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Teléfono: Fecha: 17/03/2010

Asunto: UN PASEO POR LA

HISTORIA DE LA

MATEMÁTICAS:

HABLEMOS DE

LEONARDO PISANO

FIBONACCI.

CC: Por:J J O'Connor y E F

Roberts on MacTutor History

of Mathematics Archive y Lic.

Miguel O. Martin(h).-

(La edición nos pertenece.

Matafuegos DRAGODSM).-

Urgente Para revisar Responder

Nacido: 1170 en (probablemente) Pisa (ahora en Italia) Muerto: 1250 en (posiblemente) Pisa (ahora en Italia)NOTA: El presente retrato procede de una tumba moderna y se cree que no está basado en fuentes auténticas.

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Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo

Leonardo de Pisa fue sin duda el matemático más original y hábil de toda la época medieval cristiana, pero buena parte de sus trabajos eran demasiado difíciles para ser bien comprendidos por sus contemporáneos…

Leonardo Pisano es mejor conocido por su sobrenombre “Fibonacci”. Era el hijo de Guilielmo y un miembro de la familia Bonacci. El mismo Fibonacci a veces usaba el nombre Bigollo, que puede significar inútil o bien un viajero.

“¿Querían sus compatriotas expresar por este epíteto su desdén por un hombre que se preocupaba con cuestiones sin valor práctico, o acaso la palabra significa en el dialecto toscano un hombre muy viajado, cosa que él era?”

Fibonacci nació en Italia pero fue educado en el norte de África donde su padre, Guilielmo, tuvo un puesto diplomático.

El trabajo de su padre era representar a los comerciantes de la república de Pisa que operaban en Bugia, más tarde llamada Bougie y ahora llamada Bugía. Bugía es un puerto mediterráneo al noreste de Argelia. La ciudad se asienta en la desembocadura del Wadi Soummam cerca del Monte Gouraya y el Cabo Carbon.

Fibonacci fue educado en matemáticas en Bugía y viajó mucho con su padre y reconoció las enormes ventajas de los sistemas matemáticos usados en los países que visitó.

Fibonacci escribe en su famoso libro Liber abaci(1202):

“Cuando mi padre, que había sido nombrado por su país como notario público en la aduana de Bugía actuando para los mercaderes pisanos que allí iban, estaba en el cargo, me convocó a su lado mientras yo era aún un niño, y con la vista puesta en la utilidad y la comodidad futura, quiso que permaneciese allí y recibiese instrucción en la escuela de contabilidad. Allí, cuando había sido introducido en el arte de los nueve símbolos indios a través de una admirable educación, el conocimiento del arte muy pronto me satisfizo sobre todo lo demás y llegué a comprenderlo, por que cualquier cosa era estudiada por el arte en Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza, en todas sus variadas formas”.

Fibonacci terminó sus viajes alrededor del año 1200 y en esa época regresó a Pisa. Allí escribió un número de importantes textos que jugaron un importante papel en el despertar de las antiguas habilidades matemáticas e hizo contribuciones significativas propias.

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Fibonacci vivió en los días anteriores a la imprenta, por lo que sus libros fueron manuscritos y la única forma de conseguir una copia de uno de ellos era tener hecha otra copia manuscrita. De sus libros aún tenemos copias del Liber abaci (1202), Practica geometriae (1220), Flos(1225), y el Liber quadratorum.

Dadas las relativamente pocas copias manuscritas que se habrían producido, somos afortunados de tener acceso a sus escritos en estas obras. Sin embargo, sabemos que escribió algunos otros textos, que , desafortunadamente, están perdidos.

Su libro de aritmética comercial Di minor guisa se ha perdido al igual que su comentario sobre el Libro X de los Elementos de Euclides, que contenía un tratamiento numérico de los números irracionales a los que Euclides se había aproximado desde un punto de vista geométrico.

Uno puede haber pensado que en una época en la que Europa estaba poco interesada en la erudición, Fibonacci habría sido ampliamente ignorado.

Esto, sin embargo, no es así y un amplio interés en su obra sin duda contribuyó fuertemente a su importancia. Fibonacci fue contemporáneo de Jordano pero él fue un matemático bastante más sofisticado y sus logros fueron claramente reconocidos, aunque fueron las aplicaciones prácticas más que los teoremas abstractos los que le hicieron famoso para sus coetáneos.

El emperador del Sacro Imperio Romano Germánico era Federico II. Había sido coronado Sacro Emperador Romano por el Papa en la Iglesia de San Pedro de Roma en Noviembre de 1220. Federico II apoyó a Pisa en sus conflictos con Génova en el mar y con Lucca y Florencia en tierra, y empleó los años hasta 1227 consolidando su poder en Italia. El control del estado fue introducido en el comercio y la industria, y fueron entrenados funcionarios civiles para supervisar este monopolio en la Universidad de Nápoles que Federico fundó para este propósito en 1224.

Federico tuvo noticias de la obra de Fibonacci a través de los eruditos de su corte que habían mantenido correspondencia con él desde su regreso a Pisa alrededor del 1200. Estos eruditos incluían a Michael Scotus que era el astrólogo de la corte, Theodorus Physicus el filósofo de la corte y Dominicus Hispanus que sugirió a Federico que se encontrara con Fibonacci cuando la corte de Federico se reunió en Pisa alrededor del1225.

Johannes de Palermo, otro miembro de la corte de Federico II, presentó un conjunto de problemas como retos para el gran matemático Fibonacci. Tres de estos problemas fueron resueltos por Fibonacci y dio las soluciones en Flos que envió a Federico II.

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Damos más adelante algunos detalles de uno de estos problemas.

Tras 1228 sólo hay un documento conocido que se refiere a Fibonacci. Este es un decreto de la República de Pisa en 1240 en el que se otorga un salario a :

... el serio y culto Maestro Leonardo Bigollo ....

Este salario fue otorgado a Fibonacci en reconocimiento por los servicios que había prestado a la ciudad, aconsejando sobre temas de contabilidad y enseñando a los ciudadanos.

El Liber abaci, publicado en 1202 tras el regreso de Fibonacci a Italia, estaba dedicado a Scotus. El libro estaba basado en la aritmética y el álgebra que Fibonacci había acumulado durante sus viajes. El libro, que llegó a ser ampliamente copiado e imitado, presentaba el sistema decimal indo-arábigo de valor posicional y el uso de los números árabes en Europa. De hecho, aunque es principalmente un libro sobre el uso de los números árabes, que llegaron a ser conocidos como 'algorismo', las ecuaciones lineales simultáneas también se estudian en esta obra. Ciertamente muchos de los problemas que Fibonacci considera en el Liber abaci eran similares a los aparecidos en las fuentes árabes.

La segunda sección del Liber abaci contiene una amplia colección de problemas dirigidos a los mercaderes. Están relacionados con el precio de los bienes, cómo calcular el beneficio en las transacciones, cómo convertir entre las distintas monedas en uso en los países del Mediterráneo, y problemas que tenían su origen en China.

Un problema de la tercera sección del Liber abaci condujo a la introducción de los números de Fibonacci y la secuencia de Fibonacci por la que es actualmente más recordado:

Cierto hombre puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por todas partes por una valla. ¿Cuántas parejas de conejos pueden ser producidos por esa pareja en un año si se supone que cada mes cada pareja engendra una nueva pareja que desde el segundo mes se hace productiva?

La secuencia resultante es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... (Fibonacci omitió el primer término en el Liber abaci). Esta secuencia, en la que cada número es la suma de los dos números precedentes, se ha probado extremadamente fructífera y aparece en muchas áreas diferentes de las matemáticas y la ciencia.

"En un patio cerrado, se coloca una pareja de conejos para ver cuántos descendientes produce en el curso de un año, y se supone que cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva. Como la primera pareja de conejos tiene descendencia en el primer mes, dobla el número y, en este mes, se tienen dos parejas.

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De éstas, una pareja, la primera, también tiene descendencia en el mes siguiente, de manera que en el segundo mes hay tres parejas. De ésas, dos parejas tienen descendencia en el mes siguiente, de modo que en el tercer mes han nacido dos parejas adicionales de conejos, y el número total de parejas de conejos llega a cinco. En dicho mes tres de estas cinco parejas tienen hijos y, en el cuarto, el número de parejas llega a 8. Cinco de estas parejas producen otras cinco parejas, las cuales, junto con las 8 parejas ya existentes, hacen 13 parejas en el quinto mes. Cinco de estas parejas no tienen hijos en este mes en este mes, mientras que las restantes ocho parejas tienen descendencia, de modo que en el sexto mes se tienen 21 parejas. Sumando a éstas las 13 parejas que nacen en el séptimo mes, se obtiene un total de 34 parejas. Sumando a éstas las 21 parejas que nacen en el octavo mes, el total es de 55 parejas. Sumando a éstas las 34 parejas que nacen en el noveno mes, se obtienen 89 parejas. Agregando a éstas las 55 parejas que nacen en el décimo mes, se tiene un total de 144 parejas. Agregando a éstas las 89 parejas que nacen en el undécimo mes, se llega a un total de 233 parejas.

Finalmente, sumando a éstas 144 parejas que nacen en el último mes, se obtienen un total de 377 parejas. Este es el número de parejas producidas por la primera pareja en el lugar dado, al término de un año.

Al examinar la tabla anterior, el lector puede ver cómo se llega a este resultado; a saber: se suma el primer número al segundo, o sea, 1 a 2; el segundo al tercero; el tercero al cuarto, el cuarto al quinto; y así sucesivamente, hasta que se suman el décimo y el undécimo números 144 y 233; así se obtiene el número total de parejas de los conejos en cuestión, es decir, 377."

En honor de Fibonacci, la sucesión definida por

f1 = f2 = 1 fn = fn - 1 + fn - 2 para n >= 3

….recibe el nombre de sucesión de Fibonacci y sus término números de Fibonacci.

Los primeros términos de la sucesión de Fibonacci son:

f 1 = 1 f 2 = 1 f 3 = f 2 + f 1 = 2 f 4 = f 3 + f 2 = 3 f 5 = f 4 + f 3 = 5 f 6 = f 5 + f 4 = 8 f 7 = f 6 + f 5 = 13 ...

Parejas: 1primer mes 2segundo mes 3tercer mes 5cuarto mes 8quinto mes 13sexto mes 21séptimo mes 34octavo mes 55noveno mes 89décimo mes 144undécimo mes 233duodécimo mes377

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Es decir:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,

...

En ella f 14 = 377 es el resultado buscado por Fibonacci…

El Fibonacci Quarterly (Fibonacci trimestral) es una revista moderna dedicada al estudio de las matemáticas relacionadas con esta secuencia…..

Muchos otros problemas se dan es esta tercera sección, incluyendo estos tipos, y muchos otros más:

Una araña trepa tantos pasos por un muro cada día y resbala un número fijo cada noche, cuántos días le llevará escalar el muro.

Un sabueso cuya velocidad crece aritméticamente persigue una liebre cuya velocidad también crece aritméticamente, que distancia recorrerán antes de que el sabueso atrape a la liebre.

Calcular la cantidad de dinero que dos personas tienen tras cierta cantidad de manos de cambio y el incremento y disminución proporcional son dados.

Hay también problemas que implican a los números perfectos, problemas que implican el teorema chino del resto y problemas que implican la suma de series aritméticas y geométricas….

Fibonacci trata los números como √10 en la cuarta sección, tanto con aproximaciones racionales como con construcciones geométricas.

Una segunda edición del Liber abaci fue producida por Fibonacci en 1228 con un prefacio, típico de tantas segundas ediciones de libros, declarando que:

... se ha añadido nuevo material [al libro] del que el superfluo ha sido quitado...

Otro de los libros de Fibonacci es el Practica geometriae escrito en 1220 que está dedicado a Dominicus Hispanus a quien ya mencionamos anteriormente. Contiene una amplia colección de problemas de geometría organizados en ocho capítulos con teoremas basados en los Elementos y en Sobre las Divisiones de Euclides… Además de los teoremas geométricos con pruebas precisas, el libro incluye información práctica para topógrafos, incluyendo un capítulo sobre cómo calcular la altura de objetos altos usando triángulos similares. El capítulo final presenta lo que Fibonacci llamó sutilezas geométricas..

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….”Entre los incluidos está el cálculo de los lados del pentágono y el decágono a partir del diámetro de las circunferencias circunscrita e inscrita; el cálculo inverso también se da, al igual que el de los lados a partir de las superficies. ... para completar la sección sobre triángulos equiláteros, se inscriben un cuadrado y un rectángulo en un triángulo así y sus lados son calculados algebraicamente ...”

En Flos Fibonacci da una precisa aproximación a la solución de 10x+ 2x2 + x3 = 20, uno de los problemas a los que fue retado a resolver por Johannes de Palermo…… este problema no fue inventado por Johannes de Palermo, sino que lo tomó del libro de álgebra de Omar Khayyam en el que se resuelve por medio de la intersección de una circunferencia y una hipérbola. Fibonacci prueba que la solución de la ecuación no es un entero ni una fracción, ni la raíz cuadrada de una fracción. Después él continua:

“Y debido a que no es posible resolver esta ecuación de ninguna otra forma de las citadas anteriormente, trabajé para reducir la solución a una aproximación”…

Sin explicar sus métodos, Fibonacci da entonces la solución en notación sexagesimal como 1.22.7.42.33.4.40 (que está escrito en base 60, por lo que es igual a 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 + ...). Esto convertido al decimal es 1.3688081075 que es correcto con nueve decimales….. un logro admirable!.

El Liber quadratorum, escrito en 1225, es la pieza más impresionante de la obra de Fibonacci, aunque no la obra por la que es más famoso. El nombre del libro significa el libro de los cuadrados y es un libro de la teoría de los números que, entre otras cosas, examina los métodos para encontrar los triples Pitagóricos.

Fibonacci primero destaca que los números cuadrados pueden ser construidos como sumas de impares, esencialmente describiendo una construcción inductiva usando la fórmula n2 + (2n + 1) = (n + 1)2. ….Fibonacci escribe:

“Pensé sobre el origen de todos los números cuadrados y descubrí que obedecían al ascenso regular de los números impares. Dado que la unidad es un cuadrado y de ella se produce el primer cuadrado, a saber 1; sumando 3 a éste se hace el segundo cuadrado, a saber 4, cuya raíz es 2; si a esta suma se añade un tercer número impar, a saber 5, se producirá el tercer cuadrado, a saber 9, cuya raíz es 3; y así la

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secuencia y serie de números cuadrados siempre crece mediante la adición regular de números impares”.

Para construir los tripes Pitagóricos, Fibonacci procede como sigue:

“Así cuando deseo encontrar dos cuadrados cuya adición produce un cuadrado, tomo cualquier cuadrado impar como uno de los dos y hallo el otro cuadrado por la suma de todos los números impares desde la unidad hacia arriba pero excluyendo el cuadrado impar. Por ejemplo, tomo 9 como uno de los dos números cuadrados mencionados; el cuadrado siguiente se obtendrá por la adición de todos los números impares inferiores a 9, es decir 1, 3, 5, 7, cuya suma es 16, un cuadrado que cuando se suma a 9 da 25, otro cuadrado”.

Fibonacci también prueba muchos resultados de la teoría de números tales como: no hay x, y tales que x2 + y2 y x2 - y2 sean ambos cuadrados. y x4 - y4 no puede ser un cuadrado.

Definió el concepto de un congruum, un número de la forma ab(a + b)(a - b), si a + b es par, y 4 veces este si a + b es impar. Fibonacci probó que un congruum debe ser divisible por 24 y también mostró que para x, c tales que x2 + c y x2 - c sean ambos cuadrados, entonces c es un congruum. También probó que un cuadrado no puede ser un congruum.

“... el Liber quadratorum por si solo clasifica a Fibonacci como el principal contribuyente a la teoría de números entre Diofanto y el matemático francés del siglo 17 Pierre deFermat.”

La influencia de Fibonacci fue más limitada de lo que uno esperaría y aparte de su papel en la propagación del uso de los números indo-arábigos y su problema del conejo, la contribución de Fibonacci a las matemáticas ha sido ampliamente pasada por alto.

“Sólo ejercieron influencia directa aquellas partes del 'Liber abaci' y del 'Practica' que sirvieron para introducir los números y los métodos indo-arábigos y contribuyeron adominar problemas de la vida diaria. Aquí Fibonacci se convierte en el profesor de los maestros de computación y de los topógrafos, como se aprende de la 'Summa' de Luca Pacioli ... Fibonacci fue también el maestro de los 'Cosistas', que tomaron su nombre de la palabra 'causa' que fue usada por primera vez en

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occidente por Fibonacci en lugar de 'res' o 'radix'. Su designación alfabética para el número general o coeficiente fue primero mejorada por Viète ...”

La obra de Fibonacci en la teoría de números fue casi totalmente ignorada y virtualmente desconocida durante la edad media. …..trescientos años más tarde encontramos los mismos resultados apareciendo en la obra de Maurolico!!!.

GLOSARIO Y NOTAS DEL TRADUCTOR

1. Un número irracional es un número real que no es racional, es decir, que no puede escribirse como el cociente (división) de dos números enteros. Ejemplos: π, e, √2.

2. N. del T: 'algorismo': procede del nombre de un autor árabe del siglo noveno, al-Khowarizmi, latinizado Al- Juarismi y es antepasado del moderno 'algoritmo'. De la misma raíz proceden los vocablos 'álgebra' y 'guarismo'.

3. La secuencia de Fibonacci es la secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... generada por la regla f1 = f2 = 1 , fn+1 = fn + fn-1. Fue presentada por Fibonacci de Pisa en Liber abaci en un problema que involucraba el crecimiento de una población de conejos.

4. Un número perfecto es un entero tal que la suma de sus divisores propios es igual al número mismo. Por ejemplo, 6 y 28 son números perfectos

5. Un número racional es un número real que puede escribirse como el cociente (división) de dos números enteros. Ejemplos: 2/3, 0.333333..., 2

6. Se dice que un círculo está circunscrito en un triángulo u otro polígono si los vértices del polígono están sobre la circunferencia. Se dice entonces también que el polígono está inscrito en el círculo.

7. Se dice que un círculo está inscrito en un triángulo u otro polígono si los lados de éste último son tangentes al círculo. Se dice entonces que el polígono está circunscrito al círculo.

8. Una hipérbola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e > 1, o mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax2 - by2 = 1.

9. En el sistema sexagesimal los cálculos se hacen en base 60 tal y como lo hacían los antiguos babilonios. Los rastros de la notación sexagesimal pueden verse en nuestro método para decir la hora y en el de medir ángulos.

10. La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los números naturales N. Incluye temas como los números primos (incluyendo el teorema de los números primos), la reciprocidad de cuadrados, las formas cuadráticas, la aproximación diofantina y las ecuaciones diofantinas, los campos de números algebraicos, el último teorema de Fermat y los métodos desarrollados para demostrarlo.

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11. Un número cuadrado es el número de puntos que pueden acomodarse en un cuadrado: 1, 4, 9, 16, ... En general, n2.

ANÉCDOTAS Y CURIOSIDADES

Su nombre es Leonardo Pisado, pero a veces él se llamaba Bigollo que puede significar "bueno para nada" o "viajero"…

Todos sus libros son manuscritos, puesto que vivió antes de inventar la imprenta.

Fue el matemático más sofisticado de su época, a pesar de dedicarse más a las aplicaciones prácticas que a los teoremas abstractos.

Mantuvo correspondencia con algunas personas de la corte de Federico II: el astrólogo, Michael Scotus; el filósofo, Theororus y Dominicus Hispanus.

En uno de sus libros, Flos, da las soluciones de unos problemas que le planteó Juan de Palermo que era otro de los componentes de la corte de Federico II.

Existe una revista actualmente que se dedica a estudiar la famosa serie de Fibonacci. Sunombre es Fibonacci Quarterly. Y un juego llamado " El nim de Fibonacci"

" Tuvo esposas Fibonacci, que comer nada comían, tanto así pesaba cada una como juntas sus dos antecesoras ¡Era la quinta una gran señora! J.A. Lindon

LIBROS ESCRITOS

En 1202 y posteriormente revisada en 1228 escribe Liber Abaci, donde trata fundamentalmente de distintos problemas aritméticos aplicados a la vida real y al cálculo comercial. En él aparece la numeración hindú y la famosa serie que lleva su nombre. , en 1228 hay una edición revisada y dedicada a un famoso astrólogo

Escribió en 1220 Practica Geometriae, es un tratado de problemas de geometría tanto sobre figuras planas como sólidas. Contiene los comienzos de la trigonometría.

También es suya la obra Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometriam pertinentium. Es decir, Ramillete de soluciones de ciertas cuestiones relativas al número y a la geometría.

Su cuarta obra es una simple carta que el autor escribió a Teodoro, filósofo de la corte de Federico II, donde trata dos problemas, uno de álgebra y otro de álgebra geométrica.

Su última obra fue Liber Quadratorum. En este libro trata sobre los números cuadrados. En el resuelve el problema que le planteó el matemático Juan de Palermo para que encontrara un número cuadrado que aumentado o disminuido en cinco unidades dé como resultado otro número cuadrado.

PRINCIPALES APORTACIONES A LAS MATEMÁTICAS

Introdujo y popularizó el uso de las cifras hindúes (las actuales).

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Fue el introductor de la cifra 0. Introdujo la barra horizontal para separar el numerador del denominador. Encontró un método para obtener ternas pitagóricas. Demostró muchos resultados importantes en teoría de númermos. Definió el concepto de "congruum" Demostró que un cuadrado no puede ser un congruum.

FIBONACCI….. EN LA BOLSA DE COMERCIO….

Los agentes que participan dentro del mercado bursátil están en continua búsqueda de herramientas que logren dar señales acertadas de compra y venta de acciones con el fin de obtener rentabilidades superiores.

Los principales objetivos que la Serie de Fibonacci pretende alcanzar en su aplicación al mercado Bursátil son los siguientes:

En lo que a precios respecta, busca predecir rangos de precios objetivos a los que debiera llegar una acción cuando se encuentra en una determinada tendencia.

En lo que a tiempo se refiere, busca determinar el periodo de tiempo que durará una tendencia, y cuando ocurrirá un cambio en ella.

Las herramientas

El siguiente ejemplo esta presentado usando la plataforma trading de marketiva la cual nos ofrece 3 posibilidades de utilizar las teorías de fibonacci.

Todas ellas son movibles a nuestro gusto tanto en longitud como horizontal o verticalmente, pero siempre conservando la proporción de la teoría.

Fibonardi retracement ( Retroceso de fibonacci)

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Fibonacci arcs (Arcos de fibonacci)

Fibonacci fan ( Angulos de fibonacci )

La utilidad que proporciona LA SERIE DE FIBONACCI radica en sus propiedades fundamentales, descubiertas en el siglo XVIII:

1. Si se dividen los números que son consecutivos de la serie, es decir, 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, etc. Se verá que el resultado obtenido tiende al número 0.618.

2. Si se dividen los números no consecutivos de la serie, es decir, ½, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13, 8/21, etc. Se observará que el resultado obtenido tiende al número 0.382.

3. Si se calcula ahora la razón de cualquier número de la serie al siguiente número más bajo, es decir, 21/13, 13/8, 8/5... el resultado tiende a 1.618, que es el inverso de 0.618.

4. Si se calcula ahora la razón de cualquier número de la serie al siguiente número más bajo no consecutivo, es decir, 21/8, 13/5, 8/3... el resultado tiende a 2.618, que es el inverso de 0.382.

Por ej.; 144 / 233 = 0,618 144/89= 1.6179

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La divergencia entre el resultado de estos cocientes y 0,618 ó 1,618, es mayor cuanto más pequeño son los números de la serie utilizados.

La proporción 1,618, ó su inversa 0,618, fueron denominada por los antiguos griegos “razón áurea” o “media áurea”, y se representa con la letra griega phi, que hace referencia al autor griego Phidias. Chirstopher Carolan, menciona que Phidias, autor de las estatuas de Atenas en el Partenón y de Zeus en Olimpia, considero determinante el papel del número phi en el Arte y la Naturaleza .

Este ratio cuyo inverso es él mismo más la unidad, caracteriza a todas las progresiones de este tipo, sea cual sea el número inicial.

FINALMENTE…. UN BONUS TRACK…..LA RELACIÓN ENTRE….

……. EL TRIÁNGULO DE PASCAL y LA SUCESIÓN DE FIBONACCI…

El Triángulo de Pascal (también conocido como triángulo de Tartaglia) es un triángulo formado por números enteros que es bien conocido por gran cantidad de gente al aparecer en los libros de texto desde secundaria en adelante. De todas formas vamos a ver cómo se construye:

Construcción del Triángulo de Pascal

Colocamos un 1 en el vértice superior del triángulo. Después, en la fila inferior, colocamos un 1 a la derecha y un 1 a la izquierda del 1 de arriba. En la inferior colocamos un 1 a cada extremo y entre los dos unos colocamos un 2 (1 + 1). En la inferior un 1 en cada extremo y en medio un 3 entre el 1 y el 2 (1 + 2) y otro 3 entre el 2 y el 1 (2 + 1). Y así sucesivamente: en los extremos un 1 a cada lado y en las posiciones intermedias colocamos la suma de los números de arriba. Queda una cosa así:

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Su aplicación más importante es la siguiente: cada fila del triángulo representa los coeficientes de los monomios que aparecen en el desarrollo del binomio (a + b)n (tomando el 1 de arriba como la potencia n = 0), o lo que es lo mismo, los coeficientes que aparecen en el binomio de Newton coinciden con los elementos que aparecen en cada fila del triángulo de Pascal. Una propiedad realmente interesante….

Pero en el título aparece también la sucesión de Fibonacci……

…..pasa que éste número y la sucesión de Fibonacci están íntimamente relacionados, ya que es el límite de la sucesión formada por los cocientes de cada elemento de la sucesión y el inmediatamente anterior…..

Construcción de la sucesión de Fibonacci…..

La sucesión de Fibonacci se construye de la siguiente forma:

Es decir, su primer elemento es el 0, el siguiente el 1, y de ahí en adelante cada elemento es la suma de los dos anteriores. Por tanto los primeros elementos son:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…

Relación entre ellos

Y bueno, en principio estos dos objetos matemáticos no tienen demasiada relación. Pero en realidad sí la tienen. Tanto la sucesión de Fibonacci como el número de Oro aparecen en multitud de lugares, tanto matemáticos como reales. Y el triángulo de Pascal no iba a ser una excepción. ¿Cómo encontrar los elementos de la sucesión de Fibonacci en el triángulo de Pascal?. Pues de esta forma:

Dra

go D

sm -

Dis

tribu

idor

a S

an M

artín

http

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ww

.dra

gods

m.c

om.a

r

17 marzo 2010

Página 15

Realmente sorprendente cómo dos cosas que en principio no tienen mucha relación pueden converger de esta manera…..

Y para terminar les dejo algunas de las propiedades que tiene el triángulo de Pascal:

Si sumamos los elementos de cada fila obtenemos las potencias de 2: 1, 2, 4, 8, 16,…

Si tomamos cada fila como un número obtenemos los múltiplos de 11: 1, 11, 121, 1331, 14641,…

Si sumamos dos elementos consecutivos de la diagonal 1-3-6-10-15-… obtenemos un cuadrado perfecto: 1, 4, 9, 16, 25,…

Si en una fila el primer número después del 1 es un número primo se cumple que todos los demás números son divisibles por ese número primo (excluyendo los 1 claro está). Por ejemplo, en la fila 1-7-21-35-35-21-7-1 el primer número después del 1 es el 7, que es primo. Si nos fijamos en el resto de número, 35, 21 y 7, todos son divisibles por 7.

…mucho para este artículo… nos vemos (o leemos!) en el próximo!!

…gracias por acompañarme hasta acá.-

CCOONNOOZZCCAAMMOOSS NNUUEESSTTRRAA HHIISSTTOORRIIAA,, SSII NNOO EESSTTAAMMOOSS CCOONNDDEENNAADDOOSSAA CCOOMMEETTEERR LLOOSS MMIISSMMOOSS EERRRROORREESS..

DDIIFFUUNNDDAAMMOOSS LLAASS OOBBRRAASS DDEE AAQQUUEELLLLOOSS QQUUEE NNOOSS PPRREECCEEDDIIEERROONN--UUNN PPAAIISS SSIINN EEDDUUCCAACCIIOONN EESS UUNN PPAAIISS SSIINN FFUUTTUURROO..--

NNFFPPAA-- NNAATTIIOONNAALL FFIIRREE PPRROOTTEECCTTIIOONN AASSSSOOCCIIAATTIIOONN MMEEMMBBEERR

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