NOBELIO 2003 m. EKONOMIKOS MOKSLØ PREMIJOS LAUREATAI · 2017-02-09 · átakingiausiø...

82

Pinigø studijos 2003 � 4 Nobelio premijos laureatai

2003 m. ekonomikos mokslø premija Alfredui Nobeliui atminti paskirta dviem mokslininkams –Niujorko universiteto profesoriui Robert F. Engle „uþ ekonominiø laiko eiluèiø su priklausanèiu nuolaiko kintamumu analizës metodus (ARCH modelis)“ ir Kalifornijos universiteto (San Diegas)profesoriui Clive W. J. Granger „uþ ekonominiø laiko eiluèiø su bendru trendu (kointegracija) analizësmetodus“. Ekonomikos mokslø premijà Alfredui Nobeliui atminti skiria Ðvedijos karaliðkosios moksløakademijos Ekonomikos mokslø premijos komitetas. Skaitytojams pateikiame trumpà ðiø iðkiliøasmenybiø mokslinës ir pedagoginës veiklos apþvalgà*.

Vertindami ekonominiø kintamøjø sàryðius ir tikrindami ekonomikos teorijoshipotezes, tyrinëtojai duomenis daþniausiai apraðo ekonominiø laiko eiluèiø forma,t. y. kaip chronologines stebëjimø sekas. Tokios laiko eilutës nusako BVP, kainø,palûkanø normø, akcijø kainø ir t. t. kitimà. Praëjusio amþiaus devintàjá deðimtmetáNobelio 2003 m. ekonomikos mokslø premijos laureatai sukûrë naujus statistiniusmetodus, taikomus analizuojant dvi pagrindines daugelio ekonominiø laiko eiluèiøsavybes – priklausantá nuo laiko kintamumà ir nestacionarumà.

Finansø rinkoms bûdingø atsitiktiniø ir kintanèiø laiko atþvilgiu svyravimø ap-raðymas ypaè svarbus, kadangi akcijø, pasirinkimo sandoriø ar kitø iðvestiniø finan-siniø priemoniø vertë priklauso nuo jø rizikos, kuri kiekybiðkai nusakoma kintamumu.Svyravimai laiko atþvilgiu gali labai keistis; neramius laikotarpius, kuriems bûdingidideli svyravimai, keièia ramesni maþø svyravimø laikotarpiai. Nepaisant tokio pri-klausanèio nuo laiko kintamumo, ankstesni tyrinëtojai taikë statistinius metodus iðanksto darydami prielaidà apie pastovø kintamumà. Ðia prasme Robert F. Engleatradimas buvo savotiðkas lûþis. Jis atskleidë, kad autoregresinio sàlyginio heteroske-dastiðkumo (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity – ARCH) modelis tiksliaiapima daugelio ekonominiø laiko eiluèiø ir metodø, sukurtø priklausanèiam nuolaiko kintamumui statistiðkai vertinti, savybes. Ðiandien ARCH modelis tapo nepa-keièiama priemone ne tik tyrinëtojams, bet ir finansø rinkø analitikams, kurie játaiko nustatydami turto kainà ir vertindami portfelio rizikà.

Dauguma ekonominiø laiko eiluèiø turi stochastiná trendà, todël, tarkime,laikinas ðokas BVP pokyèiui turi ilgalaiká poveiká. Ðios laiko eilutës yra nestacionarios;jos skiriasi nuo stacionariø eiluèiø, kurios svyruoja apie tam tikrà pastovø dydá. CliveW. J. Granger atskleidë, kad statistiniai metodai, taikomi stacionariø laiko eiluèiøanalizei, gali pateikti klaidinanèius rezultatus, jeigu jie bûtø taikomi nestacionariøduomenø analizei. Reikðmingas jo atradimas buvo tas, kad tam tikri nestacionariølaiko eiluèiø deriniai gali turëti stacionarumo savybæ, tuo leisdami patikslinti statistinæiðvadà. C. W. J. Granger ðá reiðkiná pavadino kointegracija (cointegration). Jis sukûrëypaè vertingus metodus analizuojant tas sistemas, kuriose trumpo laikotarpio pokyèiuslabiausiai veikia atsitiktiniai trikdþiai, o ilgo laikotarpio dinamikà riboja ekonominëspusiausvyros sàryðiai. Kaip pavyzdþius, galima paminëti turto ir vartojimo, valiutoskurso ir kainø lygio, trumpalaikiø ir ilgalaikiø palûkanø normø sàryðius.

Nobelio 2003 m. ekonomikos mokslø premijos laureatø R. F. Engle irC. W. J. Granger moksliniai tyrinëjimai ið esmës pakeitë ekonomistø supratimà apiefinansinius ir makroekonominius duomenis.

Robert F. Engle

R. F. Engle gimë 1942 m. Sirakjuse (Niujorko valstija, JAV pilietis). 1964 m.Williams koledþe jam suteiktas fizikos bakalauro kvalifikacinis laipsnis, 1966 m.Cornell universitete – fizikos magistro kvalifikacinis laipsnis, o 1969 m. taip pat ðiameuniversitete – ekonomikos mokslø daktaro laipsnis. 1969–1974 m. R. F. Engle buvo

NOBELIO 2003 m. EKONOMIKOS MOKSLØ PREMIJOS LAUREATAI

*Apþvalga parengta pagalinterneto tinklapá http://www.nobel.se/economics/laureates/2003/index.html

EKONOMINIØ LAIKO EILUÈIØ STATISTINIAI METODAI

83

Nobelio 2003 m. ekonomikos mokslø premijos laureatai

Masaèusetso technologijos instituto docentas. 1975 m. jis pradëjo dirbti Kalifornijosuniversitete (San Diegas), ëjo docento pareigas, o 1977 m. tapo šio universitetoprofesoriumi. 1990–1994 m. R. F. Engle vadovavo Kalifornijos universiteto Ekono-mikos katedrai.

2000 m. R. F. Engle perëjo dirbti á Niujorko universiteto Leonard N. Sternverslo mokyklos (New York University Leonard N. Stern School of Business) Finansøkatedrà, jam suteiktas Michael R. Armellino finansiniø paslaugø valdymo profe-soriaus vardas. Niujorko universitetas, ásteigtas 1831 m., yra viena ið didþiausiø irprestiþiðkiausiø privaèiø mokslo tiriamøjø ástaigø JAV. Jame ið visø JAV koledþø aruniversitetø mokosi daugiausia studentø uþsienieèiø. Trylikoje Niujorko universi-teto mokyklø ir koledþø atliekami moksliniai tyrimai, dëstomi menai ir mokslas,teisë, medicina, stomatologija, ðvietimas, slaugymas, verslas, socialinis darbas,kinematografijos ir vaidybos menai, vieðasis administravimas ir politika, taip patgalima tæsti studijas kitose srityse. Vadinamoji Niujorko universiteto Stern verslomokykla, ásikûrusi Grinviè Vilidþe, yra viena ið pagrindiniø ðalies vadybos mokymoástaigø ir mokslo tiriamøjø centrø. Jos siûlomos ávairaus profilio akademinësprogramos skirtos tiek studentams absolventams, tiek ir doktorantams rengti. Ðiosprogramos nuolat papildomos naujausia pasaulinio verslo patirtimi ir dideliaisiðtekliais. Paþymëtina, kad Niujorko universitete yra net deðimt Nobelio premijoslaureatø, áskaitant buvusius ðios aukðtosios mokyklos studentus ir fakultetø dëstytojus.

R. F. Engle – þymus ekonominiø laiko eiluèiø tyrinëjimo ekspertas, seniaibesidomintis finansø rinkø analize. Jis sukûrë tokius naujus statistinius metodus kaipARCH modelis, kuris tapo svarbia priemone ðiuolaikinëje turto kainos nustatymoteorijoje ir praktikoje, ir kointegracija – bendras jo ir profesoriaus C. W. J. Grangerdarbas. Kitos svarbios ekonometrikos mokslo naujovës – tai spektro grupës regresija(band spectrum regression), bendrieji poþymiai (common features), autoregresinësàlyginë trukmë (Autoregressive Conditional Duration – ACD), autoregresinis rizikosvertës (Conditional Autoregressive Value at Risk – CAViaR) modelis, o paskutinënaujovë – dinaminë sàlyginë koreliacija (Dynamic Conditional Correlation – DCC).Gerokai daugiau kaip šimte straipsniø akademiniuose þurnaluose ir keturioseknygose R. F. Engle pritaikë ðiuos metodus analizuodamas akcijø kainas, pasirinkimosandorius, valiutos kursus ir palûkanø normas. Pastaruoju metu, t. y. dirbdamasNiujorko universiteto Stern verslo mokyklos profesoriumi, jis plëtoja dideliø turtosistemø, realaus laiko kintamumo, rinkos mikrostruktûros ir kraðtutiniø rinkospokyèiø analizës metodus. Jis rengia ir skaito paskaitas tiek akademinei visuomenei,tiek ir finansø ástaigø specialistams, yra daþnas ðiø ástaigø konsultantas. R. F. Engleyra Amerikos menø ir mokslø akademijos, Ekonometrikø draugijos ir Amerikosstatistikø asociacijos narys, jam suteiktas Kalifornijos universiteto garbës mokslødaktaro vardas.

Clive W. J. Granger

C. W. J. Granger gimë 1934 m. Svonsyje (Velsas, Didþiosios Britanijos pilietis).Baigæs Vest Brigfordo vidurinæ mokyklà, jis ástojo á Notingamo universitetà(Nottingham University) ir pirmà kartà ðio universiteto istorijoje tapo vienu ið kandi-datø bendram ekonomikos ir matematikos bakalauro kvalifikaciniam laipsniui gauti.1955 m. C. W. J. Granger baigë Notingamo universitetà ir turëdamas bakalaurokvalifikaciná laipsná pradëjo jame dirbti, 1956 m. jam pasiûlytos statistikos dëstytojopareigos Matematikos katedroje. 1957 m. leidinyje Astrophysical Journal paskelbtaspirmas C. W. J. Granger mokslinis straipsnis „Saulës dëmiø aktyvumo statistinismodelis“ (A Statistical Model for Sunspot Activity), o 1959 m. jam suteiktas statistikosmokslø daktaro laipsnis.

Praëjusio amþiaus septintojo deðimtmeèio pradþioje C. W. J. Granger gavoHarkness stipendijà ir iðvyko á Prinstono universitetà, kuriame dirbo spektriniø

84


metodø srityje su tokiais áþymiais mokslininkais kaip John Tukey ir Oscar Morgenstern.Nors C. W. J. Granger gráþo á Notingamo universitetà, kur jam buvo suteiktasekonomikos ir statistikos mokslø profesoriaus vardas, ði kelionë padidino jo noràdirbti JAV universitete. Pagaliau 1974 m. jis tapo Kalifornijos universiteto (San Diegas)Ekonomikos katedros profesoriumi ir daug prisidëjo èia ákuriant ekonometrijospadaliná, kuris yra vienas ið stipriausiø pasaulyje. 2003 m. C. W. J. Granger iðëjo ápensijà, jam suteiktas Kalifornijos universiteto garbës daktaro vardas.

Nuo to ankstyvo atvykimo á Prinstono universitetà C. W. J. Granger yra tarpátakingiausiø mokslininkø, kuriø tyrinëjimo sritis – laiko eiluèiø ekonometrija. Jomoksliniuose darbuose apraðyti praktiðkai visi svarbiausi ðios srities laimëjimai perpaskutinius 40 metø, bûtent jis subrandino kai kurias ádomiausias idëjas ir analizësmetodus, atsiradusius tuo laikotarpiu. Ið tiesø dabartinë empirinë laiko eiluèiø analizëneásivaizduojama be kai kuriø C. W. J. Granger sukurtø metodø arba nejauèiant joidëjø átakos. Turimos galvoje Granger prieþastingumo ir kointegracijos koncepcijos,kurias paskutinio kurso studentai, studijuojantys ekonometrijà, taiko savo darbuosekaip savaime suprantamà dalykà. Jo klaidingos regresijos, ilgalaikës atminties irávairiø prognozavimo aspektø tyrinëjimai taip pat turëjo didelæ átakà. Daugumamokslininkø viso savo gyvenimo laimëjimu laikytø tai, jeigu bent vienas jø darbasdarytø toká poveiká finansø ekonomikai, koká darë dauguma ðiø darbø. KadangiC. W. J. Granger moksliniai tyrinëjimai daþnai turëjo nepaprastai didelæ átakà, beabejo, tai rodo ypatingà jo, kaip mokslininko ir rašytojo, talentà.

Vienas ið C. W. J. Granger mokslinius darbus geriausiai apibûdinanèiø poþymiøyra empirinis jo idëjø tinkamumas. Kitas skiriamasis poþymis – moksliniø darbøprieinamumas, atsirandantis dël jo nepaprasto sugebëjimo raðyti ypaè lengvaiskaitomus straipsnius ir knygas, ið kuriø daugelis cituotini kaip klasika. Tokia sëkmërodo, kad geras raðymas skleidþiant mokslines þinias atlieka pakankamai svarbøvaidmená. Ðia prasme nëra jokio atsitiktinumo, jog pagerëjo Anglijos banko irJungtinës Karalystës iþdo darbo rezultatai ðalies ekonomikos stebësenos ir progno-zavimo srityje – C. W. J. Granger idëjas ir tyrinëjimø metodus daugelis jo mokiniøperteikë dabartinëms ekonomikos absolventø kartoms, t. y. bûtent tiems, kurie irsudaro ðiø organizacijø tyrinëtojø grupes.

C. W. J. Granger moksliniai tyrinëjimai ákvëpë visus, dirbanèiuosius laiko eiluèiøekonometrijos srityje, uþ juos autorius gavo daugybæ apdovanojimø ir tapo pripa-þintas tarptautiniu mastu. Ðiuo metu pagrindiná dëmesá jis skiria netiesinio modelia-vimo ir metodologijos klausimams. C. W. J. Granger yra Vakarø ekonomikosasociacijos prezidentas ir Amerikos ekonomikos asociacijos nusipelnæs narys,Britanijos akademijos narys korespondentas, Amerikos menø ir mokslø akademijosbei Ekonometrikø draugijos narys, taip pat Lafboro universiteto (LoughboroughUniversity), Stokholmo ekonomikos mokyklos, Notingamo universiteto garbës daktaras.

LAIKO EILUÈIØ EKONOMETRIJA: KOINTEGRACIJA IRAUTOREGRESINIS SÀLYGINIS HETEROSKEDASTIÐKUMAS*

Ávadas

Empiriniai makroekonomikos ir finansø ekonomikos tyrinëjimai daugiausiapagrásti laiko eilutëmis. Nuo tada, kai Nobelio 1989 m. ekonomikos mokslø premijoslaureatas Trygve Haavelmo paskelbë savo darbà, ekonominës laiko eilutës stan-dartiðkai laikomos atsitiktiniø procesø realizacijomis. Toks poþiûris leidþia modeliøkûrëjui, sudarant ir tikrinant lygtis, apibûdinanèias sàryðius tarp ekonominiøkintamøjø, panaudoti statistiniø iðvadø teorijà. Nobelio 2003 m. ekonomikos moksløpremija apdovanoti du darbai, kurie pagilino supratimà apie dvi pagrindines daugelioekonominiø laiko eiluèiø savybes (nestacionarumà ir nuo laiko priklausantákintamumà (time-varying volatility)) ir paskatino jø taikymà daugybëje srièiø.

* Pagal oficialià Nobelio fon-do svetainæ straipsná parengëVilniaus universiteto Matema-tikos ir informatikos fakulte-to, Ekonometrinës analizëskatedros vedëjas profesorius,fiziniø mokslø habilituotasdaktaras Alfredas Raèkauskas(veiklos sritys: funkcinë duo-menø analizë, bootstrap meto-das ir jo taikymas ekonomet-rijoje) ir tos paèios katedrosprofesorius, fiziniø mokslø ha-bilituotas daktaras RemigijusLeipus (veiklos sritys: laiko ei-luèiø analizë, finansø ekono-metrija, finansø matematika).Autoriai taip pat yra Matema-tikos ir informatikos institutomoksliniai darbuotojai.

85


Nestacionarumo savybë, bûdinga daugeliui makroekonominiø ir finansiniø laikoeiluèiø, reiðkia, kad kintamasis neturi aiðkaus polinkio gráþti prie pastovios reikðmësar tiesinio trendo. Trys mënesinës laiko eilutës: JAV dolerio vertë, iðreikðta Japonijosjenomis, ir sezoniðkai koreguoti Japonijos bei JAV vartojimo kainø indeksai parodyti1 pav. Neatrodo, kad nors viena ið ðiø eiluèiø, tarp kuriø kainø indeksø eilutës yragerokai glodesnës uþ valiutos kurso eilutæ, bûtø stacionari, t. y. gráþtø prie fiksuotosreikðmës arba svyruotø apie tiesiná trendà (tokiu atveju nuokrypiai nuo trendo bûtøstacionarûs). Ði savybë bûdinga ir tokiems agreguotiems kintamiesiems kaip bendrasisnacionalinis produktas, vartojimas, uþimtumas ir turto kainos. Todël logiðka manyti,kad juos generavo nestacionarieji procesai ir jie turi stochastinius trendus.

1 pav. Japonijos jenos bei JAV dolerio kurso logaritmas ir Japonijos bei JAV vartojimokainø indeksai, 1970 m. sausis–2003 m. geguþë (mënesiø stebëjimai)

Pastaba: Japonijos jenos ir JAV dolerio kurso logaritmas (pakeistu masteliu) (besileidþianti vientisalinija), sezoniðkai koreguoto JAV vartojimo kainø indekso logaritmas (kylanti vientisa linija) irsezoniðkai koreguoto Japonijos vartojimo kainø indekso logaritmas (kylanti brûkðninë linija).

Svarbus empiriniø makroekonomikos tyrinëjimø tikslas – patikrinti ekonomikosteorijos iðkeltas hipotezes apie tokius agreguotus kintamuosius ir ávertinti jø sàryðius.Statistinë teorija, taikyta praëjusio amþiaus devintàjá deðimtmetá kuriant ir tikrinantdidelius simultaniniø lygèiø modelius, grindþiama prielaida, kad ðiø modeliø kin-tamieji yra stacionarûs. Problema ta, kad statistinës iðvados, susijusios su stacionariaisprocesais, negalioja, jeigu laiko eilutës ið tikrøjø yra nestacionariø procesø realiza-cijos.

Prieð tris deðimtmeèius modeliø kûrëjai gerai nesuprato ðios problemos. Dabarpadëtis pasikeitë, ir tai yra C. W. J. Granger nuopelnas. Jis parodë, jog makroeko-nominiai modeliai su nestacionariais atsitiktiniais kintamaisiais gali bûti kuriami taip,kad rezultatai bûtø ir statistiðkai patikimi, ir ekonomiðkai prasmingi. Jo darbas padëjopamatus turtingos dinamikos tarpusavyje susietiems ekonominiams dydþiams mo-deliuoti. Ðis lûþis pasiektas C. W. J. Granger iðkëlus kointegruotø kintamøjø idëjà,kuri radikaliai pakeitë ðiandieniná empiriniø makroekonominiø sàryðiø modeliøsudarymo bûdà.

Antra svarbi ekonominiø laiko eiluèiø savybë, bûdinga daugeliui finansiniø lai-ko eiluèiø, yra ta, kad jø kintamumas (volatility) keièiasi laiko atþvilgiu. Panagrinë-kime tokias finansiniø gràþø eilutes kaip dienos valiutos kurso pokytis arba birþosindeksas. Kaip pavyzdys, virðutinëje 2 pav. dalyje parodytas 1 pav. matomos eilutëspirmasis skirtumas, iðmatuotas dienos gràþos daþnumu. Apatinë dalis, kurioje atvaiz-duotas 20 dienø (keturiø prekybos savaièiø) slenkamasis gràþos kvadratø vidurkis,aiðkiai rodo, kaip aukðto kintamumo laikotarpius keièia santykinës ramybës laiko-tarpiai.

86


2 pav. Japonijos jenos bei JAV dolerio kurso dienos gràþos ir atitinkamas pokyèiøkvadratø 20 dienø slenkamasis vidurkis (1986–1995 m.)

Finansø ekonomikos tyrinëtojams ir finansø rinkø analitikams gràþos kinta-mumas yra vienas ið svarbiausiø klausimø. Akcijø ir kitokio turto kainos priklausonuo numatomo gràþø kintamumo (kovariacijos struktûros). Bankai ir kitos finansøástaigos vertina kintamumà ir tai yra jø patiriamos rizikos stebësenos dalis. Iki patpraëjusio amþiaus devintojo deðimtmeèio tiek mokslininkai, tiek ir finansø rinkøpraktikai taikë modelius, kuriuose kintamumas buvo laikomas nesikeièianèiu laikoatþvilgiu. Taèiau, kaip matyti ið 2 pav., laikui bëgant kintamumas gali labai smarkiaikeistis: didelius (maþus) gràþos pokyèius keièia dideli (maþi) kintamumo pokyèiai.Todël finansø rinkoms kintamumo modeliavimas ir prognozavimas turi lemiamàreikðmæ.

Kintamumo modeliø tyrinëjimus inicijavo R. F. Engle, praëjusio amþiaus devin-tàjá deðimtmetá sukûræs naujà koncepcijà, kurià pavadino autoregresiniu sàlyginiuheteroskedastiškumu ir davë jam akronimà ARCH. Nuo to laiko modeliai, sudarytipagal ðià koncepcijà, tapo nepakeièiama priemone finansø analitikams, bankinin-kams ir fondø tvarkytojams visame pasaulyje. Du deðimtmeèius R. F. Engle pirmavokintamumo modeliavimo tyrinëjimø srityje, yra paraðæs keletà ypaè iðskirtiniø darbø.

1. Kointegruoti ekonominiai kintamieji

Makroekonomistai laiko eiluèiø modelius kuria ekonomikos teorijoms patikrinti,prognozëms ir politikai analizuoti. Tokius modelius kuria ir juos taiko ekonomikosdëstytojai, ekonomikos moksliniø tyrimø institutai ir centriniai bankai. Sena tradicijabuvo kurti didelius makroekonominius modelius su ðimtais lygèiø ir kintamøjø. Vëliaulabiau paplito maþi modeliai, apimantys nedaug lygèiø ir kintamøjø. Kadangi daugelálaiko eiluèiø, kurias taiko modeliø kûrëjai, geriausia laikyti nestacionariomis, tai

87


tokiu atveju bûtinas tiek naujas poþiûris, tiek ir nauja statistiniø iðvadø teorija, kitokianegu tradicinës teorijos, sukurtos taikyti stacionarioms eilutëms.

Ðiame skyriuje apraðysime tuos C. W. J. Granger darbus, kuriuose kurta kointeg-ravimo koncepcija ir tirti jos taikymo aspektai. Susipaþinæ su ðia sàvoka ir su jasusijusios statistinës teorijos apibrëþimu, pereisime prie vadinamosios Granger repre-zentacijos teoremos. Po to apraðysime dviejø þingsniø metodà, taikomà kointegra-vimo sàryðiams tikrinti ir lygèiø sistemoms su kointegruotais kintamaisiais vertinti.Trumpai nuðviesime pagrindinës kointegravimo idëjos ávairius apibendrinimus.Pabaigoje aptarsime taikymo aspektus. Norëdami parodyti, kaip kointegravimas galine tik pakeisti empirinæ analizæ, bet ir suteikti jai naujà dimensijà, remsimësempiriniu perkamosios galios pariteto (purchasing power parity) hipotezës tyrimu.

1.1. Pagrindiniai kointegravimo apibrëþimai

Gráþtant prie 1 pav. pavaizduotø laiko eiluèiø, prasminga daryti prielaidà, kadjas generavo nestacionarûs atsitiktiniai procesai. Praktikoje makroekonominiømodeliø lygtis su nestacionariais kintamaisiais ilgà laikà buvo priimta vertintitiesiogiai taikant tiesinæ regresijà. Nebuvo gerai suprasta, kad, tikrinant hipotezesapie koeficientus, standartiniais statistiniais testais galima gauti klaidingus rezultatus.Didelæ átakà turëjusiame darbe C. W. J. Granger ir jo kolega Paul Newbold (1974)paþymëjo, kad tokiø regresijø testavimas gali rodyti statistiðkai reikðmingà kintamøjø,tarp kuriø iðties jokio sàryðio nëra, sàryðá. Tokià iðvadà C. W. J. Granger ir P. Newboldpadarë sugeneravæ dvi nepriklausomas nestacionarias eilutes, tiksliau – atsitiktiniusklaidþiojimus*. Jie ávertino ðiø eiluèiø regresijà ir stebëjo koeficiento áverèiui suskai-èiuotà t-statistikos reikðmæ, esant teisingai prielaidai, kad tikroji to koeficiento reikð-më lygi 0. Nepaisant to, kad regresijos dydþiai buvo nepriklausomi, autoriai nustatë,kad pagrindinë hipotezë apie nuliná koeficientà buvo atmetama daug daþniau, negutai numato standartinë teorija. Kartu jie paþymëjo, kad ávertintos lygties liekanosryðkiai rodo teigiamà autokoreliacijà**.

Tie rezultatai parodë, kad daugelis lyg ir reikðmingø sàryðiø tarp nestacionariøekonominiø kintamøjø egzistuojanèiuose ekonometriniuose modeliuose gali bûtinetikri (spurious). Ðis darbas buvo pirmasis C. W. J. Granger tyrimø þingsnis plëtojantrealesniø ir naudingesniø ekonometriniø modeliø kûrimo metodus.

Statistikai, dirbdami su laiko eiluèiø modeliais, netikrosios regresijos problemaispræsti pasiûlë paprastà bûdà. Jei ekonominiai sàryðiai specifikuoti pirmaisiaisskirtumais, o ne paèiomis reikðmëmis, statistiniai sunkumai dël kintamøjø nesta-cionarumo gali bûti apeinami, nes diferencijuoti dydþiai paprastai yra stacionarûsnet jei patys dydþiai tokie nëra. Deja, ekonomikos teorijos daþniausiai formuluojamoskintamøjø reikðmiø, o ne jø skirtumø terminais. Pavyzdþiui, vartojimo teorija api-brëþia vartojimo lygiø, pajamø ir kitø kintamøjø, bet ne jø didëjimo tempo sàryðius.Modelis, apimantis dydþiø pirmuosius skirtumus, ekonomikos teorijø visapusiðkaineatskleidþia. Alternatyvus susiejantis bûdas pirmiausia bûtø ið kintamøjø panaikintitiesinius laiko trendus, o empirinius sàryðius specifikuoti taikant kintamuosius, iðkuriø trendai paðalinti. Deja, paðalinant (atskirai) laiko trendus, daroma prielaida,kad tie kintamieji turi atskirus deterministinius trendus. Tai atrodo nerealu ir galiturëti nepageidaujamø padariniø. Dinaminiai ekonometriniai modeliai, sudaryti iðkintamøjø su paðalintu trendu, gali apibûdinti ekonominiø kintamøjø trumpalaikædinamikà, bet ne jø ilgalaikius sàryðius. Tas tinka ir modeliams, sudarytiems tik iðpirmøjø skirtumø.

C. W. J. Granger pasiûlytas ðios problemos sprendimas gali bûti iliustruotastokia paprasèiausia regresine lygtimi:

yt = ��+�� x

t + �

t� ��

*Tarkime, kad (��, � = 1, 2, ...

yra nepriklausomø stochasti-niø kintamøjø seka su nuliniuvidurkiu ir dispersi ja �2 irtegul .

1∑=

=

t

t τ τεξ Tuomet

seka �t, t = 1, 2, ... yra atsitik-tinis klaidþiojimas (be dreifo).**C. W. J. Granger ir P. New-bold (1974) rezultatà pasiekëmodeliuodami. Jø eksperi-mentui teisinga asimptotinëskirstiniø teori ja iðplëtotadaugiau negu deðimtmeèiuvëliau P. C. B. Phillips (1986)darbe. Glaustai ði teorija ap-raðyta C. W. J. Granger (2001)straipsnyje.

88


kurioje: yt – priklausomas kintamasis; x

t – vienintelis egzogeninis regresorius;

�t– baltasis triukðmas, turintis nuliná vidurká.

Anot C. W. J. Granger (1981), tam, kad lygtis turëtø prasmæ, ji turi bûti suderintataip, kad paaiðkinanèios deðinës pusës modeliavimas atgamintø pagrindines paaiš-kinamojo kintamojo savybes. Pavyzdþiui, jei y

t yra sezoninis kintamasis, tai ir x

t turi

bûti sezoninis, jei �t – baltasis triukðmas. Toliau plëtodamas ðià idëjà, C. W. J. Gran-

ger (1981) apibrëþë kintamojo integravimo eilës sàvokà. Jei kintamàjá zt, diferen-

cijuojant d kartø galima padaryti apytikriai stacionarø, jis vadinamas d eilësintegruotu arba I(d). Vadinasi, stacionarieji plaèiàja prasme atsitiktiniai dydþiai yraI(0). Daugelá makroekonominiø kintamøjø galima interpretuoti kaip I(1) kintamuo-sius: jei z

t ~ I(1), tai � z

t ~ I(0). Paþymëtina, kad dominuoja I(1) kintamieji, o ne I(0)

kintamieji; kintamøjø tiesinëje kombinacijoje pirmieji nustelbia pastaruosius.Pavyzdþiui, jei z

t ~ I(1) ir w

t ~ I(0), tai z

t + w

t ~ I(1).

Vël nagrinëkime (1) lygtá ir tarkime, kad ir xt ~ I(1), ir y

t ~ I(1). Tuomet ir

yt– �x

t�~ I(1). Taèiau yra viena esminë iðimtis. Jei �

t ~ I(0), tai y

t– �x

t�~ I(0), t. y.

tiesinë kombinacija yt– �x

t�turi tas paèias statistines savybes kaip ir I(0) kintamasis.

Tokia kombinacija yra vienintelë, taigi toks koeficientas � irgi – vienintelis*. Ðiuokonkreèiu atveju kintamieji x

t ir y

t vadinami kointegruotais. Kitaip tariant, jei I(1)

kintamøjø sistemos tiesinë kombinacija yra I(0), tai tie kintamieji vadinami ko-integruotais. Ði koncepcija, apraðyta C. W. J. Granger (1981), pasirodë esanti ypaèsvarbi nestacionariø laiko eiluèiø analizei. I(d) kintamøjø apibendrinimas, kai d nërasveikasis skaièius, yra galimas, tik ðiuo atveju tiesinë kintamøjø kombinacija turibûti I(d – d0), kai d0 > 0.

Kointegravimo svarba modeliuojant nestacionarias laiko eilutes iðryðkëjavadinamojoje Granger reprezentacijos teoremoje, kurià pirmà kartà suformulavoC. W. J. Granger ir A. A. Weiss (1983). Norëdami iliustruoti ðá rezultatà, nagrinëkimedviejø kintamøjø p eilës autoregresinæ sistemà:

,1

1

1

1

1 jjt

p

jjjt

p

jjt yxx εδγ ++=

−

=

−

=

∑∑

,2

1

2

1

2 jjt

p

jjjt

p

jjt yxy εδγ ++=

−

=

−

=

∑∑

kuriose: xt ir y

t – I(1) ir kointegruoti; �1t

ir �2t – baltieji triukšmai.Granger reprezentacijos teorema teigia, kad ðiuo atveju sistema gali bûti iðreikðta

taip:

,)(1

1

1

1

1

11111 t

p

j

p

jjtjjtjttt yxxyx ε∆δ∆γβα∆ +++−= ∑ ∑

−

=

−

=

−−−−

��

.)(2

1

1

1

1

22112 t

p

j

p

jjtjjtjttt yxxyy ε∆δ∆γβα∆ +++−= ∑ ∑

−

=

−

=

−−−−

��

(2)

Nors vienas ið parametrø �1 ar �2 nëra 0. Abi sistemos lygtys yra subalansuotos,t. y. kairë ir deðinë pusës yra tos paèios integravimo eilës, nes y

t–1 – �xt–1 ~ I(0).

Tarkime, kad yt – �x

t = 0 apraðo dinaminës pusiausvyros kintamøjø y ir x sàryðá.

Taigi yt–1 – �x

t–1 yra sistemos nuokrypio nuo pusiausvyros rodiklis. Koeficientai �1 ir�2 nusako nuokrypio nuo pusiausvyros rodiklio átakos stiprumà ir sakoma, kadsistema turi autokorekcinæ (error-correction) formà. Taigi sistema, apibûdinama ðiomisdviem lygtimis, nëra pusiausvyroje jokiu nustatytu laiko momentu, bet turi sukurtàtendencijà savaime derintis prie pusiausvyros.

Taigi ekonometrinis modelis negali bûti specifikuotas neþinant kintamøjøintegravimo eilës. Vienetinës ðaknies (nestacionarumo) hipoteziø testus iðplëtojo

*Vienatá galime árodyti taip.Tarkime, yra du kointegruo-jantys sàryðiai tarp I(1) kin-tamøjø xt ir yt: yt �� j x t +�� jt , j � 1, 2, �

1 ��

2.

Atimdami antràjà lygtá ið pir-mosios, gauname:(�

2 –��

1)

x

t ��

1t – �2t .

Kairë ðios lygybës pusë yraI(1), o deðinë pusë, kaip dviejøI(0) kintamøjø skirtumas, yraI(0). Tai yra prieštara, nebent�

1 =��

2 ir šiuo atveju �

1t = �2t .

89


W. A. Fuller (1976), D. A. Dickey ir W. A. Fuller (1979, 1981), P. C. B. Phillips irP. Perron (1988) bei kt.* Taikant ðiuos testus kiekvienai ið 1 pav. pavaizduotø laikoeiluèiø, nulinë hipotezë apie vienetinæ ðakná nëra atmetama. Taèiau vienetinë ðaknisatmetama ðiø eiluèiø pirmøjø skirtumø sekai. Vadinasi, laiko eilutës gali bûtinagrinëjamos kaip stochastinio I(1) kintamojo realizacijos.

Paþymëtina, kad tiesinës nestacionariø dydþiø kombinacijos ekonometriniølygèiø dinamikoje pasirodë dar prieð C. W. J. Granger darbà apie kointegravimà.A. W. Phillips (1957), kuris sugalvojo terminà autokorekcija, ir J. D. Sargan (1964)buvo pirmtakai. Gerai þinoma J. E. H. Davidson ir kt. (1978) vartojimo lygtis, arbavadinamasis DHSY modelis, taip pat populiari tarp makroekonomistø. Jø straipsnyje,remiantis ketvirtinëmis Jungtinës Karalystës makroekonominëmis laiko eilutëmis,dydþiø c

t – y

t pavëlinti skirtumai, kai c

t

yra trumpalaikio vartojimo prekiø indi-vidualaus suvartojimo logaritmas, o y

t – individualios pajamos, sudaro autokorekcijos

sudedamàsias dalis. Deja, ðie autoriai nenagrinëjo tokiø sudedamøjø daliø átraukimoá jø modelá statistiniø padariniø**.

1.2. Kointegravimas: vertinimas ir testavimas

Kointegravimo koncepcija praktiðkai nebûtø tapusi vertinga be statistinëskointegravimo testavimo ir tiesiniø sistemø su kointegravimu parametrø vertinimoteorijos. C. W. J. Granger ir R. F. Engle (1987) iðplëtojo reikalingà technikà savoklasikiniame ir ypaè didelæ átakà turëjusiame straipsnyje, kuriame apþvelgiama irprapleèiama kointegruotø kintamøjø teorija. Straipsnyje, be kitø dalykø, yra irgrieþtas Granger reprezentacijos teoremos árodymas.

R. F. Engle ir C. W. J. Granger (1987) nagrinëjo nulinës hipotezës apiekointegracijos nebuvimà tarp keliø I(1) kintamøjø tikrinimo problemà. Statiniosàryðio tarp tø kintamøjø koeficientus jie vertino maþiausiø kvadratø metodu irliekanoms pritaikë gerai þinomus testus. Nulinës hipotezës apie vienetinæ ðaknáatmetimas bûtø kointegracijos poþymis. Straipsnyje buvo palyginti daugelio tokiøtestø rodikliai.

Neseniai tapo ámanoma patikrinti nulinæ hipotezæ, kad ávertintas tiesinis I(1)kintamøjø sàryðis yra kointegravimo sàryðis (regresijos paklaidos yra stacionarios),prieð kointegravimo nebuvimo alternatyvà (paklaidos yra nestacionarios). Tokiøhipoteziø testus iðplëtojo Y. Shin (1994), taip pat P. Saikkonen ir R. Luukkonen(1993), Z. Xiao ir P. C. B. Phillips (2002) bei kt.

Kitas fundamentalus R. F. Engle ir C. W. J. Granger (1987) ánaðas yra jøiðplëtotas vektoriniø autoregresiniø (VAR) modeliø su kointegracija dviejø pakopøávertinimo metodas. Toliau nagrinësime ðá p eilës VAR modelá:

( ),...,,1∆∆1

1

1– ∑−

=

−=++′=

p

jtjtjtt Ttεβα xΓxx (3)

kuriame: xt – I(1) kintamøjø n × 1 vektorius; βα ′– tokia n × n matrica, kad

matricos ir turi rangà r ; Ã j (j = 1, …, p – 1) – n × n parametrø matricos;� –n × 1 baltojo triukðmo vektorius su teigiamai apibrëþta kovariacine matrica.

Jei 0 < r < n, tai vektoriaus xt komponentës yra kointegruoti kintamieji su

kointegraciniais sàryðiais �xt. J. H. Stock (1987) árodë, kad prie tam tikrø re-

guliarumo sàlygø parametro maþiausiø kvadratø ávertinys yra suderintas ir di-deliu greièiu T –1 (T – yra stebëjimø skaièius) konverguoja prie tikrosios reikðmës.Dël ðios prieþasties vadinamas supersuderintu. Remdamiesi ðiuo rezultatu,C. W. J. Granger ir R. F. Engle árodë, kad kitø parametrø ir Ã j (j = 1, …, p – 1)didþiausio tikëtinumo áverèiai, gauti pakeitus á , turi tà patá asimptotiná skirstinákaip ir ávertis, gautas su tikràja reikšme.

*Diferencijuojant kintamàjásu vienetine ðaknimi, vienetinëðaknis panaikinama.**Diskusija apie DHSY mo-delá, atliekant kointegravimoanalizæ, pateikta D. F. Hendryir kt. (1990) darbe.

90


Taigi, jei vektoriaus x komponentës yra kointegruoti kintamieji, tai (3) lygtiesparametrai gali bûti ávertinti dviem pakopomis: pradedama vertinimu arba, tiks-liau – kointegravimo erdvës ( pastovaus daugiklio tikslumu), taikant kurià norsmaþiausiø kvadratø metodo formà. Toliau, teigiant, kad gautas ávertis yra fiksuotas,kiti parametrai vertinami didþiausio tikëtinumo metodu. Parametrø ir Ã j (j = 1,…, p – 1) ávertiniai yra suderinti ir asimptotiðkai normalûs. Hipotezës apie ðiuosparametrus ir jø reikðmes gali bûti patikrintos taikant standartines statistiniø iðvadøprocedûras.

R. F. Engle ir C. W. J. Granger (1987) rezultatai „atvërë vartus“ kointegruotøkintamøjø teorijos taikymui. Viena vertus, jie iðpopuliarino C. A. Sims (1980)iðplëtotus VAR modelius, pasiûlydami alternatyvà simultaniniø lygèiø modeliams.C. A. Sims pabrëþë neapribotø VAR modeliø taikymà ekonominiams sàryðiams tiksu bûtinomis prielaidomis modeliuoti. Kita vertus, kointegruotas VAR modelis daþnaiyra pagrástas ilgalaikiðkumo idëja arba slenkanèia pusiausvyra, kurià apibrëþiaekonomikos teorija ir (3) formulëje apibûdina vektorius �x

t–1. Trumpalaikëdinamika, apraðoma parametrø matrica Ã j (j = 1, …, p – 1), neturi apribojimø. Jøneturi ir prisiderinimo matrica , kuri apraðo nesanèios ilgalaikës pusiausvyros átakàprisiderinimo prie judëjimo pusiausvyros link procesui.

R. F. Engle ir C. W. J. Granger dviejø þingsniø metodas buvo lemiamas lûþismodeliuojant ekonominius sàryðius su nestacionariomis kointegruotomis laikoeilutëmis. Be kitø rezultatø, ypaè paminëtini S. Johansen (1988, 1991) darbai.S. Johansen, taikydamas redukuotà ranginæ regresijà*, nustatë parametro arba,tiksliau – erdvës, generuotos r kointegruotø vektoriø (3) lygtyje, didþiausio tikëtinumoávertá. Jis taip pat apraðë nuosekliuosius testus, skirtus kointegruotø vektoriø skaièiuinustatyti. S. Johansen metodus galima vertinti kaip antrosios kartos bûdus ta prasme,kad jie tiesiogiai pagrásti didþiausio tikëtinumo ávertiniais vietoj ið dalies taikomomaþiausiø kvadratø metodo.

1.3. Kointegravimo apibendrinimas

C. W. J. Granger bei R. F. Engle su ávairiais bendraautoriais iðplëtojo sezoniðkaiintegruotø dydþiø kointegravimo idëjà. Taikomuosiuose darbuose laiko eilutæ supastoviu grieþtu sezoniniu kitimu áprasta pertvarkyti sezoniškai diferencijuojant. Pavyz-dþiui, jei x

t yra nestacionari ketvirtinë eilutë, jos sezoninis skirtumas �4 x

t = x

t – x

t–4

gali bûti I(0). Jei dvi nestacionarios sezoninës eilutës xt ir y

t gali bûti pertvarkytos á

I(0) sezoniniu diferencijavimu ir egzistuoja tiesinë kombinacija yt – � x

t ~ I(0), tuomet

tos dvi eilutës vadinamos sezoniðkai kointegruotomis. Tokias laiko eilutes pirmiejianalizavo S. Hylleberg ir kt. (1990).

C. W. J. Granger ir T.-H. Lee (1990) apibrëþë multikointegravimo sàvokà, kurigali bûti vertinga modeliuojant akcijø srautus. Tarkime x

t ir y

t yra kointegruoti.

Tuomet komuliatyvioji nuokrypiø nuo sàryðio yt – � x

t = 0 suma bûtinai yra I(1)

kintamasis. Jei tas naujasis kintamasis yra kointegruotas su vienu ið pradiniøkointegruotø dydþiø x

t ar y

t, tai pastarieji vadinami multikointegruotais**.

Daugeliu atvejø nukrypimai nuo pusiausvyros aiðkinami sandoriø ir informacijosiðlaidomis. C. W. J. Granger ir N. R. Swanson (1996) parodë, kaip tokios iðlaidosgali bûti átraukiamos á modelius su kointegruotais kintamaisiais ir kaip jie duodapradþià netiesiniams autokorekcijos modeliams. Prie pusiausvyros daþniausiaiprisiderinama labai sudëtingai ir neretai tai ámanoma tik tuo atveju, kai nuokrypisnuo pusiausvyros ar pageidaujamos reikðmës perþengia tam tikrà barjerinæ ribà.C. W. J. Granger ir N. R. Swanson parodë, kaip toks mechanizmas, pavyzdþiui,analizuojamas atsargø sureguliavimo (S, s) modeliuose, gali bûti átrauktas á modeliussu kointegruotais kintamaisiais. Statistinë teorija tokio tipo kointegravimui tirtipirmiausia buvo sukurta N. Balke ir T. B. Fomby (1997), kurie já pavadino slenkstiniu

*Praktikoje, vektorius yranormuotas fiksuojant vienà iðjo elementø, taigi tiek jo áver-tis, tiek ávertis yra viena-reikšmiškai nusakyti.**Pavyzdþiui, gamyba ir par-davimas kokioje nors pramo-nës ðakoje gali bûti I(1) irkointegruoti, tuo atveju jøskirtumas – atsargø pasikei-timas – yra I(0) kintamasis.Tuomet atsargø lygis (pradinislygis plius sukauptas pasi-keitimas) bus I(1). Jei sie-kiamà atsargø lygá apibrëþ-tume kaip fiksuotà pardavimodalá, tai atsargos ir pardavimasbûtø kointegruoti. Tai savoruoþtu padaro pradinius kin-tamuosius – pardavimà ir ga-mybà – multikointegruotus.

91


kointegravimu. Apie naujausius šios krypties atradimus skaitykite M. C. Lo ir E. Zivot(2001) straipsnyje.

1.4. Taikymø kryptys

Kointegravimas tapo bendru ekonometrijos árankiu daugelyje tø empirinësanalizës srièiø, kur ilgalaikiai sàryðiai daro átakà ðiuo metu stebimoms reikðmëms:dabartiná vartojimà riboja tikëtinos bûsimos pajamos, dabartinæ ilgalaikæ palûkanønormà nusako tikëtina trumpalaikë palûkanø norma ir t. t. Ðiose srityse galimaskointegravimo sàryðis gali bûti nustatytas ið ekonomikos teorijos, testuotas ir (jeiiðties kointegracija yra) átrauktas á ekonometriná modelá.

Turto–vartojimo sàryðis yra pavyzdys, kai sàveika tarp teorijos ir praktikos keièiamûsø poþiûrá á realøjá pasaulá. Tradiciniu daugelyje vadovëliø iðdëstytu poþiûriu turtopadidëjimas didina vartojimà apytikriai tokia proporcija, kokia yra palûkanø norma.Ðis dydis taip pat galëtø pasirodyti reikðmingas vadinamojo vartojimo ir taupymogyvenimo ciklo modelio iðraiðkoje. Jei tai bûtø teisinga, svyravimai birþose irgyvenamøjø namø rinkose turëtø labai didelæ átakà vartojimui.

Tradicinis poþiûris, deja, pagrástas ekonometrine analize ir generuotais modeliais,kurie nepakankamai atskiria momentiná ir pastovø turto pasikeitimà. Visiðkai nesenasM. Lettau ir S. Ludvigson (2003) darbas rodo, kad vartojimas, darbo pajamos irturtas turi bûti kointegruoti, jei namø ûkiø vartojimo elgsenoje atsiranda laikiniapribojimai. Nustatæ, kad ðis teorinis pradþios taðkas suderintas su jø duomenimis,autoriai ávertino autokorekcijos modelá, kuris davë du rezultatus. Pirmasis – didþiojiturto pasikeitimo dalis yra laikina ir daugiausia susijusi su vertybiniø popieriøpokyèiais rinkoje, antrasis – tokie laikini pokyèiai turi maþà átakà vartojimui tiektrumpu, tiek ir ilgu laikotarpiu.

Prie gerai þinomø kointegravimo tyrimø, pagrástø ekonomikos teorija, priskiriamiðie darbai: J. Y. Campbell ir R. J. Shiller (1987) (nagrinëjami vertybiniø popieriøkainø burbulai); J. Y. Campbell ir R. J. Shiller (1988), J. Y. Cochrane (1994),M. Lettau ir S. Ludvigson (2001) (tiriamas akcijø kainø prognozuojamumas);J. Y. Campbell (1987) (tikrinama hipotezë, kad vartojimà nusako pastovios pajamos);R. G. King ir kt. (1991) (nagrinëjamas pastovaus naðumo ðokø vaidmuo pokarineiJAV ekonomikai); S. Johansen ir K. Juselius (1990) (tiriama pinigø paklausa);A. D. Hall ir kt. (1992) (nagrinëjama palûkanø normos dinaminë struktûra).

Nagrinëjant valiutos kursus ir kainas, labai paprasta parodyti, kaip kointegra-vimas gali transformuoti empirinæ analizæ, atverdamas naujø bûdø senø problemøtyrimams. Pamatinis teiginys, kurá pakankamai seniai suformulavo G. Cassel (1922),yra tas, jog valiutos kursai susireguliuoja, kad palaikytø perkamosios galios paritetà(PGP): gërybiø krepðelio kaina, iðreikðta bendràja valiuta, turi bûti vienoda visoseðalyse (literatûros apþvalga apie PGP, valiutos kursus ir kainas pateikta K. A. Frootir K. Rogoff (1995) bei L. Sarno ir M. P. Taylor (2002) darbuose). Nagrinëdami dviðalis, turime tokià iðraiðkà:

(4)

kur: St – vidaus ir uþsienio valiutø keitimo kursas; P

t ir �

tP – vidaus ir uþsienio

prekiø kainø lygiai vidaus valiuta. Kitaip tariant, realusis valiutos kursas tttPPS /

�

yra konstanta, lygi 1.Pirmiausia toks teiginys atrodytø visiðkai prieðingas stebimam dideliam valiutos

kursø svyravimui ir sàlyginiam infliacijos lygio pastovumui (þr. laiko eilutes 1 pav.).Kaip matyti ið paveikslo, aðtuntàjá deðimtmetá, prieðingai paprastajai PGP hipotezei,Japonijos jena sustiprëjo JAV dolerio atþvilgiu, o Japonijoje infliacijos lygis buvodidesnis negu JAV. Po to atlikti maþiau prieðtaringi tyrimai, bet valiutos kursø svyra-vimo ir pastovaus santykiniø kainø lygio sàryðis vis tik atrodë pakankamai silpnas.

92


Tai, kad nëra aiðkios vienareikðmës valiutos kurso ir santykiniø kainø atitin-kamybës, neturëtø stebinti. Pirmiausia, trumpu laikotarpiu valiutos kursà labiausiaiveikia lûkesèiai ir kapitalo judëjimas. Taigi reikia laiko, kad prekyba suglodintønuokrypius nuo PGP; geriausiu atveju PGP yra ilgo laikotarpio sàryðis. Antra, nuo-krypiai nuo PGP galëtø bûti paaiðkinti tuo, kad kai kurios prekës yra nepaklausios,ir joks akivaizdus mechanizmas nepaðalintø tokiø prekiø kainø skirtumo. Treèia,sandorio ir pardavimo kainos numato, kad kainø skirtumas, kol jis iðnyks prekiaujant,bûtø tam tikro minimalaus dydþio.

Ið pradþiø PGP hipotezës empirinë analizë buvo grindþiama G. Cassel (1922)paprastàja formuluote. PGP buvo tikrinama taikant toká regresiná modelá:

,)(tttt

ppbas ε+−+=� (5)

kur: st – vidaus ir uþsienio valiutø keitimo kurso logaritmas; p

t ir �

tp – atitinkamai

vidaus ir uþsienio prekiø kainø lygiø logaritmai.Kaip matyti ið (4) lygties, nulinë PGP hipotezë ekvivalenti tam, kad (5) lygtyje

a = 0 ir b = 1. J. Frenkel (1978, 1981) ir daugelis kitø vertino ðios formos lygtá.Tuose straipsniuose (5) lygtis buvo ávertinta maþiausiø kvadratø metodu ir hipotezëb = 1 patikrinta taikant standartinæ t-statistikà. Daþnai pasitaikantis rezultatas buvogrieþtas PGP hipotezës atmetimas, bent jau industriniø ðaliø su nepastoviais valiutoskurso duomenimis po Breton Vudso (Bretton Woods) laikotarpio. Dar daugiau,atmetimas nerodë jokios aiðkios struktûros, b ávertiniai skyrësi nuo 1 tiek ið virðaus,tiek ir ið apaèios. Deja, taikyti testai yra su ydomis, nes juose neatsiþvelgta á valiutoskurso ir kainø lygio ateities nestacionarumà, t. y. galimybes, kad �

t ~ I(1). Be to, (5)

tipo statinë lygtis negali atskirti (galimai stipraus) trumpalaikio nuokrypio nuo PGPir valiutos kurso prisiderinimo prie pusiausvyros ilgu laikotarpiu.

Kituose tyrimuose PGP traktuotinas kaip ilgalaikis sàryðis, ið kurio iðplaukia,kad nuokrypis nuo PGP turi bûti stacionarus procesas. Tai prilygo prielaidai a = 0 irb = 0 pagal (5) formulæ ir patikrinimui, ar liekana, t. y. nuokrypis nuo fiksuotorealiojo valiutos kurso, yra I(0) procesas. Kai toks testas buvo pritaikytas po BretonVudso laikotarpio laiko eilutei, jis neatmetë vienetinës ðaknies hipotezës (þr. Meese,Rogoff, 1988), ir tai nepagrindë PGP netgi kaip ilgalaikio sàryðio. Literatûroje buvosiûlomi paaiðkinimai, kad laiko eilutë nebuvo pakankamai ilga tam, kad uþtikrintøpakankamà vienetinës ðaknies testo galià. Kai laiko eilutë buvo iðplësta ðimtmeèiuiar daugiau, vienetinës ðaknies hipotezë vis dëlto atmesta (þr. Frankel, 1986).

Jei PGP teisinga ilgu laikotarpiu, kaip greitai prisiderinama prie jo? H. Edison(1987) ðá klausimà tyrinëjo autokorekcijos struktûrà pritaikydamas eilutei, apimanèiaiðimtmetá ar daugiau. Tam reikia ávertinti lygtá:

,)()(11111 ttttttt

ppgppsba∆s ε∆∆ +−++−+=−−−−−

�� (6)

kur: b – konvergavimo prie PGP greitis.Tipinis rezultatas – nuokrypis nuo PGP sumaþëja perpus, t. y. nuo 3 iki 5 metø.

Tuomet trumpo laikotarpio dinaminë valiutos kurso elgsena gali bûti paaiðkinta kaiptrumpalaikiø ðokø (sukrëtimø) ir nuoseklaus prisiderinimo PGP link kombinacija.

Ðie antrosios bangos tyrimai darë prielaidà, kad egzistuoja kointegracinis sàryðistarp s

t, p

t ir �

tp su kointegravimo vektoriumi = (1, –1, 1), gautu ið silpnosios PGP

formos. Beje, atrodo pakankamai átikinama tarti, kad realusis valiutos kursas turitrendà, kuris atsiranda dël skirtingø santykiniø kainø trendø (vadinamojo Balassa–Samuelson efekto) atvirame ir uþdarame uþsienio konkurencijai ûkio sektoriuose*.Atitinkamas kointegravimo vektorius šioje situacijoje yra = (1, – �, � �), kai para-metrai � ir � �, jei jie skiriasi nuo 1, gali rodyti skirtingus atviro ir uþdaro ûkio sektoriøkainø trendus**. Norëdami išnagrinëti šá apibendrinimà, pradëkime nuo tokiosregresijos:

*Remiantis Balassa–Samuel-son efektu, neturtingø (skur-dþiø) ðaliø ekonomika kylagreièiau negu turtingø ðaliø irvartotojø kainos neturtingoseðalyse didëja greièiau neguturtingose. Prieþastis ta, kadgreitesná neturtingø ðaliø eko-nomikos augimà pirmiausialemia kylantis naðumas atvi-rame uþsienio konkurencijaiûkio sektoriuje, kur kainosturi tendencijà bûti vienodosvisose ðalyse. Spartus naðumokilimas taip pat lemia didesnádarbo uþmokestá uþdarameuþsienio konkurencijai ûkiosektoriuje; taèiau ðiame sek-toriuje, tikëtina, naðumas galikilti maþdaug tuo paèiu tem-pu visose ðalyse. Taigi, padi-dëjus darbo uþmokesèiui, di-dëja kainos neturtingø ðaliøuþdarame ûkio sektoriuje. Sa-vo ruoþtu ðios kainos didina tøðaliø bendro vartotojø kainøindekso didëjimo tempà.**Tam reikia prielaidos, kadkainø lygis �

tp bûtø egzoge-

ninis ta prasme, kad ið kitødviejø kintamøjø nëra gráþ-tamojo ryðio jo link. Tai su-siaurina tyrimà iki sistemos sudviem lygtimis, todël gali bûtitik vienas kointegruojantisvektorius.

93


.

ttttppas εµµ +−+=

�� (7)

Po to patikrinkime paklaidø nestacionarumà (arba stacionarumà). Stacionariospaklaidos palaikytø bendresnæ PGP versijà. Toliau, jei paklaidos pasirodytø sta-cionarios, visa dinaminë sistema galëtø bûti ávertinta kaip siûloma R. F. Engle irC. W. J. Granger (1987). Ši procedûra leidþia suformuluoti intuityvø atsakymà áklausimà, ar (ir kaip) valiutø kursas svyruoja apie PGP pusiausvyrà.

Pradedant praëjusio amþiaus devintojo dešimtmeèio pabaiga, daugybë treèiosiosbangos tyrimø buvo vykdomi vadovaujantis šiuo poþiûriu. Bendras atradimas yratai, kad nulinë hipotezë apie kointegravimo nebuvimà atmetama daþniau nei nulinëhipotezë apie �

tttpps −− vienetinæ šakná. Rezultatai vis dar jautrûs stebëjimø

laikotarpiui: po Breton Vudso laikotarpio duomenys leidþia gauti � ir � � áverèius,tolimus nuo 1, o viso XX a. duomenys – reikšmes, artimesnes 1.

Trys laiko eilutës 1 pav. tinka tam, kad parodytø, kaip PGP hipotezës galiojimasgali bûti tiriamas atliekant kointegravimo analizæ. Ávertinæ (7) lygties parametrus,turime:

.ˆ07,144,063,6tttt

pps ε+−+=� (8)

Pagal (8) formulæ ávertintø liekanø kreivë atvaizduota 3 pav.

3 pav. (8) lygties regresijos liekanos

Kreivës svyravimas apie 0 rodo stacionarumà, bet ryðkus pastovumas leidþiateigti prieðingai. Reikia kruopðèiai perþiûrëti.

S. E. Culver ir D. H. Papell (1999), taikydami Y. Shin (1994) testà, tikrino PGPhipotezæ daugeliui ðaliø, iðkeldami nulinæ kointegracijos hipotezæ prieð nestaciona-rumo alternatyvà. Taikant jø metodà, kointegracija neatmetama su 5 procentø reikð-mingumo lygmeniu. Jei padarysime iðvadà, kad s

t, p

t ir �

tp gali bûti kointegruoti, tai

ávertintas (7) lygties parametrø vektorius )07,1 ;44,0 ;1(ˆ−=β yra kointegruojantis.

Jis nëra artimas (1, –1, 1), kaip matyti pagal supaprastintà PGP versijà, taèiau1975–2003 m. Japonijos ir JAV valiutos kursø duomenys bendrà PGP versijà nelabaipagrindþia*.

2. Kintamumo modeliavimas

Turto gràþø kintamumo modeliavimas domina daugelá finansø ekonomistø.Portfelio parinkimo teorija siekia nusakyti optimalius portfelius kaip gràþø dispersijøir kovariacijø funkcijas. Kapitalo rinkos vertinimo modelis (Capital Asset PricingModel – CAPM) ir kiti turto kainodaros modeliai rodo, kaip investuotojams atly-ginama, jiems prisiimant sisteminæ rizikà, t. y. rizikà, susijusià su jø paèiø portfelio

*Deja, rezultatai yra jautrûsnulinës hipotezës parinkimui.Dickey–Fuller testas hipotezeiapie vienetinæ ðakná (Dickey,Fuller, 1981) t-reikðmæ duodanuo –2,3 iki –2,5, kuri nërapakankamai maþa, kad nulinëhipotezë bûtø atmesta su 0,1reikðmingumo lygmeniu (kri-tinë reikðmë ðiam lygmeniuiyra –2,558).

94


ir rinkos portfelio (ar kokiais nors kitais nediversifikuojamais veiksniais) kovariacija.Pasirinkimo sandoriø ávertinimo formulës pateikia pasirinkimo sandoriø ir kitøiðvestiniø finansiniø priemoniø kainas esamo finansinio turto kintamumo terminais.Bankai ir kitos finansinës institucijos vertinamo finansinio turto rizikai apraðyti taikovadinamuosius rizikos vertës (Value-at-Risk – VaR) modelius. Turint galvoje ðiuostikslus, kintamumo arba, kitais þodþiais, finansinio turto kovariacinës struktûrosmodeliavimas yra svarbiausias dalykas.

Finansø ekonomistams jau seniai buvo þinoma, kad kintamumas turi tendencijàgrupuotis, ir daugelio finansinio turto gràþø marginalieji skirstiniai yra leptokurtiðki,reiðkiantys, jog jie turi sunkesnes uodegas nei normalusis skirstinys su tokiais paèiaisvidurkiu ir dispersija. Nors ðis gràþø grupavimasis buvo þinomas daugeliui tyrëjø,visgi gràþos daþniausiai buvo modeliuojamos kaip nepriklausomi ir vienodaipasiskirstæ atsitiktiniai dydþiai. Pavyzdþiai galëtø bûti B. Mandelbrot (1963) beiB. Mandelbrot ir H. Taylor (1967) darbai, kuriuose autoriai gràþø pasiskirstymuiapibûdinti taikë vadinamuosius stabiliuosius Pareto skirstinius*. Tad R. F. Englepasiûlytas priklausanèio nuo laiko kintamumo modelis, dar vadinamas autoregresiniusàlyginio heteroskedastiðkumo (ARCH) modeliu, buvo reikðmingas laimëjimas.

Ðá skyriø pradësime apraðydami R. F. Engle ARCH modelá, kai kuriuos modelioapibendrinimus ir aptarsime vienà pritaikymo atvejá. Po to apraðysime ARCH-vidurkyje (ARCH-M) modelá, kurio sàlyginiai pirmieji momentai (daþniausiai – vidu-tinës gràþos) sistemiðkai susijæ su modeliuojamais taikant ARCH sàlyginiais ant-raisiais momentais. Taip pat aptarsime daugiamaèius ARCH modeliø apibendrinimusir naujas ARCH parametrizacijas. Baigsime skyriø rizikos vertës metodo analize,kur ARCH modeliams tenka iðskirtinë vieta.

2.1. Autoregresinis sàlyginis heteroskedastiðkumas

Paprastai laiko eiluèiø ekonometrijoje modeliuotojai parametrizuoja atsitiktiniodydþio ar dydþiø vektoriaus sàlyginá vidurká. Tarkime, t laiko momentu stebimeatsitiktiná vektoriø (y

t| )′′

tx , kuriame y

t yra skaliaras, o x

t – kintamøjø vektorius, kurio

elementai gali bûti pavëlintos yt reikðmës. Ið èia iðplaukia toks kintamojo y

t

prognozavimo modelis:

yt = E{y

t|x

t}+�

t. (9)

Èia sàlyginis vidurkis E{yt|x

t} daþniausiai turi kurià nors parametrinæ formà**,

E{�t|x

t} = E�

t = 0 ir E�

t�

s = 0 su t � s, t. y. {�

t} yra nekoreliuotø atsitiktiniø dydþiø

su nuliniu vidurkiu seka. Vertinant vidurkio E{yt|x

t} parametrus, paprastai laikoma,

kad paklaidø �t besàlyginë dispersija yra konstanta arba jos kitimo laiko atþvilgiu

pobûdis nenusakytas. (Ið tikrøjø, kalbant apie kointegruotø sistemø áverèius, laikoma,kad dispersijos ir kovariacijos yra pastovios.)

R. F. Engle (1982) pasiûlë alternatyvià prielaidà, kad paklaidø sàlyginë dispersijakinta laiko atþvilgiu, nors paklaidø besàlyginë dispersija (jei egzistuoja) yra konstanta.Ði revoliucinë mintis leido paaiðkinti sisteminius dispersijos judëjimo laiko atþvilgiubruoþus, ir a fortiori ávertinti sàlyginës dispersijos parametrus kartu su sàlyginiovidurkio parametrais. Panaðiø idëjø ankstesnëje literatûroje nëra buvæ.

R. F. Engle taip parametrizavo (9) modelyje esanèio dydþio �t sàlyginæ dispersijà,

kad dideles arba maþas paklaidas �t sektø vël didelës paklaidos su bet kuriuo þenklu

arba atitinkamai maþos paklaidos su bet kuriuo þenklu. Formaliau – jis tarë, kad �t

gali bûti uþraðytas kaip sandauga �t = z

th

t

½, èia {zt} yra nepriklausomø vienodai

pasiskirsèiusiø atsitiktiniø dydþiø su nuliniu vidurkiu ir vienetine dispersija seka ir

.F|D 2

1

0tt jt

q

jjth −

=

∑+=)(= εααε (10)

*Daugiau apie stabiliuosiusPareto skirstinius ir jø taikymàfinansø ekonomikoje bei eko-nometrijoje skaitykite S. Rachevir S. Mittnik (2000).**Alternatyviai sàlyginá vidur-ká galima laikyti kuria norsneparametrine dydþio x

t funk-

cija; tuomet svarbu ávertintiðià funkcinæ formà.

95


(10) formulëje �t = yt – E{yt|xt}, o informacinë aibë Ft = {�t– j : j � 1},��0 > 0 ir�j � 0, j = 1,..., q. Lygtis nusako R. F. Engle (1982) sukurtà ARCH modelá, kuriamesàlyginë dispersija yra praëjusiø paklaidø kvadratø funkcija. Ðiame klasikiniamestraipsnyje R. F. Engle pateikë ARCH modeliø vertinimo teorijà, nusakë didþiausiotikëtinumo áverèiø suderinamumo bei asimptotinio normalumo sàlygas ir pasiûlëLagrange daugikliø testà hipotezei apie ne-ARCH paklaidas �t tikrinti.

2.2. Praplëtimas ir taikymas

Praktikoje pakankamai aukðto daþnio, pavyzdþiui, dieniniø ar savaitiniø ste-bëjimø, gràþø kvadratø � t

2 autokoreliacinë funkcija gæsta lëtai. Siekiant tapaèiaiapibûdinti ðá stilizuotà faktà, reikia ARCH modelio su dideliu lagu q. Taèiau jei (10)lygties deðinioji pusë yra modifikuota pridedant pavëlintas sàlyginës dispersijos ht

reikðmes (daþniausiai pakanka vienos tokios reikðmës), gautas modelis gali bûtisudarytas jau su maþesniu parametrø skaièiumi, kuriame paklaidø � t

2 autokorelia-cinë funkcija vëlgi gæsta lëtai. Greitai, paskelbus straipsná apie ARCH, R. F. Englestudentas Tim Bollerslev sukûrë toká modelá ir pavadino já apibendrintu ARCH(Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity – GARCH) modeliu. Ðismodelis turi toká pavidalà (Bollerslev, 1986):

.

1

2

1

0 jt

p

jjjt

q

jjt hh

−

=

−

=

∑∑ ++= βεαα (11)

Pirmos eilës (p = q = 1) GARCH modelis, kurá nepriklausomai nuo T. Bollerslevpasiûlë ir S. J. Taylor (1986), tapo paèiu populiariausiu praktikoje ARCH modeliu.Lyginant su pamatiniu R. F. Engle ARCH modeliu, GARCH modelis yra vertingaskaip techninë naujovë, leidþianti taupesnæ specifikacijà: pirmos eilës GARCH mode-lis turi tik tris parametrus, taèiau konceptualiai jis neduoda nieko naujo.

R. F. Engle (1982) pasiûlytos taikymo sritys apëmë makroekonominius duo-menis, pirmiausia infliacijos lygá, taèiau greitai jis suprato, kad jo ARCH modelistaip pat vertingas ir finansø ekonomikoje. Ið tikrøjø jau B. Mandelbrot (1963),nagrinëdamas kainø pokyèiø laiko eilutæ, buvo pabrëþæs, kad „<...>didelius pokyèiuslydi dideli bet kurio þenklo pokyèiai, o maþus pokyèius daþniausiai lydi maþipokyèiai<...>“, bet jis nemodeliavo gràþø kaip priklausanèiø nuo laiko dydþiø. Jeilaikytume, kad sàlyginis vidurkis yra pastovus, tai ARCH modelis galëtø bûti taikomasgràþø sekai, nepasiþyminèiai tiesiniu priklausomumu, taèiau pasiþyminèiai kintamumoklasterizacija, apibûdinti. Tinkamas ir leptokurtiðkiems stebëjimams modeliuoti,ARCH modelis gali bûti pritaikytas kintamumui prognozuoti. Tai savo ruoþtu yraesminis dalykas investuotojams, norintiems apriboti savo portfeliø rizikà.

96


4 pav. Standard & Poor’s indekso gràþø duomenys

Pastaba: virðutinë paveikslo dalis: Standard & Poor’s 500 akcijø indekso kasdienës logaritminësgràþos (nuo 1995 m. geguþës 16 d. iki 2003 m. balandþio 29 d.). Apatinë paveikslo dalis: to patiesindekso ((12) lygtis) GARCH(1,1) modeliu ávertinta sàlyginë dispersija.

Virðutinë 4 pav. dalis vaizduoja Standard & Poor’s (S&P) 500 akcijø indeksokasdienes logaritmines gràþas (kasdieniø uþdarymo kainø logaritmø skirtumus) nuo1995 m. geguþës 16 d. iki 2003 m. balandþio 29 d., t. y. ið viso 2 000 stebëjimø.Didelio kintamumo laikotarpiai faktiðkai kaitaliojasi su palyginti ramiais laikotar-piais, kaip ir kasdieniø valiutø keitimo kursø atveju (þr. 2 pav.).

Priderinus pirmos eilës GARCH modelá prie 4 pav. pavaizduotø duomenø irpadarius prielaidà, kad paklaidos z

t turi normaløjá skirstiná (tuomet �

t

turi sàlyginánormaløjá skirstiná), gauname tokià lygtá:

.899,0091,01021

2

1

6

−−

−

++×=ttthh ε (12)

Kaip daþnai pasitaiko praktikoje, suma11ˆˆ βα + yra artima 1. Sàlyga 1ˆˆ

11<+ βα

yra bûtina ir pakankama tam, kad pirmos eilës GARCH procesas bûtø stacionarusplaèiàja prasme: (12) formule ávertintas modelis tenkina pastaràjà sàlygà. Koeficientasprie pavëlintos sàlyginës dispersijos h

t–1 yra 0,9, reiðkiantis, kad 90 procentø

dispersijos ðoko lieka kitai dienai, o ji sumaþëja dvigubai po 6 dienø. Apatinë 4 pav.dalis rodo ávertintà h

t sàlyginæ dispersijà t laiko momento atþvilgiu. Grafiko smaigaliai

turi santykinai lëtai besileidþianèià deðinæ pusæ, o tai rodo kintamumo nuolatinumà.Kitas paþymëtinas faktas yra tas, kad turbulentiðkø laikotarpiø sàlyginë dispersijayra kelis kartus didesnë uþ jos baziná lygá. Tai reiðkia, kad investuotojams, prog-nozuojantiems akcijø indekso ar portfelio kintamumà, turbulencija turës praktinæátakà. Paskutiniai darbai apie kintamumo prognozavimà apþvelgti S.-H. Poon irC. W. J. Granger (2003) straipsnyje.

97


Tai, kas parametrizuota (10) ir (11) formulëse, yra sàlyginë dispersi ja.G. W. Schwert (1990), kaip alternatyvà, pasiûlë parametrizuoti sàlyginá standartinánuokrypá h

t

1/2. Tai svarbu prognozuojant su GARCH modeliais. Jei prognozuotojonuostoliø funkcija vietoj bendrai priimtos ðaknies ið vidutinës kvadratinës paklaidosgrindþiama vidutine absoliutine paklaida, tai natûralu taikyti modelá parametri-zuojantá sàlyginá standartiná nuokrypá, o ne sàlyginæ dispersijà. Bendresnis modelisapimtø abi ðias alternatyvas kaip atskirus atvejus. Toks modelis, vadinamasasimetriniu laipsniniu GARCH (Asymmetric Power GARCH) modeliu, buvo sukurtasZ. Ding ir kt. (1993). Jie parametrizavo bendrà sàlyginá momentà δ

th su � > 0.

Parametrizavæ laipsniná GARCH(1,1) modelá S&P 500 kasdieniø gràþø sekai,Z. Ding ir kt. (1993) gavo 43,1ˆ

=δ ir abi hipotezes, kad � = 1 ir � = 1/2, atmetë.Nepaisant to, GARCH(1,1) modelis yra populiariausias.

2.3. ARCH-vidurkyje ir daugiamatis ARCH-vidurkyje

ARCH ir GARCH modeliai yra veiksmingos priemonës statistiniø skirstiniøsàlyginiams antriesiems momentams, t. y. dispersijoms ir kovariacijoms, vertinti.Didelë finansø teorijos dalis skirta sàryðiui tarp finansiniø gràþø antrøjø ir pirmøjømomentø (tikëtinø gràþø) nagrinëti. Pasirodo, norint apibûdinti ðá sàryðá, galimanesunkiai praplësti ARCH modelá. Apie toká modelá – pirmàjá R. F. Engle ARCHmodeliø pritaikymà finansuose – skaitykite R. F. Engle ir kt. (1987) straipsnyje.R. F. Engle ir jo bendraautoriai nagrinëjo dviejø finansiniø priemoniø ekonomikà,sudarytà ið rizikingos ir nerizikingos priemoniø. Jie darë prielaidà, kad rizika matuo-jama kaip rizikingo turto sàlyginës dispersijos funkcija. Todël nelinkusiø rizikuotirinkos dalyviø siûloma kaina kinta laiko atþvilgiu, o pusiausvyros kaina nusakovidurkio–dispersijos sàryðá. Tai leido suprasti, kad á sàlyginio vidurkio lygtá reikëtøátraukti monotoniðkai didëjanèià teigiamà sàlyginës dispersijos funkcijà. Paprasèiausiuatveju turime tokià iðraiðkà:

,)(ttt

hgr εβ ++=(13)

kur: rt – perteklinë turto gràþa t laiko momentu; g(h

t) – sàlyginës dispersijos h

t

funkcija (ht apibrëþta (10) lygybe).

R. F. Engle ir kt. (1987) parinko funkcijà, proporcingà �t sàlyginiam stan-

dartiniam nuokrypiui: g(ht) = �h

t

1/2, � > 0. (10) ir (13) lygtys kartu nusakoARCH-vidurkyje (ARCH-in-Mean) modelá. Autoriai ðá modelá pritaikë norëdamiapraðyti JAV 6 mën. iþdo vekseliø mënesines perteklines gràþas. Tardami, kadnerizikingas turtas yra 3 mën. iþdo vekselis, jie nustatë reikðmingà ávertintos rizikoskomponentës 2/1ˆˆ

thδ átakà perteklinei gràþai r

t .

Visgi finansø teorijoje finansinio turto kaina yra ne tik jo dispersijos funkcija,bet dar svarbiau – jo kovariacijos su rinkos portfeliu (CAPM) ir su kitais nediversifi-kuojamais rizikos veiksniais (arbitraþinio vertinimo teorija – Arbitrage Pricing Theory –APT). Norint pritaikyti turto kainodaros modelius, pagrástus ARCH-vidurkyje, rizi-kingoms finansinëms priemonëms vertinti, reikia modeliuoti sàlygines kovariacijas.Vietoj standartinio CAPM, kur rinkos dalyviai turi vienodus ir pastovius ateitiesvidurkiø ir dispersijø gràþø lûkesèius, ðis apibendrinimas nusako sàlyginá CAPM,kuriame tikëtinos gràþos yra kintanèiø laiko atþvilgiu kovariacijø su rinkos portfeliufunkcijos.

T. Bollerslev ir kt. (1988) sukûrë ir daugiamatá GARCH modelá. Tegul rt yra

turto pertekliniø gràþø t laiko momentu n × 1 vektorius ir tω – atitinkamø svoriø

vektorius. Pagal CAPM, pertekliniø gràþø sàlyginiø vidurkiø vektorius yra propor-cingas kovariacijai tarp turto ir rinkos portfelio, t. y.:

,1–ttt

ωµ Hδ= (14)

98


kur: Ht = [hijt] yra sàlyginiø kovariacijø n × n matrica; hijt – sàlyginë kovariacijatarp i-ojo ir j-ojo turto t laiko momentu; � – konstanta.

Remiantis (14) lygtimi, turto tikëtinos gràþos svyruoja laiko atþvilgiu kintantkovariacinei struktûrai. Kitais þodþiais, vadinamasis � koeficientas CAPM modelyjekinta laiko atþvilgiu. Matrica Ht taip parametrizuojama, kad kiekviena sàlyginëdispersija ir kovariacija turëtø savo lygtá. Kaip teigia T. Bollerslev ir kt. (1988), tainusako toká daugiamatá GARCH-vidurkyje modelá:

ttttεωα ++=

−10Hr δ

ir*

).vech()vech()(vech11

jt

p

jjjtjt

q

jjt −

=

−−

=

∑∑ +′+= HBAH εεα (15)

Turint tris finansines priemones (n = 3), (15) sistemà sudaro ðeðios lygtys, ið jøtrys atitinka sàlygines dispersijas, kitos trys – sàlygines kovariacijas. Siekdamisumaþinti (15) sistemos lygèiø parametrø skaièiø, T. Bollerslev ir kt. (1987) padarëpaprastesnes prielaidas, kad p = q = 1, o A1 ir B1 – diagonalinës matricos. Ðá modelájie pritaikë trijø finansiniø priemoniø ketvirtiniams duomenims: vekseliams (6 mën.iþdo vekseliams), obligacijoms (20 m. iþdo obligacijoms) ir akcijoms (NYSE indeksui,áskaitant dividendus). Be kita ko, rezultatai rodo, kad sàlyginës dispersijos irkovariacijos yra stipriai autoregresinës. Hipotezë, jog sàlyginiø kovariacijø matricaHt nepriklauso nuo t laiko momento, yra aiškiai atmetama, o tai leidþia manyti, kadCAPM modelio beta koeficientø vektorius turëtø bûti priklausomas nuo laiko.

Norëdamas suðvelninti praktines problemas, kylanèias vertinant daug parametrø,R. F. Engle (1987) pasiûlë modelá, kurá vëliau apraðë straipsnyje (Engle ir kt., 1990).Ðiame faktoriniame ARCH modelyje turto gràþø vektorius rt apibrëþiamas taip:

,tttεξ += Br (16)

kur: rt – faktorinë struktûra. (16) lygtyje B – vertinamø parametrø n × k matrica;

tξ – nestebimø faktoriø k × 1 vektorius, èia tikëtina, kad k gerokai maþesnis nei n.

Taigi daugelio finansiniø priemoniø gràþø dinaminë elgsena apibûdinama maþubendrø faktoriø kiekiu. Dabar tarkime, kad paklaidø

tε sàlyginiø kovariacijø matrica

yra pastovi ir faktoriø sàlyginiø kovariacijø matrica t

Λ yra diagonalinë. Jeigu tarsime,kad

tε ir

tξ – nekoreliuoti, tai gausime tokià vektoriaus rt sàlyginiø kovariacijø

matricà:

,)(cov1

jj

k

jjtttt F ββ ′+=′+= ∑

=

λΨBBΛΨr (17)

kur:t

Λ = diag(�1t , ..., �kt); B−jβ matricos j stulpelis.Darant prielaidà, kad kiekvienas �jt turi ARCH struktûrà, galima ávertinti ðio

faktorinio ARCH modelio parametrus. Vertinimas supaprastëja, jeigu tariama, kadportfeliai (jø svoriai) þinomi, kadangi tuomet þinomi ir

jβ elementai. FaktorinioARCH modelio vertinimas ir iðvados aptariamos R. F. Engle ir kt. (1990) straipsnyje.Jie pritaikë vienfaktoriná modelá ((17) lygybëje k = 1) iþdo vekseliams su skirtingomisiðpirkimo datomis ákainoti.

Panaðø á R. F. Engle bei jo bendraautoriø modelá sukûrë F. X. Diebold irM. Nerlove (1989) ir sëkmingai taikë bendros tendencijos septyniø kasdieniø valiutoskursø kintamumui apraðyti. Tokio tipo faktoriniai modeliai buvo taikomi ir tarp-tautiniø kapitalo rinkø sàryðiø analizei.

*Vech operatorius iðrenkakiekvieno stulpelio stebëji-mus, esanèius virð arba antpagrindinës ástriþainës ir, pra-dedant pirmuoju stulpeliu, su-dëlioja juos vienà virð kito.Pavyzdþiui, tegul

.

2221

1211

=

aa

aa

A

Tada vech(A) = (a11

, a12

, a22

)�.

99


2.4. Kitos kryptys

Nuo pat ARCH modeliø sukûrimo plëtojama ir ðiø modeliø statistinë teorija, ojø taikymo srièiø buvo gausu. Ðimtai ekonominiø laiko eiluèiø taikymo atvejøiðvardyta T. Bollerslev ir kt. (1992) apþvalgoje ir ðis skaièius nuolat didëja. Kalbantapie ðiø modeliø vertinimo teorijà, paþymëtini keli autoriai, kurie nustatë didþiausiotikëtinumo áverèiø suderinamumo ir asimptotinio normalumo sàlygas tiek viena-maèiams, tiek ir daugiamaèiams ARCH bei GARCH modeliams.

Didëjantá literatûros sàraðà svariai papildë ir pats R. F. Engle. Vienas iðuþdaviniø, kylanèiø modeliuojant daugiamaèius GARCH, buvo garantuoti, kadsàlyginiø kovariacijø matrica H

t bûtø teigiamai apibrëþta kiekvienu t laiko momentu.

R. F. Engle ir K. F. Kroner (1995) apibrëþë paprastà GARCH modelá, kuriame ðisreikalavimas patenkintas ir kuris yra populiarus praktikoje. Kitas daugiamatisGARCH modelis, turintis ðià savybæ, yra R. F. Engle (2002a) pasiûlytas vadinamasisdinaminis sàlyginës koreliacijos GARCH modelis. Nepriklausomai nuo R. F. Englepanaðus modelis pritaikytas Y. K. Tse ir A. K. C. Tsui (2002) darbe. Pastarasis modelisyra T. Bollerslev (1990) pasiûlyto pastovios sàlyginës koreliacijos GARCH modeliopraplëtimas.

Svarbus laimëjimas yra R. F. Engle ir V. K. Ng (1993) sukurti testai apie klaidingàGARCH modeliø specifikacijà. Be to, ðie autoriai pavartojo ir naujà sàvokà –naujienø átakos kreivë. Jø idëja – dydþius t laiko momentu nagrinëti sàlyginaiinformacijos, prieinamos t – 2 laiku, atþvilgiu, ir tuo izoliuotai nagrinëti ðoko �

t–1

poveiká sàlyginei dispersijai ht. Taigi skirtingi ARCH ir GARCH modeliai gali bûti

lyginami pagal tai, kaip sàlyginei dispersijai daro átakà naujausia informacija, t. y.naujienos. Pavyzdþiui, GARCH(1,1) modelio naujienø átakos kreivë turi toká pavidalà:

ht = A + �

1� 2

t–1,

kur: A = �0

+��1� 2 (� 2 – �

t besàlyginë dispersija).Ði kreivë simetriðka atþvilgiu �

t–1 = 0. Kai kuriø kitø GARCH modeliø naujienø

átakos kreivës yra asimetriðkos (pavyzdþius ir aptarimà rasite R. F. Engle ir V. K. Ng(1993); Z. Ding ir kt. (1993) darbuose). Pastaruosiuose modeliuose teigiami ir tokiopaties dydþio neigiami informacijos srautai daro nevienodà átakà sàlyginei dispersijai.

R. F. Engle pirminë idëja nulëmë ir ávairias kitas parametrizacijas. Daþniausiaitaikomas D. B. Nelson (1991) eksponentinis GARCH modelis, kuriame tam tikraparametrine forma apraðomas sàlyginës dispersijos logaritmas. Tai buvo pirmasisasimetrinis GARCH modelis. Áprastiniuose GARCH modeliuose, tam, kad sàlyginëdispersija bûtø teigiama kiekvienu t momentu, reikia apriboti parametrus, oeksponentiniame GARCH modelyje tokiø apribojimø nereikia.

Kitas modelis, kurá reikëtø paminëti, yra autoregresinis stochastinio kintamumo(stochastic volatility) modelis. Jis nuo GARCH modelio skiriasi tuo, kad sàlyginësdispersijos logaritmas pats savaime yra atsitiktinis procesas. Pirmos eilës autore-gresinis stochastinio kintamumo procesas, pirmà kartà pasiûlytas S. J. Taylor (1982),yra tokio pavidalo:

ln ht = � + � ln h

t–1 + �

t,

kur: ht – teigiamas sàlyginës dispersijos kintamasis; {�

t} – nepriklausomø vienodai

pasiskirsèiusiø atsitiktiniø dydþiø su nuliniu vidurkiu ir pastovia dispersija seka.Dydþiui �

t aprašyti taikomas stochastinio kintamumo modelis turi ágimtà techninækomplikacijà. Jis neturi uþdaros formos, nes átraukia du nestebimus atsitiktiniusprocesus: {z

t}, dël reprezentacijos �

t = z

th

t

1/2 ir {�

t}. Dabartiniu metu stochastinio

kintamumo modeliams ir efektyvioms skaitinëms procedûroms, taikomoms jø para-metrams vertinti, skiriama daug dëmesio (þr.: E. Ghysels ir kt. (1996); N. G. Shephard(1996) apþvalgas).

100


Remdamasis ARCH modeliø teorija, R. F. Engle pastaruoju metu pasiûlë naujusempirinei rinkos mikrostruktûros analizei skirtus modelius. Jo idëja – GARCHpavidalo modelio pritaikymas trukmëms tarp prekybos operacijø momentø apraðyti;tai ámanoma, kadangi trukmë, kaip ir kvadratinë paklaida �

t

2 ARCH modelyje, yrateigiamas dydis. Dviejuose darbuose (Engle, Russell, 1998; Engle, 2000), apibrëþ-damas vadinamàjá autoregresiná sàlyginës trukmës, t. y. ACD, modelá, R. F. Engleinicijavo naujus tyrimus, aiðkinanèius konkreèiø investuotojø elgsenà kapitalo rinkose.Pastarieji straipsniai sukëlë didelá susidomëjimà; greito pasisekimo sulaukë ir naujidarbai, skirti ACD modeliams.

2.5. Taikymas rizikos vertei skaièiuoti

Be ARCH ir GARCH modeliø taikymo turtui ákainoti, taikomi ir kitose finansøekonomikos srityse. Akivaizdi taikymo sritis yra pasirinkimo sandoriø ir kitø iðvestiniøfinansiniø priemoniø ávertinimas, kai pagrindinis nagrinëjamo turto parametras yrajo dispersija (þr.: Noh ir kt., 1994).

Be to, ARCH ir GARCH modeliai tapo populiariomis ir nepakeièiamomispriemonëmis valdant rizikà. Ðiais laikais bankai, kitos finansø institucijos ir didelëskompanijos naudoja vadinamàjà rizikos vertës analizæ. Rizikos vertës modeliai taippat taikomi norint apskaièiuoti rinkos rizikà atitinkantá kapitalo poreiká pagal vadi-namàsias Bazelio II taisykles (BCBS, 1996). Tam, kad suprastume idëjà, pasirin-kime investuotojà su vertybiniø popieriø portfeliu. Tarkime, investuotojas nori prog-nozuoti tikëtinà maþiausià ðio portfelio nuostolá Lmin, kuris portfelio valdymolaikotarpiu pasirodytø su duota maþa tikimybe �. Prognozuojama Lmin reikðmë, vadi-nama rizikos verte, matuoja portfelio rizikingumà. Kita vertus, prognozuojama, kadsu tikimybe 1 –�� nuostolis bus ne daugiau kaip Lmin. Ði sàvoka yra natûralus rizikoskontrolës matas, pavyzdþiui, tais atvejais, kai reguliuojantis bankas nori uþtikrinti,kad bankai turëtø pakankamai kapitalo esant nemokumo tikimybei, tarkime, kitàmënesá nevirðyti �.

Rizikos vertës metodo patrauklumas yra tas, kad já taikant rinkos rizika, susijusisu vertybiniø popieriø portfeliu, ágauna lengvai suprantamo skaièiaus iðraiðkà.Nuostolis gali bûti apskaièiuotas tariant, kad gràþø marginalusis skirstinys nekintalaiko atþvilgiu, taèiau remiantis stebëjimais tai nëra tikroviðka. Taèiau, jeigu gràþøskirstinys kinta laiko atþvilgiu, tada reikia sudaryti modelá, leidþiantá prognozuotiskirstiná apibûdinanèiø sàlyginiø momentø bûsimas reikðmes. Jei pastarasis skirstinysyra sàlyginai normalusis, tai já apibûdina pirmi du momentai – vidurkis ir dispersija.Gràþø sàlyginio skirstinio dispersijai vertinti, norint apskaièiuoti tikëtinà nuostolá,plaèiai taikomi GARCH modeliai (jie gali bûti taikomi ir nenormaliojo skirstinioatveju). Praktikai daþnai taiko eksponentinio suglodinimo slenkamàjá vidurká:

ht = (1 – �1) � 2

t–1 + �1ht –1, 0 < �1 < 1.

Jis yra (11) modelio, o tiksliau – R. F. Engle ir T. Bollerslev (1986) nusakytovadinamojo integruoto GARCH modelio, atskiras atvejis.

S. Manganelli ir R. F. Engle (2001) iðtyrë daugelá rizikos vertës skaièiavimobûdø. Ávairûs GARCH modeliai – tai reikðmingos jø plëtotës sudedamosios dalys.Pavyzdþiui, R. F. Engle ir S. Manganelli (1999) sukûrë vadinamàjá sàlyginá auto-regresiná rizikos vertës (CAViaR) modelá, pagrástà idëja tiesiogiai modeliuoti norimoskirstinio (�)-kvantilá.

Kaip paprastà GARCH modeliø taikymo rizikos vertei skaièiuoti pavyzdá,imkime investuotojà su S&P indekso, pavaizduoto 4 pav., portfeliu, kurio kaina 1 mln.JAV doleriø. Tarkime, ji taiko (12) lygtimi ávertintà GARCH(1,1) modelá su norma-liosiomis paklaidomis. Investuotoja norëtø ávertinti dydá, uþ kurá jos nuostolis sutikimybe 0,99 bus maþesnis kità vertybiniø popieriø birþos atidarymo dienà, jei jos

101


portfelis liktø nepakitæs. Imkime du laiko momentus: 1995 m. rugsëjo 1 d. (penkta-dienis), kai 12 modeliø ávertinta sàlyginë dispersija pasiekia savo maþiausià reikðmæ,ir 2002 m. liepos 31 d., kai ji pasiekia savo didþiausià reikðmæ*. Didþiausiasnumatomas 1995 m. rugsëjo 5 d. (antradienis, po Darbo ðventës) nuostolis, gautastaikant GARCH modelá, lygus 12 400 JAV doleriø, o atitinkama 2002 m. balandþio1 d. suma yra 61 500 JAV doleriø. Ðis sumø skirtumas rodo priklausanèià nuo laikoir ARCH, kaip priemonës, svarbà analizuojant rizikos vertæ.

3. Kitas indëlis

Paþymëtinas R. F. Engle ir C. W. J. Granger vertingas indëlis á keletà laikoeiluèiø ekonometrijos srièiø. Be artimo bendradarbiavimo su C. W. J. Grangerplëtojant kointegravimo testus ir modeliø su kointegruotais kintamaisiais vertinimotechnikà, R. F. Engle paraðë reikðmingus darbus apie egzogeniðkumà – vienà iðsvarbiausiø sàvokø ekonometriniame modeliavime (Engle ir kt., 1983; Engle, Hendry,1993). C. W. J. Granger paliko pëdsakà keliose srityse. Jo testuojamas prieþastingumoapibrëþimas (Granger, 1969) leido sukurti didþiulá kieká darbø. Jis taip pat áneðëindëlá á vadinamøjø ilgos atminties modeliø teorijà, kuri yra labai populiari ekono-metrinëje literatûroje (Granger, Joyeux, 1980). Be to, C. W. J. Granger buvo vienasið pirmøjø, panaudojæs spektrinæ analizæ (Granger, Hatanaka, 1964) ir netiesiniusmodelius (Granger, Anderson, 1978) analizuojant ekonomines laiko eilutes. Vertataip pat paminëti jo indëlá á ekonominio prognozavimo teorijà ir praktikà. Ankstyvaðios srities klasika yra C. W. J. Granger ir O. Morgenstern (1970) darbas, o daugdarbø apie prognoziø derinimà paskatino C. W. J. Granger ir J. Bates (1969)straipsnis.

Literatûra

Balke N., Fomby T. B., 1997. Threshold Cointegration // International Economic Review, Vol. 38,p. 627–645.

Banerjee A., Dolado J., Galbraith J. W., Hendry D. F., 1993. Co-Integration, Error-Correction, andthe Econometric Analysis of Non-Stationary Data. Oxford: University Press.

Basle Committee on Banking Supervision (BCBS), 1996. Amendment to the Capital Accord toIncorporate Market Risks, Basle.

Bollerslev T., 1986. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity // Journal ofEconometrics, Vol. 31, p. 307–327.

Bollerslev T., Engle R. F., Wooldridge J., 1988. A Capital Asset-Pricing Model with Time-VaryingCovariances // Journal of Political Economy, Vol. 96, p. 116–131.

Bollerslev T., 1990. Modelling the Coherence in Short-Run Nominal Exchange Rates: A MultivariateGeneralized ARCH Model // Review of Economics and Statistics, Vol. 72, p. 498–505.

Bollerslev T., Chou R. Y., Kroner K. F., 1992. ARCH Modeling in Finance: A Review of the Theoryand Empirical Evidence // Journal of Econometrics, Vol. 52, p. 5–59.

Bollerslev T., Engle R. F., Nelson D. B., 1994. ARCH Models // Handbook of Econometrics, Vol. 4,R. F. Engle and D. L. McFadden (eds.). Amsterdam: North-Holland, p. 2959–3038.

Campbell J. Y., 1987. Does Saving Anticipate Declining Labor Income? An Alternative Test of thePermanent Income Hypothesis // Econometrica, Vol. 55, p. 1249–1273.

Campbell J. Y., Shiller R. J., 1987. Cointegration and Tests of Present Value Models // Journal ofPolitical Economy, Vol. 95, p. 1062–1088.

Campbell J. Y., Shiller R. J., 1988. The Dividend-Price Ratio and Expectations of Future Dividendsand Discount Factors // Review of Financial Studies, Vol. 1, p. 195–228.

Cassel G., 1922. Money and Foreign Exchange After 1914. New York: MacMillan.

Cochrane J. Y., 1994. Permanent and Transitory Components of GNP and Stock Prices // QuarterlyJournal of Economics, Vol. 109, p. 241–266.

Culver S. E., Papell D. H., 1999. Long-Run Purchasing Power Parity with Short-Run Data: Evidencewith a Null Hypothesis of Stationarity // Journal of International Money and Finance, Vol. 18,p. 751–768.

*Šis pavyzdys, aiðku, yra dirb-tinis ta prasme, kad GARCHmodelis buvo ávertintas laiko-tarpiui, kuris baigiasi 2003 m.balandþio 29 d. Praktikojeinvestuotojas gali taikytiGARCH modelá, kuris verti-namas remiantis stebëjimais,gautais tik iki rizikos vertësskaièiavimo momento.

102


Davidson J. E. H., Hendry D. F., Srba F., Yeo S., 1978. Econometric Modelling of the AggregateTime-Series Relationship Between Consumers’ Expenditure and Income in United Kingdom //Economic Journal, Vol. 88, p. 661–692.

Dickey D. A., Fuller W. A., 1979. Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series witha Unit Root // Journal of the American Statistical Association, Vol. 74, p. 427–431.

Dickey D. A., Fuller W. A., 1981. Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series witha Unit Root // Econometrica, Vol. 49, p. 1057–1072.

Diebold F. X., Nerlove M., 1989. The Dynamics of Exchange Rate Volatility: A Multivariate LatentFactor ARCH Model // Journal of Applied Econometrics, Vol. 4, p. 1–21.

Diebold F. X., Lopez J. A., 1995. Modelling Volatility Dynamics // Macroeconometrics. Developments,Tensions, and Prospects, K. D. Hoover (ed.). Boston: Kluwer, p. 427–466.

Ding Z., Granger C. W. J., Engle R. F., 1993. A Long Memory Property of Stock Market Returns anda New Model // Journal of Empirical Finance, Vol. 1, p. 83–106.

Edison H., 1987. Purchasing Power Parity in the Long Run: A Test of the Dollar/Pound ExchangeRate 1890–1978 // Journal of Money, Credit, and Banking, Vol. 19, p. 376–387.

Engle R. F., 1982. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance ofUnited Kingdom Inflation // Econometrica, Vol. 50, p. 987–1007.

Engle R. F., Hendry D. F., Richard J.-F., 1983. Exogeneity // Econometrica, Vol. 51, p. 277–304.

Engle R. F., Bollerslev T., 1986. Modeling the Persistence of Conditional Variances // EconometricReviews, Vol. 5, p. 1–50.

Engle R. F., 1987. Multivariate GARCH with Factor Structures-Cointegration in Variance. Universityof California (San Diego), Department of Economics, Unpublished Paper.

Engle R. F., Granger, C. W. J., 1987. Co-Integration and Error-Correction: Representation, Estimationand Testing // Econometrica, Vol. 55, p. 251–276.

Engle R. F., Lilien D. M., Robins R. P., 1987. Estimating Time-Varying Risk Premia in the TermStructure: The ARCH-M Model // Econometrica, Vol. 55, p. 391–407.

Engle R. F., Ng V. K., Rothschild M., 1990. FACTOR-ARCH Covariance Structure: EmpiricalEstimates for Treasury Bills // Journal of Econometrics, Vol. 45, p. 213–237.

Engle R. F., Granger C. W. J. (eds.), 1991. Long-Run Economic Relationships. Readings inCointegration. Oxford: University Press.

Engle R. F., Hendry D. F., 1993. Testing Super Exogeneity and Invariance // Journal of Econometrics,Vol. 56, p. 119–139.

Engle R. F., Ng V. K., 1993. Measuring and Testing the Impact of News on Volatility // Journal ofFinance, Vol. 48, p. 1749–1777.

Engle R. F. (ed.), 1995. ARCH. Selected Readings. Oxford: University Press.

Engle R. F., Kroner K. F., 1995. Multivariate Simultaneous Generalized ARCH // Econometric Theory,Vol. 11, p. 122–150.

Engle R. F., Russell J. R., 1998. Autoregressive Conditional Duration: A New Model for IrregularlySpaced Transaction Data // Econometrica, Vol. 66, p. 1127–1162.

Engle R. F., Manganelli S., 1999. CAViaR: Conditional Autoregressive Value at Risk by RegressionQuantiles. University of California (San Diego), Department of Economics, Working paper,Vol. 99–20.

Engle R. F., 2000. The Econometrics of Ultra-High-Frequency Data // Econometrica, Vol. 68, p. 1–22.

Engle R. F., 2002a. Dynamic Conditional Correlation: A Simple Class of Multivariate GeneralizedAutoregressive Conditional Heteroscedasticity Models // Journal of Business and Economic Statistics,Vol. 20, p. 339–350.

Engle R. F., 2002b. New Frontiers for ARCH Models // Journal of Applied Econometrics, Vol. 17,p. 425–446.

Frenkel J., 1978. Quantifying Capital Mobility in the 1980s // National Saving and EconomicPerformance, D. Bernheim and J. Shoven (eds.). Chicago: University of Chicago Press.

Frenkel J., 1981. The Collapse of Purchasing Power Parity During the 1970s // European EconomicReview, Vol. 16, p. 145–165.

Frankel J., 1986. International Capital Mobility and Crowding Out in the U.S. Economy: ImperfectIntegration of Financial or Goods Markets? How Open is the US Economy, R. Hafer (ed.). Lexington:Lexington Books.

Froot K. A., Rogoff K., 1995. Perspectives on PPP and Long-Run Real Exchanger Rates // Handbookof International Economics, Vol. 3, G. Grossman and K. Rogoff (eds.). Amsterdam: Elsevier,p. 1647–1688.

103


Fuller W. A., 1976. Introduction to Statistical Time Series. New York: Wiley.

Ghysels E., Harvey A. C., Renault E., 1996. Stochastic Volatility // Handbook of Statistics 14: StatisticalMethods in Finance, G. S. Maddala and C. R. Rao (eds). Amsterdam: Elsevier.

Gouriéroux C., 1996. ARCH Models and Financial Applications. Berlin: Springer.

Granger C. W. J., Hatanaka M., 1964. Spectral Analysis of Economic Time Series. Princeton: UniversityPress.

Granger C. W. J., 1969. Investigating Causal Relations by Econometric Models and Cross-SpectralMethods // Econometrica, Vol. 37, p. 424–438.

Granger C. W. J., Bates J., 1969. The Combination of Forecasts // Operations Research Quarterly,Vol. 20, p. 451–468.

Granger C. W. J., Morgenstern O., 1970. Predictability of Stock Market Prices. Lexington, MA: Heath.

Granger C. W. J., Newbold P., 1974. Spurious Regressions in Econometrics // Journal of Econometrics,Vol. 2, p. 111–120.

Granger C. W. J., Andersen A. P., 1978. Introduction to Bilinear Time Series Models. Göttingen:Vandenhoeck and Ruprecht.

Granger C. W. J., Joyeux R., 1980. An Introduction to Long-Memory Time Series Models andFractional Differencing // Journal of Time Series Analysis, Vol. 1, p. 15–30.

Granger C. W. J., 1981. Some Properties of Time Series Data and Their Use in Econometric ModelSpecification // Journal of Econometrics, Vol. 16, p. 121–130.

Granger C.W. J., Weiss A. A., 1983. Time Series Analysis of Error-Correction Models // Studies inEconometrics, Time Series and Multivariate Statistics, in Honor of T. W. Anderson, S. Karlin,T. Amemiya and L. A. Goodman (eds). San Diego: Academic Press, p. 255–278.

Granger C. W. J., Lee T.-H., 1990. Multicointegration // Advances in Econometrics: Cointegration,Spurious Regressions and Unit Roots, G. F. Rhodes, Jr and T. B. Fomby (eds.). New York: JAI Press,p. 17–84.

Granger C. W. J. and Swanson N. R., 1996. Further Developments in the Study of CointegratedVariables // Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 58, p. 374–386.

Granger C. W. J., 2001. Spurious Regressions in Econometrics // A Companion to TheoreticalEconometrics, B. H. Baltagi (ed.). Oxford: Blackwell, p. 557–561.

Hall A. D., Anderson H. M. and Granger C. W. J., 1992. A Cointegration Analysis of Treasury BillYields // Review of Economics and Statistics, Vol. 74, p. 116–126.

Hatanaka M., 1996. Time-Series-Based Econometrics. Unit Roots and Cointegrations. Oxford:University Press.

Hendry D. F., Muellbauer J. N. J., Murphy A., 1990. The Econometrics of DHSY // A Century ofEconomics. 100 Years of the Royal Economic Society and the Economic Journal, J. D. Hey andD. Winch (eds.). Oxford: Blackwell, p. 298–334.

Hylleberg S., Engle R. F., Granger C. W. J., Yoo B. S., 1990. Seasonal Cointegration // Journal ofEconometrics, Vol. 44, p. 215–238.

Johansen S., 1988. Statistical Analysis of Cointegration Vectors // Journal of Economic Dynamicsand Control, Vol. 12, p. 231–254.

Johansen S., 1991. Estimation and Hypothesis Testing of Cointegration Vectors in Gaussian VectorAutoregressive Models // Econometrica, Vol. 59, p. 1551–1580.

Johansen S., Juselius K., 1990. Maximum Likelihood Estimation and Inference on Cointegration –with Application to the Demand for Money // Oxford Bulletin of Economics and Statistics, Vol. 52,p. 169–210.

Johansen S., 1995. Likelihood-Based Inference in Cointegrated Vector Autoregressive Models. Oxford:University Press.

King R. G., Plosser C. I., Stock J. H., Watson M. W., 1991. Stochastic Trends and EconomicFluctuations // American Economic Review, Vol. 81, p. 819–840.

Kwiatkowski D., Phillips P. C. B., Schmidt P., Shin T., 1992. Testing the Null Hypothesis of StationarityAgainst the Alternative of a Unit Root: How Sure are We that Eonomic Series Have a Unit Root? //Journal of Econometrics, Vol. 54, p. 159–178.

Lettau M., Ludvigson S., 2001. Consumption, Aggregate Wealth, and Expected Stock Returns // Journalof Finance, Vol. 56, p. 815–850.

Lettau M., Ludvigson S., 2003. Understanding Trend and Cycle in Asset Values: Reevaluating theWealth Effect on Consumption. National Bureau of Economic Research, Working paper, Vol. 9848.

Lo M. C., Zivot E., 2001. Threshold Cointegration and Nonlinear Adjustment to the Law of OnePrice // Macroeconomic Dynamics, Vol. 5, p. 533–576.

104


Mandelbrot B., 1963. The Variation of Certain Speculative Prices // Journal of Business, Vol. 36,p. 394–419.

Mandelbrot B., Taylor H., 1967. On the Distribution of Stock Price Differences // Operations Research,Vol. 15, p. 1057–1062.

Manganelli S., Engle R. F., 2001. Value at Risk Models in Finance. European Central Bank, WorkingPaper, Vol. 75.

Meese R., Rogoff K., 1988. Was it Real? The Exchange Rate Differential Relation Over the ModernFloating Exchange Rate Period // Journal of Finance, Vol. 43, p. 933–948.

Nelson D. B., 1991. Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach // Econometrica,Vol. 59, p. 347–370.

Noh J., Engle R. F., Kane A., 1994. Forecasting Volatility and Option Pricing of the SP 500 Index //Journal of Derivatives, Vol. 2, p. 17–31.

Palm F. C., 1996. GARCH Models of Volatility // Handbook of Statistics 14: Statistical Methods inFinance, Vol. 14, G. Maddala and C. Rao (eds.). Amsterdam: Elsevier, p. 209–240.

Phillips A.W., 1957. Stabilization Policy and the Time Forms of Lagged Responses // Economic Journal,Vol. 67, p. 265–277.

Phillips P. C. B., 1986. Understanding Spurious Regressions // Journal of Econometrics, Vol. 33,p. 311–340.

Phillips P. C. B., Perron P., 1988. Testing for a Unit Root in a Time Series Regression // Biometrika,Vol. 75, p. 335–346.

Poon S.-H., Granger C. W. J., 2003. Forecasting Volatility in Financial Markets: A Review // Journalof Economic Literature, Vol. 41, p. 478–539.

Rachev S., Mittnik S., 2000. Stable Paretian Models in Finance. Chichester: Wiley.

Saikkonen P., Luukkonen R., 1993. Testing for a Moving Average Unit Root in Autoregressive IntegratedMoving Average Models // Journal of the American Statistical Association, Vol. 88, p. 596–601.

Sargan J. D., 1964. Wages and Prices in the United Kingdom: A Study in Econometric Methodology.Econometric Analysis for National Economic Planning, P. E. Hart, G. Mills and J. N. Whittaker(eds.). London: Butterworths.

SarVol. L., Taylor M. P., 2002. Purchasing Power Parity and the Real Exchange Rate // IMF StaffPapers, Vol. 49, p. 65–105.

Schwert G. W., 1990. Stock Volatility and the Crash of ’87 // Review of Financial Studies, Vol. 3,p. 77–102.

Shephard N. G., 1996. Statistical Aspects of ARCH and Stochastic Volatility // Time Series Models.In Econometrics, Finance and Other Fields, D. R. Cox, D. V. Hinkley and O. E. Barndorff-Nielsen(eds.). London: Chapman and Hall, p. 1–67.

Shin Y., 1994. A Residual-Based Test of the Null of Cointegration Against the Alternative of Vol.Cointegration // Econometric Theory, Vol. 10, p. 91–115.

Sims C. A., 1980. Macroeconomics and Reality // Econometrica, Vol. 48, p. 1–48.

Stock J. H., 1987. Asymptotic Properties of Least Squares Estimators of Cointegrating Vectors //Econometrica, Vol. 55, p. 1035–1056.

Tanaka K., 1996. Time Series Analysis. Nonstationary and Noninvertible Distribution Theory. NewYork: Wiley.

Taylor S. J., 1982. Financial Returns Modeled by the Product of Two Stochastic Processes – a Studyof the Daily Sugar Prices 1961-75 // Time Series Analysis: Theory and Practice, O. D. Anderson(ed.). Amsterdam: North-Holland, p. 203–226.

Taylor S. J., 1986. Modelling Financial Time Series. Chichester: Wiley.

Tse Y. K., Tsui A. K. C., 2002. A Multivariate Generalized Autoregressive Conditional HeteroscedasticityModel with Time-Varying Correlations // Journal of Business and Economic Statistics, Vol. 20,p. 351–362.

Watson M. W., 1994. Vector Autoregressions and Cointegration // Handbook of Econometrics, Vol. 4,R. F. Engle and D. L. McFadden (eds.) Amsterdam: North-Holland, p. 2844–2915.

Xiao Z., Phillips P. C. B., 2002. A CUSUM Test for Cointegration Using Regression Residuals //Journal of Econometrics, Vol. 108, p. 43–61.

NOBELIO 2003 m. EKONOMIKOS MOKSLØ PREMIJOS LAUREATAI · 2017-02-09 · átakingiausiø...

Documents

Transcript of NOBELIO 2003 m. EKONOMIKOS MOKSLØ PREMIJOS LAUREATAI · 2017-02-09 · átakingiausiø...