Numeričke Metode Za Rešavanje Nelinearnih Jednačina

7/24/2019 Numerike Metode Za Reavanje Nelinearnih Jednaina

1/11

1

METODA SEICE I REGULA FALSI

Zadatak: Nai nulu funkcije f na intervalu

(a,b), odnosno nai x za koje je f(x)=0.

Reenje: Prvo, traimo interval (a,b) na kome je funkcija neprekidna, monotona i vai: f(a)f(b)


2/11

2

Zadatak

br1.

Metodom REGULA FALSI odrediti sa tanou sva reenja jednaine:51

102

22( 1) 0xe x =

Reenje:

2( ) 2( 1) 0

'( ) 4( 1)

''( ) 4

x

x

x

f x e x

f x e x

f x e

= =

=

=

''( ) 0 4 0 ln 4( , ln 4) '' 0 ' ( , ln 4)

(ln 4, ) '' 0 ' (ln 4, )

( ) 0 ( , ) !( ) 0

x

f x e xx f f opada za x

x f f raste za x

f i f raste na nulaf

= = =

<

>

< + + >

Dakle, uslovi su ispunjeni (nula funkcije postoji), ostalo je jo

da lociramo gde se ta nula nalazi.

Jedan nain za reavanje je da nacrtamo grafike funkcija

i

da odredimo presenu taku.

Sa grafika vidimo da presek postoji i da je negde izmeu (0, 0.5). Ovaj interval uzimamo za poetni interval (a,b)

Biramo take

2, 2( 1)xe x

xe

22( 1)x

y

1

1

2

0

0.3

0.2

Fx

x

=

=

1[0,0.5]

1[0,0.5]

max '( ) '(0) 5

min '( ) '(0.5) 3.65

M f x f

m f x f

= = =

= = =

Kriterijum zaustavljanja je

5 51 3.65 1 10 1.4 *10

5 3.65 2n nx x

Analiziramo funkciju f(x). Zanima nas da li je funkcija monotona, da li raste/opada,da li je konveksna/konkavna..

prevojna taka.

funkcija je neprekidna,

opada

do x=ln4 i raste

od

x=ln4, a kako

je

f(ln4)=8(1-ln2)>0

zakljuujemo da je f>0 za

svako

x


3/11

3

Radi bolje preglednosti, raun predstavljamo tablino:

Dakle, u etvrtoj iteraciji dobili smo nulu funkcije fx*=0.2133

Raunali smo na 6 decimala, kriteriju zaustavljanja je ispunjen

br

iteracije x f(x)

XF 0.3 0.369859

0 0.2 -0.058597

1 0.213676 0.001612

2 0.212993 -0.001386

3 0.213317 0.000038

4 0.213308 -0.000001

4 3| | 0.000009x x =

Zadatak br2. Metodom SEICE sa tanou nai sva pozitivna reenja jednaine510

2sin 1x x=

Pokuaemo da lociramo tano reenje. Pokuaemo grafiki da pronaemo nulu ove funkcije!

Nula pripada intervalu (0,3.14). Funkcija

je

neprekidna

na

R.

f(x)=cosx-2x f(x)=-sinx-2


4/11

4

br

iteracije x f(x)

0 1.0000000 0.8414710

1 1.5000000 -0.2525050

2 1.3845930 0.0656165

3 1.4083971 0.0032598

4 1.4096415 -0.0000465

5 1.4096240 0.0000000

6 1.4096240 0.0000000 Dakle, nula funkcije je x*=1.40962


5/11

5

NJUTNOVA METODA (METODA TANGENTE)

Ova metoda je najpoznatija.

Bre konvergira od prehodne ali ima vie uslova.

Zadatak: Nai nulu funkcije f na intervalu (a,b), odnosno nai x za koje je f(x)=0.

Dovoljni uslovi konvergencije:1.

Nai interval (a,b) takav da je f(a)f(b)

Koristei gore navadenu formulu dobijamo niz taaka koji konvergira ka reenju x*, f(x*)=0.1 2, , ..., , ...kx x x

OCENA GREKE

KRITERIJUM ZAUSTAVLJANJA

11

1

*2

n n n

Mx x x x

m

1

[ , ]

1[ , ]

max '( )

min '( )

a b

a b

M f x

m f x

=

=

11

1

2n n mx x rM

=


6/11

6

Zadatak br3. Njutnovom metodom, sa tanou nai sva reenja jednaine:510 3

3

4 0

( ) 4

x x

x x

e e

f x e e

+ =

= +

Reenje: Ove funkcije moemo i da nacrtamo grafiki i da lociramo nulu funkcije.

3

Sa grafka vidimo da ova funkcija ima 2 reenja.

Mi emo traiti pozitivno reenje (analgono se trai negativno reenje).

(0) 2 0

(1) 0

(2) 0

f

f

f

= = >

= >

Zadatak reavamo tablino:

1[3,4.7]

1[3,4.7]

max '( ) | '(4.7) | 6514.55

min '( ) | '(3) | 0.02032

M f x f

m f x f

= = =

= = =

51

2*0.02032*0.00012.5*10

6514.55n nx x

=

br

iteracije X (Njutn)X (metoda

secice)F(x)

(Njutn)F(x)

(Secica) F'(x)

0 4.5000000 3.0000000 0.1373321 -3.1425465 21.5048486

1 4.4936139 4.4371934 0.0041319 -0.8956127 20.2297171

2 4.4934097 4.4933548 0.0000040 -0.0011032 20.1907661

3 4.4934095 4.4934095 0.0000000 0.0000000 20.1907286

4 4.4934095 4.4934095 0.0000000 0.0000000 20.1907286

Dakle, nula funkcije je x*=4.49341


9/11

9

METODA ITERACIJE I NJENA MODIFIKACIJA

Reavamo zadatak f(x)=0, odnosno traimo nulu funkcije f

Metodom iteracije se poetni zadatak prevodi u sledei problem:

1.

Nai interval [a,b]

unutar kojeg se nalazi reenje

2.

mora biti kontrakcija, odnosno

3.

(ne proveravamo)

( )x x=

( )x '( ) 1x q

Numeričke Metode Za Rešavanje Nelinearnih Jednačina

Documents

Transcript of Numeričke Metode Za Rešavanje Nelinearnih Jednačina