Numerik Hauptsache, man hat Zahlen 'raus Was man exakt nicht schafft, das macht man mit Numerik...
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NumerikHauptsache, man hat Zahlen 'raus Was man exakt nicht schafft, das
macht man mit Numerik Fallen und Fußangeln in der Numerik
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
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Numerik• Numerik bewältigt vieles in den Anwendungen
• Fallen und Fußangeln in der Numerik
•Was man exakt nicht schafft, das macht man mit Numerik
• Hauptsache, man hat wenigstens Zahlen 'raus
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
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Numerik
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2013 http://www.leuphana.de/matheomnibus
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Lagrange-Interpolation
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p(x) = c0 la0(x) + c1 la1(x) + c2 la2(x) + c3 la3(x)
Phänomen verstehen
Erklärung verstehen
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Lagrange-Interpolation
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p(x) = c0 la0(x) + c1 la1(x) + c2 la2(x) + c3 la3(x)
( )( )( )x a x b x d
hier fehlt (x-c) !
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Lagrange-Interpolation
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p(x) = c0 la0(x) + c1 la1(x) + c2 la2(x) + c3 la3(x)
( )( )( )x a x b x d
hier fehlt (x-c) !
( )
2( )
y C
la c
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Lagrange-Interpolation
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la(x) = y(A) / ((x(A) - x(B)) (x(A) - x(C)) (x(A) - x(D))) (x - x(B)) (x - x(C)) (x - x(D)) + y(B) / ((x(B) - x(A)) (x(B) - x(C)) (x(B) - x(D))) (x - x(A)) (x - x(C)) (x - x(D)) + y(C) / ((x(C) - x(A)) (x(C) - x(B)) (x(C) - x(D))) (x - x(A)) (x - x(B)) (x - x(D)) + y(D) / ((x(D) - x(A)) (x(D) - x(B)) (x(D) - x(C))) (x - x(A)) (x - x(B)) (x - x(C))
p(x) = c0 la0(x) + c1 la1(x) + c2 la2(x) + c3 la3(x)
( )
2( )
y C
la c ( )( )( )x a x b x d
Jeder Punkt
erzeugt einen
Baustein.
hier fehlt (x-c) !
Lagrange-Algorithmus in einem Schritt aufgeschrieben.
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Wirtschaftsfunktionenmit Lagrange-Interpolation
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BM = BetriebsminimumBO = BetriebsoptimumkPug= kurzfristige PreisuntergrenzelPug= langfristige Preisuntergrenze
Kosten
Stückkosten
variable Stückkosten
Grenzkosten
DModellieredieKostenfunktionpassend.
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Wirtschaftsfunktionenmit Lagrange-Interpolation
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D
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Numerik beim Bauen
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Splines = Straklatten
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Splines im Schiffbau
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Halber Querschnitt
In gekippter Lage
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Kubische Splines
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• Vier „Nägel“ markieren die Form.• Von einem zum nächsten legt man ein Polynom 3. Grades (daher „kubisch“).• Man sorgt für gute Übergänge• und fügt alle passend zusammen.
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Splines als Formkonzept
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Bézier-Splines
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Bézier-Splines
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Bézier-SplinesSie sind aus Bernstein-Polynomen aufgebaut.
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Bézier-SplinesSie sind aus Bernstein-Polynomen aufgebaut.
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Bézier-Splines
De Casteljau entwickelte entsprechendes für Citroen, durfte es aber nicht veröffentlichen.
Von Pierre Étienne Bézier um 1960 für Renault entwickelt.
Bézier gilt als Begründer von CAD und CAM.
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CAD Computer Aided Design
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CAD Computer Aided Design
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Fallen und Fußangeln in der Numerik
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Mit welcher Maschinengenauigkeit arbeitet Ihr Taschenrechner?10
10
1111
1212
1313
1414
1 10 , 1 ......
1 10 , 1 ......
1 10 , 1 ......
1 10 , 1 ......
1 10 , 1 ......
erg erg e
erg erg e
erg erg e
erg erg e
erg erg e
=0 ?
Die Maschinengenauigkeit MG ist die kleinste Zahl, deren Addition zu 1 von der Maschine noch gemerkt wird.
Ist e12 ungleich 0 aber e13 =0, dann ist MG=10-12
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Grundlagen der Numerik mit Computer
5
100 2
141,421
0,00141421 10
exakt
3 Nachkommastellen, 6 tragende Ziffern
8 Nachkommastellen, 6 tragende Ziffern
Mantisse
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Exponent
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Grundlagen der Numerik mit Computer
11 Bit für den Exponenten
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Gleitpunktzahl = floatingpoint number
Vor-zeichen-bit
52 Bit für die Mantisse
64 Bit für eine Kommazahl das sind 8 Byte
Das sind dann etwa 16 dezimale Stellen für die Mantisse
Die Zehnerpotenzen laufen etwa von +300 bis -300
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Grundlagen der Numerik mit Computer
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Gleitpunktzahl = floatingpoint number
Das sind dann etwa 16 dezimale Stellen für die Mantisse
Die Zehnerpotenzen laufen etwa von +300 bis -300
Die Abstände zwischen den darstellbaren Zahlenwerden immer größer.
Unterscheiden sich zwei große Zahlen erst nach mehr als 16 Stellenkann ihre Differenz nicht ordentlichberechnet werden.
Differenz-katastrophe
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Weitere Pannen
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Klar, das ist beide Male eine GeradeExcel
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Weitere Pannen
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nicht gelungenExcel
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Fallen und Fußangeln in der Numerik
Beispiel für Rechenfehler (Kulisch, Miranker[270])
x = 192119201 y = 35675640
z = (1682*x*y4 + 3*x3 + 29*x*y2 - 2*x5 + 832) / 107751
Wir wenden zur Lösung 3 Systeme an:
Berechnung mit MathematicaBerechnung mit Taschenrechner
Berechnung mit Programmiersprache C
http://www.logic.at/people/schuster/c01_0000.htm
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NumerikProgramm Eingabe
Precision
Resultat Ergebnis
Mathematica infinity 1783 richtig
36 Stellen 117 1783 richtig
35 Stellen 113 0. falsch
17 Stellen 57 0.E+13 falsch
16 StellenMaschinengenauig
keit 53
7.180560037061026E+20
falsch
Taschenrechner
7.72150606491E-03 falsch
Turbo C Single precision 24 1.01146705423582961E
+29 falsch
Double precision 53 7.72150606490891022E
-03 falsch
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Fallen und Fußangeln in der Numerik
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Das war eine Differenzkatastrophe
für x = 192119201 y = 35675640
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Fallen und Fußangeln in der Numerik
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Bei der Berechnung von Konfidenzintervallen kann es
von Hand durch Runden leicht zur Differenzkatasprophe
Kommen. Diese Berechnung ist „schlecht konditioniert“.
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Numerische Verfahren
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Was man exakt nicht schafft, das macht man mit Numerik,
Hauptsache, man hat wenigstens Zahlen 'raus.
• Rekursive, b.z.w. iterative Konzepte• Heronverfahren für Wurzeln
• Nullstellenverfahren ( Mitten~, Sekanten~ , Newton~)
• Modellierung von Prozessen (logistisch...)
• Numerische Lösung von Differentialgleichungen
Weitere Konzepte:Numerische Integration, Taylorreihen, Fourierreihen, Klangverarbeitung, ...Finite-Element-methode, Simulationen,....
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Die Klothoide, nur numerisch zu bewältigen
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