Noviembre 2012 VBV. Un sólido de revolución es un sólido generado mediante la rotación de una...
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SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Noviembre 2012
VBV
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DEFINICIÓN Un sólido de revolución es un sólido
generado mediante la rotación de una región plana alrededor de una recta en el mismo plano.
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EJEMPLOS…
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h
altu
ra
rradio
Superficie lateral
bases
CILINDRO DE REVOLUCIÓN Se obtiene al girar una vuelta completa un
rectángulo alrededor de uno de sus lados.
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r
h
generatriz
Se obtiene al girar una vuelta completa un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
CONO DE REVOLUCIÓN
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R
ESFERA Es el sólido que se obtiene al girar un
semicírculo una vuelta completa alrededor de su diámetro.
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MÉTODOS Para calcular el volumen de este tipo de
sólidos veremos por ahora dos métodos:Método de los DiscosMétodo de las Capas Cilíndricas.
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MÉTODO DE LOS DISCOS Consideremos la región plana limitada
por y = f(x), el eje X y por las rectas x = a y
x =b Supongamos además que para x [a,b]
se cumple: f(x) 0.
8
f(x)
a bx
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Esta región gira alrededor del eje X. f(x)
a bba x
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Notar que en la coordenada x, el área de la región transversal corresponde al área del círculo: [f(x)]2.
Por tanto,
OBS: Radio: f(x)
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EJEMPLOS. Encontrar el volumen, del sólido de
revolución obtenido, por: f(x)= x – x3, 0 x 1, en torno al eje X.
(Resp. 4/15) f(x) =sen x, 0x, en torno a X (resp: 2)
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CASO: ARANDELAS Consideremos la región plana limitada
por y = f(x), y= g(x) y por las rectas x = a y
x =b Supongamos además que para x [a,b]
se cumple: 0 f(x) g(x).
12
f(x)
a bx
g(x)
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Esta región gira alrededor del eje X
13
a bx
g(x)
f(x)
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Notar que en la coordenada x, el área de la región transversal corresponde al
(área del círculo mayor) - (área del círculo menor)
El mayor radio corresponde a R (x) = g(x) y el menor a r (x) = f(X) se sigue:
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EJEMPLOS. Encontrar el volumen, del sólido de
revolución acotado por la región:y=x2+1, y=0, x=0, x =1, en torno al eje X.
(Resp.)y =x ; y=x2 en torno a X (resp: 3/10)
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CASO: ROTACIÓN SOBRE EL EJE Y Es la misma idea! y=f(x) x=g(y)
f(x)
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CASO: ROTACIÓN SOBRE UNA RECTA Supongamos que la región rota sobre
una recta x=L.
x=L
L- f(y)
L- g(y)
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CASO: ROTACIÓN SOBRE UNA RECTA Supongamos que la región rota sobre
una recta x=L.x=L
f(y) - L
g(y) - L
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EJERCICIOS PROPUESTOS. Encontrar el volumen, del sólido de
revolución obtenido: y=x2, y=2x gira alrededor del eje Y (R:
8/3) Y=x, y=1, x=4, alrededor de la recta
y=1 (R: 7/6)
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MÉTODO DE LAS CAPAS CILÍNDRICAS. V=2(radio)(altura) Esto es,
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EJERCICIOS PROPUESTOS. Encontrar el volumen, del sólido de
revolución obtenido: y=x3+x+1, y=1, x=1 gira alrededor de
x=2 (R: 29/15) y=x-x3, y=1, x=4, alrededor del eje Y (R:
4/15)