Noviji rezultati o familijama simetricnih dizajnavmikulic/seminar/3_12_2011Mavrovic.pdf · Uvod...

Uvod Simetricni dizajni Hadamardove matrice BGW matrice Ionin-ova metoda Dekompozicije

Noviji rezultati o familijama simetricnihdizajna

Nina Mavrovic

Odjel za matematikuSveucilište u Rijeci

3.12.2010.

Literatura

Mohan S. SHRIKHANDE and Tariq A. ALRAQAD:

Recent results on families of symmetric designs andnon-embeddable quasi-residual designs

Sadržaj

1 Uvod

2 Simetricni dizajni

3 Hadamardove matrice

4 BGW matrice

5 Ionin-ova metoda

6 Dekompozicije

Problem konstrukcije beskonacnih familija simetricnihdizajna:

prve dobivene iz konacnih projektivnih geometrija,Hadamardovih matrica i diferencijskih skupova

1999. su T.Beth, D. Jungnickel i H.Lenz u djelu "DesignTheory" iskombinirali parametre svih tada poznatihsimetricnih dizajna u 18 beskonacnih familija, 3 mogucebeskonacne familije i nekoliko sporadicnih dizajna

Simetricni dizajni

Definicija 1.12− (v , k , λ) dizajn je uredeni par D= (X ,B), gdje je X skupod v tocaka, a B kolekcija blokova, tj. k -clanih podskupovaod X , pri cemu je svaki par tocaka sadržan u tocno λblokova

drugi naziv: (v ,b, r , k , λ) dizajnb = vr

k - broj blokovar = λ(v−1)

k−1 - svaka tocka sadržana u tocno r blokova

Simetricni dizajni

Definicija 1.12− (v , k , λ) dizajn je uredeni par D= (X ,B), gdje je X skupod v tocaka, a B kolekcija blokova, tj. k -clanih podskupovaod X , pri cemu je svaki par tocaka sadržan u tocno λblokova

drugi naziv: (v ,b, r , k , λ) dizajnb = vr

k - broj blokovar = λ(v−1)

k−1 - svaka tocka sadržana u tocno r blokova

Simetricni dizajni

Definicija 1.2Neka je X = {x1, ..., xv} i B = {B1, ...,Bb}. Matrica incidencije

od D je v × b matrica A = [aij ], gdje je aij =

{1, xi ∈ Bj ,

0, xi /∈ Bj .

Vrijedi:Matrica A velicine v × b s elementima iz {0,1} je matricaincidencije (v ,b, r , k , λ) dizajna akko

1 Jv A = kJv×b ,

2 AAT = (r − λ)Iv + λJv .

Simetricni dizajni

Definicija 1.2Neka je X = {x1, ..., xv} i B = {B1, ...,Bb}. Matrica incidencije

od D je v × b matrica A = [aij ], gdje je aij =

{1, xi ∈ Bj ,

0, xi /∈ Bj .

Vrijedi:Matrica A velicine v × b s elementima iz {0,1} je matricaincidencije (v ,b, r , k , λ) dizajna akko

1 Jv A = kJv×b ,

2 AAT = (r − λ)Iv + λJv .

Simetricni dizajni

Definicija 1.3Simetricni (v , k , λ)-dizajn je (v ,b, r , k , λ) dizajn za kojega jev = b (što je ekvivalentno sa r = k ).

to je (v , v , k , k , λ) dizajn

kod njega se svaka 2 razlicita bloka sijeku u λ tocaka

Simetricni dizajni

Primjer - Fanova ravninaX = {1,2,3,4,5,6,7}B = {{1,2,3}, {2,4,6}, {3,4,7}, {4,5,1}, {5,6,3}, {6,7,1},{7,2,5}}

⇒ D=(X ,B) je simetricni (7,3,1) dizajn

Bruck-Ryser-Chowla (B-R-C) teorem

Teorem 1.4Neka su v , k , λ cijeli brojevi takvi da je λ(v − 1) = k(k − 1), zakoje postoji simetricni (v , k , λ) dizajn. Tada ako je:

1 v paran⇒ k − λ kvadrat;

2 v neparan⇒ jednadžba z2 = (k − λ)x2 + (−1)v−1

2 λy2

ima za rješenje x , y , z ∈ Z koji nisu svi jednaki 0.

nisu dovoljni uvjeti za postojanje sim. dizajna

neriješeni skup parametara sa najmanjim brojem tocaka je(81,16,3)

2 λy2

Hadamardove matrice

Definicija 2.1Hadamardova matrica je matrica H reda n sa elementima iz{1,−1} za koju je HHT = nI.

Primjer

[1 11 −1

−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1

Hadamardove matrice

Definicija 2.1Hadamardova matrica je matrica H reda n sa elementima iz{1,−1} za koju je HHT = nI.

Primjer

[1 11 −1

−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1

Hadamardove matrice

Vrijedi:Ako postoji Hadamardova matrica reda n, tada je:

n = 1 ∨ n = 2 ∨ n ≡ 0(mod4).

Hipoteza o Hadamardovim matricamaAko je n ≡ 0(mod4), tada postoji Hadamardova matrica reda n.

2005. Kharaghani i Tayfeh-Rezaie riješili slucaj za n = 428

prvi neriješeni slucaj sada je n = 668

Hadamardove matrice

n = 1 ∨ n = 2 ∨ n ≡ 0(mod4).

Hadamardove matrice

n = 1 ∨ n = 2 ∨ n ≡ 0(mod4).

Hadamardove matrice

n = 1 ∨ n = 2 ∨ n ≡ 0(mod4).

BGW matrice

BALANSIRANE GENERALIZIRANE TEŽINSKE MATRICE

matrice nad grupama koje poopcavaju i matrice incidencijesimetricnih dizajna i Hadamardove matrice

BGW matrice

Definicija 3.1Neka je G multiplikativna konacna grupa. Matrica W = [ωij ]

reda v s elementima iz G ∪ {0} se naziva balansiranageneralizirana težinska matrica sa parametrima (v , k , λ) nad G( ili BGW (v , k , λ)) ako:

i) svaki red od W sadrži tocno k ne-nul elemenata,

ii) za svaka 2 razlicita i ,h ∈ {1,2, ..., v}, multiskup

{ω−1hj ωij : 1 ≤ j ≤ v , ωij 6= 0, ωhj 6= 0}

sadrži tocno λ/|G| kopija svakog elementa iz G.

BGW matrice

PrimjerNeka je G = 〈σ〉 ciklicka grupa reda 3. Tada je:

0 1 1 1 11 0 1 σ σ2

1 1 0 σ2 σ

1 σ σ2 0 11 σ2 σ 1 0

BGW (5,4,3;G).

Definicija 3.2Neka je W = [ωij ] matrica BGW (v , k , λ;G). W je normaliziranaako je ω1j = ωj1, za j = v − k + 1, v − k + 2, ..., v .

NapomenaAko sve ne-nul elemente matrice BGW (v , k , λ;G) zamijenimosa 1 dobivamo matricu incidencije simetricnog (v , k , λ)-dizajna.

Definicija 3.2Neka je W = [ωij ] matrica BGW (v , k , λ;G). W je normaliziranaako je ω1j = ωj1, za j = v − k + 1, v − k + 2, ..., v .

NapomenaAko sve ne-nul elemente matrice BGW (v , k , λ;G) zamijenimosa 1 dobivamo matricu incidencije simetricnog (v , k , λ)-dizajna.

Generalizirane Hadamardove matrice

NapomenaSvaka Hadamardova matrica reda n ≥ 2 može se promatratikao matrica BGW (n,n,n) nad grupom reda 2.

Definicija 3.3Generalizirana Hadamardova matrica je matricaBGW (w ,w ,w) nad konacnom grupom G. Oznacava se saGH(q, s), gdje je q = |G| i s = w/q.

Generalizirane Hadamardove matrice

NapomenaSvaka Hadamardova matrica reda n ≥ 2 može se promatratikao matrica BGW (n,n,n) nad grupom reda 2.

Definicija 3.3Generalizirana Hadamardova matrica je matricaBGW (w ,w ,w) nad konacnom grupom G. Oznacava se saGH(q, s), gdje je q = |G| i s = w/q.

BGW matrice

Propozicija 3.4Neka je q potencija prostog broja i G multiplikativna grupa poljaGF (q) = {a1, ...,aq}. Neka je matrica W = [ωij ] s elementimaiz G ∪ {0} reda q + 1 definirana sa:

ωij =

ai−1 − aj−1, za i 6= 1 i j 6= 1

0, za i = j = 11, inace.

Tada je W normalizirana BGW (q + 1,q,q − 1;G)

Klasicni parametri

neka je q potencija prostog broja, a m ≥ 2 cijeli broj

važan niz BGW matrica ima parametre:

BGW (qm+1 − 1

q − 1,qm,qm − qm−1)

Teorem 3.5Neka su G i S konacne grupe, te |S| = q ≥ 2. Ako postojiBGW (q + 1,q,q − 1;G) i GH(S;1), tada za bilo koji pozitivnicijeli broj m postoji BGW (v , k , λ;G), gdje je v = qm+1−1

q−1 , k = qm

i λ = qm − qm−1.

Klasicni parametri

neka je q potencija prostog broja, a m ≥ 2 cijeli broj

važan niz BGW matrica ima parametre:

BGW (qm+1 − 1

q − 1,qm,qm − qm−1)

Teorem 3.5Neka su G i S konacne grupe, te |S| = q ≥ 2. Ako postojiBGW (q + 1,q,q − 1;G) i GH(S;1), tada za bilo koji pozitivnicijeli broj m postoji BGW (v , k , λ;G), gdje je v = qm+1−1

q−1 , k = qm

i λ = qm − qm−1.

Ionin-ova metoda

Yuri Ionin sistematicno istražio simetricne dizajnekorištenjem BGW matrica

opisat cemo njegovu glavnu konstrukcijsku metodu koju jerazvio u nizu radova od 1997-2001 te zatim primijenio zapronalazak novih beskonacnih familija sim. dizajna

Ionin-ova metoda

Yuri Ionin sistematicno istražio simetricne dizajnekorištenjem BGW matrica

opisat cemo njegovu glavnu konstrukcijsku metodu koju jerazvio u nizu radova od 1997-2001 te zatim primijenio zapronalazak novih beskonacnih familija sim. dizajna

Ionin-ova metoda

Oznaka W ⊗MNeka je :

M skup m × n matrica,

G grupa preslikavanjaM→M,

W BGW (w , l , µ) nad G.

Tada za M ∈M sa W ⊗M oznacavamo matricu koja se dobijeiz W zamjenom svakog ne-nul elementa σ sa m × n matricomσM i svakog nul elementa sa m × n nul-matricom.

Ionin-ova metoda

Teorem 4.1Neka su v > k > λ ≥ 0 cijeli brojevi,M neprazan skup matrica,G konacna grupa preslikavanjaM→M, te W matricaBGW (w , l , µ;G). Ako vrijede uvjeti:

i) ∀ X ∈M je matrica incidencije sim. (v , k , λ)-dizajna;

ii) ∀X ,Y ∈M, σ ∈ G⇒ (σX )(σY )T = XY T ;

iii) ∀X ∈M⇒∑

σ∈G σX = λl|G|kµ J,

tada je za svaki X ∈M, W ⊗ X matrica incidencije simetricnog(vw , kl , λl)-dizajna.

Ionin-ova metoda

Teorem 4.1Neka su v > k > λ ≥ 0 cijeli brojevi,M neprazan skup matrica,G konacna grupa preslikavanjaM→M, te W matricaBGW (w , l , µ;G). Ako vrijede uvjeti:

i) ∀ X ∈M je matrica incidencije sim. (v , k , λ)-dizajna;

iii) ∀X ∈M⇒∑

σ∈G σX = λl|G|kµ J,

tada je za svaki X ∈M, W ⊗ X matrica incidencije simetricnog(vw , kl , λl)-dizajna.

Ionin-ova metoda

Lema 4.2Neka su v > k > λ ≥ 0 cijeli brojevi,M neprazan skup matricareda v i G konacna grupa bijekcijaM→M, pri cemu vrijedi:

i) M sadrži matricu incidencije M sim. (v , k , λ)-dizajna;

iii)∑

σ∈G σM = k |G|v J;

iv) q = k2/(k − λ) je potencija prostog broja;

v) G je ciklicka i |G| dijeli q − 1.

Tada za svaki poz. cijeli broj m postoji simetricni(vw , kqm, λqm)-dizajn, gdje je w = (qm+1 − 1)/(q − 1).

Ionin-ova metoda

Lema 4.2Neka su v > k > λ ≥ 0 cijeli brojevi,M neprazan skup matricareda v i G konacna grupa bijekcijaM→M, pri cemu vrijedi:

i) M sadrži matricu incidencije M sim. (v , k , λ)-dizajna;

iii)∑

σ∈G σM = k |G|v J;

iv) q = k2/(k − λ) je potencija prostog broja;

v) G je ciklicka i |G| dijeli q − 1.

Tada za svaki poz. cijeli broj m postoji simetricni(vw , kqm, λqm)-dizajn, gdje je w = (qm+1 − 1)/(q − 1).

Grupa simetrija

Definicija 4.3Neka jeM skup matrica velicine v × b s elementima iz {0,1},koje imaju konstantnu i jednaku sumu retka r . Neka je Skonacna grupa bijekcijaM→M. Kažemo da je S grupasimetrija naM ako :

i) (σX )(σY )T = XY T , ∀ X ,Y ∈M,∀ σ ∈ S;

ii) (∃a ∈ Z)∑

σ∈S σX = aJ, ∀ X ∈M.

Grupa simetrija

PrimjerNeka jeM skup matrica velicine v × b s elementima iz {0,1},koje imaju konstantnu i jednaku sumu retka r .

Za X ∈M neka ρX oznacava matricu dobivenu iz X ciklickompermutacijom (12...b) stupaca od X .

Tada je ciklicka grupa S generirana sa ρ grupa simetrija naM

Ionin-ova metoda

Teorem 4.4Neka jeM skup v × b matrica incidencije (v ,b, r , k , λ)-dizajna,

S konacna grupa simetrija naM i W matrica BGW (w , l , µ) nad

S, gdje je krµ = vλl . Tada za svaki X ∈M⇒W ⊗ X je

matrica incidencije (vw ,bw , rl , kl , λl) dizajna.

Dekompozicije simetricnih dizajna

Globalna dekompozicijaMatrica incidencije sim. dizajna dobiva se kao blok matrica ukojoj je svaki blok:

nul-matrica ili matrica incidencije manjeg sim. dizajna.

Lokalna dekompozicijaMatrica incidencije rezidualnog/izvedenog dizajna sim. dizajnadobiva se kao blok matrica u kojoj je svaki blok:

nul-matrica ili matrica incidencije manjegrezidualnog/izvedenog dizajna.

Dekompozicije simetricnih dizajna

Globalna dekompozicijaMatrica incidencije sim. dizajna dobiva se kao blok matrica ukojoj je svaki blok:

nul-matrica ili matrica incidencije manjeg sim. dizajna.

Lokalna dekompozicijaMatrica incidencije rezidualnog/izvedenog dizajna sim. dizajnadobiva se kao blok matrica u kojoj je svaki blok:

nul-matrica ili matrica incidencije manjegrezidualnog/izvedenog dizajna.

Globalna dekompozicija

Definicija 5.1.Neka je 1 < v1 < v . 2− (v1, k1, λ1) dizajn D1 = (X1,B1) je pravipoddizajn od 2− (v , k , λ) dizajna D = (X ,B) akko:

i) X1 ⊂ X ,

ii) B1 ⊆ B,

iii) |B ∩ X1| = k1, ∀ B ∈ B1,

iv) svake 2 razlicite tocke x , y ∈ X1 nalaze se u tocno λ1

blokova iz B1.

Definicija 5.2.Familija pravih simetricnih poddizajna Di (i = 1,2, ..., s)simetricnog dizajna D se naziva globalna dekompozicija od Dako skupovi incidentnih parova (flagova) dizajna Di cineparticiju skupa incidentnih parova od D.

⇒ Sim. dizajn se može globalno dekomponirati ako se njegovamatrica incidencije može razdvojiti u nepreklapajuce matricekoje su ili nul-matrice ili matrice incidencije manjih sim. dizajna

Definicija 5.2.Familija pravih simetricnih poddizajna Di (i = 1,2, ..., s)simetricnog dizajna D se naziva globalna dekompozicija od Dako skupovi incidentnih parova (flagova) dizajna Di cineparticiju skupa incidentnih parova od D.

⇒ Sim. dizajn se može globalno dekomponirati ako se njegovamatrica incidencije može razdvojiti u nepreklapajuce matricekoje su ili nul-matrice ili matrice incidencije manjih sim. dizajna

Regularna uniformna globalna dekompozicija

Definicija 5.3.Neka je familija sim. dizajna {Di} globalna dekompozicijasim. dizajna D. Dekompozicija je

a) uniformna ako svi dizajni Di imaju istu velicinu blokova;

b) regularna ako je za ∀ 2 dizajna Di = (Xi ,Bi) i Dj = (Xj ,Bj):Xi = Xj ∨ Xi ∩ Xj = ∅ i Bi = Bj ∨ Bi ∩ Bj = ∅.

⇒ Matrica W ⊗ X dobivena konstrukcijom iz Teorema 4.4. je matricaincidencije simetricnog (vw , kl , λl)-dizajna koja dopušta regularnuuniformnu globalnu dekompoziciju na simetricne (v , k , λ)-dizajne.

Definicija 5.3.Neka je familija sim. dizajna {Di} globalna dekompozicijasim. dizajna D. Dekompozicija je

a) uniformna ako svi dizajni Di imaju istu velicinu blokova;

b) regularna ako je za ∀ 2 dizajna Di = (Xi ,Bi) i Dj = (Xj ,Bj):Xi = Xj ∨ Xi ∩ Xj = ∅ i Bi = Bj ∨ Bi ∩ Bj = ∅.

⇒ Matrica W ⊗ X dobivena konstrukcijom iz Teorema 4.4. je matricaincidencije simetricnog (vw , kl , λl)-dizajna koja dopušta regularnuuniformnu globalnu dekompoziciju na simetricne (v , k , λ)-dizajne.

Teorem 5.4Neka je D simetrican dizajn koji koji dopušta regularnuuniformnu globalnu dekompoziciju na simetricne(v , k , λ)-dizajne. Neka je M matrica incidencije od D, gdje jesvaki blok Mij (i , j = 1, ...,w) od M ili nul-matrica reda v ilimatrica incidencije simetricnog (v , k , λ)-dizajna. Pretpostavimoda postoji linearno nezavisan skupM matrica incidencijesimetricnih (v , k , λ)-dizajna koji sadrži sve ne-nul matrice Mij idopušta strogo tranzitivnu grupu simetrija S.Tada postoji X ∈M i BGW matrica W nad S s parametrima(w , l , µ) takve da je: k2µ = vλl i W ⊗ X = M.

Ionin je dobio sljedece beskonacne familije sim. dizajna kojedopuštaju regularnu uniformnu globalnu dekompoziciju:

( pd+1(q2m−1)q−1 ,q2m−1pd , (q − 1)q2m−2pd−1),

m,d ∈ N, p i q = pd+1−1p−1 prim potencije;

( pd (q2m−1)(p−1)(pd+1) ,p

dq2m−1,pd (pd + 1)(p − 1)q2m−2),

m,d ∈ N, p i q = pd+1 + p − 1 prim potencije;

( 2·3d (q2m−1)3d+1) ,3dq2m−1, 3d (3d+1)q2m−2)

d ∈ N, q = 3d+1+12 prim potencija;

Ionin je dobio sljedece beskonacne familije sim. dizajna kojedopuštaju regularnu uniformnu globalnu dekompoziciju:

( pd+1(q2m−1)q−1 ,q2m−1pd , (q − 1)q2m−2pd−1),

m,d ∈ N, p i q = pd+1−1p−1 prim potencije;

( pd (q2m−1)(p−1)(pd+1) ,p

dq2m−1,pd (pd + 1)(p − 1)q2m−2),

m,d ∈ N, p i q = pd+1 + p − 1 prim potencije;

( 2·3d (q2m−1)3d+1) ,3dq2m−1, 3d (3d+1)q2m−2)

(3d (q2m−1)2(3d−1) ,3

dq2m−1,2 · 3d(3d − 1)q2m−2),d ∈ N, q = 3d+1 − 2 prim potencija;

(22d+3(q2m−1)q+1 ,22d+1q2m−1,22d−1(q + 1)q2m−2),

(22d+3(q2m−1)3(q−1) ,22d+1q2m−1,3 · 22d−1(q − 1)q2m−2),

d ∈ N, q = 22d+3 − 3 prim potencija;

Noviji rezultati o familijama simetricnih dizajnavmikulic/seminar/3_12_2011Mavrovic.pdf · Uvod...

Documents

Transcript of Noviji rezultati o familijama simetricnih dizajnavmikulic/seminar/3_12_2011Mavrovic.pdf · Uvod...