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O Grito – Edward Munch

PROPRIEDADES

ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA

FÍSICA MODERNA I

“ A determinação de que movimentosestáveis dos elétrons no átomoenvolve números inteiros, e até agorao único fenômeno que envolvenúmeros inteiros em física foramaqueles de interferência e de vibração.Isso sugeriu a ideia para mim queelétrons não poderiam serrepresentados como simplescorpúsculos mas também que umaperiodicidade está relacionada comeles .” - Louis De Broglie

Física para Engenharia Elétrica – Propriedades Ondul atórias da Matéria

José Fernando FragalliDepartamento de Física – Udesc/Joinville

1. Introdução

2. O Postulado de De Broglie

3. O Experimento de Davisson e Germer

4. O Experimento de Thomson

5. A Dualidade Onda-Partícula para a Matéria

6. O Princípio da Incerteza de Heisenberg

PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA

Física para Engenharia Elétrica – Propriedades Ondulatórias da Matéria

Nos dias de hoje, é corriqueiro falarmos sobremicroscopia eletrônica .


1. INTRODUÇÃO

Importância do comportamento ondulatório da matéria

Um microscópio eletrônico de varredura (SEM).

Imagem de um ácaro obtida por SEM.

Imagem de um ácaro obtida por SEM.

Mas, sabemos realmente como funcionam osmicroscópios eletrônicos?


Na microscopia eletrônica um feixe de elétronsbombardeia um objeto, e uma imagem é então formada.


1. INTRODUÇÃO

O princípio básico da microscopia eletrônica

Esquema básico do feixe de elétrons em um microscópio eletrônico.

Feixe de elétrons em um microscópio eletrônico.

A microscopia eletrônica baseia-se nocomportamento ondulatório dos elétrons.


Abaixo mostramos o microscópico eletrônico devarredura (MEV) ou scanning electronic microscope (SEM)


1. INTRODUÇÃO

O microscópio eletrônico de varredura (MEV – SEM)

Desenho esquemático da coluna do MEV.

Volume de interação em um MEV


Abaixo mostramos o microscópico eletrônico detransmissão (MET) ou transmission electronic microscope(TEM)


1. INTRODUÇÃO

O microscópio eletrônico de transmissão (MET – TEM)

Desenho esquemático da coluna do

MET.

Fotografia de um MET.


Abaixo mostramos o microscópico eletrônico de forçaatômica (MFA) ou atomic force microscope (AFM)


1. INTRODUÇÃO

O microscópio eletrônico de força atômica (MFA – AFM)

Desenho esquemático do funcionamento de um AFM.

Imagem de átomo de

carbono na grafite feito por

AFM.


Mas, o que significa o elétron ter um comportamentoondulatório?


1. INTRODUÇÃO

O comportamento ondulatório dos elétrons

Interferência de luz (onda eletromagnética) provocada

por duas fendas.

Elétrons difratando com um cristal de ouro.

O comportamento ondulatório daluz é facilmente compreendido, comomostram os experimentos deinterferência e difração.

Os elétrons entãose difratariam, comouma onda de luz?


Com os experimentos realizados....

1. INTRODUÇÃO

ONDA

MATÉRIA

RADIAÇÃO

PARTÍCULA

⇒

EQUAÇÕES DE

MAXWELL

LEIS DE NEWTON

EFE, EC, PP, PRX

FÓTON⇓FÓTON ⇓

?

DIFRAÇÃO, INTERFERÊNCIA

LGU, TER, MECFLU

⇓

⇑

⇒

⇑

⇐



Olhemos apenas para o lado da RADIAÇÃO ...

Como vimos, a radiação apresenta uma característicadual , isto é apresenta comportamento ondulatório ecorpuscular.

a) revela-se como onda em experimentos tais comointerferência e difração .

1. INTRODUÇÃO



Interferência de luz por fendas e por filme fino.

Difração da luz por fenda e por dedos humanos.

b) revela-se como partícula em experimentos tais comoEfeito Fotoelétrico e produção de Raios-X .

Continuemos a olhar para o lado da RADIAÇÃO ...

1. INTRODUÇÃO



Efeito Fotoelétrico e sua explicação.

Produção de Raios-X e sua explicação.

MATÉRIA

Física Moderna I – Radiação de Corpo Negro

Até agora o ser humano encontra a matéria em cincoformas distintas na natureza, todas descritas de formacorpuscular.

SÓLIDO LÍQUIDOGÁS

PLASMA

CONDENSADO DE BOSE-EINSTEIN - BEC

Olhemos agora o lado da MATÉRIA ...

1. INTRODUÇÃO


Está faltando algo????

1. INTRODUÇÃO

ONDA

MATÉRIA

RADIAÇÃO

PARTÍCULA

⇒

EQUAÇÕES DE

MAXWELL

LEIS DE NEWTON

EFE, EC, PP, PRX

FÓTON⇓FÓTON ⇓

?

DIFRAÇÃO, INTERFERÊNCIA

LGU, TER, MECFLU

⇓

⇑

⇒

⇑

⇐



Mas, o que é necessário para “aparecer” esta simetria ?

Resposta:

Não deveria a NATUREZA , para ser bela e completa,apresentar-se como simétrica ?

- A matéria deve também apresentar um caráter dual...

O quadro acima mostra uma assimetria...

1. INTRODUÇÃO



Quer dizer então que a matéria deve se apresentar comcaracterísticas ondulatórias ?

Resposta:

- Significa que a matéria deve (tem que) apresentartambém um comportamento ondulatório, além do seu normalcorpuscular...

O que? A matéria com caráter dual? O que significa isto?

Além disso, a matéria também poderia, por exemplo,difratar ?

Resposta: SIM! E SIM!!

1. INTRODUÇÃO



1. Introdução








Em sua tese de doutorado apresentada em 1924 àFaculdade de Ciências da Universidade de Paris , Louis VictorDe Broglie (1892-1987) propôs a existência de ondas dematéria ....

Ondas de matéria

Prêmio Nobel de Física de 1929 pela

“ Descoberta da natureza ondulatória

dos elétrons ”.

2. O POSTULADO DE DE BROGLIE



Louis De Broglie.

Medalha concedida aos agraciados com o Prêmio

Nobel de Física.

Um pouco da história de Louis De Broglie

Louis De Broglie também foi um nobre francês, o 7o

Duque De Broglie .

Antes de se dedicar ao estudo da Física, Louis De Brogliefoi um proeminente historiador francês.

Louis De Broglie com o tempo começou a interessar-sepor problemas de Física e Matemática, por influência de seuirmão, Maurice De Broglie , 6o Duque De Broglie eproeminente físico experimental da época.




A hipótese de Louis De Broglie era de que ocomportamento dual da radiação também se aplicava àmatéria .

Mas, o que são ondas de matéria?

Assim, como no caso do fóton , também uma partículamaterial tem associada a ela uma onda que governa o seumovimento.

Desta forma, toda a natureza (matéria + radiação ) seapresentaria com uma grande SIMETRIA!!!!




Louis De Broglie propôs que os aspectos ondulatórios damatéria estão relacionados com os seus aspectoscorpusculares da mesma forma quantitativa daquelesrelacionados para a radiação .

Como as ondas de matéria se apresentam?

Que grandezas físicas a matéria e a radiação podem terem comum?

Resposta:

Energia !!!!

Momento Linear !!!!




FF pcU ⋅=

Sabemos que para um fóton temos que sua energia EF éexpressa em termos da sua frequência ν ou do seucomprimento de onda λ, como mostrado abaixo.

A energia do FÓTON

Também para o fóton existeuma relação direta entre a suaenergia EF e o seu momento linearpF, mostrada ao lado.

ν⋅= hEF




λ ⇒ comprimento de onda do fóton

c = 2,99792458×108 m/sλν c= λ

chEF

⋅=h = 6,626184×10-34 J⋅s

EF ⇒ energia do fóton

ν ⇒ frequência do fóton⇒

pF ⇒ momento linear do fóton

Vamos igualar estas duas expressõespara a energia do fóton EF e obter umarelação entre o seu momento linear pF e oseu comprimento de onda λ.

O momento linear do FÓTON

Se quisermos atribuir um comportamento ondulatório àmatéria , temos que lhe atribuir um comprimento de onda .

λh

pF =

Assim, a matéria deve ter um comprimento de onda λassociado ao seu momento linear p.




pF ⇒ momento linear do fóton h = 6,626184×10-34 J⋅s

λ ⇒ comprimento de onda do fóton

Desta forma, Louis De Broglie propôs que a matéria deveter um comprimento de onda λDB cuja expressão é mostradaabaixo.

O Postulado de De Broglie

p

hDB =λ




Frase de Louis De Broglie.

λDB ⇒ comprimento de onda da matériah = 6,626184×10-34 J⋅s

p⇒ momento linear da matéria

Vamos fazer um exemplo....

Exemplo: comprimento de onda de De Broglie de uma bola

Consideremos uma bola de futebol ( m = 0,430 kg) que aolevar um chute, se desloca a uma velocidade de v = 10,0 m/s.

Qual o comprimentode onda de De Broglieassociado a ela?




Será que a bola de futebol se difrata quando atravessa as traves?

Cálculo de λDB para a bola de futebol

p

hDB =λ

Para este cálculo usamos a fórmula do comprimento deonda de De Broglie mostradas abaixo.

!!!!!1054,1 34 mDB−×=λ


⇒



vmp ⋅=

λDB ⇒ comprimento de onda da bola de futebol

h = 6,626184×10-34 J⋅s p ⇒ momento linear da matéria

m ⇒ massa da bola de futebol v ⇒ velocidade da bola de futebol

m = 0,430 kg v = 10,0 m/s p = 4,30 kg⋅m/s

⇓Impulso dado a

uma bola de futebol.

É possível, com os instrumentos que dispomos ,determinar este valor de comprimento de onda ?

Resposta:

Não!! Definitivamente, NÃO!!!




Verificação da realidade física das Ondas de Matéria

A propósito, como determinamos o comprimento de ondade objetos ondulatórios?

Resposta:

A partir de experimentos onde a natureza ondulatória doobjeto se revele, por exemplo em um experimento onde oobjeto sofra DIFRAÇÃO !!!!

Outro experimento.....

Caso exista, qual deve ser o comprimento de ondaassociado a um corpo material, que tenha massa?

Vamos fazer outro exemplo....

Consideremos agora um elétron ( m = 9,109535×10-31 kg)sujeito a uma diferença de potencial igual a 100 V.

Qual deve ser agora ocomprimento de onda de De Broglieassociado ao elétron nesteexperimento?




Experimento para estudar a difração de elétrons.

Comprimento de Onda de De Broglie para o Elétron

Neste caso, fazemos o balanço de energia, impondo aconservação de energia durante todo o movimento doelétron.

Especificamente, igualamos aenergia mecânica total nos pontos Ae B do movimento do elétron, comomostra a figura ao lado.




Admitimos que no ponto A oelétron esteja em repouso esubmetido a potencial V = 0.Arranjo experimental para o

experimento de difração de elétrons. 0=AK 0=AU 0=+= AAA UKE⇒


Já no ponto B, admitimos que a velocidade do elétronseja v e que ele esteja submetido ao potencial V.




A conservação de energiaimplica na igualdade da energiamecânica total em A e B.

Arranjo experimental para o experimento de difração de

elétrons.

2

2

1vmKB ⋅⋅= VeU B ⋅−=

VevmUKE BBB ⋅−⋅⋅=+= 2

2

1

⇒m = 9,109535×10-31 kg

e = 1,6021895×10-19 C

Vme

h

p

hDB

1

2⋅

⋅⋅==λ

221

2 2

pe V m v

m⋅ = ⋅ =

⋅ 2p e m V= ⋅ ⋅ ⋅


Neste caso, toda a energia potencial do elétron e⋅V étransformada em energia cinética K = m⋅v2/2.

De posse desta expressão para o momento linear doelétron p, usamos a expressão do comprimento de onda deDe Broglie para determinar o seu comprimento de onda.




⇒

⇒

e = 1,6021895×10-19 C

SIV

DB

910226421,1 −×=λ

m = 9,109535×10-31 kg

h = 6,626184×10-34 J⋅s

Como verificar se as Ondas de Matéria realmente têmrealidade física?

Era possível, com os instrumentos disponíveis à época(1924), determinar este valor de comprimento de onda ?

Resposta:

SIM!! Nesta época já se fazia DIFRAÇÃO de Raios-Xutilizando cristais (arranjos periódicos de dimensõesnanométricas) !!!




mDB101023,1 −×=λ

Fazemos então V = 100 V eobtemos o valor numérico paraλDB mostrado ao lado.

1. Introdução








Um pouco de História

Em 1921, Clinton Joseph Davisson (1881-1958) e CharlesKusman já haviam observado a difração de elétrons em seulaboratório.

Porém, eles não deram importância a este resultado, pornão a reconhecerem como tal.

Prêmio Nobel de Física de 1937 pela “Verificação experimental da difração de elétrons por cristais” .

3. O EXPERIMENTO DE DAVISSON E GERMER



Clinton Davisson


Nobel de Física

Um pouco de História

Lembremos que a proposição de De Broglie é de 1924!!!

Logo, em 1921 não havia proposição teórica quejustificasse o resultado obtido por Davisson e Kusman .


Em 1925, Walter Elsasser (1904-1991), após tomarconhecimento do trabalho de De Broglie , apresentou umaforma de testar a natureza ondulatória da matéria.

Segundo Elsasser , tal natureza poderia ser testada damesma forma que a natureza ondulatória dos Raios-X haviasido.



Mais História

Para tal, Elsasser sugeriu um experimento no qual umfeixe de elétrons de alta energia incidisse sobre um sólidocristalino e que se observasse a DIFRAÇÃO deste feixe.

Difração de Raios-X: Método de

Debye-Scherrer Difração de Raios-X: Método

de Bragg




Um pouco mais de História

Em 1927, Davisson (1881-1958) e Lester Halbert Germer(1896-1971) realizaram um experimento que demonstrou anatureza ondulatória da matéria.

Pelos resultados obtidos, Davisson , juntamente com G. P.Thomson , ganharam o Prêmio Nobel de Física de 1937.

Davisson e Germer com um tubo de raios

catódicos às mãos.




Davisson ao lado do equipamento usado

para difratar elétrons

Arranjo experimental para a determinação doComprimento de Onda do Elétron

No experimento projetado por Davisson e Germer , umfeixe de elétrons emitidos por um filamento incidem sobreum cristal de níquel .




Resultados experimentais obtidos por Davisson e Germer

Para uma melhor análise do comportamento ondulatóriodos elétrons , Davisson e Germer sintetizaram os resultadosnas figuras abaixo.




221

2 2

pe V m v

m⋅ = ⋅ =

⋅2p e m V= ⋅ ⋅ ⋅

Análise do arranjo experimental de Davisson e Germer

Para a análise do resultado experimental obtido,iniciamos calculando o valor do comprimento de onda de DeBroglie para o valor de tensão aplicada de 54 V.

Como no caso do exemplo resolvido para o elétron, todaa energia potencial e⋅V fornecida pela fonte é convertida emenergia cinética .

⇒




( ) 101,660 10DB TEOmλ −= ×

91,22 10

2DB

hSI

e m V Vλ

−×= =⋅ ⋅ ⋅p

hDB =λ

Cálculo do Comprimento de Onda esperado para o Elétron

Calculamos, então o comprimento de onda de De Broglie .

Para V = 54,0 V, encontramos

⇒




n xλ⋅ = ∆

Análise do resultado experimental de Davisson e Germer

Passamos agora à análise dos dados experimentais.

Vamos considerar o feixe de elétrons como uma onda sedifratando nos planos cristalinos do cristal de níquel .

A condição de máximo de difração(interferência ) é dada por


∆x: diferença de caminho de cadafeixe refletido nos planosconsecutivos.



Detalhes da difração de Bragg sofrida pelo Elétron

Vamos olhar em detalhes a reflexão ( reflexão de Bragg )de dois feixes de elétrons em dois planos consecutivos docristal de níquel .




2 180φ θ⋅ + = 902

θφ = −

Determinação do Comprimento de Onda do Elétron

Do detalhe da figura, é fácil verificar que

O arranjo geométrico nos mostra que

( ) φφ sin290cos2 ⋅⋅=−⋅⋅=∆ ddx


⇒



2 sin 902

x dθ ∆ = ⋅ ⋅ −

2 cos2

n dθλ ⋅ = ⋅ ⋅


Desta forma, obtemos

Assim, obtemos que o comprimento de onda do feixe deelétrons é dado por




90,091 10d m−= ×2 cos

2n d

θλ ⋅ = ⋅ ⋅


Da condição do experimento, temos que

Assim, obtemos

50oθ =

( ) mEXP1010649,1 −×=λ


1=n



% 0,7E =


Assim,

( ) mEXP1010649,1 −×=λ( ) mTEO

1010660,1 −×=λ





Conclusão:

( ) mEXP1010649,1 −×=λ

( ) mTEO1010660,1 −×=λ

Podemos afirmar categoricamente , que o feixe deelétrons que sai do filamento se comporta como uma ondaao se encontrar com os planos atômicos de níquel .




1. Introdução








Outro método para a determinação do comprimento deonda do elétron

Paralelamente, George Paget Thomson (1892-1975),também mediu o comprimento de onda de De Broglie paraum feixe de elétrons .

G. P. Thomson fez os seus experimentos em1927, na Escócia, usando uma técnicasemelhante ao método de Debye-Scherrerpara a difração de Raios-X.

George Paget Thomson

4. O EXPERIMENTO DE THOMSON



O Método de Thomson

G. P. Thomson dividiu o Prêmio Nobel de Física de 1937com Davisson .

G. P. Thomson era filho de JosephJohn Thomson que curiosamente,foi aquele que, em experimentosde raios catódicos , descobriu oelétron , atribuindo-lhe acaracterística corpuscular .




O método de Thomson: arranjo de Debye-Scherrer

G. P. Thomson incidiu um feixe de elétrons sobre umafina lâmina de ouro , como mostra o arranjo experimentalabaixo.





O resultado obtido por G. P. Thomson está mostradoabaixo.

Difração de um feixe de elétrons por uma folha fina deouro (direita ) e uma difração produzida por Raios-X em óxidode zircônio (esquerda ).





Conclusão:

Um feixe de elétrons se difrata de maneira simular ao deum feixe de Raios-X , logo elétrons apresentamcomportamento ondulatório, assim como os Raios-X .




Comportamento Ondulatório da Matéria

Não apenas elétrons , mas todos os objetos materiais ,carregados ou não, apresentam características ondulatóriasem seu movimento.

Em 1944, Fermi , Marshall e Zinn mostraram fenômenosde interferência e difração para nêutrons lentos.

Em 1930, Estermann , Stern e Frisch realizaramexperiências de difração de feixes moleculares de hidrogênioe feixes atômicos de hélio em um cristal de LiF .




Comportamento ondulatório da matéria: alguns resultadosexperimentais

Exemplos:

À direita , figura da difração de Raios-X por ummonocristal de cloreto de sódio .

À esquerda , figura da difração de nêutrons de um reatornuclear por um monocristal de cloreto de sódio .




1. Introdução








O Elétron e a Dualidade Onda-Partícula

Mas, e a partir de agora, como entender o ELÉTRON?

Devemos nos lembrar que não podemos ignorar ocomportamento corpuscular de partículas como o elétron(mudança de trajetória de feixes de elétrons sob a ação decampos elétricos e magnéticos, além de outros fenômenostipicamente corpusculares).

Assim, o ELÉTRON é o objeto DUAL que carrega dentrode si ambas as informações, tanto as característicascorpusculares , quanto as ondulatórias .

5. A DUALIDADE ONDA -PARTÍCULA PARA A MATÉRIA




Então, a matéria apresenta ambas as características?

Sim!!! Mas devemos ter aqui muito cuidado. O fato deser DUAL não significa que estas características se revelemSIMULTANEAMENTE .

Na realidade, apenas uma destas duas características érevelada em cada experimento!!!!!

Ou seja, é a natureza do experimento que determina acaracterística da matéria (partícula ou onda).





ELÉTRONCaracterística Ondulatória

(Função de Onda)

Característica Corpuscular

⇒


+



O Princípio da Complementaridade

Segundo Niels Bohr (1885-1962), em seu Princípio daComplementaridade , os modelos corpuscular e ondulatóriosão complementares.

Prêmio Nobel de Física de 1922 pela

“Investigação sobre a estrutura dos átomos e

suas radiações


Niels Bohr




Nobel de Física


Se uma medida revela o caráter ondulatório da radiaçãoou da matéria, então é impossível revelar o carátercorpuscular na mesma medida ( simultaneamente ), e vice-versa.

A escolha de qual modelo usar, se ondulatório oucorpuscular é determinada pela natureza da medida .





Logo, radiação ou matéria não são apenas ondas oupartículas .

Torna-se, então necessário um modelo mais geral, queleve em conta ambas as características ondulatória ecorpuscular para descrever o comportamento, tanto daradiação quanto da matéria .

Torna-se, necessária uma NOVA TEORIA para descrever anatureza.





Mas, e as teorias vigentes até então? Elas devem serjogadas fora?

Decididamente, não é o caso!!!!

Em situações extremas, um modelo ondulatório simplespode ser aplicado à radiação , bem como um modelocorpuscular simples pode ser aplicado à matéria .

Assim, nestes casos extremos, a dinâmica da matériapode ( e deve ) ser tratada pelas Leis de Newton , bem como adinâmica da radiação pelas Equações de Maxwell clássicas.




O Fóton e outras Partículas Elementares

No caso da radiação , Einstein unificou os modelosondulatório e corpuscular , criando o conceito de FÓTON!

Como será o caso da matéria?

Neste caso, não é necessário criar um conceito novo,apenas ter um entendimento mais amplo a respeito damatéria , principalmente em sua descrição microscópica .

Elétr on!! Prót on!! Nêutr on!! Méson!! Gluon!! Todos estes(e mais alguns!!!) apresentam comportamento dual!!!




Interpretação Probabilística (Max Born)

Para o caso da matéria, Max Born (1882-1970) aplicou umargumento semelhante para unificar os modelos ondulatórioe corpuscular .


Max Born



Prêmio Nobel de Física de 1954 pelo “Trabalho

sobre teoria quântica”


Nobel de Física

1. Introdução








A Mecânica Atômica

Como deve ser a NOVA TEORIA que descreve ocomportamento no nível microscópico?

Que garantias ela deve ter?

Que princípios básicos ela deve respeitar?

Quais devem ser os seus POSTULADOS?

6. O PRINCÍPIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG



O Princípio da Incerteza de Heisenberg

Esta é a forma como Werner Karl Heisenberg (1901-1976)estabeleceu o Princípio da Incerteza :

“ Se você faz a medida sobre qualquer objeto, e vocêpode determinar a componente x de seu momento linear comuma incerteza ∆p, você não pode, ao mesmo tempo ,conhecer sua posição com mais acuracidade do que h/∆p” .

Prêmio Nobel de Física de 1932 pela “Criação da Mecânica

Quântica e descoberta das formas alotrópicas do hidrogênio”


Werner Heisenberg




Nobel de Física


Esta é um caso especial do Princípio da Incerteza.

“ Se você faz a medida sobre qualquer objeto, e vocêpode determinar a componente x de seu momento linear comuma incerteza ∆p, você não pode, ao mesmo tempo ,conhecer sua posição com mais acuracidade do que h/∆p” .

Ele pode ser escrito em uma forma matemática, tal que:

h≥∆⋅∆ xpπ⋅

=2

hh

h = 6,6×10-34 J⋅s ⇒ constante de Planck

sJ ⋅×= −341005,1h





A formulação mais geral do Princípio da Incerteza é que

“ Não é possível projetar qualquer experimento no qualseja possível determinar, ao mesmo tempo , ambas ascaracterísticas corpuscular e ondulatória de um objetofísico ” .




h≥∆⋅∆ xp

h≥∆⋅∆ tE

Outras formulações do Princípio da Incerteza são:


Posição ( x) e momento linear ( p), energia ( E) e tempo ( t),são chamadas grandezas conjugadas .




O Microscópio de Bohr

Seja uma experiência imaginária na qual desejamosdetectar um elétron com o uso de um microscópio óptico.


λh

pF = '2 θsenpp FF ⋅⋅=∆ '2 θλ

senh

pF ⋅⋅=∆




Em módulo a variação no momento linear do elétron é amesma do fóton, pois o momento linear do processo decolisão do fóton com o elétron se conserva.


eF pp ∆=∆ '2 θλ

senh

pE ⋅⋅=∆



A posição do elétron será medida com precisão ∆x.



Esta precisão é igual ao poder de resolução domicroscópio.

'θλ

senxE =∆



Assim, temos que



'2 θλ

senh

pE ⋅⋅=∆'θ

λsen

xE =∆

( ) ( ) h>⋅=∆⋅∆ hxp EE 2

Logo, o Princípio da Incerteza de Heisenberg é satisfeito.



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Bibliografia

1) EISBERG, R. e RESNICK, R.; Física Quântica ; EditoraCampus; Rio de Janeiro, 1986; páginas 85-120 .

2) CARUSO, F. e OGURI, V.; Física Moderna ; ElsevierEditora; São Paulo, 2006; páginas 427-441 .

3) BEISER, A.; Conceitos de Física Moderna ; EditoraPolígono; São Paulo, 1969; páginas 72-94 .

4) NUSSENZVEIG, H. M.; Física Básica, Volume 4 ; EditoraEdgard Blücher; São Paulo, 2006; páginas 272-275 .



Bibliografia

5) HALLIDAY, D., RESNICK, R. e WALKER, J.;Fundamentos de Física – Volume 4 – 4 a Edição ; LivrosTécnicos e Científicos Editora S.A.; 1995; páginas 173-180 .

6) SEARS, W., ZEMANSKY, F., YOUNG, H. D., FREEDMAN,R. A.; Física IV; 10 a Edição ; Pearson Education do Brasil; SãoPaulo, 2004; páginas 217-239 .

7) TIPLER, P. A. e LLEWELLYN, R. A.; Física Moderna ;Livros Técnicos e Científicos Editora; Rio de Janeiro, 2001 ;páginas 128-152 .



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Solidão no Inverno – Van Gogh

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