Nurul Hasanah Arwi (110404018) Dan Elvanzari Hasdiana Hasan (110404080)
-
Upload
elvanzari-hasdiana-hasan -
Category
Documents
-
view
55 -
download
0
Transcript of Nurul Hasanah Arwi (110404018) Dan Elvanzari Hasdiana Hasan (110404080)
DOSEN : NURSYAMSI, ST, MT
DIKERJAKAN OLEH :NURUL HASANAH ARWI (11 0404
018)ELVANZARI HASDIANA HASAN (11
0404 080)
TUGASBAHASA PEMROGRAMAN
PENGOPERASIAN MATRIKSPADA MICROSOFT EXCEL
Matriks didefinisikan sebagai suatu himpunan angka, variabel atau parameter dalam bentuk suatu persegi panjang, yang tersusun di dalam baris dan kolom. Pada umumnya matriks dinotasikan dalam huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dalam huruf kecil sebagai berikut :
a11 a12 a13 a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 atau A = a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33
A = matriks A
[ ] atau ( ) = notasi matriks
DEFINISI MATRIKS
1. Matriks Diagonal
Adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua elemen di luar elemen diagonal utama sama dengan nol, dan paling tidak satu elemen pada diagonal utamanya tidak sama dengan nol.
Contoh :
A = 1 0 5 0 0 1 0 0 0
0 5 2x2 B = 0 0 0 C = 0 2 0 0
0 0 7 3x3 0 0 3 0
0 0 0 4 4x4
JENIS – JENIS MATRIKS
2. Matriks Identitas
Adalah suatu matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di luar diagonal utamanya sama dengan nol, dan semua elemen pada diagonal utama sama dengan satu. Matriks identitas yang berorde n biasanya diberi simbol In.
I2 = 1 0 5 0 0
0 1 2x2 I3 = 0 0 0
0 0 7 3x3
JENIS – JENIS MATRIKS
3. Matriks Segitiga Atas (Upper Triangular)
Adalah suatu matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di bawah diagonal utama bernilai nol. Jadi yang tidak sama dengan nol adalah elemen-elemen pada segitiga atasnya dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol.
Contoh :
1 2 3 2 0 0 0
A = 0 0 7 B = 1 3 0 0
0 0 5 3x3 5 4 6 0
2 9 5 1 4x4
JENIS – JENIS MATRIKS
4. Matriks Segitiga Bawah (Lower Triangular)
Adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utama bernilai nol. Jadi yang tidak sama dengan nol adalah elemen-elemen pada segitiga bawahnya, dan paling tidak satu elemen pada diagonal utama tidak sama dengan nol.
Contoh :
1 0 0 2 0 0 0
A = 2 0 0 B = 1 3 0 0
4 5 0 5 4 6 0
2 9 5 1
JENIS – JENIS MATRIKS
5. Matriks Nol
Adalah suatu matriks yang elemennya bernilai nol. Matriks ini biasanya diberi simbol O dan bentuknya tidak selalu bujur sangkar.
O = 0 0 0 0
0 0 2x2 O = 0 0
0 0 3x2
JENIS – JENIS MATRIKS
6. Matriks Baris
Adalah matrik yang hanya terdiri satu baris. Matriks ini sering disebut dengan vektor baris.
Contoh :
A = [ 1 6 2 ]1x3 B = [ 2 4 1 3 5 ]1x5
7. Matriks Kolom
Adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Matriks ini sering disebut dengan vektor kolom.
Contoh :
1 2
A = 2 B = 4
3 3x1 7
1 4x1
JENIS – JENIS MATRIKS
8. Matriks Simetris
Matriks simetris atau matriks setangkup adalah suatu matriks bujur sangkar yang memiliki aij = aji , sehingga transposenya sama dengan matriks semula.
Contoh :
7 4 5 7 4 5
A = 4 0 2 maka A’ = 4 0 2
5 2 1 3x3 5 0 1 3x3
JENIS-JENIS MATRIKS
1. Penjumlahan atau Pengurangan Matriks
Dua buah matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan “jika dan hanya jika” kedua matriks tersebut berordo sama. Pada proses penjumlahan atau pengurangan ini yang dijumlahkan atau dikurangkan adalah elemen-elemen dari matriks yang bersesuaian (seletak).
Contoh :
A B C C
a11 a12 b11 b12 c11 c12 a11±b11 a11±b11
a21 a22 ± b21 b22 = c21 c22 = a11±b11 a11±b11
a31 a32 3x2 b31 b32 3x2 c31 c32 3x2 a11±b11 a11±b11`
OPERASI MATRIKS
Sifat-sifat Penjumlahan atau Pengurangan Matriks :
1. Komutatif : A + B = B + A
2. Asosiatif : A + B + C = A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
3. Identik : A + O = O + A = A
OPERASI MATRIKS
OPERASI MATRIKSContoh Soal Penjumlahan atau Pengurangan Matrikspada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Penjumlahan atau Pengurangan Matrikspada Microsoft Excel
Fungsi : (array1+array2+array3)
Syarat : Jumlah baris dan kolom pada matriks yang akan dijumlahkan
harus sama (berordo sama).
Langkah-langkah :
a. Buat matriks pada Ms. Excel, dengan jumlah baris dan kolomkedua matriks sama. Tertera pada contoh tersebut yaitu matriks ( 10 x 10 ).
b. Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu matriks( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Penjumlahan atau Pengurangan Matrikspada Microsoft Excel
c. Ketik fungsi =(B42:K51)+(N42:W51)+(Z42:AI51). Setelah itu, tekan
Ctrl + Shift + Enter. Maka hasil penjumlahan matriks akan keluar seperti yang tertera di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Penjumlahan atau Pengurangan Matrikspada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Penjumlahan atau Pengurangan Matrikspada Microsoft Excel
d. Contoh soal operasi penjumlahan matriks ini bisa diterapkan pada operasi pengurangan matriks karena prinsipnya sama.
2. Perkalian Matriks dengan Skalar
Skalar adalah bilangan riil (matriks 1 x 1).
Perkalian matriks dengan suatu skalar berarti mengalikan setiap elemen dari matriks dengan skalar tersebut, sebagai berikut :
λ A = λ a11 a12 = λa11 λa12
a21 a22 λa21 λa22
OPERASI MATRIKS
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :
1. k ( A + B ) = kA + kB
2. ( k1 + k2 ) A = k1A + K2A
3. k1 ( k2 A ) = ( k1k2 ) A
4. 0A = O
5. kO = O
Catatan :
0 ≠ O dimana : 0 = skalar
O = matriks nol
OPERASI MATRIKS
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Skalarpada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Skalarpada Microsoft Excel
Fungsi : =(3*((array1)-(array2))+(array3))
Langkah-langkah :
a. Buat matriks pada Ms. Excel. Tertera pada contoh tersebut yaitu matriks ( 10 x 10 ).
b. Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu matriks
( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Skalarpada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Skalarpada Microsoft Excel
c. Ketik fungsi =(3*((C84:L93)-(O84:X93))+(AB84:AK93)). Setelah itu, tekan Ctrl + Shift + Enter. Maka hasil perkalian matriks dengan skalar akan keluar seperti yang tertera di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Skalarpada Microsoft Excel
3. Perkalian Matriks dengan Matriks
Dua buah matriks dapat dikalikan “jika dan hanya jika” jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.
a11 a12 b11 b12 b13 c11 c12 c13
A B = C a21 a22 b21 b22 b23 = c21 c22 c23
a31 a32 c31 c32 c33
Hasil perkalian matriks A dengan matriks B adalah matriks C.
Perhitungan elemen-elemennya sebagai berikut :
c11 = a11b11 + a12b21 c12 = a11b12 + a12b22 c13 = a11b13 + a12b23
c21 = a21b11 + a22b21 c22 = a21b12 + a22b22 c23 = a21b13 + a22b23
c31 = a31b11 + a32b21 c32 = a31b12 + a32b22 c33 = a31b13 + a32b23
OPERASI MATRIKS
Sifat-sifat perkalian matriks :
1. Asosiatif : A B C = ( A B ) C = A ( B C )
2. Distributif : A ( B + C ) = A B + A C
3. A B ≠ B A (pada umumnya)
OPERASI MATRIKS
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel
Fungsi: =MMULT(array1;array2) =MMULT(array3;array4)
Syarat : Jumlah kolom pada matriks pertama sama dengan jumlah baris pada matriks kedua.
Contoh : Matriks ( 10 x 9 ) dikalikan dengan matriks ( 9 x 8 ), maka akan menghasilkan matriks ( 10 x 8 ).
Langkah-langkah :a. Buat matriks pada Ms. Excel. Tertera pada contoh tersebut yaitu
matriks ( 10 x 10 ).b. Tahap pertama yaitu kalikan terlebih dahulu matriks C dengan
matriks A atau ( C * A ) dengan cara : - Karena pada contoh ini kedua ordo matriks sama maka ordo matriks hasil pun akan sama sehingga matriks hasil yaitu matriks ( 10 x 10 ) - Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu matriks( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel
- Ketik fungsi =MMULT(B70:K79;N70:W79). Setelah itu, tekanCtrl + Shift + Enter. Maka hasil perkalian matriks dengan matriks akan keluar seperti yang tertera di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel
c. Tahap kedua yaitu kalikan hasil perkalian tahap pertama tadi dengan matriks B dengan cara : - Karena pada contoh ini kedua ordo matriks sama
maka ordo matriks hasil pun akan sama sehingga matriks hasil yaitu matriks ( 10 x 10 )
- Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu matriks ( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel
- Ketik fungsi =MMULT(Z70:AI79;AL70:AU79). Setelah itu, tekanCtrl + Shift + Enter. Maka hasil perkalian matriks dengan matriks akan keluar seperti yang tertera di bawah ini. Hasil matriks di bawah ini merupakan hasil akhir dari contoh soal ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perkalian Matriks dengan Matriks pada Microsoft Excel
4. Perpangkatan Suatu Matriks
Bila suatu matriks bujur sangkar dipangkatkan n ( n = bilangan asli ) maka berarti matriks itu dikalikan sebanyak n kali. Misalnya A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka A2 = A ( A ).
Jika pada Ms. Excel, perpangkatan matriks tidak sama dengan perpangkatan biasa. Sebagai contoh apabila perpangkatan biasa yaitu : A2 = A^2, namun dalam perpangkatan matriks tidak berlaku seperti perpangkatan biasa. Contoh : A2 = A ( A ) ≠ A^2.
OPERASI MATRIKS
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel
Langkah-langkah :
a. Buat matriks pada Ms. Excel. Tertera pada contoh tersebut yaitu
matriks ( 10 x 10 ).
b. Tahap pertama yaitu kalikan terlebih dahulu matriks A dengan matriks A atau ( A * A ) dengan cara :
- Karena pada contoh ini kedua ordo matriks sama maka ordo matriks hasil pun akan sama sehingga matriks hasil yaitu matriks ( 10 x 10 )
- Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu matriks
( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel
- Ketik fungsi =MMULT(B112:K121;N112:W121). Setelah itu, tekan Ctrl + Shift + Enter. Maka hasil perkalian matriks dengan matriks akan keluar seperti yang tertera di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel
c. Tahap kedua yaitu kalikan hasil perkalian tahap pertama tadi dengan matriks A dengan cara : - Karena pada contoh ini kedua ordo matriks sama
maka ordo matriks hasil pun akan sama sehingga matriks hasil yaitu matriks ( 10 x 10 )
- Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu matriks ( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel
- Ketik =MMULT(AL112:AU121;AX112:BG121). Setelah itu, tekanCtrl + Shift + Enter. Maka hasil perkalian matriks dengan matriks akan keluar seperti yang tertera di bawah ini. Hasil matriks di bawah ini merupakan hasil akhir dari contoh soal ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Perpangkatan Suatu Matriks pada Microsoft Excel
5. Determinan Suatu Matriks
Determinan adalah suatu skalar (angka) yang diturunkan dari suatu matriks bujur sangkar melalui operasi khusus. Disebut operasi khusus karena dalam proses penurunan determinan dilakukan perkalian-perkalian sesuai dengan aljabar matriks. Suatu matriks yang mempunyai determinan disebut dengan matriks singular sedangkan matriks yang tidak mempunyai determinan (determinannya = 0) disebut matriks non singular.
Determinan dinotasikan dengan tanda || Harap hal ini diperhatikan dan dibedakan dengan notasi matriks [ ]
OPERASI MATRIKS
OPERASI MATRIKSContoh Soal Determinan Suatu Matriks pada Microsoft Excel
Fungsi : =MDETERM(array)
Syarat : Jumlah baris dan kolom matriks harus sama.
Contoh : matriks ( 10 x 10 )
Langkah-langkah :
a. Buat matriks pada Ms. Excel. Tertera pada contoh tersebut yaitu
matriks ( 10 x 10 ).
b. Ketik fungsi =MDETERM(C196:L205) seperti di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Determinan Suatu Matriks pada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Determinan Suatu Matriks pada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Determinan Suatu Matriks pada Microsoft Excelc. Tekan Enter, dan kemudian didapat hasil determinannya yaitu 4,18102E+29 seperti di bawah ini.
6. Invers Suatu Matriks
Invers matriks sering disebut dengan matriks kebalikan. Hal ini bisa digambarkan sebagai berikut : jika A adalah suatu matriks bujur sangkar maka = A-1 merupakan invers matriksnya sehingga
A A-1 = 1
OPERASI MATRIKS
OPERASI MATRIKSContoh Soal Invers Suatu Matriks pada Microsoft Excel
Fungsi : =MINVERSE(array)
Langkah-langkah :
a. Buat matriks pada Ms. Excel. Tertera pada contoh tersebut yaitu
matriks ( 10 x 10 ).
b. Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu
matriks ( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Invers Suatu Matriks pada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Invers Suatu Matriks pada Microsoft Excel
c. Ketik fungsi =MINVERSE(B210:K219) seperti di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Invers Suatu Matriks pada Microsoft Excel
7. Transpose Suatu Matriks
Adalah merubah ordo suatu matriks dari m x n menjadi n x m.
Jika A’ atau AT adalah transpose dari matriks A, maka baris pada matriks A menjadi kolom pada matriks A’ dan sebaliknya kolom pada matriks A menjadi baris pada matriks A’.
OPERASI MATRIKS
Sifat-sifat Matriks Transpose :
1. ( A + B + C )T = AT + BT + CT
2. ( A B C )T = CT BT AT
3. ( AT )T = A
OPERASI MATRIKS
OPERASI MATRIKSContoh Soal Transpose Suatu Matriks pada Microsoft Excel
Fungsi : =TRANSPOSE(array)
Langkah-langkah :
a. Buat matriks pada Ms. Excel. Tertera pada contoh tersebut yaitu matriks ( 10 x 10 ).
b. Blok sel dengan ukuran matriks yang sama, yaitu
matriks ( 10 x 10 ) pada matriks hasil seperti yang tertera di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Transpose Suatu Matriks pada Microsoft Excel
OPERASI MATRIKSContoh Soal Transpose Suatu Matriks pada Microsoft Excel
c. Ketik fungsi =TRANSPOSE(B154:K163) seperti di bawah ini.
OPERASI MATRIKSContoh Soal Transpose Suatu Matriks pada Microsoft Excel
Pudjiastuti, Matriks Teori dan Aplikasi, Penerbit Graha Ilmu, Yogyakarta, 2006.
DAFTAR PUSTAKA
SELESAI