Nota Linear Primal-dual

1

BAB 3Teori Dual

LMY : Slide 2

Teknik Penyelidikan Operasi

Pengenalan

Dual adalah tambahan kpd masalah PL yg ditakrifkan secara

terus dan sistematik drpd model PL asal atau Primal.

Taha (1997), dual ditakrifkan bagi pelbagai bentuk primal yang

bergantung kepada jenis pengoptimuman yang ingin

dilaksanakan (maksimum/ minimum), jenis kekangan (≤, ≥ dan =)

dan tanda bagi pembolehubah-pembolehubah (tidak negatif

atau tak terbatas).

2

LMY : Slide 3


Bentuk piawai bagi masalah primal

Maksimum atau minimumkan,

Tertakluk kepada:

Pembolehubah xj, j = 1, 2, …, n termasuklah pembolehubah lebihan dan kendur.

Ciri-ciri bagi bentuk piawai ini:

Semua kekangan adalah persamaan (dengan nilai di sebelah kanan tidak

negatif)

Semua pembolehubah tidak negatif

Jenis pengoptimuman mungkin pemaksimuman atau peminimuman

j

n

jj xcz ∑=

=1

mibxa ij

n

jij ,,2,1,

1L==∑

=

njx j ,,2,1,0 L=≥

LMY : Slide 4


Pembinaan Masalah dual

Pembolehubah dan kekangan bagi masalah dual boleh dibina secara

simetri daripada masalah primal seperti berikut (Taha, 1997):

Pembolehubah dual adalah ditakrifkan untuk setiap m persamaankekangan primal.

Kekangan dual adalah ditakrifkan untuk setiap n pembolehubah primal.

Pekali-pekali sebelah kiri bg satu kekangan dual adalah sama dengan

pekali kekangan (lajur) bg satu p’ubah primal. Bahagian sebelahkanannya adalah sama dengan pekali objektif bagi pembolehubah primal yang sama.

Pekali fungsi objektif bg dual adalah sama dengan bahagian sebelahkanan persamaan kekangan primal.

3

LMY : Slide 5

Teknik Penyelidikan OperasiRingkasan maklumat dalam bentuktablo

x1 c1 a11 a21 : : am1

x2 c2 a12 a22 : : am2

. . . . . . . . . . . . . . .

xj cj a1j a2j : : amj

. . . . . . . . . . . . . . .

xn cn a1m a2m : : amn

b1 b2 : : bm

y1 y2 : : ym

Pembolehubah dual

Pembolehubah Primal

bah.seb.kanan kekangan dual

pekali-pekali bah.seb.kiri bagi kekangan dual

kekangan ke j bagi dual

objektif dual

LMY : Slide 6

Teknik Penyelidikan OperasiPeraturan untuk menentukan jenis pengoptimuman, kekangan dan tanda pembolehubah

Masalah dual akan mempunyai m pembolehubah ( y1, y2, …, ym)

dan n kekangan (berdasarkan x1,x2…xn)

dual

objektif kekangan pembolehubahObjektifPiawai Primal

maksimum

minimum

minimum

maksimum

≥

≤

tak terbatas

tak terbatas

4

LMY : Slide 7


Contoh 1

y1

y2

Maks, z = 5x1 + 12x2 + 4x3 + 0s1

Tertakluk kepada:

x1 + 2x2 + x3 + s1 = 10

2x1 – x2 + 3x3 + 0s1 = 8

x1, x2, x3, s1 ≥ 0

Maks, z = 5x1 + 12x2 + 4x3

Tertakluk kepada:

x1 + 2x2 + x3 ≤ 10

2x1 – x2 + 3x3 = 8

x1, x2, x3 ≥ 0

P’ubah DualBentuk Piawai PrimalPrimal

Min : w = 10y1 + 8y2

Kekangan:x1: y1 + 2y2 ≥ 5x2 : 2y1 – y2 ≥ 12x3 : y1 + 3y2 ≥ 4s1 : y1 + 0y2 ≥ 0 (y1 ≥ 0, y2 tak terbatas)

y1, y2 tak terbatas

Dual

LMY : Slide 8


Contoh 2

y1

y2

Min, z = 15x1 + 12x2 + 0s1 + 0s2

Tertakluk kepada:

x1 + 2x2 - s1 = 3

2x1 – 4x2 + s2 = 5

x1, x2, x3, s1 ≥ 0

Min, z = 15x1 + 12x2

Tertakluk kepada:

x1 + 2x2 ≥ 13

2x1 – 4x2 ≤ 5

x1, x2 ≥ 0

P’ubah DualBentuk Piawai PrimalPrimal

Maks : w = 3y1 + 5y2

Kekangan:x1: y1 + 2y2 ≤ 15x2 : 2y1 – 4y2 ≤ 12s1 : -y1 ≤ 0 (atau y1 ≥ 0)s2 : y2 ≤ 0

Dual

5

LMY : Slide 9


Contoh 3

y1y2

Maks, z = 5x1 + 12x2 + 4x3 + 0s1 –MR1Tertakluk kepada:x1 + 2x2 + x3 + s1 + 0R1 = 102x1 – x2 + 3x3 + 0s1 + R1 = 8x1, x2, x3, s1 ≥ 0

Maks, z = 5x1 + 12x2 + 4x3Tertakluk kepada:x1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 – x2 + 3x3 = 8x1, x2, x3 ≥ 0

P’ubahDualBentuk Piawai PrimalPrimal

Min : w = 10y1 + 8y2

Kekangan:x1 : y1 + 2y2 ≥ 5x2 : 2y1 – y2 ≥ 12x3 : y1 + 3y2 ≥ 4s1 : y1 + 0y2 ≥ 0 (y1 ≥ 0)R1 : 0y1 + y2 ≥ -M (y2 ≥ -M atau tak terbatas)

Dual

LMY : Slide 10


Contoh 4

y1y2y3

Gantikan x1 = x’1 – x’’1Maks, z = 5x’1 – 5x’’1 + 6x2Tertakluk kepada:x’1 – x’’1 + 2x2 = 5-x’1 + x’’1 + 5x2 – s1 = 34x’1 – 4x’’1 + 7x2 + s2 = 8 x’1, x’’1, x2, s1, s2 ≥ 0

Maks, z = 5x1 + 6x2Tertakluk kepada:x1 + 2x2 = 5-x1 + 5x2 ≥ 34x1 + 7x2 ≤ 8x1 tak terbatas, x2 ≥ 0


Min : w = 5y1 + 3y2 + 8y3Kekangan:

x’1 : y1 - y2 + 4y3 ≥ 5x’’1 : -y1 + y2 - 4y3 ≥ -5x2 : 2y1 + 5y2 + 7y3 ≥ 6s1 : -y2 ≥ 0 (y2 ≤ 0)s2 : y3 ≥ 0y1 tak terbatas

Dualy1 - y2 + 4y3 = 5

6

LMY : Slide 11


Latihan

Tukarkan masalah primal berikut kepada dual:Maksimumkan, z = -5x1 + 2x2

Tertakluk kepada:

-x1 + x2 ≤ -2

2x1 + 3x2 ≤ 5

x1, x2 ≥ 0

Minimumkan, z = 6x1 + 3x2

Tertakluk kepada:

6x1 - 3x2 + x3 ≥ 2

3x1 + 4x2 + x3 ≥ 5

x1, x2, x3 ≥ 0

LMY : Slide 12


Latihan

Tukarkan masalah primal berikut kepada dual:Maksimumkan, z = 5x1 + 6x2

Tertakluk kepada:

x1 + 2x2 = 5

-x1 + 5x2 ≥ 3

x1 tak terbatas, x2 ≤ 0 (x2 adalah tak positif)

Minimumkan, z = 3x1 + 4x2 + 6x3

Tertakluk kepada:

x1 + x2 ≥ 10

x2 ≤ 0

x1, x3 ≥ 0

7

LMY : Slide 13


Jawapan

y1y2y3

Gantikan x1 = x’1 – x’’1Maks, z = 5x’1 – 5x’’1 + 6x2Tertakluk kepada:x’1 – x’’1 + 2x2 = 5-x’1 + x’’1 + 5x2 – s1 = 3x2 + s2 = 0 x’1, x’’1, s1, s2 ≥ 0

Maks, z = 5x1 + 6x2

Tertakluk kepada:x1 + 2x2 = 5-x1 + 5x2 ≥ 3x1 tak terbatas, x2 ≤ 0 (x2

adalah tak positif)


Min : w = 5y1 + 3y2Kekangan:

x’1 : y1 - y2 ≥ 5x’’1 : -y1 + y2 ≥ -5x2 : 2y1 + 5y2 + y3 ≥ 6s1 : -y2 ≥ 0 (y2 ≤ 0)s2 : y3 ≥ 0y1 tak terbatas

Dualy1 - y2 = 5

LMY : Slide 14


Hubungan di antara primal dan dual

Kekangan≥≤=

Pembolehubah≥ 0≤ 0

Tak terbatas

Masalah Pemaksimuman

Pembolehubah≤ 0≥ 0

Tak terbatas

Kekangan≥≤=

Masalah Peminimuman

8

LMY : Slide 15


Hubungan Primal dan Dual

Penyelesaian optimal dual boleh diperolehi dari tablo simpleks atauPenyelesaian optimal dual boleh diperolehi secara terus dari tablosimpleks optimal primalContoh:

Min : w = 10y1 + 8y2

Kekangan:

y1 + 2y2 ≥ 5

2y1 – y2 ≥ 12

y1 + 3y2 ≥ 4

y1 ≥ 0

y2 tak terbatas

Maks, z = 5x1 + 12x2 + 4x3 + 0s1

Tertakluk kepada:

x1 + 2x2 + x3 + s1 = 10

2x1 – x2 + 3x3 + 0s1 = 8

x1, x2, x3, s1 ≥ 0

Maks, z = 5x1 + 12x2 + 4x3

Tertakluk kepada:

x1 + 2x2 + x3 ≤ 10

2x1 – x2 + 3x3 = 8

x1, x2, x3 ≥ 0

DualBentuk Piawai PrimalPrimal

LMY : Slide 16


Penyelesaian dengan kaedah Simpleks

Primal: tablo optimum

Asas

z

x2x1

x1

0

0 1

x2

0

1 0

x3

3/5

-1/5 7/5

x4

29/5

2/5 1/5

R1

-2/5 + M

-1/5 2/5

Penyelesaian

54 4/5

12/5 26/5

Dual: tablo optimum

Asas

w

s3y"2y1

y1

0

0 0 1

y'2

0

0 -1 0

y"2

0

0 1 0

s1

-26/5

-7/5 2/5 -1/5

s2

-12/5

1/5 -1/5 -2/5

s3

0

1 0 0

R1

26/5 - M

7/5 -2/5 1/5

R2

12/5 -M

-1/5 1/5 2/5

R3

-M

-1 0 0

Peny.

54 4/5

3/5 2/5 29/5

Penyelesaian optimal bagi dual

w = 54 4/5, y1 = 29/5, y2 = y2’ – y2’’ = -2/5

9

LMY : Slide 17


Masalah Primal

MaksimumZ = 5x1 + 12x2 + 4x3

Kekanganx1 + 2x2 + x3 ≤ 102x1 - x2 + 3x3 = 8 x1 , x2 , x3 ≥ 0

MaksimumZ = 5x1 + 12x2 + 4x3 + 0s1

Kekanganx1 + 2x2 + x3 + s1 =102x1 - x2 + 3x3 = 8x1 , x2 , x3, s1 ≥ 0

MaksimumZ = 5x1 + 12x2 + 4x3 + 0s1 – MR1Kekanganx1 + 2x2 + x3 + s1 =102x1 - x2 + 3x3 + R1= 8 x1 , x2 , x3, s1, R1 ≥ 0

LMY : Slide 18


Masalah Dual

Minimum w = 10y1+ 8y2

Kekangan y1 + 2y2 ≥ 5

2y1 - y2 ≥ 12

y1 + 3y2 ≥ 4

y1 ≥ 0

y2 ≥ -My2 tak terbatas,

Bentuk piawai

Min w = 10y1 + 8y2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + MR1 + MR2 + MR3

Kekangan y1 + 2y2 - s1 + R1 = 52y1 - y2 - s2 + R2 = 12 y1 + 3y2 – s3 + R3 = 4 y1,s1, s2, s3, R1, R2, R3 ≥ 0, y2 tak terbatas

"2

'22 yyy -=

Gantikan persamaan (1) ke dalam model LP tersebut dan akan menghapuskan

ketaksamaan y2 tak terbatas dengan y’2, y’’2 ≥ 0

(1)

10

LMY : Slide 19


Hubungan Primal dan Dual

Maklumat ini boleh diperolehi dari tablo optimal dengan persamaan:Pekali pada persamaan-Z yang optimal bagi pembolehubah penyelesaianpermulaan dalam primal = Perbezaan antara bahagian sebelah kiri dan kanankekangan dual yang berkaitan dengan pembolehubah permulaan tersebutPembolehubah bagi penyelesaian awal adalah s1 dan R1. Pekali (optimal) pada persamaan Z bagi pembolehubah ini adalah 29/5 dan -2/5 + M.Kekangan dual bagi s1 adalah y1 ≥ 0, R adalah y2 ≥ -M

Jadi: 29/5 = y1 - 0 , y1 = 29/5-2/5 + M = y2 - (-M) , y2 = -2/5

Dari tablo optimal dual dapatkan penyelesaian bagi primalPembolehubah permulaan dual, R1 R2 R3

Pekali pers-w optimal 26/5 -M 12/5-M -MKekangan berkaitan x1 ≥ M x2 ≥ M x3 ≥ MJadi x1=26/5, x2=12/5 dan x3=0 (sama seperti tablo primal optimal)

sama seperti tablo dual optimal

LMY : Slide 20

Teknik Penyelidikan OperasiKenapa perlu menyelesaikan masalah primal dengan menyelesaikan dual?

Pengiraan masalah PL sangat bergantung kepada bilangan kekangan

berbanding dengan bilangan pembolehubah

Jika dual mempunyai bilangan kekangan yang sedikit berbanding

primal,adalah lebih efisien jika diselesaikan dual, di mana dari situ

penyelesaian primal boleh diperolehi.

11

LMY : Slide 21


Ciri-ciri umum hubungan primal-dual

Bagi sebarang pasangan penyelesaian tersaur dalam primal dan dual

nilai objektif bagi masalah maksimum ≤ nilai objektif bagi masalahminimum

Pada penyelesaian optimum

nilai objektif bagi masalah maksimum = nilai objektif bagi masalahminimum

Kesimpulan bagi penyelesaian primal-dual untuk contoh yang diberi:

Pada tahap/lelaran yang optimum, mak Z = min w = 54 4/5. Selarasdengan nilai optimum bagi kedua-dua masalah.

Masalah maksimum, nilai objektif mula dengan Z = -8M dan bertambahhingga optimum Z = 54 4/5. Sebaliknya, masalah minimum nilai objektifmula dengan w = 21M dan berkurangan sehingga nilai optimum w = 54 4/5.

LMY : Slide 22


Latihan

Pertimbangkan pengaturcaraan linear berikut:Maksimumkan, z = x1 + 5x2 + 3x3

Tertakluk kepada:

x1 + 2x2 + x3 = 3

2x1 – x2 = 4

x1, x2 , x3 ≥ 0

Tukarkan masalah primal di atas kepada dual

Jika diberi bahawa pembolehubah asas optimal primal adalah x1 danx3, kirakan penyelesaian dual optimal yang berkaitan denganpembolehubah asas optimal primal tersebut.

12

LMY : Slide 23


Contoh 1

Dapatkan penyelesaian dual bagi masalah primal berikut:Maks, z = 3x1 + 2x2 + 5x3Kekangan:

x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 152x2 – x3 ≥ 52x1 + x2 – 5x3 = 10x1, x2, x3 ≥ 0

Penyelesaian dual yang sepadan:Min, w = 15y1 + 5y2 + 10y3Kekangan

y1 + 2y3 ≥ 33y1 + 2y2 + y3 ≥ 22y1 – y2 – 5y3 ≥ 5y1 ≥ 0, y2 ≤ 0, y3 tak terbatas

Tambah s1, tolak s2 dan tambahdua p’ubah buatan, R1 dan R2

LMY : Slide 24


Contoh 1: Tablo optimum primal

Peny. optimum : Z = 565/23, x3 = 15/23, x2 = 65/23, x1 = 120/23,

s1 = s2 = R1 = R2 = 0

120/237/23-17/2317/239/23001x1

65/23-1/239/23-9/232/23010x2

15/23-2/23-5/235/234/23100x3

565/23M+(9/23)M-(58/23)58/2351/23000z

Peny.R2R1s2s1x3x2x1Asas

13

LMY : Slide 25


Contoh 1 : Penyelesaian optimum dual

Kekangan primal pertama, ≤

Pekali, s1 = 51/23 = y1 – 0 = y1

Kekangan primal kedua, ≥

Pekali, s2 = -58/23 = y2 – 0 = y2 atau pekali, R1 = M-(58/23) = y2 - (-M) y2 = -58/23

Kekangan primal ketiga, =

Pekali, R2 = M+9/23= y3 - (-M) y3 = 9/23

Fungsi objektif dual optimum, w = 565/23

Semak jawapan:

Gantikan semua nilai (y1,y2,y3) dlm fungsi objektif dual

LMY : Slide 26


Contoh 2

Dapatkan penyelesaian dual bagi masalah primal berikut:Min, w = 3y1 + 2y2 + y3

Kekangany1 + y2 + y3 ≥ 4y2 – y3 ≤ 2y1+ y2 + 2y3 = 6y1, y2, y3 ≥ 0

Penyelesaian dual yang sepadan:Maks, z = 4x1 + 2x2 + 6x3

Kekanganx1 + x3 ≤ 3x1 + x2 + x3 ≤ 2x1 - x2 + 2x3 ≤ 1x1 ≥ 0 , x2 ≤ 0, x3 tak terbatas

14

LMY : Slide 27


Contoh 2: Tablo optimum primal

21-101100y3

22-31300-1s2

2-120-2011y1

6-1-M3-M0-300-1w

Peny.R2R1s2s1y3y2y1Asas

Penyelesaian optimum primal:w = 6, y2 = y3 = 2, y1= 0

LMY : Slide 28


Contoh 2 : Penyelesaian optimum dual

Kekangan primal pertama, ≥

Pekali, s1 = -3 = -x1 – 0 x1 = 3 atau pekali, R1 = 3 - M = x1 - M x1 = 3

Kekangan primal kedua, ≤

Pekali, s2 = 0 = x2 – 0 = x2

Kekangan primal ketiga, =

Pekali, R2 = -1-M = x3 - M x3 = -1

Fungsi objektif dual optimum, z = 6

Semak jawapan:

Gantikan semua nilai (x1,x2,x3) dlm fungsi objektif dual

15

LMY : Slide 29


Latihan

Dapatkan penyelesaian dual bagi masalah primal berikut:

Maks, z = 5x1 + 2x2 + 3x3

Kekangan:

x1 + 5x2 + 2x3 = 30

x1 - 5x2 – 6x3 ≤ 40

x1, x2, x3 ≥ 0

101-1-8-100s1

3001251x1

15005+M7230z

Peny.s1R1x3x2x1Asas

BAB 4Kaedah Simpleks Dual

16

LMY : Slide 31


Kaedah Simpleks Dual

Kaedah yang bermula dengan keadaan tak tersaur tetapi optimumKaedah simpleks primal bermula tersaur tapi tak optimum. Kaedah ini mengekalkan keoptimuman dan dalam lelaran seterusnyaakan menghapuskan ketaktersauran.Kaedah ini penting dalam analisis kepekaan. Digunakan bagi mengatasi masalah ketaktersauran apabila perubahandilakukan.Contoh:

Minimumkan, Z = 2x1 + x2

Kekangan:3x1 + x2 ≥ 34x1 + 3x2 ≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 3 x1, x2 ≥ 0

LMY : Slide 32



Tukar ke bentuk ≤ dan tambah pembolehubah kendur:

Minimumkan, Z = 2x1 + x2

Kekangan:-3x1 - x2 + x3 = -3-4x1 - 3x2 + x4 = -6 x1 + 2x2 + x5 = 3 x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

Tablo simpleks:

Asas z x3 x4 x5

x1 -2 -3 -4 1

x2 -1 -1 -3 2

x3 0 1 0 0

x4 0 0 1 0

x5 0 0 0 1

Penyelesaian 0 -3 -6 3

Tak tersaur

17

LMY : Slide 33



Untuk mengekalkan keoptimuman dan memastikan ketersauran dalamlelaran berikutnya, 2 keadaan berikut perlu dipatuhi:

Keadaan ketersauran dual

Pembolehubah yang keluar adalah pembolehubah asas yang mempunyai nilai yang paling negatif.

Jika semua pembolehubah tak negatif, (tamat) penyelesaian optimum tersaur dicapai.

Keadaan keoptimuman dual

Pembolehubah yang masuk dipilih dari pembolehubah bukan asasseperti berikut:

LMY : Slide 34



– Dapatkan nisbah pekali bahagian sebelah kiri persamaan Z

dengan pekali yang sepadan dalam persamaan bagi

pembolehubah yang keluar. Abaikan nisbah yang berkaitan

dengan penyebut (denominator) positif/ sifar.

Pembolehubah yang masuk dipilih berdasarkan

– Nilai mutlak nisbah terkecil

Selepas memilih pembolehubah masuk dan keluar, operasi sepertibiasa dilakukan, dapatkan lelaran seterusnya.

18

LMY : Slide 35


Penyelesaian masalah

310021x5

-6010-3-4x4

-3001-1-3x3

0000-1-2Z

RHSx5x4x3x2x1Asas

Pembolehubah yang keluar adalah x4 = -6.

---1/31/2Nisbah-610-3-4Pers. x4

000-1-2Pers. Zx5x4x3x2x1Pembolehubah

Pembolehubah yang masuk adalah x2 = 1/3 (nisbah terkecil).

LMY : Slide 36



-112/300-5/3x5

20-1/3014/3x2

-101/310-5/3x3

20-1/30-1-2/3Z

RHSx5x4x3x2x1Asas

Pembolehubah yang keluar adalah x3 = -1.

----2/5Nisbah01/310-5/3Pers. x3

0-1/30-1-2/3Pers. Zx5x4x3x2x1Pembolehubah

Pembolehubah yang masuk adalah x1 = 2/5 (nisbah terkecil).

19

LMY : Slide 37



011-100x5

6/50-3/54/510x2

3/501/5-3/501x1

12/50-1/5-2/500Z

RHSx5x4x3x2x1Asas

Penyelesaian optimum x1 = 3/5, x2 = 6/5, Z = 12/5

BAB 4Analisis Kepekaan

20

LMY : Slide 39


Analisis Kepekaan

Analisis kepekaan adalah bertujuan bagi mengkaji perubahan dalampenyelesaian optimum hasil dari perubahan dalam model asal.

Prosedur bagi analisis kepekaan:

1. Selesaikan masalah asal model PL dan dapatkan tablo optimum

2. Bagi perubahan yang dicadangkan pada model asal, kira semua elemen-elemen

baru tablo optimum dengan menggunakan pengiraan primal-dual.

3. Jika tablo baru tidak optimum, pergi langkah 4. Jika tak tersaur pergi langkah 5.

Jika keadaan optimum, berhenti.

4. Lakukan kaedah simpleks biasa dan dapatkan tablo baru penyelesaian optimum yang baru. (ataupun penyelesaian tak terbatas) Berhenti.

5. Lakukan kaedah simpleks-dual bagi mengatasi masalah ketaksauran (ataupun

penyelesaian tersaur tidak wujud) Berhenti.

LMY : Slide 40


Analisis Kepekaan

Terdapat 2 kategori:

Penyelesaian menjadi tak tersaur

Terjadi bila terdapat perubahan dalam jumlah sumber (bahagian kanan

kekangan) dan/atau terdapat pertambahan kekangan (kekangan baru).

Penyelesaian menjadi tidak optimum

Perubahan pada fungsi objektif dan/atau elemen-elemen tertentu pada

bahagian sebelah kiri kekangan ataupun aktiviti baru ditambah dalam model.

21

LMY : Slide 41


Contoh masalah

Maksimum Z = 3x1 + 2x2

Kekangan:

x1 + 2x2 + s1 = 6 (bahan A)

2x1 + x2 + s2 = 8 (bahan B)

-x1 + x2 +s3 = 1 (permintaan)

x2 + s4 = 2 (permintaan)

LMY : Slide 42


Perubahan yang mempengaruhi ketersauran

2 jenis perubahan:Perubahan jumlah sumber (bahagian kanan kekangan)Pertambahan kekangan baru

Perubahan jumlah sumber (bahagian kanan kekangan)Bahan mentah A diubah dari 6 menjadi 7 tan sehari. Perubahan bahagian sebelah kanan kekangan hanya mengubah bahagian sebelahkanan tablo optimum. Penyelesaian yang baru:

x2 2/3 -1/3 0 0 7 2

x1 = -1/3 2/3 0 0 8 = 3

x5 -1 1 1 0 1 2

x6 -2/3 1/3 0 1 2 0

Bahagian sebelah kanan kekal tak negatif, pembolehubah asas tak berubah. Nilai baru adalah x1 = 3, x2 = 2, x5 = 2, x3 = x4 =0, Z = 3(3) + 2(2) = 13

22

LMY : Slide 43



Perubahan jumlah sumber (bahagian kanan kekangan)Katakan bahan mentah A dan B berubah menjadi 7 dan 4 tan (sebelum ini 6 dan 8 tan).Perubahan bahagian sebelah kanan kekangan hanya mengubah bahagian sebelahkanan tablo optimum.

Penyelesaian yang baru:

x2 2/3 -1/3 0 0 7 10/3

x1 = -1/3 2/3 0 0 4 = 1/3

x5 -1 1 1 0 1 -2

x6 -2/3 1/3 0 1 2 -4/3

x5 dan x6 adalah negatif, penyelesaian adalah tak tersaur.

Gunakan kaedah simpleks dual. Penyelesaian optimum yang baru, x1=1, x2 = 2

dan Z = 7.

LMY : Slide 44



Pertambahan kekangan baru

Menghasilkan 2 keadaan sama ada:

Kekangan dipenuhi oleh penyelesaian semasa, kekangan sama ada

'nonbinding/redundant'. Penambahannya tidak memberi perubahan.

Kekangan tidak dipenuhi oleh penyelesaian semasa. Penyelesaian baru

dengan kaedah simpleks dual.

Katakan permintaan terhadap produk 1 tidak melebihi 4 tan.

Oleh itu, kekangan baru, x1 ≤ 4

Oleh kerana, penyelesaian semasa (x1 = 10/3, x2 = 4/3) memenuhi kekangan ini,

penyelesaian tak berubah.

23

LMY : Slide 45




Katakan permintaan terhadap produk 1 tidak melebihi 3 tan.

Oleh itu, kekangan baru, x1 ≤ 3

Oleh kerana, penyelesaian semasa (x1 = 10/3, x2 = 4/3) tidak memenuhi

kekangan ini, maka kita perlu atasi ketaksauran.

Jadi tukar kekangan ke bentuk piawai:

x1 + x7 = 3, (1)

x7 ≥ 0

x1 adalah pembolehubah asas, gantikan ia dengan ungkapan pembolehubah

bukan asas (semua pembolehubah asas perlu digantikan dengan

ungkapan pembolehubah bukan asas)

LMY : Slide 46




Dari baris x1,

x1 - (1/3)x3 + (2/3)x4 = 10/3

x1 = 10/3 + (1/3)x3 - (2/3)x4

Gantikan dalam (1)

10/3 + (1/3)x3 - (2/3)x4 + x7 = 3

(1/3)x3 - (2/3)x4 + x7 = -1/3

Tambahkan kekangan ini dalam tablo, selesaikan dengan kaedah simpleks

dual.

Penyelesaian optimum baru x2=3/2, x1=3, x5=5/2, x6=1/2,x4 =1/2, Z=12.

24

LMY : Slide 47

Teknik Penyelidikan OperasiPerubahan yang mempengaruhikeadaan optimum

Syarat optimum merujuk kepada pekali persamaan objektif.

Pekali persamaan objektif adalah perbezaan antara bahagian sebelah kiri

dan kanan kekangan dual.

Perubahan keadaan optimum adalah disebabkan oleh:

Perubahan fungsi objektif

Penggunaan sumber bagi setiap aktiviti

Ataupun kombinasi keduanya (tambah aktiviti baru).

Bagi setiap kes, apa yang diperlukan adalah menyemak keoptimuman

dengan mengira semula pekali persamaan z.

LMY : Slide 48


Perubahan fungsi objektif

Nilai-nilai dual dikira dengan menggunakan pekali-pekali bagi pembolehubah

asas pada fungsi objektif.

Jadi,

Jika perubahan fungsi objektif melibatkan pekali bagi pembolehubah asas

semasa, tentukan nilai dual yang baru dan kira pekali-pekali persamaan z

yang baru.

Jika perubahan hanya melibatkan pembolehubah bukan asas sahaja,

gunakan nilai dual (dari tablo) dan kira pekali persamaan z yang terlibat

dengan pembolehubah bukan asas sahaja.

25

LMY : Slide 49


Perubahan fungsi objektifKatakan, Z = 3x1 + 2x2 Z = 5x1 + 4x2

x1 dan x2 adalah asas bagi penyelesaian semasa. Nilai dual yang baru:(y1 y2 y3 y4) = (4 5 0 0) 2/3 -1/3 0 0

-1/3 2/3 0 0-1 2/3 1 0-2/3 1/3 0 1

= (1 2 0 0)Kira pekali persamaan z:

pekali x1 = y1 + 2y2 - y3 - 5 = 1(1) + 2(2) - 0 - 5 = 0pekali x2 = 2y1 + y2 + y3 + y4 - 4 = 2(1) +2 + 0+ 0 - 4 = 0pekali x3 = y1 - 0 = 1 - 0 = 1pekali x4 = y2 - 0 = 2- 0 = 2pekali x5 = y3 - 0 = 0pekali x6 = y4- 0 = 0

Semua pekali persamaan, z ≥ 0 (maksimum). Keadaan optimum tak berubah, hanya nilai Z berubah, Z = 5(10/3) + 4(4/3) = 22.

LMY : Slide 50


Perubahan fungsi objektifKatakan, Z = 3x1 + 2x2 Z = 4x1 + x2

x1 dan x2 adalah asas bagi penyelesaian semasa. Nilai dual yang baru:(y1 y2 y3 y4) = (1 4 0 0) 2/3 -1/3 0 0

-1/3 2/3 0 0-1 2/3 1 0-2/3 1/3 0 1

= (-2/3 7/3 0 0)Kira pekali persamaan z:

pekali x1 = y1 + 2y2 - y3 - 5 = 1(-2/3) + 2(7/3) - 0 - 5 = 4pekali x2 = 2y1 + y2 + y3 + y4 - 4 = 2(-2/3) +7/3 + 0+ 0 - 4 = 1pekali x3 = y1 - 0 = -2/3 - 0 = -2/3pekali x4 = y2 - 0 = 7/3- 0 = 7/3pekali x5 = y3 - 0 = 0pekali x6 = y4- 0 = 0

x3, pekali negatif, keadaan tidak optimum, lakukan kaedah simpleks. Dapatkanpenyelesaian baru. Penyelesaian optimum x3=2, x1=4, x5=5, x6=2, Z=16.

26

LMY : Slide 51


Perubahan dalam penggunaan sumber bagi setiap aktiviti

Perubahan dalam penggunaan sumber hanya memberi kesan pada

keoptimalan penyelesaian, kesan pada bahagian kiri kekangan dual.

Bataskan hanya pada aktiviti yang bukan merupakan asas.

Perubahan pekali kekangan bagi asas memberi kesan pada matriks

songsang kesukaran dalam pengiraan.

Katakan, Z = 4x1 + x2

Aktiviti 2 bukan asas, ubah penggunaan bahan A dan bahan B bagi aktiviti 2

kepada 4 dan 3 tan (sebelum ini 2 dan 1 tan). Kekangan dual yang sepadan,

4y1 + 3y2 + y3 + y4 ≥ 1

Pekali baru, x2 = 4(0) + 3(2) + 1(0) + 1(0) - 1 = 5

Oleh kerana 5 ≥ 0, perubahan tidak memberi kesan pada penyelesaian

optimum.

LMY : Slide 52


Menambah aktiviti baruKatakan, produk baru dihasilkan, produk 1b, sama jenis denganproduk 1 tetapi harga lebih murah, menggunakan 3/4 tan bahan A danbahan B setiap satu. Keuntungan setiap tan produk baru ini 1.5 (RM 000).

Katakan x7 bilangan tan produk baru yang dihasilkan ini

Maksimum Z = 3x1 + 2x2 + (3/2) x7

Kekangan x1 + 2x2 + (3/4)x7 ≤ 6 (bahan A)

2x1 + x2 + (3/4)x7 ≤ 8 (bahan B)

-x1 + x2 - x7 ≤ 1 (permintaan)

x2 ≤ 2 (permintaan)Kekangan dual yang sepadan:

(3/4)y1 + (3/4)y2 - y3 ≥ 3/2

27

LMY : Slide 53


Menambah aktiviti baruBiarkan x7 sebagai bukan asas, pekali x7 (persamaan z) adalah,

(3/4)(1/3) + (3/4)(4/3) - (1)(0) - 3/2 = -1/4Negatif, bermakna penyelesaian masih boleh diperbaiki, belumoptimum.Tablo optimum diubah dengan menambah lajur x7. Kira lajur kekanganbagi x7

2/3 -1/3 0 0 3/4 1/4-1/3 2/3 0 0 3/4 = 1/4-1 1 1 0 -1 -1-2/3 1/3 0 1 0 -1/4

Dengan kaedah simpleks diperolehi penyelesaian optimum, x7=16/3, x1=2, x5=25/3, x6=2, Z=14.

Nota Linear Primal-dual

Documents

Transcript of Nota Linear Primal-dual