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Cours 3
NOTIONS de section efficace
2
Deacutefinitions et notations
Pour explorer les proprieacuteteacutes du noyau on fait geacuteneacuteralement des expeacuteriences de diffusion (laquo collision raquo) de particules drsquoun faisceau qursquoon envoie sur une cible et on observe la diffusion laquo derriegravere raquo la cible Ce qui inteacuteresse en geacuteneacuteral le physicien crsquoest la probabiliteacute qursquoune laquo reacuteaction se produise raquo En fait la mesure consiste agrave faire un grand nombre de mesures entre un grand nombre de particules incidentes et un grand nombre de noyaux cible et de mesurer les particules diffuseacutees par un deacutetecteur On srsquointeacuteresse agrave la moyenne des valeurs mesureacutees La probabiliteacute qui nous inteacuteresse crsquoest le rapport entre le taux drsquointeraction et le flux incident Nous allons voir que cette probabiliteacute qursquoon appelle section efficace est indeacutependante des variables caracteacuterisant le faisceau et la cible crsquoest-agrave-dire lrsquointensiteacute du faisceau et la geacuteomeacutetrie et densiteacute de la cible
3
Particule transmise
Particule diffuseacutee
Flux incident de particules
Cible
d
Particules incidentes
Cible
Deacutetecteur
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5
Section efficace
Le nombre de particules que lrsquoon deacutetecte est bien sucircr proportionnel au nombre de particules incidentes et au nombre de noyaux cible La relation de proportionnaliteacute
srsquoexprime par lrsquointermeacutediaire drsquoun coefficient de proportionnaliteacute
La relation entre le taux drsquointeraction (T) (nombre de particules laquo diffuseacutees raquo par uniteacute du
temps) et la section efficace () est alors
SsΦσNΦσT ciblecible
avec
- le flux crsquoest-agrave-dire le nombre de particules incidentes par uniteacute de surface et par uniteacute du temps
Ncible - le nombre de particules cible dans le volume de la cible correspondant agrave la surface (S) couverte par le faisceau
scible - le nombre de particules cible par uniteacute de surface (densiteacute surfacique de particules)
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Calcul du nombre de particules par uniteacute de volume (ncible) ou par uniteacute de surface (densiteacute des particules volumique ou surfacique) (scible)
Soit d lrsquoeacutepaisseur la masse volumique et A est la masse atomique du milieu cible NA le nombre drsquoAvogadro Le nombre de particules cible par uniteacute de volume ncible est donneacute par
AρNVNA
M)VN(nVNn AAAmolciblecible
AρNn Acible
On peut aussi exprimer le nombre de particules dans la cible Ncible
SdA)N(ρSdnVnN Acibleciblecible
et le nombre de particules cible par uniteacute de surface Scible
ANd(dnSd)S(nSNs Aciblecibleciblecible ) ANd(s Acible )
scible=NcibleS (uniteacute de mesure cm-2)
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Probabiliteacute drsquointeraction
Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est
donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S
d)A(ρNσsσ
S
Tp Acible
On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm
2De plus on voit
apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune
surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des
centres diffuseurs de la cible par exemple
Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10
-20 m
2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10
-10 m
ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome
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Uniteacute usuelle pour la section efficace
1 barn = 10-24
cm2 = 10
-28 m
2
Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction
Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est
cibleAnσρ(σA)Ndpw
ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)
La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est
dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA
Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de
dxndxwd cible
En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes
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xncibleex
0
ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x
Le nombre de particules qui ont interagi est donc
xncibleex
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Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la
masse volumique du Plomb = 113104 kgm
3 et la masse molaire du Plomb A= 0207
kgmole NA=6021023
mole-1
ncible= (A)∙6021023
mole-1 = 3310
28 m
-3
x=10-2 m = 10
-27 m
2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e
-033 = 072
Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des
applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas
10
Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule
Section efficace diffeacuterentielle
La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction
deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)
d
d()
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Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle
d
d
Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide
eacuteleacutementaire d est
xnd
d
dNxnNdn cibleiciblei
En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr
ddθθπ π
dΩ
dσdΩ
dΩ
dσTσ sin
2
0 0
)()(
ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment
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Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford
Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel
Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace
diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de
la diffusion de particules sur un noyau
On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)
b
+Ze
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Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris
entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une
laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau
Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)
dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (
d
d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface
2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (
d
d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb
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Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
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Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
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Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
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Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
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Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
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Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
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La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
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Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
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Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
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elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
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Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
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Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
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La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
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ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
2
Deacutefinitions et notations
Pour explorer les proprieacuteteacutes du noyau on fait geacuteneacuteralement des expeacuteriences de diffusion (laquo collision raquo) de particules drsquoun faisceau qursquoon envoie sur une cible et on observe la diffusion laquo derriegravere raquo la cible Ce qui inteacuteresse en geacuteneacuteral le physicien crsquoest la probabiliteacute qursquoune laquo reacuteaction se produise raquo En fait la mesure consiste agrave faire un grand nombre de mesures entre un grand nombre de particules incidentes et un grand nombre de noyaux cible et de mesurer les particules diffuseacutees par un deacutetecteur On srsquointeacuteresse agrave la moyenne des valeurs mesureacutees La probabiliteacute qui nous inteacuteresse crsquoest le rapport entre le taux drsquointeraction et le flux incident Nous allons voir que cette probabiliteacute qursquoon appelle section efficace est indeacutependante des variables caracteacuterisant le faisceau et la cible crsquoest-agrave-dire lrsquointensiteacute du faisceau et la geacuteomeacutetrie et densiteacute de la cible
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Particule transmise
Particule diffuseacutee
Flux incident de particules
Cible
d
Particules incidentes
Cible
Deacutetecteur
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Section efficace
Le nombre de particules que lrsquoon deacutetecte est bien sucircr proportionnel au nombre de particules incidentes et au nombre de noyaux cible La relation de proportionnaliteacute
srsquoexprime par lrsquointermeacutediaire drsquoun coefficient de proportionnaliteacute
La relation entre le taux drsquointeraction (T) (nombre de particules laquo diffuseacutees raquo par uniteacute du
temps) et la section efficace () est alors
SsΦσNΦσT ciblecible
avec
- le flux crsquoest-agrave-dire le nombre de particules incidentes par uniteacute de surface et par uniteacute du temps
Ncible - le nombre de particules cible dans le volume de la cible correspondant agrave la surface (S) couverte par le faisceau
scible - le nombre de particules cible par uniteacute de surface (densiteacute surfacique de particules)
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Calcul du nombre de particules par uniteacute de volume (ncible) ou par uniteacute de surface (densiteacute des particules volumique ou surfacique) (scible)
Soit d lrsquoeacutepaisseur la masse volumique et A est la masse atomique du milieu cible NA le nombre drsquoAvogadro Le nombre de particules cible par uniteacute de volume ncible est donneacute par
AρNVNA
M)VN(nVNn AAAmolciblecible
AρNn Acible
On peut aussi exprimer le nombre de particules dans la cible Ncible
SdA)N(ρSdnVnN Acibleciblecible
et le nombre de particules cible par uniteacute de surface Scible
ANd(dnSd)S(nSNs Aciblecibleciblecible ) ANd(s Acible )
scible=NcibleS (uniteacute de mesure cm-2)
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Probabiliteacute drsquointeraction
Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est
donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S
d)A(ρNσsσ
S
Tp Acible
On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm
2De plus on voit
apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune
surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des
centres diffuseurs de la cible par exemple
Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10
-20 m
2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10
-10 m
ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome
8
Uniteacute usuelle pour la section efficace
1 barn = 10-24
cm2 = 10
-28 m
2
Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction
Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est
cibleAnσρ(σA)Ndpw
ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)
La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est
dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA
Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de
dxndxwd cible
En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes
9
xncibleex
0
ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x
Le nombre de particules qui ont interagi est donc
xncibleex
10
Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la
masse volumique du Plomb = 113104 kgm
3 et la masse molaire du Plomb A= 0207
kgmole NA=6021023
mole-1
ncible= (A)∙6021023
mole-1 = 3310
28 m
-3
x=10-2 m = 10
-27 m
2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e
-033 = 072
Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des
applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas
10
Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule
Section efficace diffeacuterentielle
La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction
deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)
d
d()
11
Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle
d
d
Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide
eacuteleacutementaire d est
xnd
d
dNxnNdn cibleiciblei
En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr
ddθθπ π
dΩ
dσdΩ
dΩ
dσTσ sin
2
0 0
)()(
ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment
12
Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford
Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel
Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace
diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de
la diffusion de particules sur un noyau
On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)
b
+Ze
13
Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris
entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une
laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau
Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)
dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (
d
d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface
2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (
d
d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb
14
Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
3
Particule transmise
Particule diffuseacutee
Flux incident de particules
Cible
d
Particules incidentes
Cible
Deacutetecteur
4
5
Section efficace
Le nombre de particules que lrsquoon deacutetecte est bien sucircr proportionnel au nombre de particules incidentes et au nombre de noyaux cible La relation de proportionnaliteacute
srsquoexprime par lrsquointermeacutediaire drsquoun coefficient de proportionnaliteacute
La relation entre le taux drsquointeraction (T) (nombre de particules laquo diffuseacutees raquo par uniteacute du
temps) et la section efficace () est alors
SsΦσNΦσT ciblecible
avec
- le flux crsquoest-agrave-dire le nombre de particules incidentes par uniteacute de surface et par uniteacute du temps
Ncible - le nombre de particules cible dans le volume de la cible correspondant agrave la surface (S) couverte par le faisceau
scible - le nombre de particules cible par uniteacute de surface (densiteacute surfacique de particules)
6
Calcul du nombre de particules par uniteacute de volume (ncible) ou par uniteacute de surface (densiteacute des particules volumique ou surfacique) (scible)
Soit d lrsquoeacutepaisseur la masse volumique et A est la masse atomique du milieu cible NA le nombre drsquoAvogadro Le nombre de particules cible par uniteacute de volume ncible est donneacute par
AρNVNA
M)VN(nVNn AAAmolciblecible
AρNn Acible
On peut aussi exprimer le nombre de particules dans la cible Ncible
SdA)N(ρSdnVnN Acibleciblecible
et le nombre de particules cible par uniteacute de surface Scible
ANd(dnSd)S(nSNs Aciblecibleciblecible ) ANd(s Acible )
scible=NcibleS (uniteacute de mesure cm-2)
7
Probabiliteacute drsquointeraction
Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est
donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S
d)A(ρNσsσ
S
Tp Acible
On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm
2De plus on voit
apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune
surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des
centres diffuseurs de la cible par exemple
Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10
-20 m
2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10
-10 m
ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome
8
Uniteacute usuelle pour la section efficace
1 barn = 10-24
cm2 = 10
-28 m
2
Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction
Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est
cibleAnσρ(σA)Ndpw
ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)
La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est
dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA
Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de
dxndxwd cible
En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes
9
xncibleex
0
ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x
Le nombre de particules qui ont interagi est donc
xncibleex
10
Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la
masse volumique du Plomb = 113104 kgm
3 et la masse molaire du Plomb A= 0207
kgmole NA=6021023
mole-1
ncible= (A)∙6021023
mole-1 = 3310
28 m
-3
x=10-2 m = 10
-27 m
2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e
-033 = 072
Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des
applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas
10
Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule
Section efficace diffeacuterentielle
La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction
deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)
d
d()
11
Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle
d
d
Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide
eacuteleacutementaire d est
xnd
d
dNxnNdn cibleiciblei
En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr
ddθθπ π
dΩ
dσdΩ
dΩ
dσTσ sin
2
0 0
)()(
ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment
12
Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford
Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel
Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace
diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de
la diffusion de particules sur un noyau
On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)
b
+Ze
13
Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris
entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une
laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau
Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)
dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (
d
d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface
2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (
d
d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb
14
Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
4
5
Section efficace
Le nombre de particules que lrsquoon deacutetecte est bien sucircr proportionnel au nombre de particules incidentes et au nombre de noyaux cible La relation de proportionnaliteacute
srsquoexprime par lrsquointermeacutediaire drsquoun coefficient de proportionnaliteacute
La relation entre le taux drsquointeraction (T) (nombre de particules laquo diffuseacutees raquo par uniteacute du
temps) et la section efficace () est alors
SsΦσNΦσT ciblecible
avec
- le flux crsquoest-agrave-dire le nombre de particules incidentes par uniteacute de surface et par uniteacute du temps
Ncible - le nombre de particules cible dans le volume de la cible correspondant agrave la surface (S) couverte par le faisceau
scible - le nombre de particules cible par uniteacute de surface (densiteacute surfacique de particules)
6
Calcul du nombre de particules par uniteacute de volume (ncible) ou par uniteacute de surface (densiteacute des particules volumique ou surfacique) (scible)
Soit d lrsquoeacutepaisseur la masse volumique et A est la masse atomique du milieu cible NA le nombre drsquoAvogadro Le nombre de particules cible par uniteacute de volume ncible est donneacute par
AρNVNA
M)VN(nVNn AAAmolciblecible
AρNn Acible
On peut aussi exprimer le nombre de particules dans la cible Ncible
SdA)N(ρSdnVnN Acibleciblecible
et le nombre de particules cible par uniteacute de surface Scible
ANd(dnSd)S(nSNs Aciblecibleciblecible ) ANd(s Acible )
scible=NcibleS (uniteacute de mesure cm-2)
7
Probabiliteacute drsquointeraction
Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est
donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S
d)A(ρNσsσ
S
Tp Acible
On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm
2De plus on voit
apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune
surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des
centres diffuseurs de la cible par exemple
Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10
-20 m
2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10
-10 m
ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome
8
Uniteacute usuelle pour la section efficace
1 barn = 10-24
cm2 = 10
-28 m
2
Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction
Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est
cibleAnσρ(σA)Ndpw
ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)
La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est
dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA
Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de
dxndxwd cible
En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes
9
xncibleex
0
ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x
Le nombre de particules qui ont interagi est donc
xncibleex
10
Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la
masse volumique du Plomb = 113104 kgm
3 et la masse molaire du Plomb A= 0207
kgmole NA=6021023
mole-1
ncible= (A)∙6021023
mole-1 = 3310
28 m
-3
x=10-2 m = 10
-27 m
2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e
-033 = 072
Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des
applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas
10
Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule
Section efficace diffeacuterentielle
La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction
deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)
d
d()
11
Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle
d
d
Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide
eacuteleacutementaire d est
xnd
d
dNxnNdn cibleiciblei
En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr
ddθθπ π
dΩ
dσdΩ
dΩ
dσTσ sin
2
0 0
)()(
ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment
12
Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford
Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel
Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace
diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de
la diffusion de particules sur un noyau
On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)
b
+Ze
13
Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris
entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une
laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau
Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)
dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (
d
d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface
2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (
d
d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb
14
Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
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19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
5
Section efficace
Le nombre de particules que lrsquoon deacutetecte est bien sucircr proportionnel au nombre de particules incidentes et au nombre de noyaux cible La relation de proportionnaliteacute
srsquoexprime par lrsquointermeacutediaire drsquoun coefficient de proportionnaliteacute
La relation entre le taux drsquointeraction (T) (nombre de particules laquo diffuseacutees raquo par uniteacute du
temps) et la section efficace () est alors
SsΦσNΦσT ciblecible
avec
- le flux crsquoest-agrave-dire le nombre de particules incidentes par uniteacute de surface et par uniteacute du temps
Ncible - le nombre de particules cible dans le volume de la cible correspondant agrave la surface (S) couverte par le faisceau
scible - le nombre de particules cible par uniteacute de surface (densiteacute surfacique de particules)
6
Calcul du nombre de particules par uniteacute de volume (ncible) ou par uniteacute de surface (densiteacute des particules volumique ou surfacique) (scible)
Soit d lrsquoeacutepaisseur la masse volumique et A est la masse atomique du milieu cible NA le nombre drsquoAvogadro Le nombre de particules cible par uniteacute de volume ncible est donneacute par
AρNVNA
M)VN(nVNn AAAmolciblecible
AρNn Acible
On peut aussi exprimer le nombre de particules dans la cible Ncible
SdA)N(ρSdnVnN Acibleciblecible
et le nombre de particules cible par uniteacute de surface Scible
ANd(dnSd)S(nSNs Aciblecibleciblecible ) ANd(s Acible )
scible=NcibleS (uniteacute de mesure cm-2)
7
Probabiliteacute drsquointeraction
Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est
donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S
d)A(ρNσsσ
S
Tp Acible
On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm
2De plus on voit
apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune
surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des
centres diffuseurs de la cible par exemple
Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10
-20 m
2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10
-10 m
ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome
8
Uniteacute usuelle pour la section efficace
1 barn = 10-24
cm2 = 10
-28 m
2
Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction
Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est
cibleAnσρ(σA)Ndpw
ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)
La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est
dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA
Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de
dxndxwd cible
En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes
9
xncibleex
0
ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x
Le nombre de particules qui ont interagi est donc
xncibleex
10
Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la
masse volumique du Plomb = 113104 kgm
3 et la masse molaire du Plomb A= 0207
kgmole NA=6021023
mole-1
ncible= (A)∙6021023
mole-1 = 3310
28 m
-3
x=10-2 m = 10
-27 m
2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e
-033 = 072
Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des
applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas
10
Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule
Section efficace diffeacuterentielle
La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction
deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)
d
d()
11
Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle
d
d
Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide
eacuteleacutementaire d est
xnd
d
dNxnNdn cibleiciblei
En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr
ddθθπ π
dΩ
dσdΩ
dΩ
dσTσ sin
2
0 0
)()(
ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment
12
Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford
Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel
Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace
diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de
la diffusion de particules sur un noyau
On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)
b
+Ze
13
Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris
entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une
laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau
Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)
dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (
d
d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface
2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (
d
d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb
14
Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
6
Calcul du nombre de particules par uniteacute de volume (ncible) ou par uniteacute de surface (densiteacute des particules volumique ou surfacique) (scible)
Soit d lrsquoeacutepaisseur la masse volumique et A est la masse atomique du milieu cible NA le nombre drsquoAvogadro Le nombre de particules cible par uniteacute de volume ncible est donneacute par
AρNVNA
M)VN(nVNn AAAmolciblecible
AρNn Acible
On peut aussi exprimer le nombre de particules dans la cible Ncible
SdA)N(ρSdnVnN Acibleciblecible
et le nombre de particules cible par uniteacute de surface Scible
ANd(dnSd)S(nSNs Aciblecibleciblecible ) ANd(s Acible )
scible=NcibleS (uniteacute de mesure cm-2)
7
Probabiliteacute drsquointeraction
Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est
donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S
d)A(ρNσsσ
S
Tp Acible
On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm
2De plus on voit
apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune
surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des
centres diffuseurs de la cible par exemple
Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10
-20 m
2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10
-10 m
ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome
8
Uniteacute usuelle pour la section efficace
1 barn = 10-24
cm2 = 10
-28 m
2
Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction
Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est
cibleAnσρ(σA)Ndpw
ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)
La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est
dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA
Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de
dxndxwd cible
En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes
9
xncibleex
0
ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x
Le nombre de particules qui ont interagi est donc
xncibleex
10
Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la
masse volumique du Plomb = 113104 kgm
3 et la masse molaire du Plomb A= 0207
kgmole NA=6021023
mole-1
ncible= (A)∙6021023
mole-1 = 3310
28 m
-3
x=10-2 m = 10
-27 m
2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e
-033 = 072
Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des
applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas
10
Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule
Section efficace diffeacuterentielle
La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction
deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)
d
d()
11
Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle
d
d
Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide
eacuteleacutementaire d est
xnd
d
dNxnNdn cibleiciblei
En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr
ddθθπ π
dΩ
dσdΩ
dΩ
dσTσ sin
2
0 0
)()(
ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment
12
Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford
Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel
Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace
diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de
la diffusion de particules sur un noyau
On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)
b
+Ze
13
Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris
entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une
laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau
Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)
dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (
d
d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface
2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (
d
d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb
14
Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
7
Probabiliteacute drsquointeraction
Dans la discussion de lrsquointeraction des particules avec la matiegravere on srsquointeacuteresse souvent agrave la probabiliteacute (p) qursquoune particule interagisse avec un milieu drsquoeacutepaisseur donneacutee qui est
donneacutee par le rapport entre le taux drsquointeraction T et le taux de particules incidentes S
d)A(ρNσsσ
S
Tp Acible
On voit que la probabiliteacute drsquointeraction deacutepend directement de la quantiteacute (d) appeleacutee la densiteacute de masse surfacique qui a comme uniteacute de mesure le gcm
2De plus on voit
apparaicirctre lrsquouniteacute de mesure de p eacutetant sans dimension a les dimensions drsquoune
surface On peut imaginer comme une surface geacuteomeacutetrique une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffuseacutee tandis qursquoagrave lrsquoexteacuterieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion Cependant il faut faire tregraves attention cette aire repreacutesente la probabiliteacute drsquoun processus elle nrsquoa rien agrave voir avec la taille physique des
centres diffuseurs de la cible par exemple
Exemple une mesure reacutecente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10
-20 m
2 ce qui eacutequivaudrait agrave un rayon drsquoenviron 10
-10 m
ce qui repreacutesente le rayon drsquoun atome
8
Uniteacute usuelle pour la section efficace
1 barn = 10-24
cm2 = 10
-28 m
2
Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction
Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est
cibleAnσρ(σA)Ndpw
ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)
La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est
dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA
Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de
dxndxwd cible
En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes
9
xncibleex
0
ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x
Le nombre de particules qui ont interagi est donc
xncibleex
10
Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la
masse volumique du Plomb = 113104 kgm
3 et la masse molaire du Plomb A= 0207
kgmole NA=6021023
mole-1
ncible= (A)∙6021023
mole-1 = 3310
28 m
-3
x=10-2 m = 10
-27 m
2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e
-033 = 072
Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des
applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas
10
Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule
Section efficace diffeacuterentielle
La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction
deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)
d
d()
11
Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle
d
d
Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide
eacuteleacutementaire d est
xnd
d
dNxnNdn cibleiciblei
En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr
ddθθπ π
dΩ
dσdΩ
dΩ
dσTσ sin
2
0 0
)()(
ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment
12
Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford
Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel
Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace
diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de
la diffusion de particules sur un noyau
On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)
b
+Ze
13
Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris
entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une
laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau
Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)
dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (
d
d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface
2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (
d
d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb
14
Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
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Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
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La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
8
Uniteacute usuelle pour la section efficace
1 barn = 10-24
cm2 = 10
-28 m
2
Calcul geacuteneacuteral de la probabiliteacute drsquointeraction
Puisque la probabiliteacute drsquointeraction par uniteacute de distance est
cibleAnσρ(σA)Ndpw
ougrave ncible deacutesigne le nombre de noyaux cible par uniteacute de volume (densiteacute volumique des noyaux cible)
La probabiliteacute pour une particule incidente drsquoavoir une interaction entre x et x+dx est
dxnσdxA)ρ(Ndxw cibleA
Le flux de particules incidentes apregraves le passage de la tranche dx aura varieacute de
dxndxwd cible
En inteacutegrant sur une eacutepaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes
9
xncibleex
0
ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x
Le nombre de particules qui ont interagi est donc
xncibleex
10
Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la
masse volumique du Plomb = 113104 kgm
3 et la masse molaire du Plomb A= 0207
kgmole NA=6021023
mole-1
ncible= (A)∙6021023
mole-1 = 3310
28 m
-3
x=10-2 m = 10
-27 m
2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e
-033 = 072
Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des
applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas
10
Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule
Section efficace diffeacuterentielle
La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction
deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)
d
d()
11
Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle
d
d
Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide
eacuteleacutementaire d est
xnd
d
dNxnNdn cibleiciblei
En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr
ddθθπ π
dΩ
dσdΩ
dΩ
dσTσ sin
2
0 0
)()(
ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment
12
Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford
Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel
Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace
diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de
la diffusion de particules sur un noyau
On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)
b
+Ze
13
Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris
entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une
laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau
Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)
dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (
d
d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface
2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (
d
d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb
14
Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
9
xncibleex
0
ougrave (x) crsquoest le flux de particules qui nrsquoont pas interagi apregraves la distance x
Le nombre de particules qui ont interagi est donc
xncibleex
10
Exemple Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derriegravere une cible de Plomb de 1 cm drsquoeacutepaisseur si la section efficace totale drsquointeraction est de 10 barns On donne la
masse volumique du Plomb = 113104 kgm
3 et la masse molaire du Plomb A= 0207
kgmole NA=6021023
mole-1
ncible= (A)∙6021023
mole-1 = 3310
28 m
-3
x=10-2 m = 10
-27 m
2 ncible∙∙ x = 033 drsquoougrave 0 = e
-033 = 072
Ce calcul suppose que lrsquoon srsquointeacuteresse agrave tous les processus drsquointeractions et que lrsquoon ne srsquointeacuteresse pas agrave la direction drsquoeacutemission des particules diffuseacutees Ce sera le cas de lrsquoobservation drsquoun flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des
applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas
10
Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule
Section efficace diffeacuterentielle
La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction
deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)
d
d()
11
Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle
d
d
Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide
eacuteleacutementaire d est
xnd
d
dNxnNdn cibleiciblei
En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr
ddθθπ π
dΩ
dσdΩ
dΩ
dσTσ sin
2
0 0
)()(
ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment
12
Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford
Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel
Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace
diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de
la diffusion de particules sur un noyau
On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)
b
+Ze
13
Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris
entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une
laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau
Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)
dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (
d
d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface
2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (
d
d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb
14
Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
10
Dans le cas le plus geacuteneacuteral la section efficace de diffusion comprend les processus eacutelastiques (particule diffuseacutee deacutefleacutechie mais cible et particule gardant leur nature) ineacutelastiques (la cible peut ecirctre dans un eacutetat exciteacute) et drsquoabsorption de la particule
Section efficace diffeacuterentielle
La distribution angulaire des particules diffuseacutees peut apporter des informations sur lrsquointeraction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel drsquointeraction) De plus en geacuteneacuteral les deacutetecteurs ont une certaine granulariteacute et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffuseacutees dans une direction
deacutefinie par () dans un angle solide eacuteleacutementaire d (coordonneacutees spheacuteriques)
d
d()
11
Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle
d
d
Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide
eacuteleacutementaire d est
xnd
d
dNxnNdn cibleiciblei
En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr
ddθθπ π
dΩ
dσdΩ
dΩ
dσTσ sin
2
0 0
)()(
ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment
12
Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford
Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel
Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace
diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de
la diffusion de particules sur un noyau
On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)
b
+Ze
13
Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris
entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une
laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau
Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)
dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (
d
d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface
2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (
d
d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb
14
Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
11
Comme preacuteceacutedemment on deacutefinit la section efficace diffeacuterentielle
d
d
Le nombre dn de particules diffuseacutees dans la direction () dans lrsquoangle solide
eacuteleacutementaire d est
xnd
d
dNxnNdn cibleiciblei
En inteacutegrant dans tout lrsquoespace on retrouve bien sucircr
ddθθπ π
dΩ
dσdΩ
dΩ
dσTσ sin
2
0 0
)()(
ougrave T crsquoest la section efficace deacutefinie preacuteceacutedemment
12
Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford
Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel
Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace
diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de
la diffusion de particules sur un noyau
On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)
b
+Ze
13
Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris
entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une
laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau
Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)
dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (
d
d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface
2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (
d
d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb
14
Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
12
Diffusion classique et paramegravetre drsquoimpact - application agrave lrsquoexpeacuterience de Rutherford
Nous allons consideacuterer le cas drsquoun potentiel drsquointeraction central V(r) qui deacutepend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel
Le faisceau incident sera dans la direction de lrsquoaxe z et donc la section efficace
diffeacuterentielle sera une fonction de seulement pas de Un cas particulier est celui de
la diffusion de particules sur un noyau
On deacutefinit le paramegravetre drsquoimpact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et lrsquoaxe passant par le centre de la cible (voir figure) dans la reacutegion sans interaction (agrave grande distance avant la cible)
b
+Ze
13
Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris
entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une
laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau
Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)
dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (
d
d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface
2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (
d
d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb
14
Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
13
Du fait de la symeacutetrie toutes les particules qui ont des paramegravetres drsquoimpact compris
entre b et b+db seront diffuseacutees entre et +d Elles sont donc associeacutees agrave une
laquosurface raquo 2bmiddotdb perpendiculaire au faisceau
Nous aurons donc dn particules diffuseacutees agrave lrsquoangle ( +d)
dn = Ni middotnciblemiddotxmiddot (
d
d) d qui est aussi le nombre de collisions associeacutees agrave la surface
2bmiddotdb soit (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb Drsquoougrave Ni middotncible middotxmiddot (
d
d) d = (Ni middotncible middotx) 2bmiddotdb
14
Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
14
Soit si lrsquoon tient compte de d = 2 sin d on obtient
d
dbb
d
πbdbπbdb
d
d
sinsin2
2
d
2
Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1r) on deacutemontre assez facilement gracircce au principe fondamental de la dynamique que
2
22e
E
Zzaavec
b
atg
En deacuterivant cette formule eacutecrite sous la forme
22
θctg
ab
on obtient
dθθa
db -
2sin
4
2
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
15
En utilisant
2cos
2sin2sin
θθ θ
on arrive facilement agrave
2sin
1
16 4
2
θ
a
dΩ
dσ
la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
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19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
16
Diffusion par une sphegravere dure de rayon R
2cos
2
)-(sin
RRb
2sin
2
R
d
db
drsquoougrave
4
2
2sin
2sin
)2cos()( RθR
θ
R
dΩ
dσ
La section efficace diffeacuterentielle est isotrope
La section efficace totale est donneacutee par
22
4πRdΩ
RσT
(-)2
(-)2
b R
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
17
Conclusion de lrsquoexpeacuterience de Rutherford et validiteacute
Les reacutesultats de lrsquoexpeacuterience de lrsquoeacutepoque mettaient en eacutevidence lrsquoexistence drsquoun noyau en confirmant les formules ci-dessus En effet en utilisant les formules classiques pour la
distance drsquoapproche des particules de 5 MeV envoyeacutees sur une cible drsquoor tregraves mince on calcule une distance drsquoapproche agrave ~ 310
-14 cm qui est beaucoup plus faible que le
rayon atomique et donc on deacuteduit la preacutesence drsquoun noyau central contrairement au modegravele de Thomson qui postulait lrsquoatome comme une entiteacute de 10
-10 cm avec une
distribution de charge uniforme
Comme on peut le voir dans la figure suivante si la formule marche bien pour des angles assez petits elle diverge des reacutesultats expeacuterimentaux agrave grands angles Il faut se souvenir qursquoon a supposeacute un calcul classique et un noyau ponctuel Le deacutecrochement visible sur la figure est en fait ducirc essentiellement agrave lrsquoabsorption par le noyau Ce qursquoon voit apparaicirctre crsquoest lrsquoeffet drsquoune force nouvelle agrave courte distance la force drsquointeraction forte qui devient preacutepondeacuterante
Drsquoougrave lrsquoideacutee de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande eacutenergie et drsquoautre nature
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Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
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(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
18
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
19
Cas particulier drsquoun collisionneur deacutefinition de la luminositeacute Cas de faisceau sur cible fixe eacutetudieacute jusqursquoagrave preacutesent La relation entre le taux drsquointeraction par seconde (T) (nombre de particules
laquo diffuseacutees raquo) et la section efficace (σ) est alors ciblecible S)s(ΦσNΦσT
T= σmiddot( nombre de particules incidentes par secondeS)middot(nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de ciblescible)
La probabiliteacute drsquointeraction Ad)N(ρσsσS)T(Φp Acible
T crsquoest le nombre de cas reacutealiseacutes pour le processus Ad)N(ρS)(ΦσT A
Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant
(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans
lrsquoeacutepaisseur d de la cible Scible) On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
20
Dans le cas drsquoun faisceau en laquo paquets raquo le nombre de particules incidentes par seconde est eacutegal au produit de la freacutequence de paquets f et le nombre de particules par paquet N1 Dans ce cas le nombre de cas possibles srsquoeacutecrit
A
NdfNL A
1
- f est la freacutequence drsquoarriveacutee des paquets (ex 300 Hz) - N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10
11 ppaquet)
- (ρd)A (masse volumique de la cible H2 liquide)middot(eacutepaisseur 10 cm) (masse atomique de la cible) - NA le nombre drsquoAvogadro - (ρd) NA A nombre de particule cible par uniteacute de surface Soit L = 3 x 10
2 s
-1 x 10
11 ppaquet x 6 x 10
23 mol
-1 x 133 g∙cm
-3 x 10
-1 m (2 g∙mol
-1) =
= 12 middot1036
cm-2
s-1
L srsquoappelle la luminositeacute du faisceau et le taux drsquointeraction srsquoeacutecrit T = σ L
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
21
Cas de 2 faisceaux qui se croisent collisionneur
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
22
Eacutenergie utile La quantiteacute agrave prendre en compte pour la creacuteation de nouvelles particules ou pour atteindre leacutechelle agrave laquelle on pourra sonder leur structure est leacutenergie disponible dans le centre de masse Rappelons quen cineacutematique relativiste leacutenergie totale E dune particule de masse m et
son moment p
sont relieacutes par 222 mpE
et que le carreacute du quadri-moment pEp
est deacutefini comme 2222 mpEp
En consideacuterant la collision de deux particules a et b le quadri-moment total du systegraveme est
bababababaab ppEEmmppEEp
2222222
Par deacutefinition dans le centre de masse le moment total est nul et le carreacute de leacutenergie disponible dans le centre de masse s est donneacute par
22
abba pEEs
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
23
Consideacuterons les cas dun acceacuteleacuterateur agrave cible fixe et dun collisionneur
cible fixe 0bp
et bb mE leacutenergie utile sera
baba mEmms 222
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau Ea est bien supeacuterieure agrave la masse des particules Ea gtgt ma mb (cas geacuteneacuteral)
bamEs 2
On constate que leacutenergie utile naugmente que doucement comme la racine carreacutee de leacutenergie du faisceau
collisionneur ba pp
leacutenergie utile sera dans le cas de deux particules
identiques 222 222 aaa pEms
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
24
Dans le cas ou leacutenergie du faisceau est bien supeacuterieure agrave la masse des particules
aa mE 22
aa Ep
aa EEs 24 2
Dans le cas des collisionneurs leacutenergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas drsquoune cible fixe directement proportionnelle agrave leacutenergie des faisceaux Dans le cas des collisionneurs drsquohadrons il faut noter cependant que leacutenergie disponible dans une collision de deux partons est diffeacuterente de celle calculeacutee plus haut En effet un parton confineacute dans un hadron ne porte quune fraction x du moment total de lrsquohadron de sorte que leacutenergie disponible dans une collision de partons est
(31)
ougrave la probabiliteacute de trouver un parton avec un moment fractionnaire x deacutecroicirct lorsque x se rapproche de 1 Pour profiter du maximum deacutenergie utile accessible dans une collision entre partons il est donc indispensable de compenser la perte deacuteveacutenements due agrave la distribution deacutecroissante de x par une augmentation en rapport de la luminositeacute du faisceau
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
25
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
26
On a vu qursquoon peut eacutecrire T=σ L T nombre de cas laquo reacutealiseacutes raquo L doit ecirctre le nombre des cas laquo possibles raquo pour un collisionneur crsquoest le produit (Nombre de particules du faisceau 1) middot (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement Cas geacuteneacuteral les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (laquo bunches raquo) contenant N1 et N2 particules respectivement Deux bunches se croisent avec une freacutequence frev sur une surface transverse S nbeam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux
S
NNnfL beamrev 21
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
27
Calcul de la luminositeacute en geacuteneacuteral On projet les particules qui sont distribueacutees dans la direction longitudinale dans des paquets sur un plan transversal On reacuteduit ainsi le problegraveme agrave deux dimensions
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les dimensions la densiteacute surfacique des positrons dans ce plan transverse est donneacutee par
2
2
2
2
22
2
2
22exp
2zxzx
zxN
zx
Nn
Dans cette expression N2 crsquoest le nombre total de positrons dans un paquet et xz crsquoest la section efficace horizontale ou verticale dans le point drsquointeraction Comme les collisions se produisent dans une reacutegion eacutetroite autour du point drsquointeraction dans ce qui suit nous seront inteacuteresseacutes dans les valeurs de la section efficace dans ce point Pour clarteacute nous allons notes les valeurs dans IP avec un laquo raquo
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
28
La probabiliteacute qursquoun eacutelectron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de lrsquoautre paquet est
2ndW p
Si on suppose que les faisceaux drsquoeacutelectrons et de positrons ont la mecircme section efficace en IP alors le nombre drsquoeacutelectrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par uniteacute de temps est
dxdzzxNfn
Nd
zxzx
revbeam
2
2
2
2
11
22exp
2
ougrave nbeam crsquoest le nombre de paquets eacutequidistants qui circulent avec une freacutequence frev et N1 crsquoest le nombre drsquoeacutelectrons dans un paquet On obtient le taux drsquoeacuteveacutenements diffeacuterentiel
dxdz
zxNfnnNdNddT
zxzx
revbeampp
2
2
2
2
222
121 exp
2
qui peut ecirctre inteacutegreacute en utilisant
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
29
dyy
2
2
exp
pour obtenir
21
4 zx
revbeampp
NNfnNT
et en tenant compte de T=σL on obtient lrsquoexpression de la luminositeacute
21
4 zx
revbeam NNfnL
qui se mesure en barns-1
middots-1
Ordres de grandeurs
L ~ 1031
cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030
cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons Exemple du LHC f=40 MHz N1=N2= 10
11 particules σx= σy =1 mm
Soit Lnominal~ 1034
cm-2
s-1
=1010
b-1
s-1
=(110-10
b)s-1
= (1100 fb) s-1
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
30
Dans une expeacuterience qui dure en secondes on appelle luminositeacute inteacutegreacutee le produit
Lmiddot qui va conditionner le nombre de particules deacutetecteacutees durant toute lrsquoexpeacuterience et
donc la statistique et la preacutecision du reacutesultat obtenu N= σL
La dimension du produit L crsquoest lrsquoinverse drsquoune surface et se mesure en cm-2
ou barns
-1 Ce produit nous permet donc drsquoestimer la section efficace limite que lrsquoon pourra
mesurer dans un temps donneacute
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
31
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
32
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
33
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Consideacuterons la diffusion quune particule chargeacutee subit quand elle est soumise agrave une force eacutelectrostatique
reacutepulsive inversement proportionnelle au carreacute de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou
centre de force Ce problegraveme est particuliegraverement inteacuteressant en raison de son application agrave la physique
atomique et nucleacuteaire Par exemple quand un proton acceacuteleacutereacute par une machine telle quun cyclotron passe
pregraves dun noyau de la matiegravere de la cible il est deacutevieacute sous laction dune force de ce type provenant de la
reacutepulsion eacutelectrostatique du noyau (cest la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne)
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
34
(146)
Soit O un centre de force et A une particule lanceacutee contre O dune grande distance avec la vitesse v0 voir
figure ci-dessus) Nous choisirons laxe des X passant par O et parallegravele agrave v0 La distance b appeleacutee
paramegravetre de choc est la distance laxe X des abscisses et le point A En supposant que la force entre A et O
est reacutepulsive et centrale la particule suivra AMB La forme de la courbe deacutepend de la maniegravere dont la force
varie avec la distance Si la force est inversement proportionnelle au carreacute de la distance cest-agrave-dire si
la trajectoire est une hyperbole Avec bien eacutevidemment
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
35
Quand la particule est en A son moment cineacutetique est mv0 b Dans une position quelconque telle que M son
moment cineacutetique est aussi donneacute par Comme le moment cineacutetique doit rester constant puisque
la force est centrale
Leacutequation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant leacutequation par
En eacuteliminant r2 agrave laide de lavant derniegravere eacutequation nous pouvons eacutecrire
Pour trouver la deacuteviation de la particule nous devons inteacutegrer cette eacutequation depuis lune des extreacutemiteacutes de la
trajectoire jusquagrave lautre En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallegravele agrave laxe des X et
nous avons aussi = 0 En B nous avons vy = v0 sin et Remarquons quen B la vitesse est de
nouveau v0 car par symeacutetrie la vitesse perdue quant la particule sapproche de O doit ecirctre regagneacutee quand
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
36
elle sen eacuteloigne Alors
Ce qui donne
Rappelons que
Ce qui nous donne
Soit de maniegravere plus deacutetailleacutee
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
37
Cette relation donne langle de deacuteviation en fonction du paramegravetre de choc b
Ce qui nous donne aussi
Bien eacutevidemment dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la
relation mais on perd en geacuteneacuteraliteacute
Cette eacutequation est appliqueacutee agrave lanalyse de la deacuteviation de particules chargeacutees par les noyaux Remarquons
que ce reacutesultant nest valable que pour une force inversement proportionnelle au carreacute de la distance Si la
force deacutepend de la distance selon une autre loi langle de deacuteviation satisfait agrave une autre eacutequation Les
expeacuteriences de deacuteviation sont donc tregraves utiles quant nous voulons deacuteterminer la loi de force dans les
interactions entre particules
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
38
Dans les laboratoires de physique nucleacuteaire on fait des expeacuteriences de diffusion en acceacuteleacuterant des eacutelectrons
des protons ou dautres particules au moyen dun cyclotron dun acceacuteleacuterateur de Van de Graaf ou de quelque
autre dispositif semblable et en observant la distribution angulaire des particules deacutevieacutees
Il est clair quune particule incidente dans une surface deacutefinie par un rayon compris entre b et b + db sera
respectivement comprise dans langle solide de diffusion
d = 2 b db
Avec
d = 2 sin d
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
39
La section efficace eacutetant deacutefinie par
θdθπ
πbdb
dΩ
dσ
sin2
2
En combinant cette relation avec
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
40
Nous avons donc pour la section (diffeacuterentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb)
A laide de la diffusion de RutherfordCoulomb Rutherford a pu deacuteterminer une approximation de la taille
du noyau de latome comme nous lavons fait remarque au deacutebut du chapitre de physique corpusculaire Le
raisonnement appliqueacute est le suivant pour deacuteterminer une borne infeacuterieure du rayon du noyau
Leacutenergie totale dun systegraveme en rotation est leacutenergie cineacutetique de translation sommeacutee agrave leacutenergie cineacutetique
de rotation sommeacute agrave leacutenergie potentielle Ce qui nous donne
en notant L le moment cineacutetique donneacute par nous avons
dougrave
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
41
Il en reacutesulte donc
Dougrave langle associeacute agrave deux distance radiales est donneacute par
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r) La particule incidente
possegravede une vitesse initiale
en avec et
par symeacutetrie agrave nouveau
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
42
Langle est langle de deacuteflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur agrave la distance minimum
Revenons-en agrave nos eacutequations ougrave le moment cineacutetique est lieacute au paramegravetre dimpact par la relation
ou encore
Nous pouvons donc eacutecrire apregraves simplifications
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
43
ougrave nous avons poseacute (leacutenergie de rotation et du potentiel consideacutereacutes comme neacutegligeables par rapport
par rapport agrave leacutenergie cineacutetique) et
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
44
La distance minimale dapproche est donc deacutetermineacutee par la valeur plus grande pour laquelle le
deacutenominateur srsquoannule
cest-agrave-dire (trivial)
Nous avons donc
Comme nous le voyons dans cette derniegravere relation la particule incidente subira une collision frontale
lorsque b=0 Degraves lors la valeur de lapproche maximale est
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de
45
Lrsquoexpeacuterience de Rutherford permit drsquoestimer la taille du noyau atomique En effet les particules qui ont
rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180deg (nous parlons alors de reacutetrodiffusion) sont celles
qui se sont approcheacutees le plus pregraves de ce dernier Puisque nous avons
avec une eacutenergie cineacutetique initiale de 77 [MeV] Rutherford trouva pour le rayon de lrsquoatome drsquoor (Z=79)
avec des particules alpha (Z=2) une valeur de