Nociones trigonométricas

RAZONES TRIGONOMÉTRICASQUINTO AÑO-2007

AOB ángulo positivo AOB ángulo negativo

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En el deporte del ala delta, el profesor aconseja al alumno que comience saltando desde una peña no muy alta; por ejemplo 10 metros. Al llegar a tierra observan que la distancia horizontal recorrida es de 50 metros. A medida que el alumno es más experto va saltando desde peñas más altas.

Supuesto que el comportamiento del ala delta es siempre el mismo, ¿qué distancia horizontal recorrerá cuando se lance desde una altura de 20 metros ?.

En la siguiente tabla expresamos la altura y la distancia de cada vuelo, completa los datos que faltan y determina la relación que hay entre la altura de la roca desde la que se lanza y la distancia horizontal en términos de una proporción.

ALTURA DISTANCIA HORIZONTAL

10 m 50 m20 m 100 m30 m 150 m45 m

160 m1 km

ANGULOS ORIENTADOS Y SISTEMAS DE MEDICIÓN

xO A

yy

xO

A

B

B

La orientación o sentido de un ángulo está determinado por la dirección en que gira uno de sus rayos mientras que el otro permanece fijo.

Un ángulo está en posición estándar si uno de sus lados coincide con la semirrecta positiva OX de un sistema de ejes X e Y ortogonales.

Los ángulos pueden ser positivos o negativos e incluso mayor que un giro

B

DF

H

E G J


Entonces, se cumple que la razón entre las longitudes de dos lados

correspondientes son iguales . Esto es:

El valor K1 es llamado tangente del ángulo .

Respecto al ángulo agudo de un ABC rectángulo en C se tiene que:

SENO de un ángulo .Se define como:

sen = cosec =

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A

B

0

Y

X

m(AOB) = + k · 360º

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

Sea ABC, rectángulo en C. : hipotenusa

: catetos y : ángulos agudos

, , son perpendiculares al cateto , o sea los triángulos ADE , AFG , AHJ son rectángulos en E, G, J, respectivamente además tienen el ángulo agudo en común.

Por lo tanto :

ADE AFG AHJ ABC (Postulado A.A. de semejanza de

triángulos).

A

CA

C

En triángulos rectángulos semejantes y respecto de un mismo ángulo agudo, la razón entre un cateto y la hipotenusa o entre los dos catetos, es siempre constante.

k número de giros completos

AC

B


COSENO de un ángulo Se define como:

cos = sec =

TANGENTE de un ángulo . Se define como:

tg = cotg =

ACTIVIDADES1. Sea el ABC rectángulo en C , con catetos = 3 cm , = 4 cm, e hipotenusa = 5 cm.Calcula respecto

de los ángulos agudos y las razones trigonométricas y sus recíprocas:

2. Dado un ABC rectángulo en C, donde cosec = , calcula :

sec = tg = sen =

cos = ctg = cosec =

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sen = sen =

cos = cos =

tg = tg =

cosec = cosec =

sec = sec =

cotg = cotg =

y

O

B

r=1u30º

1u A

D30º


TABLA DE VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Deduce las razones siguientes:

En el siguiente cuadro haz un resumen de las razones trigonométricas básicas de los ángulos notables considerados.

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES de 30, 45 y 60 grados

Consideremos la circunferencia de radio unitario (1u), llamada goniométrica y que tiene su centro ubicado en el orígen O(0,0) de un sistema de ejes coordenados perpendiculares. Consideremos un ángulo de 30º, al prolongar el cateto más allá de D hasta intersectar a la circunferencia , obtenemos un AOB equilátero de lado unitario. De esta forma AOD rectángulo en D. m(AOD) = 30º m(DAO) = 60º

= 1

x

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO DE 45

Consideremos un ángulo de 45º en la circunferencia goniométrica.

Prolongando el cateto más allá de D hasta intersectar a la circunferencia en A , obtenemos un triángulo isósceles cuyos lados congruentes son de medida unitaria.

Entonces:45º

45º

A

B

DO

1

1

x

y

C A

B

2. Calcula la medida del ángulo agudo del DEF rectángulo en F si cm y cm

C A

B


MEDIDA ANGULAR 0º 30º 45º 60º 90º

SENO

COSENO

TANGENTE

1. RELACIONES ENTRE LOS LADOS . Teorema de Pitágoras

C2 = a2 + b2 (a y b catetos ) c hipotenusa

2. RELACIONES ENTRE LOS ÁNGULOS.

a + b + c = 180º

3. RELACIONES ENTRE LADOS Y ÁNGULOS .

Relaciones trigonométricas. sen = cos , cos = sen , tg = ctg , , son complementarios

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Actividades1. Calcula la medida del cateto del ABC

rectángulo en C , si cm y m(CAB) = 30º

ED

F

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS


1. Calcula el radio y la apotema de un octógono de lado 10 cm.

2. Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 cm. Calcula la altura correspondiente a la hipotenusa.

3. Hallar el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24,6 cm tiene como arco correspondiente uno de 70ª

4. La base de un triángulo isósceles mide 10m y el ángulo opuesto 50º. Hallar el área.

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EJERCICIOS

1. Calcula el largo de la sombra que proyecta un edificio de 150 m. De alto cuando el Sol se encuentra a 30º por encima del horizonte.

2. Desde la torre de un fuerte costero, cuya altura es de 580m sobre el nivel del mar , se divisa un barco con un ángulo de depresión de 24º . ¿A qué distancia del punto D de la base de la torre está el barco?.

3. En una cierta época del año, el planeta Mercurio, la Tierra y el sol se ubican formando un triángulo rectángulo . Desde la tierra se observa el STM = 21,16º y se conoce la distancia de la Tierra al Sol: 150 millones de kilómetros, v con esta información determina la distancia entre la Tierra y Mercurio.

D

24º

580

m

T

M

S

altu

ra

100m

A B

30º 45º


4. Jorge y Alex van a escalar una montaña de la que desconocen la altura . A la Salida del Pueblo , Jorge mide el ángulo de elevación y mide 30º. Avanzan 100 metros hacia la base de la montaña y vuelve a medir el ángulo de elevación siendo ahora 45º. ¿Cuál es la altura de la montaña?.

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30º

150

m

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