Numist - Modelacao e Estimacao

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  • numist

    2010

    Modelao e Estimao

    Uma introduo geoestatstica

    Pedro Correia

  • 2

    ndice

    Resumo Introdutrio .................................................................................................... 4

    Caracterizao da Disperso Espacial ............................................................ 4

    Mtodo Computacional de Clculo ................................................................ 6

    Variografia ....................................................................................................................... 8

    Modelos de Variogramas ....................................................................................... 12

    Estimao por Krigagem ......................................................................................... 15

    Input de Dados num Software de Geoestatstica .................................. 17

    Exerccio de Krigagem ................................................................................................. 21

    Introduo ao S-GeMS ................................................................................................ 41

    Interface do S-GeMS .................................................................................................. 41

    Painel de algoritmos ................................................................................................ 42

    Painel de Visualizao ............................................................................................. 45

    Comandos bsicos no S-GeMS ............................................................................. 48

    Inserir Dados no S-GeMS ................................................................................... 48

    Ferramentas do S-GeMS ........................................................................................... 51

    Utilizao do Software S-GeMS na Estimao do Teor de

    Contaminantes numa Horta ................................................................................... 54

    Dados da Horta ........................................................................................................... 54

    Preparao dos Dados ............................................................................................. 55

    Estatsticos Descritivos ......................................................................................... 58

    Estudo de Variografia ............................................................................................. 60

    Krigagem ........................................................................................................................... 62

    Anlise dos Resultados ........................................................................................... 65

    Estimao da Impedncia num Reservatrio Petrolfero .................... 67

    Dados do Reservatrio ........................................................................................... 67

    Estatsticos Descritivos ......................................................................................... 67

    Estudo de Variografia ............................................................................................. 70

    Krigagem da Impedncia ......................................................................................... 74

    Exerccio 1 ........................................................................................................................... 77

    Exerccio 2 ........................................................................................................................... 77

    Exerccio 3 ........................................................................................................................... 78

  • 3

    Exerccio 4 ........................................................................................................................... 78

    Exerccio 5 ........................................................................................................................... 79

    Bibliografia ......................................................................................................................... 80

  • 4

    Resumo Introdutrio

    Vamos comear com uma breve introduo sobre estimao, nomeadamente com krigagem.

    Mais frente poderemos ver todo o processo ao pormenor.

    Caracterizao da Disperso Espacial

    A interpolao espacial de valores amostrados pode ser feita com mtodos de duas grandes classes: os

    determinsticos e o geostatsticos que mais frente falaremos. Comecemos por um exemplo prtico no

    qual precisamos de caracterizar a disperso espacial do fsforo numa horta com base em seis amostras

    (Figura 1).

    Figura 1 - Horta de onde se retiraram seis amostras para anlise da quantidade de fsforo no solo.

    S existem seis locais que sabemos com toda a certeza a quantidade exacta de fsforo, tudo o resto

    permanece desconhecido. necessrio inferir qual o valor de fsforo que cada uma das zonas ter

    consoante a amostragem que foi feita. De entre os mtodos determinsticos podemos utilizar, por

    exemplo, diagramas de Voronoi (mtodo dos polgonos de influncia) no qual cada ponto da horta toma

    um valor igual amostra que se encontra mais prxima (Figura 2).

    Figura 2 - Mtodo dos polgonos de influncia aplicado ao caso da horta.

    Cada uma das arestas dos polgonos de influncia representa o limite que define se um ponto

    se encontra mais prximo de uma amostra, ou de outra. Outro mtodo bastante conhecido o

  • 5

    de triangulao no qual cada local toma o valor, ponderado ou constante, da mdia feita pelos

    vrtices de cada tringulo representativos das amostras.

    Figura 3 - Mtodo da triangulao aplicado ao caso da horta.

    Por ltimo e, possivelmente, o caso mais usado de entre os mtodos determinsticos o do

    inverso da potncia da distncia (mais vulgarmente o do inverso do quadrado da distncia por

    se usar a potncia de 2 na estimao, Figura 4).

    Figura 4 - Inverso da potncia da distncia aplicado ao caso da horta.

    Cada ponto do espao calculado utilizando a seguinte frmula ( : 1 1

    A aplicao destes mtodos d-nos um mapeamento da quantidade de fsforo na horta como

    podemos ver na Figura 5 onde foi aplicado o mtodo dos polgonos de influncia.

  • 6

    Figura 5 - Mapeamento da quantidade de fsforo na horta com base no mtodo dos polgonos de influncia.

    Cada uma das cores representa uma dada quantidade de fsforo. Agora temos uma noo da

    disperso espacial do fsforo na horta mas poder a mesma ser melhorada? Mtodos

    determinsticos de inferncia espacial, como so os acima explicados, tm por base critrios

    estritamente geomtricos quase arbitrrios dado que a disperso de um elemento numa dada

    rea ou volume corresponde geralmente a um ou mais fenmenos especficos com

    continuidade dependente da direco. Por esse e outros motivos se recorre, em muitos casos

    e especialmente nas cincias da terra e do ambiente, a mtodos geostatsticos. Antes de

    explicar estes mtodos e dado que os mesmos so, geralmente, efectuados em recurso a um

    computador, importante explicar as limitaes que o mesmo tem e que estruturas necessita

    para efectuar clculos que, no fim, daro origem a um mapeamento de um qualquer

    fenmeno como o nosso caso do fsforo na horta.

    Mtodo Computacional de Clculo

    Um computador uma ferramenta com limitaes e no consegue compreender o que um

    espectro contnuo. Imaginemos que temos uma linha com uma amostra real no princpio e

    precisamos calcular valores ao longo da mesma. Podemos faze-lo distncia que acharmos

    melhor, quantas vezes for necessrio, sem necessidade de quebrar a continuidade da linha. O

    computador no consegue efectuar o mesmo tipo de raciocnio (Figura 6).

    Figura 6 - Mtodo computacional para discretizar uma entidade contnua.

  • 7

    Para colmatar esta deficincia o computador discretiza transformando uma linha (A) num

    aglomerado de intervalos (B) que, num mapa de inferncia espacial, so reconhecidos como

    blocos (C). Se aplicarmos a mesma lgica para o caso da horta, que se entende bidimensional

    (ainda no foi considerado a profundidade), vamos ficar com uma discretizao por blocos no

    espao 2D (Figura 7).

    Figura 7 - Discretizao em blocos da horta.

    A partir daqui o computador ir efectuar um clculo para cada bloco da discretizao da horta.

    Se formos aplicar o mtodo dos polgonos de influncia ao caso da horta atravs do

    computador iremos ter o resultado da Figura 8.

    Figura 8 - Aplicao do mtodo dos polgonos de influncia num computador.

    O tamanho dos blocos definido pelo utilizador e diz-se ter uma malha mais apertada ou

    menos apertada consoante o mesmo for menor ou maior, respectivamente. Ao conjunto dos

    blocos habitual chamar-se de grid. Evidentemente que o estudo no s pode ser feito no

    plano como no espao 3D passando a existir a coordenada da profundidade. Neste caso a grid

    passaria a ter mais de uma camada de blocos (Figura 9).

  • 8

    Figura 9 - Grid de duas camadas de 18 blocos cada.

    Geralmente so utilizados os caracteres I, J e K para determinar o nmero de blocos que existe

    em cada direco. Se o ngulo que a grid fizer em relao ao eixo y for zero ento I

    corresponde a x, J a y e K a z (isto se cada unidade em x, y, z corresponder a um bloco em I, J,

    K, mas falaremos disso depois).

    Variografia

    O variograma uma ferramenta estatstica de grande importncia na geoestatstica dado que

    nos d uma medida da continuidade espacial mas comecemos pela anlise inicial aos

    estatsticos bsicos. Imaginemos que fazemos um histograma da amostragem da nossa horta e

    que o resultado o da Figura 10.

    Figura 10 - Histograma dos dados amostrados da horta.

    Imaginemos agora que o vizinho do lado da horta faz a mesma anlise sua horta e o seu

    histograma resulta num igual ao nosso. Quando foi feita a anlise espacial da horta do vizinho

    resultou no mapa da Figura 11.

  • 9

    Figura 11 - Mapa da disperso do fsforo na horta do vizinho.

    Este caso nada tem a ver com o da nossa horta, no entanto os seus histogramas so iguais. De

    maneira a conseguir completar a informao dada pelos estatsticos bsicos temos o

    variograma. O variograma calculado pela seguinte expresso:

    12 !"#

    Onde corresponde s coordenadas da posio $, o valor atribudo localizao (no nosso caso seria valor de fsforo na localizao ), a distncia a que se pretende efectuar uma estimao do mesmo valor, o nmero de pares de pontos para cada valor de . Para efectuar este clculo necessrio, mais uma vez, discretizar o espao considerado e por esse

    motivo vai corresponder a intervalos com diferentes distncias. Aplicando isto no caso da horta e comeando pela amostra superior direita ficamos com intervalos de variografia como

    os da Figura 12.

    Figura 12 - Intervalos de variografia que poderiam ser aplicados horta.

    No primeiro e segundo intervalos considerados no existem amostra com que fazer o clculo

    pelo ficaro intervalos vazios. No terceiro intervalo considerado j existem duas amostras

  • 10

    disponveis e por isso o valor do variograma diferente de zero. Repetindo o mesmo processo

    para todas as amostras e considerando todos os intervalos de distncia no final teramos que perfazer a sua mdia por intervalo (porque o intervalo trs da segunda amostra pode dar um

    valor diferente do intervalo trs da terceira amostra, por exemplo). O resultado do estudo de

    variografia seria o da Figura 13.

    Figura 13 - Variograma omni-direccional do estudo feito horta.

    Neste caso o resultou em mdias diferentes para cada intervalo de distncia (mais adiante iremos explicar a anlise da variografia). Este tipo de variograma chamado de

    variograma omni-direccional porque no existe limite angular ou intervalo angular que

    delimite uma direco preferencial de estudo. A disperso espacial de uma varivel, como o

    fsforo na nossa horta, pode ser isotrpica como o exemplo da Figura 14 onde no existe

    direco preferencial.

    Figura 14 - Isotropia na disperso espacial de uma varivel.

    Ou anisotrpica como o exemplo da Figura 15 onde a direco preferencial claramente da

    esquerda para a direita pois apresenta muito maior continuidade que de cima para baixo.

  • 11

    Figura 15 - Anisotropia na disperso espacial de uma varivel onde se nota muito maior continuidade da esq. para a dir. que de cima para baixo.

    Sendo o comportamento da varivel isotrpico ento um variograma omni-direccional faz

    sentido mas se no for necessrio especificar em que direco se faz o estudo. Para isso

    precisamos de alguns parmetros essenciais como o caso do tamanho de cada intervalo e da

    tolerncia angular que existe em relao direco que se pretende estudar como se pode ver

    na Figura 16.

    Figura 16 - Intervalos de variografia com tamanho D e tolerncia angular X.

    Assim temos um variograma para a direco escolhida. Se fizermos vrios variogramas para

    vrias direces ficamos com uma noo da continuidade espacial que existe em cada direco

    (isto se existirem dados amostrados que o permitam, podem existir direces onde no

    existem quaisquer amostras para serem estudadas). Dado que estes clculos sero efectuados

    pelo software mais frente abordaremos mais parmetros de variografia.

  • 12

    Modelos de Variogramas

    O estudo de variografia d-nos informao sobre a continuidade mas no nos possvel

    estimar blocos em distncias para a qual no existem pontos que apaream no variograma.

    Para resolver este problema necessrio impor uma funo ou modelo que corresponda o

    mais possvel aos pontos do variograma e consiga reproduzir novos pontos em distncias onde

    no existe nenhum. Na Figura 17 est um modelo ajustado (embora no muito bem ajustado)

    aos pontos do variograma omni-direccional da nossa horta. Com a incluso desta curva no

    variograma passamos a ter qualquer (que no nosso caso podemos interpretar como sendo o valor indirecto de fsforo) a qualquer distncia porque o modelo contnuo e por isso sempre possvel de se usar.

    Figura 17 - Modelo ajustado ao variograma omni-direccional da horta.

    Os modelos de adequao a variogramas mais usados so o exponencial, gaussiano e

    potencial. As diferenas que tm de uns para os outros esto no tipo de curva que os

    caracteriza. O modelo exponencial e potencial tm apenas uma concavidade, o modelo

    gaussiano por outro lado tem duas perfazendo uma forma de s no variograma. Na Figura 18

    esto ilustradas as diferenas mais bvias entre estes trs modelos.

    Figura 18 - Modelo exponencial (esq.), potencial (centro) e gaussiano (dir.) ajustados num variograma.

  • 13

    Qualquer software de geoestatstica j vem preparado para conseguir calcular os modelos a

    partir dos parmetros amplitude, patamar e efeito pepita (Figura 19).

    Figura 19 - Parmetros patamar, amplitude e efeito pepita na adequao de um modelo ao variograma.

    A amplitude a distncia da origem ao ponto onde o modelo toca o patamar. O patamar

    corresponde ao para o qual acima do mesmo j no existe qualquer correlao (geralmente considera-se a varincia da amostragem como valor do patamar, embora este

    procedimento depende muito de outros factores que neste documento no iremos abordar).

    O efeito pepita por vezes inserido e principalmente quando so usados modelos gaussianos,

    para evitar ms estimaes devido a descontinuidades nas zonas mais prximas da origem. Na

    maioria dos casos, usando o modelo exponencial ou potencial este efeito negligencivel e

    por isso sem necessidade de ser aplicado. Para que estes modelos possam ser utilizados para

    estimao usado o conceito de elipse (em 2D) ou elipside (em 3D). Em termos prticos o

    elipside (como doravante o tratarei para qualquer caso) faz a funo para a direco que o

    modelo faz para a distncia. Para descrever o elipside apenas precisamos de 2 (no caso 2D)

    ou 3 (3D) direces definidas com modelos mas ele consegue interpolar qualquer outra

    direco a partir dessas. Na Figura 20 temos uma ilustrao da aparncia do elipside em 2D

    para o caso isotrpico e anisotrpico.

  • 14

    Figura 20 - Elipside (elipse ou esfera por ser um caso 2D) de um caso isotrpico (cima) e anisotrpico (baixo).

    Os comprimentos dos eixos A e B so correspondentes s amplitudes dos modelos respectivos

    dos variogramas das direces do A e do B. No caso isotrpico as distncias so iguais, no

    caso anisotrpico as distncias so diferentes. Para fazer um elipside necessrio que as

    direces que o definem sejam perpendiculares entre si. Se optarmos por utilizar uma direco

    de 450 em relao ao norte ento a outra direco ter que ser necessariamente -450 pois 45 45 90 , condio necessria da perpendicularidade. Na Figura 21 est exemplificada a interpolao de todas as direces com base nas direces ortogonais de

    definio. Sem o elipside o software de geoestatstica no teria como saber a amplitude para

    direces diferentes daquelas que so as de definio do elipside.

    Figura 21 - Necessidade do elipside para interpolar direces no conhecidas para o modelo.

  • 15

    At agora os casos apresentados foram sempre bidimensionais mas importante

    compreender que a direco , regra geral, dada por coordenadas esfricas o que implica

    sempre dois parmetros: rotao () e inclinao (). Cada direco representada, por este motivo, por (,) no qual se o nosso caso de estudo for no plano horizontal ento sempre zero. Se as nossas direces de estudo na horta (2D) forem a 450 e a -450 ento os nossos

    variogramas direccionais sero (45,0) e (-45,0). Entenda-se que ambos os ngulos tm,

    normalmente um intervalo de] 90, -90] 0 pois a direco lida nos dois sentidos como se pode

    ver na Figura 22.

    Figura 22 - ngulo lido nos dois sentidos da mesma direco e por esse motivo 450 igual a -1350, por exemplo.

    O ngulo de 450 igual ao de -1350 e o de -800 ao de 1000. Assim quando pretendemos inserir

    uma direco o fazemos somente num intervalo de 180 como o caso do ]90,-90]0.

    Estimao por Krigagem

    Krigagem um mtodo de estimao semelhana do inverso do quadrado da distncia,

    polgonos de influncia, etc. Vamos tentar usar um exemplo prtico e simples para explicar o

    que acontece na krigagem. Na Figura 23 temos um caso no qual temos trs amostras para

    estimar a restante rea por mtodo de krigagem.

    Figura 23 - Amostragem de trs pontos que iro servir para calcular um quarto (ponto O) a partir do mtodo krigagem.

  • 16

    Para calcular o ponto O (e depois os restantes pelo mesmo processo) vamos fazer um estudo

    de variografia amostragem ao qual adaptamos um modelo potencial a dois pontos de

    variografia num variograma omni-direccional por o estudo das vrias direces revelar que se

    trata de um caso isotrpico (Figura 24).

    Figura 24 - Modelo potencial ajustado a dois pontos do variograma.

    O nosso patamar corresponde varincia e a amplitude resultante de . Agora j nos

    possvel saber o valor de para qualquer distncia das amostras ao ponto a estimar mas ainda falta saber o valor da amplitude para qualquer direco que pretendamos. Assim

    fazemos o elipside a partir de duas quaisquer direces ortogonais usando a mesma

    amplitude para as duas (caso contrrio no seria isotrpico) como se pode ver na Figura 25.

    Figura 25 - Construo de elipside com duas direces de definio ortogonais com a mesma amplitude .

    Agora j temos o valor de para qualquer distncia em qualquer direco. Sabendo que as trs amostras vo ser usadas para estimar o ponto O necessrio atribuir um peso a cada uma

    delas de maneira a que a direco, e consequentemente o modelo, bem como a distncia

    estejam consideradas na estimao do ponto O. Para fazer isto vamos comparar as amostras

    entre si para determinar o peso que cada uma dever ter no ponto a ser estimado. Assim

    aplicando o seguinte sistema (existe ainda o multiplicador de Lagrange para optimizar os

    resultados do sistema, mas dado que se trata de um exemplo para fins de explicao vamos

    evitar complicaes):

  • 17

    *+++ *,+, *-+- *+,+ *,,, *-,- *+-+ *,-, *--- +.,.-.

    Com o acrescento da linha para evitar erros (o somatrio dos pesos no pode dar maior ou

    menor que 1):

    *+ *, *- 1 Onde */ o ponderador correspondente amostra 0. O 12 o valor de variograma para a distncia entre 3 4 5 com o modelo nessa mesma direco. Aps descobrir-se os ponderadores para cada amostra considerada na estimao calculamos o ponto O com a

    seguinte equao:

    6. *+6+ *,6, *-6- Onde 6/ o valor de fsforo na localizao 0. Agora j sabemos o valor estimado no ponto O (ou bloco). Repetindo o mesmo processo para todos os blocos ficamos com a nossa estimao

    por krigagem. Existe mais de um tipo de krigagem mas aqui apenas se pretende ensinar o

    princpio bsico da mesma. Seguidamente iremos faze-lo em recurso a software especializado.

    Input de Dados num Software de Geoestatstica

    Antes de comearmos a trabalhar no software importante perceber com que tipo de input o

    mesmo funciona. Existem dois grandes tipos de informaes que podemos ceder a um

    software de geoestatstica e modelao. Input de point-data e input de grid. Comecemos

    pelo primeiro. Point-data so pontos referenciados espacialmente com um ou mais valores de

    variveis. No caso da nossa horta os point-data seriam as amostras, apresentando as

    coordenadas x, y e o respectivo valor (leia-se percentagem ou rcio) de fsforo na localizao

    onde cada uma se encontra. O excerto abaixo tem trs colunas onde a primeira a

    coordenada em x, a segunda a coordenada em y e a terceira a percentagem de fsforo em

    cada uma das localizaes.

    0.9 1.0 0.15

    1.0 3.2 0.20

    3.0 2.3 0.07

    3.8 0.7 0.21

    4.0 3.4 0.30

    5.0 2.0 0.17

    O ficheiro de input formato ASCII e portanto editvel em software como o bloco de notas,

    por exemplo. O ficheiro teria de ter, ento, apenas a informao do excerto acima com

    possvel adio de cabealho que alguns softwares exigem para funcionarem (mais frente

    falaremos disto). Se utilizarmos a informao do excerto e a computarmos num grfico de

  • 18

    disperso com folha de clculo, por exemplo, vamos ter o resultado da Figura 26 onde

    especificado apenas a localizao das amostras como j anteriormente tnhamos visto (neste

    exemplo no est especificado teor, se estivesse cada bola correspondente amostra teria

    uma cor correspondente a um teor de fsforo).

    Figura 26 - Computao do ficheiro dos point-data das amostras da horta (sem evidenciao do teor de fsforo).

    Se quisssemos meter mais variveis nas mesmas localizaes do point-data da horta (porque

    poderiam ter resultado outros elementos contaminantes na anlise das amostras) teramos

    que ter mais uma coluna. Mais frente explicaremos detalhadamente como fazer a krigagem

    em recurso a software mas aps termos dado como input o point-data das amostras

    recolhidas da horta (correspondente ao excerto), criado uma grid que considerasse a rea

    coberta pelas amostras, e feito o respectivo estudo de variografia resultou no mapeamento da

    Figura 27 onde o azul representa os baixos teores e os vermelhos altos teores.

    Figura 27 - Mapa estimado por krigagem dos teores de fsforo na horta onde o azul corresponde a baixo teor e o vermelho a alto teor.

    Aps feita a krigagem no software utilizado precisamos dar entrada deste resultado noutro

    software e por esse motivo exportamos a grid da horta (em que cada bloco tem um valor de

    fsforo proveniente da krigagem). O ficheiro de output poder vir no formato que se mostra

    no seguinte excerto:

    0

    1

    2

    3

    4

    0 1 2 3 4 5 6

  • 19

    0.16

    0.17

    0.19

    0.22

    0.23

    0.24

    0.23

    0.22

    ...

    Vem apenas uma coluna com correspondncia dos valores de fsforo em cada bloco sem

    qualquer referncia da localizao dos mesmos e por isso sem possibilidade organizar os dados

    no espao. Regra geral os softwares tm um algoritmo que especifica a que posio de uma

    grid corresponde cada um dos valores de fsforo que passo agora a explicar. No caso da horta

    criamos uma malha ou grid com 98 blocos no eixo do x e 64 no eixo do y. Sendo que 64 8 98 6272 ento temos 6272 blocos na nossa grid e por isso 6272 valores de fsforo no nosso ficheiro de output. Se fizermos deste ficheiro um de input num software de

    geoestatstica e especificarmos que o input para ser dado numa grid com as mesmas

    caractersticas acima dadas ento o software ir recolocar todos os valores nos blocos

    respectivos sem necessidade de ter colunas para as coordenadas. O algoritmo usado ,

    geralmente, o seguinte. Primeiro percorrida linha do eixo x ou I, depois a do y ou J, e

    finalmente a do z ou K como se v na Figura 28.

    Figura 28 - Algoritmo comum utilizado na reorganizao dos ficheiros de grid.

    O primeiro valor que aparecer no ficheiro do output da horta corresponder posio (x,y),

    (1,0), o segundo valor posio (2,0), o terceiro (3,0) e finalmente at completar um linha do

    eixo x que fica na posio (98,0). O valor a seguir ficar na posio (1,1) e depois (2,1), e por ai

  • 20

    adiante at ter completado a primeira (ou nica no caso da horta por no existir profundidade

    e por isso o nmero de blocos em z 1) camada. Se o caso fosse tridimensional ento aps

    completar a primeira camada o software iria completar a segunda como se v na Figura 29 (e

    se z tivesse mais de 2 blocos iria continuar fazendo camadas at todas estarem completas).

    Figura 29 - Reorganizao dos ficheiros de grid num caso tridimensional.

    No sendo os nicos estes tipos de ficheiros so os mais comuns.

  • 21

    Exerccio de Krigagem

    Ao longo deste exerccio vamos explicar ao pormenor todo o processo da krigagem, desde o

    tratamento inicial dos dados, construo dos variogramas e finalmente a estimao. Todo o

    exerccio feito mo (quanto muito utilizando a calculadora) por isso podes tu tambm ir

    buscar um lpis e papel para acompanhar. Por agora no vai haver computadores.

    O variograma (semi-variograma) o grfico (e/ou frmula) que descreve a diferena esperada

    de valor entre pares de amostras dada uma certa orientao. Vamos agora fazer os

    variogramas experimentais ou calculados. Imaginemos que temos um jazigo de ferro do qual

    foi feita uma amostragem (Figura 30).

    Figura 30 - Jazigo de ferro a ser estudado com a amostragem ilustrada a tracejado.

    A malha das sondagens regular, com distncias entre amostras iguais (Figura 31).

    Figura 31 - Localizao das sondagens na planta do terreno.

  • 22

    Foram tirados os teores, no considerando a profundidade, para fazer uma estimao

    bidimensional sobre a planta (Figura 32). As amostragens foram feitas a 100 metros de

    distncia umas das outras na direco Este-Oeste e Norte-Sul.

    Figura 32 - Distncia entre sondagens e teor de ferro em cada uma delas.

    Vamos considerar o clculo do variograma na direco Este-Oeste para a distncia de 100

    metros. Os pares de amostras que existem distncia de 100 metros so os da Figura 33.

    Figura 33 - Pares de pontos na direco "Este-Oeste" distncia de 100 metros.

    Considerando que a frmula do variograma :

  • 23

    12 !"#

    Ento o nosso clculo ir ser, para oito pares de pontos:

    100 27 28" 32 30" 30 31" 31 29" 44 42" 42 43" 43 41" 41 39"!/2 8 8

    100 1,1875 Consideremos agora a mesma direco para a distncia de 200 metros (Figura 34).

    Figura 34 - Pares de pontos na direco "Este-Oeste" distncia de 200 metros.

    O clculo do variograma para oito pares de pontos ir ser:

    200 27 27" 32 31" 30 29" 38 33" 33 30" 44 43" 42 41" 43 39"!/2 8 8

    200 3.375

    Considerando a distncia de 300 metros (Figura 35):

  • 24

    Figura 35 - Pares de pontos na direco "Este-Oeste" distncia de 300 metros.

    O clculo do variograma ir ser para quatro pares de pontos:

    300 27 28" 32 29" 44 41" 42 39"!/2 8 4 300 3,5

    Fazendo apenas para trs classes distncia de 100, 200 e 300 metros ficamos com o

    variograma experimental da Figura 36 (repare-se que tem o nmero de pares de pontos para

    cada distncia).

    Figura 36 - Variograma experimental da direco "Este-Oeste".

  • 25

    Consideremos agora a direco Norte-Sul para a distncia de 100 metros (Figura 37).

    Figura 37 - Pares de pontos na direco "Norte-sul" distncia de 100 metros.

    O clculo do variograma para sete pares de pontos :

    100 38 44" 27 33" 30 33" 33 43" 28 31" 29 30" 30 39"!/2 8 7 100 19.4286

    Considerando a distncia de 200 metros na mesma direco (Figura 38).

    Figura 38 - Pares de pontos na direco "Norte-sul" distncia de 200 metros.

    O clculo do variograma para seis pares de pontos :

  • 26

    200 27 38" 32 42" 27 33" 30 43" 31 41" 29 39"!/2 8 6 200 48,833

    Finalmente temos a distncia de 300 metros na direco Norte-Sul (Figura 39).

    Figura 39 - Pares de pontos na direco "Norte-sul" distncia de 300 metros.

    O clculo do variograma para trs pares de pontos :

    300 27 44" 27 43" 28 41"!/2 8 3 300 119

    O variograma experimental vai ser ento o da Figura 40.

    Figura 40 - Variograma experimental da direco "Norte-sul".

  • 27

    Podamos continuar a estudar outras direces com outras distncias (para um estudo mais

    completo era o que devia ser feito) mas em favor da brevidade vamos ficar por estas

    direces. Agora necessrio completar os nossos variogramas com os estatsticos bsicos.

    Para fazer os estatsticos bsicos comeamos por usar os nossos dados iniciais (Tabela 1).

    X Y Fe

    1 4 27

    3 4 27

    4 4 28

    5 3 29

    3 3 30

    5 2 30

    4 3 31

    2 3 32

    3 2 33

    1 2 38

    5 1 39

    4 1 41

    2 1 42

    3 1 43

    1 1 44 Tabela 1 - Dados iniciais do nosso exerccio.

    A partir destes fizemos classes de teor de ferro e a frequncia de existia em cada uma delas

    (Tabela 2).

    Classes Frequncia

    [27, 31] 7

    ]31, 35] 2

    ]35, 39] 2

    ]39, 44] 4 Tabela 2 - Classes de teores e respectivas frequncias.

    A partir daqui j conseguimos construir um histograma (Figura 41).

  • 28

    Figura 41 - Histograma dos nossos dados iniciais.

    O histograma revela uma distribuio curiosa mas dado a escassez de dados no vamos

    assumir nada. A nossa amostragem de malha regular e tem boa representatividade na regio

    que pretendemos estudar, por esse motivo vamos usar a varincia como patamar para os

    nossos modelos de variografia. A varincia dada por (sendo 0 a varivel de amostragem): 5? 0 30 @"

    No qual @ 30 e 30 o valor esperado. Em casos como o nosso, no qual tratamos todos os valores como tendo igual probabilidade, o valor esperado a mdia aritmtica.

    30 1 0A E @, portanto, a mdia aritmtica da nossa amostragem. Assim a varincia vai ser a mdia aritmtica do quadrado das diferenas de todas as amostras para a mdia.

    5? 0 1 0 @"A No nosso caso a mdia aritmtica igual a:

    30 27 27 28 29 30 30 31 32 33 38 39 41 42 43 4415 30 34,2667

  • 29

    A partir da mdia calculamos a varincia:

    5? 0 27 34,2667" 27 34,2667" 28 34,2667" 29 34,2667" B 43 34,2667" 44 34,2667"!/15 5? 0 38,49524

    Temos agora o histograma, mdia e varincia como estatsticos bsicos. Ao metermos a

    varincia nos variogramas experimentais ficamos com o patamar (Figura 42).

    Figura 42 - Variogramas experimentais com patamar inserido.

    Repare-se que na direco Norte-Sul o patamar est presente a tracejado mas na direco

    Este-Oeste no. Ele existe nesta direco, no entanto os valores dos variogramas so

    demasiado baixos para que o patamar seja visto a esta escala. Por comparao com as duas

    direces podemos dizer que a continuidade na direco Este-Oeste muito superior

    direco Norte-Sul. Ao fazermos uma nova escala para o variograma da Este-Oeste ficamos

    com o resultado da Figura 43.

    Figura 43 - Variograma da direco "Este-Oeste" com uma nova escala que permite ver o patamar.

  • 30

    Agora necessrio ajustar um modelo aos variogramas experimentais. Existem muitas funes

    possveis de se usar em variografia mas vamos comentar apenas algumas das mais utilizadas.

    Se considerarmos que C o patamar e a amplitude ento os modelos tero que ser definidos com estas constantes (muito embora no ajuste do modelo num software o que se

    varia a amplitude, mas para todos os efeitos as funes do modelo so de varivel , melhor dizendo distncia). A ttulo de exemplo vamos explorar as hipteses modelo Gaussiano e

    modelo Esfrico. A frmula do modelo gaussiano a seguinte:

    C D1 4EFG#HIJKL Uma maneira de ajustar o modelo manualmente ao variograma invertendo a funo para

    descobrir qual a amplitude sabendo C, , . Assim ficamos com: C D1 4EFG#HIJKL M ln D1 C L 3 "" M Pln E1 C K 3Q

    Evidentemente numa altura em que podemos fazer isto em recurso a um computador no

    razovel (excepto para fins pedaggicos) ajustar o modelo o manualmente. Na Figura 44 temos

    o aspecto visual do modelo gaussiano.

    Figura 44 - Aspecto do modelo gaussiano no grfico de variograma.

    Num software o ajuste do modelo feito fazendo variar a amplitude (dado que o patamar

    fixo e que o ajuste , regra geral, a olho para os pares de ponto que dependem da distncia e

  • 31

    variograma). A variao da amplitude em relao ao exemplo da figura anterior vai resultar em

    funes idnticas s da Figura 45 (a tracejado as variadas, a preenchido a original).

    Figura 45 - Ajuste do modelo gaussiano variando a amplitude.

    Se por outro lado tentarmos a aplicao da exponencial a sua frmula a seguinte:

    C E1 4RFG#ISK

    A inverso desta funo resulta nas seguintes operaes:

    C E1 4RFG#ISK M ln D1 C L 3 M 3 ln E1 C K

    O aspecto visual da exponencial o da Figura 46.

  • 32

    Figura 46 - Aspecto do modelo exponencial no grfico de variograma.

    Se no software fizermos o ajuste variando a amplitude ento vamos ter funes idnticas s da

    Figura 47 (a tracejado as variadas, a preenchido a original).

    Figura 47 - Ajuste do modelo exponencial variando a amplitude.

  • 33

    Continuando o nosso exerccio e dado que os nossos pares de pontos abaixo do patamar so

    poucos vamos ajustar este modelo manualmente experimentando o gaussiano e exponencial.

    Os nossos dados so os da Tabela 3 (distncia, variogramas e patamar).

    h N-S E-W

    100 200 300 100 200 300

    19,4286 48,8333 119,0000 1,1875 3,3750 3,5000

    C 38,4952

    Tabela 3 - Resumo dos dados obtidos com o estudo de variografia.

    Apenas os valores a negrito esto abaixo do patamar (negrito e sublinhado) e por isso na

    direco N-S apenas podemos considerar um ponto, na direco E-W teramos que

    considerar os trs no fosse o facto de estarem todos to prximos entre si e distantes do

    patamar. Assim na direco E-W tambm s vamos considerar os pares de ponto distncia

    200 metros. Comeando pela direco norte-sul e recuperando as frmulas da inverso das

    funes modelos ficamos com:

    3 100ln R1 19,428638,495 S 983,169 ? T4U 4VW?

    100Pln R1 19,428638,495 S 3Q

    313,555 ? T4U YZVV

    Na direco Este-Oeste temos (usando a distncia de 200 metros):

    3 200ln R1 3,37538,495S 15056,531 ? T4U 4VW? 200

    Pln R1 3,37538,495S 3Q 1735,312 ? T4U YZVV

    O elipside de variografia ficaria como na Figura 48, nos dois casos considerados.

  • 34

    Figura 48- Elipside de variografia resultantes da insero do modelo gaussiano (cima) e exponencial (baixo).

    As relaes de anisotropia so:

    [4U 4 V? [I ?4 T??4 T4?

    [I 1735,312313,555 5,534 V YZVV [I 15056,531983,169 15,314 V 44U

    O que implica que o eixo maior no caso gaussiano 5,534 vezes maior que o eixo menor, e no

    caso exponencial, 15,314 vezes maior que o seu correspondente eixo menor. Dada a extenso

    dos nossos dados e porque o nosso variograma experimental tem poucos pontos a grande

    distncia do patamar vamos utilizar o modelo gaussiano para prosseguir na estimao. Para

    fazer o nosso elipside (elipse neste caso) de variografia vamos usar a frmula da elipse.

    "^" _"" 1 Z "^" _"" "" 1 V4 WVV4 ZT 4UV4 Onde ^, e so as amplitudes das direces Estes-Oeste (x), Norte-Sul (y) e base-topo (z, que no nosso caso no existe). Assim, para que consigamos retirar a amplitude em

    qualquer direco tendo j as direces ortogonais calculadas nos variogramas podemos usar

    coordenadas elipsoidais:

    ^. cosd . cos e _ . cosd . sen e

    . V4d

  • 35

    Onde d e e so os ngulos que se verifica na Figura 49.

    Figura 49 - Ilustrao dos significados das letras em relao aos ngulos.

    Para saber a amplitude numa dada direco basta que se aplique a seguinte frmula:

    g^. cosd . cos e

    " . cosd . sen e

    " . V4d

    " No nosso caso dado que se trata de uma elipse (2D) e no um elipside (3D) esta frmula

    simplificada para (dado que d 4 0 e por isso cosd 1): g^. cos e

    " . sen e

    "

    Ento se pretendermos saber qual a amplitude do modelo a uma determinada direco, como

    por exemplo 450, aplicamos a frmula:

    g313,555. cos 45

    " 1735,312. sen 45

    " 1485.742 Aps tirar a amplitude da direco 450 podemos fazer a sua aplicao na frmula do modelo

    (neste caso gaussiano) e temos a frmula de clculo de variograma para todas as distncias

    nesta direco:

    C D1 4EFG#HIHKL 38,495 D1 4EFG #Hhij.kh"HKL E est feito o nosso elipside de variografia. Neste momento podemos calcular o variograma

    para qualquer direco utilizando as seguintes frmulas:

    g313,555. cos e

    " 1735,312. sen e

    " 38,495 D1 4EFG#HIHKL

  • 36

    J temos tudo o que necessrio para fazer a estimao, falta apenas definir como a mesma

    vai ser feita. No nosso caso vamos fazer uma grid com malha larga para que os clculos no

    sejam excessivos (Figura 50).

    Figura 50 - Insero da grid com os dados amostrados (blocos a cinzento).

    Apenas os blocos sombreados contm amostras, os restantes necessitam ser estimados. Um

    factor que tem de ser tido em conta na krigagem o elipside de procura. Se definirmos um

    elipside de 200 metros na direco Este-Oeste e 100 metros na direco Norte-Sul vamos

    ter uma procura semelhante da Figura 51.

    Figura 51 - Grid do jazigo com aco do elipside de procura aquando a estimao de um bloco.

  • 37

    Neste caso pretendemos estimar o bloco cinzento-escuro e o elipside de procura capta 5

    amostras que vo ser usadas na estimao. Para exemplificar o clculo de um bloco no vamos

    utilizar este dado que o clculo seria extenso e moroso por serem demasiadas amostras

    consideradas. Vamos portanto calcular o bloco evidenciado na Figura 52 onde o elipside de

    procura capta trs amostras.

    Figura 52 - Bloco que pretendemos calcular neste exercicio e respectivo raio de procura que capta 3 amostras para serem usadas na estimao.

    Para simplificar vamos considerar que das trs amostras consideradas duas esto na direco

    Este-Oeste em relao ao bloco a estimar e uma a 450 (por j termos as amplitudes

    calculadas nestas direco, se pretendssemos maior pormenor seria razovel verificar as

    direces correctas e correspondentes amplitudes (Figura 53)).

    Figura 53 - Direces das amostras consideradas na estimao em relao ao bloco a estimar.

    Sabemos que estas trs amostras vo ser consideradas para o clculo do bloco evidenciado e

    at sabemos os variogramas nas direces que o bloco faz com as amostras. O que precisamos

  • 38

    de saber agora qual o peso que cada amostra vai ter no clculo deste bloco, dado que esto

    a distncias diferentes (se fosse pesos iguais o bloco mais longnquo teria a mesma influncia

    que o mais perto o que poderia comprometer a nossa estimao. De facto assume-se que as

    zonas mais prximas do nosso bloco so tambm mais idnticas.) Assim tendo trs amostras

    consideradas temos que ter trs pesos diferentes que na sua totalidade tero que ser 1. Assim

    ficamos com a linha seguinte (em que o nmero 1,2 e 3 corresponde s amostras reais das

    esquerda para a direita (das que esto dentro do elipside de procura) e 0 amostra a ser

    estimada):

    l l" lG 1 O resto do sistema ficar:

    * l" " lGG m *" l" "" lG"G "m *G l" G" lGGG Gm O que na totalidade resulta de um sistema de 4 linhas para 3 variveis (l, l", lG visto que os parmetros restantes podem ser todos calculados). Para que se compreenda o sistema acima

    necessrio perceber que no o variograma na direco 6 e com distncia, , igual distncia entre estes dois pontos (Figura 54).

    Figura 54 - Explicao da noo de distncia e direco no smbolo do variograma utilizado no sistema de estimao de pesos para as amostras.

    Para simplificao de clculos consideremos (apenas consideramos duas direces em todos

    os clculos, claro que para ser o mais bem feito possvel teramos que ir ver as amplitudes para

    as direces correctas e as distncias certas pois tambm estas foram muito arredondadas):

    m 38,495 D1 4EFG mmHhij.kh"HKL 0,519

  • 39

    "m 38,495 D1 4EFG mmHkGj,G"HKL 0,382 Gm 38,495 D1 4EFG "mmHkGj,G"HKL 1,503

    0 "" 0 GG 0 " " 38,495 D1 4EFG jmHhij.kh"HKL 1,159 G G 38,495 D1 4EFG "jmHhij.kh"HKL 3,134 "G G" 38,495 D1 4EFG mmHkGj,G"HKL 0,382

    O que nos deixa com o sistema:

    l"1,159 lG3,134 0,519 *1,159 lG0,382 0,382 *3,134 l" 0,382 1,503 l l" lG 1 A resoluo do sistema pode ser feita por mtodo de gauss (Figura 55):

    Figura 55 - Calculo por mtodo de Gauss dos pesos das amostras na estimao do bloco.

    Assim a partir da terceira linha podemos dizer que:

  • 40

    lG 0,292,062 0,14 Sabendo lG e usando a primeira linha dizemos que:

    l" 0,519 3,136 8 0,141,159 0,826 E finalmente como precisamos de uma soluo que respeite a ltima linha fazemos a aplicao

    desta:

    l 1 0,826 0,14 0,314

    Agora j sabemos os pesos que cada uma das amostras tem na estimao do bloco que

    estamos a considerar. Assim o valor final do bloco tem:

    4?m l4? l"4?" lG4?G 4?m 0,3144? 0,8264?"0,144?G

    Relembrando os teores das amostras reais (Figura 56):

    Figura 56 - Teores das amostras consideradas na estimao.

    Temos que:

    4?m 0,314 8 38 0,82 8 32 0,14 8 30 34,164

    J est. Conseguimos fazer uma estimao do teor utilizando o mtodo de krigagem. Note-se

    que foram dados pesos mais elevados s amostras mais perto da zona a estimar (1 e 2) e ainda

    maior aquela que se encontra na direco de maior continuidade ou maior amplitude (2). Para

    completar esta estimao teramos que fazer estes clculos para todos os blocos da nossa grid.

    E est terminado o nosso exerccio de krigagem.

  • 41

    Introduo ao S-GeMS

    O S-GeMS foi desenvolvido com dois objectivos. O primeiro providenciar um software de

    interface amigvel com mltiplas ferramentas geoestatsticas. O seu fcil manuseamento

    provem do seu aspecto grfico sbrio e simples e a possibilidade de visualizar directamente o

    resultado das operaes num ambiente tridimensional interactivo. O segundo objectivo a

    criao de um software cujas funcionalidades pudessem ser melhoradas. O cdigo do S-GeMS

    aberto.

    O site oficial do software http://sgems.sourceforge.net/ e existe um manual disponvel para

    o mesmo (disponvel no conjunto onde vem este documento), bem como tutoriais como o

    caso do de Geoffrey Bohling do Kansas Geological Survey, Universidade do Kansas

    (http://people.ku.edu/~gbohling/BoiseGeostat/).

    Este manual apenas pretende dar o passo inicial no mundo da geoestatstica usando o

    software S-GeMS. Para operaes mais completas dever consultar bibliografia adicional.

    Interface do S-GeMS

    O interface do S-GeMS composto por trs grandes seces: o painel de algoritmos o painel

    de visualizao e o painel de comandos. A partir do painel de comandos possvel introduzir

    por cdigo os comandos que se podem fazer com teclado e rato a partir dos painis algoritmos

    e visualizao. Por esse motivo, e em favor da brevidade, no vamos ensinar a linguagem do

    painel de comandos neste documento. Tudo ser feito atravs do interface. Ao entrarmos no

    software S-GeMS (poder ser necessrio maximizar para que o interface ocupe o ecr todo)

    deparamos com algo idntico Figura 57 onde o painel de algoritmos e visualizao esto

    assinalados a vermelho.

    Figura 57 - Interface do S-GeMS.

  • 42

    Painel de algoritmos

    Figura 58 - Painel de algoritmos: listagem de funcionalidade (cima), especificao dos parmetros da funcionalidade (centro) e comandos bsicos (baixo).

    Comecemos pelo painel de algoritmos que tem 3 subdivises (Figura 58): a listagem das

    funcionalidades, a especificao dos parmetros da funcionalidade (esta subdiviso s aparece

    aps ter sido seleccionada uma funcionalidade) e os comandos bsicos (salvar, carregar,

    apagar e correr os parmetros introduzidos na funcionalidade escolhida). Na listagem de

    funcionalidades aparece as funes de estimao, simulao e restantes aplicaes. Ao

  • 43

    carregarmos no smbolo de cada uma delas aparece cada uma das funcionalidades

    individualmente (Figura 59).

    Figura 59 - Seleco das funcionalidades no painel de algoritmos.

    A subdiviso de comandos bsicos (Figura 60) tem quatro comandos ao seu dispor. A funo

    de Load serve para carregar um ficheiro que contenha a informao dos parmetros que

    pretendemos introduzir na nossa funcionalidade de escolha. A funo de Save serve para

    salvar os parmetros que introduzimos manualmente. A funo de Clear All serve para

    apagar todos os parmetros que introduzimos. O comando de Run Algorithm serve para

    correr a funcionalidade com os parmetros que lhe foram impostos. O resultado aparecer no

    painel de visualizao que mais frente falaremos.

    Figura 60 - Subdiviso de comandos bsicos.

    A subdiviso da especificao dos parmetros da funcionalidade escolhida apresenta os pontos

    de preenchimento dos parmetros dependendo da funo que se escolheu fazer. A ttulo de

    exemplo vamos ver o caso da krigagem. Ao escolher-se a funcionalidade krigagem aparece a

    sua subdiviso (Figura 61) a qual est dividida no sector General and Data (o primeiro que

    aparece) e sector Variogram (que podemos escolher no topo da subdiviso). Para que a

    krigagem funcione teremos que preencher todos os campos. Algumas das informaes vamos

    buscar a outras ferramentas do S-GeMS que falaremos mais frente. Por agora repare-se que

    aqui metemos todos os parmetros necessrios ao clculo da estimao comeando pela grid

    onde a vamos fazer (Grid Name), dando um nome varivel que se vai estimar (no precisa

    de ser igual dos pontos amostrados, se bem que, por questes de organizao,

    conveniente), a escolha do tipo de krigagem (na figura est o Simple Kriging (SK) ou krigagem

    simples, outros podem ser seleccionados), a escolha dos dados iniciais a partir do qual se faz a

    estimao (Hard Data) onde se escolhe o nome do objecto (Object) e a respectiva

    propriedade que se pretende estudar (Property) e finalmente os dados do elipside de

    procura (Search Ellipsoid) que mais frente falaremos. Depois de completos os dados deste

    sector necessrio completar os dados do sector Variogram entre os quais o efeito pepita

    (Nugget Effect), o nmero de estruturas dos nossos variogramas (Nb of Structures) e a

  • 44

    especificao de cada uma delas (geralmente s se usa uma) com o patamar (Contribution),

    o tipo de modelo utilizado (Type) e o elipside de variografia que mais frente veremos.

    Figura 61 - Especificao dos parmetros da funcionalidade, neste caso krigagem.

  • 45

    Painel de Visualizao

    O painel de visualizao tem duas subdivises: as especificaes e escolhas dos objectos (j

    vamos explicar o que um objecto) e a visualizao propriamente dita (Figura 62).

    Figura 62 - Painel de visualizao.

    Comecemos por ver a subdiviso das especificaes e escolha dos objectos. Na Figura 63

    temos um caso de um conjunto de point data que foi inserido no S-GeMS que vem com trs

    variveis: impedncia, permeabilidade e porosidade. A este conjunto foi dado o nome de

    Reservatrio Petrolfero. Quando seleccionamos um esse fica escolhido com um smbolo de

    um olho. Isto significa que este o objecto que estamos a visualizar no visualizador

    tridimensional. O objecto um conjunto de poin-data, grids, etc.

    Figura 63 - Seleco do objecto a visualizar.

    Dentro dos objectos existem propriedades (ou variveis que no nosso caso a impedncia,

    permeabilidade e porosidade). Se fossemos a fazer a krigagem que vimos anteriormente este

    seria o objecto (Object) escolhido como dados de estimao (Hard Data) e a propriedade

    (Property) qualquer uma das trs variveis que se pretenda estudar. Tal como podemos

  • 46

    verificar esta subdiviso tem trs sectores: objectos (Objects), preferncias (Preferences) e

    informaes (Info). O primeiro sector o que acabamos de explicar. O terceiro (Info) d-

    nos informaes como podemos ver na Figura 64 (nmero de pontos, valores mnimos e

    mximos de x, y e z).

    Figura 64 - Informaes do objecto.

    O segundo sector o das preferncias (Preferences) onde seleccionando o objecto sobre o

    qual queremos ver as preferncias (Preferences for:) bem como a propriedade (Property)

    podemos escolher o tamanho dos point-data no visualizador (Point-Size), o tipo de escala

    que pretendemos (Colormap) e o valor mnimo e mximo que pretendemos visuzalizar

    (Min e Max, por defeito vem o mnimo e mximo do conjunto).

    Figura 65 - Barra de preferncia no painel de visualizao.

  • 47

    Se o objecto estudado for uma grid (e por isso tem volume) vai existir uma terceira opo que

    o explorador (Volume Explorer). Usando o volume Explorer podemos fazer cortes nas

    direces x, y e z para estudar a ou as propriedades dessa grid que de outra forma no haveria

    maneira de as visualizar (para ver os cortes necessrio escolher a opo Use Volume

    Explorer e depois a Hide Volume para esconder a grid e apenas ficarem visveis os cortes). O

    visualizador bastante intuitivo e apenas com o rato possvel rodar o objecto e fazer zoom in

    ou zoom out (se o rato tiver scroll). Para percorrer o espao sem rodar basta carregar no

    Ctrl+Right Click e andar com o rato na direco que se pretende. Para fazer zoom in ou zoom

    out carregar no Ctrl+Shift+Right Click e mover o rato. Existe mais uma srie de botes com

    perspectivas de visualizao que no vale a pena explicar aqui (so facilmente reconhecidas as

    suas funes com a experimentao) por isso vou evidenciar apenas um, o Camera

    Snapshot( ) que permite retirar o que est no visualizador para um ficheiro de

    imagem(ao carregarmos vai aparecer a Figura 66).

    Figura 66 - Criao de ficheiro de imagem com o resultado do painel de visualizao.

  • 48

    Comandos bsicos no S-GeMS

    Inserir Dados no S-GeMS

    Para inserir dados para o S-GeMS basta fazer um Load Object (Ctrl+L) ou simplesmente leva-lo

    com o rato para dentro do visualizador do S-GeMS. Ao ser feito isto vai aparecer o seguinte

    menu:

    Figura 67 - Menu de input de ficheiros.

    Neste menu podemos ver uma visualizao do ficheiro que vamos utilizar e necessrio

    escolher que tipo de objecto estamos a meter (Select Object Type). Neste caso um

    conjunto point-data e por isso a opo correcta point set.

  • 49

    Figura 68 - Escolha do tipo de input.

    Depois de escolher a correcta designao carregamos no Next e seguimos para o menu a

    seguir.

    Figura 69 - Menu de input de point-data.

    Neste menu escolhemos o nome que queremos dar ao nosso objecto (Pointset name) e os

    locais apropriados para onde est a coluna das coordenadas. Neste caso o nome dado

    Reservatrio Petrolfero e a localizao das coordenadas x, y e z coluna 1, 2 e 3,

    respectivamente. A partir daqui j podemos trabalhar sobre eles, basta que seleccionemos a

    sua visualizao carregando no objecto e respectiva propriedade que pretendemos observar.

  • 50

    Figura 70 - Escolha do objecto a visualizar no visualizador.

    O resultado no visualizador ser imediato e ter o seguinte aspecto:

    Figura 71 - Resultado da visualizao do input.

    Para salvar qualquer objecto que tenhamos inserido ou criado no S-GeMS basta ir barra

    superior e seleccionar Objects e depois Save Object.

    Figura 72 - Guardar objecto.

  • 51

    Ferramentas do S-GeMS

    A maioria das ferramentas no S-GeMS pode ser encontrada na barra superior no Data

    Analysis.

    Figura 73 - Barra do "Data Analysis".

    Aqui podemos ter acesso ao menu de histogramas (Histogram, Ctrl+H), menu do QQ/PP-

    plot, Scatterplot (grfico de disperso) e menu de variogramas (Variogram). No menu de

    histogramas podemos ver o histograma de qualquer propriedade de cada objecto. No caso da

    Figura 74 foi seleccionado o objecto Reservatrio Petrolfero e a propriedade Impedncia.

    possvel meter os valores mnimos e mximos bem como mudar o tipo de visualizao de

    funo de probabilidade (pdf o histograma propriamente dito) ou de funo cumulada de

    probabilidade (cdf) no Plot type. Se formos para a diviso Display Options podemos

    editar os eixos e mete-los em escala logaritmica. Repare-se que no menu de histogramas

    possvel ver (na parte inferior) os dados estatsticos referentes propriedade estudada,

    inclusive a varincia que posteriormente poder ser utilizada como patamar na variografia.

    Figura 74 - Menu de histograma.

  • 52

    Se utilizarmos o menu de grfico de correlao (Scatterplot) vamos deparar com um menu

    semelhante. Mais uma vez necessrio escolher o objecto que pretendemos estudar e

    comparar as propriedades dentro do mesmo (no possvel estudar variveis de objectos

    diferentes, para o fazermos necessrio meter todas as que queremos dentro do mesmo

    ficheiro). No caso da Figura 75 escolhemos comparar as propriedades impedncia e

    Porosidade do objecto Reservatrio Petrolfero, para alm disto possvel inserir a linha

    de regresso linear com a opo Show Linear Regression Line (na figura no d para ver a

    opo, para se ver necessrio fazer scroll down no sector Data, mas o resultado a linha

    vermelha por cima do grfico de disperso). O sector Display Options em tudo semelhante

    ao menu de histogramas e novamente volta a ser possvel dizer quais os mximos e mnimos

    para cada eixo e mete-los em escala logaritmica.

    Figura 75 - Menu de grfico de disperso.

    O QQ/PP-plot uma maneira de conseguir comparar as funes de distribuio de diferentes

    propriedades em diferentes objectos. Por esse motivo temos de escolher o objecto (mesmo

    que seja igual) para cada propriedade a ser comparada. Para alm disso escolhemos a

    visualizao como sendo QQ-plot ou PP-plot e podemos limitar o intervalo considerado no

    Clipping Values. No caso da Figura 76 temos a visualizao QQ-plot seleccionada e as

    propriedades Impedncia e Permeabilidade do objecto Reservatrio Petrolfero. O

    Display Options idntico aos dois casos abordados anteriormente.

  • 53

    Figura 76 - Menu de QQ/PP-plot.

    A variografia, dado o seu teor um pouco mais complexo, ser explicada no tutorial prtico. O

    tutorial prtico ser composto por dois exerccios. Um primeiro explicado de forma intensiva

    (o caso da horta) e um segundo para acompanhamento (caso do reservatrio petrolfero).

  • 54

    Utilizao do Software S-GeMS na Estimao do Teor de Contaminantes numa Horta

    O software S-GeMS um programa open-source disponvel gratuitamente online e tem a

    finalidade de resolver problemas associados a disperso espacial de variveis utilizando

    mtodos geoestatsticos. O site do software http://sgems.sourceforge.net/ onde est

    disponvel para download o executvel para instalao (opo Windows e sistemas Linux).

    Dados da Horta

    Figura 77- Local da horta comunitria biolgica.

    Um grupo de alunos de engenharia numa universidade decidiu usar um dos terrenos no

    campus da mesma para comear um projecto de horta comunitria biolgica (Figura 77). Dada

    a necessidade de os vegetais cultivados estarem o mais inclume possvel de contaminaes

    decidiu-se fazer uma anlise qumica ao terreno da horta. Devido ao uso inadequado de

    produtos qumicos nas vizinhanas foram encontrados vestgios significativos de fsforo,

    arsnio e cobre. Os recursos so limitados e necessrio estimar a quantidade de

    contaminantes e zonas do terreno a tratar para posterior cultivo. Para isso foram feitas 16

    amostragens em pontos diferentes com malha na qual se tentou obter uma que representasse

    a rea total da horta (Figura 78). Dada a possibilidade de infiltrao no terreno dos mesmos

    contaminantes devido a guas de chuva optou-se por amostrar s diferentes profundidades de

    87, 87.5 e 88 metros (no qual 88 representa a cota da superfcie).

  • 55

    Figura 78 - Localizao das amostragens no terreno da horta.

    Os resultados das anlises qumicas foram compilados em ficheiros ASCII com 6 colunas na

    qual a primeira localizao em x, a segunda em y, terceira em z, quarta teor em fsforo,

    quinta em arsnio e sexta em cobre. Neste caso o software utilizado para se fazer a estimao

    o S-GeMS pelo que os ficheiros de input necessitam de um cabealho. O cabealho

    formado primeiro pelo nome do projecto, depois pelo nmero de variveis (incluindo

    coordenadas), e finalmente pelo nome, em diferentes linhas, da cada varivel como se pode

    ver no excerto do ficheiro de input abaixo.

    Estudo na horta comunitria biolgica 6 X Y Z Fsforo Arsnio Cobre 487987.93 4287445.15 88 0.1200 0.0048 0 487987.93 4287445.15 87.5 0.0635 0.0002 0 487987.93 4287445.15 87. 0.0278 0.0000 0

    Estes so os nossos dados iniciais para o estudo das contaminaes no terreno da horta.

    Preparao dos Dados

    Aps serem digitalizados em formato ASCII com a composio apresentada no captulo

    anterior abrimos o software S-GeMS. Podemos inserir os dados de duas maneira: agarrando o

    ficheiro com o rato e metendo-o dentro do interface do S-GeMS ou indo ao na barra

    superior e fazer (como se pode ver tambm existe o atalho

    Ctrl+L). Seleccionamos o ficheiro das amostragens e abrimos. Apareceu uma nova janela com

    um onde podemos ver o ficheiro que acabamos de inserir, e um ,

    neste ultimo temos trs hipteses. Apenas nos interessa o pois o ficheiro que

  • 56

    inserimos , de facto, um ficheiro de point-data (caso quisssemos inserir uma grid teramos

    que escolher ). Carregamos no e seguimos para a especificao dos

    nossos dados. O o campo onde se mete o nome dos dados que estamos a

    inserir e neste caso ficou como Amostras da Horta. Os campos seguintes so a especificao

    das colunas das coordenadas x, y e z (repare-se que neste caso temos de meter coluna 3 para

    o z, se o caso fosse bidimensional deixaramos com a expresso NA (2d) no mesmo espao).

    Existe apenas mais uma escolha a fazer, o . Os No-Data so pontos em que

    existe a localizao (o point) mas no existe um valor atribudo (o data). No caso da horta isto

    no sucede mas imaginemos que em todas as localizaes teramos feito a anlise qumica ao

    fsforo, arsnio, mas ao cobre em apenas algumas. Existiro pontos onde existem valores de

    fsforo e arsnio mas no cobre, sendo por isso, o cobre, nesta localizao, um No-Data.

    Geralmente opta-se por escolher um nmero que no tem hiptese de ser confundido com

    outro no mesmo ficheiro como o caso de, por exemplo, o -99.99. Assim em algumas

    localizaes existiria o valor de fsforo, o valor de arsnio e o -99.99 para o cobre.

    Seleccionando aparece uma caixa para especificar o valor do No-Data (no

    caso acima seria -99.99). Daqui para a frente o software no iria considerar os pontos No-Data

    na estimao do cobre. No caso da nossa horta no existe valores No-Data por isso podemos

    seguir em frente carregando no . Na seco de objectos no interface do S-GeMS

    (Figura 79) seleccionamos o Amostras da Horta, que acabamos de criar, e qualquer uma das

    variveis se quisermos que os point-data no visualizador sejam coloridos escala.

    Figura 79- Seco de objectos no interface do S-GeMS (Note-se que o S-GeMS tirou os nomes da variveis directamente do cabealho do ficheiro).

    Repare-se que no visualizador a escolha actualizada de imediato. Podemos rodar a imagem,

    aproximar, etc., consoante a preferncia e necessidade do utilizador. Na Figura 80 est a

    visualizao do fsforo, em perspectiva, a partir dos point-data.

  • 57

    Figura 80 - Amostras da Horta com cores representativas da quantidade de fsforo em cada localizao.

    A insero dos dados est feita mas temos um problema que podemos evitar. As grids criadas

    pelo S-GeMS so sempre em relao aos eixos x, y e z e a sua forma sempre

    paralelepipdica. Se construirmos uma grid nestas condies vamos ter muito espao que vai

    ser estimado e onde no existe amostras, nem sequer terreno para a horta (Figura 81). Para

    minimizar este problema vamos aplicar uma rotao de coordenadas s localizaes das

    amostras.

    Figura 81 - Grid aplicada s amostras na disposio em que se encontram naturalmente.

    Para fazermos a rotao (neste caso no plano xOy) vamos aplicar as frmulas:

    0p q 8 CVYF Rr 0s S t rp q 8 u4YF Rr 0s S t

    q v0" r" Onde 0p e rp so as coordenadas x e y depois da rotao. 0 e r as coordenadas x e y antes da rotao. t o ngulo de rotao que pretendemos impor sobre as coordenadas. Em recurso a folha de clculo foram aplicadas estas equaes a todas as localizaes com um t w 16s . O resultado foi o da Figura 82.

  • 58

    Figura 82 - Insero da grid nas amostras com rotao.

    Gravmos um novo ficheiro com as trs colunas das novas localizaes e as trs respectivas de

    valores das variveis fsforo, arsnio e cobre. Voltamos novamente a inserir um ficheiro de

    dados, desta com as coordenadas transformadas, e damos o nome de Amostras da Horta

    Transformadas.

    Estatsticos Descritivos

    importante tentar reconhecer padres nos nossos dados e perceber se um ou mais

    fenmenos tiveram envolvidos na disperso dos contaminantes. O primeiro passo foi analisar

    a distribuio dos dados a partir de histogramas. Para o fazer fomos ao e

    seleccionamos a opo (atalho Crtl+H). Apareceu o menu de histogramas e

    seleccionamos o objecto Amostras da Horta, analisando as propriedades fsforo, arsnio e

    cobre, uma de cada vez resultando na Figura 83, Figura 84 e Figura 85.

    Figura 83 - Histograma do fsforo.

    Figura 84 - Histograma do arsnio.

  • 59

    Figura 85 - Histograma do cobre.

    Todas as distribuies so assimtricas com maior frequncia nos teores mais baixos. A

    oscilao no caso do cobre e arsnio muito mais acentuada que no caso do fsforo. Talvez

    por estarem presentes no terreno mais tempo tenham tido tempo de ter uma maior diluio.

    Para alm disso parecem existir duas populaes no caso do arsnio e do cobre, os valores

    mais baixos e mais frequentes, e os valores mais altos e menos frequentes. Possivelmente

    correspondem a dois despejos diferentes. Se tentarmos fazer uma cronologia a partir dos

    histogramas vemos que inicialmente foram despejados os contaminantes arsnio e cobre

    agora j muito diludos e com teores baixos, posteriormente foi o fsforo com uma diluio

    menor, e finalmente um novo despejo de arsnio e cobre quase sem diluio. Uma maneira de

    suportar esta teoria ver os grficos de disperso seleccionando novamente e

    depois . Mais uma vez escolhemos o objecto Amostras da Horta e comparamos

    O fsforo com o arsnio e o cobre, e o arsnio com o cobre resultando na Figura 86, Figura 87,

    Figura 88.

    Figura 86 - Scatterplot de fsforo vs arsnio.

    Figura 87 - Scatterplot de fsforo vs cobre.

  • 60

    Figura 88 - Scatterplot de arsnio vs cobre.

    No existe relao aparente entre fsforo e cobre e tal como previsto na relao entre arsnio

    e cobre se denotam duas populaes. Curiosamente o mesmo acontece entre o arsnio e o

    fsforo o que leva a pensar que a hiptese cronolgica comentada anteriormente pode estar

    incompleta. Apesar de tudo temos informaes suficientes para construir um conhecimento

    significativo sobre a histria do terreno da horta. A seguir faremos a estimao.

    Estudo de Variografia

    Depois de termos aplicada uma rotao nas coordenadas das amostras da horta, o terreno

    ficou alinhado com os eixos do software pelo que as direces de variografia mais bvias so

    de azimutes 00 e 900 e de inclinao 900 (porque as amostras foram retiradas na direco

    estritamente vertical em profundidade). Mais uma vez vamos ao mas agora

    seleccionamos a opo . Aparece o menu de variografia e ns pretendemos fazer um

    estudo de variografia para cada contaminante separadamente. Assim seleccionamos a opo

    Compute variograms from scratch (fazer os variogramas desde o inicio, a outra opo serve

    para ir buscar um ficheiro de variogramas j feitos) e Amostras da Horta Transformadas no

    Grid name ( o conjunto de pontos que se pretende estudar, eles chamam grid a tudo). O head

    property e tail property so o fsforo. Carrega-se no NEXT e passamos para a definio dos

    nossos intervalos de variografia. O S-GeMS pede os parmetros nmero de intervalos (number

    of lags), tamanho do intervalo (lag separation), tolerncia no tamanho (lag tolerance), direco

    (azimuth, dip), tolerncia angular (tolerance), limite de direco (bandwith), e limite superior e

    inferior (head cut off e tail cut off). Na Figura 89 esto os parmetros pedidos pelo software.

    Figura 89 - Parmetros pedidos no software S-GeMS.

  • 61

    A tolerncia do tamanho um acrescento ao tamanho normal para que se existirem amostras

    prximas do limite, tambm essas sejam consideradas. O bandwith faz o limite em distncia da

    tolerncia angular pois a partir de certo ponto um ngulo pequeno d origem a uma extenso

    muito grande. Os limites superiores e inferiores so semelhantes a garantem que a o estudo

    de variografia s comea a partir de certo ponto e termina quando chegar a outro ponto. Para

    fazer o estudo de variografia ao fsforo no menu seguinte pedimos 44 intervalos com tamanho

    de 0.5 e tolerncia de tamanho 0.1 (os intervalos tm de ser pequenos caso contrrio no

    conseguimos fazer um estudo adequado em profundidade dado que os furos s tm 1 metro

    de extenso). As direces so (90,0); (0,0); (0,90) que so representativas dos eixos x, y e z do

    S-GeMS. As tolerncias angulares para as direces x e y so de 150 (note-se que para cada

    lado, no total perfaz 300), para z ficou apenas 10 para que sejam considerados apenas os

    valores imediatamente abaixo. No queremos distncias limite (para fazer isto basta, para o

    bandwith, meter um nmero grande de maneira a no limitar nada na extenso da horta).

    Fazemos NEXT e vemos os nossos variogramas. possvel arrumar as janelas como se

    tratasse de um interface Windows. Precisamos de ajustar os modelos s vrias direces. O S-

    GeMS constri directamente o elipside a partir da caixa da Figura 90.

    Figura 90 - Ajustamento do modelo ao elipside de variografia.

    O Sill corresponde ao patamar e dado que as nossas amostragens esto bem distribudas

    optmos por meter a varincia do fsforo (este dado est no histograma do fsforo no S-

    GeMS). O Type corresponde ao tipo de modelo que neste caso ficou como o exponencial. Os

    ranges equivale s amplitudes na direco Max, Med e Min que correspondem maior,

    mdia e menor direco de amplitude. Na seco abaixo Angles especificamos qual a

    direco maior e neste caso (0,0,0). O resultado da adequao dos modelos est na Figura

    91.

  • 62

    Figura 91 - Resultado do estudo de variografia feito ao fsforo.

    Krigagem

    Temos o elipside de variografia feito e as amostras por onde estimar. A nica coisa que nos

    falta a discretizao do espao, melhor dizendo a grid. Com a transformao das

    coordenadas a extenso em x, j considerando a margem de cerca de 22 metros. Em y cerca

    de 7 metros. Uma maneira de fazer as contas da grid perceber quantos blocos vo haver por

    metros. Se houver quatro blocos por metro vamos ter:

    4 8 22 88 4T 4 8 7 28 4T _

    Os nmeros no so elevados e podemos apertar a malha e mesmo assim ter um custo

    computacional razovel num computador normal. Ento optamos por fazer oito blocos por

    metro ficando com:

    8 8 22 176 4T 8 8 7 56 4T _ 8 8 1 8 4T

  • 63

    Com um total de 176 8 56 8 8 78848 blocos no nosso modelo. E cada bloco ir ter um tamanho (em x, y e z) 1 8s 0,125 metros. Agora que est definida a grid vamos construi-la no software indo ao e escolhendo a opo (com atalho

    Ctrl+N). Aparece o menu de construo da grid. O grid name o nome do novo objecto grid

    e ficou como Grid da Horta. O nmero de clulas em x, y e z ficaram com 176, 44 e 8 blocos

    mantendo um rcio satisfatrio entre os lados da grid ( suficiente para cobrir as amostras

    eficientemente). O tamanho do bloco ficou igual em todos os lados com o valor de 0,125. As

    coordenadas do canto inferior esquerdo da grid foram tiradas aps anlise de um grfico

    criado em folha de clculo (basta fazer um grfico de disperso x vs y) e os valores so

    1315048 para x, 4109856 para y e 87 para z (Figura 92).

    Figura 92 - Menu da grid completo com os dados da nossa horta.

    O resultado foi o da Figura 93.

    Figura 93 - Grid e point data no visualizador do S-GeMS.

    Agora j podemos fazer a estimao por krigagem. Na seco de Algorithms no interface do

    S-GeMS carregamos na opo Estimation e seguidamente na opo Kriging (Figura 94).

  • 64

    Figura 94 - Caixa de algoritmos do S-GeMS.

    Em baixo desta seco aparece a caixa da krigagem. O Grid name a grid que acabamos de

    criar com o nome Grid da Horta e a New Property name a varivel que a mesma vai

    estimar e por isso metemos fsforo. Seguidamente est a opo entre krigagem simples e

    krigagem normal. No iremos explicar neste momento a diferena mas se for escolhida a

    simples necessrio inserir a mdia pretendida. No nosso caso optmos por krigagem normal

    (ordinary kriging). De seguida temos de dizer a partir de que pontos vo ser feitas as

    estimaes com os campos object e property, o primeiro Amostra da Horta

    Transformadas e o segundo o fsforo. Nesta pgina ainda falta definir o elipside de

    procura que nada tem a ver com o elipside de variografia. Este elipside existe para

    limitarmos a estimao dos pontos s amostras mais prximas ou no. Neste caso o terreno da

    horta pequena e no necessitamos de estar a limitar. Metemos uma extenso muito superior

    aos limites do terreno com 50 em cada eixo do elipside e ngulo (0,0,0) correspondente.

    Consideramos as 6 amostras como o mnimo para calcular cada um dos blocos e 16 como o

    mximo (Figura 95).

    Figura 95 - Elipside de procura para a estimao.

    De seguida passamos para a pgina seguinte ( ) e inserimos os dados

    a que chegamos no estudo de variografia com efeito pepita de 0 e apenas uma estrutura (por

    agora no explicaremos como fazer mais do que uma mas possvel meter mais de um

    modelo em cada variograma). O Contribution equivalente ao Sill usado nos variogramas

    (patamar) que no nosso caso utilizamos a varincia. Mais uma vez o valor de 0,001632 com

    exponencial no Type e elipside de variografia como est na Figura 96.

  • 65

    Figura 96 - Elipside de variografia inserido na pasta de variografia da krigagem.

    De seguida carregamos em e deixamos o clculo acabar.

    Anlise dos Resultados

    O resultado da estimao, em planta, o da Figura 97.

    Figura 97 - Teor de fsforo no terreno da horta.

    A anlise da planta insuficiente mas com o visualizador do S-GeMS possvel meter o

    modelo em qualquer perspectiva (Figura 98).

    Figura 98 - Modelo da horta em perspectiva no visualizador do S-GeMS.

  • 66

    Ainda assim necessrio estudar o interior do modelo e deste modo isto no possvel. Para o

    fazer vamos ao numa das seces do interface do S-GeMS e nesse menu

    vamos parte respeitante ao Volume Explorer. E escolhemos a opo use volume Explorer

    e tambm a opo hide volume (vai apagar o modelo e somente os cortes vo ficar visveis).

    De seguida escolhemos em que eixo pretendemos fazer cortes e andamos com a barra

    respectiva de maneira a percorrer o volume em x, y e z. Se necessrio possvel inserir mais

    de um corte no mesmo eixo fazendo um Add ao eixo que se pretende acrescentar. Na Figura

    99 esto estes tpicos preenchidos e foi feito um Add ao y ficando com duas opes de

    corte.

    Figura 99 - Seco do "Volume Explorer" do S-GeMS.

    O resultado destas operaes vo ter o resultado da Figura 100 onde se pode ver os cortes

    especificados na Figura 99 no visualizador do S-GeMS.

    Figura 100 - Visualizao dos cortes no visualizador do S-GeMS.

    O teor de fsforo maior na zona da esquerda do modelo da horta e parece ir perdendo

    importncia quanto maior a profundidade.

  • 67

    Estimao da Impedncia num Reservatrio Petrolfero

    Estes dados foram cedidos para a cadeira de Modelao de Reservatrio Petrolferos no

    Mestrado em Engenharia Geolgica e Mineira no IST. Os dados so sintticos mas pretendem

    emular um contexto de estudo possvel.

    Dados do Reservatrio

    Os dados do reservatrio foram inseridos no software S-GeMS com o cabealho no excerto

    abaixo.

    Estudo da Impedancia, Permeabilidade e Porosidade

    6

    Localizao X

    Localizao Y

    Localizao Z

    Impedancia

    Permeabilidade

    Porosidade

    2 2 1 12969.747 270 0.00918

    2 2 2 13413.708 270 0.00918

    . . .. . .

    um conjunto de point data com coordenadas em x, y e z (conjunto tridimensional).

    Representam o estudo feito em vrios poos ao longo de vrias profundidades.

    Estatsticos Descritivos

    Os resultados no estudo de histogramas foram os da Figura 101.

  • 68

    Figura 101 - Histogramas da Impedncia (cima), permeabilidade (centro) e porosidade (baixo).

    As funes de distribuio de probabilidade so consideravelmente diferentes e pelo menos

    no caso da permeabilidade e porosidade parece existir duas populaes diferentes. A anlise

    aos grficos de disperso revelou que no parece existir diferenciao significativa para

    considerar duas populaes (Figura 102).

  • 69

    Figura 102 - Grficos de disperso "Permeabilidade vs Impedncia" (cima), "Porosidade vs Permeabilidade" (centro), "Porosidade vs Impedncia" (baixo).

    O resumo dos estatsticos resultou na tabela da Figura 103.

    Figura 103 - Tabela dos estatsticos descritivos.

  • 70

    Os coeficientes de correlao para todas as propriedades esto na Figura 104.

    Figura 104 - Tabela dos coeficientes de correlao.

    Estudo de Variografia

    Para fazermos o nosso estudo de variografia fomos ver quais os valores mnimos para cada

    uma das coordenadas (Figura 105).

    Figura 105 - Informaes sobre o objecto "Reservatrio Petrolfero".

    De seguida fomos seco Variogram e preenchemos os campos do menu inicial como na

    Figura 106.

    Figura 106 - Campos iniciais da variografia.

  • 71

    Como os dados esto a cerca de 50 unidades de comprimento no plano xOy e 5 em z

    necessrio que o tamanho das classes de variografia seja pequeno o suficiente para fazer bons

    histogramas no plano horizontal e vertical. Por esse motivo os campos foram preenchidos

    como Figura 107.

    Figura 107 - Preenchimento dos campos de variografia.

    Desta maneira (com tamanho de 0.5) mesmo no eixo z vo existir 10 classes de variografia.

    Repare-se que apenas duas direces so consideradas (plano horizontal e eixo vertical). Na

    direco horizontal (ngulo de tolerncia superior a 90) um variograma omni-direccional. O

    resultado o da Figura 108.

    Figura 108 - Variogramas vertical (cima) e omni-direccional (baixo).

    Note-se que o variograma omni-direccional tem muito rudo entre o qual os pontos que

    captou verticalmente. Se fossem muitos o ficheiro inicial teria que ser modificado para

    conseguirmos um bom variograma mas neste caso fcil identificar os pontos pertencentes ao

    plano vertical por comparao. Eliminando esses pontos e inserindo o patamar com valor da

  • 72

    varincia retirado do menu de histograma da impedncia ficamos com o modelo da Figura 109

    no plano horizontal.

    Figura 109 - Modelo do variograma omni-direccional onde foram desconsiderados os pontos do eixo vertical. O rudo assume-se ser devido tambm aos pontos do eixo vertical noutros poos.

    O nosso elipside de variografia ficou como na Figura 110.

    Figura 110 - Elipside de variografia.

    O modelo utilizado foi o exponencial sem efeito pepita. Para fazermos a krigagem da

    impedncia precisamos de uma grid. A grid foi criada tendo em conta os valores retirados das

    informaes do objecto Reservatrio Petrolfero. Para isto seleccionamos a opo New

    Cartesian Grid e preenchemos os campos como se encontram na Figura 111.

  • 73

    Figura 111 - Preenchimento dos dados no menu de criao da grid.

    Foi dado o nome de Grid do Reservatrio Petrolfero com nmero de clulas de 200, 200 e

    20 para x, y e z, respectivamente. As dimenses dos blocos ficaram iguais para todas as

    direces com 0.25 unidades de comprimento. Assim:

    0,25 8 200 50 0,25 8 20 5

    Que so aproximadamente as dimenses do campo considerado pelas amostras (50*50*5). No

    visualizador podemos confirmar se a grid ficou bem inserida ou no. Neste caso podemos

    constatar que sim a partir da Figura 112.

    Figura 112 - Insero da grid com as amostras.

  • 74

    Krigagem da Impedncia

    Para fazer a krigagem da impedncia fomos buscar esta funcionalidade ao painel de algoritmos

    e preenchemos como se apresenta na Figura 113 e Figura 114.

    Figura 113 - Parmetros de krigagem (1).

  • 75

    Figura 114 - Parmetros de krigagem (2).

    Fazemos o Run Algorithm (deve demorar algum tempo visto a grid ser grande) e o resultado

    pode ser visto aps seleco como se apresenta na Figura 115.

    Figura 115 - Resultado da krigagem da impedncia.

    Foi uma krigagem bem sucedida. Para melhor anlise da estimao foram feitos alguns cortes

    no Volume Explorer na zona de Preferences. O preenchimento do Volume Explorer

    como o que est na Figura 116.

  • 76

    Figura 116 - Preenchimento do "Volume Explorer" para a estimao da impedncia.

    O resultado dos cortes o da Figura 117.

    Figura 117 - Resultado dos cortes no "Volume Explorer".

    O valor da impedncia varia sendo mais forte no topo no canto superior direito e na base

    canto inferior esquerdo.

  • 77

    Exerccio 1

    Tenta fazer a estimao do teor de fsforo na primeira horta.

    - Bidimensional.

    - Seis amostras.

    - Variografia pouco representativa.

    - Esquema de coordenadas simples.

    - Uma varivel.

    O estudo de variografia pouco importante dado a escassez de dados que existe e o tamanho

    da horta. Faz apenas uma estimao por krigagem sem grandes atenes aos pormenores

    (ficheiro Horta do meu quintal na pasta de exemplos sintticos).

    Exerccio 2

    o exemplo que utilizamos para fazer o processo de krigagem mo mas tambm se pode

    fazer a partir do software. Faz a estimao do teor de ferro num jazigo.

    - Bidimensional.

    - Quinze amostras.

    - Forte anisotropia.

    - Malha quase regular.

    - Uma varivel.

    O estudo de variografia importante pois a anisotropia considervel. Poder haver alguma

    dificuldade em ajustar o modelo aos variogramas devido escassez de pontos. A malha

    regular e por isso existem direces com muita facilidade em fazer os variogramas

    experimentais (Jazigo de ferro na pasta de exemplos sintticos).

  • 78

    Exerccio 3

    Faz a anlise estatstica e estimao da porosidade, impedncia e permeabilidade em recurso a

    vrios poos num jazigo petrolfero.

    - Tridimensional.

    - Vrios poos.

    - Variografia precisa.

    - Relaes entre variveis importantes.

    - Esquema de coordenadas simples.

    - 3 variveis.

    um exemplo feito para bater certo. Dever existir grande facilidade em fazer variogramas no

    plano xOy e alguma dificuldade em Oz. Existem relaes entre as variveis (Reservatrio

    Petrolfero na pasta de exemplos sintticos).

    Exerccio 4

    Caso da nossa horta!!! Ainda falta fazer a estimao do arsnio e do cobre e tambm melhor

    voltar a verificar a do fsforo.

    - Tridimensional.

    - Muitas amostras.

    - Variografia razovel.

    - 3 variveis.

    - Poder ser melhorado com transformao de coordenadas.

    Tem alguma complexidade mas nada que j no tenhas aprendido a fazer. No exemplo foi feita

    a transformao de coordenadas. Podes tentar com as coordenadas originais ou com as

    coordenadas transformadas. Sabes que mais?!, tenta com as duas (Horta do Dept de Minas e

    Horta do Dept de Minas trans na pasta de exemplos sintticos).

  • 79

    Exerccio 5

    Este caso real, no vou dizer de onde, nem do qu, mas trata-se de um jazigo e precisa de

    algum que o estude. Por agora j devers estar vontade para mexer num caso que te

    poderia aparecer frente em qualquer centro de geoestatstica do mundo. Ests por tua conta

    (Jazigo na pasta de exemplos reais).

    Boa sorte

  • 80

    Bibliografia

    Barnes, R. Variogram Tutorial. Golden Software, Inc.

    Bohling, G. (2007). INTRODUCTION TO GEOSTATISTICS - Hydrogeophysics: Theory, Methods, and Modeling. EUA: Kansas Geological Survey.

    Bohling, G. (2007). S-GeMS Tutorial Notes - Hydrogeophysics:

    Theory, Methods, and Modeling. EUA: Kansas Geological Survey.

    Clark, I. (1979). Pratical Geostatistics. Esccia: Geostokos Limited.

    Merks, J. W. Sampling and Statistics: a synopsis of tools and techniques. Canada.

    Remy, N., Boucher, A., & Wu, J. (2006). SGeMS Users Guide.

    Soares, A. (2006). geoestatstica para as cincias da terra e do ambiente. Portugal: IST Press.