1. Harga Mutlak

Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita diharapkan pada permasalahan yang berhubungan dengan jarak. Misalnya kita ingin menghitung jarak antara kota yang satu dengan kota yang lainya, atau jarak antara dua patok tertentu. Dalam kaitannya dengan pengukuran jarak antara dua tempat ini, timbulah sesuatu keistimewaan, bahwa jarak ini harganya selalu positif. Dengan kata lain pengukuran jarak antara dua tempat nilainya tidak pernah negatif.

Secara khusus, dalam matematika untuk memberikan jaminan bahwa sesuatu itu nilainya selalu positif diberikanlah suatu pengertian yang sering kita namakan sebagai harga mutlak. Jadi, harga mutlak atau nilai mutlak adalah suatu konsep dalam matematika yang menyatakan selalu positif.

Secara matematis pengertian harga mutlak dari setiap bilangan real x yang ditulis dengan simbol │x│, ialah nilai positif dari nilai x dan -x. Untuk lebih jelasnya lagi, kita akan merancang konsep harga mutlak dari suatu bilangan real x hubungannya dengan konsep jarak secara geometri dari x ke 0. Sekarang kita perhatikan penjelasan untuk jarak pada garis bilangan seperti berikut ini

Untuk setiap bilanga real x, harga mutlak dari x ditulis │x│dan

x , x > 0

│x│=

-x , x < 0

Contoh:

(a)│3│ = 3

(b)│(-3)│= -(-3)= 3

(c) │ 12

│= 12

(d) │0│= 0

(e) ││-2│-│-6││= │2-6│=│-4│= 4

(f) 13 + │-1-4│-3-│-8│=13+│-5│-3-8 = 13 + 5 - 3 - 8 = 7

2. Persamaan dan Kesamaan

Teorema 1

Jika P(x), Q(x), dan R(x) bentuk-bentuk akar dalam x, maka untuk setiap nilai x, yang mana P(x), Q(x) dan R(x) real, kalimat terbuka P(x) = R(x) adalah ekuvalen dengan tiap-tiap dari yang berikut :

A. P(x) +R(x) = Q(x) +R(x)

untuk x € {x/ R(x) ≠ 0

B. P(x) .R(x) = Q(x) .R(x)

C. P(x)R (x)

<Q(x)R(x )

3. Persamaan Harga Mutlak

Sebagaimana telah kita ketahui dalam membahas fungsi rasional, bahwamuntuk setiap bilangan real x, bahwa √x2 real dan tidak negatif, dan juga jika x ≥ 0 maka √x2 = x karena x adalah satu-satunya bilangan yang tidak negatif dan kuadratnya sama dengan x2. Jika x < 0, maka √x2 = -x, karena (-x) > 0 dan (-x)2 = x2. Jadi untuk setiap bilangan real x

√x2 = │x│= x jika x ≥ 0

= -x jika x < 0

(Ingat bentuk-bentuk akar dan bilangan berpangkat).

Selanjutnya dengan memperhatikan definisi harga mutlak dan kaitannya dengan

penarikan akar di atas, kita akan melihat beberapa teorema harga mutlak, diantaranya

Teorema 2

Untuk setiap bilangan real x berlaku

(a) │x│=│-x │

(b)│x2 │= │-x2 │= x

Bukti (a) : │x │= √x2

= √(-x2) = │-x│

Bukti (b) : │x│2= (√x2) 2 = (x) 2 jika x > 0

= (-x) 2 jika x < 0

= x 2 ………………(1)

│x2│= √(x2) 2 = (x2 ) sebab x 2 > 0

= x 2 ……………..(2)

Dari (1) dan (2)

│x│2 │x2 │= x2

Teorema 3

Untuk setiap x € R dan y € R (himpunan bilangan real), maka berlaku

(a) │xy│=│x│.│y│

(b) |xy|= │ x││ y │

A. PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK

1. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan >, ≥, <, atau ≤. Sedangkan ketidaksamaan atau pertidaksamaan mutlak (absolut) adalah pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya disebut pertidaksamaan palsu.

Contoh:

(a) x ≠ y

(b) x < y

(c) 2x ≥ 5

(d) x2 - 5 + 6 ≤. 6

(e) │1 – x│> 2,dan sebagainya , untuk setiap x, y € R (himpunan bilangan real).

Seperti pada persamaan dalam pertidaksamaan tidak berlaku untuk setiap pengganti variabelnya. Nilai-nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan disebut penyelesaian, dan himpunan semua pengganti variabel yang menyebabkan pertidaksamaan itu menjadi kalimat tertutup yang benar disebut himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan.

Sebaliknya, suatu pertidaksamaan mutlak atau pertidaksamaan absolut adalah suatu pertidaksamaan yang selalu benar untuk setiap nilai pengganti variabelnya. Pertidaksamaan mutlak ini sering pula disebut ketidaksamaan dan tentunya ketidaksamaan ini merupakan kalimat matematika tertutup.

Contoh :

(1). (x - 1)2 ≥ 0

(2). x + 2 > x + 1

(3). -3x2 - 7x - 6 < 0

(4). -(x - 1)2 ≤ 0

(5).│3x–4│ > - │ -1│

Selain itu ada pula suatu pertidaksamaan yang selalu salah untuk setiap pengganti variabelnya yang disebut pertidaksamaan palsu.

Contoh:

(1). x2 + 2 ≤ 0

(2). x + 2 ≥ x + 3

(3). (x - 2)2 < 0

(4).│2x - 3│ > -│-x│

2. Sifat-sifat Pertidaksamaan

Teorema 4

Jika P(x), Q(x), dan R(x) adalah ungkapan-ungkapan dalam x, maka untuk semua harga-harga x, P(x), Q(x), dan R(x) yang real, kalimat terbuka P(x) < Q(x) adalah ekivalen dengan tiap-tiap dari yang berikut:

A. P(x) + R(x) < Q(x) + R(x)

B. P(x) . R(x) < Q(x) . R(x)

untuk x € { x/R(x) > 0 }

C.P(x)R (x)

<Q(x)R(x )

D. P(x). R(x) > Q(x) . R(x)

untuk x € { x/R(x) > 0 }

E.P(x)R (x)

>Q(x)R(x )

demikian pula untuk kalimat terbuka P(x) ≤ Q(x) adalah ekuivalen dengan kalimat-kalimat terbuka dari bentuk A sampai bentuk E dengan mengganti < (atau >) dengan ≤ (atau ≥) dengan syarat yang sama pula, yaitu R(x) > 0 dan R(x) < 0 seperti di atas.

3. Pertidaksamaan Harga Mutlak

Teorema 5

Jika x € R, a € R, dan a > 0, maka x < a, jika dan hanya jika -a < x < a.

Untuk membuktikan teorema ini harus dibuktikan dua bagian, yaitu:

(1). Jika│x│< a, maka -a < x < a.

(2). Jika -a < x < a, maka │x│ < a

Bukti:

Untuk tiap x € R,│x│ ≥ 0.

Karena a > 0, maka -a < 0

Jadi untuk tiap x, -a <│x│ .

Sekarang kita pandang dulu untuk x > 0.

Dalam hal ini,│x│ = x.

Karena -a < │ x │,│x│ = x, dan │x│< a, maka -a < x < a (terbukti).

Sekarang kita pandang untuk x < 0

Dalam hal ini │ x│= -x.

Karena -a < │x│ , │ x│ = -x, dan │x│< a, maka -a < -x < a.

Kalikan dengan (-1), diperoleh

a > x > -a atau -a < x < a (terbukti).

Teorema 6

Jika x € R, a € R, dan a > 0, maka│x│> a, jika dan hanya jika x < -a atau x > a.

Buktinya:

Misalnya │x│> a → x > a dan – a > x

-a > x ↔ x > a. Jadi kita mempunyai – a > x > a. Sebaliknya jika – a > x > a maka x > a dan - x > a. Sehingga │x│> a

Contoh:

Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan│ x + 1│< 3.

Penyelesaian :

Menurut teorema 5,

│ x + 1│< 3.

Jika dan hanya jika

-3 < x + 1 < 3

Tiap ruas ditambah dengan -1, didapat -4 < x < 2

Jadi himpunan penyelesaiannya

{ x / -4 < x < 2 }

Himpunan penyelesaian dapat pula ditulis dengan menggunakan simbul irisan :

{ x / x > -4 } ∩ { x / x < 2 }.

Teorema 7

Untuk setiap R, x ≤ │x│.

Bukti : Jika x ≥ 0, maka x = │x│(definisi)

Jika x < 0, maka x < │x │, sebab │x│≥ 0

Jadi dalam hal ini x ≤ │x│ .

Teorema 8

Jika x R, y R, maka

(1). │x - y│≥│x│-│y│

(2). │x +y│≤ │x│+│y│

PERTANYAAN DAN JAWABAN

Diketahui, sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan harga nilai mutlak:

A. Pertanyaan1. Persamaan Nilai Mutlak :

Untuk setiap x € R dan y € R (himpunan bilangan real), maka berlaku

(a) │xy│=│x│.│y│

(b) │xy│ =

│ x││ y │

(c) │x-y│=│y-x│

2. Pertidaksamaan Nilai Mutlak :

Jika x R, y R, maka

(a). │x - y│≥│x│-│y│

(b). │x +y│≤ │x│+│y│

B. Jawaban

1. Persamaan Nilai Mutlak :

(a) │xy│=│x│.│y│

│xy│ = √(xy)2

= √x2.y2

= √x2 . √y2

=│x│.│y│ ( Terbukti )

Atau

│x│.│y│ = √x2 . √y2

= √x2.y2

= √(xy)2

=│xy│( Terbukti )

(b) │xy│ =

│ x││ y │

│xy│=√( xy )

2

= √ x2

y2

=√ x2

√ y2 =

│ x││ y │

( Terbukti )

Atau

│ x││ y │

= √ x2

√ y2

= √ x2

y2

=√( xy )2

= │xy│ ( Terbukti)

2. Pertidaksamaan Nilai Mutlak :

(a). │x - y│≤│x│+│y│Menurut teorema 7 diatas

x ≤ |x| dan –x ≤ |-x| karena |–x| = |x| = x

juga -y ≤ |-y| = |y| dan y ≤ |y|

Dengan menjumlahkan didapat :

x – y ≤ |x| + |y| dan

(-x+y) = - (x – y ) ≤ |x| + |y|

dan menurut teorema 8 bagian 1

│x – y│≤│x│+│y│ (Terbukti)

(b). │x +y│ ≤ │x│+│y│

| x + y | = | x - (-y)| < | x | + | y |

Menurut teorema 2(a) : | y | = | -y |, maka | x + y | < | x | + | y | (Terbukti)

(c). │|x| - |y|│≤│x - y│

Tulis x = (x – y) + y maka, dengan menggunakan ketaksamaan segitiga akan dapat :

│x│ = │(x – y) + y│≤│x - y│+│y│. Jadi │x│-│y│≤│x - y│.

Kemudian dari

│y│=│y – x + x│≤│y – x│+│x│. Jadi -│x – y│= -│y – x│≤│x│-│y│.

Dari kedua kombinasi ini kita dapatkan yang akan dibuktikan.

Yakni: karena │x│-│y│≤│x - y│dan -│y – x│≤│x│-│y│maka │|x| - |y|│≤│x - y│

BARISAN DAN DERET

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara sukusuku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,

maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:

a. 2, 5, 8, 11, 14, ……………. ditambah 3 dari suku di depannya

b. 100, 95, 90, 85, 80, …….. dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut

barisan geometri. Misal:

a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ………. dikalikan 2 dari suku di depannya

b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ………… dikalikan ½ dari suku di depannya

DERET

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:

Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Barisan Aritmatika

U1, U2, U3, …….Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika

U2 - U1 = U3 - U2 = …. = Un – Un-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un – Un-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ……… , a+(n-1)b

U1, U2, U3 …………., Un

Rumus Suku ke-n :

Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

Misal: 2, 5, 8, 11, 14, ………an

a1 = 2 = a

a2 = 5 = 2 + 3 = a + b

a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b

a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b

an = a + (n-1) b

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:

b a a ( n 1 ) n 1 = + – atau S a ( n 1)b n 1 = + – dimana:

Sn = an = Suku ke-n

a1 = suku pertama

b = beda antar suku

n = banyaknya suku

contoh soal

1. Suatu barisan aritmatika suku ke 3 nya adalah -1 dan suku ke-7 nya 19. tentukan : U70

Solusi :

Kurangi U3 dengan U7

20 = 4b

Dari b=5, masukkan ke persamaan U7

19 =a +30

a= -11

U70 = 334

Deret Aritmetika (Deret Hitung)

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal

b = beda

n = banyak suku

Un = a + (n – 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+Un)

= 1/2 n[2a+(n-1)b]

= 1/2bn² + (a – 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn“)

Barisan aritmatika akan naik jika b > 0

Barisan aritmatika akan turun jika b < 0

Berlaku hubungan Un = Sn – Sn-1 atau Un = Sn’ – 1/2 Sn“

Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.

Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a – b , a , a + b

Contoh soal

1:Hitunglah jumlah bilangan antara 1 dan 400 yang habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 7

Jawab:

S=Jumlah bil. kelipatan 5 – Jumlah bil. kelipatan 35

_= (5+10+15+…+395) – (35+70+…+385)

_= -

_=

_= 15800 – 2130

_= 13490.

Contoh Soal 2: Seutas tali dipotong-potong menjadi 14 bagian yang panjangnya membentuk barisan aritmatika. Jika tali yang terpanjang 21 cm dan bagian terpendek 4 cm, tentukan panjang tali semula.

Jawab:

S = = 175 cm.

Contoh Soal 3:Di antara bilangan 3 dan 99 disisipkan 15 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk suatu barisan aritmatika. Cari beda barisan tersebut dan carilah jumlah deret aritmatika tersebut.

Jawab:

Logikanya, jika disisipkan 15 buah bilangan, maka renggang dari 3 sampai 99 ada (15+1)interval.

99 = 3 + 16d, maka d = 6. Jadi, bedanya adalah 6.

S = = 17.51 = 867.

BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Barisan Geometri

BARISAN GEOMETRI

U1, U2, U3, ……., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika

U1/U2 = U3/U2 = …. = Un / Un-1 = konstanta

Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

Rasio r = Un / Un-1

Suku ke-n barisan geometri

a, ar, ar² , …….arn-1

U1, U2, U3,……,Un

Suku ke n Un = arn-1

® fungsi eksponen (dalam n)

Misal: 3, 6, 12, 24, 48, ……………..

a1 = 3 = a

a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar

a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar2

a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar3

an = arn-1

Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:

n 1

n a =ar - dimana:

an = suku ke- n (Sn)

a = suku pertama

r = rasio antar suku berurutan

n = banyaknya suku

Deret Geometri (Deret Ukur)

DERET GEOMETRI

a + ar² + ……. + arn-1 disebut deret geometri

a = suku awal

r = rasio

n = banyak suku

Jumlah n suku

Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1

= a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)

Keterangan:

Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap

Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku

Un > Un-1

Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku

Un < Un-1

Bergantian naik turun, jika r < 0

Berlaku hubungan Un = Sn – Sn-1

Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

_______ __________

Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

U1 + U2 + U3 + …………………………

¥

å Un = a + ar + ar² …………………….

n=1

dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0

Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

Jumlah tak berhingga S¥ = a/(1-r)

Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

Catatan:

a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + …….……….

Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

a+ar2 +ar4+ ……. Sganjil = a / (1-r²)

Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar3 + ar5 + …… Sgenap = ar / 1 -r²

Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r