Números Reales - Unidad I
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UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIÓN DE ESTUDIANTES
UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Estoy bien, estudio bien
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NÚMEROS REALES
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD
Con el desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante se familiarice con los
conceptos básicos que permiten introducirlo en los conceptos de los números
reales..
OBJETIVOS – PROBLEMAS
¿Qué son los números reales?
EVALUACIÒN DIAGNÒSTICA
Concepto de Números
¿Cómo están estructurados los números reales?
¿Cuáles son las características de los números reales?
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REFERENTES TEÓRICOS
NUMEROS REALES.
Hablar de los números reales en general es habar de un campo denso y completo en el
cual nos vemos sumergidos de manera común, al momento de sacar una cuenta, verificar
cuantos artículos se vendieron al hablar de cambios de temperaturas, presión entre
otras.
Para dar un concepto de un número real primeros comenzaremos definiendo algunos
conjuntos que hacen parte de los números reales y que a la vez son de vital importancia
en la construcción de nuestra teoría.
Numero natural
Un número natural simbolizado por , se define como el conjunto
{ } tal que entre dos números naturales consecutivo no puede existir
otro numero natural. En la ecuación podemos notar que a es un
numero natural el cual es igual a 36.
Pero el avance de la matemática en el transcurrir de los tiempos se llegó al siguiente
interrogante en donde tendrá solución la ecuación ( ), de antemano
esta ecuación no tiene solución no tiene solución en el campo de los números naturales
por ende, se introduce un nuevo conjunto el cual definiremos a continuación.
Numero Entero
El conjunto de los números enteros simbolizado por se define por como el conjunto
por extensión dado por { }. Aquí observamos
que la ecuación ( ) tiene solución en los enteros es decir el valor de a es -12.
Aquí notamos que la ciencia encontró solución a la primera situación pero ahora el
interrogante seria el siguiente para que conjunto tiene solución la ecuación
( ), ya que esta ecuación no pertenece a los números enteros y mucho menos a los
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numero naturales, entonces definiremos un conjunto en el cual la ecuación ( ) tenga
solución
Números Racionales
El conjunto de los números racionales los cuales se simbolizan con la letra se define
comprensión como {
} por tal razón la ecuación ( ) tiene
solución en este conjunto y es cuando
.
Nota.
Recordemos algunas propiedades fundamentales de los números racionales
Dos fracciones
son equivalentes cuando .
La suma o resta de dos fracciones
esta dada por la siguiente propiedad
. Respectivamente.
La multiplicación o división de dos fracciones
esta dada por
Y
. Respectivamente.
Todo número racional puede ser expresado de dos formas mediante su expresión racional
y mediante su expresión decimal. Veamos la forma de expresar un número racional de
manera decimal, simplemente se divide el numerado con el denominador y se obtendrán
cualquiera de los tres casos de números decimales siguientes.
Exacta Tiene un numero finito de cifras decimales.
Periódica pura la parte decimal se repite indefinidamente formando un periodo.
Periódica mixta la parte decimal tiene una cifra que no se repite seguida por otra
que se repite indefinidamente.
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Números Irracionales
Hay números cuya expresión decimales no se ajusta a ningunas de las antes acá
mencionadas, esto es que presentan infinitas cifras decimales no periódicas, lo cual nos
permite deducir que soluciones de la forma √ , no se puede encontrar en
ninguno de los conjuntos anteriormente mencionados, con lo cual se vio la necesidad de
expresar el conjunto de los números irracionales. Luego podemos decir que el conjunto
de los números irracionales denotado con la letra es el conjunto de los números que
presentan infinitas cifras decimales no periódicas, tales como √ .
A continuación daremos algunos criterios referentes a los números irracionales
La suma de dos números irracionales da como resultado otro número irracional
(Clausurativa con respecto a la suma).
La suma de un número irracional con un número racional da como resultado un
número irracional.
Los números irracionales no son cerrado con la multiplicación ni la división. Esto
es la multiplicación de dos números irracionales no es necesariamente un numero
irracional
Números Reales
El conjunto de los números reales simbolizado con se define como la unión que existe
entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales
esto es . También se definen los números reales como el conjunto de todos los
valores que forman la recta numérica. Teniendo en cuenta este argumento podemos
decir que un número real es mayor que un numero real si y solo si el número real
se enuentra a la derecha del número real en la recta numérica.
A continuación daremos algunas propiedades de los números reales
En los números reales, hay unas operaciones definida con los signos las cuales
reciben el nombre de suma y multiplicación respectivamente.
Sean números reales cualesquiera, entonces se cumplen las siguientes
propiedades
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Suma
Cerrada bajo la suma, es decir si
La suma es conmutativa, esto es
La suma es asociativa, eso es ( ) ( )
Existencia del único elemento neutro en la suma (0),
Inverso aditivo (-a) ( ) ( ) .
Producto
Cerrada bajo la multiplicación,
El producto es conmutativo,
El producto es asociativo, ( ) ( )
Existencia del único elemento neutro en la multiplicación (1),
Inverso aditivo en el producto excepto para cero (
) (
) (
)
.
El producto es distributivo con respecto a la suma esto es ( )
Luego de evidenciar estas propiedades fundamentales en los números , nos vemos en
la necesidad de mostrar algunas propiedades que nos permitan mostrar el orden en este
conjunto, por lo cual se mencionan algunas propiedades importantes de orden en los
números reales.
Orden
Reflexiva, para cualquier se tiene que
Antisimétrica, para cualquier , si
Transitiva, , para cualquier , si
para cualquier , si
para cualquier si entonces
para cualquier si entonces .
para cualquier , tales que si
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para cualquier , tal que si .
para cualquier , entonces
Exponente
Si y se tiene
(( ))
( )
(
)
Si entonces ( ) , donde .
Nota: si el exponente es un número racional no entero, entonces se considera un
radical.
Logaritmo
Cuando hablamos del logaritmo no estamos refiriendo a la operación opuesta a la
exponencial la cual se define a continuación. Si tal que
entonces se llama logaritmo de b en base a ( ) al número al cual hay que elevar
la base para obtener el número b, esto es . Unas de
las bases más utilizadas cuando se habla de la función logaritmo son las de base 10 y las
de base de Euler, A continuación mostraremos algunas propiedades referentes al
logaritmo.
Para todo tal que entonces se cumplen las
siguientes propiedades
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( )
(
)
√
Valor absoluto
El valor absoluto de un número real se define como la función ( )
{
Observemos que el valor absoluto de un número real siempre será mayor o igual a cero.
Una de las propiedades más utilizada con el valor absoluto utilizando la condición de
orden es la siguiente
Si se tiene que .
Si se tiene que
Si se tiene que .
Ley de los signos
Recordemos que la ley de los signos en los números reales únicamente es utilizada en el
producto (multiplicación y división) lo cual nos dice que si al realizar una multiplicación o
división de factores este presenta factores con signo negativo para todo ,
entonces el resultado de esta operación será negativo, de lo contrario el resultado es
positivo.
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Ejemplos
Ejemplo 1. En el siguiente cuadro diga en cuál de los subconjuntos de los números reales
tiene solución las ecuaciones planteadas
( ( ) ( ) ( ) ( )
Las respuestas son las que aparecen en rojo
Ecuación En donde tiene solución Explicación
Porque
Porque
Porque
√ Porque √
√ Porque √
Porque
Porque
En general si el resultado es positivo y es un número entero, entonces será un número
real, y además será un número racional. Si es un numero positivo y este no es entero,
pero se puede escribir de manera finita periódica entonces necesariamente es racional
de lo contrario será un numero irracional. Si el resultado es un numero negativo
automáticamente podemos afirmar que no es un numero natural, si además este número
negativo tiene decimales podemos asumir que no es un numero entero, y si este
número tiene decimales periódicos finitos entonces es un numero racional de lo
contrario es decir si es un numero decimal infinito no periódico entonces es un numero
irracional
Ejemplo 2. Realizar las siguientes operaciones
a.
b. (
)
c. (
) ( )
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Solución.
a.
Ahora aplicamos la propiedad de los números fraccionario esto es
b. (
)
lo primero que hay que realizar en esto ejercicios es comenzar las operaciones del
paréntesis más interno hacia afuera esto es
(
)
(
( )
)
Ahora aplicamos la ley de los signos para así poder resolver la multiplicación de donde
obtenemos
( ( )
)
(
)
(
)
c.
(
) ( )
Lo primero que se hace es resolver los que está dentro del paréntesis, observemos que
aquí lo primero que se aplica es la ley de los signos lo demás queda igual
(
) ( ) (
) ( )
.
Note que la ley de los signo es una de las propiedades más utilizadas para desarrollar
operaciones en los números reales.
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Ejemplo 3. Ordenar de mayor a menor los siguientes números reales
Lo primero que hay que hacer es encontrar el mínimo común múltiplo entre los
denominadores de las fracciones esto es ( ) así que lo que se
hace es modificar la fracción a una homogénea esto es
Luego ordenando de mayor a menor seria
Ejemplo 4. Se desea saber cuánto pesa una mezcla de harina, polvo para hornear, azúcar,
mantequilla para esto ante de mezclar estos ingrediente por separados y se obtuvieron
estos resultados.
Harina
polvo para hornear
; azúcar
;
mantequilla
s
Solución
El problema se resume en aplicar una suma de fracciones para saber en general cuánto
pesa esta mezcla esto es ( ) ( ) ( )
( )
Aquí realizamos la suma agrupando de dos en dos esto es
(
) (
)
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Entonces la mezcla pesa
kilogramos.
Ejemplo 5. Encontrar el valor de x que satisface la ecuación
Solución
a. aquí lo que hacemos es aplicar logaritmo a ambos lados esto es
de donde
aquí comenzaremos aplicando a propiedad del logaritmo esto es
entonces la igualdad inicial se e transforma en
de donde se obtiene que es decir
de donde
Ejemplo 6 Encontrar los valores de x que satisfagan los ejercicios siguientes
a.
Solución
a. aplicando la propiedad del valor absoluto se tienen dos casos
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del primero se obtiene que y del segundo
obtenemos que por lo tanto la solución de la ecuación serán los números
mayores que -2 y los números menores de -6.
Aplicamos la propiedad de valor absoluto obtenemos que
de donde se tienen que despejando x que es
decir lo cual nos dice que la solución está dada por los x que son mayores o
iguales a menos dos pero menores o iguales a ocho.
para resolver esta inecuación primero debemos conocer cuál
es el valor absoluto de los términos que me están delimitando la inecuación esto es
; así las cosas la ecuación queda replanteada de la siguiente
manera 4
Esto es es decir la solución de la ecuación son todos los valores que son
mayores o iguales a menos cinco pero que también son menores o igual a 6.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD
- Taller de Ejercicios
- Evaluación Unidad.
RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE
Computador
Acceso a internet
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BIBLIOGRAFIA
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