Comptar és una cosa natural !!

1.- Fixa’t en la fotografia i digues per què és més fàcil comptar els cotxes que les persones que estan corrent. a.- Perquè hi ha menys cotxes que esportistes.b.- Perquè es veuen millor. c.- Perquè formen una filera.d.- Perquè els cotxes no porten dorsal.

2.- Per saber quants corredors hi ha a la foto, seria útil conèixer els dorsals? Si poguessis distribuir d’alguna manera les persones que corren, com ho faries per poder-les comptar fàcilment?

3.- Afegeix a la llista següent altres exemples de coses que s’acostumen comptar agrupades:•D’1 en 1: pàgines•De 2 en 2: sabates•De 3 en 3: ofertes de productes 3 x 2•De 4 en 4: iogurts•De 5 en 5: dits•De 6 en 6: cordes de guitarra•De 7 en 7: dies

4.- Posa altres exemples d’objectes que es comptin de 10 en 10, de 12 en 12, de 100 en 100, etc

Codi Postal de Verges 17142

Nombres naturals • Els nombres naturals:

– S’utilitzen per comptar.– Són els nombres positius sense decimals.

• El conjunt dels nombres naturals: – És infinit, és il·limitat.

= 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...10 pertany al conjunt dels nombres

naturals. 10Є

Nombres naturals • Representació sobre la recta :

• Els nombres naturals que utilitzem per comptar s’anomenen: CARDINALS (zero, u, dos, deu, cent u...)

• Els nombres naturals que utilitzem per ordenar s’anomenen: ORDINALS (primer, segon, quart, setè...)

< més petit que> més gran que

Sistema de numeració decimal

uM cm dm um c d uUnitat de

milióCentena de

milDesena de

milUnitat de

milCentena Desena Unitat

x 1.000.000 x 100.000 x 10.000 x 1.000 x 100 x 10 x 1

• Està basat en deu xifres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9• L’origen es troba en el fet que tenim deu dits a les

mans.• És important el dígit i la posició que ocupa.

NORMA: D-U-C

Sistema de numeració decimal

uM cm dm um c d uUnitat de

milióCentena de

milDesena de

milUnitat de

milCentena Desena Unitat

x 1.000.000 x 100.000 x 10.000 x 1.000 x 100 x 10 x 1

4 5 78 7 6 2 0 1 4

457: quatre-cents cinquanta-set8.762.534: vuit milions set-cents seixanta-dos mil cinc-cents trenta-quatre

Descomposició de decimal

4.248.759=4 unitats de milió = 4.000.0002 centenes de mil = 200.0004 desenes de mil= 40.0008 unitats de mil= 8.0007 centenes = 7005 desenes= 509 unitats = 9

Quatre milions dos-cents quaranta-vuit mil set-cents cinquanta-nou

Anomenar nombres llargs

Dos trilions, cinc-cents dos mil tres-cents vint-i-un bilions, sis-cents cinquanta-dos mil tres-cents vint-i-cinc milions, set-cents vuitanta mil vuit-cents cinquanta-cinc

2 502 321 652 325 780 855 mil mil mil

milió

biliótrilió

Diferents sistemes de numeració

Sistema de numeració romà

• Les xifres romanes són:

• Normes per escriure:– Les lletres I,X,C i M es poden repetir fins 3

vegades (ex: 83=LXXXIII)– La I només pot restar a V i X (ex: 99=XCIX IC)– La X només pot restar a L i C (ex: 40=XL)– La C només pot restar a D i M– Una ratlla horitzontal sobre una o més lletres,

queden multiplicades per mil (ex: V = 5.000)

I V X L C D M1 5 10 50 100 500 1000

Quin error hi ha?

ExercicisEscriu en sistema decimal les següents xifres

romanes:• XXII• MDCCCXXXIX• XI• MCCXIII• XCIEscriu en xifres romanes:• 625• 256• 1423• 3241• 49

Operacions: suma i resta• Sumar ➔ afegir a + b

a i b s'anomenen sumands– Propietat commutativa a + b = b + a– Propietat associativa (a + b) + c = a + (b

+ c)– Element neutre a + 0 = a

• Restar ➔ treure a - ba s’anomena minuend i b s'anomena

sostraient.– No té la propietat commutativa ni

associativa.

Operacions: multiplicació i divisió

• Multiplicació ➔ sumar un nº de vegades– Propietat commutativa a x b = b x a– Propietat associativa (a x b) x c = a x (b x c)– Element neutre a x 1 = a– Element absorbent a x 0 = 0– Propietat distributiva a x (b + c) = (a x b) + (a

x c)• Divisió ➔ repartir• Divisió exacta: Residu=0

• Divisió entera: Residu ≠ 0

• Prova de la divisió:Dividend = Divisor x quocient +

residu

Exemple de propietat distributiva

2 x (4 + 2) = (2 x 4) + (2 x 2) 2 x 6 = 8 + 4

Operacions combinades• Ordre per efectuar les operacions:

– Si hi ha parèntesis, primer efectuarem les operacions de dins el parèntesis ex: (2 + 6) x (4 + 5) = 8 x 9 = 72

– Si no hi ha parèntesis, • 1r efectuarem les multiplicacions i divisions• 2n efectuarem les sumes i restes

ex: 2 + 6 x 4 + 5 = ex: 9 : 3 + 4 x 2 = 2 + 24 + 5 = 31 3 + 8 =

11

Exemple d’operacions combinades complexes

• Exemple 1: 12 - 6 x 4 – (2 + 5) x 3 = 12 – ( 6 x 4 - 7 x 3) = 12 - ( 24 - 21 ) = 12 – 3 = 9

• Exemple 2: (6 x 10) + (7 - 6) x 7 = (60 + 1 x 7) = ( 60 + 7) = 67

Treure factor comú(4 x 3 ) + (3 x 8) = 3 x (4 + 8)

(4 x 6) + (4 x 2) – (5 x 4) = 4 x (6 + 2 – 5)

(5 x 2 x 4) - (10 x 3) = 10 x (4 – 3)

3 x 5 + 3 x 7 - 11 x 3 = 3 x (5 + 7 – 11) =

3 x (12 – 11) = 3 x 1 = 3

ExercicisTreu factor comú:1.- (5 x 3 x 2) + (7 x 5) =2.- (6 x 7) + (3 x 2 x 6) =3.- (5 x 2 x 6) - (5 x 1) =4.- (9 x 1 x 3) + (2 x 3 x 7) =5.- (12 x 7) - (4 x 3 x 5) =6.- (3 x 4) + (6 x 4 x 7) =7.- (2 x 10 x 3) + (7 x 10) =8.- (5 x 2) + (7 x 3 x 5) - (5 x 1) =9.- (11 x 3) + (3 x 7 x 1) =10.- (7 x 5 x 9) - (5 x 7 x 2) =11.- (4 x 3 x 2) + (7 x 4 x 3) - (7 x 5 x 4) =

1.- Tres pastors reben les vaques de dues centrals lleteres que tenen 300 i 150 caps de bestiar respectivament. Si s’han de repartir la feina equitativament, quantes vaques haurà de cuidar cada pastor?

2.- Per comprar un regal a un amic, la Marta aporta 5 €, la Raquel 7 €, la Núria 8 € i la Cristina 8 €. a)Quin pressupost tenen per al regal?b)Si totes hi haguessin posat el mateix, quant hauria aportat cada una?

Potències• Una potència és una multiplicació de nombres

iguals• El factor que es repeteix és la base• El nombre de vegades que es repeteix és

l’exponent• Qualsevol número elevat a 0 és igual a 1. Ex:

90=13 x 3 = 32 es llegeix 3 al quadrat5 x 5 x 5 = 53 es llegeix 5 al cub6 x 6 x 6 x 6 = 64 es llegeix 6 elevat a quatre

Calcula:32 x 43 - 62 = 3 x 3 x 4 x 4 x 4 - 6 x 6 = 9 x 64 - 36= 576 - 36= 540

Unitats:•Superfície = cm2

•Volum = cm3

Operacions amb potències

• Multiplicació de potències – mateixa base72 x 73 = 7 2 + 3 = 75

• Divisió de potències – mateixa base35 : 33 = 3 5 – 3 = 32

• Potència d’un producte(3 x 6)2 = 32 x 62

• Potència d’una potència(45)3 = 45 x 45 x 45 = 45+5+5 = 415

(45)3 = 45x3= 415

Potències en base 1, 0

1n = 10 n = 0

Potències de 10100= 1101 = 10102 = 100103 = 1000104 = 10.000105 = 100.000

Una potència de base 10 és igual a la unitat seguida de tants zeros com unitats indica l’exponent.

14.000 = 14 x 1000 = 14 x 103

250.000 = 25 x 10.000 = 25 x 104

3.000.000= 3 x 1.000.000 = 3 x 106

Arrels quadradesCalcular l’arrel quadrada d’un nombre N és calcular aquell nombre que multiplicat per ell mateix doni N.

Dos tipus d’arrels quadrades:• Arrel quadrada exacta

– És un nombre natural (quadrat perfecte), el 8

• Arrel quadrada entera– No és un nombre natural, no és un quadrat perfecte

Exercicis d’arrels:Dóna el resultat de les següents arrels, si l’arrel és entera, posa entre quins dos nombres es trobarà el resultat: