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Dr. Faouzi LAKRAD 1 NOTES DE COURS VIBRATIONS MECANIQUES LINEAIRES Dr. Faouzi LAKRAD - Version Automne 2013-
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NOTES DE COURS
VIBRATIONS MECANIQUES
LINEAIRES
Dr. Faouzi LAKRAD
- Version Automne 2013-
Dr. Faouzi LAKRAD 2
CHAPITRE I
Généralités sur les vibrations
I- Introduction
1- Définition (ISO 2041)
La vibration est une variation avec le temps de l’intensité d’une grandeur
caractéristique du mouvement ou de la position d’un système mécanique,
lorsque l’intensité est alternativement plus grande et plus petite qu’une
certaine valeur moyenne ou de référence.
Les textes de normalisation AFNOR relatifs aux vibrations sont: NF E 90-001, NF E 90 002,
NF E 90-xxx.
En des termes simples un système mécanique est dit en vibration lorsqu’il est animé d’un
mouvement de va-et-vient autour d’une position moyenne ou de référence.
La vibration peut être vue comme une oscillation des paramètres cinématiques d’un système
mécanique.
Les vibrations sont omniprésentes. Au niveau du corps humain, par exemple, on les rencontre
dans les battements du cœur, la respiration, l’ouïe au niveau du tampon, la parole au niveau
des cordes vocales. De plus, elles sont générées dans toutes les machines tournantes. Par
conséquent, la vibration est utilisée pour le diagnostic des défauts des machines. En effet,
chaque défauts admet des signatures vibratoires particulières qui permettent une maintenance
préventive.
2- Sources de vibrations
Les sources de vibrations sont de deux types : naturelles ou artificielles. On cite comme
exemples de sources de vibrations:
Les véhicules en mouvements,
Les machines : les outils à main (scie à chaîne, marteau perforateur …)
La nature : séismes, vent, mer ;
Les explosions
Etc …
3- Effets des vibrations
Les vibrations peuvent être bénéfiques ou néfastes. Elles sont utilisées dans le tamisage, le
compactage, l’essorage, le convoyage et les massages. Les effets néfastes peuvent affectés les
êtres humains et les machines.
Pour les machines les vibrations peuvent causer :
Fatigue accélérée, usure rapide, l’endommagement et la rupture des pièces
telles que les roulements et les paliers.
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Génération de bruits excessifs, …
Pour les êtres humains les vibrations peuvent affecter :
Le confort
L’efficacité
La sécurité
La santé, …
II – Terminologie des vibrations
Les vibrations d’un système mécanique proviennent en générale de l’échange d’énergie entre
l’énergie cinétique et l’énergie potentielle élastique d’un système.
Une vibration se caractérise principalement par sa fréquence, son amplitude et sa nature.
(a) La fréquence : est le nombre de fois qu’un phénomène se répète en un temps donné.
Lorsque l’unité de temps utilisée est la seconde [s], la fréquence f s’exprime en Hertz
[Hz]. L’inverse de la fréquence est la période T.
(b) L’amplitude : reflète l’intensité de la vibration et exprime la valeur des écarts par
rapport au niveau de vibration moyen.
(c) La nature : le signal vibratoire peut être soit déterministe soit aléatoire.
Un signal déterministe peut être représenté par une fonction du temps )t(x . Les signaux
vibratoires déterministes peuvent être : harmoniques, périodiques ou apériodiques.
1- Vibration harmonique
La vibration harmonique est le mouvement périodique le plus simple. Mathématiquement, il
est défini par
)tsin(A)t(x (I-1)
où A est l’amplitude du signal,
: la pulsation (fréquence circulaire) en rad/s, Tf /22 .
: la phase (en rad).
Si )(tx exprime la position en fonction du temps, on calcule la vitesse par différentiation par
rapport au temps )2
sin()cos()(
)(
tAtAdt
tdxtv , voir figure I-1.
L’accélération s’exprime par )sin()(
)( 2
2
2
tAdt
txdta )sin(2 tA .
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Figure I-1 : signal harmonique
Remarques :
La vitesse admet une amplitude A et elle est en avance de 2
par rapport à la
position )(tx .
L’accélération admet une amplitude 2A et elle est en avance de (en
opposition de phase) par rapport à la position )(tx .
La vitesse et l’accélération sont harmoniques et admettent la même fréquence
que la position.
Seul l’oscillateur harmonique admet un mouvement harmonique.
2- Vibration périodique
Un mouvement périodique est un mouvement qui se répète identiquement à une certaine
période T. Il est composé de l’addition d’une vibration pure fondamentale et de ses
harmoniques. Les fréquences des harmoniques sont des multiples entiers de la fréquence
fondamentale.
Considérons un signal périodique )(tx ayant une période T non nulle.
)t(x)Tt(x (I-2)
Sa pulsation fondamentale est T
2 et ses harmoniques sont nn .
D’après J. Fourier, toute fonction périodique peut être décomposée en une série infinie de
fonctions harmoniques simples, chacune ayant sa propre amplitude et sa propre fréquence.
Cette série est dite série de Fourier. Le spectre d’un signal périodique est discret et il est
composé par la fréquence fondamentale et par ses multiples (les harmoniques). Ces
dernières définissent le timbre d’un instrument de musique et elles sont considérées comme
une pollution électrique dans le cas de l’électricité du réseau.
1
)sin()cos()(n
nnmoy tnbtnaxtx (I-3)
où moyx est la moyenne sur une période de )(tx :
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2/
2/
)(1
T
T
moy dttxT
x (I-4)
Le coefficient na mesure la contribution de )cos( tn dans )(tx :
2/
2/
)cos()(2
T
T
n dttntxT
a (I-5)
Le coefficient nb mesure la contribution de )sin( tn dans )(tx :
2/
2/
)sin()(2
T
T
n dttntxT
b (I-6)
La série de Fourier (I-3) peut s’écrire aussi :
1
)cos()(n
nnmoy tnAxtx (I-7)
Avec 22nnn baA est l’amplitude de la nième harmonique et
n
nn
a
barctan est la
phase de la nième harmonique.
La puissance moyenne des signaux périodiques est
2/
2/
2 )(1
T
T
moy dttxT
P (I-8)
On définit la valeur efficace (root mean square RMS) d’un signal périodique par
T
eff dttxT
A
0
2 )(1
(I-9)
Pour un signal harmonique, 2
AAeff .
Pour un signal périodique de période T,
1
22
2n
nmoyeff
AxA
Au niveau des discontinuités la série de Fourier passe par leurs moitiés.
Remarques :
Le spectre d’un signal est une représentation dans l’espace des fréquences d’un
signal. Le spectre donne le contenu fréquentiel d’un signal.
Plusieurs spectres peuvent être représentés : le spectre de l’amplitude, le
spectre de la phase, le spectre de la puissance, le spectre de l’énergie, ….
Lorsque )(tx est paire, 0nb .
Lorsque )(tx est impaire, 0 nmoy ax .
3- Vibration apériodique
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La vibration apériodique est un mouvement qui ne se répète pas après une certaine période.
Un signal quasi-périodique est la forme la plus simple des signaux non périodiques. Il
consiste en la somme de deux signaux harmoniques ayant deux fréquences incommensurables
(leur rapport est irrationnel). Un signal quasi-périodique peut s’écrire comme
)cos()cos()( 2211 tAtAtx avec 21 / R\Q.
Le spectre d’un signal non périodique peut être continu et/ou contenant des fréquences
discrètes incommensurables.
Soit le temps d’observation, l’amplitude moyenne est définie par
0
1dt)t(xA limmoy
.
L’amplitude efficace est obtenue par
0
2 )(1
lim dttxAeff
La décomposition en série de Fourier ne s’applique qu’aux signaux périodiques. Pour les
signaux non périodiques, la transformée de Fourier (TF) peut être appliquée comme suit :
dtetxfX tfi 2)()( )()( fBifA
avec )( fA
dttftx )2cos()( et
dttftxfB )2sin()()( .
Ainsi, )( fA est paire car )()( fAfA et )( fB est impaire car )()( fBfB . Ainsi, la
partie réelle d’un signal réel est paire et sa partie imaginaire est impaire.
La transformée de Fourier inverse s’écrit :
dfefXtx tfi 2)()(
deX ti)(2
1
Le signal )(tx peut s’écrire : dftffBtffAtx
0
)2sin()(2)2cos()(2)( .
On définit l’énergie d’un signal )(tx par :
dttxE2
)( .
Le théorème de Parseval postule que si )(tx est d’énergie finie (de carrée sommable), alors
l’énergie s’écrit :
dffEdffXdttxE )()()(22
Exemples :
1- La TF de la fonction de Dirac est : afitfi
aa edte)t())t((TF
22 . Si
0a , 1))(( tTF . Le spectre de la fonction de Dirac contient toute les
fréquences avec la même pondération. Ainsi, elle est utilisée pour
l’identification vibratoire ou électrique d’un système.
2- ))at()at(())at(cos(TF
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Glossaire
ISO Organisation Internationale de Normalisation
AFNOR Association Française de Normalisation
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Exercices corrigés du chapitre 1
Exercice 1 Trouver la période fondamentale des fonctions suivantes :
(a) )sin(t ; (b) )2cos( t ; (c) )tan( t ; (d) )sin( t
(e) )cos(nkt ; (f) )/2sin( kt ; (g) )2/cos( t ; (h) ))2/(sin( pt
Les périodes fondamentales des fonctions suivantes sont:
(a) )sin(t : 2T ;
(b) )2cos( t : T ;
(c) )tan( t : 1T ;
(d) )sin( t : 2T ;
(e) )cos(nkt : nk
T2
;
(f) )/2sin( kt : kT ;
(g) )2/cos( t : 4T ;
(h) ))2/(sin( pt : pT 4 .
Exercice 2 Est-ce que les fonctions suivantes sont périodiques ? si oui définir la période fondamentale.
(a) )cos()sin( tnt avec n est un entier naturel.
(b) )cosh()2cos( tt .
(c) )cos()cos( trt , avec r R\Q
(a) Le signal est périodique de période 2 .
(b) Le signal n’est pas périodique à cause de la fonction )cosh(t .
(c) Le signal n’est pas périodique car 1 et r sont incommensurables.
Exercice 3 Calculer la série de Fourier du signal s(x) suivant :
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La période est 2T et la pulsation est 12
T
. Le signal )x(s peut être décrit comme
suit :
xpour,
xpour,
xpour,x
)x(s
20
201
0
(1)
Puisque )x(s est périodique, alors il est développable en série de Fourier :
)xnsin(b)xncos(as)x(s nn
nmoy
1
(2)
Avec
dx)x(ssmoy
2
1
4
1 (3)
dx)xncos()x(san
12
211
n
)n
sin()( n
(4)
dx)xnsin()x(sbn
1=
n
)n
cos()( n
211
(5)
L’amplitude de la nième harmonique est donnée par
22nnn baA (6)
Le spectre d’amplitude est représenté dans la figure 1.
Figure 1. Spectre d’amplitude du signal )x(s
Exercice 4 1. Discuter les différences entre la série de Fourier et la transformée de Fourier.
2. Quelles sont les informations contenues dans le spectre des amplitudes.
3. Calculer les transformées de Fourier des fonctions suivantes : auat ),( et )sin(t .
4. Donner un exemple de l’utilité de la fonction de Dirac en vibration.
5. Tracer le spectre d’amplitude des signaux suivants :
(a) )3cos(2)(1 tts
(b) )2cos()sin()(2 ttts
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6. On utilise la série de Fourier lorsqu’un signal est :
(a) périodique (b) apériodique, (c) les deux
7. Donner des applications des harmoniques d’un signal.
8. Pourquoi la détermination de la fréquence fondamentale est utile ?
9. Expliquer le rôle des analyses vibratoires dans le diagnostic des machines tournantes.
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CHAPITRE II
Modélisation des systèmes vibrants à
1 ddl et vibrations libres
I- Introduction
La modélisation est l’art ou la procédure d’écrire l’équation (ou le système d’équations) qui
décrit le mouvement d’un système physique. Il existe plusieurs approches pour modéliser les
mouvements vibratoires d’un système mécanique : la méthode de Newton, la méthode de
variation de l’énergie, la méthode de Rayleigh, la méthode du travail virtuel et la méthode de
Lagrange…
Tous les systèmes possédant une masse et une élasticité sont capables de vibrer librement
(sans intervention extérieure).
Les objectifs de ce chapitre est d’écrire l’équation d’un système ayant un degré de liberté (1
d.d.l) et de déterminer sa fréquence naturelle de vibration qui est essentiellement fonction de
sa masse et de sa rigidité (souplesse).
L’étude des vibrations libres ne se préoccupe pas des causes ayant entraîné la structure hors
de sa position d’équilibre, elle examine le comportement de celle-ci une fois qu’elle est livrée
à elle-même. Les vibrations libres se font en présence des forces d’inertie, des forces de
rappel et éventuellement des forces d’amortissement.
On distingue deux modèles de calcul :
Un modèle continu où la masse est supposée distribuée d’une manière continue
dans la structure.
Un modèle discontinu où les masses sont supposées concentrées d’une manière
ponctuelle.
Quatre approches de modélisation (de mise en équations) pour les systèmes vibrants à 1 d.d.l.
peuvent être utilisées :
La 2ème
loi de Newton
amFext
(II-1a)
dt
dIM GG
/ (II-1b)
Le théorème de l’énergie mécanique : la variation de l’énergie mécanique par rapport
au temps est égale à la puissance nc de toutes les forces non conservatives qui
s’exercent sur le corps.
ncM
dt
dE (II-2)
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La méthode de Rayleigh : permet de calculer la masse équivalente d’un système ayant
une masse distribuée.
La méthode du travail virtuel.
Il est à rappeler que le nombre de degrés de liberté d’un système est le nombre de
coordonnées indépendantes requises pour décrire son mouvement.
II- Eléments d’un corps mécanique en vibration
Les éléments nécessaires pour modéliser la vibration linéaire d’un système mécanique sont
1- Elément d’inertie
L’inertie se manifeste sous deux formes :
a- La masse m pour les translations, elle intervient dans la 2ème
loi de Newton
amFext
et l’énergie cinétique de translation
2
2v
mEc .
b- Le moment d’inertie I pour les rotations, il intervient dans le théorème du moment
cinétique dt
dIMext
et l’énergie cinétique de rotation 2
2
IEc .
L’inertie dans le cadre des systèmes à 1 d.d.l. est modélisée par le
symbole de la figure II-1.
Figure II-1. Masse
2- Elément de raideur
Ils traduisent l’élasticité linéaire d’un système. Elle est modélisée par un ressort de traction-
compression pour les translations et par un ressort de torsion pour les rotations.
a- Translation : la force de rappel est proportionnelle à l’élongation du ressort xkF .
L’énergie potentielle2
2x
kE p .
b- Rotation : le moment de rappel kM .
La raideur du ressort est notée k , son unité est [N/m]. La
représentation d’un ressort est donnée à la figure II-2.
Figure II-2. Ressort
3- Elément d’amortissement Les éléments d’amortissement traduisent la dissipation
de l’énergie dans les systèmes mécaniques causée par
les frictions et les frottements. Dans le présent cours, la
dissipation d’énergie est représentée par un
amortisseur visqueux, voir figure II-3. Figure II-3. Amortisseur
visqueux
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La force de frottement visqueux est par définition proportionnelle et opposée à la vitesse
vcFa
. Avec c est la constante d’amortissement, dont l’unité est [N.s/m].
III- Vibration libre sans amortissement
Soit un système masse-ressort (MR), montré à la figure II-1, son équation de mouvement
s’écrit
0 xkxm 02 xx (II-3)
avec x : l’élongation du ressort qui est mesurée à partir de la position à vide du ressort pour
les mouvements horizontaux ; et à partir de la position d’équilibre statique pour les
mouvements verticaux.
m
k : la pulsation propre ou la fréquence circulaire propre. La fréquence propre s’écrit
2f .
Figure II-4. Système masse-ressort non amorti
La solution de l’équation différentielle ordinaire (II-3) est :
)sin()sin()cos()( 21 tAtctctx (II-4)
L’amplitude A et la phase sont obtenues par les conditions initiales. Ainsi,
)0(
)0()tan(
x
x
et
2
22 )0(
)0(
xxA
L’équation (II-3) est utilisée pour identifier la fréquence propre des systèmes vibrants à 1
d.d.l.
Exemple 1:
Soit une masse m suspendue à un ressort sous l’effet de son poids
L’équilibre statique donne : kgm .
L’équilibre dynamique s’écrit : gmxkxm )(
L’équation du mouvement s’écrit : 0 xkxm , avec x la déformation du ressort comptée à
partir de la position d’équilibre.
Exemples : Notion de raideur équivalente (a) Soit la poutre compressée suivante :
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Barre de longueur l, en extension, obéit à la loi de Hooke l
xEE . L’équilibre des
forces S
F
l
xESF . La raideur équivalente k est donnée par
l
ESk .
(b) Poutre encastrée en flexion.
L’équilibre statique donne )()( xyEIxlFM . Les lois de l’élasticité donnent
)(xyEIM . Ainsi, )()( xlEI
Fxy 1
2
)2
()( cx
lxEI
Fxy
21
32 )
62()( cxc
xx
l
EI
Fxy . Les constantes 1c et 2c sont obtenues par les conditions
aux limites au niveau de l’encastrement 0)0()0( yy .
00)0( 2 cy et 00)0( 1 cy . Ainsi )62
()(3
2 xx
l
EI
Fxy .
Au point d’application de la force F correspondant à lx le déplacement EI
Flly
3)(
3
par conséquent la raideur équivalente 3
3
l
EIk .
(c) n Ressorts en séries :
n
i ieq kk 1
11
(d) n Ressorts en parallèle :
n
iieq kk
1
Remarque
La méthode de Rayleigh est une méthode énergétique qui s’applique aux systèmes avec
plusieurs masses ou des systèmes ayant des masses distribuées, à condition de connaître le
mouvement de chaque point du système. Elle est utilisée essentiellement pour calculer la
masse équivalente qui contribue dans la fréquence fondamentale.
III- Vibration libre amortie
Soit un système masse-ressort-amortisseur (MRA), montré à la figure II-5, son équation de
mouvement s’écrit
0 xkxcxm 02 2 xxx (II-5)
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Avec cc
c est le taux d’amortissement, et mcc 2 est l’amortissement critique.
Selon la valeur du taux d’amortissement on peut avoir différents régimes de dissipation de
l’énergie du système. Ainsi, on a les trois régimes suivants :
1. Le régime sur-amorti ( 1 ) :
La solution de l’équation (II-5) est non vibratoire, elle s’écrit
)1exp()1exp()( 22
21 tctctx
(II-6)
2. Le régime critique ( 1 ) :
La solution de l’équation (II-5) est non-vibratoire, elle s’écrit
tcctx 21)exp()( (II-7)
Figure II-5. Exemples des régimes sur-amorti et critique
L’amortissement critique est l’amortisseur visqueux qui arrêtera les vibrations libres d’un
système mécanique linéaire à 1 d.d.l. le plus rapidement possible. Il est le seuil entre le mode
vibratoire (sous amorti) et le mode non vibratoire (sur amorti).
3. Le régime sous-amorti ( 1 ) :
La solution de l’équation (II-5) est vibratoire, elle s’écrit
tAtx 21cos)exp()( (II-8)
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Figure II-6. Exemple du régime sous-amorti
Remarques : Les taux d’amortissement dus aux amortissements internes des matériaux sont en
générale très inférieurs à 1.
Dans le cas du régime sous-amorti, on calcule le taux d’amortissement en utilisant la
méthode du décrément logarithmique. En effet, cette méthode est basée sur la réponse
transitoire du système. Pour l’application de cette méthode la décroissance de
l’amplitude du système doit être exponentielle.
Ainsi, le décrément logarithmique est défini
ni
i
X
X
nln
1 , où iX et niX sont les
amplitudes après « i » périodes et « i+n » périodes respectivement. Le taux
d’amortissement est donné par 22 4
.
Les vibrations libres sont utilisées pour identifier la fréquence propre fondamentale du
système mécanique et de son amortissement.
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Exercices corrigés du Chapitre II Exercice1
Pour des angles de rotation petits de la
barre AB, autour de O, écrire l’équation du
mouvement du système ci-contre en
fonction de la variable 1x . On suppose que
les masses des barres des liaisons sont
négligeables. Voir la figure 1.
Identifier la fréquence propre du système.
-Figure 1-
L’angle de rotation de la barre par rapport à O est noté . Les déplacements 1x et 2x sont liés
à l’angle par la relation suivante :
b
x
a
x 21)sin( (1)
et puisque l’angle est pris très petit on peut écrire : )sin( , l’équation (1) s’écrit :
b
x
a
x 21 (2)
On peut conclure que le système étudié est à 1 degré de liberté puisque la connaissance de
l’un des paramètres cinématiques 1x , 2x ou définie d’une façon complète le mouvement du
système.
Le problème est conservatif et à 1 d.d.l, ainsi on peut utiliser le théorème de la conservation
de l’énergie mécanique pour écrire l’équation du mouvement.
L’énergie cinétique est due au mouvement des deux masses, et elle s’exprime par :
212
2212
222
11
2222x
a
bmmx
mx
mEc
(3)
L’énergie potentielle est due aux déformations des deux ressorts, et elle s’exprime par :
212
2212
222
11
2222x
a
bkkx
kx
kE p
(4)
Puisque l’énergie mécanique pcM EEE est conservée, alors 0dt
dEM . L’équation de
mouvement s’écrit par conséquent :
0122
2
1122
2
1
xk
a
bkxm
a
bm (5)
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01
22
2
1
22
2
1
1
x
ma
bm
ka
bk
x (6)
Par identification avec l’équation d’un oscillateur linéaire 02 xx , la pulsation est
donnée par :
22
2
1
22
2
1
ma
bm
ka
bk
(7)
La fréquence propre f s’obtient en écrivant
2f .
Exercice 2
Pour des angles de rotation petits de la barre AB,
autour de O, écrire l’équation du mouvement du
système ci-contre en fonction de la variable x .
On suppose que les masses des barres des
liaisons sont négligeables. Voir la figure 2.
Identifier la fréquence propre et l’amortissement
critique du système.
-Figure 2-
Le déplacement 2x de la masse 2m , ainsi que le déplacement de la masse 1m sont liés à l’angle
de rotation de la barre (AB) par la relation géométrique suivante :
a
x
b
x 2)sin( (1)
et puisque l’angle est pris très petit on peut écrire : )sin( , l’équation (1) s’écrit :
a
x
b
x 2 (2)
Le problème n’est pas conservatif à cause de la présence de l’amortisseur de constante
d’amortissement c . Le problème est à 1 d.d.l, ainsi on peut utiliser le théorème de l’énergie
mécanique pour écrire l’équation du mouvement.
L’énergie cinétique est due au mouvement des deux masses, et elle s’exprime par :
2
2
2212
2221
2222x
b
ammx
mx
mEc
(3)
L’énergie potentielle est due aux déformations du ressort, et elle s’exprime par :
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2
2x
kE p (4)
Puisque l’énergie mécanique pcM EEE n’est pas conservée, alors la variation de
l’énergie mécanique par rapport au temps est égale à la puissance de la force
d’amortissement : dt
dEM . La puissance de la force de frottement est :
2
2
222 x
b
acxc (5)
L’équation de mouvement s’écrit par conséquent :
02
2
2
2
21
kxx
b
acx
b
amm (6)
Cette équation s’écrit aussi comme :
0
2
2
212
2
212
2
x
b
amm
kx
b
ammb
acx
(7)
Par identification avec l’équation d’un oscillateur linéaire amorti 02 2 xxx , la
pulsation est donnée par :
2
2
21b
amm
k
(8)
L’amortissement critique cc correspond à un taux d’amortissement 1 , ainsi on aura :
2
2
212
2
2
2
2
2
21 22b
ammk
a
b
a
b
b
ammcc (9)
Exercice 3
Ecrire l’équation de mouvement linéaire de la
masse m en fonction de x . La masse de la tige
de liaison AB est supposée négligeable. Voir
la figure 3.
Identifier la pulsation propre du système et le
coefficient d’amortissement critique.
-Figure 3-
La petite rotation de la barre AB implique que les déplacements x de la masse et Bx du
point B sont reliés par la relation suivante :
b
x
a
x B )sin( (1)
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L’énergie mécanique du système s’écrit :
22
22x
kx
mEM (2)
La puissance de la force de frottement est :
2
2
22 x
a
bcxc B (3)
En utilisant le théorème de l’énergie dt
dEM , on trouve l’équation de mouvement suivante
02
2
xkxa
bcxm 0
2
2
xm
kx
a
b
m
cx (4)
Par identification avec l’équation d’un oscillateur linéaire amorti 02 2 xxx , la
pulsation est donnée par :
m
k (5)
L’amortissement critique cc correspond à un taux d’amortissement 1 , ainsi on aura :
mkb
a
b
amcc 2
2
2
2
22 (6)
Exercice 4
Montrer que la fréquence propre du système
masse ressort, de la figure 4, est
indépendante de l’angle .
-Figure 4-
L’équilibre statique de la masse se traduit par :
)sin( mgk st (1)
avec st le déplacement statique de la masse par rapport à la position à vide du ressort.
En donnant une énergie mécanique initiale au système, il commence à vibrer à partir de la
position d’équilibre statique et la 2ème
loi de Newton s’écrit :
)sin()( mgxkxm st (2)
avec x est l’allongement du ressort à partir de la position d’équilibre statique. En utilisant
l’équation d’équilibre statique (1), l’équation de mouvement s’écrit
0 kxxm (3)
Ainsi, la pulsation m
k est indépendante de l’angle .
Exercice 5
Dr. Faouzi LAKRAD 21
Si les deux ressorts ne sont pas déformés
quand la masse est dans la position montrée
sur la figure 5,
(a) Déterminer le déplacement statique st de
la masse.
(b) Calculer la période de la vibration de la
masse autour de la position d’équilibre
statique.
-Figure 5-
(a) Les deux ressorts sont en parallèle, ainsi l’équation de l’équilibre statique s’écrit :
)sin(3 mgk st (1)
Ainsi le déplacement statique est
)sin(3
k
mgst (2)
(b) La vibration autour de la position d’équilibre statique s’écrit
03 xkxm (3)
Par identification, la pulsation est
m
k3 (4)
La période T est
k
mT
32
2
(5)
Exercice 6
En utilisant la conservation de l’énergie
mécanique, trouver la fréquence propre du
système de la figure 6. Supposez des petits
angles. La tige est de masse négligeable.
-Figure 6-
L’énergie cinétique du système est due au mouvement des deux masses, elle s’écrit :
2222
8
5)(
2)
2(
2 MLL
MLMEc (1)
L’énergie potentielle du système est due à l’énergie d’élasticité du ressort et aux énergies
potentielles gravitationnelles des deux masses, elle s’écrit
)cos(1(2
3))sin(
4
3(
2
))cos(1(2
))cos(1())sin(4
3(
2
2
2
MgLLk
LMgMgL
LkE p
(2)
Dr. Faouzi LAKRAD 22
Puisque l’angle est petit, on peut écrire les relations suivantes
)sin( et 2
1)cos(2
(3)
En prenant en compte (3), l’énergie potentielle s’écrit
22
4
3)
4
3(
2 LgM
LkE p (4)
La conservation de l’énergie mécanique implique que 0dt
dEM , l’équation du mouvement
s’écrit donc
02
3
16
9
4
5 22
MgLkLML (5)
La pulsation est donc
L
g
M
k
5
6
20
9 (6)
Exercice 7
La période entre deux maxima consécutifs de la réponse vibratoire linéaire d’un système de
masse Kgm 4 est sTa 5.3 . La décroissance après 5 cycles d’oscillations des amplitudes
est .0.2)(
)(
5
0 tx
tx
(a) Calculer la pseudo pulsation a .
(b) Calculer le taux d’amortissement .
(c) Calculer la pulsation propre .
(d) Calculer la constante de raideur k .
(e) Calculer le coefficient d’amortissement c .
(a) La pulsation amortiea
aT
2 .
Application numérique : 8.1a rad/s.
(b) Le décrément logarithmique s’écrit )ln(5
1 .
Le taux d’amortissement s’obtient en fonction du décrément logarithmique
22 4
.
Application numérique : 14.0 et 02.0 .
(c) La pulsation propre 21
a
Application numérique : 8.1 rad/s.
(d) La constante de raideur 2mk
Application numérique : 9.12k N/m.
(e) Le coefficient d’amortissement mcc c 2
Application numérique : 3.0c N.s/m.
Exercice 8
Dr. Faouzi LAKRAD 23
Soit la réponse vibratoire linéaire d’un système de masse Kgm 1 .
(a) Calculer la pseudo pulsation a .
(b) Calculer le taux d’amortissement .
(c) Calculer la constante de raideur k .
(d) Calculer le coefficient d’amortissement c .
(a) D’après la réponse temporelle la pseudo période est 33.03
1 sTa s. La pulsation
amortie a
aT
2 .
Application numérique : 85.18a rad/s.
(b) Le décrément logarithmique s’obtient à partir de la réponse temporelle
064.0)2.0
6.0ln(
17
1 . Le taux d’amortissement s’obtient en fonction du décrément
logarithmique 22 4
.
Application numérique : 01.0 .
(c) La pulsation propre 21
a et la constante de raideur 2mk
Application numérique : 85.18 rad/s et 34.344k N.s/m.
(d) Le coefficient d’amortissement mcc c 2
Application numérique : 38.0c N.s/m.
Exercice 9
1- La vibration linéaire libre réelle d’un système à 1d.d.l se fait à :
(1) la pulsation naturelle ; (2) la pseudo-pulsation ; (3) aucune des deux.
2- Quelles sont les sources d’amortissement dans les systèmes mécaniques ?
3- Donner la définition de l’amortissement critique et son effet sur les vibrations libres.
4- Quelles équations modélisent un mouvement vibratoire
(a) 0 xx ; (b) 0 xx ; (c) 0 xxx ; (d) 01.0 xxx .
Dr. Faouzi LAKRAD 24
5- Déterminer les raideurs équivalentes des systèmes suivants et les équations de
mouvement:
m m
m
k1
k1
k1
k2
k2
k2
k3
u u
u
f(t) f(t)
f(t)
(A) (B)
(C)
6- Pour un mouvement périodique, quelles sont les composantes fréquentielles qui
peuvent existées :
a) toujours une seule fréquence ;
b) des fréquences multiples et discrètes ;
c) des fréquences multiples continues.
1- La vibration libre se fait à la pseudo-pulsation car il y a toujours un amortissement.
2- Les sources d’amortissement dans les systèmes mécaniques sont : le caractère
viscoélastique des matériaux, les frottements avec l’environnement (contact solide-
solide, déplacement dans un fluide).
3- L’amortissement critique est l’amortissement visqueux seuil entre un mode vibratoire
et un mode sur-amorti. Il arrête le plus rapidement possible le mouvement libre d’un
corps à un degré de liberté.
4- Seule l’équation (d) donne lieu à un mouvement vibratoire libre sous amorti.
5- Lorsque les ressorts sont en parallèles les raideurs s’ajoutent et lorsqu’ils sont en série
les souplesses s’ajoutent. Les trois systèmes ont la même forme d’équations de
mouvement : )t(fukum eq
Les raideurs équivalentes des trois systèmes sont :
(A) 21 kkkeq ; (B) 21
21
kk
kkkeq
; (C) 3
21
21 kkk
kkkeq
.
6- Un mouvement périodique est composé d’une fréquence fondamentale et de ses
multiples. La réponse est (b).
Exercice 10
1. Avec la méthode de décrément logarithmique, est-ce qu’on doit avoir des conditions
initiales particulières ? Si oui, lesquelles ? Si non, pourquoi ?
2. Le déplacement, la vitesse et l’accélération d’un mouvement harmonique sont reliés entre
eux par des relations de phase et d’amplitude. Qu’elles sont ces relations (pour la phase
spécifier s’il s’agit d’un avance ou d’un retard) ?
3. Donner deux effets de l’augmentation de la constante d’amortissement sur la réponse libre
d’un système à 1 ddl.
4. Soit les deux systèmes masse-ressort ci-contre, donner la relation entre les fréquences
Dr. Faouzi LAKRAD 25
naturelles 1n et 2n .
5. Pour la réponse libre d’un système, le système répond à :
a) la fréquence naturelle ;
b) la fréquence naturelle amortie ;
c) la fréquence d’excitation.
6. Pour un système conservatif, l’énergie cinétique du système demeure constante en
fonction du temps. (Vrai ou Faux).
7. La méthode du décrément logarithmique n’est pas valide pour les systèmes en rotation.
(Vrai ou Faux).
8. Lorsqu’on modélise un système à partir de son équilibre statique, pour quelle raison peut-
on ne pas tenir compte du poids du système. Soyez bref et précis !
9. Est-ce le système ci-contre est en mesure d’osciller en supposant que la corde soit rigide.
(Oui ou Non et Justifier).
10. Une masse se déplace suivant un mouvement harmonique. La vitesse maximale de la
masse est de 15mm/s à une fréquence de 3Hz. Déterminer l’accélération maximale de la
masse.
11. La valeur RMS d’un signal périodique de période peut être calculée avec :
12. Si l’équation différentielle du système ci-contre est la suivante :
Dr. Faouzi LAKRAD 26
13. Quel est l’effet de l’amortissement sur la fréquence naturelle d’un système.
14. Expliquer dans quelle situation on utilise la méthode de Rayleigh et en quoi cette méthode
est approximative ?
15. Expliquez la linéarisation au sens des énergies.
16. Expliquer le fonctionnement d’un amortisseur visqueux.
17. Expliquer la notion de raideur négative.
Exercice 11
1) Ecrire l’équation du mouvement du système de la
figure 1. Trouver sa fréquence propre et son
amortissement critique. Supposez des petits angles.
Le ressort est à vide dans la position verticale de la
tige. La tige est faite de matériau homogène de
longueur L, elle admet une masse tm et un moment
d’inertie OI par rapport au pivot.
-Figure 1-
2) Ecrire l’équation du mouvement linéaire
de la tige de masse m et de moment
d’inertie OI par rapport à O, voir la figure
2. Le ressort est à vide lorsque la tige est
verticale. Identifier la pulsation propre et
l’amortissement critique du système.
-Figure 2-
Dr. Faouzi LAKRAD 27
Exercice 12
Une masse m de 18kg est suspendue à deux
ressorts de raideur 4378k N/m et à un
amortisseur visqueux de coefficient
d’amortissement 149c N.s/m
(1) Déterminer le mouvement du système si
l’on communique à la masse une vitesse
initiale de 0.1m/s.
(2) Calculer le décrément logarithmique de
la réponse.
-Figure 1-
Dr. Faouzi LAKRAD 28
CHAPITRE III
Vibrations forcées
d’un système à 1 ddl
I- Oscillateur linéaire excité par une force harmonique
La figure III-1 montre un oscillateur excité par une force harmonique extérieure. En utilisant
la deuxième loi de Newton, l’équation du mouvement de la masse m s’écrit
)cos()()()(
2
2
tFtykdt
tdyc
dt
tydm
(III-1)
Sous forme adimensionnelle, l’équation de mouvement s’écrit
)cos()()(
2)( 2
2
2
tm
Fty
dt
tdy
dt
tyd
(III-2)
Figure III-1 : système MRA excité par une force extérieure
La solution de l’équation de mouvement, qui est avant tout une équation différentielle
ordinaire non homogène avec des coefficients constants, est la superposition de la solution
homogène et de la solution particulière.
La solution homogène traduit le mouvement libre du système sous l’effet de l’énergie initiale
via les conditions initiales. Elle est qualifiée de régime transitoire en présence d’un
amortissement positif i.e., 0 qui éliminera ce mouvement libre.
La solution particulière traduit le mouvement forcé du système sous l’effet de la force
harmonique. Elle est qualifiée de régime permanent en présence d’un amortissement positif.
Elle oscille avec la même fréquence que la force harmonique mais avec un déphasage. Ainsi
la solution particulière de l’équation de mouvement (III-2) est
)cos()( tAty (III-3)
Dr. Faouzi LAKRAD 29
Pour calculer l’amplitude A et la phase , on substitue la solution (III-3) dans l’équation
(III-2)
)cos(
2)cos()sin()sin(
2)sin()cos()cos(
22
22
tm
F
AAt
AAt
(III-4)
Par la suite, on égale les termes en )sin( t et )cos( t , pour trouver le système algébrique
suivant :
02)cos()sin(
2)sin()cos(
22
22
A
m
FA
(III-5a)
(III-5b)
L’équation (5b) donne la phase :
22
2)(
tg
(III-6)
En additionnant les carrés des équations (III-5a) et (III-5b), on obtient l’amplitude A :
2222 )2()(
)/(
mFA
(III-7)
On veut que les résultats obtenus soient universels, pour ce faire on introduit le rapport entre
la fréquence externe et la fréquence propre :
r . Ainsi l’équation de la phase (III-6)
devient
21
2)(
r
rtg
(III-8)
L’équation de l’amplitude (7) devient
222222222
2
)2()1()2()1()2()1( rr
X
rr
k
F
rr
m
F
A sta
(III-9)
k
FX sta est le déplacement statique d’un ressort de raideur k qu’aurait crée une force
constant F . Dans la figure III-2, les courbes de résonance traduisant les équations (III-8) et
(III-9) sont présentées.
Remarques
(i) Pour 0r i.e., la fréquence d’excitation est très faible par rapport à la fréquence
propre, staXA et 0 et par conséquent la solution particulière (III-3) s’écrit
)cos()( tXty sta : l’amplitude de la solution particulière est égale au
déplacement statique et la solution est en phase avec l’excitation.
Dr. Faouzi LAKRAD 30
(ii) Pour 1r , la fréquence d’excitation est égale à la fréquence propre, 2staX
A et
2
. Pour un taux d’amortissement faible l’amplitude est grande et par
conséquent l’amplitude du déplacement du système est amplifiée par rapport au
cas statique. La solution particulière s’écrit
)sin(2
)2
cos(2
)( tX
tX
ty stasta
.
(iii) L’amplitude de la réponse particulière est maximale pour 221 r et vaut
212 staX
A . Cette valeur de r correspond à la résonance. Ce maximum existe
pour 2
2 et pour le reste statiqueXA est l’amplitude la plus élevée. La
résonance vire vers la gauche par rapport à 1r pour des taux d’amortissement
croissants. Pour 1 la résonance correspond à 1r et l’amplitude maximale est
2staX
A .
(iv) Pour r , la fréquence d’excitation est très grande par rapport à la fréquence
propre, 0A et . La solution particulière est 0)( ty .
Il est à noter que l’amortissement n’a aucun effet à l’extérieur de la zone de résonance ou
d’amplification. L’augmentation de l’amortissement entraîne la diminution de l’amplitude
maximale.
Figure III-2 : Courbe de résonance
Problème
Dr. Faouzi LAKRAD 31
Soit un système masse-ressort-amortisseur excité par une force harmonique, quelle est la
solution pour que sa réponse soit la plus faible possible ?
D’après la figure de résonance, il est préférable que le rapport des fréquences r soit le plus
grand possible i.e., le système doit être le plus souple possible. Mais ceci cause des
déformations statiques très grandes qui limitent la solution proposée.
II- Oscillateur linéaire excité par une force de Balourd
Les machines tournantes (moteurs, turbines, ventilateurs,…) constituent des sources de
vibrations très courantes. En effet, de faibles irrégularités dans la distribution de masse des
parties en rotation peuvent causer des niveaux importants de vibrations. On appelle
communément cette forme d’excitation centrifuge une force de Balourd ou débalancement.
En d’autres termes le balourd survient lorsque le centre de masse d’un système ne se trouve
pas sur son axe de rotation.
Problèmes engendrés par le balourd
Vibrations
Bruit
Affecte la performance des systèmes
Usure prématurée des composantes mécaniques (roulements, paliers).
Augmente le risque de défaillance mécanique.
Causes principales du balourd
Usure, Corrosion, facteurs thermiques
Pièces manquantes ou défaillantes
Procédés de fabrication et/ou de montage
Diagnostic
Un défaut de balourd est donc révélé par :
Une composante d’amplitude élevée à la fréquence de rotation du rotor en direction
radiale.
Un déphasage voisin de 90° entre deux composantes correspondant à des points de
mesure radiaux sur le même palier du rotor.
Types de balourd
Il existe deux types de balourds : le balourd statique et le balourd dynamique.
Le balourd statique est causé par un surplus de masse à l’extérieur de l’axe de
rotation. Lorsque le système est en équilibre statique il se positionne de façon à
ce que le surplus de masse de trouve vers le bas. Dans ce cas de balourd
statique, les deux paliers supportant le rotor vont subir, en même temps,
l’effort centrifuge. Il n’y aura aucun déphasage entre les mesures prises au
même point sur les deux paliers.
Le balourd dynamique est causé par la présence de deux surplus de masse
opposées (généralement 180°) et se trouvant dans deux plans différents. Dans
ce cas les deux paliers supportant le rotor vont subir les efforts centrifuges de
façon alternée. Le déphasage, voisin de 180°, entre les mesures effectuées au
même point sur les deux paliers consécutifs est donc révélateur d’un balourd
dynamique.
Dr. Faouzi LAKRAD 32
L’équilibrage statique a pour but de ramener le centre de gravité de la roue sur l’axe de
rotation et l’équilibrage dynamique élimine les effets du couple provoqués par les forces
centrifuges.
Motivation
Comparons la force F exercée sur les paliers par un disque uniforme de masse excentrée M et
le poids de ce disque.
Données : diamètre d=300mm
Epaisseur h = 10mm
Vitesse de rotation = 5000 rpm
Excentricité e = 1mm
(i) Poids du disque : MP 81.9 (N).
(ii) Force exercée par le disque en raison de l’excentricité « e » :
vitesse de rotation (rad/s) : 6.52360/50002 rad/s
Force exercée : MeMF 15.2742 (N).
Le disque tournant exerce une force sur le support environ 28 fois son propre poids !!
Modèle théorique simple
La figure III-3 illustre une machine tournante de masse M ayant un déséquilibre dynamique
représenté par une petite masse excentrique m d’excentricité e tournant à la vitesse angulaire . En (b) un modèle simplifié est présenté. Notons qu’un guidage en translation sans friction
autorise alors le mouvement suivant un seul degré de liberté.
Figure III-3 : (a) Machine tournante, (b) modèle simplifié
On définit : e : l’excentricité et mele balourd et il s’exprime en [g.mm].
En utilisant la deuxième loi de Newton, l’équation du mouvement du système
kxxctemxM )sin(2 (III-10)
Sous forme adimensionnelle, l’équation de mouvement s’écrit
)sin(22
2 tM
mexxx
(III-11)
La solution particulière de l’équation de mouvement (III-11) est
Dr. Faouzi LAKRAD 33
)sin()( tAtx (III-12)
La phase :
22
2)(
tg
(III-13)
L’amplitude A :
2222
2
)2()(
)/(
MmeA
(III-14)
On veut que les résultats obtenus soient universels, pour ce faire on introduit la rapport entre
la fréquence externe et la fréquence propre :
r . Ainsi l’équation de la phase (III-
13) devient
21
2)(
r
rtg
(III-15)
L’équation de l’amplitude (III-14) devient
222
2
)2()1( rr
rM
m e
A
(III-16)
avec )/( Mem est le balourd spécifique exprimé en [μm].
Dans la figure III-4, on trace 222
2
)2()1()/( rr
r
Mme
A
Figure III-4 : Réponse en amplitude et en phase pour une force de balourd
Dr. Faouzi LAKRAD 34
La figure III-4, contient trois zones principales :
Zone d’isolation 2/1r :
* Le déplacement tend vers 0 pour des structures rigides grand.
* Pour minimiser l’effet du balourd sur un système, il faut le rigidifier i.e., sa fréquence
propre doit être au moins 2 fois plus grande que la fréquence d’excitation i.e., 2/1r .
* L’amortissement n’a pas d’effet dans cette zone.
Zone d’amplification
C’est la zone de résonance où le déplacement du système est amplifié et seul l’augmentation
de l’amortissement peut diminuer l’amplitude.
Zone flexible 3r
* l’amplitude tend vers le balourd spécifique pour des structures flexiblesM
meA .
* l’amortissement n’a pas d’effet.
III- Oscillateur linéaire excité par un mouvement de sa base
Dans cette section, nous étudions un système excité par la base avec une excitation
harmonique. Cette situation est très fréquente en pratique : transport, appareil de mesure…
Considérons le système Masse-Ressort-Amortisseur (MRA), illustré à la figure III-5, excité
par le mouvement imposé )(ty de son support ou sa base.
Figure III-5 : Oscillateur excité par le mouvement imposé de son support
En utilisant la deuxième loi de Newton, l’équation du mouvement de la masse m s’écrit
))()(())()(
()(
2
2
tytxkdt
tdy
dt
tdxc
dt
txdm
(III-17)
Le déplacement absolu de la masse est noté )(tx et le déplacement du support est noté )(ty .
I- Mouvement relatif
Le mouvement relatif de la masse par rapport au support est )()()( tytxtz , il obéit à
l’équation de mouvement suivante
Dr. Faouzi LAKRAD 35
)()()()(
2
2
2
2
tkzdt
tdzc
dt
tyd
dt
tzdm
(III-18)
Sous forme adimensionnelle, l’équation du mouvement relatif s’écrit
2
22
2
2 )()(
)(2
)(
dt
tydtz
dt
tdz
dt
tzd
(III-19)
On suppose que le mouvement du support est harmonique
)cos()( tYty )cos()( 2 tYty (III-20)
où Y et sont respectivement l’amplitude et la pulsation (fréquence circulaire) du
déplacement harmonique du support. A noter que l’amplitude exacte de l’accélération est 2Y .
En prenant en compte la forme harmonique (III-20) du mouvement du support, l’équation du
mouvement relatif (3) devient :
)cos()()(
2)( 22
2
2
tYtzdt
tdz
dt
tzd
(III-21)
La solution particulière traduit le mouvement forcé du système sous l’effet de la force
harmonique. Elle est qualifiée de régime permanent en présence d’un amortissement positif.
Elle oscille avec la même fréquence que le mouvement harmonique du support mais avec un
déphasage. Ainsi la solution particulière de l’équation de mouvement (III-21) est
)cos()( tZtz (III-22)
Pour calculer l’amplitude Z et la phase , on substitue la solution (III-22) dans l’équation
(III-21) , et on égale les termes en )sin( t et )cos( t . Voir la section concernant les
systèmes excités par une force harmonique. Par analogie, on obtient
la phase :
22
2)(
tg
(III-23)
l’amplitude Z :
2222
2
2
YZ
(III-24)
On veut que les résultats obtenus soient universels, pour ce faire on introduit la rapport entre
la fréquence du mouvement du support et la fréquence propre :
r . Ainsi l’équation
de la phase (III-23) devient
21
2)(
r
rtg
(III-25)
L’équation de l’amplitude (III-24) devient
Dr. Faouzi LAKRAD 36
222
2
)2()1( rr
rYZ
(III-26)
Le rapport de l’amplitude de la réponse relative par l’amplitude du mouvement du support est
donné par
222
2
)2()1( rr
r
Y
Z
(III-27)
Dans la figure III-6, l’équation (III-27) du rapport YZ / est tracée en fonction du rapport des
fréquences r et pour différents taux d’amortissement .
La relation (III-27) est trop complexe pour faire lieu de réponse d’un capteur. En pratique, la
majorité des capteurs disponibles sur le marché sont linéaires. Le signal électrique qu’ils
produisent est proportionnel au mouvement relatif, car c’est la déformation du matériau
constituant le capteur qui engendre le signal électrique. .
Un accéléromètre est conçu avec une fréquence de résonance interne élevée (masse faible et
rigidité élevée : petite taille). Le ressort est un quartz qui génère une charge (picocoulomb)
proportionnelle au déplacement relatif. La gamme d’analyse en fréquence dépend de la
grandeur de la fréquence naturelle de l’accéléromètre.
La sensibilité est le rapport du signal électrique à la grandeur mécanique (mV/g) ou (pC/g).
Séismographe (capteur de déplacement)
Pour des valeurs très grandes de r , l’équation (11) devient YZY
Z 1
De cette façon, le déplacement relatif mesuré et le déplacement de la base ont la même
amplitude et on obtient un capteur de déplacement.
D’après la figure III-6, le domaine d’usage d’un capteur de déplacement correspond
typiquement à 3r et la meilleure performance correspond à 7.0 (car c’est le taux
d’amortissement qui fait converger )/( YZ le plus rapidement vers 1).
Figure III-6 : Courbe de résonance.
Dr. Faouzi LAKRAD 37
Accéléromètre
Pour des valeurs faibles de r i.e., pour des structures très rigides, l’équation (III-27) devient
22
222 '
onaccélératildeamplitudeYZYrZr
Y
Z
L’amplitude du déplacement relatif mesuré est proportionnelle à l’amplitude de l’accélération.
La constante de proportionnalité )/1( 2 donne la sensibilité du capteur. Elle est inversement
proportionnelle au carré de sa pulsation naturelle.
Dans la figure III-7, le rapport2rY
Zest tracé en fonction de r pour différents valeurs de . Ce
rapport doit être égale à 1 pour un bon accéléromètre. On remarque que la meilleure
performance est donnée par un taux d’amortissement 7.0 et un domaine maximale
d’usage du capteur correspondant à 2.00 r .
Figure III-7 : l’erreur de l’accélération en fonction de r pour différents valeur de
Un capteur est un dispositif qui transforme une grandeur physique d’entrée, appelée
mesurande en une grandeur de nature électrique (en général) appelée réponse.
Les capteurs sont les interfaces entre le « monde physique » et le « monde électrique ».
II- Mouvement absolu
Le mouvement absolu de la masse m est donné par :
)sin(
)sin()sin()()()(
tX
tZtYtytztx
(III-28)
En utilisant les résultats précédemment obtenus, en particulier on utilise les relations
suivantes
222
2
222
)2()1(
1)cos(
)2()1(
2)sin(
rr
r
rr
r
(III-29a)
(III-29b)
Dr. Faouzi LAKRAD 38
On obtient l’amplitude et le déphasage de la réponse absolue )(tx
22
3
222
2
)2(1
2)(
)2()1(
)2(1
rr
rtg
rr
rYX
(III-30a)
(III-30b)
Figure III-8 : Transmissibilité en déplacement et retard de phase en fonction de r
On définit la transmissibilité en déplacement commeY
X. Sur la figure III-8, on remarque
qu’il y a deux zones principales :
Zone où 2r : c’est une zone d’amplification où l’augmentation de l’amortissement
permet de diminuer la transmissibilité en déplacement.
Toutes les courbes se coupent au point )1,2( Y
Xr .
Zone où 2r : c’est une zone d’atténuation de la transmissibilité en déplacement.
Les meilleures atténuations sont obtenues pour les taux d’amortissement les plus
faibles.
IV- Isolation des vibrations
Soit le système masse-ressort-amortisseur excité directement par une force harmonique. Voir
figure III-9. On veut quantifier la force transmise au support.
Dr. Faouzi LAKRAD 39
Figure III-9 : Système (MRA) excité par une force harmonique ou un balourd
La force transmise au sol d’après la loi de l’action et de la réaction est arT FFF
. En
utilisant la solution stationnaire de la masse m, la force transmise au sol est donnée par :
jtcXtkXFT
)cos()sin( )cos( tFT (III-31)
La force transmise peut s’écrire
jtcXkXtcXkXFT
)cos()cos()sin()sin()sin()cos( (III-32)
La norme de la force transmise est donnée par
222 ckXFT (III-33)
Dans le cas d’une force harmonique )sin(0 tF appliquée à la masse m directement
222
0
222 )2()1(
/
)2()1( rr
kF
rr
XX sta
(III-34)
Ainsi l’amplitude de la force transmise est donnée par
222
220
)2()1(
41
rr
rFFT
(III-35)
On définit la transmissibilité comme le rapport l’amplitude de la force transmise au sol et
l’amplitude de la force extérieure
0F
FT T
r 222
22
)2()1(
41
rr
r
(III-36)
Dans le cas d’un balourd, 20 meF et par conséquent la force transmise au sol est donnée
par
222
222
)2()1(
41
rr
rmeFT
(III-37)
Par conséquent, la transmissibilité est la même que dans le cas d’une force harmonique
externe, et elle est donnée par l’équation (III-36).
Dr. Faouzi LAKRAD 40
Figure III-10 : Transmissibilité en fonction du rapport des fréquences
On remarque d’après la figure III-10, que la région d’isolation correspond à 2r . Ainsi,
pour isoler le sol il faut choisir une suspension très souple. De plus il faut que
l’amortissement soit le plus faible possible car plus le taux d’amortissement est petit moins
il converge rapidement vers zéro i.e., l’isolation totale.
La zone correspondante à 2r est une zone d’amplification où seule l’augmentation du
taux d’amortissement peut atténuer cette amplification.
V- Amortissement
Le mouvement des structures soumises à des forces variables au cours du temps dépend, en
particulier, des propriétés d’amortissement, c'est-à-dire de la dissipation d’énergie dans les
matériaux constitutifs de la structure et dans les liaisons des différents éléments de la structure
entre eux et avec le milieu environnant. En d’autres termes les forces de dissipation se sont
des forces qui causent la perte de l’énergie d’un système lorsqu’il est en mouvement.
Ces forces de dissipations peuvent en général être représentées par .nvF
La force de friction est donnée par v
vNF
La force de frottement visqueux est donnée par vcF
La force de frottement due au mouvement dans un fluide est donnée par v
vvcF
2 .
Les phénomènes physiques intervenant dans cette dissipation d’énergie sont nombreux :
frottements, chocs, viscosité et plasticité des matériaux, rayonnement, etc. Leurs lois sont
souvent mal connues : il n’est donc pas possible en général d’introduire l’amortissement dans
Dr. Faouzi LAKRAD 41
les calculs sous une forme mathématique strictement représentative de la physique des
phénomènes. C’est pourquoi les modèles utilisés sont des modèles simples permettant de
reproduire à l’échelle macroscopique les principaux effets sur les structures, et dont les
paramètres sont déduits de résultats expérimentaux.
Il va sans dire que l’effet de l’amortissement pour la réduction des vibrations est très
important dans la zone de résonance ou de d’amplification.
L’étude de l’amortissement a un rôle important dans l’isolation des vibrations dans les
voitures sous l’effet des irrégularités de la chaussée, ainsi que les structures sujettes aux
déplacements telluriques.
Les structures modernes sont de plus en plus légères et les sollicitations qui leurs sont
imposées sont de plus en plus variables et rapides, mais les niveaux de bruits et de vibrations
doivent être les plus faibles possibles et leurs performances les plus optimales. Ces exigences
ne peuvent être réalisées que par une compréhension approfondie des mécanismes de
dissipations et d’amortissement.
Dans la réalité, les joints structurels sont plus responsables de la dissipation de l’énergie que
le matériau de la structure.
L’amortissement est la dissipation de l’énergie d’une structure vibrante. Une grande partie de
l’énergie dissipée est sous forme de chaleur.
Les mécanismes physiques de l’amortissement, comportent les frictions externes, la viscosité
des fluides et les fictions internes des matériaux.
On peut diviser les modèles mathématiques des forces d’amortissement en deux types :
l’amortissement visqueux et l’amortissement non visqueux.
1- Identification de l’amortissement visqueux
Pour 1degrès de liberté (1d.d.l) les méthodes d’identification sont
(a) Décrément logarithmique : méthode basée sur la réponse transitoire du système. Pour
l’application de cette méthode la décroissance de l’amplitude du système doit être
exponentielle.
ni
i
X
X
nln
1 , où iX et niX sont les amplitudes après « i » périodes et « i+n »
périodes respectivement.
(b) Méthode des 3dB ou de la bande passante : Méthode basée sur la réponse harmonique
du système.
(c) Méthode basée sur l’énergie dissipée pendant un cycle : max2 2
)2
(2E
W
Xk
W dd
Où dW est l’énergie dissipée par cycle et qui est égale à l’énergie de la force d’excitation
pendant un cycle, maxE est l’énergie maximale du système.
Les méthodes en (b) et (c) sont applicables dans le cas d’une excitation harmonique.
La résistance de l’air est proportionnelle au carré de la vitesse relative à l’air. En conséquence
proportionnelle au cube pour la puissance. De plus, la vitesse relative à l’air signifie qu’en
Dr. Faouzi LAKRAD 42
présence de vent contraire, il faut fournir un effort identique à celui qui consisterait à rouler
sans vent à une vitesse égale à la vitesse du cycliste plus la vitesse du vent.
La résistance de l’air augmente avec la surface frontale du cycliste et le coefficient de forme
aérodynamique (Cx).
2- Différents types d’amortissement
Selon les phénomènes physiques mis en cause on distingue plusieurs types
d’amortissement, par exemple :
- L’amortissement visqueux pour lequel la force d’amortissement est
proportionnelle à la vitesse ;
- L’amortissement hystérétique pour lequel la force d’amortissement est
proportionnelle au déplacement et de signe opposé à celui de la vitesse ;
- L’amortissement de Coulomb, qui correspond à un amortissement de
frottement : la force est proportionnelle à la force de réaction normale à la
direction du déplacement et de signe opposé à celui de la vitesse.
3- Energie dissipée par un amortissement visqueux
La force d’amortissement visqueux s’écrit )(txcF .
Lorsque un système (MKC) linéaire est excité par une force extérieure harmonique, son
mouvement stationnaire est harmonique et s’écrit :
)sin()( tXtx (III-38)
La vitesse s’écrit :
)cos()( tXtx (III-39)
L’énergie dissipée pendant une période
2
T (ou un cycle) est
2
0
/2
0
2222 )(cos XctcXdtxcdxxcWT
d
(III-40)
L’énergie dissipée peut s’écrire aussi 22 kXWd .
L’amortissement n’est pas toujours visqueux, on peut calculer un coefficient d’amortissement
équivalent eqc qui dissiperait la même énergie pendant un cycle que l’amortisseur visqueux,
c'est-à-dire 2XcW eqd .
Exemples
1/ Le mouvement d’un solide dans un fluide :
La force d’amortissement opposée à la progression d’un solide dans un fluide est
vvaF
Dans le cas d’un mouvement unidimensionnel suivant ( i
), la force d’amortissement s’écrit :
ixxaF
Dr. Faouzi LAKRAD 43
Où SC
a R 2
avec est la masse volumique du fluide, S l’aire du corps projetée sur un
plan perpendiculaire au mouvement, et RC est le coefficient de résistance (coefficient sans
dimension).
On calcule le coefficient d’amortissement visqueux équivalent (c.à.d. celui qui va causer la
perte de la même énergie pendant un cycle) :
dtxxadtxxaWT
T
d
/
0
22/
2/
2 2
On a )cos()( tXtx
dtttaXWd
/
0
233 )cos()(cos2
On fait un changement de variable t
232/
0
323223
3
8)(cos4)cos()(cos
aXdaXdaXWd
En égalant l’énergie dissipée avec celle d’un amortisseur visqueux équivalent on obtient :
232
3
8 aXXceq
Ainsi l’amortisseur visqueux équivalent est donnée par
aXceq3
8
L’équation de mouvement s’écrit dans ce cas
)sin(3
8tFxkxX
axm
Dr. Faouzi LAKRAD 44
Exercices corrigés du Chapitre III
Exercice1 Un accéléromètre ayant une masse 10g
et un facteur d’amortissement 65.0
est utilisé pour une plage de fréquence
variant de 1000 à 10000 Hz. Déterminer
la valeur limite de rigidité requise afin
de limiter l’erreur à 1%. Spécifier s’il
s’agit d’une valeur limite maximale ou
minimale et justifier chaque valeur
éliminée en cours de développement (il
y a plusieurs solutions théoriques mais
une seule pratique !).
-Figure 1-
D’après la figure 1, donnant la précision de la mesure en fonction du rapport des fréquences extérieure
et propre r , on peut lire que pour 650. l’erreur à 1% correspond à 30.rr max .
On va raisonner en terme de la fréquence à mesurer la plus grande c'est-à-dire 10000Hz, car si on la
mesure avec une erreur maximale à 1% alors toutes les fréquences inférieures à elle le sont aussi.
210000maxr (1)
Par conséquent,
5209439210000
.rmax
rad/s (2)
La valeur de correspond à une fréquence propre 33.3KHz. Cette valeur est une limite
inférieure pour réaliser des mesures de moins de 1% d’erreur. Ainsi, plus la fréquence propre
de l’accéléromètre augmente plus les mesures sont plus précise que 1%. Par conséquent, la
raideur qui sera déduite de (2) est une limite minimale qui est donnée par
2mk 4.38 108 N/m (3)
Exercice2 Un accéléromètre est conçu d’après le principe du système masse-ressort-amortisseur tel qu’on
a étudié en classe. La rigidité du ressort à l’intérieur du capteur est de 883,8 kN/m et le
coefficient d’amortissement est de 0,6. Si on veut limiter l’erreur de mesure de l’amplitude à
3% pour une bande de fréquence de 10 jusqu’à 100 Hz,
a) déterminer la valeur limite de la masse mobile du capteur et préciser si c’est une limite
minimale ou maximale.
b) Si on utilise ce capteur pour effectuer des mesures à une fréquence au-dessus de 100Hz, est-
ce que l’erreur sera plus grande ou plus petit que 3% ? Justifiez.
Pour un accéléromètre et pour 60. faire des mesures avec une erreur moins de 3%
correspond à 370.rr max . On va raisonner en terme de la fréquence la plus grande à
mesurer c'est-à-dire 100Hz.
a) La fréquence propre minimale de l’accéléromètre pour effectuer la mesure de 100Hz
avec une erreur moins que 3% est donnée par
maxr
= 1698.15 rad/s (1)
La masse de l’accéléromètre correspondante à cette fréquence propre est
Dr. Faouzi LAKRAD 45
2
km = 0.3Kg (2)
Cette masse est une valeur maximale car plus la masse diminue plus la fréquence propre
de l’accéléromètre augmente. Cette augmentation entraîne une meilleure précision de la
mesure de l’accélération.
b) Si on fait des mesures à des fréquences plus grandes que 100Hz, avec l’accéléromètre
dont les propriétés sont calculées à la question a, le rapport des
fréquences 370.rr max . Ainsi, l’erreur de la mesure est plus grande que 3%.
Exercice3 Un accéléromètre possède une masse suspendue de 0,01 Kg et une fréquence amortie de
vibration .150Hzfd On le place sur un moteur qui subit une accélération de 1g pour une
vitesse d’opération de 6000 RPM (tours par minute). L’accélération mesurée par l’instrument
est de 9,5 m/s2.
a) Déterminer la constante d’amortissement c de l’accéléromètre.
b) Trouver la rigidité k du ressort de l’accéléromètre.
L’accélération réelle 8191 .gar m/s2 et l’accélération mesurée 59.am m/s
2. On sait
d’après le cours que
Y
Z
a
a
r
m2
2
968021
1
222.
)r()r(
(1)
La fréquence propre non amortie f est donnée par
df21 f
22 1
150
1
dff (2)
La vitesse d’opération de 6000 RPM donne la fréquence de l’excitation ef
10060
6000
2
ef Hz (3)
Le rapport des fréquences r est donné par
ff
fr e 100
(4)
En substituant (4) dans (1) on obtient
r
m
a
a
22
2
2
21
1
)f
f()
f
f( ee
(5)
….
Exercice4 Un moteur électrique de masse 100Kg et tournant à 1800 tours par minute, est supporté par quatre
ressorts hélicoïdaux ayant chacun une raideur de 1600 N/m. Le rotor du moteur admet une masse de
15Kg avec son centre de masse situé à une distance 0.3 cm de l’axe de rotation.
Déterminer :
a- L’amplitude du déplacement stationnaire du moteur.
b- La magnitude de la force transmise à la fondation.
c- Si la vitesse du moteur est augmentée de 20%, est ce que l’amplitude de son déplacement
stationnaire change ? si oui de combien ?
d- Si la vitesse du moteur est augmentée de 20%, est ce que la magnitude de la force
Dr. Faouzi LAKRAD 46
transmise à la fondation change ? si oui de combien ?
Le système ne contient aucun amortissement et par conséquent 0c et 0 .
a- La fréquence de rotation du moteur est donnée par 601800 tpm /s et la
fréquence propre du système est donnée par 84
moteurmouteur
eq
M
k
M
k rad/s.
Ainsi le rapport 56.238
60
r . On a d’après la courbe de résonance d’un
oscillateur excité par un balourd lorsque 1r :
mm.M/emX moteurrotor 450 (1)
b- Pour des rapports de fréquences grands la force transmise est 88.22
2
r
meFT N.
c- La vitesse du moteur est 72 /s 27.28r . .45.0/ mmMemX moteurrotor
Donc, pour des rapports de fréquences élevées il n’y a pas de changement du
déplacement.
d- Pour des rapports de fréquences grands la force transmise est 22
2
r
meFT N, donc
en augmentant la vitesse de rotation du moteur de 20% la force transmise a diminué de
2.88-2=0.88N.
Exercice5 Un bloc de masse M=500Kg est monté sur un système
d’isolation formé d’un assemblage d’amortisseur et de ressort
tel qu’illustré à la figure ci-contre. Deux balourds (m et e
pour chacun d’eux) tournant à des vitesse différentes (1200 et
1800RPM) sont montés sur le bloc. On désire isoler ce
système afin de minimiser la transmission des vibrations au
plancher et au plafond. On suppose que le système se déplace
uniquement d’une façon verticale.
A) Modéliser le système (i.e., déterminer l’équation différentielle qui décrit le mouvement du bloc
en fonction des balourds).
B) Assumons maintenant qu’il y a un seul balourd et que l’équation différentielle du mouvement du
système est la suivante :
)tsin(emxKxCxM 2
Déterminer l’amplitude de la force transmise au plancher.
C) Afin d’isoler le système (avec les deux balourds
initiaux), on propose de monter la masse M uniquement
au plancher avec des isolateurs commerciaux (on laisser
donc tomber le système d’isolation actuel). Parmi les
isolateurs ci-contre, déterminer celui qui sera le plus
Modèle R-1 R-2 R-3
K(N/m) 5E6 2E6 2E6
C(Ns/m) 3E3 3E3 15E3
Dr. Faouzi LAKRAD 47
performant.
A) L’équation du mouvement du système est donnée par
)tsin()tsin(emx)kk(x)cc(xM 2221
212121 22 (1)
B) La solution du régime permanent est
)tsin()r()r(
r
M
em)tsin(A)t(x
222
2
21 (2)
Avec
r et
M
K .
La force transmise via le ressort et l’amortisseur au plancher est :
j)tcos(AC)tsin(AKFFF arT
2 (3)
On pose
j)tsin(FF TmT
(4)
On trouve que l’amplitude TmF de la force transmise au plancher est donnée par
22 )C(KAFTm (5)
Remarque :
La transmissibilité de déplacement = la transmissibilité de force.
Pour le cas d’une force extérieure )tcos(F la transmissibilité de force pour le plancher est
222
2
21
21
)r()r(
)r(
F
FTR Tm
(6a)
Pour la cas d’un balourd :
222
2
2 21
21
)r()r(
)r(
em
FTR Tm
(6b)
C) L’équation du mouvement s’écrit
)tsin()tsin(emxkxcxM 2221
2122 (7)
Avec 401 rad/s et 602 rad/s. La fréquence propre du système est M
k2 et le
taux d’amortissement
M
c
2
2 . Pour les trois isolateurs proposés et sont donnés par le
tableau suivant :
Modèle [rad/s]
1
1r
2
2r
R-1 100 0.030 1.26 1.88
R-2 63.25 0.047 1.99 2.98
R-3 63.25 0.237 1.99 2.98
Le meilleur choix est l’isolateur R-2 qui donne un rapport de fréquence supérieur à 2 est un
taux d’amortissement le plus faible. Le 2ième
choix est R-3 et enfin R-1 car il est dans la zone
de résonance pour le premier balourd de fréquence 1 .
Dr. Faouzi LAKRAD 48
Exercice 6
Données :
La masse de la table 1000m Kg.
La raideur de chaque patte est 340k KN/m.
L’amortissement de chaque patte est 250c N.s/m.
La raideur équivalente des 4 pattes est 13604 kkeq KN/m.
L’amortissement équivalent des 4 pattes est 10004 cceq N.s/m.
La fréquence propre de la table est 8752
1
2.
m
kf
eq
Hz.
Le taux d’amortissement de la table est 0102
.m
ceq
.
1) L’équation du mouvement absolu de la table est
)t(yk)t(ycxkxcxm eqeqeqeq (1)
2) Lorsque le plancher vibre à chacune des fréquences 60Hz et 100 Hz individuellement,
l’amplitude X de dessus de la table est donnée par
222
2
21
21
)r()r(
)r(YX
(2)
Pour 601 Hz et 250.Y mm, on a 210.r et on trouve 00250.X mm m. 52 .
Pour 1002 Hz et 400.Y mm, on a 0417.r on trouve 00150.X mm m. 51 .
3) Ajouter des masses sur la table va entraîner l’augmentation de m, la diminution de la
fréquence propre et par l’augmentation de r et par conséquent, la diminution de X.
Dr. Faouzi LAKRAD 49
On va donner à 610X m et on va chercher la masse à travers la relation (2). Il ne faut pas
oublier que
m
c
2.
Pour 601 Hz et 250.Y mm, on trouve la masse à ajouter est 1492.08Kg.
Pour 1002 Hz et 400.Y mm, on trouve 8420.r et la masse à ajouter est
521.36Kg.
Pour être sûr que l’amplitude de vibration de la table ne dépasse pas 1 m , il faut ajouter au
moins une masse de 1492.08Kg sur la table.
Exercice 7
A) L’équation de mouvement s’écrit
)tcos(emxkxcxM eq 2 (1)
B) L’amplitude de vibrations permanente est
222
2
)2()1( rr
rM
m e
A
(2)
Par conséquent, l’excentricité (me) du ventilateur est :
222
221 )r()r(A
r
AMme =0.024 kg.m (3)
Avec 975.r ; 5A mm et 5M kg.
Dr. Faouzi LAKRAD 50
C) Puisque 975.r et 010. alors le déphasage entre le ventilateur et la masse excentrique
est (opposition de phase) : le ventilateur est à l’extrémité droite, alors que la masse
excentrique est à gauche.
Exercice 8 Une machine de 300 kg est isolée d’un plancher
vibrant par quatre supports en élastomère dont les
caractéristiques pour chacun sont les suivantes :
k=340 KN/m, c= 1000 Ns/m. Une analyse en
fréquence des vibrations du plancher relève que
celui-ci vibre avec une composante indiquée dans
le spectre ci-joint.
a) Déterminer le déplacement maximal de
la machine.
b) Si on mesure les vibrations du plancher à
l’aide d’un capteur de déplacement ayant
les caractéristiques suivantes : fréquence
naturelle = 5Hz et le coefficient
d’amortissement = 0,07.
Déterminer l’erreur maximale possible en
pourcentage.
Le système étudié est équivalent à un système masse-ressort-amortisseur excité par la base (le
plancher).
La raideur équivalente des 4 supports en élastomère est 13604 kkeq KN/m.
L’amortissement équivalent des 4 supports est 40004 cceq N.s/m.
D’après le spectre, 50.Y mm et 24 Hz.
a) L’équation du mouvement de la machine est
)t(yk)t(ycxkxcxm eqeqeqeq (1)
Avec )tcos(Y)t(y 48
Le déplacement maximal X de la machine est donné par
222
2
21
21
)r()r(
)r(YX
(2)
La fréquence propre de la machine
3367.m
keq rad/s (3)
Le taux d’amortissement
102
.m
c
(4)
Le rapport des fréquences
48r 242. (5)
Ainsi,
1350.X mm (6)
Dr. Faouzi LAKRAD 51
b) Le capteur de déplacement a les caractéristiques suivantes : 5cf Hz et 070.c . La
fréquence mesurée est 24 Hz. Par conséquent, le rapport des fréquences 845
24.r .
Le rapport de l’amplitude mesurée mY par l’amplitude réelle du mouvement rY du
plancher est donné par
222
2
21 )r()r(
r
Y
Y
r
m
(7)
L’erreur de la mesure est quantifiée par la déviation de la relation (7) de 1.
0451.Y
Y
r
m l’erreur = %.54 (8)
Exercice 9 La réponse forcée d’un système est montrée à la
Figure 1. Déterminer le taux d’amortissement.
On va utiliser la méthode des -3dB (ou la bande passante).
On a : 8801 . , 1112 . et 1 , le taux d’amortissement est donnée par
2
12 1150. (1)
Dr. Faouzi LAKRAD 52
Exercice 10
1) Expliquer le principe de fonctionnement d’un accéléromètre piézoélectrique.
2) Donner les différences entre un sismographe et un accéléromètre.
3) Est-ce que l’application d’une force impulsive à un système au repos change la position
initiale, la vitesse initiale ou les deux ?
4) Expliquer la courbe suivante qui illustre la réponse en amplitude et en phase d’un système
masse-ressort-amortisseur soumis à une force de balourd (voir Figure 1). Commenter en
particulier l’effet de l’amortissement.
-Figure 1-
5) Enumérer quelques phénomènes non linéaires dans les vibrations des systèmes à 1ddl.
6) Considérez la réponse fréquentielle (amplitude et retard de phase) et l’excitation ci-
dessous. Tracer la réponse x(t) sur le graphique de l’excitation en indiquant l’échelle sur
la droite ( = 0.15).
7) Déterminer le facteur d’amortissement du système ayant la
réponse fréquentielle ci-contre.
Dr. Faouzi LAKRAD 53
Exercice 11
Exercice 12
Dr. Faouzi LAKRAD 54
CHAPITRE IV
Vibrations des systèmes à N ddl
Pour l’écriture des équations de mouvement d’un système à N ddl, on peut utiliser les
méthodes suivantes :
La méthode de Lagrange : une méthode énergétique qui s’applique à tous les systèmes.
La méthode des coefficients d’influence : s’applique aux systèmes avec seulement des
masses, des ressorts et des amortisseurs (pas de tiges ou de corps rigides par exemple).
I- Vibrations libres non amorties
L’analyse des vibrations libres ou analyse modale conduit à la détermination des fréquences
et des modes propres du système. L’analyse modale repose sur les étapes suivantes
Etape 1. Ecrire les équations de mouvements, sous forme matricielle
0xKxM
Etape 2. Calcul des fréquences naturelles en utilisant
0det 2 MK
qui donne l’équation caractéristique du système. Elle a une forme polynomiale en d’ordre
2N. Par convention la fréquence naturelle positive la plus petite est notée 1 .
Etape 3. Calcul des modes propres. A chaque fréquence propre i correspond un vecteur
propre iu qui est obtenu par la résolution du système suivant :
02 ii uMK
Etape 4. La solution générale est la superposition de toutes les solutions modales :
i
N
iiii tAt ux )sin()(
1
Etape 5. Les amplitudes iA et les phases i sont obtenues par les conditions initiales : les
positions initiales )0(x et les vitesses initiales )0(x .
II- Vibrations libres amorties
L’amortissement est introduit de deux manières dans les systèmes linéaires à N ddl
L’amortissement visqueux L’amortissement de Rayleigh : la matrice d’amortissement C est proportionnelle aux
matrices de raideur K et de masse M : MKC . Les coefficients (exprimé en
Dr. Faouzi LAKRAD 55
1s ) et (exprimé en s ) ne sont pas connus à priori et doivent être déterminés
expérimentalement.
Dr. Faouzi LAKRAD 56
Exercices corrigés du Chapitre IV
Exercice 1 1) Enumérer les notions nouvelles que vous avez apprises dans le cours de Dynamique des
Vibrations.
2) Discuter les différences entre la formulation de Lagrange et la 2ème
loi de Newton.
3) Donner la différence entre un mode propre rigide et un mode propre élastique.
4) Quand est ce qu’un système masses-ressorts admet des modes propres rigides ?
5) Proposer deux méthodes différentes pour atténuer les vibrations d’un système mécanique.
6) Pourquoi est-il préférable, quand c’est possible, de travailler dans la base modale ?
7) Quelle est la signature fréquentielle d’un balourd dans une machine tournante ?
8) Vous voulez déterminer expérimentalement les fréquences propres d’une structure,
décrivez les étapes de votre démarche ainsi que le matériel de mesure nécessaire. Soyez
précis!
1) Les notions nouvelles sont :
- Les raideurs et les masses équivalentes.
- L’amortissement visqueux équivalent.
- Réponse à une excitation arbitraire.
- Transmissibilité.
- Balourd.
- Fréquences et modes propres.
- Analyse modale.
2) La formulation de Lagrange est une formulation énergétique qui prend en compte
seulement les degrés de liberté réels (les degrés de liberté primitifs moins les contraintes). La
loi de Newton prend en compte tous les degrés de liberté primitifs.
3) Un mode propre rigide est un mode où il n’y a pas de déformation du système. Ce dernier
se comporte en corps rigide indéformable et il est sujet juste à des déplacements et des
rotations d’ensemble. Un mode propre élastique est un mode où il y a déformation du
système.
4) Un système masses-ressorts admet des modes propres rigides lorsqu’il est libre.
5) Pour atténuer les vibrations d’un système on peut :
* Ajouter d’un amortisseur dans les zones de résonances.
* Ajouter un étouffeur de vibration i.e., un système masse-ressort.
6) Le travail dans la base modal permet de découpler les équations de mouvement d’un
système.
7) La signature fréquentielle d’un balourd dans une machine tournante est une grande
puissance correspondant à la fréquence de rotation de la machine.
Dr. Faouzi LAKRAD 57
8) Pour déterminer expérimentalement les fréquences propres d’un système, on l’excite avec
un impact (vitesse initiale) et par la suite on mesure la dynamique via des capteurs
(accéléromètres, proximètres…) et enfin on fait l’analyse de Fourier pour déterminer les
spectres et par conséquent les fréquences propres.
Exercice 2
Déterminer les équations de mouvement linéaires des
systèmes suivants en utilisant la méthode de votre
choix. Préciser pour chaque cas les types de couplages
entre les coordonnées généralisées :
1) La figure 1 illustre un pendule attaché à un
chariot en translation. La masse de la tige de
longueur l est négligeable. Les mouvements se
font sans frictions ni dissipation.
2) La figure 2 illustre un double pendule où les
angles 1 , 2 et les vitesses angulaires sont
supposés petits.
-Figure1-
-Figure2-
1) L’énergie cinétique est : )cos(22
222 xmllm
xmM
Ec
L’énergie potentielle est : ))cos(1( mglEp
La formulation de Lagrange donne les équations de mouvement suivantes :
0))sin()cos(()( 2 mlxmM
0)sin()cos(2 mglxmlml
La linéarisation donne :
0)( mlxmM
02 mglxmlml
Sous forme matricielle :
0
0
0
002
x
mgl
x
mlml
mlmM
Le couplage est dynamique via la matrice de masse.
2) La figure 2 illustre un double pendule où les angles 1 , 2 et les vitesses angulaires sont
supposés petits.
L’énergie cinétique est :
)cos(2
212122
2
22
12 ML
MLMLEc
Dr. Faouzi LAKRAD 58
En terme d’énergie la linéarisation est équivalente à ne garder que les termes d’ordre
quadratique ou inférieure. Ainsi l’énergie cinétique s’écrit :
2122
2
22
12
2 ML
MLMLEc
L’énergie potentielle est :
))cos()cos(2())cos(1( 211 MgLMgLEp
Le modèle linéaire de l’énergie potentielle est :
2
222
1
MgLMgLE p
Les équations de mouvement linéarisées s’écrivent
0
022
222
12
122
12
MgLMLML
MgLMLML
0
02
2
221
121
L
g
L
g
Sous forme matricielle, les équations de mouvements s’écrivent :
0
0
0
02
11
12
2
1
2
1
L
gL
g
Le couplage est dynamique via la matrice de masse.
Exercice 3
Ecrire les équations du mouvement du modèle de la figure 3 qui
illustre le modèle d’un corps humain en position assise.
-Figure 3-
En utilisant la méthode des coefficients d’influence, les équations de mouvement s’écrivent :
0)()( 333313113111 xcxkxccxkkxm
03232222222 xcxkxcxkxm
0)()( 4422134422133432343233 xcxcxcxkxkxkxcccxkkkxm
03434444444 xcxkxcxkxm
Couplage élastique (statique) via la matrice de rigidité et couplage via la matrice
d’amortissement.
Exercice 4
Dr. Faouzi LAKRAD 59
La figure 4 montre un pendule suspendu à un
système masse ressort.
1. Ecrire les équations du mouvement de ce
système en utilisant la méthode de Lagrange.
2. Linéariser les équations de mouvement
obtenues. Ecrire les équations de mouvement
sous forme matricielle, et identifier chaque
matrice par un nom et un symbole (par exemple
la matrice masse est représentée par le symbole
M). Préciser le type du couplage.
3. Calculer les fréquences propres et les modes
propres.
4. Représenter graphiquement les modes propres.
- Figure 4 –
1- On va utiliser la méthode de Lagrange. Pour ce faire on va prendre comme origine de
la coordonnée généralisé x la position d’équilibre statique. On note la longueur à vide
du ressort l0 :
ixxlOm st
)( 01 ixv
1
21
2x
mEc
jlilxxlOm st
)sin())cos(( 02 jlilxv
)cos())sin((2
)sin(22
22222 xllx
mEc .
L’énergie cinétique totale est :
)sin(222
22222121 xll
mx
mmEEE ccc
L’énergie potentielle totale est :
2221 )(
2))cos(1()()( stststp xx
kglmxxgmxxgmE
L’application de la formulation de Lagrange donne :
0)())cos()sin(()( 212
221 stxxkgmgmllmxmm
0)sin()sin( 222
2 glmxlmlm
L’équilibre statique donne : stkxgmm )( 21 : la somme des poids égal à la force du rappel.
Les équations de mouvement deviennent :
0))cos()sin(()( 2221 kxllmxmm
0)sin()sin( 222
2 glmxlmlm
2- Linéarisons les équations de mouvement i.e., on néglige les termes d’ordres non linéaires
de et x ainsi que leurs dérivées : )sin( et 1)cos( :
0)( 21 kxxmm
022
2 glmlm
C’est deux équation sont découpler (le couplage était non linéaire).
Sous forme matricielle ces deux équations s’écrivent :
Dr. Faouzi LAKRAD 60
0
0
0
0
0
0
22
2
21
x
glm
kx
lm
mm
KM
M : la matrice masse et K : la matrice de rigidité.
3- Les deux équations sont découplées :
Equation d’un masse-ressort : 0)( 21 kxxmm 021 xx avec
21
21
mm
k
. Le
vecteur propre correspondant est
0
11v .
Equation d’un pendule simple : 022
2 glmlm 022 avec
l
g2
2 . Le
vecteur propre associé est
1
02v .
4- Le mode propre v1 correspond à un mouvement de vibration de la masse m1 et un angle de
rotation nulle 0 du pendule.
Le mode propre v2 correspond à un mouvement de vibration du pendule et un déplacement
nul de la masse m1.
Exercice 5
Soit la masse 1m excitée par une force
harmonique )sin( tf . La masse 2m est
suspendue à la masse 1m via le ressort de raideur
2k , voir Figure 5.
1) Ecrire les équations de mouvement du
système.
2) Comment faut il choisir 2k et 2m pour
que la masse 1m reste immobile.
-Figure 5-
1) L’équation de mouvement s’écrit :
0
)(
122222
2212111
xkxkxm
fxkxkkxm
2) Pour que la masse m1 reste immobile il faut que sa solution particulière soit nulle. La
solution particulière est cherchée sous la forme suivante : )sin(1 tAx et
)sin(2 tBx .
Par conséquent, ateurDéno
mkA
min
22 . La masse m1 est immobile si A=0 par
conséquent 22 mk .
Exercice 6
Calculer les fréquences propres et les modes propres
du système de la figure 6.
Dr. Faouzi LAKRAD 61
-Figure 6-
Etape 1 : L’équation de mouvement s’écrit :
0
0
0
0
2
0
00
020
00
3
2
1
3
2
1
x
x
x
kk
kkk
kk
x
x
x
m
m
m
Etape 2 : Calcul des fréquences propres :
01 , m
k2 ,
m
k23
La fréquence propre 0 correspond à un mouvement de corps rigide (translation).
Etape 3 : Calcul des vecteurs propres :
1
1
1
1u ,
1
0
1
2u ,
1
1
1
3u
Etape 4 : la solution générale
)2sin()sin(
)2sin(
)2sin()sin(
)2
sin()sin()(
)(
)(
)(
)(
33221211
331211
33221211
33322211211
3
2
1
tm
kAt
m
kAAtA
tm
kAAtA
tm
kAt
m
kAAtA
tm
kAt
m
kAAtA
tx
tx
tx
t uuux
Etape 5 : Si on prend les conditions initiales suivantes :
0
0
1
)0(x et
0
0
0
)0(x
)cos(2
)cos(
)cos(2
)cos(2
)cos(
0
0
0
)0(
332211
3311
332211
m
kA
m
kAA
m
kAA
m
kA
m
kAA
x
Par la suite on résout le système algébrique de 6 équations pour avoir les 6 inconnus du
problème qui sont ,, 32 321211 A,A,A,A .
)sin()sin(
)sin(
)sin()sin(
0
0
1
)0(
332212
3321
332212
AAA
AA
AAA
x
Dr. Faouzi LAKRAD 62
Exercice 7
L’arbre d’un moteur, supposé symétrique, est modélisé par
une tige de masse m et de moment d’inertie I. L’effet des
paliers est modélisé par deux ressorts 1k et 2k . Voir figure 7.
-Figure 7-
L’énergie cinétique est donnée par
22
22
Jy
mEc
L’énergie potentielle
2221 )2
(2
)2
(2
L
ykL
yk
E p
Pour avoir les équations de mouvement on utilise la méthode de Lagrange.
Exercice 8
Ecrire les équations du mouvement du système de la figure 8.
-Figure 8-
La position de la masse 1m est :
ixOm
1
Sa vitesse est
ixv
1
La position du centre G de masse de la barre est donnée par
jl
il
xOG
)cos(2
))sin(2
(
Sa vitesse est
jl
il
xv
)sin(2
))cos(2
(2
L’énergie cinétique totale est donnée par
222
222
11
222
Jv
mv
mEc
2222
2221
2))cos(
4(
22
Jxl
lmx
mmEc
L’énergie potentielle est donnée par
)cos(22
2
2 l
gmxk
E p
Dr. Faouzi LAKRAD 63
Exercice 9
Ecrire les équations du mouvement du système de la figure
9.
-Figure 9-
L’énergie cinétique est : )cos(22
222 xmllm
xmM
Ec
L’énergie potentielle est : ))cos(1( mglEp
La formulation de Lagrange donne les équations de mouvement suivantes :
0))sin()cos(()( 2 mlxmM
0)sin()cos(2 mglxmlml
La linéarisation donne :
0)( mlxmM
02 mglxmlml
Sous forme matricielle :
0
0
0
002
x
mgl
x
mlml
mlmM
Le couplage est dynamique via la matrice de masse.
Exercice 10
La figure 10 montre un modèle masses-
ressorts-amortisseurs d’une voiture. Le point G
est le centre de masse. En supposant que
l’angle est petit, tel que )sin( et
)sin( .
Ecrire les équations du mouvement de ce
système en utilisant la méthode de Lagrange.
Ecrire les équations de mouvement sous forme
matricielle, et identifier chaque matrice par un
nom et un symbole (par exemple la matrice
masse est représentée par le symbole M).
- Figure 10 –
L’énergie cinétique est : 223
22
221
1
2222 G
c
Jx
Mx
mx
mE
L’énergie potentielle est : )(2
)(2
)(2
2232
12322
221
1 lxxk
lxxk
xxk
Ep
L’énergie dissipée est : )(2
)(2
)(2
2232
12322
221
1 lxxk
lxxk
xxc
D
Dr. Faouzi LAKRAD 64
Exercice 11
Ecrire les équations du mouvement des systèmes suivants
