Notas de aula sobre Integração
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Universidade Federal de Viosa - Departamento de Matemtica
Notas de Aula - Clculo I - Integrais 1
Vamos
Comear
Antiderivada e Integrao Indefinida
principal objetivo dessa aula apresentar os conceitos de
antiderivada, integrais indefinidas, integrais definidas e clculo de
reas entre duas funes. Vamos comear com a definio da
operao antiderivar e apresentar o conceito de primitiva de uma funo.
Apresentaremos tambm os diversos mtodos de obteno de primitivas de funes. Os
conceitos de integral definida e clculo de reas entre funes tambm sero vistos.
Exerccios sobre como calcular a integral indefinida e a integral definida de uma funo
so apresentados.
Ao final dessa aula, o estudante deve ser capaz de:
Entender o que uma primitiva de uma funo;
Entender o conceito de integral indefinida de uma funo;
Reconhecer os diversos mtodos de integrao de uma funo;
Calcular a integral indefinida de uma funo;
Entender o conceito de integral definida de uma funo;
Aplicar o Teorema fundamental do clculo;
Calcular a rea entre duas funes.
Na matemtica aplicada ocorre freqentemente conhecermos a
derivada de uma funo e desejarmos encontrar a prpria funo.
A soluo de problemas desse tipo necessita que se desfaa a
operao de diferenciao, isto , somos forados a antiderivar.
Se f e F so duas funes tais que ( ) ( )xfxF =' dizemos que F uma
antiderivada de f. Assim, ( ) 2xxF = uma antiderivada de ( )xf , desde que
( ) xxDx 22 = . Se c uma constante, ento a funo definida por cxy += 2 tambm uma antiderivada de f, desde que ( ) xcxDx 22 =+ . Geralmente, definem-se antiderivada da seguinte maneira:
O
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Notas de Aula - Clculo I - Integrais 2
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Definio: Uma funo ( )xF chamada uma primitiva (antiderivada) da funo ( )xf
em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de ( )xf ), se para todo Ix , temos
( ) ( )xfxF =' .
A funo ( )3
3xxF = uma primitiva da funo ( ) 2xxf = , pois
( ) ( )xfxxxF === 2233
1' .
As funes ( ) 43
3
+=x
xG e ( ) ( )33
1 3 += xxH tambm so primitivas da
funo ( ) 2xxf = , pois ( ) ( ) ( )xfxHxG == '' .
A funo ( ) ( ) cxsenxF += 22
1, onde c uma constante, primitiva da
funo ( ) ( )xxf 2cos= .
Note que uma mesma funo ( )xf admite mais que uma primitiva. Com isso,
temos as seguintes proposies:
Proposio: Seja ( )xF uma primitiva da funo ( )xf . Ento, se c uma constante
qualquer, a funo ( ) ( ) cxFxG += tambm primitiva de ( )xf .
Proposio: Se ( )xf se anula em todos os pontos de um intervalo I, ento F
constante em I.
Proposio: Se ( )xF e ( )xG so funes primitivas de ( )xf no intervalo I, ento
existe uma constante c tal que ( ) ( ) cxFxG = , para todo Ix .
Da proposio acima conclumos que se ( )xF uma primitiva particular de f,
ento toda primitiva de f da forma ( ) ( ) cxFxG += , onde c uma constante.
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Exemplo Sabemos que ( ) xxdx
dcossen = . Assim, ( ) xxF sen = uma primitiva da
funo ( ) xxf cos= e toda primitiva de ( ) xxf cos= da forma ( ) cxxG += sen , para
alguma constante c.
Definio: Se ( )xF uma primitiva de ( )xf , a expresso ( ) cxF + chamada integral
indefinida da funo ( )xf e denotada por:
( ) ( ) cxFdxxf +=
Da definio acima, decorre que:
i. ( ) ( ) ( ) ( )xfxFcxFdxxf =+= ' .
ii. ( )dxxf representa a famlia de todas as primitivas da funo ( )xf .
Propriedades da integral indefinida Proposio: Sejam f e g funes e k uma constante. Ento:
i. ( ) ( )dxxfkdxxfk =
ii. ( ) ( )[ ] ( ) ( )dxxgdxxfdxxgxf =
Tabela de integrao: as imediatas
1. du u c= + 2. 1
, 11
nn uu du c n
n
+
= + +
3. lndu
u cu
= + 4. , 0, 1lnu
u aa du c a aa
= + >
5. u ue du e c= + 6. sen cosu du u c= +
7. cos senu du u c= + 8. tg ln secu du u c= +
9. cotg ln senu du u c= + 10. sec ln sec tgu du u u c= + +
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Exemplo
11. cosec ln cosec cotgu du u u c= + 12. sec tg secu u du u c= +
13. cosec cotg cosecu u du u c= + 14. 2sec tgu du u c= +
15. 2cosec cotgu du u c= + 16. 2 21
tgdu u
arc cu a a a
= ++
17. 2 22 2
1ln ,
2
du u ac u a
u a a u a
= + >
+ 18. 2 2
2 2ln
duu u a c
u a= + + +
+
19. 2 2
1sec
du uarc c
a au u a= +
20. 2 22 2 ln
duu u a c
u a= + +
21. 2 22 2
sen ,du u
arc c u aaa u
= + 0 possvel fazermos uma substituio
trigonomtrica adequada.
Vamos considerar cada forma com um caso separado:
Caso 1: O integrando contm uma expresso da forma 22 ua :
Neste caso, usamos senau = . Ento, dadu cos= . Supondo que
22
, temos:
( )
cos
cos
sen1
sen
22
22
22222
a
a
a
aaua
=
=
=
=
pois como 22
, 0cos .
Como sen=a
u,
=a
uarcsen
Calcular a integral dxxx
22 16
1
Soluo: O integrando contm a expresso 216 x , que da forma 22 ua ,
com 4=a . Logo, fazendo sen4=x , para 22
.
Segue-se que:
( )
cos4
cos16
sen116
sen161616
2
2
22
=
=
=
= x
Como sen4=x , ddx cos4= . Substituindo na integral dada, temos:
a
u
22 ua
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( )
c
d
d
ddxxx
+=
=
=
=
cot16
1
seccos16
1sen
1
16
1
cos4cos4sen16
1
16
1
2
2
222
Devemos agora, voltar varivel original x:
Como sen4=x , temos que sen4=
x. Como
sen
coscot = , temos que
x
x 216cot
= . Logo,
cx
xdx
xx+
=
16
16
16
1 2
22
Caso 2: O integrando contm uma expresso da forma 22 ua + :
Neste caso, usaremos tanau = . Ento, dadu 2sec= . Supondo que
20
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Exemplo Calcule dxx + 52 .
Soluo: Substitumos tan5=x , onde 2
0
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Exemplo
Caso 3: O integrando contm uma expresso da forma 22 au :
Neste caso, usamos secau = . Ento, tansecadu = . Supondo que
20
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Exemplo
Como sec5=x , sec5=
x. Olhando a figura, temos que
5
25tan
2 =
x .
Logo,
5ln,25ln
5ln25ln
5
25
5ln
25
112
2
2
2
=++=
++=
+
+=
cccxx
cxx
cxx
x
dx
Mtodos de Integrao: Fraes Parciais
Uma funo racional ( )xf a funo definida como o quociente de duas
funes polinomiais, ou seja,
( ) ( )( )xqxp
xf =
onde ( )xp e ( )xq so polinmios.
Veremos, a partir de agora, como integrar a funo f. A idia bsica escrever a
funo racional dada como uma soma de fraes mais simples.
Proposio: Se ( )xp um polinmio com coeficientes reais, ( )xp pode ser expresso
como um produto de fatores lineares e/ou quadrticos, todos com coeficientes reais.
O polinmio ( ) 232 += xxxq pode ser escrito como o produto dos
fatores lineares 2x e 1x , ou seja, ( ) ( )( )12 = xxxq .
A decomposio da funo racional ( ) ( )( )xqxp
xf = em fraes mais simples est
subordinada ao modo como o denominador ( )xq se decompe nos fatores lineares e/ou
quadrticos irredutveis.
Neste mtodo de integrao, consideramos que o coeficiente do termo de mais
alto grau do polinmio do denominador ( )xq 1 e que o grau de ( )xp menor que o
grau de ( )xq . Caso isso no ocorra, teremos que preparar o integrando.
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Exemplo
Caso 1: Os fatores de ( )xq so lineares e distintos:
Neste caso, podemos escrever ( ) ( )( ) ( )naxaxaxxq = L21 , onde os
niai L1, = so distintos dois a dois. Nesse caso, escrevemos:
( )n
n
ax
A
ax
A
ax
Axf
++
+
= L
2
2
1
1
onde nAAA ,,, 21 L so constantes que devem ser determinadas.
Calcular a integral dxxxx
x
2
123
Soluo: Fatorando o denominador, temos:
( )( )121
2
123 +
=
xxx
x
xxx
x
Assim,
122
123 +
+
+=
x
C
x
B
x
A
xxx
x (1)
Logo, a seguinte identidade vlida, tirando o mnimo da equao acima e
igualando os numeradores:
( ) ( )( ) ( ) ( )21121 ++++= xCxxBxxxAx
Para encontrarmos os valores de A, B e C, basta substituirmos x por 0, 2 e -1,
respectivamente, na equao acima.
Para x = 0: A21 = , logo 2
1=A
Para x = 2: B61 = , logo 6
1=B
Para x = -1: C32 = , logo 3
2=C
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Exemplo
Substituindo esses valores na equao (1), temos:
13
2
26
1
2
1
2
123 +
+
+=
xxxxxx
x
Logo,
cxxx
x
dx
x
dx
x
dxdx
xxx
x
+++=
+
+=
1ln3
22ln
6
1ln
2
113
2
26
1
2
1
2
123
As integrais acima foram calculadas utilizando o mtodo de integrao por
substituio simples.
Caso 2: Os fatores de ( )xq so lineares sendo que alguns deles se repetem:
Se um fator linear ( )iax de ( )xq tem multiplicidade r, a esse fator
corresponder uma soma de fraes parciais da forma:
( ) ( ) ( )ir
r
i
r
iax
B
ax
B
ax
B
++
+
L
121
onde rBBB ,,, 21 L so constantes que devem ser determinadas.
Calcular ( )
dx
xx
x32
3
2
1.
Soluo: A frao do integrando pode ser escrita como soma de fraes parciais
do seguinte modo:
( ) ( ) ( ) 22221
23232
3
+
+
++=
x
E
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x (1)
Logo, tirando o mnimo e igualando o numerador na equao acima, temos:
-
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( ) ( ) ( ) ( )2222333 22221 ++++= xExxDxCxxBxxAx (2)
Para encontrarmos algumas constantes, basta substituirmos x por 0 e 2, na
equao (2):
Para x = 0: A81 = , logo 8
1=A
Para x = 2: C47 = , logo 4
7=C
Substituindo esses valores em (2) e expandindo as potncias dos binmios,
encontramos as outras constantes:
( ) ( ) ( )4424
781268126
8
11 2223223233 +++++++= xxExDxDxxxxxBxxxxx
Colocando em evidncia os termos comuns, temos:
( ) 182
342
4
712
4
346
8
11 2343
+
++++
+++= xBxEDBxEDBxEBx
Igualando os coeficientes das potncias iguais de x, temos:
082
3
0424
712
4
3
1468
1
0
=
=+++
=+
=+
B
EDB
EDB
EB
Resolvendo, temos:
16
3,
4
5,
16
3=== EDB
Logo, voltando em (1):
-
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Exemplo
( ) ( ) ( ) 216
3
24
5
24
7
16
3
8
1
2
123232
3
+
+
++=
xxxxxxx
x
Assim,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )c
x
x
xx
xx
cxxx
xx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dxdx
xx
x
+
+
+=
+
+=
+
++=
2ln
16
3
28
41711
2ln16
3
24
5
28
7ln
16
3
8
1
216
3
24
5
24
7
16
3
8
1
2
1
2
2
2
23232
3
Caso 3: Os fatores de ( )xq so lineares e quadrticos irredutveis sendo que os fatores
quadrticos no se repetem:
A cada fator quadrtico cbxx ++2 de ( )xq , corresponder uma frao parcial
da forma
cbxx
DCx
++
+2
Calcule ++++
dxxxx
xx
3
45223
2
Soluo: Note que 1=x raiz do polinmio ( ) 323 ++= xxxxq . Logo,
podemos reescrever ( ) ( )( )321 2 ++= xxxxq . Podemos ento, reescrever o integrando na forma:
( )( ) 321321452
3
45222
2
23
2
++
++
=
++
++=
++
++
xx
CBx
x
A
xxx
xx
xxx
xx (1)
Da, tirando o mnimo e igualando os numeradores, temos:
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )CAxCBAxBACCxBxBxAAxAx
xCBxxxAxx
++++=
++++=
++++=++
32
32
132452
2
22
22
Para um exemplo com
explicaes detalhadas
-
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E ento,
=
=+
=+
43
52
2
CA
CBA
BA
Resolvendo esse sistema, temos:
6
9,
6
1,
6
11=== CBA
Portanto,
326
9
6
1
16
11
3
452223
2
++
++
==
++
++
xx
x
xxxx
xx
Dessa forma,
cdxxx
xx
dxxx
x
x
dxdx
xxx
xx
+++
++=
++
++
=
++
++
32
9
6
11ln
6
1132
9
6
1
16
11
3
452
2
223
2
Note que a segunda integral uma funo racional cujo denominador um
polinmio quadrtico irredutvel que pode ser resolvida completando o quadrado do
denominador e fazendo substituies convenientes.
Temos que, somando e subtraindo 1 no denominador do integrando:
( )( ) 21
3112322
22
++=
+++=++
x
xxxx
e, portanto,
( ) +++
=++
+dx
x
xdx
xx
x
21
9
32
922
Fazendo 1+= xu , temos 1= ux e dxdu = . Logo,
-
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Exemplo
( )( )
cx
xx
cu
u
u
dudu
u
u
duu
udu
u
udx
x
x
+
+++=
+
+=
++
+=
+
+=
+
+=
++
+
2
1arctan
2
832ln
2
1
2arctan
2
82ln
2
1
28
2
2
8
2
91
21
9
2
2
22
222
Logo,
cx
xxxdxxxx
xx+
++++=
++
++ 2
1arctan
2
832ln
2
1
6
11ln
6
11
3
452 223
2
Caso 4: Os fatores de ( )xq so quadrticos irredutveis repetidos
Se ( )xq tem um fator quadrtico irredutvel cbxx ++2 com multiplicidade r,
ento, a esse fator corresponder uma soma de fraes parciais da forma:
( ) ( ) ( )cbxxBxA
cbxx
BxA
cbxx
BxA rrrr ++
+++
++
++
++
+ 212
22
2
11L
Calcule a integral ( ) +
+dx
xx
xxx22
32
1
21.
Soluo: Temos que:
( ) ( ) ( )11121
22222
32
+
++
+
++=
+
+
x
EDx
x
CBx
x
A
xx
xxx (1)
Da,
( ) ( ) ( ) ( )1121 22232 ++++++=+ xxEDxxCBxxAxxx (2)
Para 0=x : 11 = A , logo 1=A .
-
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Voltando em (2):
( ) ( ) ( ) ( )ExExDxDxCxBxxx
xxEDxxCBxxxxx
++++++++=
++++++=+324224
22232
12
11121
e,
( ) ( ) ( ) 12121 23432 ++++++++=+ xECxDBExxDxxx
Temos ento:
=+
=++
=
=+
1
22
1
01
EC
DB
E
D
Da,
1,1,0,1,1 ===== EDCBA
Voltando em (1):
( ) ( )( )
( )111
1
011
1
2122222
32
+
++
+
++=
+
+
x
x
x
x
xxx
xxx
Assim,
( ) ( )
( )
( ) cxxxx
dxx
dxx
xdx
x
x
x
dx
dxx
xdx
x
x
x
dxdx
xx
xxx
+++
=
+
+
++=
+
+
++=
+
+
arctan1ln2
1
12
1ln
1
1
11
1
1
11
21
22
2222
22222
32
A integral definida
A definio de integral definida est estritamente relacionada com as reas de
certas regies do plano coordenado.
-
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Notas de Aula - Clculo I - Integrais 32
Seja R uma regio em um plano coordenado, delimitada por duas retas verticais
ax = e bx = e pelo grfico de uma funo f contnua e no-negativa no intervalo
fechado [ ]ba, .
R
Como ( ) 0xf para todo [ ]bax , , o grfico no tem parte alguma abaixo do eixo x. Queremos ento, definir a rea A de R.
Para isso, fazemos uma partio do intervalo [ ]ba, , isto , dividimos o intervalo
[ ]ba, em n subintervalos, escolhendo os pontos
bxxxxxxa nnii =
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Notas de Aula - Clculo I - Integrais 33
A soma das reas dos n retngulos, que representamos por nS , dada por:
( ) ( ) ( ) ( )=
=+++=n
i
iinnn xcfxcfxcfxcfS1
2211 L
Esta soma chamada soma de Riemann da funo ( )xf .
Observe que medida que n cresce muito, cada ix , ni ,,1 L= , torna-se muito
pequeno e a soma das reas retangulares aproxima-se do que intuitivamente entendemos
como rea da regio R.
Definio: Seja ( )xfy = uma funo contnua, no-negativa em [ ]ba, . A rea sob a
curva ( )xfy = , de a at b, definida como:
( ) ( ) ( )[ ]
( ) in
i
in
nnn
xcf
xcfxcfxcfA
=
+++=
=
1
2211
lim
lim L
onde, para cada ni ,,1 L= , ic um ponto arbitrrio do intervalo [ ]ii xx ,1 .
Definio: Seja f uma funo definida no intervalo [ ]ba, e seja P uma partio qualquer
de [ ]ba, . A integral definida de f de a at b, denotada por
( )b
adxxf
dada por
( ) ( ) in
i
in
b
axcfdxxf =
=
1
lim
desde que o limite exista. Neste caso, dizemos que f integrvel em [ ]ba, .
Na notao ( )b
adxxf , os nmeros a e b so chamados limites de integrao.
Definio: Seja f uma funo contnua em [ ]ba, e ( ) 0xf para todo [ ]bax , . Seja R
a regio limitada pela curva ( )xfy = , pelo eixo x e pelas retas ax = e bx = . Ento, a
medida A da rea da regio R dada por:
-
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Notas de Aula - Clculo I - Integrais 34
( )=b
adxxfA
Definio: i) Se ba > , ento ( ) ( ) =a
b
b
adxxfdxxf , se ( )
a
bdxxf existir.
ii) Se ba = e ( )af existe, ento ( ) 0=a
adxxf
Proposio: Se f contnua em [ ]ba, , ento f integrvel em [ ]ba, .
Propriedades da integral definida
Proposio: Se f integrvel em [ ]ba, e k um nmero real arbitrrio, ento kf
integrvel em [ ]ba, e,
( ) ( ) =b
a
b
adxxfkdxxkf
Proposio: Se f e g so funes integrveis em [ ]ba, , ento f + g integrvel em
[ ]ba, e,
( ) ( )[ ] ( ) ( ) +=+b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf
Proposio: Se bca
-
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Notas de Aula - Clculo I - Integrais 35
Se ( ) 0xf , para todo [ ]bax , , podemos visualizar geometricamente esta
proposio. Ela nos diz que a rea abaixo da curva ( )xfy = , entre a e b, igual rea
de um retngulo de base ( )ab e altura ( )cf .
Proposio: Se f integrvel e se ( ) 0xf para todo [ ]bax , , ento ( ) 0b
adxxf .
Proposio: Se f e g so integrveis em [ ]ba, e ( ) ( )xgxf para todo x em [ ]ba, , ento:
( ) ( ) b
a
b
adxxgdxxf
Integrais de funes simtricas: Suponha que f contnua em [ ]aa, :
i. Se f for par ( ) ( )[ ]xfxf = , ento ( ) ( )dxxfdxxf aaa = 02 .
ii. Se f for mpar ( ) ( )[ ]xfxf = , ento ( ) 0=a
adxxf .
Teorema Fundamental do Clculo
O Teorema Fundamental do Clculo nos permite relacionar as operaes de
derivao e integrao. Ele nos diz que, conhecendo uma primitiva de uma funo
contnua [ ] baf ,: , podemos calcular a sua integral definida ( )b
adxxf .
y
x b c a
( )cf
( )xfy =
-
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Notas de Aula - Clculo I - Integrais 36
A primeira parte desse teorema lida com funes definidas por uma equao da
forma
( ) ( )dttfxgx
a=
onde f uma funo contnua em [ ]ba, e x varia entre a e b . Observe que g depende somente de x, que aparece como a varivel superior do limite na integral. Se x for um
nmero fixado, ento ( )dttfx
a um nmero definido. Se variarmos x, o nmero
( )dttfx
a tambm varia e define uma funo de x denotada por ( )xg . Se f for uma
funo positiva, ento ( )xg pode ser interpretada como uma rea sob o grfico de f de a
at x, onde x varia de a at b.
Teorema Fundamental do Clculo: Suponha que f contnua em [ ]ba, .
i. Se ( ) ( )dttfxgx
a= , ento ( ) ( )xfxg =' .
ii. ( ) ( ) ( )aFbFdxxfb
a= , quando F for qualquer primitiva de f, isto ,
( ) ( )xfxF =' .
y
x b x a
rea = ( )xg
( )tfy =
-
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Notas de Aula - Clculo I - Integrais 37
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Calcule a integral +1
02 1
dxx
x.
Soluo: Vamos primeiro, encontrar a integral indefinida. Fazendo 12 += xu ,
temos dxxdu 2= e 2
dudxx = . Dessa forma:
++=+==+ cxcuudu
dxx
x1ln
2
1ln
2
1
2
1
12
2
Pelo teorema fundamental do clculo, temos:
2ln2
1
1ln2
12ln
2
1
1ln2
1
1
1
0
21
02
=
=
+=+ xdxxx
Note que, para resolver esta integral, tambm podemos fazer a mudana de
variveis na integral definida, desde que faamos a correspondente mudana nos limites
de integrao:
Ao chamarmos 12 += xu , vemos que se 1,0 == ux e se 2,1 == ux . Da,
( ) 2ln2
11ln2ln
2
1ln
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
02
====+ uu
dudx
x
x
Calcule a integral 2
0
cos
dtt .
Soluo: A funo ( ) ttF sen= uma primitiva de ( ) ttf cos= . Logo,
10sen2
sensencos2
0
2
0
===
tdtt
Calcule a integral dxx x +2
1
12e .
-
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Exemplo
Soluo: Calcularemos primeiro a integral indefinida + dxx x 12
e . Fazendo
12 += xu , dxxdu 2= . Logo,
ccdudxx xuux +=+== ++ 1122
e2
1e
2
1e
2
1e
Dessa forma,
2
1e
2
1e
2
1e 3
2
1
12
1
1 22 +== ++ xx dxx
Calcule a integral
+4
3
2 dxx .
Soluo: Temos que:
+
-
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Exemplo
A
Neste caso, a rea dada por ( )=b
adxxfA .
Encontre a rea limitada pela curva 24 xy = e o eixo dos x.
Soluo: Os zeros da funo 24 xy = so 2 e 2. Logo, a rea pedida ser:
No intervalo [ ]2,2 , 04 2 = xy , logo, a rea pedida ser dada por
( )3
32
3
88
3
88
344
2
2
32
2
2 =
+
=
==
xxdxxA
Logo, 3
32=A
y
x b a
( )xfy =
y
x
4
2 2
-
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Exemplo
Caso 2: Clculo da rea da figura plana limitada pelo grfico de f, pelas retas ax = ,
bx = e pelo eixo dos x, onde f contnua e ( ) 0xf , para todo [ ]bax , .
A
Neste caso, basta tomar o mdulo da integral ( )dxxfb
a , ou seja, ( )dxxfAb
a=
Encontre a rea da regio A, limitada pela curva xy sen= e pelo eixo dos
x de 0 at 2 .
Soluo: Observe a figura:
A1
A2
Note que precisaremos dividir a regio A em duas sub-regies 1A e 2A . No
intervalo [ ],0 , 0sen = xy , e no intervalo [ ] 2, , 0sen = xy .
y
x b a
( )xfy =
y
x
1
1
0
2
2
3
2
-
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Temos ento, que
( ) ( )4
1111
cos2cos0coscos
coscos
sensen
2
0
2
0
21
=
+++=
+++=
+=
+=
+=
xx
dxxdxx
AAA
Logo, A = 4
Caso 3: Clculo da rea da figura plana limitada pelos grficos de f e g, pelas retas
ax = , bx = , onde f e g so funes contnuas em [ ]ba, e ( ) ( )xgxf , para todo
[ ]bax , .
A
A rea da regio A calculada pela diferena entre a rea sob o grfico de f e a
rea sob o grfico de g:
( ) ( )
( ) ( )[ ]dxxgxf
dxxgdxxfA
b
a
b
a
b
a
=
=
y
x
( )xfy =
b a
( )xgy =
-
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Exemplo
Exemplo
Encontre a rea limitada pelas curvas 3xy = e xy = .
Soluo: Observe o grfico abaixo:
As curvas 3xy = e xy = interceptam-se nos pontos 1e0,1 === xxx . No
intervalo [ ]0,1 , 3xx < e no intervalo [ ]1,0 , 3xx > . Logo,
( ) ( )
2
1
4224
1
2
420
1
24
1
0
30
1
3
=
+
=
+=
xxxx
dxxxdxxxA
Logo, 2
1=A .
Encontre a rea da regio limitada por 2yx = e 2= xy .
Soluo: Observe o grfico abaixo:
xy = y
x 1
1
1
1
3xy =
Para um exemplo com
explicaes detalhadas
-
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A1
A2
Note que precisaremos dividir a regio A em duas sub-regies 1A e 2A . Para
encontrarmos os limites de integrao, procederemos da seguinte forma:
Temos que:
2yx = e 22 +== yxxy
Dessa forma,
( )( )2ou1
021
02
22
2
==
=+
=
+=
yy
yy
yy
yy
Se 11 == xy e se 42 == xy .
A rea total limitada superiormente por xy = no intervalo [ ]4,0 e limitada
inferiormente por
41se,2
10se,
xx
xx
Assim, para a rea 1A , temos:
( )[ ]3
40
3
4
3
42
1
0
2
31
0
1
0
1 ===== xdxxdxxxA
y
x
2
1
2
2yx =
2= xy
4
-
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Notas de Aula - Clculo I - Integrais 44
E, para rea 2A :
( )[ ] ( )
6
192
2
1
3
288
3
162
23
2
22
4
1
22
3
1
0
4
1
2
=
+
+=
+=
+==
xx
x
dxxxdxxxA
Logo, a rea total ser dada por:
2
9
6
19
3
421 =+=+= AAAT
Alternativa: Integrar em relao y.
Temos que 2yx = e 22 +== yxxy . Dessa forma,
( )2
9
6
27
6
7
3
10
3
12
2
1
3
84
2
4
32
22
2
1
322
1
2 ==+=
+
+=
+=+=
yy
ydyyyA
1. Resolva as integrais abaixo:
a) dxx32 Resposta: cx
+2
4
b) + dxxx )3( 2 Resposta: cxx
++2
3
3
23
c) dxx)5( Resposta: cx
x +2
52
d) dxx5 Resposta: cx +||ln5
e)
+ dxx
x62 Resposta: cxx ++ ||ln6
3
3
Resolva os exerccios abaixo para voc compreender melhor a aula
sobre Integrais definidas e indefinidas e sanar suas dvidas.
-
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Notas de Aula - Clculo I - Integrais 45
f) + dxxx ))cos()(sen( Resposta: cxx ++ )sen()cos(
g)
+ dxxx
x5
1 23
Resposta: cxxx
++
2
5
32
1 23
2
h) dxx 3 Resposta: cx
+3/44
3
i)
+
+dxx
x
221
1 Resposta: cxxarctg ++3
)(3
j) dxex2 Resposta: cex +2 k) dxex x )5)(sen( Resposta: cex x + 5)cos(
l) dxx2 Resposta: cx
+)2ln(
2
m) + dxxxx )53( 24 Resposta: cxxx ++ 235 21
3
5
5
3
n) +
dxx
x 1 Resposta: cxx ++ 2/12/3
23
2
o)
dxx
x2
2 43 Resposta: cx
x ++4
3
p) dxx2
1 Resposta: cx+
1
q) dxx3
1 Resposta: cx
+
22
1
r) dxx32
1 Resposta: cx
+
24
1
s) dxx 3 2 Resposta: cx +3/553
2. Calcule as integrais:
a) + dxx341 Resposta: cx ++ |34|ln
3
1
b) dxx51 Resposta: cx + |5|ln
c) dxe x2 Resposta: ce x +221
d) + dxe x 32 Resposta: ce x ++3221
e) dxxe x )cos()sen( Resposta: ce x +)sen(
f) +
dx
x
x
13
2
Resposta: ( ) cx ++ 2/13 13
2
g) +
dxx
x)ln(1 Resposta: cx ++ 2/3))ln(1(
3
2
h) + dxx 32 )13( Resposta: ( ) cx ++42 13
24
1
-
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Notas de Aula - Clculo I - Integrais 46
i) + dxxx
32
42
Resposta: cx ++ )32ln( 2
j) ( ) + dxxx 2122 Resposta: ( ) cx ++
3
132
k) dxx 155 + Resposta: ( ) cx ++ 2/31532
l) dxx 12 Resposta: ( ) cx + 2/31231
m) dxx 4)13(3 Resposta: cx
+
5
)13( 5
n) ++ dxxxx ))(12( 2 Resposta: cxx
++
2
)( 22
o) dxxx 23 32 Resposta: cx
+
2/3
)2( 2/33
p)
dxx
x22)21(
4 Resposta: cx
+
)21(
12
q) + dxxx 10)15( 22 Resposta: cx
++
3
)15( 32
r) +
dx
x
x
12 Resposta: cx ++12
s) + dxxx 3)3( 23 Resposta: cx
++
2
)3( 23
3. Calcule as integrais definidas:
a) +1
0
32 )1( dxxx Resposta: 15/8
b) 1
0
2 1 dxxx Resposta: 1/3
c) +4
0 12
1dx
x Resposta: 2
d) +9
1 2)1(
1dx
xx Resposta: 1/2
e) +
2
0 221dx
x
x Resposta: 1
f) dxx 11
1 + Resposta: 234
g) +2
0
3 )21( 2 dxx Resposta: 156
h) dxxx 0
1
32)21)(4( Resposta: 0
i) 2
1 2)3(
1dx
x Resposta: 1/18
-
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Notas de Aula - Clculo I - Integrais 47
4. Determine a rea da regio entre a parbola 24 xy = e a reta 2+= xy no
intervalo [-2,3].
5. Determine a rea da regio no primeiro quadrante delimitada pelas retas y = x e
x = 2, a curva 2
1
xy = e o eixo x.
6. Resolva as integrais abaixo:
21. sen x dx . 2 22. cos 2 sen 2x x dx . 63. sen 3x dx . 34. sen cosx x dx .
5. tg secx x dx . 56. cos 4x dx .
Respostas:
1. 1 cos sen 2 2
xx x c + + .
2. 31 1sen 2 cos 2 cos2 sen8 16 8
xx x x 2x c + + + .
3. 5 31 5 5 5sen 3 cos3 sen 3 cos3 cos3 sen 318 72 48 16
xx x x x x x c + + .
4. 41 sen4
x c+ .
5. sec x c+ .
6. 4 21 1 2cos 4 sen 4 cos 4 sen 4 sen 420 15 15
x x x x x c+ + + .
7. Resolver as seguintes integrais:
2 21.
4
dx
x x + .
2
22.
4
xdx
x .
29 43.
xdx
x
. 24. 9 4
dx
x x+ .
Respostas:
1. 2 4
4
xc
x
+ + .
2. 2
24 2ln 42
x xx x c
+ + + .
3. 2
2 1 3 9 49 4 ln3 2
xx c
x
+ + .
4. 21 9 4 3
ln3 2
xc
x
+ + .
-
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Notas de Aula - Clculo I - Integrais 48
8. Resolva as seguintes integrais:
sen1.
1 sen
xdxx .
1 sen2.
1 cos
xdx
x
+ .
13.
1 sendx
x+ . cos
4.1 cos
xdxx+ .
Respostas:
1. 2
tg 12
x cx
+
.
2. 2
1ln tg 1 2ln tg
2 2 tg2
x xc
x
+ + +
.
3. 2
tg 12
cx
+
.
4. tg2
xx c
+ +
.
Para saber mais sobre Integrais definidas e indefinidas, consulte as
referncias listadas abaixo...
Para voc comear !
G. THOMAS, Clculo, vol. 1, Addison Wesley, 2003. J. STEWART, Clculo, vol. 1, So Paulo, Thomson Learning, 2002. H. ANTON, Clculo um novo horizonte, vol. 1, Porto Alegre, Bookman, 2007.
Quer aprof undar mai s um pouco?
L. LEITHOLD, O Clculo com Geometria Analtica, vol. 1, So Paulo, Harbra, 1994
E. D. PENNEY e Jr. C. H. EDWARDS, Clculo com Geometria Analtica, vol. 1, Ed. Prentice-Hall, 1997.
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Notas de Aula - Clculo I - Integrais 49
E. W. SWOKOWSKI, Clculo com Geometria Analtica, vol. 1, Makron Books, 2 edio, 1994
Gost a de desaf i os??
H. L. GUIDORIZZI, Um Curso de Clculo, vols. 1 e 2, Rio de Janeiro, LTC, 2001.
P. BOULOS, Introduo ao Clculo, vols. 1 e 2, So Paulo, Edgard Blcher, 1974.
G. F. SIMMONS, Clculo com Geometria Analtica, vol. 1, So Paulo, Ed. McGraw-Hill, 1987
Para os amant es da net ...
http://ecalculo.if.usp.br/