O Paradoxo de Galileu e Suas Variações Seminário
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O Paradoxo de Galileu e suas variações
Mariana Faria Brito Francisquini
Orientador: Alexandre Carlos Tort
Etapas seguidas
• Motivação
• Discussão do paradoxo de Galileu
• O círculo de simultaneidade
• O papel da força de atrito no paradoxo de
Galileu
• Montagem da demonstração experimental
• Comentários finais
Algumas considerações iniciais
• O termo “paradoxo” refere-se ao trabalho Galileo's Paradox. Thomas B. Greenslade Jr. ; The Physics Teacher 46, 294 (2008)
• Há vídeos disponibilizados no YouTube (inglês e português) das demonstrações em questão
Motivação • Críticas ao atual modelo de ensino da cinemática
1. Matematização dos problemas cinemáticos
I. Problemas que pouco ou nada têm a ver com
a vivência do aluno
2. Pouca ênfase dada a estes conceitos
I. Poucos alunos, mesmo no ensino superior,
têm clareza destes (McDermott, Arons)
3. Pouca atenção aos fato de que outros ramos da
Física dependem de uma compreensão mais
abrangente deste tema, como: eletromagnetismo,
termodinâmica e até mesmo física moderna
Nossa proposta
• Apresentar problemas cinemáticos interessantes que
envolvam os conceitos por trás do tema, sem abordar
apenas a simples manipulação de equações
matemáticas
• Consolidar bem estes conceitos para um melhor
entendimento de situações dinâmicas. Segundo
Trowbridge e McDermott apontam que grande parte da
dificuldade nos problemas de dinâmica podem ser fruto
da não compreensão dos conceitos cinemáticos
O Paradoxo de Galileu
• Primeira menção: Carta a Guidobaldo del Monte datada
de 1602
• Discutido em “Duas Novas Ciências” no Teorema VI,
Proposição VI
“Se a partir do ponto mais alto ou do ponto mais
baixo de um círculo vertical traçarmos planos inclinados*
que cortam a circunferência, então os tempos de
descida de corpos ao longo destes planos serão iguais.”
Meu propósito é apresentar uma nova ciência que lida com um
assunto muito antigo. Não existe nada, na natureza, anterior ao
movimento.
O Paradoxo de Galileu
• Resolução do problema
Consideremos duas cordas inscritas ao círculo: EA de
comprimento 𝑙 e BA de comprimento 𝐷
O Paradoxo de Galileu
• As equações horárias de dois corpos soltos
simultaneamente a partir do repouso, digamos, de BA e
de EA respectivamente são:
𝐷 = 𝑔 𝑡𝐷²
2
e
𝑙 =𝑎 𝑡𝑙²
2
O Paradoxo de Galileu
• Como a aceleração de um corpo que desliza ao longo de
um plano inclinado é igual a 𝑎 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃, aplicamos este
resultado à equação horária da corda EA, cujo
comprimento é 𝑙
𝑙 =𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡𝑙²
2.
• Mas, de acordo com o teorema de Thales, podemos
relacionar 𝑙 e 𝐷 pela expressão
𝑙 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛𝜃
O Paradoxo de Galileu
• Substituindo o resultado do teorema de Thales na
expressão anterior, obtemos
𝐷 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡𝑙²
2
ou
𝐷 = 𝑔 𝑡𝑙²
2.
Mas
𝐷 =𝑔 𝑡𝐷²
2,
então
𝑡𝑙 = 𝑡𝐷!
O Paradoxo de Galileu
• Discussão sobre o resultado
1. Como enunciado por Galileu: corpos soltos a partir
do repouso em planos inclinados inscritos a um
círculo chegam à base do círculo ao mesmo tempo;
2. Em nossa demonstração, a escolha do ângulo de
inclinação foi arbitrária, então não temos motivos
para pensar que ao mudar o ângulo, este efeito não
ocorrerá;
O Paradoxo de Galileu
O Paradoxo de Galileu • Os comprimentos das cordas inclinadas sempre se
relacionam com o diâmetro do círculo por um fator igual ao seno do ângulo de inclinação do plano; as acelerações destes corpos, analogamente, também sempre se relacionam à aceleração da gravidade pelo mesmo fator.
• A diferença dos caminhos é compensada pela diferença de acelerações!
• Galileu afirmava que os planos partindo da lateral do círculo não poderiam cortar o diâmetro da circunferência.
O Paradoxo de Galileu • O inverso também funciona!
Corpos soltos do repouso simultaneamente partindo
do ponto mais alto do círculo chegam aos seus
destinos exatamente ao mesmo tempo
O Paradoxo de Galileu
O Paradoxo de Galileu
• A resolução deste problema não é apenas análoga à resolução anterior: elas são a mesma resolução!
• Ao relacionarmos o comprimento da corda 𝑘 com o diâmetro 𝐷 do círculo, obtemos 𝑘 = 𝐷 𝑠𝑒𝑛𝛼. A aceleração de corpos que deslizam por este plano é igual a 𝑎 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝛼. Assim, escrevendo a equação horária da posição de uma partícula que deslize por 𝑘, obtemos
𝐷 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑔𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑡𝑘²
2
• O que nos leva ao resultado:
𝑡𝐷 = 𝑡𝑙 = 𝑡𝑘!
O Paradoxo de Galileu
• O que ocorrerá se, agora, soltarmos a partir do repouso
diversos corpos partindo do topo do círculo ao longo de
diversos planos inclinados?
• Qual será o lugar geométrico formado por essas
partículas?
• Galileu não só propôs este problema em Duas novas
ciências, como o resolveu geometricamente em seu
livro.
O Círculo de Simultaneidade
Trecho extraído do Corolário III do Teorema VI de Duas Novas Ciências
[...] imaginemos um plano vertical, e a partir de seu ponto mais alto
desenhamos linhas inclinadas com todos os ângulos [...] Imaginemos
também que partículas pesadas descem por estas linhas com um
movimento naturalmente acelerado, e cada uma com uma velocidade
apropriada à inclinação de sua linha. Se estas partículas móveis são
sempre visíveis, qual será o lugar geométrico de suas posições a cada
instante? A resposta a esta pergunta me surpreende, pois sou levado a
acreditar, pelos teoremas precedentes, que estas partículas sempre
estarão sobre a circunferência de um mesmo círculo, que aumenta com
o tempo à medida que as partículas se afastam mais e mais do ponto
de onde seu movimento se iniciou.
O Círculo de Simultaneidade
O Círculo de Simultaneidade
O Círculo de Simultaneidade • Projetando a aceleração ao longo da corda BC nos eixos
𝑥 e 𝑦 do sistema de referência abaixo, obtemos:
𝑎𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃
e
𝑎𝑦 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃
O Círculo de Simultaneidade • Como 𝑎 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃, obtemos
𝑎𝑥 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑔
2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
e
𝑎𝑦 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛²𝜃 = 𝑔 1 − cos (2𝜃)
2
• Substituindo as acelerações ao longo dos eixos 𝑥 e 𝑦 nas equações horárias de posição, resulta que
𝑥 = 𝑎𝑥𝑡²
2=
𝑔𝑡²
2 1
2 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝑦 =𝑎𝑦𝑡²
2=
𝑔𝑡²
2
1 − cos (2𝜃)
2
ou
𝑦 =𝑔𝑡²
2
1
2−
𝑔𝑡²
2
1
2 cos (2𝜃)
O Círculo de Simultaneidade
𝑥 = 𝑎𝑥𝑡²
2=
𝑔𝑡²
4 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
𝑦 =𝑔𝑡²
4−
𝑔𝑡²
4 cos (2𝜃)
• Isolando, em 𝑦, o termo dependente de 𝜃
𝑦 −𝑔𝑡2
4=
𝑔𝑡²
4 cos (2𝜃)
Elevando-se os termos 𝑥 e 𝑦 −𝑔𝑡2
4 ao quadrado e somando-os,
temos
𝑥² + 𝑦 −𝑔𝑡2
4
2
=𝑔𝑡²
4 𝑠𝑒𝑛 2𝜃
2
+𝑔𝑡²
4 cos (2𝜃)
2
• Como 𝑠𝑒𝑛2 2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2 2𝜃 = 1, resulta que
𝑥² + 𝑦 −𝑔𝑡2
4
2
=𝑔𝑡²
4
2
• Equação de uma circunferência de raio 𝑔𝑡2
4 com o centro
deslocado de 𝑔𝑡2
4 no eixo 𝑦
• O raio desta circunferência é dependente do tempo, ou seja, à medida que o tempo passa, o raio assume valores cada vez maiores a partir
• O centro desta circunferência move-se com uma
aceleração igual a 𝑔
2
O Círculo de Simultaneidade
O Círculo de Simultaneidade
O Círculo de Simultaneidade
O Círculo de Simultaneidade
• Apesar de não conseguirmos soltar todos os corpos de uma mesma origem, nosso resultado está em conformidade com o que Galileu previu
• Além disso, podemos reparar que o corpo a deslizar pelo diâmetro do círculo tem seu movimento adiantado em alguns frames em relação aos corpos de sua vizinhança
• Este efeito pode ser explicado por meio de dois fatores: 1. Impossível soltar todos os corpos simultaneamente de um ponto
2. A presença da força de atrito nas cordas adjacentes ao diâmetro
• Na sequência deste trabalho, iremos investigar o papel da força de atrito no sistema mostrado. Veremos que a presença desta força é fator determinante para os efeitos apresentados anteriormente sumirem
A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade
• Carlos E. Aguiar, Vitorvani Soares, Alexandre C. Tort Galileo's kinematical paradox and the role of resistive forces - European Journal of Physics, v. 35, n. 6, art. 065024, 2014
C
𝜃
𝜃
𝑁
𝑃
𝑓𝑎𝑡
𝑆
A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade
• A aceleração à qual está submetida uma partícula que
desliza pela corda pode ser encontrada a partir da 2º lei
de Newton
𝑓𝑎𝑡 + 𝑃 + 𝑁 = 𝑚𝑎 .
Em termos das componentes perpendicular e paralela ao plano,
obtemos
𝑁 = 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃
e
𝑚𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑓𝑎𝑡 = 𝑚𝑎
A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • Segue que, das equações anteriores, podemos encontrar a
aceleração do corpo
𝑎 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇𝑐 𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃
e sua posição ao longo do plano
𝑆 = 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡²
2.
O tempo de queda pode ser escrito como
𝑡 = 2𝑆
𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃
A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • O tempo de queda até o destino da conta é
𝑡 =2𝐷/𝑔
1 − 𝜇𝑐 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃
Ou, seja, podemos ver que o tempo de queda depende do ângulo
de inclinação do plano inscrito ao círculo.
• Desta forma, o Paradoxo de Galileu é quebrado
• Apesar de o paradoxo ter sido quebrado, o novo lugar
geométrico das posições instantâneas das partículas ainda se
mostra interessante e de simples descrição
A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade
• Escrevendo a equação cartesiana, 𝑥, da partícula
𝑥 = 𝑆 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝑔𝑡2
2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝜇𝑐 𝑐𝑜𝑠²𝜃
𝑥 =𝑔𝑡²
2
𝑠𝑒𝑛2𝜃
2 − 𝜇𝑐
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
𝑥 =𝑔𝑡²
4𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜇𝑐 − 𝜇𝑐𝑐𝑜𝑠2𝜃
Isolando-se os termos dependentes de 𝜃, obtemos
𝑥 + 𝜇𝑐
𝑔𝑡²
4=
𝑔𝑡²
4𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜇𝑐𝑐𝑜𝑠2𝜃
A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • Podemos fazer o mesmo procedimento para a equação
cartesiana 𝑦
𝑦 = 𝑆 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑔𝑡²
2𝑠𝑒𝑛²𝜃 − 𝜇𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑦 =𝑔𝑡²
2
1 − cos 2𝜃
2−
𝜇𝑐 𝑠𝑒𝑛2𝜃
2=
𝑔𝑡²
41 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝜇𝑐 𝑠𝑒𝑛2𝜃
Ou seja
𝑦 =𝑔𝑡²
4−
𝑔𝑡²
4𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜇𝑐 𝑠𝑒𝑛2𝜃
A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade
• Isolando os termos dependentes de 𝜃
𝑦 −𝑔𝑡²
4= −
𝑔𝑡²
4𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜇𝑐 𝑠𝑒𝑛2𝜃
• Elevando-se os termos obtidos ao quadrado e somando-os,
resulta:
𝑥 + 𝜇𝑐
𝑔𝑡²
4
2
+ 𝑦 −𝑔𝑡²
4
2
=
= 𝑔𝑡²
4𝑠𝑒𝑛2𝜃 − 𝜇𝑐𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
+ −𝑔𝑡²
4𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜇𝑐 𝑠𝑒𝑛2𝜃
2
A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • Desta forma
𝑥 + 𝜇𝑐
𝑔𝑡²
4
2
+ 𝑦 −𝑔𝑡²
4
2
= 𝑔𝑡²
4
2
1 + 𝜇𝑐²
• Equação de um círculo
• Raio igual a
𝑅 𝑡 =𝑔𝑡²
4 1 + 𝜇𝑐²
• O centro está deslocado da origem do sistema de
referência, estando em 𝑦 = 𝑔𝑡²
4 e 𝑥 = −𝜇𝑐
𝑔𝑡²
4
A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • Como fizemos os cálculos para os corpos que deslizam
ao longo de planos inclinados à direita do diâmetro da circunferência, o mesmo pode ser feito para os corpos que deslizam à esquerda do diâmetro. O resultado encontrado é:
𝑥 − 𝜇𝑐
𝑔𝑡²
4
2
+ 𝑦 −𝑔𝑡²
4
2
= 𝑔𝑡²
4
2
1 + 𝜇𝑐²
• Mesmo raio da situação anterior
• Centro desta circunferência: simétrico em relação ao eixo y ao
centro da circunferência anterior
A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • O lugar geométrico dos corpos que deslizam ao longo
destes planos vai ser a superposição de ambos os arcos de circunferência calculados
Figura retirada de C. E. Aguiar, V. S., A. C. Tort Galileo's kinematical paradox and the role of resistive forces European Journal of Physics, v. 35, n. 6, art. 065024, 2014
A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade • Circunferências: mostradas nas linhas pontilhadas
• Arcos: representados pela linha sólida
Figura modificada de C. E. Aguiar, V. S., A. C. Tort Galileo's kinematical paradox and the role of resistive forces European Journal of Physics, v. 35, n. 6, art. 065024, 2014
A influência da força de atrito no círculo de simultaneidade
Montagem do Aparato
Materiais utilizados
• 1 (um) aro de bicicleta
• 2 (dois) metros aproximadamente de fio de nylon
• 2 (duas) ou mais contas
Custo unitário dos materiais • Custo unitário dos materiais
• Aro de bicicleta: 22 reais
• Fio de nylon: 2 reais
• Contas: 25 centavos
• Ou...
... custo zero, caso você disponha destes materiais na sua
casa!
Procedimento de Montagem
• Colocar o aro em uma posição vertical e introduzir o fio
de nylon na extremidade inferior, encaixando, em
seguida, a conta no fio
Procedimento de Montagem
• Introduzir o fio no furo da extremidade oposta e,
novamente, atravessá-lo em qualquer outro furo –
introduzindo uma nova conta;
• Juntar a extremidade do cabo no mesmo furo por onde
foi passado o fio inicialmente e fornecer uma tensão
mecânica para que o fio fique bem esticado
Procedimento de Montagem
Procedimento de Montagem
Próximos passos...
• Ampliar a discussão sobre o ensino de cinemática
• Discussão sobre a origem da aceleração ao longo
de um plano inclinado
• Críticas e sugestões serão bem-vindas!
Bibliografia
1. Galileo's Paradox. Thomas B. Greenslade Jr. Citation: The Physics Teacher 46, 294 (2008)
2. D. E. Trowbridge e L. C. McDermott, “Investigation of student
understanding of the concept of velocity in one dimension”, American Journal of Physics, v. 48, n. 12, p. 1020-1028, 1980
1. Mariana Francisquini, Vitorvani Soares, Alexandre C. Tort O paradoxo cinemático de Galileu Revista Brasileira de Ensino de Física, v. 36, n. 1, art. 1304, 2014
2. Mariana Francisquini, Vitorvani Soares, Alexandre C. Tort Galileo's kinematical paradox and the expanding circle of
simultaneity Physics Education, v. 48, n. 6, p. 702-704, 2013.
3. C. E. Aguiar, V. S., A. C. Tort Galileo's kinematical paradox and the role of resistive forces European Journal of Physics, v. 35, n. 6, art. 065024, 2014