Numerische Verfahren fu¨r gew¨ohnliche Differentialgleichungen€¦ · Lehrstuhl fu¨r...
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Prof. Dr. Barbara Wohlmuth
Lehrstuhl fur Numerische Mathematik
Numerische Verfahren fur gewohnliche Differentialgleichungen
1. Einschrittverfahren I: Einfache Verfahren
2. Konvergenzordnung
3. Einschrittverfahren II: Runge–Kutta Verfahren
4. Stabilitat
5. Schrittweitensteuerung
6. Steife DGL
Kapitel IV (general01) 1
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Literaturliste
• P.Deuflhard, F.Bornemann: Numerische Mathematik II, De Gruyter, 1994.
• E.Hairer, S.Nørsett, G.Wanner: Solving Ordinary Differential Equations I,
Springer 1993.
• E.Hairer, G.Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Springer 1996.
• A.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri Numerical Mathematics, Springer 2000.
• H.Schwetlick, H.Kretzschmar: Numerische Verfahren fur Naturwissenschaftler
und Ingenieure, Fachbuchverlag Leipzig 1991.
• J.Stoer, R.Bulirsch: Numerische Mathematik II, Springer 1990.
Kapitel IV (general02) 2
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Mathematisches Pendel
mlφ = −mg sin(φ)φ(0) = α
φ(0) = 0
Umschreiben in System: w1 = φ, w2 = φ(
w1
w2
)
=
(
w2
−gl sin(w1)
)
,
(
w1
w2
)
(0) =
(
α0
)
Fur kleine Auslenkungen α: Periodendauer T = 2π√
lg
0 1 2 3 4 5−1
−0.5
0
0.5
1
Zeit
Aus
lenk
ung
φ
alpha = pi/1002 pi sqrt(l/g)
Kapitel IV (general03) 3
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Periodendauer fur verschiedene Anfangswinkel α
0 1 2 3 4 5−1
−0.5
0
0.5
1
Zeit
Aus
lenk
ung
φ
alpha = pi/100alpha = pi/20alpha = pi/4alpha = pi/2
=⇒ Periodendauer nimmt mit wachsendem α monoton zu.
Kapitel IV (general04) 4
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Ein Rauber-Beute-Modell
Lotka-Volterra-Gleichungen:
b = λbb(1− r/re)r = λrr(b/be − 1)
λb, λr: Wachstumsraten(be, re): Gleichgewichtspunkt
b0 = 10, r0 = 5,zeitlicher Verlauf
0 5 10 15 200
10
20
30
40
Zeit
BeuteRäuber
be = 15, re = 10,unterschiedliche Anfangswerte
0 20 40 600
10
20
30
Beute
Räu
ber
Kapitel IV (general16) 5
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Dreikorperproblem
Aufgabe: Beschreibe die Bewegung eines Satelliten um das System Erde/Mond.
Die Differenzialgleichungen in den Koordinaten (x, y) des mitrotierenden
Schwerpunktsystems lauten:
x′′
= x + 2y′
− µx + µ
N1
− µx − µ
N2
,
y′′ = y − 2x′
− µy
N1
− µy
N2
,
wobei
N1 =(
(x + µ)2 + y2)3/2
, N2 =(
(x − µ)2 + y2)3/2
,
und µ = 0.012277471, µ = 1 − µ, µ das Verhaltnis der Mondmasse zur Masse des
Gesamtsystems. Mit verschiedenen Anfangswerten ergeben sich damit verschiedene Orbits.
Kapitel IV (general17) 6
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Dreikorperproblem - periodische Orbits
3 - Blattrig
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5Eingebettetes Runge−Kutta Verfahren RK4(3)
TOL = 1e−04, Schritte = 3113
µ = 0.012277471,
x(0) = 0.994
x′(0) = 0,
y(0) = 0,
y′(0) = −2.03173262955...
T = 11.12434033726...
Schleife
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1−1
−0.5
0
0.5
1Eingebettetes Runge−Kutta Verfahren RK4(3)
TOL = 1e−04, Schritte = 3405
µ = 0.0121486,
x(0) = 0.994
x′(0) = 0,
y(0) = 0,
y′(0) = −2.1245,
T = 5.44
Knauel
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5−1
−0.5
0
0.5
1Eingebettetes Runge−Kutta Verfahren RK4(3)
TOL = 1e−04, Schritte = 9193
µ = 0.0121486,
x(0) = 1.15
x′(0) = 0,
y(0) = 0,
y′(0) = 0.00761,
T = 29.5
Die Software ist unter http://m2matlabdb.ma.tum.de/download.jsp?MC ID=2&MP ID=550 abgelegt.
Kapitel IV (general18) 7
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Korrekt gestellte Probleme
J. Hadamard (1865 -1963)
1. Existenz einer Losung
2. Eindeutigkeit der Losung
3. stetige Abhangigkeit der Losung vonden Problemdaten
Kapitel IV (general05) 8
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Satz von Peano
Giuseppe Peano(1858-1932)
Sei f stetig und beschrankt auf
Qab :={
(t, y) ∈ Rn+1 : |t− t0| ≤ a; ‖y − y0‖ ≤ b
}
mit ‖f(t, y)‖ ≤ M und α := min(a, bM ).
Dann besitzt das Anfangswertproblem
y′ = f(t, y), y(t0) = y0
eine stetig differenzierbare Losungy ∈ C1([t0 − α, t0 + α]).Beweis: s. Harro Heuser - Gewohnliche Differential-gleichungen, 5. Auflage, Kapitel III
Kapitel IV (general06) 9
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Satz von Picard-Lindelof
C. E. Picard(1856-1941)
E. Lindelof(1870-1946)
Zusatzlich zu den Voraussetzungen des Satzesvon Peano sei f in einer kleinen Umgebungvon t0 Lipschitz–stetig bezuglich des zweitenArguments mit der Lipschitz–Konstanten L:
‖f(t, y)− f(t, z)‖ ≤ L‖y − z‖.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Losungy ∈ C1([t0 − α, t0 + α]).Beweis: s. Heuser - Gewohnliche Differential-gleichungen, 5. Auflage, Kapitel III
Kapitel IV (general07) 10
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Numerische Verfahren nach Euler
Leonhard Euler (1707-1783)
1. Explizites Euler-Verfahren
yi+1 = yi + hif(ti, yi)
2. Implizites Euler-Verfahren
yi+1 = yi + hif(ti+1, yi+1)
3. Modifiziertes Euler-Verfahren
yi+1 = yi+hif
(
ti +hi
2, yi +
hi
2f(ti, yi)
)
Kapitel IV (general08) 11
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Runge–Kutta-Verfahren
Carle Runge (1856-1927)ab 1904 Professor in Gottingen
erstes mehrstufiges Verfahren (1895)
M. Kutta (1867-1944),ab 1912 Professor in Stuttgart
Verallgemeinerung auf s-stufigeexplizite Verfahren (1901)
Kapitel IV (general09) 12
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Explizites Eulerverfahren (Polygonzugverfahren)
y′ = y, y(0) = 1, yi+1 = yi + hyi
0 0.5 11
2
3h = 1.000
LsgEuler
0 0.5 11
2
3h = 0.500
LsgEuler
0 0.5 11
2
3h = 0.250
LsgEuler
0 0.5 11
2
3h = 0.125
LsgEuler
Kapitel IV (esv01) 13
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Modifiziertes Eulerverfahren
y′ = y, y(0) = 1, yi+1 = yi + h(yi +h2yi)
0 0.5 11
2
3h = 1.000
Lsgmod. Euler
0 0.5 11
2
3h = 0.500
Lsgmod. Euler
0 0.5 11
2
3h = 0.250
Lsgmod. Euler
0 0.5 11
2
3h = 0.125
Lsgmod. Euler
Kapitel IV (esv02) 14
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Verfahren von Heun
y′ = y, y(0) = 1, yi+1 = yi +h2(yi + hyi)
0 0.5 11
2
3h = 1.000
LsgHeun
0 0.5 11
2
3h = 0.500
LsgHeun
0 0.5 11
2
3h = 0.250
LsgHeun
0 0.5 11
2
3h = 0.125
LsgHeun
Kapitel IV (esv03) 15
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Implizites Eulerverfahren
y′ = y, y(0) = 1, yi+1 = yi + hyi+1
0 0.5 11
2
3h = 1.000
Lsgimp. Euler
0 0.5 11
2
3h = 0.500
Lsgimp. Euler
0 0.5 11
2
3h = 0.250
Lsgimp. Euler
0 0.5 11
2
3h = 0.125
Lsgimp. Euler
Vorsicht: Fur h = 1.0 funktioniert das Verfahren wegen yi+1 =yi
1−h nicht.
Kapitel IV (esv04) 16
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Einschrittverfahren: Vergleich: y′ = 2ty, y(0) = 1
0 0.5 11
2
3
h = 1.000
Lsgexp. Eulermod. EulerHeun
0 0.5 11
2
3
h = 0.500
Lsgexp. Eulermod. EulerHeun
0 0.5 11
2
3
h = 0.250
Lsgexp. Eulermod. EulerHeun
0 0.5 11
2
3
h = 0.125
Lsgexp. Eulermod. EulerHeun
Beobachtung: mod. Euler und Heun qualitativ besser
Kapitel IV (esv05) 17
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Einschrittverfahren, Ubersicht
Anfangswertproblem: Finde eine reellwertige Funktion y ∈ C1(I), so dass
{
y′(t) = f(t, y(t)) t ∈ Iy(t0) = y0
Name Typ p Diskretisierung
Forward Euler Explizit 1 yi+1 = yi + hfi
modif. Euler Explizit 2 yi+1 = yi + hf(ti+1/2, yi +h2fi)
Heun Explizit 2 yi+1 = yi +h2 [fi + f(ti+1, yi + hfi)]
Backward Euler Implizit 1 yi+1 = yi + hfi+1
Crank-Nicolson Implizit 2 yi+1 = yi +h2 [fi + fi+1]
modif. Euler impl. Implizit 2 yi+1 = yi + hf(ti+1/2,12(yi + yi+1))
Kapitel IV (esv06) 18