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NOM GROUPE DATE
© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Savoirs • Rappel 365
SAVOIRS Rappel : Les unités de mesure de longueur et les figures semblables
Les unités de mesure de longueur Il existe diverses unités de mesure de longueur. Le tableau ci-dessous présente les unités
de mesure de longueur du système international d’unités (SI) dont le mètre est l’unité de mesure de longueur de base.
Nom de l’unité de mesure de longueur Symbole Exemple de contexte
d’utilisation Millimètre mm Épaisseur d’un ongle
Centimètre cm Largeur d’un doigt
Décimètre dm Largeur d’un ordinateur
Mètre m Hauteur d’un réfrigérateur
Décamètre dam Largeur d’une autoroute
Hectomètre hm Hauteur d’un immeuble de 50 étages
Kilomètre km Largeur d’un lac
Dans la représentation ci-dessous, chaque unité de mesure de longueur a une valeur qui est 10 fois plus élevée que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement à sa droite et 10 fois plus petite que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement à sa gauche.
km hm dam m dm cm mm
Exemples :
1) 714 mm 71,4 cm, car 1 mm 0,1 cm.
2) 62 km 62 000 m, car 1 km 1000 m.
Les figures semblables Deux figures sont semblables lorsque l’une est un agrandissement, une réduction ou
la reproduction exacte de l’autre. Le symbole « » signifie « est semblable à ».
Exemple : Si le triangle ABC est semblable au triangle DEF, on écrit : ABC DEF.
Dans deux figures semblables : – les angles homologues sont isométriques ; – les mesures des côtés homologues sont proportionnelles.
Le rapport des mesures des côtés homologues de deux figures semblables est appelé rapport de similitude et s’exprime de la façon suivante.
Rapport de similitude k initiale figure la de homologue côté du mesure
image figure la de côté und' mesure
10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10
10
1000
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366 CHAPITRE 6 Savoirs • Rappel © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée
Lorsque le rapport de similitude est :
– compris entre 0 et 1, la figure image est une réduction de la figure initiale ;
– égal à 1, la figure image est une reproduction exacte de la figure initiale ;
– supérieur à 1, la figure image est un agrandissement de la figure initiale.
Exemple : Les triangles ABC et DEF sont semblables.
Le DEF est un agrandissement du ABC, car :
Rapport de similitude k AB mDE m
BC mEF m
AC mDF m
2987
37111
3399
3
Figure initiale
A
B
CD
E
F
29 mm
33 mm
37 mm87 mm
111 mm
99 mm
Figure image
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© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Savoirs 6.1 367
SAVOIRS 6.1 Les unités de mesure pour les volumes
Le volume Le volume est la mesure de l’espace occupé par un solide. On exprime le volume d’un solide
en unités cubes.
Exemple : Le volume du solide ci-contre est de 6 2 3 36 unités cubes, noté 36 u3.
Il existe diverses unités de mesure de volume. Le tableau ci-dessous présente les unités de mesure de volume du système international d’unités (SI) dont le mètre cube est l’unité de mesure de volume de base.
Nom de l’unité de mesure de volume Symbole Exemple de contexte
d’utilisation
Millimètre cube mm3 Volume d’un ongle
Centimètre cube cm3 Volume d’une calculatrice
Décimètre cube dm3 Volume d’un four à micro-ondes
Mètre cube m3 Volume d’une sécheuse
Décamètre cube dam3 Volume d’un immeuble
Hectomètre cube hm3 Volume d’un stade
Kilomètre cube km3 Volume d’une montagne
Dans la représentation ci-dessous, chaque unité de mesure de volume a une valeur qui est 1000 fois plus élevée que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement à sa droite et 1000 fois plus petite que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement à sa gauche.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Exemples :
1) 528 mm3 0,528 cm3, car 1 mm3 0,001 cm3.
2) 17 m3 17 000 dm3, car 1 m3 1000 dm3.
1000
1000
1000 1000 1000 1000 1000 1000
1000 1000 1000 1000 1000 1000
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368 CHAPITRE 6 Savoirs 6.1 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée
La capacité La capacité d’un solide ou d’un récipient est le volume de la matière liquide, ou pouvant
se manipuler comme un liquide, qu’il peut contenir. Le tableau ci-dessous présente des unités de mesure de capacité.
Nom de l’unité de mesure de capacité Symbole Exemple de contexte
d’utilisation
Millilitre ml Capacité d’une cuillère à thé
Centilitre cl Capacité d’une éprouvette
Décilitre dl Capacité d’un verre
Litre L Capacité d’un bol
Décalitre dal Capacité d’un sac à dos
Hectolitre hl Capacité d’une machine à laver
Kilolitre kl Capacité d’une piscine
Dans la représentation ci-dessous, chaque unité de mesure de capacité a une valeur qui est 10 fois plus élevée que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement à sa droite et 10 fois plus petite que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement à sa gauche.
kl hl dal L dl cl ml
Exemples :
1) 48 ml 4,8 cl, car 1 ml 0,1 cl.
2) 0,2 kl 200 L, car 1 kl 1000 L.
Il est possible de convertir les unités de mesure de volume en unités de mesure de capacité et vice versa d’après les équivalences suivantes.
Exemples : 1) 62 cm3 62 ml
2) 7,1 L 7,1 dm3
3) 589 mm3 0,589 cm3 0,589 ml
1 m3 1 kl 1 dm3 1 L 1 cm3 1 ml
10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10
10
1000
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© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Renforcement 6.1 369
RENFORCEMENT 6.1 Les unités de mesure pour les volumes
Dans chaque cas, indique l’opération mathématique à effectuer pour convertir l’unité de mesure.
a) Centilitre en décilitre.
b) Mètre cube en hectomètre cube.
c) Kilomètre cube en décamètre cube.
d) Décilitre en décalitre.
e) Décamètre cube en décimètre cube.
f) Hectolitre en centilitre.
g) Centimètre cube en millimètre cube.
Dans chaque cas, complète l’égalité.
a) 56,9 dam3
m3 b) 5200 ml
dl
c) 5,009 kl
dal d) 321 052,9 cm3
m3
e) 67 990 dal
kl f) 605 dam3
km3
g) 45,1 dal
ml h) 0,008 km3
m3
Dans chaque cas, indique le symbole approprié : <, > ou .
a) 123,89 mm3
0,1732 ml b) 12,98 kl
0,0883 dam3
c) 0,654 dam3
69 900 L d) 4,09 km3
4521 hm3
e) 0,08 km3
8 000 000 kl f) 4,99 mm3
0,000 004 99 dm3
3
2
1
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370 CHAPITRE 6 Renforcement 6.1 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée
Dans chaque cas, effectue l’opération et exprime le résultat en mètres cubes ou en litres, selon qu’on additionne des unités de mesure de volume ou de capacité.
a) 5600 dm3 12 800 cm3 0,9 dam3
b) 0,87 hm3 0,0498 dam3 0,0009 km3
c) 4320 ml 7120 cl 90,97 dl
d) 8,76 dal 0,9 hl 0,01 kl
Certaines activités quotidiennes requièrent une utilisation importante d’eau courante. Place les activités suivantes dans l’ordre décroissant de leur consommation d’eau.
Activité Utiliser 5 fois la chasse d’eau de la toilette : 0,03 kl d’eau. Activité Prendre une douche de 5 min : 750 dl d’eau. Activité Faire un lavage à la machine : 70 000 ml d’eau. Activité Prendre un bain : 1,76 hl d’eau.
Réponse :
Un réservoir d’eau de pluie est rempli à 80 % de sa capacité, qui est de 0,06 kl. La pluie qui tombe permet au réservoir de se remplir à un débit moyen de 500 cm3/h. Pendant combien de temps doit-il pleuvoir, au même débit, pour que le réservoir d’eau de pluie soit complètement rempli ?
Réponse :
4 3 2 1
6
5
4
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© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Enrichissement 6.1 371
ENRICHISSEMENT 6.1 Les unités de mesure pour les volumes
Un camion-citerne peut contenir 32,5 m3 de lait. Ce lait est destiné à être embouteillé dans des contenants de 2 L et de 4 L. Si l’on veut utiliser 1600 contenants de 4 L de plus que de contenants de 2 L, combien de contenants de chaque format obtiendra-t-on ?
Réponse :
Dans chaque cas, détermine l’expression algébrique manquante et exprime-la en mètres cubes.
a) 46,9x3 m3 2800x3 dm3 0,019x3 dam3 2x
81,7x3 m3
b) 87 000ax2 cm3 4504ax dm3 0,0099ax2 dam3
(34 504ax 9813ax2) dm3
2
1
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372 CHAPITRE 6 Savoirs 6.2 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée
SAVOIRS 6.2 Le calcul des volumes
Voici les formules pour le calcul du volume des principaux solides :
Solide Formule Exemple
Prisme droit Vprisme aire de la base hauteur Ab h
V 2
95 8
180 m3
Cylindre circulaire droit
Vcylindre aire de la base hauteur r 2 h
V 42 9 16 9 144 m3
452,39 m3
Pyramide droite Vpyramide 3
hauteurbase la de aire
3 b hA
V 3
876
112 m3
Cône circulaire droit
Vcône 3
hauteurbase la de aire
3
2hr
V 3
1542
3
1516
80 m3 251,33 m3
Boule Vboule
34 3r V
364 3
3
2164
288 m3 904,78 m3
5 m
9 m
8 m
9 m
4 m
7 m6 m
8 m
15 m
4 m
6 m
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© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Renforcement 6.2 373
RENFORCEMENT 6.2 Le calcul des volumes
Dans chaque cas, calcule le volume du solide.
a) Pyramide régulière à base carrée
18,1 mm
21 mm
b) Prisme droit à base rectangulaire
11,2 m
21,8 m
9 m
c) Cône circulaire droit
2,7 cm
1,9 cm
Réponse : Réponse : Réponse :
d) Cube
Ab 0,36 km2
e) Cylindre circulaire droit
111 cm
6,8 dm
f) Boule
2,5 m
Réponse : Réponse : Réponse :
g) Pyramide régulière à base pentagonale
3,9 mm
5 mm
Pb 28 mm
h) Prisme droit à base trapézoïdale
8,5 m
2,1 m
12 m
17 m
i) Cône circulaire droit
12,9 cm
7,1 cm
Réponse : Réponse : Réponse :
1
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374 CHAPITRE 6 Renforcement 6.2 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée
Une boule a un volume de cm3. Quelle est la mesure de son diamètre ?
Réponse :
Une pyramide régulière à base octogonale a un volume de 2375,52 mm3. Sachant que la hauteur de la pyramide est de 21 mm et que l’apothème de sa base mesure 10,1 mm, calcule le périmètre de la base de ce solide.
Réponse :
Un cône circulaire droit a un volume de 24 m3. Si la hauteur du cône est de 8 m, quel est le rayon de sa base ?
Réponse :
Une boîte de chocolat a la forme d’un prisme régulier. Le volume total de la boîte est de 322,56 cm3. Les côtés de ses bases mesurent chacun 3,2 cm, l’apothème des bases mesure 2,8 cm et la hauteur, 12 cm. Quelle est la longueur du ruban qui a été fixé sur toutes les arêtes de la boîte ?
Réponse :
5
4
3
2
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© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Enrichissement 6.2 375
ENRICHISSEMENT 6.2 Le calcul des volumes
Détermine la formule qui permet de calculer le volume d’un octaèdre régulier à partir de la mesure x d’une des arêtes.
Réponse :
1
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376 CHAPITRE 6 Savoirs 6.3 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée
SAVOIRS 6.3 Les solides semblables
Deux solides sont semblables si l’un est un agrandissement, une réduction ou la reproduction exacte de l’autre. Par exemple, les homothéties et les reproductions à l’échelle produisent des solides semblables.
Dans deux solides semblables : – les angles homologues sont isométriques ; – les mesures des arêtes homologues sont proportionnelles.
Le rapport des mesures des arêtes homologues de deux solides semblables est appelé rapport de similitude et s’exprime de la façon suivante.
Rapport de similitude k initial solide du homologue arêtel' de mesure
image solide du arête uned' mesure
Dans deux solides semblables : – le rapport des aires est égal au carré du rapport de similitude (k2) ; – le rapport des volumes est égal au cube du rapport de similitude (k3).
Exemple : Les prismes rectangulaires A et A' sont semblables.
12 cm
15 cm
18 cm
4 cm
5 cm
6 cm
Solide initial A Solide image A'
Rapport de similitude initial solide du homologue arêtel' de mesure
image solide du arête uned' mesure 6
18 3
Rapport des aires initial solide du totale aireimage solide du totale aire
)656454(2)181518121512(2
1481332 9 32
Rapport des volumes initial solide du volumeimage solide du volume
654181512
1203240 27 33
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© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Renforcement 6.3 377
RENFORCEMENT 6.3 Les solides semblables
Complète chacun des tableaux suivants.
a) Mesure d’un côté du solide initial A
Mesure du côté homologue du solide image A'
Rapport de similitude
Rapport des aires
Rapport des volumes
16,6 mm 41,5 mm
24 mm 31 mm
b) Mesure d’un côté
du solide initial A Mesure du côté homologue du solide image A'
Rapport de similitude
Rapport des aires
Rapport des volumes
43,8 m
1,44 32,8 m 6,96 m 5,2 m
c) Mesure d’un côté
du solide initial A Mesure du côté homologue du solide image A'
Rapport de similitude
Rapport des aires
Rapport des volumes
85 cm
161
47 cm
1 cm
Tous les cubes sont-ils semblables entre eux ? Explique ta réponse.
Vrai ou faux ?
a) Deux solides sont semblables même s’ils ont seulement deux paires
d’arêtes homologues dont les mesures sont proportionnelles.
b) Le rapport des volumes est égal au rapport des aires auquel
on a affecté l’exposant
23 .
c) Le rapport des angles homologues de deux solides semblables
est toujours égal à 1.
d) Le rapport de similitude est égal à la racine carrée du rapport
de l’aire du solide image par l’aire du solide initial.
2
3
1
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378 CHAPITRE 6 Renforcement 6.3 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée
Parmi les solides suivants, lesquels sont semblables ?
10 cm
7,2 cm
15,2 cm
22,8 cm
11,4 cm
9,12 cm
Ab 129,96 cm2 V 8230,8 cm3
Réponse :
Dans chaque cas, sachant que les deux solides sont semblables, détermine la mesure manquante.
a)
15 m 9 m AT 221,8 m2 AT ?
b)
7,6 cm
V 3,5 cm3 V 28 cm3
a ?
Réponse : Réponse :
Une canette de boisson gazeuse a la forme d’un cylindre circulaire droit. L’entreprise qui les fabrique désire produire une canette semblable dont l’aire sera augmentée de 21 %. Si le volume du petit format de cannette est de 250 cm3, quel sera le volume du grand format ?
Réponse :
D CB A
6
5
4
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© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Enrichissement 6.3 379
ENRICHISSEMENT 6.3 Les solides semblables
Dans chaque cas, détermine si les solides suivants sont semblables ou non. S’ils sont semblables, détermine le rapport de similitude, le rapport des aires et le rapport des volumes. Toutes les mesures sont en centimètres.
a) Prisme droit à base carrée
7,5x 3 + 5x
9x 4 + 6x 2
2,5x
3x 2
Réponse :
b)
5
23x 2
5x + 5
23x 5 + 23x 2
Réponse :
1
SPNOM GROUPE DATE
380 CHAPITRE 6 SP 6 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée
6 Deux blocs de béton Un fabricant propose deux modèles de blocs de béton pour soutenir un abri d’auto.
Modèle Modèle
6 dm
1 dm
Le modèle est formé à partir d’un grand cône circulaire droit que l’on a coupé au tiers de sa hauteur, parallèlement à sa base. Avant que le grand cône soit coupé, son volume était de 10,8 dm3.
Le modèle est formé à partir d’une pyramide régulière à base carrée que l’on a coupée parallèlement à sa base. Avant que la grande pyramide soit coupée, son volume était de 46,8 dm3.
Sachant que les deux blocs sont fabriqués avec la même quantité de béton, lequel des deux modèles est le plus haut ?
Démarche et calculs
B
A
BA
NOM GROUPE DATE
© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 SP 6 381
Réponse
SRNOM GROUPE DATE
382 CHAPITRE 6 SR 6 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée
6 Une réception Lors d’une réception, les organisateurs préparent un cocktail pour 85 invités. Le cocktail sera servi dans un verre formé d’un cylindre circulaire droit et d’une demi-boule.
Le cocktail sera préparé dans des pichets ayant la forme d’un prisme régulier à base hexagonale.
On doit prévoir 1,8 portion par personne et chaque verre sera rempli à 80 % de sa capacité.
À l’aide de ces informations, démontre que si l’on veut utiliser seulement 6 pichets, chacun doit avoir une hauteur approximative de 16,97 cm et être rempli à 90 % de sa capacité.
Démarche et calculs
4 cm
4,8 cm
16,2 cm14 cm
NOM GROUPE DATE
© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 SR 6 383
Réponse
NOM GROUPE DATE
384 CHAPITRE 6 Carnet 6 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée
6 Le volume des solides
La capacité
La d’un solide ou d’un récipient est le volume de la matière
, ou pouvant se manipuler comme un liquide, qu’il peut contenir.
Dans la représentation ci-dessous, chaque a une
valeur qui est 10 fois plus élevée que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement
à et 10 fois plus petite que la valeur de l’unité de mesure placée
immédiatement à .
kl hl dal L dl cl ml
Il est possible de convertir les unités de mesure de volume en unités de mesure de capacité et vice versa d’après les équivalences suivantes.
1 1 ml 1 dm3 1 1 1 kl
Le volume
Le volume est la mesure de l’ par un solide.
On exprime le volume d’un solide en .
Dans la représentation ci-dessous, chaque unité de mesure de volume a une valeur qui est 1000 fois plus élevée que la valeur de l’unité de mesure placée immédiatement
à et 1000 fois plus petite que la valeur de l’unité de mesure
placée immédiatement à .
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1000 1000 1000 1000 1000 1000
1000 1000 1000 1000 1000 1000
10 10 10 10 10 10
10 10 10 10 10 10
NOM GROUPE DATE
© 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Carnet 6 385
Les solides semblables Dans deux solides semblables :
– les angles sont isométriques ;
– les mesures des arêtes homologues sont . Le rapport des mesures des arêtes homologues de deux solides semblables est appelé rapport
de similitude et s’exprime de la façon suivante.
Rapport de similitude k initial solide du homologue arêtel' de mesure
image solide du arête uned' mesure
Dans deux solides semblables :
– le rapport des est égal au carré du rapport de similitude (k 2) ;
– le rapport des est égal au cube du rapport de similitude (k3).
Le calcul du volume Voici les formules pour le calcul du volume des principaux solides :
Solide Cylindre circulaire droit Pyramide droite
Exemple
h
r
h
Formule Vprisme aire de la base hauteur Ab h
Vcylindre aire de la base hauteur
h Vpyramide hauteur base la de aire
h A b
Solide Cône circulaire droit
Exemple
h
r
r
Formule
Vcône 3
hauteur
3
2hr
Vboule 3
4 3r
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386 CHAPITRE 6 Test 6 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée
6 Le volume des solides
Pour chacune des questions, encercle la bonne réponse.
Une arête d’un cube mesure 0,1 mm. Quel est son volume ?
a) 0,001 mm3 b) 0,06 mm3 c) 0,1 mm3 d) 0,6 mm3
Si l’on multiplie le diamètre d’une boule par 10, par quel nombre sera multiplié le volume de la boule ?
a) 10 b) 100 c) 1000 d) 10 000
Quelle est la capacité d’un contenant dont le volume est de 6,7 dm3 ?
a) 6700 ml b) 67 L c) 0,067 kl d) 6,7 ml
Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?
Affirmation Pour convertir des mètres cubes en centimètres cubes, on doit les multiplier par 10002.
Affirmation Le volume d’une boule ayant un rayon de 6 cm est d’environ 905 dm3.
Affirmation Une arête d’un cube dont le volume est de 2744 m3 mesure 1400 cm.
a) et . b) et . c) et . d) , et .
Un cône circulaire droit a un volume de 332,8 mm3 et une hauteur de 15,6 mm. Quelle est la circonférence de sa base ?
a) 29,02 mm b) 8 mm c) 21,33 mm d) 16 mm
Le solide ci-contre est formé d’un prisme régulier surmonté d’une pyramide régulière à base carrée. Quel est son volume ?
a) V 35 574 mm3
b) V 20 751,5 mm3
c) V 48 914,25 mm3
d) V 25 198,25 mm3
On verse 1,5 L d’eau dans 8 verres ayant la forme d’un cylindre circulaire droit. Les verres sont remplis à 75 % de leur capacité. Si l’aire de la base de chacun des verres est de 10 cm2, quelle est la hauteur d’un de ces verres ?
a) 18,75 cm b) 14,0625 cm c) 25 cm d) 0,15 dm
3
2
1
1 2 31 2 3 3 2 1
7
6
5
4
3
2
1
Questions à choix multiple
24 mm
38,5 mm
9 mm
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© 2012, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée CHAPITRE 6 Test 6 387
Dans chaque cas, sachant que les deux solides sont semblables, détermine la mesure manquante.
a)
87,04 cm12,8 cm
r ? r 3,8 cm
b)
V 15 m3 V 95 m3
AT 11,7 m2 AT ?
Réponse : Réponse :
Dans chaque cas, calcule la capacité (en L) du solide.
a) Demi-boule
21 cm
b) Prisme droit
28 dm
16,8 dm
30 dm
c) Cône circulaire droit
4,1 m
C 3 m
Réponse : Réponse : Réponse :
Une pyramide régulière a un volume de 4546,56 cm3. La hauteur de la pyramide est de 32 cm, chaque côté de sa base mesure 12,8 cm et l’apothème de sa base mesure 11,1 cm. Quelle est la forme de la base de la pyramide ?
Réponse :
Questions à réponse courte
10
9
8
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388 CHAPITRE 6 Test 6 © 2013, Les Éditions CEC inc. Reproduction autorisée
Un récipient formé de deux cylindres circulaires droits est illustré ci-contre. On verse dans ce récipient l’équivalent de 13,2 L de liquide. Montre que moins de 2 % de la capacité du récipient est inutilisée.
Réponse :
On veut placer trois balles de golf les unes à côté des autres dans une boîte. Une balle de golf a un volume total équivalant à celui d’un cube dont chaque arête mesure 36 mm. Quel est le volume de la plus petite boîte en forme de prisme régulier à base carrée pouvant contenir les trois balles ?
Réponse :
Questions à développement
12
11 CD 2
CD 1
8,2 cm
24,5 cm
32 cm