Notas de Aula - EnG 114
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 - HIPERESTÁTICA
1ª. UNIDADE
ENG 114 Hiperestática Introdução 1
1 EELLEEMMEENNTTOOSS FFUUNNDDAAMMEENNTTAAIISS DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS
1.1 INTRODUÇÃO
“As estruturas são constituídas de um elemento ou de um conjunto de elementos ligados entre si e externamente ao solo, de tal forma que o sistema assim formado seja estável. A estrutura é, portanto, um sistema adequado para receber solicitações externas e encaminhá-las até seus vínculos externos”.
Os elementos que constituem uma estrutura são chamados elementos estruturais.
1.2 CLASSIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS
Classificação de acordo com as dimensões principais dos elementos.
1.2.1 ELEMENTO DE BARRA
Quando duas dimensões são pequenas em relação à terceira.
lh
b
1.2.2 ELEMENTO DE SUPERFÍCIE
Quando uma dimensão é muito menor que as outras duas.
lh
b
Os elementos de superfície são divididos em:
• Placa: as ações atuam perpendicularmente ao plano da superfície.
b ≅ h < l
b ≅ l > h
ENG 114 Hiperestática Introdução 2
• Chapa: as ações atuam paralelamente ao plano da superfície.
• Casca: elemento de superfície com curvatura não nula de seu plano
1.2.3 ELEMENTO DE BLOCO
Não há dimensão preponderante sobre as outras.
bl
h
1.3 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS
Função dos elementos que a compõem.
1.3.1 ESTRUTURAS LINEARES
São aquelas formadas por elementos de barras. Podem ser planas ou espaciais.
b ≅ h ≅ l
ENG 114 Hiperestática Introdução 3
1.3.2 ESTRUTURAS DE SUPERFÍCIE
Formadas por elementos de superfície.
1.3.3 ESTRUTURAS DE VOLUME
Formadas por elementos de bloco.
1.4 ESTRUTURAS LINEARES PLANAS
São aquelas formadas por barras cujos eixos estão situados no mesmo plano. Alguns exemplos:
§ Vigas § Pórticos § Treliças § Grelhas § Arcos
OBS: O elemento de barra pode apresentar desempenhos distintos no conjunto da estrutura: § Ele pode suportar ações transversais ao seu eixo, e, com isso, transmitir momentos fletores e esforços
cortantes, sendo chamado, neste caso, de chapa. § Ele pode transmitir apenas esforços axiais, sendo chamado, neste caso, de barra simples, ou
simplesmente barra
ENG 114 Hiperestática Introdução 4
12
3
4i
c
2 VVIINNCCUULLAAÇÇÃÃOO DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS LLIINNEEAARREESS PPLLAANNAASS
2.1 INTRODUÇÃO
Como as estruturas podem ser formadas por vários elementos ligados entre si e exteriormente com o solo, essas ligações são chamadas vínculos. Podem ser distinguidos três tipos de vínculos: § Articulação entre chapas : ligação interna que une as chapas. § Articulação entre barras : ligação interna que une as barras (nó). § Apoios : ligação entre a estrutura e o solo (vínculos externos).
Os elementos estruturais mais os vínculos devem formar um conjunto estável, sendo os vínculos responsáveis por restringir o movimento da estrutura. São três os movimentos possíveis nas estruturas lineares planas (graus de liberdade ): § Uma rotação § Duas translações
2.2 REPRESENTAÇÃO DOS TIPOS DE VÍNCULOS
Os vínculos são caracterizados pelo número de graus de liberdade retirados da estrutura.
2.2.1 APOIO MÓVEL
Permite a rotação e uma translação, retirando, portanto, um grau de liberdade da estrutura.
2.2.2 APOIO FIXO
Permite somente a rotação, restringindo, portanto, as duas translações.
2.2.3 ARTICULAÇÃO ENTRE CHAPAS
Restringe deslocamentos entre as chapas, permitindo rotações relativas entre elas.
Seja uma articulação onde c chapas se encontram. Supondo-se uma das chapas fixa, a articulação retira dois graus de liberdade de cada uma das (c-1) chapas, em relação àquela suposta fixa. O número total de graus de liberdade retirados
da estrutura por esse tipo de vínculo é, então, igual a 2(c-1).
ENG 114 Hiperestática Introdução 5
2.2.4 ENGASTE FIXO
Impede todos os movimentos no plano, retirando três graus de liberdade da estrutura.
2.2.5 ENGASTE MÓVEL
Impede o giro e um movimento, retirando, assim, dois graus de liberdade da estrutura.
3 DDEETTEERRMMIINNAAÇÇÃÃOO GGEEOOMMÉÉTTRRIICCAA DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS
3.1 INTRODUÇÃO
As relações entre o número de vínculos e o número de elementos que constituem uma estrutura devem satisfazer certas condições para que esta tenha sua posição determinada no plano. O estudo dessas relações denomina-se determinação geométrica. As estruturas podem ser classificadas, do ponto de vista geométrico, da seguinte forma: Se be = bn → a estrutura é geometricamente determinada.
Se be > bn → a estrutura é geometricamente superdeterminada.
Se be < bn → a estrutura é geometricamente indeterminada ou móvel. Sendo: be = número de barras simples e de barras vinculares existentes na estrutura; c = número de chapas (ou barras gerais); n = número de nós bn = número de barras necessárias para que a estrutura em estudo seja determinada.
3.2 DEFINIÇÕES
São apresentadas a seguir algumas definições necessárias à determinação geométrica das estruturas lineares planas.
3.2.1 CHAPAS (BARRAS GERAIS)
Função geométrica: definir distâncias entre todos os seus pontos:
ENG 114 Hiperestática Introdução 6
l
l
l
l
1
2
3
Função estática: transmitir todos os esforços.
3.2.2 BARRAS SIMPLES (BARRAS)
Função geométrica: definir a distância entre seus pontos extremos:
l
Função estática: transmitir apenas esforços axiais.
3.2.3 NÓS
Encontro de barras simples
Nób
b b
3.2.4 ARTICULAÇÃO
Encontro de barras e chapas ou só de chapas
Articulação
c
b b c
c
Articulação
c
3.2.5 BARRAS VINCULARES
Correspondem aos graus de liberdade impedidos pelos vínculos internos e externos.
a) Engaste fixo
Corresponde a três barras vinculares
ENG 114 Hiperestática Introdução 7
b) Apoio fixo
Corresponde a duas barras vinculares
c) Apoio móvel
Corresponde a uma barra vincular
d) Engaste móvel
Corresponde a duas barras vinculares
3.2.6 CHAPA TERRA
Apoio de todas as estruturas
3.3 ESTRUTURAS ELEMENTARES
3.4 2.1 TRELIÇA
Estrutura composta apenas de barras simples e nós, com carga aplicada somente nos nós.
→ bn = 2n
Exemplo: Tem-se:
Þ Barras efetivamente existentes
be = 11 + 4 = 15 n = 7 bn = 2 x 7 = 14 à Barras vinculares
be = 15 > bn = 14 → Treliça superdeterminada Grau:
g = be – bn = 15 – 14 = 1 → 1 x superdeterminada
ENG 114 Hiperestática Introdução 8
3.4.1 ESTRUTURAS COMPOSTAS DE APOIOS E CHAPAS
Transmitem todos os esforços → bn = 3c
Exemplo:
Tem-se:
be = 5 c = 1 n = 0 bn = 3c = 3 x 1 = 3
be = 5 > bn = 3 → Estrutura superdeterminada Grau:
g = be – bn = 5 – 3 = 2 → Estrutura 2 x superdeterminada
3.4.2 ESTRUTURAS COMPOSTAS DE APOIOS, BARRAS, CHAPAS E NÓS
→ bn = 3c + 2n Exemplo 1
Tem-se:
be = 2 + 3 = 5 c = 1 n = 1 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 1 = 5 be = bn = 5 → Estrutura determinada
ENG 114 Hiperestática Introdução 9
Exemplo 2
Tem-se:
be = 1 + 5 = 6 c = 2 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 2 + 2 x 0 = 6
be = bn = 6 → Estrutura determinada OBS.:
§ Articulação entre duas chapas → 2 barras vinculares
§ Articulação entre c chapas → 2 (c – 1) barras vinculares
Voltando ao exemplo anterior, tem-se:
be = 9 c = 3 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 3 + 2 x 0 = 9
be = bn = 9 → Estrutura determinada Exemplo 3:
be = 3 c = 1 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 0 = 3
be = bn = 3 → Estrutura determinada
ENG 114 Hiperestática Introdução 10
Exemplo 4:
be = 6 c = 1 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 0 = 3
be = 6 > bn = 3 → Estrutura superdeterminada Grau:
gh = be – bn = 6 – 3 = 3 → Estrutura 3 x superdeterminada
3.5 CASOS EXCEPCIONAIS
3.5.1 BARRAS VINCULARES PARALELAS
Móvel
be = 3 c = 1 n = 0 bn = 3c = 3 be = bn = 3 → Estrutura determinada
⇒ A estrutura é móvel
ENG 114 Hiperestática Introdução 11
3.5.2 DIREÇÃO DAS BARRAS VINCULARES PASSANDO POR UM PONTO
Móvel
be = 9 + 3 = 12 c = 0 n = 6 bn = 2n = 12 be = bn = 12 → Estrutura determinada ⇒ A estrutura é móvel
3.6 DETERMINAÇÃO ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS
As estruturas podem ser classificadas, do ponto de vista estático, da seguinte forma: Se be = bn → a estrutura é isostática.
Se be > bn → a estrutura é hiperestática.
Se be < bn → a estrutura é hipostática.
4 TTEEOORRIIAA LLIINNEEAARR DDAA EELLAASSTTIICCIIDDAADDEE DDEE 11aa OORRDDEEMM ((MMÉÉTTOODDOO CCLLÁÁSSSSIICCOO))
Admite-se que os deslocamentos da estrutura são muito pequenos e, até um certo nível de solicitação, os materiais tenham comportamento elástico e sem fenômenos significativos de ruptura. Com essas hipóteses, tem-se como conseqüência, a proporcionalidade entre causa e efeito, implicando na superposição de efeitos.
4.1 HIPÓTESES GERAIS DO MÉTODO CLÁSSICO
a) Validade da Lei de Hooke
§ O material é considerado elástico e linear.
§ As tensões (σ ou τ) são diretamente proporcionais às deformações específicas.
ε=σ E γ=τ G
b) Validade das hipóteses de Bernouilli
§ As seções transversais planas permanecem planas após a deformação.
ENG 114 Hiperestática Introdução 12
§ As tensões em uma determinada seção transversal podem ser substituídas por suas resultantes (esforços internos).
§ As tensões são diretamente proporcionais aos esforços internos.
Flexão simples: MIy=σ
Cisalhamento devido à flexão: VI bsM
=τ
Compressão ou tração: NS1=σ
c) Continuidade da estrutura com a deformação
§ Em um ponto β qualquer, a tangente à sua esquerda coincide com a tangente à sua direita. § Os nós contínuos são supostos indeformáveis; os ângulos entre as barras se mantêm na estrutura
deformada
A B C
D E
φA
AφφB
Bφ
Bφ
β
d) As condições de equilíbrio são computadas na posição indeformada
B
A
C
A
B
Q
CQ
l δ (Q)l
M = QlA M = Q [l + δ(Q)] A
Nas estruturas usuais δ (Q) é muito pequeno e pode ser desprezado. Portanto, MA = Q l
e) Os esforços internos são sempre diretamente proporcionais às ações externas
ENG 114 Hiperestática Introdução 13
4.2 SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS
A proporcionalidade entre o efeito E e sua causa C implica diretamente na validade da superposição dos
efeitos, isto é, para diversas causas C1, C2, C3, ... , Cn, tem-se:
)C(E)C(E)C(E)C(E)CCCC(E n321n321 +⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++
ENG 114 Hiperestática Cálculo de Reações 1
1 CCÁÁLLCCUULLOO DDEE RREEAAÇÇÕÕEESS
1.1 REAÇÕES EXTERNAS E INTERNAS
As reações externas, existentes nos apoios (esforços nas barras vinculares), bem como as reações internas, existentes nas ligações (vínculos), e barras simples dessa estrutura, são necessários à determinação dos esforços solicitantes nos elementos que compõem a estrutura. Tais reações externas e internas são calculadas utilizando-se as equações de equilíbrio da Estática:
0FH =∑
0FV =∑
0M =∑ Seja a estrutura apresentada a seguir.
d
0,5a
cb
0,5a
2 d
0,5c
P
p1
p2
Q = p c1 1
2Q = p d22
3
d3
A
B
D
C
E
Fazendo a determinação geométrica, tem-se:
be = 1 + 5 = 6 c = 2 n = 0 bn = 3c = 6
⇒ be = bn
Logo, a estrutura é determinada ou isostática, sendo o número de incógnitas igual ao número de equações de equilíbrio. Desta forma, o número de reações a serem calculadas é igual a seis, que é o número total de barras existentes na estrutura. Dessas barras, três são externas (barras vinculares) e três são internas (barras da articulação entre as chapas ABC e BCD, mais a barra simples AD). Portanto, devem ser calculadas seis reações, sendo três externas e três internas.
ENG 114 Hiperestática Cálculo de Reações 2
1.2 RECOMENDAÇÕES PARA O CÁLCULO DAS REAÇÕES
§ As cargas distribuídas podem ser substituídas por suas respectivas cargas concentradas equivalentes
(Q1 e Q2, da figura anterior), cujos valores são numericamente iguais às “áreas das superfícies de
carregamento” e os pontos de aplicação estão situados nos centros de gravidades dessas superfícies.
§ Sempre que possível, as reações externas devem ser calculadas em primeiro lugar.
§ Somente após terem sido esgotadas as possibilidades de cálculo das reações externas, é que as chapas da estrutura devem ser separadas entre si, para o cálculo das reações internas e das possíveis reações externas ainda não calculadas.
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 1
1 EESSFFOORRÇÇOOSS SSOOLLIICCIITTAANNTTEESS EEMM EESSTTRRUUTTUURRAASS PPLLAANNAASS
1.1 INTRODUÇÃO
Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços solicitantes que atuam em uma seção qualquer, equilibram as ações externas que agem à esquerda ou à direita desta seção, conforme indicado na figura abaixo. Nas estruturas planas, com carregamento agindo no seu plano, são três os esforços solicitantes:
§ Momento fletor (M) § Esforço cortante (V) § Esforço normal (N)
R2 3R
MN
V
S
R1
S
R2
R1
R3
S
N
MV
1.2 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES
1.2.1 CONVENÇÃO DE SINAIS
a) Esforço Normal
Considera-se positivo o esforço normal que provoca tração no trecho que atua.
Tração ⇒ N(+)
Compressão ⇒ N(-)
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 2
b) Momento Fletor
O diagrama de momentos fletores deve ser desenhado com as cotas marcadas do lado das fibras tracionadas, em relação ao eixo longitudinal de cada trecho.
Compressão
Tração
Tração nas fibras inferiores
M Tração nas fibras superiores
M
Compressão
Tração
Costuma-se considerar positivo o momento que traciona as fibras inferiores, e negativo o momento que traciona as fibras superiores.
c) Esforço Cortante
É considerado positivo o esforço cortante que provoca, junto com a resultante das ações atuantes à direita ou à esquerda de uma seção, um binário no sentido horário.
R = P/21
V
S
l
Pl/2
P
V
R = P/22
V
R = P/21
l/2
R = P/22
l
V
P
S
P
V
R = P/21 R = P/22 R = P/21 R = P/22
V
V
V
P P
V(-)V(+)
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 3
1.2.2 RELAÇÕES ENTRE CARGA, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR
Sendo a carga, o esforço cortante e o momento fletor funções de x, abscissa ao longo da estrutura, para um elemento de comprimento infinitesimal dx, em equilíbrio sob o efeito da carga p = p(x), e dos esforços solicitantes M = M(x) e V = V(x), pode-se estabelecer:
p = p(x)
x
lx + dx
M(x)
V(x) V(x) + dV(x)
p = p(x)
M(x) + dM(x)
dx
P = p(x) dx
O
∑ = 0Fv
0dV(x)][V(x)dx )x(p)x(V =−−−
0)x(dVdx )x(p =−−
⇒ dx
)x(dV)x(p =− (1)
∑ = 0MO
0)]x(dM)x(M[2
dxdx )x(pdx )x(V)x(M =+−−+
Desprezando-se os infinitesimais de segunda ordem:
0)x(dM)x(V =−
⇒ dx
)x(dM)x(V = (2)
Derivando a eq.(2) em relação a x, tem-se
2
2
dx
)x(Mddx
)x(dV= (3)
E, substituindo-se a eq.(3) na eq.(1), obtém-se:
2
2
dx
)x(Md)x(p =− (4)
Portanto, sempre que se conhecer a função p(x), a eq.(4) pode ser resolvida para M(x), e, por
diferenciação, o esforço cortante V(x) pode ser determinado.
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 4
1.2.3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DOS MOMENTOS FLETORES
Integrando-se a eq.(4) duas vezes, encontra-se:
1C x)x(pdx
)x(dM+−= (5)
21
2Cx C
2x
)x(p)x(M ++−= (6)
As constantes de integração C1 e C2 podem ser determinadas através das condições de apoio. Vale lembrar que a eq.(4) só é válida nos trechos sem carga concentrada aplicada. Considerando-se p(x) = constante = p, de acordo com as eqs (5) e (2), tem-se:
1Cx pdx
)x(dM+−=
1Cx p)x(V +−= → Equação de uma reta (7)
E, a partir da eq.(6), encontra-se:
21
2Cx C
2x p
)x(M ++−= → Equação de uma parábola do 2° grau (8)
A análise das equações (7) e (8) permite que se possam prever as formas que os diagramas dos esforços M e V irão assumir, conforme tabela abaixo:
Forma do Diagrama Tipo de Carga
Esforço Cortante V(x) Momento Fletor M(x)
p(x) = 0
Constante Linear
p(x) = constante
Linear Parábola de 2º grau
p(x) = a x + b
Parábola de 2º grau Parábola cúbica
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 5
OBSERVAÇÕES:
1) Essa análise é válida nos trechos onde a carga p é contínua. Havendo cargas concentradas, que
representam descontinuidades de carregamento, essa análise só é válida nos trechos
compreendidos entre essas cargas.
2) Pela eq.(2) observa-se que quando o esforço cortante se anula, a função momento passa por um
extremo, que é de máximo, já que a derivada segunda dessa função é negativa.
0dx
)x(dM)x(V ==
)x(pdx
)x(Md2
2−=
3) É válida a superposição de efeitos, e, portanto, de seus diagramas nos trechos sujeitos à ação de
cargas concentradas.
4) Tudo que é válido para o esforço cortante também o é para o esforço normal.
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Chapas Inclinadas 1
EESSFFOORRÇÇOOSS SSOOLLIICCIITTAANNTTEESS EEMM CCHHAAPPAASS IINNCCLLIINNAADDAASS
Em uma chapa (barra geral) inclinada podem atuar carregamentos em direções diversas. Também neste caso, a variação dos esforços solicitantes pode ser indicada em diagramas, utilizando como eixo das abscissas o próprio eixo da chapa, e representando segundo o eixo das ordenadas, a intensidade dos esforços, seção por seção. São apresentados a seguir, os diagramas de esforços solicitantes para os principais tipos de carregamento uniformemente distribuído que podem atuar nas estruturas.
1. CARGA ACIDENTAL
p
Lh
l
α α
α
p l
p l cos α p l sen
α
p l2
p l2
p l2cos
α
cos α
p l2
sen α
p l2
sen α
2p l α
α
p l cos α
l / cos α
p cos α
=
2
=
p l sen α
l / cos α
p cos α sen
α
8p l
M =max
2
cos αp l2
cos α2p l (+)
(-)V
M
p l sen α2
N
(+)
(-)
sen α2
p l
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Chapas Inclinadas 2
2. AÇÃO DO VENTO
pL
h
l
α
α
p h2sen
α
sen α
2 lp h
8p h
M =max
2
sen αp h2
sen α2p h (+)
(-)V
M
N
(+)
p h sen α
α
p h
α p h cos α
p h
2 l
p h
2
2p h2 l
p h sen α
p h cos α
sen α
2p h
2
sen α)
2 lh
p h (cos α +
h
p h (cos α +
sen α)
2 l
p h2 l
2 sen α
sen α co
s α
lp h
cos α
p hl
2
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Chapas Inclinadas 3
3. PESO PRÓPRIO
p
Lh
l
α α
α
p l
p lp l
p l2
tg αp l
2
tg α2
p l α
α
p cos α
p sen α
8 cos αp l
M =max
2
p l2
2p l (+)
(-)V
M
p l tg α2
N
(+)
(-)
tg α2p l
cos αsen
α
cos α
2 cos αp l
2 cos αp l
2p l
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 1
1 PPRRIINNCCÍÍPPIIOO DDOOSS TTRRAABBAALLHHOOSS VVIIRRTTUUAAIISS
1.1 INTRODUÇÃO
Seja uma estrutura linear qualquer com suas vinculações definidas. Seja um estado de forças (a) agindo nessa estrutura, com forças externas em equilíbrio com os esforços internos.
F1
F2 F3 F4
F5
l
(a)
Seja um estado de deslocamentos (b) sobre a mesma estrutura, com deslocamentos e deformações virtuais (isto é, hipotéticos e infinitesimais), geometricamente compatíveis com as vinculações, mas sem qualquer relação obrigatória com o estado de forças (a).
l
(b)
∆l
Pelo PTV: O trabalho virtual externo, das forças externas de (a), com os deslocamentos de (b), é igual ao trabalho virtual interno realizado pelos esforços internos de (a) com as deformações de (b), ou seja:
∑ ∑= INTEXT TT
1.2 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
Seja um estado de deslocamento (b) real, mas com deslocamentos pequenos o suficiente para que em estados de forças que venham a ser criados sobre a estrutura, possam ser considerados na posição inicial.
(b)s
dsB δ = ?B
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 2
As deformações que surgem na seção transversal de um elemento ds da estrutura são:
ds
dub
dvb
dφb
Para se calcular o deslocamento δB cria-se um estado de forças (a), conveniente, com uma força externa unitária na direção de δB e com um sentido assumido para ele.
(a)s
B
P = 1
Em s os esforços solicitantes causados pela força unitária são Na, Va e Ma. Impondo-se, então, o estado de deslocamento (b) ao estado de forças (a), tem-se, pelo Princípio dos
Trabalhos Virtuais (∑ ∑= INTEXT TT )
∫ ∫∫ φ++=δ⋅est
best
abest
abaB d Mdv Vdu N1
1.3 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM TRELIÇAS PLANAS
1.3.1 INTRODUÇÃO
Para a resolução de uma treliça deve-se:
Ø Calcular as reações de apoio
Ø Calcular os esforços normais nas barras, utilizando-se:
• Equilíbrio de nó • Processo de Ritter
• Processo gráfico Carmona
Em algumas treliças não é possível o cálculo das reações de apoio sem que antes seja aplicado o equilíbrio de nó ou o processo de Ritter.
dub = deformação por esforço normal
dvb = deformação por esforço cortante
dφ b = deformação por momento fletor (rotação)
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 3
Com o intuito de facilitar a determinação dos esforços normais nas barras de uma treliça, apresentam-se, a seguir, características da geometria e do carregamento que permitem a obtenção direta destes esforços. Sendo Pi as cargas externas aplicadas nos nós e Fi os esforços normais nas barras, têm-se:
1º. Nó Característico: Nó formado por duas barras, sem carregamento externo e com α assumindo qualquer valor:
α
1
2
F1
F2
2º. Nó Característico: Nó formado por duas barras, com carregamento externo na direção de uma ou das duas barras e com α assumindo qualquer valor:
α
1
2
F1
F2P1
2P
α
3º. Nó Característico: Nó formado por três barras, sendo duas na mesma direção, sem carregamento externo e com α assumindo qualquer valor:
1
3
F1
2F F32
α
4º. Nó Característico: Nó formado por três barras, sendo duas na mesma direção, com carregamento externo na direção da barra (1) e com α assumindo qualquer valor:
α
1
3
F1
P1
2F F3
2 α
F1 = 0 F2 = 0 Para α = π ⇒ F1 = F2
F1 = P1 F2 = P2
F1 = 0 F2 = F3
F1 = P1 F2 = F3
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 4
1.3.2 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS
Treliça plana é uma estrutura formada por barras articuladas em suas extremidades, com cargas externas agindo no plano da estrutura e aplicadas em seus nós.
• Esforços solicitantes: somente N (M e V = 0) • Deformações: somente du (dv e dφ = 0)
Portanto, pelo PTV:
∫=est
baEXT du NT
onde:
Na = esforço axial causado pela força unitária (estado de forças)
dub = deformação axial causada pelo agente externo (estado de deslocamentos)
Sendo a força axial Na constante por barra, tem-se:
∫∑=i
ii0
bi
aEXT duNTl
ii bi
aEXT NT l∆= ∑
sendo que ibl∆ pode ser causado por qualquer agente externo (carga, variação de temperatura, etc).
Para a situação muito freqüente, de se ter o estado de deslocamento (b) provocado por cargas, ibl∆ pode
ser calculado pela Lei de Hooke, e em função do esforço axial:
S E
N E
S
N E
ii
ibb
i
bi
i
b ii
iil
ll
l=∆⇒
∆=⇒ε=σ
onde:
ibN = esforço axial atuante em cada barra, e causado pelo agente externo
il = comprimento da barra
iE = módulo de deformação longitudinal
iS = área da seção transversal da cada barra
Tem-se, então, pelo PTV:
∑=i ii
ibaEXT S E
NNTii
l
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 5
No caso do estado de deslocamento (b) ser provocado por uma variação uniforme de temperatura ∆T, o valor
de ibl∆ pode ser obtido a partir de:
T ibill ∆α=∆
E, pelo PTV, tem-se então:
iiii
aEXT T NTi
l∆α= ∑
1.4 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS FLETIDAS
Estruturas Fletidas Usuais : • Carregamento contido no plano da estrutura • Esforços solicitantes: N, V e M • Deformações: dub, dvb, ? b
Exemplos: Vigas, pórticos, arcos, etc Pelo PTV, tem-se:
∫ ∫∫ φ++=est
best
abest
abaext d Mdv Vdu NT
Pela Resistência dos Materiais sabe-se:
ds
dub
dvb
dφb
Nb
Vb
bM
Portanto, pelo PTV, obtém-se:
∫ ∫∫ ++=est est
ba
est
babaext ds
EIMM
ds GS
VV cds
ESNN
T
dsESN
du bb =
ds
GScV
dv bb =
dsEI
Md b
b =φ
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 6
1.5 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS FLETIDAS CAUSADOS POR VARIAÇÃO DA TEMPERATURA
Nas estruturas isostáticas, a variação de temperatura não provoca esforços solicitantes, já que a estrutura pode se expandir sem restrição.
Seja a barra reta, representada abaixo, submetida a uma variação de temperatura ∆Ts, na sua face superior, e
∆Ti, na face inferior, com ∆Ti > ∆Ts, e variação linear ao longo da altura h da seção transversal. Logo, no
eixo x, que passa pelos centróides das seções transversais, tem-se a variação de temperatura ∆T.
lds
hx
Considerando a barra livre e sem vínculos externos, ela se expande longitudinalmente e flete com curvatura voltada para cima. A deformação transversal não é relevante.
∆T
∆T
s
i
Sendo α o coeficiente de dilatação térmica, a deformação de um trecho de comprimento infinitesimal ds é ilustrada a seguir.
du
ds α ∆T dsi
α ∆T dss
b
dφb
h2
h2
Esta deformação se deve ao deslocamento na direção do eixo longitudinal dub, e a rotação das seções
transversais dφ b, que valem:
( )2
ds T ds T ds T du si
sb∆α−∆α
+∆α=
( )ds TT 2
du sib ∆+∆α
=⇒
ou,
ds T du b ∆α=
com, ( )
2TT
T si ∆+∆=∆
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 7
E, para a flexão, tem-se:
( )
2h2
ds T ds T
d
si
b
∆α−∆α
=φ
( )ds T T h
d sib ∆−∆α
=φ⇒
Assim, seja um estado de deslocamento (b) real, causado por variação de temperatura.
(b)s
dsB δ = ?B
Seja um estado de força conveniente (a), para o cálculo de δB
(a)s
B
P = 1
Impondo-se o estado de deslocamento (b) ao estado de forças (a), pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais
(∑ ∑= INTEXT TT ), tem-se:
∫ ∫∫ φ++=δest
best
abest
abaB d Mdv Vdu N
( ) ( )∫ ∫∫
∆−∆
α+⋅+
∆+∆
α=δ
estsi
esta
estasiaB ds TT
h M0 Vds TT
2 N
( ) ( )∫ ∫∆−∆α
+∆+∆α
=δ⇒est est
asiasiB dsM TT h
dsN TT 2
Sendo ∫ dsNa e ∫ dsMa as áreas dos diagramas de esforços normais e de momentos fletores,
respectivamente, devidos ao estado de força conveniente.
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 8
1.6 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM PÓRTICOS COM BARRAS SIMPLES (ATIRANTADOS)
Para pórticos com barras simples as parcelas dos deslocamentos correspondentes aos esforços normais e
cortantes só serão desprezadas na parte da estrutura submetida à flexão. Na parte submetida a esforços
normais não é prudente desprezar a contribuição deste esforço. Logo, pelo PTV, tem-se:
∫ ∫ φ+=flexão sem
bflexão com
abaEXT d Mdu NT
Assim, para os pórticos com barras simples submetidos a forças externas, de acordo com o exposto
anteriormente, tem-se:
∫∫ +=flexão sem
ba
flexão com
baext ds
ESNN
ds EIMM
T
Exemplo : Calcular o deslocamento vertical da articulação B do pórtico apresentado a seguir.
Dados: E = 2000 kN/cm2 Et = 21000 kN/cm2
I = 50000cm4 St = 3 cm2
A
10 kN/m
C
4 m3 m 4 m 3 m
1 m
2 m
BE, I
E , St t
E, I
a) Determinação geométrica
be = 2 + 2 + 1 +1 = 6
c = 2 be = bn ? Estrutura isostática
bn = 3c + 2n = 3 × 2 = 6
b) Estado de deslocamento (b)
Reações:
AV = 52,5 kN
30 kN
40 kN
CV = 17,5 kN
BV = 17,5 kN
V = 17,5 kNB
AH = 0
H = 40,83 kNB
BH = 40,83 kN
N = 40,83 kNt N = 40,83 kNtNt
Nt
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 9
C
B30,84
29,16
20
11,25
M (kNm)b
N (kN)b + 40,83
A
c) Estado de força conveniente (a)
A
1
C
B
Reações:
C
AV = 0,5 CV = 0,5
V = 0,5B
AH = 0
BH = 1,167
N = 1,167t N = 1,167tN t
N t
1
H = 1,167B
BV = 0,5
A C
B
0,8330,83
3
M (m)a
N a 1,167
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 10
d) Cálculo de δVB
tt
tba
i 0baB SE
NN ds MM
EI1
Vi ll
+=δ ∑ ∫
Parcela da flexão:
( ) ( ) +
−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅=δ 833,025,11
31
606,3833,084,3031
3,606V EI 'B
( ) ( )
−⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅+ 833,020
31
123,4833,084,3031
123,4
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+ 833,016,29
31
606,3833,016,2931
123,4
( )cm 0,378m 00378,0
100,51020766,37
V 47
'B −=−=
⋅⋅⋅−
=δ
Parcela do esforço normal:
cm 059,1m 01059,0100,3101,21483,40167,1
V 48
''B ==
⋅⋅⋅⋅⋅
=δ−
Deslocamento vertical da articulação B:
0,681cm 1,059 378,0VVV ''B
'BB =+−=δ+δ=δ
Determinação Geométrica 1 Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA - T01
Fazer a determinação geométrica das estruturas apresentadas a seguir.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Determinação Geométrica 2 Exercícios
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Determinação Geométrica 3 Exercícios
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Determinação Geométrica 4 Exercícios
25.
26.
27.
28.
29.
Determinação Geométrica 5 Exercícios
30.
31.
32.
33.
34.
35.
Respostas da Lista de Exercícios - Determinação Geométrica
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA - ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA
Respostas da Lista de Exercícios - Determinação Geométrica
DeterminadaDeterminadaDeterminada
1 x SuperdeterminadaDeterminadaDeterminadaDeterminada
IndeterminadaDeterminada
IndeterminadaDeterminada
DeterminadaDeterminadaDeterminadaDeterminada
Determinada4 x Superdeterminada
DeterminadaDeterminada
DeterminadaDeterminada
Indeterminada3 x Superdeterminada
Indeterminada1 x Superdeterminada
IndeterminadaDeterminada
IndeterminadaDeterminadaDeterminada
3 x Superdeterminada
1 x SuperdeterminadaDeterminada
3 x SuperdeterminadaIndeterminada
333435
29303132
25262728
21222324
17181920
13141516
9101112
5678
1234
Questão Resposta
Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 1 Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA Calcular as reações e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as estruturas apresentadas a seguir.
1.
60 kN20 kN/m
2,0 m2,0 m 2,0 m2,0 m
A B
2.
60 kN
1,0 m1,0 m
A B
0,5 m0,5 m
1,0 m
0,5 m
10 kN
20 kN
5 kN
150 kNm
3.
A
B
5 kN/m
20 kN
20 kN
C
4,0 m 2,0 m2,0 m
4,0 m
Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 2 Exercícios
4.
A
10 k
N/m
3,0 m1,0 m
4,0 m
4,0 m
4,0 m
30 kN
B C D
E
F
5.
A
12 kN/m
4,0 m
3,0 m
3,0 m
8 kN
B C
D
6 kN
2,0 m
6.
AE
10 kN/m
40 kN
C
4,0 m 4,0 m
3,0 m
4,0 m
10 kN/m
B
D
1,5 m
Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 3 Exercícios
7.
D
20 kN/m
4,0 m
3,0 m 7,0 m
A
B C
20 kN
/m
8.
5 kN/m
20 kN
2,0 m 1,0 m2,0 m1,0 m
1,5 m
2,0 m
A
B
C
DE
9.
4,0 m
4,0 m 4,0 m
A
B
10 k
N/m
4,0 m
20 kNm
20 kNm
C
D
E
10 kN/m
Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 4 Exercícios
10.
A E
B D
C
3,0 m 3,0 m
1,5 m
3,0 m
20 kN/m
20 kN
10 kN/m
11.
10 kN/m
2,0 m 3,0 m
2,0 m
A
B
E
C
F
D
3,0 m
2,0 m
20 kN/m
12.
10 kN/m
4,0 m 3,0 m
2,0 m
A B C
D
2,0 m
10 kN/m
20 kN
Reações e Diagramas de Esforços Solicitantes 5 Exercícios
13.
3,0 m
5,0 m 5,0 m
A
E
5,0 m
F
D
B
G40 kN
C
10 kN/m
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 1
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes
1)
Reações de Apoio
Momentos Fletores
Esforços Cortantes
Esforços Normais
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 2
2)
Reações de Apoio
Momentos Fletores
Esforços Cortantes
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 3
Esforços Normais
3)
Reações de Apoio
Momentos Fletores
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 4
Esforços Cortantes
Esforços Normais
4)
Estrutura Reações de Apoio
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 5
Momentos Fletores Esforços Cortantes
Esforços Normais
5)
Estrutura Reações de Apoio
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 6
Momentos Fletores Esforços Cortantes
Esforços Normais
6)
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 7
Reações de Apoio
Momentos Fletores
Esforços Cortantes
Esforços Normais
7)
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 8
Reações de Apoio
Momentos Fletores
Esforços Cortantes
Esforços Normais
8)
Reações de Apoio
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 9
Momentos Fletores
Esforços Cortantes
Esforços Normais
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 10
9)
Reações de Apoio
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 11
Momentos Fletores
Esforços Cortantes
Esforços Normais
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 12
10) Estrutura Reações de Apoio
Momentos Fletores Esforços Cortantes
Esforços Normais
11)
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 13
Reações de Apoio
Momentos Fletores
Esforços Cortantes
Esforços Normais
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 14
12)
Reações de Apoio
Momentos Fletores
Esforços Cortantes
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 15
Esforços Normais
13)
Reações de Apoio
Solução da lista de exercícios sobre diagramas dos esforços solicitantes 16
Momentos Fletores
Esforços Cortantes
Esforços Normais
Princípio dos Trabalhos Virtuais Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA – T01
Exercícios
1. Para a estrutura apresentada a seguir, pede-se: a) Calcular as reações externas e internas. b) Traçar os diagramas de momentos fletores, de esforços cortantes e de esforços normais. c) Calcular o deslocamento vertical da articulação C
Dados: E = 21000 kN/cm2 I = 40500 cm4
10 kN/m
A E
B D
C
3,0 m 3,0 m
1,5 m
3,0 m
20 kN/m
20 kN
cm65,9
CV =δ
2. Para a estrutura apresentada a seguir, pede-se: a) Calcular as reações externas e internas. b) Traçar os diagramas dos esforços solicitantes (momentos fletores, esforços cortantes e esforços normais). c) Calcular o deslocamento vertical do ponto D.
Dados: E = 2500 kN/cm2 Seção transversal retangular para todos os elementos, com b = 20 cm e h = 60 cm.
4,0 m
8,0 m3,0 m3,0 m
A
50 kN 60 kN
20 kN/m
B
C
D E F
4,0 m4,0 m
4,0 m
m202,0
DV =δ
Princípio dos Trabalhos Virtuais: Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas 1
Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA
Exercícios
1. Para a estrutura apresentada a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes e calcular o
deslocamento horizontal do ponto E. Sabe-se que além do carregamento indicado na figura, a barra CE
sofre um acréscimo uniforme de temperatura de 60 oC.
Dados: Estrutura fletida: E = 3000 kN/cm2 I = 270000 cm4 α = 10-5/ºC h = 60 cm
Barra simples: E = 21000 kN/cm2 φ = 20 mm α = 1,2 ×10-5/ºC
4 m2 m 1 m 1,5 m1,5 m
80 kN
4,0 m
4,0 m
A
20 kN/m
4,0 m
4,0 m
60 kN
B C D
E
F
Resposta: δδδδH = 0,0376m
2. Para a estrutura apresentada a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes e calcular o
deslocamento vertical do ponto F.
Dados: Estrutura fletida: E = 3000 kN/cm2 Seção transversal =
=
=
cm70h
cm15b
Barra simples: E = 21000 kN/cm2 φ = 20 mm
Resposta: δδδδV = 0,03m
Princípio dos Trabalhos Virtuais: Cálculo de deslocamentos em estruturas isostáticas 2
Exercícios
A
20 kN/m
4,0 m
4,0 m
60 kN
B C D
E F
80 kN
4,0 m
4,0 m
80 kN
G
2,0 m2,0 m 2,0 m 3,0 m 2,0 m
3. Para a estrutura apresentada a seguir, pede-se:
a) Calcular as reações externas e internas.
b) Traçar os diagramas dos esforços solicitantes.
c) Calcular a rotação do apoio F causada pelo carregamento indicado na figura e por uma variação
de temperatura de ∆Ti = 18 oC e ∆Ts = 45 oC.
Dados: E = 2500 kN/cm2 I = 360000 cm4 α = 10 -5 / oC h = 60 cm
4,0 m
20 kN/m
E
A
3,0 m
B
F
4,5 m
1,5 m80 kN
2,0 m
C
D
3,0 m
60 kN
2,0 m
100 kNm
Resposta: φφφφf = 0,028410 rad
Esforços Normais em Barras de Treliças 1
Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA
Calcular os esforços normais nas barras das treliças apresentadas a seguir.
1.
1,5 m
30 kN
1,5 m 1,5 m 1,5 m
1,5 m
1,5 m
2.
40 kN80 kN
30 kN
60 kN
3,0 m 3,0 m 3,0 m 3,0 m
8,0 m
4,0 m
4,0 m
Esforços Normais em Barras de Treliças 2
Exercícios
3.
30 kN
2,0 m3,0 m 3,0 m2,0 m
4,0 m
4,0 m60 kN
4.
20 kN20 kN
1,8 m1,8 m 1,8 m1,8 m
2,4 m
2,4 m
5.
20 kN20 kN
2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m
2,0 m
Esforços Normais em Barras de Treliças 3
Exercícios
6.
30 kN
4,0 m
4,0 m
3,0 m 3,0 m 3,0 m3,0 m
20 kN 20 kN
7.
100 kN
4,0 m
4,0 m
6,0 m 3,0 m
4,0 m
80 kN 60 kN
6,0 m6,0 m
3,0 m
40 kN
Esforços Normais em Barras de Treliças 4
Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA
RESULTADOS
1.
2.
Esforços Normais em Barras de Treliças 5
Exercícios
3.
4.
5.
Esforços Normais em Barras de Treliças 6
Exercícios
6.
7.
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 – HIPERESTÁTICA
Exercício
Para a treliça apresentada na figura abaixo, pede-se:
a) O deslocamento vertical do nó 6, positivo se para baixo; b) O deslocamento relativo entre os nós 4 e 5, positivo se de aproximação; c) A rotação da barra 9-10, positiva se horária; d) A rotação relativa entre as barras 1-3 e 1-4, positiva no sentido de aumentar o ângulo.
Dados: E = 21000 kN/cm2
Os valores entre parênteses correspondem às áreas das seções transversais das barras (cm2).
30 kN 30 kN 30 kN 30 kN 30 kN
400400 400 400
300
1 (12) (12) (12) (12)
(3) (4) (4) (3)
(10)
(6)
(6)
(6)
(10)
(5) (3)(3) (5)
3 5 7 9
24 6 8
10
a) Estado de deslocamento (b)
N b
30 kN 30 kN 30 kN 30 kN 30 kN
1 (-60) (-80) (-80) (-60)
(0) (60) (60) (0)
(-75
)
(- 4
5)
(-30
)
(- 4
5)
(-75
)(75)(25) (25
)(75
)
3 5 7 9
24 6 8
10
b) Estado de força conveniente para o cálculo de δVB (Na1)
1 (-0,667) (-1,333) (-1,333) (-0,667)
(0) (0,667) (0,667) (0)
(-0,
50)
(-0,
50)
(0)
(-0,
50)
(-0,
50)(0,833)
(0,833) (0,833)
(0,833)
3 5 7 9
24 6 8
10
1
c) Estado de força conveniente para o cálculo de δ rel 4,5
1 (0) (-0,80) (0) (0)
(0) (-0,80) (0) (0)
(0)
(-0,
60)
(-0,
60)
(0)
(0)
(0) (1,00)(0) (0)
3 5 7 9
24 6 8
10
1
1
d) Estado de força conveniente para o cálculo de φ 9-10 1 (0,0833) (0,1667) (0,1667) (0,2500)
(0) (-0,0833) (-0,250) (-0,3333)
(0,0
625)
(0)
(-0,1042)
(-0,1042) (0,1042
)
(0,1042
)
3 5 7 9
24 6 8
10
1
(0,0
625)
(-0,
0625
)
(-0,
0625
)
1/3
1/3
e) Estado de força conveniente para o cálculo de φ rel 1-3,1-4
1 (0) (0) (0) (0)
(0) (0) (0) (0)
(0)
(0,2
5)
(0)
(0)
(0)
(-0,15)
(0)(0) (0)
3 5 7 9
24 6 8
10
0,20
0,20
0,25 0,251
1
Pelo PTV → lES
NNT ba
iext Σ=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Class. Barra l S E Nb 3 x 6 4 x 5 7/8 Na1 Na2 Na3 Na4 9 x 10 9 x 11 9 x 12 9 x 13
1-3 4,00 0,0012 2,10E+08 -60,0 -240,0 2,52E+05 -9,52E-04 -0,667 0,000 0,08333 0,000 6,35E-04 0,00E+00 -7,94E-05 0,00E+00
3-5 4,00 0,0012 2,10E+08 -80,0 -320,0 2,52E+05 -1,27E-03 -1,333 -0,800 0,16670 0,000 1,69E-03 1,02E-03 -2,12E-04 0,00E+00
5-7 4,00 0,0012 2,10E+08 -80,0 -320,0 2,52E+05 -1,27E-03 -1,333 0,000 0,16670 0,000 1,69E-03 0,00E+00 -2,12E-04 0,00E+00
7-9 4,00 0,0012 2,10E+08 -60,0 -240,0 2,52E+05 -9,52E-04 -0,667 0,000 0,25000 0,000 6,35E-04 0,00E+00 -2,38E-04 0,00E+00
2-4 4,00 0,0003 2,10E+08 0,0 0,0 6,30E+04 0,00E+00 0,000 0,000 0,00000 0,000 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
4-6 4,00 0,0004 2,10E+08 60,0 240,0 8,40E+04 2,86E-03 0,667 -0,800 -0,08333 0,000 1,91E-03 -2,29E-03 -2,38E-04 0,00E+00
6-8 4,00 0,0004 2,10E+08 60,0 240,0 8,40E+04 2,86E-03 0,667 0,000 -0,25000 0,000 1,91E-03 0,00E+00 -7,14E-04 0,00E+00
8-10 4,00 0,0003 2,10E+08 0,0 0,0 6,30E+04 0,00E+00 0,000 0,000 -0,33330 0,000 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00
1-2 3,00 0,0010 2,10E+08 -75,0 -225,0 2,10E+05 -1,07E-03 -0,500 0,000 0,06250 0,000 5,36E-04 0,00E+00 -6,70E-05 0,00E+00
3-4 3,00 0,0006 2,10E+08 -45,0 -135,0 1,26E+05 -1,07E-03 -0,500 -0,600 0,06250 0,250 5,36E-04 6,43E-04 -6,70E-05 -2,68E-04
5-6 3,00 0,0006 2,10E+08 -30,0 -90,0 1,26E+05 -7,14E-04 0,000 -0,600 0,00000 0,000 0,00E+00 4,29E-04 0,00E+00 0,00E+00
7-8 3,00 0,0006 2,10E+08 -45,0 -135,0 1,26E+05 -1,07E-03 -0,500 0,000 -0,06250 0,000 5,36E-04 0,00E+00 6,70E-05 0,00E+00
9-10 3,00 0,0010 2,10E+08 -75,0 -225,0 2,10E+05 -1,07E-03 -0,500 0,000 -0,06250 0,000 5,36E-04 0,00E+00 6,70E-05 0,00E+00
1-4 5,00 0,0005 2,10E+08 75,0 375,0 1,05E+05 3,57E-03 0,833 0,000 -0,10420 -0,150 2,98E-03 0,00E+00 -3,72E-04 -5,36E-04
3-6 5,00 0,0003 2,10E+08 25,0 125,0 6,30E+04 1,98E-03 0,833 1,000 -0,10420 0,000 1,65E-03 1,98E-03 -2,07E-04 0,00E+00
6-7 5,00 0,0003 2,10E+08 25,0 125,0 6,30E+04 1,98E-03 0,833 0,000 0,10420 0,000 1,65E-03 0,00E+00 2,07E-04 0,00E+00
8-9 5,00 0,0005 2,10E+08 75,0 375,0 1,05E+05 3,57E-03 0,833 0,000 0,10420 0,000 2,98E-03 0,00E+00 3,72E-04 0,00E+00
Σ 0,01987 0,00179 -0,00169 -0,00080
δ VB δ rel 4,5 Φ 9-10 Φrel 1-3,1-4
(m) (m) (rad) (rad)
Dia
gona
lB
anzo
Sup
erio
rB
anzo
Inf
erio
rM
onta
nte
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 - HIPERESTÁTICA
2ª. UNIDADE
Processo dos Esforços 1
PROCESSO DOS ESFORÇOS
1 INTRODUÇÃO
Em uma estrutura hiperestática, as condições de equilíbrio não são suficientes para a determinação dos esforços internos e das reações de apoio. Existem infinitas possibilidades de se obter o equilíbrio, daí a necessidade de se gerar equações adicionais (condições de compatibilidade ou de coerência de deslocamentos) para resolver o problema.
O Processo dos Esforços se caracteriza por procurar determinar esforços em número igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura. Conhecidos esses esforços, chamados de incógnitas hiperestáticas, a partir das condições de equilíbrio, se determinam os esforços internos e as reações de apoio.
2 DESENVOLVIMENTO
Seja uma estrutura com grau de hiperestaticidade igual a n e submetida a uma ação externa qualquer (problema real). Pelo Processo dos Esforços, retira-se n vínculos para se obter uma estrutura isostática. Como o problema real não pode alterado, devem ser adicionados os esforços correspondentes aos vínculos retirados F1, F2, ... , Fj, ... , Fn, que são as incógnitas hiperestáticas.
O problema real (r) é agora um conjunto de ações em uma estrutura isostática (ação externa qualquer mais cada uma das incógnitas hiperestáticas Fj). Pela superposição de efeitos, esse problema real pode ser a soma da ação externa (problema 0), mais a superposição dos problemas correspondentes à aplicação de cada um dos Fj separadamente (problema 1, problema 2, ... , problema j, ..., problema n).
1 j n
1F jF nF
O valor de Fj pode ser colocado em evidência e superposto a um problema (j) correspondente a uma
força unitária na direção e sentido de Fj.
Processo dos Esforços 2
1j n
11
n
1 j1
F1 jF nF
X F1
jX F
nX F
(1)
(0)
(r)
(j)
(n)
≅
+
+
+
+
+
Assim,
)n(F)j(F)1(F)0()r( nj1 +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++= (1)
e,
)n(EF)j(EF)1(EF)0(EE nj1 +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅+= (2)
Sabe-se do problema real (r) que os vínculos retirados existem, isto é, os deslocamentos na direção dos vínculos retirados são conhecidos, nulos ou não.
Sendo δ jk o deslocamento na direção e sentido de Fj no problema (k) qualquer, pelas condições de
compatibilidade ou de coerência de deslocamentos, tem-se:
δ+⋅⋅⋅+δ+⋅⋅⋅+δ+δ=δ
δ+⋅⋅⋅+δ+⋅⋅⋅+δ+δ=δ
δ+⋅⋅⋅+δ+⋅⋅⋅+δ+δ=δ
nnnnjj1n10nnr
jnnjjj1j10jjr
n1nj1j11110r1
FFF
FFF
FFF
M
M (3)
Pelo Teorema da Reciprocidade dos Deslocamentos (ou Teorema de Maxwell), sabe-se que:
kjjk δ=δ
Processo dos Esforços 3
Os deslocamentos δ jr são definidos no problema real (r) e conhecidos δ jk podem ser determinados
pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais. Portanto, pode-se resolver o sistema de equações (Eq.3) e determinar as incógnitas hiperestáticas F1, ..., Fj, ... ,Fn. E com a solução do problema real (r), que consiste na solução de uma estrutura isostática, obtém-se os esforços internos e as reações de apoio da estrutura hiperestática, utilizando-se a eq.(2)
Exemplo: Resolver a viga da figura abaixo, com grau de hiperestaticidade igual a 2.
p
Retirando-se os vínculos internos correspondentes à força vertical, tem-se:
1
1
F1 2F
X F1
2X F
(1)
(0)
(r)
(2)
≅
+
p
δ10 20δ
δ2111δ
δ2212δ
≅
+
De acordo com os vínculos retirados, as condições de compatibilidade de deslocamentos são:
=δ
=δ
0
0
r2
r1 ⇒
=δ+δ+δ=δ
=δ+δ+δ=δ
0FF
0FF
22221120r2
12211110r1
Calculando-se os δ jk utilizando-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais e resolvendo-se o sistema de
equações determinam-se as incógnitas hiperestáticas F1 e F2. Então, a partir da eq.(2), podem ser obtidos os esforços internos e as reações de apoio da estrutura hiperestática.
Estruturas Sobre Apoios Elásticos 1
ESTRUTURAS SOBRE APOIOS ELÁSTICOS
1 APOIOS ELÁSTICOS DISCRETOS
a) APOIO EM MOLA (Equivale estaticamente a um apoio móvel)
Um apoio é dito elástico quando, sob a ação de uma força F, sofre um deslocamento δ na direção desta força.
P
l
A B
O apoio em mola, representado pelo apoio B da figura acima, é definido numericamente pela
constante r (constante de mola), que representa a razão entre a força aplicada na mola e o deslocamento
nela produzido por esta força. r é constante, por se considerar comportamento linear, e é chamado de rigidez da mola.
δ
=F
r (1)
na qual, F é a força absorvida pelo apoio e δ é o deslocamento sofrido pelo apoio
b) ENGASTE ELÁSTICO (Equivale estaticamente a um engaste perfeito)
Um engaste é dito elástico quando, sob a ação de um momento M, sofre uma rotação ? . Ele é representado como indicado no apoio B da figura abaixo.
P
l
A B
O engaste elástico é definido pela constante de engastamento elástico R, ou rigidez da mola. R é dado por:
θ
=M
R (2)
na qual, M é o momento absorvido pelo engaste e θ é a rotação sofrida pelo engaste.
2 TRABALHO INTERNO DOS APOIOS ELÁSTICOS
a) APOIO EM MOLA
Seja Fa uma força virtual (estado de força conveniente) e δ b um deslocamento real (estado de deslocamento) de um apoio em mola. Pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, o trabalho interno é dado por:
rFF
FW baba =δ=
Estruturas Sobre Apoios Elásticos 2
Já que, a partir de (1), tem-se que:
r
Fbb =δ
b) ENGASTE ELÁSTICO
Seja Ma um momento virtual (estado de força conveniente) e θb uma rotação real (estado de deslocamento) de um engaste elástico. Pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, o trabalho interno é dado por:
RMM
MW baba =θ=
Já que, a partir de (2), tem-se que:
R
Mbb =θ
OBSERVAÇÕES
a) O apoio elástico estaticamente equivalente ao apoio fixo é resultante da associação de duas molas
P
l
A B
b) Pode-se ter um apoio totalmente elástico
P
l
A B
c) Associação entre apoio rígido e apoio elástico
Apoio Rígido Apoio Elástico
Simplificações Devidas à Simetria 1
SIMPLIFICAÇÕES DEVIDAS À SIMETRIA
1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
No caso de estruturas simétricas, com carregamento simétrico ou antimétrico, é possível se fazer algumas simplificações que podem implicar na diminuição do número de incógnitas hiperestáticas, ou mesmo reduzir a estrutura de tal forma que se possa calcular uma estrutura muito menor que a original.
1.1 Estrutura Simétrica com Carregamento Simétrico
l1 2l 1l
q
q
l1l 2 l1
F1 F1
≅
≅
l
q
l1 2
≅
q
l1
F1
/ 2
/ 2l2
(r)
(r)
(s)
(s)
Simplificações Devidas à Simetria 2
1.2 Estrutura Simétrica com Carregamento Antimétrico
1l
q
F1
F1≅
≅
ll1 2
≅
l1
F1
/ 2
/ 2l2
(r)
(r)
(a)
(a)
l / 22
l1 l2 / 2
q
q
q
l l/ 22 1
l1 l / 22
q
q
1.3 Estrutura Simétrica com Carregamento Qualquer
O carregamento real (r) de uma estrutura simétrica pode ser colocado como a soma de um carregamento simétrico (s) e um carregamento antimétrico (a)
q
(r)
P P
MM
P/2 qP
M/2(s)
M/2
P/2q/2 q/2
P/2q/2
M/2
q/2P/2
M/2(a)
M
=+
Simplificações Devidas à Simetria 3
2 ALGUMAS REGRAS PARA A REDUÇÃO DA ESTRUTURA
2.1 Plano de Simetria Perpendicular a uma Barra
Os esforços internos, no plano de simetria, podem ser classificados como simétricos e antimétricos.
Esforços simétricos: M e N Esforços antimétricos: V
M
VN
M
NV
Regras: • No problema simétrico são nulos os esforços antimétricos no plano de simetria. • No problema antimétrico são nulos os esforços simétricos no plano de simetria. • No plano de simetria são nulos os deslocamentos correspondentes aos esforços não nulos do
problema simétrico ou antimétrico:
Problema Esforços não nulos Deslocamentos nulos Apoio Equivalente
Simétrico M e N φ e δH Engaste móvel
Antimétrico V δV Apoio móvel
2.2 Plano de Simetria Contendo o Eixo de uma Barra
Estrutura espacial
2.3 Grau de Hiperestaticidade das Estruturas Reduzidas
Numa estrutura simétrica submetida a um carregamento qualquer, a soma dos graus de hiperestaticidade da estrutura simétrica reduzida com o grau de hiperestaticidade da estrutura antimétrica reduzida é igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura original.
3 EXEMPLO
Traçar o diagrama de momentos fletores para o pórtico abaixo. EI = cte.
4,0 m 4,0 m
3,0
m3,
0 m
20 kN/m
(r)
Simplificações Devidas à Simetria 4
Esquema de solução:
4,0 m 4,0 m
3,0
m3,
0 m
4,0 m 4,0 m
3,0
m3,
0 m
4,0 m 4,0 m
3,0
m3,
0 m
20 kN/m
10 kN/m
10 kN/m
10 kN/m
(r)
(s)
(a)
=
+
Simplificações Devidas à Simetria 5
a) Parte Simétrica
4,0 m
3,0
m3,
0 m
10 kN/m
• Estrutura básica e esquema da solução:
10 kN/m
F1
2F
(r)
(0)
10 kN/m
=
1
x F (1)+
1
+1 x F (2)2
=−=
kNm 80,0FkNm 6,25F
2
1
Simplificações Devidas à Simetria 6
b) Parte Antimétrica
10 kN/m
3,0
m3,
0 m
4,0 m
• Estrutura básica e esquema da solução:
10 kN/m
F1
(r) (0)
10 kN/m
=
1
x F (1)+ 1
kNm 1,7F1 =
• Diagramas de momentos fletores:
Parte simétrica (kNm)
26,8
25,6
20
25,6
26,8
0,8
20
Simplificações Devidas à Simetria 7
Parte antimétrica (kNm)
7,1
7,1
20
7,1
7,1
7,1
7,1
20
Diagrama final (kNm)
33,9
18,5
40
32,7
19,7
0,8
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas 1 Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA Calcular as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as vigas apresentadas a seguir. 1)
20 kN/m
6 m 5 m4 m
2)
10 kN/m
5 m 5 m4 m
3,5 m 2 m 5 m1,5 m 2 m
40 kN 40 kN
50 kNm
3)
6 m 6 m4 m
6 m 2 m 2 m2 m
50 kN
15 kN/m
60 kN 60 kN
2 m 2 m
4)
6 m 5 m4 m
6 m 2 m 2 m
75 kN
20 kN/m
4 m 2 m
75 kN
4 m
3 m
Lista de Exercícios – Processo dos Esforços aplicado às Vigas 1) Estrutura
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
2) Estrutura
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
3) Estrutura
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
4) Estrutura
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA
Calcular as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as vigas apresentadas a seguir. Observar que elas estão submetidas, além do carregamento ilustrado, a variação de temperatura Considerar os seguintes dados: E = 2500 kN/cm2, I = 360000 cm4, α =10-5/ ºC e h = 60 cm
1)
20 kN/m
6 m 5 m4 m
∆Ti = 16 Co ∆Ti = 22 Co ∆Ti = 18 Co
∆Ts = 40 Co
o∆Ts = 40 C ∆Ts = 40 Co
2)
10 kN/m
5 m 5 m4 m
3,5 m 2 m 5 m1,5 m 2 m
40 kN 40 kN
50 kNm∆T = 60 Cio
∆T = 20 Cso ∆T = 20 Co
s ∆T = 20 Cso
∆T = 60 Cio ∆T = 60 Ci
3)
6 m 6 m4 m
6 m 2 m 2 m2 m
50 kN
15 kN/m
60 kN 60 kN
2 m 2 m
∆T = 45 Cso
∆T = 15 Cio ∆T = -5 Ci
o o∆T = 15 Ci
∆T = 15 Cso ∆T = 60 Cs
o
4)
6 m 5 m4 m
6 m 2 m 2 m
75 kN
20 kN/m
4 m 2 m
75 kN
4 m
3 m
∆T = 25 Cio
s∆T = 25 Co
∆T = 25 Cio ∆T = 15 Ci
o ∆T = 40 Cio
o∆T = 40 Cs∆T = 40 Cos ∆T = 15 Co
s
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 1 Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA Calcular as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as vigas apresentadas a seguir. Observar que elas estão submetidas, além do carregamento ilustrado, a variação de temperatura Considerar os seguintes dados: E = 2500 kN/cm2, I = 360000 cm4, α =10-5/ ºC e h = 60 cm
Resultados
1) Somente a ação da variação de temperatura
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Somente a ação das cargas externas
Reações de apoio:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 2 Exercícios
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Ação conjunta da variação de temperatura e das cargas externas
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 3 Exercícios
2) Somente a ação da variação de temperatura
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Somente a ação das cargas externas
Reações de apoio:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 4 Exercícios
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Ação conjunta da variação de temperatura e das cargas externas
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 5 Exercícios
3) Somente a ação da variação de temperatura
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Somente a ação das cargas externas
Reações de apoio:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 6 Exercícios
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Ação conjunta da variação de temperatura e das cargas externas
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 7 Exercícios
Diagrama de momentos fletores:
4) Somente a ação da variação de temperatura
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 8 Exercícios
Somente a ação das cargas externas
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Ação conjunta da variação de temperatura e das cargas externas
Reações de apoio:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 9 Exercícios
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura
Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA
Calcular as reações de apoio e traçar os diagramas de esforços solicitantes para as vigas apresentadas a seguir.
Observar os recalques e as variações de temperatura informadas. Considerar os seguintes dados: E = 2500 kN/cm2,
I = 360000 cm4, α =10-5/ ºC e h = 60 cm
1) Sabe-se que, além do carregamento indicado na figura, o apoio B sofre um recalque vertical de 1,6 cm, e o
apoio C sofre um recalque vertical de 2,8 cm, ambos para baixo.
20 kN/m
6 m 5 m4 m
2) Sabe-se que, além do carregamento indicado na figura, os apoios A e D sofrem recalques verticais de 2 cm,
para baixo.
10 kN/m
5 m 5 m4 m
3,5 m 2 m 5 m1,5 m 2 m
40 kN 40 kN
50 kNm
3) Sabe-se que, além do carregamento indicado na figura, o apoio A sofre um recalque rotacional de 10-3 rad,
no sentido horário, e os apoios B e C sofrem recalques verticais, para baixo, de 2,5 cm e 1,8 cm,
respectivamente.
6 m 6 m4 m
6 m 2 m 2 m2 m
50 kN
15 kN/m
60 kN 60 kN
2 m 2 m
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura
Exercícios
4) Sabe-se que, além do carregamento e da variação de temperatura indicados na figura, os apoios B e D
sofrem recalques verticais, para baixo, de 3 cm e 2,1 cm, respectivamente.
6 m 5 m4 m
6 m 2 m 2 m
75 kN
20 kN/m
4 m 2 m
75 kN
4 m
3 m
∆T = 25 Cio
s∆T = 25 Co
∆T = 25 Cio ∆T = 15 Ci
o ∆T = 40 Cio
o∆T = 40 Cs∆T = 40 Cos ∆T = 15 Co
s
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 1
Exercícios
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA
Resultados
1) Somente a ação dos recalques
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Ação conjunta do carregamento e dos recalques de apoio
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 2
Exercícios
Diagrama de momentos fletores:
2) Somente a ação dos recalques
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Ação conjunta do carregamento e dos recalques de apoio
Reações de apoio:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 3
Exercícios
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
3) Somente a ação dos recalques de apoio
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 4
Exercícios
Ação conjunta do carregamento e dos recalques de apoio
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
4) Somente a ação dos recalques de apoio
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Processo dos Esforços: Aplicação em Vigas Contínuas Submetidas a Cargas Externas e Variação de Temperatura 5
Exercícios
Diagrama de momentos fletores:
Ação conjunta de todas as ações
Reações de apoio:
Diagrama de esforços cortantes:
Diagrama de momentos fletores:
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA
1. Para a estrutura apresentada a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes.
Dado EI = 81000 kNm2
20 kN/m
80 kN
A
100 kN
B
C
D
1,5 m1,5 m 2 m4 m
2 m
2 m
2. Para a estrutura apresentada a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes.
Dado EI = 81000 kNm2
1,5 m
4 m2 m2 m 2 m
3 m
3 m
1,5 m
20 kN/m
80 kN
A
100 kN
B
D
F
C
E
2
3. Para o pórtico apresentado na figura a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes,
considerando: a) O carregamento indicado na figura. b) Uma rotação de 2,5 × 10-3 rad (sentido horário) no apoio D e um recalque vertical de
3 cm no apoio A. c) Uma variação de temperatura de -15ºC nas fibras internas e uma variação de
temperatura de 35ºC nas fibras externas. d) Todas as ações anteriores agindo simultaneamente.
Dados: E = 3000 kN/cm2 α = 10-5/ºC Seção transversal da viga: b = 15 cm e h = 50 cm Seção transversal dos pilares: b = 20 cm e h = 50 cm
25 kN/m
A
B 60 kN
50 kN/m
C
D
6 m
2,5 m
4 m
1,5 m60°
4. Traçar os diagramas dos esforços solicitantes para o pórtico abaixo. Sabe-se que, além do
carregamento indicado, ele está submetido a uma variação de temperatura de 80ºC nas fibras internas, e de 35ºC, nas fibras externas.
Dados: E = 2500 kN/cm2 α = 10-5/ºC Seção transversal: b = 20cm e h = 40cm
A
B
D
C
2,0 m
2,0 m
10 kN/m
50 kN
60 kN
2,0 m
2,0 m
5,0 m 1,5 m1,5 m
3
5. Para a estrutura apresentada a seguir, traçar o diagrama de momentos fletores causados por
um acréscimo uniforme de temperatura de 60 ºC, e por um recalque horizontal de 1,2 cm,
para a esquerda, do apoio A.
Dados: E = 3000 kN/cm2 I = 270000 cm4 α = 10-5/ºC h = 60 cm r = 2,6×103 kN/m
5 m
4 m
3 m
A
B C
D
6. Traçar os diagramas de esforços solicitantes para o pórtico abaixo.
Dados: E = 2,05 × 108 kN/m2 I = 292130 cm4 R = 2,0 × 103 kNm/rad
r1 = 2,5 × 103 kN/m r2 = 1,5 × 103 kN/m
4,0 m
2,0 m
5,0 m
A
B C
D
r1
r2
R
25 kN/m
30 kN
7. Para a estrutura apresentada a seguir, traçar o diagrama de momentos fletores.
Dados: Estrutura fletida: EI = 67500 kNm2
Barra simples: ES = 100630 KN
Apoios elásticos: r1 = 2000 kN/m r2 = 1500 kN/m
20 kN/m
r12r
80 kN
4 m 3 m5 m
3 m
4 m
A
B C
D
4
8. Para a estrutura apresentada a seguir, traçar o diagrama de momentos fletores.
Dados: Estrutura fletida: EI = 156250 kNm2 Barra simples: ES = 103083,5 KN
Apoios elásticos: r1 = 2000 kN/m r2 = 1500 kN/m
20 kN/m
r12r
50 kN
A B C
D
80 kN
E
2 m8 m 8 m
3 m
3 m
9. Para a treliça apresentada a seguir, calcular o deslocamento vertical do nó C causado:
a) pelo carregamento indicado na figura, b) por um acréscimo de temperatura de 80ºC, em todas as barras. c) pela ocorrência simultânea da ações citadas nos itens a e b.
Dados: E = 2,05×108 kN/m2 α = 1,2×10-5/ºC φ = 25,4 mm
2 m2 m
1,5 m
50 kN
1,5 m
A B
C
D
10. Calcular os esforços normais nas barras da treliça apresentada a seguir. Sabe-se que ela está
submetida a um acréscimo uniforme de temperatura de 60ºC.
Dados: E = 21000 kN/cm2 A = 16,6 cm2 α = 1,2×10-5 /ºC
r1 = 3,6×105 kN/m r2 = 3,0×105 kN/m
3 m
4 m 4 m
r = 3,6x10 kN/m15
5r = 3,0x10 kN/m2 12
3 4 5
5
11. Para a estrutura apresentada a seguir, calcular as reações de apoio e os esforços normais nas
barras, e traçar o diagrama dos momentos fletores.
Dados: Estrutura fletida: E = 3000 kN/cm2 Seção transversal:
=
=
cm 60 hcm 20 b
Barras simples: Eb = 21000 kN/cm2 φ = 32 mm
2 m2 m2 m 2 m2 m2 m
1,5 m
50 kN 50 kN 50 kN
12. Utilizando as simplificações devidas à simetria, traçar os diagramas dos esforços solicitantes
do pórtico apresentado a seguir. Dados: E = 3000 kN/cm2 b = 20cm h = 60cm
A
B
20 kN/m
D
E
3 m
2 m
5 m
3 m
3 m
50 kN 60 kN
C
13. Para o pórtico abaixo, traçar os diagramas de esforços solicitantes e calcular o deslocamento
vertical do meio do trecho BC.
Dados: E = 3000 kN/cm2 b = 20cm h = 60cm
A
B
D
C
6,0 m
3,0 m
2,0 m
20 kN/m
80 kN
6
14. Para a estrutura apresentada a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes e calcular o
deslocamento horizontal do ponto F.
Dado EI = 30000 kNm2
4 m4 m3 m 4 m
2 m
4 m
2 m
A B
C D
F
E
10 kN/m
50 kN
15. Para a estrutura abaixo, traçar o diagrama dos momentos fletores e calcular os esforços normais nas
barras simples. Sabe-se que, além do carregamento indicado na figura, as barras simples sofrem um acréscimo de temperatura de 30ºC.
Dados: Chapa: E = 3000 kN/cm2 α = 1,0×10-5/ºC
I = 428750 cm4 (b = 15cm e h = 70cm)
Barras simples: E = 20500 kN/cm2 α = 1,2×10-5/ºC φ= 75mm
Apoio elástico: r = 5000 kN/m
20 kN/m
A
C
50 kN
B
D E
1,5 m3 m 1,5 m
3 m
1 m
7
16. Para a estrutura abaixo, traçar o diagrama dos momentos fletores. Sabe-se que a estrutura está
submetida ao carregamento e à variação de temperatura indicados na figura.
Dados: E = 3000 kN/cm2 α = 1,0×10-5/ºC r = 5000 kN/m
Trechos AD e BE: I = 450000 cm4 (b = 25cm e h = 60cm)
Trechos CD e DE: I = 270000 cm4 (b = 15cm e h = 60cm)
32 kN/m
A
D E
B
5 m4 m
5 m
3 m
C
∆T = 20 ºC
i
∆T = 20 ºCi
∆T = 48 ºC
s
i∆T = 20 ºC
∆T = 20 ºC
i
∆T = 48 ºCs
∆T = 48 ºC
∆T = 20 ºC
i s
75 kN
3,5 m
1,5 m
1
RESPOSTAS 1ª Questão: N (kN)
V (kN)
M (kNm)
2
2ª Questão: N (kN)
V (kN)
3
M (kNm)
3ª Questão: a) N(kN) V(kN)
4
M (kNm)
b) N(kN) V(kN)
M (kNm)
5
c) N(kN) V(kN)
M (kNm)
d) N(kN) V(kN)
M (kNm)
6
4ª Questão: N(kN)
V(kN)
M (kNm)
7
5ª Questão: M (kNm)
6ª Questão: N (kN) V (kN)
M (kNm)
8
7ª Questão: M (kNm)
8ª Questão: M (kNm)
9ª Questão: a) δVc = 0,167 cm b) δVc = 0
9
10ª Questão: N (kN) e reações de apoio (kN)
11ª Questão: N (kN) e reações de apoio (kN)
M (kNm)
12ª Questão: Diagramas da parcela simétrica da estrutura N (kN)
10
V (kN)
M (kNm)
Diagramas da parcela antimétrica da estrutura N (kN)
V (kN)
11
M (kNm)
Diagramas dos esforços solicitantes da estrutura N (kN)
V (kN)
M (kNm)
12
13ª Questão: Diagramas dos esforços solicitantes da estrutura N (kN)
V (kN)
M (kNm)
Deslocamento vertical do meio do trecho BC: 0,0424cm
13
14ª Questão: Diagramas dos esforços solicitantes da estrutura N (kN)
V (kN)
M (kNm)
Deslocamento horizontal do ponto F: 2 cm
14
15ª Questão: M (kNm)
N (kN)
16ª Questão: M (kNm)
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 - HIPERESTÁTICA
3ª. UNIDADE
ENG – 114 HIPERESTÁTICA 1 Processo dos Deslocamentos
PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS
1 CONCEITOS BÁSICOS
1.1 DESLOCABILIDADE
Para as estruturas planas, cada nó pode apresentar:
• Dois deslocamentos lineares
• Um deslocamento angular (rotação)
1.1.1 Deslocabilidade Interna
Para a estrutura apresentada na figura, são desconhecidos os deslocamentos dos nós B e C.
A
B C D
Para o nó C, sabe-se que:
• Não apresenta deslocamento vertical, impedido pelo apoio móvel;
• Não apresenta deslocamento linear horizontal, impedido pelo engaste em D (desprezam-
se as deformações axiais das barras).
⇒ Única incógnita = rotação
Para o nó B, sabe-se que:
• Não apresenta deslocamento vertical, impedido pelo engaste em A;
• Não apresenta deslocamento linear horizontal, impedido pelo engaste em D.
⇒ Única incógnita = rotação
Portanto, a estrutura apresenta duas deslocabilidades internas que são as rotações dos B e C.
Número igual ao de nós internos rígidos (não rotulados).
Assim, o número de deslocabilidade interna, di, de uma estrutura, é igual ao número
de nós internos rígidos que ela possui.
ENG – 114 HIPERESTÁTICA 2 Processo dos Deslocamentos
1.1.2 Deslocabilidade Externa
Seja a estrutura apresentada a seguir.
A
D E
B
F
G
C
Ela não possui nós internos rígidos, logo não existem deslocabilidades internas.
Para o nó D, sabe-se que:
• Não apresenta deslocamento linear vertical, impedido pelo engaste em A.
⇒ Única incógnita = deslocamento linear horizontal
Para o nó G, sabe-se que:
• Não apresenta deslocamento linear vertical, impedido pelo engaste em C.
⇒ Única incógnita = deslocamento linear horizontal
Admitindo a existência de apoios adicionais do 1o gênero nesses nós, eles se tornariam
linearmente indeslocáveis, o que acarretaria, também a indeslocabilidade linear dos nós E e F.
A
D E
B
F
G
C
Assim, o número de deslocabilidade externa, de, de uma estrutura é igual ao número de
apoios do 1o gênero que nela precisam ser adicionados, para que todos os seus nós tornem-se
indeslocáveis.
ENG – 114 HIPERESTÁTICA 3 Processo dos Deslocamentos
As estruturas que possuem deslocabilidades externas são chamadas de estruturas
deslocáveis, e aquelas que não as possuem, mesmo apresentando deslocabilidade internas, são
chamadas estruturas indeslocáveis.
1.1.3 Número Total de Deslocabilidades
O número total de deslocabilidades, d, de uma estrutura, é dado pela soma do número de
deslocabilidade interna, di, e externas, de. Assim,
ei ddd +=
1.1.4 Exemplos
ei ddd +=
523d =+=
ei ddd +=
523d =+=
ei ddd +=
303d =+=
ENG – 114 HIPERESTÁTICA 4 Processo dos Deslocamentos
ei ddd +=
734d =+=
ei ddd +=
514d =+=
ei ddd +=
312d =+=
ENG – 114 HIPERESTÁTICA 5 Processo dos Deslocamentos
1.2 RIGIDEZ DE UMA BARRA
A rigidez de uma barra, em um nó, corresponde ao momento fletor que, aplicado neste nó,
suposto livre para girar, provoca uma rotação unitária do mesmo.
1.2.1 Barra Biengastada
Resolvendo a viga abaixo, admitindo-se que em A é imposta uma rotação unitária, tem-se
l
A B
a) Estrutura básica e esquema de solução
A B
φ = 1
(r)
A
φ = 1
(r)
BF1 F2
A B
(0)
A
(1)
B1
x F1
1(2)
A Bx F2
b) Equações de compatibilidade de deslocamentos
=φ=φ
01
r2
r1 ⇒
=φ+φ+φ=φ+φ+φ
0FF
1FF
22212120
21211110
c) Cálculo das rotações
M(0) = 0
M(1) M(2)
1 1
0EI 10 =φ 0EI 20 =φ
311
31
EI 11l
l =⋅⋅⋅=φ 3
1131
EI 22l
l =⋅⋅⋅=φ
611
61
EIEI 2112l
l =⋅⋅⋅=φ=φ
ENG – 114 HIPERESTÁTICA 6 Processo dos Deslocamentos
d) Solução do sistema de equações
=φ=φ
0EIEIEI
r2
r1 ⇒
=++
=++
0F3
F6
0
EIF6
F3
0
21
21
ll
ll
⇒
−=
=
l
lEI2
F
EI4F
2
1
e) Diagrama de momentos fletores
4EIl
l2EI
f) Conclusões
Assim, para uma barra biengastada, com EI = cte, sua rigidez em um nó de sua
extremidade é:
lEI4
k =
Pode-se observar que em conseqüência do surgimento do momento fletor igual a lEI4
,
na extremidade que sofreu a rotação unitária, apareceu um momento fletor igual à metade de seu
valor, lEI2
, na outra extremidade da barra, e de mesmo sentido vetorial que a rotação unitária e
do momento que o provocou. Portanto, o coeficiente de transmissão de momentos, t, de um nó
engastado para outro nó também engastado, em uma barra com EI = cte, é dado por:
5,0EI4
EI2
MM
tA
BAB ===
l
l
g) Resumindo, para uma barra biengastada tem-se
Rigidez de um nó engastado: lEI4
k =
Coeficiente de transmissão de momentos para nós engastados: t = 0,5
ENG – 114 HIPERESTÁTICA 7 Processo dos Deslocamentos
1.2.2 Barra Engastada e Apoiada
Seja a viga a seguir, para a qual, no nó A, é imposta uma rotação unitária. Tem-se, então:
l
A B
a) Estrutura básica e esquema de solução
A B
φ = 1
(r) (0)
BF1
A
(1)
A Bx F1
1
b) Equação de compatibilidade de deslocamentos
1r1 =φ ⇒ 1F11110 =φ+φ
c) Cálculo das rotações
M(0) = 0 M(1)
1
0EI 10 =φ
311
31
EI 11l
l =⋅⋅⋅=φ
d) Solução do sistema de equações
EIEI r1 =φ ⇒ EIF3
0 1 =+l
⇒ lEI3
F1 =
e) Diagrama de momentos fletores
3EIl
ENG – 114 HIPERESTÁTICA 8 Processo dos Deslocamentos
f) Conclusões
Assim, para o nó engastado de uma barra engastada e rotulada, com EI = cte, sua rigidez
é:
lEI3
k =
1.3 MOMENTOS FLETORES DEVIDOS A DESLOCAMENTOS ORTOGONAIS
1.3.1 Barra Biengastada
Seja a viga biengastada, apresentada na figura a seguir. Considerando que o apoio em B
sofre um deslocamento vertical unitário, para baixo, tem-se
l
A B
1
a) Estrutura básica e esquema de solução
(r)
B 1
A A
1
(r) B
F1
F2
A
1
(0) B
F1
x F 1
(1)
A
1
(2)
Aφ10
φ20
1
2x FB B
b) Equações de compatibilidade de deslocamentos
=φ=φ
00
r2
r1 ⇒
=φ+φ+φ=φ+φ+φ
0FF
0FF
22212120
21211110
c) Cálculo das rotações
M(0) = 0 M(1) M(2)
1 1
ENG – 114 HIPERESTÁTICA 9 Processo dos Deslocamentos
l1
10 −=φ ⇒ lEI
EI 10 −=φ
l1
20 =φ ⇒ lEI
EI 20 =φ
311
31
EI 11l
l =⋅⋅⋅=φ 3
1131
EI 22l
l =⋅⋅⋅=φ
611
61
EIEI 2112l
l =⋅⋅⋅=φ=φ
d) Solução do sistema de equações
=φ=φ
0EI0EI
r2
r1 ⇒
=++
=++−
0F3
F6
EI
0F6
F3
EI
21
21
lll
lll ⇒
−=
=
22
21
EI 6F
EI 6F
l
l
e) Diagrama de momentos
6EIl
6EI
2
2l
1.3.2 Barra Engastada e Rotulada
Seja a viga, apresentada na figura a seguir. Considerando que o apoio em B sofre um
deslocamento vertical unitário, para baixo, tem-se
l
A B
1
a) Estrutura básica e esquema de solução
A
B1
(r)
A
1
(0)
BF1
φ10
B
A
1
x F1
(1)
ENG – 114 HIPERESTÁTICA 10 Processo dos Deslocamentos
b) Equação de compatibilidade de deslocamentos
0r1 =φ ⇒ 0F11110 =φ+φ
c) Cálculo das rotações
M(0) = 0 M(1)
1
l1
10 −=φ ⇒ lEI
EI 10 −=φ
311
31
EI 11l
l =⋅⋅⋅=φ
d) Solução do sistema de equações
0EI r1 =φ ⇒ 0F3
EI1 =+−
ll
⇒ 21EI3
Fl
=
e) Diagrama de momentos fletores
3EIl 2
2 O PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS
É semelhante ao processo dos esforços, trocando-se:
• Retirada de vínculos por introdução de vínculos;
• Esforços por deslocamentos;
• Compatibilidade de deslocamentos por compatibilidade de esforços
• Estrutura básica estaticamente determinada por estrutura básica geometricamente
determinada
A idéia básica do processo dos deslocamentos é adicionar vínculos para se recair em uma
estrutura básica geometricamente determinada, com grau de hiperestaticidade maior do que a
estrutura real, mas mais simples de se resolver.
O número de vínculos que devem ser adicionados é igual ao número total de
deslocabilidades, d
ENG – 114 HIPERESTÁTICA 11 Processo dos Deslocamentos
Seja o caso de se resolver uma estrutura com número total de deslocabilidades igual a n,
submetida a uma solicitação qualquer.
Adicionam-se n vínculos de forma que a estrutura real r se torne geometricamente
determinada. O problema real r não se altera desde que os vínculos imponham exatamente os
mesmos deslocamentos ∆1, ∆2, ..., ∆n impedidos. Esses deslocamentos são inicialmente
desconhecidos
1
1
∆1 n∆
x ∆1
nx ∆
(1)
(0)
(r)
(n)
≅
+
p
f10 n0f
f n111f
f n212f
≅
+
...
...
...
...
...
p
p
f nr1rf
... ...
+
Valendo a superposição de efeitos e a proporcionalidade entre causa e efeito, o problema
real (r) pode ser expandido numa soma de problema, (0), (1), (2), ..., (j), ..., (n), sobre a mesma
estrutura básica, cada uma correspondente a uma solicitação, ou seja:
(r) = (0) + (1) ∆1 + (2) ∆2 + ... + (j) ∆j + ... + (n) ∆n (A)
Qualquer efeito E(r), então, pode ser determinado a partir de:
E(r) = E(0) + E(1) ∆1 + E(2) ∆2 + ... + E(j) ∆j + ... +E (n) ∆n (B)
ENG – 114 HIPERESTÁTICA 12 Processo dos Deslocamentos
Sendo fjk a força na direção e sentido de ∆j no problema (k), tem-se que:
∆++∆++∆+=
∆++∆++∆+=
∆++∆++∆+=
nnnjnj11n0nnr
njnjjj11j0jjr
n1nj1j11110r1
f f fff
f f fff
f f fff
LLM
LLM
LL
(C)
Sendo as forças fjr definidas, geralmente nulas, e as forças fjn, as forças de bloqueio dos
deslocamentos impostos na estrutura básica (reações nos vínculos adicionados), a solução do
sistema de equações (C), permite calcular os deslocamentos ∆j, e com a equação (B), resolver o
problema.
Processo de Cross 1
PROCESSO DE CROSS
1 INTRODUÇÃO
Seja o nó D da estrutura indeslocável abaixo, submetido a um momento M. A
B
CD 1
2
3
M
O nó D irá girar de um ângulo φ, aparecendo, então, nas extremidades das barras os momentos M1, M2 e M3. A
B
CD 1
2
3
M1
2M
M 3
φ
φφ
Pela definição de rigidez:
φ= D11 KM φ= D
22 KM φ= D33 KM (A)
Por compatibilidade estática:
MMMM 321 =++
ou,
( ) M KKK D3
D2
D1 =φ++
logo,
∑ =φ MKDi
Assim,
∑
=φDiK
M (B)
Processo de Cross 2
Substituindo-se (B) em (A), tem-se:
MK
KM
Di
D1
1 ∑= M
KK
MDi
D2
2 ∑= M
KK
MDi
D3
3 ∑=
Portanto, de uma maneira geral, pode-se escrever:
MK
KM
i
ii ∑
=
Portanto, uma carga momento, aplicada em um nó de uma estrutura indeslocável, irá se distribuir entre as
diversas barras concorrentes neste nó segundo parcelas proporcionais à rigidez, neste nó, da cada uma das
barras.
Chamando-se de coeficiente de distribuição de momentos, a relação entre a rigidez de uma barra em um nó e
o somatório de todas as rigidezes das barras concorrentes neste nó, ou seja:
∑=
i
ii K
Kd
tem-se, desta forma:
MdM ii =
OBSERVAÇÕES:
1. A soma dos coeficientes de distribuição de momentos di, em torno de um nó, é sempre igual a 1.
2. Com M no sentido anti-horário, para que haja equilíbrio M1, M2 e M3, no nó D, têm sentido horário,
conseqüentemente, M1, M2 e M3, nas barras 1, 2 e 3, respectivamente, têm sentido anti-horário. Portanto,
os momentos equilibrantes em torno de um nó têm sinais opostos ao do momento atuante no nó, sendo
seus módulos dados por:
MdM ii =
1
2
3
M1
2M
M 3
M 2
1MM 3
M
D
Processo de Cross 3
2 DESENVOLVIMENTO
O procedimento descrito a seguir só é válido para estruturas indeslocáveis.
Resolver o seguinte pórtico para o qual EI = constante
B
CD1 2
3
q
ll1 2
3l
A
O pórtico possui uma deslocabilidade interna no nó D. Assim, colocando-se uma chapa neste nó, obtem-se:
A
B
CD q l2
12q l12
22 2
Liberando-se a rotação da chapa, o nó D funcionará como tendo uma carga momento igual a 12q
M2l
= , no
sentido horário, (ação da barra 2 sobre o nó A). Assim, para que haja equilíbrio surgem os momentos d1M,
d2M e d3M, no nó D, no nó D, e, conseqüentemente d1M, d2M e d3M, nas barras 1, 2 e 3, respectivamente.
D
q l2
122M =
d M2
d M2
3d M
d M1
d M1
d M3
Processo de Cross 4
Assim, obtêm-se os seguintes momentos nas extremidades das barras:
A
B
CD
q l2
12q l12
22 2= M = - M
-d M2
1-d M
3-d M
-d M3
2-d M
-d M12
2
2 E, a estrutura está, assim, resolvida, sendo os momentos nos nós apresentados a seguir.
A
B
CD
1-d M
3-d M
-d M3
- M 1 + -d M1
2
2
d 22
2M(1- d )
E o diagrama de momentos fletores assume a seguinte forma:
1-d M
3-d M
-d M3
- M 1 +
-d M12
2
d 22
2M(1- d )
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA
Utilizar o Processos dos Deslocamentos
1. Traçar os diagramas dos esforços solicitantes para a viga apresentada a seguir.
Dado: E = 2,1×107 kN/m2
A B C
3 m 3 m 5 m 6 m
D
50 kN100 kN
I = 0,01 m4 I = 0,006 m4
20 kN/m
2. Traçar o diagrama de momentos fletores para a viga apresentada a seguir.
Dados: E = 2500 kN/cm2 I = 360000 cm4
6 m 6 m4 m
6 m 2 m 2 m2 m
50 kN
15 kN/m
60 kN 60 kN
2 m 2 m
3. Traçar o diagrama dos momentos fletores para o pórtico apresentado na figura abaixo.
Dados: E = 2,1×107 kN/m2 I = 0,03 m4
30 kN/m 40 kN/m
150 kNm
200 kNm
A B
D EC
8 m 4 m
4 m
2
4. Traçar o diagrama de momentos fletores para o pórtico apresentado na figura abaixo. Sabe-se que, além do carregamento indicado, ele está submetido às variações de temperatura ∆Ti = 18ºC e ∆TS = 42ºC, conforme ilustrado na figura. Dados: E = 2,1×107 kN/m2 I = 0,03 m4 α = 10-5/ °C h = 20 cm
30 kN/m 40 kN/m
150 kNm
100 kN
∆Ti
∆Ti ∆Ti ∆Ti
∆Ti
∆Ts
∆Ts
A B
D EC
8 m 4 m
4 m
5. Para a estrutura apresentada na figura abaixo, traçar o diagrama de momentos fletores. Sabe-se que, além do carregamento indicado, ela está submetida a uma variação uniforme de temperatura de 40ºC. Dados: EI = 1,08×109 kNcm2 e α = 10-5 /ºC.
1 m
3 m
3 m 4 m
A
B
C
100 kNm
6. Traçar o diagrama de momentos fletores da estrutura abaixo. Sabe-se que ela está submetida a uma variação uniforme de temperatura de 80ºC. Dados: EI = 108000 kNm2 α = 1,2 10-5/ºC R = 5000 kNm/rad
A
C
3 m 4 mB
2 m3 m
R
3
7. Seja o pórtico apresentado na figura abaixo. Sabe-se que, além do carregamento indicado, ele está submetido às variações de temperatura ∆Ti = 15ºC e ∆Ts = 30ºC no trecho AB, e ∆Ti = 15ºC e ∆Ts = 15ºC no trecho CB, conforme mostrado na figura. Pede-se traçar o diagrama de momentos fletores causados por estas ações. Dados: EI = 81000 kNm2 α = 10-5 /ºC h = 60 cm
A
C
B
20 kN/m
50 kN
2 m 4 m
8 m
∆Ts = 30 C
∆Ts = 15 Co
o
∆Ti = 15 Co
∆Ti = 15 Co
5,33 m
2,67 m
8. Traçar o diagrama de momentos fletores para o pórtico apresentado a seguir. Sabe-se que além do carregamento indicado na figura, a barra AD está submetida a um acréscimo de temperatura de 30ºC, e o apoio B sofre um recalque horizontal de 2cm, para a direita, e um recalque rotacional de 1,8×10-3 rad, no sentido anti-horário. Dados: E = 21000 kN/cm2 I = 6057 cm4 α = 1,2×10-5/ºC
5 m5 m 2 m
6 m
20 kN/m60 kN
180 kNm
A B
E FCD
4
9. Traçar o diagrama de momentos fletores para a estrutura apresentada a seguir. Sabe-se que, além do carregamento indicado na figura, o trecho horizontal está submetido a uma variação de temperatura de 16ºC nas fibras inferiores e de -16ºC nas fibras superiores. E mais, o apoio C sofre um recalque vertical de 1cm para baixo. Dados: E = 3000 kN/cm2 I = 138240 cm4 α = 10-5/ºC h = 48 cm
20 kN/m
∆T = 16 ºC
∆T = -16 ºC
A
CB
3 m 4 m
4 m
Dii∆T = 16 ºC
s
10. Traçar o diagrama de momentos fletores da estrutura abaixo. Sabe-se que ela está submetida
ao carregamento e às variações de temperatura ∆Ti = 20ºC e ∆Ts = 60ºC, conforme ilustrado
na figura.
Dados: E = 3000 kN/cm2 I = 360000 cm4 α = 10-5/ºC R = 8×103 kNm/rad h = 60 cm
A
B100 kN
30 kN/m
1,5 m
2 m2 m
C
1,5 m
2,0 m
∆Ts
∆Ts∆Ti
∆Ti
5
11. Para o pórtico abaixo, traçar os diagramas de esforços solicitantes e calcular o deslocamento vertical do meio do trecho BC. Dados: E = 3000 kN/cm2 b = 20cm h = 60cm
A
B
D
C
6,0 m
3,0 m
2,0 m
20 kN/m
80 kN
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – ESCOLA POLITÉCNICA DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS
ENG 114 – HIPERESTÁTICA
Processo dos Deslocamentos
Solução
1. V(kN)
M(kNm)
2. Resposta anteriormente fornecida 3. M (kNm)
4. M (kNm)
5. M (kNm)
2
6. M (kNm)
7. M (kNm)
8. M (kNm)
9. M (kNm)
3
10. M (kNm)
11. Resposta anteriormente fornecida