Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...
Transcript of Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...
![Page 1: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/1.jpg)
Numerisk løsning av differensiallikninger
Eulers metode,Eulers midtpunktmetode,Runge Kuttas metode,
Taylorrekkeutvikling*og
Likninger av andre orden
Forelesning uke 42, 2007
MAT-INF1100
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 2: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/2.jpg)
Diskretsering
Utgangspunkt: differensiallikning for y(x)y tilnærmes i diskrete punkter xn = nh: y(xn) ≈ yn. ⇒Tilnærmelse til y representeres ved følge (sample).Settet av x-verdier {xn} kalles ofte gitter el. grid
x
y
y0y1
y2
y3
h
x0 x1 x2 x3
y1, y2, y3 ... beregnes helst en for en i rekkefølge
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 3: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/3.jpg)
Eulers metode ( K. 10.8.1)
Likning: y ′(x) = f (x , y(x)), initialbetingelse: y(0) = y0
I punkt xn = nh tilnærmer vi den deriverte med ensidig differens
y ′ ≈ yn+1−yn
h,
og setter inn i likning for x = xn
yn+1 − yn
h= f (xn, yn) ⇒ yn+1 = yn + hf (xn, yn).
“Neste y er naværende y pluss h ganger naværende endringsrate”I rekkefølge beregnes y1, y2, y3.....
Eksempel pa endelig differense metode
(deriverte i likning byttes ut med differenser)
I Kalkulus skrives formler med n − 1 og n ikke n og n + 1
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 4: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/4.jpg)
Demonstrasjonseksempel i figurer og analyse
Likningsett: y ′ = ay , y(0) = y0
Formelløsning: y(x) = y0eax
For hver y0 far vi en unik løsning
Utregningssekvens
initialbet. ⇒ y0 er gitty1 = y0 + hay0 ⇒ y1 beregnesy2 = y1 + hay1 ⇒ y2 beregnes
...yi+1 = yi + hayi ⇒ yi+1 beregnes
...(Merk: ayi stigningsrate ved xi = ih.)
Metoden er veldig enkel!
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 5: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/5.jpg)
Eulers metode; geometrisk tolkning
x
yy(x)
y0y1
y2
y3
h
x0 x1 x2 x3
Tynne bla linjer er løsninger av y ′ = ay med andre startverdier.Numerisk løsning: skritter fram langs tangenter til løsningskurver.I illustrert tilfelle (y ′ = ay) øker feil systematisk.
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 6: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/6.jpg)
Midtpunktmetoder
I Eulers metode bruker vi asymmetrisk differens for derivert
y(xn + h) − y(xn)
h≈ y ′(xn) = f (xn, yn).
Denne er unøyaktig. (Kompendium, kap. 9.6)
Midtpunktformel
y(xn + h) − y(xn)
h≈ y ′(xn +
1
2h) =?
er mer nøyaktig.Men, hvilket uttrykk skal inn pa høyresiden ?
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 7: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/7.jpg)
Forsøk 1; ekte midtpunktmetode*
Vi midler yn og yn+1 i utregning av endringsratey ′(xn + 1
2h) ≈ f (xn + 12h, 1
2 (yn + yn+1))
Dervedyn+1 − yn
h= f (xn +
1
2h,
1
2(yn + yn+1)).
Utregningssekvens
initialbet. ⇒ y0 er gitt
y1 − y0 = hf (12h, 1
2(y0 + y1)) ⇒ Likning løses for y1
y2 − y1 = hf (3h2 , 1
2(y1 + y2)) ⇒ Likning løses for y2
...
Likninger for y1, y2, ... løses lett bare dersom f er enkel,feks. lineærGenerelt ma likningene løses numerisk; tungvint!
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 8: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/8.jpg)
Forsøk 2: Eulers midtpunktmetode ( K. 10.8.3)
Prosedyre for a regne ut yn+1 fra yn
1 Bruker Eulers metode 12h fram:
yn = yn + 12hf (xn, yn)
Vi kan si: yn ≈ y(xn + 12h)
2 Kvasi-midtpunktformel:yn+1 = yn + hf (xn + 1
2h, yn)
Poeng: Vi løser ingen likninger. yn, deretter yn+1 beregnes vedeksplisitte uttrykk.
Bedre enn Eulers metode. Brukes ofte i forbinelse med partielledifferensiallikninger (den ukjente er en funksjon av flere variable),men sjelden for ordinære differensiallikninger.
Partielle likninger er ikke med i MAT-INF1100
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 9: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/9.jpg)
Eulers midpunktmetode; grafisk framstilling
x
yy(x)
y0
y1
y0
h
x0 x1
Eksempel: første steg. Eulers metode 12h fram til y0
Stigning i løsningskurve gjennom (12h, y0) brukes for a finne y1.
(Rødt + tilsvarer y1 funnet ved Eulers metode)
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 10: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/10.jpg)
Eulers metode for demonstrasjonseksempel ( K. 10.8.2)
Ser igjen pa f (x , y) = ay dvs. likning og løsning
y ′ = ay , y(0) = y0 ⇒ y0eax .
Eulers metode gir yn+1 = yn + hf (xn, yn) = (1 + ah)yn.
yn bestemmes altsa fra differenslikningen
yn+1 = (1 + ah)yn.
Klassifisering: Første orden, lineær, homogen; Løses lett i formel
Generelt for endelig differens metoder:
numerisk løsning av differensiallikninger innebærer a simuleredifferenslikninger
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 11: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/11.jpg)
Løsning av “differenslikning fra differensiallikning”
Løsning av yn+1 = (1 + ah)yn, y0 gitt, er
yn = (1 + ah)ny0 =(
1 +axn
n
)n
y0.
Vi regner fram til en fast x = xn = nh med stadig større n ogmindre h. Far vi rett svar nar n → ∞ ?
limn→∞
yn = limn→∞
(
1 +ax
n
)n
y0 = y0eax
Grenseverdi samsvarer med formelløsning innsatt x = x .Nar h → 0 nærmer numerisk løsning seg den eksakte: konvergent,likevel unøyaktig selv for sma h
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 12: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/12.jpg)
Eulers metode med forskjellige h
x
yy(x)
0 1 2 3
y ′ = 0.6y , y(0) = 1 simulert for x ∈ [0, 3] med 2, 4 og 20 punkter.
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 13: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/13.jpg)
Sammenlikning av Eulermetoder*
Eulers metode, omskriving av resultat
yn = (1 + ah)ny0 = KnEy0, der KE = 1 + ah
Eulers midtpunktmetode
yn = yn + 12hayn
yn+1 = yn + ahyn = yn + ah(yn + 12ahyn) = Kmyn
der Km = 1 + ah + 12(ah)2. Da er yn = Kn
my0
Eksakt løsning
y(xn) = y0eaxn = y0e
anh = y0(eah)n = Kny0
der K = eah
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 14: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/14.jpg)
...
Alle løsninger har formen y(xn) = Kn∗y0.
Forskjeller i K∗ sier noe om hvor ulike løsningene er.
Taylorrekkeutvikling av K = eah
et = 1 + t + 12t2 + 1
6t3 + ... innsatt t = ah
Euler KE = 1 + ah
E. midtp. Km = 1 + ah + 12(ah)2
Eksakt K = 1 + ah + 12(ah)2 + 1
6(ah)3 + ...
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 15: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/15.jpg)
Runge-Kuttas metode (orden 4); ( K. 10.8.4)
y ′ = f (x , y), y(0) = y0
4 stigningsrater beregnes og midles.Metode utledes ikke;men er lett a kode
Skritt fra xn til xn+1
1 m1 = f (xn, yn) (som i Euler)
2 m2 = f (xn + 12h, yn + 1
2hm1) (Eulers midt.)
3 m3 = f (xn + 12h, yn + 1
2hm2)
4 m4 = f (xn + h, yn + hm3)
5 Utregning av ny y :yn+1 = yn + h
6 (m1 + 2m2 + 2m3 + m4)
Andre indeks pa m’ene er sløyfet ( m avhenger av n ogsa).Noen steg, men enkel a kode!Runge-Kutta metoder er mye brukt
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 16: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/16.jpg)
Taylorrekkeutvikling*
Eksempel y ′ = exy
Derivasjonery ′′ = (exy )′ = exy (xy)′ = exy (y + xy ′)y ′′′ = (y ′′)′ = exy (y + xy ′)2 + exy (2y ′ + xy ′′)...Har vi y ved en x kan deriverte av økende orden regnes ut etter tur
Taylorrekkeutvikling gir
yn+1 = y(xn + h) = y(xn) + hy ′(xn) +1
2h2y ′′(xn) + ...
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 17: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/17.jpg)
NYTT TEMA
Differensiallikninger av høyere orden og sett
av likninger
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 18: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/18.jpg)
Koblede differensiallikninger med flere ukjente
To likninger av første orden
y ′ = F (x , y , z),
z ′ = G (x , y , z),
der ukjente er y(x) og z(x).
M likninger av første orden
dy (1)
dx= F (1)(x , y (1)..., y (M)),
dy (2)
dx= F (2)(x , y (1)..., y (M)),
...dy (M)
dx= F (M)(x , y (1)..., y (M)),
der ukjente er y (1)(x)...y (M)(x).
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 19: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/19.jpg)
Omskrivning; to førsteordens ⇒ 1 andreordens*
Eksempel; lineært sett, konst. koeff.
y ′ = ay + bz ,
z ′ = cy + dz ,
Den øverste gir (b 6= 0) z = (y ′ − ay)/b.Innsatt i den nederste
z ′ = cy + dz(
y ′ − ay
b
)
′
= cy + d
(
y ′ − ay
b
)
y ′′ − ay ′ = (bc − ad)y + dy ′
y ′′ = (a + d)y ′ + (bc − ad)y
Her er vi mest opptatt av det omvendte.
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 20: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/20.jpg)
Differensiallikning av andre orden
y ′′ = F (x , y , y ′), y(0) = b0, y ′(0) = b1 (1)
Vi har formler for løsning nar likningen er lineær med konstantekoeffisienter, dvs.
F = f (x) − py ′ − qy ,
der p og q er konstante.Kommer i Kalkulus, kap. 10.5,6
Ellers: Numerisk løsning (stort sett)
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 21: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/21.jpg)
Omskrivning til 2 likninger av orden 1
Definerer z = y ′ da er z ′ = y ′′ og
y ′′ = F (x , y , y ′) ⇒ z ′ = F (x , y , z)
Vi far da 2 førsteordenslikninger
y ′ = zz ′ = F (x , y , z)
med y(0) = b0, z(0) = y ′(0) = b1.
Generelt kan en likning av orden n gjøres om til n likninger avorden 1
Dette er standard framgangsmate ved numerisk løsning medinitialverdier; bade Eulermetoder og Runge-Kutta kan lettgeneraliseres til sett av førsteordenslikninger
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 22: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/22.jpg)
NYTT TEMA
Numerisk løsning av sett av likninger
Kompendium, kap. 8
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 23: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/23.jpg)
Eulers metode
Definerer som før xn = nh og yn ≈ y(xn), zn ≈ z(xn)Regner ut y1, z1, deretter y2, z2 osv. som før.Initialbetingelser gir z0, y0.
Rekursjon fra n − 1 til n:
yn − yn−1
h= zn−1
zn − zn−1
h= F ((n − 1)h, yn−1, zn−1)
Eksplisitt skrivemate
yn = yn−1 + hzn−1
zn = zn−1 + hF ((n − 1)h, yn−1, zn−1)
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 24: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/24.jpg)
Kompendium 8.1.2I kompendiet er metoden skrevet med yn og y ′
n(= zn) som ukjente.
Umiddelbart
yn = yn−1 + hy ′
n−1
Likning for ny y ′ utledes med Taylorpolynom T1y′
y ′
n = y ′
n−1 + hy ′′
n−1 = y ′
n−1 + F ((n − 1)h, yn−1, y′
n−1)
Resultatet er som pa forrige lysark med zn → y ′
n.
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 25: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/25.jpg)
Demonstrasjonsproblem med kjent løsning
y ′′ + y = 0, y(0) = 1, y ′(0) = 0
Løsning y(x) = cos(x)Vi ser at y ′′(x) = (cos x)′′ = (− sin x)′ = − cos x = −y(x)Generell metode for slike likninger kommer senere ( K. kap. 10.5)
Løsningen er en ren periodisk svingning og kan i fysikken beskrivefeks. pendelbevegelse
Omskrivning til sett av likninger
y ′ = zz ′ = −y
med y(0) = 1, z(0) = 0.
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 26: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/26.jpg)
Eulers metode
Eksakt h = 0.6h = 0.3 h = 0.1
x
y
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 27: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/27.jpg)
Eulers metode, større x
Eksakt h = 0.1
x
y
Eksakt løsning periodisk; numerisk løsning vokser ⇒ instabilitet
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 28: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/28.jpg)
Observasjoner
Eulers metode brukes lite i praksis, bla.a. fordi
Eulers metode er unøyaktig; selv liten h gir stor feil.Det er fordi vi bruker en ensidig differens for den deriverte.
En svingende løsning, som den i eksemplet, behandles sværtdarlig med Eulers metode: Den er instabil – feilen vokser overalle grenser.
Vi kunne ha vist at Eulers metode er instabil i eksemplet vart.
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 29: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/29.jpg)
Eulers midtpunktmetode
Rekursjon fra n − 1 til n i to steg.
1: mellomsteg; Eulers metode 12h fram (sløyfer indeks pa y og z)
y = yn−1 + 12hzn−1
z = zn−1 + 12hF ((n − 1)h, yn−1, zn−1)
2: Endelig steg
yn = yn−1 + hz
zn = zn−1 + hF(
(n − 12)h, y , z
)
En “kvasi-midtpunktformel” om x = (n − 12 )h
Akkurat som for en førsteordenslikning
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 30: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/30.jpg)
Sammenlikning for h = 0.1
Eksakt Euler
Midtpunkt Euler
x
y
Midpunkt Euler og Eksakt kan ikke skilles i diagram
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 31: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/31.jpg)
Midtpunkt Euler, følsomhet for h
Eksakt h = 0.3h = 0.1
x
y
Midtpunkt Euler er ogsa “litt” instabilUtprøving av ulike h er viktig
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 32: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/32.jpg)
Midtpunkt Euler, Runge-Kutta, h = 0.3
Eksakt Midtp.-EulerRunge-Kutta(4)
x
y
Runge-Kutta mye bedre enn midtpunkt Euler
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 33: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/33.jpg)
Instabilitet og Eulers metode*
yn = yn−1 + hzn−1
zn = zn−1 − hyn−1
For n > 0 kan vi elimenere z ’ene i den nederste vha. den øverste
yn+1 − 2yn + yn−1
h2= −yn−1
Kommentar: differens for y ′′ insatt i y ′′ = −y ; vi er tilbake til endirekte diskretisering av andreordenslikningen!
Omskrivning:yn+1 − 2yn + (1 + h2)yn−1 = 0
Andre ordens differenslikning
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 34: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/34.jpg)
Løsning av differenslikning*
Eulers metode betyr at vi løser (nummerer om)
yn+2 − 2yn+1 + (1 + h2)yn = 0, n ≥ 0
Men denne kan vi løse i formel! Setter inn yn = rn
r2 − 2r + 1 + h2 = 0
dvsr1 = 1 + ih, r2 = 1 − ih
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto
![Page 35: Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode, Eulers ...](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022020715/5881f7c71a28ab3a198b8630/html5/thumbnails/35.jpg)
...*
Dette er tilfelle 3 i kap. 4 i Kalkulus.Setning (4.1.14)
yn = ρn (E cos(nθ) + F sin(nθ))
der θ er arumentet til r1 og
ρ = |r1| =√
1 + h2 > 1
Løsning vokser over alle grenser nar n → ∞
Forelesning uke 42, 2007 Numerisk løsning av differensiallikninger Eulers metode,Eulers midtpunktmeto