Pengolahan Sinyal Digital

Nugroho Adi Pramono

September 1, 2015

Notasi

Sinyal

R adalah garis real

C adalah bidang kompleks

Z adalah integer

Notasi

Sinyal

huruf kecil mewakili sinyal temporal

sinyal waktu kontinyu (fungsi garis, fungsi sinus) ditulisdengan variabel dalam kurung:x(t), y(t)

sinyal diskrit variabelnya ditulis dalam kurung siku: x [n], y [n]

Notasi

Sinyal

sebuah sinyal waktu kontinyu x(t) di definisikan di interval[0,T ], ekstensi periodiknya adalah

x̃(t) = x(t modT )

Notasi

Sinyal

sebuah sinyal waktu diskrit x(t) di definisikan di interval0 ≤ n ≤ N − 1, ekstensi periodiknya adalah

x̃ [n] = x(nmodN)

Convolution

Konvolusi sinyal waktu kontinyu didefinisikan sebagai berikut

{x ∗ y}(t) =

∫ ∞−∞

x(τ)y(t − τ)dτ, t ε R (1)

Konvolusi adalah sebuah operator yang bekerja pada sepasangsinyal waktu-kontinyu x dan y , dan menghasilkan sinyal x ∗ y , yangnilainya pada waktu t adalah {x ∗ y}(t)

Konvolusi sinyal diskrit adalah

{x ∗ y}[n] =∞∑

m=−∞x [m]y [n −m], n ε Z (2)

Konvolusi sinyal diskrit adalah operator yang bekerja padasepasang sinyal waktu diskrit x dan y , dan menghasilkan sinyalwaktu diskrit x ∗ y , yang nilainya saat waktu n adalah {x ∗ y}[n]

The circular convolution of finite duration, discrete-time signals{x [n], y [n]}, 0 ≤ n ≤ N − 1 adalah

{x � y}[n] =N−1∑m=0

x [m]y [(n −m) mod N], 0 ≤ n ≤ N − 1 (3)

Konvolusi melingkar dapat dipandang sebagai operator yangbekerja pada sepasang vektor x dan y berdimensi-N, danmenghasilkan sebuah vektor x � y berdimensi N, yang komponenke-n-nya adalah {x � y}[n]

Transformasi

Ada dua notasi

huruf aneh untuk operator

huruf kapital dengan superscript untuk menunjukkan fungsi.

Superscript

Huruf besar sinyal yang ditransformasi adalah sinyal kontinyu

Huruf kecil sinyal yang ditransformasi adalah sinyal diskrit

Two-sided Laplace transform dari sinyal waktu kontinyu x(t)adalah

X L(s) = {Lx}(s) =

∫ ∞−∞

x(t)e−stdt, s ε C (4)

Transformasi Fourier dari sinyal waktu kontinyu x(t)

X F (ω) = {Fx}(ω) =

∫ ∞−∞

x(t)e−jωtdt, ω ε R (5)

inverse

x(t) = {F−1X F}(t) =1

2π

∫ ∞−∞

X F (ω)e jwtdω, t ε R (6)

jika kedua transformasi ada (Laplaco dan Fourier)

X F (ω) = X L(jω) (7)

Deret Fourier untuk sinyal waktu kontinyu x(t) pada interval [0,T ]adalah

X s [k] = {Sx}[k] =1

T

∫ T

0x(t)e−

j2πktT dt, k ε Z (8)

inverse

x(t) = {S−1X S}(t) =∞∑

k=−∞X S [k]e

j2πktT , 0 ≤ t ≤ T (9)

The two-sided z-transform dari sinyal waktu-diskrit x[n]

X z(z) = {Zx}(z) =∞∑

n=−∞x [n]z−n, z ε C (10)

Transformasi fourier dari sinyal waktu diskrit x[n] adalah

X f (θ) = {Fx}(θ) =∞∑

n=−∞x [n]e−jθn, θ ε R (11)

inverse

x [n] = {F−1X f }[n] =1

2π

∫ pi

−πX f (θ)e jθndθ, n ε Z (12)

Jika transformasi z dan Fourier ada maka

X f (θ) = X z(e jθ) (13)

discrete Fourier transform of the finite-duration, sinyal waktudiskrit {x [n], 0 ≤ n ≤ N − 1} adalah

X d [k] = {Dx}[k] =N−1∑n=0

x [n]e−j2πknN , 0 ≤ k ≤ N − 1 (14)

inverse

x [n] = {D−1X d}[n] =1

N

N−1∑k=0

X d [k]ej2πknN , 0 ≤ n ≤ N − 1 (15)