NPC April Fool's Contest 2014 累乗数 Kinokkory@shiatsumat

問題文概要

https://judge.npca.jp/problems/view/181/

• NCK が累乗数となる K を列挙せよ

• 1≦N≦1,000,000,000

• 「Perfect Power」って超カッコいい

埋め込み

• NO！

正攻法 その1

• とりあえず NC1 だけチェックしてみる

• N を素因数分解して各素因数の個数の 最大公約数を取って 2 以上だったら OK

正攻法 その2

• そもそも NCK を計算するのがだるい

• 真面目に掛け算するのは多倍長が必要だけど 素因数分解してから各素因数について個数を 足し合わせれば簡単

正攻法 その3

• どれだけ累乗数判定を頑張っても 各 K についてきちんと判定していたら O(N)

• どうしよう……もう無理……

正攻法 その4

• これ Proofs from THE BOOK でやったやつだ!

• 無料で読めます http://www.math.boun.edu.tr/instructors/ozturk/proofs.pdf

Binomial coefficients are (almost) never powers

• Theorem. The equation 𝑛𝑘= 𝑚𝑙 has no

integer solutions with 𝑙 ≥ 2 and 4 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 4.

二項係数が累乗数になることは (ほとんど)ない

• 定理. 方程式 𝑛𝑘= 𝑚𝑙 は 𝑙 ≥ 2 かつ 4 ≤ 𝑘 ≤

𝑛 − 4 の範囲で整数解を持たない．

証明

• 非常に面白いのですがかなり長いので ぜひ Proofs from THE BOOK を読んで下さい

• マジで面白いです

Matt Schmidt

• シュミッツマット君は 完全無欠たる力を手に入れるために 数学の修行を始めたのであった―――