Gleerups läromedelskatalog för gy/vux 2015: Matematik, Naturvetenskap, Teknik
Numeriska ber äkningar i Naturvetenskap och Teknik
description
Transcript of Numeriska ber äkningar i Naturvetenskap och Teknik
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Dagens ämne:
Lite celest mekanik
F
),,( zyx),,( ZYX
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Koordinatsystem
Kartesiska koordinater
z
x
y
xe
ye
ze
Enhetsvektorerna ärortogonala och
normerade
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Cylinderkoordinater
x
z
e y
z
eze
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Vektor- och skalärprodukt i cylinderkoordinater
)1,0,0(ze
)0,cos,sin( e
)0,sin,(cos e
e
e
e
cos
sin
sin
cos
x
y
1
3,2,1, 0
ii
ji
ee
jijiee
eee
eee
eee
z
z
z
Ortogonala
Högersystem
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Sfäriska koordinater
z
x
ye
e
re
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
FrT
dt
vmrprL
TFrvmvdt
pdrp
dt
rd
dt
prd
dt
Ld
0
)(
2
2
dt
rdmF Kraftlagen
Momentet
Rörelsemängdsmomentet
ger:
Lite inledande mekanik
vmr
L
Fr
T
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Rörelsemängdsmomentet är konstant...
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Tdt
Ld
Centralkraft
r
0T
FrT
F
constant0 Ldt
Ld
r x p är vinkelrät mot r, dvs r är vinkelrät mot L som är konstant.
0)( prrLr
1. Rörelsemängdsmomentet är en rörelsekonstant
2. Rörelsen sker i ett plan
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
För att sätta upp rörelseekvationerna behöver vi känna accelerationen
i cylinderkoordinater.
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Hastigheten i cylindriska koordinater
),sin,cos( zr
),cossin ,sincos(),sin,cos( zzdt
d
dt
rd
),0,0()0,cos,sin()0,sin, (cos z
Rörelse i planet givet av centralkraften
0z
eedt
rd )cos,sin()sin, (cos
Radiell hastighet
vinkelhastighet
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Accelerationen i cylindriska koordinater
eedt
rd )cos,sin()sin, (cos
)()(2
2
edt
dee
dt
deee
dt
d
dt
rd
)( edt
deee
dt
de
?och edt
de
dt
d
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Accelerationen i cylindriska koordinater
edt
de
dt
doch
edt
de
dt
d )cos,sin()sin,(cos
)0,cos,sin( e
)0,sin,(cos e
esimdt
de
dt
d ),cos()cos,sin(
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Accelerationen i cylindriska koordinater
)(2
2
edt
deee
dt
de
dt
rd
eeeeedt
rd 22
2
med ins. enl. ovan
ee )2()( 2
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Rörelsekvationerna i centralkraftsystemet
2
2
dt
rdmF ),,(),,( zyxmFFF zyx
kan detta också skrivas:
))2()(( 2zzz ezeemeFeFeF
eedt
rd)2()( 2
2
2
med accelerationen i planet
00 0
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Rörelsekvationerna i planet i cylinderkoordinater
emeF )( 2
em )2(0
02
)2(1
)(1 22
dt
d
Beror av kraftens form
Kan integreras utan att kraften specifieras
Man utnyttjar nu följande trick...
0)( 2 dt
dkonstant2
dvs
vilket ger
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Sektorhastigheten
y
x
d
ddA 2
1dA
22
2
1
2
1
dt
d
dt
dA
)( eeevmrprL
zem 2 ovan) (enl.konstant
m
L
dt
dA
2konstant
2
1 02
konstant2
Keplers andra lag
2ml 2m
l
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Rörelsekvationerna i planet i cylinderkoordinater
emeF )( 2
)( 2 mF
2m
l24
22
2 m
l
m
l
nu används
men
)(24
2
m
lmF
m
lmF
3
2
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Energin är en andra rörelsekonstant...
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
En andra rörelsekonstant
m
lFm
3
2
m
lmF
3
2
För en konservativ kraft, dvs en kraft som har en potential
Vd
dF
m
l
d
dVm
3
2
)2
(2
2
m
lV
d
dm
dt
dmultiplicera med
)2
(2
2
m
lV
d
d
dt
d
dt
dm
)
2(
2
2
m
lV
dt
dm
Detta är lika med
Nytt trick...
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
vänsterledet i ekv nedan
)2
(2
2
m
lV
dt
dm
mm
dt
d)
2
1( 2
)2
()2
1(
2
22
m
lV
dt
dm
dt
d
0)
22
1(
2
22
m
lVm
dt
d
Vi har nu tidsderivator på båda sidor av denna ekvation!
dvs
konstant22
12
22 V
m
lm
Fortsätt med att titta på
v.l. kan skrivas
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
konstant22
12
22 V
m
lm
22
2
22
2
242
2
2
mρ
mρ
ρm
m
l
eedt
rd
2m
l
Hastigheten är
Ekonstant22
1 222 Vm
m
Från L konstant har vi (fortfarande)
2222 ml
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Lösningen till rörelsekvationerna
Man kan nu antingen välja att försöka integrera lösningen
i tidsvariabeln eller söka en lösning som funktion av vinkeln.
Vi börjar med det senare fallet:
m
lmF
3
2
2
kF
m
lm
k3
2
2
2m
l 2ml dmldt 2 d
d
m
l
dt
d2
)()(2222
2
d
d
m
l
d
d
m
l
d
d
m
l
dt
d
dt
d
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Lösningen till rörelsekvationerna
)()(2222
2
d
d
m
l
d
d
m
l
d
d
m
l
dt
d
dt
d
m
lm
k3
2
2
23
2
22)(
k
m
l
d
d
m
l
d
dl
I detta läge har man således
d
d
d
d )/1(12
men
232
2 )( kum
ul
d
du
m
l
d
dlu
2
32
2
222
kum
ul
d
ud
m
ul
/1uBinet!
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Lösningen till rörelsekvationerna
Binets ekvation för keplerfallet (1/r2 )
22
222
)( kuud
ud
m
ul
22
2
)(l
kmu
d
ud
2)cos(l
kmAu
Andra ordningens diff ekv. (löses med den sekulära ekvationen!)
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Olika typer av banor
2)cos(l
kmAu
Referensriktning då α lika med noll
)cos1()cos1(1
2
2
2
e
l
km
km
lA
l
km
)cos1(
12
ekm
l
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Olika typer av banor
Undersöks på egen hand i projektet!
)cos1(
12
ekm
l
cirkel 0e
ellips 1
parabel 1
hyperbel 1
2
2
2
2
e
e
e
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Banrörelse ρ(t)
Ekonstant22
1 222 Vm
m
)2
(2
2
2
Em
lk
m
d
Emlk
m
dt
)2
(2
12
0
2
)2
(
1
2d
Emlk
mt
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Banrörelse ρ(t)
0
2
)2
(
1
2d
Emlk
mt
Denna integral kan i princip lösas för t(ρ) men är inverteringen ρ(t) är inte möjlig i enkla funktioner. Samma sak gäller för
vinkelnsom funktion av tiden.
Vad kan man göra?
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Ytterligare ett variabel byte...
)cos1( ea
a
Halva storaxeln
Eccentriska anomalin
a
t Genomsnitts anomalin
t
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
efter detta variabelbyte...
0
3
)cos1( dek
mat
Keplers 3e lag (kan också fås genom geometrisk betraktelse)
k
made
k
ma 2/32
0
3
2)cos1(
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
)sin()cos1(3
0
3
ek
made
k
mat
3
2
ma
k
sinet Keplers ekvation
)cos1( ea
Hur få ρ(t)? Endast numerisk lösning
ger sedan ρ (detta var vår substitution)!
Generellt vid tiden t
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
Tvåkropparsproblemet
För två kroppar under ömsesidig vxv ersättes m med reducerade
massan ovan:
21
21
mm
mm
Trekropparsproblemet...
Har lett till många försök till lösning (Poincare mfl). Det existerar serieutvecklingslösningar...Läs gärna själv
historienbakom inkluderande ex.vis Mittag-Lefflers pris.
Numeriska beräkningar i Naturvetenskap och Teknik
drdzddV 2
1
Notera att volymelementet i cylinderkoordinater är:
x
z
d
d
dz
y