nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és...

102
81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület. Feladata ezeknek az okoknak a feltárása, leírása és a mozgás kinematikájában megismert jellemzőivel való összekapcsolása. A vizsgálatok során messzemenően felhasználja a sztatika erőkre, erőrendsze- rekre és a kinematika és a kinematika mozgásokra vonatkozó megállapításait, alapjában véve a két területet kapcsolja össze. Kinetikai alapfogalmak A kinetikában előforduló alapfogalmakat – tér, idő, anyagi pont, merev test, tömeg – már a Mechanika I. tárgyalása során definiáltuk. 2.1. AZ ANYAGI PONT KINETIKÁJA A térbeli kiterjedéssel és az anyag sűrűségének megfelelő tömeggel rendelkező, merev test mozgásának vizsgálatakor – mint azt már láttuk – bizonyos feltételek mellett a geometriai méretek elhanyagolhatók s a testet kiterjedés nélküli m tömeggel rendelkező anyagi (tömeg-) pontként kezelhetjük. Newton törvényei – bár mindenütt testet említenek – értelmezésük szerint ilyen anyagi pontra vonatkoznak. Az anyagi pont absztrakció a testre ható erőrendszer eredőjének meghatározását is egysze- rűsíti. Az erőrendszer értelemszerűen csak közös metszéspontú, térbeli erőrendszer lehet, eredő- jének támadáspontja tehát maga a tömegpont, vektora pedig: = = = n 1 i i t), , r , r ( F t) , r , r ( F F & & ahol - t) , r , r ( F i & a tömegpontra ható i-edik erő (i=1,2,…,n), amely általános esetben a hely a se- besség és az idő függvénye. 2.1.1. A KINETIKA ALAPTÖRVÉNYE Newton II. axiómája értelmében a mozgásmennyiség megváltoztatása arányos a tömeg- pontra ható erővel:

Transcript of nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és...

Page 1: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

81

2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület. Feladata ezeknek az okoknak a feltárása, leírása és a mozgás kinematikájában megismert jellemzőivel való összekapcsolása. A vizsgálatok során messzemenően felhasználja a sztatika erőkre, erőrendsze-rekre és a kinematika és a kinematika mozgásokra vonatkozó megállapításait, alapjában véve a két területet kapcsolja össze. Kinetikai alapfogalmak A kinetikában előforduló alapfogalmakat – tér, idő, anyagi pont, merev test, tömeg – már a Mechanika I. tárgyalása során definiáltuk. 2.1. AZ ANYAGI PONT KINETIKÁJA A térbeli kiterjedéssel és az anyag sűrűségének megfelelő tömeggel rendelkező, merev test mozgásának vizsgálatakor – mint azt már láttuk – bizonyos feltételek mellett a geometriai méretek elhanyagolhatók s a testet kiterjedés nélküli m tömeggel rendelkező anyagi (tömeg-) pontként kezelhetjük. Newton törvényei – bár mindenütt testet említenek – értelmezésük szerint ilyen anyagi pontra vonatkoznak. Az anyagi pont absztrakció a testre ható erőrendszer eredőjének meghatározását is egysze-rűsíti. Az erőrendszer értelemszerűen csak közös metszéspontú, térbeli erőrendszer lehet, eredő-jének támadáspontja tehát maga a tömegpont, vektora pedig:

∑=

==n

1ii t),,r,r(Ft),r,r(FF &&

ahol −t),r,r(Fi

& a tömegpontra ható i-edik erő (i=1,2,…,n), amely általános esetben a hely a se-besség és az idő függvénye. 2.1.1. A KINETIKA ALAPTÖRVÉNYE Newton II. axiómája értelmében a mozgásmennyiség megváltoztatása arányos a tömeg-pontra ható erővel:

Page 2: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

82

.dt

)vd(mF =

A műszaki gyakorlatban szokásos sebességek mellett a tömeg állandónak tekinthető. Így a fenti kifejezés a következő alakot ölti:

amdt

vdmF == 2.1/a

2.1. ábra Az axióma, melyet ebben a formában mozgáse-

gyenletnek vagy a kinetika alaptörvényének neve- zünk, tehát azt mondja ki, hogy az anyagi pont gyorsulásvektora arányos a ható erő a ható erő vektorával, az arányossági tényező pedig a tömeg (külön kiemeljük, hogy – mivel a tömeg csak pozitív mennyiség lehet - az erő és a gyorsulás vektora azonos hatásvonalú és nyílértelmű). Ha ismert a pont m tömege és a rá ható erők Feredője, helyvektorát, mint az idő függvé-nyét az alapegyenletből, az (t)rmamF &&== másodrendű differenciálegyenlet megoldásával nyerjük. Ez azonban már kinematikai feladat. Abban a speciális esetben, ha ,0t),r,r(F =& a tömegpont gyorsulása is nulla. Ez azt jelenti, hogy a sebesség is állandó. Ha a kezdősebesség nulla, a tömegpont továbbra is nyugalomban ma-rad, 0v kezdősebesség esetén a tömegpont egyenes vonalú egyenletes sebességű mozgást végez.

Az egyensúly és a nyugalom tehát különböző fogalmakat jelentenek. Az előbbi az erőrendszerre, az utóbbi a mozgásállapotra vonatkozik. Mint látjuk, adott erők mellett a pont mozgásának meghatározása a mozgásegyenlet integ-rálásából áll. Ezek a számítások alkalmasan bevezetett fogalmak segítségével sokszor jelentősen csökkenthetők. Az erők bizonyos csoportjánál ugyanis az alaptörvény egy vagy több elsőrendű differenciálegyenlet formájában írható fel. A bevezetett alapfogalmak és az alaptörvényből leve-zethető tételek és elvek segítségével a pont mozgására nézve sok fontos következtetést vonhatunk le. E következtetéseknek különösen a merev testek kinetikájában lesz fontos szerepük. 2.1.2. A TÖMEGPONT KINETIKÁJÁNAK TÉTELEI ÉS ELVEI

A kinetika alapegyenletének egy sajátos értelmezéséből alakult ki a D’Alembert-elv. Ha a tömeg és a gyorsulás negatív szorzatát erő-nek fogjuk fel és D’ Alembert-féle inerciaerőnek vagy tehetet-lenségi erőnek nevezzük, akkor a amD −= 2.1/b

2.2. ábra és az alaptörvény felhasználásával az 0DF)am(F =+=−+ 2.1/c

Page 3: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

83

kifejezést kapjuk, ami a sztatikában használatos egyensúlyi egyenlet analógiájának tekinthető. A D’Alembert-elv tehát azt mondja ki, hogy a kinetikai probléma formailag sztatikaira vezethető vissza, ha az anyagi pontra ható szabad erőkhöz hozzáadjuk az inerciaerőt. Bár az elv az alaptör-vényhez képest semmi újat nem mond, mégis fontos, mert vele a mozgás törvényeit kényelmes és szemléletes módon a sztatikai egyensúly jóval egyszerűbb törvényeiből állapíthatjuk meg. Az inerciaerő bevezetése az alaptörvény kétféle értelmezését teszi lehetővé. Maga az

amF = alapegyenlet az erő és a gyorsulás oksági viszonyáról nem mond semmit. Az ún. dina-mikai erőfelfogás szerint az erőt tekintjük a gyorsulás okának. Az ún. sztatikai erőfelfogás szerint az alapegyenletet a következőképpen értelmezhetjük. Az a gyorsulással mozgó testre a

amD −= inerciaerő is hat, úgyhogy a testre ható erők eredője mindig nulla: .0DF =+ A kétféle értelmezés (megállapodás) az alapegyenletnek csak két egyenrangú kifejezési módja. Mindkettő alkalmazható, de nem egyidejűleg. A dinamikai erőfelfogás esetén inerviaerőről nincs értelme beszélni, a sztatikai erőfelfogás esetén pedig nem tekinthetjük a gyorsulást az erő okának, hiszen az összes erő eredője nulla. Az anyagi pont tömegének és pillanatnyi sebességének szorzatát impulzus vagy mozgás-mennyiség-vektornak nevezzük: ,vmI =

az ∫2

1

t

t

dtF mennyiség pedig a t2 – t1 időszakra vonatkozó erőlökés. Mindkét mennyiség SI-beli

mértékegysége [kgm/s]. Tétel: Az impulzusvektor idő szerinti deriváltja az anyagi pontra ható erő vektorával egyenlő (az impulzus tétel differenciál alakja). Bizonyítás: Differenciáljuk az impulzusvektort az idő szerint és használjuk fel az alaptörvényt:

.Famdt

vdm

dt

IdI ====& 2.2/a

Tétel: Az impulzusvektor abszolút értékének idő szerinti deriváltja az anyagi pontra ható erő érin-tő irányú komponensével, az ún. pályameneti erőkomponenssel egyenlő. Bizonyítás: Legyen eaz adott pillanatban az érintő egységvektora. Ezzel mvevmeI == 2.2/b és

ee Fmadt

dvmI ===& .

Tétel: Adott időintervallumban az impulzusvektor megváltozása egyenlő az erőlökéssel, azaz az erővektornak a t2-t1 időszakra vonatkozó időintegráljával (az impulzus tétel integrál alakja). Bizonyítás: Alakítsuk át (2.2/a)-t a következő módon:

Page 4: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

84

,Fdt

vdm =

A változók szétválasztásával: ,.dtFvm.d = mindkét oldalt integrálva:

∫ ∫=2

1

2

1

v

v

t

t

dt,Fvdm

∫=−2

1

t

t

12 dtFvmvm . 2.2/c

Tétel: Adott intervallumban az impulzus nagyságának megváltozása egyenlő az erő érintő irányú komponensének (a pályamenti erőkomponensnek) a t2-t1 időszakra vonatkozó időintegráljával. Bizonyítás: (2.2/b)-ből kiindulva az előzővel analóg eljárással kapjuk, hogy

∫=−2

1

t

t

e12 dt.Fmvmv 2.2/d

A (2.2/c és (d) kifejezések azt mutatják, hogy minél nagyobb a vizsgált időtartamban a sebességváltozás, annál nagyobb a ható erő. Ez a jelenség különösen ütközésnél érzékelhető jól, ahol igen rövid idő alatt nagy sebességváltozáshoz nagy erőhatásra van szükség. Innen szárma-zik az erőlökés elnevezés. A gyakorlatban nagy jelentősége van annak a speciális esetnek, mikor az anyagi pontra nem ható erő. Ilyenkor a tétel szerint a vizsgált időszakban .állII 21

==

Az impulzusvektor valamely pontra vagy ten-gelyre számított vxmrIxr j0j00 ==π , ill.

n)vxmr(n j00n =π=π

nyomatékát perdületnek nevezzük, az ∫2

1

t

t

dtM mennyi-

séget az erőlökés analógiájára a t2-t1 időszakra 2.3. ábra vonatkozó nyomatéklökésnek nevezzük. Mindkét

mennyiség mértékegysége [kgm2/s]. Tétel: Valamely pontra vagy tengelyre számított perdület idő szerinti deriváltja a tömegpontra ható erőnek az adott pontra vagy tengelyre számított nyomatékával egyenlő ( a perdülettétel dif-ferenciál alakja).

Page 5: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

85

Bizonyítás: Deriváljuk az idő szerint az 0 pontra számított perdületvektort:

00j0j0j0j0j

0 MFxraxmrvxmvdt

vdxmrvxm

dt

rd

dt

)vxmrd(π ==+=+==& 2.3/a

Tengelyre számított perdület esetén:

.Mnπdt

)nπd(π n0

0n === && 2.3/b

Tétel: A pontra vagy tengelyre számított perdület adott időszakra eső megváltozása egyenlő a pontra, illetve tengelyre vonatkozó nyomatéklö-késsel (a perdület tétel integrál alakja). Bizonyítás: Alakítsuk át (2.3/a-t): 2.4. ábra

,Mdt

πd0

0 = ,dtMπd 00 =

.dMππ0

t

t

0102

2

1

t∫=− 2.3/c

Tengelyre számított perdület esetén analóg módon:

∫=−2

1

t

t

nn1n2 dt.Mππ 2.3/d

Ha a vizsgált idő-intervallumban 0,Mill.,0M n0 == a perdület – (2.3/c,d) alapján –

állandó: áll.ππ.,állππ n2n10201 ====

Alakítsuk át az alaptörvényt a láncszabály alkalmazásával a következő módon:

.rd

vdvm

dt

rd

rd

vdm

dt

vdmamF ====

Válasszuk szét a változókat, integráljuk mindkét oldalt és vegyük figyelembe, hogy az 1r helyvek-

torhoz 1v sebesség, 2r -höz 2v tartozik:

∫ ∫=2

1

2

1

v

v

r

r

rdFvdvm

Page 6: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

86

A bal oldalon az integrálást elvégezhetjük:

.rdFvm2

1vm

2

1 2

1

r

r

21

22 ∫=− 2.4

A fenti kifejezés értelmezéséhez először defini-álnunk kell a bal és jobb oldali mennyiségeket. A jobb oldali integrált munkának nevezzük. Az erő munkát végez, ha az anyagi pontot elmozdítja. Kicsiny rd elmozdulásnál az ún. elemi munkát a 2.5. ábra rdFdW = skalárszorzattal számítjuk. A skalárszorzat tulajdonsága, ill. a edsrd = miatt:

.dsFedsFcosαrdFdW e===

Az elemi munka pozitív, negatív vagy nulla értéket vehet fel, aszerint, hogy az erő az elmozdulás irányával hegyes, tompa vagy derékszöget zár be. Ha az anyagi pont a pályagörbe P1 pontjától a P2 pontba jut, az F erő, melynek értéke általában a hely függvényében változik, munkája alatt az elemi munkák összegét értjük:

∫ ∫ ∫===r

r

r

r

s

s

e

1

2

1

2

1

ds,FrdFdWWr

2.5

a teljes munka tehát az erőnek az elmozdulás, ill. az ívkoordináta szerinti (vonal) integrálja. A végzett munka általában a kezdő és végponton kívül a pályagörbétől is függ. A munka SI-beli mértékegysége: [ ].(joule)1J1Nm = Tétel: Egy erőrendszer eredőjének munkája az egyes erők munkájának algebrai összege.

Bizonyítás: Az n eredőből álló iF erőrendszer eredője: ∑=

=n

1ii .FF Szorozzuk meg mindkét oldalt

az elemi rd elmozdulással:

∑ ∑ ∑= = =

====n

1i

n

1i

n

1iiii dWrdFFrddWrdF .

Így

∫ ∫∑ ∑= =

===n

1i

n

1iii WdWdWW . 2.6

Page 7: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

87

A munkával kapcsolatos fogalom a teljesítmény. A pillanatnyi teljesítmény a munka idő szerinti deriváltja, de a

vFdt

rdF

dt

rdF

dt

dWP ====

r

2.7

összefüggés szerint az erő és a sebesség skalárszorzataként is definiálható. A teljesítmény SI-beli mértékegysége [ ].)watt(W1Js1 1 =− A teljesítmény ismeretében a munkát (2.7) alapján a teljesítmény időintegráljaként szá-míthatjuk:

∫=2

1

t

t

P(t)dt.W 2.8

(2.4) bal oldalán a skalármennyiség a v pillanatnyi sebességű, m tömegű anyagi pont mozgási vagy kinetikai energiája:

22 mv2

1vm

2

1E == . 2.9

A mozgási energia – a munkával való kapcsolata miatt – munka jellegű mennyiség, tulajdonkép-pen a test munkavégző képességét jelenti. Dimenziója is egyezik a munkáéval. A mozgási energia kinetikai jelentőségét alábbi tulajdonságai is alátámasztják. Tétel: A mozgási energia idő szerinti deriváltja a pillanatnyi teljesítmény. Bizonyítás:

.PvFavmdt

vd.v2m

2

1

dt

vm2

1d

dt

dE2

====

= 2.10/a

Tétel: A mozgási energia ívkoordináta szerinti deriváltja a tömegpontra ható erő érintő irányú összetevője. Bizonyítás:

e

2

FeFeamav

vm

ds

dt.

dt

vd.v2m

2

1

ds

vm2

1d

ds

dE =====

= . 2.10/b

Tétel: A mozgási energiának a sebesség abszolút értéke szerinti deriváltja az impulzus nagyságát adja. Bizonyítás:

.Ivm2mv2

1

dv

mv2

1d

dv

vm2

1d

dv

dE22

===

=

= 2.10/c

Page 8: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

88

A munka és a mozgási energia definíciójának ismeretében a (2.4)-es összefüggés, amely az új szimbólumokkal a WEE 12 =− 2.11 alakban írható, a következő formában értelmezhető. Tétel: A mozgási energia egyenlő az adott időintervallumban a tömegpontra ható erők munkájá-val (munkatétel). Az t),r(FF = vektorfüggvény a tér minden pontjához hozzárendel egy tetszőleges időpil-lanatban egy erővektort. Az ilyen erőtulajdonságokkal felruházott teret erőtérnek hívjuk. Konzer-vatív erőtérnek nevezzük azt az időben állandó erőteret, melyet egy egyenértékű skalárfüggvény negatív gradienseként nyerünk. Azaz

.kz

z)y,U(x,j

y

z)y,U(x,i

x

z)y,U(x,

rd

)r(dU)rU(grad)r(FF

∂∂+

∂∂+

∂∂−=−=−== 2.12

Az z)y,U(x,)rU( = skalárfüggvényt potenciálnak vagy potenciális energiának hívjuk. Tétel: Konzervatív erőtérben a pályagörbe két pontja között a tömegpontra ható erő munkája csak a kezdő és végponttól függ – a két pontot összekötő pálya alakjától független – és a két ponthoz tartozó potenciálérték különbségével egyenlő. Bizonyítás:

.UU)U(r)rdU(rdrd

)rdU(rdFW 212

r

r

1

r

r

r

f

2

1

2

4

2

1

−=−−=−== ∫∫ ∫ 2.13

Tétel: Konzervatív erőtérben bármely zárt görbe mentén végzett munka nulla. Bizonyítás: Zárt görbe esetén a kezdő és végpont helyvektora megegyezik .)rr( 21 = Így .0UU)rU()rU(W 1111 =−=−= (2.13) mutatja, hogy a potenciális energia – gyakran helyzeti energiának is nevezzük – munka jellegű mennyiség, így dimenziója is megegyezik a munkáéval. A munkatétel módot ad a kinetikai és a potenciális energiafajták összekapcsolására. Tétel: Konzervatív erőtérben az anyagi pont kinetikai és potenciális energiájának összege a moz-gás folyamán állandó (a mechanikai energia megmaradásának tétele). Bizonyítás: Az erő munkáját a munkatételben a mozgási energiával, konzervatív erőtérben a helyzeti energiával fejeztük ki. A kétféle módon számított munkának természetesen meg kell egyezni. ,UUEEW 2112 −=−=

Page 9: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

89

innen 2211 UEUE +=+ . 2.14/a A fenti kifejezés bármely időintervallumban érvényes, tehát a mozgás folyamán .állUE =+ 2.14/b Ezt az összeget a teljes mechanikai energiának nevezzük. Nem konzervatív ún. disszipatív erőtérben a mechanikai energia megmaradásának tétele csak módosított formában áll fenn. Disszipatív erőkkel kapcsolatos jelenségeknél nem pusztán mechanikai természetű, hanem más energiaformák – pl. hőmennyiség – is szerepelnek. A mecha-nikai mozgásoknál az egyik leggyakrabban előforduló disszipatív erő a súrlódási erő. Ennek munkája a mozgás folyamán hővé alakul és nem nyerhető vissza. Ilyenkor az energia-megmaradás tételét úgy módosítjuk, hogy az energiaveszteséget hozzáadjuk (2.14/a) jobb oldalá-hoz: .WUEUE veszteség2211 ++=+ 2.14/c

2.1.3. AZ ANYAGI PONT NÉHÁNY SPECIÁLIS MOZGÁSA. 2.1.3.1. SZABAD MOZGÁS Szabad mozgást végez az anyagi pont, ha a ható erők eredőjétől függően a tér tetszőleges irányba elmozdulhat, azaz a mozgás szabadságfoka három. A/ Mozgások a Földön A Földhöz kapcsolt koordinátarendszerben vizsgálva a szabad mozgást az anyagi pontra általánosan a súlyerő, a közegellenállás, a közeg felhajtóereje és valamilyen gerjesztőerő hat (2.6. ábra). Mindig az adott mozgás jellege, ill. a vizsgálat szempontjai döntik el, hogy a fenti erőfajták közül melyek hanyagolhatók el, pontosabban milyen egyszerűsíthető feltevésekkel vehetők figye-lembe. a/ Mozgás állandó súlyerő hatására Ha a mozgás a Föld méreteihez képest kis térrészben zajlik le, akkor a nehézségi gyor-sulást, ill. a neki megfelelő súlyerőt az időtől és helytől független állandónak tekinthetjük. A szabad mozgás tehát homogén erőtérben ját-szódik le. Ha úgy vesszük fel a koordinátarend-szert, hogy a függőleges irány a felfelé mutató z tengely legyen, az erőteret az .állkmggmG)z,y,x(F =−=== 2.6. ábra

Page 10: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

90

összefüggéssel adhatjuk meg. Ez - a definíció szerint – konzervatív erőtér. A súlyerő munkája míg a tömegpont 1r -ből 2r -be jut:

,)( 2112

2

1

2

1

2

1

mgzmgzkrrmg

rdkmgrdkmgrdGWr

r

r

r

r

r

−=−−=

=−=−== ∫ ∫ ∫

tehát csak a kezdő és a végpont szintkülönbségétől függ. A potenciálfüggvény (egy additív állan-dótól eltekintve): .Gzmgz)z(U)z,y,x(U === 2.15 Az amgmGF === alaptörvényből rögtön látszik, hogy a tömegpont állandó g gyorsulású. g és a kezdeti feltételek a mozgást egyértelműen meghatározzák. A mozgásjellemzőket az impulzus-, a munka- és a mechanikai energia megmaradási téte-lével általában igen egyszerűen számíthatjuk. b/ Mozgás változó súlyerő hatására Ha a magasságkülönbség olyan nagy, hogy a nehézségi gyorsulás változása már nem ha-nyagolható el, a súlyerő is változó lesz. Amennyiben a mozgás vízszintes méretei nem nagyok a súlyerőt továbbra is függőleges hatásvonalúnak képzelhetjük. Az általános tömegvonzás szerint az m tömegű anyagi pontra ható erő ( a koordinátarendszer kezdőpontját a földfelszínen, a Föld középpontjától R távolságra vesszük fel).

,kmg(z)kz)(R

MmγkFF

2z −=+

−== 2.16

ahol M – a Föld tömege, γ - az ún. gravitációs állandó, SI-ben γ = 6,672 . 10-13 m3 kg-1 s-2.

(2.16) most is konzervatív erőteret ad. A potenciálfüggvény (az additív állandótól elte-kintve):

,zR

MmγU(z)z)y,U(x,

+−== 2.17

melynek helyességéről differenciálással könnyen meggyőződhetünk:

.F)zR(

Mm

dz

)z(dU

z

Uz2 =

+γ−=−=

∂∂−

Ha figyelembe vesszük, hogy a földfelszínen a gyorsulás 2R/M)0z(gg γ=== és a tö-megpont nem távolodik el nagyon a Földtől, azaz z2 << R2, a nehézségi gyorsulás a magasság függvényében (2.16) alapján:

Page 11: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

91

.

R

z21

g

R

z21R

M

zRz2R

M)z(g

222

+=

+γ≅

++γ= 2.18

A munkatétellel például könnyen kiszámíthatjuk a h magasságban elejtett, szabadon eső test Földre érkezési sebességét (ha a légellenállást elhanyagoljuk):

,R

2h1ln

2

mgR

R

2z1

dzmgdz

R

2z1

1mgmg(z)dz0mv

2

1 h

0

0

h

0

h

2

+=+

=+

−=−=− ∫∫ ∫

ahonnan

.R

2h1gRlnv(h)v

+==

Állandó gyorsulást feltételezve a végsebesség, mint tudjuk: 2gh.v =

c/ Mozgás ellenálló közegben Gázokban vagy folyadékokban való mozgásnál az anyagi pontra a súlyán és az Archimé-desz-féle felhajtó erőn kívül még egy fékező erő is hat, melyet közegellenállásnak nevezünk. A közegellenállás iránya a tömegpont sebességével ellentétes, nagysága függ a test alakjától, sebes-ségétől és a közeg viszkozitásától. Igen kicsi testek és sebességek esetén az ellenállás v-vel, egyébként közelítőleg v2-tel vehető arányosnak: ,eCv(v)F,eKv)v(F 2

ee −=−= 2.19/a,b

ahol e – a pályagörbe érintőjének egységvektora, K > 0, C > 0 – arányossági tényezők. A fentiek értelmében a közegellenállás disszipatív erő.

A mozgás alapegyenlete (G alatt a felhajtóerővel csökkentett súlyerőt értjük):

,dt

vdmam)v(FGF e ==+=

ahonnan a xv integrálási állandóval

x

e

v)v(FG

vmdt +

+= ∫ .

Ennek inverze adja a (t)vv = függvényt, melyből a többi mozgásjellemző meghatározható. 2.7. ábra

Page 12: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

92

Számítsuk ki az ellenálló közegben szabadon eső test sebességét állandó súlyerőt feltéte-lezve (2.7. ábra). A tömegpont mozgásegyenlete (a pálya a z koordináta-tengellyel párhuzamos egyenes):

.k(v)Fkmg.k.dt

dvm e+−=−

Skaláregyenletben:

).v(Fmgdt

dvm e−=

Átrendezve:

.v

m

(v)Fg

dvt

e

x+−

= ∫

A megoldás attól függ, hogy (2.19/a)-t vagy (2.19/b)-t vesszük figyelembe: Lineáris csillapítás: Fe = Kv.

.vvm

Kgln.

K

mv

vm

Kg

dvt ∗∗ +

−−=+−

= ∫

t = 0, v = 0 kerületi feltétel esetén ..lngK

mv x =

Visszahelyettesítés és rendezés után:

.e1K

mgv(t)v

tm

K

−==

− 2.20

A sebesség bár állandóan növekszik, a vmax = K

mg értéknél nem lehet nagyobb.

Négyzetes csillapítás: Fe = Cv2

∫∫∫ =+−+

=+−

=+−

= ∗∗∗ v)kv1)(kv1(

dv

g

1v

vk1

dv

g

1v

vm

Cg

dvt 22

2

∗∗ +−−+=+

++

= ∫ v))kv1ln()kv1(ln(gk2

1vdv

kv1

1

kv1

1

g2

1

Az előzővel megegyező kerületi feltételek mellett v* = 0. Visszahelyettesítve és rendezve:

Page 13: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

93

th(gkt).k

1

ch(gkt)

sh(gkt)

k

1

ee

ee

k

1

k

1

1e

1ev(t)v

gktgkt

gktgkt

2gkt

2gkt

==+−=

+−== −

Ezzel a sebességfüggvény:

.t.m

Cgth

C

mg)t(vv

== 2.21

A sebesség most is folyamatosan nő, de a C

mgvmax = értéket csak végtelen idő múlva éri el.

A pályabefutás törvényei (2.20) és (2.21) differenciálásával kaphatók. B/ Centrális mozgások Centrális mozgásnál a tömegpontra ható erő, s az alaptörvény szerint a gyorsulás is, min-dig ugyanabba a pontba, a mozgás centrumába mutat (2.8. ábra). Ha a koordinátarendszer kezdőpontját ebben a cent-rumban vesszük fel, akkor a pont r helyvektora, a gyorsu-lása és az F erő minden időpillanatban párhuzamosak egy-mással. Bármilyen centrális erőnél (erőtérnél) fennáll a kö-vetkező: Tétel: Centrális erőtérben az anyagi pont felületi sebessége (vektora) állandó, azaz a pálya síkgörbe és a helyvektor egyenlő idő alatt egyenlő területeket súrol (felületi tétel, a bolygómozgásokra vonatkoztatva Kepler másik törvénye). 2.8. ábra Bizonyítás: Szorozzuk meg az rmF &&= alaptörvényt az r hely- vektorral balról vektorálisan: Fxrrxmr =&& . A jobb oldali vektorszorzat a definíció értelmében nul-la, a bal oldali az

dt

)rxrd(m)rxrm(

&&& =

formára hozható, melynek helyességéről a differenciá-lás elvégzésével meggyőződhetünk. Végeredményben tehát: 2.9. ábra

,0dt

)rxrd( =&

amiből az következik, hogy

Page 14: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

94

.állvxrrxr ==& 2.22

Az dt

rxdrrxr =& kifejezésnek azonban igen szemléletes a jelentése. Az rxdr nagysága a

vektorális szorzat értelmezése szerint az rdésr által alkotott háromszög df elemi területének a

kétszerese, iránya pedig a háromszög síkjára merőleges. fd tehát nem más, mint a helyvektor

által dt idő alatt súrolt terület. Ezért a

)rxr(2

1

dt

fd&=

kifejezéssel kapott vektormennyiséget felület-befutási sebességnek nevezzük, melynek nagysága az időegység alatt súrolt területet, iránya pedig a felületdarab síkját és a befutás irányát határozza meg (2.9. ábra). A felületi sebességvektor (2.22) szerint állandó. Az irány állandósága azt jelenti, hogy r és

vr =& mindig ugyanabban a (pálya-)síkban van, a nagysága állandósága pedig azt bizonyítja, hogy a súrolt területek – az f = C(t2-t1) alapján, ami a

.állCdt

df == integrálásából rögtön következik –

arányosak a t2 – t1 időszakkal. Szűkebb értelemben vett centrális erőkön olyan erőket (erőteret) értünk, amelyek nagysága csak a centrumtól számított r távolságtól függ,

annak valamilyen függvénye. 2.10. ábra Tétel: A szűkebb értelemben vett centrális erők erőtere konzervatív. Bizonyítás: Az erőtér konzervatív, ha van potenciálja, azaz az erőtér munkája csak a kezdő és végpont helyétől függ. A szűkebb értelemben vett centrális erőt az

ReF(r)r

rF(r).F ==

általános érvényű kifejezéssel adhatjuk meg, ahol Re - a helyvektor irányának egységvektora, F(r) - az előjeltől eltekintve az erő nagysága. Bontsuk fel a pillanatnyi sebességet - a polárkoordinátás megadásnak megfelelően – az ,r& sugár-irányú és az ϕ&r keringő összetevőkre (2.10. ábra) és számítsuk a munkát a teljesítmény időinteg-ráljaként:

∫ ∫∫ ∫ ∫ =====2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

t

t

r

r

t

t

t

t

t

t

F(r)dr.dtrF(r)cosαosvFdtvFPdtW &

Az utolsó integrál értéke csak az r1 és r2 távolságoktól függ, a munka tehát egyedül a cent-rumtól mért távolság függvénye, az erőtér konzervatív.

Page 15: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

95

a/ Mozgás gravitációs erőtérben Vegyük fel a koordinátarendszerünk kezdőpontját az M tömegű test (anyagi pont) közép-pontjában (2.11. ábra). Az r helyvektorú, m tömegű anyagi pontra ható erő az általános tömeg-vonzás törvénye szerint:

.r

r

r

Mm)r(FF

2γ−== 2.23/a

Descartes-féle koordinátarendszerben:

.kr

z

r

Mmγi

r

x

r

MmγkFjFiFF

22zyx −−=++=

2.23/b Mivel γ, M és m állandók, F szűkebb érte-lemben vett centrális erő, tehát konzervatív erőteret alkot. Potenciálfüggvénye:

2.11. ábra ,r

MmγU(r)z)y,U(x, −== 2.24

amiről könnyen meggyőződhetünk, hiszen

.Fr

x

r

Mm

x

)zyx(

r

Mm

x

r

r

U

x

Ux2

5,0222

2=γ−=

∂++∂γ−=

∂∂

∂∂−=

∂∂−

A másik két erőkomponenst is hasonlóan kapjuk, azaz ),r(Fr

U =∂∂− ami a potenciális erőtér de-

finíciója. Az m tömegű pont mozgásának meghatározásához írjuk fel az alaptörvényt:

,rmamr

r

r

MmγF

2&&==−=

innen

.0rr

γMr

3=+&& 2.25

Ennek a másodrendű homogén (vektori) differenciál-egyenletnek a megoldása adja az m tömegű pont mozgástörvényét. A feladatot azonban egyszerűbben megoldhatjuk a tömegpont kinematikájára vonatkozó tételek felhasználásával. A felületi tétel alapján tudjuk, hogy a mozgás síkmozgás, ezért célszerű olyan polárkoor- dinátarendszert választani, melynek kezdőpontja az M tömeg középpontja. Ezen kívül

=+== )ererx(ex(rer2

1rxr

2

1

dt

dfRRR ϕϕ&&&

Page 16: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

96

.áll2

cr

2

1)ee(r)xee(rr

2

1 2R

2RR ===+= ϕϕ ϕ &&& 2.26

A mechanikai energia megmaradásának tételéből:

.állEr

Mm).rr(m

2

1m

222 ==γ−ϕ+ && 2.27

Először határozzuk meg az r = r(ϕ) függvényt, azaz a tömegpont pályáját. (2.26)-ból

ϕ

=ϕϕ

=ϕϕ

===ϕd

dr

r

c

d

dr

dt

d

d

dr

dt

drrés

r

c22 &&& .

Ezt (2.27)-be helyettesítve, rendezés után a következő elsőrendű differenciálegyeletet kapjuk:

,dr

r

c

r

M2

m

E2r

cd

2

2m2 −γ+

amely a

r

c

c

Mués.áll

c

M

m

E2k

2

22m2 −γ==ε+= 2.28/a,b

helyettesítéssel a

2r

c

dr

du =

miatt a

22 uk

dud

−=ϕ

alakra hozható, amely már elemi integrál. Általános megoldása:

∗∗ ϕ=ϕ+ϕ ahol,k

uarccos - integrálási állandó.

A függvény inverze: u = kcos ( ∗ϕ+ϕ ). Ide (2.28)-at behelyettesítve, rendezés után megkapjuk a keresett függvényt:

)cos(c

M

m

E2

M

c1

M

c

r

2

22m

2

∗ϕ+ϕγ+γ

γ= 2.29

Ha a ϕ szöget a maximális r-től mérjük, akkor ϕ = 0-nál r = rmax, ami (2.29) alapján akkor telje-sül, ha cos (0+ϕ*) = 1, azaz ϕ* = 0.

Page 17: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

97

Vezessük be a

M

cp

γ= - ún. fokális paramétert és az 2.30

2

22m

c

M

m

E2

M

ce

γ+γ

= - numerikus excentricitást. 2.31

Ezekkel a pálya egyenlete:

,cose1

p)(rr

ϕ−=ϕ= 2.32

ami olyan kúpszelet egyenlete, amelynek középpontja a polárkoordináta-rendszer kezdőpontja, azaz az M tömegű pont. A pályagörbe ellipszis, parabola vagy hiperbola attól függően, hogy e ≤≥ 1. e = 0 esetén a pálya p sugarú kör. (2.32) tulajdonképpen Kepler bolygómozgásokra vonatkozó első törvénye, mi szerint a bolygók pályái ellipszisek és az ellipszis egyik centrumában a Nap áll. Tétel: Gravitációs erőtérben az anyagi pont pályája ellipszis, parabola vagy hiperbola aszerint, hogy teljes mechanikai energiája negatív, nulla vagy pozitív vagy – másképpen kifejezve – kezdő sebességének nagysága

,r

M2vv

okrito

γ==

tehát egy maghatározott vkrit sebességnél kisebb, vele egyenlő vagy nagyobb. Bizonyítás: Mint láttuk, a pálya alakja a numerikus excentricitás értékétől függ: e ≤ ≥1. Helyettesítsük e helyére (2.31)-et. Négyzetre emelés és rendezés után:

.02

22

2

≥≤M

cEm

γ

A bal oldali mennyiség értéke – mivel γ, c, M ill. ezek négyzete csak pozitív lehet – tehát Em-től a teljes mechanikai energia előjelétől függ. De

,r

Mmmv

2

1

r

Mmmv

2

1E

o

2o

2m −=−= 2.33

ahol vo – az ro távolságra lévő m tömegű pont kezdősebességét jelenti. (2.33) alapján Em=0, ha

krito

o vr

2Mγv == .

Ekkora kezdősebességet választva, e=1, a pálya parabola. Ezek szerint, ha

.hiperbola1eés0Eakkorvv

,ellipszis1eés0Eakkorvv

m,krito

m,krito

→⟩⟩⟩

→⟨⟨⟨

Page 18: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

98

Mivel a potenciális energiát az r

MmU γ−= kifejezés adja, ellipszis pályánál a teljes me-

chanikai energia a nagy negatív értékű potenciális energia és a viszonylag kicsi mozgási energia miatt mindig negatív. A tömegpont mozgási energiája nem elegendő ahhoz, hogy kiszakadjon a centrumból és egy bizonyos távolságnál messzebb kerüljön. A pálya csak ellipszis lehet, mert annak nincs végtelenben lévő pontja. A tömegpont pályájának ismeretében az r = r(t) és ϕ = ϕ (t) függvények is meghatároz-hatók.(2.26)-ból r = r(ϕ) ismeretében:

∫ ∗+ϕϕ= ,rd)(rc

1t 2 2.34

ahol r* - integrálási állandó. A fenti függvény inverze a keresett ϕ = ϕ(t) függvény és a pályagör-be egyenletéből [ ].)t(r)t(rr ϕ== 2.35 Ezzel a probléma – legalábbis elvileg – megoldódott. A (2.34)-es integrál azonban nem fejezhető ki zárt explicit alakban. A konkrét számításokhoz általában sorbafejtéses formulákat használnak. Ellipszis pályánál az egy körbefutás T ideje könnyen számítható. Megint a felületi tételt használjuk:

.áll2

cr

2

1

dt

df 2 === ϕ&

Innen

∫ ∫= ,dt2

cdf

itt a bal oldali mennyiség az ellipszis területe. A= ∫ π= ,abdf ahol a és b – az ellipszis nagy és

kis féltengelyei. Integrálás és rendezés után a keringési idő:

c

ab2T

π=

A féltengelyeket kifejezhetjük a fokális paraméter-rel és a numerikus excentricitással (2.12. ábra):

a

bae,

a

bp

222 −== .

Ezzel:

.E2

mM2

M

a2T

5,1

m

3

πγ=

γπ= 2.36

2.12. ábra Tétel: Az azonos M tömegű centrum körül keringő anyagi pontok keringési idejének négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint a pályák félnagytengely-távolságainak köbei (a bolygató moz-gásokra vonatkoztatva Kepler harmadik törvénye).

Page 19: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

99

Bizonyítás : (2.36) első fele alapján látjuk, hogy a keringési idő a fél nagy tengelyen kívül γ -tól és M-től függ. E két utóbbi állandó az egyes tömegpontokra nézve, így két, a1 és a2 fél nagyten-gelyű tömegpontra:

32

31

22

21

2

32

22

31

21

a

a

T

Tvagy.áll

M

4

a

T

a

T ==γπ==

Mind a bolygómozgások – például a Földnek a Nap körüli mozgása – mind a Föld körüli erőtérben végbemenő mozgások gravitációs erőtérben lejátszódó mozgások. A Nap, a Föld, ill. a Föld környezetében mozgó testek (űrszondák, műholdak) geometriai méretei a pályák méreteihez képest elhanyagolhatók, így azok a mozgás leírása szempontjából tömegpontnak tekinthetők. A Föld körüli erőtérben végbemenő mozgásoknál fontos szerepe van az ún. kozmikus sebességnek. Ahhoz, hogy a mesterséges hold elhagyhassa a Föld erőterét, azaz pályája parabola vagy hiperbola legyen e≥ 1-nek kell fennállnia. A Föld felszínén (r0=R) kilőtt testnek tehát mini-málisan a kritikus sebességgel kell rendelkeznie. Ez a földi viszonyok esetén (R=6371000 m, MFöld = 5,963.1024 kg):

,kms11,18ms1118369R

2γγvvv 11

IIkrit0−− =====

melyet második kozmikus sebességnek nevezünk. Körpályán mozog a mesterséges hold, ha e = 0. (2.26), (2.31) és (2.33) alapján a Föld felszínén kilőtt testnek ekko

11kritI0 kms7,91ms7908,06

2

v

R

Mγvv −− =====

Kezdősebességgel kell rendelkeznie, melyet első kozmikus sebességnek nevezünk. Ha a kezdő-sebesség kisebb, mintIv , a test ellipszis pályán (melyet állandónak tekintett erőtérben parabolá-

val közelítünk) visszatér a Földre, ha nagyobb mintIIv , akkor hiperbola pályán elhagyja. Ha a kezdősebesség a két kozmikus sebesség közé esik, a mesterséges égitest pályája ellipszis. A gravitációs erőtérben való mozgás leírása hosszú évszázadok megfigyeléseinek és szel-lemi erőfeszítéseinek eredménye. A bolygó mozgások Tycho de Brahe által kimért geometriai adatai alapján Kepler empirikusan következtette ki három törvényét. Newton ezeken a törvénye-ken próbálta ki a mechanika által felállított alaptörvényének helyességét. Úgy találta, hogy a

Kepler-féle törvények akkor teljesülnek, ha 2r

MmF γ= alakú centrális erőt feltételez és rájött arra

is, hogy ugyanez a gravitációs törvény szabályozza a Földön szabadon eső test mozgását is. Ezek a felismerések az emberi szellem legnagyobb felfedezései közé tartoznak. b/ Harmonikus rezgőmozgás (lengőmozgás)

A műszaki gyakorlatban gyakran előfordul olyan centrális erőhatás, melyet – a koordiná-tarendszer kezdőpontját a centrumban felvéve – az

rs)r(FF −== 2.37

Page 20: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

100

függvénykapcsolat ír le (2.13. ábra). Az erő tehát arányos a helyvektorral, az arányossági tényező 0,s⟩ neve rugómerevség, amely tulajdonképpen az egységnyi elmozdításhoz szükséges erő,

mértékegysége [N/m]. EEz az erőtörvény tulajdonképpen a rugalmasságtan Hooke-törvényének felel meg, s így bár-mely rugalmas test tömegpontra gyakorolt hatása ezzel a függvénykapcsolattal adható meg. A szemléletesség és az egyszerűsítés kedvéért a rugalmas testet rugóval modellez-zük, innen a rugómerevség kifejezés. Az alaptörvény szerint ,rsrm =&&

ahonnan .állm

s ==ν helyettesítéssel: 2.13. ábra

.0rνr 2 =+&& 2.38 Ennek az általánosan ismert másodrendű homogén differenciálegyenletnek az általános megoldá-sa: .sinνBcosνoA(t)rr t+== 2.39 Kezdeti feltételként t = 0, 00 vvésrr == értékeket választva a partikuláris megoldás:

sinνinν

vcosνor(t)rr 0

0 +== 2.40

A keresett helyvektor tehát – a centrális mozgásnak megfelelően – az 00 vésr vektorok által

meghatározott síkban van. Ha a 0v sebesség az 0r irányába esik, )t(r mindig ugyanebben az

egyenesben lesz. Ha ezt az irányt választjuk x tengelynek, (2.40) a következőképpen alakul:

,tsinv

tcosx)t(xx 00 ν

ν+ν== 2.41

ami a kinematikából már ismert lineáris harmonikus rezgőmozgás törvénye. Ha 00 vésr iránya

különbözik, akkor 00 raznakv − irányába eső komponense legyen 0xv , rá merőleges komponen-

se pedig .v y0 Ekkor (2.40) skaláregyenletekben így írható:

,tsinv

)t(yy,tsinv

tcosx)t(xx y0x00 ν

ν==ν

ν+ν== 2.42

Page 21: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

101

amelyet elliptikus rezgésnek nevezünk. Könnyen beláthatjuk, hogy a pályagörbe ellipszis. Az ellipszis síkját és adatait a választott kezdőfeltételek teljesen meghatározzák. Mint látjuk a rezgőmozgás periódikus. Egy teljes rezgés ideje:

.s

m2

2T π=

νπ=

A m

sν = szögsebesség jellegű mennyiség, mértékegysége [1/s], de a műszaki gyakorlat kör-

frekvenciának nevezi. Mind a periódusidő, mind a körfrekvencia csak a rugómerevségnek és tö-meg nagyságának a függvénye. Annál nagyobb frekvenciával rezeg a tömegpont, minél kisebb a tömege és minél merevebb a rugó. A harmonikus rezgőmozgást létrehozó erő – mint szűkebb értelemben vett centrális erő – konzervatív. Potenciálja (egy additív állandótól eltekintve):

∫ ∫ ==−−=−= ,r2

sr

2

sr)drs(rdFU 22 2.43

teljes mechanikai energiája:

.állsr2

1mv

2

1UEE 22

m =+=+= 2.44

Vizsgáljuk meg egy olyan tömegű anyagi pont mozgását, melyre a G súlyerőn kívül az A pont-ban felfüggesztett rugón keresztül F rugóerő is hat (2.14. ábra). Az alaptörvény szerint:

.)rprs()k

s

mgr(prs

)rprs(kmgFGprm

CA

A

−−=

−−−=

=−−−=+=&&

2.14. ábra

Mint látjuk Cr annak a C pontnak a helyvektora, amely az A ponttól függőlegesen lefelé s

mg tá-

volságra található. Ebben a pontban a tömegpontra ható erők eredője:

,0)rks

mgrs(kmg)rrs(kmgR AAAC =−−−−=−−−=

azaz itt a tömegpont egyensúlyban van. Ha a koordinátarendszer kezdőpontját itt vesszük fel, ami annyit jelent, hogy az Cp rrr −= helyettesítést kell elvégeznünk, akkor rrP

&&&& = miatt (hiszen Cr

független az időtől) a mozgás alaptörvénye a következő alakot ölti: 0,rνr 2 =+&& ami (2.38)-al egyezik. Tehát a súlyerő és a rugóerő együttes hatására keletkező mozgás Cr

centrumú harmonikus rezgőmozgás, a kezdeti feltételektől függően lineáris vagy elliptikus.

Page 22: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

102

c/ Lineáris rezgések 1. Csillapítatlan szabad rezgés (lengés)

Csillapítatlan szabad rezgésről akkor beszélünk, ha az anyagi pontra csak az F- = -ax ala-kú rugalmas erők hatnak. Az előzőekben láttuk, hogy ilyen esetben a lineáris harmonikus rezgés mozgásegyenletét (2.14) adja, melyet az alábbi formában is felvehetünk: ),tsin(Ax 0ϕ+ν= 2.45

ahol A – a rezgés amplitúdója (a középponttól mért legnagyobb kitérés),

0ϕ - a fázisállandó.

Az A és 0ϕ tulajdonképpen integrálási állandók, értékük a kezdeti feltételektől függ. A (2.41)-

nek megfelelő kerületi feltétellel

.v

xctgarés

vxA

0

002

202

0

ν=ϕν

+= 2.46

A csillapítatlan rezgés erőtere, mint láttuk, konzervatív, érvényes tehát a mechanikai energia megmaradási tétele. A tételt a csillapítatlan szabad rezgés speciális esetére vonatkoztatva, annak 0sxxm =+&& alakú alaptörvényéből x& -tal való szorzással könnyen le is vezethetjük: ,0xxsxxm =+ &&&& vagy

.0dt

sx2

1d

dt

xm2

1d 22

=

+

&

Integrálva:

azazáll.,Esx2

1xm

2

10

22 ==+&

0EUE =+ , 2.47/a,b

ahol E0 – a kezdeti teljes mechanikai energia. (2.47/a) tulajdonképpen a (2.44)-es kifejezés lineáris rezgésekre vonatkozó változata. Az összefüggést jól szemléltethetjük, ha a poten- ciális energiát az x függvényében ábrázoljuk

2.15. ábra Ez a parabola, melynek alakja a rugómerev- megfelelő, az x tengellyel párhuzamos egyenes és az x tengely közötti távolságot a parabola két részre osztja. Az alsó rész a potenciális, a felső rész a mozgási energiának megfelelő szakasz. Ahol E0 egyenese metszi a parabolát, ott a potenciális energia maximális, a mozgási energia ér-

Page 23: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

103

téke pedig nulla. A metszéspontnak megfelelő x = ± A koordináták a tömegpont szélső helyzeteit, azaz az amplitúdó értékét adják. 2. Csillapított szabad rezgés (lengés) A harmonikus rezgőmozgást okozó, (2.37) típusú erőkön kívül a valóságban mindig fel-lépnek olyan hatások, amelyek a mozgást gátolni igyekeznek. Ezeknek az ellenállásoknak az a következménye, hogy a magukra hagyott szabad rezgések előbb-utóbb lecsillapodnak és meg-

szűnnek. A mozgást gátló erők mindig a pillanatnyi se-bességgel ellentétesen hatnak. A gyakorlatban leggyakrabban előforduló csillapításfajták: - Száraz (Coulomb-féle) súrlódás: az ellenállást a

v

v.FR s−= 2.48

kifejezéssel adhatjuk meg, ahol Fs – a mozgásbeli súrlódóerő (2.16/a. ábra). - A sebességgel arányos ellenállás:

,vKR −= 2.49 ahol K – pozitív állandó (2.16/b. ábra). - A sebesség négyzetével arányos ellenállás:

,v

vCvR 2−= 2.50

2.16. ábra ahol C – pozitív állandó (2.16/c. ábra). Vizsgálatainkat csak lineáris rezgésekre és az első két ellenállásfajtára korlátozzuk. α/ Száraz súrlódással csillapított szabad rezgés

Az m tömegű anyagi pont mozgástörvénye:

sFsxxm m&& −= , 2.51/a

vagy

s2 Fxx m&& =ν+ , 2.51/b

ahol

ν = s

m 2.52

a körfrekvencia. v > 0 esetén a negatív, v < 0 esetén a pozitív előjel érvényes. Mivel a súrlódó erő függvényének a v = 0 helyen ugrása van (2.16.a. ábra), a feladatot két részre bontva oldjuk

Page 24: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

104

meg. A két megoldás között csak annyi a különbség, hogy a súrlódóerő előjele az ellenkezőjére változik. Szorozzuk meg (2.51/a)-t x& -tal és vegyük a v > 0 esetet:

xFxxsxxm s &&&&& −=+ ,

vagy

dt

dxF

dt

sx2

1d

dt

xm2

1d

s

22

−=

+

&

.

Integrálva:

xFEsx2

1xm

2

1s0

22 −=+& , 2.53

ahol E0 - a kezdeti teljes mechanikai ener-gia. A kifejezés tulajdonképpen az általáno-sított mechanikai energia megmaradási téte-le, ahol a kezdeti teljes mechanikai energiá-ból le kell vonni az energiaveszteségeket. A veszteség most a súrlódóerő munkája: Fsx . Ábrázoljuk most is a (2.52) összefüggésnek megfelelő kapcsolatot. Indítsuk a tömeg-pontot az x = -A0 helyzetből v0 = 0 kezdő-sebességgel (így ebben a mozgási szakasz-ban v pozitív). Legyen a kezdő pillanatban a teljes mechanikai energia E0, amely a mozgás folyamán a súrlódó erő munkájával csökken. Az energiaegyenes tehát nem víz-szintes, mint csillapítás nélküli mozgásnál, hanem -Fs iránytangensű. Az első fordulópont 2.17. ábra azon az x = A1 helyen lesz, ahol az energia- egyenes metszi a parabolát. A1 a jobb oldali amplitúdó értéke. Azonnal látszik, hogy −A 0 > A1,

tehát a súrlódóerő hatása amplitúdó-csökkenésben nyilvánul meg. A fordulópont után a sebesség és ezzel a súrlódóerő is előjelet vált (v < 0). Az energiaegyenlege most +Fs iránytangensű, a pa-rabolával való metszépontja adja az x = -A2 helyen a következő fordulópontot. Az eljárást hason-lóan folytatva meghatározhatjuk az összes fordulópontot, azaz az egyes mozgásszakaszoknak megfelelő maximális kitéréseket. A mozgás akkor akad meg, amikor az utolsó amplitúdó An ≤ e = Fs/s. A középponthoz képest szimmetrikusan felvett 2e hosszúságú szakaszt érzéketlenségi sávnak nevezzük. Mivel az egyre csökkenő szélső helyzetekben a rugóerő is egyre kisebb lesz, a súrlódóerő pedig állandó, lesz egy olyan An végkitérés, ahol sAn ≤ Fs , azaz a rugóerő már nem elegendő a súrlódóerő legyőzéséhez. Ez mindig az érzéketlenségi sávon következik be. Mivel

Page 25: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

105

d sx

dtsx

1

22

= ,

az érzéketlenségi sáv e értékét az se = Fs szerint ott kapjuk , ahol az energiaegyenes érinti a parabolát.

Térjünk vissza a súrlódással csillapított mozgás (2.51/b) differenciálegyenletéhez. Ennek általános megoldása:

x t C t C tF

ss( ) cos sin= +1 2ν ν m , 2.53

ahol C1 , C2 - integrálási állandók. Meghatározásukhoz legyenek a kezdeti feltételek a követke-zők: t = 0-nál x = -A0 , v = 0 , ami azt jelenti, hogy a tömegpontot az egyensúlyi helyzettől A0 távolságra eltávolítjuk és álló helyzetből indítjuk. Ekkor v > 0, így (2.53)-ban a felső, negatív előjel érvényes. A kezdeti feltéte-lek felhasználásával

C AF

ss

1 0= − + és C2 = 0

adódik. A mozgásegyenlet partikuláris megoldása a balról jobbra történő elmozdulás során:

x t AF

st

F

ss s( ) cos= − +

−0 ν , 2.54/a

a sebességfüggvény

tsins

FA)t(x)t(v s

0 ν

+−ν−== & , 2.54/b

a gyorsulásfüggvény

tcoss

FA)t(x)t(a s

02 ν

+−ν−== && . 2.54/c

A jobb oldali szélső helyzetet, A1 értékét, abból a feltételből határozhatjuk meg, hogy ebben a pontban a sebesség nulla. (2.54/b)-t nullával egyenlővé téve, kifejezhetjük a megálláshoz tartozó időpillanatot:

t1 = πν

.

Ezzel (2.54/a)-val:

Page 26: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

106

A 1 = − +

− = − − +

− = − = −A

F

s

F

sA

F

s

F

sA

F

sA es s s s s

0 0 0 0

22cosν π

ν . 2.55

Az amplitúdó tehát éppen az érzéketlenségi sáv nagyságával csökkent. A balról jobbra történő mozgásnál ismét a (2.53) partikuláris megoldását kell megkeresnünk (most a súrlódóerőt pozitív előjellel kell figyelembe venni).

x t C t C tF

ss( ) cos sin= + +3 4ν ν

A kerületi feltételek: t = 0 -nál (az időszámítás kezdetét áttettük t2-be) x = A1 , v = 0 . Ezekkel

C AF

ss

3 1= − , C4 = 0 .

A mozgásfüggvények visszafelé történő mozgásnál:

x t AF

st

F

sA

F

st

F

ss s s s( ) cos ( ) cos ( )= −

+ = −

+1 0 1

3ν ν , 2.56/a

v t t AF

sts( ) sin ( )− = − −

1 0

3ν ν , 2.56/b

a t t AF

sts( ) cos ( )− = − −

1

20

3ν ν . 2.56/c

A következő, bal oldali amplitúdó:

sin( )t 2 0= , ⇒ t 2 = πν

,

A AF

s

F

sA

F

sA e A

F

sA es s s s

2 1 1 1 0 0

22

44= − −

+ = − + = − + = − + = − + .

Általánosíthatjuk a kapott eredményt, hiszen látjuk, hogy az egyoldali kitérések maximuma min-dig 2e-vel csökken, az amplitúdó-csökkenés mértéke a súrlódóerő nagyságával egyenes arány-ban, a rugóállandó nagyságával fordított arányban változik.

Egy periódus lefutásához szükséges idő: T t t= + =1 2

2πν

, ami - érdekes módon -

ugyanakkora, mint a csillapítatlan rezgés periódusideje. A száraz súrlódással csillapított rezgő-

Page 27: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

107

mozgás tehát ugyanakkora körfrekvenciával zajlik, mint a csillapítatlan, csupán az amplitúdók lesznek kisebbek (218. ábra).

Ha n-nel jelöljük a félrezgések számát, akkor áll meg a mozgás, ha A n e e0 2− ≤ , innen

nA s

Fs

≥ −

1

210 , 2.57

n-t a jobb oldal felkerekített egész értéke adja. A 2.18. ábrán egy olyan súrlódással csillapított rezgőmozgás foronómiai görbéjét látjuk, ahol 5 félrezgés után áll meg az anyagi pont.

2.18. ábra β/ Sebességgel arányos csillapítás. Az anyagi pont mozgástörvénye: xKsxxm &&& −−= . 2.58/a,b Legyen

,m2

K,

m

s =κ=ν 2.58/a,b

ν - a csillapítatlan rezgésnél már megismert körfrekvencia, melyet a továbbiakban saját körfrek-venciának nevezünk, κ - az ellenállásra jellemző csilapítási tényező. Ezeket behelyettesítve az alapegyenletbe egy másodrendű homogén differenciálegyenletet ka-punk: .0xνx2κx 2 =++ &&& 2.59 Tegyük fel, hogy az λ= λ (ex t5 - egyelőre ismeretlen állandó) a differenciálegyenlet egy partiku-láris megoldása. Visszahelyettesítve (2.59)-be, λ -ra az alábbi másodfokú egyenletet nyerjük:

Page 28: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

108

02 22 =ν+κλ+λ innen

221,2 νκκλ −±−= . 2.60

A differenciálegyenlet általános megoldása az tt 2eés1e λλ partikuláris megoldások összege: t

2t

1 2eC1eC)t(xx λλ +== , 2.61 C1 és C2 integrálási állandók. A λ 1,2 gyökök lehetnek komplexek, valósak, ill. kettős gyökök. Ennek megfelelően há-rom különböző megoldást nyerünk igen szemléletes fizikai jelentéssel. κ < ν, gyenge csillapítás Ebben az esetben a gyökök komplexek:

.ahol,i 222,1 κ−ν=ωω±κ=λ

Az általános megoldás:

[ ] [ ][ ][ ]

[ ] sinωinωKcosωo(Ke)sinωsCi(C)cosωcC(Ce

ωtisinωtcosCisinωsi(cosωcCe)eCe(Cex(t)x

21κt

2121κt

21κtiωω

2iωω

1κt

+=−++

=−++=+==−−

−−−

vagy a (2.45)-nek megfelelő alakban: ( ) )tsin(Ae)t(xx 0

t ϕ+ω== κ− 2.62

az integrálási állandók közti kapcsolat:

.K

K.tgarc,KKA

2

10

22

21 =ϕ+= .

(2.62)-ből már látszik, hogy olyan harmonikus rezgésről van szó, amelynek az amplitúdója az idővel exponenciálisan csökken. A rezgés körfrekvenciája:

,22 κ−ν=ω 2.63/a tehát kisebb, mint a csillapítatlan rezgés (ott κ =0) körfrekvenciája. Egy mozgásperiódus ideje:

.22

T22 κ−ν

κ=ωκ= 2.63/b

Page 29: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

109

ω és T is csak m, s és K függvénye, a mozgás folyamán tehát változatlan. A mozgás x, t foronomiai görbéjét megrajzolhatjuk (2.19. ábra).

2.19. ábra Bármely két egymás uráni, egyirányú maximális kitérés aránya (2.62) alapján, ha Ai-hez ti idő tartozik:

[ ] k.ee

e

)Tt.sin(ωAe

)i.sin(ω.Ae

A

A κTT)κ(t

κt

0iT)κ(t

0iκt

2i

i

i

i

i===

+++

= +−

+−

+ ϕϕ

2.64

Két szomszédos, azonos irányú amplitúdó hányadosa tehát állandó. Az azonos irányú kitérések maximumai geometriai sort alkotnak. k-t csillapítási hányadosnak nevezzük, természetes logarit-musát (lnk = κ T) pedig logaritmikus dekrementumnak. Hasonlóan határozhatjuk meg két szom-szédos, de különböző irányú maximális kitérés hányadosát is:

ke.A

A2

1i

i −=−==+

2.65

A szomszédos amplitudók és a periódusidő mérésével (2.64) vagy (2.65) felhasználásával

meghetározhatjuk a csillapítási tényezőt. A foronomiai görbén jól látszik, hogy a csillapított rezgőmozgás függvénye az

amplitudócsökkenés exponenciális görbéjét nem a maximális kitérések pillanatábannérinti, ha-nem mindig egy kicsit később. Mivel az érintkezés a sin ( 1)t 0 ±=ϕ+ω -nek megfelelő időpilla-

natban történik, két azonos irányú érintkezés között eltelt idő megegyezik a periódusidővel. A tömegpont sebességét (2.62) differenciálásával nyerjük: [ ].)κsin(ωt)ωcos(ωtAev(t)v 00

κt ϕϕ +−+== − 2.66

Page 30: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

110

A maximális kitérések idejét ott kapjuk, ahol a fenti sebesség nullával egyenlő. κ > ν, erős csillapítás Ebben az esetben mindkét gyök valós és negatív. A differenciálegyenlet általános megoldása:

.2eC1eC)t(xx t

2t

1λλ +== 2.67

A negatív kitevők miatt x exponenciálisan csökken és - κ -tól, ill. a C1 és C2 integrálási állandók megválasztásától függően rövid növe-kedés vagy egyszeri középpontátlépés után - aszimptotikusan a nulla felé tart (2.20. ábra). Rezgésről tulajdonképpen már nem is beszélhe-tünk. A mozgást gátló, igen nagy ellenállás miatt ún. aperiódikus rezgés keletkezik. κ = ν aperiódikus határeset A két gyök most egyenlő:

.21 κ−=λ=λ A differenciálegyenlet általános megoldása:

.e)CC()t(xx t21

κ−+== 2.68 2.20. ábra Itt az első ábrarészletnek megfelelő aperiódikus mozgás lép fel. A kitérés aszimptotikusan tart a nulla felé. 3. Gerjesztett (kényszerített) rezgés (lengés) Gerjesztett rezgésről akkor beszélünk, ha a tömegpontra a rugó- és a csillapítóerőn kívül még valamilyen egyéb zavaró, általában időben periódikusan változó erő is hat. A zavaróerőnek az egy perióduson belüli változása igen bonyolult lehet, a gyakorlat szempontjából legfontosabb esetekben azonban sinus vagy cosinus függvénnyel adható meg. Így például ,tsinF)t(F 0 Ω= 2.69

ahol F0 - a gerjesztőerő maximuma, Ω - a gerjesztő körfrekvencia. A tömegpont mozgásának alapegyenlete:

Page 31: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

111

.tsinFxKsxxm 0 Ω+−−= &

A korábban alkalmazott és a m

Ff 0

0 = helyettesítésekkel:

.tsinfxx2x 0

2 Ω=ν+κ+ &&& 2.70

Ennek a másodrendű inhomogén differenciálegyenletnek az általános megoldása egy partikuláris megoldásának és a homogén differenciálegyenlet általános megoldásának és a homogén differen-ciálegyenlet általános megoldásának összegeként adódik. A homogén egyenlet általános megol-dását azonban már ismerjük, mert az nem más mint a gerjesztés nélküli, csillapított szabad rezgés mozgásegyenlete (κ értékétől függően (2.61), (2.67) vagy (2.68). Keressük a partikuláris megol-dást az tsinDtcosDx 21 Ω+Ω= 2.71 alakban (D1 és D2 egyelőre ismeretlen állandók). Visszahelyettesítés és rendezés után: [ ] [ ] .0tsinf)(DD2tcosD2)(D 0

22212

221 =Ω−Ω−ν+κΩ−+ΩκΩ+Ω−ν

Ez az egyenlőség a sinus és cosinus függvények lineáris függetlensége miatt csak úgy állhat fenn, ha a szögletes zárójelben lévő mennyiségek nullával egyenlők. A két kifejezésből:

.4)(

)(fD,

4)(

f2D

22222

220

2222220

1 κΩ+Ω−νΩ−ν=

κΩ+Ω−νΩκ−=

Ezzel a partikuláris megoldást meg is találtuk. Írjuk át (2.71)-et az amplitúdós formába: ),tsin(A)t(xx 0ϕ−Ω== 2.72

ahol

,4)(

fDDA

22222

022

21

κΩ+Ω−ν=+= 2.73

.2

ctgarD

Dctgar

222

10 Ω−ν

κΩ=

−=ϕ 2.74

Ezzel a (2.70) általános megoldása (κ<ν feltételezéssel): ).sin(ωieA)Asin(Ωsx(t)x '

0-κκ'

0 ϕϕ ++−== 2.75

A kapott eredmény fizikai jelentése a következő. Gerjesztett rezgés esetén az anyagi pont mozgá-sa egy Ω körfrekvenciájú csillapítatlan és egy ω körfrekvenciájú csillapított rezgésből ( ν≥κ

Page 32: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

112

esetén egy aperiodikus mozgásból) tevődik össze. A csillapított mozgás bizonyos idő múlva el-hanyagolható, így tartósan csak az első rész marad meg. A tömegpont a gerjesztő Ω körfrekven

2.21. ábra ciával csillapítatlan rezgést, azaz kényszerrezgést végez (2.21. ábra). A rezgés amplitúdója, va-lamint a gerjesztő erő és a kényszerrezgés között fellépő 0ϕ fáziskülönbség a gerjesztő körfrek-

venciától függ. A 2.22. ábrán a (2.74)-nek megfelelő 0ϕ = arc tg 2

1

2

Ω−

Ω

ννκ

ν függvényt ábrá-

zoltuk különböző νκ

paraméterek mellett. A 0ϕ fázisszög 0 és π között változhat, a gerjesztett

rezgés tehát a 0ϕ =0 eset kivételével mindig késéssel követi a gerjesztő rezgést. Ha ,1=νΩ

azaz a

gerjesztő körfrekvencia megegyezik a csillapítatlan rezgés saját körfrekvenciájával, akkor a fázis-

szög függetlenül a csillapítási tényezőtől mindig ,0és1Ha.2

=κ≠νΩπ

a rezgés vagy fázisban

( ν)Ωha0,0 ⟨=ϕ vagy ellenfázisban ν)Ωhπ,( 0 ⟩= aϕ van a gerjesztő-rezgéssel.

A gerjesztett rezgés amplitúdójának vizsgálatához vizsgáljuk meg először az Ω=0 esetet, ami időben állandó gerjesztőerőnek (sztatikus terhelésnek) felel meg. (2.73)-ból

.s

F

FA 0

20

sztat == 2.76

Mivel most 0ϕ =0, nem rezgőmozgást kapunk végeredményül. A tömegpont az F0 erő hatására

Asztat= F0/s értékkel elmozdul és ebben a helyzetben marad. A másik szélső esetben .∞=Ω Ek-kor A→ 0, ami azt jelenti, hogy a tömegpont tehetetlenségénél fogva nem tudja követni az igen gyorsan változó gerjesztőerőt. Számítsuk ki az

Page 33: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

113

2.22. ábra

2222sztat

.41

1

A

A

νκ

νΩ+

νΩ−

= . 2.77

hányadost, melyet nagyítási függvénynek nevezünk, mert azt mutatja meg hányszor nagyobb a

kinetikusa kitérés a sztatikus kitérésnél. Ha ezt a függvényt különböző csillapítási νκ

paraméte-

rek mellett ábrázoljuk (2.23. ábra) az ún. rezonanciagörbéket kapjuk. Mint látjuk a különböző csillapítási tényezőkhöz tartozó rezonanciagörbéknek bizonyos kritΩ értékeknél maximumuk van.

A jelenséget rezonanciának nevezzük, az kritΩ -t pedig kritikus vagy rezonancia-körfrekvenciának

hívjuk. Ezt az értéket (2.73) Ω szerintidifferenciálásával kapjuk. A 0d

dA =Ω

kifejezésből

(2.63/a)-t is figyelembe véve:

.2 2222krit κ−ω=κ−ν=Ω 2.78

Page 34: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

114

2.23. ábra

A kritikus körfrekvencia tehát nemcsak a saját körfrekvenciánál, de a csillapított rezgés körfrek-venciájánál is kisebb. Csak 0=κ -nál, azaz csillapítatlan rezgésnél egyezik meg a saját körfrek-venciával. A maximális kitérés (2.73) és (2.78) felhasználásával:

.m2

F

m2

FA 0

22

0max ωκ

=κ−νκ

= 2.79

Az ábrán is jól látható, hogy a kis csillapítási tényezőknél az amplitúdók maximuma jelentős le-het. Növekvő κ -val a kitérések maximumai egyre csökkennek, sőt 2/22 ν≥κ -nál a rezonancia-görbének nincs is maximuma (kritΩ ilyenkor képzetes vagy nulla).

A rezonanciának rendkívül jelentős szerepe van a fizika minden területén és a mindennapi életben is. A műszaki gyakorlatban általában igyekezni kell a rezgések maximális kitéréseit lehe-tőleg kis értéken tartani. Ezt az ábra szerint a leghatásosabban úgy érhetjük el, ha a gerjesztő kör-frekvenciát (lényegesen) nagyobbra választjuk a tömegpont (szerkezet) saját frekvenciájánál. 2.1.3.2. KÉNYSZERMOZGÁS Kényszermozgást végez az anyagi pont, ha pályáját bizonyos (geometriai) feltételek korlátozzák, ill. megszabják. Ezek a feltételek olyan más testek hatásaként jönnek létre, amelyek mechanikai szempontból – éppúgy mint a sztatikában – erőt, ún. kényszererőt jelentenek. A kényszermozgást

Page 35: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

115

előíró erők lehetnek nyugalomban, de mozoghatnak is (álló és mozgó kényszerek), ennek megfe-lelően a kényszerítők általános esetben a hely, az idő és a viszonyított sebesség függvényei. A műszaki gyakorlatban előforduló mozgások többsége kényszermozgás, hiszen valamely szerkezet egyes elemeinek jól meghatározott mozgást kell végezniük, amit más szerkezeti ele-mekkel, mint kényszerekkel valósítunk meg. A kényszer leggyakrabban azt jelenti, hogy az anyagi pontok állandóan egy megadott , merevnek tekinthető, nyugvó, esetleg álló felületen vagy görbén kell mozognia. Az előírt kény-szerfeltételt a felület, ill. a görbe egyenlete jelenti, amit a tömegpont helykoordinátáinak minden pillanatban ki kell elégíteniük. Megszabott felület esetén a mozgás szabadságfoka kettő, megsza-bott pályagörbe esetén egy. A kényszer általában az 0)t,r,r(f =& 2.80 matematikai függvénnyel adjuk meg. A kényszerek csoportosítása a független változók szerint történhet:

rheonom szkleronom holonom 0)t,r(f = 0)r(f =

anholonom 0)t,r,r(f =& 0)r,r(f =&

Ha a kényszerfeltétel csak a helynek és az időnek a függvénye, akkor holonom, egyébként anholonom kényszerről beszélünk. Ha a feltétel az időt explicit tartalmazza, azaz a kényszer mo-zog, rheonom, álló kényszer esetén szkleronom kényszer az elnevezés. Legyen a kényszer által létrehozott erő FAz.K szabaderőket is figyelembe véve a tö-megpont mozgásáénak alapegyenlete: ,KFam += 2.81 azaz a kényszererők és szabaderők együttes hatására az anyagi pont úgy mozog, mintha szabad mozgást végezne. Konkrét számításokhoz azonban (2.81) nem használható, hiszen nemcsak a gyorsuláskomponenseket, de a kényszererő komponenseit sem ismerjük. A D’Alambert-elv meg-fogalmazásában az alapegyenlet így szól: A szabad- és kényszererők, valamint a tehetetlenségi erő egyensúlyban van. Az elv számtalan esetben itt is igen szemléletesen alkalmazható. A/ Sima kényszerek Amennyiben a súrlódóerő hatása a többi erő mellett elhanyagolható, az anyagi pont és a vele érintkező testek felületét abszolút simának tekinthetjük és sima kényszerekről beszélünk. a/ Mozgás előírt felületen Ha nincs súrlódás, akkor a felület minden pillanatban támasztókényszerként működik, tehát a kényszererő iránya mindig merőleges a felületre. Mivel a gradiens vektornak is az a tulaj-donsága, hogy adott pontban a felület érintősíkjára merőleges, a kényszererőt általános alakban a

Page 36: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

116

rd

dfλλgradfK == 2.82

kifejezéssel adhatjuk meg, ahol λ - egyelőre ismeretlen szorzótényező. A (2.81) alapegyenletben így – holonom kényszert véve – négy ismeretlen lesz. A negyedik egyenletet pedig a felület kife-jezése adja:

.0t),rf(,rd

dfλFrm =+=&& 2.83/a

Descartes-féle koordinátarendszerben:

0t)z,y,f(x,,δz

δfλFzm,

δy

δfλFym,

δx

δfλFxm zyx =+=+=+= &&&&&& 2.83/b

b/ Mozgás előírt görbén Súrlódóerő hiányában a kényszererő hatásvonala adott pillanatban a görbe érintőjére me-rőleges. Amennyiben a görbét az 0)t,r(fés0)t,r(f 21 == 2.84/a,b felületek metszéspontjaiként adjuk meg a kényszererő vektora:

,rd

df

rd

dfgardfgardfK 2

21

12211 λ+λ=λ+λ= 2.85

21 és λλ - egyelőre ismeretlen tényezők. Ezzel a tömegpont mozgásegyenlete:

.rd

dfλ

dr

dfλFrm 2

21

1 ++=&& 2.86

Ebben öt ismeretlen van, a hiányzó két összefüggést (2.84/a,b) szolgáltatja. Az előbbi eljárásnál sokszor gyorsabban célhoz érhetünk, ha az előírt pályagörbe termé-szetes koordinátarendszerében írjuk fel (2.81)-et:

,dt

dvmFma ee == 2.87/a

Page 37: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

117

,v

mKFma2

nnn ρ=+= 2.87/b

,0KFma bbb =+= 2.87/c

annak megfelelően, hogy sima pályán a kényszererőnek nincs érintő irányú komponense, azaz a sebesség nagyságát csak szabaderő tudja megváltoztatni és a binormális gyorsulás nulla, tehát a szabad- és kényszererőnek a binormális irányú komponensei egymással egyensúlyban vannak. Megemlítjük, hogy kényszermozgás esetén is jól alkalmazhatók a tömegpont mozgására vonatkozó kinetikai tételek, különösen, ha meggondoljuk, hogy akár álló, akár mozgó kényszerek esetén a kényszererők munkája zérus, így sem a munkatételben sem az energiamegmaradás téte-lében nem szerepelnek. 1. Matematikai sík inga Egyik végén felfüggesztett súlytalannak és merevnek képzelt, 1 hosszúságú fonál másik végére egy m tömegű anyagi pontot erősí-tünk. Ha a fonál függőleges helyzetében a tömegpontnak 0ω kezdő szögsebességet

adunk ( a kerületi feltételek tehát t=0-nál

0és0 ω=ϕ=ϕ & ), a tömegpont síkmozgást

fog végezni és a szerkezetet matematikai síkingának nevezzük. A tömegpont egy suga-rú köríven mozog, pályája tehát megszabott, azaz kényszermozgásról van szó. A kényszer a kötél, s mint látjuk, mozog. A szabaderő a G súlyerő, a kényszererő az ismeretlen K nagyságú, de kötélirányú kötélerő. A (2.87)-nek megfelelő kifejezések: 2.24. ábra

,dt

dml

dt

sdm

dt

dvmGsin

2

2

2

2 ϕϕ ===−

.1

vmKcosG

2

=+ϕ−

Az elsőből:

0.sin1

g =+ ϕϕ&& 2.88

Ennek a differenciálegyenletnek a megoldása elliptikus integrálra vezet, zárt formában tehát nem adható meg. A tömegpont sebességét (legalábbis a helyzet függvényében) a teljes mechanikai energia megmaradási tételével is kiszámíthatjuk (a szabad erő konzervatív erőteret alkot):

Page 38: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

118

.l)ω(vmv2

1E)cosmgl(1mv

2

100

200

2 ===−+ ϕ

Így

),cos1(gl2v)(vv 20 ϕ−−=ϕ= 2.89/a

vagy

.)cos1(1

g2)( 2

0 ϕ−−ω=ϕω=ω 2.89/b

A sebesség ismeretében a kötélerő:

[ ].)cos1(gl2v1

mcosGK 2

0 ϕ−−+ϕ= 2.90

Amennyiben csak kis kitéréseket engedünk meg, a (2.88) differenciálegyenlet a ϕ≅ϕ sin közelítéssel a 0ν 2 =+ ϕϕ&& 2.91

alakba megy át, ahol .1g=ν Az általános megoldás

),tsin(A)t( 0ϕ+ν=ϕ=ϕ 2.92/a

ami a már jól ismert rezgő vagy lengő mozgás egyenlete. A korábban megadott kezdeti feltéte-lekkel a partikuláris megoldás:

,tsin)t( 0 νν

ω=ϕ=ϕ 2.92/b

a periódikus mozgás körfrekvenciája:

,1

g=ν 2.93

periódusideje:

,g

12T π= 2.94

Mindkét mennyiség független az anyagi pont tömegétől és a kitérés nagyságától (természetes kis kitéréseken belül).

Page 39: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

119

B/ Kényszerek súrlódással Amennyiben a súrlódás nem hanyagolható el, akkor a kényszererőnek lesz egy, a kény-szerfelület vagy kényszerpálya érintősíkjába eső komponense. A Coulomb-féle mozgásbeli súr-lódásnál a súrlódóerő nagysága arányos a normális erővel és a sebességvektorral ellentétes irá-nyú. A súlódóerő általános alakja tehát:

,v

v

rd

dfλµ

v

vµN.S −=−= 2.95

ahol µ - a mozgásbeli súrlódási tényező. Ezt az erőt hozzáadva (2.83/a) jobb oldalához, megkapjuk a kényszerfelületen mozgó anyagi pont alaptörvényét a súrlódást is figyelembe véve. Hasonlóan járunk el előírt pályagörbe esetén is. Az ily módon kibővített differenciálegyenletek megoldása még a legegyszerűbb kényszerek esetén is meglehetősen bonyolult (ha egyáltalán van megoldás).Éppen ezért a kinetikai tételek alkalmazása sokszor gyorsabban eredményre vezet. Vigyáznunk kell azonban, mert mozgó kényszer esetén a súrlódóerő munkája nem nulla és a súrlódóerő nem is konzervatív, így a munkatételt és az energiamegmaradás tételét csak ezek figyelembevételével szabad használni. 2.2. A RELATÍV MOZGÁS KINEMATIKÁJA Newton kinetikai alaptörvényét – hallgatólagosan – abszolút nyugalomban lévő koordiná-tarendszerben ún. inerciarendszerben értelmeztük. Az álló koordinátarendszerhez képest tetszőle-ges mozgást végző koordinátarendszerben az anyagi pont gyorsulását, ill. a gyorsulások közötti kapcsolatot (1.101) adja. Fejezzük ki ebből az összefüggésből a relatív gyorsulást és szorozzuk meg mindkét oldalt az anyagi pont tömegével: ).'rx(xm'rxmam'vxm2Famamam'am 0szC ωω−ε−−ω−=−−= 2.96/a

Az anyagi pont relatív koordinátarendszerbeli mozgástörvénye: ,FFF'rm szC ++=&& 2.96/b

ahol −'r a tömegpont helyvektora a relatív koordinátarendszerben, −F a ténylegesen ható, „valódi” erők eredője, −CF a Coriolis erő,

−szF a szállító vagy vezető erő.

A mozgó koordinátarendszerben tehát a mechanika Frm =&& alaptörvénye nem érvényes, mert (2.96/b) jobb oldalán az anyagi pontra ható erőkön kívül általános esetben még két erő di-menziójú mennyiség is szerepel. Ezek fellépését a mozgó rendszerbeli megfigyelő éppen saját rendszere mozgásának tulajdonítja és a következőképpen gondolkodhat. Mivel nem inerciarendszerben van, a mechanikai jelenségeket csak úgy értelmezheti helyesen, ha a valósá-gos erőkhöz hozzáadja a Coriolis és a szállítóerőket. E két – fizikai értelemben nem erő, de erő dimenziójú – mennyiség eredőjét tehetetlenségi erőnek nevezzük. A tehetetlenségi erőt (2.96/a)

Page 40: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

120

alapján tulajdonképpen négy összetevőre bontjuk. Ha ,0F = azaz a tömegpontra valódi erő nem hat, akkor ezzel a négy taggal lehet leírni a test tehetetlenségét, amelynek hatására a magára ha-gyott test a nyugvó koordinátarendszerben gyorsulás nélkül mozog. A kinetika alaptörvényét ezek után így fogalmazhatjuk meg. Az alapegyenletet bármely vonatkoztatási rendszerben alkalmazhatjuk, ha a valóságos erőkhöz hozzáadjuk a tehetetlenségi erőket. A tehetetlenségi erő fogalmának bevezetése tehát nagyon praktikus, mert segítségével a mechanikai jelenségek bármely rendszerben a korábbiaknak megfelelő módon magyarázhatók. A tehetetlenségi erők egyébként hatás szempontjából a mozgó koordinátarendszerbeli megfigyelő számára éppúgy megnyilvánulnak és éppúgy mérhetők, mint a valódi erők. Ha a mozgó koordinátarendszer az állóhoz képest egyenes vonalú, egyenletes sebességű mozgást végez, akkor ,0ωés0a0 == tehetetlenségi erők tehát nem lépnek fel. Az alapegyenlet mindkét

rendszerben ugyanolyan alakú: FrmésFrm ' == &&&& . Ha a mozgó koordinátarendszerbeli meg-figyelő valamilyen mechanikai kísérletet végez, eredményeit ugyanolyannak fogja találni, mint az álló koordinátarendszerbeli megfigyelő, a megfelelő saját kísérleteinek eredményét. Azaz mindegyik joggal állíthatja magáról, hogy saját koordinátarendszere inerciarendszer. Ez azt jelen-ti, hogy minden egymáshoz képest egyenes vonalú, egyenletes sebességgel mozgó koordináta-rendszer ugyanolyan joggal tekinthető inerciarendszernek. A végtelen sok inerciarendszer közül egynek sincs kitüntetett szerepe. Gyorsuló transzlációt végző rendszerekben ,0ωés0a0 =≠ így

,amF'rm 0−=&&

a tehetetlenségi erő tehát .am 0−

Forgómozgást végző rendszerekben, ha 0ωés0a0 ≠= az alapegyenlet

)'rxωx(ωm'rxεm'vxω2mF'rm −−−= alakú. A tehetetlenségi erőnek tehát három összetevője van. A 'rxεm− a szögsebességvektor változásából adódik, állandóω -nál, azaz álló tengely körüli, egyenletes szögsebességű forgásnál nulla, az 'vxω2mFC −= Coriolis erő csak akkor lép fel, ha a tömegpont a forgó rendszerhez ké-

pest mozog, a nmRω)'rxωx(ωm 2−=− az ún. centrifugális erő a forgástengelytől radiális irány-ban kifelé mutat. Az állócsillagokhoz kötött koordinátarendszer gyakorlatilag inerciarendszernek tekinthe-tő. Ebben a rendszerben a Föld transzlációs és rotációs mozgást végez. Az

15s7.272.10ω −−= nagyságú (gyakorlatilag állandó) szögsebesség következtében fellépő centrifu-gális erőnek tulajdonítható a Föld lapultsága és a nehézségi gyorsulásnak a földrajzi szélességgel való változása. A Föld sugara R = 6370 km, így az egyenlítőn a szállító gyorsulás, ami a Föld középpontja felé mutat 0,0201Rωa 2

sz == m/s2. Ez szuperponálódik a nehézségi gyorsulás va-

lódi értékéhez, ami az egyenlítőn 815,9g0 = m/s2, a mérhető gyorsulás tehát g=9,7949 m/s2. A

Coriollis erővel magyarázható a szabadon eső test pályájának a függőleges irányától való eltéré-se, a hosszútávú lövedék, a szél, a tengeri áramlatok pályájának oldalirányú kitérése. A Föld for-

Page 41: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

121

gása annak is az oka, hogy az északi és déli féltekén a kádból kifolyó víz ellenkező irányban fo-rog. A Föld viszonylag kicsi szögsebessége miatt a műszaki gyakorlatban előforduló mozgá-sok többségénél a tehetetlenségi erőket elhanyagolhatjuk, a Földhöz kötött koordinátarendszert inerciarendszernek tekinthetjük. 2.3. A MEREV TEST KINETIKÁJA Newton anyagi pontra vonatkozó alapegyenlete közvetlenül alkalmazható minden olyan problémánál, ahol egyszerre n számú, különálló egyenként anyagi pontnak tekinthető – és egy-mással kölcsönhatásban lévő test mozgását kell meghatározni. Ha az ilyen ún. diszkrét pontrend-szer Pj-edik anyagi pontjának tömege mj, helyvektora jr és a rá ható összes erő eredője ,R j akkor

a rendszer mozgásegyenlete: 1,2,....n.j,Rrm jjj ==&& 2.97

A pontrendszer mozgásának meghatározása tehát n számú, vektorális, másodrendű diffe-renciálegyenlet, vagy 3n számú skaláris másodrendű differenciálegyenletből álló egyenletrend-szer megoldására vezethető vissza. A merev test mozgásának tanulmányozá-sához is célszerű a testet anyagi pontrendszerre visszavezetni. Bontsuk fel a testet kisméretű, ún. elemi nagyságú térfogatelemekre, ill. a térfogat-elemek súlypontjában elképzelt és a térfogat-elemmel megegyező tömegű, véges számú anyagi pontok rendszerére (2.25. ábra). Minél kisebbek a térfogatelemek, annál nagyobb számú anyagi pontból áll a rendszer, de kinetikai szempontból annál jobban megközelítjük a merev testet. 2.25. ábra 2.3.1.A MEREV TESTRE HATÓ ERŐK ÉS CSOPORTOSÍTÁSUK A merev testet helyettesítő anyagi pontok rendszerében a Pj tömegpontra ható erőket két nagy csoportra oszthatjuk: az −jF vel jelölt külső erők, amelyek a rendszeren kívüli testek hatásából származnak,

az valFjk − jelölt belső erők, melyek a rendszeren belül, az egyes diszkrét pontok között hatnak.

Az jkF az a belső erő, amelyet a k-adik tömegpont fejt ki a j-edik tömegpontra.

A külső erők általában adottak, míg a belső erőket legtöbbször nem ismerjük. A kísérleti tapasz-talatok azonban azt mutatják, hogyha a merev test belső erőit szűkebb értelemben vett centrális erőnek tekintjük – azaz a belső erőknek van potenciálja - , akkor a merev test mozgása a gyakor-lat számára kielégítő pontossággal leírható. Ez a feltételezés azt jelenti, hogy az jkF belső erő a Pj

és Pk pontot összekötő irányban hat. Az akció-reakció elve miatt pedig

Page 42: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

122

.FF jkkj −= 2.98

Ezek a megállapítások – mint azt később látni fogjuk – a merev test kinetikájában döntő jelentő-ségűek. Az erőket más szempontok szerint is csoportosíthatjuk. Ha a tömegpontrendszer egyes pontjainak mozgására valamilyen megszorítást teszünk, a rendszer kényszermozgást végez. A kényszererők azok az erők, amelyek a kényszerfeltételek miatt lépnek fel, ill. éppen a kényszer-feltételt helyettesítik. A kényszererőket geometriai eredetű erőnek is nevezhetjük, mert ezek a rendszeren kívüli vagy a rendszer egyes részei között fennálló geometriai jellegű előírásoktól, feltételektől függenek. A rendszerre ható összes többi erő szabaderő. Ezeket fizikai eredetű erők-nek nevezhetjük, mert hatásuk valamilyen fizikai jelenségből, törvényből ered. A szabad erők általában ismertek, a kényszererők nem, meghatározásuk éppen a feladat egyik része. Mind a szabaderők, mind a kényszererők lehetnek külső és belső erők is. A kétféle cso-portosítás más szempont szerint történik. Amennyiben a merev testet különálló anyagi pontok összességének tekintjük, akkor a Pj és Pk anyagi pontok közötti, tömegvonzásból származó erő belső szabad erő, a merevségi feltétel miatt pedig az anyagi pontok egymáshoz viszonyított moz-gása nem szabad ( =jkr áll.), e kötöttség miatt két tetszőleges pontot összekötő irányban belső

kényszererő ébred. Ha a merev testnek – tehát a kötött pontrendszernek, mint egésznek - a moz-gását valamilyen módon akadályozzuk, akkor az előírt mozgásfeltételek a külső kényszererők hatására valósulnak meg. Ha a merev test mozgására nézve semmiféle kikötést sem teszünk, ak-kor az a külső szabad erők hatására végez szabad mozgást. A merev test Pj pontjának alaptörvényét ugyanúgy írhatjuk fel, mint az anyagi pont kény-szermozgásánál, azaz a szabad erőkhöz hozzávesszük a kényszererőket is és a mozgást szabad mozgásként kezeljük. Az előbbi csoportosításnak megfelelően:

∑ ∑= =

+++===1k 1k

kényszerjk

szabadjk

kényszerj

kényszerjjjj ,FFFFRrmam && 2.99/a

vagy összefoglalva a szabad és kényszererőket: ∑+==

kjkjjj ,FFRrm&& 2.99/b

ahol

jF – a j-edik tömegpontra ható összes külső erő eredője,

∑k

jkF – pedig a j.-edik tömegpontra ható összes belső erő eredője. (2.99/b)-ben a belső erőknél

az összegzés pontos jelölését elhagytuk és így tesszük a továbbiakban is mert mint látni fogjuk, a konkrét n érték, tehát az anyagi pontok számának ismerete csak elvi jelentőségű. A szumma alatt csak azt jelezzük, hogy melyik futóindex szerint kell az összegzést elvégezni. (2.99/b) ugyan formailag megadja a tetszőlegesen kiválasztott tömegpont gyorsulását, konkrét számításokhoz mégsem használható, mert – most az esetleg ismeretlen kényszererőktől eltekintve – a belső erők nagyságát nem ismerjük. A következőkben azonban látni fogjuk, hogy a belső erők tulajdonságaira vonatkozó feltételezések elegendőek ahhoz, hogy a merev test mozgá-sát meghatározó összefüggéseket, tételeket levezessük. Mielőtt ezekre rátérnénk, meg kell ismer-kednünk a merev test egy fontos geometriai jellemzőjével.

Page 43: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

123

2.3.2. A MEREV TEST TEHETETLENSÉGI (INERCIA) NYOMATÉKA A merev test valamely n tengelyre vonatkozó tehetetlenségi vagy inercianyomaték vekto-ra alatt a ∑=

jjjjn ),rxnx(rmJ 2.100/a

vagy határátmenettel a

∫=m

n )dmrxnx(rJ 2.100/b

összefüggéssel definiált mennyiséget értjük, ahol n – az n jelű tengely egységvektora (2.26. áb-ra). Az így definiált mennyiség meglehetősen bonyolultnak tűnik és nemigen értelmezhető szem-léletesen, de később látni fogjuk, hogyan alakult ki ez a kettős vektorszorzat, a vektormennyiség analízisével pedig szemléletes mennyiségeket nyerünk. Határozzuk meg a nJ vektor n tengelyre és arra merőleges m tengelyre vett vetületét.

[ ]∑ ∑ =−===j j

jjjjjjjjnn )rn(r)rr(nmn)rxn(xrmnnJJ

[ ] [ ]∑ ∑ ∑=−=−

j j jjjjnjjjjj mdrrmrnrnm ,)( 222222

2.101/a vagy határátmenettel

∫= .dmdJ 2n 2.101/b 2.26. ábra

Az m tengely merőleges az n-re, így .0m.n =

( ) [ ] [ ]2.102/a,mrr

)rn)(rm()rr)(nm(m)rn(r)rr(nmmrxnxrmmmJJ

jjjmjn

jjjjjj

jjjjjjj

jjjnnm

∑∑∑

−=

=−=−===

határátmenettel

∫=m

mnnm .dmrrJ 2.102/b

Page 44: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

124

A (2.101) és (2.102) kifejezések azt mutatják, hogy Jn és Jnm a szilárdságtanban megismert másodrendű nyomaték. A különbség csak any-nyi, hogy most térbeli idomról van szó és a jellemző mennyiség a tömeg. (2.101)-ben a d a merev test pontjainak n tengelytől mért távol-ságát jelenti, ezért ezt tengelyre vonatkozó te-hetetlenségi nyomatéknak nevezzük. (2.102)-ben rn a merev test pontjainak az n – m tenge-lyekre merőleges, de az m tengelyt tartalmazó síktól mért távolsága, rm pedig az erre a síkra merőleges, tehát az n tengelyt tartalmazó síktól mért távolság (2.27. ábra). Ezt a mennyiséget centrifugális vagy deviációs tehetetlenségi nyomatéknak hívjuk. Tétel: A merev test tetszőleges tengelyre vett te- 2.27. ábra hetetlenségi nyomatékvektorát mindig megad- hatjuk egy tenzor mátrixának és a tengely egységvektorából alkotott oszlopmátrixnak a szorzatá-val, ami azt jelenti, hogy a merev test tehetetlenségi nyomatéka tenzormennyiség. Bizonyítás: Helyettesítsük be az knjninn zyx ++= egységvektort (2.100/b)-be:

[ ]

.nJnJnJ

)dmrxkx(rn)dmrxjx(rn)dmrxix(rndmr)xknjni(nxrJ

zkyjxi

m m m

zyx

m

zyxn

++=

=++=++= ∫ ∫ ∫∫

2.103/a Itt −kJi J,J,J a definíció értelmében – a

merev test tehetetlenségi nyomatékvektora az x, y és z tengelyre. Az iránycosinuszok átalakításával:

),kn(J)jn(J)in(JJ kjin ++= 2.103/b

Ezek szerint, ha ismerjük három egymásra merőleges és egy pontban metsződő ten-gelyre a merev test tehetetlenségi nyoma-tékvektorát, akkor a metszésponton átmenő bármely tengelyre vonatkozót (2.103/b)-vel

2.28. ábra meghatározhatjuk. A kifejezésben nJ vek- tor, ill. komponensei az nváltozónak

(komponenseinek) lineáris homogén függvénye. Az ilyen vektoregyenletet, ill. skalár egyenletrendszert mindig felírhatjuk egy tenzormennyiség mátrixának és az egységvektor mátri-xának szorzataként:

Page 45: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

125

nTJ jn, = 2.103/c

jT -t tehetetlenségi (inercia-) tenzornak nevezzük. A tenzort reprezentáló mátrixnak a térben

32=9 eleme van. (2.103/b)-ből megállapíthatjuk, hogy a mátrix oszlopait a kJésJ,J ji vektorok

komponensei alkotják. Jelöljük a iJ három komponensét Jx, Jxy, Jxz-vel. Ekkor a 2.28. ábra

[ ] [ ]∫ ∫ ∫ =−=−===m m m

ix dm)ri)(ri()r)(ii(dm)ri(r)rr(ii)dmrxix(riiJJ

∫ ∫ +=−=m m

2222 )dm.z(y)dmx(r 2.104/a

Az utolsó zárójelben lévő mennyiség az r helyvektorú pont x tengelytől mért távolsága. Jx tehát a merev test x tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka. Hasonló módon kapjuk az y és z ten-gelyre vonatkozó inercianyomatékokat:

∫ ∫ +=+=m m

22z

22y .dm)yx(J,dm)zx(J 2.104/b,c

nekJi − az y tengelyre vett vetülete:

[ ] [ ] ∫∫ ∫ ∫ =−−=−−==−=−mm m m

ixy xydm,dm)ri)(rj()rr)(ij(dm)ri(r)rr(ij)dmrxix(rjjJJ ...

2.105/a Hasonlóan

∫ ∫ −====−m m

yxjxy .JyxdmxydmiJJ

Jxy = Jyx tehát a merev testnek az x – z és y – z koordinátasíkokra vonatkozó deviációs nyomaté-ka. Analóg számítással kapjuk a másik négy deviációs nyomatékot:

∫ ∫====m m

zxxzzyyx .xzdmJJ,yzdmJJ 2.105/b,c

Ezzel a tehetetlenségi tenzor mátrixa:

−−−−−−

=

zyzxz

zyyxy

zxyxx

J

JJJ

JJJ

JJJ

T 2.106

(2.105) miatt a mátrix szimmetrikus, így a tehetelenségi tenzort hat skaláradattal jellemezhetjük.

Page 46: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

126

Bevezethetjük még a síkra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték fogalmát, a koordináta-rendszer síkjaira:

∫∫ ∫ ==m

2zz

m m

2yy

2xx ,dmzJ,dmyJ,dmxJ 2.107/a,b,c

valamint a pontra vonatkozó vagy poláris tehetetlenségi nyomatékot:

∫=m

20 dmrJ 2.108

Tétel: Több részre bontható merev test tengelyre (síkra, síkokra, pontra) vett tehetetlenségi nyo-matéka egyenlő részeinek ugyanazon tengelyre (síkra, síkokra, pontra) vett tehetetlenségi nyoma-tékainak algebrai összegével (összegzési tétel). Bizonyítás: A definícióból következik, hiszen

∑ ∑==j j

njj2jn JmdJ 2.109

Tétel: Ha a merev testet ki lehet egészíteni úgy, hogy mind a kiegészítés, mind a kiegészített test tehetetlenségi nyomatékát ismerjük, akkor az eredeti test tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a kiegészített merev test és a kiegészítés tehetetlenségi nyomatékának különbségével (kiegészítési

tétel). Bizonyítás: Legyen J a 2.29. ábrán látható „kiegészített” test tehetetlensé-gi nyomatéka. Egészítsük ki a testet derékszögű hasábbá és alkalmazzuk az összegzési tételt:

skiegészítéttkiegészíte JJJ += ,

innen

2.29. ábra skiegészítéttkiegészíte JJJ −= . 2.110

Tétel: A poláris tehetetlenségi nyomaték egyenlő a vonatkoztatási ponton átmenő, három egy-másra merőleges síkra vett tehetetlenségi nyomaték összegével vagy a ponton át felvett három, egymásra merőleges tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték összegének felével. Bizonyítás:

( ) zzyyxx

m

2

m

2

m

2

m

222

m

20 JJJdmzdmydmxdmzyxdmrJ ++=++=++== ∫∫∫∫∫ ,

ill.

Page 47: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

127

[ ] =+++++== ∫∫m

222222

m

20 dmzyzxyx

2

1dmrJ ,

( )zyx

m

22

m

22

m

22 JJJ2

1dmyxdmzxdmzy

2

1 ++=

++

++

+= ∫∫∫ . 2.112

Tétel: A merev test deviációs nyomatéka nulla, ha legalább az egyik vonatkoztatási sík szimmet-riasík. Bizonyítás: Könnyem beláthatjuk, hogy két szimmetrikusan elhelyezkedő tömegelem deviációs nyomatéka csak előjelben különbözik, tehát a kettő összege zérus. A teljes szimmetria miatt min-den tömegelemnek van párja, így a teljes deviációs nyomaték is nulla. Tétel: A merev test súlypontsán átmenő tengellyel párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlensé-gi nyomatékot úgy kapjuk, hogy a súlyponton átmenő tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékhoz hozzáadjuk a terst tömegének és a két tengely közötti távolság négyzetének szorzatát (Steiner -tétel). Bizonyítás: Vegyük fel a merev test súlypontján át egy nS tengelyt és tőle t távolságra egy párhu-zamos n tengelyt (2.30. ábra). A párhuzamosság miatt mindkét tengely egységvektora n. A defi-níció szerint az n tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékvektor: ∑=

jjjjn ).rxnx(rmJ

Az ábra szerint ,rrr SjSj +=

így [ ]∑ ∑ +=++=

j jSjSjSjSSjSjn )rxnx(rm)rrxn)x(rr(mJ

∑∑∑ ==+++

jSjSj

jSjSjS

jSSSj )rxnx(rm)rxnx(rmrxnx(r)rxnx(rm

)rmxnx(r)rxnx(rmm)rxnx(r)rxnx(rmj

SjjSj

Sj

SjjjSj

SSjjSj

+

++= ∑∑ ∑∑ .

A fenti kifejezés harmadik és negyedik tagja nulla, mert a ∑ ∑

j jjSjj m/rm a súlypont helyvekto-

ra egy olyan koordinátarendszerben, melynek kezdőpontja éppen a súlypont, az első tag pedig a súlyponton átmenő nS tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékvektor. Ezzel .)rxnx(rmJJ SSnSn += 2.113

Page 48: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

128

A tengelyre vett tehetetlenségi nyomaték:

[ ] [ ] [ ] ,mtJ)(nrrmJ)rn(r)rr(nnmJ)rxn(rnmnJnJJ 2nS

2S

2SnSSSSSnSSSnSnn +=−+==−+=+==

2.114 hisz az utolsó szögletes zárójelben lévő mennyiség éppen a két tengely közötti távol-ságot jelenti. Nem szabad szem elől tévesztenünk, hogyha egyik tengely sem megy át a súlypon-ton a tétel nem igaz. (2.114) szerint Jn-t vagy JnS-t kell ismerni, hogy a másikat meghatá-rozhassuk. Az olvasó könnyen bizonyítja, hogy a Steiner-tétel párhuzamos síkok esetén síkra vett és deviációs nyomatékokra is érvé-nyes. Két párhuzamos sík esetén

2.30. ábra ,mtJJ 2

xxxx SS+= 2.115

ahol JxxS – a súlyponton átmenő síkra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték, t – a két párhuzamos sík távolsága. Deviációs nyomaték esetén ,tmtJJ 21yxxy SS

+= 2.116

Itt

SS yxJ – a súlyponton metsződő két, egymásra merőleges síkra vett deviációs nyomaték, t1 és t2

a párhuzamos síkok előjelhelyes távolsága. Mivel a tengelyre és a síkra vett tehetetlenségi nyomaték a definíció értelmében csak pozi-tív lehet, a Steiner-tétel azt mutatja, hogy a súlyponton átmenő tengelyre vagy síkra számított inercianyomaték a legkisebb. A fenti tételek alkalmazása lehetővé teszi, hogy a merev test tehetetlenségi nyomatékát ne mindig a definícióból kiindulva határozzuk meg. Általában arra törekszünk, hogy megkeressük a súlypontra vonatkozó tehetetlenségi tenzor mátrixát, ennek ismeretében ugyanis bármely tehetet-lenségi jellemző számítható. Célszerű felírni a tengelyre vonatkozó, ill. deviációs nyomatékokat skalár alakban is. Ha ismerjük valamilyen pontban a tehetetlenségi tenzor mátrixát, akkor a ponton átmenő n tengelyre:

[ ] =

−−−−−−

==

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

zyxn

n

n

n

JJJ

JJJ

JJJ

nnnnTnJ

xzzxzyyzyxxy

2zz

2yy

2xx nnJnn2Jnn2JnJnJnJ −−−++= . 2.117

A deviációs nyomaték ( nm ⊥ ):

Page 49: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

129

[ ] =

−−−−−−

====

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

zyxmn

n

n

n

JJJ

JJJ

JJJ

mmmJmTnnTmJnm

)mnm(nJ)mnm(nJ)mnm(nJmnJmnJmnJ zxxzzxyzzyyzxyyxxyzzzyyyxxx −−−−+−++= .

2.118 Tétel: Valamely pontban az n tengelyre vett tehetetlenségi nyomatékvektor k irányú vetülete megegyezik a k tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékvektor n irányú vetületével (recip-rocitási tétel).

Bizonyítás: A tehetetlenségi tenzor mátrixának szimmetriája miatt ,aTbbTa = ahol

bésa tetszőleges vektorok. Így

knknnk JJnkTnnTkJkJ ===== . 2.119 A tétel formailag megegyezik a feszültségelmélet reciprocitási tételével. Ha ,nk ⊥ akkor a devi-ációs nyomatékokat kapjuk, amelyek egyenlőségét már más úton beláttuk, és ami a dualitástétel megfelelője. Tétel: Egy adott ponthoz mindig három, egymásra merőleges tengely (irány), amelyekre a megfe-lelő tehetetlenségi nyomatékvektorok beleesnek a tengelyekbe (a főtehetetlenségi nyomatékok tétele). Bizonyítás: Legyen az egyik - tételnek megfelelő - tengely egységvektora ).1,2,3(qkejeiee qzqyqxq =++=

A tétel értelmében: .eJJ qqq =

A reciprocitási tétel értelmében a zy,x,Jq tenge-

lyekre vett vetületei megegyeznek a kji JésJ,J vek-

tornak az qe irányra eső vetületeivel. 2.31. ábra

,eJeJeJeJeJieJiJJ qzxzqyxyqxxqiqxqqqqqx −−=====

,eJeJeJeJeJjeJjJJ qzyzqyyqxyxqjqyqqqqqy −+−=====

Page 50: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

130

.eJeJeJeJeJkeJkJJ qzzqyzyqxxqkqzqqqqqz +−−=====

Rendezés után az iránycosinuszokra vonatkozó feltételt is figyelembe véve, egy négy ismeretlent tartalmazó, négy egyenletből álló egyenletrendszert nyerünk: ,0eJeJe)JJ( qzzxqyyxqxqx =−−− 2.120/a

,0eJe)JJ(eJ qzzyqyqyqxxy =−−+− 2.120/b

,0e)JJ(eJeJ qzqzqyyzqxxz =−+−− 2.120/c

.1eee 2

qz2qy

2qx =++ 2.120/d

Az utolsó kifejezésből következik, hogy mindhárom iránycosinusz egyszerre nem lehet nulla. A nem triviális megoldás feltétele pedig az, hogy a (2.120/a, b, c) együttható mátrixának determi-nánsa nullával legyen egyenlő. A determinánst kifejtve egy harmadfokú egyenletet nyerünk a Jq ismeretlenre: ,0TJTJTJ 3q2

2q1

3q =−+− 2.121

melyet karakterisztikus egyenletnek nevezünk, s amelyben ,JJJT zyx1 ++=

,JJ

JJ

JJ

JJ

JJ

JJT

zyz

zyy

yxz

zxx

yxy

yxx2 −

−+

−−

+−

−=

,

JJJ

JJJ

JJJ

T

zyzxz

zyyxy

zxyxx

3

−−−−−−

=

az invariáns együtthatók. A tehetetlenségi tenzor mátrixának szimmetriájából és a tengelyre vett inercianyomaték definíciójából következik, hogy (2.121) mindhárom gyökre valós és pozitív. Megállapodás szerint a gyököket nagyság szerint sorbaállítjuk: 321 JJJ ≥≥ ,

és főtehetetlenségi nyomatéknak nevezzük őket. Ha valamelyik főtehetetlenségi nyomatékot visz-szahelyettesítjük (2.120) első két egyenletébe és hozzávesszük (2.120/d-t, akkor meghatározhat-

Page 51: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

131

juk az adott főtehetetlenségi nyomatékhoz tartozó qe irányt, melyet főtehetetlenségi iránynak

(tengelynek) hívunk. A főirányok által alkotott síkok neve tehetetlenségi fősík (2.31. ábra). Lássuk be most, hogy a főirányok egymásra merőlegesek. A reciprocitási tétel alapján ,eeJeeJazaz,JJ 1222112112 == átrendezve 0ee)JJ( 2121 =− . Ha ,JJ 21 ≠ akkor az egyenlőség csak úgy állhat fenn, ha ,0ee 21 = tehát .ee 21 ⊥ Amennyiben J1 = J2, akkor az egyenlőség a skalárszorzattól függetlenül teljesül, ami azt jelenti, hogy

21 eése tetszőleges szöget zárhat be egymással. Könnyen bizonyíthatnánk, hogy ebben az esetben minden 1 – 2 fősíkban lévő irányhoz ugyanaz a tehetetlenségi nyomaték tartozik, vagyis ebben a síkban minden irány főirány, benne tetszőlegesen választhatunk ki két egymásra merőle-ges tengelyt. Teljesen analóg módon igazolható az 3231 e,eazése,e tengelyek merőlegessége

is. A főirányok tehát páronként merőlegesek egymásra. Ha J1 = J2 = J3, akkor nincsenek kitünte-tett irányok, minden tengely főtengelynek tekinthető és minden tengelyre ugyanaz a tehetetlensé-gi nyomaték (pl. gömb, vagy kocka esetén). A főtehetetlenségi irányokat a kiinduló koordinátarendszer tengelyeinek is tekinthetjük. A koordinátarendszer síkjaira, mint fősíkokra deviációs nyomatékok – a tétel értelmében – eltűnnek (J12 = J23 = J31 = 0), a tehetetlenségi nyomaték tenzorának mátrixa igen egyszerű formát ölt:

=

3

2

1

J

J00

0J0

00J

T 2.120

A főtehetetlenségi tengelyrendszer egyik előnye éppen az, hogy a számítások technikai része lé-nyegesen leegyszerűsödik a mátrix sok nulla eleme miatt. (2.117) például az alábbi alakot ölti: ,nJnJnJJ 2

33222

211n ++= 2.121

természetesen nem szabad szem elől tévesztenünk, hogy az n egységvektort is a főtengelyrend-szerben kell megadnunk. Szimmetrikus testeknél a főtehetetlenségi irányok meghatározása egyszerűsödik. Ha a testnek van legalább egy szimmetriasíkja, akkor az egyben egyik fősíkja is, hiszen erre a síkra lés bármely másik, a szimmetriasíkra merőleges síkra vett deviációs nyomatékok nullák. A szimmet-riasíkban tehát két főirány van, a harmadik főirány pedig ezekre merőleges. Ha a merev test for-gástest, azaz szimmetriatengelye, akkor ez a tengely egyben egyik főirány, a másik két főirány pedig merőleges a forgástengelyre. Képzeljük a test tömegét egy pontba sűrítve, ha a pont távolsága valamely n tengelytől in, akkor az m tömegű anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka

Page 52: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

132

2nn miJ = 2.122

a definíció értelmében in-t a merev test n tengelyre vonatkozó inerciasugarának nevezzük. Tétel: Ha egy 0 ponton át felvehető összes n irányra felmérjük a 0 ponttól kezdve az in inerciasugarak reciprokát, akkor ezek végpontjainak összessége egy elipszoid felületet alkot.

Bizonyítás: Legyen az n egyenesen az 0 pont-tól felmért

ni

1r =

távolságú pont három koordinátája x, y, z. Ek-kor az iránycoszinuszok:

.zir

zn,yi

r

yn,xi

r

xn nznynx ======

(2.117)-be helyettesítve és (2.122)-t is figye-lembe véve:

−−++ xym

J2z

m

Jy

m

Jx

m

J xy2z2y2x

2.32. ábra .1zxm

J2yz

m

J2zxyz =−− 2.123

Ez egy olyan másodrendű felület (ellipszoid, paraboloid vagy hiperboloid) egyenlete, melynek centruma az 0 pont (ez a lineáris tagok hiányából következik). Jn sohasem lehet nulla, így in sem, ami azt jelenti, hogy – ∞⟨r miatt – a felületnek nincsen végtelen távoli pontja, tehát csak ellip-szoid lehet. A felületet tehetetlenségi ellipszoidnak nevezzük (2.32. ábra). Ha tudjuk, hogy az ellipszoidot az n tengely mekkora r távolságban metszi, akkor a merev testnek erre a tengelyre vonatkozó inerciasugara, ill. tehetetlenségi nyomatéka:

.r

mJ,

r

1i

2nn ==

Az ellipszoid egyenlete egyszerű alakot vesz fel, ha a koordinátarendszernek a főtehetetlenségi tengelyek irányait választjuk. Ebben a rendszerben a deviációs nyomatékok eltűnnek, a tenge-lyekre vonatkozók pedig J1, J2, J3. (2.123) tehát így alakul:

,1zm

Jy

m

Jx

m

J 232221 =++ 2.124

Page 53: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

133

amiből rögtön látszik, hogy az ellipszoid nagytengelyei egybeesnek a főtehetetlenségi irányokkal, a féltengelyek nagysága pedig

.J

m

i

1r,

J

m

i

1r,

J

m

i

1r

333

222

111 ======

Ebből már igen szemléletesen látszik, hogy az 1-es és a 3-as főtehetetlenségi tengely az az irány, amelyre a lehető legnagyobb, ill. legkisebb a tehetetlenségi nyomaték. Adott merev test esetén a tér minden pontjához tartozik egy, pontonként különböző hely-zetű és nagyságú ellipszoid. Ezek közül gyakorlatilag a legnagyobb jelentőségű a súlyponthoz tartozó, ún. centrális ellipszoid. A centrális ellipszoid a legnagyobb, mert – a Steiner-tétel értel-mében – a súlyponton átmenő tengelyekre a legkisebb a tehetetlenségi nyomaték s így az inerciasugárzás is. A térbeli szerkesztés kényelmetlensége miatt a tehetetlenségi nyomatékokat a feszültség-elméletben megismert Mohr-féle körök segítségével síkban is ábrázolhatjuk. Az analógiát fel-használva a tehetetlenségi nyomatékokra vonatkozó tételt bizonyítás nélkül mondjuk ki. Tétel: Egy adott ponton átmenő, tetszőleges irányhoz tartozó tehetetlenségi nyomatékvektor vég-pontja a Mohr-féle tehetetlenségi körívháromszögbe vagy speciális esetben valamelyik körívre esik. A vektor vízszintes vetülete a tengelyre vett, függőleges vetülete a deviációs nyomaték. A főkörök megrajzolásához a három főtehetetlenségi nyomaték ismeretére van szükség.

2.33. ábra Az n irányhoz tartozó nyomatékvektor szerkesztésének módja a 2.33. ábráról leolvasható. 2.3.3. A MEREV TEST KINETIKAI TÉTELEI Sztatikai tanulmányainkból tudjuk, hogy az

Page 54: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

134

∑=

jj

jjj

S m

rm

r , 2.125/a

vagy határátmenettel

∫=

m

mS

dm

dmr

r 2.125/b

kifejezés a merev test tömegközéppontjának helyét adja (ha a merev test nem túl nagy és sűrűsége ho-mogén eloszlású, akkor a tömegközéppont egybe-esik a súlyponttal, amit a továbbiakban mindig felte-szünk). A merev test (teljes) impulzusa vagy moz-gásmennyisége alatt az anyagi pontnak képzelt rész-tömegeinek mozgásmennyiségéből képzett vektoriá-lis összeget értjük. Tehát

2.34. ábra ∑ ∑==

j jjjj vmII 2.126

Tétel: A merev test impulzusát megkapjuk, ha teljes tömegét szorozzuk súlypontjának sebesség-vektorával (első súlyponttétel). Bizonyítás: (2.126)-ban helyettesítsük :trxvv pjpj −ω+=

∑ ∑ ∑ ∑ ω+=ω+=ω+==

j j j jpSppjjpjpjpjjj rxmˆvmrmxvm)rxv(mvmI ,

mert (2.125/a) szerint ∑

jpjjrm a súlypont helyvektorának az m-szerese a P kezdőpontú koordiná-

tarendszerben. Ha a súlypontot választjuk vonatkoztatási pontnak, azaz ,0rakkor,SP SS =≡

így SvmI = . 2.127

A teljes impulzus meghatározásához tehát – a tömegen kívül – csak a súlypont sebességének is-merete szükséges. Tétel: A merev test impulzusának idő szerinti deriváltja egyenlő a testre ható külső (szabad és kényszer) erők eredőjével (az impulzuss tétel differenciál alakja).

Page 55: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

135

Bizonyítás: Ha a merev test Pj pontjára a (2.99/b)-vel megadott külső és belső erők hatnak, akkor a pontra vonatkozó impulzustétel szerint:

,RI jj =& összegezve a test minden pontjára:

,FFFFRIdt

IdI

dt

dI j

jjk

kjj

jj j jjjj ==+===== ∑∑∑∑∑ ∑ ∑&&

hiszen a két szummás tag eltűnik, mert az kjjk FésF belső erők csak előjelben különböznek, a

belső erők páronként egyensúlyban vannak. Ha F-fel jelöljük a külső erők eredőjét, akkor

.FI =& 2.128 A tételt integrál formában is megfogalmazhatjuk: Tétel: A t2 – t1 időintervallumban a merev test impulzusának megváltozása egyíenlő a külső erők eredőjének lökésével (az impulzus tétel integrál alakja). Bizonyítás: Alakítsuk át (2.128)-at:

∫ ∫=2

1

2

1

I

I

t

t

,dtFId

ahonnan

∫=−2

1

t

t

12 dtFII . 2.129

Tétel: A merev test súlypontjának gyorsulása megegyezik a súlypontban egyesített m tömegű anyagi pont gyorsulásával, ha arra a (z önmagukkal párhuzamosan a súlypontba tolt) külső erők eredője hat (második súlyponttétel). Bizonyítás: (2.127) és (2.128) felhasználásával:

.amvmdt

dI

dt

dIF SS ==== & 2.130

Mint látjuk, a súlypontnak a kinematikában is kitüntetett szerepe van. A merev test mozgását súlypontjának mozgásával jellemezhetjük, a test mozgását tehát anyagi pont mozgásaként tár-gyalhatjuk, mint ahogy a Newton törvénye is hallgatólagosan ezt teszi. A tétel szerint a belső erők nincsenek hatással a súlypont mozgására. A nyugvó súlypontot belső erők sohasem hozhat-ják mozgásba, annak mozgásállapotát csak belső erőkkel lehet megváltoztatni. Ezeknek a megál-lapításoknak különösen több merev testből álló szerkezetek esetén van nagy jelentősége.

Page 56: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

136

Tétel: Ha a merev testre ható külső erők eredője zérus, súlypontja egyenes vonalú, egyenletes sebességű mozgást végez vagy nyugalomban van (az impulzus megmaradási tétele).

Bizonyítás: (2.128) szerint ,0I =& azaz

.állvmI S == 2.131

Ha a kezdő pillanatban a súlypont sebessége nulla, a test impulzusa és sebessége a vizsgált idő-szakban mindig nulla marad. A merev test pontra vagy tengelyre vonatkozó (teljes) perdülete vagy impulzusmomentu-ma alatt a nj

jnjjj0

jj0

j0 a.ill),vxmr( π=π=π=π ∑∑∑ 2.132/a,b

mennyiséget értjük. Tétel: A merev test súlypontra vonatkozó perdületének és impulzusának ismeretében a tetszőle-ges P pontra vonatkozó perdület IxrPSSp +π=π , 2.133

ahol PSr - a P pontból a súlypontba mutató helyvektor (2.35. ábra).

Bizonyítás: =+==π=π ∑∑∑ )vxm)rr(()vxmr( jjSjPS

jjjPj

jPj

jP

= .Ixrvxmr)vxmr(vmxr PSSSPSSjjSj

jjj

jPs +π=+π=+∑∑

A tétel értelmében elegendő, ha a súlypontra vonat-kozó perdület meghatározásának törvényszerűségét ismerjük. Tétel: A merev test saját súlypontjára vonatkozó pillanatnyi perdületét megkapjuk, ha a súlyponton átmenő, a pillanatnyi szögsebességvektorral párhu-zamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyoma-ték vektorát szorozzuk a pillanatnyi szögsebesség nagyságával, vagy a súlypontra vonatkozó tehetet-lenségi tenzorának mátrixát szorozzuk a pillanatnyi

2.35. ábra szögsebességvektorral.

Page 57: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

137

Bizonyítás: Válasszuk vonatkoztatási pontnak a vP sebességgel mozgó P pontot a 2.36. ábrának megfelelően. (1.39) és ωω=ω e felhasználásával

a definíció szerint:

∑ ∑ =ω+==πj

PjPjPjj

jjPjP ))rxv(xmr()vxmr(

=ω+=∑ ∑

j jPjPjjPjPj )rx(xrm()vxmr(

∑ ∑ ωω+=j j

PjPjjPPjj )).rxe(xrm(vx)rm(

2.36. ábra A ∑

jPjjrm most is a súlypont helyvektorával

arányos mennyiség a P kezdőpontú koordinátarendszerben. A második tag ω utáni kifejezése – mint már tudjuk – a merev tehetetlenségi nyomatékvektora a P ponton átmenő ωe tengelyre (a

2.100)-as definíciót éppen ez az összefüggés indokolja). A (2.103)-t is figyelembe véve:

.Tvxmr)eT(vxmrJvxmr PPeJPPSJPPSPPPSP ω+=ω+=ω+=π ωω

2.134

Ha a P pont rögzített, azaz ,0vP = (2.134)-ben az első tag nulla. De eltűnik az első tag abban a gyakorlatilag igen fontos esetben is, ha vonatkozási pontnak a súlypontot választjuk. Ilyenkor ugyanis ,0rSS = így

.TJ SeJSS ω=ω=π

ω 2.135/a

Tétel: A merev test valamely helytálló pontra vagy tengelyre vett perdületének idő szerinti deri-váltja egyenlő a külső erők ugyanazon pontra vagy tengelyre számított forgatónyomatékával (a perdülettétel differenciál alakja). Bizonyítás:

∑ ∑ ∑ ∑ +=+==π

=πj j j j

jjjjjjjjjjjj0

0 )vxmv()vxmr()vxmr()vxmr(dt

d

dt

d&

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ =+=+==+

j j j k j j kjkjjjjkjjjjjjj )Fxr()Fxr())FF(xr()Rxr()axmr(

∑ ∑ ===

j j0j0jj ,MM)Fxr(

mert a belső erők nyomatéka páronként nulla, hiszen

Page 58: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

138

,0FxrFx)rr(FxrFxrFxrFxr jkjkjkkjkjkjkjkjkj ==−=−=+

ugyanis .Fr jkjk A belső erők nyomatéka tehát

bármely pontra nulla. Végeredményben ∑ ==π

j0jj0 M)Fxr(& . 2.135/b

Az 0 ponton átmenő n irányú tengelyre vonat-koztatva: ,n0n π=π

ezzel

.MnMndt

)n(d

dt

dn00

0nn ==π=

π=

π=π && 2.135/c

2.37. ábra Tétel: A t2 – t1 időintervallumban a merev test valamely helytálló pontra vagy tengelyre vett perdületének megváltozása egyenlő a külső erők ugyanazon pontra vagy tengelyre számított nyomatéklökésével (a perdület-tétel integrál alakja). Bizonyítás: (2.135/c)-ből:

∫ ∫π

π

=π02

01

2

1

t

t

00 ,dtMd

ahonnan

∫=π−π2

1

t

t

00102 ,dtM 2.136/a

vagy hasonlóan

∫ ∫π

π

=π2n

1n

2

1

t

t

nn dtMd

és

∫=π−π2

1

t

t

n1n2n .dtM 2.136/b

A belső erők a perdülettételben sem szerepelnek, így azok a test perdületét sem tudják megváltoz-tatni. Tétel: Ha a merev testre ható külső erők nyomatéka valamely helytálló pontra vagy tengelyre nulla, akkor a mozgás folyamán a perdület állandó (a perdület megmaradásának tétele, ill. a felü-leti tétel általánosítása). Bizonyítás: ( 2.135/a) alapján:

Page 59: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

139

.állés.állígy,0,0 n0n0 =π=π=π=π && 2.137

Az impulzus és a perdület megmaradási tételeinek elsősorban a pontrendszerek, ill. a szerkezetek kinematikájában van nagy jelentőségük. A merev test mozgásának vizsgálata során sokszor célszerű a perdülettételt a test valame-lyik mozgó pontjára vagy a testtől függetlenül mozgó pontra felírni. Nézzük meg, nem változik-e meg a perdülettétel alakja, ha Pv sebességű P pontra vonatkoztatjuk.

Tétel: A mozgó pontra vonatkoztatott perdület idő szerinti deriváltja a merev testre ható külső erők nyomatékának és a Ixv p vektorális szorzat különb-

ségével egyenlő. Bizonyítás:

=−==π ∑∑ )vxm)rr((dt

d)vxmr(

dt

d

jjjPj

jjjPjP

&

∑ ∑ =−=j j

jjPjjj )vxmr(dt

d)vxmr(

dt

d

2.38. ábra

[ ]∑ ∑ ∑ ∑ −=−−=+−j j j j

SPjPjjjPjPjjjPjjP ,vxmv)Rxr(vmxv)Rx)rr(()axmr()vxmv(

végül .vxmvMIxvM SPPPPP −=−=π& 2.138

Mozgó vonatkoztatási pont esetén a perdülettétel tehát csak ebben a módosított formában érvényes. (2.138) második tagja azonban eltűnik, ha .vvvagy0v SPS = Abban a gyakorlati-

lag legfontosabb esetben, mikor vonatkoztatási pontnak a súlypontot választjuk, a súlypont moz-gásától függetlenül a ,M SS =π& 2.139

eredeti alakban érvényes. A merev test (teljes) kinetikai energiájának az

2jj

j jj vm

2

1EE ∑ ∑== 2.140

mennyiséget nevezzük.

Page 60: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

140

Tétel: A merev test kinetikai energiájának megváltozása a t2 – t1 időszakban egyenlő a külső erők ezen időszak alatt végzett munkájával (munkatétel). Bizonyítás: Alakítsuk át a Pj pont mozgásegyenletét a már ismert módon:

jj

j

jjjjj R

dt

rd

rd

vdmRam =→=

innen .rdRvdvm jjjjj =

Összegezzük a fenti mennyiséget a merev testet alkotó összes anyagi pontra és integráljuk mind-két oldalt:

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑∑+=+==j j j k j j k

jjkjjjjkjjjjj .rdFrdFrd)FF(rdRvdvmj

Ha figyelembe vesszük, hogy merev test esetén ,rxdrdrd jkjk ϕ+=

hiszen a Pk pont Pj-hez viszonyított elmozdulása (1.42)-nek megfelelően csak köríven való el-

mozdulás lehet és ,rF jkjk akkor a belső erők elemi – s ezzel a véges is – munkája páronként nul-

la: .0)rxd(F)rxdrdrd(F)rdrd(FrdFrdF jkjkjkjjjkkjjkkkjjjk =ϕ−=ϕ−−=−=+

Térjünk vissza az eredeti kifejezésünkhöz és végezzük el az integrálást:

∫∑ ∑∑ ===2j

1j

2j

1j

r

r j jjjj

vv

21j

j

WWrdFvm2

1 2.141

(2.140)-t is figyelembe véve: E2 - E1 = W Tétel: A merev test pillanatnyi teljesítménye független a belsőerőktől és mindig felbontható egy transzlációs és egy rotációs részre. Bizonyítás: A jv sebességű Pj pontra ható jR eredő erő teljesítménye (2.39. ábra):

.vRP jjj =

A merev testre ható összes erő teljesítménye (1.39)-et is figyelembe véve:

Page 61: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

141

∑ ∑∑ ∑ =ω++===j k

j00jkjjj j

jj ))rxv)(FF((vRPP

=ω+ω+++ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ))rx(F()rx(FvFvF j0

j k j j kjkj0j0jk

j0j

∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑ω+ω++=

j j k j j kjkj0jj0jk0j0 )).Fxr(()Fxr(FvFv

Már korábban is beláttuk, hogy a kifejezés második és negyedik tagja nulla. A belső erők összteljesítménye eltűnik, összhangban azzal, hogy a belső erők munkája is zérus. Mivel

∑=j

jFF a külső erők eredője,

∑=j

jj00 )Fxr(M pedig a külső erők nyoma-

téka a 0 pontra a kifejezés a

rottransz00 PPMv.FP +=ω+= 2.142

alakot ölti. A teljesítmény ilyen felosztása természetesen a vonatkoztatási pont választá-sától függ. Ha a vonatkoztatási pont pillanat-

2.39. ábra nyi sebessége nulla, akkor a teljesítmény transzlációs része eltűnik.

Tétel: A merev test kinematikai energiájának idő szerinti deriváltja a külső erők pillanatnyi teljesítmé-nyével egyenlő. Bizonyítás: Az anyagi pontra vonatkozó analóg tétel: ∑+==

kjkjjjj .PPvRE&

Az egész testre összegezve:

∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ==+===j j j j k j

jjkjjj ,PPPPEEdt

dE && 2.143

hisz már előbb beláttuk, hogy a belső erők összteljesítménye nulla. Tétel: A merev test kinematikai energiája mindig felírható a kinematikai mozgásjellemzőkhöz kapcsolódó részenergia összegeként.

Page 62: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

142

Bizonyítás: Alakítsuk át (2.140)-et a

ωω=ωω=+= eaz,rxva,vvv j0j0j00j

kifejezések és a négyes vektorális szorzat azonosságának felhasználásával (2.40. ábra).

∑∑ =+==J

2j00j

j

2jj )vv(M

2

1vm

2

1E

∑ ∑ ∑ =++=j j j

2j0jj0j0j

20 vm

2

1vmvmv

2

1

+ω+= ∑ jj0j

020 m)rx(vvm

2

1

+=ωωα+ ∑ 20

jj0j0j vm

2

1)rx)(rx(m

2

1 2.40. ábra

[ ]∑ ∑∑ =ωω−ωω+ω+=ωωα+j j

j0j0j0j0j0j0j20

jj0j0j )r)(r()rr)((m

2

1)vx)rm((vm

2

1)rx)(rx(m

2

1

[ ]∑ ∑ =−ω+ω+ ωj j

2j0

2j0j

20j0j

20 )er(rm

2

1vx)rm(mv

2

1

∑ ∑ =ω+ω+j j

j2j

20j0j

20 md

2

1vx)rm(vm

2

1

∑ ++=ω+ω+j

rotkölcstransz2

e00j0j20 .EEEJ

2

1vx)rm(mv

2

1 2.144

Az első tagot, amely a haladó mozgásból származik transzlációs, a forgómozgásból eredő harma-dik tagot rotációs energiának nevezzük. A középső tag, az ún. kölcsönös energia, a vonatkoztatási pont alkalmas megválasztásával el is tűnhet, sőt maga az energiák részesedésének aránya is függ-vénye a vonatkoztatási pont választásának. Például, ha a 0 pont helytálló, azaz ,0v0 = akkor a

mozgási energiát egyedül a rotációs energia teszi ki. Gyakorlatilag az a legfontosabb eset, mikor a súlypontot választjuk vonatkoztatási pontnak. Ilyenkor ∑ ∑ ==

j jSjmj0j 0rmrm miatt a kölcsö-

nös energia nulla, a teljes mozgási energia pedig a súlypontba képzelt tömeg haladó mozgásának energiájából és a merev test súlypont körüli forgómozgásának energiájából tevődik össze:

.J2

1mv

2

1E 2

S2S e

ω+= 2.145/a

A rotációs energiakomponenst mátrix alakban is felírhatjuk:

Page 63: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

143

[ ] .T2

1eTe

2

1eTe

2

1J

2

1E 000e

JJ2

J2

0rot ωω=ωω=ω=ω= ωωβωω

Ha bevezetjük az

=

==m00

0m0

00m

100

010

001

mEmM

mennyiséget, az ún. tömegmátrixot, ami a merev test tömegének és az energiamátrixnak a szorza-ta, akkor (2.145/a) a következő alakot ölti:

.T2

1vMv

2

1E SJSS ωω+= 2.145/b

Itt hívjuk fel a figyelmet a haladó és forgó mozgás közti formai analógiájára (amely a képletek megjegyzését teszi könnyebbé). A haladó mozgás ívkoordinátájának, pályameneti sebességének, gyorsulásának, tömegének és eredő erejének a forgó mozgásnál – az adott sorrendben – a szögel-fordulás, a szögsebesség, a szöggyorsulás, a tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték és a külső erők forgatónyomatéka felel meg. A merev test belső erőiről már a kiindulásnál feltételeztük, hogy van potenciáljuk. Jelöl-jük Ujk-val az jkF belső erő potenciálját, akkor a teljes belső erőrendszer potenciális energiája –

bizonyítás nélkül – az alábbi összefüggéssel adható meg:

∑∑ −=−==j k j

jkjkjkjkb rd

dUgradUFahol,U

2

1U 2.146/a,b

Ha a testre ható külső erőknek is van potenciáljuk, akkor a teljes külső erőrendszer potenciális energiája:

j

j

jjjjk rd

dUUgradFahol,UU −=−==∑ 2.147/a,b

A merev test teljes potenciális energiája pedig: bk UUU += . 2.148

Tegyük fel, hogy a merev test a t2-t1 időintervallum alatt az 1jr vektorrenszerrel megadott helyzet-

ből az ber 2j − kerül. Ezen időszak alatt a belső erők munkája - mint már korábban beláttuk -

zérus. Így

Page 64: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

144

,0)UU(2Urdrd

dUrdF

j k2b1b

UUjkj

j

r

r k j

r

r k j

jkjjk

2b

1b

2j

1j

2j

1j

∑∑∑ ∫∑ ∑ ∫∑ =−=−=−=

tehát .állUU 2b1b ==

Ha azt is figyelembe vesszük, hogy a potenciális energia egy integrálási állandó erejéig határozat-lan, akkor nincs akadálya, hogy a t1 időponthoz tartozó potenciált nullának vegyük. Ezzel .0Ub = 2.149

A merev test teljes potenciális energiája tehát a külső erők potenciáljával egyenlő: ∑==

jjk .UUU 2.150

Tétel: A merev test teljes mechanikai energiája a mozgás folyamán állandó, ha a külső erők kon-zervatív erőteret alkotnak (kötött mozgásnál a tétel csak akkor marad érvényben, ha a kényszer-erők munkája nulla) (a mechanikai energia megmaradásának tétele). Bizonyítás: Amíg a test az 1jr -gyel jelölt helyzetből az 2jr -be kerül, az összes erő munkája:

∑ ∫ ∑ ∫ ∑ ∫ ∑ −=−=−===j

r

r j

r

r j

r

r j2k1k

UUjj

j

jjjjj

2j

1j

2j

1j

2j

1j

2k

1k,UUUrd

rd

dUrdFrdRW

(2.150)-et is figyelembe véve: ,UUW 21 −= 2.151 a külső erők mozgása során végzett munkája tehát a teljes külső potenciál megváltozásával egyenlő. (2.141/b) és (2.151) összevetésével: ,UUEEW 2112 −=−= ahonnan .állUEvagyUEUE 2211 =++=+ 2.152 Mivel a kényszererőknek nincs potenciálja, a tétel csak szabasd mozgásra, vagy kényszermozgás esetén azzal a megkötéssel érvényes, hogy a kényszererők munkája nulla. 2.3.4. A MEREV TEST MOZGÁSÁNAK ALAPEGYENLETEI A szabad mozgást végző merev test mozgásállapotát megadja valamely P vonatkoztatási pontjának Pv transzlációs sebessége és ω szögsebessége, illetve Pa gyorsulása és ε szöggyorsu-

Page 65: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

145

lása (2.41. ábra). A legáltalánosabb esetben hat szabadságfokkal rendelkező mozgás fenti jellem-zőinek meghatározásához az impulzus- és a perdülettételt használhatjuk fel. Az

IxvMaésFI PPP −=π= && 2.153/a,b összefüggést a merev test mozgásegyenlet-rendszerének tekinthetjük. A két vektoregyenlet hat skaláregyenletnek felel meg, tehát éppen a szabadságfoknak megfelelő számú összefüggés áll rendelkezésre. Célszerű vonatkoztatási pontnak a súlypontot választani, mert ilyenkor (2.153/a,b) egy-szerűbb alakot ölt:

.M)J(dt

d,FamI SSSS e

=ω=π==ω

&& 2.154/a,b

Abban a gyakran előforduló esetben, mikor a külső erők F eredője nem függ a forgómozgás jellemzőitől és viszont, a külső erők SM forgatónyomatéka is füg-

getlen a súlypont mozgásjellemzőitől, (2.145/a) és (2.145/b) egymástól függetlenül kezelhetők. Az első, három egyenletből álló egyenletrendszer a súlypont mozgását adja és a pont kinematikájában megismert problémák megoldását jelenti. A második, szintén há-rom egyenletből álló egyenletrendszer pedig a rögzített pont körüli (ennél a részmegoldásnál a mozgó súly-pontban vesszük fel a koordinátarendszer kezdőpont-ját, ebben a relatív rendszerben a súlypont áll) forgó-mozgás, az ún. pörgettyűmozgás problémájának meg-

2.41. ábra oldását szolgáltatja. Természetesen, ha SMésF a haladó és forgómozgás jellemzőinek is függvénye, akkor

a két egyenletrendszer nem választható szét, hanem a sokkal több matematikai nehézséget okozó, hat egyenletből álló egyenletrendszert kell megoldanunk. Sokszor egyszerűsödik a megoldás, ha a ko-rábbiak során tárgyalt tételek valamelyikét használ-juk a probléma jellegének megfelelően. A d’Alembert-elv – némi módosítással – a merev testek esetében is szemléletesen használható. Alakítsuk át a merev test Pj pontjának (2.99/b) alap-egyenletét:

∑ =−++k

jjjkj 0)am(FF 2.155

az egész testre összegezve: ∑ ∑∑ ∑ =−++

j j k jjjjkj .0)am(FF 2.42. ábra

Page 66: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

146

A második tag eltűnik és legyen ∑ ∑ −=−==j j

Sjjj .amamDD Így

,0DF =+ 2.156 D - a merev test d’Alembert vagy inerciaereje, amit tehát úgy számítunk, hogy a test teljes töme-gét szorozzuk a súlypont gyorsulásával és a gyorsulással ellentétes irányúnak vesszük. Szorozzuk be (2.155)-öt balról az Pjr helyvektorral:

∑ =−++

kjjPjjkPjjPj ,0)am(xrFxrFxr

ez tulajdonképpen a Pj pontra ható külső és belső erők, valamint a jD inerciaerő P pontra vett

nyomatéka. Összegezve az egész testre: [ ]∑∑ ∑ ∑ =−++

jjjPj

j j kjkPjjPj 0)am(xr)Fxr()Fxr(

A második tag most is nulla, a harmadik pedig:

( )[ ] ( ) ( )[ ] =

−−=−−=− ∑ ∑∑

j j

jjP

jjjjjPj

jjPj dt

vdxmr

dt

vdmxramxrramxr

j

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]=−+−−= ∑ ∑j j

jjPjjjjjjjj vxmvvxmvvxmrvxmrdt

dP

( ) [ ]Ixvvmxvvxmrdt

dPP

j jjjPjjPj +π−=

+−= ∑ ∑ & ,

ami a merev test d’Alembert- vagy inercianyomatéka a mozgó P pontra. Az első tag a külső erők P pontra vett forgatónyomatéka, így ( ) .0IxvM PPP =−π−+ & 2.157 Ha vonatkoztatási pontként most is a súlypontot választjuk, (2.156) és (2.157) nem más, mint a merev test mozgását leíró (2.154/a,b) egyenletek átrendezett alakja:

( ) ,0IF =−+ & 2.158/a ( ) 0M SS =π−+ 2.158/b

Page 67: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

147

Szavakban megfogalmazva, a merev testre ható külső erők a d’Alembert-féle tehetetlenségi erő és nyomaték egyensúlyi erőrendszert alkot. Ezzel a merev test mozgásával kapcsolatos kinetikai problémát sztatikaira vezettük vissza. 2.3.5. A MEREV TEST SPECIÁLIS MOZGÁSAINAK VIZSGÁLATA A merev testek mozgásával kapcsolatos feladatok során – a legáltalánosabb esetben – meg kell határozni a test mozgásállapotát (tehát helyét, helyzetét, sebesség- és gyorsulásterét) az idő függvényében. Ehhez elegendő a kezdeti feltételek ismeretében a test kinematjának, ill. annak időbeli változásának ismerete. Egyszerűsödik a feladat, ha csak bizonyos – kritikus – pillanatok-ban, helyzetekben kell a mozgásjellemzőket meghatározni. A műszaki gyakorlatban a legnagyobb jelentőségük a kényszermozgásoknak van. A kötött mozgás jellegéből következik, hogy a kényszermozgásra ítélt test szabadságfoka kisebb, mint hat. A merev test mozgásának hat skaláregyenlete ilyen esetben a mozgásjellemzők meghatározásán kívül a reakcióerők számítására szolgál. Ha a test mozgáslehetőségeinek és a kényszererő-komponensek számának összege nagyobb, mint hat, akkor csak a mozgást tudjuk egyértelműen meghatározni, a reakcióerőket már nem. 2.3.5.1. HALADÓ MOZGÁS Tudjuk, hogy a merev test haladó mozgását az jellemzi, hogy minden pontjának azonos a mozgásállapota, így elegendő egy pont – célszerű a súlypont – mozgásának meghatározása. A súlypont mozgásának alapegyenletét pedig az impulzus tétel, ill. a második súlyponttétel adja:

SamFI ==& , 2.159

ami három skaláregyenletet jelent, annak megfelelően, hogy a transzlációs mozgás szabadságfoka három. Kényszermozgásnál a test szabad mozgáslehetőségeinek száma kettőre vagy egyre csök-kenhet, így egy, ill. két reakcióerőt lehet egyértelműen meghatározni. Annak eldöntése, hogy a test valóban haladó mozgást végez-e, a perdülettétel segítségével lehetséges. Ha ( ) 0FxrM

jjSjS ==∑ és a kezdeti szögsebesség is nulla, akkor csak haladó moz-

gásról lehet szó. A merev test transzlációs mozgásával kapcsolatos feladatokat külön nem részletezzük, azok a pont kinematikájában tárgyalt feladatokkal analóg módon oldhatók meg. 2.3.5.2. FORGÓ MOZGÁS A/ Egy pontban rögzített test mozgása Ha a merev test egyetlen egy pontját rögzítjük, az ezen pont körül tetszőleges, térbeli for-gómozgást végezhet. A test pontjai az alátámasztási pont köré írt gömbfelületeken mozognak. A mozgástípust pörgettyűmozgásnak is nevezik. A feladat megoldásának azért is van különösen nagy jelentősége, mert a merev test általános mozgásánál a test súlypont körüli forgómozgása is pörgettyűmozgásnak tekinthető a súlyponthoz kötött koordinátarendszerben.

Page 68: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

148

A mozgás szabadságfoka három. A mozgás törvényeit a rögzített 0 pontra felírható perdülettétel írja le:

( ) .MTdt

d0J0 0 =ω=π& 2.160

Az alátámasztási pontban ébredő kényszererők a külső erők nyomatékában nem szerepelnek, hiszen átmennek az 0 ponton. A reakció erők 0x, 0y, 0z komponensei az impulzus tétel felhaszná-lásával számíthatók:

.amI0F Ssz ==+ &

Rögtön látszik, hogy a reakciók nagysága nemcsak a külső szabad erőktől, hanem az inerciaerőktől is függ. Az 0 ponton át felvett, álló x.y.z koordinátarendszerben a perdület idő szerinti deriválását a szorzat a szorzat differenciálási szabálya szerint kell elvégezni, tehát

,TTM 00JJ0 ω+ω= &

& 2.161

mert a térben rögzített koordinátarendszerhez képest az időben nemcsak az ω komponensei, ha-

nem a 0JT komponensei is változnak. Így például:

∑∑ +=

+=

jjjjjj

j

2j

2jjx ),zzyy(m2)zy(m

dt

dJ

dt

d&&

ami azt jelenti, hogy(2.161)-ből egy meglehetősen bonyolult differenciál-egyenletrendszert kap-nánk a szögsebesség-komponensek számára. Egyszerűbben célhoz jutunk, ha a perdülettételt a testhez kötött x’, y’, z’-t koordináta-rendszerben írjuk fel. Ha a test ω szög-sebességgel mozog, akkor a mozgó, test-hez kötött koordinátarendszer is ugyan-ekkora szögsebességgel mozog az álló-hoz képest. A két rendszer közötti diffe-renciálási szabály kapcsolatát (1.100) fejezi ki. A mozgó rendszerben megadott

−π 0' amely ebben a rendszerben állandó

– differenciálása az álló rendszerből:

.M'xdt

''d

dt

'd00

00 =πω+π

2.162 2.43. ábra

Page 69: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

149

Ha a testhez kötött koordinátarendszert úgy vesszük fel, hogy tengelyei essenek egybe a főtehe-tetlenségi tengelyekkel (2.43. ábra), akkor (2.135) szerint:

ω=π 0J0 'T'

és (2.162) mátrix egyenlet formájában kiírva, ill. a műveletek elvégzése után ( az egyszerűség kedvéért a vesszős jelölést elhagyva):

0

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

M

J00

0J0

00J

x

J00

0J0

00J

dt

d =

ωωω

ω+

ωωω

és

+ωω−+ω

'i)JJ('kdt

dJ'j

dt

dJ'i

dt

dJ 3223

33

22

11

,M'k)JJ('j)JJ( 021123131 =ωω−+ωω−+ illetve

skaláregyenletekben

=ωω−−ω

=ωω−−ω

=ωω−−ω

,M)JJ(dt

d.J

,M)JJ(dt

d.J

,M)JJ(dt

d.J

321213

3

231132

2

132321

1

2.163/a,b,c

A fenti három összefüggést Euler-féle (pörgettyű-) egyenletnek nevezzük, amely három elsőren-dű differenciálegyenletet jelent a test főtengelyeinek az álló koordinátarendszerhez viszonyított

321 ,, ωωω szögsebességkomponensei számára, J1, J2 és J3 a test főtehetetlenségi nyomatékei, M1,

M2 és M3 pedig a külső szabad erők nyomatékai a főtehetetlenségi tengelyekre, melyek általában az idő, a helyzet és a szögsebességek függvényei. Igen általános esetben a differenciálegyenletrendszer megoldása most is komoly matematikai nehézségeket okozhat. Tegyük fel, hogy a merev test főtehetetlenségi nyomatékai különbözőek és a külső erők nyomatéka az alátámasztási pontra nulla. Ez utóbbi esetben ún. erőmentes pörgettyűről beszé-lünk, aminek tehát az a feltétele, hogy a külső erők eredője átmenjen az alátámasztási ponton, vagy a külső erők egyensúlyi erőrendszert alkossanak. A perdülettétel értelmében ilyenkor a szöggyorsulás nulla, azaz állandó szögsebességű (nagyságú és irányú) forgó mozgásról van szó. Az Euler-egyenletek értelmében ez csak úgy lehetséges, ha – mivel 321 JJJ ≠≠ –

0211332 =ωω=ωω=ωω .

A nyugalom esetét (ω1 = ω2 = ω3 = 0) leszámítva ez csak akkor teljesül, ha a három szögsebességkomponens közül kettő nulla. A merev test szögsebességvektora tehát mindenkép-pen valamelyik főtengelybe esik. A test úgy forog, mintha a főtengelyt csapágyakkal rögzítettük

Page 70: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

150

volna. Ha a testet a súlypontban támasztjuk alá és a külső erők eredője nulla, azaz egyensúlyi erőrendszert alkotnak, akkor a súlyponti alátámasztásban reakcióerők nem ébrednek, (hiszen a súlypont most áll, ,0aS = tehát az inerciaerők is nullák). A kényszererők hiánya miatt a test sza-

bad mozgást végez, mégpedig valamelyik főtehetetlenségi tengelye körül forog állandó szögse-bességgel. A főtehetetlenségi tengelyeket ezért szabad tengelyeknek is nevezzük. Az Euler-féle differenciálegyenletek integrálásával bizonyos egyszerű esetekben a szögsebességkomponensek, mint az idő függvényei meghatározhatók. Ezzel azonban még csak a test sebességállapotát ismerjük. Differenciálással megkapjuk a gyorsulásállapotot. A test helyze-tének meghatározásához a főtengelynek az álló koordinátatengelyekkel bezárt szöget kell megad-nunk. Ez legegyszerűbben a ϕψϑ ,, Euler-féle szögekkel történhet. Az Euler-féle szögek idő sze-rinti deriváltjai ω komponenseivel – bizonyítás nélkül – az alábbi összefüggésekkel fejezhetők ki: ,sinsincos1 ϕϑψ+ϕϑ=ω && 2.164/a ,cossinsin2 ϕϑψ+ϕϑ−=ω && 2.164/b .cos3 ϑψ+ϕ=ω && 2.164/c

Ebből a három elsőrendű differenciálegyenletből az Euler-féle szögek, mint az idő függvényei meghatározhatók. B/ Merev test mozgása rögzített tengely körül Ez a mozgás tulajdonképpen a pörgettyűmozgás speciális esete. Ha a testhez kötött koor-dinátarendszer egyik tengelyét (nem kell feltétlenül főtengelynek lennie) a térben rögzítjük, akkor az Euler-egyenletek éppen a feladat megoldását szolgáltatják. Most azonban a feladatot az alapegyenletek felhasználásával old-juk meg. Legyen a merev test forgás-tengelye az A és B pontokban megtá-masztott (csapágyazott) (2.44. ábra). Legyen az álló koordinátarendszer kezdőpontja az A támasz, z tengelye a forgástengely. Kössünk a testhez is egy A kezdőpontú koordinátarend-szert úgy, hogy a z’ a z tengellyel esse egybe. A kényszerfeltételek miatt a test mozgása csak z tengely körüli forgómozgás lehet. A test helyzetét egyértelműen megadhatjuk azzal a zϕ szöggel, amelyet például az x és x’ ten- 2.44. ábra gelyek zárnak be egymással. A mozgás szabadságfoka egy. Legyen a test súlypontjának helyvektora a relatív koordinátarendszerben: '.k'z'j'y'i'x'r SSSS ++=

Page 71: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

151

Hasson a testre jF külső szabad erő. Ezek eredője és nyomatéka az A pontra:

∑ ∑==

j jjjAj ).Fxr(M,FF

Külső kényszererők csak az A és B pontokban ébredhetnek. Ha A-t gömbcsuklónak, B-t csapnak képzeljük, akkor a kényszererők vektora: .'k0'j'B'i'B'B,'k'A'j'A'i'A'A yxzyx ++=++= 2.165/a,b

Ha a B támaszpont helyvektora ,'k'zr BB = akkor a kényszererőket is figyelembe véve, a mozgás alapegyenletei:

,BAFamI S ++==& 2.166/a

.BxrM BAA +=π& 2.166/b A súlypont abszolút gyorsulásának meghatározásához differenciáljuk .trS − Ezt a relatív rend-

szerben adtuk meg, így az (1.100)-as differenciálási szabályt kell alkalmaznunk:

,'rx'rx'v'rxdt

'r'd

dt

'rdv SSSS

SSS ω=ω+=ω+==

hiszen a relatív rendszerben a súlypont áll.

=ωω+ε=ω+ω== )rx(xrxdt

'rdx'rx

dt

vda SS

SS

SS

&

= .'k0'j)'y'x('i)'x'y(

0'x'y

00

'k'j'i

'z'y'x

00

'k'j'i

S2zzSS

2zzS

SzSz

z

SSS

z +ω−ε+ω−ε−=ωω−

ω+ε 2,167

Most is a perdület idő szerinti deriváltjára van szükség, így célszerű a tehetetlenségi tenzort a relatív rendszerben megadni. A perdület:

=

ω

−−−−−−

=ω=π

zzyzxz

zyyxy

zxyxx

JA 0

0

'J'J'J

'J'J'J

'J'J'J

'T'A

'k'Jj'J'i'J zzzzyzzx ω+ω−ω−= .

Page 72: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

152

Az (1.100)-as differenciálási szabállyal:

=πω+ω=πω+π

=π AJAAA

A 'x'T'xdt

''d

dt

'dA

&&

&

=ωω−ω−

ω+

ω

−−−−−−

=

zzzzyzzx

z

zzyzxz

zyyxy

zxyxx

'J'J'J

00

'k'j'i

0

0

'J'J'J

'J'J'J

'J'J'J

&

.'k'J'j)'J'J('i)'J'J( zz2zzxzzy

2

zzyzzx ε+ω−ε−++ε−= 2.168

A fenti kifejezésekkel írjuk át (2.166)-ot skaláralakba:

=ε−=ω+ε−−=ω+ε−

+=++=ω−ε++=ω−ε−

.'M'J

,'z'B'M'J'J

'z'B'M'J'J

,'A'F0

,'B'A'F)'y'x(m

,'B'A'F)'x'y(m

Azzz

BxAy2zzxzzy

ByAx2zzyzzx

zz

yyy2zSzS

xxx2zSzS

2.169

Az utolsó egyenlet éppen az álló tengely körüli forgómozgás alapegyenlete. Belőle a test szög-gyorsulása a forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték és a külső szabad erők nyomaté-kának ismeretében számítható. A szögsebesség és a szögelfordulás integrálással adódik. Az első öt egyenlet a reakcióerők meghatározására használható. Abban a speciális esetben, mikor a külső erők egyensúlyi erőrendszert alkotnak

),0Més0F( A == (2.169) a következőképpen alakul. Az utolsó egyenletből 0z =ε , tehát a kezdeti szögsebességgel egyenlő egyenletes szögsebességű forgómozgásról van szó. A reakció-egyenletek:

ω−=ω−=

=ω−=+ω−=+

.'J'z'B

,'J'z'B

,0'A

,'my'B'A

,'mx'B'A

zx2zBx

zy2zBy

z

S2zyy

S2zxx

2.170

Annak feltétele, hogy reakcióerők ne ébredjenek az, hogy 0'J'Jés0'y'x zyzxSS ==== 2.170/a

Page 73: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

153

Ez akkor teljesül, ha a forgástengely a merev test súlypontján átmenő főtengely. Amennyiben ez a feltétel teljesül, a forgástengely támaszaiban reakciók ébrednek, azaz a test szabad mozgást végez. Így jutunk el megint a szabad tengely fogalmáig, (2.170)-ben a reakcióerőket a relatív koordinátarendszerben adtuk meg, ami azt jelenti, hogy a reakciókomponensek a z tengely körül ω szögsebességgel forognak. A reakcióerők, ill. annak ellenerői a csapágyakban dinamikus igénybevételt okoznak, ami a szerkezet működése szempontjából nagyon káros lehet. Fontos feladat tehát a reakcióerők kis értékben tartása, opti-mális esetben teljes kiküszöbölése. A valóságos testek inhomogenitása, ill. a pontatlan szerelés következtében (2.170/a) gyakorlatilag sohasem teljesül (legfeljebb véletlenül), így szükség van egy utólagos korrigálásra, melyet kiegyensúlyozásnak nevezünk. A/ Forgó alkatrészek sztatikus és dinamikus kiegyensúlyozása Láttuk, hogy a reakcióerők eltűnésének egyik feltétele, hogy a súlypont a forgástengelybe essen, a másik, hogy a forgástengely főtengely legyen vagy másként kifejezve, a forgástengely-ben metsződő, két egymásra merőleges síkra vonatkozó deviációs nyomatékoknak nullával kell egyenlőnek lenniük. 1. Sztatikus kiegyensúlyozás: Feladat a súlypont eltolása a forgástengelybe (2.45. ábra). Ha a me-rev testet forgástengelyén sima csapágyakra he-lyezzük, akkor nyugalmi állapotban a súlypont a tengelyen átmenő függőleges síkban van. Ebben a síkban a testhez erősíthetünk –a tengelytől fel-felé eső részre – egy mo nagyságú, tömegpont-nak tekinthető kiegyensúlyozó tömeget. A for-gástengelyre felírható sztatikai nyomaték

mxS – moR = 0 2.45. ábra

kifejezésből az m0 kiegyensúlyozó tömeg megha- tározható, vagy ha m0-t próbálgatással határozzuk meg (m0-nak akkorának kell lennie, hogy a test bármely elforgatott helyzetben nyugalomban maradjon), akkor számítható az eredeti, m tömegű test súlypontjának xS koordinátája. 2.Dinamikus kiegyensúlyozás: Itt azt kell elérni, hogy a deviációs nyomatékok nul-lával legyenek egyenlők. Ehhez a gya-korlatban négy kiegyensúlyozó tömeget szoktak elhelyezni a forgó test felületén az xz és yz koordinátasíkokban. Termé-szetesen a súlypontnak továbbra is a for-gástengelybe kell esnie, ami azt jelenti, hogy az azonos síkba eső két tömeget a forgástengelytől jobbra és balra kell elhe-lyezni. A 2.46. ábra jelöléseivel a súly. A 2.46. ábra jelöléseivel a súlypontra vonatko- 2.46. ábra

Page 74: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

154

zó feltétel: m1x1 – m4x4 = 0, m2y2 – m3y3 = 0. Az eredeti test és a kiegészítő tömegek deviációs nyomatékának szintén nullát kell adnia: Jzx + m1x1z1 – m4x4z4 = 0, Jzy + m2y2z2.– m3y3z3 = 0. A fenti négy egyenletből a szükséges tömegek meghatározhatók. A gyakorlatban a dinamikai kiegyensúlyozás végezhető próbálgatással. A dinamikailag kiegyensúlyozatlan forgó test alátá-masztásaiban reakcióerőként – (2.170) szerint – erőpárok ébrednek. ezeket mérve, a kiegyensú-lyozó tömegek helyét és nagyságát addig kell változtatni, míg a reakcióerők nagyságát mutató műszerek nullát nem jeleznek. B/ Forgó részek (tengelyek) kritikus szögsebessége (fordulatszáma) A forgó alkatrészek kiegyensúlyozatlansága sohasem szüntethető meg tökéletesen. A szta-tikai kiegyensúlyozatlanság következtében – (2.170) alapján – tehetetlenségi erők lépnek fel, me-lyek a forgó test rugalmas tengelyét hajlításra veszik igénybe. A tengely kihajlása következtében a súlypont még távolabb kerül az elméleti forgástengelytől, ez tovább növeli a tehetetlenségi erőt, ami még nagyobb kihajlást eredményez. Kedvezőtlen esetben a tengely kihajlása olyan nagy mér-tékű lehet, ami maradandó alakváltozáshoz, esetleg töréshez vezet. A jelenség elméleti vizsgálatához tegyük fel, hogy a merev test a vele mereven összekap-csolt tengellyel együtt dinamikailag kiegyensúlyozott (a megfelelő deviációs nyomatékok tehát nullák), sztatikailag azonban nem. Nyugalmi állapotban a súlypont távolságát a forgástengely középvonalától jelöljük e-vel. (2.47. ábra). Ha a tengely ω = áll. Szögsebességgel forgatjuk, a tengely meghajlik, kitérése a súlypont magasságában y. A súlypont tehát r = y + e sugarú köríven mozog. A tehetetlenségi erővel a tengely rugalmas visszatérítő ereje tart egyensúlyt: 0)ey(msy 2 =ω+− Innen

,e

1

1ee

m

sy

222

2

2

2

ων

=ω−ν

=ω−

ω= 2.171

ahol ,m

s=ν az egy szabadságfokúnak tekintett

rezgőrendszer saját körfrekvenciája (természetesen 2.47. ábra –ennek ellenére – itt nem rezgőmozgásról van szó).

Page 75: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

155

A kifejezés szerint a tengely kihajlása annál nagyobb, minél közelebb esik a szögsebesség érté-kéhez. Ha ,ν=ω y elméletileg végtelen. Ezt a szögsebességet ezért kritikus szögsebességnek nevezzük:

.m

skrit =ν=ω 2.172

A kritikus szögsebesség tehát annál nagyobb érték, minél nagyobb a tengely rúgómerevsége és minél kisebb a merev test tömege. Vezessük be az r=y+e mennyiséget, amely a súlypont elméleti forgástengelyétől mért tá-volságát jelenti. (2.171) felhasználásával:

.

1

ee

1

er

22

νω−

=+−

ων

= 2.173

Ábrázoljuk ezt a függvényt úgy, hogy a koordinátarendszer vízszintes tengelyére az ω/ν, a függő-leges tengelyre az r/e dimenzió nélküli mennyiségeket mérjük (2.48. ábra). Az ábráról jól látszik

és 82.173)-ból kiszámítható, hogy ν=ω 2 esetén a súlypont közelebb kerül az elmélet forgás-tengelyhez, mint alacsonyabb szögsebességeknél. Gyakorlatilag ez azt jelenti, hogy a kisebb inerciaerők következtében a szerkezet „nyugodtabban” jár. A jelenséget önkiegyensúlyozásnak nevezzük (2.49. ábra). Ha előírjuk hogy a súlypont legfeljebb rmax sugarú körpályán mozoghat, (2.173)-ból meghatározhatjuk azt a szögsebességtartományt, amelyen a szerkezet tartósan nem működhet:

.r

e1

r

e1

maxmax

+ν≤ω≤−ν

Ha a magasabb határérték felett kívánjuk a tengelyt forgatni, akkor a fenti szögsebességtartományon gyorsan kell áthaladni, hogy ne legyen elegendő idő a nagy kihajlások kialakulására. Vizsgáljuk meg egy olyan merev testnek a mozgását, amely álló tengely körüli forgó mozgásra képes, s melyre a kitéréssel arányos, de azzal ellentétes nyomaték hat. A nyomatéktör-vény tehát: ,'sM ϕ−= 2.174 ahol s’>0, neve torziós rugómerevség, az egységnyi szögelforduláshoz szükséges nyomaték nagysága. A visszatérítő nyomatékot szemléletesen alkalmasan elhelyezett spirálrugóval model-lezhetjük.

Page 76: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

156

2.48. ábra 2.49. ábra C/ Torziós rezgések (lengések)

Ilyen nyomatékhatást érhetünk el, ha a merev test egy konzoltartó szabad végére erősítjük és a z tengely körül kis szöggel elforgatjuk, azaz a tartószerkezeteket csavarásra vesszük igénybe (2.50. ábra). Használjuk fel a D’Alambert-elvet a z tengely körüli forgás alapegyenletének felírásához: 0,Js'εJM zz =ϕ−ϕ−=− && ahol Jz – a merev test tehetetlenségi nyomatéka a z tengelyre. Átalakítva:

.02 =ϕν+ϕ&& 2.175 Ez a (2.38)-al analóg skalár differenciálegyenlet és tudjuk, hogy ez a rezgőmozgások jellemző differenci-álegyenlete. Így

zJ

's=ν 2.176 2.50. ábra

a rezgés körfrekvenciája. (2.175) általános megoldása: ,tsinBtcosA)t( ν+ν=ϕ=ϕ 2.177

Page 77: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

157

Az A, B integrálási állandókat a kezdeti feltételekből határozhatjuk meg. Ha pl. t = 0-nál ,és 00 ϕ=ϕω=ω a partikuláris megoldás:

.tsintcos)t( 00 ν

νω+νϕ=ϕ=ϕ 2.178

A szögsebesség és szöggyorsulás függvényét a fenti kifejezés differenciálásával nyerjük. 2.3.5.3. SÍKMOZGÁS A síkmozgás szabadságfoka három, így három skaláregyenletre van szükség a szabad mozgás leírásához. Kényszermozgás esetén a szabadságfoktól függően egy, ill. két reakcióerőkomponenst tudunk egyértelműen meghatározni. Ha a koordinátarendszer x,y tenge-lyét a mozgás síkjában vesszük fel, akkor (2.153/a) x és y irányú, valamint a (2.153/b) z irányú komponensegyenletét használjuk. Célszerűen most is álló pontot, vagy a súlypontot választjuk vonatkoztatási pontnak a perdület tétel egyszerűbb alakban valófelírásának kedvéért. (2.154) alapján:

==

.SzzSz

ys

xS

M)J(dt

d,Fym

,Fxm

&&

&&

2.179/a,b,c

Mivel a súlyponton átmenő. A mozgás síkjára merőleges tengelyre vonatkozó JSz tehetetlenségi nyomaték állandó, az utolsó összefüggés a

SzzSzz

Sz MJdt

dJ =ε=

ω 2.179/d

alakba megy át, ami megegyezik az álló tengely körüli forgó mozgás alapegyenletével. (2.179/a,b) tehát a sík-mozgást végző test súlypontjának mozgásjellemzőit adja, (2.179/d) pedig a tetszőlegesen mozgó súlypont körüli forgómozgás jellemzőit. A/ A fizikai inga mozgása Fizikai ingának nevezzük azt a merev testet, amelyik álló vízszintes tengely körül a nehézségi erő hatására mozog. A mozgást álló tengely körüli vagy síkmozgásként is kezelhetjük. Legyen a forgástengely az álló és mozgó koordinátarendszer z ill. z’ tengelye, 2.51. ábra

Page 78: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

158

a felfüggesztési pont A. A test súlypontját és az A pontot összekötő egyenes legyen a relatív ko-ordinátarendszer x’ tengelye, melynek a térhez rögzített, függőleges helyzetű x tengellyel bezárt

zϕ szöge jellemzi az inga helyzetét. (2.51. ábra). A z tengelyre, ill. az A álló pontra vonatkozó perdülettétel: .JJsinmgrM zAzzAzzSAz ϕ−=ε−=ϕ= &&

Rendezés után:

.0sinJ

mgrz

Az

Sz =ϕ+ϕ&&

Ha csak kis kitéréseket engedünk meg, ,sin zz ϕ≅ϕ a fenti differenciálegyenlet linearizálható: ,0z

2z =ϕν+ϕ&& 2.180

ahol

.J

mgr

Az

S2 =ν

(2.180) szerint a test lengő (rezgő) mozgást végez, a mozgás saját körfrekvenciája ν . Az általá-nos megoldás: ),tsin(A)t( 0z ϕ+ν=ϕ

a t=0-nál zϕ =0, 0z ω=ω kezdeti feltétel felhasználásával a partikuláris megoldás:

,tsin)t( 0z ν

νω

,tcos)t( 0z νω=ω 2.181/a,b,c

.tsin)t( 0z ννω−=ε

A szögsebesség a zϕ helyzet függvényében:

.νωνtsin1ω)(ω 2z

220

20zz ϕ−=−=ϕ 2.182/a

A fenti függvényt az energiamegmaradás tételével is számítjuk:

,J2

1)cos1(mgrJ

2

1 20AzzS

2Az ω=ϕ−+ω

Page 79: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

159

innen

).cos((1J

mgr2ω)(ω z

Az

S20zz ϕ−−=ϕ 2.182/b

Ez a kifejezés a kitérés nagyságától függetlenül pontos eredményt ad. Kis kitéréseknél a

)cos1(2 z2z ϕ−=ϕ közelítéssel éppen (2.182/a)-t kapjuk.

Az inga egy teljes lengésének ideje:

.mgr

J2

2T

S

Azπ=νπ=

Ha ezt egyenlővé tesszük a matematikai inga lengésidejével, meghatározhatjuk, mi a feltétele annak, hogy a fizikai és matematikai inga lengésideje megegyezzen:

,g

1

mgr

J

2

T red

S

Az ==π

ahonnan

,mr

J1

S

Azred =

melyet a fizikai inga redukált hosszának nevezünk. A lengésidő egyeztetése miatt azt mondhat-juk, hogy a fizikai inga úgy mozog, mint egy 1red hosszúságú matematikai inga. Az x’ tengelyen az A ponttól felmért lred távolságú A’ pontot lengési középpontnak nevezzük. Mivel

,mr

Jr

mr

mrJ

mr

J1

S

SzS

S

2SSz

S

Azred +=

+==

az A’ pont mindig a súlyponton túl, attól JSz/mrS távolságra van. A lengési középpontnak érdekes tulajdonsága van. Ha itt függesztjük fel a testet, annak lengésideje meg fog egyezni Az A pontú felfüggesztéssel.

=

+

π==−

−+π=

−π=

S

Sz

2

S

SzSz

Sred

2SredSz

Sred

z'A

mr

Jmg

mmr

JJ

2)r1(mg

m)r(J2

)r1(mg

J2'T

.Tmgr

J2

mgr

mrJ2

mr

Jr

g

12

S

Az

S

2Sz

S

SzS =π=

+π=

Page 80: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

160

A felfüggesztési pontban ébredő reakcióerőket a súlyponttétellel határozhatjuk meg: .amGA S=+

A relatív koordinátarendszerben: 'jsinmg'icosmg'G zz ϕ−ϕ= , 'jmr'imr'a zS

2zSs ε−ω−= .

Így a reakciókomponensek a testhez kötött koordinátarendszerben: ),rcosg(m'A 2

zSzx ω+ϕ−= 2.183/a

)rsing(m'A zSzy ε+ϕ−= . 2.183/b

B/ Gördülés előírt pályán A gördülő mozgás előírt elemi mozgások egymásutánja, melynél az álló pólusgörbe maga az előírt pálya, a mozgó pólusgörbe pedig a test körvonala. Ha a pillanatnyi forgástengelyek min-dig párhuzamosak egymással, a test síkmozgást végez. Kinetikai szempontból a test akkor végez síkmozgást, ha a kezdeti sebességek és a mozgás folyamán a testre ható erők egy és ugyanabban a síkban vannak. A számítás szempontjából a legegyszerűbb, de a gyakorlatban a legfontosabb eset, mikor a mozgó pólusgörbe, azaz a gördülő test alakja kör és a test súlypontja a kör geometriai közép-pontjába esik. Ha R a kör sugara és ω a pillanatnyi szögsebesség, a tiszta gördülés feltétele: .RvS ω=

Ha a súlypont sebessége ettől különbözik, akkor a támasztó felület (pálya) és a mozgó test érint-kezési pontja meg is csúszik egymáson, tiszta gördülésről nem beszélhetünk. Az álló pólusgörbe, azaz a pálya alakja tetszőleges lehet (2.52. ábra). A pillanatnyi pólus-pontban a sebesség nulla. Ezt az érintkező felületek érdessége, ill. az itt fellépő kényszererő biz-tosítja. Az elméleti számításoknál először mindig feltételezzük, hogy a tiszta gördüléshez szüksé-ges súrlódó erő fellép és a megoldás ismeretében ellenőrizzük, hogy a kérdéses kényszererő létre-jöhet-e. Amíg a tiszta gördülés feltétele biztosított, azaz vΩ=0, a nyugvásbeli súrlódási tényezővel számolhat-S=maunk. Csúszásos gördülésnél pedig a mozgásbeli súrlódási tényezőt kell figye-lembe venni. A mozgás analitikai tárgyalásánál célszerű a külső szabad erőket a súlypontba redukálni. Általános esetben ezek eredője F és MS. A külső kényszererők három komponense az N pálya-nyomás (normálerő), az S súrlódó erő és az Mg = fgN nagyságú gördülési ellenállás.

Page 81: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

161

2.52. ábra A pálya természetes koordinátarendszerében a súlyponttétel: ,mRmaSF zee ε==− 2.184/a

,mRmaNF 2

znn ω==− 2.184/b a súlypontra vonatkozó perdülettételből: .JSRMM zSZgS ε=+ 2.184/c

Helyettesítsük be (2.184/a)-ba az utolsó egyenletből zε -t és fejezzük ki a súrlódó erőt:

,mRJ

)MM(mRJF

1J

mR

)Mm(J

mRF

S2

Sz

gSSze

Sz

2

gSSz

e

+−−

=+

−−=

ez a tiszta gördüléshez szükséges súrlódóerő, a súrlódóerő maximuma azonban .N0µ A tiszta

gürdülés feltétele tehát .NSS 0max µ=≤

Az abszolút értékre azért van szükség, mert a súrlódóerő a külső szabad erők alakulásától függő-en ellenkező értelmű, azaz negatív előjelű is lehet. 2.4. SZERKEZETEK KINEMATIKÁJA Vegyünk egy n tagból álló szerkezetet (mechanizmust), melyben az egyes tagok egymás-hoz képest elmozdíthatóan – a kinematikai párokon keresztül – kapcsolódnak egymással. A szer-

Page 82: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

162

kezet tagjainak mozgásállapotát a szerkezet tagjaira ható külső erők ismeretében kinetikai vizsgá-lattal határozhatjuk meg. A vizsgálathoz az átmetszési elvet alkalmazzuk, azaz a szerkezet kinematikai párjait fel-oldva, működtetjük az egyes tagokra az eleve rájuk ható, külső erőket, a külső reakcióerőket, valamint a kinematikai párok jellegének megfelelő erőket, melyek a szétszedés előtt belső erő-ként , nullapárok formájában léteztek, a szétszedés után pedig külső reakcióknak számítanak. Végül minden tagra alkalmazzuk a merev test általános mozgásának alapegyenleteit, a (2.153/a,b) vagya (2.154/a,b) összefüggéseket, azaz az impulzus- és perdülettételt. Ily módon térbeli mozgás esetén 6n számú skaláregyenlethez jutunk. Ha a szerkezet szabadságfoka f és az ismeretlen reakciók száma r, akkor F + r = 2n esetén a szerkezetet kinematikailag határozottnak mondjuk. Ebben az esetben mind a mozgásjel-lemzők, mind a reakcióerők egyértelműen meghatározhatók. Ha f + r > 6n, akkor az alapegyenletből csak a gyorsulások határozhatók meg egyértelműen, a reakciók már nem. Ilyenkor kinetikailag határozatlan szerkezetről beszélünk. Sokszor előfordul, hogy nincs szükség az összes ismeretlen meghatározására. Ebben az esetben úgy könnyíthetünk a feladat megoldásán, hogy nem szedjük szét a szerkezetet az összes lehetséges részre, hanem csak alkalmasan megválasztott kisebb szerkezeti egységekre. Az ezekre felírt alapegyenletekből bizonyos belső erők eleve hiányozni fognak. Természetesen az alapegyenleten kívül az azokkal ekvivalens tételek (súlyponttétel, mun-katétel, perdülettétel, a mechanikai energia megmaradásának tétele) is sokszor gazdaságosan használhatók. 2.4.1. A SZERKEZETEK (MECHANIZMUSOK) TAGJAIRA HATÓ ERŐK MEGHATÁRO-ZÁSA A mechanizmusok erőtani tervezésének egyik alapfeltétele a mechanizmus tagjaiban éb-redő igénybevételek ismerete. Ehhez azonban a tagokra ható erőket kell ismernünk. Az ismeret-len erők meghatározásához a d’Alambert-elvet használhatjuk a legelőnyösebben, amely kimond-ja, hogy a testre, szerkezetre ható külső aktív és passzív erők, valamint az inerciaerők egyensúlyi erőrendszert alkotnak. Kis tömegű és lassan mozgó szerkezetek esetén az inerciaerők el is hanya-golhatók. Ilyenkor sztatikai, egyébként dinamikai vizsgálatról beszélünk. A tehetetlenségi erőket célszerű a merev test súlypontjára redukálni. Ehhez ismernünk kell a súlypont gyorsulását és a súlyponton átmenő tengely körüli forgómozgás szöggyorsulását a szerkezet vizsgált helyzetének a pillanatában. (2.158/a,b)-nek megfelelően a tehetetlenségi erő:

,amID S−=−= &

támadáspontja tehát a súlypont. A tehetetlenségi nyomaték:

Page 83: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

163

).J(dt

dM

eSSinerciaS ω

ω−=π−= &

Síkmozgás esetén a SamD −= tehetetlenségi erő a mozgás síkjában van. A tehetetlenségi nyoma-

ték vektora merőleges a mozgás síkjára, nagysága: ,JM S

inerciaS ε=

ahol JS – a súlyponton átmenő, a mozgás síkjára merőleges tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. Síkmozgás esetén az inerciaerőrendszer egyetlen inerciaerővé redukálható. A redukált tehetetlenségi erő hatásvonala párhuzamos a súlypont gyorsulásvektorával s attól

m

J

ar S

SD

ε=

távolságra van (2.54. ábra).

2.53. ábra 2.54. ábra 2.4.2. ÜTKÖZÉSI FOLYAMATOK A szerkezetek kinematikájának egyik igen érdekes esete az ütközés. Ha egy tömegpont-nak, egy testnek vagy egy testekből álló rendszernek e sebességállapota hirtelen lényegesen meg-változik, ütközésről beszélünk. A sebességállapot megváltozása olyan rövid ∆t idő alatt megy végbe, amely alatt a rendszer helyzete nem változik észrevehetően. Ütközés keletkezik pl, ha két test egy-egy felületi pontja ugyanabban a pillanatban ugyanarra a helyre érkezik és a pontok rela-tív sebessége nem nulla, vagy, ha egy mozgó rendszer valamely pontjának elmozdulását hirtelen megakadályozzuk vagy megváltoztatjuk. Az ütközési folyamatok pontos matematikai leírása rendkívül bonyolult, ezért nagyfokú idealizálással (egyszerűsítéssel) kell élnünk. Ez egyrészt abban áll, hogy eltekintünk a test belse-jében lejátszódó összetett fizikai folyamatoktól és a sebességállapot pillanatszerű (ugrásszerű) megváltozását tételezzük fel. A sebességek hirtelen változása a ∆t→0 ütközési idő mellett a gyor-sulások és velük az ütközésben résztvevő erők minden határon túli növekedését vonja maga után. További egyszerűsítést jelent, hogy az ütközés által kiváltott sebességeloszlásra a megtámasztási módokkal összeegyeztethető feltételezésekkel élünk. Ehhez a testet gyakran merevnek tekintjük.

Page 84: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

164

Ezek után alkalmazzuk az impulzustételt az ütközés kezdetének t1 és végének t2 időpont-jára (t2-t1=∆t):

∑∫=−j

t

t

j12

2

1

.dtFII

A fenti kifejezésben elvileg az összes testre ható erő szerepel. Nyilvánvaló azonban, hogy csak azok az erők növekszenek meg a ∆t ütközési idő alatt, amelynek az ütközés következtében lépnek fel. Ezek mellett az összes többi erő elhanyagolhatóan kicsi lesz, nem kell őket figyelem-be venni (ilyen pl. a súlyerő). Annak ellenére, hogy az ütközési erők ∆t→0-val a végtelenbe tar-tanak a

∫→∆=Φ

2

1

t

t

jj dtF0t

lim 2.185

melyet az jF erő ütközési erőlökésnek nevezünk, véges mennyiség, hiszen az impulzusváltozás is

véges mennyiség. Így ∑ Φ=Φ=−

jj12 ,II 2.186

az impulzustételt tehát speciálisan az ütközésre a következőképpen fogalmazhatjuk: Tétel: Az impulzusváltozás az ütközés következtében fellépő erők ütközési erőlökésének össze-gével egyenlő. Bizonyítás: Írjuk fel a perdülettételt valamely álló 0 pontra:

.dtFxrdt)Fxr(j

t

t j

t

t

jj0jj00102

2

1

2

1

∑∫ ∑ ∫

==π−π

j0r azért emelhető ki az integrájel elé, mert korábbi feltevéseinknek megfelelően a test helyzetét a

∆t időtartományban változatlannak tekintjük. Természetesen most is csak az ütközés következté-ben fellépő erőket kell figyelembe venni és az előbbi esethez hasonlóan a

∫∫∆+∆+

Ψ=Φ=→∆

=→∆

tt

t

j0jj0jj0

tt

t

jj0

1

1

1

1

xrdtF0t

limxr)dtFxr(

0t

lim 2.187

mennyiség véges a perdület véges megváltozása miatt. A j0Ψ mennyiséget az jF erő 0 pontra

vonatkozó ütközési nyomatéklökésének nevezzük. Ezzel a perdülettétel az ütközés speciális ese-tére: ∑ Ψ=ΨΑ=π−π

j0j012 , 2.188

Szavakban: Tétel: Valamely álló pontra vonatkozó perdületváltozás az ütközés következtében fellépő erők 0 pontra vonatkozó ütközési nyomatéklökésének összegével egyenlő.

Page 85: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

165

Tegyük fel, hogy két, egymással ütköző test az ütközés folyamán egy pontban érintkezik egymással. Ebben a pontban a közös érintő sík normálisa az ún. ütközési normális, egységvektora legyen n . Ha az ütközési normális átmegy mindkét test súlypontján centrikus, egyébként excent-rikus ütközésről beszélünk. Ha a felületeket abszolút simának tekintjük, akkor az ütközési erőlö-kés vektora a normális irányba esik: njj Φ±=Φ

és mindig a vizsgált test irányába mutat. Ha az ütköző testek egyébként szabad mozgást végez-nek, akkor ütközési erőlökés csak az érintkezési pontban ébredhet. Ha ez n irányú, a (2.186) tétel szerint csak a normális irányú impulzuskomponensek változnak meg, azaz csak a normális irányú sebességkomponenesek változnak. (2.188) alapján pedig az ütközési normális bármely pontjára felírt perdületváltozás nulla. A (2.186) és (2.188) össze-függések azt mutatják, hogy a lökés által kiváltott sebességváltozásra az ütközési erőlökésnek jelentős szerepe van. Ezek azonban szintén az ütközé-si feladat ismeretlenei közé tartoznak. A fenti két egyenlet tehát nem ele-gendő az ismeretlenek (az ütközés utáni két sebességvektor és az ütkö-zési erőlökés) meghatározására. A probléma megoldásához újabb ideali-záló feltevésekkel kell élnünk. Így jutunk el a tökéletesen rugalmas és töké- 2.55. ábra letesen rugalmatlan test, ill. ütközés fogalmáig. Tökéletesen rugalmas ütközésről beszélünk, ha az ütközés folyamán a teljes mechanikai energia változtalan marad. Mivel a potenciális energia a test helyzetétől függ s ezt az ütközésnél változatlannak tételezzük fel, a kinetikai energiának kell az ütközés t1 és t2 pillanatában meg-egyeznie: .0)t(E)t(E 12 =− 2.189 Az ütközés folyamán a testek alakváltozást szenvednek, de a tiszta rugalmas deformáció miatt az ütközési idő végére teljes mértékben visszanyerik eredeti alakjukat. Az alakváltozásra fordított energiát tehát teljes mértékben visszanyerjük. Tökéletesen rugalmatlan ütközésnél az ütközési idő végére a testek érintkező pontja az ütközési normális irányban azonos sebességgel együtt mozog, tehát [ ] .0n)t(v)t(v 2221 =− 2.190 Tangenciális (érintő) irányú elmozdulás természetesen felléphet, érintő irányban a sebességkom-ponensek különbözőek lehetnek. Az ütköző testek itt is deformálódnak, de a tiszte rugalmatlan alakváltozás következtében eredeti alakjukat nem nyerik vissza, sőt az ütközési időszak első ré-

Page 86: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

166

szében megszerzett deformációjukat teljes mértékben megtartják. Az alakváltozásra fordított me-chanikai energia hőenergiává alakul. A valóságos testek nem tökéletesen rugalmasak vagy rugalmatlanok, bizonyos mértékig mindkét tulajdonsággal rendelkeznek, így kisebb-nagyobb mértékű mechanikai energiaveszte-séggel mindig kell számolni. A rendkívül bonyolult mechanikai folyamat matematikai leírásához bevezetjük a k, lökési tényező fogalmát, amely az ütközésben résztvevő testeket együttesen jel-lemzi, azok anyagi tulajdonságaitól függ. K értéke azonban jelenleg csak kísérleti úton határozha-tó meg. Az ütközési tényező a két test ütközés utáni és előtti normális irányú relatív sebesség-komponensének hányadosával egyenlő:

[ ][ ] 1k0és

n)t(v)t(v

n)t(v)t(vk

1112

2122 ≤≤−−

= 2.191

Az összefüggés k = 1-re a tökéletesen rugalmas, k = 0-ra a tökéletesen rugalmatlan ütközés határ-eseteit adja. A (2.189) – (2.191) egyenletek valamelyikének felhasználásával lehetőség nyílik – leg-alábbis elvileg – az ütközési folyamatok ismeretleneinek meghatározására. 2.5. MECHANIKAI RENDSZEREK VIZSGÁLATA Az anyagi pont mozgásával kapcsolatos eredmények (pl. a bolygómozgások elméleti ma-gyarázata) a 17. és 18. században azt a felfogást erősítették meg, hogy bármilyen anyagi rendszer, így a véges kiterjedésű test is, igen kis kiterjedésű anyagi pontok összességének tekinthető. n számú anyagi pontból álló rendszer esetén a mozgásegyenleteket az n,...,3,2,1i,Frm iii ==&& összefüggések adják. Ha ismerjük az anyagi pontokra ható iF erőket a pontok helyének, sebessé-gének és az időnek a függvényében, akkor a pontrendszer mozgásának meghatározása 3n számú skaláris másodrendű differenciálegyenletből álló egyenletrendszer megoldására vezethető vissza. Az anyagi pontokra ható erők külső és belső erőkre bonthatók. Ennek figyelembe vételé-vel az anyagi pontrendszer alapfeltevései a következők: - a Newton-féle mozgástörvény:

,n,.....,2,1j,iFFrmj

ijiii =+= ∑&&

ahol

iF - az i-edik pontra ható külső erők eredője,

ijF - a j-edik pont által az i-edikre kifejtett belső erő,

mi - az i-edik anyagi pont tömege,

ir - az i-edik pont inerciarendszerbeli helyvektora. Az akció-reakció elve a belső erőkre: ,FF jiij −=

Page 87: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

167

ami egyben azt is feltételezi, hogy a belső erők centrálisak, azaz mindig az i és j pontokat össze-kötő egyenes mentén hatnak. A fenti értelmezés alapján természetesen ,0Fii = hiszen egy pont önmagára nem hat. Ezekből az alapfeltevésekből levezethető a pontrendszer három általános alaptétele: az impulzus-, a perdület- és az energiatétel. Ezeket a 2.3. pontban, a merev testek kinetikájánál meg-ismertük. A pontrendszert szabadnak nevezzük, ha pontjainak mozgását semmi sem akadályozza. Kötött rendszernél néhány vagy az összes pont koordinátái vagy azok változásai között bizonyos, előírt összefüggéseknek kell fennállniuk, amelyeket mellék- vagy kényszerfeltételeknek nevez-zük. Merev test esetén pl. azt a kényszerfeltételt kell előírni, hogy a pontok közti távolság a moz-gás folyamán nem változhat meg: .n,.....,2,1j,i,.áll)zz()yy()xx()rr( 2

ji2

ji2

ji2

ji ==−+−+−=−

Kötött pontrendszernél a ható erőket két csoportba oszthatjuk. Kényszererők vagy reak-cióerők azok az erők, amelyek a kényszerfeltételek miatt lépnek fel, ill. sztatikai szempontból azokat helyettesítik. A többi erő szabaderő. Ha a szabad erőkhöz hozzáadjuk a kényszererőket, a pontrendszer szabadnak tekinthető, azaz fennáll: .n......,2,1i,KFrm iiii =+=&& 2.192 Az iF -vel jelölt szabad erőket fizikai eredetű erőknek nevezhetjük, megadásuknál valamilyen fizikai méréssel meghatározható adatra van szükség. Szabad erő pl. a gravitációs erő, az elektro-mos, mágneses térben kialakuló erők. A iK -vel jelölt kényszererőket geometriai eredetű erőknek hívhatjuk, mert ezek a pontrendszerek egyes részei között fennálló, geometriai természetű kény-szerfeltételektől függenek. Kényszererők lépnek fel pl. testek érintkezési felületein, pontjain. Természetesen mind a szabad, mind a kényszererők lehetnek külső és belső erők. A kétféle osztá-lyozás szempontjai nem ugyanazok. A szabad erők rendszerint előre megadott erők, a kényszer-erők általában ismeretlenek. A mechanikai feladat egyik része éppen ezeknek a kényszererőknek a meghatározása. A mechanikai rendszerekkel kapcsolatos szerteágazó feladatok arra késztették a tudóso-kat, hogy a mechanika törvényeit minél egyszerűbb és általánosabb alakban, ún. mechanikai el-vekben foglalják össze. Ezek az elvek egyrészt a Newton-féle axiómákat helyettesítik, ill. bizo-nyos szempontból kiegészítik, másrészt pedig lehetővé teszik a mozgásegyenletek tetszőleges koordinátákban való egyszerű felállítását azokban a bonyolultabb, kényszerfeltételeket is tartal-mazó esetekben is, amelyeknél az eredeti Newton-féle törvények alkalmazása igen körülményes és nem mindig célravezető. Az alábbiakban röviden bemutatjuk a mechanika legfontosabb elveit Budó Á.(1) műve alapján. 2.5.1.. A VIRTUÁLIS MUNKA ELVE ÉS A D’ ALAMBERT-FÉLE ELV Vizsgáljunk egy olyan rendszert, amely tagjainak (pontjainak) mozgását előírt feltételek korlátozzák. Az ilyen kötött rendszerek speciális esetben – mikor nincsen semmiféle kötöttség – szabad rendszert is jelenthetnek. Ha a kényszerfeltételeket erőkkel helyettesítjük, akkor a rend-szer mi tömegű pontjára ható iF szabad erők és iK kényszererők hatására a pont formailag szabad

Page 88: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

168

mozgást végez és alkalmazható rá a Newton alaptörvényének megfelelő (2.192) összefüggés. Ebben azonban a kényszererőket nem ismerjük, ezért azokra valamilyen feltevést kell tennünk. Az anyagi pont kényszermozgásánál (2.1.3.2. fejezet) azzal a feltevéssel éltünk, hogy a kényszer-erő hatásvonala merőleges az előírt kényszerfelületre vagy pályára. Pontrendszer esetén azonban ez a feltevés nem elegendő, mert más fajta, összetettebb kényszerek is előfordulhatnak (pl. előír-hatjuk, hogy a pontok közti távolság a mozgás folyamán ne változzon). Általánosítható azonban egy, a kényszererők virtuális munkáján alapuló feltevés. A virtuális elmozdulás és virtuális mun-ka fogalmát az előző szemeszterben már alaposan megismertük, most mégis röviden összefoglal-juk a virtuális elmozdulás ismérveit. A virtuális elmozdulás: - geometriailag lehetséges, azaz a megtámasztási és egyéb kényszerfeltételekkel, valamint a

rendszer geometriai tulajdonságaival összeegyeztethető (kompatíbilis), - csak képzelt, nem kell a valóságban fellépnie, e feltevés lehetővé teszi, hogy a virtuális el-

mozdulás létrejöttéhez szükséges időt elhanyagoljuk, ill. nullának tekintsük ( ),0t =δ - az elmozdulás a test méreteihez képest kicsi, a virtuális elmozdulás következtében a rend-

szernek csak olyan szomszédos helyzetei jöhetnek szóba, amelyek a kiindulási helyzethez tet-szőlegesen közel vannak. A pontrendszer i-edik pontjának virtuális elmozdulását velri −δ jelöljük. Könnyen beláthatjuk, hogy a megfogásokban, megtámasztásokban ébredő kényszererők vir-

tuális munkája a 2.56. ábrának megfelelően nulla (vagy azért, mert a kényszererő hatásvonala merőleges a virtuális elmozdulásra, vagy azért, mert erő virtuális forgásánál nem végez munkát, vagy mert a kényszer olyan, hogy nem léphet fel virtuális elmozdulás).

2.56. ábra

Ha a rendszer két anyagi pontja között az előírt feltétel, hogy a köztük lévő távolság nem változhat meg, akkor kézenfekvő a kényszererőkről feltételeznünk, hogy azok hatásvonala a két pontot összekötő egyenesbe esik és ij KK −= . A két pont virtuális elmozdulása közötti kapcsolat

ijij rxrr ϕδ+δ=δ

Page 89: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

169

formában írható fel a merevségi feltétel miatt. A két kényszererő teljes virtuális munkája ennek megfelelően: .0)rx(K)rxr(KrKrKrKW ijiijiiiijjii =ϕδ=ϕδ+δ−δ=δ+δ=δ

mert

.rK iji

A fentiek alapján a kényszererőkre a következő általános érvényű feltételezést tesszük: Bármely anyagi pontrendszerben a kényszererők teljes virtuális munkája nulla: ∑ =δ

1ii .0rK 2.193

Ez a megállapítás – mint a fenti példákon láttuk – bizonyos esetekben egyszerűbb feltevésekre vezethető vissza, de pusztán a Newton-féle axiómákból nem következik, így új posztulátumnak tekinthető. A feltételt más formában is kifejezhetjük, ha rendezzük (2.192)-t és beszorozzuk az egyenletet irσ -vel, a virtuális elmozdulással: ∑ ∑ δ−−=δ

i iiiiiii ,r)rmF(rK &&

majd (2.193)-at is figyelembe véve: ∑ =δ−

iiiii ,0r)rmF( && 2.194/a

amely a virtuális munka elvének és a d’Alembert elvének egyesített alakja. A d’Alembert-elv eredeti tartalma az volt, hogy a dinamikai probléma formálisan sztatikaira vezethető vissza úgy, hogy az adott szabad erőkhöz hozzáadjuk a ii rm &&− inerciaerőket. Más szavakkal, a rendszer úgy mozog, hogy a szabad erők és az ineciaerők minden pillanatban egyensúlyban vannak. Az egyen-súlyra viszont alkalmazható a virtuális munka elve (melyet J.Bernoulli fogalmazott meg először általánosan: egy mechanikai rendszer akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha a rendszerre ható szabad erők teljes virtuális munkája nulla, ∑ =δ

iii ).0rF E gondolatmenetet alkalmazva Lagrange

a (2.194) összefüggés felállításánál, melyet a d’Alembert-elv Lagrange-féle megfogalmazásának is nevezünk. Az elv a mechanika önálló elve, melyet – mivel a belőle levont következtetéseket a tapasztalat mindig igazolta általános érvényűnek tekintünk. Az elvet egyszerűbb formában is felírhatjuk derékszögű koordinátarendszerben az alábbi egyszerűsítő jelölés alkalmazásával n tömegpontból álló mechanikai rendszernél: ,xz,xy,....xz,xy,xx n3n1n3n312111 ≡≡≡≡≡ −

a helyvektor koordinátáinak jelölése.

Page 90: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

170

,XZ,XY,....XZ,XY,XX n3n1n3n312111 ≡≡≡≡≡ −

az erővektor komponenseinek jelölése, n31n32n3n3211 mmmm,...mmmm ==≡==≡ −− ,

az anyagi pontok tömegének jelölése. A jelölés figyelembevételével a d’Alembert-elv Lagrange-féle megfogalmazásának új alakja:

.0x)xmX( ii

n3

1iii =δ−∑

=

&& 2.194/b

2.5.2. A LAGRANGE-FÉLE FELSŐFAJÚ MOZGÁSEGYENLETEK A kényszerfeltételek osztályozása, melyet anyagi pontra a 2.1.3.2. fejezetben megismer-tünk, pontrendszerre is kiterjeszthető. Ha az n számú anyagi pontra vonatkozó kényszerfeltételt r,....,2,1k0)t,x,...,x(f n31k == 2.195/a

alakba írhatjuk, a kényszerfeltételeket és magát a pontrendszert holonomnak nevezzük, ezen belül pedig szkleronomnak, ha az időt explicite nem tartalmazza, ha igen, reonomnak . A rendszer egy valóságos kis elmozdulásánál, amikor a koordináták dt idő alatt dxi-vel megváltoznak, a valósá-gos elmozdulásoknak ki kell elégíteniük (2.195/a) differenciálásából adódó

,0dtt

fdx

x

f...dx

x

f...dx

x

f kn3

n3

ki

i

k1

1

k =δ

δ+

δδ

++δδ

++δδ

k=1,2,…,r 2.195/b

egyenleteket. A holonom rendszert (2.195/b)-vel is definiálhatjuk. A (2.195/b)-nél általánosabb kényszerfelté-telek is hasonló alakba írhatók: ,r,...,2,1k,0dtadxa...dxa...dxa kon3n3kiki11k ==+++++ 2.196

Ahol aki együtthatók az xi, t változók megadott függvényei, melyek azonban nem írhatók

ik x/f δδ alakban, vagyis (2.196) bal oldalán álló kifejezések nem integrálhatók, azaz nem teljes differenciálok. Az ilyen kényszerfeltételeket és magát a pontrendszert is anholonomnak nevez-zük. Az anholonom rendszer is lehet szkleronom vagy reonom. A fentiek alapján a d’Alembert-elvben szereplő ixδ virtuális elmozdulásoknak ki kell elé-gíteniük az .r,...,2,1k,0xa...xa...xa n3n3kiki11k ==δ++δ++δ 2.197

feltételeket.

Page 91: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

171

A Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenleteket, amelyeket anyagi pont esetén a 2.1.3.2. fejezetben levezettünk, most úgy kapjuk, hogy a (2.917) egyenletrendszer k-adik egyenletét meg-szorozzuk az egyenlőre ismeretlen kλ tényezővel és az így nyert összes egyenlet bal oldalát hoz-záadjuk a d’Alembert-elv (2.194/b) alakjához:

∑=

=δλ++λ+−n3

1iiriri11iii .0x)a...axmX( && 2.198

A kλ tényezők értékének alkalmas megválasztásával elérhetjük, hogy (2.196) fennállása mellett is mind a 3n számú virtuális elmozdulás értékét tetszőlegesen vehetjük fel úgy, hogy (2.198) is teljesüljön. Ha a ixδ -k tetszőlegesek, akkor választhatjuk őket olyan speciálisan, hogy egy kivé-telével mind nulla legyen. Ha csak az i-edik virtuális elmozdulás nem nulla, akkor (2.198) csak úgy állhat fenn, ha a ixδ együtthatója nulla, azaz .n3,...,2,1i,a...aXxm riri11iii =λ++λ+=&& 2.l99 (2.199) 3n számú egyenlete a (2.196)-tal megadott r számú egyenlettel együtt éppen elegendő egyenletet jelentenek a meghatározandó x1,…x3n koordináták és a r1,...λλ együtthatók számára. A (2.199) jelű egyenletek a Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenletek. Ha sikerül az egyenletrendszer integrálása, ami egyben a kλ faktorok meghatározhatósá-gát is jelenti, a kényszererőket már könnyen számíthatjuk (2.192) felhasználásával: .n3,...,2,1i,a...aXxmK riri11iiii =λ++λ=−= && 2.200 Az egyszerűbb, holonom rendszereknél a Lagrange-féle elsőfajú mozgásegyenletek az alábbi formát öltik:

,n3,....2,1i,x

f...

x

fXxm

i

rr

1

11iii =

δδλ++

δδλ+=&& 2.201

ahol a kényszerfeltételeket (2.195/a)adja kλ -k meghatározása után a kényszererők:

.n3,....,2,1i,x

f...

x

fK

i

rr

i

11i =

δδλ++

δδλ= 2.202

A Lagrange-féle előfajú egyenletek tulajdonképpen nem mások, mint a d’Alerbert-elv analitikai kifejezései derékszögű koordinátákban. Ha valamennyi pont gyorsulása nulla, akkor az egyenletek az egyensúlyra vonatkozó virtuális munka elvének explicit alakját adják. Számítsuk ki ezek után a kényszererők teljes munkáját a rendszernek egy dt idő alatt vég-zett valóságos dxi elmozdulásánál (2.200) figyelembevételével:

,dta)dxa(dx)a...a(dxKr

1k

n3

1i

r

1k0kkikikiri

n3

1i

n3

1iri11ii ∑ ∑ ∑∑ ∑

= = == =

λ−=λ=λ++=

Page 92: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

172

az utolsó egyenlőségnél (2.196)-ot használtuk fel. ak0 azonban csak időtől független, szkleronom kényszerfeltételek esetén nulla, így a (2.193)-ban megfogalmazott feltevést a következőképpen pontosíthatjuk: a kényszererők teljes munkája csak szleronom kényszerfeltételek esetén nulla, reonom rendszereknél nem. A (2.151) és (2.152) összefüggésekkel megadott munka- ill, energiamegmaradás tételénél felsorolt megkötések a fenti megállapításból következnek. Reonom rendszernél tehát egyik tétel sem érvényes. 2.5.3. HAMILTON – ELV A mechanika alaptörvénye d’Alembert elvén kívül több más alakban is megfogalmazható, az egyik legfontosabb a Hamilton-féle elv. Felállítására az a kérdés vezetett, hogy mi tünteti ki egy rendszernek a valóságos, a mechanikai törvények szerint lezajló mozgását az ettől kissé elté-rőknek képzelt mozgásokkal szemben. Legyen az n anyagi pontból álló kényszerrenszer i-edik pontja a t0 időpillanatban a Pio helyen, a t1 pillanatban pedig a Pi1 helyen. E két helyzetet és köztük a pont valóságos pá-lyáját mutatja a 2.57.ábra. A valóságos pályá-tól kissé különbözőnek képzelt pályák, az ún. variált pályák egyikét úgy kapjuk, hogy a valóságos pálya minden egyes pontjához egy másik pontot rendelünk. A hozzárendelés, más szóval a variálás módja bizonyos fokig meg- 2.57. ábra állapodás kérdése. Végezzük a variálást a követ- kező feltételeknek megfelelően: ,0t =δ ),t(x)t('x)t(x iii −=δ 2.203 .0)t(x)t(x 1i0i =δ=δ

az első egyenlőség azt jelenti, hogy a tényleges és a variált pálya P és P’ pontja ugyanahhoz az időponthoz tartozik, röviden úgy mondjuk, hogy az időt nem variáljuk, a harmadik összefüggés azt jelenti, hogy a valóságos és a variált pálya kezdő és végpontja egybeesik, azaz a határokon a pályakoordinátákat nem variáljuk, a második összefüggés azt jelöli, hogy a t1-t0 időintervallum-ban a pálya pontjainak variációi kielégítik a kényszerfeltételeket, azaz ixδ -k tetszőleges virtuális

elmozdulásokat jelentenek. A ixδ -ket az idő differenciáléható függvényeinek tekintjük. Ekkor (2.203) második összefüggés alapján fennáll:

),t(x)t('xdt

dx

dt

dx)x(

dt

dii

ii,

i && −=−=δ

a jobb oldal a variált és a valóságos mozgás sebességének különbsége, (2.203) alapján:

Page 93: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

173

,dt

dxx)t(x)t('x i

iii δ=δ=− &&&

azaz

,xdt

dxx

dt

di

ii &δ=δ=δ

vagyis d/dt és δ operációk a variálás (2.203)-nak megfelelő módja esetén felcserélhetők. Használjuk fel ezt a megállapítást a d’Alembert-elv (2.194/b) alakjának második tagjára:

∑ ∑ ∑= = =

−δ=

δ−δ=δn3

1i

n3

1i

n3

1iiiiiiiiiiii )xx(

dt

dmmx

dt

dx)xx(

dt

dxxm &&&&&

∑ ∑ ∑= = =

δ−δ=−n3

1i

n3

1i

n3

1i

2iiiiiii .xm

2

1xxm

dt

dxm &&&

Helyettesítsük ezt vissza (2.194/b)-be, rendezés után:

∑ ∑∑= =

=

δ+δ=δ+δ=δn3

1i

n3

1iii

2ii

n3

1iiii ,WExXxm

2

1xxm

dt

d&&

ahol Eδ a rendszer kinetikai energiájának a variációja, W∗δ pedig a szabad erők virtuális mun-kája (nem a W függvény Wδ variációja, erre figyelmeztet a ∗δ jelölés). Integráljuk a fenti egyen-letet az idő szerint a to és t1 határok között:

∑ ∫=

∗δ+δ=δn3

1i

t

t

ttiii

1

o

1

o.dt)WE(xxm

Ennek az összefüggésnek a bal oldala (2.203) harmadik feltétele miatt eltűnik ( ixδ a határpon-tokban nulla). Az ily módon előálló egyenletet az általánosított Hamilton-féle elv:

∫ =δ+δ ∗1

o

t

t

.0dt)WE( 2.204

Ha csak egyszerűen Hamilton-elvről beszélünk, akkor azon az általánosított Hamilton-elv kon-zervatív erőrendszerekre értelmezett formáját értjük. Ilyenkor ugyanis a szabad erőknek van po-tenciáljuk:

∑ ∑= =

∗ δ−=δδδ−=δ=δ

n3

1i

n3

1ii

iii ,Ux

x

UxXW

ennek megfelelően (2.204) a következőképpen alakul:

Page 94: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

174

∫ ∫ ∫ =δ=−δ=−δ1

o

1

o

1

o

t

t

t

t

t

t

,0Ldtdt)UE(dt)UE( 2.205

mert az integrálás és a variálás sorrendje felcserélhető, hiszen a variálás az integrációs határokra (2.203) értelmében nem vonatkozik. A kinetikai és a potenciális energia különbségét Lagrange-féle függvénynek vagy kinetikai potenciálnak nevezzük. A Hamilton-elv, ill. (2.205) azt fejezi ki, hogy konzervatív rendszer két helyzete között a valóságosan bekövetkező mozgásnál (pályánál) a Lagrange-függvény idő szerinti integrálja staci-onárius (szélső érték vagy inflexiós hely), azaz a szomszédos, variált pályákon számított értékek-hez viszonyítva az

∫ =1

0

t

t

Ldt extrémum. 2.206

Hamilton elve, amely a d’Alembert-féle differenciál-elvvel szemben integrál-elv, vagy szorosabb értelemben véve variációs elv, elsősorban azért nagy jelentőségű, mert megfogalmazásában ko-ordinátarendszerre való hivatkozás nem szerepel. A kinetikai és potenciális energiát, mint a koor-dinátarendszer megválasztásától független fizikai mennyiségeket, bármilyen koordináta-rendszerben kifejezhetjük, ezekből pedig a Hamilton-elv alapján a variációszámítás módszerével a mozgásegyenleteket közvetlenül, szinte automatikusan felírhatjuk. 2.5.4. A VARIÁCIÓSZÁMÍTÁS ÉS A HAMILTON-ELV Mint oly sokszor a matematika történetében a variációszámítás kidolgozásának is a me-chanika igénye adta a döntő lökést. J. Bernoulli 1696-ban közölte az alábbi feladatot, ill. annak megoldását. Függőleges síkban található két pont között mozog egy m tömegű pont a súlyerő hatására. Határozzuk meg ezt a pályát, amelyen a tömegpont a legrövidebb idő alatt és a felső pontból az alsóba (2.58. ábra). A feladat matematikai megfogalmazását a következőképpen ad-

hatjuk meg. A tömegpont sebességét az energiamegmaradás tételéből számíthatjuk. Ha a kezdő sebesség nulla:

),yh(mgdt

dsM

2

1mv

2

12

2 −=

=

ahol h – a kezdő- és végpont távolságának függő-leges vetülete. A pálya elemi hosszúságú ívele-me:

2.58. ábra ,dx'y1ds 2+−=

ennek befutásához szükséges idő:

Page 95: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

175

.)yh(g2

dx'y1dt

2

−+

−=

Ennek integrálásával kapjuk a mozgás idejét, amit minimalizálni kell:

.imummindxyh

'y1

g2

1T

o

a

2

=−

+−= ∫

Keressük tehát a pályagörbének olyan y = y(x) függvényét, amelyre a fenti kifejezés minimumot ad és amelyre teljesül az a határfeltétel, hogy a görbe átmegy a kezdő- és végponton. A példát, mint a variációszámítás legegyszerűbb feladatát, a következőképpen általánosít-hatjuk. Meghatározandó az x független változónak egy olyan y = y(x) függvénye, amelyre az

∫ ==1

0

x

x

dx)'y,y,x(FI extrémum 2.207

határozott integrálnak szélső értéke van, ahol y’ = dy/dx és F integrandusz – az ún. alkotó- vagy alapfüggvény – az x,y,y’ változók megadott függvénye. A keresett függvénynek az értéke a hatá-rokon általában kikötött: 11oo y)x(y,y)x(y === 2.208

ezek az ún. határfeltételek. Előfordulhat, hogy x-nek több függvényét is keressük és a határfelté-teleken kívül mellékfeltételeket is ki kell kötnünk. Természetesen x és y bármely mennyiséget jelenthetnek, pl. x lehet idő, y pedig távolság. A Hamilton-elv esetén a variációs feladat egy kicsit általánosabb (2.207)-nél. Keressük a t független változónak azokat az xi = xi(t) függvényeit, amelyeknél

∫ ==1

o

t

t

n31n31 dt)t,x,....,x,x,...,x(FI && extrémum 2.209

.n3,....,2,1ix)t(x,x)t(x 1

i1ioioi === 2.210

Az F alapfüggvény és a to, t1,

1ix értékek adottak. Adjuk meg az xi = xi(t) függvényektől kissé

eltérő függvényeket a következő módon: ,n3,....2,1i),t(w)t(xx iii

'i =ε+= 2.211

ahol wi(t) tetszőleges, csak a n3,....2,1i,0)t(w)t(w 1ioi === 2.212

Page 96: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

176

határfeltételeknek eleget tevő függvények. Ha az iε eleve kicsi konstansok a nulla felé tartanak,

az ,ix görbék a keresett xi függvényekbe mennek át.

A (2.211) variált görbékre vonatkozó (2.207) integrál az ki −ε függvényének tekinthető:

∫ =ε+ε+=ε1

o

t

t

111111i dt)t,....,wx,....,wx(F)(I &&

,dt....wx

F....w

x

F)t,...,x,....,x(F

1

o

t

t

111

111

11∫

δδ++ε

δδ+= &

&& 2.213

ahol az F függvényt Taylor-sorba fejtettük az iε -ben lineáris tagokig bezárólag. Ilyen módon a

feladatot arra vezettük vissza, hogy az I(iε ) többváltozós függvények az iε = 0-ra szélső értéke legyen. Ennek szükséges feltétele:

.n3,....,2,1i,0)(I

0i

i

i

==

δεεδ

A sorbafejtett F függvényre elvégezhetjük a differenciálást:

∫ ==

δδ+

δδ=

δεεδ

1

o

t

t ii

ii

0i

i .n3,....,2,1i,0dtx

Fw

x

Fw

)(I

&& 2.214

Az integrálás és a differenciálás sorrendje azért cserélhető fel, mert az integrál határai függetle-nek iε -ktől. Az előző egyenlet második tagját parciális integrálással átalakíthatjuk:

,dtx

F

dt

dw

x

Fwdt

x

Fw

i

t

t

itt

ii

t

t ii

1

o

1

0

1

o&&&

&δδ−

δδ=

δδ

∫∫

a jobb oldal első tagja a (2.212) határfeltételek miatt eltűnik, így (2.214) a következő alakba írha-tó:

.0dtx

F

dt

d

x

Fw

1

0

t

t iii =

δδ−

δδ

∫&

Mivel a wi(t) függvény tetszőleges, az integrál csak úgy lehet nulla, ha a zárójelben lévő kifejezés a to=t1 intervallum minden helyén nulla. Ezzel a variációs feladatot visszavezetjük az ún. Euler- (vagy Euler-Lagrange-) féle differenciálegyenletre:

,n3,.....2,1i,0x

F

x

F

dt

d

ii

==δδ−

δδ&

2.215

Page 97: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

177

amelyek 3n számú közönséges másodrendű differenciálegyenletet jelentenek a keresett x1(t),…,x3n(t) függvények számára. Az Euler-féle egyenletek megoldásait jelentő görbék az ún. extremálisok. Ezek közül - az integrációs állandóknak alkalmas értéket adva – általában kivá-lasztjuk a (2.210) határfeltételeknek eleget tevő görbéket is. Annak eldöntése, hogy a meghatáro-zott extremális mentén a variációs feladat 1 integráljának maximuma, minimuma vagy inflexiós pontja van, már nehezebb, de a mechanikában csak ritkán előforduló probléma. A Hamilton-féle elv a fentiek szerint a konzervatív pontrendszer mozgásának problémáját variációs feladatra vezeti vissza. A pontrendszer xi = xi(t) koordinátái úgy határozandók meg, hogy

∫ =1

o

t

t

Ldt extrémum

legyen. n pontból álló rendszernél

∑=

−=−=n3

1in31

21i ).x,...,x(Uxm

2

1UEL &

A variációs feladat Euler-féle egyenleteit megkapjuk, ha (2.215)-öt L-re alkalmazzuk:

,n3,....,2,1i,Xx

U)xm(

dt

di

iii ==

δδ+& 2.216

amelyek éppen a konzervatív szabad rendszerre vonatkozó Newton-féle mozgásegyenletek. Kö-tött rendszernél a (2.196) kényszerfeltételeket figyelembe véve, a Lagrange-féle elsőfajú mozgás-egyenleteket kapjuk. 2.5.5. A LAGRANGE-FÉLE MÁSODFAJÚ MOZGÁSEGYENLETEK Számtalan mechanikai probléma megoldása lényegesen egyszerűsödik, ha derékszögű koordinátarendszer helyett más koordinátákat választunk. Ha a mechanikai rendszer r számú kényszerfeltétele holonom, vagyis (2.195/a)-val adható meg, a 3n derékszögű koordináta közül csupán 3n – r független, azaz a rendszer szabadsági foka: f = 3n – r . Az ilyen rendszer helyzetét f számú, egymástól független f21 q,....,q,q 2.217 adat egyértelműen meghatározza. A qi mennyiségeket általános koordinátáknak hívjuk. Általános koordináták pl. a szabadon mozgó merev test f = 6 szabadságfokának megfelelően a súlypont mozgását (helyét) megadó 3 koordináta és az Euler-féle szögek, melyek a forgásból származó helyzetet rögzítik. A 2.59. ábrán vázolt, síkmozgást végző rendszer szabadságfoka f = 2, az álta-lános koordináták a forgómozgást végző rúd helyzetét megadó szög: q1 = ϕ és a rúdon transzlációs mozgást végző csúszka rúdvégtől mért távolsága: q2 = x.

Page 98: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

178

Az általános koordináták idő szerinti deriváltjait általános sebességkomponenseknek nevezzük: .q,....,q,q f21 &&& 2.218 A qi-k a rendszer helyzetét egyértelműen meghatározzák, ezért a derékszögű koordináták a qi-kel kifejezhetők, xi-k a qi-k egyértékű és mindig meghatározható függvényei: xi = xi(q1,….,qf,t), i = 1,2,….,3n. 2.219 2.59. ábra Ennek az összefüggésnek a felhasználásával a derékszögű sebességkomponensek is kifejezhetők a qi és iq& mennyiségekkel:

.n3,....,2,1i,t

xq

q

x...q

q

xx i

ff

i1

1

1i =

δδ

+δδ

++δδ

= &&& 2.220

A keresett egyenletek levezetéséhez nem konzervatív rendszereknél az általánosított Hamilton-elvből indulhatunk ki. A rendszer mozgási energiája most az általános koordináták, az általános sebességkomponensek és az időnek a függvénye, így (2.204) zárójelének első tagja, amely a mozgási energia variációja:

∑=

δ

δδ+δ

δδ=δ

f

1kk

kk

k

qq

Eq

q

EE &

& 2.221

(Egy tetszőleges függvény variációja formailag a teljes differenciálra emlékeztet, a t-nek megfe-lelő tag azért hiányzik, mert a variálásnak (2.203) szerint olyan módját választottuk, amelynél

0t =δ ). (2.204) második tagja a szabad erők virtuális munkája:

∑=

∗ δ=δn3

1iii ,xxw

(2.219) szerint azonban xi variációi, vagyis a virtuális elmozdulások:

.n3,....2,1i,qq

x...q

q

xx f

f

i1

1

ii =δ

δδ

++δδδ

Ezeket behelyettesítve az előző egyenletbe megállapíthatjuk, hogy a virtuális munka a kqk −δ homogén lineáris kifejezése lesz:

∑=

∗ δ=δ++δ=δf

1kkkff11 ,qQqQ....qQW 2.222

Page 99: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

179

ahol

.f,...,2,1k,q

xXn3Q

1i k

iik =

δδ

= ∑=

2.223

Ezeket a Qk mennyiségeket, amelyeket a megadott Xi erőkomponensek és az előzetesen megvá-lasztott koordináták (2.219)-en keresztül teljesen meghatároznak, s amelyek a qi, iq& és t mennyi-ségek függvényeinek tekinthetők:

,f,....,2,1k),t,q,....,q,q,....,q(QQ f1f1kk == && 2.224 általános erőkomponenseknek nevezzük. A qk-hoz tartozó Qk-k szorzata munka dimenziójú mennyiség, ennek megfelelően, ha qk hosszúságot jelent, Qk erő dimenziójú, ha qk szöget jelent, Qk nyomaték dimenziójú általános erő. Helyettesítsük be (2.221)-et és (2.223)-at (2.204)-be:

∫∑=

=

δ

δδ+δ

+

δδ1

0

t

t

f

1kk

kkk

k

0dtqq

EqQ

q

E&

&. 2.225

Ennek szumma jel utáni második tagja parciális integrálással átalakítható:

,dtqq

E

dt

dq

q

Edt)q(

dt

d

q

Ek

k

t

t

ttk

kk

t

t k

1

0

1

o

1

o

δ

δδ−δ

δδ=δ

δδ

∫∫ &&&

ebben azonban a bal oldal első tagja a (2.203) harmadik kifejezésével megadott határfeltételek miatt eltűnik, ezért (2.225) a következő alakot ölti:

∫∑=

δδ−+

δδ1

o

t

t

f

1kk

kk

k

.0dtqq

E

dt

dQ

q

E&

Ez – mivel kqδ -ket tetszőlegesen választhatjuk – csak úgy teljesülhet, ha a zárójelben álló kifeje-zés nulla. Ily módon megkaptuk a holonom rendszerekre vonatkozó Lagrange-féle másodfokú másodfokú mozgásegyenleteket:

.f,...,2,1k,Qq

E

q

E

dt

dk

kk

==δδ−

δδ&

2.226

Ha a rendszer konzervatív, vagyis van olyan U = U(xi), ill. (2.219) miatt olyan U = U(qk) poten-

ciál, amellyel ,x

UX

ii βδ

δ−= akkor az általános erő (2.223)definíciójának megfelelően:

Page 100: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

180

.q

U

q

)x(U

q

x

x

U

q

xXQ

k

n3

1i k

i

k

i

i

n3

1i k

iik δ

δ−=δ

δ−=

δδ

δδ−=

δδ

= ∑∑==

Ezt (2.226)-ba helyettesítve:

.f,.....,2,1k,q

U

q

E

q

E

dt

d

kkk

=δδ−=

δδ−

δδ&

2.227

U nem függ az általános sebességkomponensektől, ezért (2.227)-et L=(E-U)-val, a kinetikus po-tenciállal is felírhatjuk:

.f,....,2,1k,0q

L

q

L

dt

d

kk

==δδ−

δδ&

2.228

Konzervatív rendszerek esetén (2.28)-at közvetlenül is felírhatjuk a Hamilton-elv felhasználásá-val. A Lagrange-függvényt az általános koordináták, az általános sebességkomponensek és az idő függvényének tekintve: ),tqq(LUEL kk &=−= a Hamilton-elvhez, mint variációs feladathoz tartozó Euler-féle egyenletek (2.215) szerint éppen (2.28)-at adják. Megemlítjük még, hogy anholonom rendszerek esetén a Lagrange-féle másodfajú moz-gásegyenletek a

f,....,2,1k,a....aQg

E

q

E

dt

drkrk11k

kk

=λ++λ+=δδ−

δδ

2.229

formában érvényesek, amelyek az r számú mellékfeltétellel együtt a keresett q1,…,qf és

r1,...λλ ismeretlenek számára a kellő számú egyenletet adják. A Lagrange-féle másodfokú egyenletek a mechanika számára az alkalmazások szempont-jából az egyik legjobban használható módszert adják, elsősorban akkor, ha a kényszerfeltételek igen összetettek (bár – felhívjuk rá a figyelmet – csak véges szabadságfokú mechanikai rendsze-rek esetén érvényesek).

Page 101: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

181

Felhasznált és ajánlott irodalom 1. Budó, Á.: Mechanika. Tankönyvkiadó, Budapest 1964. 2. Falk, S.: Műszaki mechanika I. és II. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972. 3. Hajdu, E.: Útmutató és példatár a Mechanika III. c. tárgyhoz. Kézirat, EFE Sopron, 1982. 4. Huszár, I.: Mechanika III. Kinematika-kinetika. Jegyzet. GATE Gödöllő, 1980. 5. Ludvig, Gy.: Gépek dinamikája. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. 6. Magnus, K.: Schwingungen. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Stuttgart, 1961. 7. Muttnyánszky, Á.: Kinematika és kinetika. Tankönyvkiadó, Budapest, 1965. 8. Parkus, H.: Mechanika der festen Körper. Springer-Verlag, Wien-New York, 1983. 9. Terplan, Z.: Mechanizmusok. Tankönyvkiadó, Budapest, 1962. 10. Ziegler, H.: Mechanik der starren Körper und Systeme. Birkhauser-Verlag, Basel und

Stuttgart 1966. 11. Szabó, I.: Einführung in die technische Mechanik. Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-

Heidelberg, 1954. 12. Szabó,I.: Höhere technische Mechanik. Springer-Verlag. Berlin-Göttingen-Heidelberg,

1958. 13. Szabó, I.: Repertorium und Übungsbuch der technischen Mechanik. Springer-Verlag, Ber-

lin-Göttingen-Heidelberg, 1960.

Page 102: nyme.hunyme.hu/uploads/media/Kinetikajegyzet.pdf · 81 2. KINETIKA A kinetika tárgya és felosztása A kinetika a mozgást kiváltó okok vizsgálatával foglalkozó tudományterület.

82

E néhány dalban…. E néhány dalban ifjúságom, Minden szép álmom eltemetve. Csak a könny van még a szemembe, Elszállt sok édes, balga álmom. De mégis, míg az örök este Reám borultát félve várom, Dalokba olvadt ifjúságom Hadd jusson még egyszer eszembe. Még egyszer ….s aztán durva lábon Taposni a hervadt virágon, Jöjjön el hát, jöjjön az élet. E néhány dal megőriz téged, Ezerszer szent édes emléked, Hervadt virágom: ifjúságom! Ady Endre