Nmero imaginarioEn matemticas, unnmero imaginarioes unnmero complejocuya parte real es igual a cero, por ejemplo:es un nmero imaginario, as comooson tambin nmeros imaginarios. En otras palabras, es un nmero de la forma:

Un nmero imaginario puede describirse como el producto de un nmero real por launidad imaginariai, en donde la letraidenota laraz cuadrada de -1:123

Fue en el ao1777cuandoLeonhard Eulerle dio ael nombre dei, por imaginario, de manera despectiva dando a entender que no tenan una existencia real.Gottfried Leibniz, en elsiglo XVII, deca queera una especie de anfibio entre el ser y la nada.En ingeniera elctrica y campos relacionados, la unidad imaginaria es a menudo escrita comojpara evitar la confusin con laintensidadde unacorriente elctrica, tradicionalmente denotada pori.ndice[ocultar] 1Historia 2Interpretacin geomtrica 3Propiedades 4Usos 5Vase tambin 6ReferenciasHistoria[editar]Cronologa4

AoAcontecimiento

1572Rafael Bombellirealiza clculos utilizando nmeros imaginarios.

1777Leonhard Eulerutiliza el smboloipara representar la raz cuadrada de -1.

1811Jean-Robert Argandcrea la representacin grfica delPlano complejotambin conocida comoplano de Argand

Interpretacin geomtrica[editar]

Rotaciones de 90-grados en el plano complejoGeomtricamente, los nmeros imaginarios se encuentran en el eje vertical delplano complejo, presentndolos comoperpendicularesal eje real. Una manera de ver los nmeros imaginarios es el considerar unarecta numricatpica, que aumenta positivamente hacia la derecha y aumenta negativamente hacia la izquierda. Podemos entonces dibujar un eje de coordenadas vertical pasando por el 0 del eje horizontal, de modo que represente nmeros imaginarios aumentando positivamente hacia arriba y negativamente hacia abajo. Este eje vertical es llamado el "eje imaginario" y es denotado como,, o simplemente. En esta representacin, una multiplicacin por1 corresponde a unarotacinde 180 grados sobre el origen. Una multiplicacin porcorresponde a una rotacin de 90 grados en la direccin "positiva" (en elsentido antihorario), y la ecuacinpuede interpretarse diciendo que si aplicamos dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, el resultado final es equivalente a una simple rotacin de 180 grados. Ntese que una rotacin de 90 grados en la direccin "negativa" (sentido horario) satisface tambin esta interpretacin. Esto refleja el hecho quees tambin una solucin de la ecuacin. En general, multiplicar por un nmero complejo es lo mismo que sufrir una rotacin alrededor del origen por elargumentodel nmero complejo, seguido de un redimensionamiento a escala por su magnitud.Propiedades[editar](se repite el patrnde la zona azul)

(se repite el patrnde la zona azul)

Todo nmero imaginario puede ser escrito comodondees unnmero realees la unidad imaginaria, con la propiedad,puesto entonces:

que es un nmero real.Cadanmero complejopuede ser escrito unvocamente como una suma de unnmero realy un nmero imaginario, de esta forma:

Al nmero imaginarioise le denomina tambin constante imaginaria.Del mismo modo, partiendo de:

la raz cuadrada de cualquier nmero real negativo, da por resultado un nmero imaginario, as por ejemplo:

Estos nmeros extienden el conjunto de losnmeros realesal conjunto de losnmeros complejos.Por otro lado, no podemos asumir que los nmeros imaginarios tienen la propiedad, al igual que los nmeros reales, de poder serordenadosde acuerdo a su valor.5Es decir, es justo decir que, y que. Esta regla no aplica a los nmeros imaginarios, debido a una simple demostracin:Recordemos que en los nmeros reales, el producto de dos nmeros reales, supnganseayb, donde ambos son mayores que cero, es igual a un nmero mayor que cero. Por ejemplo es justo decir que,, por lo tanto,, entonces tenemos que, y obviamente.Por otro lado, supngase que, entonces tenemos que, lo cual evidentemente es falso.Y de igual manera, hagamos la errnea suposicin de que, pero si multiplicamos pornos queda que. Por lo tanto tenemos que. Lo que es, igualmente que la suposicin anterior, totalmente falso.Concluiremos que esta suposicin y cualquier otra de intentar dar un valor ordinal a los nmeros imaginarios es completamente falsa.Usos[editar] La unidad imaginaria puede ser usada para extender formalmente la raz cuadrada de nmeros negativos, confirmando elteorema fundamental del lgebra. Igualmente la raz cuadrada de un nmero imaginario es un nmero complejo, y la raz de un nmero complejo en general es otro nmero complejo. Gracias a lafrmula de De Moivrelos logaritmos de nmeros negativos tambin son expresables (de manera no unvoca) mediante, asaunque cualquier nmero imaginario de la formasatisface que lafuncin exponencial. Curiosamente,. Enfsica cunticala unidad imaginaria permite simplificar la descripcin matemtica de los estados cunticos variables en el tiempo. Enteora de circuitosycorriente alternala unidad imaginaria se usa para representar ciertas magnitudes comofasores, lo cual permite un tratamiento algebraico ms gil de dichas magnitudes.Vase tambin[editar]Clasificacin de nmeros

ComplejosRealesRacionalesEnterosNaturales1:uno

Naturales primos

Naturales compuestos

0:Cero

Enteros negativos

FraccionariosFraccin propia

Fraccin impropia

IrracionalesIrracionales algebraicos

Trascendentes

Imaginarios

Nmero complejo

Ilustracin del plano complejo. Los nmeros reales se encuentran en el eje de coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.Losnmeros complejosson una extensin de losnmeros realesy forman el mnimocuerpo algebraicamente cerradoque los contiene. El conjunto de los nmeros complejos se designa con la notacin, siendoel conjunto de los nmeros reales se cumple que(estestrictamente contenidoen). Los nmeros complejos incluyen todas lasracesde lospolinomios, a diferencia de los reales. Todonmero complejopuede representarse como la suma de unnmero realy unnmero imaginario(que es un mltiplo real de launidad imaginaria, que se indica con la letrai), o enforma polar.Los nmeros complejos son la herramienta de trabajo del lgebra, anlisis, as como de ramas de las matemticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilitacin de clculo de integrales, en aerodinmica, hidrodinmica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Adems los nmeros complejos se utilizan por doquier en matemticas, en muchos campos de lafsica(notoriamente en lamecnica cuntica) y eningeniera, especialmente en laelectrnicay lastelecomunicaciones, por su utilidad para representar lasondas electromagnticasy lacorriente elctrica.En matemticas, estos nmeros constituyen uncuerpoy, en general, se consideran como puntos del plano: elplano complejo. Este cuerpo contiene a los nmeros reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los nmeros complejos es elteorema fundamental del lgebra pero que se demuestra an en un curso de variable compleja , que afirma que cualquierecuacin algebraicade gradontiene exactamente n soluciones complejas. Los anlogos delclculo diferencialeintegralcon nmeros complejos reciben el nombre devariable complejao anlisis complejo.Origen[editar]El primero en usar los nmeros complejos fue el matemtico italianoGirolamo Cardano(15011576) quien los us en la frmula para resolver lasecuaciones cbicas. El trmino nmero complejo fue introducido por el gran matemtico alemnCarl Friedrich Gauss(17771855) cuyo trabajo fue de importancia bsica enlgebra,teora de los nmeros,ecuaciones diferenciales,geometra diferencial,geometra no eucldea,anlisis complejo,anlisis numricoymecnica terica, tambin abri el camino para el uso general y sistemtico de los nmeros complejos.Definicin[editar]Se define cada nmero complejozcomo unpar ordenadode nmeros reales:z= (a,b). A su vez el primer elementoase define comoparte realdez, se denota; el segundo elementobse define comoparte imaginariadez, se denota. Luego en el conjunto de los nmeros complejos, se definen tres operaciones y la relacin de igualdad: Suma

Producto por escalar

Multiplicacin

Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes: Resta

Divisin

Al nmerose denomina nmero complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto de los nmeros reales se establece un isomorfismo , se asume que todo nmero real es un nmero complejo. Al nmero complejose denominanmero imaginario puro. Puesto quese dice que un nmero complejo es la suma de un nmero real con un nmero imaginario puro.2.Cuerpo de los nmeros complejos[editar]Los nmeros complejos forman uncuerpo, el cuerpo complejo, denotado porC(o ms apropiadamente por el carcterunicode ). Si identificamos el nmero realacon el complejo (a, 0), el cuerpo de los nmeros realesRaparece como un subcuerpo deC. Ms an,Cforma unespacio vectorialde dimensin 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, losnmeros reales, por lo queCno puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpoordenado.Unidad imaginaria[editar]Se define un nmero complejo especial, sobre todo en el lgebra, de suma relevancia, el nmeroi(jen fsica), llamadounidad imaginaria, definido como

Que satisface la siguiente igualdad:

De donde resulta:

Tomando en cuenta que, cabe la identificacin

Valor absoluto o mdulo, argumento y conjugadoValor absoluto o mdulo de un nmero complejo[editar]

Lafrmula de Eulerilustrada en elplano complejo.Elvalor absoluto,mduloomagnitudde un nmero complejozviene dado por la siguiente expresin:

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del nmero complejozcomo algn punto en el plano; podemos ver, por elteorema de Pitgoras, que el valor absoluto de un nmero complejo coincide con ladistancia eucldeadesde el origen del plano a dicho punto.Si el complejo est escrito en forma exponencialz=r ei, entonces |z| =r. Se puede expresar en forma trigonomtrica comoz=r (cos + isen), donde cos + isen =eies la conocidafrmula de Euler.Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

para cualquier complejozyw.Por definicin, la funcin distancia queda como sigued(z,w) = |z-w| y nos provee de unespacio mtricocon los complejos gracias al que se puede hablar delmitesycontinuidad. La suma, la resta, la multiplicacin y la divisin de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que sta es la mtrica usada en los nmeros complejos.Argumento o fase[editar]Artculo principal:Argumento (anlisis complejo)Elargumentoprincipalofasede un nmero complejo genrico(siendo x=Re(z) e y=Im(z)) viene dado por la siguiente expresin:

donde atan2(y,x) es lafuncin arcotangentedefinida para los cuatro cuadrantes:

O tambin:Siendo:3lafuncin signo.Alternativamente[editar]Sea el nmero complejoz=(x,y)representado por el vector OM de origen (0,0) y su extremo es el punto M(x,y). El nguloformado por el vector OM con el eje OX se llamaArgumentodel nmero complejoz, denotadono determinado unvocamente sino que satisface la igualdad:siendocualquier nmero entero. El nguloarg zes el valor principal deArg zque verifica las condiciones- < arg z