eğrisi bir fonksiyon olarak kartezyen duumlzlemde aşağıdaki gibi ccedilizilir
Normal dağılım eğrisi oumllccedilme sonuccedillarının orta noktalarda yoğunlaştığı uccedil noktalarda seyrekleştiği bir
dağılımın şeklini ifade etmektedir
Normal dağılımın karakteristik oumlzellikleri şu şekildedir
1 Simetriktir
2 Asimptotiktir
3 (-infin +infin) aralığında değerler alır
4 Eğri altındaki toplam alanın olasılığı 1dir [ P (-infin lt X lt +infin) = 1 ]
5 Ortalama mod ve medyan değerleri ccedilakışıktır [ micro = Medyan = Mod ]
2
91 CcedilARPIK VE BASIK DAĞILIMLAR
Aşağıda normal dağılımdan farklılaşan dağılımlar dağılımın şekilleri ile goumlsterilmiştir
Şekil 1 Sağa Ccedilarpık Dağılım Şekil 2 Sola Ccedilarpık Dağılım
Şekil 3 Sivri Dağılım Şekil 4 Basık Dağılım
92 DAĞILIM NORMALLİĞİNİN İNCELENMESİ
a) Verilerin normal dağılım goumlsterip goumlstermediğini belirlemenin yollarından biri dağılımın grafiğini
ccedilizmek ve bu grafiği yorumlamaktır
b) Verilerin dağılımının normal dağılım goumlsterip goumlstermediğini belirlemenin bir diğer yolu ortalama
mod ve medyan değerlerine bakmaktır Normal dağılımda bu değerler ccedilakışıktır Bu istatistikler
birbirine yaklaştığı oumllccediluumlde dağılım normal dağılıma yaklaşır Birbirinden uzaklaştığı oumllccediluumlde dağılım
ccedilarpıklaşır Fakat bu yakınlığın duumlzeyi ile ilgili belirli bir standart yoktur Bu nedenle burada verilen
diğer youmlntemlerle birlikte değerlendirilmesi oumlnerilir
c) Normal dağılımı test etmenin bir diğer yolu da basıklık ve ccedilarpıklık katsayılarına bakmaktır
Ccedilarpıklık (skewness) katsayısı normal dağılımda 0dır Negatif ccedilarpıklık katsayısı sağa ccedilarpık dağılıma
pozitif ccedilarpıklık katsayısı sola ccedilarpık dağılıma işaret eder Basıklık (kurtosis) katsayısı da normal
dağılımda 0dır Pozitif basıklık katsayısı sivri dağılıma negatif basıklık katsayısı ise basık bir dağılıma
işaret eder Dağılımın normal dağılımdan manidar duumlzeyde farklılaşmıyor olması iccedilin bu değerlerin (-
1 +1) aralığında kalması beklenir
3
OumlRNEK 1
Bir sınıftaki 25 oumlğrencinin yazılı sınav notları aşağıda verilmektedir
NOT 55 60 65 75 90 95 90 80 75 75 70 65 60 50 45 40 70 65 70 70 60 70 80 75 70
Yazılı sınav notlarının normal dağılım goumlsterip goumlstermediğini belirlemeye ccedilalışalım
a) Verilen notların dağılımını betimleyen histogram aşağıdaki gibidir
Şekil 1 Oumlğrencilerin Yazılı Sınav Notlarının Dağılımı
Histogramda goumlruumllduumlğuuml gibi verilerin dağılımı normal dağılıma goumlre daha sivridir
b) Oumlrnekteki veriler iccedilin ortalama 682 medyan ve mod 70 olarak hesaplanır Bu değerler birbirine
oldukccedila yakındır Buna goumlre dağılımın yatay eksende normal olduğu yani sağa ya da sola ccedilarpık
olmadığı soumlylenebilir
c) Oumlrnekteki veriler iccedilin ccedilarpıklık katsayısı -0508 ve basıklık katsayısı 0186dır Buna goumlre dağılım
hafifccedile sağa ccedilarpı ve sivridir Fakat bu sapmalar (-1 +1) aralığında kaldığı iccedilin dağılımın normal olduğu
soumlylenebilir
4
93 NORMAL DAĞILIM EĞRİSİ ALTINDAKİ ALANLAR VE OLASILIK
Normal dağılım eğrisi iyi tanımlı bir eğridir Bu nedenle standart sapma aralıklarına goumlre eğri altında
kalan alanlar hesaplanabilmektedir
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml gibi ortalamanın 1 standart sapma sağında ve solunda kalan alanlar eğri
altındaki toplam alanın 341ini oluşturmaktadır -1 ve +1 standart sapma arasında kalan alan
toplam alanın 682sidir Ortalamanın 2 standart sapma sağı ile 2 standart sapma solu yani -2
standart sapma ile +2 standart sapma arasında kalan alan eğri altında kalan toplam alanın yaklaşık
95ini oluşturmaktadır -3 ve +3 standart sapma aralığı ise eğri altındaki toplam alanın yaklaşık
99unu oluşturmaktadır
Normal dağılım eğrisinin iyi tanımlı olması normal dağılım goumlsteren oumllccedilme sonuccedillarının belli
aralıklarda goumlruumllme olasılığının belirlenebilmesini sağlamaktadır Diğer bir deyişle bir değişkenin
goumlzlenen değerleri normal dağılım goumlsteriyorsa herhangi bir goumlzlem değerinin ya da belli bir
aralıktaki goumlzlem değerlerinin goumlruumllme olasılığı belirlenebilir
5
Normal dağılımın davranış bilimleri eğitim bilimleri psikoloji gibi odağında insan ve birey bulunan
alanlarda oumlnemli bir karşılığı vardır Birey oumlzelliklerinin oumlnemli bir kısmı evrende normal dağılım
goumlstermektedir Oumlrneğin zeka evrende normal dağılım goumlsteren bir birey oumlzelliğidir Yani orta
duumlzeyde zekaya sahip olan bireyler ccediloğunluğu yuumlksek duumlzeyde zekaya ya da duumlşuumlk duumlzeyde zekaya
sahip olan bireyler azınlığı oluşturur Başarı ilgi tutum kişilik gibi oumlzelliklerin oumlnemli bir kısmı iccedilin de
benzer durum soumlz konusudur İlgilenilen oumlzelliğin normal dağılım goumlstermesi bu oumlzelliğe youmlnelik
oumllccedilme sonuccedillarının goumlruumllme olasılığı hakkında oumlnemli ccedilıkarımlar ve kestirimler yapılabilmesini de
olanaklı hale getirmektedir
OumlRNEK 2
Bir sınıfta yazılı yoklama notlarının ortalaması micro=60 ve standart sapması σ=5 olarak hesaplanmıştır
Yazılı notları normal dağılım goumlstermektedir Bu durumda notların dağılımı aşağıdaki gibi olacaktır
Buna goumlre aşağıdaki soruları yanıtlayalım
a) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 50nin altında not alma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı eğride 50 değerinde yer alan dikey ccedilizginin solunda kalan alandır Bu alan
00227dir Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 0nin altında not almış olma olasılığı 227dir
b) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not alma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı eğride 55 ve 65 değerlerinde yer alan dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam
alandır Bu alan 06826dır Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not almış olma
olasılığı 6826dır
6
c) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı 55 değerindeki dikey ccedilizginin solunda eğrinin altında kalan toplam alandır Bu alan
03413 + 050 = 08413tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı
8413tuumlr
d) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış olma olasılığı kaştır
Bu sorunun yanıtı 65 ve 75 değerlerindeki dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam alandır Bu
alan 01359 + 00214 = 01573tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış
olma olasılığı 1573tuumlr
2
91 CcedilARPIK VE BASIK DAĞILIMLAR
Aşağıda normal dağılımdan farklılaşan dağılımlar dağılımın şekilleri ile goumlsterilmiştir
Şekil 1 Sağa Ccedilarpık Dağılım Şekil 2 Sola Ccedilarpık Dağılım
Şekil 3 Sivri Dağılım Şekil 4 Basık Dağılım
92 DAĞILIM NORMALLİĞİNİN İNCELENMESİ
a) Verilerin normal dağılım goumlsterip goumlstermediğini belirlemenin yollarından biri dağılımın grafiğini
ccedilizmek ve bu grafiği yorumlamaktır
b) Verilerin dağılımının normal dağılım goumlsterip goumlstermediğini belirlemenin bir diğer yolu ortalama
mod ve medyan değerlerine bakmaktır Normal dağılımda bu değerler ccedilakışıktır Bu istatistikler
birbirine yaklaştığı oumllccediluumlde dağılım normal dağılıma yaklaşır Birbirinden uzaklaştığı oumllccediluumlde dağılım
ccedilarpıklaşır Fakat bu yakınlığın duumlzeyi ile ilgili belirli bir standart yoktur Bu nedenle burada verilen
diğer youmlntemlerle birlikte değerlendirilmesi oumlnerilir
c) Normal dağılımı test etmenin bir diğer yolu da basıklık ve ccedilarpıklık katsayılarına bakmaktır
Ccedilarpıklık (skewness) katsayısı normal dağılımda 0dır Negatif ccedilarpıklık katsayısı sağa ccedilarpık dağılıma
pozitif ccedilarpıklık katsayısı sola ccedilarpık dağılıma işaret eder Basıklık (kurtosis) katsayısı da normal
dağılımda 0dır Pozitif basıklık katsayısı sivri dağılıma negatif basıklık katsayısı ise basık bir dağılıma
işaret eder Dağılımın normal dağılımdan manidar duumlzeyde farklılaşmıyor olması iccedilin bu değerlerin (-
1 +1) aralığında kalması beklenir
3
OumlRNEK 1
Bir sınıftaki 25 oumlğrencinin yazılı sınav notları aşağıda verilmektedir
NOT 55 60 65 75 90 95 90 80 75 75 70 65 60 50 45 40 70 65 70 70 60 70 80 75 70
Yazılı sınav notlarının normal dağılım goumlsterip goumlstermediğini belirlemeye ccedilalışalım
a) Verilen notların dağılımını betimleyen histogram aşağıdaki gibidir
Şekil 1 Oumlğrencilerin Yazılı Sınav Notlarının Dağılımı
Histogramda goumlruumllduumlğuuml gibi verilerin dağılımı normal dağılıma goumlre daha sivridir
b) Oumlrnekteki veriler iccedilin ortalama 682 medyan ve mod 70 olarak hesaplanır Bu değerler birbirine
oldukccedila yakındır Buna goumlre dağılımın yatay eksende normal olduğu yani sağa ya da sola ccedilarpık
olmadığı soumlylenebilir
c) Oumlrnekteki veriler iccedilin ccedilarpıklık katsayısı -0508 ve basıklık katsayısı 0186dır Buna goumlre dağılım
hafifccedile sağa ccedilarpı ve sivridir Fakat bu sapmalar (-1 +1) aralığında kaldığı iccedilin dağılımın normal olduğu
soumlylenebilir
4
93 NORMAL DAĞILIM EĞRİSİ ALTINDAKİ ALANLAR VE OLASILIK
Normal dağılım eğrisi iyi tanımlı bir eğridir Bu nedenle standart sapma aralıklarına goumlre eğri altında
kalan alanlar hesaplanabilmektedir
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml gibi ortalamanın 1 standart sapma sağında ve solunda kalan alanlar eğri
altındaki toplam alanın 341ini oluşturmaktadır -1 ve +1 standart sapma arasında kalan alan
toplam alanın 682sidir Ortalamanın 2 standart sapma sağı ile 2 standart sapma solu yani -2
standart sapma ile +2 standart sapma arasında kalan alan eğri altında kalan toplam alanın yaklaşık
95ini oluşturmaktadır -3 ve +3 standart sapma aralığı ise eğri altındaki toplam alanın yaklaşık
99unu oluşturmaktadır
Normal dağılım eğrisinin iyi tanımlı olması normal dağılım goumlsteren oumllccedilme sonuccedillarının belli
aralıklarda goumlruumllme olasılığının belirlenebilmesini sağlamaktadır Diğer bir deyişle bir değişkenin
goumlzlenen değerleri normal dağılım goumlsteriyorsa herhangi bir goumlzlem değerinin ya da belli bir
aralıktaki goumlzlem değerlerinin goumlruumllme olasılığı belirlenebilir
5
Normal dağılımın davranış bilimleri eğitim bilimleri psikoloji gibi odağında insan ve birey bulunan
alanlarda oumlnemli bir karşılığı vardır Birey oumlzelliklerinin oumlnemli bir kısmı evrende normal dağılım
goumlstermektedir Oumlrneğin zeka evrende normal dağılım goumlsteren bir birey oumlzelliğidir Yani orta
duumlzeyde zekaya sahip olan bireyler ccediloğunluğu yuumlksek duumlzeyde zekaya ya da duumlşuumlk duumlzeyde zekaya
sahip olan bireyler azınlığı oluşturur Başarı ilgi tutum kişilik gibi oumlzelliklerin oumlnemli bir kısmı iccedilin de
benzer durum soumlz konusudur İlgilenilen oumlzelliğin normal dağılım goumlstermesi bu oumlzelliğe youmlnelik
oumllccedilme sonuccedillarının goumlruumllme olasılığı hakkında oumlnemli ccedilıkarımlar ve kestirimler yapılabilmesini de
olanaklı hale getirmektedir
OumlRNEK 2
Bir sınıfta yazılı yoklama notlarının ortalaması micro=60 ve standart sapması σ=5 olarak hesaplanmıştır
Yazılı notları normal dağılım goumlstermektedir Bu durumda notların dağılımı aşağıdaki gibi olacaktır
Buna goumlre aşağıdaki soruları yanıtlayalım
a) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 50nin altında not alma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı eğride 50 değerinde yer alan dikey ccedilizginin solunda kalan alandır Bu alan
00227dir Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 0nin altında not almış olma olasılığı 227dir
b) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not alma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı eğride 55 ve 65 değerlerinde yer alan dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam
alandır Bu alan 06826dır Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not almış olma
olasılığı 6826dır
6
c) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı 55 değerindeki dikey ccedilizginin solunda eğrinin altında kalan toplam alandır Bu alan
03413 + 050 = 08413tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı
8413tuumlr
d) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış olma olasılığı kaştır
Bu sorunun yanıtı 65 ve 75 değerlerindeki dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam alandır Bu
alan 01359 + 00214 = 01573tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış
olma olasılığı 1573tuumlr
3
OumlRNEK 1
Bir sınıftaki 25 oumlğrencinin yazılı sınav notları aşağıda verilmektedir
NOT 55 60 65 75 90 95 90 80 75 75 70 65 60 50 45 40 70 65 70 70 60 70 80 75 70
Yazılı sınav notlarının normal dağılım goumlsterip goumlstermediğini belirlemeye ccedilalışalım
a) Verilen notların dağılımını betimleyen histogram aşağıdaki gibidir
Şekil 1 Oumlğrencilerin Yazılı Sınav Notlarının Dağılımı
Histogramda goumlruumllduumlğuuml gibi verilerin dağılımı normal dağılıma goumlre daha sivridir
b) Oumlrnekteki veriler iccedilin ortalama 682 medyan ve mod 70 olarak hesaplanır Bu değerler birbirine
oldukccedila yakındır Buna goumlre dağılımın yatay eksende normal olduğu yani sağa ya da sola ccedilarpık
olmadığı soumlylenebilir
c) Oumlrnekteki veriler iccedilin ccedilarpıklık katsayısı -0508 ve basıklık katsayısı 0186dır Buna goumlre dağılım
hafifccedile sağa ccedilarpı ve sivridir Fakat bu sapmalar (-1 +1) aralığında kaldığı iccedilin dağılımın normal olduğu
soumlylenebilir
4
93 NORMAL DAĞILIM EĞRİSİ ALTINDAKİ ALANLAR VE OLASILIK
Normal dağılım eğrisi iyi tanımlı bir eğridir Bu nedenle standart sapma aralıklarına goumlre eğri altında
kalan alanlar hesaplanabilmektedir
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml gibi ortalamanın 1 standart sapma sağında ve solunda kalan alanlar eğri
altındaki toplam alanın 341ini oluşturmaktadır -1 ve +1 standart sapma arasında kalan alan
toplam alanın 682sidir Ortalamanın 2 standart sapma sağı ile 2 standart sapma solu yani -2
standart sapma ile +2 standart sapma arasında kalan alan eğri altında kalan toplam alanın yaklaşık
95ini oluşturmaktadır -3 ve +3 standart sapma aralığı ise eğri altındaki toplam alanın yaklaşık
99unu oluşturmaktadır
Normal dağılım eğrisinin iyi tanımlı olması normal dağılım goumlsteren oumllccedilme sonuccedillarının belli
aralıklarda goumlruumllme olasılığının belirlenebilmesini sağlamaktadır Diğer bir deyişle bir değişkenin
goumlzlenen değerleri normal dağılım goumlsteriyorsa herhangi bir goumlzlem değerinin ya da belli bir
aralıktaki goumlzlem değerlerinin goumlruumllme olasılığı belirlenebilir
5
Normal dağılımın davranış bilimleri eğitim bilimleri psikoloji gibi odağında insan ve birey bulunan
alanlarda oumlnemli bir karşılığı vardır Birey oumlzelliklerinin oumlnemli bir kısmı evrende normal dağılım
goumlstermektedir Oumlrneğin zeka evrende normal dağılım goumlsteren bir birey oumlzelliğidir Yani orta
duumlzeyde zekaya sahip olan bireyler ccediloğunluğu yuumlksek duumlzeyde zekaya ya da duumlşuumlk duumlzeyde zekaya
sahip olan bireyler azınlığı oluşturur Başarı ilgi tutum kişilik gibi oumlzelliklerin oumlnemli bir kısmı iccedilin de
benzer durum soumlz konusudur İlgilenilen oumlzelliğin normal dağılım goumlstermesi bu oumlzelliğe youmlnelik
oumllccedilme sonuccedillarının goumlruumllme olasılığı hakkında oumlnemli ccedilıkarımlar ve kestirimler yapılabilmesini de
olanaklı hale getirmektedir
OumlRNEK 2
Bir sınıfta yazılı yoklama notlarının ortalaması micro=60 ve standart sapması σ=5 olarak hesaplanmıştır
Yazılı notları normal dağılım goumlstermektedir Bu durumda notların dağılımı aşağıdaki gibi olacaktır
Buna goumlre aşağıdaki soruları yanıtlayalım
a) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 50nin altında not alma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı eğride 50 değerinde yer alan dikey ccedilizginin solunda kalan alandır Bu alan
00227dir Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 0nin altında not almış olma olasılığı 227dir
b) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not alma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı eğride 55 ve 65 değerlerinde yer alan dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam
alandır Bu alan 06826dır Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not almış olma
olasılığı 6826dır
6
c) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı 55 değerindeki dikey ccedilizginin solunda eğrinin altında kalan toplam alandır Bu alan
03413 + 050 = 08413tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı
8413tuumlr
d) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış olma olasılığı kaştır
Bu sorunun yanıtı 65 ve 75 değerlerindeki dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam alandır Bu
alan 01359 + 00214 = 01573tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış
olma olasılığı 1573tuumlr
4
93 NORMAL DAĞILIM EĞRİSİ ALTINDAKİ ALANLAR VE OLASILIK
Normal dağılım eğrisi iyi tanımlı bir eğridir Bu nedenle standart sapma aralıklarına goumlre eğri altında
kalan alanlar hesaplanabilmektedir
Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml gibi ortalamanın 1 standart sapma sağında ve solunda kalan alanlar eğri
altındaki toplam alanın 341ini oluşturmaktadır -1 ve +1 standart sapma arasında kalan alan
toplam alanın 682sidir Ortalamanın 2 standart sapma sağı ile 2 standart sapma solu yani -2
standart sapma ile +2 standart sapma arasında kalan alan eğri altında kalan toplam alanın yaklaşık
95ini oluşturmaktadır -3 ve +3 standart sapma aralığı ise eğri altındaki toplam alanın yaklaşık
99unu oluşturmaktadır
Normal dağılım eğrisinin iyi tanımlı olması normal dağılım goumlsteren oumllccedilme sonuccedillarının belli
aralıklarda goumlruumllme olasılığının belirlenebilmesini sağlamaktadır Diğer bir deyişle bir değişkenin
goumlzlenen değerleri normal dağılım goumlsteriyorsa herhangi bir goumlzlem değerinin ya da belli bir
aralıktaki goumlzlem değerlerinin goumlruumllme olasılığı belirlenebilir
5
Normal dağılımın davranış bilimleri eğitim bilimleri psikoloji gibi odağında insan ve birey bulunan
alanlarda oumlnemli bir karşılığı vardır Birey oumlzelliklerinin oumlnemli bir kısmı evrende normal dağılım
goumlstermektedir Oumlrneğin zeka evrende normal dağılım goumlsteren bir birey oumlzelliğidir Yani orta
duumlzeyde zekaya sahip olan bireyler ccediloğunluğu yuumlksek duumlzeyde zekaya ya da duumlşuumlk duumlzeyde zekaya
sahip olan bireyler azınlığı oluşturur Başarı ilgi tutum kişilik gibi oumlzelliklerin oumlnemli bir kısmı iccedilin de
benzer durum soumlz konusudur İlgilenilen oumlzelliğin normal dağılım goumlstermesi bu oumlzelliğe youmlnelik
oumllccedilme sonuccedillarının goumlruumllme olasılığı hakkında oumlnemli ccedilıkarımlar ve kestirimler yapılabilmesini de
olanaklı hale getirmektedir
OumlRNEK 2
Bir sınıfta yazılı yoklama notlarının ortalaması micro=60 ve standart sapması σ=5 olarak hesaplanmıştır
Yazılı notları normal dağılım goumlstermektedir Bu durumda notların dağılımı aşağıdaki gibi olacaktır
Buna goumlre aşağıdaki soruları yanıtlayalım
a) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 50nin altında not alma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı eğride 50 değerinde yer alan dikey ccedilizginin solunda kalan alandır Bu alan
00227dir Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 0nin altında not almış olma olasılığı 227dir
b) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not alma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı eğride 55 ve 65 değerlerinde yer alan dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam
alandır Bu alan 06826dır Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not almış olma
olasılığı 6826dır
6
c) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı 55 değerindeki dikey ccedilizginin solunda eğrinin altında kalan toplam alandır Bu alan
03413 + 050 = 08413tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı
8413tuumlr
d) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış olma olasılığı kaştır
Bu sorunun yanıtı 65 ve 75 değerlerindeki dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam alandır Bu
alan 01359 + 00214 = 01573tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış
olma olasılığı 1573tuumlr
5
Normal dağılımın davranış bilimleri eğitim bilimleri psikoloji gibi odağında insan ve birey bulunan
alanlarda oumlnemli bir karşılığı vardır Birey oumlzelliklerinin oumlnemli bir kısmı evrende normal dağılım
goumlstermektedir Oumlrneğin zeka evrende normal dağılım goumlsteren bir birey oumlzelliğidir Yani orta
duumlzeyde zekaya sahip olan bireyler ccediloğunluğu yuumlksek duumlzeyde zekaya ya da duumlşuumlk duumlzeyde zekaya
sahip olan bireyler azınlığı oluşturur Başarı ilgi tutum kişilik gibi oumlzelliklerin oumlnemli bir kısmı iccedilin de
benzer durum soumlz konusudur İlgilenilen oumlzelliğin normal dağılım goumlstermesi bu oumlzelliğe youmlnelik
oumllccedilme sonuccedillarının goumlruumllme olasılığı hakkında oumlnemli ccedilıkarımlar ve kestirimler yapılabilmesini de
olanaklı hale getirmektedir
OumlRNEK 2
Bir sınıfta yazılı yoklama notlarının ortalaması micro=60 ve standart sapması σ=5 olarak hesaplanmıştır
Yazılı notları normal dağılım goumlstermektedir Bu durumda notların dağılımı aşağıdaki gibi olacaktır
Buna goumlre aşağıdaki soruları yanıtlayalım
a) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 50nin altında not alma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı eğride 50 değerinde yer alan dikey ccedilizginin solunda kalan alandır Bu alan
00227dir Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 0nin altında not almış olma olasılığı 227dir
b) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not alma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı eğride 55 ve 65 değerlerinde yer alan dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam
alandır Bu alan 06826dır Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not almış olma
olasılığı 6826dır
6
c) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı 55 değerindeki dikey ccedilizginin solunda eğrinin altında kalan toplam alandır Bu alan
03413 + 050 = 08413tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı
8413tuumlr
d) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış olma olasılığı kaştır
Bu sorunun yanıtı 65 ve 75 değerlerindeki dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam alandır Bu
alan 01359 + 00214 = 01573tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış
olma olasılığı 1573tuumlr
6
c) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı kaccediltır
Bu sorunun yanıtı 55 değerindeki dikey ccedilizginin solunda eğrinin altında kalan toplam alandır Bu alan
03413 + 050 = 08413tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı
8413tuumlr
d) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış olma olasılığı kaştır
Bu sorunun yanıtı 65 ve 75 değerlerindeki dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam alandır Bu
alan 01359 + 00214 = 01573tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış
olma olasılığı 1573tuumlr