NIM gra

Beata MaciejewskaMonika Mackiewicz

Zasady gry

Nim jest starą chińską grą dla dwóch osób z użyciem pionków w ilości od 15 do 60.

Pionki dzieli się na kupki dowolnej wielkości (ale różnych dla dwóch różnych kupek), następnie gracze zabierają na zaminę od 1 pionka do całej kupki.W zależności od wersji, przegrywa lub wygrywa gracz, która zabiera ostatni pion.

Warianty gry

Marienbad 16 pionków ustawiamy w 4 rzędach: 1 rząd- 1 pion, 2 rząd- 3 piony, 3 rząd- 5 pionów, 4 rząd- 7 pionów. Ruch polega na wzięciu 1 pionka od całego rzędu. Przegrywa gracz, która zabiera ostatni pion.

WythoffPiony dzielimy na dwie różnoliczne kupki, bierzemy co najmniej 1 pion z 1 kupki. Można brać piony z obu kupek w jednym ruchu, ale bierzemy wówczas tę samą ilość pionków z jednej i drugiej kupki.

KaylesUstawiamy 13 pionków w następujący sposób:

Ruch polega na wzięciu 1 lub 2 pionków, ale gdy bierzemy 2 piony, musimy pamiętać aby się stykały ze sobą. Wygrywa ten, kto bierze 1 lub 2 ostatnie piony.

Kubo27 pionków ustawiamy w kwadrat 3x3 po trzy na sobie. Gracz może zabrać 1, 2 lub 3 pionki z jednej z 9 kupek lub po jednej z sąsiadujących pionowo, bądź poziomo kupek.

Dziewiętnaście19 pionków ustawia się w sześciokąt foremny, wolno brać jeden kamień, dwa sąsiadujące lub trzy sąsiadujące (ale kazdy z każdym- mały trójkącik).

Taktix16 pionków ustawiamy w kwadrat 4x4 , wolno zbierać dowolną ilość kaminie byle tylko z jednej kolumny lub wiersza.

Gra Nim- zasady

Gra polega na wykonywaniu ruchów na przemian przez komputer i gracza wybieramy jeden z trzech

rzędów usuwamy z niego dowolną liczbę

serduszek różną od zerawygrywa/ przegrywa ten kto

zbiera ostatnie serduszko

Tradycyjna wersja gry Nim

Sekret gry Nim

Liczby binarneDla opisania strategii wygrywającej posłużymy

się zapisem binarnym, tzn. zapisem liczb w systemie

dwójkowym.W celu dodania dwóch liczb zapisujemy je w

systemie dwójkowym.Następnie dodajemy odpowiednie cyfry znajdujące

się jedna pod drugą, stosując operacje XOR (alternatywy wykluczającej). To działanie będzie inne od zwykłego dodawania liczb i będzie nazwane sumą Nim.

Operacja XOR

Przykłady

p q p xor q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

101

110

011

1

10

11

100

101

001

100

111

11

100

100

Przykład

Dodajemy dwie liczby 41 i 27

To oznacza, że otrzymaliśmy110010 = 25 + 24 + 2 = 50

101001

11011

110010

Nimliczby

Jest to klasa właściwa, określająca wielkość stosów w grze, ale zastosowana do szerszej klasy gier dzięki zastosowaniu twierdzenia Sprague- Grundy.

Dodawanie nimliczb definiujemy następująco:

gdzie mex- najmniejsza liczba porządkowa nieobecna w danym zbiorze

Co trzeba wiedzieć o dodawaniu nimliczb- reguła dodawania Suma dwóch identycznych liczb nieujemnych wynosi 0

Jeżeli większa z dwóch nimliczb odpowiada potędze dwójki (1,2,4,16,...) to dodaje się je według takich zasad, jak zwykłe liczby

Przykład Nimarytmetyka

A.(5 ⊕ 6)=(4 ⊕ 1) ⊕(4 ⊕ 2)=(4 ⊕ 4) ⊕ (1 ⊕ 2) = 0 ⊕ 3=3B.(41 ⊕ 27) = (32 ⊕ 8 ⊕ 1)⊕ (16 ⊕ 8 ⊕ 2 ⊕ 1) = 32 ⊕ 16 ⊕ 2 = 50

Można tez prościej!Stosując tabele dodawania określona w następujący sposób.

Tabela dodawania

Jak wygrac ?

Wystarczy aby, suma nimliczb była równa zero, czyli

a ⊕ b ⊕ c…=0gdzie:a, b, c- liczba elementów w

poszczególnych wierszach

Czy zawsze można wygrać?

TwierdzenieW normalnej grze Nim,

pierwszy gracz wygra tylko wtedy gdy suma nimliczb jest różna od zera, w przeciwnym razie wygrywa drugi gracz.

Dowód: 

Źródła

Wikipedia:http://pl.wikipedia.org/wiki/Nimhttp://pl.wikipedia.org/wiki/Nimliczby

http://www.csm.astate.edu/secret.html

J. H. Conway, R. K. Guy, Księga liczb