O ENSINO DA GEOMETRIA POR MEIO DO TANGRAM NO 9º ANO ...
Transcript of O ENSINO DA GEOMETRIA POR MEIO DO TANGRAM NO 9º ANO ...
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ
COLEGIADO DE MATEMÁTICA
CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
ALINE CRISTINA PENAFORT MARTINS
GEOVANE DA SILVA MARQUES
JOSÉ CLEIDSON BARBOSA RAMOS
O ENSINO DA GEOMETRIA POR MEIO DO TANGRAM NO 9º ANO
DO ENSINO FUNDAMENTAL
SANTANA – AP
2015
ALINE CRISTINA PENAFORT MARTINS
GEOVANE DA SILVA MARQUES
JOSÉ CLEIDSON BARBOSA RAMOS
O ENSINO DA GEOMETRIA POR MEIO DO TANGRAM NO 9º ANO
DO ENSINO FUNDAMENTAL
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Universidade Federal do Amapá como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciatura Plena em Matemática, sob a orientação da Professora Naralina Viana Soares da Silva.
.
SANTANA – AP
2015
ALINE CRISTINA PENAFORT MARTINS
GEOVANE DA SILVA MARQUES
JOSÉ CLEIDSON BARBOSA RAMOS
O ENSINO DA GEOMETRIA POR MEIO DO TANGRAM NO 9º ANO
DO ENSINO FUNDAMENTAL
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado à Universidade Federal do Amapá
(UNIFAP), como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciatura Plena em
Matemática.
Aprovado em: ____/_____/_____
BANCA EXAMINADORA
Profª. Naralina Viana Soares da Silva
Orientadora
Profª. Simone de Almeida Delphin
Membro
Prof. Steve Wanderson Calheiros de Araújo
Membro
SANTANA – AP
2015
A Deus, às nossas famílias, aos mestres
e amigos pela vitória conquistada.
RESUMO
Este trabalho tem como principal objetivo apresentar o tangram como instrumento de
auxílio no ensino da geometria no 9º ano do ensino fundamental. As informações
existentes nesta obra foram adquiridas por meio de pesquisas bibliográficas e de
campo realizadas com alunos do 9º ano do ensino fundamental da Escola Estadual
Professora Joanira Del Castillo, no município de Santana, Estado do Amapá.
Desenvolvemos um estudo sobre a definição, origem, construção de alguns tipos de
tangrans e utilização dos mesmos em sala de aula. Além disso, aplicamos
questionários voltados aos discentes com intuito de analisar a forma de ensino de
geometria ministrado aos mesmos e apresentaremos algumas aplicações do referido
quebra-cabeça como recurso lúdico direcionado ao ensino da geometria, abordando
conceitos de área, perímetro, identificação de polígonos e composição de figuras.
Palavras-Chave: Geometria. Tangram. Lúdico. Matemática. Ensino.
RÉSUMÉ
Ce travail a pour objectif principal de présenter le tangram comme un instrument
auxiliaire dans l' enseignement de la géométrie dans la 9e année de l'école
élémentaire . Les informations contenues dans ce travail ont été acquises à travers la
littérature et de la recherche menée sur le terrain avec des élèves de 9e année de
l'école élémentaire à l' École d'État Professeur Joanira Del Castillo, dans la
municipalité de Santana, État d'Amapá . Nous développons une étude sur la définition,
l'origine, la construction de certains types de tangrans et leur utilisation dans la salle
de classe . En outre, nous questionnaires destinés aux élèves appliqué afin d'analyser
la géométrie de l'enseignement qui leur est donné et de présenter certaines
applications de ce casse-tête que l'appel dirigé vers le ludique enseignement de la
géométrie , abordant les concepts de surface, le périmètre , l'identification de polygone
et la composition des figures.
Mots-clés: Géométrie. Tangram. Ludique. Mathématiques. Éducation.
SUMÁRIO
Pg.
INTRODUÇÃO................................................................................................. 8
CAPÍTULO I – A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E O LÚDICO.......................... 9
1.1 A educação matemática............................................................................ 9
1.2 O lúdico...................................................................................................... 10
CAPÍTULO II – A ORIGEM DO TANGRAM E SUA UTILIZAÇÃO NO
ENSINO DA GEOMETRIA............................................................................... 11
2.1 Lendas sobre a criação do tangram........................................................... 11
2.2 A origem do tangram.................................................................................. 12
2.3 Tipos de tangram........................................................................................ 15
CAPÍTULO III – A UTILIZAÇÃO DO TANGRAM NO ENSINO DA
GEOMETRIA PARA ALUNOS DO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL... 21
3.1 A construção do tangram........................................................................... 21
3.2 Cálculo de área e perímetro....................................................................... 25
CAPÍTULO IV – APLICAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES EM SALA DE
AULA................................................................................................................ 31
CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................. 42
REFERÊNCIAS................................................................................................ 43
8
INTRODUÇÃO
Através de observações em aulas de matemática do ensino fundamental e
médio decorrentes das disciplinas de oficinas de laboratório de matemática I e II do
curso de licenciatura plena em matemática - UNIFAP, percebemos que são poucos
os recursos utilizados pelos professores durante a ministração das aulas, a saber:
quadro, giz e livros didáticos. Por conta disso, decidimos abordar neste trabalho a
utilização do tangram como objeto de auxílio no ensino da geometria para alunos do
9º ano do ensino fundamental.
Esta obra foi desenvolvida em quatro capítulos e o primeiro deles trata da
educação matemática e o lúdico, onde fazemos um apanhado das principais
características da educação matemática e a utilização de jogos e brincadeiras como
instrumento de auxílio ao professor durante o ensino dessa disciplina.
O segundo capítulo apresenta a origem do tangram e sua utilização no ensino
da geometria. De maneira objetiva apresentaremos as lendas sobre a criação do
tangram, a origem deste quebra-cabeça a partir de relatos históricos e os tipos de
tangrans criados a partir do modelo tradicional.
No terceiro capítulo desta obra abordaremos a utilização do tangram no
ensino da geometria para alunos do 9º ano do ensino fundamental, onde será
ensinada passo a passo a construção desse material lúdico e serão apresentadas
propostas de atividades de cálculo de área de figuras plana, perímetro e composição
de figuras a partir de modelos preestabelecidos.
Por fim, no quarto capítulo, apresentaremos a aplicação e análise das
atividades em sala de aula. As informações foram obtidas por meio de pesquisas
experimentais que se desenvolveram através de uma abordagem quantitativa e
qualitativa, cuja coleta de dados se deu pela aplicação de questionários antes e após
as atividades realizadas com os alunos. Ainda, mostraremos como colocamos em
prática uma oficina pedagógica e os resultados obtidos a partir da aplicação do
quebra-cabeça tangram com os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental da Escola
Estadual Professora Joanira Del Castillo, localizada no município de Santana no
Estado do Amapá.
9
CAPÍTULO I - A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E O LÚDICO
1.1 A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
A matemática sempre foi uma disciplina temida, com altos índices de
reprovação e poucos adeptos. Todavia, as novas formas de ensino baseadas em
jogos, brincadeiras e a utilização de recursos tecnológicos têm tornando essa área do
conhecimento mais significativa aos discentes e atraído aqueles que possuíam
aversão a ela.
Naturalmente o estudo da matemática é algo complexo, visto que além das
regras, fórmulas e teoremas existentes, há grande exigência da capacidade de
interpretação textual e habilidade de manipulação de dados. Assim, aliando esses
requisitos a um ensino baseado em repetições, que levam o aluno à exaustão, e à
dificuldade de aprendizado, temos números consideráveis de reprovações e
desinteresse por essa disciplina.
Atualmente, o ensino da matemática assumiu três características importantes
para o aprendizado do aluno, a saber: a relação da disciplina com situações do
cotidiano, a introdução de brincadeiras e jogos que facilitam o processo de ensino-
aprendizagem e a utilização de novas tecnologias (computador, aplicativos, robótica
educacional etc.) que façam com que o educando compreenda os problemas
propostos e selecione a melhor maneira de solucioná-los. É notório que o aluno que
desenvolve diferentes modos de interpretar e analisar um determinado problema
torna-se motivado e almeja aprender mais mesmo que sejam conteúdos,
considerados por eles, pouco atrativos.
Os professores que apenas trabalham de maneira tradicional (fazendo uso de
lousa, giz e “bombardeio” de exercícios) contribuem para que a disciplina tenha uma
rejeição muito elevada por parte dos alunos e possuem dificuldade em explicar os
conteúdos programáticos aos discentes. Alsina i Pastells (2009, p.10) afirma que:
“Talvez permaneçam ainda alguns mestres que não aceitem e fiquem surpresos com o fato de mesclar a matemática, um corpo de conhecimento rígido, rigoroso e exato, com diversão e entretenimento que implica o jogo, porém, em nosso entender, há cada vez mais profissionais que compartilham a ideia de que se o jogo for utilizado de forma programada e sistemática, é possível ajudar os alunos a interiorizar conhecimentos matemáticos que, com uma metodologia tradicional, passariam despercebidos. ”
10
Para que o ensino da matemática venha assumir um caráter inovador e as
aulas ganhem a atenção dos alunos, o educador deve trabalhá-las no ambiente
escolar, ou fora dele, de maneira prazerosa a fim de que o educando não veja essa
disciplina como um apanhado de fórmulas e regras sem sentido algum, mas como
parte imprescindível na construção do conhecimento e instrumento aplicável em
diversos seguimentos da sociedade e presente em diversas situações do nosso dia a
dia, pois segundo Carraher (1999, p.11), “A matemática é ensinada na escola e
aprendida dentro e fora da escola”.
1.2 O LÚDICO
A palavra lúdico vem do latim ludus e significa brincar. Nesse sentido, as
atividades lúdicas são ações que proporcionam diversão, entretenimento e
desenvolvimento do raciocínio lógico das pessoas envolvidas; podendo ser uma
brincadeira, um jogo ou outra atividade que promova interação, cooperação, troca de
experiência e busca de informações. Para Piaget (1973):
“(...) os jogos e as atividades lúdicas tornam-se significativas à medida que a criança se desenvolve com a livre manipulação de materiais variados; ela passa a reconstruir, reinventar as coisas, o que já exige uma adaptação mais completa. Essa adaptação só é possível a partir do momento em que ela própria evolui internamente, transformando essas atividades lúdicas, que é o concreto da vida dela, em linguagem escrita, que é o abstrato. ”
A matemática associada ao lúdico envolve o aluno em um processo de
aprendizagem significativa, haja vista que os meios tradicionais de ensino baseados
em exaustivas repetições de informações e exercícios maçantes dão lugar a jogos
matemáticos que viabilizam ao educando um ambiente motivador, agradável e
significativo. Dessa forma, o estudo da matemática acontece de maneira
enriquecedora, fazendo com que o próprio aluno se esforce e use os recursos lúdicos
disponibilizados pelo professor para criar seus próprios conceitos e concepções sobre
álgebra, raciocínio lógico, geometria, entre outros campos da matemática. Smole
(2000, p.63) afirma que:
“No seu processo de desenvolvimento, a criança vai criando várias relações entre objetos e situações vivenciadas por ela em sentindo a necessidade de solucionar um problema, de fazer uma reflexão, estabelece relações cada vez mais complexas que permitirão desenvolver noções matemáticas mais e mais sofisticadas. ”
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) (1998, p. 47),
as atividades de jogos permitem ao professor analisar e avaliar os seguintes aspectos:
11
Compreensão: facilidade para entender o processo do jogo assim como
o autocontrole e o respeito a si próprio;
Facilidade: possibilidade de construir uma estratégia vencedora;
Possibilidade de descrição: capacidade de comunicar o procedimento
seguido e da maneira de atuar, e
Estratégia utilizada: capacidade de comparar com as previsões ou
hipóteses.
A escolha do jogo, pelo professor, deve ser feita considerando a dificuldade
apresentada pela turma durante o processo de ensino-aprendizagem da matemática
e o professor, assumindo o caráter de mediador, permite que a turma investigue,
socialize informações e aprenda de uma forma significativa.
CAPÍTULO II – A ORIGEM DO TANGRAM E SUA UTILIZAÇÃO NO ENSINO DA
GEOMETRIA
2.1 LENDAS SOBRE A CRIAÇÃO DO TANGRAM
Existem várias histórias distintas sobre a criação do tangram, mas dentre as
principais temos:
O mensageiro e o imperador
"Há cerca de 4000 anos atrás, um mensageiro partiu o espelho quadrado do imperador Tan, quando o deixou cair ao chão. O espelho partiu-se em sete pedaços. Preocupado, o mensageiro foi juntando as sete peças, a fim de remontar o quadrado. Enquanto tentava resolver o problema, o mensageiro criou centenas de formas de pessoas, animais, plantas, até conseguir refazer o quadrado. ” (Em: < http://mentesirrequietas.blogspot.com.br/2011/11/lenda-do-tangram-yu-e-o-deus-trovao.html>. Acesso em: 12 junho 2015.)
O discípulo e o mestre
"Um jovem chinês despedia-se do seu mestre para fazer uma grande viagem pelo mundo. Nessa ocasião, o mestre entregou-lhe um espelho de forma quadrada e disse: -Com esse espelho, registarás tudo o que vires durante a viagem para me mostrares na volta. O discípulo, surpreso, indagou: -Mas mestre, como poderei mostrar- -lhe, com um simples espelho, tudo o que encontrar durante a viagem?
12
No momento em que fazia essa pergunta, o espelho caiu-lhe das mãos e quebrou-se em sete peças. Então o mestre disse: - Agora poderás, com essas sete peças, construir figuras para ilustrar o que viste durante a viagem." (Em: < http://mentesirrequietas.blogspot.com.br/2011/11/lenda-do-tangram-yu-e-o-deus-trovao.html>. Acesso em: 12 junho 2015.)
O Sr. Tan e o azulejo
"Era uma vez, num país muito distante, um senhor chinês chamado Tan. O senhor Tan vivia num palácio dourado, junto de um lago. O que ele mais adorava era passear à volta do lago durante horas a fio. Um dia, enquanto vagueava no meio dos juncos, viu no chão um objeto brilhante. Baixou-se e descobriu um magnífico azulejo de prata. Apanhou-o e admirou-o: o azulejo era liso como a superfície do lago, macio como uma pluma, brilhante como o seu traje. Quis virá-lo, mas infelizmente o lindo azulejo escapou-lhe das mãos e partiu-se no chão em 7 pedaços. O senhor Tan, desiludido, tentou reconstituí-lo e juntando as peças criou a forma de uma pequena personagem. Deslocou mais umas peças e, para seu espanto, formou-se uma linda casa. O senhor Tan regressou ao palácio muito entusiasmado por ter inventado um novo jogo. Batizou-o de TANGRAM e mandou fabricar um para cada habitante do seu reino!" (Em: < http://mentesirrequietas.blogspot.com.br/2011/11/lenda-do-tangram-yu-e-o-deus-trovao.html>. Acesso em: 12 junho 2015.)
Yu e o deus do trovão
“Há muitos milhares de anos atrás, Yu, o Grande Dragão, viveu entre os humanos. Estes veneravam-no porque ele era 'yang', bom, e estava sempre pronto a ajudá-los. Um dia o deus do trovão, numa explosão de raiva, com ciúmes das ofertas que os homens tinham levado a Yu, esmagou o céu com seu machado. Então, o céu caiu sobre a Terra em sete peças pretas como o carvão e a luz desapareceu levando consigo todas as coisas existentes. No início Yu sentiu-se triste pelo mal que tinha acontecido ao mundo, mas depois sentiu-se nostálgico. Decidiu então recolher as sete peças pretas do céu e, em memória do antigo mundo, começar a montar vários tipos de formas: animais, plantas e seres humanos que haviam desaparecido. Mas depois de terminar cada uma das formas, a sua sombra abandonava-as para vaguear pelo mundo deserto a lamentar-se da sua má sorte. Estas lamentações chegaram aos ouvidos do Deus do Trovão que ficou impressionado e, para remediar o dano que havia causado, criou, para cada uma das sombras, o ser vivo correspondente, para que pudessem repovoar a Terra. Diz-se que a partir desse momento a nossa sombra segue fielmente todos os movimentos que fazemos. Diz-se também que com os sete pedaços do céu, chamados Qi Qiao Ban (literalmente "sete tábuas da astúcia"), tudo na Terra ainda pode ser moldado ". (Em: < http://mentesirrequietas.blogspot.com.br/2011/11/lenda-do-tangram-yu-e-o-deus-trovao.html>. Acesso em: 12 junho 2015.)
2.2 A ORIGEM DO TANGRAM
O tangram é uma espécie de quebra-cabeça chinês constituído de sete peças
e de origem milenar. Foi levado pelos chineses para o ocidente por volta da metade
13
do século XIX e alguns anos depois passou a ser conhecido por povos de várias
regiões do mundo.
Os primeiros registros sobre tangram encontram-se em um livro datado de
1813 de um escritor chinês que possui o pseudônimo Yang Cho Chu Shi e que
possivelmente foi escrito na época em que o imperador Chia Ch’ing (1796 – 1820)
governava na China. Todavia, existem outras versões que datam a origem do quebra-
cabeça no período da dinastia Tang (618 – 907), de onde derivaria seu nome.
Figura 1: primeiros registros sobre tangram.
Fonte: http://uwbk.com.br/cultura/82-geijutsu-artes-refinadas/255-tangram.
Há diversas versões sobre a origem da palavra ocidental tangram, sendo que
uma das mais acolhidas teve origem da união do vocábulo cantonês “Tang” que
significa China, com o vocábulo latino “gram” que significa gráfico ou escritura. Ainda,
a palavra tangram teve sua primeira utilização no livro “Puzzles to Teach Geometry”
do Dr. Thomas Hill em 1848.
Após a impressão do primeiro livro um homem de pseudônimo Sang Hsia Ko,
que significa morador debaixo da amoreira, reuniu várias figuras em uma segunda
obra datada em 1817 e conhecida por Qui Qiao Tu He Pi (livro harmoniosamente
combinado dos problemas de tangram). Em 1916 duas cópias desse livro foram
levados à Filadélfia e posteriormente difundidas pela América e Europa.
14
Figura 2: livro de Sang Hsia Ko.
Fonte:http://uwbk.com.br/cultura/82-geijutsu-artes-refinadas/255-tangram.
No ano de 1780 o artista e pintor japonês Kitagawa Utamaro criou uma
xilogravura que apresenta duas cortesãs procurando solucionar um quebra-cabeça,
provavelmente o jogo chinês tangram.
Figura 3: pintura de Kitagawa Utamaro.
Fonte:http://uwbk.com.br/cultura/82-geijutsu-artes-refinadas/255-tangram.
O tangram conquistou uma grande quantidade de admiradores, como Edgar
Allan Poe (autor, poeta, editor e crítico literário americano), Lewis Carroll (romancista,
poeta e matemático inglês), Thomas Edison (inventor e empresário americano) e
Napoleão Bonaparte (líder político e militar francês).
15
2.3 TIPOS DE TANGRAM
Além do tangram tradicional ou chinês, existem outras variações que são
constituídas por partes curvas ou números distintos de peças que permitem a
elaboração de uma grande variedade de formas.
Tangram mínimo de Brügner
Em 1987 o matemático alemão G. Brügner criou um tipo de tangram formado
por 3 triângulos retângulos que pode ser utilizado para muitas atividades em sala de
aula, desde reconhecimento de polígonos até cálculo de perímetro e área.
Figura 4: tangram mínimo de Brügner.
Fonte: https://www.iconshut.com.
Tangram de 4 peças
Formado a partir de um quadrado, o tangram de 4 peças é constituído por 3
triângulos retângulos isósceles e 1 quadrado.
16
Figura 5: tangram de 4 peças.
Fonte: os autores.
Tangram de 5 peças
Formado a partir de um quadrado, o tangram de 5 peças é constituído por 4
triângulos retângulos isósceles e 1 paralelogramo.
Figura 6: tangram de 05 peças.
Fonte:http://noeliapdiver4.blogspot.com.br/2014/11/tangram.html.
Tangram de Fletcher
Originado a partir de um quadrado, o tangram de Fletcher é constituído por 4
triângulos retângulos isósceles, 2 quadrados e 1 paralelogramo.
17
Figura 7: tangram de Fletcher.
Fonte: http://noeliapdiver4.blogspot.com.br/2014/11/tangram.html.
Tangram russo
Formado a partir de um quadrado, o tangram russo é constituído por 6
triângulos retângulos isósceles, 2 trapézios isósceles, 1 triângulo retângulo isósceles,
2 trapézios retângulos e 1 quadrado.
Figura 8: tangram russo.
Fonte: http://noeliapdiver4.blogspot.com.br/2014/11/tangram.html.
Tangram pitagórico
Produzido a partir de um quadrado, o tangram de pitagórico, além de ser
utilizado para representação de figuras é utilizado para demonstração do teorema de
18
Pitágoras e é constituído por 2 triângulos retângulos isósceles, 4 trapézios retângulos
e 1 pentágono irregular.
Figura 9: tangram pitagórico.
Fonte: http://noeliapdiver4.blogspot.com.br/2014/11/tangram.html.
Tangram triangular
Sendo outra forma de tangram, o tangram triangular é constituído por 2
triângulos equiláteros, 2 paralelogramos, 3 trapézios isósceles e 1 hexágono regular.
Figura 10: tangram triangular.
Fonte: http://noeliapdiver4.blogspot.com.br/2014/11/tangram.html.
19
Tangram circular
O tangram circular é um quebra-cabeça que permite a exploração de
atividades com setores circulares e a elaboração de um a grande variedade de figuras
que possuem a circunferência em sua composição. O tangram circular é formado por
setores circulares, semicírculos e polígonos.
Figura 11: tangram circular.
Fonte:http://sabrinamatematica.blogspot.com.br/2014/03/tangram-circular-10-piezas.html.
Figura 12: tangram circular.
Fonte:https://profmate.wordpress.com/2014/03/14/galeria-circular/.
O tangram não é utilizado apenas como entretenimento, mas também, na
psicologia, desenho, filosofia e particularmente na pedagogia. Na matemática é usado
para introduzir os conceitos de geometria plana e para desenvolver as capacidades
20
psicomotoras e intelectuais das crianças, pois de forma lúdica relaciona a
manipulação de materiais com a formação de ideias.
Segundo Smole (2003, p. 97), “O tangram como material de ensino de
geometria, auxilia, tem dupla função, serve de meio para introduzir algumas noções e
relações geométricas e desenvolve habilidades de percepção espacial”. O desafio
proposto ao desenvolver o quebra-cabeça é recompor formas geométricas mudando
as sete peças de posição e colocar lado a lado sem sobreposição, possibilitando a
criação e montagem de várias figuras como: letras, animais, pessoas, objetos, figuras
geométricas e outros. Esse jogo, apesar de aparentemente simples, possui uma
enorme riqueza em sua proporção.
O tangram utilizado corretamente como recurso no ensino da matemática,
pelo docente em sala de aula, tem potencial para atrair a atenção do discente e
promover uma aprendizagem significativa. Geralmente o tangram é utilizado no ensino
das formas geométricas, mas é possível trabalhar outros conteúdos matemáticos com
a utilização deste recurso lúdico, a saber: ângulos, nome dos polígonos, diagonal,
paralelismo e perpendicularidade, ponto médio, segmento de reta, simetria, números
inteiros e fracionários, porcentagem, decomposição de figuras geométricas etc.
O uso desse quebra-cabeça como recurso didático possibilita mudar a rotina
da aula cotidiana, atraindo a atenção dos alunos e fazendo com que os mesmos
tenham um melhor rendimento no conteúdo ministrado. Nesse sentido, Laranjeira
(1997, p.37) argumenta que o recurso didático em questão, se bem utilizado em sala
de aula, “estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o
desenvolvimento da capacidade para resolver problemas”.
Segundo Landulfo (2007) “o tangram é um material favorável ao cumprimento
de tarefas de pesquisa que proporcionam o desenvolvimento de competências de
elevado nível, como: conjecturar, discutir, prever, entre outras. ”. As atividades a
serem desenvolvidas com o tangram poderão ter maior êxito quanto maior for o
conhecimento acerca deste material, principalmente por sua construção e a relação
existente entre as suas peças.
A exploração feita em torno deste material poderá ter maior ou menor
profundidade, de acordo com o nível de conhecimentos que os alunos têm ou os
objetivos que se busca alcançar. O uso deste recurso tem aumentado
21
substancialmente por professores de geometria, sendo utilizado como aliado no
ensino da disciplina, pois pode-se trabalhar com o aluno o raciocínio lógico com o
objetivo central de aguçar a capacidade de análise e conclusões lógicas. No estudo
da geometria, por exemplo, Neto (2006, p. 190) defende que:
“O ensino da Geometria possui três grandes objetivos: conteúdo, formação e demonstração. O conteúdo é de grande utilidade prática e presente no nosso cotidiano de forma intensa; a formação de um adulto com a visão de espaço e suas propriedades é muito importante; mas, talvez, o objetivo maior seja a
formação de um ser racional capaz de analisar e tirar conclusões lógicas. ”
Portanto, apesar das figuras do tangram darem a impressão de simplicidade,
a sua montagem pode proporcionar uma enorme riqueza de aprendizado, desde que
o professor o utilize com dedicação e sabedoria. O jogo pode ser desenvolvido
individualmente ou em grupo, auxiliando os professores na exploração de conceitos
geométricos de uma maneira agradável e motivadora, sendo um excelente
instrumento de apoio ao seu trabalho.
CAPÍTULO III – A UTILIZAÇÃO DO TANGRAM NO ENSINO DA GEOMETRIA
PARA ALUNOS DO 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL
As atividades lúdicas permitem ao professor promover um ambiente que
facilite a formulação de conjecturas e modelagem matemática por parte dos alunos,
gerando maior interesse e participação dos mesmos nas atividades desenvolvidas em
sala de aula. Nesse sentido, propomos o desenvolvimento de uma oficina pedagógica
de matemática baseada na utilização do tangram como instrumento facilitador do
ensino de conteúdos de geometria para alunos do 9º ano do ensino fundamental; cujos
assuntos trabalhados são: área, perímetro, visualização e representação de figuras
geométricas planas.
3.1 A CONSTRUÇÃO DO TANGRAM
Esta atividade tem por objetivo oferecer ao aluno a possibilidade de
exploração de conceitos geométricos básicos como: pontos, segmentos, diagonal,
vértices, retas paralelas e perpendiculares, reconhecimento dos ângulos das figuras
e identificação das peças que compõem o tangram. Considerando que a maioria dos
professores propõe atividades com peças prontas, ensinaremos os alunos o processo
22
de construção do tangram como forma de ambientá-los à oficina proposta e aumentar
o interesse dos mesmos em relação ao estudo da geometria.
A construção das peças do tangram pode ser realizada de diversas formas:
com régua, compasso ou dobraduras no papel. Permitir que os alunos tenham a
habilidade de construir este recurso didático com suas próprias mãos constitui um
relevante aspecto no processo de ensino-aprendizagem da geometria, haja vista que
o educando se torna íntimo daquilo que será explorado.
Diversos materiais podem ser utilizados para a construção do tangram, como:
papel, papelão, isopor, madeira, etileno acetato de vinila (E.V.A.) etc. Todavia, antes
de demonstrarmos a construção do tangram é importante destacar algumas
características de sua estrutura geométrica, tais como podemos observar a partir da
figura abaixo:
Figura 13: tangram tradicional ou chinês.
Fonte: http://aulatangram.blogspot.com.br/.
Ao analisarmos a figura, percebemos que:
O ponto E é ponto médio do segmento BJ;
O ponto I é ponto médio do segmento HJ;
O ponto F é ponto médio do segmento HD;
O ponto C é ponto médio do segmento BD;
O segmento BH constitui a diagonal do quadrado ABHJ;
O segmento AD constitui a metade da diagonal AJ do quadrado ABHJ;
O segmento DG constitui a quarta da diagonal AJ do quadrado ABHJ, e
23
Os segmentos FI, DG, CG, IG, CD, FH, GE, BC são iguais.
Veremos a seguir a construção passo a passo de um tangram com a utilização
de um papel quadriculado.
Desenhe um quadrado com 10 cm de lado.
Figura 14: papel quadriculado.
Fonte:https://nadjafavero.wordpress.com/2013/06/04/utilizando-tangran/.
Trace uma das diagonais do quadrado e o segmento de reta que une os
pontos médios de dois lados consecutivos do quadrado; este segmento deve ser
paralelo à diagonal que acabou de ser traçada.
Figura 15: diagonais.
Fonte:https://nadjafavero.wordpress.com/2013/06/04/utilizando-tangran/.
Desenhe a outra diagonal do quadrado até a segunda linha.
24
Figura 1: diagonal perpendicular.
Fonte:https://nadjafavero.wordpress.com/2013/06/04/utilizando-tangran/.
Trace o segmento de reta conforme a figura. Observe que este segmento é
paralelo a dois lados do quadrado.
Figura 2: segmento de reta.
Fonte:https://nadjafavero.wordpress.com/2013/06/04/utilizando-tangran/.
Finalmente você terá o molde pronto, podendo assim, transferir para outro
material como isopor, cartolina, papel cartão, E.V.A. e recorte as 7 peças.
25
Figura 3: molde pronto.
Fonte:http://www.espacoeducar.net/2011/07/modelos-e-moldes-de-tangram-para.html.
Recortando as sete peças do tangram teremos 2 triângulos grandes, 1
triângulo médio, 2 triângulos pequenos, 1 quadrado e 1 paralelogramo.
Figura 4: tangram finalizado.
Fonte:http://www.espacoeducar.net/2011/07/modelos-e-moldes-de-tangram-para.html.
3.2 CÁLCULO DE ÁREA E PERÍMETRO
Cálculo de área
Para a matemática, área é a superfície compreendida dentro de um perímetro,
cuja unidade de medida mais conhecida, e a mais utilizada, é o metro quadrado (m2).
26
Existem várias formas de calcular a área das diversas figuras geométricas como os
triângulos, os quadriláteros, os círculos e as elipses.
Tendo como pressuposto explorar noções de área e conceitos lógicos e com
o intuito de desenvolver a capacidade de assimilação e o raciocínio lógico do aluno,
desenvolveremos atividades com o auxílio direto do material proposto (tangram) para
que os alunos possam verificar quantas vezes uma grandeza tomada como unidade
de medida cabe na outra e compreendam que a medida envolve a comparação entre
duas grandezas da mesma natureza.
Atividade I
Após o manuseio do tangram, solicitaremos aos alunos que verifiquem, por
sobreposição, quantas vezes uma peça de mesmo tamanho se encaixa em outra de
tamanho maior.
Essa atividade permite que os alunos comprovem que o triângulo pequeno
cabe duas vezes no quadrado. Logo, para comprovar que a área do quadrado equivale
a duas vezes a área do triângulo pequeno utilizamos as fórmulas que permitem
encontrar as áreas do triângulo e do quadrado.
Quadrado: Área = lado x lado Área = 5 cm x 5 cm Área = 25cm2
Triângulo: Área = (base x altura) / 2 Área = (5cm x 5cm) / 2 Área =
12,5cm2
Atividade II
Solicitaremos aos alunos que observem as peças do tangram e verifiquem as
seguintes situações:
Se o quadrado, o paralelogramo e o triângulo médio podem ser cobertos
pelos dois triângulos pequenos.
Exemplo:
27
Figura 5: triângulos sobrepostos ao paralelogramo.
Fonte: os autores.
Se o triângulo maior pode ser coberto pelo quadrado e pelos dois
triângulos pequenos.
Exemplo:
Figura 6: quadrado e triângulos pequenos sobrepostos ao triângulo maior.
Fonte: os autores.
Se o triângulo maior pode ser coberto pelo paralelogramo e pelos dois
triângulos pequenos.
Exemplo:
28
Figura 7: paralelogramo e triângulos pequenos sobrepostos ao triângulo maior.
Fonte: os autores.
Atividade III
Apresentaremos algumas figuras aos alunos com a utilização das peças do
tangram e perguntaremos aos mesmos qual é a figura de maior área.
Figura 8: figuras com as peças do tangram.
Fonte: http://moodle2.rockyview.ab.ca/mod/book/tool/print/index.php?id=51560.
Como todas as figuras são compostas pelas sete peças do tangram, então
todas possuem áreas idênticas.
29
Cálculo de perímetro
Perímetro é a medida do contorno de uma determinada área. Assim, para
calcular o valor desta medida basta somar o valor de todos os lados desta figura.
A partir de alguns exercícios de cálculo de perímetro solicitaremos aos alunos
que identifiquem o perímetro de cada peça do tangram e informem se é possível ter
perímetros diferentes usando peças semelhantes do tangram.
Atividade I
Utilizando uma régua solicitaremos aos alunos que calculem o perímetro de
cada uma das figuras que compõem o tangram e, logo em seguida, respondam quais
as figuras que possuem maior e menor perímetro.
Figura 9: medidas das peças de um tangram.
Fonte:http://pacoelchato.com/tareas/ayuda-para-tu-tarea-de-sexto-grado-desafios-matematicos-juego-con-el-tangram/.
Atividade II
Requisitaremos aos alunos que utilizem os dois triângulos pequenos do
tangram e verifiquem se é possível construir duas figuras geométricas com perímetros
diferentes.
Exemplo:
30
Figura 10: composição de figuras.
Fonte: os autores.
Atividade III
Solicitaremos aos alunos que montem figuras de acordo com a imaginação de
cada um com uso das peças do tangram; podendo ser figuras de animais, pessoas,
objetos, letras ou o que mais eles imaginassem. No entanto, estipularemos regras
para esta montagem: eles não poderão colocar uma peça sobre outra e terão,
obrigatoriamente, que usar as sete peças do quebra-cabeça.
Esta atividade além de explorar os objetivos de um trabalho em grupo permite
o desenvolvimento da criatividade dos alunos e, por outro lado, desmistificam a ideia
de que as atividades iniciais com o tangram devam ser, necessariamente, as de
composição das peças a partir de modelos prontos (gabaritos).
Com os alunos já familiarizados com as peças do tangram, através das
construções livres, forneceremos modelos de figuras com os contornos das peças do
quebra-cabeça para que os discentes montem as figuras usando as sete peças
existentes. O objetivo é analisar o reconhecimento das figuras geométricas por cada
um e a associação de cada peça com o modelo dado.
Exemplo:
31
Figura 11: figuras formadas com as peças do tangram.
Fonte: http://www.clipartbest.com/clipart-niBk4o6iA.
CAPÍTULO IV – APLICAÇÃO E ANÁLISE DAS ATIVIDADES EM SALA DE AULA
Depois de termos planejado e preparado a execução da oficina pedagógica
sobre tangram, no dia 24 de junho de 2015 realizamos a aplicação da mesma a alunos
da turma 822 (9º ano) da Escola Estadual Joanira Del Castillo, das 13h00min às
14h40min sob supervisão do professor Gerson.
Chegamos por volta das 12h40min e solicitamos à coordenadora pedagógica
da escola, Roseli Santos, que nos permitisse organizar a sala onde iríamos
desenvolver a pesquisa. Em seguida, o professor nos apresentou à turma que é
composta de 35 alunos, sendo que neste dia foram apenas 26 (10 homens e 16
mulheres).
No primeiro contato com a turma nos apresentamos, expomos os objetivos do
nosso trabalho e distribuímos um questionário aos alunos com as seguintes
perguntas:
Você acha que os jogos ajudam no ensino da matemática, ou servem
apenas como diversão?
32
Gráfico 1: opinião dos alunos sobre a utilização dos jogos no ensino da matemática.
Fonte: os autores.
Você já ouviu falar em tangram?
Gráfico 2: conhecimento dos alunos sobre tangram.
Fonte: os autores.
33
Durante os estudos de geometria, ficaram claros os conceitos de área e
perímetro?
Gráfico 3: diagnóstico obtido pré-oficina.
Fonte: os autores.
Figura 12: alunos respondendo ao primeiro questionário.
Fonte: os autores.
Inicialmente falamos da origem do tangram, de suas várias versões e do
significado termo tangram, haja vista que alguns alunos nunca tinham ouvido falar a
respeito; outros já ouviram falar, mas não sabiam o que era nem para que servia.
Em seguida, apresentamos os conteúdos de matemática que iríamos
trabalhar com o uso do tangram e demos início às orientações para construção, pelos
alunos, desse material. Desde o princípio da construção do tangram abordamos
34
diversos assuntos como: retas paralelas e perpendiculares, ângulos, diagonais,
vértices, ponto médio, reconhecimento e compreensão das figuras geométricas
planas que compõem este importantíssimo recurso didático.
Figura 13: aluna construindo o tangram.
Fonte: os autores.
Durante a confecção do tangram os alunos mostraram-se bem atenciosos,
participativos e solidários uns com os outros. Em seguida, quando cada aluno já
estava com seu tangram em mãos, começamos a explicar sobre os conteúdos
geométricos que podem ser trabalhados com o auxílio do referido material.
Iniciamos, assim, o estudo de área com um conceito intuitivo aos alunos e
com o objetivo de estudar tal assunto por meio do tangram, primeiramente realizamos
comparação dentre figuras geométricas no sentido de verificar quantas vezes uma
“cabe” na outra e em seguida utilizamos as fórmulas matemáticas para cálculo de
áreas de figuras geométricas planas visando a comprovação dos resultados. Várias
atividades foram desenvolvidas em sala de aula e os educandos tornaram-se, à
medida que a oficina ia se desenvolvendo, mais participativos e entusiasmados.
35
Figura 14: alunas resolvendo atividade sobre áreas.
Fonte: os autores.
Com o uso da régua os alunos puderam calcular o perímetro das sete peças
do tangram e relacioná-las com o objetivo de saber qual delas teria o maior e o menor
perímetro. No decorrer das atividades notamos que a execução estava ajudando no
conhecimento matemático dos discentes, pois ouvimos os seguintes comentários por
parte deles: “estou gostando de fazer esses cálculos pela primeira vez”, “se o
professor fizesse assim seria melhor”.
Figura 15: aluna resolvendo atividade sobre perímetro.
Fonte: os autores.
Toda essa atmosfera de atividades práticas estava estimulando os alunos a
participarem, encontrar soluções e, consequentemente, socializarem entre o porquê
de respostas corretas correspondentes ao questionário aplicado:
36
Com quais peças podemos cobrir o quadrado?
Com quais peças podemos cobrir o triângulo maior?
Usando apenas o triângulo menor, quantos são necessários para cobrir o
quadrado, o triângulo médio, o triângulo maior e o paralelogramo?
É possível montar um trapézio com as peças do tangram?
Das sete peças, qual é a de maior área? E a de menor área?
Utilize uma régua e calculadora, e indique o perímetro de cada uma das
sete peças e logo em seguida responda qual é a de maior perímetro? E a
de menor perímetro?
Utilizando os dois triângulos pequenos e o paralelogramo, é possível
construir duas figuras com perímetros diferentes? E quanto às áreas, é
possível que contenham as mesmas peças e tenham áreas diferentes?
De todas as figuras que conseguiu montar com as sete peças, qual é a
figura de maior área?
Observamos, assim, que a oficina pedagógica com o uso do tangram seguia
da maneira que esperávamos, com a participação, socialização e entendimento dos
assuntos por parte dos educandos.
Com o objetivo de mostrar aos alunos algumas curiosidades, levamos
imagens do tangram no nosso dia a dia como: estantes, armários e mesas.
Figura 16: prateleira feita com peças do tangram.
Fonte: http://professoraclaudelice.blogspot.com.br/p/aulas.html.
37
Figura 17: mesa feita com as peças do tangram.
Fonte: http://professoraclaudelice.blogspot.com.br/p/aulas.html.
Por fim, explicamos que existem diversas variações de tangram e trabalhamos
a criatividade e o raciocínio lógico dos alunos a partir de uma atividade lúdica baseada
na representação de figuras com a utilização das peças do tangram.
Figura 18: aluno realizando uma tarefa.
Fonte: os autores.
Com a pesquisa concluída, precisávamos verificar se o estudo ocorreu de
forma positiva, ou seja, se a utilização de atividades lúdicas contribui para ensino da
matemática e se o ensino por meio do tangram facilita o entendimento de assuntos
relacionado à geometria.
38
Com o intuito realizar uma análise criteriosa a respeito do desempenho dos
alunos durante o trabalho com o tangram, aplicamos um questionário pós-oficina que
possuía os seguintes questionamentos:
O que você achou do projeto sobre o estudo da geometria por meio do
tangram?
Gráfico 4: opinião dos alunos quanto ao uso do tangram no ensino da geometria.
Fonte: os autores.
Como você avalia o desempenho dos acadêmicos que desenvolveram as
atividades em sua turma?
Gráfico 5: opinião dos alunos sobre o desempenho dos acadêmicos.
Fonte: os autores.
39
O ensino por meio do tangram facilitou no entendimento da geometria? De
que maneira?
Gráfico 6: opinião dos alunos sobre a compreensão dos assuntos ministrados com o uso do tangram.
Fonte: os autores.
Você compreendeu a explicação sobre o estudo de área de figuras planas
com o uso do tangram?
Gráfico 7: diagnóstico obtido pós-oficina (área).
Fonte: os autores.
40
Você compreendeu a explicação sobre o estudo de perímetro de figuras
planas com o uso do tangram?
Gráfico 8: diagnóstico obtido pós-oficina (perímetro).
Fonte: os autores.
Após a aplicação dos questionários foi possível inferir que antes da realização
da oficina pedagógica realizada, os alunos nunca tinham ouvido falar do tangram e o
trabalho com materiais lúdicos era pouco utilizado para auxiliar a aprendizagem dos
mesmos. Por mais que os jogos ou materiais equivalentes fossem pouco utilizados
pelo professor de matemática, os pensamentos dos alunos referentes à pergunta do
questionário (os jogos ajudam no ensino da matemática?) refletiram a vontade de que
o lúdico caminhe junto ao ensino tradicional de matemática.
Quando perguntamos sobre o que eles acharam da execução da oficina
pedagógica a respeito do estudo de geometria por meio do tangram, concluímos que
o ensino ocorreu de forma produtiva e positiva. Ainda, com o intuito de saber se o
estudo da geometria por meio do tangram tinha facilitado o ensino, através dos
questionários concluímos que a escolha do material lúdico foi ideal para se trabalhar
a problemática no 9º ano do ensino fundamental como os próprios alunos puderam
afirmar.
Em virtude de verificar nosso desempenho em frente à oficina pedagógica e
com o intuito de sabermos se foi um trabalho de campo produtivo e de qualidade,
resolvemos analisar a opinião dos alunos participantes, através do questionário,
41
acerca do desempenho da equipe e identificamos um desempenho satisfatório
durante a execução das atividades.
Levando em consideração os comentários citados, concluímos que a
pesquisa de campo na Escola Estadual Professora Joanira Del Castillo atendeu
nossas expectativas, pois o estudo de geometria por meio do tangram foi
compreendido pelos alunos e foi evidenciada a importância que os recursos lúdicos
representam para o ensino-aprendizagem da matemática.
Durante a realização da pesquisa percebemos uma enorme carência, no
ensino de matemática, no que diz respeito à motivação dos professores em repassar
os conteúdos programáticos e logística (além de pincel e quadro branco) que venha
contribuir para um ensino de qualidade, além do déficit de conhecimento por parte dos
discentes. Todavia, a realização da oficina pedagógica trabalhada em sala de aula
contribuiu positivamente para o aumento de conhecimento e autoestima dos
discentes, visto que o manuseio do material concreto estimulou a criatividade dos
mesmos.
42
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Muitos professores ainda fazem uso de uma forma tradicional de ensino
baseada na utilização de quadro, giz e imensas listas de exercícios para desenvolver
suas aulas. Por conta disso, buscamos investigar se a utilização de recursos lúdicos,
em especial o tangram, facilitaria o ensino de matemática e, consequentemente, um
melhor aprendizado por parte dos alunos.
Através dos trabalhos desenvolvidos além das fronteiras do ambiente
acadêmico pudemos perceber que os educandos foram bastante participativos e
receptivos, tenho em vista o ensino ainda possui limitações no que diz respeito à
inovação de formas de ministração de conteúdo.
Ao utilizar os questionários para avaliar o perfil da turma em relação ao
assunto que seria estudado, observamos que antes da execução da oficina apenas
8% dos alunos tinham conhecimento do assunto que seria ministrado, sendo que ao
final dos trabalhos mais de 80% dos alunos compreenderam e acharam interessante
as atividades desenvolvidas em sala de aula.
O momento de maior interação entre os alunos foi durante a atividade
recreativa baseada na visualização e representação das figuras preestabelecidas
pelos intermediadores. Percebemos que os alunos estavam entusiasmados com que
estava sendo desenvolvido em sala de aula, visto que o estudo de área e perímetro
com a utilização do tangram se tornou algo significativo a eles.
A partir dos resultados obtidos por meio do trabalho de campo, podemos
afirmar que a utilização do tangram como auxílio ao ensino da geometria no 9º do
ensino fundamental facilitou o aprendizado dos alunos; mostrou a eles uma nova
forma de aprender e ao professor uma nova forma de ensinar, pois 92% dos alunos
avaliaram o desempenho da equipe como “ótimo” e 8% como “bom”.
Portanto, esperamos que este trabalho possa motivar e auxiliar outros
professores de matemática a desenvolverem aulas motivadoras, interativas e mais
significativas aos alunos. Agindo assim, certamente teremos a redução da evasão
escolar, aumento da qualidade do aprendizado nacional, multiplicação de
pesquisadores e formação de profissionais mais qualificados para o mercado de
trabalho.
43
REFERÊNCIAS
ALSINA i PASTELLS, Angel. Desenvolvimento de competências com recursos lúdico-manipulativos para crianças de 6 a 12 anos: metodologia. Curitiba: Base Editorial, 2009. ARANÃO, Ivana Valéria Denófrio. A matemática através de Brincadeiras e jogos. Papirus, Campinas, São Paulo,1997. BOYER, Carl. História da matemática. 2 ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2010. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília/DF: MEC/SEF, 1998. BUGEIKAI, Urawaza. Sociedade de artes marciais. Disponível em:<http://uwbk.com.br/cultura/82-geijutsu-artes-refinadas/255-tangram>. Acesso em: 18 jun. 2015. CARRAHER, Terezinha; SHLIEMANN, Ana Lúcia; CARRAHER, David. Na vida dez, na escola zero. 11 ed. São Paulo: Cortez, 1999. CLAUDELICE. Tangram. Disponível em: <http://professoraclaudelice.blogspot.com.br/p/aulas.html>. Acesso em: 03 jul. 2015. CLIP art best.com. Disponível em: <http://www.clipartbest.com/clipart-niBk4o6iA.> Acesso em: 02 jul. 2015. D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação matemática: Da teoria à prática. 16ª ed. São Paulo: Papirus, 2007. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. 3ª ed . São Paulo: Ática, 2009. DECHIMA, Sabrina. El maravilloso mundo de ... hipatia. Disponível em:<http://sabrinamatematica.blogspot.com.br/2014/03/tangram-circular-10-piezas.html>. Acesso em: 19 jun. 2015. ESPAÇO Educar. Disponível em: <http://www.espacoeducar.net/2011/07/modelos-e-moldes-de-tangram-para.html.> Acesso em: 28 jun. 2015.
44
FAVERO, Nadja. Atendimento e assessoria psicopedagógica especializada. Disponível em: <https://nadjafavero.wordpress.com/2013/06/04/utilizando-tangran/>. Acesso em: 20 jun 2015. GALINDO, Wellingthon. Geoblog: Tangram – trabalhando com as figuras geométricas. Disponível em: <http://aulatangram.blogspot.com.br/>. Acesso em: 20 jun. 2015. LANDULFO, Mirela; CANDIDO, Patricia. Tangram e matemática, Fundação Mathema. Disponível em: <http://www.mathema.com.br>. Acesso em 19 jul. 2015. LARANJEIRA, Maria Inês (Coord.). Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 2007. LOPES, Hermosa Maria Soares (org). Metodologia do ensino de matemática. 1. ed., Ceará: UVA, 2000. MATEMÁTICA y algo más. Disponível em: <https://profmate.wordpress.com/2014/03/14/galeria-circular>. Acesso em: 20 jun. 2015. MENTES irrequietas. Disponível em:<http://mentesirrequietas.blogspot.com.br/2011/11/lenda-do-tangram-yu-e-o-deus-trovao.html>. Acesso em: 12 jun. 2015. MIRANDA, Danielle de. Como construir o tangram. Disponível em: <http://educador. brasilescola.com/estrategias-ensino/como-construir-tangram.htm>. Acesso em 11 nov. 2012. NETO, Ernesto Rosa. Didática da Matemática. 11. ed. São Paulo: Ática, 2006. NOELIA. Tangram. Acesso em: <http://noeliapdiver4.blogspot.com.br/2014/11/tangram.html>.Acesso em: 18 jun. 2015. PIAGET, Jean. A Formação do Símbolo na Criança. Rio de Janeiro: Zahar,1973.
45
ROCK View Schools Moodle 2. Disponível em: <http://moodle2.rockyview.ab.ca/mod/book/tool/print/index.php?id=51560>. Acesso em: 28 jun. 2015. SAMPAIO, Fausto Arnaud. Matemágica: História, Aplicações e Jogos Matemáticos. 2. ed. Campinas, SP: Papirus, 2005. SILVA, Elizabeth Nascimento. Recreação na sala de aula. Rio de Janeiro: Sprint, 2006. SMOLE, Kátia S., DINIZ Maria I., CÂNDIDO Patrícia, Figura e Formas. Porto Alegre, Artmed, 2003. SOMLE, Kátia Cristina Stocco. A matemática na educação infantil: a teoria das inteligências múltiplas na prática escolar. Porto Alegre: Artmed, 2000. TU primaria en internet. Disponível em: <http://pacoelchato.com/tareas/ayuda-para-tu-tarea-de-sexto-grado-desafios-matematicos-juego-con-el-tangram/>. Acesso em: 02 jul. 2015.