o funções polinomiais - midia.atp.usp.br · 4.2 funções polinomiais de grau n 4.3 função...
Transcript of o funções polinomiais - midia.atp.usp.br · 4.2 funções polinomiais de grau n 4.3 função...
51
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TOacutepi
Co
Gil da Costa marques
funccedilotildees polinomiais 4
41 potenciaccedilatildeo42 funccedilotildees polinomiais de grau n43 funccedilatildeo polinomial do segundo Grau ou funccedilatildeo Quadraacutetica44 anaacutelise da forma Geral dos Graacuteficos da funccedilatildeo Quadraacutetica45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais47 Raiacutezes da funccedilatildeo Quadraacutetica48 maacuteximos e miacutenimos da funccedilatildeo Quadraacutetica
Licenciatura em ciecircncias middot USP Univesp
53
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
41 PotenciaccedilatildeoAntes de abordar as funccedilotildees polinomiais devemos introduzir uma operaccedilatildeo com nuacutemeros
reais denominada potenciaccedilatildeo Assim definimos a potecircncia n do nuacutemero a representada por an
(com n isin N) como o resultado do produto sucessivo do nuacutemero a n vezes ou seja
Assim definimos a3 como
ou seja o produto sucessivo de a trecircs vezes O resultado da potenciaccedilatildeo de um nuacutemero real eacute
um outro nuacutemero real Por exemplo
A potenciaccedilatildeo de um nuacutemero caracterizada pela potecircncia n eacute uma operaccedilatildeo bastante sim-
ples sempre que a potecircncia envolva nuacutemeros inteiros positivos
42 Funccedilotildees Polinomiais de grau nA operaccedilatildeo potenciaccedilatildeo permite-nos definir uma ampla classe de funccedilotildees denominadas
genericamente funccedilotildees polinomiais Por exemplo a funccedilatildeo cuacutebica ou funccedilatildeo polinomial de
terceiro grau eacute definida de forma anaacuteloga agrave potenciaccedilatildeo uma vez que a funccedilatildeo da forma
associa ao valor x da variaacutevel independente um valor para a variaacutevel dependente o qual eacute
determinado da proacutepria variaacutevel independente
vezes
n
n
a a a aequiv sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot 41
423a a a a= sdot sdot
43( ) ( ) ( ) ( )
3
3
3 3 3 3 3 9 27
3 3 3 3 3 9 27
= sdot sdot = sdot =
minus = minus sdot minus sdot minus = minus sdot = minus
44( ) 3f x x=
45( ) ( )f x x x x= sdot sdot
54 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Um exemplo simples de funccedilatildeo cuacutebica eacute aquela que expressa o volume de uma esfera como
funccedilatildeo do seu raio Nesse caso a dependecircncia do volume em relaccedilatildeo ao raio R se escreve
Analogamente podemos definir uma funccedilatildeo envolvendo uma potecircncia arbitraacuteria n da vari-
aacutevel dependente (considerando-se ateacute esse ponto apenas nuacutemeros inteiros e positivos) Ela seraacute
representada por
Um polinocircmio de grau n eacute definido como uma soma ou combinaccedilotildees lineares de funccedilotildees
da forma 47 isto eacute ele eacute definido pela expressatildeo geral
Ou analogamente
Ou seja um polinocircmio de grau n pode ser defini-
do como uma soma de polinocircmios de graus variando
de um ateacute n
Da definiccedilatildeo acima temos que a funccedilatildeo afim eacute por
definiccedilatildeo um polinocircmio de primeiro grau ou seja
46343
V Rπ=
47( ) vezes
n n
n
f x x x x x= equiv sdot sdot sdot sdot
48( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 0n n n
n nP x a f x a f x a f x aminusminus= + + + +
Figura 41 Graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do primeiro grau ou funccedilatildeo afim Fonte Cepa
49( ) 11 1 0n n n
n nP x a x a x a x aminusminus= + + + +
410( )1
nn i
ii
P x a x=
= sum
411( )11 0P x a x a= +
55
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo a velocidade escalar de uma partiacutecula de massa m sujeita a uma forccedila constante
F atuando ao longo de uma curva eacute dada como funccedilatildeo do tempo t decorrido por
Nesse caso a variaacutevel independente x eacute o tempo acima designado por t enquanto os
paracircmetros a1 e a0 satildeo respectivamente a aceleraccedilatildeo da partiacutecula (a1 = Fm) e a sua velocidade
inicial (V (t = 0) = V0 )Um polinocircmio eacute considerado par se
em cujo caso n deve ser necessariamente um nuacutemero par e todos os coeficientes das potecircncias
iacutempares devem ser nulas Por exemplo o polinocircmio
eacute um polinocircmio par
Um polinocircmio eacute dito iacutempar se
A condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que isso aconteccedila eacute a de que n deve ser necessaria-
mente um nuacutemero iacutempar bem como todos os coeficientes das potecircncias pares devem ser nulos
Assim o polinocircmio
eacute um polinocircmio iacutempar
412( ) 0FV t t Vm
= +
413( ) ( )n nP x P x= minus
414( )4 4 213 36P x x x= minus +
415( ) ( )n nP x P x= minus minus
416( )5 5 313 36P x x x x= minus +
56 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
A funccedilatildeo polinomial do segundo grau conteacutem aleacutem dos termos lineares jaacute analisados um
termo quadraacutetico na variaacutevel x Assim a forma mais geral do polinocircmio do segundo grau eacute
Na expressatildeo acima empregamos a forma convencional de apresentar as funccedilotildees quadraacuteti-
cas ou seja em termos de paracircmetros designados pelas letras a b e c As constantes a b e c satildeo
denominadas respectivamente coeficiente quadraacutetico coeficiente linear e coeficiente constante
ou termo livre O coeficiente quadraacutetico eacute o uacutenico que natildeo pode ser nulo pois nesse caso a
equaccedilatildeo seria do primeiro grau
O graacutefico de um polinocircmio do segundo grau eacute uma paraacutebola
O movimento dos projeacuteteis na su-
perfiacutecie terrestre provecirc mais de um
exemplo de grandezas que dependem
quadraticamente umas das outras Por
exemplo a coordenada y associada agrave
posiccedilatildeo de um projeacutetil depende da co-
ordenada x da seguinte forma
onde g eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade y0 eacute o valor da coordenada y quando do
iniacutecio do movimento isto eacute quando
x = 0 e a velocidade inicial do projeacutetil
tem componentes (v0x v0y )
417( ) 2y x ax bx c= + +
Figura 42 A trajetoacuteria de um projeacutetil eacute descrita por uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
418( )2
0 00 02 y
x x
g x xy x v yv v
equiv minus + +
57
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
A seguir escreveremos a expressatildeo 417 de uma forma inteiramente equivalente e muito uacutetil como
se veraacute Admitindo-se o paracircmetro a natildeo nulo (a ne 0) podemos escrever as seguintes igualdades
Donde inferimos que
onde o termo ∆ eacute dado por
Embora seja pouco usual vamos usar e muitas vezes essa uacuteltima forma da funccedilatildeo quadraacutetica
Em particular se recorrermos a um artifiacutecio definido como translaccedilatildeo de eixos (mudanccedilas de
eixos na direccedilatildeo vertical e horizontal) ela se torna uacutetil para escrever a equaccedilatildeo da paraacutebola de
uma forma mais simples De fato se redefinirmos as variaacuteveis de acordo com as expressotildees
entatildeo o polinocircmio do segundo grau pode ser escrito nessas novas variaacuteveis como
419
2
2 22 2 2
2 2
22 2 22
2 2 2
2
4 4
4 4 4 2 4
bxa
b c b c b by ax bx c a x x a x xa a a a a a
b b c b b b aca x x a xa a a a a a
∆
+
= + + = + + = + + + minus
minus = + + + minus = + minus
420( )2
2
2 2by x ax bx c a xa a
∆ = + + = + minus
4212 4b ac∆ = minus
4222
24
2
bx xab acy y
a
prime = +
minusprime = minus
423( ) 2y x axprime prime prime=
58 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Observe que efetuar translaccedilotildees ao longo
dos eixos x e y corresponde a realizar uma
mudanccedila do sistema de coordenadas
As transformaccedilotildees 422 podem ser pensa-
das como translaccedilotildees dos eixos na direccedilatildeo ho-
rizontal e na direccedilatildeo vertical Assim mediante
uma nova escolha de eixos escolha essa defi-
nida por 422 podemos reduzir a expressatildeo
417 ou 420 a uma forma bastante simples Utilizaremos indistintamente qualquer uma das
expressotildees 417 420 ou 423
De acordo com a expressatildeo 417 podemos constatar que a funccedilatildeo polinomial sob a forma
423 eacute uma funccedilatildeo par Isso nos leva a uma simetria da paraacutebola De fato ela eacute simeacutetrica em
relaccedilatildeo agrave reta dada por
44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
Podemos classificar as paraacutebolas a partir de suas duas caracteriacutesticas A primeira delas eacute a
concavidade A segunda diz respeito ao fato dela interceptar ou natildeo o eixo x
Uma funccedilatildeo quadraacutetica pode exibir dois tipos de concavidade A concavidade eacute considerada
positiva se a curva ldquoestaacute virada para cimardquo Se ocorrer o oposto a concavidade da curva eacute
negativa Nesse caso dizemos numa linguagem coloquial que ela estaacute ldquovirada para baixordquo
Levando-se em conta ainda a forma 423
podemos verificar que a concavidade eacute deter-
minada pelo sinal do paracircmetro a da funccedilatildeo A
concavidade seraacute negativa se o paracircmetro a o
for E seraacute positiva se o mesmo valer para a Isso
pode ser facilmente constatado analisando-se
as figuras em cada caso (Figura 44)
Figura 43 Por meio da translaccedilatildeo de eixos podemos simplificar a forma da funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
4242bxa
= minus
Figura 44 A concavidade da funccedilatildeo depende do sinal do paracircmetro a Fonte Cepa
59
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim o paracircmetro a determina tambeacutem o
quatildeo ldquoabertardquo ou ldquofechadardquo seraacute a paraacutebola
Quanto maior o valor desse paracircmetro tanto
mais aberta seraacute a paraacutebola (vide figura 45)
A paraacutebola pode interceptar ou natildeo o eixo x
Para determinar sob que circunstacircncias a curva
interceptaraacute o eixo x basta analisar em que cir-
cunstacircncias teremos um valor de y igual a zero
para um dado valor de x A tais valores quando
existem damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os pontos nos quais a paraacutebola cruza o eixo x
tecircm coordenadas ( y = 0 xr) onde xr eacute uma das
raiacutezes do polinocircmio de segundo grau isto eacute
Assim o graacutefico de um polinocircmio do segundo grau pode
interceptar duas vezes o eixo x (se ele possuir duas raiacutezes)
interceptar apenas uma vez (no caso de ter apenas uma
raiz) ou nunca interceptaacute-lo (se natildeo houver raiacutezes reais)
De acordo com anaacutelise que faremos na seccedilatildeo 46 tais casos
podem ser decididos por meio da relaccedilatildeo entre os paracircme-
tros a b e c O resultado eacute o seguinte
Se
Assim a funccedilatildeo quadraacutetica
intercepta o eixo x duas vezes e nesse caso b2 = 9 gt 4ac = 412 = 8
Figura 45 Comportamento da paraacutebola quando variamos o paracircmetro a Fonte Cepa
Figura 46 Por forma geral para diferentes sinais ou valores de Δ Fonte Cepa
4252 0r rax bx c+ + =
426
2
2
2
0 40 40 4
b acb acb ac
∆ gt rarr gt
∆ = rarr =
∆ lt rarr lt
427( ) 2 3 2y x x x= minus +
60 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ao passo que a funccedilatildeo
intercepta o eixo x apenas uma vez pois b2 = 4 = 4ac = 411 = 4 E a funccedilatildeo
jamais tocaraacute o eixo x
Exerciacutecio Resolvido Problema 1
Esboce o graacutefico da funccedilatildeo
rarr Resoluccedilatildeo
Primeiramente lembramos que
Um modo de resolver o problema proposto seria atribuir alguns valores a x e calcular os corres-
pondentes valores de y constituindo assim uma tabela e a partir da tabela construir o graacutefico Haacute
um modo mais produtivo poreacutem que eacute procurar os pontos mais importantes corte com os eixos e
o veacutertice Lembramos que nesse caso temos a = 1 b = minus6 c = 5
a Corte com o eixo y
Para encontrar o valor de y basta tomar x = 0 na equaccedilatildeo 430
Obtemos
Portanto o graacutefico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (05)
b Concavidade
Tendo em vista que a = 1 gt 0 a concavidade eacute para cima
c Cortes com o eixo 0x
Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0 ou seja pontos x para os quais
428( ) 2 2 1y x x x= minus +
429( ) 2 1y x x= +
430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +
431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =
4322 6 5 0i ix xminus + =
61
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
O valor de ∆ eacute positivo
Portanto nesse caso ele intercepta o eixo x duas vezes
45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiaisGraacuteficos tiacutepicos das funccedilotildees polinomiais satildeo apresentados nas figuras abaixo O polinocircmio da
figura 47C eacute um polinocircmio par Os demais natildeo tecircm uma paridade bem definida
433( ) ( )( )22 4 6 4 1 5 36 20 16b ac∆ = minus = minus minus = minus =
Figura 47 Alguns graacuteficos de funccedilotildees polinomiais Fonte Cepa
B)
C) D)
A)
62 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Pode-se ver pelos graacuteficos que as funccedilotildees polinomiais natildeo satildeo limitadas isto eacute elas podem
crescer indefinidamente decrescer indefinidamente ou ambos
A curva associada ao graacutefico pode cortar o eixo x um certo de nuacutemero de vezes Esse nuacutemero eacute igual
ou menor do que n Aos valores de x para os quais isso ocorre damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os polinocircmios em geral exibem pontos de maacuteximos ou miacutenimos locais Por exemplo o
graacutefico da figura 47D exibe dois maacuteximos locais e um miacutenimo local
46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiaisA determinaccedilatildeo das raiacutezes de um polinocircmio de grau n se faz mediante a soluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo algeacutebrica De fato designando por xi a i-eacutesima raiz de um polinocircmio por definiccedilatildeo xi
deve satisfazer agrave equaccedilatildeo algeacutebrica
ou seja
Podemos ter ateacute n soluccedilotildees reais para tal equaccedilatildeo Natildeo haver soluccedilatildeo em se tratando de nuacutemeros
reais eacute tambeacutem uma possibilidade O estudo das raiacutezes de um polinocircmio tem desafiado os mate-
maacuteticos Assim desde o seacuteculo XVI sabe-se a soluccedilatildeo para as seguintes equaccedilotildees cuacutebicas e quaacuterticas
Nos casos mais gerais o problema eacute complexo O caso mais simples entre todos eacute aquele em
que o polinocircmio eacute favoraacutevel de tal forma a escrevecirc-lo sob a forma de produtos de polinocircmios
de primeiro grau
434( ) 0niP x =
43511 1 0 0n n
n i n i ia x a x a x aminusminus+ + + + =
436
3
4 2
0
0i i
i i i
x mx n
x px qx r
+ minus =
+ + + =
437( ) ( )( ) ( )1 2n n
nP x a x x x x x x= minus minus sdotsdot sdot sdot minus
63
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo o polinocircmio dado por 414 pode ser escrito como
Ele tem portanto quatro raiacutezes Elas satildeo representadas pelo conjunto
O polinocircmio iacutempar dado por 416 pode ser escrito como
Ele tem portanto cinco raiacutezes constituindo o conjunto de nuacutemeros reais
47 Raiacutezes da Funccedilatildeo QuadraacuteticaAnalisaremos a seguir o problema das raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau Ele tem uma
soluccedilatildeo bastante simples que se aplica a qualquer funccedilatildeo polinomial de segundo grau
A equaccedilatildeo que nos permite determinar as raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica de acordo com a
notaccedilatildeo da seccedilatildeo precedente eacute dada por
De 420 vemos que ela pode ser escrita como
Figura 48 Graacutefico do polinocircmio P 4 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
Figura 49 Graacutefico do polinocircmio P 5 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
438( ) ( )( )( )( )4 4 213 36 2 2 3 3P x x x x x x x= minus + = minus + minus +
439 3 223minus minus
440( ) ( )( )( )( )5 5 313 36 2 2 3 3P x x x x x x x x x= minus + = minus + minus +
441 3 2 023minus minus
4422 0i iax bx c+ + =
443( )2
24
( ) 02 4i
b acba xa a
minus+ minus =
64 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade
Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute
necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se
Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas
pela expressatildeo
Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades
444( )2
22 2
4( )
2 4 4i
b acbxa a a
minus ∆+ = equiv
4450∆ ge
446
2
2 0 2 4iba xa a
∆ + minus =
447
2
22 4ibxa a
∆ + =
4482 2ibxa a
∆+ = plusmn
449
0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais
∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
53
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
41 PotenciaccedilatildeoAntes de abordar as funccedilotildees polinomiais devemos introduzir uma operaccedilatildeo com nuacutemeros
reais denominada potenciaccedilatildeo Assim definimos a potecircncia n do nuacutemero a representada por an
(com n isin N) como o resultado do produto sucessivo do nuacutemero a n vezes ou seja
Assim definimos a3 como
ou seja o produto sucessivo de a trecircs vezes O resultado da potenciaccedilatildeo de um nuacutemero real eacute
um outro nuacutemero real Por exemplo
A potenciaccedilatildeo de um nuacutemero caracterizada pela potecircncia n eacute uma operaccedilatildeo bastante sim-
ples sempre que a potecircncia envolva nuacutemeros inteiros positivos
42 Funccedilotildees Polinomiais de grau nA operaccedilatildeo potenciaccedilatildeo permite-nos definir uma ampla classe de funccedilotildees denominadas
genericamente funccedilotildees polinomiais Por exemplo a funccedilatildeo cuacutebica ou funccedilatildeo polinomial de
terceiro grau eacute definida de forma anaacuteloga agrave potenciaccedilatildeo uma vez que a funccedilatildeo da forma
associa ao valor x da variaacutevel independente um valor para a variaacutevel dependente o qual eacute
determinado da proacutepria variaacutevel independente
vezes
n
n
a a a aequiv sdot sdot sdot sdot sdot sdot sdot 41
423a a a a= sdot sdot
43( ) ( ) ( ) ( )
3
3
3 3 3 3 3 9 27
3 3 3 3 3 9 27
= sdot sdot = sdot =
minus = minus sdot minus sdot minus = minus sdot = minus
44( ) 3f x x=
45( ) ( )f x x x x= sdot sdot
54 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Um exemplo simples de funccedilatildeo cuacutebica eacute aquela que expressa o volume de uma esfera como
funccedilatildeo do seu raio Nesse caso a dependecircncia do volume em relaccedilatildeo ao raio R se escreve
Analogamente podemos definir uma funccedilatildeo envolvendo uma potecircncia arbitraacuteria n da vari-
aacutevel dependente (considerando-se ateacute esse ponto apenas nuacutemeros inteiros e positivos) Ela seraacute
representada por
Um polinocircmio de grau n eacute definido como uma soma ou combinaccedilotildees lineares de funccedilotildees
da forma 47 isto eacute ele eacute definido pela expressatildeo geral
Ou analogamente
Ou seja um polinocircmio de grau n pode ser defini-
do como uma soma de polinocircmios de graus variando
de um ateacute n
Da definiccedilatildeo acima temos que a funccedilatildeo afim eacute por
definiccedilatildeo um polinocircmio de primeiro grau ou seja
46343
V Rπ=
47( ) vezes
n n
n
f x x x x x= equiv sdot sdot sdot sdot
48( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 0n n n
n nP x a f x a f x a f x aminusminus= + + + +
Figura 41 Graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do primeiro grau ou funccedilatildeo afim Fonte Cepa
49( ) 11 1 0n n n
n nP x a x a x a x aminusminus= + + + +
410( )1
nn i
ii
P x a x=
= sum
411( )11 0P x a x a= +
55
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo a velocidade escalar de uma partiacutecula de massa m sujeita a uma forccedila constante
F atuando ao longo de uma curva eacute dada como funccedilatildeo do tempo t decorrido por
Nesse caso a variaacutevel independente x eacute o tempo acima designado por t enquanto os
paracircmetros a1 e a0 satildeo respectivamente a aceleraccedilatildeo da partiacutecula (a1 = Fm) e a sua velocidade
inicial (V (t = 0) = V0 )Um polinocircmio eacute considerado par se
em cujo caso n deve ser necessariamente um nuacutemero par e todos os coeficientes das potecircncias
iacutempares devem ser nulas Por exemplo o polinocircmio
eacute um polinocircmio par
Um polinocircmio eacute dito iacutempar se
A condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que isso aconteccedila eacute a de que n deve ser necessaria-
mente um nuacutemero iacutempar bem como todos os coeficientes das potecircncias pares devem ser nulos
Assim o polinocircmio
eacute um polinocircmio iacutempar
412( ) 0FV t t Vm
= +
413( ) ( )n nP x P x= minus
414( )4 4 213 36P x x x= minus +
415( ) ( )n nP x P x= minus minus
416( )5 5 313 36P x x x x= minus +
56 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
A funccedilatildeo polinomial do segundo grau conteacutem aleacutem dos termos lineares jaacute analisados um
termo quadraacutetico na variaacutevel x Assim a forma mais geral do polinocircmio do segundo grau eacute
Na expressatildeo acima empregamos a forma convencional de apresentar as funccedilotildees quadraacuteti-
cas ou seja em termos de paracircmetros designados pelas letras a b e c As constantes a b e c satildeo
denominadas respectivamente coeficiente quadraacutetico coeficiente linear e coeficiente constante
ou termo livre O coeficiente quadraacutetico eacute o uacutenico que natildeo pode ser nulo pois nesse caso a
equaccedilatildeo seria do primeiro grau
O graacutefico de um polinocircmio do segundo grau eacute uma paraacutebola
O movimento dos projeacuteteis na su-
perfiacutecie terrestre provecirc mais de um
exemplo de grandezas que dependem
quadraticamente umas das outras Por
exemplo a coordenada y associada agrave
posiccedilatildeo de um projeacutetil depende da co-
ordenada x da seguinte forma
onde g eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade y0 eacute o valor da coordenada y quando do
iniacutecio do movimento isto eacute quando
x = 0 e a velocidade inicial do projeacutetil
tem componentes (v0x v0y )
417( ) 2y x ax bx c= + +
Figura 42 A trajetoacuteria de um projeacutetil eacute descrita por uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
418( )2
0 00 02 y
x x
g x xy x v yv v
equiv minus + +
57
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
A seguir escreveremos a expressatildeo 417 de uma forma inteiramente equivalente e muito uacutetil como
se veraacute Admitindo-se o paracircmetro a natildeo nulo (a ne 0) podemos escrever as seguintes igualdades
Donde inferimos que
onde o termo ∆ eacute dado por
Embora seja pouco usual vamos usar e muitas vezes essa uacuteltima forma da funccedilatildeo quadraacutetica
Em particular se recorrermos a um artifiacutecio definido como translaccedilatildeo de eixos (mudanccedilas de
eixos na direccedilatildeo vertical e horizontal) ela se torna uacutetil para escrever a equaccedilatildeo da paraacutebola de
uma forma mais simples De fato se redefinirmos as variaacuteveis de acordo com as expressotildees
entatildeo o polinocircmio do segundo grau pode ser escrito nessas novas variaacuteveis como
419
2
2 22 2 2
2 2
22 2 22
2 2 2
2
4 4
4 4 4 2 4
bxa
b c b c b by ax bx c a x x a x xa a a a a a
b b c b b b aca x x a xa a a a a a
∆
+
= + + = + + = + + + minus
minus = + + + minus = + minus
420( )2
2
2 2by x ax bx c a xa a
∆ = + + = + minus
4212 4b ac∆ = minus
4222
24
2
bx xab acy y
a
prime = +
minusprime = minus
423( ) 2y x axprime prime prime=
58 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Observe que efetuar translaccedilotildees ao longo
dos eixos x e y corresponde a realizar uma
mudanccedila do sistema de coordenadas
As transformaccedilotildees 422 podem ser pensa-
das como translaccedilotildees dos eixos na direccedilatildeo ho-
rizontal e na direccedilatildeo vertical Assim mediante
uma nova escolha de eixos escolha essa defi-
nida por 422 podemos reduzir a expressatildeo
417 ou 420 a uma forma bastante simples Utilizaremos indistintamente qualquer uma das
expressotildees 417 420 ou 423
De acordo com a expressatildeo 417 podemos constatar que a funccedilatildeo polinomial sob a forma
423 eacute uma funccedilatildeo par Isso nos leva a uma simetria da paraacutebola De fato ela eacute simeacutetrica em
relaccedilatildeo agrave reta dada por
44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
Podemos classificar as paraacutebolas a partir de suas duas caracteriacutesticas A primeira delas eacute a
concavidade A segunda diz respeito ao fato dela interceptar ou natildeo o eixo x
Uma funccedilatildeo quadraacutetica pode exibir dois tipos de concavidade A concavidade eacute considerada
positiva se a curva ldquoestaacute virada para cimardquo Se ocorrer o oposto a concavidade da curva eacute
negativa Nesse caso dizemos numa linguagem coloquial que ela estaacute ldquovirada para baixordquo
Levando-se em conta ainda a forma 423
podemos verificar que a concavidade eacute deter-
minada pelo sinal do paracircmetro a da funccedilatildeo A
concavidade seraacute negativa se o paracircmetro a o
for E seraacute positiva se o mesmo valer para a Isso
pode ser facilmente constatado analisando-se
as figuras em cada caso (Figura 44)
Figura 43 Por meio da translaccedilatildeo de eixos podemos simplificar a forma da funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
4242bxa
= minus
Figura 44 A concavidade da funccedilatildeo depende do sinal do paracircmetro a Fonte Cepa
59
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim o paracircmetro a determina tambeacutem o
quatildeo ldquoabertardquo ou ldquofechadardquo seraacute a paraacutebola
Quanto maior o valor desse paracircmetro tanto
mais aberta seraacute a paraacutebola (vide figura 45)
A paraacutebola pode interceptar ou natildeo o eixo x
Para determinar sob que circunstacircncias a curva
interceptaraacute o eixo x basta analisar em que cir-
cunstacircncias teremos um valor de y igual a zero
para um dado valor de x A tais valores quando
existem damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os pontos nos quais a paraacutebola cruza o eixo x
tecircm coordenadas ( y = 0 xr) onde xr eacute uma das
raiacutezes do polinocircmio de segundo grau isto eacute
Assim o graacutefico de um polinocircmio do segundo grau pode
interceptar duas vezes o eixo x (se ele possuir duas raiacutezes)
interceptar apenas uma vez (no caso de ter apenas uma
raiz) ou nunca interceptaacute-lo (se natildeo houver raiacutezes reais)
De acordo com anaacutelise que faremos na seccedilatildeo 46 tais casos
podem ser decididos por meio da relaccedilatildeo entre os paracircme-
tros a b e c O resultado eacute o seguinte
Se
Assim a funccedilatildeo quadraacutetica
intercepta o eixo x duas vezes e nesse caso b2 = 9 gt 4ac = 412 = 8
Figura 45 Comportamento da paraacutebola quando variamos o paracircmetro a Fonte Cepa
Figura 46 Por forma geral para diferentes sinais ou valores de Δ Fonte Cepa
4252 0r rax bx c+ + =
426
2
2
2
0 40 40 4
b acb acb ac
∆ gt rarr gt
∆ = rarr =
∆ lt rarr lt
427( ) 2 3 2y x x x= minus +
60 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ao passo que a funccedilatildeo
intercepta o eixo x apenas uma vez pois b2 = 4 = 4ac = 411 = 4 E a funccedilatildeo
jamais tocaraacute o eixo x
Exerciacutecio Resolvido Problema 1
Esboce o graacutefico da funccedilatildeo
rarr Resoluccedilatildeo
Primeiramente lembramos que
Um modo de resolver o problema proposto seria atribuir alguns valores a x e calcular os corres-
pondentes valores de y constituindo assim uma tabela e a partir da tabela construir o graacutefico Haacute
um modo mais produtivo poreacutem que eacute procurar os pontos mais importantes corte com os eixos e
o veacutertice Lembramos que nesse caso temos a = 1 b = minus6 c = 5
a Corte com o eixo y
Para encontrar o valor de y basta tomar x = 0 na equaccedilatildeo 430
Obtemos
Portanto o graacutefico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (05)
b Concavidade
Tendo em vista que a = 1 gt 0 a concavidade eacute para cima
c Cortes com o eixo 0x
Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0 ou seja pontos x para os quais
428( ) 2 2 1y x x x= minus +
429( ) 2 1y x x= +
430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +
431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =
4322 6 5 0i ix xminus + =
61
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
O valor de ∆ eacute positivo
Portanto nesse caso ele intercepta o eixo x duas vezes
45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiaisGraacuteficos tiacutepicos das funccedilotildees polinomiais satildeo apresentados nas figuras abaixo O polinocircmio da
figura 47C eacute um polinocircmio par Os demais natildeo tecircm uma paridade bem definida
433( ) ( )( )22 4 6 4 1 5 36 20 16b ac∆ = minus = minus minus = minus =
Figura 47 Alguns graacuteficos de funccedilotildees polinomiais Fonte Cepa
B)
C) D)
A)
62 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Pode-se ver pelos graacuteficos que as funccedilotildees polinomiais natildeo satildeo limitadas isto eacute elas podem
crescer indefinidamente decrescer indefinidamente ou ambos
A curva associada ao graacutefico pode cortar o eixo x um certo de nuacutemero de vezes Esse nuacutemero eacute igual
ou menor do que n Aos valores de x para os quais isso ocorre damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os polinocircmios em geral exibem pontos de maacuteximos ou miacutenimos locais Por exemplo o
graacutefico da figura 47D exibe dois maacuteximos locais e um miacutenimo local
46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiaisA determinaccedilatildeo das raiacutezes de um polinocircmio de grau n se faz mediante a soluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo algeacutebrica De fato designando por xi a i-eacutesima raiz de um polinocircmio por definiccedilatildeo xi
deve satisfazer agrave equaccedilatildeo algeacutebrica
ou seja
Podemos ter ateacute n soluccedilotildees reais para tal equaccedilatildeo Natildeo haver soluccedilatildeo em se tratando de nuacutemeros
reais eacute tambeacutem uma possibilidade O estudo das raiacutezes de um polinocircmio tem desafiado os mate-
maacuteticos Assim desde o seacuteculo XVI sabe-se a soluccedilatildeo para as seguintes equaccedilotildees cuacutebicas e quaacuterticas
Nos casos mais gerais o problema eacute complexo O caso mais simples entre todos eacute aquele em
que o polinocircmio eacute favoraacutevel de tal forma a escrevecirc-lo sob a forma de produtos de polinocircmios
de primeiro grau
434( ) 0niP x =
43511 1 0 0n n
n i n i ia x a x a x aminusminus+ + + + =
436
3
4 2
0
0i i
i i i
x mx n
x px qx r
+ minus =
+ + + =
437( ) ( )( ) ( )1 2n n
nP x a x x x x x x= minus minus sdotsdot sdot sdot minus
63
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo o polinocircmio dado por 414 pode ser escrito como
Ele tem portanto quatro raiacutezes Elas satildeo representadas pelo conjunto
O polinocircmio iacutempar dado por 416 pode ser escrito como
Ele tem portanto cinco raiacutezes constituindo o conjunto de nuacutemeros reais
47 Raiacutezes da Funccedilatildeo QuadraacuteticaAnalisaremos a seguir o problema das raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau Ele tem uma
soluccedilatildeo bastante simples que se aplica a qualquer funccedilatildeo polinomial de segundo grau
A equaccedilatildeo que nos permite determinar as raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica de acordo com a
notaccedilatildeo da seccedilatildeo precedente eacute dada por
De 420 vemos que ela pode ser escrita como
Figura 48 Graacutefico do polinocircmio P 4 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
Figura 49 Graacutefico do polinocircmio P 5 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
438( ) ( )( )( )( )4 4 213 36 2 2 3 3P x x x x x x x= minus + = minus + minus +
439 3 223minus minus
440( ) ( )( )( )( )5 5 313 36 2 2 3 3P x x x x x x x x x= minus + = minus + minus +
441 3 2 023minus minus
4422 0i iax bx c+ + =
443( )2
24
( ) 02 4i
b acba xa a
minus+ minus =
64 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade
Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute
necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se
Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas
pela expressatildeo
Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades
444( )2
22 2
4( )
2 4 4i
b acbxa a a
minus ∆+ = equiv
4450∆ ge
446
2
2 0 2 4iba xa a
∆ + minus =
447
2
22 4ibxa a
∆ + =
4482 2ibxa a
∆+ = plusmn
449
0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais
∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
54 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Um exemplo simples de funccedilatildeo cuacutebica eacute aquela que expressa o volume de uma esfera como
funccedilatildeo do seu raio Nesse caso a dependecircncia do volume em relaccedilatildeo ao raio R se escreve
Analogamente podemos definir uma funccedilatildeo envolvendo uma potecircncia arbitraacuteria n da vari-
aacutevel dependente (considerando-se ateacute esse ponto apenas nuacutemeros inteiros e positivos) Ela seraacute
representada por
Um polinocircmio de grau n eacute definido como uma soma ou combinaccedilotildees lineares de funccedilotildees
da forma 47 isto eacute ele eacute definido pela expressatildeo geral
Ou analogamente
Ou seja um polinocircmio de grau n pode ser defini-
do como uma soma de polinocircmios de graus variando
de um ateacute n
Da definiccedilatildeo acima temos que a funccedilatildeo afim eacute por
definiccedilatildeo um polinocircmio de primeiro grau ou seja
46343
V Rπ=
47( ) vezes
n n
n
f x x x x x= equiv sdot sdot sdot sdot
48( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 0n n n
n nP x a f x a f x a f x aminusminus= + + + +
Figura 41 Graacutefico de uma funccedilatildeo polinomial do primeiro grau ou funccedilatildeo afim Fonte Cepa
49( ) 11 1 0n n n
n nP x a x a x a x aminusminus= + + + +
410( )1
nn i
ii
P x a x=
= sum
411( )11 0P x a x a= +
55
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo a velocidade escalar de uma partiacutecula de massa m sujeita a uma forccedila constante
F atuando ao longo de uma curva eacute dada como funccedilatildeo do tempo t decorrido por
Nesse caso a variaacutevel independente x eacute o tempo acima designado por t enquanto os
paracircmetros a1 e a0 satildeo respectivamente a aceleraccedilatildeo da partiacutecula (a1 = Fm) e a sua velocidade
inicial (V (t = 0) = V0 )Um polinocircmio eacute considerado par se
em cujo caso n deve ser necessariamente um nuacutemero par e todos os coeficientes das potecircncias
iacutempares devem ser nulas Por exemplo o polinocircmio
eacute um polinocircmio par
Um polinocircmio eacute dito iacutempar se
A condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que isso aconteccedila eacute a de que n deve ser necessaria-
mente um nuacutemero iacutempar bem como todos os coeficientes das potecircncias pares devem ser nulos
Assim o polinocircmio
eacute um polinocircmio iacutempar
412( ) 0FV t t Vm
= +
413( ) ( )n nP x P x= minus
414( )4 4 213 36P x x x= minus +
415( ) ( )n nP x P x= minus minus
416( )5 5 313 36P x x x x= minus +
56 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
A funccedilatildeo polinomial do segundo grau conteacutem aleacutem dos termos lineares jaacute analisados um
termo quadraacutetico na variaacutevel x Assim a forma mais geral do polinocircmio do segundo grau eacute
Na expressatildeo acima empregamos a forma convencional de apresentar as funccedilotildees quadraacuteti-
cas ou seja em termos de paracircmetros designados pelas letras a b e c As constantes a b e c satildeo
denominadas respectivamente coeficiente quadraacutetico coeficiente linear e coeficiente constante
ou termo livre O coeficiente quadraacutetico eacute o uacutenico que natildeo pode ser nulo pois nesse caso a
equaccedilatildeo seria do primeiro grau
O graacutefico de um polinocircmio do segundo grau eacute uma paraacutebola
O movimento dos projeacuteteis na su-
perfiacutecie terrestre provecirc mais de um
exemplo de grandezas que dependem
quadraticamente umas das outras Por
exemplo a coordenada y associada agrave
posiccedilatildeo de um projeacutetil depende da co-
ordenada x da seguinte forma
onde g eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade y0 eacute o valor da coordenada y quando do
iniacutecio do movimento isto eacute quando
x = 0 e a velocidade inicial do projeacutetil
tem componentes (v0x v0y )
417( ) 2y x ax bx c= + +
Figura 42 A trajetoacuteria de um projeacutetil eacute descrita por uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
418( )2
0 00 02 y
x x
g x xy x v yv v
equiv minus + +
57
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
A seguir escreveremos a expressatildeo 417 de uma forma inteiramente equivalente e muito uacutetil como
se veraacute Admitindo-se o paracircmetro a natildeo nulo (a ne 0) podemos escrever as seguintes igualdades
Donde inferimos que
onde o termo ∆ eacute dado por
Embora seja pouco usual vamos usar e muitas vezes essa uacuteltima forma da funccedilatildeo quadraacutetica
Em particular se recorrermos a um artifiacutecio definido como translaccedilatildeo de eixos (mudanccedilas de
eixos na direccedilatildeo vertical e horizontal) ela se torna uacutetil para escrever a equaccedilatildeo da paraacutebola de
uma forma mais simples De fato se redefinirmos as variaacuteveis de acordo com as expressotildees
entatildeo o polinocircmio do segundo grau pode ser escrito nessas novas variaacuteveis como
419
2
2 22 2 2
2 2
22 2 22
2 2 2
2
4 4
4 4 4 2 4
bxa
b c b c b by ax bx c a x x a x xa a a a a a
b b c b b b aca x x a xa a a a a a
∆
+
= + + = + + = + + + minus
minus = + + + minus = + minus
420( )2
2
2 2by x ax bx c a xa a
∆ = + + = + minus
4212 4b ac∆ = minus
4222
24
2
bx xab acy y
a
prime = +
minusprime = minus
423( ) 2y x axprime prime prime=
58 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Observe que efetuar translaccedilotildees ao longo
dos eixos x e y corresponde a realizar uma
mudanccedila do sistema de coordenadas
As transformaccedilotildees 422 podem ser pensa-
das como translaccedilotildees dos eixos na direccedilatildeo ho-
rizontal e na direccedilatildeo vertical Assim mediante
uma nova escolha de eixos escolha essa defi-
nida por 422 podemos reduzir a expressatildeo
417 ou 420 a uma forma bastante simples Utilizaremos indistintamente qualquer uma das
expressotildees 417 420 ou 423
De acordo com a expressatildeo 417 podemos constatar que a funccedilatildeo polinomial sob a forma
423 eacute uma funccedilatildeo par Isso nos leva a uma simetria da paraacutebola De fato ela eacute simeacutetrica em
relaccedilatildeo agrave reta dada por
44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
Podemos classificar as paraacutebolas a partir de suas duas caracteriacutesticas A primeira delas eacute a
concavidade A segunda diz respeito ao fato dela interceptar ou natildeo o eixo x
Uma funccedilatildeo quadraacutetica pode exibir dois tipos de concavidade A concavidade eacute considerada
positiva se a curva ldquoestaacute virada para cimardquo Se ocorrer o oposto a concavidade da curva eacute
negativa Nesse caso dizemos numa linguagem coloquial que ela estaacute ldquovirada para baixordquo
Levando-se em conta ainda a forma 423
podemos verificar que a concavidade eacute deter-
minada pelo sinal do paracircmetro a da funccedilatildeo A
concavidade seraacute negativa se o paracircmetro a o
for E seraacute positiva se o mesmo valer para a Isso
pode ser facilmente constatado analisando-se
as figuras em cada caso (Figura 44)
Figura 43 Por meio da translaccedilatildeo de eixos podemos simplificar a forma da funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
4242bxa
= minus
Figura 44 A concavidade da funccedilatildeo depende do sinal do paracircmetro a Fonte Cepa
59
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim o paracircmetro a determina tambeacutem o
quatildeo ldquoabertardquo ou ldquofechadardquo seraacute a paraacutebola
Quanto maior o valor desse paracircmetro tanto
mais aberta seraacute a paraacutebola (vide figura 45)
A paraacutebola pode interceptar ou natildeo o eixo x
Para determinar sob que circunstacircncias a curva
interceptaraacute o eixo x basta analisar em que cir-
cunstacircncias teremos um valor de y igual a zero
para um dado valor de x A tais valores quando
existem damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os pontos nos quais a paraacutebola cruza o eixo x
tecircm coordenadas ( y = 0 xr) onde xr eacute uma das
raiacutezes do polinocircmio de segundo grau isto eacute
Assim o graacutefico de um polinocircmio do segundo grau pode
interceptar duas vezes o eixo x (se ele possuir duas raiacutezes)
interceptar apenas uma vez (no caso de ter apenas uma
raiz) ou nunca interceptaacute-lo (se natildeo houver raiacutezes reais)
De acordo com anaacutelise que faremos na seccedilatildeo 46 tais casos
podem ser decididos por meio da relaccedilatildeo entre os paracircme-
tros a b e c O resultado eacute o seguinte
Se
Assim a funccedilatildeo quadraacutetica
intercepta o eixo x duas vezes e nesse caso b2 = 9 gt 4ac = 412 = 8
Figura 45 Comportamento da paraacutebola quando variamos o paracircmetro a Fonte Cepa
Figura 46 Por forma geral para diferentes sinais ou valores de Δ Fonte Cepa
4252 0r rax bx c+ + =
426
2
2
2
0 40 40 4
b acb acb ac
∆ gt rarr gt
∆ = rarr =
∆ lt rarr lt
427( ) 2 3 2y x x x= minus +
60 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ao passo que a funccedilatildeo
intercepta o eixo x apenas uma vez pois b2 = 4 = 4ac = 411 = 4 E a funccedilatildeo
jamais tocaraacute o eixo x
Exerciacutecio Resolvido Problema 1
Esboce o graacutefico da funccedilatildeo
rarr Resoluccedilatildeo
Primeiramente lembramos que
Um modo de resolver o problema proposto seria atribuir alguns valores a x e calcular os corres-
pondentes valores de y constituindo assim uma tabela e a partir da tabela construir o graacutefico Haacute
um modo mais produtivo poreacutem que eacute procurar os pontos mais importantes corte com os eixos e
o veacutertice Lembramos que nesse caso temos a = 1 b = minus6 c = 5
a Corte com o eixo y
Para encontrar o valor de y basta tomar x = 0 na equaccedilatildeo 430
Obtemos
Portanto o graacutefico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (05)
b Concavidade
Tendo em vista que a = 1 gt 0 a concavidade eacute para cima
c Cortes com o eixo 0x
Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0 ou seja pontos x para os quais
428( ) 2 2 1y x x x= minus +
429( ) 2 1y x x= +
430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +
431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =
4322 6 5 0i ix xminus + =
61
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
O valor de ∆ eacute positivo
Portanto nesse caso ele intercepta o eixo x duas vezes
45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiaisGraacuteficos tiacutepicos das funccedilotildees polinomiais satildeo apresentados nas figuras abaixo O polinocircmio da
figura 47C eacute um polinocircmio par Os demais natildeo tecircm uma paridade bem definida
433( ) ( )( )22 4 6 4 1 5 36 20 16b ac∆ = minus = minus minus = minus =
Figura 47 Alguns graacuteficos de funccedilotildees polinomiais Fonte Cepa
B)
C) D)
A)
62 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Pode-se ver pelos graacuteficos que as funccedilotildees polinomiais natildeo satildeo limitadas isto eacute elas podem
crescer indefinidamente decrescer indefinidamente ou ambos
A curva associada ao graacutefico pode cortar o eixo x um certo de nuacutemero de vezes Esse nuacutemero eacute igual
ou menor do que n Aos valores de x para os quais isso ocorre damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os polinocircmios em geral exibem pontos de maacuteximos ou miacutenimos locais Por exemplo o
graacutefico da figura 47D exibe dois maacuteximos locais e um miacutenimo local
46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiaisA determinaccedilatildeo das raiacutezes de um polinocircmio de grau n se faz mediante a soluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo algeacutebrica De fato designando por xi a i-eacutesima raiz de um polinocircmio por definiccedilatildeo xi
deve satisfazer agrave equaccedilatildeo algeacutebrica
ou seja
Podemos ter ateacute n soluccedilotildees reais para tal equaccedilatildeo Natildeo haver soluccedilatildeo em se tratando de nuacutemeros
reais eacute tambeacutem uma possibilidade O estudo das raiacutezes de um polinocircmio tem desafiado os mate-
maacuteticos Assim desde o seacuteculo XVI sabe-se a soluccedilatildeo para as seguintes equaccedilotildees cuacutebicas e quaacuterticas
Nos casos mais gerais o problema eacute complexo O caso mais simples entre todos eacute aquele em
que o polinocircmio eacute favoraacutevel de tal forma a escrevecirc-lo sob a forma de produtos de polinocircmios
de primeiro grau
434( ) 0niP x =
43511 1 0 0n n
n i n i ia x a x a x aminusminus+ + + + =
436
3
4 2
0
0i i
i i i
x mx n
x px qx r
+ minus =
+ + + =
437( ) ( )( ) ( )1 2n n
nP x a x x x x x x= minus minus sdotsdot sdot sdot minus
63
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo o polinocircmio dado por 414 pode ser escrito como
Ele tem portanto quatro raiacutezes Elas satildeo representadas pelo conjunto
O polinocircmio iacutempar dado por 416 pode ser escrito como
Ele tem portanto cinco raiacutezes constituindo o conjunto de nuacutemeros reais
47 Raiacutezes da Funccedilatildeo QuadraacuteticaAnalisaremos a seguir o problema das raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau Ele tem uma
soluccedilatildeo bastante simples que se aplica a qualquer funccedilatildeo polinomial de segundo grau
A equaccedilatildeo que nos permite determinar as raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica de acordo com a
notaccedilatildeo da seccedilatildeo precedente eacute dada por
De 420 vemos que ela pode ser escrita como
Figura 48 Graacutefico do polinocircmio P 4 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
Figura 49 Graacutefico do polinocircmio P 5 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
438( ) ( )( )( )( )4 4 213 36 2 2 3 3P x x x x x x x= minus + = minus + minus +
439 3 223minus minus
440( ) ( )( )( )( )5 5 313 36 2 2 3 3P x x x x x x x x x= minus + = minus + minus +
441 3 2 023minus minus
4422 0i iax bx c+ + =
443( )2
24
( ) 02 4i
b acba xa a
minus+ minus =
64 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade
Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute
necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se
Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas
pela expressatildeo
Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades
444( )2
22 2
4( )
2 4 4i
b acbxa a a
minus ∆+ = equiv
4450∆ ge
446
2
2 0 2 4iba xa a
∆ + minus =
447
2
22 4ibxa a
∆ + =
4482 2ibxa a
∆+ = plusmn
449
0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais
∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
55
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo a velocidade escalar de uma partiacutecula de massa m sujeita a uma forccedila constante
F atuando ao longo de uma curva eacute dada como funccedilatildeo do tempo t decorrido por
Nesse caso a variaacutevel independente x eacute o tempo acima designado por t enquanto os
paracircmetros a1 e a0 satildeo respectivamente a aceleraccedilatildeo da partiacutecula (a1 = Fm) e a sua velocidade
inicial (V (t = 0) = V0 )Um polinocircmio eacute considerado par se
em cujo caso n deve ser necessariamente um nuacutemero par e todos os coeficientes das potecircncias
iacutempares devem ser nulas Por exemplo o polinocircmio
eacute um polinocircmio par
Um polinocircmio eacute dito iacutempar se
A condiccedilatildeo necessaacuteria e suficiente para que isso aconteccedila eacute a de que n deve ser necessaria-
mente um nuacutemero iacutempar bem como todos os coeficientes das potecircncias pares devem ser nulos
Assim o polinocircmio
eacute um polinocircmio iacutempar
412( ) 0FV t t Vm
= +
413( ) ( )n nP x P x= minus
414( )4 4 213 36P x x x= minus +
415( ) ( )n nP x P x= minus minus
416( )5 5 313 36P x x x x= minus +
56 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
A funccedilatildeo polinomial do segundo grau conteacutem aleacutem dos termos lineares jaacute analisados um
termo quadraacutetico na variaacutevel x Assim a forma mais geral do polinocircmio do segundo grau eacute
Na expressatildeo acima empregamos a forma convencional de apresentar as funccedilotildees quadraacuteti-
cas ou seja em termos de paracircmetros designados pelas letras a b e c As constantes a b e c satildeo
denominadas respectivamente coeficiente quadraacutetico coeficiente linear e coeficiente constante
ou termo livre O coeficiente quadraacutetico eacute o uacutenico que natildeo pode ser nulo pois nesse caso a
equaccedilatildeo seria do primeiro grau
O graacutefico de um polinocircmio do segundo grau eacute uma paraacutebola
O movimento dos projeacuteteis na su-
perfiacutecie terrestre provecirc mais de um
exemplo de grandezas que dependem
quadraticamente umas das outras Por
exemplo a coordenada y associada agrave
posiccedilatildeo de um projeacutetil depende da co-
ordenada x da seguinte forma
onde g eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade y0 eacute o valor da coordenada y quando do
iniacutecio do movimento isto eacute quando
x = 0 e a velocidade inicial do projeacutetil
tem componentes (v0x v0y )
417( ) 2y x ax bx c= + +
Figura 42 A trajetoacuteria de um projeacutetil eacute descrita por uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
418( )2
0 00 02 y
x x
g x xy x v yv v
equiv minus + +
57
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
A seguir escreveremos a expressatildeo 417 de uma forma inteiramente equivalente e muito uacutetil como
se veraacute Admitindo-se o paracircmetro a natildeo nulo (a ne 0) podemos escrever as seguintes igualdades
Donde inferimos que
onde o termo ∆ eacute dado por
Embora seja pouco usual vamos usar e muitas vezes essa uacuteltima forma da funccedilatildeo quadraacutetica
Em particular se recorrermos a um artifiacutecio definido como translaccedilatildeo de eixos (mudanccedilas de
eixos na direccedilatildeo vertical e horizontal) ela se torna uacutetil para escrever a equaccedilatildeo da paraacutebola de
uma forma mais simples De fato se redefinirmos as variaacuteveis de acordo com as expressotildees
entatildeo o polinocircmio do segundo grau pode ser escrito nessas novas variaacuteveis como
419
2
2 22 2 2
2 2
22 2 22
2 2 2
2
4 4
4 4 4 2 4
bxa
b c b c b by ax bx c a x x a x xa a a a a a
b b c b b b aca x x a xa a a a a a
∆
+
= + + = + + = + + + minus
minus = + + + minus = + minus
420( )2
2
2 2by x ax bx c a xa a
∆ = + + = + minus
4212 4b ac∆ = minus
4222
24
2
bx xab acy y
a
prime = +
minusprime = minus
423( ) 2y x axprime prime prime=
58 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Observe que efetuar translaccedilotildees ao longo
dos eixos x e y corresponde a realizar uma
mudanccedila do sistema de coordenadas
As transformaccedilotildees 422 podem ser pensa-
das como translaccedilotildees dos eixos na direccedilatildeo ho-
rizontal e na direccedilatildeo vertical Assim mediante
uma nova escolha de eixos escolha essa defi-
nida por 422 podemos reduzir a expressatildeo
417 ou 420 a uma forma bastante simples Utilizaremos indistintamente qualquer uma das
expressotildees 417 420 ou 423
De acordo com a expressatildeo 417 podemos constatar que a funccedilatildeo polinomial sob a forma
423 eacute uma funccedilatildeo par Isso nos leva a uma simetria da paraacutebola De fato ela eacute simeacutetrica em
relaccedilatildeo agrave reta dada por
44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
Podemos classificar as paraacutebolas a partir de suas duas caracteriacutesticas A primeira delas eacute a
concavidade A segunda diz respeito ao fato dela interceptar ou natildeo o eixo x
Uma funccedilatildeo quadraacutetica pode exibir dois tipos de concavidade A concavidade eacute considerada
positiva se a curva ldquoestaacute virada para cimardquo Se ocorrer o oposto a concavidade da curva eacute
negativa Nesse caso dizemos numa linguagem coloquial que ela estaacute ldquovirada para baixordquo
Levando-se em conta ainda a forma 423
podemos verificar que a concavidade eacute deter-
minada pelo sinal do paracircmetro a da funccedilatildeo A
concavidade seraacute negativa se o paracircmetro a o
for E seraacute positiva se o mesmo valer para a Isso
pode ser facilmente constatado analisando-se
as figuras em cada caso (Figura 44)
Figura 43 Por meio da translaccedilatildeo de eixos podemos simplificar a forma da funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
4242bxa
= minus
Figura 44 A concavidade da funccedilatildeo depende do sinal do paracircmetro a Fonte Cepa
59
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim o paracircmetro a determina tambeacutem o
quatildeo ldquoabertardquo ou ldquofechadardquo seraacute a paraacutebola
Quanto maior o valor desse paracircmetro tanto
mais aberta seraacute a paraacutebola (vide figura 45)
A paraacutebola pode interceptar ou natildeo o eixo x
Para determinar sob que circunstacircncias a curva
interceptaraacute o eixo x basta analisar em que cir-
cunstacircncias teremos um valor de y igual a zero
para um dado valor de x A tais valores quando
existem damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os pontos nos quais a paraacutebola cruza o eixo x
tecircm coordenadas ( y = 0 xr) onde xr eacute uma das
raiacutezes do polinocircmio de segundo grau isto eacute
Assim o graacutefico de um polinocircmio do segundo grau pode
interceptar duas vezes o eixo x (se ele possuir duas raiacutezes)
interceptar apenas uma vez (no caso de ter apenas uma
raiz) ou nunca interceptaacute-lo (se natildeo houver raiacutezes reais)
De acordo com anaacutelise que faremos na seccedilatildeo 46 tais casos
podem ser decididos por meio da relaccedilatildeo entre os paracircme-
tros a b e c O resultado eacute o seguinte
Se
Assim a funccedilatildeo quadraacutetica
intercepta o eixo x duas vezes e nesse caso b2 = 9 gt 4ac = 412 = 8
Figura 45 Comportamento da paraacutebola quando variamos o paracircmetro a Fonte Cepa
Figura 46 Por forma geral para diferentes sinais ou valores de Δ Fonte Cepa
4252 0r rax bx c+ + =
426
2
2
2
0 40 40 4
b acb acb ac
∆ gt rarr gt
∆ = rarr =
∆ lt rarr lt
427( ) 2 3 2y x x x= minus +
60 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ao passo que a funccedilatildeo
intercepta o eixo x apenas uma vez pois b2 = 4 = 4ac = 411 = 4 E a funccedilatildeo
jamais tocaraacute o eixo x
Exerciacutecio Resolvido Problema 1
Esboce o graacutefico da funccedilatildeo
rarr Resoluccedilatildeo
Primeiramente lembramos que
Um modo de resolver o problema proposto seria atribuir alguns valores a x e calcular os corres-
pondentes valores de y constituindo assim uma tabela e a partir da tabela construir o graacutefico Haacute
um modo mais produtivo poreacutem que eacute procurar os pontos mais importantes corte com os eixos e
o veacutertice Lembramos que nesse caso temos a = 1 b = minus6 c = 5
a Corte com o eixo y
Para encontrar o valor de y basta tomar x = 0 na equaccedilatildeo 430
Obtemos
Portanto o graacutefico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (05)
b Concavidade
Tendo em vista que a = 1 gt 0 a concavidade eacute para cima
c Cortes com o eixo 0x
Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0 ou seja pontos x para os quais
428( ) 2 2 1y x x x= minus +
429( ) 2 1y x x= +
430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +
431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =
4322 6 5 0i ix xminus + =
61
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
O valor de ∆ eacute positivo
Portanto nesse caso ele intercepta o eixo x duas vezes
45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiaisGraacuteficos tiacutepicos das funccedilotildees polinomiais satildeo apresentados nas figuras abaixo O polinocircmio da
figura 47C eacute um polinocircmio par Os demais natildeo tecircm uma paridade bem definida
433( ) ( )( )22 4 6 4 1 5 36 20 16b ac∆ = minus = minus minus = minus =
Figura 47 Alguns graacuteficos de funccedilotildees polinomiais Fonte Cepa
B)
C) D)
A)
62 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Pode-se ver pelos graacuteficos que as funccedilotildees polinomiais natildeo satildeo limitadas isto eacute elas podem
crescer indefinidamente decrescer indefinidamente ou ambos
A curva associada ao graacutefico pode cortar o eixo x um certo de nuacutemero de vezes Esse nuacutemero eacute igual
ou menor do que n Aos valores de x para os quais isso ocorre damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os polinocircmios em geral exibem pontos de maacuteximos ou miacutenimos locais Por exemplo o
graacutefico da figura 47D exibe dois maacuteximos locais e um miacutenimo local
46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiaisA determinaccedilatildeo das raiacutezes de um polinocircmio de grau n se faz mediante a soluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo algeacutebrica De fato designando por xi a i-eacutesima raiz de um polinocircmio por definiccedilatildeo xi
deve satisfazer agrave equaccedilatildeo algeacutebrica
ou seja
Podemos ter ateacute n soluccedilotildees reais para tal equaccedilatildeo Natildeo haver soluccedilatildeo em se tratando de nuacutemeros
reais eacute tambeacutem uma possibilidade O estudo das raiacutezes de um polinocircmio tem desafiado os mate-
maacuteticos Assim desde o seacuteculo XVI sabe-se a soluccedilatildeo para as seguintes equaccedilotildees cuacutebicas e quaacuterticas
Nos casos mais gerais o problema eacute complexo O caso mais simples entre todos eacute aquele em
que o polinocircmio eacute favoraacutevel de tal forma a escrevecirc-lo sob a forma de produtos de polinocircmios
de primeiro grau
434( ) 0niP x =
43511 1 0 0n n
n i n i ia x a x a x aminusminus+ + + + =
436
3
4 2
0
0i i
i i i
x mx n
x px qx r
+ minus =
+ + + =
437( ) ( )( ) ( )1 2n n
nP x a x x x x x x= minus minus sdotsdot sdot sdot minus
63
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo o polinocircmio dado por 414 pode ser escrito como
Ele tem portanto quatro raiacutezes Elas satildeo representadas pelo conjunto
O polinocircmio iacutempar dado por 416 pode ser escrito como
Ele tem portanto cinco raiacutezes constituindo o conjunto de nuacutemeros reais
47 Raiacutezes da Funccedilatildeo QuadraacuteticaAnalisaremos a seguir o problema das raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau Ele tem uma
soluccedilatildeo bastante simples que se aplica a qualquer funccedilatildeo polinomial de segundo grau
A equaccedilatildeo que nos permite determinar as raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica de acordo com a
notaccedilatildeo da seccedilatildeo precedente eacute dada por
De 420 vemos que ela pode ser escrita como
Figura 48 Graacutefico do polinocircmio P 4 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
Figura 49 Graacutefico do polinocircmio P 5 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
438( ) ( )( )( )( )4 4 213 36 2 2 3 3P x x x x x x x= minus + = minus + minus +
439 3 223minus minus
440( ) ( )( )( )( )5 5 313 36 2 2 3 3P x x x x x x x x x= minus + = minus + minus +
441 3 2 023minus minus
4422 0i iax bx c+ + =
443( )2
24
( ) 02 4i
b acba xa a
minus+ minus =
64 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade
Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute
necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se
Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas
pela expressatildeo
Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades
444( )2
22 2
4( )
2 4 4i
b acbxa a a
minus ∆+ = equiv
4450∆ ge
446
2
2 0 2 4iba xa a
∆ + minus =
447
2
22 4ibxa a
∆ + =
4482 2ibxa a
∆+ = plusmn
449
0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais
∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
56 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
A funccedilatildeo polinomial do segundo grau conteacutem aleacutem dos termos lineares jaacute analisados um
termo quadraacutetico na variaacutevel x Assim a forma mais geral do polinocircmio do segundo grau eacute
Na expressatildeo acima empregamos a forma convencional de apresentar as funccedilotildees quadraacuteti-
cas ou seja em termos de paracircmetros designados pelas letras a b e c As constantes a b e c satildeo
denominadas respectivamente coeficiente quadraacutetico coeficiente linear e coeficiente constante
ou termo livre O coeficiente quadraacutetico eacute o uacutenico que natildeo pode ser nulo pois nesse caso a
equaccedilatildeo seria do primeiro grau
O graacutefico de um polinocircmio do segundo grau eacute uma paraacutebola
O movimento dos projeacuteteis na su-
perfiacutecie terrestre provecirc mais de um
exemplo de grandezas que dependem
quadraticamente umas das outras Por
exemplo a coordenada y associada agrave
posiccedilatildeo de um projeacutetil depende da co-
ordenada x da seguinte forma
onde g eacute a aceleraccedilatildeo da gravidade y0 eacute o valor da coordenada y quando do
iniacutecio do movimento isto eacute quando
x = 0 e a velocidade inicial do projeacutetil
tem componentes (v0x v0y )
417( ) 2y x ax bx c= + +
Figura 42 A trajetoacuteria de um projeacutetil eacute descrita por uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
418( )2
0 00 02 y
x x
g x xy x v yv v
equiv minus + +
57
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
A seguir escreveremos a expressatildeo 417 de uma forma inteiramente equivalente e muito uacutetil como
se veraacute Admitindo-se o paracircmetro a natildeo nulo (a ne 0) podemos escrever as seguintes igualdades
Donde inferimos que
onde o termo ∆ eacute dado por
Embora seja pouco usual vamos usar e muitas vezes essa uacuteltima forma da funccedilatildeo quadraacutetica
Em particular se recorrermos a um artifiacutecio definido como translaccedilatildeo de eixos (mudanccedilas de
eixos na direccedilatildeo vertical e horizontal) ela se torna uacutetil para escrever a equaccedilatildeo da paraacutebola de
uma forma mais simples De fato se redefinirmos as variaacuteveis de acordo com as expressotildees
entatildeo o polinocircmio do segundo grau pode ser escrito nessas novas variaacuteveis como
419
2
2 22 2 2
2 2
22 2 22
2 2 2
2
4 4
4 4 4 2 4
bxa
b c b c b by ax bx c a x x a x xa a a a a a
b b c b b b aca x x a xa a a a a a
∆
+
= + + = + + = + + + minus
minus = + + + minus = + minus
420( )2
2
2 2by x ax bx c a xa a
∆ = + + = + minus
4212 4b ac∆ = minus
4222
24
2
bx xab acy y
a
prime = +
minusprime = minus
423( ) 2y x axprime prime prime=
58 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Observe que efetuar translaccedilotildees ao longo
dos eixos x e y corresponde a realizar uma
mudanccedila do sistema de coordenadas
As transformaccedilotildees 422 podem ser pensa-
das como translaccedilotildees dos eixos na direccedilatildeo ho-
rizontal e na direccedilatildeo vertical Assim mediante
uma nova escolha de eixos escolha essa defi-
nida por 422 podemos reduzir a expressatildeo
417 ou 420 a uma forma bastante simples Utilizaremos indistintamente qualquer uma das
expressotildees 417 420 ou 423
De acordo com a expressatildeo 417 podemos constatar que a funccedilatildeo polinomial sob a forma
423 eacute uma funccedilatildeo par Isso nos leva a uma simetria da paraacutebola De fato ela eacute simeacutetrica em
relaccedilatildeo agrave reta dada por
44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
Podemos classificar as paraacutebolas a partir de suas duas caracteriacutesticas A primeira delas eacute a
concavidade A segunda diz respeito ao fato dela interceptar ou natildeo o eixo x
Uma funccedilatildeo quadraacutetica pode exibir dois tipos de concavidade A concavidade eacute considerada
positiva se a curva ldquoestaacute virada para cimardquo Se ocorrer o oposto a concavidade da curva eacute
negativa Nesse caso dizemos numa linguagem coloquial que ela estaacute ldquovirada para baixordquo
Levando-se em conta ainda a forma 423
podemos verificar que a concavidade eacute deter-
minada pelo sinal do paracircmetro a da funccedilatildeo A
concavidade seraacute negativa se o paracircmetro a o
for E seraacute positiva se o mesmo valer para a Isso
pode ser facilmente constatado analisando-se
as figuras em cada caso (Figura 44)
Figura 43 Por meio da translaccedilatildeo de eixos podemos simplificar a forma da funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
4242bxa
= minus
Figura 44 A concavidade da funccedilatildeo depende do sinal do paracircmetro a Fonte Cepa
59
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim o paracircmetro a determina tambeacutem o
quatildeo ldquoabertardquo ou ldquofechadardquo seraacute a paraacutebola
Quanto maior o valor desse paracircmetro tanto
mais aberta seraacute a paraacutebola (vide figura 45)
A paraacutebola pode interceptar ou natildeo o eixo x
Para determinar sob que circunstacircncias a curva
interceptaraacute o eixo x basta analisar em que cir-
cunstacircncias teremos um valor de y igual a zero
para um dado valor de x A tais valores quando
existem damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os pontos nos quais a paraacutebola cruza o eixo x
tecircm coordenadas ( y = 0 xr) onde xr eacute uma das
raiacutezes do polinocircmio de segundo grau isto eacute
Assim o graacutefico de um polinocircmio do segundo grau pode
interceptar duas vezes o eixo x (se ele possuir duas raiacutezes)
interceptar apenas uma vez (no caso de ter apenas uma
raiz) ou nunca interceptaacute-lo (se natildeo houver raiacutezes reais)
De acordo com anaacutelise que faremos na seccedilatildeo 46 tais casos
podem ser decididos por meio da relaccedilatildeo entre os paracircme-
tros a b e c O resultado eacute o seguinte
Se
Assim a funccedilatildeo quadraacutetica
intercepta o eixo x duas vezes e nesse caso b2 = 9 gt 4ac = 412 = 8
Figura 45 Comportamento da paraacutebola quando variamos o paracircmetro a Fonte Cepa
Figura 46 Por forma geral para diferentes sinais ou valores de Δ Fonte Cepa
4252 0r rax bx c+ + =
426
2
2
2
0 40 40 4
b acb acb ac
∆ gt rarr gt
∆ = rarr =
∆ lt rarr lt
427( ) 2 3 2y x x x= minus +
60 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ao passo que a funccedilatildeo
intercepta o eixo x apenas uma vez pois b2 = 4 = 4ac = 411 = 4 E a funccedilatildeo
jamais tocaraacute o eixo x
Exerciacutecio Resolvido Problema 1
Esboce o graacutefico da funccedilatildeo
rarr Resoluccedilatildeo
Primeiramente lembramos que
Um modo de resolver o problema proposto seria atribuir alguns valores a x e calcular os corres-
pondentes valores de y constituindo assim uma tabela e a partir da tabela construir o graacutefico Haacute
um modo mais produtivo poreacutem que eacute procurar os pontos mais importantes corte com os eixos e
o veacutertice Lembramos que nesse caso temos a = 1 b = minus6 c = 5
a Corte com o eixo y
Para encontrar o valor de y basta tomar x = 0 na equaccedilatildeo 430
Obtemos
Portanto o graacutefico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (05)
b Concavidade
Tendo em vista que a = 1 gt 0 a concavidade eacute para cima
c Cortes com o eixo 0x
Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0 ou seja pontos x para os quais
428( ) 2 2 1y x x x= minus +
429( ) 2 1y x x= +
430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +
431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =
4322 6 5 0i ix xminus + =
61
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
O valor de ∆ eacute positivo
Portanto nesse caso ele intercepta o eixo x duas vezes
45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiaisGraacuteficos tiacutepicos das funccedilotildees polinomiais satildeo apresentados nas figuras abaixo O polinocircmio da
figura 47C eacute um polinocircmio par Os demais natildeo tecircm uma paridade bem definida
433( ) ( )( )22 4 6 4 1 5 36 20 16b ac∆ = minus = minus minus = minus =
Figura 47 Alguns graacuteficos de funccedilotildees polinomiais Fonte Cepa
B)
C) D)
A)
62 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Pode-se ver pelos graacuteficos que as funccedilotildees polinomiais natildeo satildeo limitadas isto eacute elas podem
crescer indefinidamente decrescer indefinidamente ou ambos
A curva associada ao graacutefico pode cortar o eixo x um certo de nuacutemero de vezes Esse nuacutemero eacute igual
ou menor do que n Aos valores de x para os quais isso ocorre damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os polinocircmios em geral exibem pontos de maacuteximos ou miacutenimos locais Por exemplo o
graacutefico da figura 47D exibe dois maacuteximos locais e um miacutenimo local
46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiaisA determinaccedilatildeo das raiacutezes de um polinocircmio de grau n se faz mediante a soluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo algeacutebrica De fato designando por xi a i-eacutesima raiz de um polinocircmio por definiccedilatildeo xi
deve satisfazer agrave equaccedilatildeo algeacutebrica
ou seja
Podemos ter ateacute n soluccedilotildees reais para tal equaccedilatildeo Natildeo haver soluccedilatildeo em se tratando de nuacutemeros
reais eacute tambeacutem uma possibilidade O estudo das raiacutezes de um polinocircmio tem desafiado os mate-
maacuteticos Assim desde o seacuteculo XVI sabe-se a soluccedilatildeo para as seguintes equaccedilotildees cuacutebicas e quaacuterticas
Nos casos mais gerais o problema eacute complexo O caso mais simples entre todos eacute aquele em
que o polinocircmio eacute favoraacutevel de tal forma a escrevecirc-lo sob a forma de produtos de polinocircmios
de primeiro grau
434( ) 0niP x =
43511 1 0 0n n
n i n i ia x a x a x aminusminus+ + + + =
436
3
4 2
0
0i i
i i i
x mx n
x px qx r
+ minus =
+ + + =
437( ) ( )( ) ( )1 2n n
nP x a x x x x x x= minus minus sdotsdot sdot sdot minus
63
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo o polinocircmio dado por 414 pode ser escrito como
Ele tem portanto quatro raiacutezes Elas satildeo representadas pelo conjunto
O polinocircmio iacutempar dado por 416 pode ser escrito como
Ele tem portanto cinco raiacutezes constituindo o conjunto de nuacutemeros reais
47 Raiacutezes da Funccedilatildeo QuadraacuteticaAnalisaremos a seguir o problema das raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau Ele tem uma
soluccedilatildeo bastante simples que se aplica a qualquer funccedilatildeo polinomial de segundo grau
A equaccedilatildeo que nos permite determinar as raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica de acordo com a
notaccedilatildeo da seccedilatildeo precedente eacute dada por
De 420 vemos que ela pode ser escrita como
Figura 48 Graacutefico do polinocircmio P 4 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
Figura 49 Graacutefico do polinocircmio P 5 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
438( ) ( )( )( )( )4 4 213 36 2 2 3 3P x x x x x x x= minus + = minus + minus +
439 3 223minus minus
440( ) ( )( )( )( )5 5 313 36 2 2 3 3P x x x x x x x x x= minus + = minus + minus +
441 3 2 023minus minus
4422 0i iax bx c+ + =
443( )2
24
( ) 02 4i
b acba xa a
minus+ minus =
64 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade
Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute
necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se
Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas
pela expressatildeo
Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades
444( )2
22 2
4( )
2 4 4i
b acbxa a a
minus ∆+ = equiv
4450∆ ge
446
2
2 0 2 4iba xa a
∆ + minus =
447
2
22 4ibxa a
∆ + =
4482 2ibxa a
∆+ = plusmn
449
0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais
∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
57
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
A seguir escreveremos a expressatildeo 417 de uma forma inteiramente equivalente e muito uacutetil como
se veraacute Admitindo-se o paracircmetro a natildeo nulo (a ne 0) podemos escrever as seguintes igualdades
Donde inferimos que
onde o termo ∆ eacute dado por
Embora seja pouco usual vamos usar e muitas vezes essa uacuteltima forma da funccedilatildeo quadraacutetica
Em particular se recorrermos a um artifiacutecio definido como translaccedilatildeo de eixos (mudanccedilas de
eixos na direccedilatildeo vertical e horizontal) ela se torna uacutetil para escrever a equaccedilatildeo da paraacutebola de
uma forma mais simples De fato se redefinirmos as variaacuteveis de acordo com as expressotildees
entatildeo o polinocircmio do segundo grau pode ser escrito nessas novas variaacuteveis como
419
2
2 22 2 2
2 2
22 2 22
2 2 2
2
4 4
4 4 4 2 4
bxa
b c b c b by ax bx c a x x a x xa a a a a a
b b c b b b aca x x a xa a a a a a
∆
+
= + + = + + = + + + minus
minus = + + + minus = + minus
420( )2
2
2 2by x ax bx c a xa a
∆ = + + = + minus
4212 4b ac∆ = minus
4222
24
2
bx xab acy y
a
prime = +
minusprime = minus
423( ) 2y x axprime prime prime=
58 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Observe que efetuar translaccedilotildees ao longo
dos eixos x e y corresponde a realizar uma
mudanccedila do sistema de coordenadas
As transformaccedilotildees 422 podem ser pensa-
das como translaccedilotildees dos eixos na direccedilatildeo ho-
rizontal e na direccedilatildeo vertical Assim mediante
uma nova escolha de eixos escolha essa defi-
nida por 422 podemos reduzir a expressatildeo
417 ou 420 a uma forma bastante simples Utilizaremos indistintamente qualquer uma das
expressotildees 417 420 ou 423
De acordo com a expressatildeo 417 podemos constatar que a funccedilatildeo polinomial sob a forma
423 eacute uma funccedilatildeo par Isso nos leva a uma simetria da paraacutebola De fato ela eacute simeacutetrica em
relaccedilatildeo agrave reta dada por
44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
Podemos classificar as paraacutebolas a partir de suas duas caracteriacutesticas A primeira delas eacute a
concavidade A segunda diz respeito ao fato dela interceptar ou natildeo o eixo x
Uma funccedilatildeo quadraacutetica pode exibir dois tipos de concavidade A concavidade eacute considerada
positiva se a curva ldquoestaacute virada para cimardquo Se ocorrer o oposto a concavidade da curva eacute
negativa Nesse caso dizemos numa linguagem coloquial que ela estaacute ldquovirada para baixordquo
Levando-se em conta ainda a forma 423
podemos verificar que a concavidade eacute deter-
minada pelo sinal do paracircmetro a da funccedilatildeo A
concavidade seraacute negativa se o paracircmetro a o
for E seraacute positiva se o mesmo valer para a Isso
pode ser facilmente constatado analisando-se
as figuras em cada caso (Figura 44)
Figura 43 Por meio da translaccedilatildeo de eixos podemos simplificar a forma da funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
4242bxa
= minus
Figura 44 A concavidade da funccedilatildeo depende do sinal do paracircmetro a Fonte Cepa
59
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim o paracircmetro a determina tambeacutem o
quatildeo ldquoabertardquo ou ldquofechadardquo seraacute a paraacutebola
Quanto maior o valor desse paracircmetro tanto
mais aberta seraacute a paraacutebola (vide figura 45)
A paraacutebola pode interceptar ou natildeo o eixo x
Para determinar sob que circunstacircncias a curva
interceptaraacute o eixo x basta analisar em que cir-
cunstacircncias teremos um valor de y igual a zero
para um dado valor de x A tais valores quando
existem damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os pontos nos quais a paraacutebola cruza o eixo x
tecircm coordenadas ( y = 0 xr) onde xr eacute uma das
raiacutezes do polinocircmio de segundo grau isto eacute
Assim o graacutefico de um polinocircmio do segundo grau pode
interceptar duas vezes o eixo x (se ele possuir duas raiacutezes)
interceptar apenas uma vez (no caso de ter apenas uma
raiz) ou nunca interceptaacute-lo (se natildeo houver raiacutezes reais)
De acordo com anaacutelise que faremos na seccedilatildeo 46 tais casos
podem ser decididos por meio da relaccedilatildeo entre os paracircme-
tros a b e c O resultado eacute o seguinte
Se
Assim a funccedilatildeo quadraacutetica
intercepta o eixo x duas vezes e nesse caso b2 = 9 gt 4ac = 412 = 8
Figura 45 Comportamento da paraacutebola quando variamos o paracircmetro a Fonte Cepa
Figura 46 Por forma geral para diferentes sinais ou valores de Δ Fonte Cepa
4252 0r rax bx c+ + =
426
2
2
2
0 40 40 4
b acb acb ac
∆ gt rarr gt
∆ = rarr =
∆ lt rarr lt
427( ) 2 3 2y x x x= minus +
60 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ao passo que a funccedilatildeo
intercepta o eixo x apenas uma vez pois b2 = 4 = 4ac = 411 = 4 E a funccedilatildeo
jamais tocaraacute o eixo x
Exerciacutecio Resolvido Problema 1
Esboce o graacutefico da funccedilatildeo
rarr Resoluccedilatildeo
Primeiramente lembramos que
Um modo de resolver o problema proposto seria atribuir alguns valores a x e calcular os corres-
pondentes valores de y constituindo assim uma tabela e a partir da tabela construir o graacutefico Haacute
um modo mais produtivo poreacutem que eacute procurar os pontos mais importantes corte com os eixos e
o veacutertice Lembramos que nesse caso temos a = 1 b = minus6 c = 5
a Corte com o eixo y
Para encontrar o valor de y basta tomar x = 0 na equaccedilatildeo 430
Obtemos
Portanto o graacutefico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (05)
b Concavidade
Tendo em vista que a = 1 gt 0 a concavidade eacute para cima
c Cortes com o eixo 0x
Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0 ou seja pontos x para os quais
428( ) 2 2 1y x x x= minus +
429( ) 2 1y x x= +
430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +
431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =
4322 6 5 0i ix xminus + =
61
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
O valor de ∆ eacute positivo
Portanto nesse caso ele intercepta o eixo x duas vezes
45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiaisGraacuteficos tiacutepicos das funccedilotildees polinomiais satildeo apresentados nas figuras abaixo O polinocircmio da
figura 47C eacute um polinocircmio par Os demais natildeo tecircm uma paridade bem definida
433( ) ( )( )22 4 6 4 1 5 36 20 16b ac∆ = minus = minus minus = minus =
Figura 47 Alguns graacuteficos de funccedilotildees polinomiais Fonte Cepa
B)
C) D)
A)
62 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Pode-se ver pelos graacuteficos que as funccedilotildees polinomiais natildeo satildeo limitadas isto eacute elas podem
crescer indefinidamente decrescer indefinidamente ou ambos
A curva associada ao graacutefico pode cortar o eixo x um certo de nuacutemero de vezes Esse nuacutemero eacute igual
ou menor do que n Aos valores de x para os quais isso ocorre damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os polinocircmios em geral exibem pontos de maacuteximos ou miacutenimos locais Por exemplo o
graacutefico da figura 47D exibe dois maacuteximos locais e um miacutenimo local
46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiaisA determinaccedilatildeo das raiacutezes de um polinocircmio de grau n se faz mediante a soluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo algeacutebrica De fato designando por xi a i-eacutesima raiz de um polinocircmio por definiccedilatildeo xi
deve satisfazer agrave equaccedilatildeo algeacutebrica
ou seja
Podemos ter ateacute n soluccedilotildees reais para tal equaccedilatildeo Natildeo haver soluccedilatildeo em se tratando de nuacutemeros
reais eacute tambeacutem uma possibilidade O estudo das raiacutezes de um polinocircmio tem desafiado os mate-
maacuteticos Assim desde o seacuteculo XVI sabe-se a soluccedilatildeo para as seguintes equaccedilotildees cuacutebicas e quaacuterticas
Nos casos mais gerais o problema eacute complexo O caso mais simples entre todos eacute aquele em
que o polinocircmio eacute favoraacutevel de tal forma a escrevecirc-lo sob a forma de produtos de polinocircmios
de primeiro grau
434( ) 0niP x =
43511 1 0 0n n
n i n i ia x a x a x aminusminus+ + + + =
436
3
4 2
0
0i i
i i i
x mx n
x px qx r
+ minus =
+ + + =
437( ) ( )( ) ( )1 2n n
nP x a x x x x x x= minus minus sdotsdot sdot sdot minus
63
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo o polinocircmio dado por 414 pode ser escrito como
Ele tem portanto quatro raiacutezes Elas satildeo representadas pelo conjunto
O polinocircmio iacutempar dado por 416 pode ser escrito como
Ele tem portanto cinco raiacutezes constituindo o conjunto de nuacutemeros reais
47 Raiacutezes da Funccedilatildeo QuadraacuteticaAnalisaremos a seguir o problema das raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau Ele tem uma
soluccedilatildeo bastante simples que se aplica a qualquer funccedilatildeo polinomial de segundo grau
A equaccedilatildeo que nos permite determinar as raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica de acordo com a
notaccedilatildeo da seccedilatildeo precedente eacute dada por
De 420 vemos que ela pode ser escrita como
Figura 48 Graacutefico do polinocircmio P 4 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
Figura 49 Graacutefico do polinocircmio P 5 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
438( ) ( )( )( )( )4 4 213 36 2 2 3 3P x x x x x x x= minus + = minus + minus +
439 3 223minus minus
440( ) ( )( )( )( )5 5 313 36 2 2 3 3P x x x x x x x x x= minus + = minus + minus +
441 3 2 023minus minus
4422 0i iax bx c+ + =
443( )2
24
( ) 02 4i
b acba xa a
minus+ minus =
64 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade
Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute
necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se
Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas
pela expressatildeo
Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades
444( )2
22 2
4( )
2 4 4i
b acbxa a a
minus ∆+ = equiv
4450∆ ge
446
2
2 0 2 4iba xa a
∆ + minus =
447
2
22 4ibxa a
∆ + =
4482 2ibxa a
∆+ = plusmn
449
0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais
∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
58 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Observe que efetuar translaccedilotildees ao longo
dos eixos x e y corresponde a realizar uma
mudanccedila do sistema de coordenadas
As transformaccedilotildees 422 podem ser pensa-
das como translaccedilotildees dos eixos na direccedilatildeo ho-
rizontal e na direccedilatildeo vertical Assim mediante
uma nova escolha de eixos escolha essa defi-
nida por 422 podemos reduzir a expressatildeo
417 ou 420 a uma forma bastante simples Utilizaremos indistintamente qualquer uma das
expressotildees 417 420 ou 423
De acordo com a expressatildeo 417 podemos constatar que a funccedilatildeo polinomial sob a forma
423 eacute uma funccedilatildeo par Isso nos leva a uma simetria da paraacutebola De fato ela eacute simeacutetrica em
relaccedilatildeo agrave reta dada por
44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
Podemos classificar as paraacutebolas a partir de suas duas caracteriacutesticas A primeira delas eacute a
concavidade A segunda diz respeito ao fato dela interceptar ou natildeo o eixo x
Uma funccedilatildeo quadraacutetica pode exibir dois tipos de concavidade A concavidade eacute considerada
positiva se a curva ldquoestaacute virada para cimardquo Se ocorrer o oposto a concavidade da curva eacute
negativa Nesse caso dizemos numa linguagem coloquial que ela estaacute ldquovirada para baixordquo
Levando-se em conta ainda a forma 423
podemos verificar que a concavidade eacute deter-
minada pelo sinal do paracircmetro a da funccedilatildeo A
concavidade seraacute negativa se o paracircmetro a o
for E seraacute positiva se o mesmo valer para a Isso
pode ser facilmente constatado analisando-se
as figuras em cada caso (Figura 44)
Figura 43 Por meio da translaccedilatildeo de eixos podemos simplificar a forma da funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
4242bxa
= minus
Figura 44 A concavidade da funccedilatildeo depende do sinal do paracircmetro a Fonte Cepa
59
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim o paracircmetro a determina tambeacutem o
quatildeo ldquoabertardquo ou ldquofechadardquo seraacute a paraacutebola
Quanto maior o valor desse paracircmetro tanto
mais aberta seraacute a paraacutebola (vide figura 45)
A paraacutebola pode interceptar ou natildeo o eixo x
Para determinar sob que circunstacircncias a curva
interceptaraacute o eixo x basta analisar em que cir-
cunstacircncias teremos um valor de y igual a zero
para um dado valor de x A tais valores quando
existem damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os pontos nos quais a paraacutebola cruza o eixo x
tecircm coordenadas ( y = 0 xr) onde xr eacute uma das
raiacutezes do polinocircmio de segundo grau isto eacute
Assim o graacutefico de um polinocircmio do segundo grau pode
interceptar duas vezes o eixo x (se ele possuir duas raiacutezes)
interceptar apenas uma vez (no caso de ter apenas uma
raiz) ou nunca interceptaacute-lo (se natildeo houver raiacutezes reais)
De acordo com anaacutelise que faremos na seccedilatildeo 46 tais casos
podem ser decididos por meio da relaccedilatildeo entre os paracircme-
tros a b e c O resultado eacute o seguinte
Se
Assim a funccedilatildeo quadraacutetica
intercepta o eixo x duas vezes e nesse caso b2 = 9 gt 4ac = 412 = 8
Figura 45 Comportamento da paraacutebola quando variamos o paracircmetro a Fonte Cepa
Figura 46 Por forma geral para diferentes sinais ou valores de Δ Fonte Cepa
4252 0r rax bx c+ + =
426
2
2
2
0 40 40 4
b acb acb ac
∆ gt rarr gt
∆ = rarr =
∆ lt rarr lt
427( ) 2 3 2y x x x= minus +
60 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ao passo que a funccedilatildeo
intercepta o eixo x apenas uma vez pois b2 = 4 = 4ac = 411 = 4 E a funccedilatildeo
jamais tocaraacute o eixo x
Exerciacutecio Resolvido Problema 1
Esboce o graacutefico da funccedilatildeo
rarr Resoluccedilatildeo
Primeiramente lembramos que
Um modo de resolver o problema proposto seria atribuir alguns valores a x e calcular os corres-
pondentes valores de y constituindo assim uma tabela e a partir da tabela construir o graacutefico Haacute
um modo mais produtivo poreacutem que eacute procurar os pontos mais importantes corte com os eixos e
o veacutertice Lembramos que nesse caso temos a = 1 b = minus6 c = 5
a Corte com o eixo y
Para encontrar o valor de y basta tomar x = 0 na equaccedilatildeo 430
Obtemos
Portanto o graacutefico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (05)
b Concavidade
Tendo em vista que a = 1 gt 0 a concavidade eacute para cima
c Cortes com o eixo 0x
Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0 ou seja pontos x para os quais
428( ) 2 2 1y x x x= minus +
429( ) 2 1y x x= +
430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +
431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =
4322 6 5 0i ix xminus + =
61
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
O valor de ∆ eacute positivo
Portanto nesse caso ele intercepta o eixo x duas vezes
45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiaisGraacuteficos tiacutepicos das funccedilotildees polinomiais satildeo apresentados nas figuras abaixo O polinocircmio da
figura 47C eacute um polinocircmio par Os demais natildeo tecircm uma paridade bem definida
433( ) ( )( )22 4 6 4 1 5 36 20 16b ac∆ = minus = minus minus = minus =
Figura 47 Alguns graacuteficos de funccedilotildees polinomiais Fonte Cepa
B)
C) D)
A)
62 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Pode-se ver pelos graacuteficos que as funccedilotildees polinomiais natildeo satildeo limitadas isto eacute elas podem
crescer indefinidamente decrescer indefinidamente ou ambos
A curva associada ao graacutefico pode cortar o eixo x um certo de nuacutemero de vezes Esse nuacutemero eacute igual
ou menor do que n Aos valores de x para os quais isso ocorre damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os polinocircmios em geral exibem pontos de maacuteximos ou miacutenimos locais Por exemplo o
graacutefico da figura 47D exibe dois maacuteximos locais e um miacutenimo local
46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiaisA determinaccedilatildeo das raiacutezes de um polinocircmio de grau n se faz mediante a soluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo algeacutebrica De fato designando por xi a i-eacutesima raiz de um polinocircmio por definiccedilatildeo xi
deve satisfazer agrave equaccedilatildeo algeacutebrica
ou seja
Podemos ter ateacute n soluccedilotildees reais para tal equaccedilatildeo Natildeo haver soluccedilatildeo em se tratando de nuacutemeros
reais eacute tambeacutem uma possibilidade O estudo das raiacutezes de um polinocircmio tem desafiado os mate-
maacuteticos Assim desde o seacuteculo XVI sabe-se a soluccedilatildeo para as seguintes equaccedilotildees cuacutebicas e quaacuterticas
Nos casos mais gerais o problema eacute complexo O caso mais simples entre todos eacute aquele em
que o polinocircmio eacute favoraacutevel de tal forma a escrevecirc-lo sob a forma de produtos de polinocircmios
de primeiro grau
434( ) 0niP x =
43511 1 0 0n n
n i n i ia x a x a x aminusminus+ + + + =
436
3
4 2
0
0i i
i i i
x mx n
x px qx r
+ minus =
+ + + =
437( ) ( )( ) ( )1 2n n
nP x a x x x x x x= minus minus sdotsdot sdot sdot minus
63
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo o polinocircmio dado por 414 pode ser escrito como
Ele tem portanto quatro raiacutezes Elas satildeo representadas pelo conjunto
O polinocircmio iacutempar dado por 416 pode ser escrito como
Ele tem portanto cinco raiacutezes constituindo o conjunto de nuacutemeros reais
47 Raiacutezes da Funccedilatildeo QuadraacuteticaAnalisaremos a seguir o problema das raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau Ele tem uma
soluccedilatildeo bastante simples que se aplica a qualquer funccedilatildeo polinomial de segundo grau
A equaccedilatildeo que nos permite determinar as raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica de acordo com a
notaccedilatildeo da seccedilatildeo precedente eacute dada por
De 420 vemos que ela pode ser escrita como
Figura 48 Graacutefico do polinocircmio P 4 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
Figura 49 Graacutefico do polinocircmio P 5 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
438( ) ( )( )( )( )4 4 213 36 2 2 3 3P x x x x x x x= minus + = minus + minus +
439 3 223minus minus
440( ) ( )( )( )( )5 5 313 36 2 2 3 3P x x x x x x x x x= minus + = minus + minus +
441 3 2 023minus minus
4422 0i iax bx c+ + =
443( )2
24
( ) 02 4i
b acba xa a
minus+ minus =
64 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade
Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute
necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se
Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas
pela expressatildeo
Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades
444( )2
22 2
4( )
2 4 4i
b acbxa a a
minus ∆+ = equiv
4450∆ ge
446
2
2 0 2 4iba xa a
∆ + minus =
447
2
22 4ibxa a
∆ + =
4482 2ibxa a
∆+ = plusmn
449
0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais
∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
59
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim o paracircmetro a determina tambeacutem o
quatildeo ldquoabertardquo ou ldquofechadardquo seraacute a paraacutebola
Quanto maior o valor desse paracircmetro tanto
mais aberta seraacute a paraacutebola (vide figura 45)
A paraacutebola pode interceptar ou natildeo o eixo x
Para determinar sob que circunstacircncias a curva
interceptaraacute o eixo x basta analisar em que cir-
cunstacircncias teremos um valor de y igual a zero
para um dado valor de x A tais valores quando
existem damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os pontos nos quais a paraacutebola cruza o eixo x
tecircm coordenadas ( y = 0 xr) onde xr eacute uma das
raiacutezes do polinocircmio de segundo grau isto eacute
Assim o graacutefico de um polinocircmio do segundo grau pode
interceptar duas vezes o eixo x (se ele possuir duas raiacutezes)
interceptar apenas uma vez (no caso de ter apenas uma
raiz) ou nunca interceptaacute-lo (se natildeo houver raiacutezes reais)
De acordo com anaacutelise que faremos na seccedilatildeo 46 tais casos
podem ser decididos por meio da relaccedilatildeo entre os paracircme-
tros a b e c O resultado eacute o seguinte
Se
Assim a funccedilatildeo quadraacutetica
intercepta o eixo x duas vezes e nesse caso b2 = 9 gt 4ac = 412 = 8
Figura 45 Comportamento da paraacutebola quando variamos o paracircmetro a Fonte Cepa
Figura 46 Por forma geral para diferentes sinais ou valores de Δ Fonte Cepa
4252 0r rax bx c+ + =
426
2
2
2
0 40 40 4
b acb acb ac
∆ gt rarr gt
∆ = rarr =
∆ lt rarr lt
427( ) 2 3 2y x x x= minus +
60 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ao passo que a funccedilatildeo
intercepta o eixo x apenas uma vez pois b2 = 4 = 4ac = 411 = 4 E a funccedilatildeo
jamais tocaraacute o eixo x
Exerciacutecio Resolvido Problema 1
Esboce o graacutefico da funccedilatildeo
rarr Resoluccedilatildeo
Primeiramente lembramos que
Um modo de resolver o problema proposto seria atribuir alguns valores a x e calcular os corres-
pondentes valores de y constituindo assim uma tabela e a partir da tabela construir o graacutefico Haacute
um modo mais produtivo poreacutem que eacute procurar os pontos mais importantes corte com os eixos e
o veacutertice Lembramos que nesse caso temos a = 1 b = minus6 c = 5
a Corte com o eixo y
Para encontrar o valor de y basta tomar x = 0 na equaccedilatildeo 430
Obtemos
Portanto o graacutefico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (05)
b Concavidade
Tendo em vista que a = 1 gt 0 a concavidade eacute para cima
c Cortes com o eixo 0x
Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0 ou seja pontos x para os quais
428( ) 2 2 1y x x x= minus +
429( ) 2 1y x x= +
430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +
431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =
4322 6 5 0i ix xminus + =
61
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
O valor de ∆ eacute positivo
Portanto nesse caso ele intercepta o eixo x duas vezes
45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiaisGraacuteficos tiacutepicos das funccedilotildees polinomiais satildeo apresentados nas figuras abaixo O polinocircmio da
figura 47C eacute um polinocircmio par Os demais natildeo tecircm uma paridade bem definida
433( ) ( )( )22 4 6 4 1 5 36 20 16b ac∆ = minus = minus minus = minus =
Figura 47 Alguns graacuteficos de funccedilotildees polinomiais Fonte Cepa
B)
C) D)
A)
62 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Pode-se ver pelos graacuteficos que as funccedilotildees polinomiais natildeo satildeo limitadas isto eacute elas podem
crescer indefinidamente decrescer indefinidamente ou ambos
A curva associada ao graacutefico pode cortar o eixo x um certo de nuacutemero de vezes Esse nuacutemero eacute igual
ou menor do que n Aos valores de x para os quais isso ocorre damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os polinocircmios em geral exibem pontos de maacuteximos ou miacutenimos locais Por exemplo o
graacutefico da figura 47D exibe dois maacuteximos locais e um miacutenimo local
46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiaisA determinaccedilatildeo das raiacutezes de um polinocircmio de grau n se faz mediante a soluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo algeacutebrica De fato designando por xi a i-eacutesima raiz de um polinocircmio por definiccedilatildeo xi
deve satisfazer agrave equaccedilatildeo algeacutebrica
ou seja
Podemos ter ateacute n soluccedilotildees reais para tal equaccedilatildeo Natildeo haver soluccedilatildeo em se tratando de nuacutemeros
reais eacute tambeacutem uma possibilidade O estudo das raiacutezes de um polinocircmio tem desafiado os mate-
maacuteticos Assim desde o seacuteculo XVI sabe-se a soluccedilatildeo para as seguintes equaccedilotildees cuacutebicas e quaacuterticas
Nos casos mais gerais o problema eacute complexo O caso mais simples entre todos eacute aquele em
que o polinocircmio eacute favoraacutevel de tal forma a escrevecirc-lo sob a forma de produtos de polinocircmios
de primeiro grau
434( ) 0niP x =
43511 1 0 0n n
n i n i ia x a x a x aminusminus+ + + + =
436
3
4 2
0
0i i
i i i
x mx n
x px qx r
+ minus =
+ + + =
437( ) ( )( ) ( )1 2n n
nP x a x x x x x x= minus minus sdotsdot sdot sdot minus
63
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo o polinocircmio dado por 414 pode ser escrito como
Ele tem portanto quatro raiacutezes Elas satildeo representadas pelo conjunto
O polinocircmio iacutempar dado por 416 pode ser escrito como
Ele tem portanto cinco raiacutezes constituindo o conjunto de nuacutemeros reais
47 Raiacutezes da Funccedilatildeo QuadraacuteticaAnalisaremos a seguir o problema das raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau Ele tem uma
soluccedilatildeo bastante simples que se aplica a qualquer funccedilatildeo polinomial de segundo grau
A equaccedilatildeo que nos permite determinar as raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica de acordo com a
notaccedilatildeo da seccedilatildeo precedente eacute dada por
De 420 vemos que ela pode ser escrita como
Figura 48 Graacutefico do polinocircmio P 4 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
Figura 49 Graacutefico do polinocircmio P 5 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
438( ) ( )( )( )( )4 4 213 36 2 2 3 3P x x x x x x x= minus + = minus + minus +
439 3 223minus minus
440( ) ( )( )( )( )5 5 313 36 2 2 3 3P x x x x x x x x x= minus + = minus + minus +
441 3 2 023minus minus
4422 0i iax bx c+ + =
443( )2
24
( ) 02 4i
b acba xa a
minus+ minus =
64 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade
Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute
necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se
Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas
pela expressatildeo
Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades
444( )2
22 2
4( )
2 4 4i
b acbxa a a
minus ∆+ = equiv
4450∆ ge
446
2
2 0 2 4iba xa a
∆ + minus =
447
2
22 4ibxa a
∆ + =
4482 2ibxa a
∆+ = plusmn
449
0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais
∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
60 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ao passo que a funccedilatildeo
intercepta o eixo x apenas uma vez pois b2 = 4 = 4ac = 411 = 4 E a funccedilatildeo
jamais tocaraacute o eixo x
Exerciacutecio Resolvido Problema 1
Esboce o graacutefico da funccedilatildeo
rarr Resoluccedilatildeo
Primeiramente lembramos que
Um modo de resolver o problema proposto seria atribuir alguns valores a x e calcular os corres-
pondentes valores de y constituindo assim uma tabela e a partir da tabela construir o graacutefico Haacute
um modo mais produtivo poreacutem que eacute procurar os pontos mais importantes corte com os eixos e
o veacutertice Lembramos que nesse caso temos a = 1 b = minus6 c = 5
a Corte com o eixo y
Para encontrar o valor de y basta tomar x = 0 na equaccedilatildeo 430
Obtemos
Portanto o graacutefico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (05)
b Concavidade
Tendo em vista que a = 1 gt 0 a concavidade eacute para cima
c Cortes com o eixo 0x
Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0 ou seja pontos x para os quais
428( ) 2 2 1y x x x= minus +
429( ) 2 1y x x= +
430( ) 2 6 5y f x x x= = minus +
431( ) ( )2(0) 0 6 0 5 5y = minus + =
4322 6 5 0i ix xminus + =
61
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
O valor de ∆ eacute positivo
Portanto nesse caso ele intercepta o eixo x duas vezes
45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiaisGraacuteficos tiacutepicos das funccedilotildees polinomiais satildeo apresentados nas figuras abaixo O polinocircmio da
figura 47C eacute um polinocircmio par Os demais natildeo tecircm uma paridade bem definida
433( ) ( )( )22 4 6 4 1 5 36 20 16b ac∆ = minus = minus minus = minus =
Figura 47 Alguns graacuteficos de funccedilotildees polinomiais Fonte Cepa
B)
C) D)
A)
62 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Pode-se ver pelos graacuteficos que as funccedilotildees polinomiais natildeo satildeo limitadas isto eacute elas podem
crescer indefinidamente decrescer indefinidamente ou ambos
A curva associada ao graacutefico pode cortar o eixo x um certo de nuacutemero de vezes Esse nuacutemero eacute igual
ou menor do que n Aos valores de x para os quais isso ocorre damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os polinocircmios em geral exibem pontos de maacuteximos ou miacutenimos locais Por exemplo o
graacutefico da figura 47D exibe dois maacuteximos locais e um miacutenimo local
46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiaisA determinaccedilatildeo das raiacutezes de um polinocircmio de grau n se faz mediante a soluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo algeacutebrica De fato designando por xi a i-eacutesima raiz de um polinocircmio por definiccedilatildeo xi
deve satisfazer agrave equaccedilatildeo algeacutebrica
ou seja
Podemos ter ateacute n soluccedilotildees reais para tal equaccedilatildeo Natildeo haver soluccedilatildeo em se tratando de nuacutemeros
reais eacute tambeacutem uma possibilidade O estudo das raiacutezes de um polinocircmio tem desafiado os mate-
maacuteticos Assim desde o seacuteculo XVI sabe-se a soluccedilatildeo para as seguintes equaccedilotildees cuacutebicas e quaacuterticas
Nos casos mais gerais o problema eacute complexo O caso mais simples entre todos eacute aquele em
que o polinocircmio eacute favoraacutevel de tal forma a escrevecirc-lo sob a forma de produtos de polinocircmios
de primeiro grau
434( ) 0niP x =
43511 1 0 0n n
n i n i ia x a x a x aminusminus+ + + + =
436
3
4 2
0
0i i
i i i
x mx n
x px qx r
+ minus =
+ + + =
437( ) ( )( ) ( )1 2n n
nP x a x x x x x x= minus minus sdotsdot sdot sdot minus
63
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo o polinocircmio dado por 414 pode ser escrito como
Ele tem portanto quatro raiacutezes Elas satildeo representadas pelo conjunto
O polinocircmio iacutempar dado por 416 pode ser escrito como
Ele tem portanto cinco raiacutezes constituindo o conjunto de nuacutemeros reais
47 Raiacutezes da Funccedilatildeo QuadraacuteticaAnalisaremos a seguir o problema das raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau Ele tem uma
soluccedilatildeo bastante simples que se aplica a qualquer funccedilatildeo polinomial de segundo grau
A equaccedilatildeo que nos permite determinar as raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica de acordo com a
notaccedilatildeo da seccedilatildeo precedente eacute dada por
De 420 vemos que ela pode ser escrita como
Figura 48 Graacutefico do polinocircmio P 4 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
Figura 49 Graacutefico do polinocircmio P 5 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
438( ) ( )( )( )( )4 4 213 36 2 2 3 3P x x x x x x x= minus + = minus + minus +
439 3 223minus minus
440( ) ( )( )( )( )5 5 313 36 2 2 3 3P x x x x x x x x x= minus + = minus + minus +
441 3 2 023minus minus
4422 0i iax bx c+ + =
443( )2
24
( ) 02 4i
b acba xa a
minus+ minus =
64 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade
Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute
necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se
Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas
pela expressatildeo
Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades
444( )2
22 2
4( )
2 4 4i
b acbxa a a
minus ∆+ = equiv
4450∆ ge
446
2
2 0 2 4iba xa a
∆ + minus =
447
2
22 4ibxa a
∆ + =
4482 2ibxa a
∆+ = plusmn
449
0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais
∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
61
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
O valor de ∆ eacute positivo
Portanto nesse caso ele intercepta o eixo x duas vezes
45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiaisGraacuteficos tiacutepicos das funccedilotildees polinomiais satildeo apresentados nas figuras abaixo O polinocircmio da
figura 47C eacute um polinocircmio par Os demais natildeo tecircm uma paridade bem definida
433( ) ( )( )22 4 6 4 1 5 36 20 16b ac∆ = minus = minus minus = minus =
Figura 47 Alguns graacuteficos de funccedilotildees polinomiais Fonte Cepa
B)
C) D)
A)
62 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Pode-se ver pelos graacuteficos que as funccedilotildees polinomiais natildeo satildeo limitadas isto eacute elas podem
crescer indefinidamente decrescer indefinidamente ou ambos
A curva associada ao graacutefico pode cortar o eixo x um certo de nuacutemero de vezes Esse nuacutemero eacute igual
ou menor do que n Aos valores de x para os quais isso ocorre damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os polinocircmios em geral exibem pontos de maacuteximos ou miacutenimos locais Por exemplo o
graacutefico da figura 47D exibe dois maacuteximos locais e um miacutenimo local
46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiaisA determinaccedilatildeo das raiacutezes de um polinocircmio de grau n se faz mediante a soluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo algeacutebrica De fato designando por xi a i-eacutesima raiz de um polinocircmio por definiccedilatildeo xi
deve satisfazer agrave equaccedilatildeo algeacutebrica
ou seja
Podemos ter ateacute n soluccedilotildees reais para tal equaccedilatildeo Natildeo haver soluccedilatildeo em se tratando de nuacutemeros
reais eacute tambeacutem uma possibilidade O estudo das raiacutezes de um polinocircmio tem desafiado os mate-
maacuteticos Assim desde o seacuteculo XVI sabe-se a soluccedilatildeo para as seguintes equaccedilotildees cuacutebicas e quaacuterticas
Nos casos mais gerais o problema eacute complexo O caso mais simples entre todos eacute aquele em
que o polinocircmio eacute favoraacutevel de tal forma a escrevecirc-lo sob a forma de produtos de polinocircmios
de primeiro grau
434( ) 0niP x =
43511 1 0 0n n
n i n i ia x a x a x aminusminus+ + + + =
436
3
4 2
0
0i i
i i i
x mx n
x px qx r
+ minus =
+ + + =
437( ) ( )( ) ( )1 2n n
nP x a x x x x x x= minus minus sdotsdot sdot sdot minus
63
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo o polinocircmio dado por 414 pode ser escrito como
Ele tem portanto quatro raiacutezes Elas satildeo representadas pelo conjunto
O polinocircmio iacutempar dado por 416 pode ser escrito como
Ele tem portanto cinco raiacutezes constituindo o conjunto de nuacutemeros reais
47 Raiacutezes da Funccedilatildeo QuadraacuteticaAnalisaremos a seguir o problema das raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau Ele tem uma
soluccedilatildeo bastante simples que se aplica a qualquer funccedilatildeo polinomial de segundo grau
A equaccedilatildeo que nos permite determinar as raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica de acordo com a
notaccedilatildeo da seccedilatildeo precedente eacute dada por
De 420 vemos que ela pode ser escrita como
Figura 48 Graacutefico do polinocircmio P 4 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
Figura 49 Graacutefico do polinocircmio P 5 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
438( ) ( )( )( )( )4 4 213 36 2 2 3 3P x x x x x x x= minus + = minus + minus +
439 3 223minus minus
440( ) ( )( )( )( )5 5 313 36 2 2 3 3P x x x x x x x x x= minus + = minus + minus +
441 3 2 023minus minus
4422 0i iax bx c+ + =
443( )2
24
( ) 02 4i
b acba xa a
minus+ minus =
64 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade
Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute
necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se
Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas
pela expressatildeo
Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades
444( )2
22 2
4( )
2 4 4i
b acbxa a a
minus ∆+ = equiv
4450∆ ge
446
2
2 0 2 4iba xa a
∆ + minus =
447
2
22 4ibxa a
∆ + =
4482 2ibxa a
∆+ = plusmn
449
0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais
∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
62 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Pode-se ver pelos graacuteficos que as funccedilotildees polinomiais natildeo satildeo limitadas isto eacute elas podem
crescer indefinidamente decrescer indefinidamente ou ambos
A curva associada ao graacutefico pode cortar o eixo x um certo de nuacutemero de vezes Esse nuacutemero eacute igual
ou menor do que n Aos valores de x para os quais isso ocorre damos o nome de raiacutezes do polinocircmio
Os polinocircmios em geral exibem pontos de maacuteximos ou miacutenimos locais Por exemplo o
graacutefico da figura 47D exibe dois maacuteximos locais e um miacutenimo local
46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiaisA determinaccedilatildeo das raiacutezes de um polinocircmio de grau n se faz mediante a soluccedilatildeo de uma
equaccedilatildeo algeacutebrica De fato designando por xi a i-eacutesima raiz de um polinocircmio por definiccedilatildeo xi
deve satisfazer agrave equaccedilatildeo algeacutebrica
ou seja
Podemos ter ateacute n soluccedilotildees reais para tal equaccedilatildeo Natildeo haver soluccedilatildeo em se tratando de nuacutemeros
reais eacute tambeacutem uma possibilidade O estudo das raiacutezes de um polinocircmio tem desafiado os mate-
maacuteticos Assim desde o seacuteculo XVI sabe-se a soluccedilatildeo para as seguintes equaccedilotildees cuacutebicas e quaacuterticas
Nos casos mais gerais o problema eacute complexo O caso mais simples entre todos eacute aquele em
que o polinocircmio eacute favoraacutevel de tal forma a escrevecirc-lo sob a forma de produtos de polinocircmios
de primeiro grau
434( ) 0niP x =
43511 1 0 0n n
n i n i ia x a x a x aminusminus+ + + + =
436
3
4 2
0
0i i
i i i
x mx n
x px qx r
+ minus =
+ + + =
437( ) ( )( ) ( )1 2n n
nP x a x x x x x x= minus minus sdotsdot sdot sdot minus
63
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo o polinocircmio dado por 414 pode ser escrito como
Ele tem portanto quatro raiacutezes Elas satildeo representadas pelo conjunto
O polinocircmio iacutempar dado por 416 pode ser escrito como
Ele tem portanto cinco raiacutezes constituindo o conjunto de nuacutemeros reais
47 Raiacutezes da Funccedilatildeo QuadraacuteticaAnalisaremos a seguir o problema das raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau Ele tem uma
soluccedilatildeo bastante simples que se aplica a qualquer funccedilatildeo polinomial de segundo grau
A equaccedilatildeo que nos permite determinar as raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica de acordo com a
notaccedilatildeo da seccedilatildeo precedente eacute dada por
De 420 vemos que ela pode ser escrita como
Figura 48 Graacutefico do polinocircmio P 4 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
Figura 49 Graacutefico do polinocircmio P 5 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
438( ) ( )( )( )( )4 4 213 36 2 2 3 3P x x x x x x x= minus + = minus + minus +
439 3 223minus minus
440( ) ( )( )( )( )5 5 313 36 2 2 3 3P x x x x x x x x x= minus + = minus + minus +
441 3 2 023minus minus
4422 0i iax bx c+ + =
443( )2
24
( ) 02 4i
b acba xa a
minus+ minus =
64 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade
Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute
necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se
Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas
pela expressatildeo
Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades
444( )2
22 2
4( )
2 4 4i
b acbxa a a
minus ∆+ = equiv
4450∆ ge
446
2
2 0 2 4iba xa a
∆ + minus =
447
2
22 4ibxa a
∆ + =
4482 2ibxa a
∆+ = plusmn
449
0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais
∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
63
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Por exemplo o polinocircmio dado por 414 pode ser escrito como
Ele tem portanto quatro raiacutezes Elas satildeo representadas pelo conjunto
O polinocircmio iacutempar dado por 416 pode ser escrito como
Ele tem portanto cinco raiacutezes constituindo o conjunto de nuacutemeros reais
47 Raiacutezes da Funccedilatildeo QuadraacuteticaAnalisaremos a seguir o problema das raiacutezes de uma equaccedilatildeo do segundo grau Ele tem uma
soluccedilatildeo bastante simples que se aplica a qualquer funccedilatildeo polinomial de segundo grau
A equaccedilatildeo que nos permite determinar as raiacutezes da funccedilatildeo quadraacutetica de acordo com a
notaccedilatildeo da seccedilatildeo precedente eacute dada por
De 420 vemos que ela pode ser escrita como
Figura 48 Graacutefico do polinocircmio P 4 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
Figura 49 Graacutefico do polinocircmio P 5 indicando suas raiacutezes Fonte Cepa
438( ) ( )( )( )( )4 4 213 36 2 2 3 3P x x x x x x x= minus + = minus + minus +
439 3 223minus minus
440( ) ( )( )( )( )5 5 313 36 2 2 3 3P x x x x x x x x x= minus + = minus + minus +
441 3 2 023minus minus
4422 0i iax bx c+ + =
443( )2
24
( ) 02 4i
b acba xa a
minus+ minus =
64 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade
Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute
necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se
Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas
pela expressatildeo
Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades
444( )2
22 2
4( )
2 4 4i
b acbxa a a
minus ∆+ = equiv
4450∆ ge
446
2
2 0 2 4iba xa a
∆ + minus =
447
2
22 4ibxa a
∆ + =
4482 2ibxa a
∆+ = plusmn
449
0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais
∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
64 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
E portanto tais valores se existirem devem satisfazer agrave identidade
Ora como se pode observar para que existam valores xi que satisfaccedilam agrave relaccedilatildeo acima eacute
necessaacuterio que o lado direito de 444 seja positivo Isso por outro lado fica assegurado se
Tendo em vista a expressatildeo 443 temos obtemos a seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Uma vez que o coeficiente a eacute natildeo nulo a equaccedilatildeo acima nos leva agrave seguinte expressatildeo para as raiacutezes
Donde inferimos que para haver raiacutezes reais devemos ter ∆ ge 0 Se ∆ gt 0 as raiacutezes satildeo dadas
pela expressatildeo
Da expressatildeo acima concluiacutemos que dependendo do valor de ∆ podemos ter ateacute trecircs possibilidades
444( )2
22 2
4( )
2 4 4i
b acbxa a a
minus ∆+ = equiv
4450∆ ge
446
2
2 0 2 4iba xa a
∆ + minus =
447
2
22 4ibxa a
∆ + =
4482 2ibxa a
∆+ = plusmn
449
0 duas raiacutezes reais diferentes0 duas raiacutezes reais iguais (uma uacutenica raiz)0 natildeo haacute raizes reais
∆ gt hArr∆ = hArr∆ lt hArr
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
65
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Assim para ∆ gt 0 encontramos duas raiacutezes dadas pelos valores
Se no entanto ∆ = 0 as duas raiacutezes se reduzem a uma soacute
De 450 podemos concluir que a soma das raiacutezes (S ) e o seu produto (P) satildeo dados respec-
tivamente por
Finalmente eacute faacutecil verificar que em termos das raiacutezes dadas por 450 ou 451 um polinocirc-
mio do segundo grau pode ser escrito como
Por exemplo as raiacutezes da funccedilatildeo 421 satildeo determinadas pela equaccedilatildeo
cujas soluccedilotildees de acordo com 450 satildeo
450
2
1 2
2
2 2
42 4 2
42 4 2
b b b acxa a a
b b b acxa a a
∆ minus minus minus= minus minus =
∆ minus + minus= minus + =
4511 2 2bx xa
= = minus
452
1 2
1 2
bS x xa
cP x xa
minus= + =
= sdot =
453( )( )2 21 2 b cax bx c a x x a x x x x
a a + + = + + = minus minus
4542 3 2 0i ix xminus + =
4551
2
3 9 8 12
3 9 8 22
x
x
minus minus= =
+ minus= =
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
66 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
enquanto que a equaccedilatildeo
comporta apenas uma soluccedilatildeo jaacute que nesse caso ∆ = 0
Tal raiz de acordo com a expressatildeo 451 eacute dada por
A funccedilatildeo 429 natildeo exibe soluccedilotildees para as raiacutezes
Natildeo tem portanto raiacutezes
Exerciacutecio Resolvido Problema 2
Determine as raiacutezes do polinocircmio dado por 430
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando que o valor de ∆ eacute dado pela expressatildeo 449 obtemos
e utilizando os valores dados por 458 em 450 obtemos as duas raiacutezes a partir da expressatildeo
( )( )6 4 6 4
2 2 1 2ibx
aminus minus plusmnminus plusmn ∆ plusmn
= = =
ou seja
Figura 410 Graacuteficos de funccedilotildees quadraacutetica exibindo duas uma e nenhuma raiz Fonte Cepa
4562 2 1 0i ix xminus + =
4571 22 12
x x= = =
4582 4 36 415 16 4b ac∆ = minus = minus = =
459
1
2
6 4 12
6 4 52
x
x
minus= =
+= =
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
67
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo QuadraacuteticaFinalmente lembramos que uma paraacutebola exibe um ponto no qual a variaacutevel y atinge um
valor maacuteximo (ou um valor miacutenimo) Qualquer que seja o caso (maacuteximo ou miacutenimo) esse
valor de y seraacute representado genericamente por ym
O valor da variaacutevel independente x para o qual ocorre o valor maacuteximo (ou miacutenimo) da
funccedilatildeo polinomial do segundo grau seraacute designado por xm Como a cada par de valores das
variaacuteveis corresponde um ponto no plano (x y) esse ponto mui especial da paraacutebola eacute aquele
para o qual as variaacuteveis satildeo dadas por
Esse ponto tem o nome de veacutertice da paraacutebola
Existe uma forma sistemaacutetica de determinar os pontos de maacuteximos e miacutenimos de um
polinocircmio do segundo grau Para isso reescrevemos a equaccedilatildeo do segundo grau utilizando a
forma 420 ou seja escrevemos
Da expressatildeo acima resulta que os maacuteximos ou miacutenimos da funccedilatildeo quadraacutetica ocorreratildeo
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parecircnteses do lado direito se anula
isto eacute para valores xm tais que
ou seja para
460( )m mx y
461
2
22 4by a xa a
∆ = + minus
46202mbxa
+ =
4632mbxa
= minus
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
68 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
Outro modo de determinar a abscissa do veacutertice eacute lembrar que havendo raiacutezes reais o
veacutertice se situa num ponto cuja abscissa eacute a meacutedia das coordenadas associadas agraves raiacutezes
ao passo que o valor de ym o valor do maacuteximo ou miacutenimo seraacute determinado substituindo-se em
461 o valor dado por 464 ou seja
Obtemos assim explicitamente
Assim os pontos de maacuteximo ou miacutenimo tecircm coordenadas dadas por
Os pontos de miacutenimo os veacutertices
das funccedilotildees quadraacuteticas 427 428 e
429 satildeo dados respectivamente por
No caso da funccedilatildeo
a abscissa do veacutertice (xv ) eacute dada por
4641 2
2 2mx x bx
a+
= = minus
465( )2
22 20
2 4 4 4m m mby y x a x aa a a a
∆ ∆ ∆ equiv = + minus = minus = minus
4662
4 4mby ca a
∆= minus + minus
Figura 411 Veacutertices das funccedilotildees quadraacuteticas Fonte Cepa
467( )2
2 4m mb bx y ca a
= minus minus +
468( ) ( )3 1 10 012 4
4692 6 5y x x= minus +
470( )( )
63
2 2 1vbxa
minus minusminus= = =
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
69
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
Enquanto de 466 temos que a coordenada ordenada do veacutertice ponto seraacute dada por
Exerciacutecio Resolvido Problema 3
A figura 412 apresenta o graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Escreva a equa-
ccedilatildeo que define a funccedilatildeo Determine as coordenadas do veacutertice
rarr Resoluccedilatildeo
Lembrando a forma geral da funccedilatildeo quadraacutetica y = ax2 + bx + c o problema
que se coloca eacute o de determinar os coeficientes a b e c
Da figura 412 inferimos que as raiacutezes satildeo x1 = minus1 e x2 = 3
Considerando agora a forma fatorada de uma funccedilatildeo polinomial do segundo
grau escrevemos
Resta-nos portanto determinar o valor do paracircmetro a Para isso observemos que o graacutefico corta o
eixo 0y no ponto (02) isto eacute para x = 0 temos y = 2
Donde inferimos que
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos
471( )16 4
4 4 1mya
minus∆ minus= = = minus
Figura 412 Graacutefico de uma funccedilatildeo quadraacutetica Fonte Cepa
472( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 3 2 3y a x x x x a x x a x x= minus minus = + minus = minus minus
( ) ( )20 2 0 20 3y a= = minus minus 473
23 23
a aminus = rArr = minus 474
( )22 2 33
y x x= minus minus minus 475
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
70 licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
TeRRa e uniVeRso fundamentos da matemaacutetica i
ou de modo equivalente
Para determinar a posiccedilatildeo do veacutertice em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada
lembramos primeiramente que a abscissa do veacutertice eacute essencialmente a meacutedia das abscissas das raiacutezes
Assim nesse caso obtemos
Da expressatildeo 466 que daacute o valor da ordenada associada ao veacutertice obtemos
Portanto o veacutertice eacute o ponto (1 8 3) Observe que neste caso a concavidade da paraacutebola eacute para baixo
e a funccedilatildeo admite um valor maacuteximo que eacute 83
Exerciacutecio Resolvido Problema 4Uma pessoa que construir um galinheiro de forma
retangular usando um muro reto jaacute construiacutedo como
um dos lados do galinheiro Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa determine os valores de x e z de modo que a aacuterea
do galinheiro seja a maior possiacutevel (possa abrigar o maior
nuacutemero possiacutevel de galinhas)
22 4 23 3
y x x= minus + + 476
1 2 1 3 4 122 2 2 23
mx x bx
a+ minus + minus minus
= = = = = minus
477
6489
24 343
ym a
minusminus∆= = =
minus
478
Figura 413 Fonte Cepa
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-
71
funccedilotildees polinomiais 4
licenciatura em Ciecircncias middot uspunivesp
rarr Resoluccedilatildeo
Tendo em vista que o galinheiro eacute retangular a sua aacuterea denominada y eacute dada pelo produto dos lados
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitaccedilatildeo imposta pela disponibilidade do
material agrave disposiccedilatildeo Assim escrevemos para a soma dos trecircs lados
Donde concluiacutemos que com o material existente a relaccedilatildeo entre os lados eacute dada por
Portanto escrevendo a aacuterea da construccedilatildeo em funccedilatildeo do comprimento do lado xobtemos
Como a lt 0 a concavidade da paraacutebola [que eacute o graacutefico de funccedilatildeo y = f (x)] eacute para baixo e a funccedilatildeo
admite um valor maacuteximo para o valor da abscissa dado por
Assim para esse valor de x o valor do outro lado seraacute
em metros dado por
Portanto para que o galinheiro tenha a aacuterea maacutexima
devemos ter
y xz= 479
60x z x+ + = 480
60 2z x= minus 481
Figura 414 Fonte Cepa
( ) 260 2 2 60 y x x x x= minus = minus + 482
( )60 15
2 2 2mbx xaminus minus
= = = =minus
483
( )60 2 60 2 15 30z x= minus = minus = 484
48515 metrosx = 30 metrosy =
- 41 Potenciaccedilatildeo
- 42 Funccedilotildees Polinomiais de grau n
- 43 Funccedilatildeo Polinomial do Segundo Grau ou Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 44 Anaacutelise da Forma Geral dos Graacuteficos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 45 Graacuteficos das funccedilotildees polinomiais
- 46 Raiacutezes das funccedilotildees polinomiais
- 47 Raiacutezes da Funccedilatildeo Quadraacutetica
- 48 Maacuteximos e Miacutenimos da Funccedilatildeo Quadraacutetica
-