Nosive konstrukcije Savijanje I. dio Zove se gibude ča se giblje ili ča se more lasno gibati, a zove se stabulo ali negibude ono ča se s mista ne giblje, a toj rekud zemlja ali kuda, polača u japno, ali na selu polipa ali crkva ali kašteo ali peč ka je stanovita .Poljički statut, 1440. Dubravko Bajurin, dipl. ing. stroj. 9-May-11

Nosive konstrukcije

2

NOSEDI SKLOPOVI OPTEREDENI OKOMITO NA SVOJU OS

Konstrukcije mjenjaju oblik, deformiraju se pod opteredenjem. Pritom, iako su ove deformacije gotovo nevidljive golom oku, imaju mjerljivu veličinu. Kao što imamo, pri vlaku produljenje a pri tlaku imamo skradenje. Svaka od deformacija (gibanja čestica „materije“ gradiva) uzrokovala je otpor (tom gibanju) u vezama između čestica gradiva koje se naziva naprezanjem. Slike naprezanja mogu biti vrlo složene; svaka od njih se sastoji od samo dva stanja naprezanja (gibanja čestica gradiva): vlaka (eng. Tension) i tlaka (eng. Compression). Česti je slučaj onaj u kojemu se u jednom djelu gradiva istog nosedeg sklopa djeluje samo tlak, dok u istodobno u drugom djelu gradiva istog nosečeg sklopa djeluje vlak. To stanje naziva se savijanjem. Kako vedina gradiva ima visoku tlačnu čvrstodu, razmjerno je jednostavno usmjeriti opteredenje uspravno prema (osloncu) tj. tlu.

Slika 1.: uspravno preusmjeravanje opteredenja

No javlja se konstrukcijski problem kada imamo premostiti neki otvor, a da se uspravna opteredenja preusmjere vodoravno i prenesu na oslonac.

Slika 2.: Uspravno opteredenje preusmjerava vodoravno; Statički raspon

Za primjer uzmimo jednu gredu zarezanu na stanovitim razmacima.

Slika 3.: Prikaz događanja u drvenoj gredi napregnutom savijanjem

Nosive konstrukcije

3

Vidimo prema prethodnoj slici da u slučaju prikazanog opteredenja na zarezanoj gredi, sami urez na gornjem kraju skraduje i približuje jedan drugome, dok se urezi na donjem kraju produljuju i udaljuju jedan od drugoga. Zaključujemo da skradivanje predstavlja učinak tlačnog, a produljenje vlačnog naprezanja. To složeno naprezanje se zove naprezanje na savijanje. Ono što je zanimljivo kod ovog naprezanja jest sloj koji leži između dva sloja koja se skraduju odnosno produljuju, a taj sloj ne pokazuje promjenjljivost u duljini. To je tzv. Neutralni sloj (gibanja) deformiranja, a njegova težišnica naziva se neutralnom osi nosača ili nultom crtom naprezanja. Prema svemu navedenom poželjno je da gradiva (materijali) pogodni za nosače izvrgnute savijanju imaju približno jednaku vlačnu i tlačnu čvrstodu. Ako uzmemo mosnicu opteredenu po široj stranici te po užoj stranici, za slučaj istog opteredenja, mosnica se više savija (progiba) kad je postavljena ploštimice nego sjekomice.

Slika 4.: Krutost pri savijanju u ovisnosti o poprečnom presjeku

Iz ovoga zaključujemo da greda pravokutna presjeka ima vedu nosivost postavljenu sjekomice nego ploštimice. Znači da sposobnost nosivosti neke grede ovisi o 3 faktora, a oni su:

- Svojstva materijala (gradiva) - Ploštini poprečnog presjeka - Obliku poprečnog presjeka

U presjecima nosača opteredenog silama (opteredenjem) okomitim na njegovu uzdužnu os (tj. nosača napregnutim savijanjem) pojavljuju se momenti savijanja Ms, kao i poprečne sile V, dok uzdužnih sila N može, a i ne mora biti. Iz naprijed navedenog očito je da gradivo nosača je izloženo različitim djelovanjima sila u raznim kombinacijama tj. lokalizacijama u odnosu na uzdužnu os. U nemogudnosti da ih se sve teorijski obuhvati proračunom (zbog iznimne složenosti) najprije demo napraviti okvirnu podjelu savijanja u odnosu na moment savijanja Ms jer je veličina progiba u izravnoj vezi s Ms.

PODJELA NAPREZANJA NA SAVIJANJE

Savijanje nastaje uslijed djelovanja momenata savijanja Ms u poprečnim presjecima štapa ili grede. Moment savijanja Ms jedan je od elemenata koji karakteriziraju unutarnju napregnutost u poprečnom presjeku štapa i to je moment s obzirom na os koja leži u ravnini presjeka i prolazi kroz težište T(xT,yT) presjeka. Moment savijanja djeluje u ravnini okomitoj na ravninu poprečnog presjeka grede ili štapa. Naprezanje na savijanje je karakteristično po tome što se uzdužna os (netralna os) usljed vanjskog opteredenja zakrivljuje. Ovisno o mjestu lokalizacije tj. djelovanja vanjskog opteredenja savijanje može biti:

a) Ravno ili obično savijanje b) Koso ili složeno savijanje

Ravno savijanje (eng. Symmetrical bending) je ono gdje moment savijanja Ms djeluje oko glavne osi inercije x ili y poprečnog presjeka tj. u ravnini inercije.

Nosive konstrukcije

4

Slika 5.: a) Ravno ili obično savijanje na dužini XD (nije konzolni nosač)

b) Ravno ili obično savijanje na dužini XD u slučaju rotacije nosača s osloncima za 90o (nije konzolni nosač)

Koso savijanje (eng. Nonsymmetrical bending) je ono gdje moment savijanja Ms ne djeluje ni oko jedne glavne osi inercije tj. djeluje u ravnini opteredenja.

Slika 6.: Koso ili složeno savijanje prikazano na konzolnom nosaču

S obzirom na vrstu vanjskog opteredenja (moment, sila ili kontinuirana sila) savijanje može biti: a) Čisto savijanje ili savijanje spregovima b) Poprečno savijanje ili savijanje silama

Čisto savijanje se javlja ako u svakom poprečnom presjeku nosača (grede ili štapa) vanjsko opteredenje reducira na spreg sila tj. nosač je duž svoje osi optereden istim momentom savijanja tj. Ms=const., Ms(max)=maxMs; V=0 Poprečno savijanje je ono gdje se pored naprezanja na savijanje u poprečnim presjecima javljaju poprečne sile. Momenti savijanja su različiti, a veličina poprečnih sila se ne mjenja tj. Ms≠const.; V=const. U praksi (stvarnosti) vanjska sila i reakcija rijetko kada djeluju u osi inercije tj. simetrali presjeka, što znači da naprezanje u praksi nije jednoliko raspoređeno po čitavoj dužini poprečnog presjeka.

RAVNO ČISTO SAVIJANJE

Imajudi na umu da je mosnica ili npr. daska, kao svaka druga druga tvar, samo jedna velika prostorna rešetka (polje sila) sazdana od čestica, proizlazi da rešetka biva izobličena pod vanjskim opteredenjem. Zapravo se zbiva proces izobličenja sve dok se unutarnje sile otpora (reakcijske unutarnje sile) u mosnici ne uravnoteže s vanjskim opteredenjem. Kako mosnica ima debljinu, pri savijanju su vlakna blago zakrivljena pa je tok naprezanja

a)

b)

Nosive konstrukcije

5

duž kružnog luka izobličene mosnice blago zakrivljen.Deformirani oblik uzdužne osi naziva se elastična linija ili progibna linija nosača (eng. elastic curve).

Slika 7.: Prikaz elastične linije unekom presjeku nosača

Promatrajudi savijanje kao fizikalni mehanizam on omoguduje prenos uspravnog opteredenja na ležajeve vodoravnim preusmjerenjem, iako postoje tlačne i vlačne trajektorije-putanje koje nisu posve vodoravne. Uzmimo slučaj grede opteredene dvjema silama kao na slici 8.:

Slika 8.: Nosač optereden s dvije sile

Uzmimo slučaj segmenta m-m1, vidimo da na segment djeluje samo moment savijanja Ms. Zbog toga se segment deformira tako da se gornja vlakna skrate a donja rastegnu. Postavlja se pitanje: A što se zbiva s poprečnim presjekom pri tom savijanju? Prema Bernoulijevoj hipotezi ravnih presjeka: poprečni presjeci pri savijanju ne deformiraju se tj. ostaju ravni i samo se zakredu jedan u odnosu na drugi što je prikazano na sljededoj slici 9.

Slika 9.: Bernoulijeva pretpostavka ravnih presjeka

Nosive konstrukcije

6

Elementarni dio grede tj. segment m-m1 prilikom djelovanja momenta savijanja deformirati de se u oblik koji je prikazan na slici 10.

Slika 10.: Savijanje u elementarnom djelu m-m1

Presjek neutralne plohe (plohu čini neutralna linija-uzdužno) s vertikalnom glavnom centralnom ravninom inercije (y,x) daje neutralnu liniju tj. elastičnu liniju nosača. Elementarni dio grede tj. segment m-m1 jest slučaj čistog savijanja. Elastična linija ima dakle svojstvo da prolazi kroz težišta svih poprečnih presjeka nosača i da joj se dužina zbog savijanja ne mjenja. Najvedi iznos, za koji se otkloni neutralna os od svog prvobitnog položaja zove se progib

(d,f) a kut što ga čini neutralna os s elastičnom linijom zove se kut nagiba elastične linije (a).

Postoje još dva slučaja kad postoji ravno čisto savijanje u nosačima točnije u nosačima kod kojih vrijedi Ms≠const.; V=0, ali to ravno čisto savijanje je lokalizirano samo u jednoj točki, ako gledamo prema slici 11. to je točka „O“ u toj točki također vrijedi jednadžba savijanja za ravno čisto savijanje odnosno (Ms=const.=Ms(max)=maxMs; V=0) to je takozvani najugroženiji poprečni presjek(najvede naprezanje). Upravo ta dva „ekstrema“ omoguduju jednostavno proračunavanje jednostavnih nosivih konstrukcija, bez poznavanja posmičnih naprezanja.

Slika 11.: Slučajevi kad imamo ravno čisto savijanje lokalizirano u jednoj točki na nosačima sa V=const.

RAVNO POPREČNO SAVIJANJE

Uzmimo sad za primjer elementarni dio grede tj. segment n-n1 iz slike 12. Vidimo zbog očiglednog pretička

momenta DMs dolazi do pojave normalnih naprezanja u točkama poprečnog presjeka uz posmična naprezanja.

Nosive konstrukcije

7

Slika 12.: Ravno savijanje silama u segmentu n-n1

JEDNADŽBA SAVIJANJA ZA RAVNO ČISTO SAVIJANJE

Slika 13.: Prikaz naprezanja uslijed ravnog čistog savijanja

Ved znamo da pri savijanju djeluju mjerodavna uzdužna naprezanja stl i svl (u smjeru uzdužne osi nosača).

Stoga, promotrimo li prognuti oblik grede uočavamo da se unutarnja strana skraduje, a vanjska produljuje. Odnosno, tlači se na gornjem, a razvlači na donjem djelu. Na taj način stvara se najvedi (max) vodoravni tlak u gornjim vlaknima, koji se smanjuje do nule u sredini presjeka ili neutralnoj osi, gdje vlakna ostaju nepromjenjena te se opet povedava do najvišeg (max) vlaka na donjem rubu. U području malih naprezanja dijagram uzdužnih naprezanja je linearan (Bernoulijeva hipoteza), a linearan je i stoga jer je presjek homohen i tvar se ponaša po Hookeovu zakonu tj. elastično.

Slika 14.: Slučaj ravnog čistog savijanja za slučaj velikih naprezanja tj. ne vrijedi proporcionalnost u Hookevu zakonu odnosno, ne vrijedi

Hookeov zakon

Kada naprezanja izađu iz linearno elastičnog područja (slučaj velikih naprezanja) Hookeov zakon ne vrijedi odnosno dijagram uzdužnih naprezanja nije više linearan ved raspodjela naprezanja ide po krivulji, vidi sliku 14. Ako zbrojimo unutarnja naprezanja dobit demo dvije rezultante C i T, koje djeluju u težištima trokuta naprezanja. Pri tome dobivene rezultante tlačnih i vlačnih naprezanja C i T tvore par sila koje su međusobno udaljene za krak unutarnjih sila z pa imamo:

Ms=C×z Ms=T×z

Nosive konstrukcije

8

Osim ovih tlačnih i vlačnih uzdužnih naprezanja postoje još i naprezanja koja pružaju otpor posmiku, tzv. posmična naprezanja (koja se pojavljuju u poprečnom savijanju).Nadalje, uvrstimo li krak sila z i skrativši ono što se skratiti da, dobijemo:

gdje je izraz:

Moment otpora W pravokutnog poprečnog presjeka. Stoga zamjenimo li ovaj izraz s momentom otpora dobijemo:

Ovaj izraz nazivamo jednadžbom savijanja. Ova jednadžba odgovara slučaju savijanja na segmentu m-m1.

DIMENZIONIRANJE NOSAČA

Kod nosača treba uglavnom riješiti zadatke tipa: - poznate su dimenzije poprečnog presjeka, oblik, raspon i opteredenja nosača, koja djeluju na nosač

geometrijski određen, pa treba odrediti stvarno naprezanje na savijanje

- zadano je opteredenje, oblik i raspon nosača, dopušteno naprezanje na savijanje sdop zadano ili se za

specifični materijal traži u tablicama, a treba nadi moment otpora i dimenzije poprečnog presjeka nosača (iteracijom ili odabirom momenta otpora W iz odgovarajudih tablica za određeni profil (dimenzije poprečnog presjeka), profili su standardizirani i imaju broj tj. oznaku profila)

Najveda vrijednost momenta savijanja Ms(max) koja se javlja je u tzv. najugroženijem presjeku nosača (V=0). Prema tome je u opasnom presjeku i naprezanje najvede. Pa prvi tip zadatka rješavamo prema formuli:

Za slučaj da tražimo dimenzije poprečnog presjeka nosača koji de nositi, potrebno je veličinu momenta otpora W zamjeniti računski potrebnom vrijednošdu momenta otpora Wpot, a najvede rubno naprezanje zamjeniti sa

dopuštenim naprezanjem savijanja sdop, kao i moment savijanja zamjeniti sa njegovom najvedom vrijednošdu

Ms(max) pa imamo:

Redosljed računa za dimenzioniranje nosača je:

1) računski ili grafički odrediti reakcije u osloncima 2) računski ili grafički odrediti najvedi moment savijanja Ms(max) 3) izračunati Wpot moment otpora i pomodu njega odrediti dimenzije nosača

4) izvršiti kontrolu, da li je najvede stvarno naprezanje sstv manje od dopuštenog naprezanja sdop

Pri tome treba voditi računa ako je poprečni presjek pravokutnik, kvadrat, krug (jednostavan presjek) itd. onda se dimenzije presjeka odrede postupkom iteracije iz momenta otpora. Imamo li pak profilni nosač, onda se iz dobivenog momenta otpora, koje nalazimo u tablicama, pronalaze dimenzije nosača. Nema li tog momenta otpora u tablicama, onda se uzima iz tablica vedi moment otpora, pazedi da pri vedem odabiru ne predimenzioniramo nosač (prvi vedi broj). Da bismo što više pojednostavnili proračun grednih nosača napregnutim savijanjem držimo se sljededeg:

- greda je nosač čija viina i širina znatno manja od njezine duljine (l>4h; l>4b)

Nosive konstrukcije

9

- sile (opteredenje) djeluju okomito na uzdužnu os nosača (Ravno savijanje) - promatramo slučaj čistog savijanja Ms=const. i V=0; Ms(max)=maxMs i V=0 - nosač se progiba samo u smjeru vanjskih sila, odnosno nema bočnog izvijanja (naprezanje je samo u

dvije osi inercije) - postoji Bernoulijeva pretpostavka ravnih presjeka - gradivo (materijal) je homogen i promatramo ga u području naprezanja gdje se ponaša elastično tj. po

Hookevu zakonu - neutralna os prolazi težištem poprečnog presjeka

Nadalje iz uvjeta ravnoteže vanjskih i reznih sila, a iz jednađbe savijanja slijedi:

odnosno:

ako uvrstimo dopuštena naprezanja u gornju jednadžbu, dobijamo:

Za kontrolu naprezanja vrijedi:

ova rubna vlačna i tlačna naprezanja opdenito moraju biti manja od dopuštenih naprezanja:

pa imamo:

Nadalje, deformacije pri savijanju tj. progibi također imaju dopuštenu vrijednost. Dakle, progib je duljina mjerena od točke na neutralnoj osi prije deformacije do novog položaja te točke nakon deformacije i on ne smije prekoračiti dopušteni progib:

Vrijednosti najvedeg dopuštenog progiba koji se u praksi može dopustiti dani su prpisima, a kredu se:

- za drvene grede d≤l/300

- za rogove drvenog krovišta d≤l/200

- za čelične nosače d≤l/300

Progib se često označava i sa slovom f, izraz za progib koji se koristi:

Iz kojega je vidljivo da moramo poznavati modul elastičnosti za uporabljeni materijal ili gradiva, a gdje je l raspon nosača između oslonaca. No često se koristi jednostavni oblik izraza za progib koji proizlazi iz gornjeg i glasi:

gdje je:

s – naprezanje dano u [N/mm2]

h; f – visina i progib u [cm] l – raspon nosača u *m+ a koeficijent „c“ čija veličina ovisi o vrsti gradiva i statičkoj shemi nosača i pripadajučeg opteredenja.