NÚMEROS COMPLEJOS
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NÚMEROS COMPLEJOS
INTRODUCCION: A través del tiempo el hombre tuvo que resolver ecuaciones, fruto del desarrollo de otras ciencias y para ella fue necesario diseñar nuevos conjuntos numéricos tales como los enteros, racionales, irracionales, reales, complejos, etc.
Leopoldo Kronecker describió en el siglo XIX la evolución larga y gradual de la comprensión del sistema de número por el hombre.Sabemos por ejemplo que cualquier número real al elevarlo al cuadrado será positivo o cero siempre. En cambio un número imaginario al ser elevado al cuadrado no tiene necesariamente que ser positivo y de ahí que estos nuevos números cumplirán nuevas propiedades, lo que nos ayudara a resolver problemas de ecuaciones más complicadas.
GEROLAMO CARDANO (1501 – 1576)Gerolamo Cardano es uno de los personajes más curiosos en la historia de las matemáticas. Nació en Paris, Italia; fue el médico más famoso de su época, fue astrólogo de reyes, príncipes y papas (estuvo encarcelado por haber publicado un horóscopo de Jesús), fue también jugador empedernido y en sus tiempo libre, se dedico todos los aspectos de las ciencias, y en particular, a las matemáticas. Fue un escritor muy prolífico: escribió libros de medicina, astronomía, física y matemáticas; de sus 21 libros de matemáticas, dos se hicieron famosos: uno es su Liber de Ludo Alene (Libro de los juegos de azar), un manual para jugadores que inicio el estudio científico de las probabilidades, y el otro es Arz Magna (Arte Mayor), “la obra cumbre del álgebra clásica”, donde explica las reglas para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado, atribuyendo el descubrimiento del método su discípulo, Ludovico Ferrari; en esa obra menciona a las raíces negativas (las llamaba “falsas”) y las imaginarias (las llamaba “ficticias”).
Veamos un ejemplo de su trabajo: Cardano fue el primero en operar con raíces cuadradas de números negativos; trataba de resolver el siguiente problema que se discutía entre las matemáticas de la época:
“Dividir el número 10 en dos partes, de tal forma que una de las partes, multiplicada por la otra, de 40”
Demostrando su espíritu aventurero, Cardano escribió: “ésto es claramente imposible, pero
probemos”, y encontró los dos números: 5+√−15 Y 5−√−15 cuya suma es 10 y cuyo producto es 40; pero también concluyó que trabajar con estas cantidades sería “tan alambicado como inútil”.
El primer matemático que utilizo el símbolo i para √−1 fue Leonard Euler en 1748.
El esoterismo de éstos números “imaginarios” no desapareció hasta que Casper Wessel, un agrimensor noruego, en 1798, Jean Robert Argand, un contable francés, 1806 y Kar Lf, Gauss, un matemático profesional alemán, en 1813, encontraron independientemente, una interpretación geométrica para dichos números.
NÚMEROS COMPLEJOS
DEFINICION (según Gauss):Un número complejo es aquel par de la forma:
Z = (a ; b) , a R b R
Ejemplo:
Z = (3 ; -4)
Re(Z )=3Im (Z )=−4
W = (1 ; √−2 ) C R
Además:
C = {(a ; b) / a R b R}
Re (Z)(PARTE REAL)
Im (Z)(PARTE IMAGINARIA)
REPRESENTACION GEOMÉTRICA:
Sea: Z = (a ; b) , a > 0 b < 0
RADIO VECTO R
POLO
AFIJO
a
b
Im
|Z|
Re
A este gráfico se le conoce como “PLANO COMPLEJO o PLANO DE GAUSS”.Donde: |Z| es el moduelo de Z
|Z|=√a2+b2
Ejemplos:Z=1−i→|Z|=√12+(−1 )2=√2
Z=3 i →|Z|=3Z=−5 →|Z|=5
IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sea Z = (a , b) y W = (c ; d)
⇒Z=W⇔a=c∧b=d
Ejemplo: Si
Z=W y Z=(6x− y ;14 )
W=(7 ; x−x )
¿ x + y ?
Solución: Igualando ambos números complejos, obtenemos:
6 x− y=7∧x−x=14
=2−2
⏟⇓ x=2
6 (2 )− y=7y=5
x + y = 7
OPERACIONES EN C:
Sean Z = (a ; b) W = (c ; d)
1) ADICIÓN
Z + W = (a +c ; b + d) .
2) MULTIPLICACION
Z . W = (ac – bc ; ad + bc)
Ejemplo: Z = (2 ; -1) W = (3 ; 4)
Entonces: Z + W = (5 ; 3)Z . W = (10 ; 5)
Z = (1 ; 2) W = (5 ; 6)
Z + W = (6 ; 8) Z . W = (-7 ; 16)
CLASES DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sea: Z = (a ; b)
1) COMPLEJO REAL:
(a ; b)
(c ; d)
Forma practica
Cuando b=0
. Es decir:
Z=( a ; 0 ) a R
Ejemplo:(1 ; 0) < > 1
Complejo (0 ; 0) < > 0Nulo
Representándolos en el plano complejo:
-1 0 1 2
(-1;0) (0;0) (1;0) (2;0) Re
Im
* (1 ; 0) + (2 ; 0) = (3 ; 0) < > 3* (2 ; 0) (3 ; 0) = (6 ; 0 ; 0 + 0) = (6 ; 0) < > 6
2) COMPLEJO IMAGINARIO PURO:
Cuandoa=0∧b≠0
Es decir:
Z=(0 ; b ) b R – {0}
Ejemplo: (0 ; √2 )Representación en el plano complejo:
Re
Im(0 ; 2)
(0 ; 1)
(0 ; -1)(0 ; -2)
)2;0(
3) COMPLEJO IMAGINARIO:
Cuando a≠0∧b≠0
Z=( a ; b )Ejemplo: Z = (2 ; 4) ; W = ( ; e)
GRAFICAMENTE:
C. REAL
C. IM AG INARIO PURO
COMPLEJOS
IMAG INARIOS
SEGÚN EULER
x2+1=0x2=−1x=√−1
CANTIDADES IMAGINARIAS:Son aquellos números que resultan de extraer una raíz de índice par a un número real negativo.
Así por ejemplo: √−1 ; √−2 ; 4√−5 ; 2 n√−16 , donde n N. de todos estos, el más
importante es √−1 ; al cual denominaremos unidad imaginaria, cuya denotación universal es:
i=√−1UNIDAD IMAGINARIA:
El número complejo (0 ; 1) es la unidad imaginaria; tiene la particular notación de: i = (0 ; 1)
TEOREMA: i2=−1 ; i=(0 ; 1)
Prueba: i2 = (0 ; 1) (0 ; 1) = (0 – 1 ; 0 + 0) = (-1 ; 0) = -1
i2 = -1
TEOREMA:∀ y∈R :(0 ; y )= yi
Prueba: yi = (y ; 0) (0 ; 1) = (0 – 0 ; y + 0) = (0 ; y) (0 ; y) = yi
Aplicaciones: √−16=√16 (−1 )=√16√−1=4 i
√−5=√5(−1)=√5 √−1=√5 i
FORMA BINOMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Z=a+bia, b R ; i = √−1
Demostración:
Z=( a ; b )=(a ; 0 )+(0 ; b )=a(1 ; 0)⏟
1
+b (0 ; 1 )⏟i
Z=a+biPOTENCIAS ENTERAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
Estudiaremos el comportamiento del número in; n Z.
i1 = i i5 = i4 . i = i i9 = i8 . i = i
i2 = -1i3 = i2 . 1 = -ii4 = i2 . i2 = (-1) (-1) = 1
i6 = i4 . i2 = -1i7 = i4 . i3 = -ii8 = i4 . i4 = 1
i10 = i8 . i3 = -ii11 = i8 . i3 =-ii12 = i8 . i4 = 1
Observamos que las potencias enteras de i se repiten cada cuatro veces y solo toman uno de los cuatro valores: i ; -1 ; -i ; 1; esto merece una especial atención.
Podemos deducir lo siguiente:
i40
=1 ; i40+1 =i ; i4
0+ 2=−1 ; i4
0+3 =−i
Generalizando: i±40
+k=ik ; ∀ k∈Z
Donde: 40
: MÚLTIPLO DE 4
Ejemplos:
i23=i40+3=−i
i45=i40
+1=i
i82=i40+2=−1
i522=i40
+2=−1
i1346 66=i40+2=−1
i2333 87=i40+3=−i
i2¿
=i40
=1
NOTA: 2n=4
0
, n≥2 .
i−1=1i
×i3
i3=−i i−3=1
i3×ii=i
i−2=1
i2×i
2
i2=−1 i−4=1
i4=1
i−224=1 ; i−77591=i3=−i ; i−1111=i
Por lo tanto, deducimos que: i−n=(−1)n ( in ) ; n∈NEjm:
i−15=(−1 )15( i15)=−i15=−(−i)=ii−2222=(−1)2222 (i2222 )=+i2222=i2=−1
Ejemplo: Calcular: i3682 + i1783 + i-241
Solución:Se observa que:
3682=40
+2
1783=40
+3
−241=−(40
−3 )=40
+3
⇒i3682+ i1783+i−241=i40
+2+i40+3 +i4
0+3
=i2+i3+ i3
=−1−i−i=−1−2 i
PROPIEDADES:
1) i + i2 + i3 + i4 = 0
2) i4k + i4k + 1 + i4k + 2 + i4k + 3 = 0 ; k Z
3) in + in + 1 + in + 2 + in + 3 = 0 ; n Z
Ejemplo: Calcular: ∑k=1
99
ik
Solución:
∑i=1
99
ik=i+i2+i3+i4⏟0
+. . .. .. .+i99+i100−i100⏟0
= -1
RELACIONES ENTRE NÚMEROS COMPLEJOS
1) COMPLEJO CONJUGADO (Z )
Si Z = a + bi Ejemplo: Z = 3 + 5i
Z=a−bi
Z = 3 – 5i 2) COMPLEJO OPUESTO (Z*)
Si Z = a + bi Ejemplo: Z = 8 + 6i
Z∗¿−a−bi
Z*= -8 – 6i
Ejemplo: Si Z = 3 – 2i
Calcular: |W|, si W = 2Z* - Z
Solución:
W=2(−3+2i )−(3+2 i)=−9+2 i
∴|W|=√(−9 )2+22=√85
OPERACIONES:Si Z = 3 + 4i y W = 6 – i Entonces:
Z+W=9+3iZ⋅W=(3+4 i)(6−i )=18−3i+24 i−4 i2
=22+21i
Representación Geométrica de Z = x +yi ; (x > 0 y > 0) de su conjugado y su opuesto.
(Eje imaginario: Im)
Z = x+yi
Z* = -x - yi = x - yi
(E je Real: )Re-x
-y
x
y
Z
DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sean los números complejos Z1, Z2 ; Z2 (0 ; 0).
Para efectuar la división
Z1
X2 habrá que multiplicar a Z1 y Z2 por Z2 , con lo cual se
obtiene:
Z1=a+bi , Z2=c+diZ1
Z2
=a+bic+di
=(a+bi)(c+di)
(a−bi)(c−di )
=(ac+bd )+(bc−ad )ic2+d2
∴a+bic+di
=ac+bdc2+d2
+bc+adc2+d2
i
Ejemplo: Sea Z = 3 + 4i ; W = 6 – i
⇒ZW
=3+4 i6−i
)(6+i)(6+ i)
=14+27 i36−i2
=1437
+2737i
⇒ Re(ZW )=1437
; Im(ZW )=2737
POTENCIACIÓN:La potenciación en forma binómica tiene muchas limitaciones; por ello se utiliza cuando las potencias son pequeñas.Ejemplo:
Efectuar:
(1+i)2=1+2i+i2=2i
(1+i)4= [(1+i)2 ]2=(2i)2=−4
(1−i)2=1−2i+i2=−2i
(1−i)4=[(1−i)2]2=(−2 i)2=−4
Se observa: ( 1 + i )4 = ( 1 – i )4 = -4
Ejemplo: Reducir:
W=( 1+i1−i )
5
+( 1−i1+i )
9
Solución:Efectuamos por separado:
1+i1−i
=(1+i)2
(1−i )(1+i )=2 i
2=i ;
1−i1+i
=(1−i )2
(1+i)(1−i )=−2 i
2=−i
Reemplazando tenemos:
W = (i)5 + (-i)9 = i – i = 0 W = 0RESULTADOS IMPORTANTES:
(1 + i)2 = 2i ; (1 – i)2 = -2i
(1 + i)3 = 2 + 2i ; (1 – i)3 = -2 – 2i
(1 + i)4 = -4 ; (1 – i)4 = -4
1+i1−i =i ;
1−i1+i = -i
Ejemplo: Simplificar:
[1+i
1− 1+i
1− 1+ i
1−1+i1−i
]40
Solución:
Sabemos que:
1+i1−i = i
Entonces tenemos:
[ 1+ i
1−1+i1− i ]
40
=[ 1+i1−i ]
40
=140=140
=1
PROPIEDADES DE Z
1) (Z+W )=Z+W 5) Z+Z=2Re(Z )
2) Z=Z 6) Z−Z=2 Im(Z )
3) Z⋅W=Z⋅W 7) (Zn)=(Z )n ; ∀ n∈N
4) ( ZW )= Z
W; W≠0
8) Z=Z⇔Z es complejo o real
PROPIEDADES DE |Z|
1) |Z|≥0 6) |Z+W|≤|Z|+|W|
2) |Z|=0⇔Z=0 (Desigualdad Triangular)
3) Z⋅Z=|Z|27)
|Z|=|Z|=¿¿
4) |ZW|=|Z||W|
8)|Zn|=|Z|n
5)
| ZW
|=|Z||W|
; W≠09)
|n√Z|=n√|Z|
RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO COMPLEJO
Sea: Z = 2i √Z =m + ni ; m, n, R (m + ni)2 = Z = 2im 2 – n 2 + 2mni = 2i = 0 + 2i
Igualando términos:
m2 – n2 = 0 m2 = n2 m = n mn = 1 n2 = 1 m = 1
m y n tienen mismo signo: m = n
m + ni =
→1+i→−1−i
Pero es el caso particular de un imaginario puro. ¿Qué pasa cuando un complejo tiene parte real y parte imaginaria? Veamos:
Sea: Z = a + bi
√Z=±[√|Z|+a2
∗√|Z|−a2
i ]Donde * : SIGNO DE “b”
Ejemplo: Para Z = 2i |Z| = 2Z = 0 + 2i a = 0
√Z=±[√ 2+02
+√ 2−02
i]=±[ 1+i ] →1+i→−1−i
Para: Z=3+4 i→|Z|=√32+42=5 a = 3
√Z=±[√ 5+32
+√ 5−32
i]=±[ 2+i ] →2+i→−2−i
FORMA POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO
Sea: Z = a + bi un número complejo diferente del nulo.
|Z|
a
b Z=(a;b)=a+bi
Re
Im
a = |Z| Cos , b = |Z| SenZ = a + bi = |Z| Cos + iSen
Z = |Z| Cos + iSen
ARGUMENTO DE Z
Es aquel # REAL asociado con el ángulo que forman el radio vector y el eje real.
Arg (Z )=θ+2kπ ; k∈Z
Ejemplo: Expresar
Z=12
+ √32i
en su forma polar.
Solución:
|Z|=√( 12 )
2
+( √32 )
2
=√ 14
+ 34
=1
Vemos que:
tgθ=√3/21/2
=√3
∴θ=60 °=π3
⇒Z=1 [Cos π3 +iSen π3 ]
En general :
Z=Cos (π3 +2kπ )+ iSen (π3 +2kπ )FORMA POTENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO
Teorema de EULER: e iθ=Cosθ+iSenθDonde: e : es el número de Euler (e 2,718281)
: argumento en radianes
Entonces, tenemos una nueva representación para el complejo:
|Z|
½Re
Im
23
Z = |Z| (Cos + iSen) = |Z| ei
∴ Z=|Z|eiθ Forma Exponencial
FORMA “CIS” PARA REPRESENTAR A UN NÚMERO COMPLEJO
Z=|Z|CISθDonde: CIS = Cos + iSen
FORMA FASORIAL
Z=|Z||θL : fasor
Donde: | = Cos + iSen = Cis
Ejemplo: Sea Z = (4 ; -3) Z = 4 – 3i
|Z| = 5
tg =
− 34
= 270° + 53° = 323°
Luego: Z = 5[Cos323° + iSen323°](FORMA POLAR)
Z = 5 ei323° (FORMA EXPONENCIAL)Z = 5 Cis323° (FORMA CIS)Z = 5 |323° (FORMA FASORIAL)
POTENCIACIÓN
Si: Z = |Z| [Cos + iSen]
⇒ Zn=|Z|n[Cosnθ+ iSennθ ]Demostración:[Cos + iSen]n = [ei]n = ein
= Cosn + iSenn
Ejemplo: Si
Z=12
+ √32i
. Hallar: Z45
Solución:Obtenemos que: |Z| = 1 =
π3
Z = eπ3i
⇒Z45=(eπ3i)45
=e15 πi=Cos15π⏟−1
+i Sen15 π⏟0
∴Z45=−1
RADICACION
Sean Z y W C, entonces tenemos que:
n√Z=W⇔W n=Z ; n N , n 2
Como: Z C Z =|Z| ei
W C W = |W| ei
Sabemos: n√Z=W→W n=Z
Reemplazando:
[|W|e iα ]n=|Z|eiθ|W|n . ein =|Z|ei( + 2k)
Igualando términos:
¿|W|n=|Z|→|W|=n√|Z|
¿nα=θ+2kπ→α=θ+2kπn
RAÍZ ENESIMA DE Z
Sean Z y W C
W K=n√|Z|ei( θ+2kπ
n )
En forma polar:
W K=n√|Z|[Cos( θ+2kπn )+iSen(θ+2kπ
n )]K . 0 ; 1 ; 2 ; … 3n – 1
Ejemplo: Si Z = 1 + i, Calcular 3√Z
Solución:De los datos: |Z| = √2 ; = /4
- Si k = 0:
W 0=3√√2[Cos( π /4
3 )+iSen( π12 )]=6√2eiπ /12
- Si k = 1:
W1=6√2[Cos (π4 +2π
3 )+iSen(3 π4 )]=6√2[−√2
2+i√2
2 ]=−6√162
+6√162
i
- Si k = 2
FÓRMULA DE DEMOIVRE
W 2=6√2[Cos(π4 +4 π
3 )+iSen(17π12 )]
=6√2ei17π12
RAIZ CÚBICA DE LA UNIDAD
Sea Z 0 1. Halle 3√1
Solución:Por la fórmula de DeMoivre:
K = 0:
W0 = Cos0° + iSen0° = 1 {RAÍZ ARITMÉTICA}
K = 1:
W 1=Cos2π3
+ iSen 2π3
=− 12
+ √32i
K = 2:
W 2=Cos4 π3
+iSen 4 π3
=− 12
− √32i
OTRA FORMA:
Sea:3√Z=x→ x3=Z=1
x3 – 1 = 0 (x – 1) (x2 + x + 1) = 0
⇒ x−1=0∨x2+x+1=0
x=1∨x=−1±√12−4 (1)(1 )2(1)
=−1±√3 i2
x = 1 x=− 1
2+ √3
2i ∨ x=− 1
2−√3
2i
PROPIEDADES:
1) 1+W+W 2=0
1+W=−W 2
1+W 2=−WW+W 2=−1
2) W30
=1 W 30+1 =W W 3
0+2 =W 2
Ejemplo: Hallar A = ( 1 + W – W2 ) (1 – W + W2 ) A = ( 1+ W – W2 ) ( 1 - W + W2 )
Solución: A =
(1 + W + W2⏟0
- W2 - W2 )(1 + W + W2 -⏟0
W - W )
= (-2W2) (-2W) = 4W3 = 4 1
Donde: W es cualquiera de las raíces imaginarias de la unidad.
01) Reducir:
S = (1 + i)8 + (1 – i)8
Rpta.:
02) Reducir:
S= 1+i1−i
+1−i1+ i
+ 8
(1+i)4
Rpta.:
03) Reducir:
21−i
+ 52+i
Rpta.:
04) Efectuar:
( 1+i5
1−i5+ 1−i5
1+i5 )2
Rpta.:
05) Reducir:
P=(1+i )9
(1−i)7
Rpta.:
06) Calcular xy si:
(x – 3) + 4i = 2 + (y – 2)i
Rpta.:
07) Hallar “b” para que el complejo Z sea imaginario puro.
Z=3+4 i1+bi
Rpta.:
08) Si a, b R, indicar la condición para que:
a+bib+ai ; se convierta en un número real.
Rpta.:
09) Si: Z1 = -2 + 3i ;
Z2 = i - Z 1. Calcular Im (Z 2)
Rpta.:
10) Efectuar y luego dar como respuesta el modulo del complejo:
Z1=3√−2
4√4 i√i−6√−89√ i
Rpta.:
11) Si: 3√ x+ yi=m+ni , calcular:
A=(1−x
m3 )(1+y
m3)Rpta.:
12) Hallar Z, tal que |Z| sea mínimo y que:
|Z + (2 ; 0)| = 2
Rpta.:
13) Calcular “ab”, si:
a2−bi
=2−i /a ,b∈ R
Rpta.:
14) Sea el complejo:
Z = 1 + i. Calcular: Z8
Rpta.:
15) La expresión:
(1+i)2 (1+3 i)i−3 es igual a:
Rpta.:
16) Si Z = a + bi, una solución de la ecuación Z3 = i, es:
Rpta.:
17) Efectuar:
√2√i−√i+ 5√1
Rpta.:
18) En C los valores de x e y, al resolver la ecuación siguiente:
xi1+ yi
=3 x+4 ix+3 i , son
Rpta.:
19) Hallar la raíz cuadrada de: 16 – 30i
Rpta.:
20) Hallar las tres raíces de:
3√−i
Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA
Simplificar:
i28+i321+i49+i50+ i17
i1921+ i1932−i1960+i1973−i1983
a) i b) -1c) 1 d) -1e) 3
01) Calcular:
E=√3+4 i+√3−4 i
a) 3i + 2 b) 4c) 41 + 2 d) 3i – 2 e) 3
02) Efectuar:
S= 1+i1−i
+1−i1+ i
+ 8
(1+i)4
a) -3 b) 5c) 4 d) -2 e) 3
03) Reducir:
Z= √−2a√ i
1+ i
a) –i b) i + 1c) -i + 1 d) -12 e) i
04) Reducir:
M=(1+i)2 (1+3i )
i−3
a) -1 b) -2c) 0 d) 10e) 2
05) Calcular el valor de “a” para que sea real el complejo:
Z=2−ai1+2 i (a R)
a) 1 b) -4c) -1 d) -3e) -2
06) Indicar el complejo por el cual se tiene que multiplicar a (2 – 3i) para obtener: (11 – 10i)
a) 4 – i b) 1 + 4ic) 1 – 4i d) 1 – 4i e) 4 + i
07) Reducir:
P=(1+ i)19
(1−i)17
a) 1 + i b) 2ic) -2 d) -4e) 1
08) Efectuar:
P=( 1−i7
1+i7+ 1+ i7
1−i7)4
a) 0 b) i + 7c) 4 d) i + 1e) 1
09) Calcular:
( 1+√7i2 )
4
+( 1−√7 i2 )
4
a) 0 b) i + 2c) 4 d) i – 1 e) 4 + i
10) Hallar el argumento de Z
Z=(1−i)(√3+√3 i)
√6+√2 i
a) 360° b) 150°c) 330° d) 270°e) 120°
11) Calcular “a” en:
1a
=
π2√i 1+i
1−i
a) 2e b) e + i
c) e√3
d) ee) e / 2
12) Reducir:
[ 4 (Cos7 °+ iSen7 ° ) ] 8− ¿
[ 2(Cos8 °+ iSen8 ° )] 9 ¿¿
[ 4(Cos9 °+ iSen 9 ° )] 10⋅¿
[2 (Cos2 °+ iSen2 °) ] 4 ¿¿¿
a) 8 + i b) √3+2 i
c) √3+i d) 2−√3 i
e) i
13) Si “Z” es un número complejo no nulo, talque: Z2=Z .
Exprese Z en forma polar; además, Arg(Z) III cuadrante.
a) Cos
π4 + iSen
π4
b) Cos
4 π3 + iSen
4 π3
c) Cos
7π6 + iSen
7π6
d) Cos
6π5 + iSen
6π5
e) Cos
9π7 + iSen
9π7
14) Indicar una de las raíces cúbicas de i:
a) eπ3i
b) eπ5i
c) eπ2i
d) e5 π6i
e) N.A.