MA 225 - Análise de Livros e Materiais Didáticos de Matemática

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Tarefa 3 - Análise de livro estrangeiro

Grupo CBruno TafarelloMagda SilvaMarina Luccas CastroVitor Caetano Silva

082070063016157531

Prof. Dr. Henrique N. Sá Earp

Novembro, 2016

Copyright c© 2013 John Smith

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First printing, March 2013

Conteudo

1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Introducao 51.2 O Sistema de Ensino na Espanha 5

2 Metodologia da Analise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 As Competencias Gerais no PNLD 72.2 A Matriz Curricular do Estado de Sao Paulo 82.2.1 Numeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2.2 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Aspectos interessantes a serem analisados 9

3 Estrutura do Livro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Analise: Capıtulo 1 - Numeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.1 Competencias do PNLD 124.2 Habilidades da Matriz Curricular 19

5 Analise: Capıtulo 3 - Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.1 Competencias do PNLD 235.2 Habilidades da Matriz Curricular 28

6 Aspectos Interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

7 Conclusao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1. Introducao

1.1 IntroducaoA Tarefa 3 da disciplina MA225 tem como objetivo analisar um livro didatico

estrangeiro para ensino de Matematica, (no caso do presente trabalho, o livro eespanhol), buscando durante a analise pontos interessantes e possıveis de seremadotados em livros brasileiros, bem como identificar formas diferentes de se trabaharconteudos em comum com o ensino brasileiro.

A analise sera com feita com base em uma metodolgia que sera descrita noproximo capıtulo desse trabalho. O livro que sera analisado e o Matematica - OpcionB, da editora Oxford Educacion. O livro e destinado ao 4o ano da Secundaria, o queseria o equivalente ao 1o ano do Ensino Medio no Brasil.

Foram escolhidos para analise dois capıtulos do livro. O capıtulo 1 (pag. 6-17),que trata de Numeros Reais e o capıtulo 3 (pag. 34-51), que trabalho o conteudoPolinomios. Os assuntos escolhidos foram esses pois, Numeros Reais e um assuntobastante difıcil de ser ensinado e que, baseando-se em analises anteriores da disciplinae na experiencia pessoal dos componentes do grupo, e um conteudo tratado de formabastante problematica pelos livros didaticos brasileiros e que merece uma atencaoespecial. O assunto Polinomios foi escolhido pois, conforme pudemos ver ao lermosos topicos trabalhados no capıtulo, parece ser mais desenvolvido no livro analisadoquando comparado ao conteudo ensinado no Brasil, entao quisemos compreendercomo o conteudo e estendido e se seria possıvel estende-lo tambem no nosso ensino.

1.2 O Sistema de Ensino na EspanhaO Sistema Educacional na Espanha se divide basicamente em Educacao Pre-

Universitaria, Educacao Universitaria e Cursos Tecnicos.A Educacao Pre-Universitaria e formada pela Educacao Infantil (que nao e obri-

6 Capıtulo 1. Introducao

gatoria no paıs e que abrange a educacao das criancas de 0 a 6 anos), pela EducacaoPrimaria (dos 6 aos 12 anos) e pela Educacao Secundaria (dos 12 aos 16 anos).

A Educacao Primaria se divide em Primer,Segundo e Tercer Ciclos. O PrimerCiclo se divide em 1o Primaria (6-7 anos) e 2o Primaria (7-8 anos). O Segundo Ciclose divide em 3o Primaria (8-9 anos) e 4o Primaria (9 10 anos). O Tercer Ciclo sedivide em 5o Primaria (10-11 anos) e 6o Primaria (11-12 anos).

A Educacao Secundaria tambem se divide em Primer e Segundo Ciclos. OPrimer Ciclo se divide em 1o ESO (Educacao Secundaria Obrigatoria) (12-13 anos)e 2o ESO (13-14 anos). O Segundo Ciclo se divide em 3o ESO (14-15 anos) e 4o

ESO (15-16 anos).Uma vez concluıda a ESO, o aluno pode ingressar no mercado de trabalho ou

continuar os estudos. Caso deseje seguir os estudos, existem duas opcoes: os Cur-sos Tecnicos de Grau Medio que permitem ao aluno exercer uma profissao, ou oBachillerato/Ensino Medio, que dara acesso a Universidade.

2. Metodologia da Analise

Para a analise do livro foi montada, seguindo alguns pontos que o grupo julgouimportantes, uma metodologia para ser seguida que sera apresentada a seguir.

2.1 As Competencias Gerais no PNLDConsultar aqui o PNLD 2016

A fim de encontrar semelhancas e diferencas entre os dois modelos de ensino,optamos por utilizar as competencias gerais listadas no Plano Nacional do LivroDidatico (PNLD), documento desenvolvido pelo governo brasileiro para auxilliar naescolha dos livros diaticos a serem usados nas escolas de todo o paıs. Seguem abaixo,entao, as competencias gerais exigidas pelo PNLD e que serao procuradas no livroanalisado:

1. Interpretar matematicamente situacoes do dia a dia ou de outras areas doconhecimento;

2. Usar independentemente o raciocınio matematico para a compreensao do mundoque nos cerca;

3. Resolver problemas, criando estrategias proprias para sua resolucao, e quedesenvolvam a iniciativa, a imaginacao e a criatividade;

4. Avaliar se os resultados obtidos na solucao de situacoes problema sao ou naorazoaveis;

5. Estabelecer conexoes entre os campos da Matematica e entre ela e as outrasareas do saber;

6. Raciocinar, fazer abstracoes com base em situacoes concretas, generalizar, or-ganizar e representar;

7. Compreender e transmitir ideias matematicas, por escrito ou oralmente, de-senvolvendo a capacidade de argumentacao;

8 Capıtulo 2. Metodologia da Analise

8. Utilizar a argumentacao matematica apoiada em varios tipos de raciocınio:dedutivo, indutivo, probabilıstico, por analogia, plausıvel, entre outos;

9. Comunicar-se utilizando as diversas formas de linguagem empregadas na Ma-tematica;

10. Desenvolver a sensibilidade para as relacoes da Matematica com as atividadesesteticas e ludicas;

11. Utilizar as novas tecnologias de computacao e de informacao.

2.2 A Matriz Curricular do Estado de Sao PauloConsultar aqui a Matriz Curricular de Matematica do Estado de Sao PauloOutro ponto do livro que sera analisado diz respeito ao conteudo, as habilida-

des que ele desenvolve no aluno e quais os pontos trabalhados dentro do conteudoproposto, para verificar se o conteudo coberto pelo livro e equivalente ao exigidono Brasil. Para isso, buscamos na Matriz Curricular do Estado de Sao Paulo quaiseram as Habilidades que deviam ser atingidas nos assuntos dentro dos capıtulos es-colhidos. Segue abaixo a descricao das habilidades listadas no Currıculo do Estadode Sao Paulo como as esperadas dentro dos assuntos Numeros Reais e Polinomios.

2.2.1 Numeros ReaisNo currıculo proposto pelo Estado de Sao Paulo o assunto Numeros Reais e

trabalhado com os alunos do 9o ano (14 anos) e propoe as seguintes habilidades aserem desenvolvidas pelos alunos.

I. Compreender a necessidade das sucessivas ampliacoes dos conjuntos numericos,culminando com os numeros irracionais;

II. Saber representar os numeros reais na reta numerada;III. Incorporar a ideia basica de que os numeros irracionais somente podem ser

utilizados em contextos praticos por meio de suas aproximacoes racionais,sabendo calcular a aproximacao racional de um numero irracional;

IV. Saber realizar de modo significativo as operacoes de radiciacao e potenciacaocom numeros reais;

V. Compreender o significado e saber utilizar notacao cientıfica na representacaode numeros muito grandes ou muito pequenos.

2.2.2 PolinomiosO conteudo Polinomios e encontrado duas vezes dentro da Matriz Curricular do

Estado de Sao Paulo. Parte do conteudo e trabalhada no 8o ano, e depois e utilizadonovamente na 3a serie do Ensino Medio. Seguem os dois conteudos:

Expressoes algebricas: - Equivalencias e transformacoes / - Produtos notaveis /- Fatoracao algebrica (8o ano)

i. Realizar operacoes simples com monomios e polinomios;ii. Relacionar as linguagens algebrica e geometrica, sabendo traduzir uma delas

na outra, particularmente no caso dos produtos notaveis;iii. Saber atribuir significado a fatoracao algebrica e como utiliza-la na resolucao

de equacoes e em outros contextos;

2.3 Aspectos interessantes a serem analisados 9

iv. Compreender o significado de expressoes envolvendo numeros naturais pormeio de sua representacao simbolica e de seu significado geometrico (2n e umnumero par, 2n + 1 e um numero ımpar, a soma dos n primeiros numerosnaturais e n(n + 1)/2 etc.).

Equacoes algebricas e numeros complexos: - Equacoes polinomiais/ - Numeroscomplexos: operacoes e representacao geometrica/ - Teorema sobre as raızes de umaequacao polinomial/ - Relacoes de Girard (3a serie do EM)

v. Compreender a historia das equacoes, com o deslocamento das atencoes dasformulas para as analises qualitativas;

vi. Conhecer as relacoes entre os coeficientes e as raızes de uma equacao algebrica;vii. Saber reduzir a ordem de uma equacao a partir do conhecimento de uma raiz;

viii. Saber expressar o significado dos numeros complexos por meio do plano deArgand-Gauss;

ix. Compreender o significado geometrico das operacoes com numeros complexos,associando-as a transformacoes no plano.

2.3 Aspectos interessantes a serem analisadosAlem de analisar o conteudo trabalhado pelo livro e a forma como ele desen-

volve esse conteudo, observaremos tambem a estrutura do livro, ou seja, como eleapresenta os conteudos estruturalmente, bem como quais ferramentas e estrategiasusadas pelo livro sao interessantes e que poderiam ser adotadas pelos livros didaticosbrasileiros.

Observacao: Durante a analise, alguns topicos, tanto do PNLD quanto daMatriz Curricular, nao foram encontrados no livro e, de inıcio, nao seriam citadosdurante a analise. Porem, conforme a analise ocorria, percebemos que alguns dessestopicos, apesar de nao serem explıcitos, estavam presentes de alguma outra forma nolivro, entao optamos por citar ate mesmo os nao encontrados, pontuando o motivopelo qual os topicos nao foram encontrados explicitamente.

3. Estrutura do Livro

O livro possui uma estrutura bastante clara, sendo explicada nas primeiraspaginas do livro.Cada unidade se estrutura da seguinte forma:• Uma primeira pagina de apresentacao

Essa pagina de apresentacao possui um desenho que faz referencia ao assuntoque sera abordado no capıtulo e um texto de carater historico para introduziro assunto a ser estudado.• Uma segunda pagina que indica o que se deve recordar e o que vai apren-

derO livro traz uma breve descricao dos conhecimentos previos que sao necessariospara o entendimento do assunto que sera trabalhado. No final dessa secao saocolocados alguns exercıcios que ele chama ”de resolucao imediata”sobre o quedeve ser recordado. Traz tambem uma relacao dos objetivos fundamentais queespera-se, sejam aprendidos no final do capıtulo.• Desenvolvimento da unidade, dividido em topicos, sendo cada um deles fi-

nalizado com uma serie de atividadesO conteudo que deve ser estudado e apresentado de forma clara e concisa,dividido em topicos e as paginas sao divididas em duas colunas. Na colunacentral sao apresentados os conteudos principais e nas margens sao colocadasrelacoes do assunto trabalhado com situacoes da vida real, ampliacoes do as-sunto e observacoes pertinentes.O conteudo principal e intercalado com diversos exemplos que ajudam a com-preender e assimilar o que esta sendo ensinado.

– As Atividades sao colocadas sempre ao final de cada topico estudado.Sao exercıcios e problemas que devem servir para praticar e reforcar oconteudo estudado. Eles sao marcados com ıcones especiais que indicam

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se o exercıcio e de calculo mental ou se precisa da calculadora. Tambemha um indicativo de grau de dificuldade.As ultimas atividades que aparecem e que sao chamadas de Lo has en-tendido? (Voce Entendeu?) servem para que o aluno saber se assimilouo conteudo trabalhado no topico.

• Uma pagina de Uso de Programas InformaticosNesta pagina sao encontrados alguns procedimentos matematicos estudadosna Unidade trabalhados em programas de computador.• Paginas de exercıcios e problemas relacionados ao conteudo da unidade.

Sao colocados exercıcios com grau de dificuldade indicado, para que o alunotrabalhe o conteudo aprendido na unidade.• Uma avaliacao final chamada lo que has aprendido (o que voce aprendeu)

Serve como uma especie de auto-avaliacao para o aluno, a fim de que eleidentifique se conseguiu atingir os objetivos listados no inıcio da unidade.• Alem disso, ao final de cada tres ou quatro unidades, o livro apresenta uma

secao chamada Actividades de repaso (Atividades de revisao), que trazexercıcios referentes as unidades que foram trabalhadas ate o momento pelolivro, para que esses conteudos nao sejam esquecidos e possam continuar sendodesenvolvidos.• Ao final dessas atividades de revisao, o livro apresenta a secao Mente ma-

tematica, que trata de assuntos referentes a Matematica de forma mais ludica,para que o aluno enxergue a matematica de forma diferente. Essa secao podetrazer notıcias, brincadeiras envolvendo matematica, etc.

4. Analise: Capıtulo 1 - Numeros Reais

Segue agora a analise, segundo a metodologia supracitada, do capıtulo 1 quetrata de Numeros Reais. A analise sera dividida em tres partes. Primeiro seraopontuadas as competencias do PNLD que sao cobertas no livro e, pelo menos umexemplo de onde essas competencias foram encontradas. Depois faremos o mesmopara as Habilidades cobradas na Matriz Curricular. E por fim, descreveremos algunsaspectos interessantes que encontramos no decorrer do capıtulo.

4.1 Competencias do PNLDPara analisar o livro de acordo com as competencias presentes no PNLD, utili-

zamos a listagem colocada na metodologia (topicos numerados de 1 a 11) e iremosapresentar agora, por competencia, aquelas que foram encontradas no livro anali-sado, mostrando ao menos um dos momentos em que a competencia e contempladano livro.

1. Interpretar matematicamente situacoes do dia a dia ou de outrasareas do conhecimentoO livro nao traz muitas situacoes do dia a dia dentro dos assuntos traba-lhados. Apesar de Numeros Reais ser um assunto difıcil de ter sua teoriacontextualizada, nao existem exemplos de aplicacao na realidade, nem dosnumeros irracionais. A unica situacao encontrada no livro e a abordagem douso da calculadora (ver Figura 4.1), a qual, na verdade, o livro da bastanteimportancia, pontuando exercıcios especıficos para o uso da mesma.

4.1 Competencias do PNLD 13

Figura 4.1: Exemplo de abordagem do uso de calculadora

2. Usar independentemente o raciocınio matematico para a compre-ensao do mundo que nos cercaComo foi dito no item anterior, nao existe muita contextualizacao do assuntono mundo que nos cerca. Essa competencia, de forma bem longe do ideal, eencontrada em um exercıcio que relaciona intervalos de numeros e tamanhosde planetas (Figura 4.2).

Figura 4.2: Exercıcio que relaciona tamanho de planetas e intervalos

14 Capıtulo 4. Analise: Capıtulo 1 - Numeros Reais

3. Resolver problemas, criando estrategias proprias para sua resolucao,e que desenvolvam a iniciativa, a imaginacao e a criatividadeA secao Mente Matematica e o unico lugar no qual encontramos alguns pro-blemas que exigem criatividade do aluno (ver figura abaixo).

Figura 4.3: Secao Mente Matematica

4. Avaliar se os resultados obtidos na solucao de situacoes problemasao ou nao razoaveisO capıtulo analisado no livro nao desenvolve essa competencia, ja que o autornao avalia os resultados obtidos para se certificar se eles estao de acordo como enunciado do exercıcio e com a realidade ou se apresenta algum erro. Difi-cultando o desenvolvimento de um senso crıtico do aluno para a verificacao desuas solucoes.

5. Estabelecer conexoes entre os campos da Matematica e entre ela eas outras areas do saberO livro relaciona os numeros racionais com sua representacao grafica, criandouma conexao entre o assunto trabalhado e a geometria. Tambem existe arelacao entre Matematica e tecnologia, que e feita diversas vezes no decorrerdos capıtulos, mostrando o uso de programas de computador que auxiliam no

4.1 Competencias do PNLD 15

entendimento da Matematica.

(a) RepresentacaoGrafica dos Irracio-nais

(b) Uso de Programa de Com-putador

16 Capıtulo 4. Analise: Capıtulo 1 - Numeros Reais

6. Raciocinar, fazer abstracoes com base em situacoes concretas , ge-neralizar, organizar e representarQuando o livro mostra, atraves de um exemplo, como encontrar a fracao gera-triz de um numero, espera-se que o aluno consiga perceber o padrao utilizadoali e faca a generalizacao necessaria para entender como encontrar a fracaogeratriz de quaisquer outros numeros.

Figura 4.4: Obtencao de fracao geratriz

7. Compreender e transmitir ideias matematicas, por escrito ou oral-mente, desenvolvendo a capacidade de argumentacaoO livro usa uma demonstracao bastante classica para mostrar porque

√2 nao e

um numero racional. Atraves desse tipo de demonstracao, o aluno passa a tercontato com o rigor matematico e desenvolve melhor sua capacidade de argu-mentar matematicamente e de escrever de forma correta uma demonstracao.

Figura 4.5: Demonstracao:√

2 nao e racional

8. Utilizar a argumentacao matematica apoiada em varios tipos de ra-ciocınio: dedutivo, indutivo, probabilıstico, por analogia, plausıvel,entre outrosEssa competencia e bastante trabalhada no livro pois ele contem varias de-monstracoes e curiosidades, que auxiliam o aluno a desenvolver os diversostipos de raciocınio. Por exemplo, a propria demonstracao da irracionalidadedo√

2 (Figura 4.5) ou a representacao grafica dos numeros racionais (Figura(a)).

4.1 Competencias do PNLD 17

9. Comunicar-se utilizando as diversas formas de linguagem emprega-das na MatematicaO livro utiliza varios sımbolos matematicos para explicacoes e demonstracoestanto para a algebra quanto para a geometria. Podemos notar, nas imagensabaixo que na maioria das vezes o autor se preocupa em escrever em umalinguagem verbal e, tambem matematicamente. Alem disso, essa competenciatambem e encontrada quando aborda-se o uso das tecnologias, tais como acalculadora e os programas de computador.

(a) Equivalencia de fracoes (b) Exemplo de uso de linguagemmatematica

Figura 4.6: Sobre Intervalos: Uso de linguagem matematica

10. Desenvolver a sensibilidade para as relacoes da Matematica com asatividades esteticas e ludicasNao e uma competencia muito utilizada pelo autor no livro, porem, e possıvelencontra-la na secao Mente Matematica (Figura 4.3), onde sao propostosexercıcios diferentes, mais ludicos, recreativos e que envolvem curiosidadesa respeito da matematica.

11. Utilizar as novas tecnologias de computacao e de informacaoHa uma forte presenca dessa competencia dentro do livro devido a secao Usode Programas Informaticos, o qual apresenta e ensina utilidades do programaDerive, inclusive com o uso de exercıcios. Observando os outros capıtulos do

18 Capıtulo 4. Analise: Capıtulo 1 - Numeros Reais

livro foi possıvel verificar que o mesmo programa aparece em grande partedeles, o que mostra uma sequencia no ensino dessa ferramenta.

Figura 4.7: Secao Uso de Programas Informaticos

4.2 Habilidades da Matriz Curricular 19

4.2 Habilidades da Matriz CurricularAgora vamos verificar se o livro traz todo o conteudo que deve ser contemplado

segundo a Matriz Curricular do Estado de Sao Paulo.

I. Compreender a necessidade das sucessivas ampliacoes dos conjuntosnumericos, culminando com os numeros irracionaisHa a definicao de numeros racionais, irracionais e reais, como mostram as fi-guras 4.8, 4.9 e 4.10, porem nao existem comentarios, ou pelo menos, umarecordacao dos numeros naturais e dos inteiros e nem uma representacao decomo relaciona-los. O que faz com que essa habilidade nao seja completamentedesenvolvida pelo livro.

Figura 4.8: Definicao de numero racional

Figura 4.9: Definicao de Numero Irracional

Figura 4.10: Definicao de Numero Real

20 Capıtulo 4. Analise: Capıtulo 1 - Numeros Reais

II. Saber representar os numeros reais na reta numeradaEssa habilidade e muito bem trabalhada no decorrer do livro, como mostram asfiguras, tal representacao e abordada com explicacoes envolvendo a linguagemmatematica e um bom uso da geometria, e aparece na pratica com algunsexercıcios, alem disso, esta presente durante um aprofundamento de comorepresentar, com mais exatidao, alguns numeros irracionais na reta numerada.

Figura 4.11: Representacao de numeros reais na reta e exercıcios sobre o assunto

III. Incorporar a ideia basica de que os numeros irracionais somentepodem ser utilizados em contextos praticos por meio de suas apro-ximacoes racionais, sabendo calcular a aproximacao racional de umnumero irracionalO livro trabalha tal habilidade na secao Estimacion, aproximacion y redondeo(Figura 4.12), onde ensina o conceito de aproximacao e os modos de comoaproximar os numeros irracionais. Alem disso, o livro apresenta uma praticadesse conceito para os alunos com os exercıcios.

4.2 Habilidades da Matriz Curricular 21

Figura 4.12: Estimativa, aproximacao e arredondamento

Figura 4.13: Exercıcio de aproximacao e erro

IV. Saber realizar de modo significativo as operacoes de radiciacao epotenciacao com numeros reaisNo capıtulo analisado essa habilidade nao se aplica, porem o conteudo de radi-ciacao e trabalhado no capıtulo seguinte e o conteudo de potenciacao aparecena secao Lo que debes recordar do capıtulo de radiciacao.

V. Compreender o significado e saber utilizar notacao cientıfica na re-presentacao de numeros muito grandes ou muito pequenosO livro falha nessa habilidade, pois ela nao se aplica no capıtulo abordado. A

22 Capıtulo 4. Analise: Capıtulo 1 - Numeros Reais

utilizacao de notacao cientıfica nao e comentada nesse capıtulo, o que sugereque os alunos aprendam futuramente esse conceito. Ja que notacao cientıficae um conceito mais tecnico e o ano sugerido para esse livro e o ultimo ate queos alunos possam escolher entre ingressar no mercado de trabalho ou seguircom os estudos escolhendo entre Cursos Tecnicos de Grau Medio ou Bachil-lerato/Ensino Medio.

5. Analise: Capıtulo 3 - Polinomios

5.1 Competencias do PNLD

1. Interpretar matematicamente situacoes do dia a dia ou de outrasareas do conhecimentoNa parte de polinomios nao existe abordagem que relacione o assunto comsituacoes do dia a dia, ou outras areas de conhecimento. De qualquer forma oassunto e de fato difıcil de ser contextualizado.

2. Usar Independentemente o raciocınio matematico para a compre-ensao do mundo que nos cercaNao ha nenhum exercıcio que traga algo proximo do universo dos alunos.

3. Resolver problemas, criando estrategias proprias para sua resolucao,e que desenvolvam a iniciativa, a imaginacao e a criatividadeAssim como ja apontado no capıtulo 1, a secao Mente Matematica (Figura4.3) e o unico local do livro onde ha problemas que exigem mais de iniciativa,imaginacao e criatividade. O restante e bem mecanico.

4. Avaliar se os resultados obtidos na solucao de situacoes problemasao ou nao razoaveisNao temos exemplo de situacoes no livro que instiguem a investigacao dos re-sultados apresentados ao longo do capıtulo.

5. Estabelecer conexoes entre os campos da Matematica e entre ela eas outras areas do saberEste capıtulo nao faz conexoes com outras areas do saber, nem dentro dapropria matematica, nem em outras disciplinas. Nem ao menos foi apresenta-

24 Capıtulo 5. Analise: Capıtulo 3 - Polinomios

dos graficos de funcoes polinomiais.

6. Raciocinar, fazer abstracoes com base em situacoes concretas, gene-ralizar, organizar e representarNa Figura 5.1 vemos um exemplo de organizacao de uma forma a ajudar osalunos a visualizar os fatores comuns, e aplicar esse padrao a outras situacoessemelhantes.

Figura 5.1: Visualizacao de fator comum

Ja na Figura 5.2 e mostrada a generalizacao dos produtos notaveis, mostrandocomo, a partir da propriedade distributiva, sao encontradas as expressoes.

Figura 5.2: Generalizacao de Produtos Notaveis

Vemos, na Figura 5.3, a organizacao da divisao de polinomios, no mesmopadrao em que os alunos estao acostumados na divisao de inteiros. Com esseparalelo o raciocınio e facilitado.Na associacao de um inteiro para um polinomio (valor numerico de um po-

5.1 Competencias do PNLD 25

linomio), o aluno pode aprender diferentes representacoes de um mesmo termo,ajudando na generalizacao.

Figura 5.3: (a) Divisao de Polinomios e (b) Valor numerico de polinomio

7. Compreender e transmitir ideias matematicas, por escrito ou oral-mente, desenvolvendo a capacidade de argumentacaoNa Figura 5.4 temos um exemplo de formalizacao e argumentacao matematica.Ha uma demonstracao que as raızes dos polinomios sao divisores do termoindependente quando os coeficientes sao inteiros, usando a formalizacao deque um numero da forma r.k e um multiplo de r.

26 Capıtulo 5. Analise: Capıtulo 3 - Polinomios

Figura 5.4: Propriedades de raızes de polinomio

8. Utilizar a argumentacao matematica apoiada em varios tipos de ra-ciocınio: dedutivo, indutivo, probabilısticos, por analogia, plausıvel,entre outrosTemos um caso desse tipo de competencia quando vemos o livro fazer umaanalogia entre divisao de polinomios e divisao com numeros inteiros (Figura5.3 (a)).

9. Comunicar-se utilizando as diversas formas de linguagem emprega-das na MatematicaO livro trabalha bem essa competencia, conforme podemos ver em algunsexemplos abaixo.Na Figura 5.5 vemos que na revisao de monomios ele reve conceitos de lingua-gem matematica com relacao aos monomios.

Figura 5.5: Propriedades de raızes de polinomio

Ainda na revisao de conteudos ha a preocupacao de apresentar conceitos comotermo independente, coeficientes e grau, como vemos na Figura 5.6.Quando e apresentada a regra de Ruffini, para divisao de polinomios porbinomios, o livro ensina uma nova maneira matematica de expressar algo jaconhecido (Figura 5.7).

5.1 Competencias do PNLD 27

Figura 5.6: Revisao de conceitos sobre polinomios

Figura 5.7: Apresentacao da Regra de Ruffini para divisao de polinomios

Figura 5.8: Exemplo de uso de linguagem matematica

10. Desenvolver a sensibilidade para as relacoes da Matematica com asatividades esteticas e ludicasO capıtulo que trata de Polinomios nao envolve atividades ludicas, mas, epossıvel encontra-las, de maneria nao ideal, na secao Mente Matematica (Fi-gura 4.3).

11. Utilizar as novas tecnologias de computacao e de informacaoComo ja foi visto no capıtulo , todo final de capıtulo utilizado o programaDerive para mostrar como aplicar os conhecimentos aprendidos neste software,

28 Capıtulo 5. Analise: Capıtulo 3 - Polinomios

na secao Uso de Programas Informaticos (Figura 4.7).

5.2 Habilidades da Matriz CurricularNessa secao vamos verificar quais habilidades presentes na Matriz Curricular

Estadual o livro desenvolve sobre o conteudo Polinomios.i. Realizar operacoes simples com monomios e polinomios

Essa habilidade comeca a ser desenvolvida ja na revisao de monomios e depoissao apresentadas as mesmas operacoes para polinomios, como podemos vernas Figuras abaixo.

Figura 5.9: Soma e Multiplicacao de monomios

Figura 5.10: (a) Soma e resto de polinomios e (b) Multiplicacao de Polinomios

5.2 Habilidades da Matriz Curricular 29

Figura 5.11: (a) Divisao de monomios e (b) Divisao inteira de polinomios

ii. Relacionar as linguagens algebrica e geometrica, sabendo traduziruma delas na outra, particularmente no caso dos produtos notaveisNao ha tentativa de mostrar geometricamente produtos notaveis, e nem nadano assunto.

iii. Saber atribuir significado a fatoracao algebrica e como utiliza-la naresolucao de equacoes e em outros contextosSao ensinados metodos de fatoracao, e em um exemplo e mostrado como afatoracao pode ser utilizada para encontrar as raızes do polinomio (ver Figurasabaixo).

Figura 5.12: (a) Encontrar fator comum e (b) Produtos Notaveis

30 Capıtulo 5. Analise: Capıtulo 3 - Polinomios

Figura 5.13: (a) Como encontrar um produto notavel e (b) Exemplo usando produtonotavel e Regra de Ruffini

iv. Compreender o significado de expressoes envolvendo numeros na-turais por meio de sua representacao simbolica e de seu significadogeometrico (2n e um numero par, 2n+1 e um numero ımpar, a somados n primeiros numeros naturais e n(n + 1)/2 etc.)Nao e encontrado nesse capıtulo.

v. Compreender a historia das equacoes, com o deslocamento das atencoesdas formulas para as analises qualitativasEssa habilidade nao e trabalhada nesse capıtulo.

vi. Conhecer as relacoes entre os coeficientes e as raızes de uma equacaoalgebricaEssa habilidade nao e completamente desenvolvida nesse capıtulo. A unicamencao a ela e quando o livro diz que a raiz divide o termo independente(Figura 5.4). Ainda assim nao sao apresentadas as relacoes de Girard que saoprevistas na Matriz Curricular do Estado de Sao Paulo.

vii. Saber reduzir a ordem de uma equacao a partir do conhecimento deuma raizEssa habilidade e contemplada quando e apresentada a regra de Ruffini, con-forme figura abaixo.

5.2 Habilidades da Matriz Curricular 31

Figura 5.14: Achar raiz de polinomio usando divisao de polinomios

viii. Saber expressar o significado dos numeros complexos por meio doplano de Argand-GaussNao ha abordagem de numeros complexos no livro.

ix. Compreender o significado geometrico das operacoes com numeroscomplexos, associando-as a transformacoes no planoNao ha abordagem de numeros complexos no livro.

6. Aspectos Interessantes

1. Separacao EstruturalO livro e organizado e desenvolvido de um modo muito interessante, ondeos principais conteudos sao excritos em uma coluna central e do lado (namargem) sao apresentados conceitos que possuem relacoes com o conteudoprincipal, mas que sao sugeridos em um estudo paralelo. Essa organizacaofacilita a leitura do aluno simplificando a procura por conceitos expecıficos.E um detalhe que auxiliaria na estetica, na objetividade e na facilidade decompreensao de muitos livros brasileiros.

2. Lo que debes recordarEssa secao apresenta, antes de comecar o conteudo principal, uma breve re-cordacao de conceitos que sao prerequisitos para o capıtulo. Isso faz comque o aluno, teoricamente, nao comece um novo conteudo desde o inıcio, semrelaciona-lo rapidamente com conceitos anteriores, proporciona uma melhorfixacao do conteudo recordado e um aprendizado mais facil do novo conteudo.Alem disso, e o inıcio da solucao de um problema muito comum no Brasil, aapresentacao de um conteudo supondo que o aluno ja tenha aprendido tudo oque o novo conteudo necessita.

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Figura 6.1: Secao que aponta quais os pre-requisitos para o bom aproveitamento doque sera trabalhado no capıtulo

3. Lo que vas a aprenderEsse aspecto e interessante por clarear para o aluno o objetivo do capıtulo emestudo, mesmo nao sendo essencial, ajuda muito o professor durante o plane-jamento das aulas sobre esse conteudo.

Figura 6.2: Objetivos que sao almejados com o estudo do capıtulo

4. Nıveis de dificuldade nos exercıciosO livro traz, em cada exercıcio, uma graduacao do nıvel de dificuldade desseexercıcio. Dependendo do aluno e do ponto de vista esse aspecto pode sermuito bom ou muito ruim. Ele e bom porque, desse modo, o aluno tem umanocao das dificuldades do exercıcios que ele consegue fazer e aumenta a au-toestima do estudante quando ele consegue resolver um exercıcio com graude dificuldade maior, mas, pode desanimar muito o aluno que nao consegueresolver nem os exercıcios com grau de dificuldade menor, fazendo com que oestudante fique desmotivado e nao queira mais estudar. Portanto, e um as-pecto bom, mas que deve ser muito pensado antes de ser utilizado em livrosdidaticos no Brasil, mas que deve ser considerado.

34 Capıtulo 6. Aspectos Interessantes

Figura 6.3: Cada exercıcio possui uma indicacao do seu nıvel de dificuldade

5. Lo que has aprendidoNessa secao o aluno resolve exercıcios que representam um resumo dos prin-cipais conteudos trabalhados ate a secao. Ajudando o estudante a avaliar apropria evolucao sobre os conteudos estudados e verificar se o aluno conseguiucumprir todos os objetivos desenvolvidos no comeco do capıtulo. Esse aspectoe importante e de possıvel uso em outro livros didaticos por trabalhar com osalunos a ideia de possuir um objetivo e de observar o prorpio desenvolvimentopara melhorar o estudo.

Figura 6.4: Secao que serve como auto avaliacao para o aluno

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6. Mente matematicaO objetivo dessa secao e proporcionar ao aluno exercıcios mais recreativos,ludicos e que envolvem curiosidades matematicas motivando-o e desenvolvendoa criativdade e a curiosidade do aluno. Esses tipos de exercıcios sao encontra-dos tambem em livros brasileiros, porem, nao estao em todos. Sao exercıciosque ajudam a desenvolver a criatividade do aluno para a resolucao de exercıciosque nao sao mecanicos, por isso, sao essenciais.

7. Estimacion, aproximacion y redondeoNessa secao o autor se aprofunda no conteudo, apresentando conceitos naoestudados por todos os alunos brasileiros da mesma faixa etaria. E desenvol-vido como calcular o erro e como aproximar os numeros reais, em especial osirracionais, para a utilizacao dos mesmos em problemas, pensando na reali-dade dos problemas. Esses conceitos sao importantes e ajudariam na melhorcompreensao dos alunos sobre os numeros reais.

Figura 6.5: Estimativa, aproximacao e erro

8. Aprofundamento na representacao graficaO livro se aprofunda na representacao grafica dos numeros reais, expondoum metodo, como curiosidade, que consiste na construcao da reta real maisproxima da realidade e colocando exercıcios para a fixacao da aprendizagemdos alunos. A ideia da reta real e das posicoes dos numeros irracionais nela naosao de facil compreensao para os alunos, entao, apresentar metodos diferentespara localizar e escrever os numeros na reta e muito valido, mesmo sendo ape-nas como uma curiosidade, o que torna esse aspecto dentro das possibilidadede agregacao para os livros brasileiros.

36 Capıtulo 6. Aspectos Interessantes

Figura 6.6

9. Ensino do uso de programas de computadorComo podemos ver na Figura 4.7 o livro possui uma secao totalmente dedicadaao ensino de programas de computador. Em cada capıtulo e trabalhado oassunto que esta sendo tratado fazendo uso de alguns programas. Atualmentea tecnologia esta muito presente na vida dos alunos, e e muito importanteque ela tambem seja inserida no processo de aprendizagem do aluno. Dessaforma, ensinar a mexer com algum programa que facilite o entendimento daMatematica e algo que pode ser incorporado nos livros brasileiros. Nao ealgo muito difıcil de ser feito e ajudaria os alunos a enxergarem aplicacoesmatematicas em mais situacoes.

7. Conclusao

O livro cumpre quase que na totalidade as competencias do PNLD (so nao foiencontrada a competencia 4). Encontramos alguns problemas com relacao a con-textualizacao. O livro nao se preocupa em contextualizar os conteudos em situacoesmais proximas da realidade dos alunos (apesar de serem conteudos difıceis de seremcontextualizados).

No capıtulo de Numeros Reais o conteudo e todo coberto, ficando em abertoapenas a potenciacao, radiciacao e a notacao cientıfica, que nao foi possıvel constatarse sao trabalhadas em algum outro livro, exceto pela radiciacao que aparece emoutro capıtulo do mesmo livro (a potenciacao aparece como pre-requisito para umdos capıtulos do livro, nos levando a crer que ela e trabalhada anteriormente).

Com relacao aos conteudos do capıtulo de polinomios, o livro cumpre com tudoque e proposto na Matriz Curricular de SP, devendo apenas a parte de numeroscomplexos, que no Brasil e colocada como conteudo dentro de Funcoes Polinomiais.

No que concerne a estrutura, achamos que e o ponto forte do livro. Colocaruma secao de recordacao, deixar claro quais os objetivos do capıtulo, colocar umaauto-avaliacao para o aluno, dividir o conteudo em coluna central e margens, pon-tuando os conceitos que ficam em cada uma, sao escolhas acertadas do livro. A boaestruturacao facilita o entendimento do conteudo e a leitura do livro, tornando oprocesso de aprendizagem mais fluido. Com isso, os livros brasileiros, que costumamser bastante confusos por terem uma estrutura menos rıgida, poderiam rever a formacomo estruturam seus conteudos, adotando essa boa pratica do livro analisado.